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Équation d'une quadrique

Une forme quadratique de 4 variables X,Y,Z,T peut s'interpréter dans l'espace projectif Oxyz comme le premier membre de l'équation d'une quadrique.
Par exemple soit :
$ \tt q(x,y,z):=4*x^2+y^2+z^2-4*x*y+4*x*z-2*y*z+8*x-4*y+4*z+2$
q(x,y,z)=0 est l'équation d'une quadrique.
On associe à q la forme quadradique Q :
Q(x,y,z,t):=normal(t^2*normal(q(x/t,y/t,z/t)))
et la matrice carrée A d'ordre 4 :
A:=q2a(Q(x,y,z,t),[x,y,z,t])
On obtient :
A:=[[4,-2,2,4],[-2,1,-1,-2],[2,-1,1,2],[4,-2,2,2]]
on retrouve la forme Q à partir de A si :
v:=[x,y,z,t]
la forme quadratique est :
Q(op(v)):=normal((v*A*tran(v))[0]) ou plus simplement :
Q(op(v)):=normal(v*A*v)
on retrouve la forme Q à partir de A si :
v1:=[x,y,z,1]
q(op(v1)):=normal(v1*A*v1)
et Q(v)=0 représente une quadrique Q de l'espace projectif.
Les points doubles de Q vérifie A*tran(v)=[0,0,0,0] ie tran(v) est un élément du noyau de A.
Discussion selon le rang r de A : r:=rank(A)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve