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On considère un triangle équilatèral ABC et un point M1 sur AB.
M1 se projette orthogonalement en H1 sur BC,
H1 se projette orthogonalement en K1 sur AC et
K1 se projette orthogonalement en M2 sur AB etc....
On obtient ainsi sur AB une suite de points Mn.
On pose
AMn = xnAB.
Calculer xn et étudier la suite x.
On commence par faire la figure.
On écrit pour cela la suite d'instructions dans un niveau de géométrie :
A:=point(0);
B:=point(1);
C:=point(1/2+sqrt(3)*i/2);
triangle(A,B,C);
assume(a=[0.1,0,1]);
M:=element(segment(A,B),a);
L:=[normal(affixe(M))];
for (k:=1;k<=30;k:=k+3) {
L:=append(L,normal(affixe(projection(segment(B,C),L[k-1]))));
L:=append(L,normal(affixe(projection(segment(A,C),L[k]))));
L:=append(L,normal(affixe(projection(segment(B,A),L[k+1]))));
};
polygone_ouvert(L);
On obtient la figure dans l'écran de géométrie.
On rappelle que :
M:=element(segment(A,B),a) signifie que :
= a
et
0
b
1.
On rappelle aussi que :
assume(a=[0.1,0,1]) signifie que :
la figure se fera avec a=0.1 mais que les calculs se feront avec le
paramètre formel a compris entre 0 et 1.
On régle la fenêtre graphique :
xyztrange(-0.1,2.0,-0.1,1.0,-10.0,10.0,-1.0,6.0,-0.1,2.0,
-0.146865136298,1.0,1,0.0,1.0)
On tape L dans une entrée de commande et on pbtient :
[a,((-i)*sqrt(3)+1)/4*a+((i)*sqrt(3)+3)/4,
((-i)*sqrt(3)-1)/8*a+((3*i)*sqrt(3)+3)/8,-a/8+3/8,....]
ce qui signifie que :
et
Pour avoir la suite xn on tape :
Xn:=seq(L[k],k,0,30,3)
On trouve :
x11 = a/1073741824 + 357913941/1073741824
On tape :
evalf(357913941/1073741824)
On obtient:
0.333333333023
Il semble donc que cette suite converge vers N tel que AN = AB/3.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve