La démonstration
On suppose que les angles du triangle ABC valent 3a, 3b, 3c
(
a + b + c = /3).
On trace les trissectrices des angles B et C.
Soit D l'intersection des deux trissectrices tels que le triangle BCD aient
comme angles b et c et - b - c.
Soient F et H tels que le triangle HFD soit isocéle d'angle à la base
a + c et H sur CD et F sur la 2-ième trissectrice de B : on
construit F sur la 2-ième trissectrice de B tel que l'angle
=
/3 + c = a + c + b + c,
Soient E et K tels que le triangle KED soit isocéle d'angle à la base
a + b et K sur BD et E sur la 2-ième trissectrice de C : on
construit F sur la 2-ième trissectrice de C tel que l'angle
=
/3 + b = a + b + b + c)
On a :
= b + c =
+ (a + c) + (b + c) + (
- b - c) + (a + b) + (b + c) = 2
donc,
=
-2a - 2b - 2c =
/3 et
=
- b - (a + c) - (b + c) = a +
/3
=
- c - (a + b) - (b + c) = a +
/3
D est sur les bissectrices des angles
et
,
donc D est équidistant de BF et CE et puisque
=
on a DE = DF
donc le triangle DEF est équilatèral (DE = DF et
=
/3).
Il reste donc à montrer que F et E sont sur les trissectrices de A :
on va montrer que FH et EK sont les trissectrices de A.
FK est la bissectrice de
FB est la bissectrice de
donc
si on suppose que KE coupe AB an L, LF est la bissectrice de
et
=
= a (
=
- 2(a + b)
= 2b
donc
= 2a) et comme
= a + b,
L, F, H sont alignés.
De même si on suppose que HF coupe AC en J, JE est la bissectrice
de
et
=
= a et J, E, K sont alignés.
On a K, E, L sont alignés et J, E, K sont alignés.
On a L, F, H sont alignés et F, H, J sont alignés
donc J et L sont à l'intersection de EK et FH.
Mais J est sur AB et L sur AC, donc J et L sont confondus
en A et on en déduit que
FH et EK sont les trissectices de l'angle A.