next up previous contents
suivant: Les équations différentielles résolubles monter: Utilisation des sommes de précédent: Somme et produit se   Table des matières

Calcul d'une intégrale à l'aide d'une somme de Riemann

Soit Pn = ($\displaystyle \prod_{{k=1}}^{n}$sin($\displaystyle {\frac{{k\pi}}{{2n}}}$).
1/ Montrer que :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(1 - cos($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{n}}}$)) = $\displaystyle {\frac{{n}}{{2^{n-1}}}}$.
2/ En déduire que :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$)) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt n}}{{2^{n-1}}}}$.
3/ Dèterminer la limite de $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n-1}}$ln(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$)) quand n tend vers + $ \infty$.
4/ Montrer que l'intégrale I = $ \int_{0}^{\frac}$$ \pi$2ln(sin(x))dx est convergente et calculer sa valeur à l'aide des sommes de Riemann.
5/ Retrouver ce résultat en considérant J = $ \int_{0}^{\frac}$$ \pi$2ln(cos(x))dx et en montrant que I = J = $ {\frac{{I+J}}{{2}}}$

1/ On a :
$\displaystyle \prod_{{k=0}}^{{2n-1}}$(z - exp($\displaystyle {\frac{{i*k*\pi}}{{n}}}$)) = z2n - 1 =
(z - 1)(z - exp(i*$\displaystyle \pi$))$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(z - exp($\displaystyle {\frac{{i*k*\pi}}{{n}}}$))(z - exp($\displaystyle {\frac{{i*(2*n-k)*\pi}}{{n}}}$)) donc
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(z - exp($\displaystyle {\frac{{i*k*\pi}}{{n}}}$))(z - exp($\displaystyle {\frac{{i*(2*n-k)*\pi}}{{n}}}$)) =
$\displaystyle {\frac{{z^{2n}-1}}{{(z-1)(z-\exp(i*\pi))}}}$ = $\displaystyle {\frac{{{(z^2)}^n-1}}{{(z^2-1)}}}$ = 1 + z + z2 + ...z2n-2

En faisant tendre z vers 1 on en déduit que :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(1 - exp($\displaystyle {\frac{{i*k*\pi}}{{n}}}$)(1 - exp($\displaystyle {\frac{{i*(2*n-k)*\pi}}{{n}}}$)) = n
On a (1 - exp($\displaystyle {\frac{{i*(2*n-k)*\pi}}{{n}}}$) = (1 - exp($\displaystyle {\frac{{-i*k*\pi}}{{n}}}$) et :
(1 - exp($\displaystyle {\frac{{i*k*\pi}}{{n}}}$))(1 - exp($\displaystyle {\frac{{-i*k*\pi}}{{n}}}$)) = 2 - 2 cos($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{n}}}$)
Donc :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$2 - 2 cos($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{n}}}$) = n
ou encore :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$1 - cos($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{n}}}$) = $\displaystyle {\frac{{n}}{{2^{n-1}}}}$
On a :
(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$))2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(1 - cos($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{n}}}$))
Donc :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$))2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2^{n-1}}}}$*$\displaystyle {\frac{{n}}{{2^{n-1}}}}$
Ou encore puisque sin($ {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$) > 0 pour tout k = 1..(n - 1) :
$\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt n}}{{2^{n-1}}}}$
On a :
$\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n-1}}$ln(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$)) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2n}}}$ln($\displaystyle \prod_{{k=1}}^{{n-1}}$sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$)) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2n}}}$ln($\displaystyle {\frac{{\sqrt n}}{{2^{n-1}}}}$)
On tape

$\displaystyle \tt limit(pi/2/n*ln(sqrt(n)/2^{n-1}),n=+infinity)$

On obtient :

$\displaystyle \tt -(\frac{pi*log(2)}{2})$

4/ $ \int_{0}^{\frac}$$ \pi$2ln(sin(x))dx est convergente en 0 car :
0 < - ln(sin(x) < 1/$ \sqrt{x}$ au voisinage de 0 ( $ \lim_{{x->0}}^{}$$ \sqrt{x}$*ln(sin(x) = 0) et $ \int_{0}^{1}$dx/$ \sqrt{x}$ est convergente en 0.
Or $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n-1}}$ln(sin($\displaystyle {\frac{{k*\pi}}{{2n}}}$)) est la somme de Riemann associée à I donc :
$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(x))dx = - ($\displaystyle {\frac{{\pi*\ln(2)}}{{2}}}$)
5/ J est convergente en $ \pi$/2 car, avec le changement de variables x = $ \pi$/2 - u, on a :
$\displaystyle \int_{0}^{a}$ln(cos(x))dx = $\displaystyle \int_{{\frac{\pi}{2}-a}}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(x))dx
donc
I = J = (I + J)/2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(x)*cos(x))dx =
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2(ln(sin(2*x)) - ln(2))dx =
$\displaystyle {\frac{{I}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(2)dx = $\displaystyle {\frac{{I}}{{2}}}$ - $\displaystyle \pi$*$\displaystyle {\frac{{\ln(2)}}{{4}}}$
en effet
$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(2*x))dx = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{0}^{\pi}$ln(sin(u))du = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(u))du + $\displaystyle \int_{\frac}^{}$$\displaystyle \pi$2$\scriptstyle \pi$ln(sin(u))du) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle \int_{0}^{\frac}$$\displaystyle \pi$2ln(sin(u))du - $\displaystyle \int_{\frac}^{}$$\displaystyle \pi$20ln(sin($\displaystyle \pi$ - t))dt) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(I + I) = I
Donc

I = - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ln(2)


next up previous contents
suivant: Les équations différentielles résolubles monter: Utilisation des sommes de précédent: Somme et produit se   Table des matières
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve