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Épicycloïde
Une épicycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle C, de
centre A et de rayon R, qui
roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon
R0, lorsque C se trouve à l'extérieur de C0.
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox,
si P est le point de contact de C avec
C0 lorsque C a tourné d'un angle u, P a tourné d'un angle
t sur C0, on a :
= R0t = Ru,
= (R + R0)(cos(t) + i sin(t)),
= R(cos(t) + i sin(t)),
=rotation(
A, u,
) = - R(cos(t) + i sin(t))(cos(u) + i sin(u)) =
- R(cos(u + t) + i sin(u + t)) = - R(cos((R0/R + 1)t) + i sin((R0/R + 1)t))
On a :
=
+
= (R + R0)(cos(t) + i sin(t)) - R(cos((R0/R + 1)t) + i sin((R0/R + 1)t))
Si on pose R0/R + 1 = m, l'équation paramétrique d'une épicycloïde est
donc :
x = R(m cos(t) - cos(mt)); y = R(m sin(t) - sin(mt))
La courbe se referme si
2k
R0 = 2n
R c'est à dire si le rapport
R0/R est rationnel.
Cas particuliers
R = R0 on a une cardioïde,
R = R0/2 on a une néphroïde de rebroussement,
Avec Xcas
On tape :
C:=cercle(0,3);
R:=element(0.1..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
t=-10..10,affichage=rouge);
On a choisit R0 = 3. On peut ainsi faire varier R et voir les 4 cas :
R = 1, R = 1.5, R = 3, R = 4.
On peut faire une animation et voir le déplacement d'un point M d'un
cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule
à l'extérieur d'un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :
C:=cercle(0,3);
R:=element(0..5);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve