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Transformée de Laplace et transformée de Laplace inverse : laplace ilaplace

Ces commandes se trouvent dans le menu Calc sous-menu Transformation.
On utilise la transformée de Laplace (laplace) et la transformée de Laplace inverse (ilaplace) pour résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants, par exemple :

y$\displaystyle \prime{^\prime}$ + p.y$\displaystyle \prime$ + q.y  =  f (x)

y(0) = a y$\displaystyle \prime$(0) = b

On a :

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x) = $\displaystyle \int_{0}^{{+\infty}}$e-x.uy(u)du

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace-1(g)(x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2.i.\pi}}}$$\displaystyle \int_{C}^{}$ez.xg(z)dz

C etant une courbe fermée contenant les pôles de g.
On tape :
laplace(sin(x))
ici on ne précise pas la variable, alors l'expression que l'on transforme (ici sin(x)) est une fonction de la variable courante (ici x) et la transformée sera aussi une fonction de la variable x.
On obtient:
1/((-x)^2+1)
Ou on tape :
laplace(sin(t),t)
ici on précise le nom de la variable de la fonction que l'on transforme (ici t) et ce nom de variable sera utilisé pour la transformée de Laplace.
On obtient:
1/((-t)^2+1)
Ou on tape :
laplace(sin(t),t,s)
ici on précise le nom de la variable de la fonction que l'on transforme (ici t) et le nom de la variable que l'on désire avoir pour la transformée de Laplace (ici s).
On obtient:
1/((-s)^2+1)
On utilise la propriété suivante :

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y')(x) = - y(0) + x.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x)

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y'')(x) = - y'(0) + x.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y')(x)

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y'')(x) = - y'(0) - x.y(0) + x2.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x)

On a donc si y$ \prime{^\prime}$(x) + p.y$ \prime$(x) + q.y(x)  =  f (x) :

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(f )(x) = $\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y'' + p.y' + q.y)(x) = - y'(0) - x.y(0) +

x2.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x) - p.y(0) + p.x.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x)) + q.$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x) =

(x2 + p.x + q).$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x) - y'(0) - (x + p).y(0)

soit si a = y(0) et b = y'(0) :

$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(f )(x) = (x2 + p.x + q).$\displaystyle \mathcal {L}$aplace(y)(x) - (x + p).a - b

La solution est alors :

y(x) = $\displaystyle \mathcal {L}$aplace-1(($\displaystyle \mathcal {L}$aplace(f )(x) + (x + p).a + b)/(x2 + p.x + q))

Exemple :
Résoudre :

y$\displaystyle \prime{^\prime}$ -6.y$\displaystyle \prime$ +9.y  =  x.e3.x

y(0) = c$\displaystyle \_$ 0

y$\displaystyle \prime$(0) = c$\displaystyle \_$1

On a p = - 6, q = 9
On tape :
laplace(x*exp(3*x))
On obtient :
1/(x^ 2-6*x+9)
On tape :
ilaplace((1/(x^2-6*x+9)+(x-6)*c_0+c_1)/(x^2-6*x+9))
On obtient
(216*x^3-3888*x*c_0+1296*x*c_1+1296*c_0)*exp(3*x)/1296
après simplification et factorisation (commande factor) la solution y s'écrit :
(-18*c_0*x+6*c_0+x^3+6*x*c_1)*exp(3*x)/6
On peut bien sûr taper directement :
desolve(y''-6*y'+9*y=x*exp(3*x),y)
On obtient bien :
exp(3*x)*(-18*c_0*x+6*c_0+x^3+6*x*c_1)/6

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve