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La solution

  1. paire_carre1():={
    local a,b,q,p,L;
    L:=NULL;
    pour p de 0 jusque 100 faire
    pour q de p jusque 100 faire
    a:=sqrt(q+p);
    b:=sqrt(q-p);
    si (a==floor(a) et b==floor(b)) alors
    L:=L,[p,q];
    fsi
    fpour
    fpour
    return L
    }:;
    
    On tape :
    L1:=paire_carre()
    On obtient :
    [0,0],[0,1],[0,4],[0,9],[0,16],[0,25],[0,36],[0,49],
    [0,64],[0,81],[0,100],[2,2],[4,5],[6,10],[8,8],[8,17],
    [10,26],[12,13],[12,37],[14,50],[16,20],[16,65],
    [18,18],[18,82],[20,29],[24,25],[24,40],[28,53],
    [30,34],[32,32],[32,68],[36,45],[36,85],[40,41],[42,58],
    [48,52],[48,73],[50,50],[54,90],[56,65],[60,61],[64,80],
    [70,74],[72,72],[72,97],[80,89],[84,85],[96,100],[98,98]
    
    On tape : dim(L1)
    On obtient; 49
  2. Si (p, q) est une paire carrée, on a :
    q + p = a2 et q - p = b2
    donc p = (a2 - b2)/2, donc a2 - b2 est pair c'est à dire a2 - b2 = 0 mod 4, soit a2 - b2 = 2 mod 4.
  3. Soit n $ \in$ $ \mathbb {N}$ ;
    si n est pair alors n2 = 0 mod 4, en effet, si n = 2k on a n2 = 4k2 et
    si n est impair alors n2 = 1 mod 4 en effet si n = 2k + 1 on a n2 = 4k2 + 4k + 1.
  4. Donc on a soit a2 - b2 = 0 mod 4, soit a2 - b2 = 1 mod 4 soit a2 - b2 = 3 mod 4.
    et puisque a2 - b2 = 0 est pair, on en déduit qu a2 - b2 = 0 mod 4 on en déduit que p est pair.
    On tape :
    paire_carre2():={
    local a,b,q,p,L;
    L:=NULL;
    pour p de 0 jusque 100 pas 2 faire
    pour q de p jusque 100 faire
    a:=sqrt(q+p);
    b:=sqrt(q-p);
    si (a==floor(a) et b==floor(b)) alors
    L:=L,[p,q];
    fsi
    fpour
    fpour
    return L
    }:;
    
    On tape :
    L2:=paire_carre()
    On obtient comme précédement:
    [0,0],[0,1],[0,4],[0,9],[0,16],[0,25],[0,36],[0,49],
    [0,64],[0,81],[0,100],[2,2],[4,5],[6,10],[8,8],[8,17],
    [10,26],[12,13],[12,37],[14,50],[16,20],[16,65],
    [18,18],[18,82],[20,29],[24,25],[24,40],[28,53],
    [30,34],[32,32],[32,68],[36,45],[36,85],[40,41],[42,58],
    [48,52],[48,73],[50,50],[54,90],[56,65],[60,61],[64,80],
    [70,74],[72,72],[72,97],[80,89],[84,85],[96,100],[98,98]
    
    On tape : dim(L2)
    On obtient; 49

  5. On a si (p, q) est une paire carrée : 2p = a2 - b2 dond a2 - b2 est un multiple de 2 donc
    a2 et b2 ont même parité donc
    a et b ont même parité et donc a - b est un multiple de 2 c'est à dire est pair.
    On pose :
    a = b + 2n donc a2 = b2 +4nb + 4n2 et on a :
    p = (a2 - b2)/2 = 2nb + 2n2 et q = (a2 + b2)/2 = b2 +2nb + 2n2 = b2 + p.
    On veut obtenir toutes les paires carrées (p, q) vérifiant 0 $ \geq$ p $ \geq$ q $ \geq$ 1000, donc on doit avoir :
    0 $ \geq$ b2 $ \geq$ 1000 i.e 0 $ \geq$ b $ \geq$ 31 et
    0 $ \geq$ 2nb + 2n2 $ \geq$ 1000 et 0 $ \geq$ 2nb + 2n2 $ \geq$ 1000 - b2.
    On tape :
    supposons(b>=0 and b<=31);
    simplify(solve(b^2+2*n*b+n^2<1000,n))
    On obtient; [((n>(-10*sqrt(10)-b)) && ((10*sqrt(10)-b)>n))]
    On tape :
    paire_carre3():={
    local b,q,p,L,n,nmax;
    L:=NULL;
    pour b de 0 jusque 10*sqrt(10) faire
    nmax:=(sqrt(-b^2+2000))/2+b/-2;
    pour n de 0 jusque nmax faire
    p:=2*n*b+2*n^2;
    q:=b^2+p;
    L:=L,[p,q];
    fpour
    fpour
    return L
    }
    
    On tape :
    L3:=paire_carre():;
    Le calcul est tres rapide !!!!!
    On tape : dim(L3)
    On obtient : 421
  6. On tape : nuage_points(L3)
    On obtient :
    \framebox{\includegraphics[width=\textwidth]{nuageL3}}
  7. On a q = p + b2 donc les points sont sur les droites d'équations y = x + b2 pour b fixé.
    0n a p = 2nb + 2n2 donc b = (p/(2n) - n) donc q = p2/(4n2) + n2 donc les points sont sur les courbes d'équations y = x2/(4n2) + n2 pour n fixé.
    On tape et on obtient :
    \framebox{\includegraphics[width=\textwidth]{nuee}}


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve