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Les anniversaires de n personnes

Dans une assemblée de n personnes, toutes sont nèes une annèe de 365 jours.
On suppose que les dates de naissance sont équiprobables.
On note p(n) la probabilité pour que 2 personnes au moins aient leur anniversaire le même jour.

1/ Calculer p(3),

2/ Donner la formule permettant de calculer p(n),

3/ Déterminer une valeur approchée de p(20), p(30) et p(367),

4/ Déterminer le nombre n pour que l'on ait $ \tt p(n)\geq \frac{1}{2}$.

Solution
On donne un numéro aux personnes de l'assemblée, i.e. on les ordonne.
Soit $ \Omega$ l'univers ensemble des n-uplets de nombres entiers de 1 à 365.
Il y a $ \tt 365^n$ triplets possibles, donc $ \tt card(\Omega)=365^n$.

1/ D'après l'exercice précédent, p(3)= p(A) + p(B) = $ {\frac{{1+3*364}}{{365^2}}}$ $ \simeq$ 0.0082.

2/ On va tout d'abord chercher la probabilité de l'événement contraire : soit Dn l'événement "Les n personnes ont leurs anniversaires a des dates toutes différentes".

Il y a $ \tt 365*364*...*365-n+1$ triplets formés de nombres différents deux à deux, donc card (Dn) = 365*364*...365 - n + 1 = $ {\frac{{365!}}{{(365-n)!}}}$.
Donc p(Dn) = $\displaystyle {\frac{{365!}}{{(365-n)!*365^n}}}$ = $\displaystyle {\frac{{364!}}{{(365-n)!*365^{n-1}}}}$,
et donc p(n) = 1 - p(Dn) = $\displaystyle {\frac{{(365-n)!*365^n-365!}}{{(365-n)!*365^n}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(365-n)!*365^{n-1}-364!}}{{(365-n)!*365^{n-1}}}}$.
Avec xcas on peut définir p(n) on tape :
p(n):=1-factorial(364)/(factorial(365-n)*365^(n-1))

3/ Calculons avec xcas, on tape :
evalf(perm(365,19)/365^19)
On obtient :
0.588561616419
donc p(D20) $ \simeq$ 0.588561616419 et
p(20) $ \simeq$ (1 - 0.588561616419) $ \simeq$0.411438383581
Ou on tape :
evalf(p(20))
On obtient :
0.411438383581
On tape :
evalf(perm(364,22)/365^22)
On obtient :
0.492702765676
donc p(D23) $ \simeq$ 0.492702765676 et
p(25) $ \simeq$ (1 - 0.492702765676) $ \simeq$0.507297234324
Ou on tape :
evalf(p(23))
On obtient :
0.507297234324
On tape :
evalf(perm(365,29)/365^29)
On obtient :
0.293683757281
donc p(D30) $ \simeq$ 0.293683757281 et
p(30) $ \simeq$ (1 - 0.293683757281) $ \simeq$0.706316242719
Ou on tape :
evalf(p(30))
On obtient :
0.706316242719
Ce qui veut dire que dans une assemblée de 20 personnes il y a 4 chances sur 10 pour que 2 personnes aient le même anniversaire, que dans une assemblée de 23 personnes il y a 1 chance sur 2 pour que 2 personnes aient le même anniversaire et que dans une assemblée de 30 personnes il y a 7 chances sur 10 pour que 2 personnes aient le même anniversaire !!!!
Pour calculer p(367), on n'a pas besoin de xcas car :
p(367) = 1 puisqu'il n'y a que 365 dates possibles (ou 366 ...) parmi les 367 personnes et donc deux personnes au moins ont forcément le même anniversaire.

4/ On va utiliser le tableur pour chercher p(20)..p(30), pour cela on tape dans A0..A10 les valeurs de p(D20)..p(D30) :
=evalf(perm(365,20+Row())/365^(20+Row()))
et dans B0 ..B10 les valeurs de p(20)..p(30) :
=1-A0
Puis, on remplit les colonnes A et B avec ces formules à l'aide du bouton remplir (option vers le bas).
On rapelle que pour avoir la valeur d'une cellule dans la ligne de commande, on doit appuyer sur le bouton eval.
On obtient :
B2=0.475695307663 et B3=0.507297234324
donc n = 23 car on a :
p(23) = 0.507297234324 > 0.5 et
pour n = 22 p(22) = 0.475695307663 < 0.5.
On peut aussi taper dans C0 :
=20+count_inf(0.5,B0:B10)
car on sait que 20 < n < 30 et que coun_inf(0.5,B0:B10) est la fonction qui compte le nombre d'éléments stricrement inférieurs à 0.5 dans la colonne B (de B0 à B10).
On a mis 20 car il a 19+count_inf(0.5,B0:B10) valeurs stricrement inférieures à 0.5 et donc 20+count_inf(0.5,B0:B10) est la première valeur supérieure ou égale à 0.5.
On obtient dans C0 :
23
On remarqera que :
B21=0.903151611482
Ce qui veut dire que dans une assemblée de 41 personnes il y a 9 chances sur 10 pour que 2 personnes aient le même anniversaire !!!!

5/ On peut dessiner l'évolution des p(n) en fonction de n lorsque n varie entre 20 et 50. Il suffit poir cela de rajouter une colonne entre A et B on met B0 en surbrillance et on appuie sur c+. La colonne B devient C, et une colonne B est créée.
On tape alors 0 dans B0, puis dans B1 on met =B0+1 puis on remplit la colonne B avec cette formule.
Il suffit maintenant de mettre en surbrillance B0:C30 puis d'ouvrir le menu 2d et de choisir Scatterplot pour voir les différents points dans l'écran de géométrie (changer la configuration du graphique pour voir tous les points).


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve