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Généralisation du problème

Un père possède un terrain triangulaire et a n fils ( n = 3, 4, 5...).
Il veut forer un puits à l'intérieur de son terrain, de façon qu'á sa mort, chacun de ses n fils possède un morceau triangulaire de même surface ayant accès au puits. Déterminer le nombre de solutions possibles.

Pour n = 4, on cherche 2 points P et D avec D par exemple sur BC (il y a donc 3 solutions selon que l'on choisit D sur BC ou sur AC ou sur AB) pour que chaque fils ait comme morceau ABP ou APC ou BDP ou DCP et que ces morceaux soient de même aire à savoir le quart de l'aire de ABC.
Avec Xcas on clique sur 3 points et on tape dans un ècran de géométrie :

triangle(A,B,C);
I:=A+(C-A)/4;
dc:=parallele(I,droite(B,A));
J:=A+(C-A)/2;
da:=parallele(J,droite(B,C));
P:=inter_unique(da,dc);
D:=milieu(B,C);
affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C),
            segment(P,D)],rouge)
K:=B+(A-B)/2

fltkcolor00 0 0 fltkcolor10.9961 0 0 fltkcolor20 0.9961 0 fltkcolor30.9961 0.9961 0 fltkcolor40 0 0.9961 fltkcolor50.9961 0 0.9961 fltkcolor60 0.9961 0.9961 fltkcolor70.9961 0.9961 0.9961 fltkcolor80.332 0.332 0.332 fltkcolor90.7734 0.4414 0.4414 fltkcolor100.4414 0.7734 0.4414 fltkcolor110.5547 0.5547 0.2188 fltkcolor120.4414 0.4414 0.7734 fltkcolor130.5547 0.2188 0.5547 fltkcolor140.2188 0.5547 0.5547 fltkcolor150 0 0.5 fltkcolor160.6562 0.6562 0.5938 fltkcolor170.9062 0.9062 0.8438 fltkcolor180.4062 0.4062 0.3438 fltkcolor190.5938 0.6562 0.6562 fltkcolor200.8438 0.9062 0.9062 fltkcolor210.3438 0.4062 0.4062 fltkcolor220.6094 0.6094 0.6562 fltkcolor230.8594 0.8594 0.9062 fltkcolor240.3594 0.3594 0.4062 fltkcolor250.6094 0.6562 0.6094 fltkcolor260.8594 0.9062 0.8594 fltkcolor270.3594 0.4062 0.3594 fltkcolor280.5625 0.5625 0.5625 fltkcolor290.75 0.75 0.75 fltkcolor300.3125 0.3125 0.3125 fltkcolor310.625 0.625 0.625 fltkcolor320 0 0 fltkcolor330.05078 0.05078 0.05078 fltkcolor340.1016 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\begin{pspicture}(-6.0000,-4.5309)(6.0000,4.5309)
\psset{unit=0.8974cm}
\psset{x...
...}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](-1.4995,0.6062)
\end{pspicture}

On tape pour vérifier :
aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,C,P)

Propriétés du point P
I est le milieu de AJ, IP est parallèle à AK donc P est le milieu de KJ. AP est une médiane de AKJ, KJ est parallèle à BC donc AP est la médiane AD de ABC.
De plus P est le milieu de AD puisque J est le milieu de AC, JP est parallèle à DC .
P est donc le barycentre des 3 points [A,2],[B,1],[C,1].
On tape pour vérifier :
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point_width_2).
Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point_width_2)

Pour n = 5, on cherche 3 points P, D et E avec D et E sur un même côté par exemple sur BC ou D et E sur des côtés différents par exemple D sur BC et E par exemple sur AC (il y a donc en tout 6 solutions : 3 solutions selon que l'on choisit D et E sur BC ou sur AC ou sur AB et 3 solutions selon que l'on choisit D et E pas sur BC ou pas sur AC ou pas sur AB) pour que chaque fils ait comme morceau un triangle de sommets pris parmi A,B,C,D,E,P et que ces morceaux soient de même aire à savoir le cinquième de l'aire de ABC.
Avec Xcas on clique sur 3 points et on tape dans un ècran de géométrie :

triangle(A,B,C);
I:=A+(C-A)/5
dc:=parallele(I,droite(B,A));
J:=A+2*(C-A)/5;
da:=parallele(J,droite(B,C));
P:=inter_unique(da,dc);
D:=B+(C-B)/3;
E:=B+2*(C-B)/3;
affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C),
            segment(P,D),segment(P,E)],rouge)
K:=B+3*(A-B)/5;
affichage(barycentre([A,3],[B,1],[C,1]),point_width_2)

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\begin{pspicture}(-6.0000,-4.5309)(6.0000,4.5309)
\psset{unit=0.8974cm}
\psset{x...
...set{linewidth=0.0000pt}
\psline(-1.4584,-0.2804)(-2.9300,0.4085)
\end{pspicture}

On tape pour vérifier :
aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,E,P),aire(E,C,P)

Propriétés du point P
I est le milieu de AJ, IP est parallèle à AK donc P est le milieu de KJ. AP est une médiane de AKJ, KJ est parallèle à BC donc AP est la médiane de ABC.
De plus P est situé au 2/5 de cette médiane de AD puisque J est situé au 2/5l de AC, JP est parallèle à DC .
Donc l'aire de PBC vaut les 3/5 de l'aire de ABC P est donc le barycentre des 3 points [A,3],[B,1],[C,1].
On tape pour vérifier :
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point_width_2).
On voit le partage en rouge sur la figure lorsque le puits est en P.
Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit D et E sur le même côté, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point_width_2)
Les 3 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit D et E sur des côtés, sont obtenues avec :
affichage(barycentre([A,2],[B,2],[C,1]),point_width_2)
affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,2]),point_width_2)
Q:=affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,2]),point_width_2)
On voit le partage en vert sur la figure lorsque le puits est en Q.

On généralise aisément.
On montre par récurrence que le nombre de solutions pour n (n > 3) est : (n - 2)(n - 1)/2.
En effet on cherche le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme n i.e. on cherche le nombre de triplets (a, b, c) $ \in$ $ \mathbb {N}$*3 vérifiant a + b + c = n. pour n = 3 ce nombre est 1= (n - 2)(n - 1)/2 car (1+1+1=3)
Hypothèse de recurrence : pour n ce nombre est (n - 2)(n - 1)/2,

pour n + 1, on cherche le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme n + 1 :
si a + b + c = n + 1, c'est que a + b < n + 1 car c $ \neq$ 0
Donc le problème revient à chercher le nombre de couples (a, b) d'entiers non nuls de somme strictement inférieure à n + 1. Par hypothèse de recurrence, le nombre de couples (a, b) d'entiers non nuls de somme strictement inférieure à n est (n - 2)(n - 1)/2. Il reste donc à comptabiliser les couples (a, b) d'entiers non nuls de somme n : il y en n - 1 puisque a peut prendre n - 1 valeurs. Donc le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme n + 1 est :
(n - 2)(n - 1)/2 + n - 1 = (n - 1)(n - 2 + 2)/2 = (n - 1)n/2. On a ainsi montrer par récurrence que le nombre de solutions pour le partage en n triangles de même aire est (n - 2)(n - 1)/2.
Il est interessant de voir alors la disposition des différents puits les uns par rapport aux autres : il forme un reseau triangulaire de côté n - 2 et on retrouve alors le nombre de puits avec la formule :
1 + 2 + ... + (n - 2) = (n - 2)(n - 1)/2.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve