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Une autre démonstration

On pose :
$ \widehat{{ARP}}$ = $ \gamma$ et
$ \widehat{{APR}}$ = $ \beta$.
Si R est le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC on a la relation :

$\displaystyle {\frac{{AB}}{{\sin(3c)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{AC}}{{\sin(3b)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{BC}}{{\sin(3a)}}}$ = 2R

En considérant les triangles APR, APB, ARC, ABC on peut montrer en utilisant les relations ci-dessus que :

PR = $\displaystyle {\frac{{2R \sin(a) \sin(b) \sin(3c)}}{{\sin(\gamma) \sin(c+2\pi/3)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2R \sin(a) \sin(3b) \sin(c)}}{{\sin(\beta) \sin(b+2\pi/3)}}}$

On en déduit après différents calculs laissés au lecteur (voir les indications ci-dessous) que :
$ \gamma$ = c + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$, $ \beta$ = b + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ et
PR = 8R sin(a)sin(b)sin(c)
Indications :
1/ Pour tout x on a :
2 sin(x + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$)sin(x + $ {\frac{{2\pi}}{{3}}}$) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$ - cos(2x + $ \pi$ = $ {\frac{{1}}{{2}}}$ + cos(2x) et
2 sin(x)($ {\frac{{1}}{{2}}}$ - cos(2x) = 3 sin(x) - 4 sin(x)3 = sin(3x) donc
4 sin(x)sin(x + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$)sin(x + $ {\frac{{2\pi}}{{3}}}$) = sin(3x).
On obtient donc en remplacant sin(3c) et sin(3b) dans :

$\displaystyle {\frac{{2R \sin(a) \sin(b) \sin(3c)}}{{\sin(\gamma) \sin(c+\frac{2\pi}{3})}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2R \sin(a) \sin(3b) \sin(c)}}{{\sin(\beta) \sin(b+\frac{2\pi}{3})}}}$

l'égalité :
sin($ \beta$)sin(c + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$) = sin($ \gamma$)sin(b + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$)
et donc
PR = $ {\frac{{8R \sin(a) \sin(b) \sin(c)\sin(c+\frac{\pi}{3})}}{{\sin(\gamma)}}}$ 2/ si sin(a) $ \neq$ 0, sin(b) $ \neq$ 0, sin(a + b) $ \neq$ 0, le système :

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l}
x+y=a+b\\
\sin(x)/\sin(a)=\sin(y)/\sin(b)
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
x+y=a+b\\
\sin(x)/\sin(a)=\sin(y)/\sin(b)
\end{array}$

a comme solution x = a + k$ \pi$y = b - k$ \pi$k $ \in$ Z.
En effet on a y = a + b - x
donc sin(x)sin(b) = sin(a)(sin(a + b)cos(x) - cos(a + b)sin(x))
sin(x)(sin(b) + sin(a)cos(a + b)) = cos(x)sin(a)sin(a + b)
on développe cos(a + b) et on obtient :
sin(x)cos(a)sin(a + b) = cos(x)sin(a)sin(a + b)
et donc puisque sin(a + b) $ \neq$ 0
sin(x - a) = 0 d'ou le résultat.
Donc le système :

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l}
\sin(\beta)/\sin(b+\frac{\pi}{...
...3}) \\
\beta+\gamma=b+\frac{\pi}{3}+c+\frac{\pi}{3}=\pi-a
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\sin(\beta)/\sin(b+\frac{\pi}{3})=\sin(\gamma)/\...
...ac{\pi}{3}) \\
\beta+\gamma=b+\frac{\pi}{3}+c+\frac{\pi}{3}=\pi-a
\end{array}$

avec sin(b + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$) $ \neq$ 0, sin(c + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$) $ \neq$ 0, sin($ \pi$ - a) $ \neq$ 0
a pour solutions :
$ \beta$ = b + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ + k$ \pi$ et $ \gamma$ = (c + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$) - k$ \pi$k $ \in$ Z.
Donc sin($ \gamma$) = sin(c + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$) et donc
PR = 8*R*sin(a)*sin(b)*sin(c) La formule etant symétrique par rapport à abc on a :
PR = 8*R*sin(a)*sin(b)*sin(c) = RQ = PQ
Le triangle PQR est donc équilatèral.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve