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ln(2)

Il s'agit ici d'obtenir un encadrement de ln(2) en utilisant des méthodes numériques approchées de calcul de l'intégrale: I = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x}}}$ dx
  1. Tracer le graphe de la fonction f définie par f (x) = 1/(1 + x) entre 0 et 1, la corde qui relie les points d'abscisses 0 et 1 et la tangente au point d'abscisse $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
    Réponse :
    On change l'initialisation de la fenêtre graphique avec le bouton rouge geo. On prend :
    X-=WX-=-0.1 X+=WX+=1.1
    Y-=WY-=0.4 Y+=WY+=1.1
    On tape :
    f(x):=1/(1+x)
    G:=plotfunc(1/(1+x),x)
    segment(i*f(0),1+i*f(1))
    tangent(G,1/2)
  2. On subdivise l'intervalle [0, 1] en n parties et on encadre l'intégrale par la méthode des rectangles inférieurs et supérieurs.
    Montrez que: un  < I <  vn avec pour n $ \geq$ 1 :
    un = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(n + n) et
    vn = 1/n + 1/(n + 1) + ... + 1/(n + n - 1).
    Calculer un et vn pour n=10, 100, 1000.
    Réponse :
    Avec le tableur on écrit la suite récurrente :
    u1 = 1/2
    u2 = 1/3 + 1/4
    un = un-1 + 1/((2n - 1)*2n) pour n > 1 et
    v1 = 1
    v1 = 1/2 + 1/3
    vn = un + 1/(2n) pour n $ \geq$ 1
    pour cela on tape :
    0 dans A0
    =A0+1 dans A1
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en surbrillance, pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
    On tape :
    0 dans B0
    1/2 dans B1
    =B1+1/((2*A2-1)*2*A2) dans B2
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B2 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de un.
    On tape :
    =evalf(B0) dans C0
    puis, on tape sur remplir et vers le bas,lorsque C0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de un.
    On tape :
    0 dans D0
    =B1+1/(2*A1) dans D1
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de vn.
    On tape :
    =evalf(D0) dans E0
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque E0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de vn.

  3. On subdivise l'intervalle [0, 1] en n parties et on applique la méthode du point milieu et la méthode des trapèzes. On obtient ainsi deux suites wn et tn.
    Montrez que: wn = $ \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$$ {\frac{{1}}{{n+j+1/2}}}$ et que tn = (un + vn)/2.
    Calculer wn et tn pour n = 10, 100, 1000.
    Réponse :
    Le rectangle de base [j/n;(j + 1)/n] au point milieu d'abscisse (2j + 1)/2n a pour surface :
    $ {\frac{{1}}{{n}}}$*$ {\frac{{1}}{{1+(2j+1)/2n}}}$ = $ {\frac{{2}}{{2n+2j+1}}}$ = $ {\frac{{1}}{{n+j+1/2}}}$
    Le trapèze de base [j/n;(j + 1)/n] a pour surface :
    $ {\frac{{1}}{{2n}}}$*($ {\frac{{1}}{{1+j/n}}}$ + $ {\frac{{1}}{{1+(j+1)/n}}}$) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$($ {\frac{{1}}{{n+j}}}$ + $ {\frac{{1}}{{n+j+1}}}$)

    Avec le tableur, on écrit les suites récurrentes :
    w0 = 2/3
    w1 = 2/5 + 2/7
    wn = wn-1 + 1/((2n - 1/2)*(2n - 3/2)(n - 1/2)) et
    t0 = 3/4
    t1 = 1/3 + 3/8
    tn = (un + vn)/2 pour cela on tape :
    0 dans F0
    2/3 dans F1
    =F1+1/(2*A2-1/2)+1/(2*A2-3/2)-1/(A2-1/2) dansF2
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque F2 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de wn.
    $ \tt G0=evalf(F0)$
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque G0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de wn.
    On tape :
    0 dans H0
    =(B1+D1)/2 dans H1
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque H1 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs exactes de tn.
    =evalf(H0) dans I0
    puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque I0 est en surbrillance, pour avoir la suite des valeurs approchées de tn.
    On trouve pour n = 10 :
    u10 = 155685007/232792560 $ \simeq$ 0.668771403175
    v10 = 33464927/46558512 $ \simeq$ 0.718771403175
    w10 = 358143560536/516924483075 $ \simeq$ 0.69283536041
    t10 = 161504821/232792560 $ \simeq$ 0.693771403175

  4. Vérifiez que la fonction f est convexe en montrant que f'' > 0.
    On admettra les propriétés suivantes des fonctions convexes :
  5. En comparant graphiquement des aires, montrez que :

    tn $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \int_{0}^{1}$f (xdx

    .
  6. On considère une subdivision [$ {\frac{{j}}{{n}}}$,$ {\frac{{j+1}}{{n}}}$]. Tracer sur cet intervalle la courbe de f et la tangente de f au point milieu de l'intervalle. Par une comparaison graphique d'aires (aire sous la tangente=aire du rectangle) montrez que :

    wn $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_{0}^{1}$f (xdx

  7. Indiquez le nombre de décimales exactes obtenues lorsque l'on approche ln(2) à l'aide de un, vn, wn, tn pour n = 10, n = 100, n = 1000.

    Montrez qu'en général un et vn donnent un encadrement d'ordre 1/n de ln(2), et que wn et tn donnent un encadrement d'ordre 1/n2 de ln(2).


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve