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Estimation par un intervalle

Cas où $ \mu$ est connue
On pose Z2 = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $ \mu$)2. Alors n$\displaystyle {\frac{{Z^2}}{{\sigma^2}}}$ suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à n degrés de liberté.
Recette lorsque $ \mu$ est connue et X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$)
- On choisit $ \alpha$ (par exemple $ \alpha$ = 0.05).
- On calcule la valeur z2 = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{j=1}}^{n}$(xj - $ \mu$)2 de Z2 pour les valeurs xj de l'échantillon.
- On cherche t1 et t2, dans une table du $ \chi^{2}_{}$ pour n degrés de liberté, pour avoir :
Proba($ \chi_{n}^{2}$ < t1) = Proba(n$ {\frac{{Z^2}}{{\sigma^2}}}$ < t1) = 1 - $ \alpha$/2 et
Proba($ \chi_{n}^{2}$ < t2) = Proba(n$ {\frac{{Z^2}}{{\sigma^2}}}$ < t2) = $ \alpha$/2
Avec Xcas, on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
t1=chisquare_icdf(n,0.975)
t2=chisquare_icdf(n,0.025)
on a donc Proba(t2 < $ {\frac{{nZ^2}}{{\sigma^2}}}$ < t1) = 1 - $ \alpha$.
et puisque z2 est la valeur de Z2 pour l'échantillon on a:
Proba(nz2/t1 < $ \sigma^{2}_{}$ < nz2/t2) = 1 - $ \alpha$.
Résultat
I$\scriptstyle \alpha$ = [$ \sqrt{{nz^2/t_1}}$ ; $ \sqrt{{nz^2/t_2}}$] est un intervalle de confiance de $ \sigma$ au seuil $ \alpha$.

Cas où $ \mu$ n'est pas connue
On pose S2 = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $ \bar{X}$)2.
Alors, n$\displaystyle {\frac{{S^2}}{{\sigma^2}}}$ suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à n - 1 degrés de liberté.
Recette si $ \mu$ n'est pas connue et X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$)
- On choisit $ \alpha$ (par exemple $ \alpha$ = 0.05).
- On calcule la valeur m de $ \bar{X}$ pour l'échantillon (m est la moyenne de l'échantillon) et l'écart-type s de l'échantillon (s2 est la valeur de S2 pour l'échantillon.
- On cherche t1 et t2, dans une table du $ \chi^{2}_{}$ pour (n - 1) degrés de liberté, pour avoir :
Proba($ \chi_{{n-1}}^{2}$ < t1) = Proba(n$ {\frac{{S^2}}{{\sigma^2}}}$ < t1) = 1 - $ \alpha$/2 et
Proba($ \chi_{{n-1}}^{2}$ < t2) = Proba(n$ {\frac{{S^2}}{{\sigma^2}}}$ < t2) = $ \alpha$/2
Avec Xcas, on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
t1=chisquare_icdf(n-1,0.975)
t2=chisquare_icdf(n-1,0.025)
on a donc Proba(t2 < n$ {\frac{{S^2}}{{\sigma^2}}}$ < t1) = 1 - $ \alpha$ et puisque s2 est la valeur de S2 pour l'échantillon on a :
Proba(ns2/t1 < $ \sigma^{2}_{}$ < ns2/t2) = 1 - $ \alpha$.
Résultat
I$\scriptstyle \alpha$ = [s$ \sqrt{{n/t_1}}$ ; s$ \sqrt{{n/t_2}}$] est un intervalle de confiance de $ \sigma$ au seuil $ \alpha$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve