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Calcul de 555555562 -444444452

Calculer 555555562 -444444452 et plus généralement calculer (5...56)2 - (4...45)2 pour des nombres ayant p chiffres.

On calcule avec xcas :
62 -52 = 11 (l'écriture décimale comporte 2 fois le chiffre un),
562 -452 = 1111 (l'écriture décimale comporte 4 fois le chiffre un),
....
555555562 -444444452 = 1111111111111111 (l'écriture décimale comporte 16 fois le chiffre un
Il semble donc que l'on a à démontrer que :
(5...56)2 - (4...45)2 pour des nombres ayant p chiffres vaut un nombre dont l'écriture décimale comporte 2p fois le chiffre un.
Pour le démontrer, on va simplement d'utiliser l'identité remarquable :
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
On a (p = 8) :
555555562 -444444452 = (55555556 + 44444445)(55555556 - 44444445) = 100000001*11111111 = 1111111111111111.
Plus généralement, si on pose xp le nombre qui s'écrit avec p fois le chiffre 1, on doit calculer :
(5*xp +1)2 - (4*xp +1)2 = (9*xp +2)(xp).
On a xp = 11...1 = 10p-1 + ...10 + 1 = $\displaystyle {\frac{{10^p-1}}{{9}}}$ donc :
9xp +2 = 10p + 1 et
(9xp +2)(xp) = 10pxp + xp = $\displaystyle {\frac{{10^{2p}-10^p}}{{9}}}$ + $\displaystyle {\frac{{10^p-1}}{{9}}}$ = $\displaystyle {\frac{{10^{2p}-1}}{{9}}}$ = x2p
Ou plus simplement :
10pxp s'écrit avec p fois le chiffre 1 suivi de p fois le chiffre 0, donc 10pxp + xp s'écrit avec 2p fois le chiffre 1.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve