Amortissement d’un prêt Renée De Graeve

Table des matières

• 1  Relation reliant les différents paramètres
• 2  La fonction Sommes
• 3  La fonction Pret
• 4  La fonction Duree
• 5  La fonction Taux
• 6  La fonction Amortissement

Amortissement d’un prêt d’une durée na années à un taux annuel ta remboursable soit annuellement, soit trimestriellement, soit mensuellement.

1  Relation reliant les différents paramètres

Les paramètres sont :

• P : le montant du prêt, qui évolue au cours du temps en fonction des intérêts et des remboursements.
• t : le taux du prêt (annuel ou trimestriel ou mensuel).
• n : le nombre de remboursements.
• S : le montant constant des remboursements.

Je veux connaître le montant constant S à payer (soit annuellement, soit trimestriellement, soit mensuellement) pour rembourser ce prêt. Ce montant comprend les intérêts dûs et une somme qui participe au remboursement du prêt. On a donc :

avec I les intérêts dûs et R qui rembourse une partie du prêt P. Après chaque paiement de S on a :
I:=P*t et P:=P-R, donc P:=P+I-S ou encore P:=P*(1+t)-S.

Si on note par P0, P1, ..Pn le montant du prêt après 0, 1, ..n remboursements, on a :

• P0:=P,
• P1:=P*(1+t)-S,
• P2:=P1*(1+t)-S ou encore P2:=P*(1+t)^2-S*(1+(1+t)),
• ...
• Pn:=P*(1+t)^n-S*(1+(1+t)+...+(1+t)^(n-1)) ou encore
  Pn:=P*(1+t)^n-S*((1+t)^n-1)/t.

On veut que le prêt soit remboursé au bout de n paiements donc on doit avoir : Pn==0.
Après multiplication par $t$, la relation liant P,t,n,S (avec P le montant initial du prêt) est donc : $$P \times t (1+t)^n-S\times ((1+t)^n-1)=0$$

2  La fonction Sommes

Donc $$S=\frac{P \times t (1+t)^n}{(1+t)^n-1}=P \times t (1+\frac{1}{(1+t)^n-1})$$ On définit la fonction Sommes de paramètres :

• P : le montant du prêt,
• t : le taux du prêt : ce taux sera annuel (t=ta) ou trimestriel (t=ta/4) ou mensuel (t=ta/12), selon le nombre n de remboursements.
• n : le nombre de remboursements (n sera soit égal à na si on rembourse annuellement, ou égal à 4*na si on rembourse trimestriellement ou égal à 12*na si on rembourse mensuellement).

On définit :
Sommes(P,t,n):=round(P*t*(1+1/((1+t)^n-1)),2); ok

Exemple :
je veux emprunter 10000 euros à un taux annuel t de 2/100 pendant 5 ans.
Quels seront mes remboursements ?
Je rembourse annuellement :
Sommes(10000,0.02,5) ok

Je rembourse trimestriellement :
Sommes(10000,0.02/4,5*4) ok

Je rembourse mensuellement :
Sommes(10000,0.02/12,5*12) ok

3  La fonction Pret

Je veux savoir quelle somme P je peux emprunter à un taux annuel ta, sachant que je suis capable de rembourser annuellement (resp trimestriellement ou mensuellement) une somme S pendant n=na années (resp n=na*4 trimestres ou n=na*12 mois).
On a la relation : $$P\times (1+t)^n-S\times((1+t)^n-1)/t=0$$ Donc $$P=\frac{S\times ((1+t)^n-1)}{t(1+t)^n}=\frac{S}{t}\times(1-\frac{1}{(1+t)^n})$$ On définit :
Pret(t,n,S):=round(S/t*(1-1/(1+t)^n),2); ok

Exemple :
J’ai obtenu un taux annuel ta de 2/100 pendant 5 ans et je peux rembourser mensuellement une somme comprise entre 175 euros et 200 euros.
Combien puis-je emprunter ?
Pret(0.02/12,5*12,175) ok

Pret(0.02/12,5*12,200) ok

4  La fonction Duree

Je veux connaître la durée de mon prêt sachant que je veux emprunter une somme P et je suis capable de rembourser mensuellement une somme S. Je peux emprunter à un taux annuel ta. On a la relation où n est le nombre de mois et t:=ta/12 est le taux mensuel : $$P\times t(1+t)^n-S\times ((1+t)^n-1)=0$$ Donc $(S-tP)\times (1+t)^n=S$ soit : $$n\ln(1+t)=\ln(S)-\ln(S-tP)$$ On définit :
Duree(P,t,S):=round((ln(S)-ln(S-t*P))/ln(1+t),2); ok

Exemple :
je veux emprunter 10000 euros, j’ai obtenu un taux annuel t de 2/100 et je peux rembourser mensuellement une somme comprise entre 175 euros et 200 euros. Quelle est la durée de mon prêt ?
Duree(10000,0.02/12,175) ok

Duree(10000,0.02/12,200) ok

5  La fonction Taux

Je veux connaître le taux t annuel (resp trimestriel ou mensuel) du prêt.
On a t:=ta (resp t:=ta/4 ou t:=ta/12). t est solution en $x$ de l’équation $f(x)=0$ avec : $$f(x)=S\times ((1+x)^n-1)-P\times (1+x)^nx$$ Si $nS>P$, cette équation a 2 solutions : $x=0$ et $x_0$ avec $0<x_0<1$.
En effet $f$ est continue et dérivable sur $[0,+\infty[$ et : $$f'(x)=(1+x)^{n-1}\times ((nS-P)-x(1+n)P)$$ donc $f'(x)$ s’annule en $a=\frac{nS-P}{(1+n)P>0}$ donc $f(x)$ croit sur $[0,a]$ ($f(0)=0$ donc $f(a)>0$) et décroit sur $[a,+\infty]$. De plus $f(1)=-2^n(P-S)-S<0$ donc $f(x)=0$ a une seule solution positive $x_0$ vérifiant $a<x_0<1$. Donc t$=x_0$.
On résout cette équation numériquement avec la fonction :

On définit :
Taux(P,n,S):=round(resoudre_numerique(S*((1+x)^n-1)-P*(1+x)^n*x=0,x=1),5); ok

Exemple :
Si mon prêt est de 10000 euros sur 5 ans avec un remboursement mensuel de 175 euros, le taux annuel de mon prêt est :
12*Taux(10000,60,175) ok

6  La fonction Amortissement

La fonction Amortissement a 5 arguments :

• P le montant du prêt,
• ta le taux annuel du prêt,
• na la durée du prêt en années,
• S la somme à verser à chaque échéance (on ajuste ici la dernière échéance pour tenir compte des erreurs d’arrondis),
• periode qui vaut "m" ou "t" et par défaut "a".

Si on choisit de verser S chaque mois (resp trimestre), alors il faut initialiser periode avec "m" (resp "t").
Si parmi les 4 arguments P,ta,na,S, une des valeurs est inconnue, on lui donne la valeur -1, la fonction Amortissement calculera alors sa valeur à l’aide de la formule : $$S\times ((1+t)^{n}-1)-P\times (1+t)^{n}t=0$$ avec $n:=na*12;$ $t:=ta/12;$ si periode vaut "m"
(resp $n:=na*4;$ $t:=ta/4;$ si periode vaut "t"
et $n=na;$ $t=ta;$ si periode vaut "a").
Pour cela on utilise les valeurs des fonctions précédentes.
Amortissement renvoie un message et la matrice ayant comme $(j-1)$ième ligne : $[j,P_j,R_j,I_j,S]$ avec $j=1..n$ et
$S=R_j+I_j=$remboursement +interêt et $P_{j+1}=P_j-R_j=$évolution de $P$.

fonction Amortissement(P,ta,na,S,periode="a")
  local n,t,j,MA,L,k,c,msg;
  k:=member(-1,[P,ta,na,S]);
  si periode=="m" alors 
    n:=na*12;t:=ta/12;c:=12; periode:="mois";   
  sinon 
    si periode=="t" alors 
      n:=na*4;t:=ta/4;c:=4; periode:="trimestre"; 
    sinon 
      n:=na;t:=ta;c:=1;periode:="a"; periode:="an"; 
     fsi; 
  fsi;
  si count_eq(-1,[P,ta,na,S,periode])!=1 alors 
    retourne("Mettre 3 arguments parmi P,ta,na,S et -1 pour celui a chercher") ;
  fsi;
  si k==1 alors  //P:=Pret(t,n,S)
    P:=round(S/t*(1-1/(1+t)^n),2); 
  sinon  
    si k==2 alors //t:=Taux(P,n,S)
      t:=round(resoudre_numerique(S*((1+x)^n-1)-P*(1+x)^n*x=0,x=1),5);
      ta:=round(t*c,4);
    sinon 
      si k==3 alors  //n:=Duree(P,t,S)
        n:=round((ln(S)-ln(S-t*P))/ln(1+t),2);
      sinon //S:=Sommes(P,t,n)
        S:=round(P*t*(1+1/((1+t)^n-1)),2); 
      fsi;
    fsi;
  fsi; 
  msg:="Pret : "+P+", taux"+char(32)+" annuel : "+ ta + ", par "+ periode +" : "+S;
   afficher(msg);
   MA:=NULL;
  pour j de 0 jusque n-1 faire
    MA:=MA,[j+1,P,round(S-P*t,2),round(P*t,2),S];
    P:=round(P*(1+t)-S,2);
  fpour;
  MA[n-1]:=MA[n-1]+[0,0,P,0,P];
  return msg,[MA];
 ffonction:;

ok
Exemples :
Je fais un emprunt sur 3 ans de 10000 euros au taux annuel de 0.01.
Quel est l’amortissement de ce prêt selon que j’opte pour un remboursement annuel ou trimestiel ou mensuel ?

Amortissement(10000,0.01,3,-1) ok


Amortissement(10000,0.01,3,-1,"t") ok


Amortissement(10000,0.01,3,-1,"m") ok

Ma banque me propose un crédit au taux annuel de 2/100 pendant 5 ans. Je veux rembourser 250 euros par mois.
Quel montant puis-je emprunter ?
Quel est le tableau d’amortissement de ce prêt ?
msg,TA:=Amortissement(-1,0.02,6,250,"m"):;msg; ok

La commande précédente affiche le message, mais pas le tableau d’amortissement qui est trop grand au format pdf, les commandes qui suivent affichent les morceaux du tableau.

[TA[k]$(k=0..11)] ok


[TA[k]$(k=12..23)] ok


[TA[k]$(k=24..35)] ok


[TA[k]$(k=36..47)] ok


[TA[k]$(k=48..59)] ok


[TA[k]$(k=60..71)] ok

Efface + - ->   Restart Exec. tout