next up previous contents index
suivant: Une autre démonstration monter: La démonstration du théorème précédent: Une démonstration géométrique pas   Table des matières   Index

Une démonstration selon Conway

On suppose tout d'abord le problème résolu c'est à dire que le triangle PQR est équilatéral.
Soient :
a, b, c le tiers des mesures des angles du triangle ABC on a donc a + b + c = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$,
R1 le symétrique de R par rapport à PA : R1 se trouve sur AB puisque $ \widehat{{PAR}}$ = $ \widehat{{PAB}}$ = a,
et de même, Q2 le symétrique de Q par rapport à PB se trouve sur AB.
Le triangle PQ2R1 est donc isocèle ( PR1 = PR = PQ = PQ2),
on en déduit que $ \widehat{{Q_2R_1P}}$ = $ \widehat{{PQ_2R_1}}$, et par symétrie que $ \widehat{{ARP}}$ = $ \widehat{{PQB}}$ = $ \gamma$.
On a : $ \widehat{{APB}}$ + $ \widehat{{BPQ}}$ + $ \widehat{{QPR}}$ + $ \widehat{{RPA}}$ = 2$ \pi$ c'est à dire
($\displaystyle \pi$ - a - b) + ($\displaystyle \pi$ - b - $\displaystyle \gamma$) + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ + ($\displaystyle \pi$ - a - $\displaystyle \gamma$) = 2$\displaystyle \pi$ soit
$\displaystyle \gamma$ = 2*$\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$ - a - b = c + $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{3}}}$.
Donc le triangle APR a comme angles : ac + $ \pi$/3, b + $ \pi$/3,
le triangle BQP a comme angles : bc + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$a + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$,
de même le triangle CRQ a comme angles : cb + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$a + $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$.
Le programme de la figure qui suit se trouve dans le fichier morleypuzzel.
L'écriture en Latex de cette figure se trouve dans le fichier morleypuzzel.tex.
\begin{pspicture}(-6.0000,-7.0000)(6.0000,4.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...
\psset{linecolor=black}
\psline(1.4686,-2.7014)(0.9604,-3.3525)
\end{pspicture}

L'idée de Conway est de faire un puzzle avec 7 pièces (cf figure) :
avec ces 7 pièces on va pouvoir reconstituer un triangle ABC d'angle 3a, 3b et 3c dans lequel les trissectrices se coupent selon le triangle équilatéral de Morley.
Les pièces du puzzles sont :

Il est alors facile de montrer, par des considérations de mesure d'angles et de longueurs, que les triangles s'emboitent bien.


next up previous contents index
suivant: Une autre démonstration monter: La démonstration du théorème précédent: Une démonstration géométrique pas   Table des matières   Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve