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Correction

I/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1 puis dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans B0 on tape :
2/3 (ou =evalf(2/3) et,
dans B1 on tape :
=B0+1/(4*A1+1)-1/(4*A1+3)
puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans C0 on tape :
=B0+1/(4*A0+3)
puis dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand C0 est en surbrillance.
La suite u est croissante car un - un-1 = $ {\frac{{1}}{{4n+1}}}$ - $ {\frac{{1}}{{4n+3}}}$ > 0 pour n $ \geq$ 1.
La suite v est décroissante car vn - vn-1 = $ {\frac{{1}}{{4n+1}}}$ - $ {\frac{{1}}{{4n-1}}}$ < 0 pour n $ \geq$ 1.
Donc vn - un = 1/(4*n + 3) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Les suites u et v sont donc adjacentes.

II/
0/ fn(0) = 0 pour tout n $ \geq$ 0.
1/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1 puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans D0 on tape =x-tan(x) et
dans D1 on tape =D0-(-1)^(A1)*tan(x)^(2*A1+1)/(2*A1+1) puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans E0 on tape =normal(derive(D0,x)) puis, dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
On remarque que l'on a fn'(x) = (- 1)n+1*tan(x)2n+2.
On le montre en faisant le calcul :
fn(x) = x - tan(x) + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$tan(x)3 + ... - $\displaystyle {\frac{{(-1)^n}}{{2n+1}}}$tan(x)2n+1
fn'(x) = 1 - (1 + tan(x)2)*(1 - tan(x)2 + ... + (- 1)ntan(x)2n)
On reconnait la somme d'une série géométrique de raison : -tan(x)2.
fn'(x) = 1 - (1 + tan(x)2)*$\displaystyle {\frac{{1-(-\tan(x)^2)^{n+1}}}{{1+\tan(x)^2}}}$ = (- 1)n+1tan(x)2n+2
2/ La fonction f2p a une dérivée negative pour tout p $ \geq$ 0, donc f2p est décroissante. En particulier f2p(0) = 0 > f2p($ \pi$/4).
La fonction f2p+1 a une dérivée positive pour tout p $ \geq$ 0, donc f2p+1 est croissante. En particulier f2p+1(0) = 0 < f2p+1($ \pi$/4).
3/ Dans F0 on tape =subst(D0,x,pi/4) puis, dans le menu Edit, on choisit bouton Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
f2p($ \pi$/4) = $ \pi$/4 - vp et f2p+1($ \pi$/4) = $ \pi$/4 - up.

III/ 1/ On a donc pour tout p $ \geq$ 0 :
f2p+1($ \pi$/4) = $ \pi$/4 - up > 0 et f2p($ \pi$/4) = $ \pi$/4 - vp < 0
les suites u et v sont donc adjacentes et convergentes vers $ \pi$/4.
2/ Donc pour tout p $ \geq$ 0 : up < $ \pi$/4 < vp.
On a donc 4*u6 < $ \pi$ < 4*v6 = 4*u6 + 4/27.
3/ Pour avoir :
4*un < $ \pi$ < 4*vn = 4*un +4/4*n + 3 $ \leq$ 4*un +10-3,
il faut prendre comme n un entier qui vérifie 4*n + 3 $ \geq$ 4000, soit n $ \geq$ 1000.
Donc u1000 et v1000 donnent un encadrement de $ \pi$ de diamètre $ \leq$ 10-3.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve