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Ajustement linéaire

On se reportera aussi aux sections 1.11.5 et 1.11.9.
Une série statistique à deux variables d'ordre n fournit un nuage de n points. Ajuster linéairement cet ensemble de points consiste à trouver une droite qui approche "le mieux possible le nuage de points". Un ajustement linéaire va permettre de faire des prévisions ou d'estimer des valeurs.

Première droite des moindres carrés est définie pour que la somme des carrés des écarts en ordonnée entre les mesures et les points de cette droite soit minimale.
Soient Aj ( 0 $ \leq$ j $ \leq$ n - 1) les points de coordonnées (xjyj) formant le nuage de points. Soit D une droite d'équation y = ax + b et soient Bj pour 0 $ \leq$ j $ \leq$ (n - 1) les points de D de coordonnées (xjaxj + b).
On cherche a et b pour que :
S = $ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$(yj - axj - b)2 soit minimum.
Pour a fixé le minimum de S est atteint lorsque la droite D passe par le point moyen G de coordonnées ( $ \bar{x}$$ \bar{y}$)) donc lorsque b = b0 = $ \bar{y}$ - a$ \bar{x}$.
On trouve ensuite que pour b = b0, S est minimum pour :
a = a0 = $\displaystyle {\frac{{\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}x_j y_j-\bar x\bar y}}{{\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}x_j^2-\bar x^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{cov(X,Y)}}{{\sigma^2(X)}}}$.
La première droite des moindres carrés est la droite d'équation y = a0x + b0. Elle a donc pour équation y = $\displaystyle \bar{y}$ + $\displaystyle {\frac{{cov(X,Y)}}{{\sigma^2(X)}}}$(x - $\displaystyle \bar{x}$).

Deuxième droite des moindres carrés est définie pour que la somme des carrés des écarts en abscisse entre les mesures et les points de cette droite soit minimale.
On change simplement le rôle de X et de Y. On trouve la droite $ \Delta$ d'équation :
x = $\displaystyle \bar{x}$ + $\displaystyle {\frac{{cov(X,Y)}}{{\sigma^2(Y)}}}$(y - $\displaystyle \bar{y}$).

Avec Xcas on tape dans une ligne d'entrée de géométrie, pour tracer le nuage de points :
scatterplot([[1,11],[1,13],[1,14],[2,11],[2,13],
[2,14]]).
ou on tape :
scatterplot([1,1,1,2,2],[11,13,14,11,13])
Ou dans le tableur, on sélectionne l'argument et on utilise le menu Statistiques du tableur puis 2d et Scatterplot.
On tape dans une ligne d'entrée, pour avoir l'équation de la droite des moindres carrés :
linear_regression([1,1,1,2,2],[11,13,14,11,13])
On obtient :
-2/3,40/3


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve