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X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$) et n est petit, (n $ \leq$ 30)

On a deux cas selon que l'écart-type $ \sigma$ est connu ou pas :
- si l'écart-type $ \sigma$ est connu
On sait que si X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$) alors $ \bar{X}$ $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{n}$) on se reportera à la "Recette quand on connait la loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{n}$) suivie par $ \bar{X}$" écrite ci-dessus.
- si l'écart-type $ \sigma$ est inconnu
Lorsque n est petit, on ne peut plus approcher $ \sigma$ par s$ \sqrt{{n/(n-1)}}$s est l'écart-type d'un échantillon de taille n.
C'est pourquoi, lorsque n est petit et que X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$), on utilise la statistique : T = $ \sqrt{{n-1}}$($ {\frac{{\bar X-\mu_0}}{{S}}}$) où S2 = 1/n$ \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $ \bar{X}$)2.
T suit une loi de Student à n - 1 degrés de liberté et T ne dépend pas de $ \sigma$.
Recette quand on ne connait pas la loi suivie par $ \bar{X}$
On est dans le cas où $ \sigma$ est inconnu, X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$) et n est petit.
On choisit le seuil $ \alpha$ et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ $ \neq$ $ \mu_{0}^{}$
Test d'hypothèses unilatéral à droite : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ > $ \mu_{0}^{}$ (resp à gauche : H0 : $ \mu$ = $ \mu_{0}^{}$ et H1 : $ \mu$ < $ \mu_{0}^{}$).
Au moyen des tables de la loi de Student (n petit, n $ \leq$ 30) Règle de décision :
Soit t la valeur prise par T par un échantillon de taille n : t = $\displaystyle \sqrt{{n-1}}$($\displaystyle {\frac{{m-\mu_0}}{{s}}}$) où m est la moyenne de l'échantillon et s son écart-type.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$ : sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve