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Supposons que l'on fasse faire à un groupe de personnes l'expérimentation
de la quatrième méthode (on recoupe le plus grand morceau).
Lorsqu'une personne efféctue l'expérience la
première cassure (celle qui détermine x) se fera en général entre
h et 1 - h : h étant l'emplacement des doigts. On suppose ensuite que
l'emplacement des doigts nécessaire pour faire la cassure est proportionnel
à la longueur donc si y se trouve sur [0, x[ la cassure se fera sur
[hx, x - xh[.
On écrit donc la fonction suivant dépendant de n nombre
d'expériences et h l'emplacement des doigts.
spagex(n,h):={
local x,y,a,b,t;
t:=0;
for (k:=1;k<=n;k++){
x:=evalf(rand(2^30)/2^30);
x:=h+x*(1-2*h);
if (x>0.5){
y:=h*x+evalf(rand(2^30)/2^30)*x*(1-2*h);
a:=y;
b:=x-y;
} else {
y:=(1-x)*h+evalf(rand(2^30)/2^30)*(1-x)*(1-2*h)+x;
a:=x;
b:=y-x;
}
if ((a<0.5) and (b<0.5) and (a+b>0.5)) {
t:=t+1;
}
}
return(evalf(t/n));
};
On trouve pour n = 30 et h = 0.08 :
0.6
On trouve pour n = 3000 et h = 0.08 :
0.626666666667
On trouve pour n = 3000 et h = 0.1 :
0.561
On trouve pour n = 300 et h = 0.1 :
0.535666666667
On trouvera dans le répertoire simulation, les valeurs du couple
[x, y] trouvées lors de l'exécution de spag4(100) dans le fichier
Asim et, les valeurs du couple [x, y] trouvées lors de l'exécution
de spagex(100,0.1) dans le fichier Aex. Bien sûr, on doit rajouter
dans ces deux programmes une variable globale dans laquelle on engrange les
valeurs de [x, y].
Le calcul théorique de la probabilité d'obtenir un triangle est alors :
(
12
dx +
12
12-2hdx +
12-2h1-h
dx)
ce qui donne la formule :
(ln(2(1 - h)2) +
.
En effet,
- quand
h < x <
, on choisit y dans
]x + (1 - x)*h;1 - (1 - x)*h[ (segment de longueur
(1 - x)*(1 - 2*h)) on aura un triangle si
< y < x +
(segment de longueur x),
- quand
< x <
, on choisit y dans
]h.x;x - h.x[ on est sûr d'avoir un triangle car
y < x - h*x <
,
- quand
< x < 1 - h, on choisit y dans
]h.x;x - h.x[ (intervalle de longueur x(1 - 2h)) on aura un
triangle si
- x < y <
(intervalle de longueur 1 - x).
d'ou les trois intégrales qu'il faut diviser par 1 - 2h car on choisit x
dans ]h;1 - h[ (intervalle de longueur 1 - 2h)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve