erase; xyztrange(-0.5,8.5,-0.5,10.5,-10,10,-1,6,-0.5,8.5,-0.5,10.5,1,0,1,1); rectangle(0,8,5/8); assume(a1=1); A1:=point(a1,0); assume(a2=6); A2:=point(a2,5); O:=point(0,0); A:=point(8,0); B:=point(8,5); C:=point(0,5); droite(O,A2); droite(C,A1); I:=(inter(droite(O,A2),droite(C,A1)))[0]; droite(A,A2); droite(B,A1); J:=(inter(droite(A,A2),droite(B,A1)))[0]; couleur(polygone(A1,J,A2,I),rempli+rouge); f(a1):=normal(aire(A1,J,A2,I)); plotfunc(f(x),x=0..8); S:=point(a1,f(a1)); couleur(droite(A1,S),vert); H:=point(a2,0); K:=(inter(droite(O,A2),droite(C,H)))[0]; L:=(inter(droite(A,A2),droite(B,H)))[0]; droite(H,C); droite(H,B); M:=(inter(droite(C,A1),droite(K,L)))[0]; N:=(inter(droite(B,A1),droite(K,L)))[0]; couleur(polygone(L,H,K),rempli+bleu); couleur(polygone(A1,M,N),rempli+bleu); normal(aire(H,K,L)-aire(A1,M,N));On considere au debut A2 fixe et on peut faire bouger A1 en cliquant sur le petit trait rouge a1 situé en haut et à droite de l'écran.
On trace ensuite les differents graphes en faisant varier a2 de 0 a 8,
on les voit ds l'ecran DispG en tapant DispG et en exécutant :
On remarque que les triangles A1MN, HKL et A2KL ont la même aire.
Cette aire est d'ailleurs égale au huitième de l'aire du rectangle puisque
ces triangles ont comme base la moitié de la longueur du rectangle et comme
hauteur correspondant la moitié de la largeur du rectangle.
On trace en rouge le morceau A1NKO et en vert le morceau A2KNJ.
On suppose que A1 se trouve entre O et H (on se ramèneà ce cas en
faisant une symétrie par rapport à la droite ML médiane du rectangle).
Le point I se trouve alors en dessous de la droite ML et J se trouve
alors en dessus de la droite ML : en effet, I est entre O et K donc en
dessous de la droite KL et J entre L et A2 donc en dessus de la droite KL.
Le morceau rouge A1NKO a donc une aire plus petite que l'aire de A1MN et
le morceau vert A2KNJ a donc une aire plus petite que l'aire de A2KL.
On voit cela en exécutant le fichier ci-dessous.
Pour cela :
erase; xyztrange(-0.5,8.5,-0.5,10.5,-10,10,-1,6,-0.5,8.5,-0.5,10.5,1,0,1,1); rectangle(0,8,5/8); a1:=element(0..8,2); A1:=point(a1,0); a2:=element(0..8,7); A2:=point(a2,5); O:=point(0,0); A:=point(8,0); B:=point(8,5); C:=point(0,5); segment(O,A2); segment(C,A1); I:=(inter(segment(O,A2),segment(C,A1)))[0]; segment(A,A2); segment(B,A1); J:=(inter(segment(A,A2),segment(B,A1)))[0]; H:=point(a2,0); segment(C,H); segment(B,H); K:=(inter(segment(O,A2),segment(C,H)))[0]; L:=(inter(segment(A,A2),segment(B,H)))[0]; segment(2.5*i,8+2.5*i); M:=(inter(segment(C,A1),segment(K,L)))[0]; N:=(inter(segment(B,A1),segment(K,L)))[0]; si (a1<a2) alors [couleur(polygone(A1,N,K,I),rempli+rouge), couleur(polygone(A2,K,N,J),rempli+vert)]; sinon [couleur(polygone(A2,I,M,L),rempli+vert), couleur(polygone(A1,J,L,M),rempli+rouge)]; fsi;
erase; xyztrange(-0.5,8.5,-0.5,9,-10,10,-1,6,-0.5,8.5,-0.5,9,1,0,1,1); polygone(0,8,5*i+24/7,5*i); a1:=element(0..8,1.5); A1:=point(a1,0); a2:=element(0..24/7,2); A2:=point(a2,5); O:=point(0,0); A:=point(8,0); B:=point(24/7,5); C:=point(0,5); segment(O,A2); segment(C,A1); I:=(inter(segment(O,A2),segment(C,A1)))[0]; segment(A,A2); segment(B,A1); J:=(inter(segment(A,A2),segment(B,A1)))[0]; h:=7/3*a2; H:=point(h,0); segment(C,H); segment(B,H); S:=(inter(demi_droite(O,C),demi_droite(A,B)))[0]; segment(A,S); segment(O,S); K:=(inter(segment(O,A2),segment(C,H)))[0]; L:=(inter(segment(A,A2),segment(B,H)))[0]; segment(3.5*i,4.8+3.5*i); M:=(inter(segment(C,A1),droite(K,L)))[0]; N:=(inter(segment(B,A1),segment(K,L)))[0]; si (a1<h) alors [couleur(polygone(A1,N,K,I),rempli+rouge), couleur(polygone(A2,K,N,J),rempli+vert)]; sinon [couleur(polygone(A2,I,M,L),rempli+vert), couleur(polygone(A1,J,L,M),rempli+rouge)]; fsi;On obtient :
La surface rouge est inférieure à l'aire de A1NM qui est égale à l'aire de HKL (triangle ayant des bases égales et des hauteurs égales) et, la surface verte est inférieure à l'aire de A2KL. Donc, l'aire de A1IA2J est inférieure à l'aire de A2KHL.
O:=point(1,0); A:=point(10,0); B:=point(5,5); C:=point(2,2); a1:=element(1..10,2); a2:=element(2..5,4); A1:=point(a1); A2:=point(a2*(1+i)); P:=inter_droite(droite(A,B),droite(O,C)); H:=inter_droite(droite(P,A2),droite(O,A)); segment(A,A2); segment(O,A2); segment(B,A1); segment(C,A1); I:=inter_droite(segment(O,A2),segment(C,A1)); J:=inter_droite(segment(A,A2),segment(B,A1)); segment(C,H); segment(B,H); K:=inter_droite(segment(O,A2),segment(C,H)); L:=inter_droite(segment(A,A2),segment(B,H)); s1:=normal(aire(polygone(A1,J,A2,I))); s2:=normal(aire(polygone(H,L,A2,K)));On trouve :
On obtient la figure :
On peut trouver la valeur de l'aire du polygone A1JA2I lorsque A2 et A1 varient. Pour cela on tape :
O:=point(1,0); A:=point(10,0); B:=point(5,5); C:=point(2,2); polygone(O,A,B,C); assume(a1=[2,1,10]); assume(a2=[4,1,5]); A1:=point(a1); A2:=point(a2*(1+i)); P:=inter_droite(droite(A,B),droite(O,C)); H:=inter_droite(droite(P,A2),droite(O,A)); segment(A,A2); segment(O,A2); segment(B,A1); segment(C,A1); I:=inter_droite(segment(O,A2),segment(C,A1)); J:=inter_droite(segment(A,A2),segment(B,A1)); f(a1):=normal(aire(A1,J,A2,I));On obtient :
On peut faire les courbes de l'aire du polygone A1JA2I lorsque A2 est fixe
et lorsque A1 varie entre O et A. Pour cela on tape :
Pour avoir les graphes de f selon le paramètre a2, on tape
successivement :
a2:=2;G1:=plotfunc(f(x),x=1..10);
....
a2:=5;G4:=plotfunc(f(x),x=1..10);
ou bien, on tape :
f(x):=(9*a2^3*x^2+3*a2^2*x^3+(-(96*a2^2))*x^2+30*a2^2*x+90*a2*x^2)/(2*a2^2*x^2+(-(104*a2))*x+200); L:=[]; for (a2:=2;a2<6;a2++) {L:=append(L,plotfunc(f(x),x=1..10));} L;On obtient :
Pour montrer que l'aire de A1JA2I est maximum lorsque A1 est en A et A2
en B, on va montrer que cette aire croit lorsque A2 est fixe et que A1
se déplace sur le segment OH de O à H. Puis on va montrer que l'aire
de HLA2K croit, lorsque A2 se déplace sur le segment CB de C à B.
Pour cela, il suffit de demontrer le lemme suivant :
Lemme
Soient trois demi-droites D1, D2, D3 de même origine S et tels que,
0 < (D1, D2) < (D1, D3) < /2. Soient deux points fixes O et A sur D1 tels
que SO < SA et un point variable M sur D3. Le segment MO coupe D2 en
K et le segment MA coupe D2 en L. Alors le segment KL
augmente lorsque le segment SM augmente.
Donc l'aire du triangle AMKL augmente avec SM puisque KL et
la hauteur relative à KL augmentent avec SM.
Voici la figure :
La démonstration du lemme peut se faire avec xcas de façon analytique ou de façon purement géométrique.
S:=point(0); O:=point(1); assume(a=5); assume(k=2); assume(m=3); assume(x=2); A:=point(a); D2:=droite(y=k*x); D3:=droite(y=m*x); M:=point(x,m*x); K:=inter_droite(droite(M,O),D2); L:=inter_droite(droite(M,A),D2); l(x):=longueur2(K,L); d(x):=diff(l(x),x); factor(numer(d(x))); factor(denom(d(x)))é;On trouve comme numérateur :
La parallèle à D3 passant par K coupe mO en k1 on a :
MK/MO = mk1/mO < mk/mO puisque mk1 < mk.
Donc KL1 augmente lorsque SM augmente.
L'angle A augmente quand SM augmente et donc l'angle L diminue puisque
l'angle (D1, D2) est fixe. Donc puisque
KL = KL1*sin()/sin(
), on en déduit que KL augmente
lorsque SM augmente.
Remarque
On a le même résultat si M se trouve sur D1 et si K et L sont les
intersections des segments qui joignent M à deux points fixes C et B
de D3.
On va utiliser ce lemme en prenant pour M soit le point A2, soit le point
A1, en effet :
- si S est l'intersection des droites OA et BC, les points S, K, L sont
alignés sur la polaire de P intersection des droites OC et AB.
De plus si A1 se trouve entre O et
H, le point I est en dessous de cette droite et J se trouve au dessus
de cette droite. Cela prouve que si A1 se
trouve entre O et H, l'aire de A1JA2I est inférieure à l'aire de
HLA2K.
- lorsque A2 va de C à B, H va de O à A et l'aire de A2KLH
augmente.