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On suppose que n = 3k, et on montre par récurrence sur k que
R(3k) = 3k et que R(3k) n'est pas un multiple de 3k+1.
Pour k = 1, on a x1 = 1 et x2 = 11 ne sont pas divisibles par 3 et x3 = 111
est divisible par 3 et x3 n'est pas divisible par 9.
supposons la propriété vraie pour k-1,
R(3k-1 = 3k-1
Posons
b = R(3k-1) = 3k-1 et c = R(3k).
Par hypothèse de récurrence xb est divisible par b et
xc est divisible par 3*b donc par b. Ainsi,
d'après la réciproque de la propriété 0, c est un multiple de
R(b) = b : c = q*b
En mettant xb en facteur dans xc, on a :
xc = xb(10(q-1)b + ... +10b + 1)
xb est divisible par 3k-1 mais pas par 3k
xc est divisible par 3k donc
10(q-1)b + ... + +10b + 1 est divisible par
3, donc comme
10m = 1 mod 3, on en déduit que
q = 0 mod 3,
et comme c est le plus petit possible q = 3 et c = q*b = 3*b.
Donc
xc = xb(102*b +10b + 1) est divisible par 3k mais pas par 3k+1
car
102*b +10b + 1) n'est pas divisible par 3 (
10m = 1 mod 9 donc
102*b +10b +1) = 3 mod 9)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve