next up previous contents index
suivant: Valeur de l'écart-type de monter: Valeur moyenne d'un caractère précédent: Estimation ponctuelle   Table des matières   Index

Estimation par un intervalle

Cas des échantillons de taille n > 30
Si n est grand (n > 30), on connait la loi suivie par $ \bar{X}$ : $ \bar{X}$ suit approximativement une loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$) (ou si $ \sigma$ n'est pas connu $ \bar{X}$ suit approximativement une loi $ \mathcal {N}$($ \mu$, s/$ \sqrt{{n-1}}$)).
Recette lorsque la loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$) suivie par $ \bar{X}$ est connue
- On choisit $ \alpha$ (par exemple $ \alpha$ = 0.05).
- On calcule la valeur m de $ \bar{X}$ pour l'échantillon (ie sa moyenne) et si $ \sigma$ n'est pas connu, l'écart-type s de l'échantillon.
- On cherche h, dans une table de loi normale centrée réduite, pour avoir :
Proba(Y < h) = 1 - $ \alpha$/2 pour Y $ \in$ $ \mathcal {N}$(0, 1) on a alors :
Proba($ \mu$ - h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$ < m < $ \mu$ + h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$) = 1 - $ \alpha$
on a donc :
Proba(m - h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$ < $ \mu$ < m + h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$) = 1 - $ \alpha$
ou si $ \sigma$ n'est pas connu :
Proba($ \mu$ - h*s/$ \sqrt{{n-1}}$ < $ \bar{X}$ < $ \mu$ + h*s/$ \sqrt{{n-1}}$) = 1 - $ \alpha$
on a donc Proba(m - h*s/$ \sqrt{{n-1}}$ < $ \mu$ < m + h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n-1}}$) = 1 - $ \alpha$.
Si $ \sigma$ est connu on pose :
a1 = m - h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$ et a2 = m + h*$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$
ou si $ \sigma$ n'est pas connu on pose :
a1 = m - h*s/$ \sqrt{{n-1}}$ et a2 = m + h*s/$ \sqrt{{n-1}}$
on a a1 $ \leq$ $ \mu$ $ \leq$ a2
Avec Xcas, si $ \sigma$ est connu, on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
a1:=normal_icdf(m,$ \sigma$/sqrt(n),0.025)
a2:=normal_icdf(m,$ \sigma$/sqrt(n),0.975)
ou si $ \sigma$ n'est pas connu, on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
a1:=normal_icdf(m,s/sqrt(n-1),0.025)
a2:=normal_icdf(m,s/sqrt(n-1),0.975)
Résultat
I$\scriptstyle \alpha$ = [a1 ; a2] est un intervalle de confiance de $ \mu$ au seuil $ \alpha$.

Cas des petits échantillons issus d'une loi normale
Si $ \sigma$ est connu, la loi $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$/$ \sqrt{{n}}$) suivie par $ \bar{X}$ est connue et on se reportera donc à la recette du paragraphe précédent.
Si $ \sigma$ n'est pas connu, on note S2 = $ {\frac{{1}}{{n}}}$$ \sum_{{j=1}}^{n}$(Xj - $ \bar{X}$)2 alors
T = ($ {\frac{{\bar X-\mu}}{{S}}}$)$ \sqrt{{n-1}}$ suit une loi de Student à (n - 1) degrés de liberté.
Recette lorsque n est petit et X $ \in$ $ \mathcal {N}$($ \mu$,$ \sigma$)
- On choisit $ \alpha$ (par exemple $ \alpha$ = 0.05).
- On calcule la valeur m de $ \bar{X}$ pour l'échantillon (m est la moyenne de l'échantillon) et l'écart-type s de l'échantillon (s2 est la valeur de S2 pour l'échantillon).
- On cherche h, dans une table de Student pour (n - 1) degrés de liberté, pour avoir :
Proba(- h < Tn-1 < h) = Proba(- h < ($ {\frac{{\bar X-\mu}}{{S}}}$)$ \sqrt{{n-1}}$ < h) = 1 - $ \alpha$
Avec Xcas, on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
h:=student_icdf(n-1,0.975)
puisque m est la valeur de $ \bar{X}$ et s la valeur de S pour l'échantillon on a :
Proba(m - hs/$ \sqrt{{n-1}}$ < $ \mu$ < m + hs/$ \sqrt{{n-1}}$) = 1 - $ \alpha$.
Résultat
I$\scriptstyle \alpha$ = [m - hs/$ \sqrt{{n-1}}$;m + hs/$ \sqrt{{n-1}}$] est un intervalle de confiance de $ \mu$ au seuil $ \alpha$.
Exemple
Pour obtenir un intervalle de confiance de $ \mu$ au risque $ \alpha$ = 0.05 et n - 1 = 4 on tape :
h:=student_icdf(4,1-0.05/2)
on obtient :
h=2.7764451052$ \simeq$ 2.776 donc :
m - hs/$ \sqrt{4}$ < $ \mu$ < m + hs/$ \sqrt{4}$.
On prend un échantillon d'effectif n = 5 (4 = n - 1), pour lequel on trouve :
m = 0.484342422505 et s = 0.112665383246
On tape :
m:=0.484342422505
s:=0.112665383246
m+h*s/sqrt(4)
On obtient :
0.64072197445
On tape :
m-hs/sqrt(4)
0.32796287056.
donc un intervalle de confiance de $ \mu$ au risque 0.05 est :
[0.32796287056;0.64072197445]


next up previous contents index
suivant: Valeur de l'écart-type de monter: Valeur moyenne d'un caractère précédent: Estimation ponctuelle   Table des matières   Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve