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On tape :
u(n):=ifte(n==0,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)
u(n)$(n=0..5)
On obtient :
1,3,5,7,9,11
On pense que un = 2*n + 1 et on va le montrer par récurrence.
La relation est vrai pour n = 0 :
u0 = 2*0 + 1 = 1
Supposons que pour tout 0
k < n, uk = 2*k + 1 donc
un-1 = 2*n - 1
On a
n*un = (n + 1)*(2*n - 1) + 1
On tape :
factor((n+1)*(2*n-1)+1)
On obtient :
(2*n+1)*n
donc
n*un = (2*n + 1)*n et comme n > 0 on peut diviser par n donc
un = 2*n + 1.
Généralisation
On tape :
u(n):=ifte(n==a,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)
normal(u(n)$(n=0..5))
On obtient :
a,2*a+1,3*a+2,4*a+3,5*a+4,6*a+5
On pense que
un = (n + 1)*a + n et on va le montrer par récurrence.
La relation est vrai pour n = 0 :
u0 = (0 + 1)*a + 0 = a
Supposons que pour tout 0
k < n,
uk = (k + 1) + k donc
un-1 = n*a + n - 1
On a
n*un = (n + 1)*(n*a + n - 1) + 1
On tape :
factor((n+1)*(n*a+n-1)+1)
On obtient :
n*(a*n+a+n)
donc
n*un = n*(a*n + a + n) et comme n > 0 on peut diviser par n donc
un = a*n + a + n = (n + 1)*a + n.
On peut aussi chercher à calculer :
un - un-1 en fonction de
un-1 - un-2.
On a :
un - un-1 = (n2*un-1 - n2*un-2 - un-1 -1)/(n2 - n)
On sait que :
un-1 = n*un-2 + n*un-1 - 1 donc
un - un-1 = un-1 - un-2 = ... = u1 - u0 = a + 1
Ainsi, un est une suite arithmétique de raisqon a + 1 et donc
un = n(a + 1) + u0 = n(a + 1) + a = a(n + 1) + n
Avec Xcas, on pose un=un, un1=un-1 et
un2=un-2.
On tape :
un:=(n*un1+un1+1)/n
un1:=(n*un2+1)/(n-1)
simplify(un-un1)
On obtient :
(un2+1)/(n-1)
simplify(un1-un2)
On obtient :
(un2+1)/(n-1)
Donc
un - un-1 = un-1 - un-2 = ...u1 - u0 = a + 1.
Avec Xcas, si on veut obtenir directement un-un1=un1-un2,
on doit faire la différence entre :
un11=un-1 que l'on exprime en fonction de un2=un-2 et
un1=un-1 qui ne doit pas changer. La difficulté ici est que dans
un=un, il y a
(n*un-1 + un-1 + 1) et on doit laisser n*un-1
inchangé alors qu'il faut exprimer un-1 + 1 en fonction de
un2=un-2.
On tape :
un:=(n*un1+un11+1)/n
un11:=(n*un2+1)/(n-1)
simplify(un-un11)
On obtient :
un1-un2
Donc on a :
un - un-1 = un-1 - un-2 = ... = u1 - u0 = a + 1
Remarque
On peut aussi remarquer que l = - 1 est solutipon de
n*l = (n + 1)*l + 1.
Donc si vn = un + 1, alors v vérifie :
v0 = a + 1 et
nvn = (n + 1)vn-1 ou encore
vn =
vn-1 =
vn-2 = ... = (n + 1)v0 = (n + 1)(a + 1)
donc
un = (n + 1)(a + 1) - 1 = (n + 1)a + n
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve