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Partie D

1/ Étant donné p entier positif, on peut refaire la même chose pour trouver une valeur approchée de $ \sqrt{p}$ en prenant comme fonction f :
f (x) = $\displaystyle {\frac{{x+p}}{{x+1}}}$
On tape :
f(x):=(x+p)/(x+1)
On tape :
solve(f(x)=x,x)
On obtient :
[-(sqrt(p)),sqrt(p)]
On tape :
g(x):=(x-sqrt(p))/(x+sqrt(p))
On tape :
h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]
On obtient :
(x*sqrt(p)+sqrt(p))/(-x+1)
donc
un = $\displaystyle \sqrt{p}$$\displaystyle {\frac{{v_n+1}}{{-v_n+1}}}$ et
vn+1 = g(vn+1) = g(f (un)) = g(f (h(vn)))
On tape :
k:=g@f@h puis :
normal(k(x))
On obtient :
((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p)
donc
vn+1 = (($ \sqrt{p}$ - p)*vn)/($ \sqrt{p}$ + p)
La suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
(sqrt(p)-p)/(sqrt(p)+p)=-g(1)
puis on tape :
normal(expand(mult_conjugate(k(1))))
On obtient :
(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)
la suite (v) est donc une suite géomtrique de raison :
(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)
Donc :
vn = ((- p - 1 + 2*$ \sqrt{p}$)/(p - 1))n
Donc on tape h(vn) :
h((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^n)
On obtient un :
((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^n*sqrt(p)+sqrt(p))/
(-(((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^n+1)

2/ On a :
v2n = vn2, donc u2n = h(v2n) = h(vn2) = h((g(un))2)
On tape puisque sq(x)=x^2 :
f2(x):=normal((h@sq@g)(x))
puis
f2(x)
On obtient :
((x^2+p)*1/2)/x
On reconnait la fonction obtenue par la méthode de Newton et qu'il faut itérer pour obtenir une approximation de $ \sqrt{p}$.

3/ On a :
v3n = vn3, donc u3n = h(v3n) = h(vn3) = h((g(un))3)
On tape :
p3(x):=x^3 f3(x):=normal((h@p3@g)(x))
puis
f3(x)
On obtient :
(x^3+3*p*x)/(3*x^2+p)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve