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Décomposition LU : lu

lu a comme argument une matrice carrée numérique A d'ordre n.
lu(A) renvoie une permutation p de 0..n - 1, une matrice triangulaire inférieure L avec des 1 sur sa diagonale et une matrice triangulaire supérieure U.
Ces matrices sont telles que : si P est la matrice de permutation associée à p (P:=permu2mat(p)) on a P*A = L*U et l'équation Ax = B équivaut à :
LUx = P*B = p(B) où p(B)= [bp(0), bp(1)..bp(n-1)] lorsque B= [b0, b1..bn-1] .
On peut aussi définir à partir de p la matrice de permutation Pn par :
Pn[i, p(i)] = 1 et
Pn[i, j] = 0 si j  $ \neq$  p(i).
C'est la matrice obtenue en permutant, selon la permutation p, les lignes de la matrice unité. On peut utiliser la fonction permu2mat : permu2mat(p) renvoie la matrice $ \tt P$ d'ordre n.
On a alors P*A = L*U.
On tape :
lu([[3,5],[4,5]])
On obtient :
[1,0],[[1,0],[0.75,1]],[[4,5],[0,1.25]]
On a, en effet, n = 2 donc :
P[0, p(0)] = P2[0, 1] = 1 et P[1, p(1)] = P2[1, 0] = 1 donc
P = [[0, 1],[1, 0]]
et on a bien la relation P*A = L*U :
P*[[3, 5],[4, 5]] = [[1.0, 0],[0.75, 1.0]]*[[4.0, 5.0],[0, 1.25]] = [[4.0, 5.0],[3.0, 5.0]]
On tape :
lu([[1,2],[3,4]])
On obtient :
[1,0],[[1.0,0],[0.333333333333,1.0]],[[3.0,4.0], [0,0.666666666667]]

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve