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Recherche d'une base de vecteurs courts d'un réseau : lll
lll a comme argument une matrice inversible M à coefficients entiers.
lll renvoie (S, A, L, O) :
- S a comme lignes une base courte du reseau engendré par les
lignes de M,
- A est la matrice de passage de la base courte à la base définie
par les lignes de M (A*M = S),
- L est une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sont
de module plus petits que 1/2,
- O est une matrice dont les lignes sont orthogonales et on a L*O = S.
Si en dimension 2, un vecteur du réseau a comme coordonnées [a, b] dans
la base définie par M et a comme coordonnées [a1, b1] dans la base
courte définie par S c'est à dire si
[a, b]*M = [a1, b1]*S, alors :
[a, b] = [a1, b1]*A
[a1, b1]*S = [a1, b1]*A*M = [a, b]*M et
[a, b]*M = [a, b]*A-1*S = [a1, b1]*S
On tape :
(S,A,L,O):=lll([[2,1],[1,2]])
On obtient :
[[-1,1],[2,1]],[[-1,1],[1,0]],[[1,0],[1/-2,1]],[[-1,1],[3/2,3/2]]
Donc :
S=[[-1,1],[2,1]]
A=[[-1,1],[1,0]]
L=[[1,0],[1/-2,1]]
O=[[-1,1],[3/2,3/2]]
On a comme ancienne base : v1=[2,1], v2=[1,2] et
comme base courte : w1=[-1,1], w2=[2,1].
Puisque w1=-v1+v2 et w2=v1 on a
A:=[[-1,1],[1,0]], A*M==S et L*O==S.
On tape :
(S,A,L,O):=lll([[3,2,1],[1,2,3],[2,3,1]])
On obtient :
S=[[-1,1,0],[-1,-1,2],[3,2,1]]
A= [[-1,0,1],[0,1,-1],[1,0,0]]
L= [[1,0,0],[0,1,0],[(-1)/2,(-1)/2,1]]
O= [[-1,1,0],[-1,-1,2],[2,2,2]]
si on tape :
M:=[[3,2,1],[1,2,3],[2,3,1]]
On a :
A*M==S et L*O==S
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve