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Tests d'hypothèses pour $ \mu$

On va faire différents tests d'hypothèses pour $ \mu$.
Comme l'intervalle de confiance pour $ \sigma$ au seuil de 5% ne donne pas $ \sigma$ avec une grande précision on va utiliser la loi de Student pour avoir des renseignements sur $ \mu$.
La variable statistique T = $ \sqrt{{n-1}}$($ {\frac{{\bar X-\mu}}{{S}}}$) suit une loi de Student à (n - 1) degrés de liberté. Cette variable ne dépend pas de $ \sigma$.

- On teste H0 : $ \mu$ = 10 et H1 : $ \mu$ > 10 au seuil de 5%
On veut tester les hypothèses, H0 : $ \mu$ = 10 et H1 : $ \mu$ > 10 au seuil de 5%.
Règle :
Si la valeur t de T pour l'échantillon est telle que t < a pour a défini par :
Proba(T < a) = 0.95
on accepte l'hypothèse unilatérale à droite H0 ($ \mu$ = 10) au seuil de 5%.
On lit dans la table de Student que :
Proba(T9 < 1.833) = 0.95.
Avec Xcas on tape :
a:=student_icdf(9,0.95)
On obtient :
1.83311293265
donc a $ \simeq$ 1.833
On calcule t = $\displaystyle \sqrt{{n-1}}$($\displaystyle {\frac{{m-\mu}}{{s}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt{9}(10.0004-10)}}{{0.00835703296719}}}$ = 0.143591631708
Puisque 0.143 < 1.833 on accepte l'hypothèse unilatérale à droite H0 : $ \mu$ = 10 au seuil de 5%.

- On teste H0 : $ \mu$ = 10 et H1 : $ \mu$ $ \neq$ 10 au seuil de 5%
Règle :
On lit dans la table de Student que :
Proba(| T9| < 2.262) = 0.975.
Avec Xcas on tape :
a:=student_icdf(9,0.975)
On obtient :
a:=2.2621571628
Donc a $ \simeq$ 2.262
On vérifie que si b:=student_icdf(9,0.025)=-2.2621571628
on a b=-a.
Donc Proba(| T9| < 2.262) = 0.95.
Puisque t = 0.143 < 2.262 on accepte l'hypothèse bilatérale H0 : $ \mu$ = 10 au seuil de 5%.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve