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Strophoïde droite

Soient une droite d, un point O non situé sur d et H la projection orthogonale de O sur d. Soit h = OH la distance de O à la droite d .
Soit P un point de d. Lorsque P décrit la droite d, le point M de la droite OP tel que $ \overline{{PM}}$ = overlineHP est une strophoïde droite.
Si O est l'origine, OH l'axe des x, et t l'angle de OP avec Ox, on a:
P = point(h/cos(t)*exp(i*t)) = point(h*(1 + i*tan(t)))
| OP| = h/cos(t)
H = point(h)
PH = h*tan(t)
On a :
$ \overline{{OM}}$ = $ \overline{{OP}}$ + overlineHP
donc :
$ \overrightarrow{OM}$ = $ \overrightarrow{OP}$ + $ \overrightarrow{OP}$*cos(t)*tan(t)) = $ \overrightarrow{OP}$*(1 + sin(t))
Donc on a :
$ \overrightarrow{OM}$ = h*(1 + sin(t))/cos(t)*exp(i*t)) = r*exp(i*t)
donc l'équation polaire de la strophoïde droite est :
r = h*(1 + sin(t))/cos(t).
Cette courbe ressemble à un morceau de conchoïde de droite lorsque a > h. Remarque
Si on prend l'origine en H on a comme équation polaire:
r = - h*cos(2*t))/cos(t).

Avec Xcas
On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand P se déplace sur la droite d.
On tape :

O:=point(0,0);
h:=element(1..5);
d:=droite(x=h);
plotpolar(h*(1+sin(t))/cos(t),t,affichage=rouge);
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('P:=point(h+i*tan(u)*h)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(h*(1+sin(u))/cos(u))*exp(i*u)',u,-10,10,0.5));


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve