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Lemme2

Soient ABC un triangle et K le centre de son cercle inscrit.
Alors K est le barycentre des points [A, a],[B, b],[C, c] où a, b, c sont les longueurs des côtés BC, AC, AB.

Image inscrit2
Si la bissectrice intérieure de l'angle A coupe BC en A1 on a : A1B/A1C = c/b donc b*A1B = c*A1C ou encore puisque A1 se trouve sur le segment BC :

b*$\displaystyle \overrightarrow{A1B}$ + c*$\displaystyle \overrightarrow{A1C}$ = 0

donc A1 est le barycentre de [B, b],[C, c].

Si la bissectrice intérieure de l'angle B coupe AC en B1 on a : B1A/B1C = c/a donc a*B1A = c*B1C ou encore puisque B1 se trouve sur le segment AC :

a*$\displaystyle \overrightarrow{B1A}$ + c*$\displaystyle \overrightarrow{B1C}$ = 0

donc B1 est le barycentre de [A, a],[C, c].
Donc le barycentre des points [A, a],[B, b],[C, c] est l'intersection de AA1 et de BB1 c'est à dire l'intersection des bissectrices K qui est le centre du cercle inscrit.



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve