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Cas des échantillons de taille n > 30
Soit X une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p (X vaut 0
ou 1 et
Proba(X = 1) = p).
Soit
la variable aléatoire égale à la moyenne des valeurs prises
par X pour des échantillons de taille n.
On a
= F est égal à la fréquence du nombre d'apparitions de la
valeur 1 pour chaque échantillon de taille n, .
On sait que n*F suit une loi binomiale
(n, p), cette loi est
proche de la loi normale
(np,
) car n est grand (n > 30).
On peut donc considérer que F suit approximativement la loi
(p,
).
Recette
- On choisit
(par exemple
= 0.05),
- On cherche à l'aide d'une table de loi normale centrée réduite,
h vérifiant :
Proba(Y < h) = 1 -
/2 pour
Y
(0, 1).
On a donc en posant
Y =
:
Proba(p - h
< F < p + h
) = 1 -
- On calcule la valeur f de F pour l'échantillon
On a donc
n(f - p)2 < h2p(1 - p) c'est à dire
(h2 + n)p2 - p(h2 +2nf )+ nf2 < 0 donc p se trouve à l'intérieur des
racines de l'équation du second degré :
(h2 + n)x2 - x(h2 +2nf )+ nf2 = 0 que
l'on peut résoudre (calcul du discriminant
= h4 + (- (4*h2))*n*f2 +4*h2*n*f etc...)
mais il est plus simple de dire, que l'on peut estimer l'écart-type de
n*F. On a
(n*F) =
que l'on peut estimer par

.
Donc l'écart-type de
= F,
(F) =
(
) =
peut être estimé par


=
,
donc on a :
Proba(p - h
f
p + h
) = 1 -
ou encore
Proba(f - h
p
f + h
) = 1 -
Si
a1 = f - h
et
a2 = f + h
on a
a1
p
a2
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
a1:=normal_icdf(f,sqrt(f*(1-f)/(n-1),0.025)
a2:=normal_icdf(f,sqrt(f*(1-f)/)n-1,0.975)
Résultat
I
= [a1 ; a2] est un intervalle de confiance de p au seuil
.
Cas des échantillons de taille n
30
Soit X une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p (X vaut 0
ou 1 et
Proba(X = 1) = p).
Soit la variable aléatoire F =
.
On sait que nF suit une loi binomiale
(n, p).
On utilisera donc une table de la loi binomiale.
Recette
- On choisit
(par exemple
= 0.05)
- On calcule la valeur f de F pour l'échantillon
- On approche p par f, ainsi
n*F = n*
(n, f ), on cherche
n*p1 et n*p2 à l'aide d'une table de loi binomiale pour avoir :
Proba(n*F < n*p1) = 1 -
/2 et
Proba(n*F < n*p2) =
/2
Avec Xcas, on tape si
= 0.05 :
p1:=1/n*binomial_icdf(,n,f,0.025)
p2:=1/n*binomial_icdf(n,f,0.975)
On a donc :
Proba(p2 < f < p1) = 1 -
.
Résultat
I
= [p2 ; p1] est un intervalle de confiance de p au seuil
.
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve