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Théorèmes :
Si
X
(
,
) alors
(
,
/
).
Si X suit une loi quelconque et si l'échantillon est de grande taille
(n > 30),
suit approximativement une loi
(
,
/
).
- si l'écart-type
est connu, on connait la loi suivie par
,
- si l'écart-type
n'est pas connu, puisque n est grand on va
pouvoir estimer
par
s
où s
est l'écart-type d'un échantillon de taille n et on se raméne
au cas précedent (
connu) en prenant
= s
.
Ainsi on connait la loi suivie par
:
suit approximativement
une loi
N(
, s/
).
Recette quand on connait la loi
(
,
/
)
suivie par
(
connu)
On choisit le seuil
et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral :
H0 :
=
et
H1 :
Test d'hypothèses unilatéral à droite :
H0 :
=
et
H1 :
>
(resp à gauche :
H0 :
=
et
H1 :
<
)
On calcule, au moyen des tables de loi normale (n grand, n > 30) les bornes
de l'intervalle d'acceptation au seuil
,
de l'hypothèse H0.
- dans le cas bilatéral, on cherche les réels
a1 et a2 vérifiant :
Proba(a1 <
< a2) = 1 -
:
on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel que :
Proba(Y < h) = 1 -
/2, on a
Proba(
<
+ h*
/
) = 1 -
/2, donc
a1 =
- h*
/
et
a2 =
+ h*
/
Avec Xcas, on tape :
a1:=normal_icdf(
,
,
/2)
a2:=normal_icdf(
,
, 1 -
/2)
- dans le cas unilatéral à droite, on cherche le réel
a vérifiant :
Proba(
< a) = 1 -
:
on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel que :
Proba(Y < h) = 1 -
, on a
Proba(
<
+ h*
/
) = 1 -
,
donc
a =
+ h*
/
.
Avec Xcas, on tape :
a:=normal_icdf(
,
, 1 -
)
- dans le cas unilatéral à gauche, on cherche le réel
b vérifiant :
Proba(
< b) =
:
on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel que :
Proba(Y < h) =
, on a alors
Proba(
<
+ h*
/
) =
,
donc
b =
+ h*
/
.
Avec Xcas, on tape :
b:=normal_icdf(
,
,
)
Règle de décision :
Soit m la moyenne d'un échantillon de taille n.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil
:
- dans le cas bilatéral
si
m
[a1;a2],
- dans le cas unilatéral à droite
si m > a,
- dans le cas unilatéral à gauche
si m < b,
sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve