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Accélération de convergence vers
/6
On considère la série de terme général 1/n2, et
on souhaite déterminer une valeur approchée de sa somme pour n allant
de 1 à l'infini.
On rappelle que la valeur exacte de cette somme est égale à
/6 :
pour cela on développe en séries de Fourier la fonction f qui est
2
-périodique et est égale à x2 sur
[-
,
].
On a :
f (x) = x2 =
+4*
cos nx pour
x
[-
,
]
Pour x =
on obtient :

=
.
- Déterminer à l'aide de Xcas une valeur approchée de
/6 puis de:
pour n = 10, n = 100 et n = 1000.
Définir et observer dans le tableur la suite récurrente :
pour n > 1.
Réponse :
On cherche une valeur approchée de
et on tape :
evalf(pi^
2/6)
On obtient :
1.64493406685
On tape :
evalf(sum(1/j^
2,j,1,10))
On obtient :
1.54976773117
On tape :
evalf(sum(1/j^
2,j,1,100))
On obtient :
1.63498390018
On tape :
evalf(sum(1/j^
2,j,1,1000))
On obtient :
1.64393456668
Puis on ouvre un tableur (avec Alt+t) et on tape :
dans A0 : 0
dans A1 : =A0+1
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque A1 est en
surbrillance,
pour avoir la suite des entiers 0,1, etc...
On tape :
dans B0 : 0
dans B1 : =B0+1/A1^
2
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque B1 est en
surbrillance,
pour avoir la suite des valeurs exactes de un.
On tape :
dans C0 : =evalf(B0)
puis, on tape sur remplir et vers le bas, lorsque C0 est en
surbrillance,
pour avoir la suite des valeurs approchées de un.
- Comparer ces valeurs à la valeur approchée de
/6 : donner
le nombre de décimales exactes pour les 3 valeurs de n.
- On souhaite accélérer la convergence des sommes partielles.
On va donc déterminer un encadrement de
1/j2
à l'aide de l'intégrale de la fonction 1/x2.
Montrer que:
- En déduire que:
- Calculer
+ 
pour
n = 10, n = 100
et n = 1000 et déterminer le nombre de décimales exactes pour ces
3 valeurs de n, justifier ce nombre de décimales pour n = 10,
n = 100 et n = 1000.
Avec le tableur, il suffira d'ajouter
à la colonne où se
trouve un.
- Montrer que pour k
2 on a :
En déduire que :
wn = un + 1/(n + 1) + 1/2/(n + 1)/(n + 2) converge vers
/6 et que l'on a :
0 <
/6 - wn < 1/n3
Réponse :
On tape :
normal(1/k^
2-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k+1)+1/2/(k+1)/(k+2))
On obtient :
2/(k^
4+3*k^
3+2*k^
2)
On tape :
normal(1/(k^
2)-1/k+1/(k+1)-1/2/k/(k-1)+1/2/(k+1)/k)
On obtient :
-1/(k^
4-k^
2)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve