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Étude de la fréquence p d'un caractère X

Soit une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernouilli de paramètre p (on étudie un caractère, si ce caractère est observé alors X = 1 et sinon X = 0 et on a Proba(X = 1) = p). Soit $ \bar{X}$ la moyenne des échantillons de taille n : ici, $ \bar{X}$ est égal pour chaque échantillon de taille n à la fréquence observée F du caractère.
Si n est grand (n $ \geq$ 30), $ \bar{X}$ suit approximativement la loi normale $ \mathcal {N}$(p,$ \sqrt{{\frac{p(1-p)}{n}}}$).
Si n est petit, on a (n*$ \bar{X}$) suit la loi binomiale $ \mathcal {B}$(n, p).
On choisit le seuil $ \alpha$ et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral : H0 : p = p0 et H1 : p $ \neq$ p0
Test d'hypothèses unilatéral à droite (à gauche) : H0 : p = p0 et H1 : p > p0 (resp H0 : p = p0 et H1 : p < p0)
On calcule, sous l'hypothèse H0, soit au moyen des tables de la loi normale (pour n grand, np(1 - p) > 7), soit au moyen des tables de la loi binomiale (pour n petit), soit avec Xcas, les bornes de l'intervalle d'acceptation au seuil $ \alpha$, de l'hypothèse H0. Règle de décision :
Soit la fréquence f d'un échantillon de taille n.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$ : sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$.
Exemple
On choisit n = 30, p0 = 0.3 et $ \alpha$ = 0.05 et on compare les résultats de la loi normale et de la loi binomiale.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve