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L'énoncé

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle $ \mathcal {C}$ de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle $ \mathcal {C}$ et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On note k, l, m, n, p les affixes respectives des points K, L, M, N, M, P.
1/ Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle $ \mathcal {C}$, on a | m - $ {\frac{{1}}{{2}}}$| = $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
2/ Établir les relations suivantes :
l = im et p = - im + 1 + i.
On admettra que l'on a également :
n = (1 - i)m + i et k = (1 + i)m
3/ a) Démontrer que le milieu $ \Omega$ du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle $ \mathcal {C}$.
b) Démontrer que le point $ \Omega$ appartient au cercle $ \mathcal {C}$ et préciser sa position sur ce cercle.
4/ a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.
b) Quelle est la nature du triangle $ \Omega$NK?
5/ Démontrer que le point N appzartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve