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Le théorème

Soit un triangle ABC et ses trissectrices intérieures.
Soient P, Q, R les points de ces trissectrices tels que le triangle ABP (respectivement BCQ, CAR) ait comme angles $ {\frac{{\widehat A}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat B}}{{3}}}$ (respectivement $ {\frac{{\widehat B}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat C}}{{3}}}$, $ {\frac{{\widehat C}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat A}}{{3}}}$), alors le triangle PQR est équilatéral.
De plus si UVW sont les points de ces trissectrices tels que le triangle ABU (respectivement BCV, CAW) ait comme angles $ {\frac{{\widehat 2A}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat 2B}}{{3}}}$ (respectivement $ {\frac{{\widehat 2B}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat 2C}}{{3}}}$, $ {\frac{{\widehat 2C}}{{3}}}$ et $ {\frac{{\widehat 2A}}{{3}}}$), alors les triangles URQ, VRP, WPQ sont isocèles.
On remarquera que le triangle isocèle URQ a comme angles :
$ \widehat{{U}}$ = $ \pi$ - $ {\frac{{\widehat 2A}}{{3}}}$ - $ {\frac{{\widehat 2B}}{{3}}}$
$ \widehat{{R}}$ = $ \widehat{{Q}}$ = $ {\frac{{\widehat A}}{{3}}}$ + $ {\frac{{\widehat B}}{{3}}}$.

Documentation de giac écrite par Renée De Graeve