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Correction

0/ On tape : f(x):=1/2*(x+7/x)
1/ Dans une ligne de commande on tape : 3 puis, f(ans()) cela va afficher la valeur exacte de u1, on valide à nouveau f(ans()) on obtient u2 etc...
On obtient :
u1 = $\displaystyle {\frac{{8}}{{3)}}}$,
u2 = $\displaystyle {\frac{{127}}{{48)}}}$,
u3 = $\displaystyle {\frac{{32257}}{{12192}}}$,
u4 = $\displaystyle {\frac{{2081028097}}{{786554688}}}$.
u5 = $\displaystyle {\frac{{8661355881006882817}}{{3273684811110137472}}}$ Quand on a la valeur exacte de u5 pour avoir la valeur approchée on sélectionne la réponse avec la souris, puis utilise evalf du menu Calc $ \blacktriangleright$Numérique.
On obtient :
2.64575131106
2/ On tape : plotseq(f(x),x=3,5) avec par exemple comme fenêtre :
[2.5;3]×[2.5;2.7]
3/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape $ \tt =A0+1$, puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas quand A1 est en surbrillance.
Dans B0 on tape 3 et dans B1 on tape =f(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans C0 on tape =numer(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand C0 est en surbrillance.
Dans D0 on tape =denom(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand D0 est en surbrillance.
Dans E0 on tape =iquo(C0*10^12,D0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand E0 est en surbrillance.
Dans F0 on tape =evalf(B0), puis dans le menu Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand F0 est en surbrillance.
La colonne E contient la partie entière de 1012*un. On est donc capable de voir la partie entière de un et de ses 12 premières décimales. En remplacant 12 par 22 on verra donc les 22 premières décimales de un.
4/ u0 > 0 donc u1 est défini et u1 > 0 et par récurrence un est défini et un > 0 pour tout n $ \geq$ 0.
Si un converge vers l, l vérifie : 2*l = l + 7/l donc l2 = 7.
Donc si la limite existe ce ne peut être que $ \sqrt{7}$ puisque un > 0 pour tout n $ \geq$ 0.
On a f croissante sur [$ \sqrt{7}$ + $ \infty$[ et f ($ \sqrt{7}$) = $ \sqrt{7}$ donc puisque :
u0 = 3 > $ \sqrt{7}$ par récurrence un > $ \sqrt{7}$ pour tout n $ \geq$ 0.
On a f croissante sur [$ \sqrt{7}$ + $ \infty$[ et un > $ \sqrt{7}$ pour tout n $ \geq$ 0 donc puisque :
u0 = 3 > u1 = 8/3 on obtient par récurrence un > un+1 pour tout n $ \geq$ 0.
Ou bien on forme la différence :
un+1 - un = 1/2(un - un-1 -7(un - un-1)/(un*un-1)) =
(un - un-1)*1/2*(un*un-1 -7)/(un*un-1)
(un*un-1 -7) > 0 puisque un > $ \sqrt{7}$ pour tout n $ \geq$ 0 et un*un-1 > 0 donc
un+1 - un a le même signe que un - un-1 pour tout n $ \geq$ 1
u1 - u0 < 0 donc la suite u est décroissante.
u est décroissante et minorée par $ \sqrt{7}$ donc u est convergente.
On a vu que si u est convergente, sa limite est $ \sqrt{7}$, donc u converge vers $ \sqrt{7}$.
5/ 52 = 25 < 7*22 = 28 donc 5/2 < $ \sqrt{7}$ < u0 = 3 et e0 = u0 - $ \sqrt{7}$ < 1/2
en = un - $ \sqrt{7}$ = 1/2*(un-12 +7 - 2*$ \sqrt{7}$*un-1)/un-1) = $ {\frac{{e_{n-1}^2}}{{2*u_{n-1}}}}$.
On sait que 5/2 < $ \sqrt{7}$ < un donc en < 5*($ {\frac{{e_{n-1}}}{{5}}}$)2 et par récurrence :
en < 5*($ {\frac{{e_0}}{{5}}}$)2n < 5*($ {\frac{{1}}{{10}}}$)2n pour tout n $ \geq$ 1.
Donc e5 < 5*($ {\frac{{1}}{{10}}}$)32 = 5*10-32 est une majoration de l'erreur à priori.
Comme e5 = (u52 -7)/(u5 + $ \sqrt{7}$) < (u52 - 7)/5, on fait le calcul de (u52 - 7)/5 et on trouve e5 < 2*10-38 .
Puisque :
e4<evalf(((2081028097/786554688)^2-7)/5)< 4*10-19,
pour avoir un encadrement de $ \sqrt{7}$ à 10-20 près, il faut calculer u5 avec 21 décimales.
On obtient : u5 -10-25 < u5 - e5 = $ \sqrt{7}$ < u5 et
2.645751311064590590501 < u5 < 2.645751311064590590502 donc
2.645751311064590590500 < $ \sqrt{7}$ < 2.645751311064590590502


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve