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On a deux cas selon que l'écart-type
est connu ou pas :
- si l'écart-type
est connu
On sait que si
X
(
,
) alors
(
,
/
) on se reportera à la "Recette
quand on connait la loi
(
,
/
) suivie par
"
écrite ci-dessus.
- si l'écart-type
est inconnu
Lorsque n est petit, on ne peut plus approcher
par
s
où s est l'écart-type d'un échantillon de taille n.
C'est pourquoi, lorsque n est petit et que
X
(
,
), on
utilise la statistique :
T =
(
) où
S2 = 1/n
(Xj -
)2.
T suit une loi de Student à n - 1 degrés de liberté et T ne dépend
pas de
.
Recette quand on ne connait pas la loi suivie par
On est dans le cas où
est inconnu,
X
(
,
) et n est petit.
On choisit le seuil
et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral :
H0 :
=
et
H1 :
Test d'hypothèses unilatéral à droite :
H0 :
=
et
H1 :
>
(resp à gauche :
H0 :
=
et
H1 :
<
).
Au moyen des tables de la loi de
Student (n petit, n
30)
- dans le cas bilatéral, on cherche le nombre réel h vérifiant :
Proba(- h < Tn-1 < + h) = 1 -
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h:=student_icdf(n-1,0.975)
- dans le cas unilatéral à droite, on cherche le nombre réel h1
vérifiant :
Proba(Tn-1 < h1) = 1 -
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h1:=student_icdf(n-1,0.95)
- dans le cas unilatéral à gauche, on cherche le nombre réel h2
vérifiant :
Proba(Tn-1 < h2) =
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h2:=student_icdf(n-1,0.05)
Règle de décision :
Soit t la valeur prise par T par un échantillon de taille n :
t =
(
) où m est la moyenne de
l'échantillon et s son écart-type.
On rejette l'hypothèse H0 au seuil
:
- dans le cas bilatéral
si
t
[- h; + h],
- dans le cas unilatéral à droite
si t > h1,
- dans le cas unilatéral à gauche
si t < h2,
sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve