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La correction avec l'aide de Xcas

1/ a) Si parmi les 3 billes choisies, on a obtenu k billes rouges et 3 - k billes vertes, on a :
P(X=k)=p(k)=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)
On tape :
p(k):=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)
p(0) et on obtient 1/286 $ \simeq$ 0.0035
p(1) et on obtient 15/143$ \simeq$ 0.1049
p(2) et on obtient 135/286$ \simeq$ 0.4720
p(3) et on obtient 60/143$ \simeq$ 0.4196
On a bien :
p(0)+p(1)+p(2)+3*p(3)=(1+30+135+120)/286=1
b) E(X)=p(1)+2*p(2)+3*p(3)
On tape :
p(1)+2*p(2)+3*p(3) et on obtient 30/13=2.307...
2/ a) On fait un arbre pondéré :

        PC1(R) = $\displaystyle {\frac{{10}}{{13}}}$ $\displaystyle \longrightarrow$ P(C1 $\displaystyle \cap$ R) = $\displaystyle {\frac{{5}}{{13}}}$
      $\displaystyle \diagup$    
    P(C1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$      
  $\displaystyle \diagup$   $\displaystyle \diagdown$    
$\displaystyle \diagup$       PC1(V) = $\displaystyle {\frac{{3}}{{13}}}$ $\displaystyle \longrightarrow$ P(C1 $\displaystyle \cap$ V) = $\displaystyle {\frac{{3}}{{26}}}$
           
$\displaystyle \diagdown$       PC2(R) = $\displaystyle {\frac{{3}}{{7}}}$ $\displaystyle \longrightarrow$ P(C2 $\displaystyle \cap$ R) = $\displaystyle {\frac{{3}}{{14}}}$
  $\displaystyle \diagdown$   $\displaystyle \diagup$    
    P(C2) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$      
      $\displaystyle \diagdown$    
        PC2(V) = $\displaystyle {\frac{{4}}{{7}}}$ $\displaystyle \longrightarrow$ P(C2 $\displaystyle \cap$ V) = $\displaystyle {\frac{{2}}{{7}}}$

b) On a :
P(R) = P(C1 $ \cap$ R) + P(C2 $ \cap$ R) = $ {\frac{{5}}{{13}}}$ + $ {\frac{{3}}{{14}}}$ = $ {\frac{{109}}{{182}}}$ $ \simeq$ 0.5989
c) On veut calculer PR(C1).
On a : PR(C1) = P(C1 $ \cap$ R)/P(R) = $ {\frac{{5}}{{13}}}$/$ {\frac{{109}}{{182}}}$ = $ {\frac{{70}}{{109}}}$ $ \simeq$ 0.6422
3/ Si qn est la probabilité de n'avoir pris aucune bille rouge au cours de ses n choix, on a pn = 1 - qn.
On a :
qn = P(V)n = (1 - P(R))n = ($ {\frac{{73}}{{182}}}$)n
donc ;
pn = 1 - ($ {\frac{{73}}{{182}}}$)n
b) On cherche les valeurs de n pour avoir pn $ \geq$ 0.99 ou encore pour avoir :

1 - pn = qn = ($\displaystyle {\frac{{73}}{{182}}}$)n $\displaystyle \leq$ 0.01

On a :
($ {\frac{{73}}{{182}}}$)n $ \leq$ 0.01 est équvalent à :
n $ \geq$ ln(0.01)/(ln(73) - ln(182)) $ \simeq$ 5.04097648645
Donc la plus petite valeur de n pour laquelle pn $ \geq$ 0.99 est n = 6.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve