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Construction d'un corps de Galois : GF
GF a comme arguments un nombre premier p et un entier n.
GF crée un corps de Galois de caractéristique p et ayant pn
éléments en renvoyant GF suivi d'une séquence composée de :
- la caractéristique p (px = 0),
- le polynôme minimal irréductible et primitif engendrant un
idéal I,
- x (le nom par défaut de la variable du polynome),
- undef (cela désigne tout le corps qui est le quotient des
polynômes à coefficients dans Z/pZ par I).
Habituellement on donne un nom au corps crée (G:=GF(p,n)) puis
pour créer un élément particulier du groupe on écrira par
exemple G(x^
9).
On tape :
G:=GF(2,8)
On obtient :
GF(2,x^
8+x^
6+x^
5+x^
4+1,x,undef)
Le corps G a 28 = 256 éléments et x engendre le groupe
multiplicatif de ce corps (
{1, x, x2,...x254}).
On tape :
G(x^
9)
On obtient :
GF(2,x^
8+x^
6+x^
5+x^
4+1,x,-x^
7-x^
6-x^
5-x)
en effet
x9 + x7 + x6 + x5 + x = 0 donc
x9 = - x7 - x6 - x5 - x.
On tape :
G(x)^
255
On obtient :
GF(2,x^
8+x^
6+x^
5+x^
4+1,x,-1)
On peut aussi spécifier le nom de l'indéterminée du polynôme
irréductible et le nom du corps de Galois par un troisième
argument (une liste contenant deux noms de variable formelle, à
mettre entre quote pour qu'elles ne soient pas évaluées). Ceci
permet d'obtenir un affichage plus compact des éléments du corps.
On tape :
G:=GF(2,2,['a','G']):; G(a^
2)
On obtient :
G(a+1)
On tape :
G(a^
3)
On obtient :
G(1)
Les éléments de GF(2,2) sont donc :
0,1,a,a^
2=a+1.
On peut enfin indiquer quel polynôme irréductible primitif on souhaite
utiliser, en l'indiquant en 2-ième paramètre (au lieu de n), et en
mettant undef en quatrième paramètre, par exemple :
G:=GF(2,a^8+a^6+a^3+a^2+1,['a','G'],undef)
Si on donne un polynôme non primitif, xcas le remplace par un
polynôme primitif, par exemple :
G:=GF(2,a^8+a^7+a^5+a+1,['a','G'],undef)
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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve