On donne deux entiers a et b vérifiant : 0 < b < a.
On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a
par b (a = bq + r avec 0 r < b).
Démontrer que :
q > 0
<
On définit u et v par :
- =
et
u = a(q + 1)
Exprimer v en fonction de b et r.
Démontrer que :
vb < a < u
Si r = 0, vérifier que :
=
Si r est différent de zéro, on pose :
a1 = u et b1 = v.
Puis, on recommence :
on divise a1 par b1.
On trouve un quotient q1 et un reste r1.Si r1 est nul, vérifier
que :
= +
Si r1 n'est pas nul, on recommence.
Montrer qu'il existe une suite finie d'entiers
Q0, Q1,...Qn strictement
croissante telle que :
= + + ... +
Rédiger l'algorithme décrit ici et l'appliquer à la fraction :