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Le principe

Supposons que l'on observe 3 variables (X,Y,Z), et que l'on veut savoir comment Z dépend linéairement de X et de Y.
On a par exemple observé n triplés xj, yj, zj pour j = 0..n - 1. On cherche c, a, b pour que le plan z = a*x + b*y + c approche au mieux les données.
Posons E = $ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$(zj - a*xj - b*yj - c)2.
On cherche c, a, b pour que E soit minimum c'est à dire pour que :
$ {\frac{{\partial E}}{{\partial a}}}$ = - 2*$ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$xj*(zj - a*xj - b*yj - c) = 0
$ {\frac{{\partial E}}{{\partial b}}}$ = - 2*$ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$yj*(zj - a*xj - b*yj - c) = 0
$ {\frac{{\partial E}}{{\partial c}}}$ = - 2*$ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$(zj - a*xj - b*yj - c) = 0
On a donc à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues c, a, b.
Soit U la matrice de n lignes et 3 colonnes ayant comme ligne j : [1, xj, yj] avec j = 0..n - 1.
Le système à résoudre est :
$ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\sum x_j & \sum x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\sum x_j & \sum x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\sum x_j & \sum x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}}\right]$ $ \left[\vphantom{
\begin{array}{c}
c\\
a\\
b
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{c}
c\\
a\\
b
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
c\\
a\\
b
\end{array}}\right]$= $ \left[\vphantom{
\begin{array}{c}
\sum z_j \\
\sum x_j z_j\\
\sum y_j z_j
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{c}
\sum z_j \\
\sum x_j z_j\\
\sum y_j z_j
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
\sum z_j \\
\sum x_j z_j\\
\sum y_j z_j
\end{array}}\right]$ =tran(U) $ \left[\vphantom{
\begin{array}{c}
z_0 \\
....\\
z_{n-1}
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{c}
z_0 \\
....\\
z_{n-1}
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
z_0 \\
....\\
z_{n-1}
\end{array}}\right]$

On remarque que la matrice associée au système précédent s'écrit :

$\displaystyle \tt A=tran(U)*U$ = $\displaystyle \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\...
...um x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\sum x_j & \sum x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
n & \sum x_j & \sum y_j\\
\...
...um x_j^2&\sum x_jy_j\\
\sum y_j & \sum x_jy_j &\sum y_j^2
\end{array}}\right]$

La solution c, a, b du système est donc : inv(A)*tran(U)*Z
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve