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Le raisonnement

Il y a des cas simples :

Il reste donc à étudier le cas 1 < a $ \leq$ 2. Supposons qu'à un moment donné les 2 hélices se touchent : par exemple le point A1 touche l'hélice2 en M avec O2M=c : cela forme un triangle de côtés a, c, 1 (0 < c $ \leq$ 1 et d'angle b ou $ \pi$ - b opposé au côté a).
On a donc la relation :
a2 = 1 + c2 -2*c*cos(b) = (1 - c)2 +2*c*(1 - cos(b))
ou la relation :
a2 = 1 + c2 +2*c*cos(b) = (1 - c)2 +2*c*(1 + cos(b))
Si il y a collision c'est qu'il existe 0 < c $ \leq$ 1 vérifiant l'une de ces 2 équations du second degré en c de discriminant $ \Delta$ = cos(b)2 -1 + a2.
Puisque a > 1, on a a > sin(b) donc $ \Delta$ > 0 : il y a donc 2 solutions de signe contraire puisque le produit des racine vaut 1 - a2 < 0, donc 0 se trouve à l'intérieur des racines.
Si il y a collision c'est qu'il existe une racine comprise entre 0 et 1, donc 1 se trouve à l'extérieur des racines.
On a pour c = 0, 1 + c2 -2*c*cos(b) - a2 (resp 1 + c2 +2*c*cos(b) - a2) vaut 1 - a2 < 0 puisque a > 1 et,
pour c = 1, on a 1 + c2 -2*c*cos(b) - a2 (resp 1 + c2 +2*c*cos(b) - a2) vaut 2 - 2 cos(b) - a2 (resp 2 + 2 cos(b) - a2).
L'une de ces quantités est positive si il y a une solution entre 0 et 1, donc
a2 $ \leq$ 2 - 2 cos(b) - a2 = 4*c2*sin(b/2)2 ou
a2 $ \leq$ 2 + 2 cos(b) - a2 = 4*c2*cos(b/2)2
Donc si il y a collision, c'est que a $ \leq$ 2*sin(b/2) ou a $ \leq$ 2*cos(b/2).
Réciproquement supposons :

Si a $ \leq$ 2*sin(b/2) ou a $ \leq$ 2*cos(b/2), la construction d'un tel triangle est possible ce qui prouve qu'il y a collision entre les 2 hélices.
Donc si on a a > 2*sin(b/2) et a > 2*cos(b/2), on est sûr que la collision n'est pas possible.
Cela veut dire que si l'on choisit a > 2*max(sin(b/2), cos(b/2)), il n'y aura pas de collision possible.
Par exemple :
pour b = $ \pi$/2 on doit choisir a > $ \sqrt{2}$,
pour b = $ \pi$/3 on doit choisir a > $ \sqrt{3}$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve