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Accélération de convergence

On considère toujours les suites u et v définies par :
u0 = 1 - $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$ et un = un-1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$ pour n $ \geq$ 1.
vn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$ pour n $ \geq$ 0.
1/ Montrer que, pour p > 0,

$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+5}}}$) < $\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+3}}}$ < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p-1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+3}}}$)

2/ En déduire que, pour n > p > 0,

$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+5}}}$) < un - up-1 < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p-1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$)

et en déduire un encadrement de un - up

3/ En faisant tendre n vers + $ \infty$, montrer que

$\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4p+5)}}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$ - up $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4p+3)}}}$

4/ On pose wn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4n+5)}}}$ et tn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4n+3)}}}$.
En utilisant le tableur, montrer que wn et tn sont deux suites adjacentes qui convergent vers $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$ plus rapidement que un et vn. Trouver une valeur de n pour que 4wn et 4tn donnent un encadrement de $ \pi$ de diamètre inférieur à 10-3.

Correction et prolongement
u10 = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+3}}}$ = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{2}}{{(4k+1)(4k+3)}}}$
On encadre les termes de la série :
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{2}}{{(4k+1)(4k+3)}}}$
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+5}}}$) < $\displaystyle {\frac{{2}}{{(4k+1)(4k+3)}}}$ < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4k-1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4k+3}}}$) donc
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+5}}}$) < un - up-1 < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{4p-1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$).
On a :
w10 = u10 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4k+5)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}}}$
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}}}$.
On a :
$\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k+1)(4k+5)(4k+9)}}}$ < $\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}}}$ < $\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k-3)(4k+1)(4k+5)}}}$
donc
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4k+1)(4k+5)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4k+5)(4k+9)}}}$) < $\displaystyle {\frac{{4}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}}}$ <
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4k-3)(4k+1)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4k+1)(4k+5)}}}$)
On a donc comme précédemment :
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p+1)(4p+5)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4n+5)(4n+9)}}}$) < wn - wp-1 <
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle {\frac{{1}}{{(4p-3)(4p+1)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{(4n+1)(4n+5)}}}$)
On pose donc :
s10 = w10 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2(4k+5)(4k+9)}}}$
s10 = $\displaystyle {\frac{{3}}{{5}}}$ + $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{24}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)}}}$
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{24}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)}}}$
et on pose :
r10 = s10 + $\displaystyle {\frac{{2}}{{(4k+5)(4k+9)*(4k+13)}}}$
r10 = $\displaystyle {\frac{{29}}{{45}}}$ + $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{{10}}$$\displaystyle {\frac{{240}}{{(4k+1)(4k+3)(4k+5)(4k+9)(4k+13)}}}$
On tape pour avoir la valeur approchée de $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$ :
evalf(pi/4)
On obtient :
0.785398163397
On tape pour avoir la valeur approchée de u10 :
sum(2.0/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)
On obtient :
0.774040381616
On tape pour avoir la valeur approchée de w10 :
sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/(2*45)
On obtient :
0.785151492727
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de w10 :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+0.5
On obtient :
0.785151492727
On tape pour avoir la valeur approchée de s10 :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+ 1.0/2+1/(2*45*49)
On obtient :
0.785378250097
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de s10 :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+0.6
On obtient :
0.785378250097
On tape pour avoir la valeur approchée de r10 :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+
0.6+2/(45*49*53)

On obtient :
0.78539536386
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de r10 :
sum(240/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)*(4*k+13)),k,0,10) +29.0/45
On obtient :
0.78539536386
On a pour la dernière somme 5 décimales exactes de $ \pi$/4 :
| l - z10| < 2(1/(41*45*49) - 1/(45*49*53)) < 5.1*10-6


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve