Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
On considère un triangle rectangle T de coés a,b,c (c est
l’hypoténuse et on suppose a≥ b), on veut donc montrer que a2+b2=c2.
On fait quatre copies de ce triangle T et deux copies C1 et C2
d’un carré de cotés a+b. On dispose les quatres copies du triangle dans
les carrés C1 et C2 selon la figure ci-dessous :
iggeo/pythagore1.tex
Dans le carré C1 on a 4 triangles T et deux carrés l’un de cotés a
(de surface a2) et l’autre de cotés b (de surface b2).
Dans le carré C2 on a 4 triangles T et un carré de cotés c
(de surface c2).
Comme les surfaces de C1 et de C2 sont les mêmes on en déduit que :
a2+b2=c2.
carre(-4-i,-1-i); carre(1-i,4-i); triangle_rectangle(-0.5-i,0.5-i,2); segment(-3-i,-3+2*i); segment(-4+i,-1+i); segment(-3-i,-4+i); segment(-3+i,-1+2*i); segment(1+i,2-i); segment(1+i,3+2*i); segment(4,3+2*i); segment(4,2-i);
On ne dessine que le carré C2 et on a :
C2 a comme surface (a+b)2
les quatres triangles T ont comme surface 2ab
Le carré central a comme surface c2 et aussi (a+b)2−2ab
Donc :
(a+b)2−2ab=c2
On sait que (a+b)2=a2+2ab+b2 (identité remarquable) donc
c2=a2+b2
On considère un carré C de coté c et on place les quatres copies du triangles rectangle T selon la figure ci-dessous :
triangle_rectangle(0,1,2); triangle_rectangle(i,2*i,2); triangle_rectangle(-1+i,-2+i,2); triangle_rectangle(-1,-1-i,2);
iggeo/pythagore2.tex
Le carré de coté c est composé d’un carré de cotés a−b et
de 4 triangles T donc on a :
(a−b)2+2ab=c2
On sait que (a−b)2=a2−2ab+b2 (identité remarquable) donc
c2=a2+b2.
Soit une forme constituée de deux carrés de cotés a et b (avec
a≥ b) disposés selon la figure :
iggeo/pythagore3.tex
Comment découper cette forme pour faire un puzzle de trois pièces
permettant de reconstituer un carré ?
Solution
Si le carré de côtés a a pour sommets
(0,a,a(1+i),ia), on joint les points i(a−b) et a(1+i) ainsi que les
points i(a−b) et b(1−i).
On tape pour avoir cette figure :
carre(-i,3-i); carre(-2*i,1-2*i); couleur(triangle_rectangle(2*i,i,3),rouge); couleur(triangle_rectangle(1.1-1.1*i,1.1-2.1*i,3),rouge) couleur(triangle_rectangle(-2*i,1-2*i,3),vert); couleur(triangle_rectangle(3.1-i,4.1-i,3),vert)
On obtient :
iggeo/puzzle.tex
On peut simuler un vrai puzzle en déplaçant avec la souris les trois
pièces.
On tape :
A:=point(-3.99,-0.51); B:=point(-1.81,-0.411); carre(A,B,C,D); E:=element(droite(A,B),0.7); carre(E,A,F,G); H:=F+C-B; segment(H,C); segment(H,G); polygone(C,H,G,E,B); triangle(H,G,F); triangle(H,C,D);
Puis on bouge le polygône et les 2 triangles pour faire 1 grand carré :
pour cela on clique sur le côté EB du polygône et on le déplace. Puis
on clique sur le côté HC du triangle(H,C,D) et on le déplace pour
amener D en E, puis on clique sur le côté HG du triangle(H,G,F) et
on le déplace pour amener F en B.
Remarque : on peut tracer les segments HC et HG seulement apres avoir
déplacé le polygône et les 2 triangles.
On obtient :
iggeo/puzzle1.tex
On dispose de deux carrés de côtés a et b (a≥ b).
Comment découper le carré de côtés a en quatre morceaux pour pouvoir
faire, avec ces 4 morceaux et le carré de coté b, un puzzle de cinq
pièces permettant de reconstituer un carré ?
Une solution
On pose a−b=2d et si le carré de côté a a pour sommets
(0,a,a(1+i),ia), on joint les points id et a+i(d+b) ainsi que les points
d+b et d+ia. Ces deux segments ont pour longueur c=√a2+b2, et se
coupent selon quatre angles droits qui deviendront les sommets du carré
solution de côtés c=√a2+b2.
On obtient le découpage du carré de côté a et le carré constitué
des 5 pièces dans la figure ci-dessous :
iggeo/pythagore5.tex
Pour faire cette figure on tape :
carre(-i,3-i); segment(1+2*i,2-i) segment(0,3+i) carre(-2*i,1-2*i); segment(2-i,2.5-2.5*(i)) segment(1-2*i,1-3*(i)) segment(2.5-2.5*(i),1-3*(i)) segment(1-2*(i),-1-2*(i)) segment(-1.5-0.5*i,0) segment(-1.5-0.5*i,-1-2*i) segment(-0.5-3.5*(i),-1-2*(i))
On peut simuler un vrai puzzle en déplaçant avec la souris les cinq
pièces.
On tape :
A:=point(-3.99,-0.51); B:=point(-1.81,-0.411); carre(A,B,C,D); E:=element(droite(A,B),0.7); carre(E,A,F,G); I:=milieu(E,B); J:=D+B-I; K:=rotation(A,pi/2,A+B-I); L:=C+A-K; segment(I,J); segment(K,L); M:=inter(droite(I,J),droite(K,L))[0]; quadrilatere(D,J,M,K); quadrilatere(C,J,M,L); quadrilatere(A,I,M,K); quadrilatere(B,I,M,L); quadrilatere(E,A,F,G);
Puis on bouge les 5 quadrilatères dans un grand carre : pour cela
on clique successivement sur un côté de chaque quadrilatère et on les
déplace.
On obtient :
iggeo/puzzle2.tex
Exercice Trouver d’autres solutions. On peut en effet découper le carre ABCD selon n’importe quelle parallèle à IJ et KL.
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