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Soit une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernouilli de
paramètre p (on étudie un caractère, si ce caractère est observé
alors X = 1 et sinon X = 0 et on a
Proba(X = 1) = p). Soit
la moyenne
des échantillons de taille n : ici,
est égal pour chaque
échantillon de taille n à la fréquence observée F du caractère.
Si n est grand (n
30),
suit approximativement la
loi normale
(p,
).
Si n est petit, on a
(n*
) suit la loi binomiale
(n, p).
On choisit le seuil
et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral :
H0 : p = p0 et
H1 : p
p0
Test d'hypothèses unilatéral à droite (à gauche) :
H0 : p = p0 et
H1 : p > p0 (resp
H0 : p = p0 et
H1 : p < p0)
On calcule, sous l'hypothèse H0, soit au moyen des tables de la loi
normale (pour n grand, np(1 - p) > 7), soit au moyen des tables de la loi
binomiale (pour n petit), soit avec Xcas, les bornes de l'intervalle
d'acceptation au seuil
, de l'hypothèse H0.
- dans le cas bilatéral, on cherche les réels
a1 et a2 vérifiant :
Proba(a1 < F =
< a2) = 1 -
- pour n grand, on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel
que
Proba(Y < h) = 1 -
/2, on pose
F = (Y - p0)/
et on obtient :
Proba(F < p0 + h*
) = 1 -
/2, donc
a1 = p0 - h*
et
a2 = p0 + h*
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
a1:=normal_icdf(p0,sqrt((p0*(1-p0)/n),0.025)
a2:=normal_icdf(p0,sqrt(p0*(1-p0)/n),0.975)
- pour n petit, n*F suit la loi binomiale
(n, p0),
on cherche dans une table de
loi binomiale
(n, p0) les valeurs n*p1 et n*p2 tels que :
Proba(n*p1 < n*F < n*p2) = 1 -
et donc :
Proba(p1 < F < p2) = = 1 -
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
p1:=1/n*binomial_icdf(n,p0,0.025)
p2:=1/n*binomial_icdf(n,p0,0.975)
- dans le cas unilatéral à droite, on cherche le réel
a vérifiant :
Proba(F < a) = 1 -
:
- pour n grand, on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel
que
Proba(Y < h) = 1 -
, on a alors
Proba(F < p0 + h
) = 1 -
donc
a = p0 + h
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
a:=normal_icdf(p0,sqrt(p0*(1-p0)/n),0.975)
- pour n petit, on cherche n*p2 tel que :
Proba(n*F < n*p2) = 1 -
on a donc
Proba(F < p2 = 1 -
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
p2:=1/n*binomial_icdf(n,p0,0.975)
- dans le cas unilatéral à gauche, on cherche le réel
b vérifiant :
Proba(F < b) =
:
- pour n grand, on cherche dans une table de loi centrée réduite h tel
que
Proba(Y < h) =
, on a alors
Proba(F < p0 + h
) =
donc
b = p0 + h
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
b:=normal_icdf(p0,sqrt(p0*(1-p0)/n),0.05)
- pour n petit, on cherche n*p1 tel que :
Proba(n*F < n*p1) =
on a donc :
Proba(F < p1) =
On peut aussi taper dans Xcas si
= 0.05 :
p1:=1/n*binomial_icdf(n,p0,0.05)
Règle de décision :
Soit la fréquence f d'un échantillon de taille n.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil
:
- dans le cas bilatéral
si
f
[a1;a2], (ou si
f
[p1;p2])
- dans le cas unilatéral à droite
si f > a, (ou si f > p2)
- dans le cas unilatéral à gauche
si f < b, (ou si f < p1)
sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil
.
Exemple
On choisit n = 30, p0 = 0.3 et
= 0.05 et on compare les résultats de
la loi normale et de la loi binomiale.
- dans le cas bilatéral
Pour n=30
H0 : p = 0.3
H1 : p
0.3 et
= 0.05
on a
p0*(1 - p0) = 0.3*0.7 = 0.21 et on tape :
normal_icdf(0.3,sqrt(0.21/30),0.975)=0.463982351931
normal_icdf(0.3,sqrt(0.21/30),0.025)=0.136017648069
on pose
I = [0.1360;0.464]
ou on tape :
1/30*binomial_icdf(30,0.3,0.025)=2/15
1/30*binomial_icdf(30,0.3,0.975)=7/15
on pose
I = [0.1333;0.46666]
On rejette H0 au seuil de 5%, si la fréquence f obtenue à partir
d'un échantillon de taille n = 30 est en dehors de l'intervalle I.
- dans le cas unilatéral à droite
Pour n=30
H0 : p = 0.3
H1 : p
0.3 et
= 0.05
on a
p0*(1 - p0) = 0.3*0.7 = 0.21 et on tape :
normal_icdf(0.3,sqrt(0.21/30),0.95)=0.437618327917
on pose
I =] -
;0.464]
ou on tape :
1/30*binomial_icdf(30,0.3,0.95)=13/30
on pose
I =] -
;0.43334]
On rejette H0 au seuil de 5%, si la fréquence f obtenue à partir
d'un échantillon de taille n = 30 est en dehors de l'intervalle I.
- dans le cas unilatéral à gauche
Pour n=30
H0 : p = 0.3
H1 : p
0.3 et
= 0.05
on a
p0*(1 - p0) = 0.3*0.7 = 0.21 et on tape :
normal_icdf(0.3,sqrt(0.21/30),0.05)=0.162381672083
on pose
I = [0.16238; +
[
ou on tape :
1/30*binomial_icdf(30,0.3,0.05)=1/6
on pose
I = [0.166667; +
[
On rejette H0 au seuil de 5%, si la fréquence f obtenue à partir
d'un échantillon de taille n = 30 est en dehors de l'intervalle I.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve