suivant: Groupes de permutations
monter: Les équations différentielles résolubles
précédent: Équation non résoluble en
Table des matières
Équation de Clairaut
C'est une équation de la forme
y = x*y' + f (y') que l'on résoud en posant
y' = dy/dx = t. On a donc
y = t*x + f (t),(x + f'(t))*dt = 0.
Donc l'intégrale générale est t = m = cste et
x = - f'(t), y = - t*f'(t) + f (t).
Cela définit une infinité de droites Dm d'équation y = mx + f (m)
(
m
) et l'intégrale singulière
x = - f'(t), y = - t*f'(t) + f (t)
qui est l'enveloppe des droites Dm.
Résoudre :
y - xy' =
On pose
y' = dy/dx = t et
f (t) =
.
On a :
f'(t) = b2*t/
donc comme solution les droites :
y = m*x +
et comme intégrale singulière :
x = - b2*t/
, y = - b2*t2/
+
Avec Xcas
On tape :
desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a^
2+b^
2*diff(y)^
2),y)
On obtient :
[c_0*x+sqrt(a^
2+b^
2*c_0^
2),
[-((sqrt(a^
2+b^
2*` t`^
2)*` t`*b^
2)/(`
t`^
2*b^
2+a^
2)), (sqrt(a^
2+b^
2*` t`^
2)*a^
2)/(` t`^
2*b^
2+a^
2)]]
On peut dessiner les solutions avec Xcas, on tape :
assume(a=[1,0,5]);
assume(b=[1,0,5]);
assume(m=[1,-5,5]);
droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve