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Chapitre 7  Les courbes de degré au plus 2.

Ce sont les courbes qui ont comme équation, dans un repère Oxy, P(x,y)=0 où P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.

7.1  La droite

L’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe Oy est y=a*x+b.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a et b on tape dans un écran de géométrie :

a:=element(-4..5);
b:=element(-4..2);
droite(y=a*x+b);

L’équation cartésienne d’une droite quelconque est m*x+n*y+p=0 : son vecteur normal est m+i*n et elle passe par le point −i*p/n si n≠ 0 ou par le point −p/m si m≠ 0 (on suppose m*n ≠ 0).
L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et parallèle au vecteur V=u+i*v est x(t)=x0+u*t, y(t)=y0+v*t (on suppose u*v ≠ 0).
Avec Xcas
si on veut voir l’influence de A, u et v on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
u:=element(-4..5);
v:=element(-4..2);
plotparam(re(A)+u*t+i*(im(A)+v*t),t);
plotparam(evalc(A+(u+i*v)*t),t)
//plotparam(A+(a+i*b)*t,t);

L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et le point B=x1+i*y1 est x(t)=x0+t*x1/1+t, y(t)=y0+t*y1/1+t (si t ≠ −1).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et B on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(1,0);
B:=point(0,1);
plotparam(affixe(A+B*t)/(1+t),t);
m:=element(-4..5);
M:=point((A+B*m)/(1+m));

7.2  Le cercle

L’équation cartésienne d’un cercle centré à l’origine et de rayon |a| est :
x2+y2=a2.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

a:=element(0..5);
plotfunc(sqrt(a^2-x^2),x);
plotfunc(-sqrt(a^2-x^2),x);

L’équation cartésienne d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et de rayon |a| est (xx0)2+(yy0)2=a2.
L’équation paramétrique d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et de rayon |a| est x(t)=x0+|a|*cos(t), y(t)=y0+|a|*sin(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t)

Pour avoir un demi-cercle pour t allant de −π/2 à π/2, on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t=-pi/2..pi/2)

L’équation polaire d’un cercle centré à l’origine est r=|a|.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
plotpolar(a,t);

Le cercle centré en A=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans la translation de vecteur l’affixe du point A.
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
translation(affixe(A),plotpolar(a,t))

L’équation polaire d’un cercle passant par l’origine et de diamètre OA=d avec (Ox,OA)=t0 r=d*cos(tt0).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=affixe(A);
plotpolar(abs(a)*cos(t-arg(a)),t);

Le cercle centré en B=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans la translation de vecteur l’affixe du point B.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de B on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(1,0);
B:=point(0,1);
ba:=affixe(A-B);
translation(affixe(B),plotpolar(abs(ba)*cos(t-arg(ba)),t));

7.3  L’ellipse

L’équation cartésienne d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0 et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(xx0)2/a2+(yy0)2/b2=1
on a a2=b2+c2 et AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers.

L’équation paramétrique d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0 est :
x(t)=x0+a*cos(t), y(t)=y0+a*sin(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
plotparam(affixe(A+a*cos(t)+i*b*sin(t)),t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
ellipse, conique et conique_reduite.

7.4  L’hyperbole

L’équation cartésienne d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0 et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(xx0)2/a2−(yy0)2/b2=1 (on a a2=b2+c2 et AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers).

L’équation paramétrique d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0 est x(t)=x0+a*cosh(t), y(t)=y0+a*sinh(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
a:=element(0..5);
plotparam(affixe(A+a*cosh(t)+i*b*sinh(t)),t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
hyperbole, conique et conique_reduite.

7.5  La parabole

L’équation cartésienne d’une parabole de sommet A=x0+i*y0 et de directrice D d’équation x=a=x0p/2 (où p/2 est la distance de A à D) a pour équation :
(yy0)2=4x(x0a)−x0(x0a)=4(xx0)(x0a)=2*p*(xx0) Par exemple, si p=3, x0=1 et y0=2, son sommet est A:=point(1,2), son foyer F est défini par F:=point(1+3/2,2) et son équation est :
(y−2)2=6*(x−1) L’équation paramétrique d’une parabole est :
x0+t2/(2*p)+i(t+y0) Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de p, on tape dans un écran de géométrie :

A:=point(0,1);
p:=element(-5..5);
plotparam(affixe(A)+t^2/(2*p)+i*t,t)

Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
parabole, conique et conique_reduite.

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