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La division harmonique

Quatre points ABCD sont en division harmonique si on a :

$\displaystyle {\frac{{\overline{CA}}}{{\overline{CB}}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{\overline{DA}}}{{\overline{DB}}}}$ = k

On dit aussi que C et D divisent le segment AB dans le rapport k et que le point D est le conjugué harmonique de C par rapport à A et B.
On écrit les fonctions conj_harmonic1 qui étant donné les points A, B et C sur la droite AB détermine le point D conjugué harmonique de C par rapport à A et B. On suppose que C sur la droite AB et on écrit :
conj_harmonic1(A,B,C):={
local D;
D:=A+(B-A)*(C-A)/((C-B)+(C-A));
return(D);
};
On écrit la fonction conj_harmonic2 qui définit les points C et D qui divise le segment AB dans le rapport k :
conj_harmonic2(A,B,k):={
local C,D;
C:=A+k/(1-k)*(A-B);
D:=A-k/(1+k)*(A-B);
return([C,D]);
};
Remarque Si C est le point qui divise le segment AB dans le rapport k, on a :
$ {\frac{{\overline{CA}}}{{\overline{CB}}}}$ = k donc $ \overline{{CA}}$ - k$ \overline{{CB}}$ = 0 donc C est le barycentre de A affecté du coefficient 1 et B du coefficient - k. De même, si D est le point qui divise le segment AB dans le rapport - k, D est le barycentre de A affecté du coefficient 1 et B du coefficient k (si 1 + k $ \neq$ 0 et si 1 - k $ \neq$ 0).
On tape par exemple:
k:=2
C:=barycentre([[A,1],[B,-k]]))
D:=barycentre([[A,1],[B,k]])
On remarquera aussi que C:=element(droite(A,B),t); signifie :
$ \overline{{AC}}$ = t*$ \overline{{AB}}$ donc :
C-A:=t*(B-A) soit C:=(1-t)*A+t*B.
On a donc :
$ {\frac{{\overline{CA}}}{{\overline{CB}}}}$ = $ {\frac{{t}}{{t-1}}}$ = k
On écrit la fonction conj_harmonic3 en se servant de la commande element :
conj_harmonic3(A,B,k):= {
local C,D,t; 
  t:=k/(k-1);  
  C:=element(droite(A,B),t);  
  D:=A+t/(2*t-1)*(B-A);  
  return([point(C),point(D)]); 
}
Activité
Soient trois points A, B, M alignés. Construire géométriquement le point N conjugué harmonique de M par rapport à A et B.

Réponse
On définit 3 points A, B, C non alignés.
On trace la droite MC et la parallèle d1 (resp d2) à cette droite passant par A (resp B).
La droite BC coupe d1 en K et la droite AC coupe d2 en L
N est alors l'intersection de la droite KL avec la droite AB.

A:=point(-2,-2.8);
B:=point(2,-2.8);
C:=point(1,-1.8);
d0:=droite(A,B);
t:=element(0..1,0.3);
M:=element(d0,t);
d:=droite(M,C);
d1:=parallele(A,d);
d2:=parallele(B,d);
D1:=droite(A,C);
D2:=droite(B,C);
K:=inter(d1,D2)[0];
L:=inter(d2,D1)[0];
D3:=droite(K,L);
N:=inter(d0,D3)[0];

\begin{pspicture}(-5.0000,-6.0000)(5.0000,3.0000)
\psset{unit=0.75cm}
\psset{lin...
...yle=*](4.8084,-2.8080)
\uput{0.0833}[45.0000](4.8084,-2.8080){N}
\end{pspicture}

Autre réponse
On définit 3 points A, B, C non alignés.
On définit les droites d1 = CA, d2 = CB, d3 = CM. On peut alors tracer la droite d4 pour que le faisceau d1, d2, d3, d4 soit harmonique.
On trace D1 la parallèle à la droite d1 passant par B qui coupe CM en K. On définit L sur D1 tel que BK = BL et L $ \neq$ K.
On trace CL qui coupe AB en N.

A:=point(-2,-2);
B:=point(2,-2);
C:=point(1,0);
d0:=droite(A,B);
t:=element(0..1,0.3);
M:=element(d0,t);
d3:=droite(C,M);
d1:=droite(C,A);
d2:=droite(C,B);
D1:=parallele(B,d1);
K:=inter(d3,D1)[0];
L:=inter(cercle(B,K-B),D1)[1];
d4:=droite(C,L);
N:=inter(d0,d4)[0];

\begin{pspicture}(-5.0000,-5.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{unit=0.5cm}
\psset{line...
...yle=*](4.9197,-2.0250)
\uput{0.0833}[45.0000](4.9197,-2.0250){N}
\end{pspicture}


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve