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Soient deux points A et B.
Un point M se déplace sur le cercle C de centre O
et de
rayon 1. On choisit A et B pour que la droite AB
ne coupe pas le cercle C.
On cherche dans ce cas, à minimiser le trajet AM+MB.
Avec xcas on va faire apparaître sur le même écran, le dessin
géométrique et le graphe G de la fonction
longueur(AM)+longueur(MB)-3
lorsque M se déplace sur le cercle C (on enlève 3 pour
avoir le graphe en entier).
On régle la fenêtre graphique pour voir :
On clique sur deux points pour définir A et B.
On tape :
C:=cercle(0,1);
t:=element(0..2*pi);
M:=point(exp(i*t));
L(A,B,t):=evalf(longueur(A,exp(i*t))+longueur(B,exp(i*t)));
G:=plotfunc(L(A,B,x)-3,x);
N:=element(G,t);
bissectrice(M,A,B);
exbissectrice(M,A,B);
Ensuite lorsque l'on fait bouger t les points M et N
bougent,
l'un sur le cercle C, l'autre sur le graphe G et l'on peut
voir que le minimum est atteint quand une bissectrice de l'angle M
passe par
O.
On peut aussi faire varier B pour voir ce qu'il se passe quand la
droite
AB coupe C c'est à dire quand la solution est evidente...
Solution dans un cas particulier
On peut démontrer que lorsque le triangle OAB est isocéle de
sommet
O le point M du cercle C de centre O qui rend le trajet AM + MB
minimum se trouve sur la bissectrice intérieure de l'angle
. En effet soient deux points N1 et N2
du cercle C symétriques par rapport à cette bissectrice (qui est
aussi la médiatrice de AB). On a donc AN1 = BN2 et AN2 = BN1 et donc
AN1 + N1B = AN1 + AN2.
Soient K le milieu de N1N2 et J le milieu de AB.
Les points
0, K, M, J sont tous sur la médiatrice de AB et
puisque JK > JM (K milieu de la corde N1N2 et
M milieu de l'arc N1N2), on en déduit que :
d'aprés l'inégalité triangulaire on a
2AK < AN1 + AN2
donc
AM + MB = 2AM < 2AK < AN1 + AN2
ce qui prouve que AM + MB est minimum.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve