
\documentclass[a4paper,twoside]{report}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Les packages utiles %%%%%%%%


\usepackage{inputenc}
% \usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,fourier}
\usepackage[french]{varioref} \usepackage{fancybox,fancyhdr}
\usepackage{ifthen,xspace,lastpage,calc} \usepackage{color}
\usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{keyval}
\usepackage[dvips,pdfauthor={Jean-Joël
  Bataille},colorlinks=true,linkcolor=blue]{hyperref}


% *******************************************
% *******************************************
% %%% Mise en Page A4
% *******************************************
% *******************************************

% Met les marges à zéro%

\setlength{\evensidemargin}{0cm} \setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\marginparwidth}{0cm} \setlength{\marginparsep}{0cm}
\setlength{\marginparpush}{0cm}

%% On remet les marges à zéro%

\addtolength{\hoffset}{-1in} \addtolength{\voffset}{-1in}

%% pour que l'entête rentre dans les 2cm en haut%%
\addtolength{\voffset}{-56pt}

% Par défaut pas d'indentation des retours à la ligne
\setlength{\parindent}{0pt}

% %% Réglages A4 portrait%%%%%%%%%%%%
\addtolength{\hoffset}{1cm} % marges de 1cm
\setlength{\textwidth}{19cm}
\addtolength{\voffset}{2cm} % marges de 2cm
\setlength{\textheight}{25.5cm}


%%% Style numérotation%%%%%%
\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection .\Alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection\ .
  \alph{subsubsection}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Sections numérotées A, B, C...%%%%%%%
%\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%Paramètres%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\NumFeuille}{4}
\newcommand{\Classe}{TS1}
\newcommand{\Themes}{TP Xcas, premier pas avec un niveau de géométrie
  sur le thème de l'exponentielle et des sous tangentes}
\newcommand{\Pour}{}
\newcommand{\Annee}{2007-2008}


%%%---- Style de l'entete -----%%%%%%%%%%

\newcommand{\entete}
{
  % Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Lycée Fermat} \hfill Année \Annee}\\
  %  Module
  \noindent {\Classe \hfill \textbf{feuille {\No \NumFeuille}}\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{\textsf{\Large \Themes}}\end{center}
  \hrule
  \vspace*{0.2cm}
\emph{\Pour }

  \vspace*{0.8cm}
}

%%%% Ligen séparatrice.

\newcommand{\LigneSep}{%
	\vspace{-.4\baselineskip}
	\makebox[\linewidth][c]{\rule{\linewidth}{.5pt}}
	\vspace{-.4\baselineskip}%
	}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%Une macro embarquée dans tarassconf%%  
\newcommand{\GR}{\mathbb{R}\xspace} 

%%%% Tournez la page sauf sur la dernière page
%%%% Utilise le package fancyhdr

\newcommand{\TournezPage}{%
	\rfoot{\ifthenelse%
		{\equal{\thepage}{\pageref{LastPage}}}%
		{}%
		{\small\bf Tournez la page, SVP}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
%Définition de l'en tête et du pied de page

\TournezPage

\entete

% ----------------------------------------------------------------

\section{Démarche expérimentale avec Xcas}
\label{sec-200710052331}

Vérifiez d'abord que votre version de Xcas est la dernière en date, ce
TP suppose que votre version est postérieure à la 0.7.1 du 3/10/2007,
si ce n'est pas le cas vous devez faire la mise à jour.

N'oubliez pas de sauvegarder votre travail régulièrement. Après un
plantage éventuel du programme, Xcas au redémarrage propose de
récupérer la session... Ça peut rendre service.

Après avoir lancé Xcas, ouvrez un niveau de géométrie en faisant
\texttt{Edit, Ajouter, geo2d} ou en utilisant le raccourci
\texttt{Alt+g}.

\begin{enumerate}

\item \textbf{Mise en mémoire de la fonction $f:x\mapsto e^x$ et tracé
    de la courbe $G$ représentant $f$.}

  \begin{enumerate}

  \item Dans le premier niveau, vous définissez $f:x\mapsto e^x$ en
    tapant
    \[f(x):=exp(x);\]
  \item Dans le niveau 2, vous tapez la commande d'affichage de la
    courbe $G$ représentant $f$ en la limitant à l'intervalle
    $[-4;4]$.
    \[G:=funcplot(f(x),x=-4..4)\]
  \end{enumerate}
\item \textbf{Ajustement de la fenêtre graphique} À droite du
  graphique, vous avez accès à des boutons qui vous permettront de
  modifier la fenêtre graphique, en particulier en cliquant dans cette
  zone sur \texttt{Menu, Voir, Autoscale} Xcas fera un réglage
  automatique que vous pourrez affiner ensuite.

  \begin{center}
  \includegraphics{tab2}
\end{center}
\item \textbf{Mise en place d'un point $A$ variable sur $G$}
  \begin{enumerate}
  \item Dans le niveau 3,vous déclarez que $u$ est un paramètre qui, à
    cet instant vaut 1 et peut varier dans l'intervalle $[-4;4]$.
    Pour cela vous tapez:
    \[assume(u=[1,-4,4]);\] Vous devez voir apparaître, à droite du
    graphique, un curseur qui vous permettra de changer la valeur de
    $u$.
  \item Dans le niveau 4, vous déclarez que $A$ est le point de $G$
    d'abscisse $u$ en tapant
    \[A:=point(u,f(u));\]

    \textbf{Remarque} La réponse \textbf{point(u+(i)*exp(u))} que fait
    Xcas à la commande d'affichage de $A$ peut vous surprendre, elle
    prendra du sens lorsque nous aurons vu les nombres complexes.
  \end{enumerate}
\item \textbf{Tracé de $T$ tangente à $G$ en $A$, de la projection
    orthogonale de $A$ sur $Ox$ et de l'intersection de $T$ avec
    $Ox$.}
  \begin{enumerate}
  \item Dans le niveau 5, pour définir et tracer $T$, tapez
    \[T:=tangent(G,A);\]

  \item Dans le niveau 6, vous allez nommer $OX$ l'axe des abscisses,
    sans demander son affichage (il y est déjà).  Pour cela vous tapez
    \[OX:=droite(y=0):;\]

  \item La fonction \texttt{inter\_droite} définit l'intersection de
    deux courbes.  Dans le niveau 7, vous définissez le point $B$
    intersection de $T$ et de l'axe $Ox$ en tapant
    \[B:=inter\_droite(T,OX);\]

  \item La fonction \texttt{projection} définit la projection
    orthogonale d'un point sur une courbe (la courbe est indiquée en
    premier paramètre, et le point en deuxième paramètre). Donc vous
    définissez $C$ projection orthogonale de $A$ sur $Ox$ en tapant
    dans le niveau 8
    \[C:=projection(OX,A);\]
  \end{enumerate}
\item \textbf{On trace $[AC]$, et on fait calculer $BC$ par Xcas}
  \begin{enumerate}
  \item La commande \texttt{segment} vous permet de tracer le segment
    $[AC]$ en tapant dans le niveau 9
    \[segment(A,C);\]
  \item On va étudier la longueur $BC$ donc on demande à Xcas
    d'affecter sa valeur à la variable $L$, pour cela vous tapez dans
    le niveau 10
    \[L:=longueur(B,C);\]
  \end{enumerate}
\item \textbf{Conjectures}\label{enum-200710041304}

  En faisant bouger la valeur de $u$ grâce au curseur, faites des
  conjectures au sujet:
  \begin{enumerate}
  \item de la position de $T$ par rapport à $G$,
  \item de la sous tangente en $A$ à la courbe (la sous tangente à $G$
    en $A$ est la longueur $BC$).\label{enum-200710051700}
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\section{Démonstrations}\textbf{Cette partie, rédigée, doit être
  rendue en fin de séance}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Justifications des conjectures}

  Démontrez les conjecture faites en section~\ref{sec-200710052331} item~\vref{enum-200710041304}.
\item \textbf{Un cas plus général}
  \begin{enumerate}
  \item Observez à l'aide de Xcas, le comportement de la sous tangente
    lorsqu'on remplace $f(x)=e^x$ par $f(x)=\frac12e^x$ puis par
    $f(x)=e^{\frac12x}$.
   

  \item $k$ étant un réel strictement positif, on va rechercher toutes
    les fonctions $f$ dérivables sur $\GR$ telles que
 
    \[ \begin{cases}
      \forall x\in\GR f(x)>0 \text{ et }f'(x)>0 \\
      \text{et } \\
      \forall u\in\GR, \text{ la sous tangente à }G \text{ en }
      A\left(u,f(u)\right)=k
    \end{cases}\]
    \begin{enumerate}
    \item Montrez que si $f$ est une solution du problème alors $f$
      est solution sur $\GR$ de l'équation différentielle
      $y'=\frac1ky$ et en déduire qu'il existe $C$ appartenant à $\GR$
      tel que $f:x\mapsto Ce^{\frac1kx}$
    \item Donnez l'ensemble des solutions du problème.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Assume ou element}

\begin{enumerate}
\item Dans le niveau 3, vous avez défini le paramètre $u$ à l'aide de
  la commande \texttt{assume}, observez la forme des réponses
  retournées par Xcas à chaque commande en particulier celles qu'il
  donne dans les niveaux 5 et 10.
\item Modifiez la commande du niveau 3, en la remplaçant par
  \[u := element(-4..4,0);\] observez les reponses retournées par Xcas
  dans les niveaux 5 et 10.
\item La fonction \texttt{normal} permet de simplifier une expression,
  en remplaçant le niveau 10 par
  \[L:=normal(longueur(B,C));\] vous obtenez une forme simplifiée de
  la longueur $BC$. Suivant que vous avez utilisé \texttt{assume} ou
  \texttt{element} pouvez-vous considérer que Xcas a démontré la
  conjecture de  la section~\ref{sec-200710052331} item~\vref{enum-200710051700}?
\end{enumerate}


\section{Il vous reste du temps, alors soignons la déco\dots}

\begin{enumerate}
\item Pour modifier les attributs (couleur, épaisseur\dots) d'un objet
  graphique, il suffit d'approcher la souris de l'objet et de faire un
  clic droit lorsque le pointeur prend la forme d'une main. Une boîte
  de dialogue s'ouvre et on peut procéder aux réglages.

  Laissez vous emporter par votre sens artistique\dots
\item Dans le niveau 10, vous avez calculé la longueur $BC$ et vous
  l'avez stockée dans la variable $L$, on peut l'afficher sur le
  graphique à l'aide de la fonction \texttt{legende}, tapez par
  exemple dans le niveau 11

  \[legende([20,20],"BC="+L)\]

  La syntaxe est $legende(position,texte)$. Le premier paramètre,
  $position$, désigne le point où on veut placer la légende, le second
  paramètre, $texte$, est le texte à placer. Dans cette commande,
  [20,20] positione la légende 20 px à droite et 20 px en dessous du
  coin supérieur gauche du graphique.

 \end{enumerate}
\LigneSep
\end{document}
