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Partie B

1/ On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0; + $ \infty$[ dans $ \mathbb {R}$. La variable réelle t désigne le temps exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution sur l'intervalle [0; + $ \infty$[, de l'équation différentielle (E1) : y' = $\displaystyle {\frac{{y}}{{4}}}$.

a) Résoudre l'équation différentielle (E1).

b) Déterminer l'expression g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est à dire g(0) = 1.

c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

2/ En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u ainsi définie, satisfait aux conditions :

(E2) : $\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{rcl}
u'(t)&=&\displaystyle\frac{...
...t)^2}{12}  \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\
u(0)&=&1
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
u'(t)&=&\displaystyle\frac{u(t)}{4}-\frac{u(t)^2}{12}  \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\
u(0)&=&1
\end{array}$

u' désigne la fonction dérivée de u.

a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0; + $ \infty$[, la fonction h définie par h = $\displaystyle {\frac{{1}}{{u}}}$. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions :

(E3) : $\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{rcl}
h'(t)&=&\displaystyle \frac{...
...ac{1}{12}  \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\
h(0)&=&1
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
h'(t)&=&\displaystyle \frac{-h(t)}{4}+\frac{1}{12}  \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\
h(0)&=&1
\end{array}$

h' désigne la fonction dérivée de h.

b) Donner les solutions de l'équation différentielle y' = $\displaystyle {\frac{{-y}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{12}}}$ et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

c) Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + $ \infty$ ?


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve