2/ En déduire que, pour n > p > 0,
3/ En faisant tendre n vers + , montrer que
4/ On pose
wn = un + et
tn = un +
.
En utilisant le tableur, montrer que wn et tn sont deux suites adjacentes qui convergent vers
plus rapidement que un et vn.
Trouver une valeur de n pour que 4wn et 4tn donnent un encadrement de
de diamètre inférieur à 10-3.
Correction et prolongement
u10 = -
=
On encadre les termes de la série :
(
-
) <
<
(
-
)
donc
(
-
) < un - up-1 <
(
-
).
On a :
w10 = u10 + =
+
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
.
On a :
<
<
donc
(
-
) <
<
(
-
)
On a donc comme précédemment :
(
-
) < wn - wp-1 <
(
-
)
On pose donc :
s10 = w10 +
s10 = +
On peut continuer le même processus en encadrant les termes de la série :
et on pose :
r10 = s10 +
r10 = +
On tape pour avoir la valeur approchée de
:
evalf(pi/4)
On obtient :
0.785398163397
On tape pour avoir la valeur approchée de u10 :
sum(2.0/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)
On obtient :
0.774040381616
On tape pour avoir la valeur approchée de w10 :
sum(2/((4*k+1)*(4*k+3)),k,0,10)+1.0/(2*45)
On obtient :
0.785151492727
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de w10 :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+0.5
On obtient :
0.785151492727
On tape pour avoir la valeur approchée de s10 :
sum(4/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)),k,0,10)+
1.0/2+1/(2*45*49)
On obtient :
0.785378250097
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de s10 :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+0.6
On obtient :
0.785378250097
On tape pour avoir la valeur approchée de r10 :
sum(24/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)),k,0,10)+
0.6+2/(45*49*53)
On obtient :
0.78539536386
Ou on tape pour avoir la valeur approchée de r10 :
sum(240/((4*k+1)*(4*k+3)*(4*k+5)*(4*k+9)*(4*k+13)),k,0,10)
+29.0/45
On obtient :
0.78539536386
On a pour la dernière somme 5 décimales exactes de /4 :
| l - z10| < 2(1/(41*45*49) - 1/(45*49*53)) < 5.1*10-6