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La méthode

Une matrice de Hessenberg est une matrice qui a des zéros sous la "deuxième diagonale inférieure".
Soit A une matrice. On va chercher B une matrice de Hessenberg semblable à A. Pour cela on va mettre des zéros sous cette diagonale en utilisant la méthode de Gauss mais en prenant les pivots sur la "deuxième diagonale inférieure" encore appelée "sous-diagonale": cela revient à multiplier A par Q = R-1 et cela permet de conserver les zéros lorsque l'on multiplie à chaque étape le résultat par R pour obtenir une matrice semblable à A. Si on est obligé de faire un échange de lignes (correspondant à la multiplication à droite par E) il faudra faire aussi un échange de colonnes (correspondant à la multiplication à gauche par E.
Par exemple si on a :
A : = $ \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc}
a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_...
...a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{40}&a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccccc}
a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_{10}&a_{11}&a_{1...
...&a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{40}&a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc}
a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_...
...a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{40}&a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{array}}\right]$
Pour mettre des zéros dans la première colonne en dessous de a10, on va multiplier A à gauche par Q et à droite par R = Q-1 avec si on suppose a10! = 0 c'est à dire si on peut choisir comme pivot a10 : Q : = $ \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&-a_{20}/a_{...
...1&0&0\\
0&-a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&-a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&-a_{20}/a_{10}&1&0&0\\
0&-a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&-a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&-a_{20}/a_{...
...1&0&0\\
0&-a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&-a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}}\right]$
R : = $ \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&-a_{20}/a_{...
...1&0&0\\
0&-a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&-a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&+a_{20}/a_{10}&1&0&0\\
0&+a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&+a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&-a_{20}/a_{...
...1&0&0\\
0&-a_{30}/a_{10}&0&1&0\\
0&-a_{40}/a_{10}&0&0&1
\end{array}}\right]$
On tape alors :
$ \tt A:=[[a_{00},a_{01},a_{02},a_{03},a_{04}],[a_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14}],$
$ \tt [a_{20},a_{21},a_{22},a_{23},a_{24}],[a_{30},a_{31},a_{32},a_{33},a_{34}],[a_{40},a_{41},a_{42},a_{43},a_{44}]]$
$ \tt Q:=[[1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,(-a_{20})/a_{10},1,0,0],$
$ \tt [0,(-a_{30})/a_{10},0,1,0],[0,(-a_{40})/a_{10},0,0,1]]$
$ \tt R:=[[1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,(a_{20})/a_{10},1,0,0],$
$ \tt [0,(a_{30})/a_{10},0,1,0],[0,(a_{40})/a_{10},0,0,1]]$
On obtient la matrice B1:
B1 = Q*A*R = R-1*A*R = $ \left[\vphantom{\begin{array}{ccccc}
a_{00}&...&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_{10...
......&...&...&...\\
0&...&...&...&...\\
0&...&...&...&...
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccccc}
a_{00}&...&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_{10}&...&a_{12}&a_{...
...}\\
0&...&...&...&...\\
0&...&...&...&...\\
0&...&...&...&...
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{ccccc}
a_{00}&...&a_{02}&a_{03}&a_{04}\\
a_{10...
......&...&...&...\\
0&...&...&...&...\\
0&...&...&...&...
\end{array}}\right]$ où les ... sont des expressions des coefficients de A.
On va faire cette transformation successivement sur la deuxième colonne de la matrice B1 pour obtenir B2 etc...
On appellera B toutes les matrices obtenues successivement.
Si on doit échanger les deux lignes k et j pour avoir un pivot, cela revient à multiplier à gauche la matrice B par une matrice E égale à la matrice identité ayant subie l'échange des deux lignes k et j. Il faudra alors, aussi multiplier à droite la matrice B par E c'est à dire échanger les deux colonnes k et j de B
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve