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La démonstration du théorème avec Xcas

On prend comme paramètres a1 et b1 qui représentent le tiers des angles A et B du triangle ABC.
Quitte à faire une similitude, on peut choisir A à l'origine du repère et B au point d'affixe 1, le point C a alors comme affixe :

$\displaystyle {\frac{{\tan(3*b1)}}{{\tan(3*a1)+\tan(3*b1)*(1+i*\tan(3*a1))}}}$

P a pour son affixe :

$\displaystyle {\frac{{\tan(b1)}}{{\tan(a1)+\tan(b1)*(1+i*\tan(a1))}}}$

Ces affixes seront calculées par Xcas car on peut définir C et P comme intersection de droites :
P:=(inter(droite(0,1+i*texpand(tan(a1))),
droite(1,i*texpand(tan(b1)))))[0];

C:=(inter(droite(0,1+i*texpand(tan(3*a1))),
droite(1,i*texpand(tan(3*b1)))))[0];

Q et R sont définis comme intersection de droites.
On écrit le fichier demomorley1 :
assume(a1=0.3);
assume(b1=0.4);
A:=point(0);
B:=point(1);
C:=point(texpand(tan(b1*3)/(tan(a1*3)+
                 tan(b1*3))*(1+i*tan(a1*3))));
P:=point(texpand(tan(b1)/(tan(a1)+
                 tan(b1))*(1+i*tan(a1))));
R:=(inter(droite(0,1+i*texpand(tan(2*a1))),
      droite(C,C+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-b1)))))[0];
Q:=(inter(droite(1,i*texpand(tan(2*b1))),
      droite(C,C+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*b1)))))[0];
triangle(A,R,C);
triangle(B,Q,C);
triangle(A,P,B);
triangle(P,Q,R);
pq:=longueur2(P,Q);
pr:=longueur2(P,R);
qr:=longueur2(Q,R);
[normal(pq-pr),normal(pq-qr)];
On obtient lors de l'execution de demomorley1 ( faire Charger session du menu Fich de xcas et selectionner demomorley1 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier):
[0,0]
ce qui prouve que le triangle PQR est équilatéral.
On peut aussi facilement définir U, V et W et prouver avec Xcas que les triangles UQR, VPR et WQP sont isocèles en transformant demomorley1 en demomorley2 :
assume(a1=0.3); 
assume(b1=0.4);
A:=point(0);
B:=point(1);
C:=point(texpand(tan(b1*3)/(tan(a1*3)+
                 tan(b1*3))*(1+i*tan(a1*3))));
P:=point(texpand(tan(b1)/(tan(a1)+
                 tan(b1))*(1+i*tan(a1))));
R:=(inter(droite(0,1+i*texpand(tan(2*a1))),
      droite(C,C+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-b1)))))[0];
Q:=(inter(droite(1,i*texpand(tan(2*b1))),
      droite(C,C+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*b1)))))[0];
U:=point(texpand(tan(2*b1)/(tan(2*a1)+
                 tan(2*b1))*(1+i*tan(2*a1))));
W:=(inter(droite(0,1+i*texpand(tan(a1))),
      droite(C,C+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*b1)))))[0];
V:=(inter(droite(1,i*texpand(tan(b1))),
       droite(C,C+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-b1)))))[0];
triangle(A,R,C);
triangle(B,Q,C);
triangle(A,P,B);
triangle(P,Q,R);
triangle(P,Q,W);
triangle(P,V,R);
triangle(U,Q,R);
pq:=longueur2(P,Q);
pr:=longueur2(P,R);
qr:=longueur2(Q,R);
ur:=longueur2(U,R);
uq:=longueur2(U,Q);
vr:=longueur2(V,R);
vp:=longueur2(V,P);
pw:=longueur2(P,W);
qw:=longueur2(Q,W);
[normal(pq-pr),normal(pq-qr),normal(uq-ur),normal(vp-vr),
   normal(pw-qw)];
On obtient lors de l'execution de demomorley2 :
[0,0,0,0,0]
ce qui prouve que le triangle PQR est équilatéral et que les triangles UQR, VPR et WPQ sont isocèles.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve