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Le PGCD : gcd igcd

gcd ou igcd désigne le PGCD de deux (ou de plusieurs) entiers ou rationnels (pour les polynômes voir alors 6.26.7).
On tape :
gcd(18,15)
ou
igcd(18,15)
On obtient :
3
On tape :
igcd(15/7,50/9)
ou
gcd(15/7,50/9)
On obtient :
5/63
en effet $ {\frac{{15}}{{7}}}$ = 27$ {\frac{{5}}{{63}}}$ et $ {\frac{{50}}{{9}}}$ = 70$ {\frac{{5}}{{63}}}$.
On tape :
gcd(18,15,21,36)
ou
igcd(18,15,21,36)
On obtient :
3
On tape :
gcd([18,15,21,36])
On obtient :
3
On peut aussi mettre comme paramètres deux listes de même longueur (ou une matrice ayant 2 lignes), dans ce cas gcd renvoie le PGCD des éléments de même indice (ou d'une même colonne). On tape :
gcd([6,10,12],[21,5,8])
Ou on tape :
gcd([[6,10,12],[21,5,8]])
On obtient :
[3,5,4]
On peut aussi utiliser la librairie Pari qui a une fonction gcd plus générale car pari("gcd",x,y) fonctionne aussi lorsque x et y sont rationnels et aussi lorsque x et y sont des listes ou des matrices qui n'ont pas forcément la même dimension (c'est alors le type de y qui donne le type du résultat.
On tape :
pari("gcd",5/7,50/9)
On obtient :
5/63
car $ {\frac{{5}}{{7}}}$ = 9*$ {\frac{{5}}{{63}}}$ et $ {\frac{{50}}{{9}}}$ = 70*$ {\frac{{5}}{{63}}}$ On tape :
pari("gcd", [4,3],[20,30,50,75]))
On obtient une matrice A de dimension 4×2, c'est aussi une liste de même longueur que y i.e. de longueur 4:
[[4,1],[2,3],[2,1],[1,3]]
car gcd(4, 20) = 4, gcd(3, 20) = 1, gcd(4, 30) = 2, gcd(3, 30) = 3...
Pour obtenir ce résultat avec Xcas, on doit taper 2 instructions :
gcd( [4,4,4,4],[20,30,50,75])
On obtient la première colonne de A:
[4,2,2,1]
et on tape
gcd( [3,3,3,3],[20,30,50,75])
On obtient la deuxième colonne de A :
[1,3,1,3]
: On tape :
diag(pari("gcd", [5,4,3,2],[20,30,50,75])))
ou on tape :
gcd([5,4,3,2],[20,30,50,75])
On obtient :
[5,2,1,1]
Un exemple
Déterminer le pgcd de 4n + 1 et de 5n + 3 quand n $ \in$ $ \mathbb {N}$.
On définit :
f(n):=gcd(4*n+1,5*n+3)
Puis on tape le programme essai(n) qui renvoie pour j = - n à n la liste des valeurs de j, a lorsque le pgcd de 4j + 1 et 5j + 3 est égal à a $ \neq$ 1 :
  essai(n):={
    local j,a,L; 
    L:=NULL;
    for (j:=-n;j<n;j++) {
      a:=f(j);
      if (a!=1) {
        L:=L,[j,a];
      } 
    }
    return L;
  }
Puis on tape :
essai(20)
On obtient :
[-16,7],[-9,7],[-2,7],[5,7],[12,7],[19,7]
On voit donc que 4n + 1 et 5n + 3 sont soit premiers entre eux soit leur pgcd vaut 7 lorsque n $ \in$ [- 16, - 9, - 2, 5, 12, 19] c'est à dire lorsque n = 5 + k*7.
On doit donc montrer que :
si n! = 5 + k*7 pour k $ \in$ $ \mathbb {Z}$, 4n + 1 et 5n + 3 sont premiers entre eux, et
si n = 5 + k*7 pour k $ \in$ $ \mathbb {Z}$, 4n + 1 et 5n + 3 ont 7 comme pgcd.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve