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On considère la suite récurrente définie par :
u0 = 3 et
un+1 =
(un +
) pour n
0.
0/ Définir la fonction f pour que
un+1 = f (un) pour n
0.
1/ Calculer les 5 premiers termes de la suite u et donner une valeur
approchée de u5. On pourra utiliser f(ans()) qui applique f
à la dernière réponse.
2/ Visualiser les cinq premiers termes de la suite u et trouver une bonne
fenêtre de visualisation.
3/ Ouvrir un tableur avec le raccourci clavier Alt+t et mettre :
dans la colonne A les valeurs de n,
dans la colonne B les valeurs de un,
dans la colonne C les valeurs du numérateur cn de un,
dans la colonne D les valeurs du dénominateur dn de un,
dans la colonne E les valeurs du quotient exact de
cn*1012 par
dn,
dans la colonne F les valeurs approchées de un données par
evalf.
Que représente la colonne E ?
Observez les différentes colonnes et notez vos observations.
4/ On veut montrer que la suite un est convergente.
- montrer que la suite u est définie et que
un >
pour tout n
0,
- en déduire que le signe de
un+1 - un est indépendant de n,
- montrer que la suite u est décroissante et converge vers
,
5/ On pose
en = un -
. Montrer que
> 5/2 et en déduire que
e0 < 0.5.
Montrer que
en =
pour tout n
1.
En déduire que
en < 5*(
)2 < 5*(
)2n < 5*(0.1)2n pour tout n
1.
Quelle erreur fait-on lorsqu'on prend u5 comme valeur approchée de
? (on montrera que
e5 = (u52 -7)/(u5 +
) < (u52 - 7)/5).
Donner les 20 premières décimales de
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve