Dans ce qui suit on suppose que :
- le "jean" pèse j unités et on note
= (0, - j),
- les deux poteaux sont distants de l,
- on choisit le repère Oxy pour que la poulie P ait comme coordonnées
(0, l ),
- le "jean" est fixé au point A de coordonnées (a, b) dans le repère Oxy,
- le poids est de p unités.
Quelles sont alors les positions d'équilibre du "jean" ?
Si
= (t11, t12) est la tension du fil AP et
si
= (t21, t22) est la tension du fil AO, on a :
+
+
= 0 et
p2 = || T1||2
donc :
t11 + t21 = 0,
t12 + t22 - j = 0 et
p2 = t112 + t122.
est dirigé selon AP donc
- b/(l - a) = t12/t11,
est dirigé selon AO donc
- b/(- a) = t22/t21.
On remarquera que le problème n'est pas le même selon que le pantalon
coulisse sur le fil ou qu'il est fixé sur le fil par une pince à linge :
- si le pantalon coulisse sur le fil les deux tensions
et
ont même module.
On tape :
On obtient :
ce qui signifie que
et
sont
symétriques par rapport à la verticale et donc que OA = AP.
On tape pour déterminer le poids p en fonction de j, l, a, b :
On obtient :
- si le pantalon est fixé en A (par exemple au moyen d'une pince à linge),
il faut supprimer l'équation
et rajouter :
.
On tape :
On obtient :
On a donc :
p2 = j2*a2*((l - a)2 + b2)/(l2*b2),
d'où
b2 = j2*a2*(- l + a)2/(p2*l2 - j2*a2).
L'ordonnée de A est négative, l'équation de la courbe d'équilibre est :
.
Pour simuler la situation on écrit les instructions suivantes dans le fichier
pantalon.
Ces instructions permettent de faire varier les paramètres j, p et a.
Voici le fichier pantalon.
switch_axes(0); xyztrange(-1,10,-7,1,-10,10,-1,6,-1,10,-7,1,0); p:=element(0..5); h:=2;//hauteur des poteaux l:=8;//distance entre les poteaux f:=l+5;//longueur du fil j:=element(1..3);//poids du jean segment(l-h*i,l);P;=point(l,0);//dessin d'un poteau segment(-h*i,0);O:=point(0,0);//dessin de l'autre poteau y:=-sqrt((x^2*(-l+x)^2*j^2)/(p^2*l^2-j^2*x^2)); //m:=min(l,p*l/j); //plotfunc(y,x,0,m); a:=element(0..l); b:=-sqrt((a^2*(-l+a)^2*j^2)/(p^2*l^2-j^2*a^2)); A:=point(a,b); couleur(segment(A,0),2); couleur(segment(A,l),2); ap:=sqrt((l-a)^2+b^2); ao:=sqrt(a^2+b^2); c:=ao+ap; //dessin des forces couleur(vecteur(A,a+(b-j)*i),1); couleur(vecteur(A,A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)),1); couleur(vecteur(A,A+(-l+a+b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)+j*i),1); couleur(vecteur(A,A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)-j*i),4); T1:=A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2); T2:=A+(-l+a+b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)+j*i; J:=A+(-j)*i; //dessin de la poulie cercle(l,0.2); //dessin du poids p if (c<f){ [couleur(segment(l+0.1,l+0.1+i*(c-f)),2), couleur( segment(l+i*(c-f),l+i*(c-f-p/10)),1), couleur( segment(l+0.2+i*(c-f),l+0.2+i*(c-f-p/10)),1), couleur( segment(l+0.2+i*(c-f),l+i*(c-f)),1), couleur( segment(l+0.2+i*(c-f-p/10),l+i*(c-f-p/10)),1)]; };
On peut aussi utiliser le tableur pour avoir des valeurs numériques.
On a
p2 = j2*x2*((- l + x)2 + y2)/(l2*y2).
On définit la fonction g (égale à p par :
Ne pas oublier auparavant de purger les variables j, l, x, y !
Puis on ouvre le tableur (on tape Alt+t pour ouvrir le tableur).
On tape par exemple :
table g(3.0,8,4,y),y) et on complète la table....
On peut recopier la deuxième colonne :
on sélectionne la deuxième colonne puis
on se place en début de colonne et on clique sur coller.
Si on veut voir l'influence de l on met comme formule dans la troisième
case :
g(3.0,4,2,y),y) et on change la formule (=eval(subst..) comme
ci-dessous...
On obtient :
A | B | C | |
0 | y | g(3,8,4,y) | g(3,4,2,y) |
1 | 0.1 | "Table" | 0 |
2 | 0 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A2)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A2)) |
3 | =A2+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A3)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A3)) |
4 | =A3+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A4)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A4)) |
5 | =A4+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A5)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A5)) |
6 | =A5+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A6)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A6)) |
7 | =A6+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A7)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A7)) |
8 | =A7+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A8)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A8)) |
9 | =A8+A$1 | =eval(subst(B$0,$A$0,$A9)) | =eval(subst(C$0,$A$0,$A9)) |
On voit l'influence de la longueur du fil : si j = 3, pour avoir A au point de coordonées (l /2, - 0.1)), il faut avoir p = 60 si l = 8 et p = 30 si l = 4.
On définit la fonction equi qui est l'ordonnée de A par :
On tape le fichier suivant :
xyztrange(0,8,-7,1,-10,10,-1,6,0.,8,-7,1,1); L:=plotfunc(equi(3,8,1,x),x,0,8/3); for (p:=2;p<10;p:=p+1) { m:=min(8,8*p/3); L:=L,plotfunc(equi(3,8,p,x),x,0,m); }; L;On obtient les diffèrentes courbes d'équilibre lorsque le poids p varie (on peut vérifier que limit(equi(3,8,3,x),x,8)=0):