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Si N est premier alors tous les nombres K strictement inférieurs à N
sont premiers avec N, donc d'après le petit théorème de Fermat on a :
KN-1 = 1 mod N
Par contre, si N n'est pas premier, les entiers K (1 < K < N) vérifiant :
KN-1 = 1 mod N sont peu nombreux.
La méthode probabiliste de Rabin consiste à prendre au hasard un
nombre K dans l'intervalle
[2 ; N - 1] (
1 < K < N) et à calculer :
KN-1 mod N
Si
KN-1 = 1 mod N on refait un autre tirage du nombre K, et, si
KN-1
1 mod N on est sûr que N n'est pas premier.
Si on obtient
KN-1 = 1 mod N pour 20 tirages successifs de K on
peut conclure que N est premier avec une probabilité d'erreur faible :
on dit alors que N est pseudo-premier.
Bien sûr cette méthode est employée pour savoir si de grands nombres
sont pseudo-premiers mais on préfére utiliser la méthode de Miller-Rabin
(cf 5.12)
qui est aussi une méthode probabiliste mais qui donne N premier avec une
probabilité d'erreur plus faible (inférieure à
(0.25)20 si on a
effectué 20 tirages, soit, une erreur de l'ordre de 10-12).
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve