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1/ Soit a l'affixe de A : on a donc a = 1.
Soit B le milieu de [OA] : B a donc pour affixe
b =
.
M est donc sur le cercle de centre B et de rayon
donc:
MB =
donc
| m - b| =
ou encore
| m -
| =
.
2/ Le point L se déduit de M dans la rotation de centre O et d'angle
donc l = im.
Le point P se déduit de M dans la rotation de centre A et d'angle
-
donc
p - a = - i(m - a), ou encore
p - 1 = - i(m - 1) donc
p = - im + i + 1.
On a également :
Le point N se déduit de A dans la rotation de centre M et d'angle
donc
n - m = i(a - m) ou encore
n = ia + m - im = (1 - i)m + i.
Le point K se déduit de 0 dans la rotation de centre M et d'angle
-
donc
k - m = - i(- m) ou encore k = (1 + i)m.
3/ a) Soit
l'affixe de
. On a :
= (p + l )/2 = (- im + i + 1 + im)/2 = (1 + i)/2
Le point
est donc indépendant de la position de M sur le cercle
.
b)
- b =
- 1/2 = i/2 donc
|
- b| = 1/2 ce qui
prouve que
est sur le cercle
4/ a)
NK = | k - n| = |(1 + i)m - (1 - i)m - i| = | 2im - i| = | 2i(m - 1/2)| = 2*1/2 = 1 puisque | 2i| = 2 et
que
| m - 1/2| = 1/2.
b) On a :
Le vecteur
N a pour affixe :
n -
= (1 - i)m + i - i/2 - 1/2 = (1 - i)m + i/2 - 1/2 = (1 - i)(m - 1/2)
Le vecteur
K a pour affixe :
k -
= (1 + i)m - i/2 - 1/2 = (1 + i)m - i/2 - 1/2 = (1 + i)(m - 1/2)
Puisque
(1 - i)i = 1 + i on en déduit que le vecteur
K se déduit
du vecteur
N par rotation d'angle
/2 et donc que le point
K se déduit de N par rototion de centre
et d'angle
/2.
Le triangle
NK est donc isocèle rectangle.
5/ On a
N = | n -
| = |(1 - i)(m - 1/2)| =
/2 puisque
| 1 - i| =
et que
| m - 1/2| = 1/2.
Donc N est sur le cercle de centre
et de rayon
/2.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve