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Relation entre M(a, b) et les intégrales elliptiques

Il se trouve que la convergence est très rapide. Le calcul de cette limite en fonction de a et b n'est pas trivial au premier abord. Il est relié aux intégrales elliptiques, plus précisément on peut construire une intégrale dépendant de deux paramètres a et b et qui est invariante par la transformation F(x, y) = $ {\frac{{a+b}}{{2}}}$,$ \sqrt{{ab}}$ :

I(a, b) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{dt}}{{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}}}}$

On a en effet

I(F(a, b)) = I($\displaystyle {\frac{{a+b}}{{2}}}$,$\displaystyle \sqrt{{ab}}$) = $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{du}}{{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+u^2)(ab+u^2)}}}}$

On pose alors

u = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$(t - $\displaystyle {\frac{{ab}}{{t}}}$),    t > 0

t $ \rightarrow$ u est une bijection croissante de t $ \in$ ]0, + $ \infty$[ vers u $ \in$ ] - $ \infty$, + $ \infty$[, donc
I($\displaystyle {\frac{{a+b}}{{2}}}$,$\displaystyle \sqrt{{ab}}$) = $\displaystyle \int_{{0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{dt/2(1+ab/t^2)}}{{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+1/4(t-ab/t)^2)(ab+1/4(t-ab/t)^2)}}}}$  
  = 2$\displaystyle \int_{{0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{dt}}{{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}}}}$ = I(a, b)  

Lorsqu'on est à la limite l = M(a, b), le calcul de I(l, l ) est explicite

I(l, l )= $\displaystyle \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{dt}}{{(l^2+t^2)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{l}}}$

donc

I(a, b) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{M(a,b)}}}$

On peut transformer I(a, b) en posant t = bu

I(a, b) = 2$\displaystyle \int_{{0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{du}}{{\sqrt{(a^2+b^2u^2)(1+u^2)}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2}}{{a}}}$$\displaystyle \int_{{0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{du}}{{\sqrt{(1+(b/a)^2u^2)(1+u^2)}}}}$

Puis en posant u = tan(x) ( du = (1 + u2)dx)

I(a, b) = $\displaystyle {\frac{{2}}{{a}}}$$\displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}$$\displaystyle \sqrt{{\frac{1+\tan(x)^2}{1+(b/a)^2\tan(x)^2}}}$ dx

et enfin en posant tan2(x) = $ {\frac{{\sin(x)^2}}{{1-\sin(x)^2}}}$

I(a, b) = $\displaystyle {\frac{{2}}{{a}}}$$\displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}$$\displaystyle \sqrt{{ \frac{1}{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin(x)^2} }}$ dx

Si on définit pour m < 1

K(m) = $\displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{\sqrt{1-m \sin(x)^2}}}}$

alors on peut calculer K en fonction de I, en posant m = 1 - b2/a2 soit b2/a2 = 1 - m

K(m) = $\displaystyle {\frac{{a}}{{2}}}$I(a, a$\displaystyle \sqrt{{1-m}}$) = $\displaystyle {\frac{{a}}{{2}}}$$\displaystyle {\frac{{\pi}}{{M(a,a\sqrt{1-m})}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2M(1,\sqrt{1-m})}}}$

Donc pour x et y positifs

K(($\displaystyle {\frac{{x-y}}{{x+y}}}$)2) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2M(1,\sqrt{1-(\frac{x-y}{x+y})^2})}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2M(1,\frac{2}{x+y}\sqrt{xy})}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2 \frac{2}{x+y} M(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}) }}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$$\displaystyle {\frac{{x+y}}{{M(x,y)}}}$

et finalement

M(x, y) = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$$\displaystyle {\frac{{x+y}}{{ K\left( (\frac{x-y}{x+y}\right)^2 )}}}$

et si k2 = 1 - m avec k $ \in$ ]0, 1]

KK(m) = $\displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{\sqrt{1-m \sin(x)^2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{2M(1,\sqrt{1-m})}}}$ (5.2)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve