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n est grand (n > 30)

Théorèmes :
Si X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$) alors $ \bar{X}$ $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{n}$).
Si X suit une loi quelconque et si l'échantillon est de grande taille (n > 30), $ \bar{X}$ suit approximativement une loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{n}$).
- si l'écart-type $ \sigma$ est connu, on connait la loi suivie par $ \bar{X}$,
- si l'écart-type $ \sigma$ n'est pas connu, puisque n est grand on va pouvoir estimer $ \sigma$ par s$ \sqrt{{n/(n-1)}}$s est l'écart-type d'un échantillon de taille n et on se raméne au cas précedent ($ \sigma$ connu) en prenant $ \sigma$ = s$ \sqrt{{n/(n-1)}}$. Ainsi on connait la loi suivie par $ \bar{X}$ : $ \bar{X}$ suit approximativement une loi N($ \mu$, s/$ \sqrt{{n-1}}$).
Recette quand on connait la loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{n}$) suivie par $ \bar{X}$ ($ \sigma$ connu)
On choisit le seuil $ \alpha$ et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ $ \neq$ $ \mu_{0}^{}$
Test d'hypothèses unilatéral à droite : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ > $ \mu_{0}^{}$ (resp à gauche : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ < $ \mu_{0}^{}$)
On calcule, au moyen des tables de loi normale (n grand, n > 30) les bornes de l'intervalle d'acceptation au seuil $ \alpha$, de l'hypothèse H0. Règle de décision :
Soit m la moyenne d'un échantillon de taille n.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$ : sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve