Correction
La base canonique de E est : 1, x, x2.
Pour déterminer la matrice A
de f on va calculer :
f (ej, ek).
On tape :
integrate(1,x,-1,1)
On obtient :
2
On tape :
integrate(x,x,-1,1)
On obtient :
0
On tape :
integrate(x^
2,x,-1,1)
On obtient :
2/3
On tape :
integrate(x^
3,x,-1,1)
On obtient :
0
On tape :
integrate(x^
4,x,-1,1)
On obtient :
2/5
Donc on a :
A =
On tape pour avoir f (c, b, a) :
normal(integrate((a*x^
2+b*x+c)*(a*x^
2+b*x+c),x,-1,1))
On obtient :
On tape :
gauss(2/5*a^
2+4/3*a*c+2/3*b^
2+2*^
2,[c,b,a])
On obtient :
on a donc :
donc f(c,b,a)>=0 et on a :
f(c,b,a)=0 si et seulement si a=b=c=0.
2/ La dérivation d est une application linéaire de E dans E matrice :
B =
L'adjoint d* de d vérifie
f (d*(P), Q) = f (P, d (Q)) ou encore si C est
la matrice de d*:
tP*A*B*Q = tP*tC*A*Q
A*B = tC*A ou
tB*tA = tA*C
donc :
C = (tA)-1*tB*tA
On tape :
A:=[[2,0,2/3],[0,2/3,0],[2/3,0,2/5]]
B:=[[0,1,0],[0,0,2],[0,0,0]]
C:=normal(inv(tran(A))*tran(B)*tran(A))
On obtient :
[[0,-5/2,0],[3,0,1],[0,15/2,0]]
donc
C =
donc
d*(a*x2 + b*x + c) = - *b + (3*c + a)*x +
*b*x2