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Les restes chinois : chinrem

chinrem a comme argument deux vecteurs ayant chacun comme composantes deux polynômes donnés par la liste de ses coefficients par ordre décroissant.
chinrem renvoie un vecteur de composantes deux polynômes.
chinrem([A(x),R(x)],[B(x),Q(x)]) renvoie la liste des polynômes P(x) et S(x) vérifiant :
S(x) = R(x).Q(x), P(x) = A(x)(modR(x)) et P(x) = B(x)(modQ(x)).
Il existe toujours une solution P(x) si R(x) et Q(x) sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont congrues modulo S(x)=R(x)*Q(x)
Trouver les solutions P(x) de :

$\displaystyle \tt\left \{ \begin{array}{rlr} P(x)=&x &\bmod (x^2+1)  P(x)=&x-1 &\bmod (x^2-1) \end{array}\right.$

On tape :
chinrem([[1,0],[1,0,1]],[[1,-1],[1,0,-1]])
On obtient :
[[1/-2,1,1/-2],[1,0,0,0,-1]]
ou on tape :
chinrem([x,x^2+1],[x-1,x^2-1])
On obtient :
[1/-2*x^2+x+1/-2,x^4-1]
donc P(x) = - $\displaystyle {\frac{{x^2-2.x+1}}{{2}}}$ ( mod x4 - 1)
Autre exemple :
On tape :
chinrem([[1,2],[1,0,1]],[[1,1],[1,1,1]])
On obtient :
[[-1,-1,0,1],[1,1,2,1,1]]
ou on tape :
chinrem([x+2,x^2+1],[x+1,x^2+x+1])
On obtient :
[-x^3-x^2+1,x^4+x^3+2*x^2+x+1]



Documentation de giac écrite par Renée De Graeve