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Développement en fraction continue d'un réel quelconque

Théorème2 Si $ \alpha$ est un nombre réel non rationnel, alors il existe des entiers naturels non nuls a0, a1,..., an et un réel $ \beta$ < 1 tels que :

$\displaystyle \alpha$ = a0 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...a_{n-2}+\frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_n+\beta}}}}}}}$

On dit que (a0, a1,...an) est le développement en fraction continue d'ordre n + 1 de $ \alpha$ et que $ \beta$ est le reste de ce développement.
Un rationnel a un développement en fraction continue fini et réciproquement, un développement en fraction continue fini représente un rationnel.
Un réel non rationnel a un développement en fraction continue infini.
Si $ \alpha$ est un nombre quadratique (i.e. $ \alpha$ est racine d'une équation du second degré), $ \alpha$ a un développement en fraction continue périodique et réciproquement, un développement en fraction continue périodique représente un nombre quadratique.



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve