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L'énoncé 1

Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour obtenir un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ?

Réponse niveau primaire
On peut faire une multiplication à trous :

49*......... = ..999999999

On trouve :

49*693877551 = 33999999999

Réponse niveau collège
On a 9999999999 = 109 - 1 et le résultat de la multiplication doit être de la forme n*109 +109 - 1 avec 0 $ \leq$ n < 49 (ou de la forme p*109 - 1) avec 0 < p $ \leq$ 49).
On utilise le tableur en cherchant n pour que : n*109 +109 - 1 soit divisible par 49.
On utilisera les commandes irem(a,b) et iquo(a,b) qui renvoient respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de a par b.
Pour cela on met dans la première colonne les nombres de 0 à 48, puis dans la deuxième colonne les nombres n*109 +109 - 1 pour n de 0 à 48. Dans la troisième colonne on calcule le reste de la division de la deuxième colonne par 49 et on trouve que pour n = 33 ce reste est nul. Il reste à calculer iquo(33*10^9+10^9-1,49) et on trouve :

693877551

Mais cette méthode est très couteuse ! On peut aller un peu plus vite (surtout si on veut faire les calculs à la main en remarquant que 10 = 3 mod 7 et que 100 = 2 mod 49 donc :
103 = - 1 mod 7
106 = 1 mod 7
109 = - 1 mod 7
108 = 24 = 16 mod 49 109 = 13 mod 49
13* -7 = 7 mod 49 On cherche a tel que a*109 = 49*k + 1 = 7*p + 1.
donc - a = 1 mod 7 et 13*a = 1 mod 49
Si a = 48 on a 13*a = - 13 = 36 mod 49
Si a = 41 on a 13*a = 13* -1 + 13* -7 = - 13 + 7 = - 6 mod 49
Si a = 34 on a 13*a = 13* -1 + 13* -7 + 13* -7 = 1 mod 49
Donc 34*109 = 1 mod 49
Il reste à calculer iquo(34*10^9-1,49) et on trouve :

693877551

Réponse niveau TS
On a : 999999999 + 1 = 109.
On cherche p pour avoir : p*49 = a*109 - 1 c'est à dire 1 = a*109 - p*49.

Avec Xcas on tape :
bezout_entiers(49,10^9)
On obtient :
[306122449,-15,1]
Donc :
49*306122449 - 15*109 = 1 et puisque 49*109 -49*109 = 0, on a :
49*(109 -306122449) + (15 - 49)*109 = - 1.
Puisque 109 - 306122449 = 693877551 et (49 - 15) = 34, on a :

49*693877551 = 34*109 - 1 = 33999999999

Pour faire les calculs à la main on écrit :
109 = 13 mod 49
donc on écrit les 2 premières équations :

0*13 + 1*49 = 49

1*13 + 0*49 = 13

puisque 49 = 3*13 + 10 on soustrait 3 fois l'équation 2 à l'équation 1 et on obtient l'équation 3 :

-3*13 + 1*49 = 10

puisque 13 = 1*10 + 3 on soustrait l'équation 3 à l'équation 2 et on obtient l'équation 4 :

4*13 - 1*49 = 3

puisque 10 = 3*3 + 1 on soustrait 3 fois l'équation 4 à l'équation 3 et on obtient l'idendité de Bézout :

-15*13 + 4*49 = 1

On a -15 = 34 mod 49 et 109 = 13 mod 49 donc 34*109 - 1 est divisible par 49.
Il reste à calculer iquo(34*10^9-1,49) et on trouve :

693877551


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve