On obtient la figure ci-dessus :
On peut montrer par des considération d'angles que V se trouve à
l'intérieur du triangle ARP (
+
>
et
<
-
) etc...
On va montrer qu'alors P, Q, R sont les points de concours des
trissectrices intérieures de Morley.
Calculons quelques angles :
=
- (
- b) -
- (
- a) = a + b =
- c donc
=
- c +
- a =
+ b
de même
=
- b et
=
- b +
- a =
+ c
donc
= a
de même
= b et
= c
=
=
- (
- c) =
+ 2*c
=
-
=
+ c =
+
- c =
+
PU est la médiatrice de RQ puisque PQ = PR et UQ = UR.
PU est donc aussi la bissectrice intérieure de l'angle U et
=
donc d'après le lemme :
P est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle UAB
de même,
Q est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle VBC
et
R est le point de
concours des bissectrices intérieures du triangle WAC.
L'angle A vaut donc 3a, l''angle B vaut donc 3b et l''angle C vaut donc 3c ce qui prouve que P, Q, R sont les points de concours des trissectrices intérieures de Morley.