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Conchoïde de droite ou conchoïde de Nicomède

Soient une droite d, un point O non situé sur d et un nombre réel a.
La conchoïde de Nicomède est le lieu ($ \Gamma$) des points M et N que l'on obtient en portant sur la droite OP : $ \overline{{PM}}$ = - $ \overline{{PN}}$ = a lorsque P décrit la droite d et que a a une valeur constante.
Soit h la distance de O à la droite d.
La conchoïde de Nicomède a comme équation :

r = h/cos($\displaystyle \theta$) + a

Le double signe est inutile car cos($ \theta$ - $ \pi$) = - cos($ \theta$).
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0);
d:=droite(x=3);
a:=element(1..5);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge)
On a choisit h = 3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
h < a, h = a, h > a. On peut trouver l'équation cartésienne :
r = rh/x + a donc
r - rh/x = r(x - h)/x = a donc

(x2 + y2)(x - h)2 - a2x2 = 0

c'est donc une quartique. On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand P se déplace sur la droite d.
On ouvre un écran de géométrie 2D et on tape (on a choisit h = 3 et a entre 1 et 5) pour faire une animation (ne pas oublier de mettre animate à 0.5 à l'aide du bouton cfg :
O:=point(0,0);
d:=droite(x=3):;d;
supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge);
T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+
(a+3/cos(u))^2/(a*sin(u));
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.1));
animation(seq('P:=point(3+i*tan(u)*3)',u,-10,10,0.1));
animation(seq('M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10,0.1));
animation(seq('droite(y=T(a,u,x),affichage=vert)',u,-10,10,0.1));
On obtient :
La conchoïde de Nicomède (en rouge) :
Image nicomede

On suppose maintenant que des rayons parallèles à l'axe des y se réfléchissent sur la deuxième nappe (lorsque - $ \pi$/2 < $ \theta$ < $ \pi$/2).
Pour avoir la trace des rayons réfléchis, on tape :

O:=point(0,0);
d:=droite(x=3):;d;
supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge);
T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+
(a+3/cos(u))^2/(a*sin(u));
N:=unapply(equal2list(equation(perpendiculaire(
             M,droite(y=T(a,u,x)))))[1],[a,u,x]);
//N(a,u,x):=(a*sin(u)*cos(u)^2)/(3+a*cos(u)^3)*x+
//(9*tan(u)+3*a*sin(u))/(3+a*cos(u)^3);
supposons(u:=[1.2,(-pi)/2,pi/2,0.05]);
M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u));
dd:=symetrie(droite(y=N(a,u,x)),
    demi_droite(M,point(i*(3/cos(u)+a)*sin(u)))):;
trace(dd);
On obtient quand on fait bouger le curseur u pour avoir la trace des rayons réfléchis :
Image nicorefl
Les rayons réfléchis sur une conchoïde de Nicomède
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve