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Application à deux échantillons prenant deux valeurs
Soient f1(1) et f1(2) les fréquences observées sur deux échantillons d'un caractère
dont la fréquence théorique est p. Cette observation est faite à partir
de deux échantillons de taille respéctive n(1) et n(2) (même notations qu'en 2.11.1).
On veut savoir si les fréquences f1(1) et f1(2)
sont significativement
différentes ce qui voudrait dire que les deux échantillons proviennent de
deux populations différentes de paramètre p1 et p2 ou si au
contraire les deux échantillons proviennent d'une même population
de paramètre p = p1 = p2 c'est à dire que ces deux échantillons sont
ceux d'une même loi (voir aussi 2.9.1).
On a :
n(1) + n(2) = n
f1(1)n(1) = n1(1) et
(1 - f1(1))n(1) = n2(1)(= f2(1)n(1))
f1(2)n(2) = n1(2) et
(1 - f1(2))n(2) = n2(2)(= f2(2)n(2))
n1 = f1(1)n(1) + f1(2)n(2)
n2 = (1 - f1(1))n(1) + (1 - f1(2))n(2)
= n(i)nj/n donc
- n1(1) = n(1)(f1(1)n(1) + f1(2)n(2))/(n(1) + n(2)) - f1(1)n(1) =
n(2)n(1)(f1(2) - f1(1))/(n(1) + n(2))
- n1(2) = n(2)(f1(1)n(1) + f1(2)n(2))/(n(1) + n(2)) - f1(2)n(2) =
n(1)n(2)(f1(1) - f1(2))/(n(1) + n(2))
- n2(1) = n(1)((1 - f1(1))n(1) + (1 - f1(2))n(2))/(n(1) + n(2)) - (1 - f1(1))n(1) =
n(1)n(2)(f1(1) - f1(2))/(n(1) + n(2))
- n2(2) = n(2)((1 - f1(1))n(1) + (1 - f1(2))n(2))/(n(1) + n(2)) - (1 - f1(2))n(2) =
n(1)n(2)(f1(2) - f1(1))/(n(1) + n(2))
1/
+1/
+1/
+1/
=
(n(1) + n(2))(
+
)(
+
) =
(
+
) =
La variable D2 suit une loi du
a 1 degré de liberté : on
a 2 échantillons (m = 2) et chaque échantillon ne prend que 2 valeurs,
(k = 2) donc
s = (m - 1)(k - 1) = 1.
La variable D2 s'écrit alors :
D2 =
ou encore
D2 =
D2 suit une loi du
ayant 1 degré de liberté.
Exercice (le même qu'en section 2.9.1)
Pour tester l'efficacité d'un vaccin antigrippal on soumet 300 personnes
à une expérience :
- sur 100 personnes non vaccinées, 32 sont atteintes par la grippe,
- sur 200 personnes vaccinées, 50 sont atteintes par la grippe,
Ce résultat permet-il d'apprécier l'efficacité du vaccin ?
On a le tableau suivant :
|
grippé |
non grippé |
taille |
vacciné |
32 |
68 |
100 |
non vacciné |
50 |
150 |
200 |
total |
82 |
218 |
300 |
On calcule la valeur d2 de D2 on tape :
d2:=300*(150*32-68*50)^
2/(100*200*82*218)
On obtient :
7350/4469
donc
d2
1.645
On cherche la valeur h qui vérifie :
Proba(
> h) = 0.05 ou encore
Proba(
h) = 0.95
pour cela on tape :
chisquare_icdf(1,0.95)
On obtient :
3.84145882069
donc
h
3.84
Puisque
on en déduit que les deux échantillons
ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc
mettre en doute l'efficacité du vaccin.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve