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Un premier exemple

On suppose que uk = (- 1)kf (k) avec f (k) tend vers zéro quand k tend vers + $ \infty$ et f décroissante de $ \mathbb {R}$+ dans $ \mathbb {R}$+.
On pose :
g(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (x) - f (x + 1)) donc
vk = (- 1)k$\displaystyle {\frac{{f(k)-f(k+1)}}{{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{u_k+u_{k+1}}}{{2}}}$ = (- 1)kg(k)
On a :
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$vk = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$uk + $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$uk+1)
donc,
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$vk = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$($\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$uk + $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n+1}}$uk)
donc,
$\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$vk = $\displaystyle {\frac{{u_0}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{u_{n+1}}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{k=0}}^{n}$uk
Puisque f (k) tend vers zéro quand k tend vers + $ \infty$, g(k) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (k) - f (k + 1)) tend aussi vers zéro quand k tend vers + $ \infty$.
Si la fonction f est convexe (f''(x) > 0), la série $ \sum_{{k=0}}^{\infty}$vk vérifie aussi le théorème des séries alternées.
En effet, pour x > 0 on a :
g(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (x) - f (x + 1)) $ \geq$ 0 puisque f décroissante sur $ \mathbb {R}$+
g'(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f'(x) - f'(x + 1)) < 0 puisque f''(x) > 0, f' est négative et croissante sur $ \mathbb {R}$+
donc g est décroissante de $ \mathbb {R}$+ dans $ \mathbb {R}$+ et g(k) tend vers zéro quand k tend vers + $ \infty$.
Conclusion : La série $ \sum_{{k=0}}^{\infty}$vk est une série alternée de somme S + $ {\frac{{u_0}}{{2}}}$.
Si de plus, f'(x)/f (x) tend vers zéro quand x tend vers l'infini, la série $ \sum_{{k=0}}^{\infty}$vk converge plus rapidement que $ \sum_{{k=0}}^{\infty}$uk, puisque il existe c, x < c < x + 1 d'après le th des accroissements finis tel que:
0 < g(x) = $ {\frac{{1}}{{2}}}$(f (x) - f (x + 1)) = $ {\frac{{-1}}{{2}}}$f'(c)
on a donc, puisque f' est négative et croissante:
0 < g(x) < $ {\frac{{-1}}{{2}}}$f'(x) = o(f (x)).
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve