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Une suite

1/ Etude de la fonction f (x) = $\displaystyle {\frac{{\ln(1-x)}}{{\ln(x)}}}$ dans l'intervalle ]0;1[.
2/ pour n entier strictement positif, on considère Pn(x) = xn + x - 1.
Montrer que P a une racine unique an, dans l'intervalle ]0;1[.
Calculer a1, a2 puis, à l'aide de la méthde de Newton donner une valeur approchée de a3, a4, a50, a100 à 10-10 près.
3/ Etude de la suite an.

Correction
On tape :
f(x):=log(1-x)/log(x)
plotfunc(f(x),x,0,1)
diff(f(x),x)
On obtient :
(x*log(x)-x*log(-x+1)+log(-x+1))/(x^2*(log(x))^2-x*(log(x))^2) On tape :
lncollect(ans())
On obtient :
(x*log(x)+(-x+1)*log(-x+1))/(x^2*(log(x))^2-x*(log(x))^2)
Le numérateur et le dénominateur sont négatifs donc f est croissante.
On tape :
limit(f(x),x=1)
On obtient :
infinity
On tape :
limit(f(x),x=0)
On obtient :
0
2/ Pn(x) est croissante et continue dans l'intervalle [0;1] et on a :
P(0) = - 1, P(1) = 1.
Il existe donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires une valeur an unique dans l'intervalle ]0;1[ telle que P(an) = 0.
On a :
a1=1/2.
On tape :
solve(x^2+x-1,x)
On obtient :
[(-1+sqrt(5))/2,(-1-sqrt(5))/2]
donc a2=(-1+sqrt(5))/2 $ \simeq$ 0.61803398875
On définit la fonction qu'il faut itérer pour n fixé :
g(n,x):=x-(x^n+x-1)/(n*x^(n-1)+1)
puis,
h(x):=g(3,x)
h(1.0)
h(ans()).....
h(ans())
On obtient :
a3=0.682327803828
puis,
h(x):=g(4,x)
h(1.0)
h(ans())....
h(ans())
On obtient :
a4=0.686046511628
puis,
h(x):=g(50,x)
h(1.0)
h(ans())....
h(ans())
On obtient :
a50=0.943986614988
puis,
h(x):=g(100,x)
h(1.0)
h(ans())....
h(ans())
On obtient :
a100=0.966583901079
3/ On a donc :
(an)n = 1 - an.
On en déduit :
n*ln(an) = ln(1 - an)
c'est à dire f (an) = n
Comme f est une bijection de [0;1[ sur [0; + $ \infty$[, f admet une fonction inverse qui tend vers 1 à l'infini.
On a :
an = f-1(n) = g(n) donc, la suite an est convergente et sa limite est 1.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve