suivant: Un exercice
monter: Un exemple d'accélération de
précédent: Un exemple d'accélération de
Table des matières
Index
On suppose que
uk = (- 1)kf (k) avec f (k) tend vers zéro quand k tend
vers +
et f décroissante de
+ dans
+.
On pose :
g(x) =
(f (x) - f (x + 1)) donc
vk = (- 1)k
=
= (- 1)kg(k)
On a :
vk =
(
uk +
uk+1)
donc,
vk =
(
uk +
uk)
donc,
vk =
+
+
uk
Puisque f (k) tend vers zéro quand k tend vers +
,
g(k) =
(f (k) - f (k + 1)) tend aussi vers zéro quand k tend vers
+
.
Si la fonction f est convexe (f''(x) > 0), la série
vk
vérifie aussi le théorème des séries alternées.
En effet, pour x > 0 on a :
g(x) =
(f (x) - f (x + 1))
0 puisque f décroissante sur
+
g'(x) =
(f'(x) - f'(x + 1)) < 0 puisque f''(x) > 0, f' est
négative et croissante sur
+
donc g est décroissante de
+ dans
+ et
g(k) tend vers zéro quand k tend vers +
.
Conclusion : La série
vk est une série
alternée de somme
S +
.
Si de plus,
f'(x)/f (x) tend vers zéro quand x tend vers l'infini,
la série
vk converge plus rapidement que
uk, puisque il existe c, x < c < x + 1 d'après le th des accroissements finis tel que:
0 < g(x) =
(f (x) - f (x + 1)) =
f'(c)
on a donc, puisque f' est négative et croissante:
0 < g(x) <
f'(x) = o(f (x)).
suivant: Un exercice
monter: Un exemple d'accélération de
précédent: Un exemple d'accélération de
Table des matières
Index
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve