Recette
On choisit le seuil .
Avec une table de loi normale centrée réduite, on cherche,
pour
U
(0, 1), h tel que :
Proba(U h) = 1 -
/2 .
on a alors :
Proba( < h) = 1 -
.
Avec Xcas on tape si
= 0.05 et si
s12 = s12:
a:=normal_icdf(0,s12,1-0.05/2)
On a alors :
Proba(| F1 - F2| < a) = 1 - avec
a = s12*h.
On calcule selon les cas :
que l'on compare à h ou
| f1 - f2| que l'on compare à a.
Si
< h ou
| f1 - f2| < a on admet que les deux
échantillons ne sont pas
significativement différents au seuil
, sinon on dira que les deux
échantillons ne proviennent pas de la même population (voir aussi
l'utilisation de la loi du
en 2.11.2).
Exercice (le même qu'en section 2.11.2)
Pour tester l'efficacité d'un vaccin antigrippal on soumet 300 personnes
à une expérience :
- sur 100 personnes non vaccinées, 32 sont atteintes par la grippe,
- sur 200 personnes vaccinées, 50 sont atteintes par la grippe,
Ce résultat permet-il d'apprécier l'efficacité du vaccin ?
On a le tableau suivant :
grippé | non grippé | taille | |
vacciné | 32 | 68 | 100 |
non vacciné | 50 | 150 | 200 |
total | 82 | 218 | 300 |
On calcule les valeurs f1 et f2 qui sont les proportions des grippés
des deux échantillons on tape :
f1:=32/100
f2:=50/200=25/100
On tape :
f1-f2
On obtient :
7/100
Donc
| f1 - f2| = = 0.07
On calcule la valeur p proportion des grippés lorsqu'on reunit les deux
échantillons on tape :
p:=82/300
On obtient :
41/150
Donc
p 0.273333333333
On calcule s12, on tape :
s12:=sqrt(p*(1-p)*(1/100+1/200))
On obtient :
sqrt(4469/1500000)
Donc
s12 0.0545832697201
La variable F = F1 - F2 suit la loi normale
(0, s12) et
sa valeur est f = 0.07.
On cherche la valeur a qui vérifie :
Proba(| F| > a) = 0.05 ou encore
Proba(F a) = 0.975 et
pour cela on tape :
a:=normal_icdf(0,sqrt(4469/1500000),0.975)
On obtient :
0.10698124281
Puisque |f1-f2|=0.07<a=0.10698124281, on en déduit que les deux
échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% :
on peut donc
dire que le vaccin n'est pas efficace mais ce n'est pas une certitude...
Remarque
On a h:=normal_icdf(0,1,0.975)=1.95996398454
et |f1-f2|=0.07<h*sqrt(4469/1500000)=0.10698124281