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La solution géométrique

Pour la solution géométrique, on va se servir des lemmes 1 et 3. La bissectrice de l'angle BMA et la bissectrice de l'angle CMA sont perpendiculaire donc M est sur le cercle de diamétre IJ. Ce cercle coupe le segment BC en M et P. Montrons que P est fixe. Soient I1 et J1 les projections de I et J sur BC.

Image inscritcalc
D'après le lemme3 on a :
I1B - I1M = AB - AM et
J1M - J1C = AM - AC donc

I1B - I1M + J1M - J1C = AB - AM + AM - AC = AB - AC

Puisque I1 et J1 sont entre B et C, et que M et P sont entre I1 et J1, on a M et P sont entre B et C.
D'après le lemme1 on a :
$ \overrightarrow{I1M}$ = $ \overrightarrow{PJ1}$ et $ \overrightarrow{I1P}$ = $ \overrightarrow{MJ1}$ donc

I1B - I1M + J1M - J1C = I1B - PJ1 + I1P - J1C

M et P sont entre B et C donc I1B + I1P = PB et PJ1 + J1C = PC d'où :

PB - PC = AB - AC

Le point P est fixe et P est la projection du centre K du cercle inscrit à ABC.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve