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Prolongement avec la formule d'Euler-Mac Laurin

La formule d'Euler-Mac Laurin à l'ordre 4 On suppose la fonction g suffisamment dérivable et on pose I0 = $ \int_{0}^{1}$g(tdt. On va intégrer cette intégrale par partie, pour cela on définit le polynôme P1(x) tel que : P1'(x) = 1 et $ \int_{0}^{1}$P1(tdt = 0 donc P1(x) = x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
P1(x) est une fonction impaire en (x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$) et on a P1(1) = - P1(0) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
On a :

I0 = $\displaystyle \int_{0}^{1}$g(tP1'(tdt = P1(1)g(1) - P1(0)g(0) - $\displaystyle \int_{0}^{1}$g'(tP1(tdt

On continue, en définissant P2(x) tel que :
P2'(x) = P1(x) et $ \int_{0}^{1}$P2(tdt = 0 donc P2(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$)2 - $ {\frac{{1}}{{24}}}$.
P2(x) est une fonction paire en (x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$) et on a P2(1) = P2(0) = $ {\frac{{1}}{{12}}}$.
On a :

$\displaystyle \int_{0}^{1}$g'(tP2'(tdt = P2(1)g'(1) - P2(0)g'(0) - $\displaystyle \int_{0}^{1}$g''(tP2(tdt

I0 = $\displaystyle {\frac{{g(1)+g(0)}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{g'(1)-g'(0)}}{{12}}}$ + $\displaystyle \int_{0}^{1}$g''(tP2(tdt

On recommence en définissant :
P3'(x) = P2(x) et $ \int_{0}^{1}$P3(tdt = 0.
On a : P3(x) = 1/6(x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$)3 - $ {\frac{{1}}{{2}}}$4(x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$) en effet P3(x) est une primitive de P2(x) qui est impaire en (x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$).
On en déduit que :
P3(1) = - P3(0) et puisque $ \int_{0}^{1}$P2(t) = 0 on a :
P3(1) = P3(0) donc P3(1) = - P3(0) = 0.
Ceci se généralise dans la suite pour k > 0 on a :
P2*k+1(1) = P2*k+1(0) = 0.
On a :

$\displaystyle \int_{0}^{1}$g''(tP3'(tdt = P3(1)g''(1) - P3(0)g''(0) - $\displaystyle \int_{0}^{1}$g'''(tP3(tdt

I0 = $\displaystyle {\frac{{g(1)+g(0)}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{g'(1)-g'(0)}}{{12}}}$ - $\displaystyle \int_{0}^{1}$g'''(tP3(tdt

En définissant P4(x) tel que :
P4'(x) = P3(x) et $ \int_{0}^{1}$P4(tdt = 0, P4(x) est donc une fonction paire en (x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$) et on a P4(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$4(x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$)4 -1/48(x - $ {\frac{{1}}{{2}}}$)2 + 7/5760.
On a P4(1) = P4(0) = - 1/720.
Donc la formule d'Euler-MacLaurin à l'ordre 4 est :

$\displaystyle \int_{0}^{1}$g(tdt = $\displaystyle {\frac{{g(1)+g(0)}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{g'(1)-g'(0)}}{{12}}}$ + $\displaystyle {\frac{{g'''(1)-g'''(0)}}{{720}}}$ + $\displaystyle \int_{0}^{1}$g(4)(tP4(tdt

puisque P5(0) = P5(1) = 0, on a $ \int_{0}^{1}$g(4)(tP4(tdt = - $ \int_{0}^{1}$g(5)(tP5(tdt.
Donc on a aussi :

$\displaystyle \int_{0}^{1}$g(tdt = $\displaystyle {\frac{{g(1)+g(0)}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{g'(1)-g'(0)}}{{12}}}$ + $\displaystyle {\frac{{g'''(1)-g'''(0)}}{{720}}}$ - $\displaystyle \int_{0}^{1}$g(5)(tP5(tdt

Remarque
On peut montrer que le polynôme Pk(x) = Bk(x)/k! où Bk(x) est le k-ième polynôme de Bernoulli, il est solution de :
Bk(x + 1) - Bk(x) = kxk-1, et il vérifie :
$\displaystyle {\frac{{te^{xt}}}{{e^t-1}}}$ = $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{\infty}$Bn(x)$\displaystyle {\frac{{t^n}}{{n!}}}$.
Le k-ième nombre de Bernouilli (c'est la commande bernoulli(k) de Xcas) est la valeur du k-ième polynôme de Bernoulli en zéro.
La formule d'Euler-Mac Laurin plus générale à l'ordre r. On a :
$ \int_{p}^{q}$f (t)dt = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (p) + f (q)) + $ \sum_{{n=p+1}}^{{q-1}}$f (n) + $ \sum_{{k=2}}^{{r}}$$ {\frac{{(-1)^{k}}}{{k!}}}$bernouilli(k)(f(k-1)(p) - f(k-1)(q)) + $ \int_{0}^{1}$$ \sum_{{n=p+1}}^{{q}}$(- 1)rf (u + n - 1)$ {\frac{{B_r(u)}}{{r!}}}$du

\framebox{\bf Comparaison de $\displaystyle \sum_{k=p+1}^nf(k)$ avec $\int_p^n f(t)  dt$}

On a $ \sum_{{k=p+1}}^{n}$f (k) - $ \int_{p}^{n}$f (tdt = $ \sum_{{k=p+1}}^{n}$$ \int_{{k-1}}^{k}$(f (k) - f (t)) dt.
On se ramène à l'intervalle [0;1] en posant u + k - 1 = t :
$ \int_{{k-1}}^{k}$(f (k) - f (t)) dt = $ \int_{{0}}^{1}$(f (k) - f (u + k - 1)) du
puis on applique la formule d'Euler-Mac Laurin à g(u) = f (k) - f (u + k - 1) ( g(1) = 0, g(0) = f (k) - f (k - 1), g'(u) = - f'(u + k - 1)....) :
$\displaystyle \int_{{0}}^{1}$(f (k) - f (u + k - 1)) du = $\displaystyle {\frac{{f(k)-f(k-1)}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{f'(k)-f'(k-1)}}{{12}}}$
- $\displaystyle {\frac{{f'''(k)-f'''(k-1)}}{{720}}}$ + $\displaystyle \int_{0}^{1}$f(4)(u + k - 1) P4(udu
donc
$\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{n}$$\displaystyle \int_{{0}}^{1}$(f (k) - f (u + k - 1)) du = $\displaystyle {\frac{{f(n)-f(p)}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{f'(n)-f'(p)}}{{12}}}$ - $\displaystyle {\frac{{f'''(n)-f'''(p)}}{{720}}}$ +
$\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{n}$f(4)(u + k - 1) P4(udu
On trouve :
P0 = 1
P1 = x - 1/2
P2 = x2/2 - x/2 + 1/12
P3 = x3/6 - x2/4 + x/12
P4 = x4/24 - x3/12 + x2/24 - 1/720
P5 = x5/120 - x4/48 + x3/72 - x/720
P6 = x6/720 - x5/240 + x4/288 - x2/1440 + 1/30240
car int(x^6/720-x^5/240+x^4/288-x^2/1440,x,0,1)=-1/30240

\framebox{\bf Application \\lq a $\displaystyle f(t)=\frac{1}{4t+1}-\frac{1}{4t+3}$}
La série de terme général un = f (n) = $\displaystyle {\frac{{2}}{{(4n+1)(4n+3)}}}$ est convergente et,
$ \sum_{{k=0}}^{\infty}$f (k) = $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$ = l , on a :
f'tt) = $\displaystyle {\frac{{-4}}{{(4t+1)^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{4}}{{(4t+3)^2}}}$
f''(t) = $\displaystyle {\frac{{32}}{{(4t+1)^3}}}$ - $\displaystyle {\frac{{32}}{{(4t+3)^3}}}$
f'''(t) = $\displaystyle {\frac{{-384}}{{(4t+1)^4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{384}}{{(4t+3)^4}}}$
f(4)(t) = $\displaystyle {\frac{{6144}}{{(4t+1)^5}}}$ - $\displaystyle {\frac{{6144}}{{(4t+3)^5}}}$
f(5)(t) = - $\displaystyle {\frac{{6144*20}}{{(4t+1)^6}}}$ + $\displaystyle {\frac{{6144*20}}{{(4t+3)^6}}}$
On remarque au passage que f(5) est négative et croissante et que :
pour k $ \geq$ p + 1 on a 0 < | f(5)(k)| < C/p6.
On calcule :
$\displaystyle \int_{p}^{n}$f (tdt = 1/4(ln(4n + 1) - ln(4n + 3) - (ln(4p + 1) - ln(4p + 3)))
en faisant tendre n vers + $ \infty$ on a :
$ \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$f (k) = l - $ \sum_{{k=0}}^{p}$f (k) donc
l = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{p}$f (k) + $\displaystyle \int_{p}^{\infty}$f (tdt - $\displaystyle {\frac{{f(p)}}{{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{f'(p)}}{{12}}}$ + $\displaystyle {\frac{{f'''(p)}}{{720}}}$ -
 *2cm$\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{n}$$\displaystyle \int_{0}^{1}$f(5)(u + k - 1) P5(udu
l = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{p}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+3}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$(ln(1 + $\displaystyle {\frac{{2}}{{4p+1}}}$) - 5$\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+1)(4p+3)}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+1)^2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+3)^2}}}$) - $\displaystyle {\frac{{8}}{{15}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+1)^4}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+3)^4}}}$) - $\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$$\displaystyle \int_{0}^{1}$f(5)(u + k - 1) P5(udu.
et on a :
|$\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$$\displaystyle \int_{0}^{1}$f(4)(u + k - 1) P4(udu| $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$| f(5(k - 1)|$\displaystyle \int_{0}^{1}$| P5(u)| du| < $\displaystyle {\frac{{Cste}}{{p^5}}}$
En effet on a :
$ \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$| f(5(k - 1)| < C$ \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$1/p6 < Cste/p5
car on compare le reste de la série $ \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$1/p6 avec l'intégrale $ \int_{p}^{\infty}$1/t6dt = 1/(5p5) On a donc le développement asymptotique zp à l'ordre 5 de l:
l = $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$ $\displaystyle \simeq$ zp = up + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ln(1 + $\displaystyle {\frac{{2}}{{4*p+1}}}$) - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4*p+1)(4*p+3)}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$*($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4*p+1)^2}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4*p+3)^2}}}$) - $\displaystyle {\frac{{8}}{{15}}}$*($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4*p+1)^4}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4*p+3)^4}}}$)

On peut faire un développement limité à l'ordre 5 :
$ {\frac{{1}}{{4}}}$ln(1 + $ {\frac{{2}}{{4*p+1}}}$) lorsque p tend vers + $ \infty$.
En posant x = 1/(4p + 1), on tape :

series(1/4*log(1+2*x),x=0,5)
On obtient :
2/4*x+1/-2*x^2+8/3/4*x^3-x^4+32/5/4*x^5+ x^6*order_size(x)
On tape :
sum(2/((4*k+1)*(4.0*k+3)),k,0,10)+subst(2/4*x+1/-2*x^2+ 8/3/4*x^3-x^4+32/5/4*x^5,x,1.0/41)+ subst(-1/((4*p+1)*(4*p+3))+ 1/3*(1/(4*p+1)^2- 1/(4*p+3)^2)-8/15*(1/(4*p+1)^4-1/(4*p+3)^4),p,10.0)
On obtient :
0.785398163726
On peut aussi faire un développement asymptotique (p tend vers + $ \infty$) à l'ordre 5 de :
1/4*ln(1 + 2/(4p + 1)) - 1/((4p + 1)(4p + 3)) + 1/3*(1/(4p + 1)2 -1/(4p + 3)2) -
8/15*(1/(4p + 1)4 -1/(4p + 3)4)
En posant x = 1/(4p + 1), on tape :
series(1/4*log(1+2x)-x/(1/x+2)+1/3*(x^2-1/(1/x+2)^2)-
8/15*(x^4-1/(1/x+2)^4),x=0,5)
On obtient :
2/4*x+-3/2*x^2+4*x^3-9*x^4+16*x^5+x^6*order_size(x)
On tape :
sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+
subst(2/4*x+-3/2*x^2+4*x^3-9*x^4+16*x^5,x=1.0/41)
On obtient :
0.785398168153

Sans faire un développement limité de $ {\frac{{1}}{{4}}}$ln(1 + $ {\frac{{2}}{{4*p+1}}}$) lorsque p tend vers + $ \infty$ on tape et on obtient :

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/4*log(1+2/41)
0.785947393863

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)
0.785380178889

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+
8*21/3/(41^2*43^2)
0.785398195927

sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1/4*log(1+2/41)-1.0/(41*43)+
8*21/3/(41^2*43^2)-8/15*(1/41^4-1/43^4)
0.785398163187
On rappelle que evalf(pi/4)=0.785398163397
On a donc pour la dernière somme 9 décimales exactes de $ \pi$/4 ...


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve