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Les matrices

  1. Soit Ma = $ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
2a-1 & a & 2a-1\\
a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\
a^2+a-1 & a^2+a-1 & a
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccc}
2a-1 & a & 2a-1\\
a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\
a^2+a-1 & a^2+a-1 & a
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
2a-1 & a & 2a-1\\
a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\
a^2+a-1 & a^2+a-1 & a
\end{array}}\right]$
    a) Pour quelles valeurs de a, Ma est-elle inversible ?
    Préciser son rang lorsqu'elle n'est pas inversible.
    b) Calculer l'inverse de M2

    Réponse :
    On tape :

    M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]
    On calcule le déterminant de M, on tape :
    det(M)
    On obtient :
    2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a
    Pour avoir l'inverse de M on tape :
    inv(M)
    On obtient :

    $\displaystyle {\frac{{1}}{{2a^4-2a^3-2a^2+2a}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a...
...+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a-1\\
-a^2+1 & -2a^3+a^2+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a...
...+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1
\end{array}}\right]$

    On tape :
    solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)
    On obtient :
    [-1,0,1]
    Donc la matrice est inversible si a $ \not\in$[- 1, 0, 1]
    Ou on tape :
    factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)
    On obtient :
    2*(a+1)*a*(a-1)^2
    On tape :
    rank(subst(M,a,-1))
    On obtient :
    2
    On tape :
    rank(subst(M,a,0))
    On obtient :
    2
    On tape :
    rank(subst(M,a,1))
    On obtient :
    1
    On tape :
    inv(subst(M,a,2))
    On obtient : A = $ {\frac{{1}}{{12}}}$$ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 & 11 & -7\\
-3 & -9 & 9\\
5 & -5 & 1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccc}
1 & 11 & -7\\
-3 & -9 & 9\\
5 & -5 & 1
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 & 11 & -7\\
-3 & -9 & 9\\
5 & -5 & 1
\end{array}}\right]$
    Remarque : pour éviter de faire des substitutions on peut définir la matrice M comme une fonction de a, il faut alors écrire :
    M(a):={[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]}
    surtout ne pas oublier { et }.
    On peut alors taper : inv(M(2)).

  2. Soit A = $ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array}$$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array}}\right]$
    Pour quelles valeurs de a, A est-elle diagonalisable ?

    Réponse :

    On tape :

    A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]
    Pour avoir les valeurs propres de A on tape :
    egvl(A)
    On obtient :

    $\displaystyle \tt\left[
\begin{array}{ccc}
-a+1 & 0 & 0\\
0 & a+2 & 0\\
0 & 0 & a-1
\end{array}\right]$

    ce qui s'écrit :
    [[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]
    Si a $ \neq$ 1 il y a 3 valeurs propres distinctes - a + 1, a + 2, a - 1 et
    si a = 1 il y a une valeur propre double ($ \lambda$ = 0) et une valeur propre simple ($ \lambda$ = 3).
    Puis on cherche la matrice de passage, on tape :
    egv(A)
    On obtient :

    $\displaystyle \tt\left[
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right]$

    ce qui s'écrit :
    [[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]
    les vecteurs propres sont les colonnes de cette matrice.
    Ou on tape pour avoir directement les deux informations, matrice de passage et réduite de Jordan :
    jordan(A)
    On obtient une liste de deux matrices [P, B] (P est la matrice de passage et B = P-1AP) :

    $\displaystyle \tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 ...
...}{ccc}
-a+1 & 0 & 0\\
0 & a+2 & 0\\
0 & 0 & a-1
\end{array}\right]
\right]$

    ce qui s'écrit :
    [[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]
    On remarque qu'en faisant : a:=1 puis jordan(A)
    les valeurs propres doubles sont regroupées et on obtient :

    $\displaystyle \tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 0\\
1 & 0 & -3 ...
...n{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\right]$


    ce qui s'écrit :
    [[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]
    A est donc diagonalisable quelque soit a et B = P-1AP.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve, Bernard Parisse et Bernard Ycart