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Les lieux géométriques
L'instruction lieu permet de tracer le lieu d'un point M, lorsque
ce point M est fonction d'un point P pouvant se déplacer sur un
objet géométrique G et si on a défini P par
P:=element(G)).
Remarque :
Il faut que les paramètres de lieu soient des noms de variables.
Donc pour obtenir le lieu d'un point M, il faut avoir défini
ce point par par une affectation à un nom de variable, par exemple
M:=....
On écrit alors :
lieu(M,P)
Exemple 1 :
Lieu du centre de gravité du triangle ABC quand A se déplace
sur une parallèle à BC.
Ici on cherche le lieu du centre de gravité du triangle PBC lorsque P
se déplace sur la parallèle à BC passant par A.
On clique pour obtenir trois points A, B, C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C));
P:=element(D);
G:=isobarycentre(P,B,C);
lieu(G,P);
lieu(G,P) trace le lieu du point G en fonction de P.
Si l'on veut pouvoir animée la figure on tape la liste des instructions
qui se trouve dans le fichier lieu1, on clique pour obtenir
trois points A, B, C puis, on fait
Charger session du
menu Fich de xcas et on selectionne lieu1 du répértoire
examples/geo pour exécuter ce fichier) :
Ou on clique pour créer trois points A, B, C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C));
t:=element(-5..5)
P:=element(D,t);
G:=isobarycentre(P,B,C);
lieu(G,P);
ainsi lorsqu'on déplace la barre verticale indiquant la valeur de t,
on voit se déplacer les deux points P et G simultanément.
Exemples 2 et 3 :
Soient deux points A et B et C1 le cercle
de diamètre A B. Soit O le centre de ce cercle et C un point variable de ce cercle.
Soit N l'intersection de la tangente en C
à C1 avec la parallèle à AC passant par O.
Trouver le lieu de N quand C varie.
La liste des instructions pour trouver ce lieu se trouve dans le
fichier lieu2, on clique pour obtenir deux points A, B puis, on
fait Charger session du
menu Fich de xcas et on selectionne lieu2 du répértoire
examples/geo pour exécuter ce fichier.
Ou on clique pour créer deux points A, B et on tape :
C1:=cercle(A,B);
O:=milieu(A,B);
C:=element(C1);
T:=tangent(C1,C);
D2:=parallele(O,droite(A,C));
M:=inter(T,D2);
N:=M[0];
lieu(N,C);
Attention M est une liste ayant un seul élément et
on ne peut pas écrire lieu(M[0],C) car M[0] n'est pas un nom de
variable.
On peut aussi écrire des instructions sans utiliser la fonction
tangent et en rajoutant t:=element(0..2*pi); (c'est le fichier
lieu3) :
On clique pour créer deux points A, B.
C1:=cercle(A,B);
O:=milieu(A,B);
t:=element(0..2*pi);
C:=element(C1,t);
D1:=perpendiculaire(C,droite(O,C));
D2:=parallele(O,droite(A,C));
M:=inter(D1,D2);
N:=M[0];
lieu(N,C);
Les triangles NOC et NOB sont égaux car leurs angles
sont
égaux à l'angle
et à l'angle
.
Donc NB est perpendiculaire à AB.
La réciproque est évidente car si N se trouve sur la perpendiculaire
à AB en B, on méne par N l'autre tangente au cercle pour
définir le point C.
Les triangles rectangles NOC et NOB sont
égaux et donc ON est parallèle à AC.
Exemple 4 :
Une droite variable D1 coupe les cotés AB,AC,BC du triangle
ABC en D,E,M.
Les cercles circonscrits aux triangles BDM et ECM se coupent en
P et M. Trouver le lieu de P quand D1 varie.
On peut faire éxécuter le fichier lieu4 (on clique pour obtenir trois points A, B, C puis on fait Charger session du
menu Fich de xcas et on selectionne lieu4 du répértoire
examples/geo pour exécuter ce fichier) ou,
on clique pour obtenir trois points A, B, C et on tape :
Triangle(A,B,C);
u:=element(-4..4);
M:=element(droite(B,C),u);
D:=element(droite(A,B));
D1:=droite(D,M);
E:=(inter(droite(A,C),D1))[0];
C1:=circonscrit(B,D,M);
C2:=circonscrit(E,C,M);
L:=inter(C1,C2);
if (affixe(L[0])==affixe(M)) {Q:=L[1];} else {Q:=L[0];};
P:=Q;
lieu(P,M);
On remarquera que l'on est obligé d'utiliser un point intermédiaire Q
pour pouvoir définir P par une affectation.
Le lieu de P est le cercle circonscrit au triangle ABC car l'angle
l'angle
du triangle PBC est égal à l'angle
du triangle ABC en écrivant des égalités d'angles inscrits.
Exemple 5 :
Lieu de l'orthocentre du triangle ABC quand A se déplace
sur une parallèle à BC.
Ici on cherche le lieu de l'orthocentre du triangle MBC lorsque M
se déplace sur la parallèle à BC passant par A.
On peut faire éxécuter le fichier lieu5 (on clique pour obtenir
trois points A, B, C puis, on fait Charger session du
menu Fich de Xcas et on selectionner lieu5 du répértoire
examples/geo pour exécuter ce fichier) ou,
on clique pour obtenir trois points A,B,C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C));
M:=element(D);
H:=(inter(perpendiculaire(M,droite(C,B)),
perpendiculaire(C,droite(M,B))))[0] ;
lieu(H,M);
Le lieu est une parabole passant par B et C et de sommet S
orthocentre du triangle isocèle PBC (P sur la médiatrice de
BC et sur la droite D. On peut à la main avoir assez facilement
l'équation de cette parabole ...mais trouver ce lieu en géométrie pure
est plus difficle!
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve