Solution
On suppose le triangle ABC direct.
1/ La rotation de centre B et d'angle - /3 transforme :
D en A et C en E donc DC = AE et
(,
) = -
/3.
De même la rotation de centre C et d'angle - /3 transforme :
E en B et A en F donc AE = FB et
(,
) = -
/3.
On montre, en utilisant les vecteurs, que G1G2G3 est équilatèral,
on a :
=
(
+
)
et
=
(
+
)
=
(
+
)
et
=
(
+
)
donc
=
(
+
)
et
=
(
+
)
(resp
) est le transformé de
(resp
) par une rotation d'angle
-
/3 donc
est le transformé de
par une rotation d'angle -
/3 donc le triangle
G1G2G3 est équilatèral.
2/ Soit T le point d'intersection de AE et de CD. D'après la
première question :
(,
) = (
,
) = -
/3.
On construit alors le point N sur AE pour que le triangle TCN soit
équlatéral et donc
(,
) = -
/3.
Ainsi, la rotation de centre C et d'angle -
/3 transforme AE en FB
et le point N de AE en le point T de BF donc BF passe par T.
3/ Autre démonstration de G1G2G3 est équilatèral.
On construit :
G4 le symétrique de G1 par rapport à AB,
G5 le symétrique de G2 par rapport à BE,
donc les triangles AG1G4, BG1G4, BG2G5 sont équilatéraux.
La rotation de centre B et d'angle - /3 transforme :
G1 en G4 et G2 en G5 donc
G1G2 = G4G5 et
(,
) = -
/3.
On va montrer que le quadrilatère
G3G2G5G4 est un parallélogramme et on aura ainsi montrer que le triangle G1G2G3 est équilatèral puisque :
G3G2 = G4G5 = G1G2 et
(,
) = 0 donc
(
,
) =
/3.
Les triangles AG4G3 et G4BG2 sont semblables au triangle ABC
(même angle A (resp B) et deux cotés proportionnels) et
comme AG4 = G4B, les triangles AG4G3 et G4BG2 sont égaux.
Donc
G3G4 = BG2 = BG5 = G2G5.
On a :
(,
) = (
,
) + 2
/3 = (
,
) + 2
/3 =
(,
) + 2
/3 -
/6 = (
,
) +
/2.
Donc G3G4 est paralléle à G2G5 puisque ces deux droites sont perpendiculaires à BE. On a ainsi montrer que le quadrilatère
G3G2G5G4 est un parallélogramme, ce qui termine la démonstration.