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Transformation d'une série en série alternée

On a l'identité formelle :
$ \sum_{{n \geq 1}}^{}$an = $ \sum_{{m \geq 1}}^{}$(- 1)m-1bm avec
bm = $ \sum_{{k \geq 0}}^{}$2ka2km.
En effet, si n0 est un entier il existe un entier p0 et un entier impair m0 uniques vérifiant n0 = 2p0*m0 . Dans la somme $ \sum_{{m \geq 1}}^{}$(- 1)m-1$ \sum_{{k \geq 0}}^{}$2ka2km on cherche le coefficient de an0, on a soit :
k = 0 et m = n0 = m0*2p0, soit
k = 1 et m = m0*2p0-1, soit
................ soit
k = p0 et m = m0.
On remarquera que toutes les valeurs, sauf la dernière, de m sont paires, donc les différentes valeurs de (1)m-1 sont (-1) sauf la dernière qui vaut +1.
$ \sum_{{m \geq 1}}^{}$$ \sum_{{k \geq 0}}^{}$(- 1)m-12ka2km =
$ \sum_{{n0 \geq 1}}^{}$an0*($ \sum_{{k=0}}^{{p0-1}}$(- 1)*2k +2p0) =
$ \sum_{{n \geq 1}}^{}$an puisque 2p0 - $ \sum_{{k=0}}^{{p0-1}}$2k = 1


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve