Correction
1/ Pour pour j > 2 et pour
t [j - 1;j[ on a
1/j2
1/t2 donc :
un = = 1 +
< 1 +
dt
donc
un < 1 - +1 = 2 -
La suite un est croissante et majorée donc elle est convergente de limite
l et on a l 2.
2/ On tape :
assume(a>0);
limit(x^
a*log(x),x=0
On obtient :
0
On tape :
ibpu(x^
a*log(x),log(x))
On obtient :
[(x^
(a+1)*log(x))/(a+1),(-(x^
(a+1)))/(a*x+x)]
On obtient :
-1/(a+1)^
2
3/ On tape :
g(n,x):=(x^
(2*n+1)*log(x))/(x^
2-1)
limit(g(n,x),x=1)
On obtient :
1/2
On tape :
limit(g(n,x),x=0)
On obtient :
0
On tape :
lncollect(normal(g(n+1,x)-g(n,x)))
On obtient :
((x^
(2*n+3)-x^
(2*n+1))*log(x))/(x^
2-1)
On tape :
int(x^
(2*n+1)*log(x),x,0,1
On obtient :
-1/(2*n+2)^
2
On a pour
0 x
1:
0 gn(x) < x(2*n)/2 car
x*log(x)/(x2 -1) < 1/2
Donc :
In+1 - In = - 1/4*1/(n + 1)2
donc :
In = - 1/4*un + I0
On a donc I0 = l /4