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Rappels du cours

On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, 2$ \pi$-périodique et intégrable sur tout intervalle fermé borné, sont définis pour n $ \in$ $ \mathbb {Z}$ et pour $ \alpha$ $ \in$ $ \mathbb {R}$ par :

cn(f )= $\displaystyle {\frac{{1}}{{2\pi}}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{{\alpha+2\pi}}$f (t)e-intdt

et que la série de Fourier associée à f est :

SF(f )(x) = $\displaystyle \sum_{{n=-\infty}}^{{+\infty}}$cn(f )einx

On peut aussi définir les coefficients de Fourier réels pour n $ \in$ $ \mathbb {N}$ et pour $ \alpha$ $ \in$ $ \mathbb {R}$ par :

an(f )= $\displaystyle {\frac{{1}}{{\pi}}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{{\alpha+2\pi}}$f (t)cos(nt)dt

bn(f )= $\displaystyle {\frac{{1}}{{\pi}}}$$\displaystyle \int_{\alpha}^{{\alpha+2\pi}}$f (t)sin(nt)dt

On a alors :

SF(f )(x) = $\displaystyle {\frac{{a_0(f)}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{n=1}}^{{+\infty}}$(an(f )cos(nx) + bn(f )sin(nx))

Théorème de Dirichlet
Si au point x0, f admet une limite à droite et une limite à gauche (que l'on note f (x0 + 0) et f (x0 - 0)) et admet une dérivée à droite, et une dérivée à gauche, alors la série SF(f )(x0) converge vers $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (x0 -0) + f (x0 + 0)).
En particulier si f est dérivable pour tout x, SF(f )(x) converge vers f (x).
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve