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Les anniversaires de 3 personnes

Trois amis sont nès une même annèe de 365 jours.
On suppose que les dates de naissance sont équiprobables.
Quelles sont les probabilités pour que :

1/ Ils soient nés le même jour,

2/ Deux d'entre eux seulement soient nés le même jour,

3/ Ils soient nés a des dates différentes,

4/ Quelle relation vérifie ces trois réponses ?

Solution
On donne un numéro aux amis, i.e. on les ordonne.
Soit $ \Omega$ l'univers ensemble de triplets de nombres allant de 1 à 365. Il y a 3653 triplets possibles, donc card ($ \Omega$) = 3653.

1/ Soit A l'événement "Ils sont tous les trois nés le même jour". cela signifie que A est composé de triplés formés par 3 nombres égaux donc, card (A) = 365.
Donc, p(A) = $ {\frac{{365}}{{365^3}}}$ = $ {\frac{{1}}{{365^2}}}$ $ \simeq$ 7.5e - 06.

2/ Soit B l'événement "Deux seulement sont nés le même jour". B est composé de triplés formés par 2 nombres égaux et différents du 3-ième. Il y a trois possibilités (les deux premiers ou les deux derniers ou le premier et le troisième ont le même anniversaire donc, comme il y a 365*364 couples de nombres différents, card (B) = 3*365*364.
Donc, p(B) = $ {\frac{{3*365*364}}{{365^3}}}$ = $ {\frac{{3*364}}{{365^2}}}$ $ \simeq$ 0.0082.

3/ Soit C l'événement "Ils sont nés a des dates différentes". C est composé de triplés formés par 3 nombres différents donc, comme il y a 365*364*363 triplets formés de 3 nombres différents, on a card (C) = 365*364*363.
Donc, p(C) = $ {\frac{{365*364*363}}{{365^3}}}$ = $ {\frac{{364*363}}{{365^2}}}$ $ \simeq$ 0.99.

4/ On doit avoir p(A) + p(B) + p(C) = 1 puisque A, B, C forment une partition de $ \Omega$. on a :
1 + 3*364 + 364*363 = 1 + 364*366 = 1 + (365 - 1)(365 + 1) = 3652
donc on a bien : p(A) + p(B) + p(C) = 1.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve