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Étude de l'écart-type $ \sigma$ de X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$)

On sait que si X suit une loi normale $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$), les statistiques :
Z2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $\displaystyle \mu$)2 et
S2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $\displaystyle \bar{X}$)2
sont des estimateurs de $ \sigma$, de plus Z2 et $ {\frac{{n}}{{n-1}}}$S2 sont des estimateurs sans biais de $ \sigma$ (cf 2.5.8), car on a E(Z2) = E($ {\frac{{n}}{{n-1}}}$S2) = $ \sigma$ et S2 ne dépend pas de $ \mu$.
On sait que :
la statistique $\displaystyle {\frac{{nZ^2}}{{\sigma^2}}}$ suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à n degrés de liberté et que
la statistique $\displaystyle {\frac{{nS^2}}{{\sigma^2}}}$ suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à (n - 1) degrés de liberté.
Lorsque $ \mu$ est connue, on utilisera la statistique $\displaystyle {\frac{{nZ^2}}{{\sigma^2}}}$ comme variable de décision, et si $ \mu$ n'est pas connue, on utilisera la statistique $\displaystyle {\frac{{nS^2}}{{\sigma^2}}}$ comme variable de décision.
Recette quand X suit une loi normale $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$)
On choisit le seuil $ \alpha$ et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral : H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$ et H1 : $ \sigma$ $ \neq$ $ \sigma_{0}^{}$,
Test d'hypothèses unilatéral à droite : H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$ et H1 : $ \sigma$ > $ \sigma_{0}^{}$ (resp à gauche : H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$ et H1 : $ \sigma$ < $ \sigma_{0}^{}$).
On calcule au moyen des tables de $ \chi^{2}_{}$(n) les nombres réels h1 et h2 vérifiant : Règle de décision :
Soit u la valeur prise par $\displaystyle {\frac{{nZ^2}}{{\sigma^2}}}$ (ou par $\displaystyle {\frac{{nS^2}}{{\sigma^2}}}$ si $ \mu$ n'est pas connue) pour un échantillon de taille n :
- si $ \mu$ est connue, on calcule u = $\displaystyle {\frac{{\sum_{j=0}^n(x_j-\mu)^2}}{{\sigma_0^2}}}$ où les xj sont les valeurs de l'échantillon (car selon H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$).
- si $ \mu$ n'est pas connue, on calcule u = $\displaystyle {\frac{{n*s^2}}{{\sigma_0^2}}}$s est l'écart-type de l'échantillon (car selon H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$).
On rejette l'hypothèse H0 : $ \sigma$ = $ \sigma_{0}^{}$ au seuil $ \alpha$ : sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve