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première façon

Supposons que l'on fasse faire à un groupe de personnes l'expérimentation de la quatrième méthode (on recoupe le plus grand morceau). Lorsqu'une personne efféctue l'expérience la première cassure (celle qui détermine x) se fera en général entre h et 1 - h : h étant l'emplacement des doigts. On suppose ensuite que l'emplacement des doigts nécessaire pour faire la cassure est proportionnel à la longueur donc si y se trouve sur [0, x[ la cassure se fera sur [hx, x - xh[.
On écrit donc la fonction suivant dépendant de n nombre d'expériences et h l'emplacement des doigts.
spagex(n,h):={
local x,y,a,b,t;
t:=0;
for (k:=1;k<=n;k++){
  x:=evalf(rand(2^30)/2^30);
  x:=h+x*(1-2*h);
  if (x>0.5){
    y:=h*x+evalf(rand(2^30)/2^30)*x*(1-2*h);
    a:=y;
    b:=x-y;
  } else {
    y:=(1-x)*h+evalf(rand(2^30)/2^30)*(1-x)*(1-2*h)+x;
    a:=x;
    b:=y-x;
  }
  if ((a<0.5) and (b<0.5) and (a+b>0.5)) {
    t:=t+1;
  }
}
return(evalf(t/n));
};
On trouve pour n = 30 et h = 0.08 : 0.6
On trouve pour n = 3000 et h = 0.08 : 0.626666666667
On trouve pour n = 3000 et h = 0.1 : 0.561
On trouve pour n = 300 et h = 0.1 : 0.535666666667
On trouvera dans le répertoire simulation, les valeurs du couple [x, y] trouvées lors de l'exécution de spag4(100) dans le fichier Asim et, les valeurs du couple [x, y] trouvées lors de l'exécution de spagex(100,0.1) dans le fichier Aex. Bien sûr, on doit rajouter dans ces deux programmes une variable globale dans laquelle on engrange les valeurs de [x, y].
Le calcul théorique de la probabilité d'obtenir un triangle est alors :
$\displaystyle {\frac{{1}}{{1-2h}}}$($\displaystyle \int_{h}^{\frac}$12$\displaystyle {\frac{{x}}{{(1-x)*(1-2h)}}}$dx + $\displaystyle \int_{\frac}^{}$12$\scriptstyle {\frac{}{}}$12-2hdx + $\displaystyle \int_{\frac}^{}$12-2h1-h$\displaystyle {\frac{{1-x}}{{x(1-2h)}}}$dx)
ce qui donne la formule :
$\displaystyle {\frac{{1}}{{(1-2h)^2}}}$(ln(2(1 - h)2) + $\displaystyle {\frac{{-6h^2+9h-2}}{{2(1-h)(1-2h)^2}}}$.
En effet,
- quand h < x < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$, on choisit y dans ]x + (1 - x)*h;1 - (1 - x)*h[ (segment de longueur (1 - x)*(1 - 2*h)) on aura un triangle si $ {\frac{{1}}{{2}}}$ < y < x + $ {\frac{{1}}{{2}}}$ (segment de longueur x),
- quand $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ < x < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2-2h}}}$, on choisit y dans ]h.x;x - h.x[ on est sûr d'avoir un triangle car y < x - h*x < $ {\frac{{1}}{{2}}}$,
- quand $\displaystyle {\frac{{1}}{{2-2h}}}$ < x < 1 - h, on choisit y dans ]h.x;x - h.x[ (intervalle de longueur x(1 - 2h)) on aura un triangle si $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ - x < y < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ (intervalle de longueur 1 - x).
d'ou les trois intégrales qu'il faut diviser par 1 - 2h car on choisit x dans ]h;1 - h[ (intervalle de longueur 1 - 2h)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve