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L'énoncé

Définition
Un partition de n $ \in$ $ \mathbb {N}$ est une suite de nombres entiers : $ \lambda_{1}^{}$ $ \geq$ $ \lambda_{2}^{}$ $ \geq$ ...$ \lambda_{m}^{}$ > 0 tels que : $ \sum_{{j=1}}^{m}$$ \lambda_{j}^{}$ = n.
On note p(n) la fonction partage de n : c'est le nombre de partitions distinctes de n $ \in$ $ \mathbb {N}$ et on convient que p(0)=1.
Exemples
p(5) = 7 car les 7 partitions distinctes de 5 sont :
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
2 + 1 + 1 + 1 = 5
2 + 2 + 1 = 5
3 + 1 + 1 = 5
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 = 5
  1. Chercher à la main : p(1), p(2), p(3), p(4), p(5), p(6), p(7)
  2. Écrire un programme qui renvoie les valeurs de p(0), p(1), p(2), p(3)..p(n)
  3. Montrer ce que Euler a remarqué à savoir que le développement en séries tronqué à l'ordre n de : $ \prod_{{j=1}}^{n}$$ {\frac{{1}}{{1-x^j}}}$ vaut $ \sum_{{j=1}}^{n}$p(j)xj.
  4. Écrire un programme qui renvoie les coefficients du développement en séries tronqué à l'ordre n de : $ \prod_{{j=1}}^{n}$$ {\frac{{1}}{{1-x^j}}}$


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve