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Tout nombre premier avec 10 a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1

Un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, sera dit nombre en 1, si il s'écrit avec p uns, on le notera xp. On va tout d'abord montrer que tout nombre n premier avec 10 a un multiple m qui ne s'écrit qu'avec des 1 (il existe k telque m = xp = 1..1 = k*n).
Si n n'est pas premier avec 10, on écrit n = 2a*5b*q (avec pgcd(q,10)=1), on multiplie ce nombre n par 2b-a si b > a ou par 5a-b si b < a pour obtenir le nombre q*10| a-b| et on applique le résultat précédent à q et obtenir ainsi un multiple de n qui s'écrit avec des 1 suivi par | a - b| zéros. Exemple :
si n = 37 on a 37*3 = 111
si n = 74 = 2*37 on a 74*3*5 = 74*15 = 1110
si n = 185 = 5*37 on a 185*3*2 = 185*6 = 1110

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve