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Une forme quadratique de 4 variables X,Y,Z,T peut s'interpréter dans
l'espace projectif Oxyz comme le premier membre de l'équation d'une
quadrique.
Par exemple soit :
q(x,y,z)=0 est l'équation d'une quadrique.
On associe à q la forme quadradique Q :
Q(x,y,z,t):=normal(t^
2*normal(q(x/t,y/t,z/t)))
et la matrice carrée A d'ordre 4 :
A:=q2a(Q(x,y,z,t),[x,y,z,t])
On obtient :
A:=[[4,-2,2,4],[-2,1,-1,-2],[2,-1,1,2],[4,-2,2,2]]
on retrouve la forme Q à partir de A si :
v:=[x,y,z,t]
la forme quadratique est :
Q(op(v)):=normal((v*A*tran(v))[0]) ou plus simplement :
Q(op(v)):=normal(v*A*v)
on retrouve la forme Q à partir de A si :
v1:=[x,y,z,1]
q(op(v1)):=normal(v1*A*v1)
et Q(v)=0 représente une quadrique Q de l'espace projectif.
Les points doubles de Q vérifie A*tran(v)=[0,0,0,0] ie
tran(v) est un élément du noyau de A.
Discussion selon le rang r de A : r:=rank(A)
- Si r=4, Q est une quadrique propre ou non dégénérée
sans point double.
- Si r=3, Q est un cône et a un point double S qui est
le sommet du cône.
- Si r=2, q est le produit de 2 formes linéaires
indépendantes et Q est formée de 2 plans distincts et secants selon
la droite lieu des points doubles de Q.
- Si r=1, q est le carré d'une forme linéaire non nulle et
Q est un plan de points doubles.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve