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La formule d'Euler Mac Laurin

La formule à l'ordre 4
On a :
$ \int_{0}^{1}$g(t)dt = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(g(0) + g(1)) + bernoulli(2)(g'(0) - g'(1)) + $ {\frac{{1}}{{4!}}}$bernoulli(4)(g(3)(0) - g(3)(1)) + $ \int_{0}^{1}$P4(t)g(4)(t)dt
P4(t) = $ {\frac{{1}}{{4!}}}$B4(t) avec
Bn(0) = bernoulli(n) et où Bn est le n-ième polynôme de Bernoulli.
La suite Pn est définie par :
P0 = 1,et pour k $ \geq$ 1 P'k = Pk-1 et $ \int_{0}^{1}$Pk(u)du = 0.
Pour la démonstration voir le fasicule Tableur, statistique à la section : Suites adjacentes et convergence de $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^k}}{{2k+1}}}$.
Théorème pour la formule des trapèzes
Si f $ \in$ $ \mathcal {C}$2p+2([a;b]), il existe des constantes c2k pour k = 0..p telles que :

I = $\displaystyle \int_{a}^{b}$f (x)dx = T(h) + c1h2 + ..cph2p + O(h2p+2)

avec

h = $\displaystyle {\frac{{b-a}}{{n}}}$ et T(h) = $\displaystyle {\frac{{h}}{{2}}}$(f (a) + f (b)) + h$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n-1}}$f (a + k . h)

On aura reconnu que T(h) est la formule des trapèzes pour le calcul de $ \int_{a}^{b}$f (x)dx avec h = $ {\frac{{b-a}}{{n}}}$.
Application de ce théorème pour la formule du point milieu
Soit un intervalle [a;a + h] de longueur h si on applique la formule du point milieu à I = $ \int_{a}^{{a+h}}$f (t)dt on a m(h) = h*f ((a + a + h)/2) et si on applique la formule des trapèzes aux intervalles [a;a + h/2] et [a + h/2, a + h] on a t(h/2) = h*(f (a) + f (a + h))/4 + h*f ((a + a + h)/2)/2 = t(h)/2 + m(h)/2 donc quand on coupe [a;b] en n intervalles de longueur h si on note M(h) la formule obtenue pour le point milieu et T(h) celle obtenue pour les trapèzes, on a :
M(h) = 2*T(h/2) - T(h)
D'après la formule d'Euler Mac Laurin :
T(h) = I - c1h2 - c2*h4 - .....cp*h2p + O(h2p+2) et donc
M(h) = I + c1/2*h2 + c2*h4*(23 -1)/23 + ...cp*h2p*(22p-1 -1)/22p-1 + O(h2p+2)
On en déduit que les termes de ces deux développements sont de signes contraires et donc si on fait le même nombre d'accélération de convergence à T(h) et à M(h) on obtiendra un encadrement de I.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve