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Application au calcul de $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$$ {\frac{{1}}{{n^s}}}$

Prenons comme exemple la série de terme général an = $ {\frac{{1}}{{n^s}}}$ avec s > 1: pour s=2
si a(n)=1/n^2
on a :
2^k*a(2^k*m)=1/(2^k*m^2)
b(m)=1/m^2*sum(1/2^k,k,0,+infinity)=2/m^2
si
a(n)=1/n^s, 2^k*a(2^k*m)=1/(2^(k*(s-1))*m^s)
b(m)=1/m^s*sum((1/2^(s-1))^k,k,0,+infinity)
Donc :
b(m)=2^(s-1)/((2^(s-1)-1)*m^s)
pour s=2
b(m):=2/(m^2)
pour s=4
b(m):=8/(7*m^4)
On a :
sum((-1)^(m-1)*b(m),1,+infinity)=
sum((-1)^(m)*b(m+1),0,+infinity)

On choisit encore Digits:=20

pour s=2, $ \sum_{{n=1}}^{\infty}$1/n2 = $ \pi^{2}_{}$/6
On tape :
t2(m):=2/(m+1)^2
seriealt1(20,t2),evalf(pi^2/6)
On obtient :
1.64493406684822645248, 1.64493406684822643645
On tape :
seriealt2(20,t2);seriealt3(20,t2);
On obtient :
1.64493374613777534516, 1.64493406688805599300

pour s=4, $ \sum_{{n=1}}^{\infty}$1/n4 = $ \pi^{4}_{}$/90
On tape :
t4(m):=8/(7*(m+1)^4)
seriealt1(20,t4);evalf(pi^4/90)
On obtient :
1.08232323371113822384, 1.08232323371113819149
On tape :
seriealt2(20,t4);seriealt3(20,t4);
On obtient :
1.08232265198912440013, 1.08232323371697925335


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve