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L'énoncé

Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 billes rouges et 3 billes vertes dans une boite cubique et 3 billes rouges et 4 billes vertes dans une boite cylindrique.
1/ Dans un premier jeu, il choisit simultanément 3 billes au hasard dans la boite cubique et regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombres de billes rouges choisies.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance mathématique de X
2/ Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des 2 boites, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boite choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : l'enfant choisi la boite cubique,
C2 : l'enfant choisi la boite cylindrique,
R : l'enfant prend une bille rouge,
V : l'enfant prend une bille verte.
a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
b) Calculer la probabilité de l'événement R.
c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probanilité qu'elle provienne de la boite cubique ?
3/ L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn $ \geq$ 0.99.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve