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Quelques questions

Lorsque x a été choisi, on choisit de placer y soit sur [0, x[ soit sur [x, 1[ avec quelle probabilité doit-on faire ce choix pour avoir les cotés d'un triangle avec une probabilité de 0.25 ?
Il faut choisir le segment [0, x[ avec une probabilité de x et donc choisir le segment [x, 1[ avec une probabilité de 1 - x.
En effet la probabilité d'obtenir les 3 côtés d'un triangle est alors :
$\displaystyle \int_{0}^{\frac}$12(1 - x)*$\displaystyle {\frac{{x}}{{1-x}}}$dx + $\displaystyle \int_{\frac}^{}$121x*$\displaystyle {\frac{{1-x}}{{x}}}$dx = $\displaystyle \int_{0}^{\frac}$12xdx + $\displaystyle \int_{\frac}^{}$121(1 - x)dx = $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{8}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$.
Voici la simulation :
spag5(n):={
  local x,y,a,b,t;
  t:=0;
  for (k:=1;k<=n;k++){
     x:=evalf(rand(2^30)/2^30);
     if (evalf(rand(2^30)/2^30)<x){
       y:=evalf(rand(2^30)/2^30)*x;
       a:=y;
       b:=x-y;
     } else {
       y:=evalf(rand(2^30)/2^30)*(1-x)+x;
       a:=x;
       b:=y-x;
     }
     if ((a<0.5) and (b<0.5) and (a+b>0.5)) {
       t:=t+1;
     }
  }
  return(evalf(t/n));
};
On a trouvé pour n=30000 : 0.2502
On a trouvé pour n=300000 : 0.251556666667

Que se passe-t-il si on choisit le segment [0, x[ avec une probabilité de 1 - x et le segment [x, 1[ avec une probabilité de x ?
Voici la simulation :

spag6(n):={
  local x,y,a,b,t;
  t:=0;
  for (k:=1;k<=n;k++){
     x:=evalf(rand(2^30)/2^30);
     if (evalf(rand(2^30)/2^30)<1-x){
       y:=evalf(rand(2^30)/2^30)*x;
       a:=y;
       b:=x-y;
     } else {
       y:=evalf(rand(2^30)/2^30)*(1-x)+x;
       a:=x;
       b:=y-x;
     }
     if ((a<0.5) and (b<0.5) and (a+b>0.5)) {
       t:=t+1;
     }
  }
  return(evalf(t/n));
};
On a trouvé pour n=30000 : 0.138533333333
On a trouvé pour n=300000 : 0.136773333333
Exercice : Montrer que de façon théorique, on trouve : 2*ln(2)-5/4
On vérifie : evalf(2*log(2)-5/4)=0.13629436112

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve