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La courbe

Une cycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Si au départ M est à l'origine O, si le cercle C, de centre A et rayon R, roule sur l'axe des x, si P est le point de contact de C avec Ox lorsque C a tourné d'un angle t, on a :
$ \overrightarrow{OP}$ = Rt, $ \overrightarrow{AP}$ = - iR et $ \overrightarrow{AM}$=rotation( A, - t,$ \overrightarrow{AP}$) = - Ri(cos(- t) + i sin(- t)) = - R sin(t) - Ri(cos(t) donc
$ \overrightarrow{OM}$ = $ \overrightarrow{OP}$ + $ \overrightarrow{PA}$ + $ \overrightarrow{AM}$ = Rt + iR - R sin(t) - Ri(cos(t)) = R(t - sin(t) + i(1 - cos(t)) L'équation paramétrique d'une cycloïde est donc :

x = R(t - sin(t)); y = R(1 - cos(t))

Avec Xcas
On tape :
R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge);
On peut faire une animation pour voir le déplacement d'un point M d'un cercle C de rayon R lorsque C roule sur l'axe des x.
On tape :
R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));
On peut aussi faire une animation pour voir l'infuence du rayon R, mais ici, cela n'a pas beaucoup d'interêt.
On tape :
animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),
               t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1));


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve