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Tout d'abord quelques essais :
x2 = 11 est divisible par 11 (R(11) = 2)
x22 est divisible par 112 (
R(112) = 22 = 2*11)
x3 = 111 est divisible par 3 et par 37 (R(3) = 3 et R(37) = 3))
x9 = 111111111 est divisible par 9
x27 est divisible par 27 = 33 (
R(33) = 33 car
x27 = 111111111(1018 + 109 + 1) et
1018 + 109 + 1 est divisible par 3)
x6 est divisible par 7 (R(7) = 6)
x42 est divisible par 49 = 72 (
R(72) = 42 = 6*7)
x6 est divisibble par 13 (R(13) = 3 car
x6 = 3*7*11*13*37)
x6 est divisible par 21 = 3*7 (R(3*7) = 6)
On va montrer que :
0/ si p = R(n) (xp est un multiple de n avec p le plus petit possible)
alors quelque soit k,
xk*p est encore un multiple de n, et réciproquement si
xc est un multiple de n, il existe k tel que c = k*p
1/ si n est un multiple de 3 alors xn est divisible par n (p = n)
2/ si n est premier avec 30 alors p est un diviseur de n - 1
3/ si n est premier avec 10, si n = n1*n2 avec n1 et n2 premiers (
n1
n2), et si xp1 est divisible par
n1 et xp2 est divisible par n2 alors si
p = ppcm(p1, p2),
xp est divisible par n.
4/ si n = n1k alors si xp1 est divisible par n1 et si
p = p1*n1k-1 alors xp est divisible par n.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve