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Adéquation d'une distribution expérimentale à une distribution de Poisson

Pour pouvoir calculer les effectifs théoriques, on est souvent obligé d'estimer le paramètre $ \mu$ à partir de l'échantillon ($ \mu$ est estimé par la moyenne m de l'échantillon).
Règle
Soit k est le nombre de classes.
Si on s'est servi de l'échantillon pour estimer $ \mu$, alors la statistique D2 suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à k - 2 degrés de liberté (cas 1),
sinon D2 suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ à k - 1 degrés de liberté (cas 2) .
Pour savoir si la distribution n1,.., nk correspondant aux k classes de centre x1,.., xk est conforme à une distribution de Poisson, on utilise le test d'hypothèses :
H0 : pour tout j Proba(X = xj) = e-xj$ \lambda^{{x_j}}_{}$/xj! = pj et
H1 : il existe j = 1...k, Proba(X = xj) $ \neq$ pj
On rejette l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$, quand la valeur d2 de D2 est supérieure à h avec h vérifiant :
- cas 1 : Proba($ \chi^{2}_{{k-2}}$ $ \leq$  h) = 1 - $ \alpha$,
- cas 2 : Proba($ \chi^{2}_{{k-1}}$ $ \leq$  h) = 1 - $ \alpha$.
Exemple
On a effectué un échantillon de taille 100 et on a obtenu, pour les 11 valeurs entières d'une variable aléatoire X les effectifs suivants :
X nj
0 1
1 8
2 19
3 23
4 17
5 15
6 8
7 3
8 3
9 2
10 1
Peut-on dire que X suit une loi de Poisson ?
On suppose que cela est vrai et on estime le paramètre de la loi de Poisson par la moyenne de l'échantillon.
Ssoit on utilise le tableur, soit on tape :
L1:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
L2:=[1,8,19,23,17,15,8,3,3,2,1]
mean(L1,L2)
On obtient :
379/100
On cherche les effectifs théoriques on tape (n = 100) :
100*poisson(3.79,0), 100*poisson(3.79,1), etc ...
100*poisson(3.79,9), 100*poisson(3.79,10).
On rappelle que : poisson(3.79,k)=exp(-3.79)*(3.79^k)/k!
ou bien on tape
L:=[];for(j:=0;j<11;j++) {
L:=concat(L,poisson(3.79,j)*100);}
ou encore on tape :
L:=seq(100*poisson(3.79,k),k,0,10)
On obtient la liste L des 11 valeurs de ej pour j = 0..10 :
[2.25956018511,8.56373310158,16.2282742275,20.5017197741,
19.4253794859,14.7244376503,9.30093644912,5.0357927346,
2.38570680802,1.00464764471,0.380761457345]
il faut changer la valeur de la dernière classe car elle doit comporter toutes les valeurs supérieures ou égales à 10 (la somme des ej est égale à la taille de l'échantillon ici 100):
L[10]:=100-sum(L[j],j,0,9)
On obtient :_ 0.56981193906
Donc on obtient la liste L des ej :
[2.25956018511,8.56373310158,16.2282742275,20.5017197741,
19.4253794859,14.7244376503,9.30093644912,5.0357927346,
2.38570680802,1.00464764471,0.56981193906]
On regroupe les petits effectifs pour avoir ej > 5, on a donc 7 classes :
On tape :
L[0]+L[1]
On obtient :
10.8232932867
L[7]+L[8]+L[9]+L[10]
On obtient :
8.99595912639
Ou encore, on tape :
L:=accumulate_head_tail(L,2,4)
Donc on obtient la liste L d'effectifs théoriques ej avec ej > 5:
L:=[10.8232932867,16.2282742275,20.5017197741,
19.4253794859,14.7244376503,9.30093644912,8.99595912639]
La liste L2 d'effectifs empiriques correspondant à ces 7 classes est :
L2:=[9,19,23,17,15,8,9]
On calcule :
L3:=(L2-L)^2
d2:=evalf(sum((L3[j]/L[j]),j,0,6))
On obtient :
1.57493190982
On sait que D2 suit une loi du $ \chi^{2}_{}$ ayant (7-2)=5 degrés de liberté car on a estimé $ \lambda$ par m moyenne de l'échantillon.
On tape pour connaitre la région critique au seuil de $ \alpha$ = 0.05 :
chisquare_icdf(5,0.95)
On obtient :
11.0704976935
donc h $ \simeq$ 11.07 :
Proba(D2 < 11.07) = 0.95 ou encore Proba(D2 > 11.07) = 0.05.
Cela veut dire que D2 a des valeurs supérieure à 11.07 que dans 5% des cas c'est à dire très peu souvent ou encore que la probabilité que D2 soit supérieur à 11.07 par le seul fait du hasard sur l'échantilonnage est 0.05, et dans ce cas il n'y aurait que 5 chances sur 100 pour que l'on ait alors une distribution de Poisson.
Donc si la valeur observée d2 de D2 est supérieure à 11.07 on rejetera l'hypothèse H0 au seuil $ \alpha$ = 0.05.
Dans l'exemple ci-dessus, la valeur observée de D2 est d2 = 1.575, donc on estime que l'hypothèse selon laquelle la distribution est une distribution de Poisson n'est pas à rejeter au seuil de 5%.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve