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On suppose tout d'abord le problème résolu c'est à dire que le triangle
PQR est équilatéral.
Soient :
a, b, c le tiers des mesures des angles du triangle ABC on a donc
a + b + c =
,
R1 le symétrique de R par rapport à PA : R1 se trouve sur AB
puisque
=
= a,
et de même, Q2 le symétrique de Q par rapport à PB
se trouve sur AB.
Le triangle PQ2R1 est donc isocèle (
PR1 = PR = PQ = PQ2),
on en
déduit que
=
,
et par symétrie que
=
=
.
On a :
+
+
+
= 2
c'est à dire
(
- a - b) + (
- b -
) +
+ (
- a -
) = 2
soit
= 2*
- a - b = c +
.
Donc le triangle APR a comme angles :
a, c +
/3, b +
/3,
le triangle BQP a comme angles :
b, c +
, a +
,
de même le triangle CRQ a comme angles :
c, b +
, a +
.
Le programme de la figure qui suit se trouve dans le fichier morleypuzzel.
L'écriture en Latex de cette figure se trouve dans le fichier morleypuzzel.tex.
L'idée de Conway est de faire un puzzle avec 7 pièces (cf figure) :
avec ces 7 pièces on va pouvoir reconstituer un triangle ABC d'angle
3a, 3b et 3c dans lequel les trissectrices se coupent selon
le triangle équilatéral de Morley.
Les pièces du puzzles sont :
- 1 triangle équilatéral de cotés de longueur 1,
- 3 triangles
le premier PAR est défini par PR de longueur 1, l'angle
de mesure
+ b et l'angle
de mesure
+ c et APR est de sens direct.
On a donc :
PA = sin(c +
/3)/sin(a),
RA = sin(b +
/3)/sin(a) et l'angle
est de mesure a,
le second PQB est défini par PQ de longueur 1, l'angle
de mesure
+ a et l'angle
de mesure
+ c et BQP est de sens direct.
On a donc :
PB = sin(c +
)/sin(b),
QB = sin(a +
)/sin(b) et l'angle
est de
mesure b,
le troisième QRC est défini par RQ de longueur 1, l'angle
de mesure
+ a et l'angle
de mesure
+ b et CRQ est de sens direct.
On a donc :
QC = sin(a +
)/sin(c),
RC = sin(b +
)/sin(c) et l'angle
est de mesure c.
- 3 triangles
le premier PAB1 est défini par un coté de longueur PA trouvée
ci-dessus (
PA = sin(c +
)/sin(a)) l'angle
de mesure a
et l'angle
de mesure
c + 2*
. Dans ce triangle l'angle
a comme mesure b et on a :
PB1 = PA*sin(a)/sin(b) = sin(c +
)/sin(b) = PB.
le second RCA1 est défini par un coté de longueur RC
trouvée
ci-dessus (
RC = sin(b +
)/sin(c)) l'angle
de mesure c
et l'angle
de mesure
b +
. Dans ce triangle l'angle
a comme mesure a et on a :
RA1 = RC*sin(c)/sin(a) = sin(b +
)/sin(a) = RA.
le troisième QBC1 est défini par un coté de longueur QB
trouvée ci-dessus (
QB = sin(a +
)/sin(b)) l'angle
de mesure b
et l'angle
de mesure
a +
. Dans ce triangle l'angle
a comme mesure c et on a :
QC1 = QB*sin(b)/sin(c) = sin(a +
)/sin(c) = QC.
Il est alors facile de montrer, par des considérations de mesure d'angles
et de longueurs, que les triangles s'emboitent bien.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve