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Réduction de Gauss-Jordan : rref gaussjord

rref permet de résoudre un système d'équations linéaires que l'on écrit sous forme matricielle (voir aussi 6.25.17) :
A*X=B
rref a un ou deux paramètres.
Si rref n'a qu'un paramètre, ce paramètre est la "matrice augmentée" du système (celle formée par la matrice A du système et ayant comme dernier vecteur colonne le second membre B).
Le résultat est une matrice [A1,B1] : [A1,B1] a des zéros de part et d'autre de sa diagonale et des 1 sur sa diagonale et les solutions de :
A1*X=B1
sont les mêmes que celles de :
A*X=B
Par exemple, soit à résoudre le système :

$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcr} 3x + y & = &-2   3x +2y & =& 2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{lcr} 3x + y & = &-2   3x +2y & =& 2 \end{array}$

On tape :
rref([[3,1,-2],[3,2,2]])
On obtient :
[[1,0,-2],[0,1,4]]
cela signifie donc que :
x = - 2 et y = 4 sont solutions du système.
rref permet aussi de résoudre plusieurs systèmes d'équations linéaires qui ne diffèrent que par leur second membre. On écrit alors les second membres comme les colonnes d'une matrice.
On tape :
rref([[3,1,-2,1],[3,2,2,2]])
On obtient :
[[1,0,-2,0],[0,1,4,1]]
cela signifie donc que :
x = - 2 et y = 4 sont solutions du système

$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcr} 3x + y & = &-2   3x +2y & =& 2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{lcr} 3x + y & = &-2   3x +2y & =& 2 \end{array}$

et que x = 0 et y = 1 sont solutions du système

$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcr} 3x + y & = &1   3x +2y & =& 2 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{lcr} 3x + y & = &1   3x +2y & =& 2 \end{array}$

Si rref a deux paramètres, le deuxième paramètre est un entier k qui permet de ne faire Gauss-Jordan que sur les k premières colonnes.
On tape :
rref([[3,1,-2,1],[3,2,2,2]],1)
On obtient :
[[3,1,-2,1],[0,1,4,1]]

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve