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Utiliser cette méthode pour calculer numériquement :

.
Toutes les dérivées de
f (x) = 1/(x + 1) ont un signe constant sur
[0; +
[ et tendent vers zéro à l'infini, ces dérivées sont donc
monotones et on peut donc faire plusieurs accélérations successives.
On va faire "à la main " trois accélérations successives.
On pose :
uk =
- 1-ière accélération :
vk = (- 1)k(
-
), et donc
vk = (- 1)k(
)
uk =
+
vk
- 2-ième accélération :
wk = (- 1)k(
-
), et
donc
wk = (- 1)k(
)
et comme
=
on a :
uk =
+
+
wk
- 3-ième accélération :
tk = (- 1)k(
-
), et donc
tk = (- 1)k(
)
et comme
=
on a :
uk =
+
+
+
tk
On tape :
u(k):=(-1)^
k/(k+1)
On tape :
v(k):=(-1)^
k/(2*(k+1)*(k+2))
On tape :
w(k):=(-1)^
k/(2*(k+1)*(k+2)*(k+3))
On tape :
t(k):=(-1)^
k*3/(4*(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4))
On compare
ln(2) et les valeurs obtenues pour n = 200, car on sait
que :
S =
(- 1)k
= ln(2)
0.69314718056
On tape :
serie_sum(u,0,200)
On obtient S à 5*10-3 prés (2 décimales exactes) :
0.69562855486
On tape :
1/2+serie_sum(v,0,200)
On obtient S à
1.23*10-5 prés (4 décimales exactes) :
0.693153307335
On tape :
1/2+1/8+serie_sum(w,0,200)
On obtient S à
6.1*10-8 prés (8 décimales exactes) :
0.693147210666
On tape :
1/2+1/8+1/24+serie_sum(t,0,200)
On obtient S à
4.6*10-10 prés (10 décimales exactes) :
0.693147180781
Les erreurs
Le reste d'une série alternée est du signe de son premier terme et
la valeur absolue du reste est inférieure à la valeur absolue de son
premier terme :
|
(- 1)k
| <
Au bout de la p-ième accéleration on calcule la somme de :
uk(p) = (- 1)k
et on a :
On vérifie (
ln(2)
0.69314718055995) :
0.69562855486 < ln(2) < 0.69562855486 + 1/202 = 0.70057904991
0.693153307335 < ln(2) < 0.693153307335 + 1/(2*2022) = 0.693165561036
0.693147210666 < ln(2) < 0.693147210666 + 2/(4*2023) = 0.693147271328
0.693147180781 < ln(2) < 0.693147180781 + 6/(8*2024) = 0.693147181231.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve