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\begin{document}
\noindent Mat231 \hfill 2008/9
\begin{center}
{\LARGE DM3}
\end{center}

\section{Exercice}
D\'eterminer l'expression en fonction de $n$ des suites r\'ecurrentes
$x_n, y_n, z_n$ d\'efinies par la r\'ecurrence lin\'eaire~:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_{n+1} & = & x_n + y_n + 3z_n \\
y_{n+1} & = & x_n + 3y_n+z_n \\
z_{n+1} & = & 3x_n+y_n+z_n
\end{array}
\right.
\]

\section{Probl\`eme}
Le but de ce problème est de réduire un endomorphisme $\phi$ 
de matrice $A$ dans la base
canonique de $\R^d$ sans calculer le polynôme caractéristique $C(X)$, 
défini ici comme étant le déterminant de $XI-A$.
Pour $v\in \R^d$ fixé, on définit la suite récurrente
$v_n \in \R^d$ par $v_0=v$ et $v_{k+1}=Av_k$. 

\subsection{Partie 1}
\begin{enumerate}
\item Commençons par un exemple dans $\R^3$ ($d=3$)~ 
\[ A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right) \]
et $v_0=(1,0,0)$. Calculer $v_1, v_2, v_3$. Exprimer $v_3$ comme combinaison linéaire
de $\{v_0,v_1,v_2\}$. On va voir qu'elle donne le polynôme caractéristique.
\item On se place à nouveau dans le cas général.
Montrer que la famille $\{ v_0,...,v_{d} \}$ est liée. En déduire qu'il existe un
polynôme $P(X) \in \R[X]$ tel que $P(A)v=0$ dont on majorera le degré.
\item Soit $P_1(X)$ et $P_2(X)$ deux polynômes vérifiant $P_1(A)v=0$ et $P_2(A)v=0$ et soit
$R(X)$ le reste de la division euclidienne de $P_1(X)$ par $P_2(X)$. Calculer $R(A)v$.
\item Soit $M(X)$ un polynome non nul de degré minimal $m$ tel que $M(A)v=0$.
Montrer que tout polynôme vérifiant $P(A)v=0$ est un multiple de $M(X)$.
On peut donc normaliser $M(X)$ en imposant que son coefficient dominant vaut 1.
\item Soit $\mu$ une racine de $M$ et $M_1=M/(X-\mu)$. Montrer que
\begin{equation} \label{eq:propre}
 (A-\mu I) M_1(A)(v)=0 
\end{equation}
Montrer que $M_1(A)v \neq 0$, en déduire un vecteur propre de $A$ associé à $\mu$.
Exprimer ce vecteur propre comme combinaison linéaire de $v_0,...,v_{m-1}$ en fonction
des coefficients de $M_1(X)$.
\item On suppose que la famille ${\cal F}=\{ v_0,...,v_{d-1} \}$ est libre. 
Montrer qu'il existe $\lambda_0,...,\lambda_{d-1}$ tels que
\[ v_d= \lambda_0 v_0 + ... + \lambda_{d-1} v_{d-1}\]
Montrer que $M=X^d- \lambda_{d-1} X^{d-1} - ... -\lambda_0 $.
\item Calculer les racines de $M(X)$ pour la matrice de l'exemple, puis des vecteurs propres
associés à chaque racine (en utilisant (\ref{eq:propre})).
\end{enumerate}

\subsection{Partie 2: bonus}
{\em Cette section ne fait pas partie du DM3}\\
On va ici faire le lien avec le polynôme caractéristique, 
et déterminer un cas générique où
la méthode de diagonalisation précédente fonctionne.
\begin{enumerate}
\item On suppose que la famille ${\cal F}=\{ v_0,...,v_{d-1} \}$ est libre. 
Quelle est la matrice de $\phi$ dans la base $\cal F$~? Calculer le 
polynôme caractéristique de cette
matrice et en déduire que $M(X)=C(X)$.
\item
On admettra qu'en général $M(X)$ est
un diviseur du polynôme caractéristique $C(X)$ (pour le montrer,
multiplier $XI-A$ par sa comatrice, on trouve $C(X)I$, donc le reste de la division de
$C(X)$ par $XI-A$ est $0=C(A)$). 
Lorsque $M(X)$ est de degré $d-1$, on définit $\mu $ par 
\[ \frac{C}{M}=X - \mu \]
et on note $m$ le coefficient de degré $d-2$ de $M$.
Montrer que 
\[ -\mbox{trace}(A) = \mu - m\]
Déterminer le polynôme caractéristique de $A$ 
lorsque la famille $\{ v_0,...,v_{d-1} \}$ est liée
mais la famille $\{ v_0,...,v_{d-2} \}$ est libre.
\item On suppose dans la suite que $\phi$ est diagonalisable sur $\C$ et que toutes ses
valeurs propres sont distinctes. Soit $\{ w_1,...,w_d \}$ une base de vecteurs propres
de $A$ correspondant aux valeurs propres $\mu_1,...,\mu_d$. 
Soient $\alpha_1,...,\alpha_d$ les coordonnées de $v_0$ dans cette base propre.
Calculer les coordonnées de $v_1$ puis de $v_2, ..., v_{d-1}$ dans la base propre.
En déduire que la famille $\{v_0,...,v_{d-1}$ est libre si et seulement si tous les
$\alpha_i$ sont non nuls (indication: le déterminant est de type Vandermonde).
\item
Expliquez pourquoi on a de bonnes chances de trouver le polynôme caractéristique de $A$
lorsqu'on choisit $v_0$ au hasard.
\end{enumerate}


\end{document}