Loi faible des grands nombres :
Soient X1, X2,.., Xn des variables aléatoires indépendantes de
moyenne ,
,..,
et d'écart-type
,
,..,
.
Si quand n tend vers l'infini
tend vers
et,
si quand n tend vers
l'infini
tend vers 0,
alors
=
converge en probabilité
vers
quand n tend vers l'infini (i.e. pour tout
et pour tout
il existe n0 tel que pour tout n > n0 on
a
Proba(|
-
| >
) <
).
Cas des échantillons :
Si X1,X2,..,Xn sont un échantillon de X de moyenne et
décart-type
, on a
=
= .. =
=
et
=
= .. =
=
.
Donc
=
et quand n tend vers l'infini
=
tend vers 0
ce qui montre que la variable aléatoire
=
converge en probabilité
vers
quand n tend vers l'infini.
Loi forte des grands nombres :
Soient X1, X2,.., Xn des variables aléatoires indépendantes de
moyenne ,
,..,
et d'écart-type
,
,..,
.
Si quand n tend vers l'infini
tend vers
et,
si
est convergente,
alors
=
converge presque
sûrement vers
quand n tend vers l'infini (i.e. dire que Yn
converge presque sûrement vers U c'est dire que l'ensemble des points de
divergene est de probabilité nulle i.e.
Proba(,
(Yn(
)
U(
)) = 0).
Cas des échantillons :
Si X1,X2,..,Xn sont un échantillon de X de moyenne et
décart-type
, on a
=
= .. =
=
et
=
= .. =
=
.
Donc
=
et
=
est convergente ce qui montre que :
=
converge presque sûrement
vers
quand n tend vers l'infini.
Le théorème central-limite :
Quand n tend vers l'infini, alors
=
converge en
loi vers U variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite
(dire que Yn converge en loi vers
U
(0, 1) veut dire que si
F est la fonction
de répartition de la loi normale centrée réduite et si Fn est la
fonction de répartition de Yn alors pour tout
x
, Fn(x)
tend vers F(x) quand n tend vers l'infini).