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On désigne par
O la symétrie de centre O et par
AB la translation de vecteur
.
Théorème
Soient deux points O1 et O2 et un vecteur V, on a :
-
O2o
O1=
2O1O2,
-
Vo
O1=
K avec
= V/2,
-
O1o
V=
H avec
= - V/2.
En effet,
- Soit A un point. Posons
B =
O1(A) et
C =
O2(B).
On a :
=
et,
=
donc,
=
+
+
=
+
+
=
2
Comme A est quelconque on en déduit que :
O2o
O1=
2O1O2
- Soit A un point, V un vecteur et K tel que
= V/2.
Posons
B =
O1(A) et
C =
V(B).
On a :
=
,
= V et,
= V/2 =
/2.
Donc
=
+
=
+
/2 et
=
+
=
2
+
= 2
soit
=
+
= 2
c'est à dire
=
donc
C =
K(A)
Comme A est quelconque on en déduit que :
Vo
O1=
K avec
= V/2
- Soit A un point, V un vecteur et H tel que
= - V/2.
Posons
B =
V(A) et
C =
O1(B).
On a :
= - V/2,
= V et
=
Donc
=
+
+
=
V +
- V/2 =
+ V/2 et
=
+
=
V +
= V + 2
soit
=
+
= 2
c'est à dire
=
donc
C =
H(A)
Comme A est quelconque on en déduit que :
O1o
V=
H avec
= - V/2
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve