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L'algorithme

L'algorithme est basé sur :
1/ Le petit théorème de Fermat:
AN-1 = 1 mod N si N est premier et si A < N.
2/ Si N est premier, l'équation X*X = 1 mod N n'a pas d'autres solutions que X = 1 mod N ou X = - 1 mod N.
En effet il existe un entier k vérifiant X*X - 1 = (X + 1)*(X - 1) = k*N donc,
puisque N est premier, N divise X + 1 ou X - 1. On a donc soit X = 1 mod N ou X = - 1 mod N.
On élimine les nombres pairs que l'on sait ne pas être premiers.
On suppose donc que N est impair et donc que N - 1 est pair et s'écrit :
N - 1 = 2t*Q avec t > 0 et Q impair.
Si AN-1 = 1 mod N c'est que AN-1 mod N est le carré de B = A$\scriptstyle {\frac{}{}}$N-12 = A2t-1Q mod N.
Si on trouve B $ \neq$ 1 mod N et B $ \neq$ -1 mod N on est sûr que N n'est pas premier.
Si B = - 1  mod N on recommence avec une autre valeur de A.
Si B = 1  mod N on peut recommencer le même raisonnement si $ {\frac{{N-1}}{{2}}}$ est encore pair ( B = A$\scriptstyle {\frac{}{}}$N-12 = (A$\scriptstyle {\frac{}{}}$N-14)2 mod N) ou
si $ {\frac{{N-1}}{{2}}}$ est impair, on recommence avec une autre valeur de A.
On en déduit que :
si N - 1 = 2t.Q et
si AN-1 = 1 mod N et
si AQ $ \neq$ 1 mod N et
si pour 0 $ \leq$ ex < t on a A2ex.Q $ \neq$ -1 mod N c'est que N n'est pas premier.
D'où la définition :
Soit N un entier positif impair égal à 1 + 2t*Q avec Q impair.
On dit que N est pseudo-premier fort de base A si :
soit AQ = 1 mod N
soit si il existe e, 0 $ \leq$ e < t tel que AQ*2e = - 1 mod N.
On voit facilement qu'un nombre premier impair est pseudo-premier fort dans n'importe quelle base A non divisible par N.
Réciproquement on peut montrer que si N > 4 n'est pas premier, il existe au plus N/4 bases A (1 < A < N) pour lesquelles N est pseudo-premier fort de base A.

L'algorithme va choisir au hasard au plus 20 nombres Ak compris entre 2 et N - 1 : si N est pseudo-premier fort de base Ak pour k = 1..20 alors N est premier avec une tres forte probabilité égale à (1/4)20( < 10-12).
Bien sûr cette méthode est employée pour savoir si de grands nombres sont pseudo-premiers.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve