On a
f (k) -
f (t) dt =
(f (k) - f (t)) dt.
On se ramène à l'intervalle [0;1] en posant u + k - 1 = t :
(f (k) - f (t)) dt =
(f (k) - f (u + k - 1)) du
puis on applique la formule d'Euler-Mac Laurin à
g(u) = f (k) - f (u + k - 1) (
g(1) = 0, g(0) = f (k) - f (k - 1), g'(u) = - f'(u + k - 1)....) :
(f (k) - f (u + k - 1)) du =
+
- +
f(4)(u + k - 1) P4(u) du
donc
(f (k) - f (u + k - 1)) du =
+
-
+
f(4)(u + k - 1) P4(u) du
On trouve :
P0 = 1
P1 = x - 1/2
P2 = x2/2 - x/2 + 1/12
P3 = x3/6 - x2/4 + x/12
P4 = x4/24 - x3/12 + x2/24 - 1/720
P5 = x5/120 - x4/48 + x3/72 - x/720
P6 = x6/720 - x5/240 + x4/288 - x2/1440 + 1/30240
car int(x^
6/720-x^
5/240+x^
4/288-x^
2/1440,x,0,1)=-1/30240
La série de terme général
un = f (n) = est convergente et,
f (k) =
= l , on a :
f'tt) = +
f''(t) = -
f'''(t) = +
f(4)(t) = -
f(5)(t) = - +
On remarque au passage que f(5) est négative et croissante et que :
pour k p + 1 on a
0 < | f(5)(k)| < C/p6.
On calcule :
f (t) dt = 1/4(ln(4n + 1) - ln(4n + 3) - (ln(4p + 1) - ln(4p + 3)))
en faisant tendre n vers + on a :
f (k) = l -
f (k) donc
l = f (k) +
f (t) dt -
-
+
-
*2cmf(5)(u + k - 1) P5(u) du
l = -
+
(ln(1 +
) - 5
+
(
-
) -
(
-
) -
f(5)(u + k - 1) P5(u) du.
et on a :
|f(4)(u + k - 1) P4(u) du|
| f(5(k - 1)|
| P5(u)| du| <
En effet on a :
| f(5(k - 1)| < C
1/p6 < Cste/p5
car on compare le reste de la série
1/p6
avec l'intégrale
1/t6dt = 1/(5p5)
On a donc le développement asymptotique zp à l'ordre 5 de l:
l =
zp = up +
ln(1 +
) -
+
*(
-
) -
*(
-
)
On peut faire un développement limité à l'ordre 5 :
ln(1 +
) lorsque p tend vers +
.
En posant
x = 1/(4p + 1), on tape :
^
2+8/3/4*x^
3-x^
4+32/5/4*x^
5+ x^
6*order_size(x)
^
2+ 8/3/4*x^
3-x^
4+32/5/4*x^
5,x,1.0/41)+ subst(-1/((4*p+1)*(4*p+3))+ 1/3*(1/(4*p+1)^
2- 1/(4*p+3)^
2)-8/15*(1/(4*p+1)^
4-1/(4*p+3)^
4),p,10.0)
^
2-1/(1/x+2)^
2)-
^
4-1/(1/x+2)^
4),x=0,5)
^
2+4*x^
3-9*x^
4+16*x^
5+x^
6*order_size(x)
^
2+4*x^
3-9*x^
4+16*x^
5,x=1.0/41)
Sans faire un développement limité de
ln(1 +
) lorsque p tend vers +
on tape et on obtient :
sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/4*log(1+2/41) 0.785947393863 sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43) 0.785380178889 sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+ 8*21/3/(41^2*43^2) 0.785398195927 sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+ 8*21/3/(41^2*43^2)-8/15*(1/41^4-1/43^4) 0.785398163187On rappelle que evalf(pi/4)=0.785398163397