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Corrections des exercices

  1. Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{k^2}}{{n^3}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$(k/n)2.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f (x) = x2 sur [0, 1].
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$x2dx
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann(k^2/n^3,[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{1}{3}$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle {\frac{{1}}{{3}}}$

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate(x^2,x,0,1)$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{1}{3}$
  2. Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{k^3}}{{n^4}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$(k/n)3.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f (x) = x3 sur [0, 1].
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$x3dx
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann(k^3/n^4,[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{1}{4}$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate(x^3,x,0,1)$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{1}{4}$
  3. Soit Un = ($\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{n+2}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{1}}{{n+n}}}$) = $\displaystyle \sum_{{k=n+1}}^{{2*n}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{k}}}$ = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+k}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+k/n}}}$
    Un est une somme de Riemann de la fonction f (x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x}}}$ sur [0, 1] (ou de la fonction g(x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$ sur [1, 2]).
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x}}}$dx = $\displaystyle \int_{1}^{2}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$dx.
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann(1/(n+k),[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt log(2)$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Un = ln(2)

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate(1/(1+x),x,0,1)$ ou $ \tt integrate(1/x,x,1,2)$
    On obtient :
    $ \tt log(2)$
    Pour avoir un équivalent de Sn = $\displaystyle \sum_{{k=n+1}}^{{2*n}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{k^p}}}$ on tape :
    $ \tt sum\_riemann(1/(n+k)^p,[n,k])$
    on obtient "ce n'est probablement pas une somme de riemann"
    car le paramètre $ \tt p$ n'est pas bien géré.
    On tape alors :
    $ \tt sum\_riemann(1/(n+k)^2,[n,k])$
    on obtient 1/2/n
    $ \tt sum\_riemann(1/(n+k)^3,[n,k])$
    on obtient $ \tt 3*1/8/n^2$ (ou encore 3/4/(2*n2))
    $ \tt sum\_riemann(1/(n+k)^4,[n,k])$
    on obtient $ \tt 7*1/24/n^3$ (ou encore 7/8/(3*n3))
    L'équivalent de Sn = $\displaystyle \sum_{{k=n+1}}^{{2*n}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{k^p}}}$ semble donc être $\displaystyle {\frac{{2^{p-1}-1}}{{2^{p-1}*(p-1)*n^{p-1}}}}$
  4. Soit Sn = ($\displaystyle {\frac{{n}}{{n^2+1^2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{n}}{{n^2+2^2}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{n}}{{n^2+n^2}}}$) = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{n}}{{n^2+k^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+(k/n)^2}}}$
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f (x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x^2}}}$ sur [0, 1].
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+x^2}}}$dx.
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann(n/(n^2+k^2),[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle\frac{\pi}{4}$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate(1/(1+x^2),x,0,1)$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle\frac{\pi}{4}$
  5. Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{n+k}}{{n^2+k^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1+k/n}}{{1+(k/n)^2}}}$.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f (x) = $\displaystyle {\frac{{1+x}}{{1+x^2}}}$ sur [0, 1].
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{1+x}}{{1+x^2}}}$dx.
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann((n+k)/(n^2+k^2),[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{2*log(2)+ \pi}{4}$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle {\frac{{2*\ln(2)+ \pi}}{{4}}}$

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate((1+x)/(1+x^2),x,0,1)$
    On obtient :
    $ \tt\displaystyle \frac{2*log(2)+ \pi}{4}$
  6. Sn = $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{32n^3}}{{16n^4-k^4}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{k=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{32}}{{16-(k/n)^4}}}$.
    Sn est une somme de Riemann de la fonction f (x) = $\displaystyle {\frac{{32}}{{16-x^4}}}$ sur [0, 1].
    On a :
    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = $\displaystyle \int_{0}^{1}$$\displaystyle {\frac{{32}}{{16-x^4}}}$dx.
    On tape :
    $ \tt sum\_riemann(32*n^3/(16*n^4-k^4),[n,k])$
    On obtient :
    $ \tt 2*atan(1/2)+log(3)$
    Donc

    $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$Sn = 2*arctan(1/2) + ln(3)

    Pour vérifier on tape :
    $ \tt integrate(32/(16-x^4),x,0,1)$
    On obtient :
    $ \tt 2*atan(1/2)+log(3)$
    Si on veut savoir comment cette intégrale a été calculée on décompose en éléments simples $\displaystyle {\frac{{32}}{{16-X^2}}}$ en posant X = x2, on tape :
    $ \tt partfrac(32/(16-X^2))$
    On obtient :
    $ \tt 4/(X+4)+4/(-X+4)$
    Puis on tape : $ \tt integrate(4/(x^2+4),x,0,1)$ et on obtient : $ \tt 2*atan(1/2)$
    Puis on tape : $ \tt integrate(4/(-x^2+4),x,0,1)$ et on obtient : $ \tt log(3)$

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve