La probabilité d'avoir un 6 est : p=1/6 et de ne pas avoir un 6 est 5/6.
Si Y est la variable aléatoire égale à la fréquence de
l'événement favorable on a
E(Y) = p = 1/6 0.166666666667 et
(Y) = sqrt(1/6*5/6/100) = sqrt(5)/60
0.037267799625
Théorème de Bienaymé-Tchebychef nous dit que :
Proba(| n1/100 - 1/6| k
(Y))
k2
On cherche k pour avoir
k(Y) = ksqrt(5)/60
1/10
on prend
k = 2.6832815732 car
k 6/sqrt(5)
2.683281573
donc
Proba(| n1/100 - 1/6| 1/10) < 1/2.682
0.139
Cela veut dire que : n1/100 se trouve dans l'intervalle
1/6 - 1/10 0.0666666666667;1/6 + 1/10
0.266666666667 avec la
probabilité
1 - 0.139 = 0.861 ou encore que n1 se trouve dans l'intervalle
6;26 avec la probabilité 0.861.
Si Y est la variable aléatoire égale à la fréquence de
l'événement favorable on a
E(Y) = p = 1/6 0.166666666667 et
(Y) = sqrt(1/6*5/6/6000) = sqrt(5/60)/60
0.00481125224325
On cherche k pour avoir
k
(Y) = ksqrt(5/60)/60
1/100
on prend
k = 2.07846096908 car
k 6/sqrt(50/6)
2.07846096908
donc
Proba(| n1/6000 - 1/6| 1/100) < 1/2.078460969082
0.231481481482
Cela veut dire que : n1/6000 se trouve dans l'intervalle
1/6 - 1/100 0.16566666666667;1/6 + 1/10
0.176666666667 avec la
probabilité
1 - 0.231481481482 = 0.768518518518 ou encore que n1 se
trouve dans l'intervalle 940;1060 avec la probabilité de 0.768518518518.
Remarque En approchant la loi binomiale par la loi normale de moyenne
n*p = 6000*1/4 = 1000 et d'écart type
= sqrt(np(1 - p) = sqrt(6000*1/6*5/6)
28.8675134595
On a
60/28.8675134595 = 2.07846096908
On cherche dans une table
(2.07846096908) et on trouve 0.481
donc n1 se trouve dans l'intervalle
940;1060 avec la probabilité de 0.481*2=0.962.
La probabilité d'avoir un as est : p=1/8 et de ne pas avoir un as est 7/8.
Si Y est la variable aléatoire égale à la fréquence de
l'événement favorable on a
E(Y) = p = 1/8 = 0.125 et
(Y) = sqrt(1/8*7/8/1000) = sqrt(7/10)/80
0.0104582503317.
On a
Proba(105 < n1 < 145) = Proba(| n1 -125| < 20) = Proba(| n1/1000 - 0.125| < 1/50)
Le théorème de Bienaymé-Tchebychef nous dit que :
Proba(| n1/1000 - 1/8| k
(Y))
k2
On choisit
k(Y) = 1/50 c'est à dire
k = 1/50/0.0104582503317 = 1.91236577493 donc
1/k2 = 0.273437500001
Cela veut dire que
Proba(| n1/1000 - 0.125| < 1/50)
0.273437500001 donc
Proba(105 < n1 < 145) 1 - 0.273437500001 = 0.7265625
Remarque
Proba(| n1/1000 - 0.125| > 1/100)
1/0.9561828874652 = 1.09375000001
ce qui ne nous apporte rien!