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Combien faut-il calculer de termes ?

Soit Rn(x) le reste de la série $ \sum_{{k=1}}^{\infty}$(- 1)k+1$ {\frac{{x^{2k-1}}}{{2k-1}}}$ : Rn(x) = $ \sum_{{k=n+1}}^{\infty}$(- 1)k+1$ {\frac{{x^{2k-1}}}{{2k-1}}}$.
On sait que | Rn(x)| < $ {\frac{{\vert x\vert^{2n+1}}}{{2n+1}}}$ Pour avoir | Rn(1/5)| = | Rn(0.2)| < 10-61 il faut que :
22n+1 < (2n + 1)102n-60 et comme 210 $ \simeq$ 103 cela donne si on suppose 2n + 1 > 10 :
10(6n+3)/10 < 102n-59 soit 593 < 14n soit n $ \simeq$ 42 On vérifie pour n = 42 on a $ {\frac{{(1/5)^{85}}}{{85}}}$ < 2.56e - 62
On peut aussi écrire si on suppose que 2n + 1 > 10 :
$ {\frac{{\vert x\vert^{2n+1}}}{{2n+1}}}$ < x2n+1/10 < 10-61 donc on va choisir x2n+1 < 10-60 soit (2n + 1)log10(x) < - 60 ou encore n > ((- 60)/log10(x) - 1)/2 Pour x = 1/5 on a n > 42.4202967422 et comme 2n + 1 > 40 on peut améliorer la majoration $ {\frac{{\vert x\vert^{2n+1}}}{{2n+1}}}$ < x2n+1/40 < 10-61
ce qui donne n > ((- 60 + log10(4))/log10(1/5) - 1)/2 = 41.9896201841 donc on prend n = 42
pour x = 1/293 on a n > 11.66 donc on prend n = 12 et on vérifie : $ {\frac{{(1/239)^{25}}}{{25}}}$ = 1.38711499837e - 61.
On choisit 62 Chiffres dans le cas set_up que l'on ouvre avec le bouton rouge cas) et on tape :
evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,12))
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
On tape :
evalf(pi)
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
Remarque
Avec cette méthode John Machin calcula 100 décimales de $ \pi$ en 1706.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve