next up previous contents index
suivant: Trouver un exemple du monter: Si b = 11115555 précédent: Vérification avec Xcas   Table des matières   Index

Généralisation

On remarque que :
$ \tt 15+1=4^2$
$ \tt 1155+1=34^2$
Soit b = 11...155...5 dont l'écriture contient p fois le chiffre 1 et p fois le chiffre 5. On a donc :
si x s'écrit avec p fois le chiffre 1, on a x = 11...1 = 10p-1 + ...10 + 1 = $ {\frac{{10^p-1}}{{9}}}$,
b = x*10p +5x = x(10p +5) = $ {\frac{{(10^p-1)(10^p+5)}}{{9}}}$ = $ {\frac{{(10^{2p}+4*10^p-5)}}{{9}}}$
Remarque : Pour ne pas alourdir les notations on ne met pas d'indice à x ni à b.
On en déduit que :
b + 1 = $\displaystyle {\frac{{(10^{2p}+4*10^p+4)}}{{9}}}$ = ($\displaystyle {\frac{{10^p+2}}{{3}}}$)2
On a :
$\displaystyle {\frac{{10^p+2}}{{3}}}$ = 3($\displaystyle {\frac{{10^p-1}}{{9}}}$) + 1 = 3x + 1
Ou encore :
puisque 10p = 9x + 1, on a b + 1 = x*10p +5x + 1 = 9x2 + x + 5x + 1 = (3x + 1)2 Conclusion :
b + 1 = 11...155...5 + 1 est le carré de 33...3 + 1 dont l'écriture contient p fois le chiffre 3.

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve