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Un exercice

Utiliser cette méthode pour calculer numériquement : $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^k}}{{k+1}}}$.
Toutes les dérivées de f (x) = 1/(x + 1) ont un signe constant sur [0; + $ \infty$[ et tendent vers zéro à l'infini, ces dérivées sont donc monotones et on peut donc faire plusieurs accélérations successives.
On va faire "à la main " trois accélérations successives.
On pose :
uk = $\displaystyle {\frac{{(-1)^k}}{{(k+1)}}}$ On tape :
u(k):=(-1)^k/(k+1)
On tape :
v(k):=(-1)^k/(2*(k+1)*(k+2))
On tape :
w(k):=(-1)^k/(2*(k+1)*(k+2)*(k+3))
On tape :
t(k):=(-1)^k*3/(4*(k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4))
On compare ln(2) et les valeurs obtenues pour n = 200, car on sait que :
S = $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{\infty}$(- 1)k$\displaystyle {\frac{{1}}{{(k+1)}}}$ = ln(2) $\displaystyle \simeq$ 0.69314718056
On tape :
serie_sum(u,0,200)
On obtient S à 5*10-3 prés (2 décimales exactes) :
0.69562855486
On tape :
1/2+serie_sum(v,0,200)
On obtient S à 1.23*10-5 prés (4 décimales exactes) :
0.693153307335
On tape :
1/2+1/8+serie_sum(w,0,200)
On obtient S à 6.1*10-8 prés (8 décimales exactes) :
0.693147210666
On tape :
1/2+1/8+1/24+serie_sum(t,0,200)
On obtient S à 4.6*10-10 prés (10 décimales exactes) :
0.693147180781
Les erreurs
Le reste d'une série alternée est du signe de son premier terme et la valeur absolue du reste est inférieure à la valeur absolue de son premier terme :
|$\displaystyle \sum_{{k=n+1}}^{\infty}$(- 1)k$\displaystyle {\frac{{1}}{{(k+1)}}}$| < $\displaystyle {\frac{{1}}{{(n+2)}}}$
Au bout de la p-ième accéleration on calcule la somme de :
uk(p) = (- 1)k$\displaystyle {\frac{{p!}}{{2^p(k+1)(k+2)...(k+p+1)}}}$ et on a :

|$\displaystyle \sum_{{k=n+1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^k p!}}{{2^p(k+1)...(k+p+1)}}}$| < $\displaystyle {\frac{{p!}}{{2^p(n+2)...(n+p+2)}}}$ < $\displaystyle {\frac{{p!}}{{2^p(n+2)^{p+1}}}}$

On vérifie ( ln(2) $\displaystyle \simeq$ 0.69314718055995) :
0.69562855486 < ln(2) < 0.69562855486 + 1/202 = 0.70057904991
0.693153307335 < ln(2) < 0.693153307335 + 1/(2*2022) = 0.693165561036
0.693147210666 < ln(2) < 0.693147210666 + 2/(4*2023) = 0.693147271328
0.693147180781 < ln(2) < 0.693147180781 + 6/(8*2024) = 0.693147181231.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve