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Polynôme cyclotomique : cyclotomic
cyclotomic a comme paramètre un entier n.
cyclotomic renvoie la liste des coefficients du polynôme cyclotomique
d'ordre n.
C'est le polynôme dont les zéros sont toutes les racines n-ième et
primitives de l'unité (une racine n-ième de l'unité est primitive
si ses puissances engendrent toutes
les autres racines n-ième de l'unité).
Par exemple pour n = 4, les racines quatrième de l'unité sont :
{1, i, -1, - i},
et les racines primitives sont : {i, - i}.
Donc le polynôme cyclotomique d'ordre 4 est
(x - i).(x + i) = x2 + 1.
On tape :
cyclotomic(4)
On obtient :
[1,0,1]
On tape :
cyclotomic(5)
On obtient :
[1,1,1,1,1]
Donc le polynôme cyclotomique d'ordre 5 est
x4 + x3 + x2 + x + 1 et on a
(x - 1)*(x4 + x3 + x2 + x + 1) = x5 - 1.
On tape :
cyclotomic(10)
On obtient :
[1,-1,1,-1,1]
Donc le polynôme cyclotomique d'ordre 10 est
x4 - x3 + x2 - x + 1 et on a
(x5 -1)*(x + 1)*(x4 - x3 + x2 - x + 1) = x10 - 1
On tape :
cyclotomic(20)
On obtient :
[1,0,-1,0,1,0,-1,0,1]
Donc le polynôme cyclotomique d'ordre 20 est
x8 - x6 + x4 - x2 + 1 et on a
(x10 -1)*(x2 +1)*(x8 - x6 + x4 - x2 +1) = x20 - 1
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve