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On sait que si X suit une loi normale
(
,
), les
statistiques :
Z2 = 
(Xj -
)2 et
S2 = 
(Xj -
)2
sont des estimateurs de
, de plus Z2 et
S2 sont
des estimateurs sans biais de
(cf 2.5.8), car on a
E(Z2) = E(
S2) =
et S2 ne dépend
pas de
.
On sait que :
la statistique
suit
une loi du
à n degrés de liberté et que
la statistique
suit une loi du
à (n - 1)
degrés de liberté.
Lorsque
est connue, on utilisera la statistique
comme variable de décision, et
si
n'est pas connue, on utilisera la statistique
comme variable de décision.
Recette quand X suit une loi normale
(
,
)
On choisit le seuil
et selon les cas :
Test d'hypothèses bilatéral :
H0 :
=
et
H1 :
,
Test d'hypothèses unilatéral à droite :
H0 :
=
et
H1 :
>
(resp à gauche :
H0 :
=
et
H1 :
<
).
On calcule au moyen des tables de
(n)
les nombres réels h1 et h2 vérifiant :
- dans le cas bilatéral
- si la valeur moyenne
est connue
Proba(
< h1) = 1 -
/2
Proba(
< h2) =
/2
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h1:=chisquare_icdf(n,0.975)
h2:=chisquare_icdf(n,0.025)
- si la valeur moyenne
n'est pas connue
Proba(
< h1) = 1 -
/2
Proba(
< h2) =
/2
Avec Xcas, on tape si
= 0.05:
h1:=chisquare_icdf(n-1,0.975)
h2:=chisquare_icdf(n-1,0.025)
- dans le cas unilatéral à droite
- si la valeur moyenne
est connue
Proba(
< h1) = 1 -
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h1:=chisquare_icdf(n,0.95)
- si la valeur moyenne
n'est pas connue
Proba(
< h1) = 1 -
Avec Xcas, on tape :
h1:=chisquare_icdf(n-1,0.95)
- dans le cas unilatéral à gauche
- si la valeur moyenne
est connue
Proba(
< h2) =
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h2:=chisquare_icdf(n,0.05)
- si la valeur moyenne
n'est pas connue
Proba(
< h2) =
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
h2:=chisquare_icdf(n-1,0.05)
Règle de décision :
Soit u la valeur prise par
(ou par
si
n'est pas connue) pour un
échantillon de taille n :
- si
est connue, on calcule
u =
où les xj sont les valeurs de l'échantillon
(car selon
H0 :
=
).
- si
n'est pas connue, on calcule
u =
où s est l'écart-type de
l'échantillon (car selon
H0 :
=
).
On rejette l'hypothèse
H0 :
=
au seuil
:
- dans le cas bilatéral
si
u
[h2;h1],
- dans le cas unilatéral à droite
si u > h1,
- dans le cas unilatéral à gauche
si u < h2,
sinon on accepte l'hypothèse H0 au seuil
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve