Il faut taper purge(a) si on a fait aupparavant assume(a>0)
Puis on tape : assume(c>0); assume(d>0)
et on pose :
cas1 (
b 2a
0)
(ie
a = d, c = b - 2a)
cas2 (
2a b
a)
(ie
d = b - a, c = - b + 2a)
cas3 (
a/2 > b 0)
(ie
d = a - 2b, c = b)
cas4 (
a > b a/2)
(ie
d = a - b, 2*c = 2*b - a)
cas5 (
b - a
0)
(ie
d = - a, c = b + a)
cas6 (
- a b
0)
(ie
c = - a - b, b = d)
cas7 (
- b a > 0)
(ie
c = - a - b, d = a)
cas8 (a > - b > 0 )
(ie
d = - b, c = a + b)
cas9 (
- b > 0 a)
(ie d = - a, b = - c)
On met dans A2 la formùule =normal(abs(A1)-A0)
Puis on recopie cette formule vers le bas (bouton remplir) et sur le
coté (menu Edit sous-menu mtrw(Editeur de matrices) et
copier->).
On obtient :
A | B | C | D | E | F | G | H | I | |
0 | d | d+c | d+2*c | 2*d+2*c | -d | -c-d | d | c+d | -d |
1 | c+2*d | c+2*d | c | 2*c+d | c+d | d | -c-d | -d | -c |
2 | c+d | d | -d-c | -d | c+2*d | c+2*d | c | -c | c+d |
3 | -d | -c-d | d | -(2*c) | d | c+d | 2*c+d | c+d | 2*c+d |
4 | -c | c | 2*d+c | 2*c+d | -c-d | -d | c+d | 2*c+d | c |
5 | c+d | 2*c+d | d+c | 4*c+d | c | -c | -c | c | -c-d |
6 | 2*c+d | c+d | -d | 2*c | 2*c+d | c+d | -d | -c-d | d |
7 | c | -c | -c | -2*c-d | c+d | 2*c+d | d+c | d | c+2*d |
8 | -c-d | -d | c+d | d | -c | c | 2*d+c | c+2*d | c+d |
9 | d | d+c | 2*c+d | 2*c+2*d | -d | -c-d | d | c+d | -d |
10 | c+2*d | 2*d+c | c | 2*c+d | d+c | d | -d-c | -d | -c |
11 | c+d | d | -c-d | -d | 2*d+c | c+2*d | c | -c | c+d |
On remarque que les colonnes se déduisent les unes des autres :
si on considère la colonne I on a
I1, I2 est égal à F0, F1 (puisque c er d jouent
le même rôle) de même,
I2, I3 est égal à B0, B1,
I3, I4 est égal à C0, C1,
I4, I5 est égal à G0, G1,
I5, I6 est égal à F0, F1,
I6, I7 est égal à A0, A1,
I7, I8 est égal à D0, D1,
I8, I9 est égal à H0, H1.
On peut donc considérer la fonction f de
2 dans
2
définie par :
f (x, y) = (y,| y| - x)
On peut montrer que f9 = id en effet :
si
A0 = {(x, y)
2, x < 0, y
0}, on pose :
A1 = f (A0),
A2 = f (A1) = f2(A0)...
A8 = f8(A0)
alors
A0, A1, A2.., A8 forment une partition de
2,
de plus si
(a, b) A0 alors
f9(a, b) = (a, b).
Avec xcas on tape :
f(L):={
return([L[1],normal(abs(L[1])-L[0])]);
};
assume(a<0);assume(b<=0)
f(f(f(f(f(f(f(f(f(([a,b])))))))))
On obtient : [a,b]
Cela prouve que la suite récurrente U définie par :
(U0, U1) = (x, y)
(Un, Un+1) = f (Un-1, Un) = (Un,| Un| - Un-1) pour n > 0
est périodique de période 9 (
Un = Un+9 pour tout n 0)).
On peut visualiser en trois temps que A0,A1...A8 forment une partition.
On tape :
for (j:=0;j<300;j:=j+1) { c:=rand(0..2); d:=rand(0..3); point(-c+i*(c+d)); point(c+d+i*(2*c+d)); point(2*c+d+i*c); point(c-i*(c+d)); }et on voit les régions A1,A2,A3,A4 sur l'écran de géométrie.
for (j:=0;j<300;j:=j+1) { c:=rand(0..2); d:=rand(0..3); point(-c-d+i*d); point(d+i*(2*d+c)); point(2*d+c+i*(c+d)); point(c+d-i*d); }et on voit les régions A5,A6,A7,A8 sur l'écran de géométrie.