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Les lieux géométriques

L'instruction lieu permet de tracer le lieu d'un point M, lorsque ce point M est fonction d'un point P pouvant se déplacer sur un objet géométrique G et si on a défini P par P:=element(G)).
Remarque :
Il faut que les paramètres de lieu soient des noms de variables.
Donc pour obtenir le lieu d'un point M, il faut avoir défini ce point par par une affectation à un nom de variable, par exemple M:=....
On écrit alors :
lieu(M,P)
Exemple 1 :
Lieu du centre de gravité du triangle ABC quand A se déplace sur une parallèle à BC.
Ici on cherche le lieu du centre de gravité du triangle PBC lorsque P se déplace sur la parallèle à BC passant par A.
On clique pour obtenir trois points A, B, C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C)); 
P:=element(D);
G:=isobarycentre(P,B,C);  
lieu(G,P);
lieu(G,P) trace le lieu du point G en fonction de P.
Si l'on veut pouvoir animée la figure on tape la liste des instructions qui se trouve dans le fichier lieu1, on clique pour obtenir trois points A, B, C puis, on fait Charger session du menu Fich de xcas et on selectionne lieu1 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier) :
Ou on clique pour créer trois points A, B, C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C)); 
t:=element(-5..5)
P:=element(D,t);
G:=isobarycentre(P,B,C);  
lieu(G,P);
ainsi lorsqu'on déplace la barre verticale indiquant la valeur de t, on voit se déplacer les deux points P et G simultanément.
Exemples 2 et 3 :
Soient deux points A et B et C1 le cercle de diamètre A B. Soit O le centre de ce cercle et C un point variable de ce cercle.
Soit N l'intersection de la tangente en C à C1 avec la parallèle à AC passant par O.
Trouver le lieu de N quand C varie.

La liste des instructions pour trouver ce lieu se trouve dans le fichier lieu2, on clique pour obtenir deux points A, B puis, on fait Charger session du menu Fich de xcas et on selectionne lieu2 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier.
Ou on clique pour créer deux points A, B et on tape :

C1:=cercle(A,B);
O:=milieu(A,B);
C:=element(C1);
T:=tangent(C1,C);
D2:=parallele(O,droite(A,C));
M:=inter(T,D2);
N:=M[0];
lieu(N,C);
Attention M est une liste ayant un seul élément et on ne peut pas écrire lieu(M[0],C) car M[0] n'est pas un nom de variable.
On peut aussi écrire des instructions sans utiliser la fonction tangent et en rajoutant t:=element(0..2*pi); (c'est le fichier lieu3) :
On clique pour créer deux points A, B.
C1:=cercle(A,B);
O:=milieu(A,B);
t:=element(0..2*pi);
C:=element(C1,t);
D1:=perpendiculaire(C,droite(O,C));
D2:=parallele(O,droite(A,C));
M:=inter(D1,D2);
N:=M[0];
lieu(N,C);
Les triangles NOC et NOB sont égaux car leurs angles $ \widehat{{O}}$ sont égaux à l'angle $ \widehat{{CAB}}$ et à l'angle $ \widehat{{OCA}}$. Donc NB est perpendiculaire à AB.
La réciproque est évidente car si N se trouve sur la perpendiculaire à AB en B, on méne par N l'autre tangente au cercle pour définir le point C.
Les triangles rectangles NOC et NOB sont égaux et donc ON est parallèle à AC.
Exemple 4 :
Une droite variable D1 coupe les cotés AB,AC,BC du triangle ABC en D,E,M.
Les cercles circonscrits aux triangles BDM et ECM se coupent en P et M. Trouver le lieu de P quand D1 varie.
On peut faire éxécuter le fichier lieu4 (on clique pour obtenir trois points A, B, C puis on fait Charger session du menu Fich de xcas et on selectionne lieu4 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier) ou,
on clique pour obtenir trois points A, B, C et on tape :
 
Triangle(A,B,C);
u:=element(-4..4);
M:=element(droite(B,C),u);
D:=element(droite(A,B));
D1:=droite(D,M);
E:=(inter(droite(A,C),D1))[0];
C1:=circonscrit(B,D,M);
C2:=circonscrit(E,C,M);
L:=inter(C1,C2);
if (affixe(L[0])==affixe(M)) {Q:=L[1];} else {Q:=L[0];};
P:=Q;
lieu(P,M);
On remarquera que l'on est obligé d'utiliser un point intermédiaire Q pour pouvoir définir P par une affectation.
Le lieu de P est le cercle circonscrit au triangle ABC car l'angle l'angle $ \widehat{{P}}$ du triangle PBC est égal à l'angle $ \widehat{{A}}$ du triangle ABC en écrivant des égalités d'angles inscrits.
Exemple 5 :
Lieu de l'orthocentre du triangle ABC quand A se déplace sur une parallèle à BC.
Ici on cherche le lieu de l'orthocentre du triangle MBC lorsque M se déplace sur la parallèle à BC passant par A.
On peut faire éxécuter le fichier lieu5 (on clique pour obtenir trois points A, B, C puis, on fait Charger session du menu Fich de Xcas et on selectionner lieu5 du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier) ou,
on clique pour obtenir trois points A,B,C et on tape :
D:=parallele(A,droite(B,C));
M:=element(D);
H:=(inter(perpendiculaire(M,droite(C,B)),
          perpendiculaire(C,droite(M,B))))[0] ;
lieu(H,M);
Le lieu est une parabole passant par B et C et de sommet S orthocentre du triangle isocèle PBC (P sur la médiatrice de BC et sur la droite D. On peut à la main avoir assez facilement l'équation de cette parabole ...mais trouver ce lieu en géométrie pure est plus difficle!
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve