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Somme indicée finie et infinie et primitive discrète : sum

sum a deux, quatre ou cinq arguments :
Autes Exemples
On tape :
sum(k,k,2,6)
On obtient :
20
On tape :
sum(k,k,7,2)
On obtient :
-18
On tape :
sum(k,k,3,2)
On obtient :
0
On tape :
sum(1,k,-2,n)
On obtient :
n+1+2
On tape :
normal(sum(2*k-1,k,1,n))
On obtient :
n^2
On tape :
sum(1/(n^2),n,1,10)
On obtient :
1968329/1270080
On tape :
sum(1/(n^2),n,1,+(infinity))
On obtient :
pi^2/6
On tape :
sum((-1)^n/(2*n+1)!,n,0,+(infinity))
On obtient :
sin(1))
On tape :
sum(1/(3*n)!,n,0,+(infinity))
On obtient :
(2*cos((sqrt(3))/2)*exp(1/-2)+exp(1))/3
On tape :
sum(1/(n*2^n),n,1,+(infinity))
On obtient :
-(ln(1/2))
On tape :
sum((-1)^n/(2*n+1),n,0,+(infinity))
On obtient :
pi/4
On tape :
assume(x>0 && x<1);
sum(x^(2*n)/(2*n+1),n,0,+(infinity))
On obtient :
x,(-ln(-x+1)+ln(x+1))/(2*x)
On tape :
sum(1/(n^3-n),n,2,10)
On obtient :
27/110
On tape :
sum(1/(n^3-n),n,1,+(infinity))
On obtient :
1/4
Pour justifier ce résultat on décompose $ \tt 1/(n\verb\vert^\vert 3-n)$, on tape :
partfrac(1/(n^3-n))
On obtient :
1/(2*(n+1))-1/n+1/(2*(n-1))
Donc quand on fait la somme de 2 à N on a :
$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$ = - $\displaystyle \sum_{{n=1}}^{{N-1}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ - $\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*(1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$)
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N+1}}}$)
les termes $ \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$ se détruisent et il reste :
- $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*(1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$) - $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N+1}}}$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2N(N+1)}}}$
d'ou les résultat précédents :
- pour N = 10 la somme vaut : 1/4 - 1/220 = 27/110
- pour N = + $ \infty$ la somme vaut : 1/4 car $\displaystyle {\frac{{1}}{{2N(N+1)}}}$ tend vers zéro quand N tend vers l'infini.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve