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L'algorithme général

On considère r $ \in$ ]0;1[ (on peut prendre r = $ {\frac{{1}}{{2}}}$) et on pose :
v0, 0(h) = v(h) = v(0) + c1 . h + c2 . h2 + ... + cn . hn + O(hn+1)
v1, 0(h) = v(r . h) = v(0) + c1 . r . h + c2 . r2 . h2 + ... + cn . rn . hn + O(hn+1)
v2, 0(h) = v(r2 . h) = v(0) + c1 . r2 . h + c2 . r4 . h2 + ... + cn . r2n . hn + O(hn+1)
Soit :
v1, 1(h) = $ {\frac{{1}}{{1-r}}}$(v(r . h) - r . v(h)) = $ {\frac{{1}}{{1-r}}}$(v1, 0(h) - r . v0, 0(h))
v1, 1(h) = v(0) + c2 . r . h2 + ... + cn . r . (rn -1)/(r - 1) . hn + O(hn+1)
on on n'a pas de terme en h dans v1, 1(h) et de la même façon en posant :
v2, 1(h) = v1, 1(r . h) = $ {\frac{{1}}{{1-r}}}$(v(r2 . h) - r . v1, 0(h)) = $ {\frac{{1}}{{1-r}}}$(v2, 0(h) - r . v1, 0(h))
v2, 1(h) = v(0) + c2 . r3 . h2 + ... + O(hn+1)
on n'a pas de terme en h dans v2, 1(h)
On obtient la suite des fonctions vk, 1 = v1, 1(rk-1 . h) (k > 1) qui n'ont pas de terme en h dans leur développements limités et qui convergent vers v(0).
On peut faire subir à la suite vk, 1 le même sort qu'à la suite vk, 0 et obtenir la suite vk, 2 (k > 2):
on pose v2, 2(h) = $ {\frac{{1}}{{1-r^2}}}$(v2, 1(h) - r2 . v1, 1(h))
et on n'a pas de terme en h2 dans v2, 2(h) etc....
On obtient ainsi les formules de récurrence :

vk, 0(h) = v(rk . h)

vk, p(h) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1-r^p}}}$(vk, p-1(h) - rp . vk-1, p-1(h))

On a alors :

vk, p(h) = v(0) + O(hp+1)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve