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La solution avec l'aide de Xcas

1/ L'équation du plan P est de la forme : ax + by + cz + d = 0.
P passe par A donc : a + d = 0
P passe par B donc : b + d = 0
P passe par C donc : c + d = 0
donc a = b = c = - d et une équation du plan P est x + y + z = 1.
Un vecteur normal au plan P est donc (a, b, c) = (1, 1, 1).
Ou encore on a :
$ \overrightarrown$ = $ \overrightarrow{AB}$ $ \wedge$ $ \overrightarrow{AC}$
On a :
$ \overrightarrow{AB}$ = (- 1, 1, 0) et $ \overrightarrow{AC}$ = (- 1, 0, 1)
On tape :
cross([-1,1,0],[-1,0,1])
On obtient un vecteur normal $ \overrightarrown$ au plan P :
[1,1,1]
Si M = (x, y, z) est un point du plan P, l'équation du plan P est :
$ \overrightarrown$ . $ \overrightarrow{AM}$ = 0.
On tape :
dot([1,1,1],[x-1,y,z])=0
On obtient une équation du plan P : (x-1+y+z)=0

2/ Si M = (x, y, z) est un point de D0, $ \overrightarrow{OM}$ est parallèle à $ \overrightarrown$ donc :
$ \overrightarrow{OM}$ = $ \lambda$ . $ \overrightarrown$ avec $ \lambda$ $ \in$ $ \mathbb {R}$.
Ou on tape :
cross([x,y,z],[1,1,1])=[0,0,0]
On obtient :
[y-z,z-x,x-y]=[0,0,0]
L'équation de D0 est donc :
x = y = z ou encore :
x = $ \lambda$, y = $ \lambda$, z = $ \lambda$ avec $ \lambda$ $ \in$ $ \mathbb {R}$.
Pour obtenir l'intersection de P et D0, on tape :
solve([y-z,z-x,x-y,x-1+y+z],[x,y,z])
On obtient les coordonnées de J :
[[1/3,1/3,1/3]]

3/ Pour obtenir l'équation de D1 on a :
$ \overrightarrow{AM}$ = $ \lambda$ . $ \overrightarrow{AJ}$ donc :
[x - 1 = $ \lambda$*(- 2)/3, y = $ \lambda$/3, z = $ \lambda$/3]
Ou on tape :
cross([x-1,y,z],[-2/3,1/3,1/3])=[0,0,0]
On obtient :
[y/3-z/3,(z*-2)/3-(x-1)/3,(x-1)/3-(y*-2)/3]=[0,0,0]
On tape :
solve([y/3-z/3,(z*-2)/3-(x-1)/3,(x-1)/3-(y*-2)/3],[x,y,z])
et on obtient : [[x,(x-1)/-2,(x-1)/-2]]
donc x=x,y=(x-1)/-2,z=(x-1)/-2 est l'équation paramétrique de D1 de paramètre x.

Pour obtenir l'équation de D2 on a :
$ \overrightarrow{BM}$ = $ \lambda$ . $ \overrightarrow{BC}$ donc :
[x = 0, y - 1 = - $ \lambda$, z = $ \lambda$
Ou on tape :
cross([x,y-1,z],[0,-1,1])=[0,0,0]
On obtient :
[y-1+z,-x,-x]=[0,0,0]
donc x=0,y=y,z=1-y est l'équation paramétrique de D2 de paramètre y.

Pour avoir l'intersection de D1 et de D2, on tape :
solve([ x=x,y=(x-1)/-2,z=(x-1)/-2, x=0,y=y,z=1-y],[x,y,z])
On obtient les coordonnées de M :
[[0,1/2,1/2]]
Ce point est bien le milieu de BC puisque :
2*$ \overrightarrow{OM}$ = $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve