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Cas général : on a m échantillons

Soient m échantillons, comment savoir si la distribution des fréquences de ces m échantillons sont celles d'échantillons d'une même loi ?
Notations
On suppose que les m échantillons peuvent prendre k valeurs numerotées de 1 à k. On note à l'aide d'un indice (i) placé en haut ce qui concerne le i-ième échantillon ainsi, n(i) est la taille de l'échantillon i et nj(i) est le nombre d'occurences de la valeur j dans la série i, donc i varie de 1 à m et j varie de 1 à k.
On a m échantillons et dans chaque échantillon il y a k classes.
On a donc :
$\displaystyle \sum_{j}^{}$nj(i) = n(i) qui est la taille de l'échantillon (i).
On pose :
$\displaystyle \sum_{{i,j}}^{}$nj(i) = n et
$\displaystyle \sum_{{i}}^{}$nj(i) = nj.
Donc n est la taille de l'échantillon total constitué par les m échantillons, nj est le nombre total d'occurences de la valeur j dans l'échantillon total.
D'après la loi des grands nombres, si on considère que les m échantillons suivent la même loi X que l'échantillon total on a Proba(X = j) $ \simeq$ nj/n.
Donc on peut considérer que l'effectf théorique de la valeur j de l'échantillon (i) est :
$ \nu_{j}^{{(i)}}$ = n(i)*nj/n.
La variable de décision est alors :
D2 = $\displaystyle \sum_{{i,j}}^{}$$\displaystyle {\frac{{(n_j^{(i)}-\nu_j^{(i)})^2}}{{\nu_j^{(i)}}}}$
Cette variable suit une loi de $ \chi^{2}_{}$ ayant s = (m - 1)(k - 1) degrés de liberté.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve