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Construction d'un corps de Galois : GF
GF a comme arguments un nombre premier p et un entier n > 1.
GF crée un corps de Galois de caractéristique p et ayant pn
éléments.
Les éléments de ce corps et le corps lui-même sont représentés par
GF(...) où ... est une séquence composée de :
- la caractéristique p (px = 0),
- le polynôme minimal irréductible et primitif engendrant un
idéal I dans
/p
[X], le corps de Galois est alors le quotient
de
/p
[X] par I,
- le nom de la variable du polynôme, par défaut x,
- un polynôme (un reste modulo le polynôme minimal) pour désigner
un élément du corps (ces éléments ont une représentation additive)
ou undef pour désigner tout le corps qui est le quotient des
polynômes à coefficients dans Z/pZ par I.
Habituellement on donne un nom au corps crée (par exemple G:=GF(p,n)),
afin de construire un élément particulier du groupe à partir d'un
polynôme de
/p
[X], on écrira par
exemple G(x^
3+x). Notez que G(x)
est un générateur du groupe multiplicatif G*.
On tape :
G:=GF(2,8)
On obtient :
GF(2,x^
8-x^
6-x^
4-x^
3-x^
2-x-1,x,undef)
Le corps G a 28 = 256 éléments et x engendre le groupe
multiplicatif de ce corps (
{1, x, x2,...x254}).
On tape :
G(x^
9)
On obtient :
GF(2,x^
8-x^
6-x^
4-x^
3-x^
2-x-1,x,x^
7+x^
5+x^
4+x^
3+x^
2+x)
en effet
x8 = x6 + x4 + x3 + x2 + x + 1 donc
x9 = x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + x.
On tape :
G(x)^
255
On obtient l'unité :
GF(2,x^
8-x^
6-x^
4-x^
3-x^
2-x-1,x,1)
Comme vous pouvez le constater sur les exemples précédents, lorsque l'on
travaille avec le même corps, les réponses
contiennent des informations redondantes. C'est pourquoi la définition d'un
corps peut avoir un troisième argument : une liste contenant deux noms
de variable formelle, (le nom de l'indéterminée du polynôme
irréductible et le nom du corps de Galois que l'on doit mettre entre quote
pour que ces variables ne soient pas évaluées). Cela permet d'obtenir un
affichage plus compact des éléments du corps.
On tape :
G:=GF(2,2,['w','G']):; G(w^
2)
On obtient :
Done, G(w+1)
On tape :
G(w^
3)
On obtient :
G(1)
Les éléments de GF(2,2) sont donc :
0,1,w,w^
2=w+1.
On peut enfin indiquer quel polynôme irréductible primitif on souhaite
utiliser, en l'indiquant en 2-ième paramètre (au lieu de n),
par exemple :
G:=GF(2,w^8+w^6+w^3+w^2+1,['w','G'])
Si on donne un polynôme non primitif, Xcas le remplace par un
polynôme primitif, par exemple :
G:=GF(2,w^8+w^7+w^5+w+1,['w','G'])
On obtient :
G:=GF(2,w^8-w^6-w^3-w^2-1,['w','G'],undef)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve