next up previous contents index
suivant: Le test du monter: Les tests d'homogénéité précédent: Comparaison de deux moyennes   Table des matières   Index

Comparaison de deux écarts-types observés

Soient s1 et s2 les écarts-types observés d'un caractère dont l'écart-type théorique est $ \sigma$. Cette observation est faite à partir de deux échantillons de taille respéctive n1 et n2.
On veut savoir si les écarts-types s1 et s2 sont significativement différents ce qui voudrait dire que les deux échantillons proviennent de deux populations différentes d''écart-type respectif $ \sigma_{1}^{}$ et $ \sigma_{2}^{}$ ou si au contraire les deux échantillons proviennent d'une même population ou de populations de même écart-type $ \sigma$ = $ \sigma_{1}^{}$ = $ \sigma_{2}^{}$.
Soient deux caractères normaux indépendants X et Y distribués respectivement selon les lois $ \mathcal {N}$($ \mu_{1}^{}$,$ \sigma_{1}^{}$) et $ \mathcal {N}$($ \mu_{2}^{}$,$ \sigma_{2}^{}$).
Soient deux échantillons (un échantillon pour le caractère X et l'autre pour le caractère Y) de taille respective n1 et n2, de moyenne respective m1 et m2 et d'écart-type respectif s1 et s2 .
Posons :
S12 = 1/n1$ \sum_{{j=1}}^{{n_1}}$(Xj - $ \bar{X}$)2 et
S22 = 1/n2$ \sum_{{j=1}}^{{n_2}}$(Yj - $ \bar{Y}$)2
Lorsque $ \sigma_{1}^{}$ = $ \sigma_{2}^{}$ = $ \sigma$, la statistique :
F1, 2 = $\displaystyle {\frac{{n_1(n_2-1)S_1^2}}{{n_2(n_1-1)S_2^2}}}$ suit une loi de Fisher-Snedecor $ \mathcal {F}$(n1 -1, n2 - 1) à (n1 - 1) et à (n2 - 1) degrés de liberté.
De même la statistique :
F2, 1 = $\displaystyle {\frac{{n_2(n_1-1)S_2^2}}{{n_1(n_2-1)S_1^2}}}$ suit une loi de Fisher-Snedecor $ \mathcal {F}$(n2 -1, n1 - 1) à (n2 - 1) et à (n1 - 1) degrés de liberté.

Cette statistique F1, 2 ou F2, 1 va nous permettre de tester les hypothèses :
H0 : $ \sigma_{1}^{}$ = $ \sigma_{2}^{}$ et H1 : $ \sigma_{1}^{}$ $ \neq$ $ \sigma_{2}^{}$.
On rejettera l'hypothèse bilatérale H0 si la valeur de F1, 2 est trop éloignée de 1.
Attention à l'ordre n1, n2, car les tables ne donnent que les valeurs de $ \mathcal {F}$ supérieures à 1, on sera quelquefois amené à changer l'ordre des variables (on a F1, 2 = 1/F2, 1).
Pour avoir Proba(a < F1, 2 < b) = 1 - $ \alpha$, on cherche a et b vérifiant :
Proba($ \mathcal {F}$(n1 -1, n2 -1) < b) = 1 - $ \alpha$/2 et
Proba($ \mathcal {F}$(n1 -1, n2 -1) < a) = $ \alpha$/2
dans une table de Fisher-Snedecor $ \mathcal {F}$(n1 -1, n2 - 1) à (n1 - 1) et (n2 - 1) degrés de liberté.
On a alors, si on échange l'ordre de n1, n2 :
Proba($ \mathcal {F}$(n2 -1, n1 -1) < 1/a) = 1 - $ \alpha$/2
Proba($ \mathcal {F}$(n2 -1, n1 -1) < 1/b) = $ \alpha$/2
Recette
- Choisir le seuil $ \alpha$
- Prélever les échantillons de taille n1 et n2,
- Calculer leurs écarts-types s1 et s2,
- Si n1(n2 -1)s12 > n2(n1 -1)s22, calculer :
f = $\displaystyle {\frac{{n_1(n_2-1)s_1^2}}{{n_2(n_1-1)s_2^2}}}$ (cas 1)
ou sinon, calculer :
f = $\displaystyle {\frac{{n_2(n_1-1)s_2^2}}{{n_1(n_2-1)s_1^2}}}$ (cas 2).
- Déterminer grâce a la table de Fisher h vérifiant :
Proba(1 < $ \mathcal {F}$(n1 -1, n2 -1) < h) = 1 - $ \alpha$/2 (cas 1)
ou vérifiant :
Proba(1 < $ \mathcal {F}$(n2 -1, n1 -1) < h) = 1 - $ \alpha$/2 (cas 2).
Avec Xcas on tape si $ \alpha$ = 0.05 et si n1(n2 -1)s1 > n2(n1 -1)s2,
h:=fisher_icdf(n1-1,n2-1,0.975)
ou si n1(n2 -1)s1 < n2(n1 -1)s2,
h:=fisher_icdf(n2-1,n1-1,0.975)
- si f > h (c'est à dire si f s'éloigne trop de 1) on rejette l'hypothèse bilatérale H0 : $ \sigma_{1}^{}$) = $ \sigma_{2}^{}$ sinon on l'accepte.
Remarque
Avec Xcas on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
h:=fisher_icdf(n1-1,n2-1,0.975)
k:=fisher_icdf(n2-1,n1-1,0.975)
Alors k=1/k et h et k définissent les bornes en dehors desquelles il faut rejetter l'hypothèse au seuil 0.05.


next up previous contents index
suivant: Le test du monter: Les tests d'homogénéité précédent: Comparaison de deux moyennes   Table des matières   Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve