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Partie B

1/ a) La solution générale de l'équation différentielle (E1)y' = $\displaystyle {\frac{{y}}{{4}}}$ est :
y(t) = C*exp(t/4) où C est une constante arbritaire.
On tape :
desolve(y'=y/4,y)
On obtient :
c_0/exp(-x/4)
On tape :
desolve(diff(y(t),t)=y(t)/4,t,y)
On obtient :
c_0/exp(-t/4)

b) g est la solution de (E1) qui vérifie g(0) = 1 donc on a g(t) = C*exp(t/4) et g(0) = 1 donc C = g(0) = 1. La taille de la population au temps t est donc :
g(t) = exp(t/4).
On tape :
desolve([y'=y/4,y(0)=1],y)
On obtient :
1/exp(-x/4)
On tape :
desolve([diff(y(t),t)=y(t)/4,y(0)=1],t,y)
On obtient :
1/exp(-t/4)

c) On veut savoir quand g(t) $ \geq$ 300.
On résout :
exp(t/4) $ \geq$ 300 qui est équivalent à t $ \geq$ 4*ln(300) $ \simeq$ 22.8
La population dépassera 300 rongeurs au bout de 23 années.
On tape :
solve(exp(t/4)>=300,t)
On obtient :
[t>=(4*log(300))]
On tape :
solve(exp(t/4)>=300.0,t)
On obtient :
[t>=22.8151298986]

2/ a) On a, pour tout réel t positif :
h(t) = 1/u(t) donc h'(t) = - u'(t)/u(t)2 (puisque u(t) $ \neq$ 0)
u satisfait à E2 si et seulement si
u'(t)/u(t)2 = 1/(4*u(t)) - 1/12 et u(0) = 1 (puisque u(t) $ \neq$ 0)
ce qui est équivalent à
h'(t) = - u'(t)/u(t)2 = - 1/4*h(t) + 1/12 et h(0) = 1 (puisque u(t) $ \neq$ 0)

b) Les solutions de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{12}}}$ sont obtenus en ajoutant aux solutions de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ une solution particulière de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{12}}}$.
Les solutions de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ sont y(t) = K exp(- t/4) où K est une constante arbitraire.
Une solution particulière de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{12}}}$ est y(t) = 1/3 Les solutions de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{12}}}$ sont donc :
y(t) = K exp(- t/4) + 1/3.
On en déduit, puisque h vérifie (E3), que :
h(t) = K exp(- t/4) + 1/3 et h(0) = 1 donc on a K = 2/3 et
h(t) = 2/3*exp(- t/4) + 1/3 = (1 + 2 exp(- t/4))/3 et donc
u(t) = 3/(2 + exp(- t/4)) = f (t)
On a donc, pour tout réel t positif :
u(t) = f (t)
Avec Xcas, on tape :
desolve(y'=-y/4+1/12,y)
On obtient :
(exp(x/4)/(12/4)+c_0)/(exp(x/4))
On tape :
desolve([diff(y(t),t)=-y(t)/4+1/12,y(0)=1],t,y)
On obtient :
((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))
On tape :
normal(inv(((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))))
On obtient :
(3*exp(t/4))/(exp(t/4)+2)

c) Lorsque t tend vers + $ \infty$, la taille de la population augmente et tend vers 300 rongeurs puisque f tend vers 3 lorsque t tend vers + $ \infty$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve