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Intervalle de confiance

Donner un intervalle de confiance du nombre d'apparitions de la face 4, au seuil de 5% lorsqu'on lance le dé 90 fois de suite.
On pose n = 90 et p = 1/6.
On considère la variable aléatoire X égale au nombre de fois que le 4 est obtenu. X suit une loi binomiale $ \mathcal {B}$(90, 1/6), de moyenne $ \mu$ = 90*1/6 = 15 et d'écart-type $ \sigma$ = $ \sqrt{{npq}}$ = $ \sqrt{{91*1/6*5/6}}$ = $ \sqrt{{12.5}}$ = 3.53553390593.
En effet, on obtient un 4 avec la probabilité théorique de p = 1/6 et on obtient une face différente de 4 avec la probabilité théorique de q = 5/6.
On sait, d'apres la loi binomiale, que dans un échantillon d'effectif n, on a une probabilité de Cnkpkqn-k d'avoir k apparitions d'un caractère de probabilité p (ici le caractère est d'obtenir un 4 et, on a p = 1/6, q = 5/6 et n = 90).
On peut approcher la loi binomiale par la loi normale de même moyenne et de même écart-type car n > 30 et on a :
$ \mu$ = np = 15 et $ \sigma$ = $ \sqrt{{npq}}$ = $ \sqrt{{12.5}}$
Prob(| X - $ \mu$|/$ \sigma$ < 1.96) = 0.95 donc
Prob($ \mu$ -1.96$ \sigma$ < X < $ \mu$ +1.96$ \sigma$) = 0.95 donc
Prob(8.07035354438 < X < 21.9296464556) = 0.95
Avec Xcas on tape :
normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.975)
On obtient : 21.9295191217
normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.025)
On obtient : 8.07048087825
Donc si n = 90, l'effectif des différentes classes (en particulier l'effectif de la classe 4) devraient être dans l'intervalle [8;22], au seuil de 0.05 c'est à dire avec un risque d'erreur de 5%.
Remarque
De même si n = 180 $ \mu$ = 30 et $ \sigma$ = $ \sqrt{{180*5/36=5}}$ donc :
Prob(20.2 = 30 - 1.96*5 < k < 30 + 1.96*5 = 39.8) = 0.95
Avec Xcas on tape :
normal_icdf(30,5,0.975)
On obtient : 39.7998199227
normal_icdf(30,5,0.025)
On obtient : 20.2001800773
Donc si n = 180, les effectifs des différentes classes sont dans l'intervalle [20;40], au seuil de 0.05 c'est à dire avec un risque d'erreur de 5%.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve