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Un exemple:la fonction exponentielle intégrale

Nous allons illustrer ce type de développement sur un exemple, la fonction exponentielle intégrale, définie à une constante près par

f (x) = $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{e^{-t}}}{{t}}}$ dt

On peut montrer que l'intégrale existe bien, car l'intégrand est positif et inférieur à e-t (qui admet - e-t comme primitive, cette primitive ayant une limite en + $ \infty$).
Pour trouver le développement asymptotique de f en + $ \infty$, on effectue des intégrations par parties répétées, en intégrant l'exponentielle et en dérivant la fraction rationnelle :
f (x) = [$\displaystyle {\frac{{-e^{-t}}}{{t}}}$]x+$\scriptstyle \infty$ - $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{-e^{-t}}}{{-t^2}}}$ dt  
  = $\displaystyle {\frac{{e^{-x}}}{{x}}}$ - $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{e^{-t}}}{{t^2}}}$ dt  
  = $\displaystyle {\frac{{e^{-x}}}{{x}}}$ - ([$\displaystyle {\frac{{-e^{-t}}}{{t^2}}}$]x+$\scriptstyle \infty$ - $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{-2e^{-t}}}{{-t^3}}}$)  
  = $\displaystyle {\frac{{e^{-x}}}{{x}}}$ - $\displaystyle {\frac{{e^{-x}}}{{x^2}}}$ + $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{2e^{-t}}}{{t^3}}}$ dt  
  = ...  
  = e-x$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + ... + \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{2}}{{x^3}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{(-1)^n n!}}{{x^{n+1}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + ... + \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}}\right)$ - $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^n n!e^{-t}}}{{t^{n+1}}}}$ dt  
  = S(x) + R(x)  

S(x) = e-x$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + ... + \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{2}}{{x^3}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{(-1)^n n!}}{{x^{n+1}}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + ... + \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}}\right)$,    R(x) = - $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^n n!e^{-t}}}{{t^{n+1}}}}$ dt (8.1)

Le développement en séries est divergent puisque pour x > 0 fixé et n tendant vers l'infini

$\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$\displaystyle {\frac{{n!}}{{x^{n+1}}}}$ = + $\displaystyle \infty$

mais si x est grand, au début la série semble converger, de manière très rapide :

$\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$ > > $\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$ > > $\displaystyle {\frac{{2}}{{x^3}}}$

On peut utiliser S(x) comme valeur approchée de f (x) pour x grand si on sait majorer R(x) par un nombre suffisamment petit. On a

| R(x)| $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int_{x}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{n!e^{-t}}}{{x^{n+1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{n!e^{-x}}}{{x^{n+1}}}}$

On retrouve une majoration du type de celle des séries alternées, l'erreur est inférieure à la valeur absolue du dernier terme sommé. Pour x fixé assez grand, il faut donc de trouver un rang n, s'il en existe un, tel que n!/xn < $ \epsilon$$ \epsilon$ est la précision relative que l'on s'est fixée. Par exemple, si x $ \geq$ 100, n = 12 convient pour $ \epsilon$ = 12!/10012 = 5e - 16 (à peu près la précision relative d'un ``double'').
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve