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Propriété des réduites

Propriété des réduites de alpha :
Une réduite p/q approche alpha à moins de $ \tt 1/q^2$ et si s/t est la réduite plus 1 de même rang n on a :
- $ \tt \vert p/q-s/t\vert<1/q^2$
- si n est pair $ \tt p/q \leq alpha \leq r/s$
- si n est impair $ \tt r/s \leq alpha \leq p/q$
- les réduites de rang pair et les réduites de rang impair forment deux suites adjacentes qui convergent vers alpha
- les réduites plus 1 de rang pair et les réduites plus 1 de rang impair forment deux suites adjacentes qui convergent vers alpha
Donc, si on pose :
lred:=reduite(alpha,10) et lred1:=reduite1(alpha,10), ces deux suites lred et lred1 fournissent un encadrement de alpha plus précisément on a :
lred[0] $ \leq$ lred1[1] $ \leq$ .. $ \leq$ lred[2p] $ \leq$ lred1[2p+1]<alpha
alpha<lred[2p+1]$ \leq$ lred1[2p] $ \leq$ ... $ \leq$ lred[1] $ \leq$ lred1[0]
c'est à dire que l'encadrement fait avec 2 réduites successives de rang p - 1 et p est moins bon que l'encadrement fait avec la réduite de rang p et la réduite plus 1 de rang p.
Exemple
On a :
r2dfc(sqrt(53),5)= [7,3,1,1,3,sqrt(53)+7],[]
dfc2r([7,3,1,1,3],[])=182/25
reduite(sqrt(53),5)[4]=182/25=7.28
reduite1(sqrt(53),5)[4]=233/32=7.28125
reduite(182/25,5)[4]=182/25=7.28
reduite1(182/25,5)[4]=233/32=7.28125
et donc $ \tt 7.28<\sqrt{53}<7.28125$
r2dfc(sqrt(53),6)= [7,3,1,1,3,14],[3,1,1,3,14]
dfc2r([7,3,1,1,3,14],[])=2599/357
reduite(sqrt(53),6)[5]=2599/357=7.28011204482
reduite1(sqrt(53),6)[5]=2781/382=7.28010471204
reduite(2599/357,5)[4]=2599/357=7.28011204482
reduite1(2599/357,5)[4]=2781/382=7.28010471204
et donc $ \tt 7.28010471204<\sqrt{53}<7.28011204482$
On a 1/3572 = 7.84627576521e - 06 et 1/3822 = 6.8528823223e - 06
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve