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Somme et produit se ramenant à des sommes de Riemann

  1. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n-1}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{k(n-k)}}}}$.
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(1/sqrt(k*(n-k)),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt pi$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{\sqrt{x*(1-x)}}}}$ est convergente vers $ \pi$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/(sqrt(x*(1-x))),x,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{pi}{2}+\frac{pi}{2}$

  2. Soit Pn = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$($\displaystyle \prod_{{k=1}}^{n}$(k + n))$\scriptstyle {\frac{}{}}$1n.
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Pn.
    On a :
    ln(Pn) = - ln(n) + $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{k=1}}^{n}$ln(k + n) = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{k=1}}^{n}$ln(1 + k/n)
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(1/n*\ln(1+k/n),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt 2*log(2)-1$

    Donc $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Pn = exp(2*ln(2) - 1) = $\displaystyle {\frac{{4}}{{e}}}$


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve