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Somme finie et infinie : sum

sum a deux ou quatre arguments :
- si sum a quatre arguments :
sum a comme arguments une expression, le nom de la variable (par exemple n), et les bornes (par exemple a et b).
sum renvoie la somme demandée.
On tape :
sum(1,k,-2,n)
On obtient :
n+1+2
On tape :
normal(sum(2*k-1,k,1,n))
On obtient :
n^2
On tape :
sum(1/(n^2),n,1,10)
On obtient :
1968329/1270080
On tape :
sum(1/(n^2),n,1,+(infinity))
On obtient :
pi^2/6
On tape :
sum(1/(n^3-n),n,2,10)
On obtient :
27/110
On tape :
sum(1/(n^3-n),n,1,+(infinity))
On obtient :
1/4
Pour justifier ce résultat on décompose $ \tt 1/(n\verb\vert^\vert 3-n)$, on tape :
partfrac(1/(n^3-n))
On obtient :
1/(2*(n+1))-1/n+1/(2*(n-1))
Donc quand on fait la somme de 2 à N on a :
$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{n}}}$ = - $\displaystyle \sum_{{n=1}}^{{N-1}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ = - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ - $\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle \sum_{{n=0}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*(1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$)
$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*$\displaystyle \sum_{{n=2}}^{N}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{n+1}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N+1}}}$)
les termes $ \sum_{{n=2}}^{{N-2}}$ se détruisent et il reste :
- $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*(1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$) - $\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$*($\displaystyle {\frac{{1}}{{N}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{N+1}}}$) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{4}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{2N(N+1)}}}$
d'ou les résultat précédents :
- pour N = 10 la somme vaut : 1/4 - 1/220 = 27/110
- pour N = + $ \infty$ la somme vaut : 1/4 car $ {\frac{{1}}{{2N(N+1)}}}$ tend vers zéro quand N tend vers l'infini.
- si sum a deux arguments :
sum a comme premier argument une expression (par exemple f (x)) d'une variable (par exemple x) qui est donnée comme deuxième argument.
sum renvoie la primitive discrète de cette expression, c'est à dire la fonction G verifiant G(x + 1) - G(x) = f (x).
On tape :
sum(1/(x*(x+1)),x)
On obtient :
-1/x

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve