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Pour s'amuser avec les séries

Soit n un entier positif.
Soit cn le nombre de triplets (X, Y, Z) de $ \mathbb {N}$ qui vérifient :

X + 2Y + 4Z = n

On veut calculer cn.
Déterminer c100 et c1000.

On propose pour cela la téchnique suivante :
- Effectuer un développement en série au voisinage de l'origine de :
f1(x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1-x}}}$,
f2(x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1-x^2}}}$,
f3(x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1-x^4}}}$,
f (x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)}}}$,
- Montrer, en effectuant le produit des 3 développements en série de f1, f2, f3, que le coefficient de xn du développement de f est cn.
- Déterminer le développement de f par une autre méthode.
- En déduire cn.

On tape :
$\displaystyle \tt series(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)},0,20)$
On obtient :
$ \tt 1+x+2*x^2+2*x^3+4*x^4+4*x^5+6*x^6+6*x^7+9*x^8+9*x^9+12*x^{10}+$
$ \tt 12*x^{11}+16*x^{12}+16*x^{13}+20*x^{14}+20*x^{15}+25*x^{16}+25*x^{17}+30*x^{18}+$
$ \tt 30*x^{19}+36*x^{20}+x^{21}*order\_size(x)$
On remarque que les coefficients sont :
1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 16, 16, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 36...
On obtient les carrés des entiers puis, le produit de 2 entiers consécutifs :
1, 4, 9, 16, 25, 36 et 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6...
On suppose donc que :
f (x) = $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$cnxn avec :
c4*k = c4*k+1 = (k + 1)2 et
c4*k+2 = c4*k+3 = (k + 1)*(k + 2)
ce qui donne bien c0 = c1 = 1, c2 = c3 = 2, c4 = c5 = 4, c6 = c7 = 6...
On a donc :
c100 = c4*25 = 262 = 676
c1000 = c4*250 = 2512 = 63001
On peut bien sûr le vérifier en demandant à xcas :
$\displaystyle \tt series(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)},0,100)$ et
$\displaystyle \tt series(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)},0,1000)$

Mais comment montrer que l'on a bien :
f (x) = $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$cnxn avec :
c4*k = c4*k+1 = (k + 1)2 et
c4*k+2 = c4*k+3 = (k + 1)*(k + 2)
On peut penser à décomposer la fraction rationnelle f :
On tape :
$\displaystyle \tt partfrac(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^4)})$
On obtient :
$\displaystyle \tt\frac{x+1}{8*(x^2+1)}+\frac{5}{32*(x+1)}+\frac{1}{16*(x+1)^2}-\frac{9}{32*(x-1)}+\frac{1}{4*(x-1)^2}-\frac{1}{8*(x-1)^3}$
ce qui n'est pas simple....

Pour le montrer on peut commencer par montrer que :
$\displaystyle \tt series(\frac{1}{(1-x^2)(1-x^4)},0,20)$ vaut :
$ \tt 1+x^2+2*x^4+2*x^6+3*x^8+3*x^{10}+4*x^{12}+4*x^{14}+5*x^{16}+$
$ \tt 5*x^{18}+6*x^{20}+x^{21}*order\_size(x)$ c'est à dire :
$\displaystyle \tt series(\frac{1}{(1-x^2)(1-x^4)},0,20)$ = $\displaystyle \sum_{{n=0}}^{\infty}$cnxn avec :
c4*k = c4*k+2 = (k + 1) et
c4*k+1 = c4*k+3 = 0
puis multiplier par cette série par $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$xn
On peut aussi regarder le développement en série de f /(1 + x) car :
$ {\frac{{f}}{{1+x}}}$ = $ {\frac{{1}}{{(1-x^2)^2(1-x^4)}}}$.
On a ;
1/(1 - x2)2 = $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$(n + 1)x2n ( 1/(1 - u)2 = (1/(1 - u))' puis u = x2)
1/(1 - x4) = $ \sum_{{n=0}}^{\infty}$x4n
on multiplie ces deux séries et on obtient :
coefficient de x4n : 1 + 3 + 5 + .... + (2n + 1) = (n + 1)2
coefficient de x4n+2 : 2 + 4 + 6 + .... + (2n + 2) = (n + 1)(n + 2)
donc
f = (1 + x)$ \sum_{{n=0}}^{\infty}$(n + 1)2x4n + (n + 1)(n + 2)x4n+2
ce qui donne bien la formule annoncée.

Vous pouvez maintenant vous amuser avec le problème similaire :
Soit n un entier positif. Soit cn le nombre de triplets de $ \mathbb {N}$ qui vérifient :

X + 2Y + 5Z = n

Déterminer c100 et c1000 en calculant cn.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve