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Soit
Pn = (
sin(
).
1/ Montrer que :
(1 - cos(
)) =
.
2/ En déduire que :
(sin(
)) =
.
3/ Dèterminer la limite de

ln(sin(
)) quand n tend vers +
.
4/ Montrer que l'intégrale
I = 
2ln(sin(x))dx est convergente et calculer sa valeur à l'aide des sommes de Riemann.
5/ Retrouver ce résultat en considérant
J = 
2ln(cos(x))dx et en montrant que
I = J =
1/ On a :
(z - exp(
)) = z2n - 1 =
(z - 1)(z - exp(i*
))
(z - exp(
))(z - exp(
)) donc
(z - exp(
))(z - exp(
)) =
=
= 1 + z + z2 + ...z2n-2
En faisant tendre z vers 1 on en déduit que :
(1 - exp(
)(1 - exp(
)) = n
On a
(1 - exp(
) = (1 - exp(
) et :
(1 - exp(
))(1 - exp(
)) = 2 - 2 cos(
)
Donc :
2 - 2 cos(
) = n
ou encore :
1 - cos(
) =
On a :
(sin(
))2 =
(1 - cos(
))
Donc :
(sin(
))2 =
*
Ou encore puisque
sin(
) > 0 pour tout
k = 1..(n - 1) :
sin(
) =
On a :

ln(sin(
)) =
ln(
sin(
)) =
ln(
)
On tape
On obtient :
4/

2ln(sin(x))dx est convergente en 0 car :
0 < - ln(sin(x) < 1/
au voisinage de 0 (

*ln(sin(x) = 0) et
dx/
est convergente en 0.
Or

ln(sin(
))
est la somme de Riemann associée à I
donc :

2ln(sin(x))dx = - (
)
5/ J est convergente en
/2 car, avec le changement de variables
x =
/2 - u, on a :
ln(cos(x))dx = 
2ln(sin(x))dx
donc
I = J = (I + J)/2 = 

2ln(sin(x)*cos(x))dx =


2(ln(sin(2*x)) - ln(2))dx =
- 

2ln(2)dx =
-
*
en effet

2ln(sin(2*x))dx = 
ln(sin(u))du =
(
2ln(sin(u))du + 
2
ln(sin(u))du) =
(
2ln(sin(u))du - 
20ln(sin(
- t))dt) =
(I + I) = I
Donc
I = -

ln(2)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve