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Comment faire pour que l'une des valeurs de f déjà calculée serve
à l'étape suivante ?
La solution se trouve dans la suite de Fibonacci, suite définie par :
u0 = 1, u1 = 2,
un = un-2 + un-1 dont les premiers termes sont :
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Par exemple si on partage [a;b] en 89 parties égales si
l = (b - a)/89,
on choisit c = a + 34*l et d = a + 55*l et ainsi on a :
c - a = 34*l, d - c = 21*l, b - d = 34*l (car 89=55+34 et 34+21=55 puisque
21,34,55,89 sont des termes consécutifs de la suite de Fibonacci).
On calcule f (c) et f (d ) puis on réduit l'intervalle en un intervalle de
longueur
(b - a)*55/89, par exemple si l'intervalle suivant est [a;d] et, si
on recommence le processus, le point c est le futur point d.
Donc à chaque étape il suffit de calculer une seule valeur de f pour
passer de l'intervalle [a;b] (proportionnel à un) à l'intervalle
[a;d] ou [c;b] (proportionnel à un-1). Il y a bien sûr le cas
f (c) = f (d ) où il faut à l'étape suivante calculer deux valeurs de f,
mais dans ce cas on gagne 3 étapes car on passe de l'intervalle [a;b]
(proportionnel à un) à l'intervalle [c;d] (proportionnel à
un-3).
Selon la valeur eps de la longueur de l'encadrement, on calcule
k : = ceil (2*(b - a)/eps); et la première valeur t = un de la suite de
Fibonacci supérieure à k. il faut alors diviser l'intervalle [a;b] en
t parties égales. On applique alors plusieurs fois le processus et on
s'arrête quand n = 1, c'est à dire quand l'intervalle a été réduit
à un intervalle de longueur 2*(b - a)/t qui est, grace au choix de t
(
t > k > 2*(b - a)/eps) inférieur à eps.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve