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Un trajet difficile : minimiser AMB avec M sur un cercle

Soient deux points A et B.
Un point M se déplace sur le cercle C de centre O et de rayon 1. On choisit A et B pour que la droite AB ne coupe pas le cercle C.
On cherche dans ce cas, à minimiser le trajet AM+MB.
Avec xcas on va faire apparaître sur le même écran, le dessin géométrique et le graphe G de la fonction longueur(AM)+longueur(MB)-3 lorsque M se déplace sur le cercle C (on enlève 3 pour avoir le graphe en entier).
On régle la fenêtre graphique pour voir :
$ \tt [-3.5,6.5] \times [-1,4.4]$
On clique sur deux points pour définir A et B.
On tape :
C:=cercle(0,1);
t:=element(0..2*pi);
M:=point(exp(i*t)); 
L(A,B,t):=evalf(longueur(A,exp(i*t))+longueur(B,exp(i*t)));
G:=plotfunc(L(A,B,x)-3,x);
N:=element(G,t);
bissectrice(M,A,B);
exbissectrice(M,A,B);
Ensuite lorsque l'on fait bouger t les points M et N bougent, l'un sur le cercle C, l'autre sur le graphe G et l'on peut voir que le minimum est atteint quand une bissectrice de l'angle M passe par O.
On peut aussi faire varier B pour voir ce qu'il se passe quand la droite AB coupe C c'est à dire quand la solution est evidente...


\begin{pspicture}(-3.5000,-1.0000)(6.5000,4.4000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...psset{linecolor=black}
\psline(16.4365,-4.9988)(-21.3899,7.4353)
\end{pspicture}

Solution dans un cas particulier

\begin{pspicture}(-5.0000,-5.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...\psset{linecolor=black}
\psline(2.4700,-2.7400)(-0.3827,-0.9239)
\end{pspicture}

On peut démontrer que lorsque le triangle OAB est isocéle de sommet O le point M du cercle C de centre O qui rend le trajet AM + MB minimum se trouve sur la bissectrice intérieure de l'angle $ \widehat{{AOB}}$. En effet soient deux points N1 et N2 du cercle C symétriques par rapport à cette bissectrice (qui est aussi la médiatrice de AB). On a donc AN1 = BN2 et AN2 = BN1 et donc

AN1 + N1B = AN1 + AN2.

Soient K le milieu de N1N2 et J le milieu de AB. Les points 0, KMJ sont tous sur la médiatrice de AB et puisque JK > JM (K milieu de la corde N1N2 et M milieu de l'arc N1N2), on en déduit que :

AK > AM    $\displaystyle \overrightarrow{AN1} $ + $\displaystyle \overrightarrow{AN2}$ = 2$\displaystyle \overrightarrow{AK}$

d'aprés l'inégalité triangulaire on a

2AK < AN1 + AN2

donc

AM + MB = 2AM < 2AK < AN1 + AN2

ce qui prouve que AM + MB est minimum.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve