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On coche Complexe dans la configuration
du CAS et si on coche Variables_complexes on est obligé de mettre
assume Y,real) si on veut que la variable Y soit réelle.
Dans ce qui suit on suppose que l'on a coché Variables_complexes
(si ce n'est pas le cas on peut enlever toutes les commandes assume.
On tape :
f(z):=1/2*(z+1/z)
- Calcul de f (- i) et résolution de l'équation f (z) = 2.
On tape :
f(-i)
On obtient : 0
On tape :
csolve(f(z)=2,z)
On obtient : [-sqrt(3)+2,sqrt(3)+2]
donc le point d'affixe 2 a deux antécédents :
les points d'affixe
-
+ 2 et
+ 2
- Réslution de l'équation f (z) = z
On tape :
csolve(f(z)=z,z)
On obtient : [-1,1]
donc les points doubles de f sont les points A et B.
- Calcul pour Z! = 1 de
On tape :
factor((f(z)+1)/(f(z)-1))
On obtient : ((z+1)^
2)/((z-1)^
2)
donc
= (
)2
- Lorsque M se déplace sur la médiatrice du
segment AB on a MA = MB ou encore
| z + 1| = | z - 1|.
Donc d'aprés ce qui précéde on a
| Z + 1|/| Z - 1| = 1 donc N se déplace sur la médiatrice du
segment AB.
Réciproquement, si
| Z + 1| = | Z - 1| on en déduit que
| z + 1|2 = | z - 1|2 donc que M se déplace sur la médiatrice
du segment AB.
On tape puisque la médiatrice de AB est l'axe des y :
assume(y,real)
simplify(f(i*y)
On obtient :
((i)*y^
2-i)/(2*y)
On tape :
re(f(i*y))
On obtient : 0
On tape :
re(f(i*y))
On obtient : 0
Pour la réciproque , on tape :
assume(Y,real)
sol:=simplify(csolve(f(z)=i*Y,z
On obtient :
[(i)*Y+sqrt(-Y^
2-1),(i)*Y-sqrt(-Y^
2-1)]
On tape :
real(sol)
On obtient : [0,0]
On tape :
simplify(im(sol))
On obtient : [Y+sqrt(Y^
2+1),Y-sqrt(Y^
2+1)]
- M se déplace sur le cercle de
diamètre AB qui est aussi le cercle de centre O et de rayon 1. Donc
z = eit avec
0
t
2*
.
Donc d'aprés ce qui précéde on a :
= (
)2
donc arg((Z+1)/(Z-1))=2*arg((z+1)/(z-1)).
On a arg((z+1)/(z-1))=arg(z+1)-arg(z-1)
et cela est la mesure de l'angle
(
,
) qui vaut
+ / -
car M se déplace sur le cercle de diamètre AB.
Donc arg((Z+1)/(Z-1))=pi et N se déplace sur la droite AB.
On sait d'après la question 1 que le point d'affixe 2 ne fait pas partie du
lieu, donc on fait une réciproque. Pour cela on résout f (z) = X i.e.
z2 - 2Xz + 1 = 0 le discriminant vaut X2 - 1 donc si X < 1 ou si X > - 1 les
solutions sont réelles et l'anrécédent de N ne se trouve pas sur le
cercle de diamètre AB. Si
-1
X
1 les solutions sont :
z = X + i
et
z = X - i
qui sont les affixes de 2 points du cercle de centre O et de rayon 1 (
| z|2 = X2 + (1 - X2) = 1.
On tape avec Xcas :
assume(t,real)
simplify(exp2trig(f(exp(i*t))))
On obtient :
cos(t)
donc N se déplace sur le segment AB on a Z = cos(t) avec
0
t
2*
.
Pour la réciproque, N se déplace sur le segment AB donc Z = cos(t)
avec
0
t
2*
.
On tape :
sol:=csolve(f(z)=cos(t),z)
On obtient :
[sqrt(cos(t)^
2-1)+cos(t),-sqrt(cos(t)^
2-1)+cos(t)]
On tape :
simplify(trig2exp(sol))
On obtient :
[exp((i)*t),1/(exp((i)*t))]
Donc M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve