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La suite des restes de 111...1 par n

Pour avoir la suite des restes, on écrit, avec xcas, le programme suivant :
resteun(n):={
local r,q,a,b;
a:=0;
b:=0;
while (irem(n,2)==0) {
n:=iquo(n,2);
a:=a+1;
}
while (irem(n,5)==0) {
n:=iquo(n,5);
b:=b+1;
}
r:=1;print(r);
q:=0;
while (r!=0){
r:=10*r+1;
q:=10*q+iquo(r,n);
r:=irem(r,n);
print(r);
}
if (a>b) q:=q*5^(a-b); else q:=q*2^(b-a);
return(q);
};
Ce programme suppose que le résultat est vrai car sinon le programme ne s'arrête pas!!!!
Le fait de faire afficher les restes de la division de 1, 11, 111,... par n montre déjà que la suite des restes est périodique puisque ces restes sont en nombre fini car ils sont positifs ou nuls et inférieurs à n. Mais pourquoi la suite des restes contient-elle toujours 0 ?
Supposons que (10k - 1)/9 et (10l - 1)/9 aient le même reste dans la division par n (avec pgcd (n, 10) = 1 et k > l). Cela veut dire que (10k -10l)/9 = 10l*(10k-l - 1)/9 est divisible par n donc que (10k-l - 1)/9 est divisible par n (n divise 10l*(10k-l - 1)/9 n est premier avec 10l donc n divise (10k-l - 1)/9, ce qui prouve bien que la suite des restes contient 0 (le nombre formé par k - l 1 est divisible par n).
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve