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Développement limité : taylor

taylor peut avoir de un à quatre paramètres :
l'expression à développer, x=a (par défaut x=0), l'ordre du développement (par défaut 5), ou encore :
l'expression à développer, x, l'ordre du développement (par défaut 5) et le point au voisinage duquel on veut le développement (par défaut 0).
Remarque on peut aussi mettre x,a,n au lieu de x=a,n
taylor renvoie un polynôme en x-a, plus un reste que Xcas écrit :
(x-a)^n*order_size(x-a)
cela signifie que l'on a un developpement limité à l'ordre n - 1 (ou à l'ordre p < n). En effet order_size désigne une fonction telle que, quelque soit $ \tt r$ positif :
x^r*order_size(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro.
Par exemple, les fonctions constantes, la fonction log (ou ln), sont des fonctions order_size.
On tape :
taylor(sin(x),x=1,2)
Ou on tape (attention à l'ordre des arguments !) :
taylor(sin(x),x,2,1)
On obtient :
sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)^2+ (x-1)^3*order_size(x-1)
Attention!!!
L'ordre que l'algorithme utilise pour les développements limités peut être plus petit que celui demandé : l'ordre peut diminuer si il y des compensations par exemple : développement de $\displaystyle {\frac{{x^3+\sin(x)^3}}{{x-\sin(x)}}}$ au voisinage de x=0
On tape :
taylor(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)))
On obtient seulement un développement à l'ordre 2 :
6+-27/10*x^2+x^3*order_size(x)
On tape :
taylor(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)),x=0,7)
On obtient seulement un développement à l'ordre 4 :
6+-27/10*x^2+x^3+711/1400*x^4+x^5*order_size(x)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve