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Base de Gröbner : gbasis
gbasis a au moins deux arguments :
une liste de polynômes de
plusieurs variables et la liste du nom de ces variables.
gbasis renvoie une base de Gröbner de l'idéal polynomial engendré
par les polynômes donnés dans le premier argument.
On choisit d'ordonner les monômes selon l'ordre lexicographique en accord
avec la liste donnée par le dernier
argument et selon les puissances décroissantes : par exemple on écrira
x2*y4*z3 puis
x2*y3*z4 si le deuxième argument est [x, y, z] car
(2, 4, 3) > (2, 3, 4) mais on écrira
x2*y3z4 puis
x2*y4*z3 si le
deuxième argument est [x, z, y].
Si I est un idéal et si
(Gk)k
K est une base de Gröbner de l'idéal I alors,
si F est un polynôme non nul de I, le terme dominant de F
est divisible par le terme dominant d'un Gk.
Propriété : Si on fait la division euclidienne de F par un des Gk
puis, si on recommence avec le reste obtenu et le Gk suivant, on finit par obtenir un reste nul.
On tape :
gbasis([2*x*y-y^
2,x^
2-2*x*y],[x,y])
On obtient :
[4*x^
2+-4*y^
2,2*x*y-y^
2,-(3*y^
3)]
On peut donner des arguments supplémentaires :
- plex (lexicographique pur), tdeg (degré total puis
ordre lexicographique),
revlex (degré total puis ordre lexicographique inverse), pour
spécifier un ordre sur les monômes différent de l'ordre
par défaut (qui est plex),
- with_cocoa=true ou with_cocoa=false, si on veut
utiliser la librairie CoCoA pour faire le calcul de la base
de Gröbner.
- with_f5=true ou with_f5=false pour utiliser
l'implémentation de l'algorithme F5 de la librairie CoCoA.
L'ordre spécifié n'est alors pas utilisé, les polynômes étant
homogénéisés.
On tape :
gbasis([x1+x2+x3,x1*x2+x1*x3+x2*x3,x1*x2*x3-1],[x1,x2,x3],tdeg,with_cocoa=false)
On obtient
[x3^3-1,-x2^2-x2*x3-x3^2,x1+x2+x3]
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve