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Les formules de même type que celles de Machin

En 1973, Jean Guilloud a mis une journée pour calculer 106 décimales de $ \pi$ en utilisant une formule de même type à savoir :

6 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$) + 2 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{57}}}$) + arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{239}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

en vérifiant ses calculs avec la formule analogue :

12 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{18}}}$) + 8 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{57}}}$) - 5 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{239}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

En 1999, Yasumata Kanadaa a atteint le record en calculant 12411*108 décimales de $ \pi$ en utilisant une formule de même type à savoir :

24 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{12943}}}$) - 12 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{682}}}$) + 44 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{57}}}$) + 7 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{239}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

et la formule analogue :

12 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{49}}}$) + 32 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{57}}}$) - 5 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{239}}}$) + 12 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{110443}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

On peut vérifier ces formules avec xcas, on tape par exemple :
tsimplify(12atan(1/49)+32atan(1/57)-5atan(1/239)+12atan(1/110443)) On obtient :
$ \tt\frac{\pi}{4}$
Comment trouver des formules de type Machin ?
Montrons pour cela que si a $ \in$ N et si a2 +1 = a1*a2 alors :
arctan(1/a) = arctan(1/(a + a1/) + arctan(1/(a + a2))
On a si xy < 1, arctan(x) + arctan(y) = arctan((x + y)/(1 - xy)) donc
arctan(1/(a + a1)) + arctan(1/(a + a2)) = arctan((2a + a1 + a2)/((a + a1)(a + a2) - 1)) = arctan(1/a) puisque a1a2 -1 = a2, (a + a1)(a + a2) - 1) = a2 + a(a1 + a2) + a2 = a(2a + a1 + a2).
On a donc :
a = 1 a2 + 1 = 2 = 1*2 donc $ \pi$/4 = arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3)
a = 2 a2 + 1 = 5 = 1*5 donc arctan(1/2) = arctan(1/3) + arctan(1/7)
a = 3 a2 + 1 = 10 = 1*10 = 2*5 donc arctan(1/3) = arctan(1/4) + arctan(1/13) = arctan(1/5) + arctan(1/8
a = 5 a2 + 1 = 26 = 1*26 = 2*13 donc arctan(1/5) = arctan(1/7) + arctan(1/18) = arctan(1/6) + arctan(1/31
a = 7 a2 + 1 = 50 = 1*50 = 2*25 donc arctan(1/7) = arctan(1/8) + arctan(1/57) = arctan(1/9) + arctan(1/32)
On en déduit donc que :

$\displaystyle \pi$/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/7)

$\displaystyle \pi$/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/5) - arctan(1/18)

$\displaystyle \pi$/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/5) - arctan(1/18)

$\displaystyle \pi$/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/8) + arctan(1/57)

$\displaystyle \pi$/4 = 3 arctan(1/3) - arctan(1/5) + arctan(1/57)

et en utilisant $ \pi$/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) on retrouve facilement les 2 formules utilisées par Jean Guilloud :
6 arctan($ {\frac{{1}}{{8}}}$) + (6 - 4)arctan($ {\frac{{1}}{{57}}}$) + arctan($ {\frac{{1}}{{239}}}$) =
6($ \pi$/4 - 2 arctan(1/3)) - 4($ \pi$/4 - 3 arctan(1/3) + arctan(1/5)) - $ \pi$/4 + 4 arctan(1/5) =
$ \pi$/4
et
12 arctan($ {\frac{{1}}{{18}}}$) + 8 arctan($ {\frac{{1}}{{57}}}$) - 5 arctan($ {\frac{{1}}{{239}}}$) =
12(- $ \pi$/4 + 2 arctan(1/3) + arctan(1/5)) + 8($ \pi$/4 - 3 arctan(1/3) + arctan(1/5)) + 5($ \pi$/4 - 4 arctan(1/5)) = $ \pi$/4
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve