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La formule de Machin

De la formule d'addition des tangentes à savoir :

tan(a + b) = $\displaystyle {\frac{{\tan(a)+\tan(b)}}{{1-\tan(a)*\tan(b)}}}$

on en déduit la formule pour ab < 1 :

arctan(a) + arctan(b) = arctan($\displaystyle {\frac{{a+b}}{{1-ab}}}$)

Exercices :
1/ Pour a = 1/5 on cherche b pour que :

arctan(a) + arctan(b) = arctan(1) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

On doit donc résoudre :

$\displaystyle {\frac{{a+b}}{{1-ab}}}$ = 1

On trouve :

b = $\displaystyle {\frac{{1-a}}{{1+a}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$

Donc :

arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{5}}}$) + arctan($\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

2/ Pour a = 1/5 on cherche b pour que :

arctan(a) + arctan(b) = arctan($\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$)

On doit donc résoudre :

$\displaystyle {\frac{{a+b}}{{1-ab}}}$ = c = $\displaystyle {\frac{{2}}{{3}}}$

On trouve :

b = $\displaystyle {\frac{{c-a}}{{1+ac}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}}}{{1\frac{2}{15}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{7}}{{17}}}$

Donc :

2 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{5}}}$) + arctan($\displaystyle {\frac{{7}}{{17}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

3/ En faisant encore deux fois le même genre de substitution, montrer la formule de Machin :

4 arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{5}}}$) - arctan($\displaystyle {\frac{{1}}{{239}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

Pour cela on prend successivement :
c = $ {\frac{{7}}{{17}}}$ et on trouve b = $ {\frac{{c-a}}{{1+ac}}}$ = $ {\frac{{9}}{{46}}}$ et
c = $ {\frac{{9}}{{46}}}$ et on trouve b = $ {\frac{{c-a}}{{1+ac}}}$ = $ {\frac{{-1}}{{239}}}$
4/ Écrire un programme qui prend en entrée a et n et qui renvoie la liste L des valeurs de bk vérifiant :
k arctan(a) + arctan(bk) = $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$ pour k = 1..n ( L[k - 1] = bk)
On tape le programme :
machin1(a,n):={
local k,c,L;
c:=1;
L:=[];
for (k:=1;k<n+1;k:=k+1) {
c:=(c-a)/(1+a*c);
L:=append(L,c);
}
return(L);
};
On tape :
machin1(1/5,5)
On obtient :
[2/3,7/17,9/46,1/-239,-122/597]
On tape :
machin1(1/3,5)
On obtient :
[1/2,1/7,-2/11,-17/31,-41/38]
Ainsi :
$ \tt 2\arctan(\frac{1}{3})+\arctan(\frac{1}{7})=\frac{\pi}{4}$

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve