\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\textheight 23 cm
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\title{La famille des sapins et la proportionali\'e avec xcas}

\author{Ren\'ee De Graeve}

\begin{document}
\maketitle

{\bf 1-i\`ere s\'eance}\\
On dessine un triangle rectangle isoc\`ele plein avec comme position de 
d\'epart et d'arriv\'ee de la tortue, le milieu de l'hypot\'enuse avec un
 cap dirig\'e selon la hauteur.
\begin{verbatim}
tri(a):={
triangle_plein(a,a);
tourne_droite;
triangle_plein(a,a);
tourne_gauche;
}
\end{verbatim}
On dessine un sapin form\'e de 2 triangles {\tt tri} de dimensions 50 et 40 pas
de tortue et  d\'ecal\'es de 40 pas de tortue, avec comme position de d\'epart 
et d'arriv\'ee de la tortue le milieu de l'hypot\'enuse avex un  cap dirig\'e 
selon la hauteur de {\tt tri(50)}.

% Generated by xcas sapin.tex
%\input figtortue/sapin.tex
\noindent
\psset{unit=1.2000cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\pspicture*(-5.0000,-1.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     0.100000,     0.000000)(     0.000000,     0.200000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.200000)(    -0.100000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     1.000000,     0.000000)(     0.000000,     1.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     1.000000)(    -1.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.800000)(     0.800000,     0.800000)(     0.000000,     1.600000)(     0.000000,     0.800000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.800000)(     0.000000,     1.600000)(    -0.800000,     0.800000)(     0.000000,     0.800000)
\psset{linecolor=green}
\psdots[dotstyle=*](-0.5000,-0.5000)
\uput{0.0833}[45.0000](-0.5000,-0.5000){sapin(50,40)}
\psset{linecolor=black}
\psline(    -3.000000,     0.000000)(    -2.000000,     0.000000)(    -3.000000,     1.000000)(    -3.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(    -3.000000,     0.000000)(    -3.000000,     1.000000)(    -4.000000,     0.000000)(    -3.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     0.100000,     0.000000)(     0.000000,     0.170000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.170000)(    -0.100000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(    -3.000000,     0.000000)(    -2.900000,     0.000000)(    -3.000000,     0.200000)(    -3.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psline(    -3.000000,     0.000000)(    -3.000000,     0.200000)(    -3.100000,     0.000000)(    -3.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=green}
\psdots[dotstyle=*](-3.5000,-0.5000)
\uput{0.0833}[45.0000](-3.5000,-0.5000){tri(50)}
\endpspicture 



On \'ecrit la proc\'edure {\tt sapin} :
\begin{verbatim}
sapin():={
tri(50);
avance(40);
tri(40);
recule(40);
}
\end{verbatim}

{\bf 2-i\`eme s\'eance}\\
On demande d'\'ecrire \`a partir de sapin une proc\'edure param\'etr\'ee avec 
2 param\`etres {\tt a}  et {\tt b} : {\tt a} pour {\tt 50} et {\tt b} pour 
{\tt 40}.
On \'ecrit en classe en expliquant : 
\begin{verbatim}
sapin(a,b):={
tri(a);
avance(b);
tri(b);
recule(b);
}
\end{verbatim}
On a donc fait dessiner la derni\`ere fois {\tt sapin(50,40)}.
On demande maintenant de dessiner les sapins de la famille du   
{\tt sapin(50,40)},
c'est \`a dire ceux qui ont la m\^eme forme 
que lui \`a un agrandissement ou \`a une r\'educion pr\`es.
On demande aux enfants de remplir le tableau suivant :\\
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
a &b\\
\hline
5& \\
10& \\
15& \\
20& \\
25& \\
30& \\
35& \\
40& \\
45& \\
50&40 \\
55& \\
60& \\
70& \\
80& \\
90& \\
100& \\
\hline
\end{tabular}

Les enfants remplissent tous le tableau au d\'ebut en se servant 
syst\'ematiquement de l'addition ils \'ecrivent :\\
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
a &b\\
\hline
15& 5\\
20& 10\\
25& 15\\
30& 20\\
35& 25\\
40& 30\\
45& 35\\
50& 40 \\
\hline
\end{tabular}

Mais lorsqu'il testent {\tt sapin(20,10)} ils n'obtiennent qu'un seul triangle
et s'apercoivent que'il y a une erreur....et ils sont alors oblig\'es de 
proc\'eder par essais et erreurs ...mais cela est quelquefois difficile car il
n'y a gu\'ere de diff\'erence entre {\tt sapin(45,35)} et {\tt sapin(45,36)}.
Il faut donc demander :\\
si {\tt a=100} que vaut {\tt b} ? si {\tt a=10} que vaut {\tt b} ?
si {\tt a=20} que vaut {\tt b} ?\\
si {\tt a=5} que vaut {\tt b} ?
si {\tt a=25} que vaut {\tt b} ?

Comment \'ecrire cette famille avec un seul param\`etre ?
On veut arriver  \`a l'\'ecriture de la proc\'edure :
\begin{verbatim}
famille_sapin(k):={
sapin(5*k,4*k);
}
\end{verbatim}
Ainsi, {\tt sapin(50,40)} est identique \`a {\tt famille\_sapin(10)}.
\end{document}