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Suites de Sturm : sturmseq

sturmseq a comme paramètre une expression polynômiale P ou une fraction rationnelle P/Q.
sturmseq renvoie la liste des suites de Sturm et de leur multiplicité pour P ou pour P et pour Q.
La suite de sturm R1, R2,... est obtenue à partir du facteur F sans carré de P. Pour obtenir F à partir de la décomposition de P en facteurs premiers, on élimine les termes carrés et on transforme les puissances impaires en puissances 1.
R1 est l'opposé du reste de la division euclidienne de F par F' puis, R2 est l'opposé du reste de la division euclidienne de F' par R1
....
et ainsi de suite jusqu'à ce que Rk = 0.
On tape :
sturmseq(2*x^3+2)
ou
sturmseq(2*y^3+2,y)
On obtient :
[2,[[1,0,0,1],[3,0,0],-9],1]
Le premier terme donne le PGCD des coefficients du numérateur (ici 2), le dernier terme donne le dénominateur (ici 1). Entre les deux on a la suite des polynômes [x3 +1, 3x2, - 9].
On tape :
sturmseq((12*x^3+4)/(6*x^2+3),x)
On obtient :
[4,[[3,0,0,1],[9,0,0],-81],3,[[2,0,1],[4,0],-16]]
Le premier terme donne le PGCD des coefficients du numérateur (ici 4), puis la suite de Sturm du numérateur ([[3,0,0,1],[9,0,0],-81]), puis le le PGCD des coefficient du dénominateur (ici 3), et la suite de Sturm du dénominateur ([[2,0,1],[4,0],-16]). On a la suite des polynômes [3x3 +1, 9x2, - 81] pour le numérateur et, [2x2 + 1, 4x, - 16] pour le dénominateur.
On tape :
sturmseq((x^3+1)^2,x)
On obtient :
[1,1]
En effet les termes carrés sont éliminés et F = 1.
On tape :
sturmseq(3*(3*x^3+1)/(2*x+2),x)
On obtient :
[3,[[3,0,0,1],[9,0,0],-81],2,[[1,1],1]]
Le premier terme donne le PGCD des coefficients du numérateur (ici 3),
le deuxième terme donne la suite de polynômes (ici 3x^3+1, 9x^2, -81),
le troisième terme donne le PGCD des coefficients du dénominateur (ici 2),
le quatrième terme indique la suite de polynômes du dénominateur (x+1,1).
Attention!!!!
P doit être donné par son expression symbolique et,si on tape :
sturmseq([1,0,0,1],x),
on obtient :
Bad argument type.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve