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Partie A

1/ On tape :
f(x):=(x+2)/(x+1)
puis :
solve(f(x)=x)
On obtient :
[-sqrt(2),sqrt(2)]

2/ On tape :
1 puis :
f(ans())
puis :
enter enter enter enter
On obtient :
$\displaystyle \tt\frac{3}{2}$$\displaystyle \tt\frac{7}{5}$$\displaystyle \tt\frac{17}{12}$$\displaystyle \tt\frac{41}{29}$

3/ On a :
vn = $\displaystyle {\frac{{u_n-\sqrt 2}}{{u_n+\sqrt 2}}}$
On tape :
g(x):=(x-sqrt(2))/(x+sqrt(2))
Puis, on tape :
v(n):=g(u(n))
puis :
h(x):=solve(g(y)=x,y)[0] puis :
h(x)
On obtient :
(x*sqrt(2)+sqrt(2))/(-x+1) donc
un = $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle {\frac{{v_n+1}}{{-v_n+1}}}$ et
vn+1 = g(vn+1) = g(f (un)) = g(f (h(vn)))
On tape :
k:=g@f@h puis :
normal(k(x))
On obtient :
((sqrt(2)-2)*x)/(sqrt(2)+2)
donc vn+1 = $\displaystyle {\frac{{(\sqrt 2-2)*v_n}}{{\sqrt 2+2}}}$
la suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
(sqrt(2)-2)/(sqrt(2)+2)=2*sqrt(2)-3
puis on tape :
normal(expand(mult_conjugate(g(1))))
On obtient :
2*sqrt(2)-3
Donc :
vn = (2*$ \sqrt{2}$ -3)n
Donc on tape h(vn) :
h((2*sqrt(2)-3)^n)
On obtient un :
((2*sqrt(2)-3)^n*sqrt(2)+sqrt(2))/(-(2*sqrt(2)-3)^n+1)
On sait que (v) converge vers 0 car on a :
vn = (2*$ \sqrt{2}$ -3)n et -1 < 2*$ \sqrt{2}$ -3 < 0.
Quand x tend vers 0, h(x) tend vers h(0) = $ \sqrt{2}$, donc (u) converge vers $ \sqrt{2}$.
On a normal(h(x)-h(0))=(-(2*sqrt(2))*x)/(x-1)

4/ On tape :
normal(diff(h(x)))
On obtient :
(2*sqrt(2))/(x^2-2*x+1)
On a :
pour tout n, - | v0| = - 3 + 2$ \sqrt{2}$ $ \leq$ vn $ \leq$ 3 - 2$ \sqrt{2}$ = | v0|, donc :
-1.2 < -4 + 2$ \sqrt{2}$ $ \leq$ vn -1 $ \leq$ 2 - 2$ \sqrt{2}$ < - 0.8, donc :
si -3 + 2$ \sqrt{2}$ $ \leq$ x $ \leq$ 3 - 2$ \sqrt{2}$,
On a
| h'(x)| < (2*$ \sqrt{2}$)/(2 - 2*$ \sqrt{2}$)2 = (3*$ \sqrt{2}$ + 4)/2
et
| un - $ \sqrt{2}$| = | h(vn) - h(0)| < | vn|*(3*$ \sqrt{2}$ +4)/2 < 5*(0.2)n
On tape :
solve(5*0.2^n<10^-1000,n)
log 10(5) + n*log 10(0.2) < - 1000
donc
n > = 1432 > (1000 + log 10(5))/(1 - log 10(2)) > 1431


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve