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Pour calculer S il reste à choisir la suite des polynômes Pn.
On peut choisir :
-
Pn(x) = (1 - x)n
on aura une convergence en 2-n car dn = 2n et
supx
[0, 1]| Pn(x)| = 1.
On a :
P0(x) = 1
P1(x) = 1 - x
Pn+1(x) = Pn(x)*(1 - x) si n
0
dn = 2n
et la formule explicite de Pn :
Pn(x) =
(- 1)kCnkxk =
pn, kxk si n
0
donc les coefficients pn, k vérifient :
pn, 0 = 1
pn, k = pn, k-1*(k - 1 - n)/k pour
1
k < n
On a :
dn - Pn(x) = (1 + x)
cn, kxk = cn, 0
(cn, k-1 + cn, k)xk
donc
cn, 0 = dn - pn, 0 = dn - 1
cn, k = - cn, k-1 - pn, k pour
1
k < n
-
Pn(x) = xq(1 - x)2q et n = 3*q
on aura une convergence en 3-n car
| dn| = 22q et
supx
[0, 1]| Pn(x|) = Pn(1/3) = 22q*3-n.
On a :
P0(x) = 1
P3(x) = x(1 - x)2
Pn+3(x) = Pn(x)*x*(1 - x)2 si n
0
dn = (- 1)q*22q
et la formule explicite de Pn :
Pn(x) =
(- 1)kC2qkxk+q =
(- 1)k-qC2qk-qxk =
pn, kxk si n
0
donc les coefficients pn, k vérifient :
pn, k = 0 si k < q
pn, q = 1
et comme
Cnp = Cnp-1*(n - p + 1)/p
pn, k = (- 1)k-qC2qk-q si
q
k
n
pn, k = - pn, k-1*(k - 1 - n)/(k - q) si
q < k
n
On a :
dn - Pn(x) = (1 + x)
cn, kxk = cn, 0 +
(cn, k-1 + cn, k)xk
donc
cn, 0 = dn - pn, 0 = dn - 1
cn, k = - cn, k-1 - pn, k pour
1
k < n
- Si le ploynôme Pn défini
Pn(sin(t)2) = cos(2nt)
Pn est défini à partir du ploynôme Tn de
Chebyshev (
Tn(cos(t)) = cos(nt)) :
Pn(sin(t)2) = cos(2nt)Tn(cos(2t))
on a donc puisque
1 - 2 sin(t)2 = cos(2t) :
Tn(1 - 2 sin(t)2) = cos(2nt) et
Pn(x) = Tn(1 - 2x)
on aura une convergence meilleure que dans les cas précédents car la
convergence est en :
2/((3 +
)n + (3 -
)n)
2/((3 +
)n)
2/(5.8)n
car
dn = ((3 +
)n + (3 -
)n)/2 et
supx
[0, 1]| Pn(x)| = 1.
Donc :
P0(x) = 1
P1(x) = 1 - 2x
Pn+2(x) = 2(1 - 2x)Pn+1(x) - Pn(x) si n
0
dn = ((3 +
)n + (3 -
)n)/2
et la formule explicite de Pn :
Pn(x) =
(- 1)k
Cn+k2k22kxk =
pn, kxk si n
0
donc les coefficients pn, k vérifient :
pn, 0 = 1
pn, k = pk-1, n(k - 1 + n)(k - 1 - n)/((k - 1/2)(k)) pour
1
k < n
On a :
dn - Pn(x) = (1 + x)
cn, kxk = cn, 0
(cn, k-1 + cn, k)xk
donc
cn, 0 = dn - p0, n
cn, k = - cn, k-1 - pn, k pour
1
k < n
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