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Le théorème et un autre puzzle

On dispose de deux carrés de côtés a et b (a $ \geq$ b).
Comment découper le carré de côtés a en quatre morceaux pour pouvoir faire, avec ces 4 morceaux et le carré de coté b, un puzzle de cinq pièces permettant de reconstituer un carré ?
Une solution
On pose a - b = 2d et si le carré de côté a a pour sommets (0, a, a(1 + i), ia), on joint les points id et a + i(d + b) ainsi que les points d + b et d + ia. Ces deux segments ont pour longueur c = $ \sqrt{{a^2+b^2}}$, et se coupent selon quatre angles droits qui deviendront les sommets du carré solution de côtés c = $ \sqrt{{a^2+b^2}}$.
On obtient le découpage du carré de côté a et le carré constitué des 5 pièces dans la figure ci-dessous :

\begin{pspicture}(-5.0000,-5.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...\psset{linecolor=black}
\psline(-0.5000,-3.5000)(1.0000,-3.0000)
\end{pspicture}

Pour faire cette figure on tape :

carre(-i,3-i);
segment(1+2*i,2-i)
segment(0,3+i)
carre(-2*i,1-2*i);
segment(2-i,2.5-2.5*(i))
segment(1-2*i,1-3*(i))
segment(2.5-2.5*(i),1-3*(i))
segment(1-2*(i),-1-2*(i))
segment(-1.5-0.5*i,0)
segment(-1.5-0.5*i,-1-2*i)
segment(-0.5-3.5*(i),-1-2*(i))
On peut simuler un vrai puzzle en déplaçant avec la souris les cinq pièces.
On tape :
A:=point(-3.99,-0.51);
B:=point(-1.81,-0.411);
carre(A,B,C,D);
E:=element(droite(A,B),0.7);
carre(E,A,F,G);
I:=milieu(E,B);
J:=D+B-I;
K:=rotation(A,pi/2,A+B-I);
L:=C+A-K;
segment(I,J);
segment(K,L);
M:=inter(droite(I,J),droite(K,L))[0];
quadrilatere(D,J,M,K);
quadrilatere(C,J,M,L);
quadrilatere(A,I,M,K);
quadrilatere(B,I,M,L);
quadrilatere(E,A,F,G);
Puis on bouge les 5 quadrilatères dans un grand carre : pour cela on clique successivement sur un côté de chaque quadrilatère et on les déplace.
On obtient :

\begin{pspicture}(-5.0000,-5.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...960300, -1.164000)( -3.306300, -1.134300)( -3.336000, -0.480300)
\end{pspicture}

Exercice Trouver d'autres solutions. On peut en effet découper le carre ABCD selon n'importe quelle parallèle à IJ et KL.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve