^
-1*A*P
^
n=P^
-1*A^
n*P
^
n=P*B^
n*P^
-1
^
n=[[2^
n,0,0,0],[0,(-1)^
n,0,0],[0,0,3^
n,0],[0,0,0,1]]
2^
n,0,0,0],[0,(-1)^
n,0,0],[0,0,3^
n,0],[0,0,0,1]]
Autre méthode :
On calcule le polynômr caractéristique de A.
On tape :
pcar(A)
On obtient :
[1,-5,5,5,-6]
r2e([1,-5,5,5,-6],X)=(((X-5)*X+5)*X+5)*X-6
Donc le polynôme caractéristique de A est :
X4 -5*X3 +5*X2 + 5*X - 6
On tape :
factor(r2e([1,-5,5,5,-6],X))
On obtient :
(X-2)*(X-3)*(X+1)*(X-1)
La matrice A a donc 4 valeurs propres distinctes, et on a :
A4 -5*A3 +5*A2 + 5*A - 6*idn(4) = 0
Donc :
A4 = 5*A3 -5*A2 - 5*A + 6*idn(4)
An+4 = 5*An+3 -5*An+2 -5*An+1 +6*An
On va donc étudier les suites récurrentes vérifiant :
(1)
un+4 = 5*un+3 -5*un+2 -5*un+1 +6*un
en cherchant les progressions géométriques de raison r
qui vérifient (1). La raison est donc solution de :
X4 -5*X3 +5*X2 + 5*X - 6 = (X - 2)*(X - 3)*(X + 1)*(X - 1) = 0
c'est à dire on peut avoir :
r = - 1 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3
donc comme une suite récurrente qui vérifie (1) est entièrement définie
par ses 4 premiers termes :
u0, u1, u2, u3, si il existe a, b, c, d
tel que :
u0 = a*(- 1)0 + b*10 + c*20 + d*30 = a + b + c + d
u1 = a*(- 1)1 + b*11 + c*21 + d*31 = - a + b + 2*c + 3*d
u2 = a*(- 1)2 + b*12 + c*22 + d*32 = a + b + 4*c + 9*d
u3 = a*(- 1)3 + b*13 + c*23 + d*33 = - a + b + 8*c + 27*d
on aura :
un = a*(- 1)n + b*1n + c*2n + d*3n
On tape :
g(u0,u1,u2,u3):=linsolve([a+b+c+d=u0,-a+b+2*c+3*d=u1,
a+b+4*c+9*d=u2,-a+b+8*c+27*d=u3],[a,b,c,d])
Puis :
g(u0,u1,u2,u3)
On obtient :
[1/4*u0+-11/24*u1+1/4*u2+1/-24*u3,3/2*u0+1/4*u1-u2+1/4*u3,
-u0-1/-3*u1+u2-1/3*u3,1/4*u0+1/-8*u1+1/-4*u2+1/8*u3]
On tape :
normal((-1)^
n*(1/4*idn(4)+-11/24*A+1/4*A^
2+1/-24*A^
3)+
3/2*idn(4)+1/4*A-A^
2+1/4*A^
3+2^
n*(-idn(4)-1/-3*A+A^
2-
1/3*A^
3)+3^
n*(1/4*idn(4)+1/-8*A+1/-4*A^
2+1/8*A^
3))
ou on tape :
vn:=[(-1)^
n,1,2^
n,3^
n]
puis,
vn*g(idn(4),A,A^
2,A^
3)
On obtient :