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Un calcul de volume

On fait un trou cylindrique dans une sphère de centre O et de rayon R, l'axe du cylindre passe par O et le cylindre a comme hauteur 2*d.
Calculer le volume de cette sphère percée.
Image spheretrou 1ière méthode
On suppose que l'on sait qu'une une sphère de rayon R a pour volume :

Vs = $\displaystyle {\frac{{4}}{{3}}}$$\displaystyle \pi$R3

et que le voulume d'une calotte sphérique située à une distance d du centre O d'une sphère de rayon R est :

Vc = 2$\displaystyle \pi$(- $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$R2d + $\displaystyle {\frac{{1}}{{6}}}$d3 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$R3)

Calculons le volume du trou qui est composé : Donc d'après le calcul précédent :

Vt = 2$\displaystyle \pi$r2d + 4$\displaystyle \pi$(- $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$R2d + $\displaystyle {\frac{{1}}{{6}}}$d3 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$R3)

On tape :
Vs:=4*pi*R^3/3
Vt:=2*pi*r^2*d+2*2*pi*(-1/2*R^2*d-(-1)/6*d^3+1/3*R^3)
simplify(subst(simplify(Vs-Vt),r^2,R^2-d^2))
On obtient :
(4*d^3*pi)/3
Donc la sphère trouée (en rouge) a le même volume qu'une sphère de rayon d (en jaune) où 2d est la hauteur du cylindre (en bleu) :

Vs - Vt = $\displaystyle {\frac{{4}}{{3}}}$$\displaystyle \pi$d3

Image spheres
2ième méthode
On calcul le volume restant en coupant par des plans parallèles à Oxy.

Image spheretroue

Un plan de cote z coupe le volume restant selon une couronne de rayons r et Rz avec Rz = $ \sqrt{{R^2-z^2}}$ et r = $ \sqrt{{R^2-d^2}}$.
La surface de cette couronne est donc : Sc = $ \pi$(Rz2 - r2) = $ \pi$(R2 - z2 - (R2 - d2) = $ \pi$(d2 - z2) On a donc :
Vs - Vt = $ \int_{{-d}}^{d}$$ \pi$(d2 - z2)dz
On tape :
simplify(int(pi*(d^2-z^2),z,-d,d))
On obtient : 4/3*d^3*pi
Donc :

Vs - Vt = $\displaystyle {\frac{{4}}{{3}}}$$\displaystyle \pi$d3


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve