I/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1 puis dans
le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et
Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans B0 on tape :
2/3 (ou =evalf(2/3) et,
dans B1 on tape :
=B0+1/(4*A1+1)-1/(4*A1+3)
puis dans le menu Edit, on choisit
Remplir et Copier vers le bas, quand B1 est en
surbrillance.
Dans C0 on tape :
=B0+1/(4*A0+3)
puis dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et
Copier vers le bas, quand C0 est en surbrillance.
La suite u est croissante car
un - un-1 = -
> 0 pour n
1.
La suite v est décroissante car
vn - vn-1 = -
< 0 pour n
1.
Donc
vn - un = 1/(4*n + 3) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Les suites u et v sont donc adjacentes.
II/
0/ fn(0) = 0 pour tout n 0.
1/ Dans A0 on tape 0 et dans A1 on tape =A0+1
puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et
Copier vers le bas, quand A1 est en surbrillance.
Dans D0 on tape =x-tan(x) et
dans D1 on tape
=D0-(-1)^
(A1)*tan(x)^
(2*A1+1)/(2*A1+1)
puis, dans le menu Edit du tableur, on choisit Remplir et
Copier vers le bas, quand B1 est en surbrillance.
Dans E0 on tape =normal(derive(D0,x)) puis, dans le menu
Edit, on choisit Remplir et Copier vers le bas, quand
E0 est en surbrillance.
On remarque que l'on a
fn'(x) = (- 1)n+1*tan(x)2n+2.
On le montre en faisant le calcul :
fn(x) = x - tan(x) + tan(x)3 + ... -
tan(x)2n+1
fn'(x) = 1 - (1 + tan(x)2)*(1 - tan(x)2 + ... + (- 1)ntan(x)2n)
On reconnait la somme d'une série géométrique de raison :
-tan(x)2.
fn'(x) = 1 - (1 + tan(x)2)* = (- 1)n+1tan(x)2n+2
2/ La fonction f2p a une dérivée negative pour tout p 0, donc
f2p est décroissante. En particulier
f2p(0) = 0 > f2p(
/4).
La fonction f2p+1 a une dérivée positive pour tout p 0, donc
f2p+1 est croissante. En particulier
f2p+1(0) = 0 < f2p+1(
/4).
3/ Dans F0 on tape =subst(D0,x,pi/4) puis, dans le menu Edit,
on choisit bouton Remplir et Copier vers le bas, quand E0
est en surbrillance.
f2p(/4) =
/4 - vp et
f2p+1(
/4) =
/4 - up.
III/
1/ On a donc pour tout p 0 :
f2p+1(/4) =
/4 - up > 0 et
f2p(
/4) =
/4 - vp < 0
les suites u et v sont donc adjacentes et convergentes vers /4.
2/ Donc pour tout p 0 :
up <
/4 < vp.
On a donc
4*u6 < < 4*v6 = 4*u6 + 4/27.
3/ Pour avoir :
4*un < < 4*vn = 4*un +4/4*n + 3
4*un +10-3,
il faut prendre comme n un entier qui vérifie
4*n + 3 4000, soit
n
1000.
Donc u1000 et v1000 donnent un encadrement de de diamètre
10-3.