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Soit Rn(x) le reste de la série
(- 1)k+1
:
Rn(x) =
(- 1)k+1
.
On sait que
| Rn(x)| <
Pour avoir
| Rn(1/5)| = | Rn(0.2)| < 10-61 il faut que :
22n+1 < (2n + 1)102n-60 et comme
210
103 cela donne si on
suppose 2n + 1 > 10 :
10(6n+3)/10 < 102n-59 soit 593 < 14n soit
n
42
On vérifie pour n = 42 on a
< 2.56e - 62
On peut aussi écrire si on suppose que 2n + 1 > 10 :
< x2n+1/10 < 10-61
donc on va choisir
x2n+1 < 10-60 soit
(2n + 1)log10(x) < - 60
ou encore
n > ((- 60)/log10(x) - 1)/2
Pour x = 1/5 on a
n > 42.4202967422 et comme 2n + 1 > 40 on peut améliorer la
majoration
< x2n+1/40 < 10-61
ce qui donne
n > ((- 60 + log10(4))/log10(1/5) - 1)/2 = 41.9896201841 donc on prend n = 42
pour x = 1/293 on a n > 11.66 donc on prend n = 12 et on
vérifie :
= 1.38711499837e - 61.
On choisit 62 Chiffres dans le cas set_up que l'on
ouvre avec le bouton rouge cas) et on tape :
evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,12))
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
On tape :
evalf(pi)
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
Remarque
Avec cette méthode John Machin calcula 100 décimales de
en 1706.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve