next up previous contents index
suivant: x2003 et x2004 sont-ils monter: 7 a un multiple précédent: Essais avec Xcas   Table des matières   Index

Observations

1/ On n'a pas obtenu 3 comme reste car :
irem(31,7)=3 et donc
irem(311...1,7)=3
2/ Pourquoi obtient-on 0 comme reste ?
notons xp = 11...1 = $\displaystyle {\frac{{10^p-1}}{{9}}}$ le nombre s'écrivant avec p fois le chiffre 1. On veut montrer qu'il existe p tel que xp est divisible par 7. La suite des restes est périodique car les restes sont en nombres finis et supposons que :
$ \tt irem(x_p,7)=irem(x_q,7)$ avec p > q on a alors :
$ \tt irem(x_p-x_q,7)=0$
On a xp - xq est divisible par 7 et
xp - xq = $ {\frac{{10^p-10^q}}{{9}}}$ = 10q$ {\frac{{10^{p-q}-1}}{{9}}}$ = 10qxp-q
Donc 10qxp-q est divisible par 7, comme 10 et 7 sont premiers entre eux on en déduit que xp-q est divisible par 7.

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve