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Construction d'un corps de Galois : GF

GF a comme arguments un nombre premier p et un entier n.
GF crée un corps de Galois de caractéristique p et ayant pn éléments en renvoyant GF suivi d'une séquence composée de : Habituellement on donne un nom au corps crée (G:=GF(p,n)) puis pour créer un élément particulier du groupe on écrira par exemple G(x^9).
On tape :
G:=GF(2,8)
On obtient :
GF(2,x^8+x^6+x^5+x^4+1,x,undef)
Le corps G a 28 = 256 éléments et x engendre le groupe multiplicatif de ce corps ( {1, x, x2,...x254}).
On tape :
G(x^9)
On obtient :
GF(2,x^8+x^6+x^5+x^4+1,x,-x^7-x^6-x^5-x)
en effet x9 + x7 + x6 + x5 + x = 0 donc x9 = - x7 - x6 - x5 - x.
On tape :
G(x)^255
On obtient :
GF(2,x^8+x^6+x^5+x^4+1,x,-1)

On peut aussi spécifier le nom de l'indéterminée du polynôme irréductible et le nom du corps de Galois par un troisième argument (une liste contenant deux noms de variable formelle, à mettre entre quote pour qu'elles ne soient pas évaluées). Ceci permet d'obtenir un affichage plus compact des éléments du corps.
On tape :

G:=GF(2,2,['a','G']):; G(a^2)
On obtient :
G(a+1)
On tape :
G(a^3)
On obtient :
G(1)
Les éléments de GF(2,2) sont donc : 0,1,a,a^2=a+1.

On peut enfin indiquer quel polynôme irréductible primitif on souhaite utiliser, en l'indiquant en 2-ième paramètre (au lieu de n), et en mettant undef en quatrième paramètre, par exemple :

G:=GF(2,a^8+a^6+a^3+a^2+1,['a','G'],undef)
Si on donne un polynôme non primitif, xcas le remplace par un polynôme primitif, par exemple :
G:=GF(2,a^8+a^7+a^5+a+1,['a','G'],undef)


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve