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Reste chinois : ichinrem, ichrem

ichinrem([a,p],[b,q]) ou ichrem([a,p],[b,q]) désigne une liste [c,lcm(p,q)] formée de deux entiers.
Le premier nombre c est tel que

$\displaystyle \forall$k $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$,    d = c + k×lcm(p, q)

l vérifie

d = a(mod p),    d = b(mod q)

Si p et q sont premiers entre eux, il existe toujours une solution d et toutes les solutions sont alors congrues modulo p*q
Exemples :
Trouver les solutions de :

$\displaystyle \tt\left \{ \begin{array}{rl} x=&3 (\bmod 5)\\
x=&9 (\bmod 13) \end{array}\right.$

On tape :
ichinrem([3,5],[9,13])
ou on tape :
ichrem([3,5],[9,13])
On obtient :
[-17,65]
ce qui veut dire que x=-17 (mod 65)
On peut aussi taper :
ichrem(3%5,9%13)
On obtient :
-17%65
Trouver les solutions de :

$\displaystyle \tt\left \{ \begin{array}{rl} x=&3 (\bmod 5)\\
x=&4 (\bmod 7) \\
x=&1 (\bmod 9)\end{array}\right.$

On tape tout d'abord :
tmp:=ichinrem([3,5],[4,7])
ou on tape :
tmp:=ichrem([3,5],[4,7])
On obtient :
[-17,35]
puis on tape
ichinrem([1,9],tmp)
ou on tape :
ichrem([1,9],tmp)
On obtient :
[-17,315]
ce qui veut dire que x=-17 (mod 315)
On peut aussi taper directement :
ichinrem([3%5,4%7,1%9])
On obtient :
-17%315

Remarque
ichrem (ou ichinrem) peut aussi être utiliser pour trouver les coefficients de polynômes qui sont connus modulo plusieurs entiers, par exemple trouver ax + b modulo 315 = 5×7×9 tel que :

$\displaystyle \tt\left \{ \begin{array}{rl} a=&3 (\bmod 5)\\
a=&4 (\bmod 7) \\
a=&1 (\bmod 9) \end{array}\right.$,    $\displaystyle \tt\left \{ \begin{array}{rl} b=&1 (\bmod 5)\\
b=&2 (\bmod 7) \\
b=&3 (\bmod 9) \end{array}\right.$

On tape :
ichrem((3x+1)%5,(4x+2)%7,(x+3)%9)
On obtient :
(-17%315× x+156%315
ce qui veut dire que a=-17 (mod 315) et b=156 (mod 315).


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve