Comment retrouver ces résultats ?
On cherche les points fixes de l'application linéaire rot de matrice
M dans la base canonique de R3, c'est à dire les points
[x,y,z] tels que :
(M-idn(3))*[x,y,z]=0.
On tape :
linsolve((M-idn(3))*[x,y,z],[x,y,z])
On obtient :
[-3*z,z,z]
Il y a donc une droite de points fixes qui est pour z R :
z*[-3,1,1]
Cherchons une base orthonormée E1, E2, E3 avec E3 porté par l'axe,
par exemple
E3 = [- 3, 1, 1].
On choisit E1*E3 = 0 les coordonnées [x,y,z] de E1 doivent
vérifier :
-3*x+y+z=0
On choisit x=0,y=-z donc
E1 = [0, 1, - 1]
Puis on choisit
E2 = E3 E1.
On tape :
E3:=sqrt(11)/11*[-3,1,1]
E1:=sqrt(2)/2*[0,1,-1]
E2:=normal(cross(E3,E1))
On obtient :
[-(2*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22]
En prenant comme nouvelle base E1, E2, E3 on a comme matrice de passage
P:=tran(Q) avec Q:=[E1,E2,E3].
On tape :
Q:=[E1,E2,E3]
P:=tran(Q)
On vérifie que Q=inv(P) en tapant :
normal(P*Q)et normal(Q*P)
On obtient bien idn(3)
La matrice de rot dans cette nouvelle base est donc obtenue en tapant :
normal(Q*M*P)
On obtient :
[[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],[0,0,1]]
L'angle t de la rotation est donc défini par :
acos(t)=7/18 et asin(t)=-5*sqrt(11)/18
On retrouve les résultats trouvés avec la commande isom car
on n'a pas choisit la même orientation pour l'axe E3 est dirigé selon
le vecteur [-3,1,1] et non [3,-1,-1]...
On tape :
isom([[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],
[0,0,1]])
On obtient :
[[0,0,-1],acos(7/18),1]
car isom choisit l'orientation
de l'axe pour que l'angle soit dans [0,] ie pour que son sinus soit
positif : si l'axe est dirigé selon -E3, l'angle vaut
= acos (7/18) avec
0
.