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La solution mathématique

Cela ressemble à l'exercice précédent.....
Supposons pour commencer n = 2.
Les résultats peuvent être : R = 1, 2, 4....2p...
On a :
P(R2 = 1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$,
P(R2 = 2) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2^2}}}$
.... P(R2 = 2p) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2^{p+1}}}}$
Donc :
E(R2) = $\displaystyle \sum_{{p=0}}^{{+\infty}}$2p$\displaystyle {\frac{{1}}{{2^{p+1}}}}$ On tape :
sum(2^k/2^(k+1),k,0,+infinity)
On obtient :
infinity
La moyenne de R2 est donc infinie.

Peut-on généraliser ? Dans le cas général, on tire au hasard des nombres entre 1 et n jusqu'à obtenir 1. La moyenne des produits des nombres tirés est-elle infinie ? Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre p de tirages parmi 1...n qu'il faut effectuer pour obtenir 1.
On a :
P(Xn = 1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$,
P(Xn = 2) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^2}}}$ et les résultats obtenus peuvent être :
2*1 = 2, 3*1 = 3,..., n*1 (liste L2 de taille n - 1 de produit 2*3 + ...*n = n!)
P(Xn = 3) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^3}}}$ et les résultats obtenus peuvent être :
2*2*1 = 4, 2*3*1 = 6, 3*2*1 = 6,...n*n*1 (liste L3 de taille (n - 1)2)
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme de cette liste provient du developpement de :
(2 + 3 + ... + n)2 donc la somme de la liste L3 vaut (2 + 3 + ... + n)2
.....
P(Xn = p) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^p}}}$ et les résultats obtenus peuvent être :
2*...*2*1 = 2p-1, 2 + ... +3 + 1 = 2p-2*3,,... (liste Lp de taille (n - 1)p-1)
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme de cette liste provient du developpement de :
(2 + 3 + ... + n)p-1 donc la somme de la liste Lp vaut (2 + 3 + ... + n)p-1
Donc :

E(Rn) = $\displaystyle \sum_{{p=1}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n^p}}}$(2 + 3 + ... + n)p-1 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{p=1}}^{{+\infty}}$((n + 2)*(n - 1)/(2*n))p-1

On obtient une somme géométrique de raison (n + 2)*(n - 1)/(2*n) > = 1 pour n > = 2.
On tape :
sum(((2+n)*(n-1)/2)^p-1/(n)^p ,p,1,k)
On obtient :
infinity
Donc la moyenne de Rn est infinie.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve