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On fait un trou cylindrique dans une sphère de centre O et de rayon R,
l'axe du cylindre passe par O et le cylindre a comme hauteur 2*d.
Calculer le volume de cette sphère percée.
1ière méthode
On suppose que l'on sait qu'une une sphère de rayon R a pour volume :
Vs =

R3
et que le voulume d'une calotte sphérique située à une distance d du
centre O d'une sphère de rayon R est :
Calculons le volume du trou qui est composé :
- d'un cylindre de hauteur 2d et de rayon
r =
,
- de deux calottes sphériques situées à une distance d de O.
Donc d'après le calcul précédent :
Vt = 2
r2d + 4

(-
R2d +
d3 +
R3)
On tape :
Vs:=4*pi*R^
3/3
Vt:=2*pi*r^
2*d+2*2*pi*(-1/2*R^
2*d-(-1)/6*d^
3+1/3*R^
3)
simplify(subst(simplify(Vs-Vt),r^
2,R^
2-d^
2))
On obtient :
(4*d^
3*pi)/3
Donc la sphère trouée (en rouge) a le même volume qu'une sphère de
rayon d (en jaune) où 2d est la hauteur du cylindre (en bleu) :
Vs -
Vt =

d3
2ième méthode
On calcul le volume restant en coupant par des plans parallèles à Oxy.
Un plan de cote z coupe le volume restant selon une couronne de rayons r et
Rz avec
Rz =
et
r =
.
La surface de cette couronne est donc :
Sc =
(Rz2 - r2) =
(R2 - z2 - (R2 - d2) =
(d2 - z2)
On a donc :
Vs - Vt = 
(d2 - z2)dz
On tape :
simplify(int(pi*(d^
2-z^
2),z,-d,d))
On obtient :
4/3*d^
3*pi
Donc :
Vs -
Vt =

d3
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve