next up previous contents
suivant: Groupes de permutations monter: Les équations différentielles résolubles précédent: Équation non résoluble en   Table des matières


Équation de Clairaut

C'est une équation de la forme y = x*y' + f (y') que l'on résoud en posant y' = dy/dx = t. On a donc y = t*x + f (t),(x + f'(t))*dt = 0.
Donc l'intégrale générale est t = m = cste et x = - f'(t), y = - t*f'(t) + f (t).
Cela définit une infinité de droites Dm d'équation y = mx + f (m) ( m $ \in$ $ \mathbb {R}$) et l'intégrale singulière x = - f'(t), y = - t*f'(t) + f (t) qui est l'enveloppe des droites Dm.
Résoudre :
y - xy' = $ \sqrt{{a^2+b^2*y'^2}}$
On pose y' = dy/dx = t et f (t) = $ \sqrt{{a^2+b^2*t^2}}$.
On a :
f'(t) = b2*t/$ \sqrt{{a^2+b^2*t^2}}$
donc comme solution les droites : y = m*x + $ \sqrt{{a^2+b^2*m^2}}$
et comme intégrale singulière :
x = - b2*t/$ \sqrt{{a^2+b^2*t^2}}$, y = - b2*t2/$ \sqrt{{a^2+b^2*t^2}}$ + $ \sqrt{{a^2+b^2*t^2}}$
Avec Xcas
On tape :
desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a^2+b^2*diff(y)^2),y)
On obtient :
[c_0*x+sqrt(a^2+b^2*c_0^2), [-((sqrt(a^2+b^2*` t`^2)*` t`*b^2)/(` t`^2*b^2+a^2)), (sqrt(a^2+b^2*` t`^2)*a^2)/(` t`^2*b^2+a^2)]]
On peut dessiner les solutions avec Xcas, on tape :
assume(a=[1,0,5]);
assume(b=[1,0,5]);
assume(m=[1,-5,5]);
droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
  i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve