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Variante du problème précédent : minimiser une surface

Soient un rectangle ABCD de côtés a et b et c $ \leq$ $ \tt min$(a, b). Soient A1 sur le côté AB tel que AA1 = c, B1 sur le côté BC tel que BB1 = c, C1 sur le côté CD tel que CC1 = c et D1 sur le côté DA tel que DD1 = c. Comment choisir c pour que l'aire du parallélogramme A1B1C1D1 soit minimum.
Ce problème se raméne au précédent en effet : la différence entre les aires de ABCD et de A1B1C1D1 est l'aire de 4 triangles rectangles égaux deux à deux, c'est donc aussi l'aire de 2 rectangles de côtés c et a - c pour l'un et c et b - c pour l'autre ou encore l'aire d'un rectangle de côtés c et a + b - 2*c. L'aire de ces 4 triangles rectangles vaut donc (a + b - 2*c)*c.
On cherche comment choisir c pour que l'aire du rectangle de côtés c et a + b - 2*c soit maximum ou ce qui revient au même pour que l'aire du "rectangle double" (de côtés 2*c et a + b - 2*c) soit maximum. Ce rectangle double a pour périmètre 2*p = 2*(a + b), donc d'après ce qui précède il faut choisir 2*c = p/2 = (a + b)/2 c'est à dire c = (a + b)/4.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve