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Avec le tableur

On pose a = r0 et b = r1, et on définit, dans la colonne A, "la suites des restes" rn : pour n $ \geq$ 2, rn-2 = qnrn-1 + rn avec rn < rn-1.
Puis on définit, dans les colonnes B et C, deux suites un et vn de façon qu'à chaque étape on ait : rn = una + vnb pour n $ \geq$ 0.
Puisque r0 = a on a : u0 = 1 et v0 = 0
Puisque r1 = b on a : u1 = 0 et v1 = 1
Puisque rn = rn-2 - qnrn-1 pour n $ \geq$ 2, un et vn vérifient la même relation de récurrence pour n $ \geq$ 2 à savoir :
un = un-2 - qnun-1 et vn = vn-2 - qnvn-1 avec
qn = quotient entier de rn-2 par rn-1 pour n $ \geq$ 2.
On a au début :
A0 vaut r0 = a et A1 vaut r1 = b,
B0 vaut u0 = 1 et B1 vaut u1 = 0 puisque a = 1*a + 0*b,
C0 vaut v0 = 0 et C1 vaut v1 = 1 puisque b = 0*a + 1*b.
Dans la colonne A on veut avoir la suite des restes et dans les colonnes B et C les suites u et v qui seront les coefficients de a et b pour avoir sur chaque ligne n du tableur : An=aBn+bCn.
Pour cela on a besoin de la suite des quotients qn = (quotient entier de rn-2 par rn-1 pour n $ \geq$ 2) que l'on met dans la colonne D (D2=iquo(A0,A1) puis on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D2 est en surbrillance).
Les lignes ln des colonnes A, B, C vérifient la même relation de récurrence :
ln = ln-2 - qnln-1
On definit donc :
A0 par a
A1 par b
A2 par =irem(A0,A1)
puis on tape sur remplir et vers le bas,lorsque A2 est en surbrillance pour avoir la suite des restes des divisions successives.
B0 par 1
B1 par 0
B2 par =B0-D2*B1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B2 est en surbrillance, pour avoir la suite des "u" lorsqu'on aura rempli la colonne D.
C0 par 0
C1 par 1
C2 par =C0-D2*C1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque C2 est en surbrillance, pour avoir la suite des "v" lorsqu'on aura rempli la colonne D.
D0 par 0
D1 par 0
D2 par =iquo(A0,A1)
(en fait D0 et D1 ne servent pas)
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque D2 est en surbrillance, pour avoir la suite des quotients des divisions successives.
Le tableur va alors afficher les valeurs de ces différentes suites et sur la ligne du dernier reste non nul on pourra lire les coefficients de l'identité de Bézout.
Pour l'exemple a = 78 et b = 56, on trouve :
- sur la ligne 6 : A6=0 et,
- sur la ligne 5 : A5=2, B5=-5, C5=7 (et D5=1),
ce qui signifie que :
2=-5*78+7*56
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve