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Le pantalon

Un "jean" de poids j est accroché en A à un étendage spécial :
l'un des poteaux de l'étendage possède une poulie P !
Le fil de l'étendage passe sur la poulie et est accroché à l'autre poteau en O. On suppose que la masse du fil est négligeable.
Quel poids faut-il mettre au bout du fil pour avoir un équilibre ?

\begin{pspicture}(-1.0000,-7.0000)(10.0000,1.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset...
...962)
\psset{linecolor=black}
\psdots[dotstyle=*](8.1000,-4.2462)
\end{pspicture}

Dans ce qui suit on suppose que :
- le "jean" pèse j unités et on note $ \overrightarrow{J}$ = (0, - j),
- les deux poteaux sont distants de l,
- on choisit le repère Oxy pour que la poulie P ait comme coordonnées (0, l ),
- le "jean" est fixé au point A de coordonnées (a, b) dans le repère Oxy,
- le poids est de p unités.
Quelles sont alors les positions d'équilibre du "jean" ?
Si $ \overrightarrow{T1}$ = (t11, t12) est la tension du fil AP et
si $ \overrightarrow{T2}$ = (t21, t22) est la tension du fil AO, on a :
$ \overrightarrow{T1}$ + $ \overrightarrow{T2}$ + $ \overrightarrow{J}$ = 0 et p2 = || T1||2 donc :
t11 + t21 = 0, t12 + t22 - j = 0 et p2 = t112 + t122.
$ \overrightarrow{T1}$ est dirigé selon AP donc - b/(l - a) = t12/t11,
$ \overrightarrow{T2}$ est dirigé selon AO donc - b/(- a) = t22/t21.
On remarquera que le problème n'est pas le même selon que le pantalon coulisse sur le fil ou qu'il est fixé sur le fil par une pince à linge :

- si le pantalon coulisse sur le fil les deux tensions $ \overrightarrow{T1}$ et $ \overrightarrow{T2}$ ont même module.
On tape :
$ \tt solve([t11+t21=0,t12+t22-j=0,t11^2+t12^2=t21^2+t22^2],$
$ \tt [t11,t12,t21,t22])$
On obtient :
$ \tt [[-t21,j/2,t21,j/2]]$
ce qui signifie que $ \overrightarrow{T1}$ et $ \overrightarrow{T2}$ sont symétriques par rapport à la verticale et donc que OA = AP.
On tape pour déterminer le poids p en fonction de j, l, a, b :
$ \tt solve([t11+t21=0,t12+t22-j=0,t11^2+t12^2=t21^2+t22^2,$
$ \tt b/a=t22/t21,p^2=t11^2+t12^2],[p,t11,t12,t21,t22])$
On obtient :
$ \tt [[sqrt(4*b^4*j^2+4*b^2*j^2*a^2)/(4*b^2),(-(j*a))/(2*b),j/2,j*a/(2*b),j/2],$
$ \tt [(-(sqrt(4*b^4*j^2+4*b^2*j^2*a^2)))/(4*b^2),(-(j*a))/(2*b),j/2,j*a/(2*b),j/2]]$

- si le pantalon est fixé en A (par exemple au moyen d'une pince à linge), il faut supprimer l'équation $ \tt t11^2+t12^2=t21^2+t22^2$ et rajouter : $ \tt -b/(l-a)=t12/t11$.
On tape :
$ \tt normal(solve([t11+t21=0,t12+t22-j=0,b/a=t22/t21,$
$ \tt -b/(l-a)=t12/t11,t11^2+t12^2=p^2],[p,t11,t12,t21,t22])[1][0])$
On obtient :
$ \tt (sqrt(l^2+-2*l*a+a^2+b^2)*abs(l)*abs(b)*abs(j)*abs(a))/(l^2*b^2)$
On a donc : p2 = j2*a2*((l - a)2 + b2)/(l2*b2),
d'où b2 = j2*a2*(- l + a)2/(p2*l2 - j2*a2).
L'ordonnée de A est négative, l'équation de la courbe d'équilibre est :
$ \tt b:=-sqrt((a\verb\vert^\vert 2*(-l+a)\verb\vert^\vert 2*j\verb\vert^\vert 2...
...erb\vert^\vert 2*l\verb\vert^\vert 2-j\verb\vert^\vert 2*a\verb\vert^\vert 2));$.
Pour simuler la situation on écrit les instructions suivantes dans le fichier pantalon. Ces instructions permettent de faire varier les paramètres j, p et a.
Voici le fichier pantalon.

switch_axes(0);
xyztrange(-1,10,-7,1,-10,10,-1,6,-1,10,-7,1,0); 
p:=element(0..5);
h:=2;//hauteur des poteaux
l:=8;//distance entre les poteaux
f:=l+5;//longueur du fil
j:=element(1..3);//poids du jean
segment(l-h*i,l);P;=point(l,0);//dessin d'un poteau
segment(-h*i,0);O:=point(0,0);//dessin de l'autre poteau
y:=-sqrt((x^2*(-l+x)^2*j^2)/(p^2*l^2-j^2*x^2));
//m:=min(l,p*l/j);
//plotfunc(y,x,0,m);
a:=element(0..l);
b:=-sqrt((a^2*(-l+a)^2*j^2)/(p^2*l^2-j^2*a^2));
A:=point(a,b);
couleur(segment(A,0),2);
couleur(segment(A,l),2);
ap:=sqrt((l-a)^2+b^2);
ao:=sqrt(a^2+b^2);
c:=ao+ap;
//dessin des forces
couleur(vecteur(A,a+(b-j)*i),1);
couleur(vecteur(A,A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)),1); 
couleur(vecteur(A,A+(-l+a+b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)+j*i),1); 
couleur(vecteur(A,A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)-j*i),4);
T1:=A+(l-a-b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2);
T2:=A+(-l+a+b*i)*p/sqrt((-l+a)^2+b^2)+j*i;
J:=A+(-j)*i;
//dessin de la poulie
cercle(l,0.2);
//dessin du poids p
if (c<f){
[couleur(segment(l+0.1,l+0.1+i*(c-f)),2),
couleur( segment(l+i*(c-f),l+i*(c-f-p/10)),1),
couleur( segment(l+0.2+i*(c-f),l+0.2+i*(c-f-p/10)),1),
couleur( segment(l+0.2+i*(c-f),l+i*(c-f)),1),
couleur( segment(l+0.2+i*(c-f-p/10),l+i*(c-f-p/10)),1)];
};

On peut aussi utiliser le tableur pour avoir des valeurs numériques.
On a p2 = j2*x2*((- l + x)2 + y2)/(l2*y2).
On définit la fonction g (égale à p par :
$ \tt g(j,l,x,y)=j*x*sqrt((-l+x)^2+y^2)/(l*y)$
Ne pas oublier auparavant de purger les variables j, l, x, y ! Puis on ouvre le tableur (on tape Alt+t pour ouvrir le tableur).
On tape par exemple :
table g(3.0,8,4,y),y) et on complète la table....
On peut recopier la deuxième colonne : on sélectionne la deuxième colonne puis on se place en début de colonne et on clique sur coller.
Si on veut voir l'influence de l on met comme formule dans la troisième case :
g(3.0,4,2,y),y) et on change la formule (=eval(subst..) comme ci-dessous...
On obtient :

  A B C
0 y g(3,8,4,y) g(3,4,2,y)
1 0.1 "Table" 0
2 0 =eval(subst(B$0,$A$0,$A2)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A2))
3 =A2+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A3)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A3))
4 =A3+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A4)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A4))
5 =A4+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A5)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A5))
6 =A5+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A6)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A6))
7 =A6+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A7)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A7))
8 =A7+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A8)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A8))
9 =A8+A$1 =eval(subst(B$0,$A$0,$A9)) =eval(subst(C$0,$A$0,$A9))
=

On voit l'influence de la longueur du fil : si j = 3, pour avoir A au point de coordonées (l /2, - 0.1)), il faut avoir p = 60 si l = 8 et p = 30 si l = 4.

On définit la fonction equi qui est l'ordonnée de A par :
$ \tt equi(j,l,p,x):={-sqrt(j^2*x^2*(x-l)^2/(p^2*l^2-j^2*x^2))}$
On tape le fichier suivant :

xyztrange(0,8,-7,1,-10,10,-1,6,0.,8,-7,1,1);
L:=plotfunc(equi(3,8,1,x),x,0,8/3);
for (p:=2;p<10;p:=p+1) {
m:=min(8,8*p/3);
L:=L,plotfunc(equi(3,8,p,x),x,0,m);
};
L;
On obtient les diffèrentes courbes d'équilibre lorsque le poids p varie (on peut vérifier que limit(equi(3,8,3,x),x,8)=0):

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve