Déterminons la valeur de
yn = S(xn, n) =
- (- 1)ksin(kn
/(n + 1))/k
Par définition, on a :
S(
x,
n) =

(- 1)
k+1
et
yn =
S(
xn,
n) =

- (- 1)
k
S
On a montré que :
S'(
x,
n) =
s(
x +

,
n) =
En intégrant cette égalité entre
et x, puisque
S(
, n) = 0, on obtient :
On fait le changement de variable t =
- 2u :
(t +
)/2 =
- u et dt = - 2du et comme
sin(
- u) = sin(u) et
sin((2n + 1)(
- u)) = sin((2n + 1)u) on a :
Puisque
xn =
on a :
= -
.
Donc
Exercice
Montrez que :
Pour cela on utilisera la continuité de la fonction
g définie sur [0;
[ par :
g(0) = 0,
g(x) =
-
pour
x
]0;
[
et on montrera que
sin((2n + 1)t)g(t)dt tend vers zéro
quand n tend vers +
.
Correction de l'exercice
On tape en effet :
limit(1/sin(x)-1/x,x,0)
On obtient 0
donc g est continue sur [0;
[.
Donc il existe K tel que pour tout
x
[0;
/2] | g(x)| < K.
Puisque
<
quand
n
, on a :
|

sin((2
n + 1)
t)
g(
t)
dt| <
K
Donc
sin((2n + 1)t)(
-
)dt tend vers zéro quand n tend vers +
.
On en déduit :
yn = 

dt
On fait le changement de variable v = (2n + 1)t donc dv/v = dt/t, donc
On tape :
romberg(sin(t)/t,t,0,pi)
On obtient :
1.85193705198
On tape :
evalf(pi/2)
On obtient :
1.57079632679
Donc
et il a une bosse puisque 1.57079632679<1.85193705198