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u et v sont deux suites ajacentes de limite $\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$

I/ On considère les suites u et v définies par :
u0 = 1 - $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$ et un = un-1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$ pour n $ \geq$ 1.
vn = un + $\displaystyle {\frac{{1}}{{4n+3}}}$ pour n $ \geq$ 0.
1/ Calculer les 6 premiers termes de la suite u et donner une valeur approchée de u6 (on pourra utiliser un tableur que l'on obtient avec le raccourci clavier Alt+t.
2/ Calculer les 6 premiers termes de la suite v et donner une valeur approchée de v6 (on pourra utiliser le tableur).
3/ Montrer que les suites u et v sont adjacentes.

II/ On considère la suite de fonctions fn de [0,$ {\frac{{\pi}}{{2}}}$[ dand $ \mathbb {R}$ définie par :
f0(x) = x - tan(x) et fn(x) = fn-1(x) - $\displaystyle {\frac{{(-1)^n}}{{2n+1}}}$tan(x)2n+1 pour n $ \geq$ 1.
0/ Calculer fn(0) pour tout n $ \geq$ 0.
1/ Ouvrir le tableur et faites afficher dans les colonnes :
les valeurs de n, les valeurs de fn(x) et les valeurs de f'n(x),
En observant ces colonnes, déterminer une expression simplifiée de la dérivée de fn. Prouver votre conjecture.
2/ En déduire que pour p $ \geq$ 0 :
- la fonction f2p+1 est croissante sur [0,$ {\frac{{\pi}}{{2}}}$[.
- la fonction f2p est décroissante sur [0,$ {\frac{{\pi}}{{2}}}$[.
3/ Calculer pour p $ \geq$ 0, f2p($\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$) et f2p+1($\displaystyle {\frac{{\pi }}{{4}}}$) en fonction de up et de vp (on pourra utiliser le tableur pour déterminer la formule, puis on fera une démonstration).

III/ 1/ Montrer que la limite de u et de v est égale à $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$ ( on étudiera le signe de f2p($ {\frac{{\pi}}{{4}}}$) et de f2p+1($ {\frac{{\pi}}{{4}}}$)).
2/ Donner un encadrement de $ {\frac{{\pi}}{{4}}}$.
Quelle erreur fait-on lorsqu'on prend 4*u6 comme valeur approchée de $ \pi$ ?
3/ Trouver une valeur de n pour que 4*un et 4*vn donnent un encadrement de $ \pi$ de diamètre inférieur à 10-3.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve