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On cherche donc p tel que
10p = 1 mod n.
La suite des restes possibles est n mais comme n et 9 sont premiers entre
eux, il existe u et v avec 0 < v < n uniques (identité de Bézout)
tels que :
u*n - v*9 = 1 ou encore
10*v + 1 = u*n + v ce qui veut dire que le reste égal à
v n'est pas obtenu.
Parmi les n - 1 restes possibles de la division d'un xk par n,
considérons la relation déquivalence sur les n entiers 0,1,...,n-1:
r1
r2 si il existe k tel que
r1*10k + xk = r2 + q*n.
On a alors puisque
9*xk +1 = 10k,
r1 - r2 + (9*r1 +1)*xk = q*n.
On a donc p éléments équivalents à 1,
Cherchons la periodicité de la suite des restes de
r1*10k + xk par n,
c'est à dire le nombre l d'éléments de la classe r1.
On a
r1 - r1 + (9*r1 +1)*xl = (9*r1 +1)*xl = q*n, donc n divise
(9*r1 +1)*xl, n est premier avec (9*r1 + 1) donc n divise xl
donc l = p*l1
Mais
r1*10p + xp = r1 mod n donc l = p
Donc si il y a c classes, il y une classe ayant un seul élément et les
autres classes ont p éléments donc
n = 1 + p*(c - 1) c'est à dire p divise
n - 1.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve