suivant: Le programme de réduction
monter: Réduction de Hessenberg
précédent: Réduction de Hessenberg
Table des matières
Index
Une matrice de Hessenberg est une matrice qui a des zéros sous
la "deuxième diagonale inférieure".
Soit A une matrice. On va chercher B une matrice de Hessenberg semblable
à A. Pour cela on va mettre des zéros sous cette diagonale
en utilisant la méthode de Gauss mais en prenant les pivots sur la
"deuxième diagonale inférieure" encore appelée "sous-diagonale": cela
revient à multiplier A par
Q = R-1 et cela permet de conserver les zéros lorsque l'on multiplie
à chaque étape le résultat par R pour obtenir une matrice semblable
à A. Si on est obligé de faire un échange de lignes (correspondant à
la multiplication à droite par E) il faudra faire aussi un échange de
colonnes (correspondant à la multiplication à gauche par E.
Par exemple si on a :
A : = 

Pour mettre des zéros dans la première colonne en dessous de a10, on
va multiplier A à gauche par Q et à droite par R = Q-1 avec si on
suppose a10! = 0 c'est à dire si on peut choisir comme pivot a10 :
Q : = 

R : = 

On tape alors :
On obtient la matrice B1:
B1 = Q*A*R = R-1*A*R = 

où les ... sont des expressions des coefficients de A.
On va faire cette transformation successivement sur la deuxième colonne de
la matrice B1 pour obtenir B2 etc...
On appellera B toutes les matrices obtenues successivement.
Si on doit échanger les deux lignes k et j pour avoir un pivot, cela
revient à multiplier à gauche la matrice B par une matrice E égale
à la matrice identité ayant subie l'échange des deux lignes k et j.
Il faudra alors, aussi multiplier à droite la matrice B par E c'est à
dire échanger les deux colonnes k et j de B
suivant: Le programme de réduction
monter: Réduction de Hessenberg
précédent: Réduction de Hessenberg
Table des matières
Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve