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Soient a et b deux réels positifs,
on définit les 2 suites u et v par :
u0 = a, v0 = b, un+1 = , vn+1 =  |
(5.1) |
Montrez que ces 2 suites sont adjacentes et convergent donc vers
une limite commune notée M(a, b) est par définition la moyenne
arithmético-géométrique de a et b
Déterminer le premier n tel que
abs(un - vn) < 10-20 lorsque a = 2 et b = 1
Calculer M(2,1) avec une précision de 10-20.
On a :
-
un+1 - vn+1 =
=
0
donc pour tout entier n > 0,
un
vn
-
un+1 - un =
0
La suite u est donc décroissante
-
vn+1 - vn =
- vn
- vn = 0
La suite v est donc croissante
Les suites u et v sont donc convergentes et puisque
un+1 =
par passage à la limite on en déduit qu'elles
convergent vers la même limite notée M(a, b).
On remarque que :
M(a, b) = M(b, a)
et
pour tout k > 0 on a
M(k*a, k*b) = k*M(a, b)
On peut donc supposer b = 1 et a > 1.
On a aussi pour tout entier n > 0 :
vn
un
un+12 - vn+12 =
donc
un+1 - vn+1 =
K(un - vn)2 avec
K =
.
On a :
K < 9*10-2
u1 = 1.5,
v1 =
donc
0 < u1 - v1 < 9*10-2
u2 - v2 < (9*10-2)3 < 8*10-4
u3 - v3 < (9*10-2)7 < 5*10-8
u4 - v4 < (9*10-2)24-1 < 3*10-16
u5 - v5 < (9*10-2)25-1 < 4*10-33
On fait les calculs soit avec un tableur, soit avec un programme.
- On ouvre un tableur pour calculer M(2,1) et on trouve que :
u5 = v5 = 1.4567910310469068691864311.456791031046906869186431
Avec Digits:=34 on a :
v5 = 1.4567910310469068691864323832650814 et
u5 = 1.4567910310469068691864323832650824
- On ouvre un éditeur de programme et on tape :
aritgeo(a,b,eps):={
local n,u,v,u0;
u:=a;
v:=b;
n:=0;
tantque u-v>eps faire
u0:=u;
u:=(u+v)/2;
v:=sqrt(u0*v)
n:=n+1;
ftantque;
print(n);
return u;
}:;
On tape :
aritgeo(2,1.,1e-20)
On obtient :
1.456791031046906869186431,5
On peut tracer la fonction aritgeo(x,1.,1e-2)[0], pour cela on tape (on
commente print(n) dans aritgeo) :
plotaritgeo(n):={
local j,L;
L:=point(0);
pour j de 0 jusque n faire
L:=L,point(j+i*aritgeo(j,1.,1e-2));
fpour;
retourne L;}:;
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve