a1:=0.2; b1:=0.4; A:=[0,1+i*texpand(tan(a1)),1+i*texpand(tan(2*a1)), 1+i*texpand(tan(pi/3+a1)), 1+i*texpand(tan(2*a1+2*pi/3)),1+i*texpand(tan(a1+2*pi/3)), 1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1))]; B:=[1,i*texpand(tan(2*b1)),i*texpand(tan(b1)), i*texpand(tan(2*b1+2*pi/3)),i*texpand(tan(b1+pi/3)), i*texpand(tan(pi/3+2*b1)),i*texpand(tan(2*pi/3+b1))]; C0:=texpand(tan(b1*3)/(tan(a1*3)+tan(b1*3))*(1+i*tan(a1*3))); C:=[C0,C0+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-b1)), C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*b1)), C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+2*a1-b1)), C0+1+i*texpand(tan(pi/3+a1-2*b1)), C0+1+i*texpand(tan(2*a1-b1)),C0+1+i*texpand(tan(a1-2*b1))]; P:=[]; for (k:=1;k<=6;k++) { for (j:=1;j<=6;j++){ P:=concat(P,affixe((inter(droite(A[0],A[k]), droite(B[0],B[j])))[0])); P:=concat(P,affixe((inter(droite(B[0],B[k]), droite(C[0],C[j])))[0])); P:=concat(P,affixe((inter(droite(A[0],A[k]), droite(C[0],C[j])))[0])); } }; LO:=[]; for (k:=0;k<108;k++) { LOL:=[]; for (j:=0;j<108;j++){ LOL:=concat(LOL,longueur2(P[k],P[j])); } LO:=append(LO,LOL); }; trequi:=[]; for (k:=0;k<106;k++) { for (j:=k+1;j<107;j++){ l:=LO[k,j]; for (s:=j+1;s<108;s++){ if ((abs(normal(l-LO[j,s]))<0.0000001) and (abs(normal(l-LO[k,s]))<0.0000001)){ trequi:=append(trequi,[k,j,s]); } } } }; trequi;On tape dans xcas : size(trequi) : on obtient 54.
Montrons par exemple que MNO est un triangle équilatéral :
la rotation de centre M et d'angle
transforme A en
A1, B en B1 et N en N1.
Voici la figure (établie par le fichier demomorley2) :
les triangles MAA1 et MNN1 sont des triangles équilatéraux directs
(triangle isocèle ayant un angle de /3). M étant sur AD1, A1
se trouve donc sur AD5.
A1N1 fait un angle de /3 avec AN. N étant sur AD3, A1N1 est
donc parallèle à AD5. On a ainsi montré que N1 se trouve sur AD5 c'est à dire que
A, A1, N1 sont alignés.
On montre de même que
B, B1, N1 sont alignés et donc N1 se trouve sur BD5 d'où N1 et
O sont confondus. Ce qui prouve que MNO est un triangle équilatéral.
Donc les 3 trissectrices
AD1, AD3, AD5 de l'angle A forment avec les
6 trissectrices de l'angle B, 6 triangles équilatéraux.
Donc les 6 trissectrices de l'angle A forment avec les
6 trissectrices de l'angle B, 12 triangles équilatéraux.
Donc il existe
3×12 = 36 triangles équilatéraux de ce type.