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Une démonstration géométrique pas courante

On va démontrer le théorème pour un triangle ABC d'angles de mesure 3*a, 3*b et 3*c ( a + b + c = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$).
La forme de la preuve n'est pas courante : on part d'un triangle PQR équilatéral et on construit à l'extérieur de ce triangle les triangles isocèles UQR, VPR et WPQ d'angles :
$ \widehat{{QRU}}$ = $ \widehat{{UQR}}$ = a + b = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - c,
$ \widehat{{VPR}}$ = $ \widehat{{VRP}}$ = b + c = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - a et
$ \widehat{{WPQ}}$ = $ \widehat{{WQP}}$ = c + a = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - b.
En effet on sait d'après les calculs faits par Xcas que le triangle PQR est équilatéral et que les triangles UQR, VPR et WPQ sont isocèles.
Puis on construit le triangle ABC :
A est l'intersection de UR et de PW,
B est l'intersection de UQ et de PV et
C est l'intersection de VR et de QW.

\begin{pspicture}(-6.5000,-3.1000)(6.5000,3.1000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...)(0.0715949576563,-1.23107261472)(0.869435192392,-1.14433466853)
\end{pspicture}

On obtient la figure ci-dessus :
On peut montrer par des considération d'angles que V se trouve à l'intérieur du triangle ARP ( $ \widehat{{PRU}}$+ $ \widehat{{RPW}}$>$ \pi$ et $ \widehat{{VPR}}$< $ \pi$ - $ \widehat{{RPW}}$) etc...
On va montrer qu'alors P, Q, R sont les points de concours des trissectrices intérieures de Morley.
Calculons quelques angles :
$\displaystyle \widehat{{APV}}$ = $\displaystyle \pi$ - ($\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - b) - $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - ($\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - a) = a + b = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - c donc
$\displaystyle \widehat{{APR}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - c + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - a = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ + b
de même
$\displaystyle \widehat{{ARV}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - b et
$\displaystyle \widehat{{ARP}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - b + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - a = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ + c
donc $ \widehat{{PAR}}$ = a
de même $ \widehat{{PBQ}}$ = b et $ \widehat{{QCR}}$ = c
$\displaystyle \widehat{{AUB}}$ = $\displaystyle \widehat{{RUQ}}$ = $\displaystyle \pi$ - ($\displaystyle {\frac{{2\pi}}{{3}}}$ - c) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ + 2*c
$\displaystyle \widehat{{APB}}$ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \widehat{{APV}}$ = $\displaystyle {\frac{{2\pi}}{{3}}}$ + c = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{6}}}$ - c = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{\widehat{AUB}}}{{2}}}$
PU est la médiatrice de RQ puisque PQ = PR et UQ = UR.
PU est donc aussi la bissectrice intérieure de l'angle U et $ \widehat{{APB}}$ = $ {\frac{{(\pi+\widehat{AUB})}}{{2}}}$ donc d'après le lemme :
P est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle UAB de même,
Q est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle VBC et
R est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle WAC.
L'angle A vaut donc 3a, l''angle B vaut donc 3b et l''angle C vaut donc 3c ce qui prouve que P, Q, R sont les points de concours des trissectrices intérieures de Morley.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve