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Réduction de Givens

Soit A une matrice symétrique. On va chercher G1 une matrice de rotation associée à e1, e2 pour annuler les coefficients 2, 0 et 0, 2 de tG1*A*G1.
Regardons un exemple :
G1:=[[1,0,0,0,0],[0,cos(t),-sin(t),0,0],[0,sin(t),cos(t),0,0],
[0,0,0,1,0],[0,0,0,0,1]]
A:=[[a,b,c,d,e],[b,f,g,h,j],[c,g,k,l,m],[d,h,l,n,o],[e,j,m,o,r]]
On obtient :
tG1 = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right]$, A = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b&f&g&h&j\\
c&g&k&l&m\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b&f&g&h&j\\
c&g&k&l&m\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b&f&g&h&j\\
c&g&k&l&m\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}}\right]$
On a :
tG1*A = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b&f&g&h&j\\
c&g&k&l&m\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b\cos(t)+c\sin(t)&f\cos(t)+g\sin(t)&..&..&....
...t)+c\cos(t)&-f\sin(t)+g\cos(t)&..&..&..\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b&c&d&e\\
b&f&g&h&j\\
c&g&k&l&m\\
d&h&l&n&o\\
e&j&m&o&r
\end{array}}\right]$
On choisit t pour que - b sin(t) + c cos(t) = 0 par exemple :
cos(t) = b/$ \sqrt{(}$b2 + c2) et sin(t) = c/$ \sqrt{(}$b2 + c2).
On a :
G1 : = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right]$
et donc puisqu'on a choisit - b sin(t) + c cos(t) = 0, on a bien annuler les coefficients 2, 0 et 0, 2 de :
tG1*A*G1 = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b\cos(t)+c\sin(t)&-b\sin(t)+c\cos(t)&d&...
...sin(t)+c\cos(t)&..&..&..&..\\
d&..&..&n&o\\
e&..&..&o&r
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
a&b\cos(t)+c\sin(t)&-b\sin(t)+c\cos(t)&d&e\\
b\cos(t)+c...
...\\
-b\sin(t)+c\cos(t)&..&..&..&..\\
d&..&..&n&o\\
e&..&..&o&r
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
a&b\cos(t)+c\sin(t)&-b\sin(t)+c\cos(t)&d&...
...sin(t)+c\cos(t)&..&..&..&..\\
d&..&..&n&o\\
e&..&..&o&r
\end{array}}\right]$
Puis on annule les coefficients 0, 3 et 3, 0 de l la matrice A1 obtenue en formant tG2*A1*G2 avec :
G2 : = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrrrr}
1&0&0&0&0\\
0&\cos(t)&\sin(t)&0&0\\
0&-\sin(t)&\cos(t)&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1
\end{array}}\right]$ en choissant correctement t etc...

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve