2/ On tape :
1
puis :
f(ans())
puis :
enter enter enter enter
On obtient :
,
,
,
3/ On a :
vn =
On tape :
g(x):=(x-sqrt(2))/(x+sqrt(2))
Puis, on tape :
v(n):=g(u(n))
puis :
h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]
puis :
h(x)
On obtient :
(x*sqrt(2)+sqrt(2))/(-x+1)
donc
un = et
vn+1 = g(vn+1) = g(f (un)) = g(f (h(vn)))
On tape :
k:=g@f@h
puis :
normal(k(x))
On obtient :
((sqrt(2)-2)*x)/(sqrt(2)+2)
donc
vn+1 =
la suite (v) est donc une suite géométrique de raison :
(sqrt(2)-2)/(sqrt(2)+2)=2*sqrt(2)-3
puis on tape :
normal(expand(mult_conjugate(g(1))))
On obtient :
2*sqrt(2)-3
Donc :
vn = (2* -3)n
Donc on tape h(vn) :
h((2*sqrt(2)-3)^
n)
On obtient un :
((2*sqrt(2)-3)^
n*sqrt(2)+sqrt(2))/(-(2*sqrt(2)-3)^
n+1)
On sait que (v) converge vers 0 car on a :
vn = (2* -3)n et
-1 < 2*
-3 < 0.
Quand x tend vers 0, h(x) tend vers
h(0) = , donc (u) converge
vers
.
On a normal(h(x)-h(0))=(-(2*sqrt(2))*x)/(x-1)
4/ On tape :
normal(diff(h(x)))
On obtient :
(2*sqrt(2))/(x^
2-2*x+1)
On a :
pour tout n,
- | v0| = - 3 + 2
vn
3 - 2
= | v0|, donc :
-1.2 < -4 + 2
vn -1
2 - 2
< - 0.8, donc :
si
-3 + 2
x
3 - 2
,
On a
| h'(x)| < (2*)/(2 - 2*
)2 = (3*
+ 4)/2
et
| un - | = | h(vn) - h(0)| < | vn|*(3*
+4)/2 < 5*(0.2)n
On tape :
solve(5*0.2^
n<10^
-1000,n)
log 10(5) + n*log 10(0.2) < - 1000
donc
n > = 1432 > (1000 + log 10(5))/(1 - log 10(2)) > 1431