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Soient un triangle ABC et K1 un point de la droite BC.
Alors K1 est la projection sur BC du centre du cercle inscrit à ABC si
et seulement si :
K1B - K1C = AB - AC
Soit K le centre du cercle inscrit à ABC.
Soient K1, K2 et K3 les projections respectives de K sur BC, AC et
AB.
Puisque les côtés AB, AC, BC sont des tangentes au cercle inscrit et que
K1, K2, K3 sont les points de contact de ces tangentes, on a :
BK1 = BK3, CK1 = CK2, AK2 = AK3
et
K1, K2 et K3 se trouvent respectivement sur les segments sur BC, AC et
AB.
Donc :
AB - AC = AK3 + K3B - (AK2 + K2C) = K1B - K1C
Soit K1 tel que
K1B - K1C = AB - AC.
Le point K1 se trouve sur le segment BC en effet si K1 était à
l'exterieur de BC on aurait
| K1B - K1C| = | BC| > | AB - AC| d'apres l'inégalité
triangulaire ce qui condredit l'hypothèse
K1B - K1C = AB - AC.
L'égalité
K1B - K1C = AB - AC définit un seul point K1 du segment BC, ce
point est donc la projection du centre du cercle inscrit à ABC
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve