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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Universit\'e Grenoble-Alpes}
\rhead{L2, mat307, 2022-2023}
\begin{center}
\textbf{partiel de novembre 2022}

\end{center}
\medskip

calculatrice et
feuille recto-verso $A_4$ manuscrite autorisées.


\medskip

{\it Barème indicatif: exercice 1 sur 12 points, exercice 2 sur 10 points}


\medskip


\begin{exo}
On considère la courbe $C$ paramétrée par $t \mapsto
 \left(\begin{array}{c} -2t+\frac{1}{1-2t} \\ \ \ \ \  t^2-\frac{1}{1-2t} \end{array}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition et le domaine d'étude de $C$.
\item La courbe admet-elle des asymptotes. Si oui lesquelles?
\item Faire le tableau de variation.
\item Vérifier que la courbe admet un point singulier. Donner un vecteur tangent en ce point singulier et la position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage de ce point.
\item A l'aide de la calculatrice trouver le(s) point(s) où la courbe change de convexité. Détailler les commandes utilisées. Donner une équation de la tangente à la courbe en ce(s) point(s).
\item Tracer la courbe et indiquer le sens de parcours.
\item Quel est le centre du cercle osculateur au point de paramètre $0$? Tracer le cercle sur le dessin de la courbe.
\item Donner l'expression de la longueur de l'arc de courbe situé entre les points de paramètre $-1.5$ et $0$, puis en donner une valeur approchée à l'aide de la calculatrice.


\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}
Soit $C$ la courbe du plan donnée par l'équation polaire
$r(\theta)=\tan (\theta)$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de la fonction $r$ et réduire le domaine d'étude par des arguments de périodicité et de symétrie.
 \item Faire le tableau de variation de la fonction $r $ sur le domaine d'étude.
 \item Quelle est la tangente à la courbe $C$ au point $O=(0,0)$?
 \item Vérifiez que la courbe $C$ contient le point $A=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$. Donner un vecteur directeur de la tangente à $C$ au point $A$.
 \item Montrer que la courbe $C$ admet des asymptotes et donner une équation pour chacune d'entre elle.

 \item Tracer la courbe $C$.
 \item On considère la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et le domaine $D$ de $\mbR^2$ délimité par l'arc de la courbe $C $ entre les points $O$ et $A$ et le segment $[O;A]$ porté par la droite $\Delta$. Calculer l'aire de $D$. Détailler les calculs à effectuer en expliquant la démarche.  Utiliser la calculatrice pour obtenir une valeur exacte et une valeur approchée de l'intégrale qui intervient dans ce calcul.

\end{enumerate}

\end{exo}

\end{document}

