Première méthode
On remarque s(x, N) est la partie réelle de
exp(ix).
On tape :
sum(exp(i*k*x),k,1,N)
On obtient :
(exp((i)*(N+1)*x))/(exp((i)*x)-1)-(exp((i)*x))/ (exp((i)*x)-1)
On tape :
trigcos(re(sum(exp(i*k*x),k,1,N)))
On obtient :
(-cos(x)*cos(x*(N+1))-cos(x)+cos(x*(N+1))- sin(x)*sin(x*(N+1))+1)/(2*cos(x)-2)
On réécrit la réponse avec tlin puis avec normal et on
obtient :
(-cos(x)-cos(N*x)+cos(x*(N+1))+1)/(2*cos(x)-2)
donc
s(
x,
N) =
Autre méthode
On peut aussi simplifier :
2*sin(x/2)*s(x, N).
On tape :
tlin(2*sin(x/2)*cos(k*x))
On obtient :
sin((2*k*x+x)/2)-sin((2*k*x-x)/2)
Donc on a :

sin((2
kx +
x)/2) - sin((2
kx -
x)/2) = sin((2
Nx +
x)/2) - sin(
x/2)
et
2 sin(
x/2)*
s(
x,
N) =

2 sin(
x/2)cos(
kx) = sin((2
Nx +
x)/2) - sin(
x/2)
On vérifie et on tape:
tlin(2*sin(x/2)*(-sin(x/2)+sin((2*N+1)*x/2))
On obtient :
-1+cos(x)+cos(N*x)-cos(N*x+x)
On tape:
trigsin(trigexpand(2*cos(2*(x/2))-2))
On obtient :
-4*sin(x/2)^
2
On tape:
tlin((2*cos((N+1)*x/2)*sin(N*x/2))
On obtient :
sin((2*N*x+x)/2)-sin(x/2)
Donc on peut écrire s(x, N) de 4 manières :
s(
x,
N) =

cos(
kx) =

=

=

=