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Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et
distincts, le cercle
de diamètre [OA], un point M variable
appartenant au cercle
et distinct des points O et A, ainsi
que les carrés de sens direct MAPN et MKLO.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les
affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.
On note k, l, m, n, p les affixes respectives des points
K, L, M, N, M, P.
1/ Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle
, on a
| m -
| =
.
2/ Établir les relations suivantes :
l = im et p = - im + 1 + i.
On admettra que l'on a également :
n = (1 - i)m + i et k = (1 + i)m
3/ a) Démontrer que le milieu
du segment [PL] est un point
indépendant de la position du point M sur le cercle
.
b) Démontrer que le point
appartient
au cercle
et préciser sa position sur ce cercle.
4/ a) Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est
constante.
b) Quelle est la nature du triangle
NK?
5/ Démontrer que le point N appzartient à un cercle fixe, indépendant
du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve