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L'algorithme est basé sur :
1/ Le petit théorème de Fermat:
AN-1 = 1 mod N si N est premier et si A < N.
2/ Si N est premier, l'équation
X*X = 1 mod N n'a pas d'autres
solutions que
X = 1 mod N ou
X = - 1 mod N.
En effet il existe un
entier k vérifiant
X*X - 1 = (X + 1)*(X - 1) = k*N donc,
puisque N est premier, N divise X + 1 ou X - 1. On a donc soit
X = 1 mod N ou
X = - 1 mod N.
On élimine les nombres pairs que l'on sait ne pas être premiers.
On suppose donc que N est impair et donc que N - 1 est pair et s'écrit :
N - 1 = 2t*Q avec t > 0 et Q impair.
Si
AN-1 = 1 mod N c'est que
AN-1 mod N est le carré de
B = A
N-12 = A2t-1Q mod N.
Si on trouve
B
1 mod N et
B
-1 mod N on est sûr que N
n'est pas premier.
Si
B = - 1 mod N on recommence avec une autre valeur de A.
Si
B = 1 mod N on peut recommencer le même raisonnement si
est encore pair
(
B = A
N-12 = (A
N-14)2 mod N) ou
si
est impair, on recommence avec une autre valeur de A.
On en déduit que :
si N - 1 = 2t.Q et
si
AN-1 = 1 mod N et
si
AQ
1 mod N et
si pour
0
ex < t on a
A2ex.Q
-1 mod N c'est que N n'est pas premier.
D'où la définition :
Soit N un entier positif impair égal à 1 + 2t*Q avec Q impair.
On dit que N est pseudo-premier fort de base A si :
soit
AQ = 1 mod N
soit si il existe e,
0
e < t tel que
AQ*2e = - 1 mod N.
On voit facilement qu'un nombre premier impair est pseudo-premier fort dans
n'importe quelle base A non divisible par N.
Réciproquement on peut montrer que si N > 4 n'est pas premier, il existe
au plus N/4 bases A (1 < A < N) pour lesquelles N est pseudo-premier fort
de base A.
L'algorithme va choisir au hasard au plus 20 nombres Ak compris entre 2
et N - 1 : si N est pseudo-premier fort de base Ak pour k = 1..20 alors
N est premier avec une tres forte probabilité égale à
(1/4)20( < 10-12).
Bien sûr cette méthode est employée pour savoir si de grands nombres
sont pseudo-premiers.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve