Université Grenoble Alpes Année 2016-2017 Module MAT 307


CC1 : examen partiel du 2 novembre 2016


Une feuille A4 recto-verso manuscrite est autorisée


Calculatrices autorisées


Le barème est donné à titre indicatif.


Durée 2h






Exercice – [?? points ]

On considère la courbe paramétrée en polaire r(θ)=−ln(cos(θ)) pour θ∈ ℝ.

  1. Donner le domaine de définition et réduire l’intervalle d’étude par un argument de périodicité.
    r est périodique de période 2π, et on peut se ramener à une étude sur [0,π] par parité. Sur cet intervalle, r(θ) est définie si cos(θ)≥ 0 donc pour θ ∈ [0,π/2].
  2. Etudier les variations de r(θ) pour θ∈ ]0,π/2[.
    cos est décroissante et −ln décroissante, donc r est croissante de r(0)=0 à limθ → π/2 r=+∞. On peut aussi calculer r′=sin(θ)/cos(θ).
    Remarque : on observe que r(0)=r′(0)=0, donc l’origine est un point singulier, comme r reste positif il s’agit d’un point de rebroussement, avec tangente horizontale (car faisant un angle θ=0 avec l’axe des x).
  3. Trouver la valeur de θ ∈ ]0,π/2[ pour laquelle la distance du point (r(θ)cos(θ),r(θ)sin(θ)) à l’axe (Oy) est maximale. Donner une valeur approchée.

    (Indication par rapport au tracé : quelle est la direction de la tangente en ce point ?)
    x=−ln(cos(θ)) cos(theta) est maximal lorsque x′=0. Or

    x′=
    sin(θ)
    cos(θ)
    		cos(θ)+ln(cos(θ)sin(θ) =sin(θ)(1+ln(cos(θ)))

    Donc x′ s’annule sur ]0,π/2[ en θ tel que 1+ln(cos(θ))=0 soit cos(θ)=e−1 ou θ=acos(1/e). En ce point r=1 (et x=1/e).

    Les valeurs approchées :

  4. Etudier la branche infinie.
    En θ=π/2, le logarithme tend vers l’infini, il y a une branche infinie. On recherche l’asymptote dans le repère tourné de θ=π/2 en multipliant r(θ) par sin(θ−π/2) avec θ tendant vers π/2− On pose θ=π/2−h avec h tendant vers 0+.
    −ln(cos(
    π
    2
    		−h))*sin(−h)=sin(h)ln(sin(h))
    Comme sin(h) est équivalent à h en 0 et comme ln(h) tend vers l’infini beaucoup plus lentement que h ne tend vers 0 (limhln(h)=0 en 0) la limite est nulle. On peut vérifier à la machine :
    On a donc une asymptote d’équation Y=0 dans le repère tourné de π/2, c’est l’axe Oy dans le repère non tourné.
  5. Tracer la courbe pour θ∈ [0,π/2[ (faire apparaitre sur la courbe le point de paramètre θ=0 et le sens de parcours).

  6. En utilisant un argument de symétrie et le tracé de la question précédente, tracer la courbe r(θ)=−ln(cos(θ)) pour θ∈ ]−π/2,π/2[.
    On a une symétrie par rapport à Ox puisque r(−θ)=r(θ).



Problème – [?? points ]

On considère la courbe paramétrée (x(t),y(t))=(|t2−1|3/2,t3), t∈ℝ.

(Rappel : (1+h)α= 1+α h +O(h2) avec α∈ ℝ fixé et h→ 0.)

  1. Donner le domaine de définition, et réduire l’intervalle d’étude par un argument de symétrie.
    x et y sont définis sur ℝ. x est paire, y est impaire, donc symétrie par rapport à Ox. On se ramène à [0,+∞[.
  2. Etude pour t∈ [0,1] :
    1. En écrivant x(t) sans les valeurs absolues, calculer x′(t).
      On a x(t)=(1−t2)3/2, donc
      x′(t)=
      3
      2
      		 (−2t) (1−t2)1/2=−3t√
      1−t2
      		,    y′=3t2
    2. Calculer limt→ 1− x′(t) et en déduire la direction de la tangente en t=1.
      x′ → 0, y′=3 donc tangente verticale.
    3. Donner le double tableau de variations sur [0,1].
      x décroit de x(0)=1 à x(1)=0, y croit de 0 à 1
    4. Y a t-il des points singuliers ? BONUS : Si oui, étudier les (nature et tangente).
      x′ et y′ s’annulent simultanément en t=0 seul point d’annulation de y′, donc il y a un point singulier (1,0) de paramètre t=0. En utilisant le DL rappelé dans l’énoncé on a x=1−3/2t2+O(t4) et y=t3 donc la tangente est horizontale et c’est un rebroussement (de 1ère espèce). On peut aussi calculer
      x″=−3√
      1−t2
      		+
      3t2
      √
      1−t2
      		=
      6t2−3
      √
      1−t2
      		,    y″=6t
      x″(0)=−3 et y″(0)=0. On peut vérifier par un argument de symétrie en 0, la tangente est symétrique par rapport à Ox.
    5. Tracer la courbe (faire apparaitre sur la courbe les points de paramètres t=0, 1 et le sens de parcours).

    6. Calculer la longueur d’arc entre les points de paramètres t=0 et t=1.
      √
      x′2+y′2
      		=
      √
      (−3t√
      1−t2
      		)2+(3t2)2
      		  =√
      9t2(1−t2+t2)
      		 =3t
      Donc la longueur demandée vaut
      ∫
      1


      0
      		 √
      x′2+y′2
      		 dt = ∫
      1


      0
      		 3t  dt=
      3
      2
      Vérification sur la courbe cela parait plausible
    7. En t=1/2, donner le repère de Frénet, la courbure et le centre du cercle osculateur. Rajouter le tracé du cercle osculateur dans le tracé précédent.
      Le vecteur tangent est
      		▸
      T
       
      		=
      (x′,y′)
      √
      x′2+y′2
      		= (−√
      1−t2
      		,t)
      on retrouve bien un vecteur horizontal en t=0 (dirigé vers la gauche). En t=1/2, T=(−√3/2,1/2), qui dirige la tangente au point de coordonnées :
      ((1−t2)3/2,t3)=(
      3√
      3
      8
      		,
      1
      8
      		)
      Le vecteur normal est N=(−t,−√1−t2), qui donne en t=1/2 N=(−1/2,−√3/2). On a
      κ 
      		▸
      N
       
      		=
      dT
      ds
      		=
      dt
      ds
      		 
      dT
      dt
      soit
      κ (−t,−√
      1−t2
      		)=
      1
      3t
      		(
      t
      √
      1−t2
      		,1)
      donc
      κ=−
      1
      3t√
      1−t2
      		 = −
      4√
      3
      9
      Autre méthode, la courbure est aussi donnée par
      κ=
      x′y″−x″y′
      (3t)3
      		=−
      1
      3t√
      1−t2
      Vérification :
      Le centre du cercle osculateur est donné par
      ((1−t2)3/2,t3)+
      1
      κ
      		N 
      en t=1/2 soit
      (
      3√
      3
      8
      		,
      1
      8
      		)−
      9
      4√
      3
      		(−
      1
      2
      		,−
      √
      3
      2
      		) =(
      3√
      3
      4
      		,
      5
      4
      		)

      Vérification des coordonnées du centre du cercle :



  3. Etude pour t∈ [1,+∞[ :
    1. En écrivant x(t) sans les valeurs absolues, calculer x′(t).
      x(t)=(t2−1)3/2 donc x′(t)=3t√t2−1
    2. Montrer que limt→ 1+ x′(t)= limt→ 1− x′(t).
      0=0
    3. Donner le double tableau de variations sur [1,+∞[.
      x croit de 0 à +∞ et y de 1 à +∞
    4. Y a t-il des points singuliers ? BONUS : Si oui, étudier les (nature et tangente).
      Non, puisque y′=3t2 ne s’annule pas si t≥ 1. Zut, pas de bonus :-(
    5. Etudier les branches infinies. (Indication: observer que pour t →+∞, x(t)=t3(1−1/t2)3/2 avec h=−1/t2 → 0.)
      Lorsque t → +∞, x et y tendent vers l’infini, on calcule y/x avec l’indication
      y
      x
      		=(1−
      1
      t2
      		)−3/2 → 1
      puis
      y−x=t3(1−(1+h)3/2)=t3(−
      3
      2
      		 h+O(h2)) =
      3
      2
      		 t +O(
      1
      t
      		) → +∞
      Branche parabolique de direction asymptotique y=x.
  4. Tracer la courbe pour tout t dans le domaine de définition (faire apparaitre sur la courbe les points de paramètres t=0, 1 et le sens de parcours).

  5. Calculer la courbure pour t>1.

    (Consigne: on pourra donner le résultat du calcul fait à la calculatrice à condition de donner la commande utilisée)

    Vérification
    Autre forme du résultat : 1/factor(simplify(1/k)) ou encore en factorisant partiellement sous la racine :

    −
    1
    3t(2t2−1)√
    (t2−1)(2t2−1)

  

Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA