suivant:
Pour s'amuser avec le
monter:
Les décimales de avec
précédent:
Combien faut-il calculer de
Table des matières
Index
Les formules de même type que celles de Machin
En 1973, Jean Guilloud a mis une journée pour calculer 10
6
décimales de
en utilisant une formule de même type à savoir :
6 arctan(
) + 2 arctan(
) + arctan(
) =
en vérifiant ses calculs avec la formule analogue :
12 arctan(
) + 8 arctan(
) - 5 arctan(
) =
En 1999, Yasumata Kanadaa a atteint le record en calculant 12411*10
8
décimales de
en utilisant une formule de même type à savoir :
24 arctan(
) - 12 arctan(
) + 44 arctan(
) + 7 arctan(
) =
et la formule analogue :
12 arctan(
) + 32 arctan(
) - 5 arctan(
) + 12 arctan(
) =
On peut vérifier ces formules avec
xcas
, on tape par exemple :
tsimplify(12atan(1/49)+32atan(1/57)-5atan(1/239)+12atan(1/110443))
On obtient :
Comment trouver des formules de type Machin ?
Montrons pour cela que si
a
N
et si
a
2
+1 =
a
1
*
a
2
alors :
arctan(1/
a
) = arctan(1/(
a
+
a
1
/) + arctan(1/(
a
+
a
2
))
On a si
xy
< 1, arctan(
x
) + arctan(
y
) = arctan((
x
+
y
)/(1 -
xy
)) donc
arctan(1/(
a
+
a
1
)) + arctan(1/(
a
+
a
2
)) = arctan((2
a
+
a
1
+
a
2
)/((
a
+
a
1
)(
a
+
a
2
) - 1)) = arctan(1/
a
) puisque
a
1
a
2
-1 =
a
2
, (
a
+
a
1
)(
a
+
a
2
) - 1) =
a
2
+
a
(
a
1
+
a
2
) +
a
2
=
a
(2
a
+
a
1
+
a
2
).
On a donc :
a
= 1
a
2
+ 1 = 2 = 1*2 donc
/4 = arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3)
a
= 2
a
2
+ 1 = 5 = 1*5 donc arctan(1/2) = arctan(1/3) + arctan(1/7)
a
= 3
a
2
+ 1 = 10 = 1*10 = 2*5 donc arctan(1/3) = arctan(1/4) + arctan(1/13) = arctan(1/5) + arctan(1/8
a
= 5
a
2
+ 1 = 26 = 1*26 = 2*13 donc arctan(1/5) = arctan(1/7) + arctan(1/18) = arctan(1/6) + arctan(1/31
a
= 7
a
2
+ 1 = 50 = 1*50 = 2*25 donc arctan(1/7) = arctan(1/8) + arctan(1/57) = arctan(1/9) + arctan(1/32)
On en déduit donc que :
/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/7)
/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/5) - arctan(1/18)
/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/5) - arctan(1/18)
/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/8) + arctan(1/57)
/4 = 3 arctan(1/3) - arctan(1/5) + arctan(1/57)
et en utilisant
/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) on retrouve facilement les 2 formules utilisées par Jean Guilloud :
6 arctan(
) + (6 - 4)arctan(
) + arctan(
) =
6(
/4 - 2 arctan(1/3)) - 4(
/4 - 3 arctan(1/3) + arctan(1/5)) -
/4 + 4 arctan(1/5) =
/4
et
12 arctan(
) + 8 arctan(
) - 5 arctan(
) =
12(-
/4 + 2 arctan(1/3) + arctan(1/5)) + 8(
/4 - 3 arctan(1/3) + arctan(1/5)) + 5(
/4 - 4 arctan(1/5)) =
/4
suivant:
Pour s'amuser avec le
monter:
Les décimales de avec
précédent:
Combien faut-il calculer de
Table des matières
Index
Documentation de
giac
écrite par Renée De Graeve