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Le raisonnement

Il est évident que depuis D on peut toujours voir les points A, B, C et inversement d'un des points A, B, C on peut toujours voir le point D.
Pour que l'on puisse voir B et C depuis le point A il ne faut pas que le cercle C4, intersection du cône K4 avec le plan ABC coupe les segments AB et AC. Pour que l'on puisse voir C depuis le point B il ne faut pas que le cercle C4 coupe le segments BC. IL faut donc chercher l'intersection C4, du cône K4 avec le plan ABC, à savoir son centre et son rayon. Son centre a pour coordonnées 1/2,$ \sqrt{3}$/6, r.
Si son rayon vaut r1, on sait que la hauteur du cône K4 vaut 2*R et Comme le demi-angle au sommet du cône K4 a pour tangente 1/2, la distance du centre de C4 au sommet de K4 est égale au double du rayon du cercle C4 donc :
2*R = r + 2*r1 or R = $ \sqrt{3}$/3 - r donc :
2*R = 2*$ \sqrt{3}$/3 - 2*r = r + 2*r1 r1 = $ \sqrt{3}$/3 - 3*r/2.
Pour tracer ce cercle en vert il faut taper :
r1:=sqrt(3)/3-3*r/2
affichage(cercle([1/2,sqrt(3)/6,r],[r1,0,0],A),vert)

Lorsque ce cercle est tangent aux segments AB, BC et AC il est facile de trouver son rayon car c'est donc le cercle inscrit au triangle ABC. Comme le triangle ABC est équilatéral, son rayon vaut $ \sqrt{3}$/6. donc 2*R = r + $ \sqrt{3}$/3 0n a donc, le cercle C4 est tangent aux segments AB, BC et AC :
r1 = $ \sqrt{3}$/3 - 3*r = $ \sqrt{3}$/6,
c'est à dire :
r = $ \sqrt{3}$/9 = a et evalf(sqrt(3)/9)=0.19245008973.
Si r < a chaque segment AB, BC et AC coupent le cône K4 en 2 points et si r $ \geq$ a les segments sont tangents ou extérieurs au cône K4.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve