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%%%%%%%%%% 1. ensemble numeriques
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%% abreviations %%%%%%%%%%%%%%%%
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\vspace{0.5cm}

\noindent\stepcounter{numeroexo}{\bf{Exercice \arabic{numeroexo}~:~}}}

\newcommand{\partie}[1]{ 


\noindent{\large \bf \underline{#1}}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{document}
\noindent Universit\'e Grenoble I \hfill \'Equations diff\'erentielles \hfill L3 2014/2015


\exercice{} (Int\'egrale)\\
Soit $f \in C_0 (\real)$ et $y_0 \in \real$. On consid\`ere le probl\`eme de Cauchy
$$ y' (t)  =  f(t), \quad y(t_0)  =  y_0, \quad t \in [t_0,t_0 + T]$$
\be 
\item Donner la solution exacte de cette \'equation.
\item Trouver des solutions approch\'ees de $y(t_0+T)$ en la r\'esolvant 
par la m\'ethode d'Euler, la m\'ethode du point milieu et la m\'ethode
de Runge-Kuta RK4 avec un pas constant.
A quelles m\'ethodes d'int\'egration ces m\'ethodes correspondent-elles ?
\ee 

\exercice (Euler explicite et point milieu)\\
\'Ecrire deux fonctions Xcas prenant en argument
une fonction $f : \real^2 \rightarrow \real$, des r\'eels $t_0,y_0 \in
\real$ et $T>0$ et un entier $N$ 
et retournant la valeur approch\'ee de la solution du probl\`eme de Cauchy 
$y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ au temps $t=t_0 + T$ par :
\be
\item la m\'ethode d'Euler
\item la m\'ethode du point milieu
\ee
avec un pas constant $h=T/N$.\\
Tester ces fonctions pour $f(t,y)=1$, $f(t,y)=t$ et $f(t,y)=t^2$; 
expliquez quand c'est le cas
pourquoi les r\'esultats ne varient pas avec $N$. Testez ensuite pour
$f(t,y)=y$, $f(t,y)=ty$

\exercice (Erreurs d'arrondi)\\
Soit le probl\`eme de Cauchy 
$$ y'(t)=y, \quad y(0)=1, \quad t \in [0,1] $$
\be 
\item Rappeler la solution exacte de l'\'equation puis
donner la solution approch\'ee $y_N$ de $y(1)$ par la m\'ethode du
point milieu avec un pas  constant $h=1/N$.
Montrer que $y_N \rightarrow y(1)$ quand $N \rightarrow \infty$.
\item Donner une majoration de l'erreur locale 
de la forme $|e_n| \leq C h^3$ o\`u $C$ est une
constante ind\'ependante de $n$ que l'on d\'eterminera, en d\'eduire
une majoration de l'erreur globale.
\item On suppose qu'\`a chaque pas il y a une erreur d'arrondi
  $\epsilon_n$, de sorte que
 la solution approch\'ee est donn\'ee par
%
$$
\left\{
\begin{array}{ccl}
w_{n+1} & = & w_n + h f\left( t_n + \frac{h}{2}, w_n + \frac{h}{2} f
  (t_n,w_n ) 
\right) + \epsilon_n \\
w_0 & = & 1
\end{array}
\right., \quad f(t,y)=y
$$
%
Montrer la majoration suivante de l'erreur globale 
%
\begin{equation} \label{eq-maj_E}
E =   \max_{0 \leq n < N} | y(t_n) - w_n | \;\leq \; M \left( \frac{C}{N^2} + N \epsilon \right)
\end{equation}
%
avec $M \leq e^{1,5}$ et $\epsilon = \max_{0 \leq n < N} | \epsilon_n |$.
En prenant $\epsilon = $\verb|1e-15|,
trouver le nombre d'it\'erations optimal $N_{\rm opt}$ en minimisant 
le membre de droite de l'in\'egalit\'e 
(\ref{eq-maj_E}). 
\item En utilisant la fonction Xcas de l'exercice pr\'ec\'edent, 
donner les valeurs num\'eriques de l'erreur
$| y(1) - w_N|$ pour diff\'erentes valeurs de $N$ comprises entre 
$10^4$ et $10^6$. Comparez
vos r\'esultats avec votre 
pr\'ediction th\'eorique de $N_{\rm opt}$.
\ee

\exercice (\'Equation d'ordre $>1$) \\
On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle 
\begin{equation} \label{eq-diff_ordre2}
x'' = x
\end{equation}
\be
\item R\'esoudre cette \'equation exactement en l'\'ecrivant sous la forme de deux \'equations
coupl\'ees du premier ordre  puis en int\'egrant ces \'equations.
\item Donner l'algorithme permettant de trouver une solution approch\'ee de (\ref{eq-diff_ordre2}) par la 
m\'ethode d'Euler. \'Ecrire une fonction Xcas 
qui r\'esoud (\ref{eq-diff_ordre2}) 
pour les conditions initiales $x(0)=1$ et $x'(0)=2$ par cette
m\'ethode.
\ee

\exercice (Runge-Kutta 4)\\
\'Ecrire une fonction Xcas prenant en argument
\bi
\item une fonction $f : \real^2 \rightarrow \real$
\item des r\'eels $t_0,y_0 \in \real$ et $T>0$
\item un entier $N$ 
\ei
et
retournant un vecteur donnant les valeurs approch\'ees de la solution du probl\`eme de Cauchy 
$y' = f(t,y)$, $y(t_0) = y_0$ au temps $t_n=t_0 + n h T$, $0 \leq n < N$, 
par la m\'ethode de Runge-Kuta RK4
avec un pas constant $h=T/N$.
Testez votre fonction sur quelques exemples pour lesquels vous connaissez la solution exacte.
Tracez la courbe de l'erreur $y(t_n)-y_n$ en fonction du temps.  

\exercice (Euler implicite)\\
\'Ecrire une fonction Xcas impl\'ementant la m\'ethode d'Euler
implicite, et comparer nu\-m\'e\-ri\-que\-ment les erreurs
avec Euler explicite par exemple pour $y'=y, y(0)=1$.

\pagebreak 

\exercice (Pas variable)\\
Soit $f : (t,y) \in \real^2 \mapsto f(t,y) \in \real$ une fonction lipschitzienne en
$y$ de rapport $k$. Soit $t_0 < t_1 < \cdots < t_N = t_0 + T$. 
On pose $p_n = f(t_n, y_n)$ et $h_n = t_{n+1}-t_n$
pour tout $n=0,\cdots N-1$. 
\be
\item 
Montrer que l'erreur locale (erreur de consistance) $e_n$ de la
m\'ethode d'Euler avec les pas variables $h_n$ vaut :
$$
e_n = \frac{h_n}{2} \bigl( p_{n+1} - p_n \bigr) + o (h_n)
$$    
\item On veut contr\^oler le pas $h_n$ de mani\`ere \`a ce que
  l'erreur globale th\'eorique
(c'est-\`a-dire sans prendre en compte les erreurs d'arrondis)
$E_{\rm th} = \max_{0 \leq n < N} \{ |y(t_n) - y_n|\}$ 
soit inf\'erieure \`a une valeur $\delta >0$ fix\'ee \`a
l'avance.  Montrer que, pour $h_n$ suffisamment petit,
une condition suffisante pour avoir $E_{\rm th} \leq \delta$ est :
%
$$
\frac{|p_{n+1}-p_n|}{2} < \frac{\delta}{M T} \quad 
\text{avec} \quad M = e^{k T}\;.
$$
%
\item
Modifier votre fonction de l'exercice 2.1) en prenant un pas variable $h_n \in [h_{\rm min},h_{\rm max}]$
(les pas minimum $h_{\rm min}$ et maximum $h_{\rm max}$ seront donn\'es en arguments de la fonction) 
tel que
$h_0=\sqrt{h_{\rm min} h_{\rm max}}$ et 
\bi
\item si $\frac{|p_{n+1}-p_n|}{2} <\frac{\delta}{3M T}$ alors $h_{n+1} =\min \{ 1.25 h_n ,h_{\rm max} \}$
\item si $\frac{|p_{n+1}-p_n|}{2} > \frac{\delta}{M T}$ alors $h_{n+1} = 0.8 h_n$ avec arr\^et si 
$h_{n+1} < h_{\rm min}$ ou si $n=0$.
\item sinon $h_{n+1}=h_n$
\ei
%
{\bf Application :} r\'esoudre num\'eriquement
%
\begin{equation} \label{eq-sing}
\left\{
\begin{array}{ccc}
y'  & = & \frac{y}{1-t} \\
y(0) & = & 1
\end{array}
\right. \quad , \quad t \in [0,0.8]
\end{equation}
%
avec une pr\'ecision $\delta=10^{-2}$. Trouver la solution exacte de (\ref{eq-sing}).
Pourquoi selon vous la pr\'ecision obtenue est-elle meilleure que $10^{-2}$ ? 
\ee
%


\end{document}


