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Une hypocycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle C, de
centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de
rayon R0 > R, lorsque C se trouve à l'intérieur de C0.
On peut changer R en - R dans l'équation d'une épicycloïde ou refaire
les calculs...
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox,
si P est le point de contact de C avec
C0 lorsque C a tourné d'un angle u, P a tourné d'un angle
t sur C0, on a :
= R0t = - Ru (car u est négatif et R positif),
= (R0 - R)(cos(t) + i sin(t)),
= - R(cos(t) + i sin(t)),
=rotation(
A, u,
) = R(cos(t) + i sin(t))(cos(u) + i sin(u)) = R(cos(u + t) + i sin(u + t)) = - R(cos((R0/R - 1)t) + i sin((R0/R - 1)t))
On a :
=
+
= (R0 - R)(cos(t) + i sin(t)) - R(cos((R0/R - 1)t) + i sin((R0/R - 1)t))
Si on pose
- R0/R + 1 = m, l'équation paramétrique d'une hypocycloïde est
donc :
x = - R(m cos(t) - cos(mt)); y = - R(m sin(t) - sin(mt))
La courbe se referme si
2k
R0 = 2n
R c'est à dire si le rapport R0/R
est rationnel.
Cas particuliers
R = 2R0/3 on a une hypocycloïde à 3 rebroussements,
R = R0/4 on a une astroïde,
Avec Xcas
On tape :
C:=cercle(0,3);
R:=element(0..2.9);
m:=-3/R+1;
plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)),
t,affichage=rouge)
On a choisit R0 = 3. On peut ainsi faire varier R et voir les 3 cas :
R = 0.75, R = 1.2, R = 2.
On peut faire une animation et voir le déplacement d'un point M
d'un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle
roule à l'intérieur d'un cercle C0 de centre 0 et de rayon
3.
On tape :
C:=cercle(0,3);
R:=element(0..3);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
t,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+
i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve