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Pour la solution géométrique, on va se servir des lemmes 1 et 3.
La bissectrice de l'angle BMA et la bissectrice de l'angle CMA sont perpendiculaire donc M est sur le cercle de diamétre IJ.
Ce cercle coupe le segment BC en M et P. Montrons que P est fixe.
Soient I1 et J1 les projections de I et J sur BC.
D'après le lemme3 on a :
I1B - I1M = AB - AM et
J1M - J1C = AM - AC donc
I1B - I1M + J1M - J1C = AB - AM + AM - AC = AB - AC
Puisque I1 et J1 sont entre B et C, et que M et P sont entre
I1 et J1, on a M et P sont entre B et C.
D'après le lemme1 on a :
=
et
=
donc
I1B - I1M + J1M - J1C = I1B - PJ1 + I1P - J1C
M et P sont entre B et C donc
I1B + I1P = PB et
PJ1 + J1C = PC d'où :
PB - PC = AB - AC
Le point P est fixe et P est la projection du centre K du cercle inscrit
à ABC.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve