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Un trajet difficile : minimiser AMB avec M sur un cercle

Soient deux points A et B.
Un point M se déplace sur le cercle C de centre O et de rayon 1. On choisit A et B pour que la droite AB ne coupe pas le cercle C.
On cherche dans ce cas, à minimiser le trajet AMB.
Avec Xcas on va faire apparaître sur le même écran, le dessin géométrique et le graphe de la fonction longueur(AM)+longueur(MB)-2 lorsque M varie (on enlève 2 pour pouvoir voir le graphe en entier).
On régle la fenêtre graphique pour voir :
$ \tt [-3.5,6.5] \times [-1,4.4]$
On clique sur deux points pour définir A et B.
On tape :
C:=cercle(0,1);
t:=element(0..2*pi);
M:=point(exp(i*t)); // ou M:=element(C,t);
L(A,B,t):=evalf(longueur(A,exp(i*t))+longueur(B,exp(i*t)));
G:=plotfunc(L(A,B,x)-2,x);
N:=element(G,t);
bissectrice(M,A,B);
exbissectrice(M,A,B)
Ensuite lorsque l'on fait bouger t les points M et N bougent, l'un sur le cercle C, l'autre sur le graphe G et l'on peut voir que le minimum est atteint quand la bissectrice de l'angle M passe par O.
On peut aussi faire varier B pour voir ce qu'il se passe quand la droite AB coupe C c'est à dire quand la solution est evidente...
Cas particulier On peut démontrer que lorsque le triangle OAB est isocéle de sommet O le point M du cercle C qui rend le trajet AM+MB minimum se trouve sur la bissectrice intérieure de l'angle $ \tt\widehat{AMB}$. En effet soit deux points N1 et N2 du cercle C symétriques par rapport à cette bissectrice (qui est aussi la médiatrice de AB). On a donc AN1=BN2 et AN2=BN1 et donc AN1+N1B=AN1+AN2.
Soient I le milieu de N1N2 et J le milieu de AB. Les points 0, I, M, J sont tous sur la médiatrice de AB et puisque JI>JM (I milieu de la corde N1N2 et J milieu de l'arc N1N2et on en déduit que AI>AM $ \tt\overrightarrow{AN1} +\overrightarrow{AN2}=2\overrightarrow{AI}$ et donc d'aprés l'inégalité triangulaire on a 2AI<AN1+AN2 et donc
AM+MB=2AM<2AI<AN1+AN2 ce qui prouve que AM+MB est minimum.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve