next up previous contents
suivant: Rang d'une matrice monter: Exercices d'Algèbre niveau licence précédent: Une rotation   Table des matières

Puissance n-ième d'une matrice

Calculer la puissance n-ième de la matrice :

A = $\displaystyle \left[\vphantom{\begin{array}{rrrr}
7&4&0&0\\
-12&-7&0&0\\
20&11&-6&-12\\
-12&-6&6&11
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rrrr}
7&4&0&0\\
-12&-7&0&0\\
20&11&-6&-12\\
-12&-6&6&11
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rrrr}
7&4&0&0\\
-12&-7&0&0\\
20&11&-6&-12\\
-12&-6&6&11
\end{array}}\right]$

On cherche si A est diagonalisable.
On tape :
A:=[[7,4,0,0],[-12,-7,0,0],[20,11,-6,-12],[-12,-6,6,11]]
P,B:=jordan(A)
On obtient :
P:=[[0,1,0,2],[0,-2,0,-3],[-3,2,4,1],[2,-1,-3,0]]
B:=[[2,0,0,0],[0,-1,0,0],[0,0,3,0],[0,0,0,1]]
Donc A est diagonalisable.
On a :
B=P^-1*A*P
donc
B^n=P^-1*A^n*P
ou encore
A^n=P*B^n*P^-1
On a :
B^n=[[2^n,0,0,0],[0,(-1)^n,0,0],[0,0,3^n,0],[0,0,0,1]]
On tape :
Bn:=[[2^n,0,0,0],[0,(-1)^n,0,0],[0,0,3^n,0],[0,0,0,1]]
An:=normal(P*Bn*inv(P))
On obtient :
$ \tt [[-3*(-1)^n+4,-2*(-1)^n+2,0,0],[6*(-1)^n-6,4*(-1)^n-3,0,0],$
$ \tt [-6*(-1)^n+4*3^n+2,3*2^n-4*(-1)^n+1,9*2^n-8*3^n,12*2^n-12*3^n],$
$ \tt [3*(-1)^n-3*3^n,-2*2^n+2*(-1)^n,-6*2^n+6*3^n,-8*2^n+9*3^n]]$

Autre méthode :
On calcule le polynômr caractéristique de A.
On tape :
pcar(A)
On obtient :
[1,-5,5,5,-6]
r2e([1,-5,5,5,-6],X)=(((X-5)*X+5)*X+5)*X-6
Donc le polynôme caractéristique de A est :
X4 -5*X3 +5*X2 + 5*X - 6
On tape :
factor(r2e([1,-5,5,5,-6],X))
On obtient :
(X-2)*(X-3)*(X+1)*(X-1)
La matrice A a donc 4 valeurs propres distinctes, et on a :
A4 -5*A3 +5*A2 + 5*A - 6*idn(4) = 0
Donc :
A4 = 5*A3 -5*A2 - 5*A + 6*idn(4)
An+4 = 5*An+3 -5*An+2 -5*An+1 +6*An
On va donc étudier les suites récurrentes vérifiant :
(1) un+4 = 5*un+3 -5*un+2 -5*un+1 +6*un
en cherchant les progressions géométriques de raison r qui vérifient (1). La raison est donc solution de :
X4 -5*X3 +5*X2 + 5*X - 6 = (X - 2)*(X - 3)*(X + 1)*(X - 1) = 0
c'est à dire on peut avoir :
r = - 1 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3
donc comme une suite récurrente qui vérifie (1) est entièrement définie par ses 4 premiers termes : u0, u1, u2, u3, si il existe a, b, c, d tel que :
u0 = a*(- 1)0 + b*10 + c*20 + d*30 = a + b + c + d
u1 = a*(- 1)1 + b*11 + c*21 + d*31 = - a + b + 2*c + 3*d
u2 = a*(- 1)2 + b*12 + c*22 + d*32 = a + b + 4*c + 9*d
u3 = a*(- 1)3 + b*13 + c*23 + d*33 = - a + b + 8*c + 27*d
on aura :
un = a*(- 1)n + b*1n + c*2n + d*3n
On tape :
g(u0,u1,u2,u3):=linsolve([a+b+c+d=u0,-a+b+2*c+3*d=u1,
a+b+4*c+9*d=u2,-a+b+8*c+27*d=u3],[a,b,c,d])
Puis :
g(u0,u1,u2,u3)
On obtient :
[1/4*u0+-11/24*u1+1/4*u2+1/-24*u3,3/2*u0+1/4*u1-u2+1/4*u3,
-u0-1/-3*u1+u2-1/3*u3,1/4*u0+1/-8*u1+1/-4*u2+1/8*u3]
On tape :
normal((-1)^n*(1/4*idn(4)+-11/24*A+1/4*A^2+1/-24*A^3)+
3/2*idn(4)+1/4*A-A^2+1/4*A^3+2^n*(-idn(4)-1/-3*A+A^2-
1/3*A^3)+3^n*(1/4*idn(4)+1/-8*A+1/-4*A^2+1/8*A^3))
ou on tape :
vn:=[(-1)^n,1,2^n,3^n]
puis,
vn*g(idn(4),A,A^2,A^3)
On obtient :
$ \tt [[-3*(-1)^n+4,-2*(-1)^n+2,0,0],[6*(-1)^n-6,4*(-1)^n-3,0,0],$
$ \tt [-6*(-1)^n+4*3^n+2,-4*(-1)^n+3*2^n+1,9*2^n-8*3^n,12*2^n-12*3^n],$
$ \tt [3*(-1)^n-3*3^n,2*(-1)^n-2*2^n,-6*2^n+6*3^n,-8*2^n+9*3^n]]$


next up previous contents
suivant: Rang d'une matrice monter: Exercices d'Algèbre niveau licence précédent: Une rotation   Table des matières
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve