Cas où (X) et
(Y) sont connus
On a si
=
:
suit
approximativement une loi
(0, 1).
Cas où (X) et
(Y) ne sont pas connus
On les estime :
- si n1 et n2 sont grands,
(X)
s1
n1n1-1 donc
(Y)
s2
n2n2-1 donc
On pose :
s12 =
Donc sous l'hypothèse H0 :
=
=
, on a
(
-
)
(0, s12)
Recette si n1 et n2 sont grands
Avec Xcas on tape si
= 0.05:
a:=normal_icdf(0,s12,0.975)
On regarde si :
| m1 - m2| < a
Si c'est le cas, on admet que
=
et que les deux échantillons ne
sont pas significativement différents au seuil
, sinon on dira que
et que les deux échantillons ne proviennent pas de la
même population.
- si n1 et n2 sont petits,
on peut estimer (X) et
(Y)
grâce à la reunion des deux échantillons et
en faisant l'hypothèse
(X) =
(Y) (pour vérifier cette
hypothèse on pourra faire une étude de l'hypothèse
(X) =
(Y)
grâce au test expliqué au paragraphe suivant).
On montre qu'une bonne approximation est :
=
(X)2 =
(Y)2
s2 =
.
En effet, la statistique
est un estimateur sans biais de
si
est l'écart-type de
X.
La valeur de cette statistique est obtenue à partir de
deux échantillons de taille respective n1 et n2 et d'écart-type
respectif s1 et s2 qui sont les valeurs de S1 et S2 pour ces
deux échantillons (avec comme notation
S2 =
(Xj -
)2 pour un échantillon de taille n de
la variable X d'écart-type
, on sait que
S2 est un
estimateur sans biais de
) :
On a :
=
E(S12) =
E(S22) donc
E() =
=
=
donc
s2 =
.
Alors sous l'hypothèse H0 :
=
=
, et
(X) =
(Y) =
, la statistique :