Pour n = 4, on cherche 2 points P et D avec D
par exemple sur BC (il y a donc 3 solutions selon que l'on choisit
D sur BC ou sur AC ou sur AB)
pour que chaque fils ait comme morceau ABP ou APC ou BDP ou DCP
et que ces morceaux soient de même aire à savoir le quart de l'aire de
ABC.
Avec Xcas on clique sur 3 points et on
tape dans un ècran de géométrie :
triangle(A,B,C); I:=A+(C-A)/4; dc:=parallele(I,droite(B,A)); J:=A+(C-A)/2; da:=parallele(J,droite(B,C)); P:=inter_unique(da,dc); D:=milieu(B,C); affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C), segment(P,D)],rouge) K:=B+(A-B)/2
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On tape pour vérifier :
aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,C,P)
Propriétés du point P
I est le milieu de AJ, IP est parallèle à AK
donc P est le milieu de KJ.
AP est une médiane de AKJ, KJ est parallèle à BC
donc AP est la médiane AD de ABC.
De plus P est le milieu de AD puisque J est le milieu de
AC, JP est parallèle à DC .
P est donc le barycentre des 3 points [A,2],[B,1],[C,1].
On tape pour vérifier :
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point_width_2).
Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point_width_2)
Pour n = 5, on cherche 3 points P, D et E avec D et E sur un
même côté par exemple sur BC ou D et E sur des
côtés différents par exemple D sur BC et E
par exemple sur AC (il y a donc en tout 6 solutions : 3 solutions selon
que l'on choisit D et E sur BC ou sur AC ou sur
AB et 3 solutions selon que l'on choisit D et E pas sur
BC ou pas sur AC ou pas sur AB)
pour que chaque fils ait comme morceau un triangle de sommets pris parmi
A,B,C,D,E,P
et que ces morceaux soient de même aire à savoir le cinquième de l'aire
de
ABC.
Avec Xcas on clique sur 3 points et on
tape dans un ècran de géométrie :
triangle(A,B,C); I:=A+(C-A)/5 dc:=parallele(I,droite(B,A)); J:=A+2*(C-A)/5; da:=parallele(J,droite(B,C)); P:=inter_unique(da,dc); D:=B+(C-B)/3; E:=B+2*(C-B)/3; affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C), segment(P,D),segment(P,E)],rouge) K:=B+3*(A-B)/5; affichage(barycentre([A,3],[B,1],[C,1]),point_width_2)
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On tape pour vérifier :
aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,E,P),aire(E,C,P)
Propriétés du point P
I est le milieu de AJ, IP est parallèle à AK
donc P est le milieu de KJ.
AP est une médiane de AKJ, KJ est parallèle à BC
donc AP est la médiane de ABC.
De plus P est situé au 2/5 de cette médiane de AD puisque J est situé au 2/5l de AC, JP est parallèle à DC .
Donc l'aire de PBC vaut les 3/5 de l'aire de ABC
P est donc le barycentre des 3 points [A,3],[B,1],[C,1].
On tape pour vérifier :
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point_width_2).
On voit le partage en rouge sur la figure lorsque le puits est en P.
Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit
D et E sur le même côté, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point_width_2)
Les 3 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit
D et E sur des côtés, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,2],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,2]),point_width_2)
Q:=affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,2]),point_width_2)
On voit le partage en vert sur la figure lorsque le puits est en Q.
On généralise aisément.
On montre par récurrence que le nombre de solutions pour n (n > 3) est :
(n - 2)(n - 1)/2.
En effet on cherche le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme n i.e.
on cherche le nombre de triplets
(a, b, c)
*3 vérifiant
a + b + c = n.
pour n = 3 ce nombre est 1=
(n - 2)(n - 1)/2 car (1+1+1=3)
Hypothèse de recurrence : pour n ce nombre est
(n - 2)(n - 1)/2,
pour n + 1, on cherche le nombre de
triplets d'entiers non nuls de somme n + 1 :
si a + b + c = n + 1, c'est que a + b < n + 1 car c 0
Donc le problème revient à chercher le nombre de couples (a, b) d'entiers
non nuls de somme strictement inférieure à n + 1. Par hypothèse de
recurrence, le nombre de couples (a, b) d'entiers
non nuls de somme strictement inférieure à n est
(n - 2)(n - 1)/2. Il reste
donc à comptabiliser les couples (a, b) d'entiers
non nuls de somme n : il y en n - 1 puisque a peut prendre n - 1 valeurs.
Donc le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme n + 1 est :
(n - 2)(n - 1)/2 + n - 1 = (n - 1)(n - 2 + 2)/2 = (n - 1)n/2.
On a ainsi montrer par récurrence que le nombre de solutions pour le partage
en n triangles de même aire est
(n - 2)(n - 1)/2.
Il est interessant de voir alors la disposition des différents puits les uns
par rapport aux autres : il forme un reseau triangulaire de côté n - 2
et on retrouve alors le nombre de puits avec la formule :
1 + 2 + ... + (n - 2) = (n - 2)(n - 1)/2.