- Exemples de résolution d'une équation différentielle linéaire à
coefficients constants du deuxième ordre.
Exemple 1 :
Résoudre :
y'' +
y = cos(
x)
y(0) =
c
0
y'(0) =
c
1
On tape (en tapant deux fois prime pour y''):
desolve(y''+y=cos(x),y)
ou encore :
desolve((diff(diff(y))+y)=(cos(x)),y)
On trouve :
c_0*cos(x)+(x+2*c_1)*sin(x)/2
c_0, c_1 sont les constantes d'intégration : y(0)=c_0 et
y'(0)=c_1.
ou bien si la variable n'est pas x mais t, on tape :
desolve(derive(derive(y(t),t),t)+y(t)=cos(t),t,y)
On trouve alors :
c_0*cos(t)+(t+2*c_1)/2*sin(t)
c_0, c_1 sont les constantes d'intégration : y(0)=c_0 et
y'(0)=c_1.
Exemple 2 :
Résoudre :
y'' + y = cos(x) y(0) = 1 y'(0) = c1
On écrit, si veut les solutions vérifiant y(0) = 1 :
desolve([y''+y=cos(x),y(0)=1],y)
On obtient un vecteur dont les composantes sont solutions (ici on a une seule
composante car on obtient une seule solution dépendant de la constante
c_1) :
[cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]
Exemple 3 :
Résoudre :
y'' + y = cos(x) (y(0))2 = 1 y'(0) = c1
On veut les solutions vérifiant
(y(0))2 = 1, on tape alors :
desolve([y''+y=cos(x),y(0)^
2=1],y)
On obtient un vecteur dont les composantes sont solutions :
[-cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x),cos(x)+(x+2*c_1)/2*sin(x)]
On a donc deux solutions dépendant de la constante c_1 qui correspondent
à y(0) = 1 et à y(0) = - 1.
Exemple 4 :
Résoudre :
y'' + y = cos(x) (y(0))2 = 1 y'(0) = 1
On veut les solutions vérifiant
(y(0))2 = 1 et y'(0) = 1, on tape alors :
desolve([y''+y=cos(x),y(0)^
2=1,y'(0)=1],y)
On obtient un vecteur dont les composantes sont solutions :
[-cos(x)+(x+2)/2*sin(x),cos(x)+(x+2)/2*sin(x)]
On a donc deux solutions.
Exemple 5 :
Résoudre :
y'' + 2y' + y = 0
On tape alors :
desolve(y''+2*y'+y=0,y)
On obtient les solutions dépendant de 2 constantes arbitraires c_0 et
c_1:
(x*c_0+x*c_1+c_0)*exp(-x)
Exemple 6 :
Résoudre :
y'' - 6y' + 9y = xe3x
On tape alors :
desolve(y''-6*y'+9*y=(x*exp(3*x),y)
On obtient les solutions dépendant de 2 constantes arbitraires c_0 et
c_1:
(x^
3+(-(18*x))*c_0+6*x*c_1+6*c_0)*1/6*exp(3*x)
- Exemples de résolution d'une équation différentielle linéaire
du premier ordre.
Exemple 1 :
Résoudre :
xy' + y - 3x2 = 0
On tape alors :
desolve(x*y'+y-3*x^
2,y)
On obtient :
(3*1/3*x^
3+c_0)/x
Exemple 2 :
Résoudre :
y' + x*y = 0, y(0) = 1
On tape alors :
desolve([y'+x*y=0, y(0)=1]),y)
Ou on tape :
desolve((y'+x*y=0) && (y(0)=1),y)
On obtient :
[1/(exp(1/2*x^
2))]
Exemple 3 :
Résoudre :
x(x2 - 1)y' + 2y = 0
On tape alors :
desolve(x*(x^
2-1)*y'+2*y=0,y)
On obtient :
(c_0)/((x^
2-1)/(x^
2))
Exemple 4 :
Résoudre :
x(x2 -1)y' + 2y = x2
On tape alors :
desolve(x*(x^
2-1)*y'+2*y=x^
2,y)
On obtient :
(ln(x)+c_0)/((x^
2-1)/(x^
2))
Si la variable est t et non x, pour résoudre :
t(t2 -1)y'(t) + 2y(t) = t2
on tape :
desolve(t*(t^
2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=(t^
2),y(t))
On obtient :
(ln(t)+c_0)/((t^
2-1)/(t^
2))
Exemple 5 :
Résoudre :
x(x2 -1)y' + 2y = x2, y(2) = 0
On tape alors :
desolve([x*(x^
2-1)*y'+2*y=x^
2,y(0)=1],y)
On obtient :
[(ln(x)-ln(2))*1/(x^
2-1)*x^
2]
- Exemple de résolution d'une équation différentielle à variables
séparées
Résoudre :
y' = 2
On tape alors :
desolve(y'=2*sqrt(y),y)
On obtient :
[x^
2+-2*x*c_0+c_0^
2]
- Exemples de résolution d'une équation différentielle de Bernoulli
du premier ordre, de type
a(x)y' + b(x)y = c(x)yn avec n=constante réelle.
Ces équations se résolvent en divisant par yn, car on se ramène à
une équation linéaire en
u = 1/yn-1.
Exemple 1 :
Résoudre :
xy' + 2y + xy2 = 0
On tape alors :
desolve(x*y'+2*y+x*y^
2,y)
On obtient :
[1/(exp(2*ln(x))*(-1/x+c_0))]
Exemple 2 :
Résoudre :
xy' - 2y = xy3
On tape alors :
desolve(x*y'-2*y-x*y^
3,y)
On obtient :
[((-2*1/5*x^
5+c_0)*exp(-(4*log(x))))^
(1/-2),
-((-2*1/5*x^
5+c_0)*exp(-(4*log(x))))^
(1/-2)]
Exemple 3 :
Résoudre :
x2y' - 2y = xe(4/x)y3
On tape alors :
desolve(x*y'-2*y-x*exp(4/x)*y^
3,y)
On obtient :
[((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))^
(1/-2),
-(((-2*ln(x)+c_0)*exp(-(4*(-(1/x)))))^
(1/-2))]
- Exemple de résolution d'une équation différentielle homogéne
du premier ordre qui se résout en posant y = t*x.
Résoudre :
(3x2 + y2)y - 2x3y' = 0
On tape alors :
desolve((3*x^
2+y^
2)*y-2*x^
3*y',y)
On obtient :
[(i)*x,(-i)*x,0,[(c_0*` t`^
2)/(` t`^
2+1),(` t`*c_0*` t`^
2)/(` t`^
2+1)]]
donc les solutions sont
y = ix, y = - ix, y = 0 et
x = (c0*t2)/(t2 +1), y = (t*c0*t2)/(t2 + 1) qui est l'équation paramétrique des courbes intégrales de
paramètre noté dans la réponse `t`.
- Exemples de résolution d'une équation différentielle
du premier ordre ayant un facteur intégrant.
Exemple 1 :
Résoudre :
yy' + x
On tape alors :
desolve(y*y'+x,y)
On obtient :
[sqrt(-2*c_0-x^
2),-(sqrt(-2*c_0-x^
2))]
dans cet exemple on a xdx + ydy est une différentielle totale.
Exemple 2 :
Résoudre :
2xyy' + x2 - y2 + a2 = 0
On tape alors :
desolve(2*x*y*y'+x^
2-y^
2+a^
2,y)
On obtient :
[sqrt(-c_1*x-x^
2+a^
2),-(sqrt(-c_1*x-x^
2+a^
2))]
dans cet exemple le facteur intégrant est 1/x2.
- Exemple de résolution d'une équation différentielle
du premier ordre incomplète en x.
Résoudre :
(y + y')4 + y' + 3y = 0
On doit trouver pour résoudre F(y, y') = 0, une représentation
paramétrique de F(u, v) = 0, par exemple,
u = f (t), v = g(t) puis, poser
y = f (t) et
dy/dx = y' = g(t).
On a donc
dy/dt = f'(t) = y'*dx/dt = g(t)*dx/dt.
On trouve alors, comme solution la courbe d'équation paramétrique
x(t), y(t) = f (t), où x(t) est obtenu en résolvant l'équation
différentielle
g(t)dx = f'(t)dt.
Ici on peut poser y + y' = t ce qui donne :
y = - t - 8*t4 et
y' = dy/dx = 3*t + 8*t4 et donc
dy/dt = - 1 - 32*t3 donc
(3*t + 8*t4)*dx = (- 1 - 32*t3)dt.
On tape alors :
desolve((3*t+8*t^
4)*diff(x(t),t)=(-1-32*t^
3),x(t))
On obtient :
-11*1/9*ln(8*t^
3+3)+1/-9*ln(t^
3)+c_0
on a donc comme solution la courbe d'équation :
x(t) = - 11*1/9*ln(8*t3 +3) + 1/ -9*ln(t3) + c0
y(t) = - t - 8*t4