^
(k+1),k,0,+infinity)
Peut-on généraliser ?
Dans le cas général, on tire au hasard des nombres entre 1 et n jusqu'à
obtenir 1. La moyenne des sommes des nombres tirés vaut-elle
1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 ?
Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages parmi
1...n qu'il faut effectuer pour obtenir 1.
On a :
P(Xn = 1) = ,
P(Xn = 2) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4,..., n + 1 qui est une liste L2 de taille n - 1 et de somme :
2 + 3 + ...n + n - 1 = (n - 1)(n + 3)/2
P(Xn = 3) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2 + 2 + 1 = 5, 2 + 3 + 1 = 6, 3 + 2 + 1 = 6,...n + n + 1 qui est une liste L3 de taille
(n - 1)2
Que vaut la somme de cette liste ?
Chaque terme est la somme de 2 termes et de 1 : dans ces sommes chaque nombre
(2,3,...n) apparaissent autant de fois donc il y a
2(n - 1)2/(n - 1) = 2n - 2 fois 2,
2n - 2 fois 3...2n - 2 fois n et (n - 1)2 fois 1. La somme cette liste vaut
donc :
(n - 1)2 + (2n - 2)(2 + 3 + ... + n) = (n - 1)2 + (n - 1)2(n + 2) = (n - 1)2(n + 3).
......
P(Xn = p) = et les résultats obtenus peuvent
être :
2 + ... + 2 + 1 = 2p - 1, 2 + ... + 3 + 1 = 2p, 3 + 2 + ... + 2 + 1 = 2p,... (liste Lp de
taille
(n - 1)p-1)
Que vaut la somme de cette liste ?
Cette somme est composée de
p*(n - 1)p-1 termes.
Cette somme est la somme :
de
(n - 1)p-1 fois 1,
de
(p - 1)(n - 1)p-2 fois 2
....
de
(p - 1)(n - 1)p-2 fois n
donc elle vaut :
(n - 1)p-1 + (p - 1)(n - 1)p-2(2 + 3 + ... + n) =
(n - 1)p-1 + (n - 1)p-1(p - 1)(n + 2)/2 = (n - 1)p-1(1 + (p - 1)(n + 2)/2) =
(n - 1)p-1((p(n + 2) - n)/2).
Donc :
E(Rn) = (n - 1)p-1(p(n + 2) - n)/2
On tape :
sum((n-1)^
(p-1)/n^
p*(p*(n+2)-n)/2 ,p,1,+infinity)
On obtient :
(n^
2+n)/2
Donc la moyenne de Rn est égale à 1 + 2 + ...n