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Il se trouve que la convergence est très rapide. Le calcul de cette limite
en fonction de a et b n'est pas trivial au premier abord. Il est relié
aux intégrales elliptiques, plus précisément on peut construire une
intégrale dépendant de deux paramètres a et b et qui est invariante
par la transformation
F(x, y) =
,
:
I(
a,
b) =

On a en effet
On pose alors
u =

(
t -

),
t > 0
où
t
u est une bijection croissante de
t
]0, +
[ vers
u
] -
, +
[, donc
Lorsqu'on est à la limite l = M(a, b), le calcul de I(l, l ) est explicite
donc
I(
a,
b) =
On peut transformer I(a, b) en posant t = bu
Puis en posant u = tan(x) (
du = (1 + u2)dx)
et enfin en posant
tan2(x) =
Si on définit pour m < 1
K(
m) =

alors on peut calculer K en fonction de I, en posant
m = 1 - b2/a2 soit
b2/a2 = 1 - m
Donc pour x et y positifs
et finalement
M(
x,
y) =

et si k2 = 1 - m avec
k
]0, 1]
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve