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On pose :
=
et
=
.
Si R est le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC on a la relation :
En considérant les triangles APR, APB, ARC, ABC on peut montrer en utilisant les relations ci-dessus que :
PR =

=
On en déduit après différents calculs laissés au lecteur (voir les indications ci-dessous) que :
= c +
,
= b +
et
PR = 8R sin(a)sin(b)sin(c)
Indications :
1/ Pour tout x on a :
2 sin(x +
)sin(x +
) =
- cos(2x +
=
+ cos(2x) et
2 sin(x)(
- cos(2x) = 3 sin(x) - 4 sin(x)3 = sin(3x) donc
4 sin(x)sin(x +
)sin(x +
) = sin(3x).
On obtient donc en remplacant sin(3c) et sin(3b) dans :

=
l'égalité :
sin(
)sin(c +
) = sin(
)sin(b +
)
et donc
PR =
2/ si
sin(a)
0, sin(b)
0, sin(a + b)
0, le système :
a comme solution
x = a + k
, y = b - k
où k
Z.
En effet on a y = a + b - x
donc
sin(x)sin(b) = sin(a)(sin(a + b)cos(x) - cos(a + b)sin(x))
sin(x)(sin(b) + sin(a)cos(a + b)) = cos(x)sin(a)sin(a + b)
on développe cos(a + b) et on obtient :
sin(x)cos(a)sin(a + b) = cos(x)sin(a)sin(a + b)
et donc puisque
sin(a + b)
0
sin(x - a) = 0
d'ou le résultat.
Donc le système :
avec
sin(b +
)
0, sin(c +
)
0, sin(
- a)
0
a pour solutions :
= b +
+ k
et
= (c +
) - k
où k
Z.
Donc
sin(
) = sin(c +
) et donc
PR = 8*R*sin(a)*sin(b)*sin(c)
La formule etant symétrique par rapport à
a, b, c on a :
PR = 8*R*sin(a)*sin(b)*sin(c) = RQ = PQ
Le triangle PQR est donc équilatèral.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve