Lemme : Soient un triangle ABC, J le point de concours de ses
bissectrices intérieures et P un point de la bissectrice intérieure de
l'angle A se trouvant à l'intérieur du triangle ABC alors :
J et P sont confondus si et seulement si
=
.
En effet :
- si J et P sont confondus on a bien :
=
-
=
.
- soit P est un point de la bissectrice intérieure de
l'angle A se trouvant à l'intérieur du triangle ABC et tel que
=
.
On remarque que
=
- (
+
) croît lorsque
P s'éloigne de A en restant sur la bissectrice intérieure de
l'angle A, donc si P
J on a soit
>
=
soit
<
=
.
On en déduit donc que P et J sont confondus.