\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\title{Proba-stats en Terminale avec {\tt Xcas}}
%\makeindex
\author{Bernard Parisse}

\begin{document}
%\maketitle

\section{Commandes Xcas de proba-stats en 1ère et Terminale.}
Ces commandes se trouvent dans le menu {\tt Cmds->Proba-stats}.
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf Aléatoire}\\
\hline\hline
\verb|alea(n)| & renvoie un entier aléatoire entre 0 et $n-1$ \\
\verb|alea(a,b)| & renvoie un réel aléatoire entre $a$ et $b$ selon la loi uniforme\\
\verb|randnorm(mu,sigma)| & renvoie un réel aléatoire selon la loi normale \\
\verb|randexp(a)| & renvoie un réel aléatoire selon la loi exponentielle \\
\verb|seq(expression,var,min,max)| & génère une séquence en remplaçant\\
& \verb|var| dans \verb|expression| par \verb|min|, \verb|min+1|, ... \verb|max| \\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf Statistiques}\\
\hline\hline
\verb|moyenne(liste)| & moyenne de la liste \\
\verb|stddev(liste)| ou \verb|stddevp| & écart-type divisé par $n$ ou par $n-1$\\
\verb|histogram(liste,min,size)| & histogramme d'une liste de valeurs, \verb|min| \\
& (valeur minimale) et \verb|size| (taille des classes) optionnels\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf Distributiuons}\\
\hline\hline
\verb|binomial(n,k)| & nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$\\ \hline
\verb|binomial(n,k,p)| & probabilité d'obtenir $k$ succès avec $n$ tirages \\
    & (où $p$ est la probabilité de succès par tirage) \\ 
\verb|binomial_cdf(n,p,n1,n2)| & probabilité d'obtenir entre $n1$ et $n2$ succès \\
\verb|binomial_cdf(n,p,n1)| & probabilité d'obtenir au plus $n1$ succès\\
\verb|binomial_icdf(n,p,t)| & renvoie le plus grand entier $k$ tel que \\
                              & la probabilité d'obtenir au plus $k$ succès soit $\leq t$  \\ \hline
\verb|normald(x)| & densité de la loi normale de moyenne 0 et écart-type 1 \\
\verb|normald(mu,sigma,x)| & densité de la loi normale de moyenne $\mu$ et écart-type $\sigma$ \\
\verb|normald_cdf(mu,sigma,x1)| & probabilité que $x$ soit $\leq x1$ \\
\verb|normald_cdf(mu,sigma,x1,x2)| & probabilité que $x$ soit entre $x1$ et $x2$ \\
                                  & selon la loi normale de moyenne $\mu$ et écart-type $\sigma$ \\
\verb|normald_icdf(mu,sigma,t)| & renvoie $x$ tel que la probabilité d'être $\leq x$ soit $\leq t$\\
                               & (selon la loi normale de moyenne $\mu$ et écart-type $\sigma$) \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
N.B.: il peut être nécessaire d'utiliser la version 0.9.6 ou ultérieure de Xcas.

\section{Exemples d'illustrations}
\begin{itemize}
\item {\bf Loi binomiale}\\
On tire une pièce à pile ou face 100 fois de suite. La probabilité d'obtenir 40 piles
si la pièce est bien équilibrée est de \verb|binomial(100,40,0.5)| (valeur approchée)
ou \verb|binomial(100,40,1/2)| (valeur exacte).\\
La probabilité que le nombre de piles soit inférieure ou égal à 40 vaut
\verb|binomial_cdf(100,0.5,40)| (attention l'ordre des paramètres est inversé par rapport
à \verb|binomial|). \\
On a une probabilité d'être dans l'intervalle de confiance $[50-\sqrt{100},50+\sqrt{100}]$ 
valant \verb|binomial_cdf(100,0.5,40,60)| (ici environ 0.965). \\
Pour avoir un intervalle de confiance de 99\% centré, on calcule \\
\verb|binomial_icdf(100,0.5,0.995)| qui renvoie 63 et\\
\verb|binomial_icdf(100,0.5,0.005)| qui renvoie 37 (symétrique de 63).\\
Si la pièce n'est pas équilibrée, remplacer 0.5 par la probabilité d'obtenir pile.
\item {\bf Simulation}\\
On peut simuler un pile ou face par \verb|alea(2)|, une série
de 100 par\\ 
\verb|seq(alea(2),j,1,100)|, sa somme par \verb|sum(alea(2),j,1,100)|
 et l'histogramme de 1000 séries de 100 tirs par\\
\verb|histogram(seq(sum(alea(2),j,1,100),k,1,1000));|\\
On peut superposer la loi binomiale au graphe en ajoutant à la fin de la commande
précédente\\
\verb|plotlist(seq(binomial(100,k,0.5),k,0,100),couleur=rouge)|\\
Pour une pièce non équilibrée, si $p$ est la probabilité d'obtenir pile,
on pourra utiliser le résultat du test \verb|alea(0,1)<p| qui vaut
1 si le nombre généré est plus petit que $p$ et 0 sinon et a donc une probabilité $p$.
Par exemple \verb|seq(alea(0,1)<p,j,1,100)|.\\
Pour simuler par exemple 100 erreurs selon la loi normale, 
faire\\ \verb|seq(randnorm(0,1),j,1,100)|.
\item {\bf Convergence vers la loi normale}.\\
On peut tracer le diagramme en batons de la loi binomiale de paramètres par exemple
$n=100$ et $p=0.4$ en tapant\\
\verb|n:=100; p:=0.4; diagramme_batons(seq(binomial(n,k,p),k,0,n))|;\\
Cliquer plusieurs fois sur le bouton bleu flèche vers le bas pour voir tout le diagramme.
Pour superposer la loi normale qui approche ce diagramme, ajouter la commande\\
\verb|graphe(normald(n*p,sqrt(n*p*(1-p)),x),x=0..100)|\\
Pour faire observer le théorème de Moivre-Laplace tel qu'il est énoncé, les commandes
sont plus complexes. Il faut générer un histogramme avec en abscisse
des intervalles de valeurs succesives (ici centrés) que prend $(X_n-np)/\sqrt{np(1-p)}$ 
et en ordonnée la loi binomiale, on tapera les commandes\\
\verb|S:=seq([(k-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)),binomial(n,k,p)],k,0,n);|\\
\verb|H:=histogram(S,affichage=nom_cache);|\\
\verb|graphe(normald(x),x=-10..10,couleur=rouge)|\\
On peut calculer l'aire d'une partie de l'histogramme avec la commande \verb|aire(H[a..b-1])|
(rectangles d'indices $a$ à $b$) ou \verb|binomial_cdf(n,p,a,b-1)|, que l'on peut
comparer avec l'aire sous la courbe \verb|int(normald(x),x=a..b)|.
%% On peut aussi effectuer une translation et une homothétie (Xcas n'ayant pas encore de commande
%% affinité) sur le diagramme en bâtons dilaté
%% \verb|homothetie(0,1/sqrt(n*p*(1-p)),translation(-n*p,|\\
%% \verb|diagramme_batons(seq(binomial(n,k,p)*n*p*(1-p),k,0,n)))|\\
On peut reprendre les commandes précédentes en faisant varier $n$ et $p$ de manière interactive
en définissant les paramètres $n$ et $p$ (menu \verb|Edit->New parameter|, prendre garde de
décocher la case \verb|symb| pour avoir un curseur numérique et définir la plage de $n$ et
$p$ ainsi que le pas).
\item {\bf Fluctuations à un seuil donné}
\begin{itemize}
\item
Visualisation de la partie hors de l'intervalle de confiance. Commencer par tracer la loi normale\\
\verb|graphe(normald(x),x=-10..10);|\\
puis valider, puis ajouter à la fin de la commande\\
\verb|plotarea(normald(x),x=-6..-2); plotarea(normald(x),x=2..6)|\\
Faire de même en remplaçant 2 et -2 par 3 et -3.
\item Calcul de l'intervalle de confiance centré
au seuil de 1\% pour la loi normale centrée réduite~:\\
\verb|[normal_icdf(0,1,0.005),normal_icdf(0,1,0.995)]|
\end{itemize}
\end{itemize}

\end{document}

