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Le théorème

Théorème :
Soit Pn une suite de polynômes de degré n vérifiant Pn(- 1) $ \neq$ 0.
À Pn, on associe les coefficients cn, k pour 0 $ \leq$ k < n définis par :
$\displaystyle {\frac{{P_n(-1)-P_n(x)}}{{1+x}}}$ = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{n-1}}$cn, kxk
et le coefficient dn défini par :
dn = Pn(- 1)

Soient S = $ \sum_{{k=0}}^{\infty}$(- 1)kak et Sn = $\displaystyle {\frac{{1}}{{d_n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{n-1}}$cn, kak
Alors :
| S - Sn| $\displaystyle \geq$ $\displaystyle {\frac{{sup_{x \in [0,1]} \vert P_n(x)\vert}}{{\vert d_n\vert}}}$S
On a, en effet, avec l'hypothèse faite sur les ak :
S = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x}}}$d$\displaystyle \mu$ et
S - Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{P_n(x)}}{{d_n(1+x)}}}$d$\displaystyle \mu$


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve