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Exercice 2

On considère la fonction f de $ \mathbb {R}$ dans $ \mathbb {R}$ définie par :

f (x) = $\displaystyle {\frac{{\exp(x)^2-\exp(x)+1}}{{\exp(x)^3+\exp(x)}}}$

  1. Montrer que pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, P(x) = x4 -2x3 +2x2 +1 $ \geq$ 1
  2. Étudier les variations de f et tracer son graphe.
  3. Trouver l'équation de la tangente au graphe au point d'abscisse x = 0
  4. Calculer $\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt  puis, $\displaystyle \lim_{{x->+\infty}}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt

Réponses

  1. On tape :
    factor(x^4-2x^3+2x^2)
    On obtient :
    (x^2+-2*x+2)*x^2
    On tape :
    canonical_form(x^2-2*x+2)
    On obtient :
    (x-1)^2+1
    Donc pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, x4 -2x3 +2x2 = x2*(x - 1)2 + x2 $ \geq$ 0
    donc pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, P(x) = x4 -2x3 +2x2 +1 $ \geq$ 1

  2. On tape pour calculer la valeur de la dérivée de f en un point :
    normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))
    On obtient :
    (-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/ ((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))

    Le numérateur est négatif car il est égal à - P(exp(x)) et le dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
    Pour chercher la limite de f en + $ \infty$, on tape :

    limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)
    On obtient :
    0
    Pour chercher la limite de f en - $ \infty$, on tape :
    limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)
    On obtient :
    infinity
    Pour tracer le graphe de f, on tape :
    plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)
    On obtient le graphe de f.

  3. On définit la fonction f, on tape :
    f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))
    On calcule f (0), on tape :
    f(0)
    On obtient

    $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$

    On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :
    df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)
    On calcule df (0), on tape :
    df(0)
    On obtient :

    - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$

    L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc :
    y = df (0)*x + f (0) c'est à dire y = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$x + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$.
    ou encore on tape :
    equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])
    On obtient :
    y=(1/-2*x+1/2)y=(1/-2*x+1/2)

  4. On calcule l'intégrale : $\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt
    On tape :
    int(f(t),t,0,x)
    On obtient :
    (ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)* 1/2/exp(x)-1/2*ln(2)
    Puis on calcule : $\displaystyle \lim_{{x->+\infty}}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt, on tape :
    limit((ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2) *1/2/exp(x)-1/2*ln(2),x=+infinity)
    On obtient :
    -1/2*ln(2)+1


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve, Bernard Parisse et Bernard Ycart