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Avec les élèves

On explique que l'on va coder un message en remplacant une lettre par une autre (on suppose que le message n'utilise que les 26 lettres de l'alphabet et que l'on n'écrit pas les espaces).
Pour cela on distribue une feuille sur laquelle figure quatre cercles divisés en 26 parties égales.
On écrit sur ce cercle les 26 lettres de l'alphabet et le codage consiste à remplacer chaque lettre du message par la lettre diamétralement opposée sur le cercle.
Par exemple voici le message à coder selon cette méthode :
"BONJOURLESAMIS"
Le message à décoder est donc :
"OBAWBHEYRFNZVF"
Quel sont les éléments pertinents qu'il faut transmettre pour que le décodage soit possible ?
Parmi les réponses il est apparu qu'il fallait ajouter +13 pour décoder.
Puis chaque élève invente un codage et écrit un message selon son codage et le donne à décoder à son voisin, par écrit avec les explications nécessaires pour le décoder.
Voici quelques codages obtenus :
- codage obtenu en remplacant chaque lettre par celle qui la suit dans l'alphabet,
- codage obtenu en remplacant chaque lettre par celle qui est obtenue en avançant de +4 sur la roue (ou en reculant de 3 etc...),
- codage obtenu en remplaçant chaque lettre par celle qui est obtenue par symétrie par rapport à la droite [A,N] (verticale sur le dessin),ou par symétrie par rapport à la droite horizontale sur le dessin,
- codage par symétrie par rapport au centre du cercle mais où l'ordre des lettres sur le cercle n'est pas respecté,
- d'autres codages comme de remplacer le message par une suite de nombres (intéressant mais cela ne repond pas à la question posée),
- codage qui dépend de la position de la lettre dans le message. Ce codage n'est pas une application puisque une même lettre peut avoir des codages différents.
Combien y-a-t-il de codages (i.e de bijections) possibles ?
Il a fallut parler de bijections :
un étudiant a dit qu'il fallait que deux lettres différentes soient codées par des lettres différentes pour que le décodage soit possible (injection).
Ceci entraine que toutes les lettres sont le codage d'une autre lettre (surjection).
Pour simplifier on a préféré parler de permutations des lettres avec comme exemple : trouver tous les codages possibles si on suppose que l'alphabet utilisé ne comporte que les trois lettres A, B, C.
Donnez un ordre de grandeur de 26!
A supposer que vous vouliez écrire les 26! codages possibles sur un cahier et que votre rythme est de 1 codage par seconde (vous êtes super rapide !!!... félicitations !!!) combien de temps (réponse en heures, en mois, en années...?) vous faut-il ?
Combien de cahiers de 10000 lignes (200 pages de 50 lignes) vous faut-il ? Donner la longueur occupée par ces cahiers dans une bibliothèque, si chaque cahier occupe 1 cm. Combien y-a-t-il de codages involutifs possibles qui sont sans point double (c'est àdire de bijections f vérifiant f = f-1 et f (x) $ \neq$ x pour tout x) ?
Comment faire pour que la clé du décodage soit simple ?
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve