Première droite des moindres carrés est définie pour que la somme
des carrés des écarts
en ordonnée entre les mesures et les points de cette droite soit minimale.
Soient Aj (
0 j
n - 1) les points de coordonnées
(xj, yj)
formant le nuage de points.
Soit D une droite d'équation y = ax + b et soient Bj pour
0
j
(n - 1) les points de D de coordonnées
(xj, axj + b).
On cherche a et b pour que :
S = (yj - axj - b)2 soit minimum.
Pour a fixé le minimum de S est atteint lorsque la droite D passe par
le point moyen G de coordonnées (
,
)) donc lorsque
b = b0 =
- a
.
On trouve ensuite que pour b = b0, S est minimum pour :
a = a0 = =
.
La première droite des moindres carrés est la droite d'équation
y = a0x + b0. Elle a donc pour équation
y = +
(x -
).
Deuxième droite des moindres carrés est définie pour que la somme
des carrés des écarts
en abscisse entre les mesures et les points de cette droite soit minimale.
On change simplement le rôle de X et de Y.
On trouve la droite d'équation :
x = +
(y -
).
Avec Xcas on tape dans une ligne d'entrée de géométrie, pour tracer
le nuage de points :
scatterplot([[1,11],[1,13],[1,14],[2,11],[2,13],
[2,14]]).
ou on tape :
scatterplot([1,1,1,2,2],[11,13,14,11,13])
Ou dans le tableur, on sélectionne l'argument et on utilise le menu
Statistiques du tableur puis 2d et Scatterplot.
On tape dans une ligne d'entrée, pour avoir l'équation de la droite des
moindres carrés :
linear_regression([1,1,1,2,2],[11,13,14,11,13])
On obtient :
-2/3,40/3