suivant: L'algorithme de Romberg
monter: La méthode de Romberg
précédent: La méthode de Romberg
Table des matières
Index
La formule à l'ordre 4
On a :
g(t)dt =
(g(0) + g(1)) + bernoulli(2)(g'(0) - g'(1)) +
bernoulli(4)(g(3)(0) - g(3)(1)) +
P4(t)g(4)(t)dt
où
P4(t) =
B4(t) avec
Bn(0) = bernoulli(n) et où Bn est le n-ième polynôme de Bernoulli.
La suite Pn est définie par :
P0 = 1,et pour k
1
P'k = Pk-1 et
Pk(u)du = 0.
Pour la démonstration voir le
fasicule Tableur, statistique à la section : Suites adjacentes et convergence
de

.
Théorème pour la formule des trapèzes
Si
f
2p+2([a;b]), il existe des constantes c2k pour k = 0..p telles que :
I =
f (
x)
dx =
T(
h) +
c1h2 + ..
cph2p +
O(
h2p+2)
avec
h =

et
T(
h) =

(
f (
a) +
f (
b)) +
h
f (
a +
k . h)
On aura reconnu que T(h) est la formule des trapèzes pour le calcul de
f (x)dx avec
h =
.
Application de ce théorème pour la formule du point milieu
Soit un intervalle [a;a + h] de longueur h si on applique la formule du
point milieu à
I =
f (t)dt on a
m(h) = h*f ((a + a + h)/2) et si on
applique la formule des trapèzes aux intervalles [a;a + h/2] et
[a + h/2, a + h]
on a
t(h/2) = h*(f (a) + f (a + h))/4 + h*f ((a + a + h)/2)/2 = t(h)/2 + m(h)/2 donc
quand on coupe [a;b] en n intervalles de longueur h si on note M(h) la
formule obtenue pour le point milieu et T(h) celle obtenue pour les
trapèzes, on a :
M(h) = 2*T(h/2) - T(h)
D'après la formule d'Euler Mac Laurin :
T(h) = I - c1h2 - c2*h4 - .....cp*h2p + O(h2p+2) et donc
M(h) = I + c1/2*h2 + c2*h4*(23 -1)/23 + ...cp*h2p*(22p-1 -1)/22p-1 + O(h2p+2)
On en déduit que les termes de ces deux développements sont de signes
contraires et donc si on fait le même nombre d'accélération de
convergence à T(h) et à M(h) on obtiendra un encadrement de I.
suivant: L'algorithme de Romberg
monter: La méthode de Romberg
précédent: La méthode de Romberg
Table des matières
Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve