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Avec les nombres complexes

Soient a, b, c, g1, g2, g2 les affixes de A, B, C, G1, G2, G3 on a :
si le triangle ADB est de sens direct, A se déduit de B dans la rotation de centre g1 et d'angle 2*$ \pi$/3 donc puisque j = e$\scriptstyle {\frac{}{}}$i2$ \pi$3:
a - g1 = j*(b - g1)
de même si les triangles BEC et CFA sont de sens direct on a :
b - g2 = j*(c - g2)
c - g3 = j*(a - g3)
On en déduit que :
(1 - j)g1 = a - jb et
(1 - j)g2 = b - jc et
(1 - j)g3 = c - ja donc
(1 - j)(g1 - g2) = a - b(1 + j) + jc = a + jc + j2b puisque 1 + j + j2 = 0 et
(1 - j)(g2 - g3) = b - c(1 + j) + ja = j(a + jc + j2b) puisque j3 = 1 donc
(1 - j)(g2 - g3) = j(1 - j)(g1 - g2) et après division par j - 1 on a
g2 - g3 = j(g1 - g2) et
cette égalité prouve que le triangle G1G2G3 est équilatèral.
On a de plus :
(1 - j)g1 + (1 - j)g2 + (1 - j)g3 = a - jb + b - jc + c - ja = (1 - j)(a + b + c) donc
(a + b + c)/3 = (g1 + g2 + g3)/3 ce qui veut dire que les triangles ABC et G1G2G3 ont même centre de gravité.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve