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Conchoïde de cercle

On construit ainsi le limaçon de Pascal.
Soit un cercle C de rayon R, un point O situé sur C et un nombre réel a. Le limaçon de Pascal est le lieu ($ \Gamma$) des points M et N que l'on obtient en portant sur la droite OP : $ \overline{{PM}}$ = - $ \overline{{PN}}$ = a lorsque P décrit le cercle C et que a a une valeur constante.

Une conchoïde de cercle a comme équation :

r = 2R cos($\displaystyle \theta$) + a

Le double signe est inutile car cos($ \theta$ - $ \pi$) = - cos($ \theta$).
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0);
C:=cercle(3,3);
a:=element(1..5);
plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge);
On a choisit R = 3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
2R < a, 2R = a, 2R > a.

Lorsque 2R = a on a r = 2R(cos($ \theta$) + 1) = a(cos($ \theta$) + 1) c'est donc une cardioïde.
On peut faire une animation et voir et les points M, N et la construction de la courbe quand P se déplace sur le cercle C.
On tape :

O:=point(0,0);
C:=cercle(3,3);
a:=element(1..5);
plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge);
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u=-10..10));
animation(seq('P:=point(6*cos(u)*exp(i*u))',u,-10,10));
animation(seq('M:=point((6*cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10));
animation(seq('N:=point((6*cos(u)-a)*exp(i*u))',u,-10,10));



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve