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le texte de l'exercice

  1. Vérifier que :

    $\displaystyle {\frac{{13}}{{18}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{5}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{45}}}$

  2. On donne deux entiers a et b vérifiant : 0 < b < a. On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b (a = bq + r avec 0 $ \leq$ r < b).

    Démontrer que :

    q > 0

    $\displaystyle {\frac{{1}}{{q+1}}}$ < $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{q}}}$

  3. On définit u et v par :

    $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{q+1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{v}}{{u}}}$

    et

    u = a(q + 1)

    Exprimer v en fonction de b et r.

    Démontrer que :

    v $\displaystyle \leq$ b < a < u

    Si r = 0, vérifier que :

    $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{q}}}$

  4. Si r est différent de zéro, on pose : a1 = u et b1 = v.

    Puis, on recommence : on divise a1 par b1.
    On trouve un quotient q1 et un reste r1.Si r1 est nul, vérifier que :

    $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{q+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{q_1}}}$

    Si r1 n'est pas nul, on recommence.

    Montrer qu'il existe une suite finie d'entiers Q0, Q1,...Qn strictement croissante telle que :

    $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{Q_0}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{Q_1}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{1}}{{Q_n}}}$

  5. Rédiger l'algorithme décrit ici et l'appliquer à la fraction :

    $\displaystyle {\frac{{151}}{{221}}}$


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve