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n est une puissance de 3

On suppose que n = 3k, et on montre par récurrence sur k que R(3k) = 3k et que R(3k) n'est pas un multiple de 3k+1.
Pour k = 1, on a x1 = 1 et x2 = 11 ne sont pas divisibles par 3 et x3 = 111 est divisible par 3 et x3 n'est pas divisible par 9.
supposons la propriété vraie pour k-1, R(3k-1 = 3k-1 Posons b = R(3k-1) = 3k-1 et c = R(3k). Par hypothèse de récurrence xb est divisible par b et xc est divisible par 3*b donc par b. Ainsi, d'après la réciproque de la propriété 0, c est un multiple de R(b) = b : c = q*b
En mettant xb en facteur dans xc, on a :
xc = xb(10(q-1)b + ... +10b + 1)
xb est divisible par 3k-1 mais pas par 3k
xc est divisible par 3k donc 10(q-1)b + ... + +10b + 1 est divisible par 3, donc comme 10m = 1  mod 3, on en déduit que q = 0  mod 3, et comme c est le plus petit possible q = 3 et c = q*b = 3*b.
Donc xc = xb(102*b +10b + 1) est divisible par 3k mais pas par 3k+1 car 102*b +10b + 1) n'est pas divisible par 3 ( 10m = 1  mod 9 donc 102*b +10b +1) = 3  mod 9)

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve