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Dans Xcas, il existe déjà les fonctions qui tracent les solutions
de y' = f (x, y), ce sont :
plotode, interactive_plotode et une fonction odesolve qui calcule
la valeur numérique en un point d'une solution de y' = f (x, y) et
y(t0) = y0
Soit f une fonction continue de
[a;b]×
dans
.
On considère l'équation différentielle :
y(t0) = y0
y'(t) = f (t, y(t))
Problème de Cauchy
Soit U un ouvert de
2 et f une application continue de U dans
. On appelle solution du problème de Cauchy (E):
y(t0) = y0
y'(t) = f (t, y(t))
tout couple (I, g) où I est un intervalle contenant t0 et g est une
I-solution de (E) c'est à dire une fonction de classe
C1(I,
)
vérifiant
g(t0) = y0 et
g'(t) = f (t, g(t)) pour t
I.
Théorème de Cauchy-Lipschitz faible
Soit f, une fonction continue de
[a;b]×
dans
,
lipschitzienne par rapport à la seconde variable c'est à dire :
il existe K > 0 tel que pour tout t
[a;b] et pour tout
(y1, y2)
2,
| f (t, y1) - f (t, y2)|
K| y1 - y2|.
Alors, quel que soit
(t0, y0)
[a;b]×
, il existe une
[a;b]-solution unique au problème de Cauchy (E) que l'on appellera y.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve