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La loi Normale ou loi de Gauss

La variable aléatoire X suit une loi Normale ou loi de Gauss de paramètres $ \mu$,$ \sigma$($ \sigma$ > 0) si :
- X a pour valeurs tous les réels,
- Prob(a $ \leq$ X < b) = $ \int_{a}^{b}$f (t)dt f (x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sigma\sqrt{2\pi}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\scriptstyle {\frac{{x-\mu}}{{\sigma}}}$)2 (f est la densité de probabilité et a comme représentation graphique une courbe en cloche).
On note cette loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$).
On a :
$ \tt E(X)=\mu$
$ \tt\sigma(X)=\sigma$.
On dit que $ \mathcal {N}$(0, 1) est la loi normale centrée réduite. Si X suit la loi $ \mathcal {N}$(0, 1) alors :
Prob(a $ \leq$ X < b) = $ \int_{a}^{b}$ = $ {\frac{{1}}{{\sqrt{2\pi}}}}$e-$\scriptstyle {\frac{{t^2}}{{2}}}$dt
Si X suit la loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$) alors $\displaystyle {\frac{{X-\mu}}{{\sigma}}}$ suit la loi $ \mathcal {N}$(0, 1).
On a des tables où on peut lire que :
P($\displaystyle {\frac{{\vert X-\mu\vert}}{{\sigma}}}$ > 1.96) = 0.05,
P($\displaystyle {\frac{{\vert X-\mu\vert}}{{\sigma}}}$ > 2.58) = 0.01,
P($\displaystyle {\frac{{\vert X-\mu\vert}}{{\sigma}}}$ > 3.1) = 0.001,
et on a P($\displaystyle {\frac{{\vert X-\mu\vert}}{{\sigma}}}$ > t) = 1 - 2$\displaystyle \int_{0}^{t}$f (x)dx.

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve