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Avec G4 le symétrique de G1 par rapport à AB


\begin{pspicture}(-5.0000,-5.5000)(5.0000,0.5000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...
\psset{linecolor=black}
\psline(0.6381,-2.5039)(2.4574,-1.8042)
\end{pspicture}

Soit G4 le symétrique de G1 par rapport à AB.
Les triangles AG4G3 et G4BG2 sont égaux et sont des triangles semblables à ABC en effet :
le quadrilatère AG1BG4 est un losange d'angle A = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ (4 cotés égaux à la diagonale G1G4), donc
l'angle $ \widehat{{G_4AG_3}}$ est égale à l'angle $ \widehat{{BAC}}$,
AG4 = AG1 = BG1 = BG4 = $ {\frac{{AB}}{{\sqrt 3}}}$,
AG3 = CG3 = $ {\frac{{AC}}{{\sqrt 3}}}$.
Le triangle AG4G3 est donc semblable au triangle ABC avec comme rapport de similitude $ {\frac{{1}}{{\sqrt(3)}}}$.
De même l'angle $ \widehat{{G_4BG_2}}$ est égale à l'angle $ \widehat{{ABC}}$ et,
BG2 = CG2 = $\displaystyle {\frac{{BC}}{{\sqrt 3}}}$
donc le triangle G4BG2 est semblable au triangle ABC avec comme rapport de similitude $ {\frac{{1}}{{\sqrt 3}}}$.
On en déduit que :
BG2 = G4G3 et AG2 = G4G2 et donc que le quadrilatère G2CG3G4 est un parallélogramme.
Les triangles G1G4G3 et G1BG2 sont donc égaux (l'angle $ \widehat{{G_3G_4G_1}}$ = $ \widehat{{CBA}}$ + pi/3 = $ \widehat{{G_2BG_1}}$) et ces deux triangles se déduisent l'un de l'autre par une rotaion de centre G1 et d'anble $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ donc
G1G3 = G1G2 et l'angle $ \widehat{{G_2G_1G_3}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$.
L'isobarycentre de A, B, C est aussi l'isobarycentre de G1, G4, C car le quadrilatère AG1BG4 est un losange.
L'isobarycentre de G1, G4, C est aussi l'isobarycentre de G1, G2, G3 car le quadrilatère CG3G4G2 est un parallélogramme.
Donc ABC et G1G2G3 ont même centre de gravitè.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve