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Application : le test d'indépendance

C'est une application du test d'adéquation.
Considérons une variable aléatoire X valant x1,.., xk avec une probabilité théorique p1,..,pk (avec p1 + ... + pk = 1) et une variable aléatoire Y valant y1,.., yl avec une probabilité théorique q1,..,ql (avec q1 + ... + ql = 1).
On a un échantillon de taille n (n grand) pour lequel le nombre d'éléments présentant le caractère xi et le caractère yj est ni, j ( $ \sum$ni, j = n).
On veut savoir, au vue de l'échantillon si les variables X et Y sont indépendantes.
On peut estimer les pi et les qj par :
pi $ \simeq$ $ \sum$j=1lni, j/n
qj $ \simeq$ $ \sum$i=1kni, j/n
En estimant ces valeurs, on a estimé k - 1 + l - 1 = k + l - 2 paramètres (car quand on a estimé p1,.., pk-1 on a l'estimation de pk et quand on a estimé q1,.., ql-1 on a l'estimation de ql).

Si X et Y sont indépendantes (hypothèse H0), alors :
Proba((X = xi) $ \cap$ (Y = yj)) = piqj
donc l'effectif théorique des éléments présentant le caractère xi et yj est :
ei, j = npiqj.
La statistique D2 = $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{k}$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{l}$$\displaystyle {\frac{{(n_{i,j}-np_iq_j)^2}}{{np_iq_j}}}$ suit approximativement une loi du $ \chi^{2}_{}$ ayant (k - 1)(l - 1) degrés de liberté (car (k - 1)(l - 1) = kl - 1 - (k + l - 2)).
Règle
On calcule d2 la valeur de D2 pour l'échantillon et $ \nu$ = (k - 1)(l - 1) le nombre de degrés de liberté.
On cherche dans une table la valeur de h vérifiant : Proba($ \chi_{{\nu}}^{2}$ < h) = 1 - $ \alpha$
Avec Xcas on tape si $ \alpha$ = 0.05 :
h:=chisquare_icdf((k-1)(l-1),0975)
Si d2 < h, on accepte l'hypothèse d'indépendance au seuil $ \alpha$, sinon on la rejette.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve