next up previous contents index
suivant: Le programme monter: La transformation d'Euler pour précédent: La transformation d'Euler pour   Table des matières   Index

La transformation d'Euler

On cherche une approximation de :
$ \sum_{{n=0}}^{\infty}$(- 1)n*u(n)=sum((-1)^n*u(n),n,0,infinity) lorsque u(n) tend vers 0 en décroissant.
On pose : Delta(u))(n)=u(n+1)-u(n) et
delta(u,p,n)=(Delta@@p(u))(n)
On a :
delta(u,2,n)=u(n+2)-2*u(n+1)+u(n)
delta(u,3,n)=u(n+3)-3*u(n+2)+3*u(n+1)-u(n)
delta(u,p,N)=u(n+p)-comb(p,1)*u(n+p-1)+comb(p,2)*u(n+p-2)+
....+(-1)^p*u(n)
c'est à dire :
delta(u,p,n)=sum((-1)^(p-j)*comb(p,j)*u(n+j),j,0,p)
La transformation d'Euler consiste à écrire :
sum((-1)^n*u(n),n,N,infinity)
sous la forme :
(-1)^N*sum((-1)^p*delta(u,p,N)/2^(p+1),p,0,infinity)
Pour prouver cette égalité il suffit de développer la dernière expression et de chercher le coefficient de u(N+k) dans la somme :
$\displaystyle \sum_{{p=0}}^{\infty}$,(- 1)p*$\displaystyle {\frac{{delta(u,p,N)}}{{2^{p+1}}}}$
Le coefficient de u(N+k) est :
s(k)=(-1)^k*sum(comb(k+p,p)/2^(k+p+1),p,0,infinity)
et cette somme vaut (-1)^k quelque soit k entier.
En effet par récurrence :
pour k=0, comb(k+p,p)=1 et
sum(1/2^(p+1),p,0,infinity)=1/2+1/4+...1/2^n+...=1
On a de plus :
- pour p=0, comb(k+p,p)=comb(k+1+p,p)=1
- pour p>0, comb(k+p,p)=comb(k+1+p,p)-comb(k+1+p-1,p-1)
donc
s(k)=(-1)^k*sum(comb(k+1+p,p)/2^(k+p+1),p,0,infinity)-
(-1)^k*sum(comb(k+1+p-1,p-1)/2^(k+1+p-1+1),p,1,infinity)=
-2*s(k+1)-
(-1)^k*sum(comb(k+1+p,p)/2^(k+1+p+1),p,0,infinity)=
-2*s(k+1)+s(k+1)=-s(k+1).
donc si s(k)=(-1)^k alors s(k+1)=(-1)^(k+1).
La transformation d'Euler permet une accélération de convergence car la série :
sum((-1)^p*delta(u,p,N)/2^(p+1),p,0,infinity)
converge plus rapidement.

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve