Soit
N = 561 = 3*11*17. Il se trouve que l'on a :
pour tout A (A < N), on a
AN = A mod N, donc si A est premier avec N on a
AN-1 = 1 mod N, le test de Rabin est donc en defaut,
seulement pour A non premier avec N.
Par exemple on a :
3560 = 375 mod 561
11560 = 154 mod 561
17560 = 34 mod 561
471560 = 375 mod 561
mais pour tous les nombres A non multiples de 3, 11 ou 17 on a :
AN-1 = 1 mod 561.
Par exemple on a :
5560 = 1 mod 561.
52N-1 = 1 mod 561.
On risque donc de dire avec le test de Rabbin que 561 est pseudo-premier.
Il faut donc affiner le test en remarquant que si N est premier l'équation:
X2 = 1 mod N n'a pour solution que
X = 1 mod N ou
X = - 1 mod N.
Le test de Miller-Rabin est basé sur cette remarque.
Pour N = 561, N - 1 = 560, on a :
560 = 35*216
1335 = 208 mod 561
1335*2 = 67 mod 561
1335*4 = 1 mod 561
1335*8 = 1 mod 561...
On vient de trouver que 67 est solution de
X2 = 1 mod 561 donc on peut affirmer que 561 n'est pas premier.
A = 13 vérifie le test de Rabin car
13560 = 1 mod 561
mais ne vérifie pas le test de Miller-Rabin car
1335*2 -1 mod 561 et
1335*2
1 mod 561
et pourtant
1335*4 = 1335*4 = 1 mod 561
Par contre ce test ne suffit pas pour affirmer qu'un nombre est premier car :
10135 = 560 = - 1 mod 561 et donc
10135*2 = 1 mod 561 et cela ne
fournit pas de solutions autre que 1 ou -1 à l'équation
X2 = 1 mod 561.