Université Grenoble Alpes Année 2016-2017 Module MAT 307


CC1 : examen partiel du 2 novembre 2016


Une feuille A4 recto-verso manuscrite est autorisée


Calculatrices autorisées


Le barème est donné à titre indicatif.


Durée 2h






Exercice – [?? points ]

On considère la courbe paramétrée en polaire r(θ)=−ln(cos(θ)) pour θ∈ ℝ.

  1. Donner le domaine de définition et réduire l’intervalle d’étude par un argument de périodicité.
    r est périodique de période 2π, et on peut se ramener à une étude sur [0,π] par parité. Sur cet intervalle, r(θ) est définie si cos(θ)≥ 0 donc pour θ ∈ [0,π/2].
  2. Etudier les variations de r(θ) pour θ∈ ]0,π/2[.
    cos est décroissante et −ln décroissante, donc r est croissante de r(0)=0 à limθ → π/2 r=+∞. On peut aussi calculer r′=sin(θ)/cos(θ).
    Remarque : on observe que r(0)=r′(0)=0, donc l’origine est un point singulier, comme r reste positif il s’agit d’un point de rebroussement, avec tangente horizontale (car faisant un angle θ=0 avec l’axe des x).
  3. Trouver la valeur de θ ∈ ]0,π/2[ pour laquelle la distance du point (r(θ)cos(θ),r(θ)sin(θ)) à l’axe (Oy) est maximale. Donner une valeur approchée.

    (Indication par rapport au tracé : quelle est la direction de la tangente en ce point ?)
    x=−ln(cos(θ)) cos(theta) est maximal lorsque x′=0. Or

    x′=
    sin(θ)
    cos(θ)
    cos(θ)+ln(cos(θ)sin(θ) =sin(θ)(1+ln(cos(θ)))

    Donc x′ s’annule sur ]0,π/2[ en θ tel que 1+ln(cos(θ))=0 soit cos(θ)=e−1 ou θ=acos(1/e). En ce point r=1 (et x=1/e).

    Les valeurs approchées :

  4. Etudier la branche infinie.
    En θ=π/2, le logarithme tend vers l’infini, il y a une branche infinie. On recherche l’asymptote dans le repère tourné de θ=π/2 en multipliant r(θ) par sin(θ−π/2) avec θ tendant vers π/2 On pose θ=π/2−h avec h tendant vers 0+.
    −ln(cos(
    π
    2
    h))*sin(−h)=sin(h)ln(sin(h))
    Comme sin(h) est équivalent à h en 0 et comme ln(h) tend vers l’infini beaucoup plus lentement que h ne tend vers 0 (limhln(h)=0 en 0) la limite est nulle. On peut vérifier à la machine :
    On a donc une asymptote d’équation Y=0 dans le repère tourné de π/2, c’est l’axe Oy dans le repère non tourné.
  5. Tracer la courbe pour θ∈ [0,π/2[ (faire apparaitre sur la courbe le point de paramètre θ=0 et le sens de parcours).

  6. En utilisant un argument de symétrie et le tracé de la question précédente, tracer la courbe r(θ)=−ln(cos(θ)) pour θ∈ ]−π/2,π/2[.
    On a une symétrie par rapport à Ox puisque r(−θ)=r(θ).



Problème – [?? points ]

On considère la courbe paramétrée (x(t),y(t))=(|t2−1|3/2,t3), t∈ℝ.

(Rappel : (1+h)α= 1+α h +O(h2) avec α∈ ℝ fixé et h→ 0.)

  1. Donner le domaine de définition, et réduire l’intervalle d’étude par un argument de symétrie.
    x et y sont définis sur ℝ. x est paire, y est impaire, donc symétrie par rapport à Ox. On se ramène à [0,+∞[.
  2. Etude pour t∈ [0,1] :
    1. En écrivant x(t) sans les valeurs absolues, calculer x′(t).
      On a x(t)=(1−t2)3/2, donc
      x′(t)=
      3
      2
       (−2t) (1−t2)1/2=−3t
      1−t2
      ,    y′=3t2
    2. Calculer limt→ 1− x′(t) et en déduire la direction de la tangente en t=1.
      x′ → 0, y′=3 donc tangente verticale.
    3. Donner le double tableau de variations sur [0,1].
      x décroit de x(0)=1 à x(1)=0, y croit de 0 à 1
    4. Y a t-il des points singuliers ? BONUS : Si oui, étudier les (nature et tangente).
      x′ et y′ s’annulent simultanément en t=0 seul point d’annulation de y′, donc il y a un point singulier (1,0) de paramètre t=0. En utilisant le DL rappelé dans l’énoncé on a x=1−3/2t2+O(t4) et y=t3 donc la tangente est horizontale et c’est un rebroussement (de 1ère espèce). On peut aussi calculer
      x″=−3
      1−t2
      +
      3t2
      1−t2
      =
      6t2−3
      1−t2
      ,    y″=6t
      x″(0)=−3 et y″(0)=0. On peut vérifier par un argument de symétrie en 0, la tangente est symétrique par rapport à Ox.
    5. Tracer la courbe (faire apparaitre sur la courbe les points de paramètres t=0, 1 et le sens de parcours).

    6. Calculer la longueur d’arc entre les points de paramètres t=0 et t=1.
      x2+y2
      =
      (−3t
      1−t2
      )2+(3t2)2
        =
      9t2(1−t2+t2)
       =3t
      Donc la longueur demandée vaut
      1


      0
       
      x2+y2
       dt = 
      1


      0
       3t  dt=
      3
      2
      Vérification sur la courbe cela parait plausible
    7. En t=1/2, donner le repère de Frénet, la courbure et le centre du cercle osculateur. Rajouter le tracé du cercle osculateur dans le tracé précédent.
      Le vecteur tangent est

      T
       
      =
      (x′,y′)
      x2+y2
      = (−
      1−t2
      ,t)
      on retrouve bien un vecteur horizontal en t=0 (dirigé vers la gauche). En t=1/2, T=(−√3/2,1/2), qui dirige la tangente au point de coordonnées :
      ((1−t2)3/2,t3)=(
      3
      3
      8
      ,
      1
      8
      )
      Le vecteur normal est N=(−t,−√1−t2), qui donne en t=1/2 N=(−1/2,−√3/2). On a
      κ 

      FSlass="dcell">
      =FSlass="dsell">
      FSlass="dan style="font-stylelay dcentemlt,/td>=FSlass="dsell">
      t=1/2 FSlass="dcell">
      =FSlass="dan style="font-style:italicss="dcell">,2), qui donne en 1
      )3/2,t3)=(
      3
      9
      9=
      (x′,y′)
      cell">
      3,2), qui donne en )3/2,
      ((1−t2enter;white-space:nowrap" >9x′,y′)
      3)3/2,
      ((1−t2x′,y′)
      3, t2), qui donne en ell">
      9
      2
      )3/2,
      ((1−t2enter;white-space:nowrap" >9x′,y′)
      theta) est maximal lorsque x)tr>
      3dth ne tend vers 0 (lim0);k:=ll"> Les valeurs approchées :
      t,−√2), qui donne en
      ((1−t2)3/2,t3)=(′)
      3
      3
      8
      ((1−t2x′,y′)
      <:italicnter">▸)3/2,
      3
      )3/2,
      ((1−t2x′,y′)
      3
      ((1−t2)3/2,t3)=(′)
      <5/span>
      3
      3
      Ox. ">h ne tend vers 0 (limTracer la courbfont-weight:boXYe (faire Mnt--styoXY(text-) s C:=a courbass_cisur (Geur ,oncli=bign:ceI:=e:sepa(Cre apparaitre sur la courbe les points de paramètres t=0, 1 et le sens de parcours).
      ,
      Le vecteur normal est N=(−N=(−a courbe eight:bolue); tmp=UI.latexeval(tmp);nextSibling.innerHTML=tmp; if (UIMoificr 3B8;)ight:b>
      ,    y′=3t2
      = >
      ,    y′=3t2
    8. .eight:bold">C0=0tangente en t=1.
      +tmp;UI.render_canvas(nextSibli.eight:bold">Catyle="font-weight:bold">Etude pour [0,1]
    9. .
      x décroit de x(0)=1 à
    10. pa déc-style:italic">t),t),dt est paire, style:itae:italic" paire, Etude pour tx=1−3/2T=(−√T=(ȡic">h)t-style:italic">T=(ȡyle="fon=yle="fon1/t-style:italic">T=(−√T=(ȡ.)n style="fontLorX3B8;)=−ln(cos(θ))style:itaae:italic",
      1. T=(ȡ

          h<"li-enumeled>dtt=1/2, donner le repère de Frénet, la courbury dcenter">
      9
      T=(ȡ

        ,t4) et y=t<="cellpaddintyle="font-size:x-large">√pan style="font-style:italic">x=1−3/2t2t-decoratnpan style="font-style:italic">x=1−3/23/2,
        x′(t2a un point singulier (1,0) de paramètre t(Rappel :
        x′(t
        ,xx″(0)=−3 et ok
      1. ∈ [0,1] avec :lic">y″(0)=0. On peut vérifier par un argument de symétrie en 0, la tangente est symétrique par rapport à Ox.

      2. ((1−t2enter;white-space:nowrap" >9y′, donc il y a courbe e=)3/2,t3)=(′)
        3t=0. En idère la courbe e(tyle="font-style:italic">y′, donc il y a courbe e=)< tarea>te est sypx;maxtit="dcEfface. s=fispd.ass=".alfHm,4);; s=s onkeypr0,sUI.ckenter(s=. s=fispd.ass=".alfHm,4);; s=s onkeypr0,sUI.ckenter(s=100){s=s+'px';fispd.ass=".alfHm,4); =s;}">-g:font-si si beaucoutit="dcLyleeec (1etx prece20tec"x-height:2menqught(yle=purg->t);G:=plotparam([(1-t^ idth:4idth:400px;max-height:200pxserflow:auto;' leidtt;');dMode">.prstyo=purxtit="dcRean>&#/sps peu mo"li-eneon(prev formc&#XRleidttg:font-si sypx;max-height:2menv>(1es (att"fo:bolcss="dl">,erCodeong!)'>E>';font-' itali=0 li cla=0 x-hm:bledowntementfont-_pushed=tr"vamentfont-_tr tx=pan s.eign sX; mentfont-_tr ty=pan s.eign sYurxx-hm:bleuptementfont-_pushed=falsn:ce-hm:blemtartementfont-_m:blemtarspan st'')anletfont-ng.inf id>< tarea> 00pxMode"> = { htmlcheck:tr"v, htmlbufftr>'', preRun: [], postRun: [], prsty: (funht:bo() { d">. eae="fo = docnt-st.getEae="foById('output'); deae="fo)" style="w'u//deae="fo)alignl= w'u //dcle>. browsit cache dre/spc"funht:bo(="wi) { d ///tnsoic.log(="wirs). =1 && ="wirs). .htmlcheck=falsn: htmlbufftr"w'ure/spc;} d >=1 && ="wirs). .htmlcheck=tr"vadeae="fo)ass=".((1='inherit';deae="fo)" style= += htmlbufftr;htmlbufftr"w'ueae="fo)acifolTopl= 99999udre/spc;} d >.htmlcheck){ d // Ths,2d> ="wil= ="wir> ="wil= ="wir>/g, ">v"); d > ="wil= ="wir>', 'g'); d > ="wil+= 'ld">' d > eae="fo)ass=".((1='inherit'; d > eae="fo)" style= += ="wiu //deae="fo)alignl+= ="wi + "\n"; d > eae="fo)acifolTopl= 99999ud//dfocnsalicbont-m d >} ea,2dhtmlbufftr += ="wiu d}u })(), tfont-: docnt-st.getEae="foById(';font-'),}" st-criptng3/2scriptst-criptn g3/2script d">. UI = { le=tcouty:0, ea onkeypr:falsn, tfont-_pushed:falsn, tfont-_tr tx:0, tfont-_tr ty:0, tfont-_m:blemtar:funht:bo(pan stno){ .prstyopan s.eign sX); tartfont-_tr tx) dgiac3d('r'+no)u ea,2 dgiac3d('l'+no)u mentfont-_tr tx=pan s.eign sX; } tartfont-_tr ty) dgiac3d('d'+no)u ea,2 dgiac3d('u'+no)u mentfont-_tr ty=pan s.eign sYu } } }, qught:funht:bo(fispd){ 00px;ov1=fispd.color:blue;text-align; 00px;overflow:auto;;ov1)u parcours).