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Dimensions du rectangle de périmetre 2p et de surface maximum

Une famille de rectangles a pour périmètre 2p. Trouver les dimensions du (ou des) rectangle(s) d'aire maximum.
On suppose pour faire le dessin avec xcas que p = 3.
Les cotés d'un rectangle de la famille sont donc x et 3 - x ou encore 3t et 3(1 - t)
L'aire d'un tel rectangle est donc égale à f (t) = 9t(1 - t).
On dessine les différents rectangles et le graphe de la fonction f sur un même graphique pour pouvoir observer la variation des formes des rectangles et la variation de leurs aires.
On exécute la liste des instructions qui se trouve dans geo13 ( faire Charger session du menu Fich de xcas et selectionner geo13 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier..
Voici le détail de geo13 :
A:=point(-3);
p:=3;
p est le demi-périmètre des rectangles,
K:= point(A+p);
$ \overline{{AK}}$ = p = 3
t:=element(0..1); B:=A+t*(K-A);
B sommet du rectangle $ \overrightarrow {AB}$ = t*$ \overrightarrow{AK}$ donc $ \overline{{AB}}$ = 3*t
C:=rotation(B,pi/2,K);
C est un sommet du rectangle
D:= C+A-B;
D est l'autre sommet
segment(A,B);
segment(C,B);
segment(C,D);
segment(A,D);
ces 4 segments dessinent le rectangle ABCD.
f(x):=9*x*(1-x);
définit de la fonction f égale à l'aire de ABCD.
G:=plotfunc(f(x),x);
dessine le graphe de f.
M:=element(G,t);
définit M un point du graphe, qui a comme ordonné l'aire du rectangle ABCD.
En faisant varier t, le rectangle change de forme et le point M se déplace sur le graphe en ayant pour ordonné l'aire du rectangle dessiné. Remarque Il est facile de montrer algébriquement que l'aire est maximum quand le rectangle est un carré, c'est à dire que l'aire maximum vaut (p/2)2 = p2/4. En effet on a :
l'aire d'un rectangle de côtés a et p - a vaut (p - a)*a = a*p - a2, et on a p2/4 $ \geq$ a*p - a2 = (p/2 - a)2 car p2/4 - a*p + a2 = (p/2 - a)2 $ \geq$ 0


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve