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Rang d'une matrice

Soit a $ \in$ R, on considère la matrice :

Ma = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr}
2a-1&a&2a-1\\
a^2+a-2&a^2-1&a-1\\
a^2+a-1&a^2+a-1&a
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr}
2a-1&a&2a-1\\
a^2+a-2&a^2-1&a-1\\
a^2+a-1&a^2+a-1&a
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
2a-1&a&2a-1\\
a^2+a-2&a^2-1&a-1\\
a^2+a-1&a^2+a-1&a
\end{array}}\right]$

1/ Pour quelles valeurs de a, la matrice Ma est-elle inversible ?
Quel est le rang de Ma ?
2/ Calculer l'inverse de Ma lorsque cela est possible.

1/ On cherche si Ma est inversible en calculant son déterminant.
On tape :
Ma:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]
d:=det(Ma)
On obtient :
2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a
On tape :
factor(d)
On obtient :
2*(a+1)*a*(a-1)^2
Donc Ma est inversible si est seulement si a $ \in$ R - { -1, 0, 1}.
Donc lorsque a $ \in$ R - { -1, 0, 1} le rang de Ma est 3.
Pour a = - 1 on tape :
A:=subst(Ma,a=-1)
On obtient :
[[-3,-1,-3],[-2,0,-2],[-1,-1,-1]]
On tape :
rank(A)
On obtient :
2
en effet :
det([[-3,-1],[-2,0]])!=0
Pour a = 0, on tape :
B:=subst(Ma,a=0)
On obtient :
[[-1,0,-1],[-2,-1,-1],[-1,-1,0]]
On tape :
rank(B)
On obtient :
2
en effet :
det([[-1,0],[-2,-1]])!=0
Pour a = 1 on tape :
C:=subst(Ma,a=1)
On obtient :
[[1,1,1],[0,0,0],[1,1,1]]
On tape :
rank(C)
On obtient :
1
en effet :
Les trois colonnes sont identiques et non nulles.
2/ On tape :
normal(inv(Ma))
On obtient :
[[1/(2*a^3-2*a),(2*a^2+2*a-1)/(2*a^3-2*a),
(-2*a^2+1)/(2*a^3-2*a)],[1/(-2*a^2+2*a),
(-2*a+1)/(2*a^2-2*a),(2*a-1)/(2*a^2-2*a)],
[(a^2+a-1)/(2*a^3-2*a),(-a^2-a+1)/(2*a^3-2*a),
(a^2-a-1)/(2*a^3-2*a)]]


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve