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Volume d'une calotte sphérique

Calculer le volume d'une calotte sphérique découpée par un plan P située à une distance d du centre O d'une sphère de rayon R.

On choisit comme l'origine du repère en O et l'axe des z perpendiculaire au plan P et on pose :
x = r cos(t) donc dx = - r sin(t)dt + cos(t)dr
y = r sin(t) donc dy = r cos(t)dt + sin(t)dr
z = z donc dz = dz
donc dV = = rdr.dt.dz Donc

Volc = $\displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}$dt.$\displaystyle \int_{d}^{R}$$\displaystyle \int_{0}^{{\sqrt{R^2-z^2}}}$rdrdz

On tape :
int(1,t,0,2pi)*int(int(r,r,0,sqrt(R^2-z^2)),z,d,R)
On obtient :
2*pi*(-1/2*R^2*d-(-1)/6*d^3+1/3*R^3) Donc :

Vc = 2$\displaystyle \pi$(- $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$R2d + $\displaystyle {\frac{{1}}{{6}}}$d3 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$R3)



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve