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Il y a des cas simples :
- lorsque a
1 on est sûr que les 2 hélices se touchent
quelquesoit b,
- lorsque a > 2 on est sûr que les 2 hélices ne se touchent pas
quelquesoit b.
Il reste donc à étudier le cas 1 < a
2.
Supposons qu'à un moment donné les 2 hélices se touchent : par exemple
le point A1 touche l'hélice2 en M avec O2M=c : cela forme
un triangle de côtés
a, c, 1 (0 < c
1 et d'angle b ou
- b opposé au côté a).
On a donc la relation :
a2 = 1 + c2 -2*c*cos(b) = (1 - c)2 +2*c*(1 - cos(b))
ou la relation :
a2 = 1 + c2 +2*c*cos(b) = (1 - c)2 +2*c*(1 + cos(b))
Si il y a collision c'est qu'il existe
0 < c
1 vérifiant l'une de ces 2
équations du second degré en c de discriminant
= cos(b)2 -1 + a2.
Puisque a > 1, on a a > sin(b) donc
> 0 : il y a donc 2 solutions de
signe contraire puisque le produit des racine vaut 1 - a2 < 0, donc 0 se
trouve à l'intérieur des racines.
Si il y a collision c'est qu'il existe une racine comprise entre 0 et 1, donc
1 se trouve à l'extérieur des racines.
On a pour c = 0,
1 + c2 -2*c*cos(b) - a2 (resp
1 + c2 +2*c*cos(b) - a2)
vaut 1 - a2 < 0 puisque a > 1 et,
pour c = 1, on a
1 + c2 -2*c*cos(b) - a2 (resp
1 + c2 +2*c*cos(b) - a2)
vaut
2 - 2 cos(b) - a2 (resp
2 + 2 cos(b) - a2).
L'une de ces quantités est positive si il y a une solution entre 0 et 1,
donc
a2
2 - 2 cos(b) - a2 = 4*c2*sin(b/2)2 ou
a2
2 + 2 cos(b) - a2 = 4*c2*cos(b/2)2
Donc si il y a collision, c'est que
a
2*sin(b/2) ou
a
2*cos(b/2).
Réciproquement supposons :
-
a
2*sin(b/2)
Il existe c entre 0 et 1 et un triangle de côtés a, 1, c, d'angle
opposé au côté a égal à b.
En effet, l'équation :
eq
(x) = x2 -2*x*cos(b) + 1 - a2 = 0 a une solution c comprise dans ]0;1] car
eq
(0) = 1 - a2 < 0 puisque a > 1 et
eq
(1) = 1 - 2*cos(b) + 1 - a2 = 4*sin(b/2)2 - a2
0
d'après l'hypothèse.
-
a
2*cos(b/2)
Il existe c entre 0 et 1 et un triangle de côtés a, 1, c, d'angle
opposé au côté a égal à
- b.
En effet l'équation :
eq
(x) = x2 -2*x*cos(
- b) + 1 - a2 = 0 a une solution c comprise dans ]0;1]
puisque eq
(0) = 1 - a2 < 0 car a > 1 et
eq
(1) = 1 + 2*cos(b) + 1 - a2 = 4*cos(b/2)2 - a2
0 d'après l'hypothèse.
Si
a
2*sin(b/2) ou
a
2*cos(b/2), la construction d'un tel
triangle est possible ce qui prouve qu'il y a
collision entre les 2 hélices.
Donc si on a
a > 2*sin(b/2) et
a > 2*cos(b/2), on est sûr que la
collision n'est pas possible.
Cela veut dire que si l'on choisit
a > 2*max(sin(b/2), cos(b/2)), il
n'y aura pas de collision possible.
Par exemple :
pour b =
/2 on doit choisir a >
,
pour b =
/3 on doit choisir a >
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve