On calcule avec xcas :
62 -52 = 11 (l'écriture décimale comporte 2 fois le chiffre un),
562 -452 = 1111 (l'écriture décimale comporte 4 fois le chiffre un),
....
555555562 -444444452 = 1111111111111111 (l'écriture décimale comporte 16
fois le chiffre un
Il semble donc que l'on a à démontrer que :
(5...56)2 - (4...45)2 pour des nombres ayant p chiffres vaut un nombre dont
l'écriture décimale comporte 2p fois le chiffre un.
Pour le démontrer, on va simplement d'utiliser l'identité remarquable :
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
On a (p = 8) :
555555562 -444444452 = (55555556 + 44444445)(55555556 - 44444445) = 100000001*11111111 = 1111111111111111.
Plus généralement, si on pose xp le nombre qui s'écrit avec p fois
le chiffre 1,
on doit calculer :
(5*xp +1)2 - (4*xp +1)2 = (9*xp +2)(xp).
On a
xp = 11...1 = 10p-1 + ...10 + 1 = donc :
9xp +2 = 10p + 1 et
(9xp +2)(xp) = 10pxp + xp = +
=
= x2p
Ou plus simplement :
10pxp s'écrit avec p fois le chiffre 1 suivi de p fois le
chiffre 0, donc
10pxp + xp s'écrit avec 2p fois le chiffre 1.