1/ Ils soient nés le même jour,
2/ Deux d'entre eux seulement soient nés le même jour,
3/ Ils soient nés a des dates différentes,
4/ Quelle relation vérifie ces trois réponses ?
Solution
On donne un numéro aux amis, i.e. on les ordonne.
Soit l'univers ensemble de triplets de nombres allant de 1 à 365.
Il y a 3653 triplets possibles, donc
card (
) = 3653.
1/ Soit A l'événement "Ils sont tous les trois nés le même jour". cela signifie que
A est composé de triplés formés par 3 nombres égaux donc,
card (A) = 365.
Donc,
p(A) = =
7.5e - 06.
2/ Soit B l'événement "Deux seulement sont nés le même jour".
B est composé de triplés formés par 2 nombres égaux et différents
du 3-ième. Il y a trois possibilités (les deux premiers ou les deux
derniers ou le premier et le troisième ont le même anniversaire donc,
comme il y a 365*364 couples de nombres différents,
card (B) = 3*365*364.
Donc,
p(B) = =
0.0082.
3/ Soit C l'événement "Ils sont nés a des dates différentes".
C est composé de triplés formés par 3 nombres différents donc,
comme il y a
365*364*363 triplets formés de 3 nombres différents, on a
card (C) = 365*364*363.
Donc,
p(C) = =
0.99.
4/ On doit avoir
p(A) + p(B) + p(C) = 1 puisque A, B, C forment une partition de
. on a :
1 + 3*364 + 364*363 = 1 + 364*366 = 1 + (365 - 1)(365 + 1) = 3652
donc on a bien :
p(A) + p(B) + p(C) = 1.