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La solution mathématique

Supposons pour commencer n = 2
Les résultats peuvent être : R = 1, 3, 5....2p + 1....
On a :
P(R2 = 1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$,
P(R2 = 3) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2^2}}}$
.... P(R2 = 2p + 1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2^{p+1}}}}$
Donc :
E(R2) = $\displaystyle \sum_{{p=0}}^{{+\infty}}$(2p + 1)$\displaystyle {\frac{{1}}{{2^{p+1}}}}$
On tape :
sum((2k+1)/2^(k+1),k,0,+infinity)
On obtient :
3
La moyenne de R2 vaut donc 1+2=3.

Peut-on généraliser ?
Dans le cas général, on tire au hasard des nombres entre 1 et n jusqu'à obtenir 1. La moyenne des sommes des nombres tirés vaut-elle 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 ?
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages parmi 1...n qu'il faut effectuer pour obtenir 1.
On a :
P(Xn = 1) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$,
P(Xn = 2) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^2}}}$ et les résultats obtenus peuvent être :
2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4,..., n + 1 qui est une liste L2 de taille n - 1 et de somme :
2 + 3 + ...n + n - 1 = (n - 1)(n + 3)/2
P(Xn = 3) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^3}}}$ et les résultats obtenus peuvent être :
2 + 2 + 1 = 5, 2 + 3 + 1 = 6, 3 + 2 + 1 = 6,...n + n + 1 qui est une liste L3 de taille (n - 1)2
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme est la somme de 2 termes et de 1 : dans ces sommes chaque nombre (2,3,...n) apparaissent autant de fois donc il y a 2(n - 1)2/(n - 1) = 2n - 2 fois 2, 2n - 2 fois 3...2n - 2 fois n et (n - 1)2 fois 1. La somme cette liste vaut donc :
(n - 1)2 + (2n - 2)(2 + 3 + ... + n) = (n - 1)2 + (n - 1)2(n + 2) = (n - 1)2(n + 3).
...... P(Xn = p) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n^p}}}$ et les résultats obtenus peuvent être : 2 + ... + 2 + 1 = 2p - 1, 2 + ... + 3 + 1 = 2p, 3 + 2 + ... + 2 + 1 = 2p,... (liste Lp de taille (n - 1)p-1)
Que vaut la somme de cette liste ?
Cette somme est composée de p*(n - 1)p-1 termes.
Cette somme est la somme :
de (n - 1)p-1 fois 1,
de (p - 1)(n - 1)p-2 fois 2
....
de (p - 1)(n - 1)p-2 fois n
donc elle vaut :
(n - 1)p-1 + (p - 1)(n - 1)p-2(2 + 3 + ... + n) =
(n - 1)p-1 + (n - 1)p-1(p - 1)(n + 2)/2 = (n - 1)p-1(1 + (p - 1)(n + 2)/2) =
(n - 1)p-1((p(n + 2) - n)/2).
Donc :
E(Rn) = $ \sum_{{p=1}}^{{+\infty}}$$ {\frac{{1}}{{n^p}}}$(n - 1)p-1(p(n + 2) - n)/2
On tape :
sum((n-1)^(p-1)/n^p*(p*(n+2)-n)/2 ,p,1,+infinity)
On obtient :
(n^2+n)/2
Donc la moyenne de Rn est égale à 1 + 2 + ...n


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve