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Calcul numérique des différentes longueurs

On fait tout d'abord avec xcas un calcul numérique pour avoir une idée du résultat. Quitte à faire une similitude on peut choisir A à l'origine et B au point d'affixe 1.
Le fichier morley108 contient un programme qui calcule les coordonnées des 108 points d'intersections des trissectrices entre elles : il y a 3×6 = 18 trissectrices, sur chaque trissectrices il y a 6+6=12 points d'intersections donc en tout 18×12/2 = 108 points d'intersections que l'on met dans la liste P.
Puis on met dans une matrice symétrique LO de dimension 108×108 le carré des distances entre ces 108 points.
On met ensuite dans la variable trequi la liste des triplets formant un triangle équilatéral, selon le calcul numérique.
A est une liste de 7 éléments qui sont :
A[0]=0, c'est l'affixe du sommet A du triangle,
A[1] est l'affixe d'un point situé sur la trissectrice AD1,
A[2] est l'affixe d'un point situé sur la trissectrice AD2, etc...
de même pour B et C (B[0]=1...).
Voici le contenu du fichier morley108 :
a1:=0.2;
b1:=0.4;
A:=[0,1+i*texpand(tan(a1)),1+i*texpand(tan(2*a1)),
   1+i*texpand(tan(pi/3+a1)),
   1+i*texpand(tan(2*a1+2*pi/3)),1+i*texpand(tan(a1+2*pi/3)),
   1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1))];
B:=[1,i*texpand(tan(2*b1)),i*texpand(tan(b1)),
    i*texpand(tan(2*b1+2*pi/3)),i*texpand(tan(b1+pi/3)),
    i*texpand(tan(pi/3+2*b1)),i*texpand(tan(2*pi/3+b1))];
C0:=texpand(tan(b1*3)/(tan(a1*3)+tan(b1*3))*(1+i*tan(a1*3)));
C:=[C0,C0+1+i*texpand(tan(pi/3+2*a1-b1)),
    C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+a1-2*b1)),
    C0+1+i*texpand(tan(2*pi/3+2*a1-b1)),
    C0+1+i*texpand(tan(pi/3+a1-2*b1)),
    C0+1+i*texpand(tan(2*a1-b1)),C0+1+i*texpand(tan(a1-2*b1))];
P:=[];
for (k:=1;k<=6;k++) {
 for (j:=1;j<=6;j++){
   P:=concat(P,affixe((inter(droite(A[0],A[k]),
      droite(B[0],B[j])))[0]));
   P:=concat(P,affixe((inter(droite(B[0],B[k]),
      droite(C[0],C[j])))[0]));
   P:=concat(P,affixe((inter(droite(A[0],A[k]),
      droite(C[0],C[j])))[0]));
 }
};
LO:=[];
for (k:=0;k<108;k++) {
  LOL:=[];
  for (j:=0;j<108;j++){
    LOL:=concat(LOL,longueur2(P[k],P[j]));
  }
LO:=append(LO,LOL);
};
trequi:=[];
for (k:=0;k<106;k++) {
  for (j:=k+1;j<107;j++){
    l:=LO[k,j];
    for (s:=j+1;s<108;s++){
      if ((abs(normal(l-LO[j,s]))<0.0000001) and 
          (abs(normal(l-LO[k,s]))<0.0000001)){
        trequi:=append(trequi,[k,j,s]);
      }
    }
  }
};
trequi;
On tape dans xcas : size(trequi) : on obtient 54.
Cette liste contient donc 54 triplets ce qui veut dire qu'il y a numériquement 54 triangles équilatéraux. Parmi ces triangles il y en a 18 seulement qui mettent en jeu les trissectrices des 3 angles du triangle.
Les autres triangles ont des sommets qui sont des intersections de trissectrices de 2 angles du triangle : ceci était à prévoir et se démontre facilement.
En effet si on considère deux angles de sommets A et B et leurs trissectrices : les 3 trissectrices AD1, AD3, AD5 de l'angle A se déduisent l'une de l'autre par des rotations de centre A et d'angle $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ et les intersections des 3 trissectrices ( AD1, AD3, AD5) de l'angle A avec les 3 trissectrices BD1, BD3, BD5 de l'angle B déterminent 3 triangles équilatéraux. Plus précisément soient M le point d'intersection de AD1 avec BD1, N le point d'intersection de AD3 avec BD3, O le point d'intersection de AD5 avec BD5.
Alors le triangle MNO est équilatèral.
Voici la figure correspondant au fichier morley2.fig du répertoire examples/geo :








\begin{pspicture}(-6.5000,-3.3000)(6.5000,3.1000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...995)(1.26159899044,-3.2890762076)(1.11016347072,-0.705476098079)
\end{pspicture}




Montrons par exemple que MNO est un triangle équilatéral : la rotation de centre M et d'angle $ {\frac{{\pi}}{{3}}}$ transforme A en A1, B en B1 et N en N1.
Voici la figure (établie par le fichier demomorley2) :

\begin{pspicture}(-6.5000,-3.3000)(6.5000,3.1000)
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{...
...
\psset{linecolor=black}
\psline(0.5859,-2.6027)(1.2616,-3.2891)
\end{pspicture}




les triangles MAA1 et MNN1 sont des triangles équilatéraux directs (triangle isocèle ayant un angle de $ \pi$/3). M étant sur AD1, A1 se trouve donc sur AD5.
A1N1 fait un angle de $ \pi$/3 avec AN. N étant sur AD3, A1N1 est donc parallèle à AD5. On a ainsi montré que N1 se trouve sur AD5 c'est à dire que AA1, N1 sont alignés.
On montre de même que BB1, N1 sont alignés et donc N1 se trouve sur BD5 d'où N1 et O sont confondus. Ce qui prouve que MNO est un triangle équilatéral. Donc les 3 trissectrices AD1, AD3, AD5 de l'angle A forment avec les 6 trissectrices de l'angle B, 6 triangles équilatéraux. Donc les 6 trissectrices de l'angle A forment avec les 6 trissectrices de l'angle B, 12 triangles équilatéraux. Donc il existe 3×12 = 36 triangles équilatéraux de ce type.


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve