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L'énoncé

Définition
On dit que les entiers p et q est une paire carrée si il existe deux entiers a er b tels que q + p = a2 et q - p = b2.
Par exemple (6,10) est une paire carrée car 10 - 6 = 22 et 10 + 6 = 42.
  1. Écrire un programme qui en balayant tous les nombres de 0 à 100 donne les paires carrées (p, q) avec 0 $ \geq$ p $ \geq$ q $ \geq$ 100,
  2. Montrer que si (p, q) est une paire carrée alors on a :

    2q = a2 + b2 et 2p = a2 - b2

  3. Montrer que quelque soit n $ \in$ $ \mathbb {N}$ on soit n2 = 1 mod 4, soit n2 = 0 mod 4. En déduire alors que p est pair si (p, q) est une paire carrée.
    Modifier votre programme pour tenir compte de cette information.
  4. Montrer que a2 - b2 est un multiple de 4. En déduire que a et b ont même parité et que a - b est pair.
    Écrire un programme qui à partir de b et de a = b + 2*n calcule les valeurs de p et q vérifiant q = (a2 + b2)/2 et p = (a2 - b2)/2 et 0 $ \geq$ p $ \geq$ q $ \geq$ 1000.
  5. Afficher les points de coordonnées (p, q) ( 0 $ \geq$ p $ \geq$ q $ \geq$ 1000)où (p, q) est une paire carrée.
  6. Trouver les équations des droites et des courbes en forme de filets reliants certains de ces points.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve