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Une démonstration géométrique

La figure

\begin{pspicture}(-5.0000,-5.0000)(5.0000,2.0000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...\psset{linecolor=black}
\psline(-0.0077,-1.3400)(2.5000,-2.7000)
\end{pspicture}

La démonstration
On suppose que les angles du triangle ABC valent 3a, 3b, 3c ( a + b + c = $ \pi$/3).
On trace les trissectrices des angles B et C.
Soit D l'intersection des deux trissectrices tels que le triangle BCD aient comme angles b et c et $ \pi$ - b - c.
Soient F et H tels que le triangle HFD soit isocéle d'angle à la base a + c et H sur CD et F sur la 2-ième trissectrice de B : on construit F sur la 2-ième trissectrice de B tel que l'angle $ \widehat{{FDB}}$ = $ \pi$/3 + c = a + c + b + c,
Soient E et K tels que le triangle KED soit isocéle d'angle à la base a + b et K sur BD et E sur la 2-ième trissectrice de C : on construit F sur la 2-ième trissectrice de C tel que l'angle $ \widehat{{CDK}}$ = $ \pi$/3 + b = a + b + b + c)
On a :
$ \widehat{{HDB}}$ = b + c = $ \widehat{{KDC}}$
$ \widehat{{FDE}}$ + (a + c) + (b + c) + ($ \pi$ - b - c) + (a + b) + (b + c) = 2$ \pi$ donc,
$ \widehat{{FDE}}$ = $ \pi$ -2a - 2b - 2c = $ \pi$/3 et
$ \widehat{{BFD}}$ = $ \pi$ - b - (a + c) - (b + c) = a + $ \pi$/3
$ \widehat{{CED}}$ = $ \pi$ - c - (a + b) - (b + c) = a + $ \pi$/3
D est sur les bissectrices des angles $ \widehat{{CBF}}$ et $ \widehat{{BCE}}$, donc D est équidistant de BF et CE et puisque $ \widehat{{BFD}}$ = $ \widehat{{CED}}$ on a DE = DF
donc le triangle DEF est équilatèral (DE = DF et $ \widehat{{FDE}}$ = $ \pi$/3).
Il reste donc à montrer que F et E sont sur les trissectrices de A : on va montrer que FH et EK sont les trissectrices de A.
FK est la bissectrice de $ \widehat{{DKE}}$
FB est la bissectrice de $ \widehat{{DBA}}$ donc
si on suppose que KE coupe AB an L, LF est la bissectrice de $ \widehat{{L}}$ et $ \widehat{{BLF}}$ = $ \widehat{{FLK}}$ = a ( $ \widehat{{BKL}}$ = $ \pi$ - 2(a + b) $ \widehat{{KBL}}$ = 2b donc $ \widehat{{BLK}}$ = 2a) et comme $ \widehat{{BFH}}$ = a + b, L, F, H sont alignés.
De même si on suppose que HF coupe AC en J, JE est la bissectrice de $ \widehat{{J}}$ et $ \widehat{{CJE}}$ = $ \widehat{{EJH}}$ = a et J, E, K sont alignés.
On a K, E, L sont alignés et J, E, K sont alignés.
On a L, F, H sont alignés et F, H, J sont alignés
donc J et L sont à l'intersection de EK et FH. Mais J est sur AB et L sur AC, donc J et L sont confondus en A et on en déduit que FH et EK sont les trissectices de l'angle A.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve