suivant: L'énoncé 2
monter: Énoncés sur l'identité de
précédent: Énoncés sur l'identité de
Table des matières
Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour
obtenir un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ?
Réponse niveau primaire
On peut faire une multiplication à trous :
49*......... = ..999999999
On trouve :
49*693877551 = 33999999999
Réponse niveau collège
On a
9999999999 = 109 - 1 et le résultat de la multiplication doit être de
la forme
n*109 +109 - 1 avec
0
n < 49 (ou de la forme p*109 - 1)
avec
0 < p
49).
On utilise le tableur en cherchant n pour que :
n*109 +109 - 1 soit divisible par 49.
On utilisera les commandes irem(a,b) et iquo(a,b) qui renvoient
respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de a
par b.
Pour cela on met dans la première colonne les nombres de 0 à 48, puis dans
la deuxième colonne les nombres
n*109 +109 - 1 pour n de 0 à 48.
Dans la troisième colonne on calcule le reste de la division de la deuxième
colonne par 49 et on trouve que pour n = 33 ce reste est nul.
Il reste à calculer iquo(33*10^
9+10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551
Mais cette méthode est très couteuse !
On peut aller un peu plus vite (surtout si on veut faire les calculs à la
main en remarquant que
10 = 3 mod 7 et que
100 = 2 mod 49 donc :
103 = - 1 mod 7
106 = 1 mod 7
109 = - 1 mod 7
108 = 24 = 16 mod 49
109 = 13 mod 49
13* -7 = 7 mod 49
On cherche a tel que
a*109 = 49*k + 1 = 7*p + 1.
donc
- a = 1 mod 7 et
13*a = 1 mod 49
Si a = 48 on a
13*a = - 13 = 36 mod 49
Si a = 41 on a
13*a = 13* -1 + 13* -7 = - 13 + 7 = - 6 mod 49
Si a = 34 on a
13*a = 13* -1 + 13* -7 + 13* -7 = 1 mod 49
Donc
34*109 = 1 mod 49
Il reste à calculer iquo(34*10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551
Réponse niveau TS
On a :
999999999 + 1 = 109.
On cherche p pour avoir :
p*49 = a*109 - 1 c'est à dire
1 = a*109 - p*49.
Avec Xcas on tape :
bezout_entiers(49,10^
9)
On obtient :
[306122449,-15,1]
Donc :
49*306122449 - 15*109 = 1
et puisque
49*109 -49*109 = 0, on a :
49*(109 -306122449) + (15 - 49)*109 = - 1.
Puisque
109 - 306122449 = 693877551 et
(49 - 15) = 34, on a :
49*693877551 = 34*109 - 1 = 33999999999
Pour faire les calculs à la main on écrit :
109 = 13 mod 49
donc on écrit les 2 premières équations :
0*13 + 1*49 = 49
1*13 + 0*49 = 13
puisque
49 = 3*13 + 10 on soustrait 3 fois l'équation 2 à l'équation 1 et
on obtient l'équation 3 :
-3*13 + 1*49 = 10
puisque 13 = 1*10 + 3 on soustrait l'équation 3 à l'équation 2 et
on obtient l'équation 4 :
4*13 - 1*49 = 3
puisque 10 = 3*3 + 1 on soustrait 3 fois l'équation 4 à l'équation 3 et
on obtient l'idendité de Bézout :
-15*13 + 4*49 = 1
On a
-15 = 34 mod 49 et
109 = 13 mod 49 donc
34*109 - 1 est divisible par 49.
Il reste à calculer iquo(34*10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551
suivant: L'énoncé 2
monter: Énoncés sur l'identité de
précédent: Énoncés sur l'identité de
Table des matières
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve