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Résultant de deux polynômes : resultant

resultant a comme arguments deux polynômes.
resultant renvoie le résultant des deux polynômes.
Le résultant est le dernier reste non nul de l'algorithme d'Euclide et c'est aussi le déterminant de la matrice S de Sylvester.
Pour les deux polynômes A(x) = $ \sum_{{i=0}}^{{i=n}}$aixi et B(x) = $ \sum_{{i=0}}^{{i=m}}$bixi, la matrice S de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom m + n dont les m premières lignes sont composées à partir des coefficients de A(x) :

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{ccccccc}
s_{11}=a_n & s_{12}=a_{n-1...
...ots & s_{m(n+1)}=a_{m-1} & s_{m(n+2)}=a_{m-2} & \cdots&a_0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccccc}
s_{11}=a_n & s_{12}=a_{n-1}& \cdots & s_{1...
...}=0& \cdots & s_{m(n+1)}=a_{m-1} & s_{m(n+2)}=a_{m-2} & \cdots&a_0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}
s_{11}=a_n & s_{12}=a_{n-1...
...ots & s_{m(n+1)}=a_{m-1} & s_{m(n+2)}=a_{m-2} & \cdots&a_0
\end{array}}\right)$

et les n lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de B(x) :

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{array}{ccccccc}
s_{(m+1)1}=b_m & s_{(m+1)2...
...}=0& \cdots & s_{(m+n)(m+1)}=b_{n-1} & b_{n-2} &\cdots&b_0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccccccc}
s_{(m+1)1}=b_m & s_{(m+1)2}=b_{m-1}& \cdot...
..._{(m+n)2}=0& \cdots & s_{(m+n)(m+1)}=b_{n-1} & b_{n-2} &\cdots&b_0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}
s_{(m+1)1}=b_m & s_{(m+1)2...
...}=0& \cdots & s_{(m+n)(m+1)}=b_{n-1} & b_{n-2} &\cdots&b_0
\end{array}}\right)$

On tape :
resultant(x^3-p*x+q,3*x^2-p,x)
On obtient :
-4*p^3-27*q^2
Remarque
On a : discriminant(P)=resultant(P,P').

Un exemple d'utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de centre F1 et de rayon 2a. On veut trouver l'équation cartésienne du lieu des points M intersection de F1A et de la médiatrice de F2A : on a MF1 + MF2 = MF1 + MA = F1A = 2a donc M décrit une ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a.
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d'axe Ox porté par le vecteur $ \overrightarrow{F1F2}$. On a :
A = (2a cos($ \theta$);2a sin($ \theta$)) où $ \theta$ est l'angle (Ox, OA). On choisit comme paramètre t = tan($ \theta$/2) pour que les coordonnées de A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A = (ax;ay) = (2a$\displaystyle {\frac{{1-t^2}}{{1+t^2}}}$;2a$\displaystyle {\frac{{2t}}{{1+t^2}}}$)
On pose F1F2 = 2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2 = (2c, 0) et
I = (c + ax/2;ay/2) = (c + a$\displaystyle {\frac{{1-t^2}}{{1+t^2}}}$;a$\displaystyle {\frac{{2t1-t^2}}{{1+t^2}}}$)
IM est perpendiculaire à AF2 donc M = (x;y) vérifie l'équation eq1 = 0 avec :
eq1 : = (x - ix)*(ax - 2*c) + (y - iy)*ay
M = (x;y) est sur F1A donc M vérifie l'équation eq2 = 0 avec :
eq2 : = y/x - ay/ax
On a :
resultant(eq1,eq2,t) est un polynôme eq3 en x et y, eq3 est indépendant de t et il existe des polynômes en t, U et V tels que : U(t)*eq1 + V(t)*eq2 = eq3.
On tape :
ax:=2*a*(1-t^2)/(1+t^2);ay:=2*a*2*t/(1+t^2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=(x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay
eq2:=y/x-ay/ax
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
-(64 . (x^2+y^2) . (x^2 . a^2-x^2 . c^2+-2 . x . a^2 . c+2 . x . c^3-a^4+
2 . a^2 . c^2+a^2 . y^2-c^4))

Le facteur -64 . (x^2+y^2) ne s'annule jamais donc l'équation du lieu est :

x2a2 - x2c2 + -2xa2c + 2xc3 - a4 +2a2c2 + a2y2 - c4 = 0

En prenant l'origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve l'équation cartésienne de l'ellipse. Pour faire ce changement d'origine, on a $ \overrightarrow{F1M}$ = $ \overrightarrow{F1O}$ + $ \overrightarrow{OM}$, donc on tape :
normal(subst(x^2 . a^2-x^2 . c^2+-2 . x . a^2 . c+2 . x . c^3-a^4+
2 . a^2 . c^2+a^2 . y^2-c^4,[x,y]=[c+X,Y]))

On obtient :
-c^2*X^2+c^2*a^2+X^2*a^2-a^4+a^2*Y^2
ou encore si on pose b2 = a2 - c2
normal(subst(-c^2*X^2+c^2*a^2+X^2*a^2-a^4+a^2*Y^2,c^2=a^2-b^2))
On obtient :
-a^2*b^2+a^2*Y^2+b^2*X^2
c'est à dire après division par a2b2, M vérifie l'équation :

$\displaystyle {\frac{{X^2}}{{a^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{Y^2}}{{b^2}}}$ = 1

Un autre exemple d'utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de centre F1 et de rayon 2a. On veut trouver l'équation cartésienne de l'enveloppe de la médiatrice D de F2A (on sait que la médiatrice de F2A est tangente à l'ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a).
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d'axe Ox porté par le vecteur $ \overrightarrow{F1F2}$. On a :
A = (2a cos($ \theta$);2a sin($ \theta$)) où $ \theta$ est l'angle (Ox, OA). On choisit comme paramètre t = tan($ \theta$/2) pour que les coordonnées de A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A = (ax;ay) = (2a$\displaystyle {\frac{{1-t^2}}{{1+t^2}}}$;2a$\displaystyle {\frac{{2t}}{{1+t^2}}}$)
On pose F1F2 = 2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2 = (2c, 0) et
I = (c + ax/2;ay/2) = (c + a$\displaystyle {\frac{{1-t^2}}{{1+t^2}}}$;a$\displaystyle {\frac{{2t1-t^2}}{{1+t^2}}}$)
D est perpendiculaire à AF2 donc D a pour équation : eq1 = 0 avec :
eq1 : = (x - ix)*(ax - 2*c) + (y - iy)*ay
L'enveloppe de D est donc le lieu de M intersection de D et de D' d'équation eq2 = 0 avec eq2 : = diff (eq1, t).
On tape :
ax:=2*a*(1-t^2)/(1+t^2);ay:=2*a*2*t/(1+t^2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=normal((x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay)
eq2:=normal(diff(eq1,t))
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
(-(64 . a^2)) . (x^2+y^2) . (x^2 . a^2-x^2 . c^2+-2 . x . a^2 . c+2 . x . c^3-
a^4+2 . a^2 . c^2+a^2 . y^2-c^4)

Le facteur -64 . (x^2+y^2) ne s'annule jamais donc l'équation du lieu est :
x2a2 - x2c2 + -2xa2c + 2xc3 - a4 +2a2c2 + a2y2 - c4 = 0
En prenant l'origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve comme précédemment l'équation cartésienne de l'ellipse :

$\displaystyle {\frac{{X^2}}{{a^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{Y^2}}{{b^2}}}$ = 1


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve