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Un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1 sera dit nombre en 1, si il
s'écrit avec p uns, on le notera xp et on a donc :
xp = (10p -1)/9 = iquo(10p - 1), 9).
Si un nombre premier avec 10 est le diviseur d'un nombre en 1, il divise une
infinité de nombre en 1. En effet
x2p.... xkp sont des multiple de xp car on a
x2p = xp*(10p + 1)
et
xkp = xp*(10(k-1)p + ... +10p + 1).
On a x2 = 11,
x3 = 111 = 3*37,
x4 = 11*101,
x5 = 11111 = 41*271....
Existe-t-il des nombres en 1 qui soit premiers ?
Oui! il y x19 et x23.
On tape :
isprime(iquo(10^
19-1,9)) et on obtient true
on tape :
isprime(iquo(10^
23-1,9)) et on obtient true
Existe-t-il une infinité de nombres en 1 qui soit premiers ?
On ne sait pas !
Étant donné un nombre premier a, on va essayer, dans la suite, de trouver
le plus petit p pour que a soit un diviseur de xp.
Si a = 3, on a p = 3
Si a = 37, on a p = 3 et 3 est un diviseur de 37-1
Si a = 7, on a p = 6 et 6 est un diviseur de 7-1
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve