On propose pour cela la téchnique suivante :
- Effectuer un développement en série au voisinage de l'origine de :
f1(x) = ,
f2(x) = ,
f3(x) = ,
f (x) = ,
- Montrer, en effectuant le produit des 3 développements en série de
f1, f2, f3, que le coefficient de xn du développement de f est cn.
- Déterminer le développement de f par une autre méthode.
- En déduire cn.
On tape :
On obtient :
On remarque que les coefficients sont :
1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 16, 16, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 36...
On obtient les carrés des entiers puis, le produit de 2 entiers consécutifs :
1, 4, 9, 16, 25, 36 et
1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6...
On suppose donc que :
f (x) = cnxn avec :
c4*k = c4*k+1 = (k + 1)2 et
c4*k+2 = c4*k+3 = (k + 1)*(k + 2)
ce qui donne bien c0 = c1 = 1, c2 = c3 = 2, c4 = c5 = 4,
c6 = c7 = 6...
On a donc :
c100 = c4*25 = 262 = 676
c1000 = c4*250 = 2512 = 63001
On peut bien sûr le vérifier en demandant à xcas :
et
Mais comment montrer que l'on a bien :
f (x) = cnxn avec :
c4*k = c4*k+1 = (k + 1)2 et
c4*k+2 = c4*k+3 = (k + 1)*(k + 2)
On peut penser à décomposer la fraction rationnelle f :
On tape :
On obtient :
ce qui n'est pas simple....
Pour le montrer on peut commencer par montrer que :
vaut :
c'est à dire :
=
cnxn avec :
c4*k = c4*k+2 = (k + 1) et
c4*k+1 = c4*k+3 = 0
puis multiplier par cette série par
xn
On peut aussi regarder le développement en série de f /(1 + x) car :
=
.
On a ;
1/(1 - x2)2 = (n + 1)x2n (
1/(1 - u)2 = (1/(1 - u))' puis u = x2)
1/(1 - x4) = x4n
on multiplie ces deux séries et on obtient :
coefficient de x4n :
1 + 3 + 5 + .... + (2n + 1) = (n + 1)2
coefficient de x4n+2 :
2 + 4 + 6 + .... + (2n + 2) = (n + 1)(n + 2)
donc
f = (1 + x)(n + 1)2x4n + (n + 1)(n + 2)x4n+2
ce qui donne bien la formule annoncée.
Vous pouvez maintenant vous amuser avec le problème similaire :
Soit n un entier positif. Soit cn le nombre de triplets de
qui vérifient :