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Le problème : valeur approchée de $ \sqrt{7}$

On considère la suite récurrente définie par :
u0 = 3 et un+1 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(un + $\displaystyle {\frac{{7}}{{u_n}}}$) pour n $ \geq$ 0.
0/ Définir la fonction f pour que un+1 = f (un) pour n $ \geq$ 0.
1/ Calculer les 5 premiers termes de la suite u et donner une valeur approchée de u5. On pourra utiliser f(ans()) qui applique f à la dernière réponse.
2/ Visualiser les cinq premiers termes de la suite u et trouver une bonne fenêtre de visualisation.
3/ Ouvrir un tableur avec le raccourci clavier Alt+t et mettre :
dans la colonne A les valeurs de n,
dans la colonne B les valeurs de un,
dans la colonne C les valeurs du numérateur cn de un,
dans la colonne D les valeurs du dénominateur dn de un,
dans la colonne E les valeurs du quotient exact de cn*1012 par dn,
dans la colonne F les valeurs approchées de un données par evalf.
Que représente la colonne E ?
Observez les différentes colonnes et notez vos observations.
4/ On veut montrer que la suite un est convergente.
- montrer que la suite u est définie et que un > $ \sqrt{7}$ pour tout n $ \geq$ 0,
- en déduire que le signe de un+1 - un est indépendant de n,
- montrer que la suite u est décroissante et converge vers $ \sqrt{7}$,
5/ On pose en = un - $ \sqrt{7}$. Montrer que $ \sqrt{7}$ > 5/2 et en déduire que e0 < 0.5.
Montrer que en = $\displaystyle {\frac{{e_{n-1}^2}}{{2*u_{n-1}}}}$ pour tout n $ \geq$ 1.
En déduire que en < 5*($\displaystyle {\frac{{e_{n-1}}}{{5}}}$)2 < 5*($\displaystyle {\frac{{e_0}}{{5}}}$)2n < 5*(0.1)2n pour tout n $ \geq$ 1.
Quelle erreur fait-on lorsqu'on prend u5 comme valeur approchée de $ \sqrt{7}$ ? (on montrera que e5 = (u52 -7)/(u5 + $ \sqrt{7}$) < (u52 - 7)/5).
Donner les 20 premières décimales de $ \sqrt{7}$.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve