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Comparaison avec une intégrale

Soit pour t $ \in$ [0; + $ \infty$[ la fonction h(t) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4t+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4t+3}}}$.

1/ Calculer pour k $ \in$ $ \mathbb {N}$

$\displaystyle \int_{k}^{{k+1}}$h(tdt

2/ Montrer que pour k $ \in$ $ \mathbb {N}$

$\displaystyle \int_{k}^{{k+1}}$h(tdt < h(k) < $\displaystyle \int_{{k-1}}^{k}$h(tdt

3/ En déduire que

$\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$(ln($\displaystyle {\frac{{4n+5}}{{4n+7}}}$) - ln($\displaystyle {\frac{{4p+5}}{{4p+7}}}$)) < $\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{n}$h(k) < $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$(ln($\displaystyle {\frac{{4n+1}}{{4n+3}}}$) - ln($\displaystyle {\frac{{4p+1}}{{4p+3}}}$))

4/ En faisant tendre n vers + $ \infty$, montrer que

$\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ln($\displaystyle {\frac{{4p+7}}{{4p+5}}}$) $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$ - up $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ln($\displaystyle {\frac{{4p+3}}{{4p+1}}}$)

5/ On pose sn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ln($\displaystyle {\frac{{4p+7}}{{4p+5}}}$) et zn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ln($\displaystyle {\frac{{4p+3}}{{4p+1}}}$). En utilisant le tableur, montrer que sn et zn sont deux suites adjacentes qui convergent vers $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$ plus rapidement que un et vn. Trouver une valeur de n pour que 4sn et 4zn donnent un encadrement de $ \pi$ de diamètre inférieur à 10-3.



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve