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Autres exercices

  1. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{k}}{{n^2}}}$sin($\displaystyle {\frac{{k\pi}}{{n}}}$).
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(k/n^2*sin(k*pi/n),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{1}{\pi}$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$x sin($\displaystyle \pi$x)dx vaut $\displaystyle {\frac{{1}}{{\pi}}}$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(x*sin(pi*x),x,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{1}{\pi}$

  2. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$sin($\displaystyle {\frac{{k*x}}{{n}}}$).
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(1/n*sin(k*x/n),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{-cos(x)+1}{x}$

    En effet $\displaystyle \int_{0}^{1}$sin(t*x)dt = - $\displaystyle {\frac{{\cos(t*x)}}{{x}}}$|t=1 + $\displaystyle {\frac{{\cos(t*x)}}{{x}}}$|t=0 = $\displaystyle {\frac{{-\cos(x)+1}}{{x}}}$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(sin(t*x),t,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{-cos(x)}{x}+\frac{1}{x}$

  3. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{k^2}}{{n^2}}}$sin($\displaystyle {\frac{{k\pi}}{{n}}}$).
    Trouver un equivalent de Sn quand n $ \rightarrow$ + $ \infty$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(k^2/n^2*sin(k*pi/n),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{pi^2*n-4*n}{pi^3}$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$x2sin($\displaystyle \pi$x)dx vaut $\displaystyle {\frac{{\pi^2-4}}{{\pi^3}}}$ et Sn est le produit de n par une somme de Riemann de cette intégrale.
    On tape :

    $\displaystyle \tt normal(int(x^2*sin(pi*x),x,0,1))$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{\pi^2-4}{\pi^3}$

    Sn est donc équivalente à n*$\displaystyle {\frac{{\pi^2-4}}{{\pi^3}}}$ quand n $ \rightarrow$ + $ \infty$.
  4. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{\sin(\frac{\pi}{n})}}{{2+\cos(\frac{k\pi}{n})}}}$.
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(sin(pi/n)/(2+cos(k*pi/n)),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt0$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{2+\cos(\pi x)}}}$dx vaut $\displaystyle {\frac{{1}}{{\pi}}}$ et Sn est le produit de n sin($ \pi$/n) par une somme de Riemann de cette intégrale.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/(2+cos(pi*x)),x,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt0$

    On tape :

    $\displaystyle \tt limit(n*sin(pi/n),n=+infinity)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt pi$

    La limite de Sn est donc 0 (0*$ \pi$ = 0) quand n $ \rightarrow$ + $ \infty$.
  5. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{k^2+n^2}}}}$.
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(1/sqrt(k^2+n^2),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt -log(\sqrt2-1)$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{\sqrt{1+x^2}}}}$ vaut - (ln($ \sqrt{2}$ -1))$ \pi$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/sqrt(1+x^2),x,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt -(log(\sqrt2-1))$

  6. Soit Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{n}}{{n^2+k^2t^2}}}$.
    Calculer $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn.
    On tape :

    $\displaystyle \tt sum\_riemann(n/(k^2*t^2+n^2),[n,k])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt atan(t^2/abs(t))/abs(t)$

    En effet l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{dx}}{{x^2*t^2+1}}}$ vaut $\displaystyle {\frac{{\arctan(\vert t\vert)}}{{\vert t\vert}}}$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/(x^2*t^2+1),x,0,1)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{atan(\frac{t^2}{abs(t)})}{abs(t)}$


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve