II/
On considère la suite de fonctions fn de
[0,[ dand
définie par :
f0(x) = x - tan(x) et
fn(x) = fn-1(x) - tan(x)2n+1 pour n
1.
0/ Calculer fn(0) pour tout n 0.
1/ Ouvrir le tableur et faites afficher dans les colonnes :
les valeurs de n, les valeurs de fn(x) et les valeurs de f'n(x),
En observant ces colonnes, déterminer une expression simplifiée de la dérivée de fn. Prouver votre conjecture.
2/ En déduire que pour p 0 :
- la fonction f2p+1 est croissante sur
[0,[.
- la fonction f2p est décroissante sur
[0,[.
3/ Calculer pour p 0,
f2p(
) et
f2p+1(
) en fonction de up et de vp
(on pourra utiliser le tableur pour déterminer la formule, puis on fera
une démonstration).
III/ 1/ Montrer que la limite de u et de v est égale à
( on étudiera le signe de
f2p(
) et de
f2p+1(
)).
2/ Donner un encadrement de
.
Quelle erreur fait-on lorsqu'on prend 4*u6 comme valeur approchée de
?
3/ Trouver une valeur de n pour que 4*un et 4*vn donnent un encadrement de de diamètre inférieur à 10-3.