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Application au calcul de S= $ \sum_{{k=1}}^{\infty}$$ {\frac{{1}}{{k^2}}}$

On a :

Rp = S - $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{p}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{k^2}}}$ = $\displaystyle \sum_{{k=p+1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{k^)2}}}$

D'après la comparaison avec une intégrale on a :

$\displaystyle \int_{{p+1}}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$dx < Rp < $\displaystyle \int_{p}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^2}}}$dx

Donc

$\displaystyle {\frac{{1}}{{p+1}}}$ < Rp < $\displaystyle {\frac{{1}}{{p}}}$

donc S0, p = Sp = S - Rp = S - $ {\frac{{1}}{{p}}}$ + O($ {\frac{{1}}{{p^2}}}$)
On forme pour p = 1..2n-1:
S1, p = S1p = 2*S2p - Sp puis,
S2, p = S2p = (22*S12p - S1p)/(22 - 1) puis,
Sk, p = (2k*Sk-1, 2p - Sk-1, p)/(2k - 1)
À la main :
S0, 1 = 1,
S0, 2 = 5/4 = 1.25,
S0, 3 = 49/36 = 1.36111111,
S0, 4 = 205/144 = 1.42361111111
S1, 1 = 2*S0, 2 - S0, 1 = 3/2 = 1.5
S1, 2 = 2*S0, 4 - S0, 2 = 1.59722222222
S2, 2 = (4*S1, 2 - S1, 1)/3 = 1.62962962963
Dans la liste S on met 1, 1 + 1/4, 1 + 1/4 + 1/9,...1 + 1/4 + ... +1/22n,
S a 2n termes d'indices 0 à 2n - 1,
puis on forme
S1 = 1.5, 1 + 1/4 + 2/9 + 2/16,...S[2n -1] - S[2n-1 - 1]
(on doit mettre -1 dans S[2n -1] - S[2n-1 - 1] car les indices de S commencent à 0)
S1 a 2n-1 termes d'indices 0 à 2n-1 - 1
puis on continue avec une suite S2 de termes pour k = 1..2n-2 :
(4*S1[2*k - 1] - S1[k - 1])/3 etc...
On écrit le programme suivant :
richardson(n):={
local s0,s1,k,j,st,S,puiss;
s0:=[1.];
st:=1.0;
for (k:=2;k<=2^n;k++) {
st:=st+1/k^2;
s0:=concat(s0,st);
}
//attention s0=S a 2^n termes d'indices 0 (2^n)-1
S:=s0;
for (j:=1;j<=n;j++){
  s1:=[];
  puiss:=2^j;
  //j-ieme acceleration s1 a 2^(n-j) termes d'indices 
  // allant de 0 a 2^(n-j)-1
  for (k:=1;k<=2^(n-j);k++) {
     st:=(puiss*s0[2*k-1]-s0[k-1])/(puiss-1);
     s1:=concat(s1,st);
  }
  s0:=s1;
}
return S[2^n-1],s1[0];
}:;
La première valeur est la somme des 2n premiers termes, calculée sans accélération , la deuxième valeur a été obtenue après avoir accéléré cette somme n fois.
On tape :
richardson(6)
On obtient :
1.62943050141, 1.64493406732
On a du calculer 26 = 64 termes (1 et 8 décimales exactes).
On tape :
richardson(8)
On obtient avec plus de décimales :
1.6410354363087,1.6449340668481 (2 et 12 décimales exactes)
On a du calculer 28 = 256 termes.
On sait que S = $ \sum_{{k=1}}^{\infty}$$ {\frac{{1}}{{k^2}}}$ = $ \pi^{2}_{}$/6 $ \simeq$ 1.6449340668482
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve