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La démonstration d'un Lemme

Les instructions pour faire cette figure se trouve dans le fichier morleylem du répértoire examples/geo.


\begin{pspicture}(-6.5000,-3.1000)(6.5000,3.1000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...
\psset{linecolor=black}
\psline(1.0000,-1.0000)(-0.4261,0.5400)
\end{pspicture}

Lemme : Soient un triangle ABC, J le point de concours de ses bissectrices intérieures et P un point de la bissectrice intérieure de l'angle A se trouvant à l'intérieur du triangle ABC alors :
J et P sont confondus si et seulement si $\displaystyle \widehat{{BPC}}$ = $\displaystyle {\frac{{(\pi+\widehat A)}}{{2}}}$.

En effet :
- si J et P sont confondus on a bien : $\displaystyle \widehat{{BJC}}$ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{{(\widehat B+\widehat C)}}{{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(\pi+\widehat A)}}{{2}}}$.
- soit P est un point de la bissectrice intérieure de l'angle A se trouvant à l'intérieur du triangle ABC et tel que $\displaystyle \widehat{{BPC}}$ = $\displaystyle {\frac{{(\pi+\widehat A)}}{{2}}}$.
On remarque que $ \widehat{{BPC}}$ = $ \pi$ - ($ \widehat{{PBC}}$ + $ \widehat{{PCB}}$) croît lorsque P s'éloigne de A en restant sur la bissectrice intérieure de l'angle A, donc si P $ \neq$ J on a soit $\displaystyle \widehat{{BPC}}$ > $\displaystyle \widehat{{BJC}}$ = $\displaystyle {\frac{{(\pi+\widehat A)}}{{2}}}$ soit $\displaystyle \widehat{{BPC}}$ < $\displaystyle \widehat{{BJC}}$ = $\displaystyle {\frac{{(\pi+\widehat A)}}{{2}}}$.
On en déduit donc que P et J sont confondus.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve