^
k/2^
(k+1),k,0,+infinity)
Peut-on généraliser ?
Dans le cas général, on tire au hasard des nombres entre 1 et n jusqu'à
obtenir 1. La moyenne des produits des nombres tirés est-elle
infinie ?
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre p de tirages parmi
1...n qu'il faut effectuer pour obtenir 1.
On a :
P(Xn = 1) = ,
P(Xn = 2) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2*1 = 2, 3*1 = 3,..., n*1 (liste L2 de taille n - 1 de produit
2*3 + ...*n = n!)
P(Xn = 3) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2*2*1 = 4, 2*3*1 = 6, 3*2*1 = 6,...n*n*1 (liste L3 de taille (n - 1)2)
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme de cette liste provient du developpement de :
(2 + 3 + ... + n)2 donc la somme de la liste L3 vaut
(2 + 3 + ... + n)2
.....
P(Xn = p) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2*...*2*1 = 2p-1, 2 + ... +3 + 1 = 2p-2*3,,... (liste Lp de
taille
(n - 1)p-1)
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme de cette liste provient du developpement de :
(2 + 3 + ... + n)p-1 donc la somme de la liste Lp vaut
(2 + 3 + ... + n)p-1
Donc :
^
p-1/(n)^
p ,p,1,k)