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Forme bilinéaire

Soient E l'espace vectoriel r`'eel des polynômes de degré leq 2 et à coefficients réels et f la forme bilinéaire symétrique définie par :
f (P, Q) = $ \int_{{-1}}^{1}$P(x), Q(x)dx
1/ Déterminer la matrice de f et montrer que f est positive et non dégénérée.
2/ Déterminer l'endomorphisme adjoint à la dérivation.

Correction
La base canonique de E est : 1, x, x2.
Pour déterminer la matrice A de f on va calculer : f (ej, ek).
On tape :
integrate(1,x,-1,1)
On obtient :
2
On tape :
integrate(x,x,-1,1)
On obtient :
0
On tape :
integrate(x^2,x,-1,1)
On obtient :
2/3
On tape :
integrate(x^3,x,-1,1)
On obtient :
0
On tape :
integrate(x^4,x,-1,1)
On obtient :
2/5

Donc on a :
A = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrr}
2&0&\frac{2}{3}\\
0&\frac{2}{3}&0\\
\frac{2}{3}&0&\frac{2}{5}
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrr}
2&0&\frac{2}{3}\\
0&\frac{2}{3}&0\\
\frac{2}{3}&0&\frac{2}{5}
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
2&0&\frac{2}{3}\\
0&\frac{2}{3}&0\\
\frac{2}{3}&0&\frac{2}{5}
\end{array}}\right]$

On tape pour avoir f (c, b, a) :
normal(integrate((a*x^2+b*x+c)*(a*x^2+b*x+c),x,-1,1))
On obtient :
$ \tt (2*a^2)/5+(4*a*c)/3+(2*b^2)/3+2*c^2$
On tape :
gauss(2/5*a^2+4/3*a*c+2/3*b^2+2*^2,[c,b,a])
On obtient :
$ \tt (2/3*a+2*c)^2/2+(2/3*b)^2/(2/3)+8*a^2/45$
on a donc :
$ \tt f(c,b,a)=(2/3*a+2*c)^2/2+(2/3*b)^2/(2/3)+8*a^2/45$
donc f(c,b,a)>=0 et on a :
f(c,b,a)=0 si et seulement si a=b=c=0.

2/ La dérivation d est une application linéaire de E dans E matrice :
B = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&2\\
0&0&0
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&2\\
0&0&0
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&2\\
0&0&0
\end{array}}\right]$

L'adjoint d* de d vérifie f (d*(P), Q) = f (P, d (Q)) ou encore si C est la matrice de d*:
tP*A*B*Q = tP*tC*A*Q
A*B = tC*A ou tB*tA = tA*C
donc :
C = (tA)-1*tB*tA
On tape :
A:=[[2,0,2/3],[0,2/3,0],[2/3,0,2/5]]
B:=[[0,1,0],[0,0,2],[0,0,0]]
C:=normal(inv(tran(A))*tran(B)*tran(A))
On obtient :
[[0,-5/2,0],[3,0,1],[0,15/2,0]]
donc
C = $ \left[\vphantom{\begin{array}{rrr}
0&-\frac{5}{2}&0\\
3&0&1\\
0&\frac{15}{2}&0
\end{array}}\right.$$ \begin{array}{rrr}
0&-\frac{5}{2}&0\\
3&0&1\\
0&\frac{15}{2}&0
\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{rrr}
0&-\frac{5}{2}&0\\
3&0&1\\
0&\frac{15}{2}&0
\end{array}}\right]$

donc
d*(a*x2 + b*x + c) = - $ {\frac{{5}}{{2}}}$*b + (3*c + a)*x + $ {\frac{{15}}{{2}}}$*b*x2


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve