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Calcul de primitives (niveau début université)

  1. Calculer

    $\displaystyle \int_{1}^{2}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^3+1}}}$dx

    Réponse :
    On tape :
    int(1/(x^3+1),x,1,2)
    On obtient apres simplification (en utilisant normal}
    (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)
    Pour vérifier, on tape :
    partfrac(1/(1+t^3))
    On obtient :
    1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
    Puis on intègre chaque terme séparément...

  2. Décomposer, sur $ \mathbb {R}$, en éléments simples : $\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$.
    Calculer $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$dt  et $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{\sin(x)^2}}{{\cos(2x)}}}$dx
    Réponse :
    On tape :
    partfrac(t^2/(1-t^4))
    On obtient :
    -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
    On tape :
    int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
    ou on tape :
    int(t^2/(1-t^4),t)
    On obtient :
    1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))
    On tape :
    normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
    On obtient :
    -1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))- 1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))
    Ou on tape en linéarisant avant d'intégrer :
    normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))
    On obtient :
    1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x
    Ou encore on veut faire le changement de variable tan(x) = t et on tape pour avoir l'expression en fonction de la tangente, avant d'intégrer :
    trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
    On obtient :
    (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
    On fait le changement de variable x =atan(t) on tape :
    subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
    ou on tape
    subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
    On obtient
    integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
    Soit, le remplacant t par tan(x) :
    1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))
  3. Calculer $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{1}}{{t^2}}}$dt $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{1}}{{t(t^2+1)}}}$dt,  et $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{{t^2-t+1}}{{t^4+t^2}}}$dt
    Réponse :
    On tape :
    int(1/t^2,t)
    On obtient :
    1/(-t)
    On tape :
    int(1/(t*(t^2+1)),t)
    On obtient :
    1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)
    On tape :
    int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)
    On obtient :
    1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve, Bernard Parisse et Bernard Ycart