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Propriétés des réduites

Si $\displaystyle {\frac{{P_p}}{{Q_p}}}$ égale à la fraction continue (a0, a1,...ap), où p $ \leq$ n, est la réduite de rang p de $\displaystyle {\frac{{a}}{{b}}}$ = (a0, a1,...an), on a :
P0 = a0
Q0 = 1
P1 = a0*a1 + 1
Q1 = a1
Pp = Pp-1*ap + Pp-2
Qp = Qp-1*ap + Qp-2
En effet on le montre par récurrence :
P2/Q2 = a0 + a2/(a1a2 + 1) donc
P2 = a2(a0 + a1 +1) + a0 = a2P1 + P0 et
Q2 = a2a1 +1 = a2Q1 + Q0
(a0, a1,..., ap +1/ap+1) = $ {\frac{{P_{p+1}}}{{Q_{p+1}}}}$ donc
Pp+1/Qp+1 = ((ap +1/ap+1)Pp-1 + Pp-2)/((ap +1/ap+1)Qp-1 + Qp-2)
Pp+1 = ap+1(apPp-1 + Pp-2) + Pp-1 = ap+1Pp + Pp-1 et
Qp+1 = ap+1(apQp-1 + Qp-2) + Qp-1 = ap+1Qp + Qp-1

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve