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Étude de $ \tt S^2$

Théorème
La variable S2 = $\displaystyle {\frac{{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+..+(X_n-\bar X)^2}}{{n}}}$ converge presque sûrement vers $ \sigma^{2}_{}$ quand n tend vers l'infini.
De plus S2 a pour moyenne :
E(S2) = $\displaystyle {\frac{{n-1}}{{n}}}$$\displaystyle \sigma^{2}_{}$
et pour variance :
$\displaystyle \sigma^{2}_{}$(S2) = V(S2) = $\displaystyle {\frac{{n-1}}{{n^3}}}$((n - 1)$\displaystyle \mu_{4}^{}$ - (n - 3)$\displaystyle \sigma^{4}_{}$) où $ \mu_{4}^{}$ = E((X - $ \mu$)4).

Théorème limite pour S2 :
Quand n tend vers l'infini, $\displaystyle \sqrt{n}$$\displaystyle {\frac{{(S^2-\frac{n-1}{n}\sigma^2)}}{{\sqrt{\mu_4-\sigma^4}}}}$ converge en loi vers U variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite (dire que Yn converge en loi vers U $ \in$ $ \mathcal {N}$(0, 1) veut dire que si F est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et si Fn est la fonction de répartition de Yn alors pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, Fn(x) tend vers F(x) quand n tend vers l'infini).


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve