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Comatrice : adjoint_matrix
La comatrice de A est une matrice B telle que
A*B = det(A)*I.
adjoint_matrix a comme argument une matrice carrée A d'ordre n.
adjoint_matrix renvoie une liste composée des coefficients du
polynôme caractéristique P de A, d'une liste contenant les coefficients matriciels d'un polynôme Q tel que Q(x) soit la comatrice de A - x*I au signe près si n est pair!
On a :
P(x) = (- 1)n*det(A - x*I) et
P(A) - P(x)*I = (A - x*I)*Q(x)
En effet le polynôme à coefficients matriciels
P(A) - P(x)*I est divisible
par A - x*I car il s'annule pour x = A :
P(A) = 0, on a donc
P(A) - P(x)*I = - P(x)*I = (A - x*I)*Q(x).
Q(x) est donc la comatrice de A - x*I au signe près si n est pair,
puisque :
(A - x*I)*Q(x) = - P(x)*I = (- 1)n+1*det(A - x*I).
On a alors
Q(x) = I*xn-1 + ... + B0 où B0 = est la comatrice de A (au signe près si n est pair!) puisque Q(0) = B0 et
A*Q(0) = (- 1)n+1det(A).
On tape :
adjoint_matrix([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])
On obtient :
[[1,-6,12,-8],[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-2,1,-2], [1,-4,-1],[2,1,-6]],[[1,-2,3],[-2,4,2],[-3,-2,7]]]]
Donc le polynôme caractéristique est :
x3 -6*x2 + 12*x - 8
Le déterminant de A est égal à - P(0) donc à 8
La comatrice de A est égale à Q(0) donc à :
[[1, - 2, 3],[- 2, 4, 2],[- 3, - 2, 7]]
L'inverse de A est donc :
1/8*[[1, - 2, 3],[- 2, 4, 2],[- 3, - 2, 7]]
La comatrice de A - x*I est donc :
[[x2 -2x + 1, x - 2, -2x + 3],[x - 2, x2 -4x + 4, - x + 2],[2x - 3, x - 2, x2 - 6x + 7]]
On tape :
adjoint_matrix([[4,1],[1,2]])
On obtient :
[[1,-6,7],[[[1,0],[0,1]],[[-2,1],[1,-4]]]]
Donc le polynôme caractéristique est :
x2 - 6*x + 7
Le déterminant de A est égal à + P(0) donc à 7
La comatrice de A est égale à Q(0) donc à :
- [[- 2, 1],[1, - 4]].
L'inverse de A est donc :
-1/7*[[- 2, 1],[1, - 4]].
La comatrice de A - x*I est donc :
- [[x - 2, 1],[1, x - 4]].
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve