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Application au calcul de la constante d'Euler
Par définition la constante d'Euler
est la limite quand n tend
vers l'infini de :
un =


- ln(
n)
(voir aussi 8.3.4 et 8.4.2)
On a donc :
= S = 1 + 
+ ln(1 -
)
On a :
Rp =
S - 1 -


+ ln(

) =


+ ln(1 -

)
D'après la comparaison avec l'intégrale de la fonction décroissante
f (x) = ln(x) - ln(x - 1) - 1/x pour x
1 on a :
f (
x)
dx < -
Rp <
f (
x)
dx
Donc
p ln(1 -

) + 1 < -
Rp < (
p - 1)ln(1 -

) + 1
donc
S0, p = Sp = S - Rp = S - p ln(1 -
) + 1 + O(
) =
+ O(
)
On écrit le programme suivant :
richard(n):={
local s0,s1,k,j,st,S,puiss;
s0:=[1.0];
st:=1.0;
for (k:=2;k<=2^n;k++) {
st:=st+1/k+ln(1-1/k);
s0:=concat(s0,st);
}
//attention s0=S a 2^n termes d'indices 0 (2^n)-1
S:=s0;
for (j:=1;j<=n;j++){
s1:=[];
puiss:=2^j;
//j-ieme acceleration s1 a 2^(n-j) termes d'indices
// allant de 0 a 2^(n-j)-1
for (k:=1;k<=2^(n-j);k++) {
st:=(puiss*s0[2*k-1]-s0[k-1])/(puiss-1);
s1:=concat(s1,st);
}
s0:=s1;
}
return S[2^n-1],s1[0];
}:;
La première valeur est la somme des 2n premiers termes,
calculée sans accélération , la deuxième valeur a été obtenue
après avoir accéléré cette somme n fois.
Avec 24 digits, on tape :
richard(8)
On obtient :
0.5791675183377178935391464, 0.5772156649015050409260531
On a du calculer 26 = 64 termes (1 et 8 décimales exactes).
On tape :
richard(12)
On obtient plus de décimales :
0.5773377302469791589300024, 0.5772156649015328606067501 (3 décimales exactes
sans accélération et 21 décimales exactes)
On a du calculer
212 = 4096 termes.
On tape :
Digits:=24;
evalf(euler_gamma)
On obtient : 0.5772156649015328606065119
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve