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La fonction exponentielle integrale Ei : Ei

Ei a comme argument un nombre complexe a.
Ei calcule les valeurs de la fonction Ei au point a.
On a par définition :

Ei(x) = $\displaystyle \int_{{t=-\infty}}^{x}$$\displaystyle {\frac{{\exp(t)}}{{t}}}$dt

Pour x > 0, on prolonge par la valeur principale de l'intégrale (les morceaux en 0- et 0+ se compensent). On a :

Ei(0) = - $\displaystyle \infty$,    Ei(- $\displaystyle \infty$) = 0

Lorsque l'on est proche de x = 0 on sait que :

$\displaystyle {\frac{{\exp(x)}}{{x}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$ +1 + $\displaystyle {\frac{{x}}{{2!}}}$ + $\displaystyle {\frac{{x^2}}{{3!}}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{{x^n}}{{(n-1)!}}}$....

on a donc pour x $ \in$ $ \mathbb {C}$ - $ \mathbb {R}$+, (la fonction est discontinue sur $ \mathbb {R}$+) :

Ei(x) = ln(- x) + $\displaystyle \gamma$ + x + $\displaystyle {\frac{{x^2}}{{2.2!}}}$ + $\displaystyle {\frac{{x^3}}{{3.3!}}}$ + ...

$ \gamma$ = la constante d'Euler = 0.57721566490..
sur l'axe x > 0 on prend : Ei(x) = ln(x) + $ \gamma$ + x + $ {\frac{{x^2}}{{2.2!}}}$ + $ {\frac{{x^3}}{{3.3!}}}$ + ...
On tape :
Ei(1.)
On obtient :
1.89511781636
On tape :
Ei(-1.)
On obtient :
-0.219383934396
On tape :
Ei(1.)-Ei(-1.)
On obtient :
2.11450175075
On tape :
int((exp(x)-1)/x,x=-1..1.)
On obtient :
2.11450175075
On tape :
evalf(Ei(-1)-sum((-1)^n/n/n!,n=1..100))
On obtient la constante d'Euler $ \gamma$ :
0.577215664901532860606507


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve