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La correction mathématique avec Xcas

On a : On cherche p = u2010 c'est à dire on cherche p vérifiant :
p(p - 1)/2 $ \leq$ 2010 < p(p + 1)/2 ou encore
p(p - 1) $ \leq$ 4020 < p(p + 1) ou encore
p2 - p - 4020 $ \leq$ 0 et p2 + p - 4020 > 0 et p > 0
Donc p est entre les racines de x2 - x - 4020 est est supérieur à la plus grande racine de x2 + x - 4020 c'est à dire :
-1/2 + $ \sqrt{{1+4*4020}}$/2 < p $ \leq$ 1/2 + $ \sqrt{{1+4*4020}}$/2 < p + 1 c'est à dire
p est la partie entière de 1/2 + $ \sqrt{{1+4*4020}}$/2 = 1/2 + $ \sqrt{{1/4+4020}}$.
On peut donc utiliser la fonction round, on a round(a)=floor(a+0.5) et donc k=round(sqrt(2*p+0.25)).
On peut remarquer que :
k(k - 1) = (k - 1/2)2 - 1/4
k(k + 1) = (k + 1/2)2 - 1/4
On cherche k tel que : k(k - 1) = (k - 1/2)2 -1/4 $ \leq$ 2p < (k + 1/2)2 - 1/4 = k(k + 1) c'est à dire (k - 1/2)2 $ \leq$ 2p + 1/4 < (k + 1/2)2 donc k=round(sqrt(2*p+0.25)) On tape :
valeur(p):={
local k;
k:=round(sqrt(2*p+0.25));
retourne k;
}
:;
On tape :
valeur(2010)
On obtient :
63
On tape : valeur(63*31)
On obtient : 63
On tape : valeur(63*32-1)
On obtient : 63
On tape : valeur(63*32)
On obtient : 64
car 63*62/2 = 63*31 = 1953 < 2010 < 63*32 - 1 = 2015 = 63*62/2 + 63 - 1. Les 63 termes d'indices 1953,1954,....2015 valent donc 63.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve