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La correction avec Xcas

  1. Première méthode
    On remarque s(x, N) est la partie réelle de $ \sum_{{k=1}}^{N}$exp(ix).
    On tape :
    sum(exp(i*k*x),k,1,N)
    On obtient :
    (exp((i)*(N+1)*x))/(exp((i)*x)-1)-(exp((i)*x))/ (exp((i)*x)-1)
    On tape :
    trigcos(re(sum(exp(i*k*x),k,1,N)))
    On obtient :
    (-cos(x)*cos(x*(N+1))-cos(x)+cos(x*(N+1))- sin(x)*sin(x*(N+1))+1)/(2*cos(x)-2)
    On réécrit la réponse avec tlin puis avec normal et on obtient :
    (-cos(x)-cos(N*x)+cos(x*(N+1))+1)/(2*cos(x)-2)
    donc

    s(x, N) = $\displaystyle {\frac{{(-\cos(x)-\cos(N*x)+\cos(x*(N+1))+1)}}{{(2*\cos(x)-2)}}}$

    Autre méthode
    On peut aussi simplifier : 2*sin(x/2)*s(x, N).
    On tape :
    tlin(2*sin(x/2)*cos(k*x))
    On obtient :
    sin((2*k*x+x)/2)-sin((2*k*x-x)/2)
    Donc on a :

    $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{N}$sin((2kx + x)/2) - sin((2kx - x)/2) = sin((2Nx + x)/2) - sin(x/2)

    et

    2 sin(x/2)*s(x, N) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{N}$2 sin(x/2)cos(kx) = sin((2Nx + x)/2) - sin(x/2)

    On vérifie et on tape:
    tlin(2*sin(x/2)*(-sin(x/2)+sin((2*N+1)*x/2))
    On obtient :
    -1+cos(x)+cos(N*x)-cos(N*x+x)
    On tape:
    trigsin(trigexpand(2*cos(2*(x/2))-2))
    On obtient :
    -4*sin(x/2)^2
    On tape:
    tlin((2*cos((N+1)*x/2)*sin(N*x/2))
    On obtient :
    sin((2*N*x+x)/2)-sin(x/2)
    Donc on peut écrire s(x, N) de 4 manières :

    s(x, N) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{N}$cos(kx) = $\displaystyle {\frac{{\sin((2N+1)x/2)-\sin(x/2)}}{{2\sin(x/2)}}}$ =

    $\displaystyle {\frac{{2\cos((N+1)x/2)\sin(Nx/2))}}{{2\sin(x/2)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{-1+cos(x)+cos(Nx)-cos((N+1)x)}}{{-4\sin^2(x/2)}}}$ =

    $\displaystyle {\frac{{1-cos(x)-cos(Nx)+cos((N+1)x)}}{{2*cos(x)-2)}}}$

  2. On remarque que :

    S'(x, N) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{N}$(- 1)k+1cos(kx) = - $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{N}$cos(k(x + $\displaystyle \pi$) = - s(x + $\displaystyle \pi$, N)

    donc

    S'(x, N) = $\displaystyle {\frac{{\cos(x)-(-1)^N\cos(N*x)+(-1)^{N+1}\cos(x*(N+1))+1}}{{2+2\cos(x)}}}$

    On a :

    S'(x, N) - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{-(-1)^N\cos(N*x)+(-1)^{N+1}\cos(x*(N+1)}}{{2+2\cos(x)}}}$

    On a S(0, N) = 0 donc

    S(x, N) = $\displaystyle {\frac{{x}}{{2}}}$ + $\displaystyle \int_{0}^{x}$ - $\displaystyle {\frac{{(-1)^N\cos(N*t)+(-1)^{N+1}\cos(t*(N+1))}}{{(2+2\cos(x))}}}$dt

    On intègre par partie cette intégrale et on tape :
    ibpu((-(-1)^N*cos(N*x)+(-1)^(N+1)*cos(x*(N+1)))/ (2+2*cos(x)),1/(2+2*cos(x)))
    On obtient après factorisation du 2ième terme :
    [(-(-1)^N*1/(N+1)*sin(x*(N+1))-(-1)^N*1/N*sin(N*x))/ (2+2*cos(x)),(sin(x)*(sin(N*x)*N+sin(N*x)+ sin(x*(N+1))*N)*(-1)^N)/(2*(cos(x)+1)^2*(N+1)*N)]
    Donc

    S(x, N) = $\displaystyle {\frac{{x}}{{2}}}$ +

    $\displaystyle {\frac{{-(-1)^N*1/(N+1)*\sin(x*(N+1))-(-1)^N*1/N*\sin(N*x)}}{{2+2*\cos(x)}}}$ +

    $\displaystyle \int_{0}^{x}$$\displaystyle {\frac{{(-1)^N*\sin(t)*(\sin(N*t)*(N+1)+\sin(t*(N+1))*N)}}{{2*(\cos(t)+1)^2*(N+1)*N}}}$dt

    Si x $ \in$ ] - $ \pi$,$ \pi$[, $\displaystyle \lim_{{N\rightarrow +\infty}}^{}$S(x, N)-$\displaystyle {\frac{{x}}{{2}}}$ = 0 donc

    $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{+\infty}}$(- 1)k+1$\displaystyle {\frac{{\sin(kx)}}{{k}}}$ = x/2

    et si x = - $ \pi$ ou si x = $ \pi$

    $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{+\infty}}$(- 1)k+1$\displaystyle {\frac{{\sin(kx)}}{{k}}}$ = 0


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve