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Avec les cercles circonscrits à BAD, CBE et ACF

On trace les cercles C1, C2 et C3 circonscrits aux triangles ADB, BEC et CFA de centres respectifs G1, G2 et G3.
Montrons que ces trois cercles sont concourants en un point T.
Soit T le point d'intersection de C1 et C2, on a :
$ \widehat{{BDA}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$.
Comme l'angle $ \widehat{{BTA}}$ intercepte le même arc BA que l'angle $ \widehat{{BDA}}$ de C1 on a :
$ \widehat{{BTA}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ ou $ \widehat{{BTA}}$ = $ {\frac{{2\pi}}{{3}}}$ de même :
$ \widehat{{BTC}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ ou $ \widehat{{BTC}}$ = $ {\frac{{2\pi}}{{3}}}$ donc :
soit $ \widehat{{CTA}}$ = $ \widehat{{BTC}}$ + $ \widehat{{BTA}}$ si TB est entre TC et TA
soit $ \widehat{{CTA}}$ = |$ \widehat{{BTC}}$ - $ \widehat{{BTA}}$| sinon.
Donc $ \widehat{{CTA}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ ou $ \widehat{{CTA}}$ = $ {\frac{{2\pi}}{{3}}}$ et donc CAFT sont cocycliques.
On a donc montré que T se trouve sur C3.
Comme G1G2 (resp G1G3 ou G2G3) est perpendiculaire à BT (resp à AT ou à CT) et que $ \widehat{{G_2G_1G_3}}$ + $ \widehat{{G_1G_2G_3}}$ + $ \widehat{{G_1G_3G_2}}$ = $ \pi$ on a :
$ \widehat{{G_2G_1G_3}}$ = $ \widehat{{G_1G_2G_3}}$ = $ \widehat{{G_1G_3G_2}}$ = $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$
ce qui prouve que le triangle G1G2G3 est équilatèral.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve