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Translation et composition de symétries centrales

On désigne par $ \mathcal {S}$O la symétrie de centre O et par $ \mathcal {T}$AB la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB}$.
Théorème Soient deux points O1 et O2 et un vecteur V, on a :
  1. $ \mathcal {S}$O2o$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {T}$2O1O2,
  2. $ \mathcal {T}$Vo$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {S}$K avec $ \overrightarrow {O_1K}$ = V/2,
  3. $ \mathcal {S}$O1o$ \mathcal {T}$V= $ \mathcal {S}$H avec $ \overrightarrow {O_1H}$ = - V/2.
En effet,
  1. Soit A un point. Posons B = $ \mathcal {S}$O1(A) et C = $ \mathcal {S}$O2(B).
    On a : $ \overrightarrow {AO_1}$ = $ \overrightarrow {O_1B}$ et, $ \overrightarrow {O_2C}$ = $ \overrightarrow {BO_2}$ donc, $ \overrightarrow {AC}$ = $ \overrightarrow {AO_1}$ + $ \overrightarrow {O_1O_2}$ + $ \overrightarrow {O_2C}$ =
    $ \overrightarrow {O_1B}$ + $ \overrightarrow {O_1O_2}$ + $ \overrightarrow {BO_2}$ =
    2$ \overrightarrow {O_1O_2}$
    Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {S}$O2o$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {T}$2O1O2

  2. Soit A un point, V un vecteur et K tel que $ \overrightarrow {O_1K}$ = V/2.
    Posons B = $ \mathcal {S}$O1(A) et C = $ \mathcal {T}$V(B).
    On a : $ \overrightarrow {AO_1}$ = $ \overrightarrow {O_1B}$,
    $ \overrightarrow {BC}$ = V et,
    $ \overrightarrow {O_1K}$ = V/2 = $ \overrightarrow {BC}$/2.
    Donc
    $ \overrightarrow {AK}$ = $ \overrightarrow {AO_1}$ + $ \overrightarrow {O_1K}$ =
    $ \overrightarrow {AO_1}$ + $ \overrightarrow {BC}$/2 et $ \overrightarrow {AC}$ = $ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow {BC}$ =
    2$ \overrightarrow {AO_1}$ + $ \overrightarrow {BC}$ = 2$ \overrightarrow {AK}$ soit
    $ \overrightarrow {AC}$ = $ \overrightarrow {AK}$ + $ \overrightarrow {KC}$ = 2$ \overrightarrow {AK}$ c'est à dire
    $ \overrightarrow {KC}$ = $ \overrightarrow {AK}$
    donc C = $ \mathcal {S}$K(A) Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {T}$Vo$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {S}$K avec $ \overrightarrow {O_1K}$ = V/2
  3. Soit A un point, V un vecteur et H tel que $ \overrightarrow {O_1H}$ = - V/2.
    Posons B = $ \mathcal {T}$V(A) et C = $ \mathcal {S}$O1(B).
    On a : $ \overrightarrow {O_1H}$ = - V/2, $ \overrightarrow{AB}$ = V et $ \overrightarrow {BO_1}$ = $ \overrightarrow {O_1C}$
    Donc
    $ \overrightarrow {AH}$ = $ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow {BO_1}$ + $ \overrightarrow {O_1H}$ =
    V + $ \overrightarrow {O_1C}$ - V/2 = $ \overrightarrow {O_1C}$ + V/2 et
    $ \overrightarrow {AC}$ = $ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow {BC}$ =
    V + $ \overrightarrow {BC}$ = V + 2$ \overrightarrow {O_1C}$ soit
    $ \overrightarrow {AC}$ = $ \overrightarrow {AH}$ + $ \overrightarrow {HC}$ = 2$ \overrightarrow {AH}$ c'est à dire
    $ \overrightarrow {HC}$ = $ \overrightarrow {AH}$
    donc C = $ \mathcal {S}$H(A) Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {S}$O1o$ \mathcal {T}$V= $ \mathcal {S}$H avec $ \overrightarrow {O_1H}$ = - V/2

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve