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Table des matières
- Calculer :
I =

- En déduire :
J =

Avec Xcas les réponses sont immédiates.
On tape :
integrate(t^
2/(1-t^
4),t)
On obtient :
1/-2*atan(t)+1/4*log(abs(t+1))+1/-4*log(abs(t-1))
On tape :
I:=integrate(sin(x)^
2/(cos(2*x)),x)
On obtient :
(x/(-2*2)+(log(abs((tan(x/2))^
2-2*tan(x/2)-1)))/8+
(log(abs((tan(x/2))^
2+2*tan(x/2)-1)))/-8)*2
On tape :
lncollect(I-x/2))
On obtient :
-(1/4*log(abs((tan(x/2))^
2+2*tan(x/2)-1)))
Mais comment détailler ?
- Pour la question 1/, on décompose la fraction ratonnelle :
en posant T = t2 :
On tape :
partfrac(T/(1-T^
2))
On obtient :
1/(-2*(T+1))+1/(-2*(T-1))
soit :
1/-2*(t^
2+1))+1/(-2*(t^
2-1))
On tape :
partfrac(1/(-2*(t^
2-1)))
On obtient :
1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))
donc :
t^
2/(1-t^
4)=1/(t^
2)+1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))
On intègre chaque morceau pour obtenir (K étant une constante
arbitraire) :
-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K
On a donc :
I:=-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K
- Pour la question 2/, on transforme
(sin(x)2/cos(2*x)).
On tape :
texpand(sin(x)^
2/cos(2*x))
On obtient :
((sin(x))^
2)/(2*(cos(x))^
2-1)
On tape :
trigtan(((sin(x))^
2)/(2*(cos(x))^
2-1))
On obtient :
(-((tan(x))^
2))/((tan(x))^
2-1)
On tape :
subst(quote(integrate((-((tan(x))^
2))/
((tan(x))^
2-1),x)),x=atan(t))
On obtient :
integrate((-(t^
2))/((t^
2-1)*(1+t^
2)),t)
c'est à dire l'intégale calculer en 1/.
On a donc :
-x/2+1/4*ln(abs((tan(x)+1)/(1-tan(x))))+K
J:=subst(I,t=tan(x))
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve