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Utilisation de la moyenne de Césaro

Définition
Soit (un)n $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {N}$ une suite, on pose Sk = $ \sum_{{i=0}}^{{k}}$ui.
On dit que la série $ \sum$un converge vers $ \sigma$ au sens de Césaro si la suite :
$ \sigma_{n}^{}$ = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{k=0}}^{{n-1}}$Sk tend vers $ \sigma$.
On pose :
$ \sigma_{n}^{}$(f )= $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{k=0}}^{{n-1}}$SFk(f )
Théorème
$ \sigma_{n}^{}$(f )(x) converge vers f (x) en tous les points de continuité de f.
On observe que la convergence au sens de Césaro permet de régulariser la convergence, donc d'éliminer le phénomène de Gibbs.
Exercice
Calculer $ \sigma_{n}^{}$(f )(x) pour la fonction f périodique de période 2$ \pi$ définie par : f (x) = x/2 sur ] - $ \pi$$ \pi$]
Tracer sur un même graphique S(x, 7) et $ \sigma_{7}^{}$(f )(x) et aussi S(x, 40) et $ \sigma_{{40}}^{}$(f )(x).
  1. On tape :
    S(x,n):=sum((-1)^(k+1)*sin(k*x)/k,k,1,n); sigma(x,n):=1/n*sum(S(x,k),k,1,n-1); plotfunc(S(x,7),x);plotfunc(sigma(x,7),x,affichage=1)
    On obtient :
    Image cesaro

  2. On tape :
    plotfunc(S(x,40),x); plotfunc(sigma(x,40),x,affichage=1)
    On obtient :
    Image cesaro1


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve