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Sommes de Riemann

Soit (aj)j $\scriptstyle \in$ [0, n] une subdivision de [a, b].

Définition
On appelle sommes de Riemann de f associée à la subdivision (aj)j $\scriptstyle \in$ [0, n] toutes les sommes de la forme :
$ \sum_{{j=1}}^{n}$f (tj)*(aj - aj-1)
tj est un élément de [aj-1, aj] pour tout j $ \in$ [1, n].

Soit (aj)j $\scriptstyle \in$ [0, n] une subdivision régulière de [a, b] c'est à dire aj = a + j*$\displaystyle {\frac{{b-a}}{{n}}}$ pour j $ \in$ [0, n] .

Propriété
On a :
 aj - aj-1 = $\displaystyle {\frac{{b-a}}{{n}}}$ pour j $ \in$ [1, n].
et donc
$\displaystyle \int_{a}^{b}$f (t)dt = $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$\displaystyle {\frac{{b-a}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{n}$f (tj) = $\displaystyle \lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$\displaystyle {\frac{{b-a}}{{n}}}$$\displaystyle \sum_{{j=1}}^{{n-1}}$f (tj)
tj est un élément de [aj-1, aj] pour tout j $ \in$ [1, n] (par ex tj = aj-1 ou tj = aj).


Documentation de giac écrite par Renée De Graeve