\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\textheight 23 cm
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\author{Ren\'ee De Graeve}
\begin{document}
%\maketitle
\begin{center}{\bf TP 2 Terminale S\\ Suites adjacentes et convergence de 
$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}$}
\end{center}
\section{Les fonctions de {\tt xcas} utilis\'ees}
Voici les fonctions de {\tt xcas} qui vous seront utiles dans ce TP.\\ 
{\tt normal(expr)} renvoie l'expression {\tt expr} simplifi\'ee.\\
%{\tt f2nd(n/d)} transforme la fraction {\tt n/d} en la liste {\tt [n,d]}, ainsi
%{\tt f2nd(n/d)[0]} vaut {\tt n} et {\tt f2nd(n/d)[1]} vaut {\tt d}.\\
{\tt evalf(a)} \'evalue {\tt a} \`a l'aide d'un nombre flottant comportant 
12 chiffres significatifs (sauf si on a chang\'e ce nombre dans la configuration du {\tt cas} bouton rouge {\tt cas}).\\
%{\tt iquo(a,b)} calcule le quotient entier {\tt q} de {\tt a} par {\tt b} 
%({\tt a=b*q+r} avec ${\tt 0\leq r <b}$).\\  
{\tt f(x):=....} o\`u {\tt ....} repr\'esente une expression de {\tt x} permet 
de d\'efinir la fonction {\tt f}.\\
{\tt derive(expr(x),x)} calcule la d\'eriv\'ee de {\tt expr(x)} par rapport \`a 
 {\tt x}.
\section{$u$ et $v$ sont deux suites ajacentes de limite $\displaystyle \frac{\pi}{4}$}
On consid\`ere les suites $u$ et $v$ d\'efinies par :\\
$\displaystyle u_0=1-\frac{1}{3}$ et \ $\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}$ pour $n \geq 1$.\\
$\displaystyle v_n=u_n+\frac{1}{4n+3}$ pour $n \geq 0$.\\
1/ Calculer les 6 premiers termes de la suite $u$ et donner une valeur 
approch\'ee de $u_6$ (on pourra utiliser le tableur (bouton jaune {\tt mtrw})).\\
2/ Calculer les 6 premiers termes de la suite $v$ et donner une valeur 
approch\'ee de $v_6$ (on pourra utiliser le tableur (bouton jaune {\tt mtrw})).\\
3/ Montrer que les suites $u$ et $v$ sont adjacentes.\\
II/ 
On consid\`ere la suite de fonctions $f_n$ de $[0,\frac{\pi}{2}[$ dand $\mathbb R$ d\'efinie par :\\
$f_0(x)=x-\tan(x)$ et \ 
$\displaystyle f_{n}(x)=f_{n-1}(x)-\frac{(-1)^n}{2n+1}\tan(x)^{2n+1}$ pour $n \geq 1$.\\
0/ Calculer  $f_n(0)$ pour tout $n \geq 0$.\\
1/ Calculer pour $p \geq 0$,  $\displaystyle f_{2p}(\frac{\pi}{4})$  et
 $\displaystyle f_{2p+1}(\frac{\pi}{4})$ en fonction de $u_p$ et de $v_p$.\\
2/ Ouvrir le tableur (bouton jaune {\tt mtrw}) et faites afficher :\\
dans la colonne  {\tt A} les valeurs de $n$,\\
dans la colonne {\tt B} les valeurs de $f_n(x)$,\\
dans la colonne {\tt C} les valeurs de $f'_n(x)$,\\
Observez les diff\'erentes colonnes et notez le r\'esultat de vos observations.\\
D\'eterminer la d\'eriv\'ee de $f_n$.\\
3/ En d\'eduire que pour $p \geq 0$ :\\
- la fonction  $f_{2p+1}$ est croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}[$.\\ 
- la fonction  $f_{2p}$ est d\'ecroissante sur $[0,\frac{\pi}{2}[$.\\
III/ Montrer que la limite de $u$ et de $v$ est \'egale \`a $\frac{\pi}{4}$
( on \'etudiera le signe de $f_{2p}(\frac{\pi}{4})$ et de 
 $f_{2p+1}(\frac{\pi}{4})$).\\
Donner un encadrement de $\frac{\pi}{4}$.\\
Quelle erreur fait-on lorsqu'on prend $4*u_6$ comme valeur approch\'ee de 
$\pi$ ?\\
Trouver une valeur de $n$ pour que $4*u_n$ et $4*v_n$ donnent un encadrement de $\pi$ de diam\`etre inf\'erieur \`a $10^{-3}$.
%Donner un encadrement de $\pi$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.\\
%\section{Le probl\`eme : valeur approch\'ee de $\sqrt 3$}
%Que faut-il changer ?
\newpage
Correction\\
I/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape ${\tt A0+1}$ puis bouton {\tt fill} quand A1 est
en surbrillance.\\
 Dans B0 on tape 2/3 et dans B1 on tape ${\tt B0+1/(4*A1+1)-1/(4*A1+3)}$
 puis bouton {\tt fill} quand B1 est en surbrillance.\\
Dans C0 on tape ${\tt B0+1/(4*A0+3)}$ puis bouton {\tt fill} quand C0 est
en surbrillance.\\
La suite $u$ est croissante car $u_{n}-u_{n-1}=\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}>0$ pour $n \geq 1$ (on peut taper  dans l'historique :
${\tt normal(1/(4*n+1)-1/(4*n+3))}$ et on trouve :
${\tt 2/(16*n^2+16*n+3)}$).\\
La suite $v$ est d\'ecroissante car $v_{n}-v_{n-1}=\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n-1}<0$ pour $n \geq 1$ (on peut taper  dans l'historique :
${\tt normal(1/(4*n+1)-1/(4*n-1))}$ et on trouve :
${\tt 2/(-16*n^2+1)}$).\\
et $v_n-u_n=1/(4*n+3)$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.\\
Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes.\\
II/
1/ $f_n(0)=0$ pour tout $n \geq 0$.\\
2/ $f_{2p}(\pi/4)=\pi/4-v_p$ et \\
$f_{2p+1}(\pi/4)=\pi/4-u_p$\\
3/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape ${\tt A0+1}$ puis bouton {\tt fill} quand A1 est
en surbrillance.\\
 Dans B0 on tape $x-\tan(x)$ et \\
dans B1 on tape ${\tt B0-(-1)^{A1}*\tan(x)^{2*A1+1}/(2*A1+1)}$
 puis bouton {\tt fill} quand B1 est en surbrillance.\\
Dans C0 on tape ${\tt normal(derive(B0,x))}$ puis bouton {\tt fill} quand C0 est
en surbrillance.\\
On remarque que l'on a $f'_n(x)=(-1)^{n+1}*\tan(x)^{2n+2}$.\\
On le montre en faisant le calcul :\\
$\displaystyle f_n(x)=x-\tan(x)+\frac{1}{3}\tan(x)^3+...-\frac{(-1)^n}{2n+1}\tan(x)^{2n+1}$\\
$f_n'(x)=1-(1+\tan(x)^2)*(1-\tan(x)^2+...+(-1)^n\tan(x)^{2n}$\\
On reconnait la somme d'une s\'erie g\'eom\'etrique de raison : $-\tan(x)^2$.\\
$\displaystyle f_n'(x)=1-(1+\tan(x)^2)*\frac{(1-(-\tan(x)^2)^{n+1}}{1+\tan(x)^2}=(-1)^{n+1}\tan(x))^{2n+2}$\\
%le calcul de la deriv\'ee de $f_n$ se fait en utilisant la somme d'une s\'erie g\'eom\'etrique.\\
3/ La fonction $f_{2*p}$ a une d\'eriv\'ee negative pour tout $p \geq 0$, donc $f_{2*p}$ est
d\'ecroissante. En particulier $f_{2*p}(0)=0>f_{2*p}(\pi/4)$.\\
La fonction $f_{2*p+1}$ a une d\'eriv\'ee positive pour tout $p \geq 0$, donc $f_{2*p+1}$ est
croissante. En particulier $f_{2*p+1}(0)=0<f_{2*p+1}(\pi/4)$.\\
III/
On a donc pour tout $p \geq 0$ :\\
$f_{2p+1}(\pi/4)=\pi/4-u_p>0$ et \\
$f_{2p}(\pi/4)=\pi/4-v_p<0$\\
Donc pour tout $p \geq 0$:\\
$u_p<\pi/4<v_p$.\\ 
On a donc $4*u_6<\pi<4*v_6=4*u_6+4/27$.\\
Pour avoir $4*u_n<\pi<4*v_n=4*u_n+4/4*n+3 \leq 4*u_n+10^{-3}$ il faut prendre comme $n$
un entier qui v\'erifie $4*n+3 \geq 4000$ soit $n \geq 1000$. \\
Donc $u_{1000}$ et $v_{1000}$ donnent un encadrement de $\pi$ de diam\`etre inf\'erieur \`a $10^{-3}$.
\end{document}