\documentclass[12pt,a4,french]{article}
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\setlength{\topmargin}{-2.0cm} \setlength{\hoffset}{-1.0cm}

\def\ds{\displaystyle}
\def\R{I\!\!R}
\def\N{I\!\!N}

\pagestyle{empty}
\input{giacfr.tex}


\begin{document}
\begin{giacjshere} 

%%----------------------------------------------------------
\leftline{{\bf Universit\'e Grenoble Alpes}
\hfill Ann\'ee 2016-2017}
\leftline{Module MAT 307}
\bigskip
\hrule
\medskip
\centerline{\bf CC1 : examen partiel du 2 novembre 2016}
\smallskip
\centerline{{\it Une feuille A4 recto-verso \underbar{manuscrite} est autoris\'ee }}
\smallskip
\centerline{{\it Calculatrices autoris\'ees }}
\smallskip
\centerline{{\it Le bar\`eme est donn\'e \`a titre indicatif.  }}
\smallskip
\centerline{ Dur\'ee 2h}
\medskip
\hrule
%%----------------------------------------------------------


\bigskip
\bigskip
%%----------------------------------------------------------
\noindent
{\bf Exercice} -- [{\it ?? points} ]
\noindent

On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee en polaire $r(\theta)=-\ln(\cos(\theta))$ pour $\theta\in \mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item {\bf Donner le domaine de d\'efinition et r\'eduire l'intervalle d'\'etude par un argument de p\'eriodicit\'e.}\\
$r$ est p\'eriodique de p\'eriode $2\pi$, 
et on peut se ramener \`a une \'etude sur $[0,\pi]$ par parit\'e.
Sur cet intervalle, $r(\theta)$ est d\'efinie si $\cos(\theta)\geq 0$ 
donc pour $\theta \in [0,\pi/2]$.
\item {\bf Etudier les variations de $r(\theta)$ pour $\theta\in\,]0,\pi/2[$.}\\
$\cos$ est d\'ecroissante et $-\ln$ d\'ecroissante, donc $r$ est croissante
de $r(0)=0$ \`a $\lim_{\theta \rightarrow \pi/2} r=+\infty$.
On peut aussi calculer $r'=\sin(\theta)/\cos(\theta)$. \\
Remarque~: on observe que 
$r(0)=r'(0)=0$, donc l'origine est un point singulier, 
comme $r$ reste positif il s'agit d'un
point de rebroussement, avec tangente horizontale (car 
faisant un angle $\theta=0$
avec l'axe des $x$).
\item {\bf Trouver la valeur de $\theta \in\,]0,\pi/2[$ pour laquelle la distance du point $(r(\theta)\cos(\theta),r(\theta)\sin(\theta))$ \`a l'axe $(Oy)$ est maximale. Donner une valeur approch\'ee.}

\noindent {\it (Indication par rapport au trac\'e : quelle est la direction de la tangente en ce point ?)}
\\
$x=-\ln(\cos(\theta)) \cos(theta)$ est maximal lorsque $x'=0$.
Or $$x'=
\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\cos(\theta)+\ln(\cos(\theta)\sin(\theta)
=\sin(\theta)(1+\ln(\cos(\theta)))$$
Donc $x'$ s'annule sur $]0,\pi/2[$ en $\theta$ tel que
$1+\ln(\cos(\theta))=0$ soit $\cos(\theta)=e^{-1}$ ou $\theta=\mbox{acos}(1/e)$.
En ce point $r=1$ (et $x=1/e$).
\giacinputbigmath{X:=-ln(cos(x))*cos(x); dX:=factor(X'); }
\giacinputbigmath{[t]:=solve(dX=0,x)|(x>0 and x<pi/2); Xm:=X(x=t);}
Les valeurs approch\'ees~:
\giacinputbigmath{evalf(t,4); evalf(Xm,4);}

\item {\bf Etudier la branche infinie.}
\\
En $\theta=\pi/2$, le logarithme 
tend vers l'infini, il y a une branche infinie. 
On recherche l'asymptote dans le rep\`ere tourn\'e de $\theta=\pi/2$ 
en multipliant $r(\theta)$
par $\sin(\theta-\pi/2)$ avec $\theta$ tendant vers $\pi/2^-$
On pose $\theta=\pi/2-h$ avec $h$ tendant vers $0^+$.
$$-\ln(\cos(\frac{\pi}{2}-h))*\sin(-h)=\sin(h)\ln(\sin(h))$$ 
Comme $\sin(h)$ est \'equivalent \`a $h$ en 0
et comme $\ln(h)$ tend vers l'infini beaucoup plus lentement
que $h$ ne tend vers 0 ($\lim h\ln(h)=0$ en 0) la limite est nulle.
On peut v\'erifier \`a la machine~:
\giacinputbigmath{limit(-ln(cos(x))*sin(x-pi/2),x=pi/2)}
On a donc une asymptote d'\'equation $Y=0$ dans le rep\`ere tourn\'e de 
$\pi/2$, c'est l'axe $Oy$ dans le rep\`ere non tourn\'e.
\item {\bf Tracer la courbe pour $\theta\in\,[0,\pi/2[$ (faire apparaitre sur la courbe le point de param\`etre $\theta=0$ et le sens de parcours). }
\\\giacinput{plotpolar(-ln(cos(x)),x=0..pi/2)} 
\item {\bf En utilisant un argument de sym\'etrie et le trac\'e de la question pr\'ec\'edente, tracer la courbe $r(\theta)=-\ln(\cos(\theta))$ pour $\theta\in\,]-\pi/2,\pi/2[$.}
\\ On a une sym\'etrie par rapport \`a $Ox$ puisque $r(-\theta)=r(\theta)$.
\giacinput{plotpolar(-ln(cos(x)),x=-pi/2..pi/2)} 
\end{enumerate}

\bigskip
%%----------------------------------------------------------
\noindent
{\bf Probl\`eme} -- [{\it ?? points} ]

\noindent On consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $(x(t),y(t))=(|t^2-1|^{3/2},t^3)$, $t\in\mathbb{R}$.

\noindent{\it (Rappel : $(1+h)^\alpha = 1+\alpha h +\mathcal{O}(h^2)$ avec $\alpha\in \mathbb{R}$ fix\'e} et $h\to 0$.)
\begin{enumerate}
\item {\bf Donner le domaine de d\'efinition, et r\'eduire l'intervalle d'\'etude par un argument de sym\'etrie.}
\\
$x$ et $y$ sont d\'efinis 
sur $\mathbb{R}$. $x$ est paire, $y$ est impaire, donc sym\'etrie par rapport
\`a $Ox$. On se ram\`ene \`a $[0,+\infty[$.
\item {\bf Etude pour $t\in [0,1]$ :}

\begin{enumerate}
 \item {\bf En \'ecrivant $x(t)$ sans les valeurs absolues, calculer $x'(t)$.}
\\ On a $x(t)=(1-t^2)^{3/2}$, donc 
$$x'(t)=\frac32 (-2t) (1-t^2)^{1/2}=-3t\sqrt{1-t^2}, \quad y'=3t^2$$
 \item {\bf Calculer $\displaystyle \lim_{t\to 1-} x'(t)$ et en d\'eduire la direction de la tangente en $t=1$.}
\\ $x' \rightarrow 0$, $y'=3$ donc tangente verticale.
 \item {\bf Donner le double tableau de variations sur $[0,1]$.}
\\ $x$ d\'ecroit de $x(0)=1$ \`a $x(1)=0$,
$y$ croit de 0 \`a 1
%\giacinput{tabvar([(1-t^2)^(3/2),t^3],t,0,1)}
\item {\bf Y a t-il des points singuliers ?  BONUS : Si oui, \'etudier les (nature et tangente).}
\\ $x'$ et $y'$ s'annulent simultan\'ement en $t=0$ seul point d'annulation
de $y'$, donc il y a un point singulier $(1,0)$ de param\`etre $t=0$.
En utilisant le DL rappel\'e dans l'\'enonc\'e on a $x=1-\frac32t^2+O(t^4)$
et $y=t^3$ donc la tangente est horizontale et c'est un rebroussement
(de 1\`ere esp\`ece). On peut aussi calculer 
$$ x''=-3\sqrt{1-t^2}+\frac{3t^2}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{6t^2-3}{\sqrt{1-t^2}}, \quad y''=6t$$
$x''(0)=-3$ et $y''(0)=0$.
On peut v\'erifier par un argument de sym\'etrie en 0, la tangente est 
sym\'etrique par rapport \`a $Ox$.
\item {\bf Tracer la courbe (faire apparaitre sur la courbe les points de param\`etres t=0, 1 et le sens de parcours).}
\\
\giacinput{purge(t);G:=plotparam([(1-t^2)^(3/2),t^3],t,0,1);}
\item {\bf Calculer la longueur d'arc entre les points de param\`etres $t=0$ et $t=1$.}
\\
$$ \sqrt{x'^2+y'^2}=
\sqrt{(-3t\sqrt{1-t^2})^2+(3t^2)^2} 
=\sqrt{9t^2(1-t^2+t^2)} =3t$$
Donc la longueur demand\'ee vaut
$$ \int_0^1 \sqrt{x'^2+y'^2} dt = \int_0^1 3t \ dt=\frac32$$
V\'erification sur la courbe cela parait plausible
%, \`a la machine~: \giacinputbigmat{restart;arclen([(1-t^2)^(3/2),t^3],t=0..1)}
\item {\bf En $t=1/2$, donner le rep\`ere de Fr\'enet, la courbure et le centre du cercle osculateur. Rajouter le trac\'e du cercle osculateur dans le trac\'e pr\'ec\'edent.}
\\
Le vecteur tangent est 
$$ \overrightarrow{T}=\frac{(x',y')}{\sqrt{x'^2+y'^2}}= (-\sqrt{1-t^2},t)$$
on retrouve bien un vecteur horizontal en $t=0$ (dirig\'e vers la gauche).
En $t=1/2$, $\overrightarrow{T}=(-\sqrt{3}/2,1/2)$, 
qui dirige la tangente au point de
coordonn\'ees~:
$$((1-t^2)^{3/2},t^3)=(\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac18)$$
Le vecteur normal est $\overrightarrow{N}=(-t,-\sqrt{1-t^2})$, 
qui donne en $t=1/2$ 
$\overrightarrow{N}=(-1/2,-\sqrt{3}/2)$.
On a
$$ \kappa \overrightarrow{N}=\frac{dT}{ds}=\frac{dt}{ds} \frac{dT}{dt}$$
soit
$$\kappa (-t,-\sqrt{1-t^2})=\frac{1}{3t}(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}},1)$$
donc
$$ \kappa=-\frac{1}{3t\sqrt{1-t^2}} = -\frac{4\sqrt{3}}{9}$$
Autre m\'ethode, la courbure est aussi donn\'ee par
$$ \kappa=\frac{x'y''-x''y'}{(3t)^3}=-\frac{1}{3t\sqrt{1-t^2}}$$
V\'erification~:
\giacinputbigmath{assume(t>0);k:=normal(curvature(G,t));normal(k(t=1/2));}
Le centre du cercle osculateur est donn\'e par
$$((1-t^2)^{3/2},t^3)+\frac{1}{\kappa}N $$
en $t=1/2$ soit
$$ (\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac18)-
\frac{9}{4\sqrt{3}}(-\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2})
=(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac54)$$
\giacinputbig{gl_x=-2..3;gl_ortho=true;
XY:=[(1-t^2)^(3/2),t^3];G:=plotparam(XY,t,0,1); 
M:=point(XY(t=1/2));
C:=osculating_circle(G,1/2,color=blue); I:=center(C);}
V\'erification des coordonn\'ees du centre du cercle~:
\giacinputbigmath{normal(coordinates(I));}
\end{enumerate}
\vfill

\medskip\hrule\medskip\vspace{1mm}

\item {\bf Etude pour $t\in [1,+\infty[$ :}

\begin{enumerate}

 \item {\bf En \'ecrivant $x(t)$ sans les valeurs absolues, calculer $x'(t)$.}
 \\ $x(t)=(t^2-1)^{3/2}$ donc $x'(t)=3t\sqrt{t^2-1}$
  \item {\bf Montrer que $\displaystyle \lim_{t\to 1+} x'(t)= \displaystyle \lim_{t\to 1-} x'(t)$.}
  \\ 0=0
 \item {\bf Donner le double tableau de variations sur $[1,+\infty[$.}
\\$x$ croit de 0 \`a $+\infty$ et $y$ de 1 \`a $+\infty$
\item {\bf Y a t-il des points singuliers ?  BONUS : Si oui, \'etudier les (nature et tangente).}
\\ Non, puisque $y'=3t^2$ ne s'annule pas si $t\geq 1$. Zut, pas de bonus :-(
\item {\bf Etudier les branches infinies.}
 \noindent{\it  (Indication: observer que pour $t \to+\infty$, $x(t)=t^3(1-\frac1{t^2})^{3/2}$ avec $h=-1/t^2 \to 0$.)}
\\ Lorsque $t \rightarrow +\infty$, $x$ et $y$ tendent vers l'infini, on
calcule $y/x$ avec l'indication
$$ \frac{y}{x}=(1-\frac1{t^2})^{-3/2} \rightarrow 1$$
puis
$$ y-x=t^3(1-(1+h)^{3/2})=t^3(-\frac32 h+O(h^2))
=\frac32 t +O(\frac1{t}) \rightarrow +\infty$$
Branche parabolique de direction asymptotique $y=x$.
\end{enumerate}

\item {\bf Tracer la courbe pour tout $t$ dans le domaine de d\'efinition (faire apparaitre sur la courbe les points de param\`etres t=0, 1 et le sens de parcours).}
\\
\giacinput{plotparam([abs(t^2-1)^(3/2),t^3],t,-2,2)}
\item {\bf Calculer la courbure pour $t>1$. }

 \noindent{\it  (Consigne: on pourra donner le r\'esultat du calcul fait \`a la calculatrice \`a condition de donner la commande utilis\'ee)} 
\\
\giacinputbigmath{assume(t>1);X:=(t^2-1)^(3/2); Y:=t^3; }
\giacinputbigmath{X1:=simplify(diff(X,t)); Y1:=simplify(diff(Y,t))}
\giacinputbigmath{X2:=simplify(diff(X1,t)); Y2:=simplify(diff(Y1,t))}
\giacinputbigmath{k:=simplify((X1*Y2-X2*Y1)/sqrt(X1^2+Y1^2)^3);}
V\'erification
\giacinputbigmath{simplify(curvature(plotparam([(t^2-1)^(3/2),t^3]),t))}
Autre forme du r\'esultat~:
\giacinputbigmat{1/factor(simplify(1/k))}
ou encore en factorisant partiellement sous la racine~:
$$ -\frac{1}{3t(2t^2-1)\sqrt{(t^2-1)(2t^2-1)}}$$
\end{enumerate}

%%----------------------------------------------------------
\end{giacjshere}

\end{document}



