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Les théorèmes

Soit $ \tt J_n=[0,1..n-1]$. Une permutation p de n éléments est une application bijective de $ \tt J_n$ dans lui même et induit une application $ \tt\pi_p$ de $ \tt\mathbb Z^n$ dans lui même ( $ \tt\pi_p(x_i)=x_{p(i)}$).
Les permutations forment un groupe pour la composition des applications.
Un cycle c est une permutation telle qu'il existe un enter k (0 $ \leq$ k $ \leq$ n - 1) vérifiant :
pour j = 0...k - 1  c(aj) = aj+1 et c(ak) = a0
pour j = k + 1...n - 1  c(aj) = aj
k est appelé l'ordre du cycle c (ck = id).
Un cycle d'ordre k est aussi appelé une permutation circulaire d'ordre k.
Une transposition t est un cycle d'ordre 2 (t2 = id).

Théorème 1
Toute permutation peut s'exprimer comme produit de cycles disjoints.
L'ordre d'une permutation p est le plus petit commun multiple k des ordres des cycles disjoints obtenus (pk = id).

Théorème 2
Toute permutation peut s'exprimer comme produit de transpositions.


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve