Soit G4 le symétrique de G1 par rapport à AB.
Les triangles AG4G3 et G4BG2 sont égaux et sont des triangles semblables
à ABC en effet :
le quadrilatère AG1BG4 est un losange d'angle
A =
(4 cotés égaux à la diagonale G1G4), donc
l'angle
est égale à l'angle
,
AG4 = AG1 = BG1 = BG4 = ,
AG3 = CG3 = .
Le triangle AG4G3 est donc semblable au triangle ABC avec comme rapport de
similitude
.
De même l'angle
est égale à l'angle
et,
BG2 = CG2 =
donc le triangle G4BG2 est semblable au triangle ABC avec comme rapport de
similitude
.
On en déduit que :
BG2 = G4G3 et
AG2 = G4G2 et donc que le quadrilatère
G2CG3G4 est
un parallélogramme.
Les triangles G1G4G3 et G1BG2 sont donc égaux (l'angle
=
+ pi/3 =
) et ces deux
triangles se déduisent l'un de l'autre par une rotaion de centre G1 et
d'anble
donc
G1G3 = G1G2 et l'angle
=
.
L'isobarycentre de A, B, C est aussi l'isobarycentre de G1, G4, C car le
quadrilatère AG1BG4 est un losange.
L'isobarycentre de G1, G4, C est aussi l'isobarycentre de
G1, G2, G3 car
le quadrilatère
CG3G4G2 est un parallélogramme.
Donc ABC et G1G2G3 ont même centre de gravitè.