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Les définitions

Théorème1 Si a et b sont des entiers naturels premiers entre eux, alors il existe des entiers naturels a0, a1,..., an (0 $ \leq$ n) tels que :

$\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = a0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...a_{n-2}+\frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_n}}}}}}}$

Si b $ \leq$ a les aj sont non nuls et, si a < b alors a0 = 0 et les autres aj sont non nuls.
Définition On pose alors $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = (a0, a1,...an) et on dit que (a0, a1,...an) est une fraction continue : c'est le développement en fraction continue de $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$.
Remarque si b $ \leq$ a et si $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = (a0, a1,...an) alors $\displaystyle {\frac{{b}}{{a}}}$ = (0, a0, a1,...an).
Réduite et reste On dit que la fraction $\displaystyle {\frac{{P_p}}{{Q_p}}}$ égale à la fraction continue (a0, a1,...ap), où p $ \leq$ n, est la réduite de rang p de $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ ou que c'est le développement en fraction continue d'ordre p de $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$.
On dit que r = (0, ap+1,.., an) est le reste du développement d'ordre p (r < 1) et on a $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = (a0, a1,...ap + r) = (a0, a1,...ap, 1/r),
$\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = a0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...a_{p-3}+\frac{1}{a_{p-2}+\frac{1}{a_{p}+r}}}}}}}$.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve