^
-27)=M1:=aritgeo(1,2^
-27.,1e-20)
Si on veut calculer les deux simultanément, comme les relations entre ln
et seront des équations homogènes, on est obligé
d'introduire une autre relation. Par exemple pour calculer une
valeur approchée de
on calcule la différence
ln(229 +1) - ln(229) dont on connait le développement au premier
ordre, et on applique la formule de la moyenne arithmético-géométrique.
Il faut faire attention à la perte de précision lorsqu'on fait
la différence des deux logarithmes qui sont très proches, ainsi
on va perdre une trentaine de bits, il faut grosso modo calculer les
moyennes arithmético-géométrique avec
2 fois plus de chiffres significatifs.
L'intérêt de cet algorithme apparait lorsqu'on veut calculer le logarithme avec beaucoup de précision, en raison de la convergence quadratique de la moyenne arithmético-géométrique (qui est nettement meilleure que la convergence linéaire pour les développements en série, ou logarithmiquement meilleure pour l'exponentielle), par contre elle n'est pas performante si on ne veut qu'une dizaine de chiffres significatifs. On peut alors calculer les autres fonctions transcendantes usuelles, telle l'exponentielle, à partir du logarithme, ou les fonctions trigonométriques inverses (en utilisant des complexes) et directes.
On trouvera dans Brent-Zimmermann quelques considérations permettant
d'améliorer les constantes dans les temps de calcul par rapport
à cette méthode (cela nécessite d'introduire des fonctions
spéciales ) et d'autres formules pour calculer
.