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Index
On rappelle que
[i] = {m + n*i, (m, n)
2}.
Soient
a
[i] et
b
[i] - {0}, alors on dit que le quotient q
de a par b est l'affixe du (ou des) point(s) le plus proche pour le module
du point d'affixe a/b.
- Montrer que
| q - a/b|2
1/2. En déduire que
| a - bq|2
| b[2/2
et que l'algorithme d'Euclide se termine lorsqu'on prend q comme quotient
euclidien.
- Écrire un programme qui calcule le pgcd de 2 nombres de
[i]. On
normalisera le résultat (en multipliant le résultat par 1,-1,i ou -i)
pour que le pgcd soit un nombre de partie rèelle
strictement positive et de partie imaginaire positive ou nulle.
On tape :
quotient(a,b):={
local q1,q2,c;
c:=normal(a/b);
q1:=re(c);
q2:=im(c);
return round(q1)+i*round(q2);
}
:;
pgcdzi(a,b):={
local q,r;
tantque b!=0 faire
q:=quotient(a,b);
r:=a-b*q;
a:=b;
b:=r;
ftantque;
//on normalise
si re(a)<0 et im(a)<=0 alors retourne -a;fsi;
si im(a)<0 alors retourne i*a;fsi;
si re(a)<=0 alors retourne -i*a;fsi;
retourne a;
}:;
On tape :
pgcdzi(3+i,3-i)
On obtient :
1+i
On tape :
pgcdzi(7+i,-6+17*i
On obtient :
3+4*i
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve