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La démonstration avec xcas

Pour montrer plus facilement que les 18 triangles trouvés sont équilatéraux on va écrire dans le fichier equimorley une fonction ayant m,n,p,q,r,s comme paramètres représentant le triangle AmBn,BpCq,CrAs et qui teste si ce triangle est équilatéral :
equimore(m,n,p,q,r,s):={
assume(a1=0.3); 
assume(a2=0.4);
A:=[0,1+i*texpand(tan(a1)),1+i*texpand(tan(2*a1)),
1+i*texpand(tan(pi/3+a1)),1+i*texpand(tan(2*a1+2*pi/3)),
1+i*texpand(tan(a1+2*pi/3)),1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1))];
B:=[1,i*texpand(tan(2*a2)),i*texpand(tan(a2)),
i*texpand(tan(2*a2+2*pi/3)),i*texpand(tan(a2+pi/3)),
i*texpand(tan(pi/3+2*a2)),i*texpand(tan(2*pi/3+a2))];
C0:=texpand(tan(a2*3)/(tan(a1*3)+tan(a2*3))*(1+i*tan(a1*3)));
C:=[C0,C0+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-a2)),
C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*a2)),
C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+2*a1-a2)),
C0+1+i*texpand(tan(pi/3+a1-2*a2)),
C0+1+i*texpand(tan(2*a1-a2)),C0+1+i*texpand(tan(a1-2*a2))];
P:=affixe((inter(droite(A[0],A[m]),droite(B[0],B[n])))[0]);
Q:=affixe((inter(droite(B[0],B[p]),droite(C[0],C[q])))[0]);
R:=affixe((inter(droite(C[0],C[r]),droite(A[0],A[s])))[0]);
lpq:=longueur2(P,Q);
lpr:=longueur2(P,R);
lqr:=longueur2(Q,R);
return([normal(lpq-lpr),normal(lpq-lqr)]);
};
On fait Charger session du menu Fich de xcas et on selectionne equimorley du répértoire examples/geo pour exécuter ce fichier, puis :
equimorley(5,6,5,6,5,6)
On trouve :
[0,0]
et cela prouve que le triangle (A5B6, B5C6, C5A6) est équilatéral.
puis par exemple :
equimorley(5,4,3,2,1,6)
On trouve :
[0,0]
et cela prouve que le triangle (A5B4, B3C2, C1A6) est équilatéral.
Avec la fonction equimore, on peut donc montrer que les 18 triangles trouvés précédemment sont bien tous équilatéraux.



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve