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Accélération de convergence vers $ \pi^{2}_{}$/6

On considère la série de terme général 1/n2, et on souhaite déterminer une valeur approchée de sa somme pour n allant de 1 à l'infini.
On rappelle que la valeur exacte de cette somme est égale à $ \pi^{2}_{}$/6 : pour cela on développe en séries de Fourier la fonction f qui est 2$ \pi$-périodique et est égale à x2 sur [- $ \pi$$ \pi$].
On a :
f (x) = x2 = $\displaystyle {\frac{{\pi^2}}{{3}}}$ +4*$\displaystyle \sum_{{n=1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^n}}{{n^2}}}$cos nx  pour  x $ \in$ [- $ \pi$$ \pi$]
Pour x = $ \pi$ on obtient : $\displaystyle \sum_{{n=1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi^2}}{{6}}}$.
  1. Déterminer à l'aide de Xcas une valeur approchée de $ \pi^{2}_{}$/6 puis de:

    $\displaystyle \sum_{{j=1}}^{{n}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$

    pour n = 10, n = 100 et n = 1000.
    Définir et observer dans le tableur la suite récurrente :
    $ \tt u_1=1$
    $ \tt u_2=1+1/4$
    $ \tt u_n=u_{n-1}+1/n^2$ pour n > 1.
    Réponse :
    On cherche une valeur approchée de $ {\frac{{\pi^2}}{{6}}}$ et on tape :
    evalf(pi^2/6)
    On obtient :
    1.64493406685
    On tape :
    evalf(sum(1/j^2,j,1,10))
    On obtient :
    1.54976773117
    On tape :
    evalf(sum(1/j^2,j,1,100))
    On obtient :
    1.63498390018
    On tape :
    evalf(sum(1/j^2,j,1,1000))
    On obtient :
    1.64393456668
    Puis on ouvre un tableur (avec Alt+t) et on tape :
    dans A0 : 0
    dans A1 : =A0+1
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en surbrillance, pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
    On tape :
    dans B0 : 0
    dans B1 : =B0+1/A1^2
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de un.
    On tape :
    dans C0 : =evalf(B0)
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque C0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de un.
  2. Comparer ces valeurs à la valeur approchée de $ \pi^{2}_{}$/6 : donner le nombre de décimales exactes pour les 3 valeurs de n.

  3. On souhaite accélérer la convergence des sommes partielles. On va donc déterminer un encadrement de $ \sum_{{j=n+1}}^{\infty}$1/j2 à l'aide de l'intégrale de la fonction 1/x2. Montrer que:

    $\displaystyle \int_{{n+1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$ dx $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sum_{{j=n+1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_{{n}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$ dx

  4. En déduire que:

    0 $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sum _{j=1} ^n \frac{1}{j^2} +
\frac{1}{n}}\right.$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sum _{j=1} ^n \frac{1}{j^2} +
\frac{1}{n}}\right)$ - $\displaystyle {\frac{{\pi^2}}{{6}}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{n(n+1)}}}$

  5. Calculer $ {\frac{{1}}{{n}}}$ + $ \sum_{{j=1}}^{n}$$ {\frac{{1}}{{j^2}}}$ pour n = 10, n = 100 et n = 1000 et déterminer le nombre de décimales exactes pour ces 3 valeurs de n, justifier ce nombre de décimales pour n = 10, n = 100 et n = 1000.

    Avec le tableur, il suffira d'ajouter $ {\frac{{1}}{{n}}}$ à la colonne où se trouve un.

  6. Montrer que pour k $ \geq$ 2 on a :

    $\displaystyle {\frac{{1}}{{k}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{k+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2k(k+1)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(k+1)(k+2)}}}$ < $\displaystyle {\frac{{1}}{{k^2}}}$ < $\displaystyle {\frac{{1}}{{k}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{k+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(k-1)k}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2k(k+1)}}}$

    En déduire que :
    wn = un + 1/(n + 1) + 1/2/(n + 1)/(n + 2) converge vers $ \pi^{2}_{}$/6 et que l'on a :
    0 < $ \pi^{2}_{}$/6 - wn < 1/n3

Réponse :
On tape :
normal(1/k^2-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k+1)+1/2/(k+1)/(k+2))
On obtient :
2/(k^4+3*k^3+2*k^2)
On tape :
normal(1/(k^2)-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k-1)+1/2/(k+1)/k)
On obtient :
-1/(k^4-k^2)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve