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Les méthodes numériques pour résoudre y' = f (x, y)

Dans Xcas, il existe déjà les fonctions qui tracent les solutions de y' = f (x, y), ce sont : plotode, interactive_plotode et une fonction odesolve qui calcule la valeur numérique en un point d'une solution de y' = f (x, y) et y(t0) = y0 Soit f une fonction continue de [a;b$ \mathbb {R}$ dans $ \mathbb {R}$.
On considère l'équation différentielle :

y(t0) = y0

y'(t) = f (t, y(t))

Problème de Cauchy Soit U un ouvert de $ \mathbb {R}$2 et f une application continue de U dans $ \mathbb {R}$. On appelle solution du problème de Cauchy (E):

y(t0) = y0

y'(t) = f (t, y(t))

tout couple (I, g) où I est un intervalle contenant t0 et g est une I-solution de (E) c'est à dire une fonction de classe C1(I,$ \mathbb {R}$) vérifiant g(t0) = y0 et g'(t) = f (t, g(t)) pour t $ \in$  I.
Théorème de Cauchy-Lipschitz faible Soit f, une fonction continue de [a;b$ \mathbb {R}$ dans $ \mathbb {R}$, lipschitzienne par rapport à la seconde variable c'est à dire :
il existe K > 0 tel que pour tout t $ \in$ [a;b] et pour tout (y1, y2) $ \in$ $ \mathbb {R}$2, | f (t, y1) - f (t, y2)| $ \leq$ K| y1 - y2|.
Alors, quel que soit (t0, y0) $ \in$ [a;b$ \mathbb {R}$, il existe une [a;b]-solution unique au problème de Cauchy (E) que l'on appellera y.

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve