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Méthode probabiliste de Mr Rabin

Si N est premier alors tous les nombres K strictement inférieurs à N sont premiers avec N, donc d'après le petit théorème de Fermat on a :
KN-1 = 1 mod N
Par contre, si N n'est pas premier, les entiers K (1 < K < N) vérifiant :
KN-1 = 1 mod N sont peu nombreux.
La méthode probabiliste de Rabin consiste à prendre au hasard un nombre K dans l'intervalle [2 ; N - 1] ( 1 < K < N) et à calculer :
KN-1  mod N
Si KN-1 = 1  mod N on refait un autre tirage du nombre K, et, si KN-1 $ \neq$ 1  mod N on est sûr que N n'est pas premier.
Si on obtient KN-1 = 1  mod N pour 20 tirages successifs de K on peut conclure que N est premier avec une probabilité d'erreur faible :
on dit alors que N est pseudo-premier.
Bien sûr cette méthode est employée pour savoir si de grands nombres sont pseudo-premiers mais on préfére utiliser la méthode de Miller-Rabin (cf 5.12) qui est aussi une méthode probabiliste mais qui donne N premier avec une probabilité d'erreur plus faible (inférieure à (0.25)20 si on a effectué 20 tirages, soit, une erreur de l'ordre de 10-12).

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve