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Si on décompose B selon la méthode LU, on n'est pas obligé de faire
des échanges de lignes car les sous-matrices principales Bk d'ordre k
(obtenues en prenant les k premières lignes et colonnes de B) sont des
matrices inversibles car ce sont des matrices de formes définies positives.
On a donc :
p,L,U:=decomplu(B) avec p=[0,1..n-1] si A est d'ordre
n.
Posons D la matrice diagonale ayant comme diagonale la racine carrée de
la diagonale de U.
On a alors C=L*D et tran(C)=inv(D)*U.
Pour le montrer on utilise le théorème :
Si B=C*F avec
B symétrique, C triangulaire inférieure et F triangulaire
supérieure de même diagonale que C alors F=tran(C).
En effet on a :
B=tran(B) donc C*F=tran(C*F)=tran(F)*tran(C).
On en déduit l'égalité des 2 matrices :
inv(tran(F))*C=tran(C)*inv(F)
la première est triangulaire inférieure, et la deuxième est triangulaire
supérieure donc ces matrices sont diagonales et leur diagonale n'a que des 1
ces 2 matrices sont donc égales à la matrice unité.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve