next up previous contents
suivant: La solution géométrique monter: Les lemmes précédent: Lemme2   Table des matières

Lemme3

Soient un triangle ABC et K1 un point de la droite BC.
Alors K1 est la projection sur BC du centre du cercle inscrit à ABC si et seulement si :

K1B - K1C = AB - AC

Image inscrit3
Soit K le centre du cercle inscrit à ABC.
Soient K1, K2 et K3 les projections respectives de K sur BCAC et AB. Puisque les côtés AB, AC, BC sont des tangentes au cercle inscrit et que K1, K2, K3 sont les points de contact de ces tangentes, on a :

BK1 = BK3, CK1 = CK2, AK2 = AK3

et K1, K2 et K3 se trouvent respectivement sur les segments sur BCAC et AB. Donc :

AB - AC = AK3 + K3B - (AK2 + K2C) = K1B - K1C

Soit K1 tel que K1B - K1C = AB - AC.
Le point K1 se trouve sur le segment BC en effet si K1 était à l'exterieur de BC on aurait | K1B - K1C| = | BC| > | AB - AC| d'apres l'inégalité triangulaire ce qui condredit l'hypothèse K1B - K1C = AB - AC. L'égalité K1B - K1C = AB - AC définit un seul point K1 du segment BC, ce point est donc la projection du centre du cercle inscrit à ABC


next up previous contents
suivant: La solution géométrique monter: Les lemmes précédent: Lemme2   Table des matières
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve