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Équation non résoluble en y'
On sait résoudre si l'équation est :
- incomplète en x
c'est à dire l'équation est de la forme F(y, y') = 0
- incomplète en y
c'est à dire l'équation est de la forme F(x, y') = 0
- homogéne en x et y et non résoluble en y'
c'est à dire l'équation est de la forme
F(y/x, y') = 0 aprés division par
une puissance convenable de x.
- de la forme
y = x*y' + f (y') c'est à dire est une équation de
Clairaut : pour la résolution voir 17.8
On sait résoudre ces équations à condition de trouver un paramétrage de
de la courbe F(X, Y) = 0 par
X = f (t), Y = g(t).
On pose alors :
- Équation incomplète en x
y = f (t), dy/dx = g(t)
- Équation incomplète en y
x = f (t), dy/dx = g(t)
- Équation homogéne en x et y et non résoluble en y'
y/x = f (t), dy/dx = g(t)
- Résoudre :
y2 + y'2 = 1
On pose :
y' = tety =
ou
y = -
dy = - s*t*dt/
avec s = ±1
dx = dy/t = - s*dt/
x = - s* asin (t) + k avec k = cste donc
s*x + k = asin (t) et
sin(s*x + k) = t
y = s*
donc
y = s*
= ±cos(s*x + k)2)
les solutions sont donc :
[cos(x + k1), - cos(x + k2)]
- Résoudre :
y2 + y'2 = 1, y(0) = 1/2
si y(0) = 1/2 on a k = pi/3 et
cos(x + pi/3) = sin(pi/6 - x)
les solutions sont donc :
[cos(x + pi/3) = sin(pi/6 - x), - cos(x + 2*pi/3) = sin(pi/6 + x)]
Avec Xcas
On tape :
desolve(y^
2+y'^
2=1,y)
On obtient :
[sin(-c_0+x),sin(-c_0-x)]
On tape :
desolve([y^
2+y'^
2=1,y(0)=1/2],y)
On obtient :
[sin(pi/6+x),sin(pi/6-x)]
- Résoudre :
(y + y')4 + y' + 3*y
On pose :
y + y' = 2t ce qui donne :
y = - t - 8t4 et
dy/dx = 2t - y = 3t + 8t4 soit
dx = dy/(3t + 8t4)
on a donc :
dy/dt = - 1 - 32t3 et
dx = (- 1 - 32t3)/(3t + 8t4)dt
On tape :
int((-1-32*t^
3)/(3*t+8*t^
4),t)
On obtient :
(ln(1/(abs(t)^
3*abs(8*t^
3+3)^
11)))/9
donc
x = - (ln(abs(t)3*abs(8*t3 +3)11))/9 + k et
y = - t - 8*t4
Avec Xcas
On tape :
desolve((y+diff(y))^
4+diff(y)+3*y,y)
Mais on n'obtient pas de résultat.
- Résoudre :
y'2 = 4*sqrt(y)
On a :
y' = 2*y
14
2*y(3/4)/3 = x + k
Donc :
y = (3(x + k)/2)(4/3) = exp(4/3*ln(3(x + k)/2)
Avec Xcas
On tape :
desolve((diff(y))^
2=(4*sqrt(y)),y)
On obtient :
[exp(4*ln(((-48*c_0+96*x)^
(1/3))/4)),...]
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve