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  \centerline{\bf Question de cours
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Universit\'e Grenoble-Alpes}
\rhead{L2, mat307, 2023-2024}
\begin{center}
\textbf{Partiel d'octobre 2023}

\end{center}
\medskip

Calculatrice et feuille recto-verso $A_4$ manuscrite autorisées.\\
Ce sujet comporte deux exercices sur les pages 1 et 2 du sujet.
Vous pouvez utiliser les pages 3 et 4
pour les représentations graphiques,
n'oubliez pas de les détacher et de les rendre avec votre copie.

\medskip

{\it Barème indicatif: 10/10}


\medskip


\begin{exo}
On considère la courbe $C$ paramétrée $t \mapsto (x(t),y(t))$ où
 $$\left\{\begin{array}{c} x(t)=\tan(t)+\sin(t) \\ \ \ \ \  y(t)=\frac{1}{\cos(t)} \end{array}\right.$$.

\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $C$  et montrer que l'on peut restreindre l'étude de $C$ à l'intervalle $[0, \pi]$.
\item La courbe admet-elle des asymptotes. Si oui lesquelles?
\item Exprimer $x'(t)$ en fonction de $\cos(t)$.
\item Faire un double tableau de variation.
\item Vérifier que la courbe admet un unique point singulier. Donner
  un vecteur directeur pour la tangente en ce point singulier et
  décrire la position de la courbe par rapport à la tangente au
  voisinage de ce point.
\item A l'aide de la calculatrice trouver le(s) point(s) où la courbe
  change de convexité. Détailler les commandes utilisées. Donner une
  valeur approchée d'un vecteur tangent à la courbe en ce(s) point(s).
\item Tracer la courbe et indiquer le sens de parcours.
\item Quel est le centre du cercle osculateur au point de paramètre
  $0$? Tracer le cercle sur le dessin de la courbe.



\end{enumerate}

\end{exo}

\newpage

\begin{exo}
Soit $C$ la courbe du plan donnée par l'équation polaire
$r(\theta)=\cos (\frac{\theta}{2})$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la courbe $C$ est entièrement contenue dans le
  disque unité.
\item Vérifier que la fonction $r$ est périodique de période $4\pi$. Calculer $r(\theta + 2\pi)$ et $r(-\theta)$ . En déduire que l'on peut restreindre l'étude de la courbe $C$ à l'intervalle $[0,\pi]$ et expliquer comment on complète le morceau de courbe obtenu lorsque $\theta$ varie entre $0$ et $\pi$ pour obtenir la courbe $C$ toute entière.  
 \item Faire le tableau de variation de la fonction $r $ sur $[0,\pi]$.
 \item Calculer un vecteur tangent à la courbe $C$ en chacun des
   points de param\`etre $\theta=0$, $\theta=\pi$ et
   $\theta=\frac{\pi}{2}$.
 \item Tracer la courbe $C$.
 \item Calculer le rayon de courbure de $C$ au point de paramètre
   $\theta=0$, ainsi que les coordonn\'ees du centre du cercle
   osculateur en ce point.
 \item Ecrire sous la forme d'une intégrale définie la longueur de la
   courbe $C$. Donner une valeur approchée de cette intégrale, obtenue
   à l'aide de la calculatrice (préciser la commande utilisée).
 %% \item Bonus: Déterminer les angles $\theta$ pour lesquels la tangente à $C$
 %%   au point de paramètre $\theta$ est horizontale.
\item Bonus: Dans cette question on considère, pour $a\geq 0$, la courbe $C_a$
  donnée par l'équation polaire
  $r(\theta)=a+\cos (\frac{\theta}{2})$. Pour quelle(s) valeurs de
  $a$ la courbe $C_a$ admet-elle un point singulier?
\end{enumerate}

\end{exo}

\newpage

\includegraphics{quad.eps}

\newpage

\includegraphics{quad.eps}

\end{document}

