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Intégrale et série

1/ On considère la suite un = $\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$ pour n > 0.
Montrer que un converge en comparant un à l'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{{n+1}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{t^2}}}$dt.
2/ a/ Soit a > 0. Montrer que la fonction f définie par :
f (x) = xa*ln(x) si x > 0 et f (0) = 0
est continue sur [0; + $ \infty$[
b/ Calculer $ \int_{0}^{1}$f (t)dt
3/ a/ Montrer que la fonction gn définie par :
gn(x) = $\displaystyle {\frac{{x^{2n+1}*\ln(x)}}{{x^2-1}}}$ si x > 0 et x $ \neq$ 1
peut se prolonger par continuité sur [0; + $ \infty$[
b/ On pose In = $ \int_{0}^{1}$gn(t)dt.
Calculer In+1 - In
c/ Montrer que In est convergente et déterminer sa limite.
En déduire la valeur de I0 en fonction de la limite de un.

Correction
1/ Pour pour j > 2 et pour t $ \in$ [j - 1;j[ on a 1/j2 $ \leq$ 1/t2 donc :
un = $\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$ = 1 + $\displaystyle \sum_{{j=2}}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{j^2}}}$ < 1 + $\displaystyle \int_{1}^{n}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{t^2}}}$dt
donc un < 1 - $ {\frac{{1}}{{n}}}$ +1 = 2 - $ {\frac{{1}}{{n}}}$
La suite un est croissante et majorée donc elle est convergente de limite l et on a l $ \leq$ 2.
2/ On tape :
assume(a>0);
limit(x^a*log(x),x=0
On obtient :
0
On tape :
ibpu(x^a*log(x),log(x))
On obtient :
[(x^(a+1)*log(x))/(a+1),(-(x^(a+1)))/(a*x+x)]
On obtient :
-1/(a+1)^2
3/ On tape :
g(n,x):=(x^(2*n+1)*log(x))/(x^2-1)
limit(g(n,x),x=1)
On obtient :
1/2
On tape :
limit(g(n,x),x=0)
On obtient :
0
On tape :
lncollect(normal(g(n+1,x)-g(n,x)))
On obtient :
((x^(2*n+3)-x^(2*n+1))*log(x))/(x^2-1)
On tape :
int(x^(2*n+1)*log(x),x,0,1
On obtient :
-1/(2*n+2)^2
On a pour 0 $ \leq$ x $ \leq$ 1:
0 $ \leq$ gn(x) < x(2*n)/2 car x*log(x)/(x2 -1) < 1/2
Donc :
In+1 - In = - 1/4*1/(n + 1)2
donc :
In = - 1/4*un + I0
On a donc I0 = l /4


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve