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1/ Étant donné p entier positif, on peut refaire la même chose pour
trouver une valeur approchée de
en prenant comme fonction f :
f (x) =
On tape :
f(x):=(x+p)/(x+1)
On tape :
solve(f(x)=x,x)
On obtient :
[-(sqrt(p)),sqrt(p)]
On tape :
g(x):=(x-sqrt(p))/(x+sqrt(p))
On tape :
h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]
On obtient :
(x*sqrt(p)+sqrt(p))/(-x+1)
donc
un = 
et
vn+1 = g(vn+1) = g(f (un)) = g(f (h(vn)))
On tape :
k:=g@f@h
puis :
normal(k(x))
On obtient :
((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p)
donc
vn+1 = ((
- p)*vn)/(
+ p)
La suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
(sqrt(p)-p)/(sqrt(p)+p)=-g(1)
puis on tape :
normal(expand(mult_conjugate(k(1))))
On obtient :
(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)
la suite (v) est donc une suite géomtrique de raison :
(-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)
Donc :
vn = ((- p - 1 + 2*
)/(p - 1))n
Donc on tape h(vn) :
h((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^
n)
On obtient un :
((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^
n*sqrt(p)+sqrt(p))/
(-(((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))^
n+1)
2/ On a :
v2n = vn2, donc
u2n = h(v2n) = h(vn2) = h((g(un))2)
On tape puisque sq(x)=x^
2 :
f2(x):=normal((h@sq@g)(x))
puis
f2(x)
On obtient :
((x^
2+p)*1/2)/x
On reconnait la fonction obtenue par la méthode de Newton et
qu'il faut itérer pour obtenir une approximation de
.
3/ On a :
v3n = vn3, donc
u3n = h(v3n) = h(vn3) = h((g(un))3)
On tape :
p3(x):=x^
3
f3(x):=normal((h@p3@g)(x))
puis
f3(x)
On obtient :
(x^
3+3*p*x)/(3*x^
2+p)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve