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Une rotation

Montrer que la matrice :

M = $\displaystyle {\frac{{1}}{{9}}}$$\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrr}
8&1&-4\\
-4&4&-7\\
1&8&4
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrr}
8&1&-4\\
-4&4&-7\\
1&8&4
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
8&1&-4\\
-4&4&-7\\
1&8&4
\end{array}}\right]$

est une matrice de rotation.
Déterminer l'axe et l'angle de cette rotation.
On tape :
M:=1/9*[[8,1,-4],[-4,4,-7],[1,8,4]]
isom(M)
On obtient :
[[3,-1,-1],acos(7/18),1]
Cela signifie que l'on a une rotation (le 1 indique que l'on a une isométrie positive) d'axe porté par le vecteur [3,-1,-1] et d'angle t = arccos(7/18) avec sin(t) > 0 (isom choisit l'orientation de l'axe pour que l'angle soit dans [0,$ \pi$] ie pour que son sinus soit positif).

Comment retrouver ces résultats ?
On cherche les points fixes de l'application linéaire rot de matrice M dans la base canonique de R3, c'est à dire les points [x,y,z] tels que :
(M-idn(3))*[x,y,z]=0.
On tape :
linsolve((M-idn(3))*[x,y,z],[x,y,z])
On obtient :
[-3*z,z,z]
Il y a donc une droite de points fixes qui est pour z $ \in$ R :
z*[-3,1,1]
Cherchons une base orthonormée E1, E2, E3 avec E3 porté par l'axe, par exemple E3 = $ {\frac{{\sqrt{11}}}{{11}}}$[- 3, 1, 1].
On choisit E1*E3 = 0 les coordonnées [x,y,z] de E1 doivent vérifier :
-3*x+y+z=0
On choisit x=0,y=-z donc E1 = $ {\frac{{\sqrt 2}}{{2}}}$[0, 1, - 1]
Puis on choisit E2 = E3 $ \wedge$ E1.
On tape :
E3:=sqrt(11)/11*[-3,1,1]
E1:=sqrt(2)/2*[0,1,-1]
E2:=normal(cross(E3,E1))
On obtient :
[-(2*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22]
En prenant comme nouvelle base E1, E2, E3 on a comme matrice de passage P:=tran(Q) avec Q:=[E1,E2,E3].
On tape :
Q:=[E1,E2,E3]
P:=tran(Q)
On vérifie que Q=inv(P) en tapant :
normal(P*Q)et normal(Q*P)
On obtient bien idn(3)
La matrice de rot dans cette nouvelle base est donc obtenue en tapant :
normal(Q*M*P)
On obtient :
[[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],[0,0,1]]
L'angle t de la rotation est donc défini par :
acos(t)=7/18 et asin(t)=-5*sqrt(11)/18
On retrouve les résultats trouvés avec la commande isom car on n'a pas choisit la même orientation pour l'axe E3 est dirigé selon le vecteur [-3,1,1] et non [3,-1,-1]...
On tape :
isom([[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],
[0,0,1]])
On obtient :
[[0,0,-1],acos(7/18),1]
car isom choisit l'orientation de l'axe pour que l'angle soit dans [0,$ \pi$] ie pour que son sinus soit positif : si l'axe est dirigé selon -E3, l'angle vaut $ \alpha$ =   acos (7/18) avec 0 $ \leq$ $ \alpha$ $ \leq$ $ \pi$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve