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Changement de base

Soit u l'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est :

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrrr}
1&a&0&0\\
0&1&a&0\\
0&0&1&a\\
0&0&0&1
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrrr}
1&a&0&0\\
0&1&a&0\\
0&0&1&a\\
0&0&0&1
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrr}
1&a&0&0\\
0&1&a&0\\
0&0&1&a\\
0&0&0&1
\end{array}}\right]$

Déterminer la matrice B de u dans la base :
E1 = e1
E2 = e1 + e2
E3 = e1 + e2 + e3
E4 = e1 + e2 + e3 + e4

Correction
On tape :
A:=[[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]
On définit la matrice de passage P en mettant en colonne les coordonnées des nouveaux vecteurs de base :
P:=[[1,1,1,1],[0,1,1,1],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]
On définit la matrice de u dans la nouvelle base :
B:=normal(changebase(A,P))
On obtient :
[[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]
On a :
B = inv(P)*A*P

Vérifions :
On tape :
E1:=[1,0,0,0]
E2:=[1,1,0,0]
E3:=[1,1,1,0]
E4:=[1,1,1,1]
On tape :
A*E1 On obtient :
[1,0,0,0]
On tape :
A*E2
On obtient :
[1,1,0,0]
On tape :
A*E3
On obtient :
[1,1,1,0]
On tape :
A*E4
On obtient :
[1,1,1,1]



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve