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La correction avec Xcas

On tape :
z1:=sqrt(2)+i*sqrt(6)
z2:=2+2*i
Z:=z1/z2
On tape pour avoir les modules :
simplify(abs(z1,z2,Z))
On obtient : 2*sqrt(2),2*sqrt(2),1
On tape pour avoir les arguments :
simplify(arg(z1,z2,Z)
On obtient : [pi/3,pi/4,pi/12]
On tape :
simplify(re(Z),im(Z))
On obtient : (sqrt(2)+sqrt(6))/4,(-sqrt(2)+sqrt(6))/4
Donc

cos($\displaystyle {\frac{{\pi}}{{12}}}$) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt 2+\sqrt 6}}{{4}}}$

sin($\displaystyle {\frac{{\pi}}{{12}}}$) = $\displaystyle {\frac{{-\sqrt 2+\sqrt 6}}{{4}}}$

Puisque Z a comme module 1 et comme argument $ \pi$/12,, on sait que le module de P = Z2009 est 1 et que son argument vaut 2009$ \pi$/12.
On tape :
iquorem(2009,24)
On obtient : [83,17] i.e. 2009 = 24*83 + 17.
Donc puisque 2009$ \pi$/12 = 83*2$ \pi$ +17$ \pi$/12, l'argument de P est :
17$ \pi$/12 mod 2$ \pi$ ou encore pour être dans ] - $ \pi$;$ \pi$], l'argument de P est :
-7$ \pi$/12 = - $ \pi$/2 - $ \pi$/12.
Pour avoir la partie réelle et la partie imaginaire de P on calcule :
cos(- $ \pi$/2 - $ \pi$/12) = - sin($ \pi$/12) = $\displaystyle {\frac{{\sqrt 2-\sqrt 6}}{{4}}}$ et
sin(- $ \pi$/2 - $ \pi$/12) = - cos($ \pi$/12) = - $\displaystyle {\frac{{\sqrt 2+\sqrt 6}}{{4}}}$
Ou on tape :
P:=simplify(Z^2009)
On obtient : (sqrt(2)+(-i)*sqrt(6))/(2+2*i)
On tape :
simplify(re(P),im(P))
On obtient : (sqrt(2)-sqrt(6))/4,(-sqrt(2)-sqrt(6))/4
On tape :
simplify(abs(P),arg(P))
On obtient : 1,(-7*pi)/12



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve