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Deux théorèmes

Soit [a, b] un segment de $ \mathbb {R}$.

Rappel : Intégrale d'une fonction en escalier $ \phi$ sur [a, b]
L'intégrale d'une fonction en escalier $ \phi$ de [a, b] dans $ \mathbb {R}$ ou $ \mathbb {C}$ notée $ \int_{a}^{b}$$ \phi_{n}^{}$ est égale à :
$ \sum_{{j=1}}^{n}$(aj - aj-1)*$ \lambda_{j}^{}$
$ \lambda_{j}^{}$ est la valeur constante prise par $ \phi_{j}^{}$ sur ]aj-1, aj[.

Soit f une application continue par morceaux de [a, b] dans $ \mathbb {R}$ ou $ \mathbb {C}$.

Théorème 1
f est la limite uniforme d'une suite $ \phi_{n}^{}$ de fonctions en escalier sur [a, b].

Théorème 2 et définition de l'intégrale
Si $ \phi_{n}^{}$ est une suite de fonctions en escalier sur [a, b] qui converge uniformément vers f sur [a, b], alors la suite $ \int_{a}^{b}$$ \phi_{n}^{}$ converge et cette limite ne depend pas de la suite $ \phi_{n}^{}$ choisie pourvu que cette suite $ \phi_{n}^{}$ converge uniformément vers f sur [a, b].
Cette limite est appelée intégrale de f sur [a,b] et est notée $ \int_{a}^{b}$f ou encore $ \int_{a}^{b}$f (t)dt.


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve