Université Grenoble Alpes $\bullet$ Licence2, mat307 $\bullet$ Année 2016/17

1  Courbe en paramétriques (12 points)

Cet exercice est consacré à l’étude de la courbe $$x(t)=\cos(t)^3-\cos(t), \quad y(t)=\sin(t)^3+\sin(t)$$

1. Donner le domaine de définition commun de $x$ et $y$. Montrer qu’on peut restreindre le domaine d’étude à $[0,\pi/2]$ grâce aux symétries de la courbe que l’on justifiera.
   Domaine commun $\mathbb{R}$, périodicité $2\pi$, $x$ est paire et $y$ impaire, donc on peut se restreindre à $[-\pi,\pi]$ par périodicité puis sur $[0,\pi]$ par parité, l’arc de courbe sur $[-\pi,0]$ est obtenu par symétrie par rapport à $Ox$ de l’arc de courbe sur $[0,\pi]$. On a aussi $x(\pi-t)=-x(t), y(\pi-t)=y(t)$ donc on peut se restreindre à $[0,\pi/2]$ avec une symétrie de la courbe par rapport à $Oy$.
2. Calculer $dx/dt$ et $dy/dt$. La courbe admet-elle des points singuliers ? Si oui, déterminer la tangente à la courbe en ces points. $$x'=\sin(t)(1-3\cos(t)^2), \quad y'=\cos(t)(1+3\sin(t)^2)$$ Donc $y'$ s’annule lorsque $\cos(t)=0$, dans ce cas $x'=\sin(t)\neq 0$, il n’y a donc pas de point singulier.
3. Déterminer le signe de $dx/dt$ et $dy/dt$ sur $[0,\pi/2]$. Dresser le double tableau de variations et représenter l’allure de la courbe en indiquant les points de paramètres $0, \pi/2, \pi$ et le sens de parcours.
   $y'\geq 0$ et s’annule en $\pi/2$, $x'$ est nul en 0 et ailleurs est du signe de $1-3\cos(t)^2$ donc positif sur $]0,\arccos(1/\sqrt{3})[$ et négatif ailleurs.
   X,Y:=[cos(t)^3-cos(t),sin(t)^3+sin(t)];tabvar([X,Y],t=0..pi/2) ok
   G:=plotparam([X,Y],t=-pi/2..3*pi/2,affichage=arrow_line); M:=element(G,pi/4); C:=cercle_osculateur(G,t,pi/4,affichage=rouge) ok
   
4. Déterminer la longueur de l’arc de courbe entre les points de paramètre $t=0$ et $t=\pi/2$ sous la forme d’une intégrale dont on ne cherchera pas à déterminer la valeur exacte. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de cette longueur, vérifier la vraissemblance du résultat sur votre représentation graphique. En déduire la longueur totale de la courbe.
   
   l:=int(sqrt(diff(X,t)^2+diff(Y,t)^2),t,0,pi/2); evalf(l); evalf(4*l); ok
   L’arc de courbe entre 0 et $\pi/2$ a en effet une longueur un peu supérieure à 2 puisqu’on relie $(0,0)$ à $(0,2)$ sans beaucoup s’éloigner de l’axe $Oy$.
5. Déterminer le repère de Frenet, la courbure et le cercle osculateur au point de paramètre $t=\pi/4$, tracer le cercle sur votre représentation graphique.
   En $t=\pi/4$, on est au point $M(-\sqrt{2}/4,3\sqrt{2}/4)$, un vecteur directeur de la tangente est $X'=-\sqrt{2}/4$ et $Y'=5\sqrt{2}/4$ donc $X'^2+Y'^2=52/16=13/4$ et $$\vec{T} =\frac{1}{\sqrt{26}}(-1,5), \quad \vec{N}=\frac{1}{\sqrt{26}}(-5,-1)$$ on vérifie
   simplify(coordonnees(M));pente(tangente(G,pi/4)) ok
   La courbure se calcule par exemple avec la formule $\kappa=(X'Y''-X''Y')/\sqrt{X'^2+Y'^2}$
   kappa:=simplify(courbure(G,t,π/4)) ok
   Le centre du cercle osculateur est $M+\kappa \vec{N}$
   coordonnees(centre(C)),simplify(rayon(C)) ok
6. Exprimer l’aire située à l’intérieur de l’arc de courbe entre les points de paramètre 0 et $\pi$ à l’aide d’une intégrale curviligne puis d’une intégrale.
   Attention, la courbe est parcourue dans le sens inverse du sens trigonométrique, il faut changer le signe quand on applique la formule de Green-Riemann : $$-\int x dy = -\int_0^\pi (\cos(t)^3-\cos(t))\cos(t)(1+3\sin(t)^2) \, dt$$ Déterminer la valeur de cette intégrale à la calculatrice en indiquant la commande utilisée. Vérifier la vraissemblance du résultat sur votre représentation graphique.
   
   a:=-int(X*diff(Y,t),t,0,pi); evalf(a); ok
   L’aire est proche de 1 ce qui parait vraissemblable.

2  Équation différentielle (11 points)

On étudie dans cet exercice pour $\lambda$ un paramètre réel l’équation différentielle d’inconnue la fonction $y(t)$ : $$\frac{dy}{dt}=y^3-\lambda y$$

1. Quel est le type de cette équation différentielle ?
   Équation autonome, à variables séparables.
2. Déterminez les solutions stationnaires de cette équation différentielle, on discutera en fonction de $\lambda$. $$0=\frac{dy}{dt}=y^3-\lambda y = y(y^2-\lambda)$$ donc on a 1 ou 3 solutions stationnaires : $y=0$ dans tous les cas, et $y=\pm \sqrt{\lambda}$ si $\lambda>0$.
3. Résoudre l’équation différentielle pour $\lambda=0$.
   Si $y$ est non nul en un $t_0$ alors il reste non nul (théorème de Cauchy-Lipschitz) donc $$\frac{dy}{y^3}= dt \Rightarrow -\frac{1}{2y^2}=t+C \Rightarrow y(t)=\pm\frac{1}\sqrt{-2(t+C)}$$ définie pour $t<-C$.
   Les solutions sont-elles bornées ?
   Non, si $t \rightarrow -C$, $y(t)$ tend vers plus ou moins l’infini.
   On suppose dans la suite que $\lambda \neq 0$
4. On suppose que $y(0)$ est proche de 0. Lorsque $t$ est proche de 0, on s’attend à ce que $y^3$ soit négligeable devant $y$.
   Quelle est la solution générale de $\frac{dy}{dt}=-\lambda y$ ?
   $$y(t)=Ke^{-\lambda t}$$ Discuter en fonction de $\lambda$ si la solution se rapproche de 0 (équilibre stable) ou s’éloigne de 0 (équilibre instable) lorsque $t$ augmente.
   Si $\lambda>0$, la solution tend vers 0 lorsque $t$ tend vers $+\infty$, si $\lambda<0$, la solution tend vers $\pm \infty$.
5. On suppose dans cette question que $\lambda>0$ et que $y(0) \in [-\sqrt{\lambda},\sqrt{\lambda}]$.
   Montrer sans calculer explicitement la solution que $y(t)$ reste bornée.
   C’est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz et du fait que $y(t)=\pm \sqrt{\lambda}$ est solution stationnaire, toute solution avec une condition initiale dans l’intervalle y reste donc.
   Conjecturer l’allure du graphe lorsque la condition initiale $y(0)$ est positive et proche de 0 (représenter l’allure sur la copie).
   On peut conjecturer que tout se passe comme si on pouvait négliger le terme en $y^3$, on se ramène à la question précédente, la solution tend (exponentiellement vite) vers 0 (et l’hypothèse $y(0)$ proche de 0 reste bien vérifiée).
   = lambda:=3.0;gl_x=-1..5; gl_y=-3..3; plotfield(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y=-3..3],xstep=0.4,ystep=0.4); plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red)

   Not evaled
6. On suppose dans cette question que $y(0)>0$.
   Montrer que $y(t)>0$ pour tout $t$.
   Cela résulte à nouveau du théorème de Cauchy-Lipschitz et du fait que $y(t)=0$ est solution stationnaire.
   En déduire le sens de variations de $y$ lorsque $\lambda<0$.
   On a alors $y'>0$ puisque $y^3>0$ et $-\lambda y>0$ donc $y$ croit.
   La solution est-elle bornée pour $t>0$ ?
   La solution ne peut pas être bornée, sinon comme $y(t)$ est croissante, elle convergerait vers une limite finie, qui serait solution stationnaire.
   Conjecturer l’allure du graphe lorsque la condition initiale $y(0)$ est positive et proche de 0 (représenter l’allure sur la copie).
   On va s’éloigner de plus en plus rapidement de 0, au début exponentiellement vite, après encore plus vite. lambda:=-0.5;y0:=-0.1;plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,color=red) ok
   
7. On suppose $\lambda >0$ et $0 < y(0) < \sqrt\lambda$. Résoudre l’équation différentielle.
   Indications : on pourra déterminer à la calculatrice en donnant la commande utilisée : $$\int \frac{1}{x^3-\lambda x} \, dx$$ et on pourra exprimer $e^{2\lambda t}$ en fonction de $y$.
   On sait que $y(t) \in ]0,\sqrt\lambda[$ pour tout temps, donc $y^3-\lambda y\neq 0$, on a donc $$\frac{dy}{y^3-\lambda y} = dt$$ on intègre, à gauche on calcule la primitive par la commande
   assume(lambda>0); p:=int(1/(y^3-lambda*y),y) ok
   d’où on tire, en observant que $y^2-\lambda<0$ pour enlever la valeur absolue $$\ln\left(\frac{\lambda-y^2}{y^2}\right)=2\lambda (t+C)$$ puis en prenant les exponentielles et en posant $e^{2\lambda C}=K$, $$\frac{\lambda-y^2}{y^2}=Ke^{2\lambda t} \Rightarrow y^2(1 +Ke^{2\lambda t}) = \lambda =0$$ finalement, comme $y>0$, on a : $$y=\sqrt{\frac{\lambda}{1+Ke^{2\lambda t}}}$$ Vérification avec le tracé pour $\lambda=0.5$ et $K=0.2$ (solution calculée numériquement par plotode et solution exacte, les deux graphes sont superposés) gl_x=-1..5; gl_y=-1..7;lambda:=0.5;K:=0.2; y0:=sqrt(lambda/(1+K)); plotode(y^3-lambda*y,[t=-1..5,y],[0,y0],tstep=0.1,affichage=red); plot(sqrt(lambda/(1+K*exp(2*lambda*t))),t=-1..5) ok