Nous allons illustrer ce type de développement sur un exemple, la fonction
exponentielle intégrale, définie à une constante près par
f (x) = dt
On peut montrer que l'intégrale existe bien, car l'intégrand est positif et inférieur à
e-t (qui admet - e-t comme primitive, cette primitive ayant une limite en
+ ).
Pour trouver le développement asymptotique de f en + , on effectue des
intégrations par parties répétées, en intégrant l'exponentielle et en dérivant la
fraction rationnelle :
f (x)
=
[]x+ - dt
=
- dt
=
- ([]x+ - )
=
- + dt
=
...
=
e-x - + + ... + - dt
=
S(x) + R(x)
où
S(x) = e-x - + + ... + , R(x) = - dt
(8.1)
Le développement en séries est divergent puisque pour x > 0 fixé et n tendant vers l'infini
= +
mais si x est grand, au début la série semble converger, de manière très rapide :
> > > >
On peut utiliser S(x) comme valeur approchée de f (x) pour x grand si on sait majorer
R(x) par un nombre suffisamment petit. On a
| R(x)| =
On retrouve une majoration du type de celle des séries alternées, l'erreur est inférieure
à la valeur absolue du dernier terme sommé. Pour x fixé assez grand, il
faut donc de trouver un rang n, s'il en existe un, tel que
n!/xn < où
est la précision relative que l'on s'est fixée.
Par exemple, si x 100, n = 12 convient pour
= 12!/10012 = 5e - 16 (à peu
près la précision relative d'un ``double'').
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve