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La correction sans Xcas

1/ Soit a l'affixe de A : on a donc a = 1.
Soit B le milieu de [OA] : B a donc pour affixe b = $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
M est donc sur le cercle de centre B et de rayon $ {\frac{{1}}{{2}}}$ donc:
MB = $ {\frac{{1}}{{2}}}$ donc | m - b| = $ {\frac{{1}}{{2}}}$ ou encore | m - $ {\frac{{1}}{{2}}}$| = $ {\frac{{1}}{{2}}}$.
2/ Le point L se déduit de M dans la rotation de centre O et d'angle $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ donc l = im.
Le point P se déduit de M dans la rotation de centre A et d'angle - $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ donc p - a = - i(m - a), ou encore p - 1 = - i(m - 1) donc
p = - im + i + 1.
On a également :
Le point N se déduit de A dans la rotation de centre M et d'angle $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ donc n - m = i(a - m) ou encore n = ia + m - im = (1 - i)m + i.
Le point K se déduit de 0 dans la rotation de centre M et d'angle - $ {\frac{{\pi}}{{2}}}$ donc k - m = - i(- m) ou encore k = (1 + i)m.
3/ a) Soit $ \omega$ l'affixe de $ \Omega$. On a :
$ \omega$ = (p + l )/2 = (- im + i + 1 + im)/2 = (1 + i)/2 Le point $ \Omega$ est donc indépendant de la position de M sur le cercle $ \mathcal {C}$.
b) $ \omega$ - b = $ \omega$ - 1/2 = i/2 donc |$ \omega$ - b| = 1/2 ce qui prouve que $ \Omega$ est sur le cercle $ \mathcal {C}$
4/ a) NK = | k - n| = |(1 + i)m - (1 - i)m - i| = | 2im - i| = | 2i(m - 1/2)| = 2*1/2 = 1 puisque | 2i| = 2 et que | m - 1/2| = 1/2.
b) On a :
Le vecteur $ \Omega$N a pour affixe :
n - $ \omega$ = (1 - i)m + i - i/2 - 1/2 = (1 - i)m + i/2 - 1/2 = (1 - i)(m - 1/2)
Le vecteur $ \Omega$K a pour affixe :
k - $ \omega$ = (1 + i)m - i/2 - 1/2 = (1 + i)m - i/2 - 1/2 = (1 + i)(m - 1/2)
Puisque (1 - i)i = 1 + i on en déduit que le vecteur $ \Omega$K se déduit du vecteur $ \Omega$N par rotation d'angle $ \pi$/2 et donc que le point K se déduit de N par rototion de centre $ \Omega$ et d'angle $ \pi$/2.
Le triangle $ \Omega$NK est donc isocèle rectangle.
5/ On a $ \Omega$N = | n - $ \omega$| = |(1 - i)(m - 1/2)| = $ \sqrt{2}$/2 puisque | 1 - i| = $ \sqrt{2}$ et que | m - 1/2| = 1/2.
Donc N est sur le cercle de centre $ \Omega$ et de rayon $ \sqrt{2}$/2.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve