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- Exercice 1
Sur un registre d'état civil, on a relevé 552 naissances dont 289
garçons.
a/ Estimer la fréquence p de naissance d'un garçon.
b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
Réponse
a/ on a
f = 289/552
0.523, on estime donc p à 0.523
b/ Soit pest un nombre entre 0 et 1 et on fait l'hypothése bilatérale :
H0 : p = pest (
H1 : p
pest).
Peut-on accepter ou rejeter l'hypothèse p = pest au seuil
= 0.05 ?
Soit X la variable aléatoire égale à 1 pour la naissance d'un garçon et égale à 0 pour la naissance d'une fille. Soient
X1...X552 les variables X
correspondant aux 552 naissances et soit Y la variable aléatoire égale à
= moyenne du nombre de garçons obtenus pour
un échantillon d'effectif 552.
La distribution Y est voisine d'une distribution normale de moyenne pest
et d'écart type
=
pest(1-pest)552.
On a donc
Proba(| Y - pest| < 1.96
) = 0.95.
La valeur de Y lors de l'expérimentation est 289/552.
Soit A l'évènement
| Y - pest|
1.96
.
On rejette l'hypothèse bilatérale p = pest si
Proba(A)
0.05 et
on l'accepte sinon.
Pour quelles valeurs de pest
a-t-on
P(A)
= 0.05 ?
On a :
Proba(| Y - pest| = | 289/552 - pest|
1.96
pest*(1-pest)552) = 0.95
Résolvons l'inéquation où l'inconnue est pest :
(289/552 - pest)2 -1.962*
< 0
ce qui veut dire que pest est à l'intérieur des
racines de l'équation en x :
(289 - 552x)2 -1.962*552x*(1 - x) = 0.
On tape :
solve((289-552*x)^
2-1.96^
2*552*x*(1-x)=0)
On obtient :
[0.481866594885,0.564909321131]
Ou on tape :
solve((289-552*x)^
2-1.96^
2*552*x*(1-x)<0)
On obtient :
[(x>0.481866594885) && (x<0.564909321131)]
Conclusion : on a
p
[0.481 ; 0.565] avec une probabilité de
0.95.
Remarque : on peut faire un calcul plus rapide car
on peut estimer
par :
f*(1-f )551 =
0.0212770747076.
Donc
k = 1.96*0.0213 < 0.042 ce qui donne comme intervalle de
confiance de p au seuil de 5% égal à :
[0.523 - 0.042 = 0.481 ; 0.523 + 0.042 = 0.565]
Avec Xcas, on tape :
normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.025)
On obtient :
0.481848424514
normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.975)
On obtient :
0.565253024761
ce qui donne
[0.4818 ; 0.5653] comme intervalle de
confiance de p au seuil de 5%.
- Exercice 2
Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
Réponse
On a :
n = 458,
f = 141/458
0.307860262009,
= 0.0215931304967
normal_icdf(0,1,0.995)=2.57582930355
2,58
On obtient, si Y est la variable aléatoire moyenne du nombre de décès
pour des échantillons de taille 458 :
P(| Y - p|
k) = 0.01 pour
k = 0.258*
0.056
donc un intervalle de confiance du pourcentage de décès, au seuil de 0.01
égal à :
[0.252; 0.364]
Avec Xcas, on tape :
normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.005)
On obtient :
0.25224004372
normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.995)
On obtient :
0.363480480297
ce qui donne
[0.252 ; 0.364], comme intervalle de
confiance de p au seuil de 5%.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve