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Un exemple

Rappel Le théorème de Fermat :
Si n est premier et si k est un entier quelconque alors kn = k mod n.
et donc
Si n est premier et si k est premier avec n alors kn-1 = 1 mod n.

Soit N = 561 = 3*11*17. Il se trouve que l'on a : pour tout A (A < N), on a AN = A  mod N, donc si A est premier avec N on a AN-1 = 1  mod N, le test de Rabin est donc en defaut, seulement pour A non premier avec N. Par exemple on a :
3560 = 375  mod 561
11560 = 154  mod 561
17560 = 34  mod 561
471560 = 375  mod 561
mais pour tous les nombres A non multiples de 3, 11 ou 17 on a :
AN-1 = 1  mod 561.
Par exemple on a :
5560 = 1  mod 561.
52N-1 = 1  mod 561.
On risque donc de dire avec le test de Rabbin que 561 est pseudo-premier.
Il faut donc affiner le test en remarquant que si N est premier l'équation: X2 = 1 mod N n'a pour solution que X = 1 mod N ou X = - 1 mod N.
Le test de Miller-Rabin est basé sur cette remarque.
Pour N = 561, N - 1 = 560, on a : 560 = 35*216
1335 = 208  mod 561
1335*2 = 67  mod 561
1335*4 = 1  mod 561
1335*8 = 1  mod 561...
On vient de trouver que 67 est solution de X2 = 1 mod 561 donc on peut affirmer que 561 n'est pas premier.
A = 13 vérifie le test de Rabin car 13560 = 1  mod 561
mais ne vérifie pas le test de Miller-Rabin car
1335*2 $ \neq$ -1 mod 561 et 1335*2 $ \neq$ 1 mod 561
et pourtant 1335*4 = 1335*4 = 1  mod 561
Par contre ce test ne suffit pas pour affirmer qu'un nombre est premier car :
10135 = 560 = - 1 mod 561 et donc 10135*2 = 1 mod 561 et cela ne fournit pas de solutions autre que 1 ou -1 à l'équation X2 = 1 mod 561.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve