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Intervalle de confiance de $ \sigma$ au seuil de 5%

On veut avoir une estimation de $ \sigma$ au seuil de 5%.
Un estimateur sans biais de $ \sigma^{2}_{}$ est nS2/(n - 1) mais on ne peut pas estimer $ \sigma$ par $ \sqrt{{n*s^2/(n-1)}}$ = $ \tt stdDev(L)$ = 0.00880908621914 car n est trop petit.
Cherchons un intervalle de confiance pour $ \sigma$ au seuil de 5%.
On sait que la variable statistique nS2/$ \sigma^{2}_{}$ = 10S2/$ \sigma^{2}_{}$ suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ ayant 9 degrés de liberté (9 = (n - 1), car l'échantillon est de taille n = 10 et on enlève 1 ,car on utilise la moyenne de l'échantillon pour calculer S2).
Cette variable ne dépend pas de $ \mu$.
D'après les tables du $ \chi^{2}_{}$ on trouve :
Proba($ \chi^{2}_{{9}}$ < 2.70) = 0.025 et
Proba($ \chi^{2}_{{9}}$ > 19.02) = 0.025
Avec Xcas on tape :
a1:=chisquare_icdf(9,0.025)
On obtient :
2.70038949998
donc a1 $ \simeq$ 2.70
a2:=chisquare_icdf(9,0.975)
On obtient :
19.0227677986
donc a2 $ \simeq$ 19.02
Donc Proba(2.70 < 10S2/$ \sigma^{2}_{}$ < 19.02) = 0.95
Pour l'échantillon 10S2 = 10s2 = 6.98400000147e - 04 donc
(6.98400000147e - 04)/19.02 < $ \sigma^{2}_{}$ < (6.98400000147e - 04)/2.70
3.67192429099e - 05 < $ \sigma^{2}_{}$ < 0.000258666666721
On a :
$ \sqrt{{3.67192429099e-05}}$ = 0.00605964049345 et
$ \sqrt{{0.000258666666721}}$ = 0.0160831174441.
Donc [0.0060 ; 0.0161] est un intervalle de confiance pour $ \sigma$ au seuil de 5%.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve