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Courbes paramétriques et équations différentielles pour la physique (Mat237)

Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr

2015

Remarque : dans la version PDF de ce cours, le lecteur pourra s’étonner de ne voir aucune figure. Ceci est volontaire, afin de rendre les exemples interactifs dans la version HTML de ce document. À la place des figures, on trouvera donc de nombreuses commandes Xcas. Le lecteur est invité à les exécuter directement depuis un navigateur compatible, (Firefox, Chrome ou Safari) ou par copier-coller dans Xcas ou dans Xcas offline. Il peut ensuite les modifier afin d’illustrer lui-même de manière interactive le cours.

Table des matières

Index

  • équation caractéristique, 5.3.3
  • équation linéaire, 5.3.2

  • accélération normale, 3.2
  • accélération tangentielle, 3.2
  • action, 6
  • astroïde, 3.2
  • asymptote, 2.4.3
  • asymptotique, direction, 2.4.3
  • autonome, 5.4.3, 5.4.4

  • birégulier, 2.4.4
  • branche, infinie, 2.4.3
  • branche, parabolique, 2.4.3

  • caractéristique, équation, 5.3.3
  • caustique, 3.2
  • centrale, force, 5.3.5
  • clothoïde, 3.2
  • conique, 2.7
  • convexe, 2.4.4, 2.4.4
  • courbure, 3.2
  • courbure, rayon, 3.2
  • curviligne, intégrale, 4.2
  • cycloïde, 3.1, 6

  • développée, 3.2
  • différentielle, 4.1
  • différentielle, forme, 4.1

  • Euler, spirale, 3.2
  • Euler-Lagrange, 6
  • ellipse, 2.7.2
  • enveloppe, 3.2
  • exacte, forme différentielle, 4.3

  • Frenet, 3.2
  • Fresnel, spirale, 3.2
  • fermée, forme différentielle, 4.3
  • forçage, 5.4.2
  • force centrale, 5.3.5
  • forme différentielle, 4.1

  • Green-Riemann, 4.4
  • gradient, 4.1
  • gravité, centre, 4.4

  • hamiltonien, 6
  • hyperbole, 2.7.1

  • inertie, moment, 4.4
  • inflexion, 2.4.4
  • intégrale curviligne, 4.2
  • intégrale première, 5.3.5

  • lagrangien, 6
  • linéaire, équation, 5.3.2
  • linéaire, système différentiel, 5.3.4, 5.4.4

  • osculateur, cercle, 3.2

  • parabole, 2.7.3
  • paramétrique, courbe, 2.4
  • polaire, courbe, 2.6
  • potentiel, 4.3, 4.3
  • première, intégrale, 5.3.5

  • régulier, point, 2.4.4
  • rebroussement, 2.4.4

  • Stokes, 4.4
  • séparables, variables, 5.3.1
  • singulier, point, 2.4.4

  • variables séparables, 5.3.1

1  Présentation du module

Ce cours commence par l’étude des particularités des courbes paramétrées, en distinguant propriétés cinématiques (dépendant du paramétrage comme la vitesse, l’accélération) et propriétés géométriques d’une courbe (c’est-à-dire intrinsèques, indépendamment du paramétrage, par exemple la longueur, la courbure). La géométrie d’une courbe peut sembler un objet d’étude intéressant uniquement le mathématicien. Mais ce n’est pas le cas : les lois de Képler par exemple traduisent sous forme de contrainte géométrique les lois de la mécanique céleste, et la relativité, c’est s’extraire d’un système de coordonnées ou d’un paramétrage pour trouver des équations covariantes par changement de système et des propriétés invariantes.

On abordera aussi un peu calcul différentiel et intégral dans le plan, en particulier l’intégrale curviligne, notion utile pour calculer des quantités comme le travail d’une force, mais aussi comme outil de calcul pratique pour trouver une aire, un centre d’inertie...

Dans la deuxième moitié du cours, on s’intéresse aux équations différentielles. Ce thème est très lié au précédent puisque les solutions d’une équation différentielle décrivent une courbe, et certaines propriétés de ces équations (constantes du mouvement par exemple) imposent des contraintes géométriques aux solutions. On rappellera quelques méthodes de résolution explicite d’équations et on parlera un peu des propriétés qualitatives ou asymptotiques de solutions, particulièrement importantes lorsqu’on ne sait pas résoudre explicitement une équation différentielles.

On terminera par une petite introduction au calcul variationnel, un chapitre très important pour faciliter la mise en équation de phénomènes physiques de manière covariante (les équations d’Euler-Lagrange). Un prolongement de ce chapitre (non étudié ici) est le théorème de Noether qui permet de déduire des constantes du mouvement en fonction de symétries du problème (par exemple quantité de mouvement et invariance par translation d’espace, énergie pour le temps, moment cinétique pour les rotations).

Le programme en mots-clefs :

Les calculs simples seront faits sans outils logiciels, par contre les calculs fastidieux ou techniques se feront sur ordinateur (en TP) ou sur calculatrices (en TD). Les calculatrices pourront être autorisées aux DS et à l’examen final (prêt possible pour le semestre) en fonction de la technicité des calculs du sujet.

L’évaluation se fait sur :

2  Courbes paramétriques et polaires

2.1  Introduction

Le graphe d’une fonction f: I ↦ ℝ (I un intervalle) est un exemple de courbe du plan, mais il n’est pas assez général pour représenter tous les types de courbe du plan, par exemple un segment de droite vertical, ou un cercle, car deux points distincts d’un graphe doivent avoir des abscisses différentes. D’autre part, il apparait naturellement d’autres types de courbes que les graphes de fonction, par exemple la trajectoire d’un mobile dans le plan dont les coordonnées x,y dépendent du temps (selon une équation différentielle ou un système différentiel), ce sont les courbes paramétriques, ou des courbes vérifiant une équation cartésienne (par exemple en géométrie le cercle x2+y2=1, ou en cinématique des courbes de niveau de l’énergie totale dans le plan position-impulsion) ce sont les courbes implicites.

Dans cette section, on va étudier les courbes en paramétriques, donnée par un couple de fonctions (x(t),y(t)) définies pour t dans un sous-ensemble des réels et à valeurs dans ℝ. (Ceci ne restreint pas trop la généralité, on peut montrer sous des hypothèses assez générales que l’allure locale d’une courbe implicite est identique à celle d’une courbe paramétrique, sauf en certains points dits singuliers, c’est le théorème des fonctions implicites).

Exemples :

2.2  Représentation graphique

La plupart des calculatrices graphiques et de nombreux logiciels de maths permettent de représenter graphiquement un arc de courbe en donnant des valeurs extrêmes t et t+ (souvent notées tmin et tmax) et un pas Δ t (tstep). Le logiciel évalue la valeur de x(t) et y(t) en t, tt, t+2Δ t, ... puis relie les points de la courbe obtenue par des segments (parfois avec des autres arcs de courbes). La plupart du temps cela donne une bonne idée de la courbe, mais parfois on peut manquer un détail intéressant (valeur de Δ t trop grande), ou un morceau de courbe (mauvaises valeurs de t et t+).

Il peut être nécessaire d’ajuster le cadrage graphique à l’affichage (xmin, xmax, ymin, ymax) ou de l’affiner avec un menu de zoom. Sur les calculatrices les opérations de changement de cadrage graphique provoquent un nouveau calcul complet qui peut durer une dizaine de secondes.

Mise en oeuvre :

Exemples : essayez de tracer quelques courbes en paramétriques

(2cos(t),3sin(t)),    (cos(2t),sin(3t)),    (t2,t3),    (t+1/tt2+2/t),    (
t−1
,
2−t

2.3  Paramétrage

On adoptera souvent la convention d’appeler temps le paramétre t. Mais cela ne signifie pas que le paramétrage est réellement le temps mesuré en secondes. On peut très bien paramétrer une courbe avec un paramètre autre, qui peut être un multiple constant ou variable du temps (c’est d’ailleurs conforme au principe de la relativité). Le paramétrage n’est jamais unique, on peut changer de paramétrage pourvu que la fonction donnant le nouveau en fonction de l’ancien paramétrage soit une bijection (qui peut même renverser le sens de déroulement du temps c’est-à-dire le sens de parcours de la courbe). On utilisera d’ailleurs plus loin un paramétrage par la longueur, où la courbe est parcourue à vitesse constante égale à 1.

Le choix d’un paramétrage est ce qui fait la différence entre la cinématique (on prend le temps comme paramètre) et la géométrie (où on cherche à décrire les propriétés intrinséques de la courbe indépendamment du paramétrage). Ainsi, l’équation cartésienne d’une courbe est une propriété géométrique, indépendante du choix de paramétrage choisi pour l’obtenir.

On observe aussi que l’opération inverse, trouver un paramétrage à partir d’une équation cartésienne de courbe n’est pas possible de manière explicite, sauf dans quelques cas particuliers. C’est pour cette raison qu’il est beaucoup plus difficile (et couteux en temps) d’obtenir une représentation graphique d’une courbe donnée par son équation cartésienne.

2.4  Étude analytique d’une courbe en paramétrique

2.4.1  Rappel sur les graphes de fonction

Pour tracer le graphe d’une fonction f, on commence par déterminer le domaine de définition, on restreint éventuellement l’intervalle d’étude (parité, périodicité). Puis on calcule les limites aux bornes du domaine de définition :

On calcule la dérivée première de f pour déterminer le sens de variations, les points d’annulation correspondent à des tangentes horizontales. On peut étudier la convexité de f (signe de f′′), les points d’inflexion de la courbe se produisent lorsque f′′ s’annule. On trace alors la courbe en faisant apparaitre les points particuliers et les asymptotes.

Pour une courbe en paramétrique, le plan général est analogue, mais l’étude est un peu plus compliquée puisqu’on a deux fonctions tx(t) et ty(t) au lieu d’une seule xy(x).

2.4.2  Domaine et périodicité

On supposera dans toute la suite que les fonctions x(t) et y(t) sont continument dérivables au moins 2 fois, sauf peut-être en un nombre fini de réels d’un intervalle I de ℝ.

On commence par déterminer le domaine de définition de x(t) et de y(t), et on essaie de le réduire si possible, soit par périodicité (par exemple pour le cercle ci-dessus, t ∈ [0,2 π]) soit par l’existence de symétries si les fonctions x(t) et y(t) sont paires ou impaires. Par exemple, si x et y sont paires, alors on parcourt deux fois le même arc de courbe sur ℝ+ et ℝ, on peut restreindre le domaine d’étude à t≥ 0. Si x est pair et y impair, alors (x(−t),y(−t))=(x(t),−y(t)), il y a une symétrie par rapport à l’axe des x, on se restreint à tR+. Dans le cas périodique, on peut tester des symétries correspondant à des demi (voire quart) de période. Exemple : (3cos(t)+2cos(3t),3sin(t)−2sin(3t))

2.4.3  Branches infinies

On s’intéresse ensuite aux bornes du domaine de définition et aux points où x ou/et y ne sont pas définis. Si x et y admettent une limite finie, on peut prolonger la courbe. Si les limites existent mais ne sont pas finies, on a une branche infinie (x ou y). Si l’une des deux valeurs tend vers l’infini, l’autre restant finie, on a une asymptote (horizontale si x tend vers l’infini, verticale si y tend vers l’infini), on peut déterminer la position de l’arc de courbe par rapport à l’asymptote en cherchant le signe de yl ou xl lorsque t tend vers la valeur particulière (limite à droite et limite à gauche). Enfin si x et y tendent vers l’infini tous les deux, on cherche la limite de y/x, Si y/xa ≠ 0, on a une branche parabolique de direction asymptotique y=ax, on cherche alors la limite yax, si cette limite est finie et vaut b on a une asymptote oblique y=ax+b (on peut déterminer la position en cherchant le signe de y−(ax+b).

Exemples :

(
t2
t+1
,t+
1
t2+1
),  (t2,t3),  (
t3
t2+1
,t+
1
t2+2
),  (
1
t2−1
,
t
t+1
), 

On peut utiliser la commande limit dans Xcas pour étudier une asymptote, par exemple dans le premier cas, pour étudier la branche infinie pour t → +∞1
On définit les fonctions

puis on calcule les limites lorsque t → +∞


Si a est fini non nul et b fini, on en déduit que y=ax+b est asymptote à la courbe. Il y a une autre asymptote pour t=−1 (Y fini, X tend vers l’infini)

Autre exemple :

2.4.4  Étude locale

On se place en une valeur de t0x et y sont continument dérivables au moins deux fois. On notera la dérivation par rapport au paramètre par le signe ’ (en physique on utilise aussi le point). On a alors un développement de Taylor à l’ordre 2 du vecteur


M(t0)M(t0+h)
 
=(x(t0+h)−x(t0),y(t0+h)−y(t0)) 
 =
h (x′(t0),y′(t0))+
h2
2
(x′′(tx),y′′(ty))

tx et ty sont compris entre t0 et t0+h. Si le vecteur vitesse v=(x′(t0),y′(t0)) est non nul, on en déduit un équivalent


M(t0)M(t0+h)
 
≈ h (x′(t0),y′(t0))

Lorsque h est proche de 0, le vecteur M(t0)M(t0+h) est équivalent à un vecteur colinéaire à v=(x′(t0),y′(t0)) (supposé non nul), qui est donc vecteur tangent à la courbe en (x(t0),y(t0)).

Définition 1   On appelle point régulier d’une courbe paramétrique un point où la vitesse v(t)=(x′(t),y′(t)) est non nulle. En un point régulier, la courbe est tangente au vecteur vitesse (la direction du vecteur vitesse est donc une propriété géométrique, alors que le vecteur vitesse est une propriété cinématique). On notera en particulier que la tangente est horizontale si y′=0 et verticale si x′=0.

On appelle point singulier un point où la vitesse s’annulle.

On verra dans la suite comment étudier la tangente en un point singulier d’une courbe. Génériquement, une courbe n’a pas de points singuliers, car il faut annuler simultanément les deux dérivées, or on n’a qu’un seul paramètre libre t. Par contre une famille de courbes (xm(t),ym(t)) dépendant d’un paramètre m (par exemple xm(t)=t2mt, ym(t)=m/(1+t2)+t) possède en général un nombre discret de valeurs du paramètre pour lesquelles la courbe admet un point singulier. Dans l’exemple, xm′=2tm, ym′=−2mt/(1+t2)2+1, les deux dérivées s’annulent si m=−2 (en t=−1, x=−1, y=−2) ou m=2 (en t=1). Commandes Xcas :
x:=t^2-m*t; y:=m/(1+t^2)+t;
solve([diff(x,t),diff(y,t)],[m,t]);
supposons(m=[-2.0,-5,5,0.1]);
plotparam([x,y],t=((-3) .. 3));

=
Not evaled

Remarque : en cinématique, si la vitesse est nulle en un point et que les équations ne dépendent pas explicitement du temps, on reste indéfiniment en ce point qui est un point d’équilibre, la notion de tangente à la courbe n’a alors pas de sens. On peut aussi suivre une trajectoire qui se rapproche de plus en plus d’un point d’équilibre (la limite de (x(t),y(t)) est alors ce point, pour t → +∞ si l’équilibre est stable ou t → − ∞ si l’équilibre est instable). L’étude des points singuliers est donc plus du domaine de la géométrie que de la cinématique.

Pour faire une étude locale plus précise dans le cas d’un point régulier, ou pour déterminer la tangente en un point singulier, il faut poursuivre le développement de Taylor à un ordre plus grand. Á l’ordre 2, si x et y sont 3 fois continument dérivables, il existe tx,ty∈ [t0,t0+h] tels que :


M(t0)M(t0+h)
 
h (x′(t0),y′(t0))+
h2
2
(x′′(t0),y′′(t0)) +
h3
6
(x′′′(tx),y′′′(ty))

Si les vecteurs vitesse v=(x′(t0),y′(t0)) et accélération a=(x′′(t0),y′′(t0)) ne sont pas colinéaires, alors {v,a} forme une base, et dans cette base M(t0)M(t0+h) a pour coordonnées (h,h2/2)+un terme d’ordre 3 en puissances de h, l’arc de courbe est à l’ordre 2 identique à un arc de parabole. On parle de point birégulier. Si {v,a} est une base directe, l’arc est convexe (la vitesse “tourne” dans le sens trigonométrique), sinon il est concave. On peut tester cela en calculant le déterminant des coordonnées de {v,a} ou le sens de variations de m, la pente de la tangente

m=
y
x
,    m′=
xy′′−x′′y
x2
 
Théorème 2   Si xy′′−x′′y′>0 [resp <0] sur un intervalle du domaine de définition, la courbe n’a que des points réguliers, la direction de la tangente en un point est donnée par le vecteur vitesse, et la courbe est convexe [resp. concave]. Si xy′′−x′′y′=0, on parle de point d’inflexion analytique.

Remarque : pour un graphe de fonction, x=t, on retrouve le critère usuel y′′>0.

Exemple : point d’inflexion en t=0 de

(
t3
t2+1
,t+
1
t2+2

La courbe admet deux autres points d’inflexion (t=−3.16... et t=1.31...) qu’on peut déterminer avec les commandes Xcas suivantes :







Note : on utilise comme paramètre x au lieu de t pour pouvoir utiliser la notation ' pour dériver (si on utilise t comme paramètre, il faut utiliser diff(.,t) pour calculer la dérivée par rapport à t). L’instruction fsolve effectue une résolution numérique, pour tenter une résolution exacte, utiliser solve, mais on risque alors de manquer certaines solutions.

On observe que la convexité est presque une propriété géométrique, en effet si on change de paramétrage

x′=
dx
dt
 =
dx
ds
 s′ 

on dérive par rapport à t

x′′ = (
dx
ds
 s′)′=
d2x
ds2
 s2 + 
dx
ds
s′′ 

puis :

xy′′− y′ x′′ = 
dx
ds
 s′ (
d2y
ds2
 s2 +
dy
ds
 s′′ ) − 
dy
ds
 s′ (
d2x
ds2
 s2 +
dx
ds
 s′′ )  = s3 (
dx
ds
 
d2y
ds2
 − 
dy
ds
 
d2x
ds2
 )

on retrouve en facteur s3 qui est positif si on parcourt la courbe dans le même sens ou négatif sinon.

La convexité décrit qualitativement la géométrie de la courbe à l’ordre 1. On verra plus loin que le rayon de courbure décrit quantitativement la géométrie de la courbe à l’ordre 2 (comme la tangente décrit la géométrie de la courbe à l’ordre 1).

Dans le cas d’un point singulier (v=0), si l’accélération a≠ 0, alors la tangente est portée par a. L’étude complète de la nature d’un point singulier ou de la convexité d’un point régulier tel que a est colinéaire à v nécessite de faire un développement de Taylor en t=t0 jusqu’au premier ordre q où l’on a :

Dans la base { T,A}, les composantes de M(t0)M(t) sont alors respectivement équivalentes à hp/p! et hq/q! où h=tt0. On en déduit que la tangente à la courbe est portée par T.

Exemples de points singuliers en t=0 avec dans l’ordre rebroussement de 1ère puis 2ième espèce, méplat et inflexion :

(t2,t3),  (t2+t4,t4+t5),  (t3,t4),  (t3,t5










Les deux derniers cas peuvent être reparamétrés (au prix de la perte de dérivabilité seconde) en posant t′=t1/3.

Pour faire l’étude d’un point singulier avec Xcas, on peut utiliser la fonction series sur x(t) et y(t) (ici c’est inutile, le développement de Taylor est déjà fait).

2.5  Plan d’étude d’une courbe

  1. On détermine et on restreint le domaine de définition (périodicité, symétries).
  2. On étudie les branches infinies (point exclus du domaine, ± ∞) : asymptotes horizontales, verticales, directions asymptotiques, asymptotes obliques.
  3. Recherche de x′ et y′, on étudie l’annulation conjointe des deux (points singuliers).
  4. Signe de x′ et y′, double tableau de variations faisant apparaitre x,x′,y,y′ et mise en évidence des tangentes horizontales et verticales
  5. Pour préciser le tracé, on peut chercher la convexité en étudiant le signe de xy′′−x′′y′.
  6. Tracé des points remarquables et des asymptotes et on les relie entre eux en suivant les sens de variations du tableau de variations.

2.6  Courbes en polaires

Une courbe en polaire est essentiellement donnée par la distance au centre O d’un point M de la courbe en fonction de l’angle θ entre la direction Ox et le vecteur OM :

OM = r(θ)

On s’autorise toutefois des valeurs négatives pour r, si c’est le cas, on prend alors le symétrique par rapport à l’origine du point situé à distance −r et d’angle θ.

Représentation graphique : avec Xcas, on utilise la commande plotpolar, sur calculatrices graphiques, sélectionner le mode de tracé en polaire. Par exemple








C’est un cas particulier de courbe en paramétriques puisque

(x,y)=(r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ))

mais on préfère souvent faire l’étude directement sur la fonction r. Le plan d’étude est calqué sur celui d’une courbe en paramétrique, mais on n’a qu’une seule fonction r à étudier.

2.7  Coniques

Les coniques sont des courbes implicites dont l’équation cartésienne est du second degré 

ax2+cy2+bxy+dx+ey+f=0

Exemples:




On va voir qu’elles sont de trois types : ellipses, hyperbole, parabole3 et on va les paramétriser, à partir de leur équation cartésienne ou à partir de leurs éléments géométriques (le calcul des éléments géométrique à partir de l’équation cartésienne fait intervenir l’étude des formes quadratiques, il ne sera pas abordé dans ce cours). Les coniques sont des courbes importantes en géométrie, ce qui a un intérêt en optique (parabole), mais aussi en cinématique (première loi de Kepler : l’orbite décrite par une planète est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer).

2.7.1  Paramétrisation rationnelle

Si on connait un point d’une conique, on peut effectuer un changement d’origine en ce point, l’équation cartésienne devient

P(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey=0

On suppose que (d,e)≠(0,0)4. On cherche alors l’intersection de la conique avec la droite y=tx (de pente t), on va voir que la droite coupe en général la conique en deux points, l’origine et un autre point dont on calcule les coordonnées en fonction de t5. Graphiquement, par exemple

=
Not evaled
puis faire varier la valeur de t ou d’un des coefficients de l’équation. En effet on obtient une équation du second degré en x, qui se factorise par x, l’autre solution donne alors x comme fraction rationnelle en t, puis y=tx.

(ax+btx+ct2x+d+et)x=0 ⇒ x=0, x=
det
ct2+bt+a

Comme dans le premier exemple sur le cercle trigonométrique, on n’obtient pas toujours toute la conique (s’il existe un autre point d’abscisse x=0).

Si on cherche les points où le dénominateur en t s’annule, on doit calculer (pour c≠ 0 et en supposant que la fraction −det/ct2+bt+a est irréductible6) le discriminant7 de l’équation du second degré

Δ= b2−4ac

Il y a trois cas possibles:

Exercice : paramétrer et faire l’étude des coniques :
x2+4y2+2xy=4, x2−3y2+2xy=4

2.7.2  Ellipse

Définition 3   L’ellipse E de foyers F1 et F2 de demi-grand axe a est l’ensemble des points M du plan tels que
MF1+MF2=2a

Exemple : ouvrir un niveau de géométrie 2d dans Xcas, choisir le mode ellipse cliquer 2 points (ce sont les foyers) puis un 3ème point (point de l’ellipse), passer en mode pointeur et faire bouger l’un des points, observer la forme de l’ellipse qui en résulte. Ou dans une ligne de commande normale taper la commande ellipse() avec en arguments les 2 points foyers et un point de l’ellipse ou l’équation cartésienne de l’ellipse, par exemple ellipse(-1,1,3+i) trace l’ellipse de foyers (−1,0), (1,0) et passant par le point (3,1).

On note 2c=F1F2 la distance entre les deux foyers, qui doit être plus petite que 2a pour que l’ellipse soit non vide. L’excentricité de l’ellipse est définie par e=c/a < 1. Si e=0, on obtient un cercle de centre F1=F2 et de rayon a. Si e≠ 0, on va voir qu’il s’agit d’un cercle contracté selon l’axe perpendiculaire à F1F2 dans un rapport de √1−e2. On va également calculer l’équation en coordonnées polaires de E (c’est sous cette forme que l’on montre que la Terre décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer).

Soit O le milieu de F1 et F2, on se place dans le repère orthonormé dont le premier axe Ox contient F1 et F2 donc les coordonnées de F1 sont (c,0) et celles de F2 sont (−c,0). Soit M(x,y) un point de l’ellipse, on a d’une part :

MF12 − MF22 = (xc)2−(x+c)2 = −4cx 

et d’autre part :

MF12 − MF22 = (MF1 + MF2)(MF1 − MF2 ) = 2a (MF1 − MF2 )

donc :

MF1 − MF2 = 
−2cx
a
 

en additionnant avec MF1+MF2=2a et en appliquant c=ea, on en déduit :

  MF1 = a − 
cx
a
 = aex      (1)

En prenant le carré, on a :

(xea)2 + y2 = (aex)2

d’où :

y2 + x2 (1−e2) = a2(1−e2

finalement :

x2 + 
y2
1−e2
 = a2 

qui est bien la contraction selon Oy de rapport √1−e2 du cercle de centre O et de rayon a (appelé grand cercle de l’ellipse).

En coordonnées paramétriques, on peut utiliser le paramétrage suivant :

(x,y)=(acos(t),bsin(t))

En coordonnées polaires, on note ρ la distance de F1 à M, et θ l’angle entre l’axe Ox et F1M. L’abscisse de M est donc :

xea + ρ cos(θ)

que l’on combine avec (1) pour obtenir :

ρ = aex =a(1−e2) − e ρ cos(θ) 

donc :

ρ = 
a(1−e2)
1+ecos(θ)
 

Remarques :

Exemple : faites varier la valeur de l’excentricité ci-dessous, que voit-on pour E=0.0, E un peu inférieur à 1 (par exemple 0.8) et un peu supérieur à 1 (par exemple 1.3)

2.7.3  Parabole

Si F est un point et D une droite ne passant pas par F, la parabole de foyer F et directrice D est l’ensemble des points équidistants de F et D. En choisissant un repère tel que la droite D ait pour équation y=0 et en prenant F(0,1), M(x,y) appartient à la parabole si

|y|=d(M,D)=d(M,F)=
(y−1)2+x2
 

donc en passant au carré :

y2=(y−1)2+x2 ⇒ y=
x2+1
2

La parabole est donc (ici) un graphe de fonction, donc un cas particulier de courbe paramétrique. On peut trouver son équation en polaire, en prenant F comme origine et la directrice verticale (donc l’équation de la droite devient par exemple y=−1) sous la forme

ρ=
1
1+sin(θ)

cf. l’exercice sur les coniques données par foyer et directrice, qui traite aussi le cas des hyperboles. On peut aussi faire à titre d’exercice l’étude de la courbe en polaire :

ρ = 
A
1+ecos(θ)

lorsque e=1 et e>1.

Un intérêt majeur de la parabole en optique est que les rayons incidents perpendiculaires à la directrice se réfléchissent en passant par le foyer (on peut même montrer que cela caractérise une parabole). Illustration-démonstration avec Xcas dans un niveau de géométrie taper les commandes

P:=plotfunc(x^2/2+1/2,x=-5..5);
supposons(a=[-1.4,-5,5,0.1]);
D:=droite(x=a,couleur=rouge);
M:=inter_unique(P,D);
T:=tangent(P,M);
R:=symetrie(T,D,couleur=rouge);
trace(R);

puis faire varier a en cliquant sur les flèches. Pour tester en ligne, commencez par initialiser la trace en exécutant
puis faites varier a en cliquant sur le bouton + ou - :

=
Not evaled
Noter la valeur
inter_unique(R,droite(x=0))
elle est indépendante de a et est le foyer. On peut montrer qu’une courbe ayant cette propriété est une parabole.

2.7.4  Hyperbole

Une hyperbole de foyers F et F′ est définie comme l’ensemble des points M tels que :

|MFMF′|=2a

a est une constante telle que 2a>2c=FF′, avec une excentricité e=c/a>1.

En physique, les hyperboles interviennent dans les trajectoires non périodiques en mécanique céleste, mais aussi comme courbes de déphasage constant entre deux sources situées aux deux foyers (les figures d’interférence font apparaitre des hyperboles).

On peut faire un calcul analogue à celui de l’ellipse,

MFMF′=± 2a,  MF+MF′=
MF2MF2
MFMF
=−± 2ex

on en déduit que

MF=± (aex)

l’équation cartésienne de l’hyperbole dans le repère centré au milieu des foyers, d’axe Ox l’axe des foyers est donc :

x2
a2
y2
a2(e2−1)
=1

On peut paramétrer les deux branches de l’hyperbole par

x(t)=± acosh(t), y(t)=a
e2−1
 sinh(t)

et en polaires

ρ=
a(1−e2)
1+ecos(θ)

Exercice : faire l’étude de la courbe paramétrée et montrer que l’hyperbole admet deux asymptotes d’équation y = ± b/a x.

3  Propriétés métriques des courbes.

3.1  Longueur d’arc

La longueur ds d’un morceau de courbe régulier parcouru pendant un petit intervalle de temps dt est égal au premier ordre à la longueur du segment tangent parcouru, ou encore au produit de la norme de la vitesse instantanée par dt

ds=
x2+y2
 dt

On remarque que cette quantité est invariante par changement de paramétrage, si t=t(τ) alors

ds=
dx
dt
2+
dy
dt
2
 dt 
 =
 


dx
dτ
2+
dy
dτ
2





dτ
dt



2



 
 |
dt
dτ
dτ 
 =
 
dx
dτ
2+
dy
dτ
2
 dτ

On en déduit

Proposition 4   La longueur d’un arc de courbe entre les points de paramètre t0 et t1 vaut
t1


t0
 
x2+y2
 dt

En coordonnées polaires :
θ1


θ0
 
r2+r2
 dθ

Remarque : il est très rare que l’on puisse effectuer le calcul explicite d’une primitive de √x2+y2, il faut alors se contenter d’une valeur approchée de l’intégrale lorsque t0 et t1 ont des valeurs numériques, calculée par des méthodes numériques qui généralisent la méthode des rectangles (cf. le cours de mat249). Ce calcul se fait avec Xcas (ou une calculatrice formelle) en donnant une valeur approchée à l’une des bornes. Il y a quelques exceptions  par exemple la longueur d’un arc de parabole se calcule avec une formule explicite (essayez la commande int(sqrt(1+4t^2),t,t0,t1) ou



La cycloïde9

x(t)=R(t−sin(t)), y(t)=R(1−cos(t))


admet aussi une formule simple pour sa longueur

Par contre, la longueur d’un arc d’ellipse ne se calcule pas avec les fonctions usuelles (pour pouvoir le faire, il faut introduire des fonctions spéciales adaptées, appelées intégrales elliptiques) :

3.2  Courbure, repère de Frenet, accélération normale et tangentielle.

Si on choisit s, la longueur d’arc, comme nouveau paramètre de temps, la longueur parcourue est égale au temps, donc la vitesse instantannée par rapport à s est de norme 1. On peut aussi le voir en notant M(t)=(x,y) :

dM
dt
 =
dM
ds
 
ds
dt
   ⇒  || 
dM
dt
 || = || 
dM
ds
 || |
ds
dt
|  ⇒  v = || 
dM
ds
 || v

v est la norme de la vitesse avec t comme paramètre, donc || dM/ds || est bien égal à 1.

Calculons maintenant l’accélération avec ce nouveau paramètre s. Comme la vitesse est de norme constante égale à 1, donc de carré 1, en dérivant (dM/ds)2 par rapport à s, on vérifie que l’accélération est perpendiculaire à la vitesse pour ce paramétrage par la longueur d’arc s. L’accélération par rapport à s est donc portée par la normale à la trajectoire, et sa mesure algébrique est appelé courbure (signée), notée κ, la valeur absolue de l’inverse de κ est appelé le rayon de courbure (la direction de l’accélération pointe vers le centre de courbure).

d2M
ds2
 ⊥ 
v
 
,    || 
d2M
ds2
|| = |κ| = 
1
R
 

Si on se déplace sur un cercle de centre O et de rayon R à vitesse 1, alors x(t)+iy(t)=Reit/R, la vitesse est donnée par x′+iy′=ieit/R donc de norme 1, et l’accélération par x″+iy″=−1/R eit/R, sa norme vaut 1/R et sa direction pointe vers le centre du cercle. Donc la courbe est, à l’ordre 2 au point considéré, identique à un cercle de rayon R.

Revenons au paramètrage initial t. Dérivons par rapport à t la vitesse dM/dt = v dM/ds, on obtient :

 
a
 
 =
d2M
dt2
=
dv
dt
 
dM
ds
 + v 
d
dt
 


dM
ds
 


 =
dv
dt
 
dM
ds
 + v 
ds
dt
 
d2M
ds2
 =
dv
dt
 
dM
ds
 + v2 
d2M
ds2

L’accélération se décompose donc en deux parties 

Autre formule de calcul du rayon de courbure : l’accélération normale an vaut v2/R donc

|| 
a
 
 ∧ 
v
 
 ||= an ||
v
 
||=
v3
R
   ⇒  R =v3/||
a
 
 ∧ 
v
 
|| =
x2+y2
3
|xy′′−yx′′|
Proposition 5   On appelle repère de Frenet en un point M régulier d’une courbe, le repère orthonormé direct formé par le point de la courbe, le vecteur tangent T et le vecteur normal N. On a alors
v
 
=v 
T
 
=
ds
dt
T
 
,    
d
ds
T
 
=κ 
N
 
d
ds
N
 
=−κ 
T
 
,    R
1
κ
(l’avant-dernière formule vient du fait que { T ,N } est une base orthonormée directe, le signe ± est déterminé par la convexité de la courbe), et :
a
 
=
d
dt
v
 
=
dv
dt
 
T
 
 ±
v2
R
 
N
 
,    R=
x2+y2
3
|xy′′−yx′′|
On appelle centre de courbure le point Ω=M+1/κN. Le cercle de centre Ω passant par M (de rayon R) est appelé cercle osculateur en M à la courbe.

Exemple : calcul du cercle osculateur en un point d’une parabole (t,t2).

x′=1, y′=2t,  
T
 
=(
1
1+4t2
,
2t
1+4t2
),    y′′=2   R=
1+4t2
3
2

=
Not evaled
Avec Xcas version 1.1.1-18 ou supérieure, on peut taper directement :
C:=cercle_osculateur(G,M)

Remarques :

4  Formes différentielles et intégrales curvilignes

Il s’agit ici de calculer des intégrales le long d’un arc de courbe. Cela intervient directement par exemple pour calculer le travail d’une force au cours d’un déplacement le long d’une courbe ou la quantité de chaleur/travail pendant un cycle en thermodynamique (le long d’une courbe dans le plan défini par deux coordonnées indépendantes comme par exemple pression-température ou pression-volume) ou indirectement en transformant un calcul d’intégrale double à l’intérieur d’un domaine en intégrale curviligne sur le bord du domaine (calcul d’aire, de centre d’inertie, de moment d’inertie...). Dans les cas favorables, on a un analogue des primitives, on peut calculer un potentiel et faire la différence de potentiel entre les deux extrémités du chemin pour calculer l’intégrale curviligne.

On va d’abord définir ce qu’on peut intégrer le long d’une courbe, à savoir une forme différentielle (aussi appelée 1-forme), puis on donnera quelques résultats sur les formes fermées et exactes (c’est le cas favorable, il correspond aux forces conservatives en mécanique ou aux différentielles totales de fonctions d’état en thermodynamique).

4.1  Forme différentielle

Soit V(x,y) une fonction de deux variables continument dérivable. On s’intéresse aux variations de V lorsqu’on se déplace dans le plan depuis le point M(x,y) dans une direction donnée à la vitesse w. On a alors une formule équivalente à celle de la dérivée d’une fonction d’une variable :

Proposition 6   Pour tout vecteur w=(w1,w2), la dérivée de V en (x,y) dans la direction w est donnée par :
 
lim
h→ 0
 
V((x,y)+wh)−V(x,y)
h
= ∂xVw1+∂yV w2
On appelle différentielle de V et on note dV l’application qui en un point (x,y) associe au vecteur w la valeur de la dérivée directionnelle de V en (x,y) selon w
dV(w)=∂xV w1+∂yV w2
Cette application est linéaire par rapport à w.

En effet :

 V(x+w1h,y+w2h)=V(x+w1h,y)+∂yV(x+w1h,yw2h + o(h)
 =V(x,y)+∂xV(x,yw1 h + ∂yV(x+w1h,yw2h + o(h)

donc

 
V(x+w1h,y+w2h)−V(x,y)
h
=xV(x,yw1 + ∂yV(x+w1h,yw2 +o(1) 
 h→ 0xV(x,yw1 + ∂yV(x,yw2 

Exemples :

Remarque : Différentielle et gradient
La différentielle dV a les mêmes composantes que le gradient de V (noté ∇ V, gradient(V,[x,y]) avec Xcas), mais ce ne sont pas les mêmes objets : en un point donné dV est une application linéaire (qui a un sens indépendamment de la définition d’un produit scalaire) alors que ∇ V est un vecteur (dont la relation avec la dérivée directionnelle dépend du produit scalaire), on a pour tout vecteur w la relation

dV(w)=∇ Vw 

On a la même relation entre le travail d’une force (qui est une forme linéaire qui s’applique sur les vecteurs déplacement) et la force correspondante (qui est un vecteur défini à l’aide du produit scalaire). On parle parfois de vecteur covariant pour la différentielle (et vecteur contravariant pour le gradient).

Applications :

On note donc dx [resp. dy] la différentielle de V(x,y)=x [resp. V(x,y)=y]12 on a :

dV=∂xV dx + ∂yV dy

Une forme différentielle ω est la généralisation de la différentielle d’une fonction, elle s’écrit sous la forme

ω=M(x,ydx + N(x,ydy

M et N sont des fonctions des deux variables x,y, mais pas forcément les dérivées partielles d’une fonction V.

La définition géométrique d’une forme différentielle ω est la donnée en tout point du plan (ou d’un domaine ouvert du plan) d’une application linéaire de ℝ2 à valeur dans ℝ 13 (ou en tout point de l’espace d’une application linéraire de ℝ3 à valeurs dans ℝ pour une courbe de ℝ3). Si on prend la base canonique de ℝ2, une application linéaire de ℝ2 dans ℝ est caractérisée par sa matrice qui possède une ligne et deux colonnes et a donc deux coefficients M et N, une forme différentielle équivaut donc bien à la donnée d’un couple de fonction M(x,y),N(x,y).

4.2  Intégrale curviligne

Ceci permet de donner la :

Définition 7   Pour calculer l’intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’un arc de courbe orienté, on choisit un paramétrage de l’arc continument dérivable par morceaux (on suppose qu’il en existe un), et on calcule l’intégrale usuelle par rapport au paramètre de la forme différentielle appliquée au vecteur tangent entre les deux valeurs du paramètre correspondant à l’origine et extrémité de l’arc de courbe :
 


γ
ω = 
t1


t0
ω


dγ(t)
dt



dt 
En coordonnées,
  
 


γ
ω =
t1


t0
  (M(x(t),y(t)) 
dx
dt
 + N(x(t),y(t
dy
dt
)  dt     (2)

Exemple: on prend ω=ydx et on calcule l’intégrale curviligne le long de l’arc de parabole (t,t2) pour t∈[0,1], on obtient

1


0
 t2  dt =
1
3

En paramétrant par (u2,u4) avec u∈[0,1]

1


0
 u4 (2u  du) = 


2
u6
6



1



0
=
1
3

on retrouve le même résultat.

La valeur de l’intégrale est bien définie indépendamment du paramétrage, en effet si on change de paramétrage avec une bijection tu(t) envoyant [t0,t1] sur [u0,u1], on a (en utilisant la linéarité de ω à la deuxième ligne) :

 
u1


u0
 ω


dγ(u)
du



du
=
t1


t0
 ω


dt
du
 
dγ(t)
dt
 


du
dt
 dt 
 =
t1


t0
  
dt
du
 ω


dγ(t)
dt
 


du
dt
 dt 
 =
t1


t0
  ω


dγ(t)
dt
  


dt

Attention à l’orientation, si on change d’orientation, on change le signe, par exemple si on parcourt l’arc de parabole de (1,1) vers (0,0), en utilisant le paramétrage (1−t,(1−t)2), t ∈ [0,1], on obtient l’opposé :

1


0
 (1−t) (−dt) = 


(t−1)2
3



1



0
 = −
1
3

Remarque : le travail d’une force F=(Fx,Fy) le long d’un arc de courbe est donné par l’intégrale curviligne de la forme différentielle Fx dx+Fydy.

L’intégrale curviligne d’une forme différentielle reliant deux points A et B d’un arc de courbe γ se calcule en choisissant un paramétrage de γ, si γ est une courbe paramétriques, on prendra en général le paramétrage définissant γ, si γ est une courbe y=f(x) on peut prendre (x=t,y=f(t)), si γ est une courbe en polaires r(θ), on peut prendre x=r(θ) cos(θ), y=r(θ) sin(θ) (t=θ).

Pour certaines formes différentielles, on peut faire comme en dimension 1, trouver une primitive, voir la section ci-dessous.

4.3  Forme différentielle exacte

Voyons maintenant à quelle condition il existe un analogue du calcul avec une primitive. On a:

 


γ
dV=V(γ(t1))−V(γ(t0)), 

En effet, on applique la définition (??) où M=∂xV, N=∂y V et :

x V 
dx
dt
 + ∂y V 
dy
dt
 =
d
dt
 V(x(t),y(t)) 

Pour une force qui dérive d’un potentiel, on a donc montré que le travail de la force se calcule en faisant la différence de potentiel entre les deux extrémités. Cette propriété, analogue au calcul d’intégrale classique en utilisant une primitive n’est pas automatique, car elle implique que l’intégrale curviligne ne dépend pas du chemin choisi pour relier les deux points. Or en thermodynamique, la chaleur est modélisée par une forme différentielle, mais la chaleur échangée dépend du chemin suivi (c’est vrai aussi en mécanique pour le travail de forces non conservatives comme les forces de frottement). En mathématiques, on parle de forme différentielle exacte ou non exacte.

Définition 8   Une forme différentielle ω est exacte s’il existe une fonction V telle que sur tout arc de courbe γ d’origine A et extrémité B
 


γ
ω = V(B)−V(A)
Attention, la convention de signe est opposée à celle utilisée pour le potentiel d’une force en physique.

Si on choisit comme chemin un segment entre deux points A et B d’ordonnées identiques y et d’abscisses x et x+h, alors

x+h


x
 M dx+Ndy = V(x+h,y)−V(x,y

en faisant tendre h vers 0, on a

M=
 
lim
h→ 0
 
V(x+h,y)−V(x,y)
h
 = ∂x V(x,y)

De même N=∂y V. Réciproquement, si M=∂x V et N=∂y V alors ω=dV donc ∫γω=V(B)−V(A)

Proposition 9   Une forme différentielle ω est exacte si et seulement si il existe une fonction V telle que :
ω=∂x V dx + ∂y V dy=dV

Si V est deux fois continument différentiable alors ∂yx V = ∂xy V. D’où une condition nécessaire pour que ω soit exacte :

y M = ∂yx V = ∂xy V = ∂x N
Définition 10   On appelle forme différentielle fermée une forme différentielle ω=Mdx+Ndy telle que y M=∂x N

Une forme exacte est toujours fermée, mais la réciproque n’est pas toujours vraie, une forme fermée n’est pas forcément exacte, cela dépend où elle est définie. Si elle est définie dans un domaine ouvert de ℝ2 sans trou (ℝ2 tout entier, un rectangle, un disque, etc.), on peut montrer qu’une forme fermée est une forme exacte, on se fixe un point M0 et on définit V(M) comme ∫γω pour γ un chemin quelconque reliant M0 à M, on montre que le résultat ne dépend pas du choix du chemin en appliquant le théorème de Stokes (voir section suivante). Sinon, il existe des contre-exemples, comme sur le cercle unité

ω=
ydxxdy
x2+y2

La forme est fermée :


mais elle n’est pas exacte :

Pour trouver le potentiel V dont une forme différentielle fermée ω=M dx+Ndy est la différentielle, on résoud d’abord par exemple M = ∂x V en intégrant M par rapport à x, y étant considéré comme un paramètre, on obtient V à une constante d’intégration près, cette constante d’intégration en x peut dépendre de y, c’est donc une fonction C(y), on remplace dans N=∂y V et on intègre en y pour trouver la valeur de C(y) (à une constante près). Cette opération est executée par la commande potential() de Xcas.

Exemple :

ω= cos(x) cos(ydx + cos(y) − sin(y)(sin(x)+ydy

Cette forme est bien fermée :

y(cos(x) cos(y) )=−cos(x) sin(y) = ∂x(cos(y) − sin(y)(sin(x)+y)) 

La forme est définie dans ℝ2 tout entier, donc est exacte, on intègre cos(x)cos(y) par rapport à x, on trouve sin(x)cos(y)+ une constante d’intégration, qui est donc constante par rapport à x donc est une fonction C(y) dépendant de y. On détermine ensuite C en dérivant par rapport à y 

−sin(x)sin(y)+C′(y)=cos(y) − sin(y)(sin(x)+y)

qui se simplifie en 

C′(y)=cos(y)−ysin(y)

donc C(y)=ycos(y)+ une constante, que l’on peut prendre nulle :

V=sin(x)cos(y)+C(y)=sin(x)cos(y)+ycos(y)

Si une forme n’est pas fermée, elle n’est pas exacte, et on ne peut pas calculer une intégrale curviligne par différence de potentiel, il faut utiliser la définition et un paramétrage de γ, ce qui n’est pas forcément plus couteux en calcul et a des applications au calcul d’intégrale double si γ est un chemin fermé délimitant le domaine d’intégration.

Les formes exactes ont une autre application (anticipant sur le chapitre suivant) : la recherche d’intégrales premières d’équations différentielles. En effet si Mdx+Ndy=0 le long d’un arc γ paramétrable par x alors M+Ny′=0 et γ est le graphe d’une solution de cette équation différentielle.

Définition 11   On dit que γ est une courbe intégrale de la forme différentielle ω si ω(dγ/dt)=0. Si ω est exacte, une courbe intégrale de ω est une courbe de niveau du potentiel V tel que dV.

Si ω n’est pas exacte, il n’y a pas de potentiel V mais il peut arriver qu’en multipliant la forme par une fonction, on trouve une nouvelle forme qui elle est fermée, on parle alors de facteur intégrant. (On limite en général la recherche à des fonctions ne dépendant que de x ou de y).

La notion de facteur intégrant ne se limite pas à la résolution d’équations différentielles. Par exemple en thermodynamique, la forme chaleur n’est pas fermée, mais en divisant par la température on obtient une forme fermée dont le potentiel est l’entropie.

4.4  Intégrale curviligne et intégrales doubles.

Terminons ce chapitre par le lien entre intégrale curviligne sur un lacet (chemin fermé) et intégrale double à l’intérieur du lacet. C’est évidemment surtout intéressant pour les formes non exactes, car si γ est un lacet et ω une forme exacte, alors ∫γω=0. On a le théorème de Stokes, aussi appelé en dimension 2 formule de Green-Riemann :

Théorème 12   Si U est un domaine de frontière orientée γ continument dérivable par morceaux (γ est donc un chemin fermé parcouru une fois que l’on oriente dans le sens trigonométrique), et si ω=Mdx + N dy est une forme différentielle continument dérivable dans U alors :
 


γ
ω = 
 


U
 dω := 
 


U
 (∂x N −∂y M)  dx dy

Idée de la preuve : on commence par le cas où U est un rectangle [a,b] × [α,β], on peut alors calculer

 


U
 ∂x N   dx dy  = 
β


α
(
b


a
 ∂x N   dxdy
β


α
(N(b,y)−N(a,y)) dy 

on compare avec les intégrales curvilignes sur les segments verticaux orientés {(b,y), y ∈ [α,β]} et {(a,y), y ∈ [β,α]}. De même pour M et les segments horizontaux.

Pour le cas d’un domaine d’intégration U plus général, on approche U par une réunion disjointe de petits rectangles.

Application : pour calculer l’aire d’un domaine U de frontière γ, il suffit de calculer l’une des intégrales curvilignes :

 


γ
x dy = −
 


γ
y dx
 


γ
x dy − y dx
2

Par exemple, l’aire à l’intérieur de l’ellipse x=acos(t), y=bsin(t) vaut



0
 
acos(td(bsin(t)) −b sin(td(acos(t))
2
  = abπ 

On peut aussi calculer des moments d’inertie ou la position d’un centre de gravité en se ramenant à une intégrale curviligne.
Exemple : Calculer la position du centre d’inertie d’un quart de cercle C={(cos(t),sin(t)), t ∈ [0,π/2]}.
On a donc U délimité par γ, réunion de {(x,0), x ∈ [0,1]} , C et {(0,y), y ∈ [1,0]}. Pour trouver la position du centre d’inertie en x (en y c’est identique), on doit calculer

 


U
 x  dx dy = 
 


γ
1
2
 x2  dy = 0 + 
1
2
 
π
2


0
 cos(t)2 cos(t)  dt + 0= 
1
3

et on divise par π/4 l’aire du quart de cercle, on trouve donc (4/3π,4/3π), on peut visualiser avec la commande

4.5  Formulaire courbe et intégrale curviligne

4.5.1  Courbes paramétriques

4.5.2  Coniques

4.5.3  Courbes en polaires

4.5.4  Intégrales curvilignes

5  Équations et systèmes différentiels.

5.1  Introduction et représentation graphique.

On s’intéresse à l’équation différentielle

  y′=
dy
dt
=f(y,t)     (3)

y ∈ ℝn et f: ℝn × ℝ → ℝn. Si n=1, c’est une équation différentielle, si n>1 c’est un système différentiel.

Exemple : en dimension n=1, y′=f(y,t)=ay. On sait résoudre cette équation, les solutions sont de la forme y(t)=Ceat. Si on trace la courbe représentative de ces solutions (appelée courbe intégrale), on observe que par tout point du plan, il passe une solution unique. La tangente à une courbe intégrale a pour pente y′=ay donc pour vecteur directeur le vecteur de composantes (1,ay).

C’est vrai de manière plus générale, le vecteur directeur de la tangente à une courbe intégrale est (1,f(y,t)). Si on représente dans le plan selon un quadrillage régulier les vecteurs (1,f(y,t)), une courbe intégrale doit être tangente à ces vecteurs chaque fois qu’elle passe en un point du quadrillage, (et à peu près tangente si elle passe à proximité). Un tel quadrillage est appelé champ des tangentes (commande plotfield en Xcas, mode également disponible sur certaines calculatrices).

Exercice : tracer le champ des tangentes et quelques solutions pour quelques exemples de fonction f(y,t), avec Xcas créer une figure 2d, puis choisir le mode Champ des tangentes du menu Geo, Graphe, entrer la fonction, puis cliquer en quelques points pour faire tracer la solution passant par ces points.

L’équation (3) est d’ordre 1, or certaines équations différentielles se présentent naturellement comme des équations d’ordre 2, par exemple l’équation fondementale de la dynamique (accélération=somme des forces divisée par la masse). Mais on peut facilement se ramener à un système différentiel d’ordre 1, en augmentant la dimension de y. Par exemple, si on pose y=(x(t),v(t)), où x(t) est la position et v(t) la vitesse, alors l’équation devient un système d’ordre 1

d
dt
 

x(t
v(t







v(t
F
m
 
 




F est la force, qui dépend de la position x(t) (champ électrique, gravitation...) et éventuellement de la vitesse (force de frottement, champ magnétique...). On utilise aussi assez fréquemment y=(q(t),p(t)) où q(t) est la position, et p(t) la quantité de mouvement (qui dépend de la vitesse, linéairement en mécanique classique).

Représentation graphique : comme précédemment, on peut se placer dans l’espace des (t,x,v) (si x est en dimension 1), mais il est souvent plus difficile d’observer des phénomènes sur un graphe en 3-d que dans le plan, on préfère ne pas représenter explicitement le temps t, mais uniquement (x,v), on est donc naturellement ramené à représenter une solution (une courbe intégrale) par une courbe paramétrique en (x,v) (ou en position impulsion). On a encore la notion de champ des tangentes si f(y,t)=f(y) ne dépend pas explicitement du temps (on dit que le système est autonome), dans ce cas une courbe intégrale a pour tangente en y∈ ℝ2 de direction portée par le vecteur f(y) ∈ ℝ2.
Exemple : (x,v)′=5(−v,x). La commande
plotfield(5*[-y,x],[x=-1..1,y=-1..1],normalize)
permet d’en représenter le champ des tangentes et d’avoir une idée approximative de l’allure des solutions. On sait résoudre ce système différentiel, soit en appliquant une technique matricielle présentée ci-dessous, soit en se ramenant à une équation linéaire d’ordre 2 à coefficients constants:

x′′=−5v′=−25x

donc x(t)=Acos(5t)+Bsin(5t), A, B étant déterminés par les conditions initiales sur (x,v).

Une équation donnée sous la forme (3) est appelée une équation résolue en y, car on a exprimé la dérivée en fonction de y et de t. Il existe (plus fréquemment en mathématiques) d’autres formes d’équations différentielles (non résolues) où le premier travail de résolution peut consister à exprimer y′ en fonction de y et t (ce qui n’est pas toujours possible explicitement).

Exemple : en dimension 1, ty′=y, on sait résoudre exactement cette équation à variables séparables, les solutions sont de la forme Ct. On observe que contrairement à y′=ay où passe une solution et une seule par chaque point du plan, ici toutes les solutions valent 0 en t=0 : il passe une infinité de solutions par le point (0,0) et il n’en passe aucune par (0,a), a ≠ 0. Ce phénomène de non unicité/non existence vient de la mise sous forme résolue y′=y/t qui fait apparaitre une singularité de f(y,t) en t=0.

On présente dans la suite de cette section des résultats qualitatifs sur les équations sous forme résolue lorsqu’on ne sait pas les résoudre, ainsi que quelques méthodes explicites pour certaines équations différentielles que l’on sait résoudre.

5.2  Existence et unicité

Il s’agit ici de préciser dans quelles conditions le résultat intuitif suivant est vrai : étant donné une condition initiale y(t0)=y0, il y a une et une seule évolution possible, donc une solution unique y(t) de l’équation ou du système (3).

On a le :

Théorème 13   (Cauchy-Lipschitz) Si f est continument dérivable en y et t sur n × ℝ ou sur un domaine ouvert D inclus dans n × ℝ, alors l’équation (ou le système) résolu (3) admet pour toute condition initiale y(t0)=y0 une solution unique sur un intervalle maximal ouvert en temps contenant t0.

Remarques

On admettra ce théorème, voici quelques idées heuristiques de la preuve. L’équation y′=f(y,t) peut se réécrire sous la forme intégrale équivalente

y(t)=y(t0)+
t


t0
 y′(u)  du = y(t0)+
t


t0
 f(y(u),udu 

Si t est assez proche de t0, on peut approcher l’intégrale par

y(t) = y(t0) + (tt0f(y(t0),t0) + petite erreur

C’est exactement ce qu’on fait en suivant le champ des tangentes pour approcher une courbe intégrale graphiquement, et si on discrétise le temps avec un pas petit, cette méthode d’approximation est appelée méthode d’Euler. On peut bien sur utiliser d’autres approximations (meilleures) de l’intégrale pour avoir une meilleure approximation de la solution, et les méthodes dites de Runge-Kutta utilisent cette idée. D’un point de vue théorique, la preuve repose plutôt sur ce qu’on appelle le théorème du point fixe, on met la valeur approchée de y(t) trouvée dans l’équation intégrale pour avoir une nouvelle valeur approchée de y(t), on recommence, ainsi de suite, et on montre que le processus converge (il s’agit mathématiquement parlant d’une suite récurrente de fonctions, la preuve rigoureuse de la convergence nécessite des outils mathématiques de niveau L3-M1 de maths, c’est l’analogue des suites récurrentes de réels qui permettent de résoudre numériquement des équations comme x=cos(x) abordées en mat249).

Conséquence du théorème 13 : deux courbes intégrales de la même équation différentielle ne peuvent se couper dans D. Donc si on connait une courbe intégrale C de D et qu’on prend une condition initiale en-dehors de cette courbe, la courbe intégrale unique passant par cette condition initiale restera du même coté de D. Si on connait deux courbes intégrales de D, une courbe intégrale passant par une condition initiale entre les deux courbes restera entre les deux courbes.

Exemple : y′=y(1−y). Cette équation autonome admet deux solutions évidentes y=0 et y=1. Donc pour toute condition initiale y(t0) ∈ ]0,1[, on a y(t) ∈ ]0,1[14. On en déduit que y′=y(1−y)>0 donc la solution y est strictement croissante, comme elle est bornée par 0 et 1, elle admet une limite pour t → ± ∞, donc y′ tend vers 0 pour t → ± ∞, donc y tend vers 0 ou 1, et comme y croit, y → 0 en t=−∞ et y → 1 en t=+∞. Le comportement à l’infini est donc indépendant de la valeur précise de la condition initiale, pourvu qu’elle soit dans ]0,1[.

Exercice : toujours pour y′=y(1−y) que se passe-t-il pour une condition initiale y(t0)>1 ?

5.3  Quelques méthodes de résolution explicite.

5.3.1  Équations à variables séparables

Si on peut factoriser f(y,t) en termes ne dépendant que de y ou ne dépendant que de t, on dit que l’équation est à variable séparable, et on intègre

y′=f(y,t)=g(t)h(y) ⇒ 
dy
h(y)
 = g(tdt

On obtient une équation implicite de la forme H(y)=G(t)+CG est une primitive de g, H de 1/h et C une constante arbitraire. Dans les cas favorables, on peut exprimer y en fonction de t (par exemple si l’équation est linéaire sans second membre, on a h(y)=y donc H est le log que l’on sait inverser). Dans les cas moins favorables, on peut exprimer y et t en fonction d’un paramètre u : la courbe intégrale est une courbe paramétrée. Dans les cas défavorables, on reste sous forme implicite.

Exercice : résoudre explicitement l’équation y′=y(1−y) et retrouver les résultats qualitatifs de la section précédente.

5.3.2  Équations linéaires

On commence par résoudre l’équation sans second membre (aussi appelée homogène)

an(ty[n] +...+a1(t)y′+a0(t)=0

L’ensemble des solutions est un espace vectoriel (car l’équation est linéaire) et de dimension l’ordre de l’équation : pour le prouver on peut appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz au système d’ordre 1 équivalent, ce système est tel que y est un vecteur de ℝn, on a ensuite un isomorphisme entre les solutions et la condition initiale.

Si l’ordre est 1, on a une équation à variables séparables y′/y=−a0(t)/a1(t) et la solution est une exponentielle :

y(t)=Ce
a0
a1
  dt
 

Exemple : y′−ty=0, on a y(t)=Cet dt=Cet2/2

Si l’ordre est plus grand que 1, on n’a en général pas de solution explicitable avec les fonctions usuelles et des primitives, pour certaines équations importantes en physique, des fonctions spéciales ont été créées pour exprimer les solutions, par exemple les fonctions de Bessel. Il existe quelques cas particuliers où le calcul explicite est possible, dont le cas où les coefficients sont constants (section suivante). Si on connait une solution w d’une équation linéaire, alors en posant y=wz, la fonction z′ vérifie une équation linéaire d’ordre un de moins, ainsi si on connait une solution d’une équation linéaire d’ordre 2, on peut la résoudre complètement.

Le calcul d’une solution particulière d’une équation linéaire avec second membre se fait en faisant varier les constantes d’intégration : on prend la forme générale de la solution de l’équation homogène, on remplace les constantes d’intégration par des fonctions inconnues, on remplace dans l’équation avec second membre et on résoud en les fonctions inconnues. La solution générale est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation sans second membre.

Exemple : y′−ty=−t, solution générale de l’équation homogène y(t)=Cet2/2, variation de la constante on remplace y(t)=C(t)et2/2 dans y′−ty=−t et on obtient Cet2/2=−t, donc C′=−tet2/2 et C=et2/2+K, d’où la solution générale y(t)=(et2/2+K)et2/2=1+Ket2/2.

5.3.3  Équations linéaires à coefficients constants

On peut chercher des solutions de l’équation sans second membre sous la forme d’exponentielles ert, r doit alors vérifier une équation polynomiale P(r)=0 appelée équation caractéristique, de degré le degré de l’équation différentielle. Plus précisément, si on remplace ert dans

an y[n]+...+a1 y′+a0y=0

alors

an rn +...+a1r +a0=P(r)=0

Si P n’a que des racines simples r1,...,rn ∈ ℂ, l’ensemble des solutions est alors l’espace vectoriel engendré par { er1t, ... , ernt }. En effet, on a le bon nombre d’éléments (n), il suffit donc de montrer qu’il s’agit d’une famille libre. Cela se fait par récurrence. Au rang n=1 c’est évident. Si n>1 et si (λ1,...,λn) vérifient :

n
j=1
 λj erjt = 0

on factorise ern t et on dérive, on a

n−1
j=1
 λj (rjrne(rjrn)t =0 

on est ramené à l’identité précédente au rang n−1 donc par récurrence, λj (rjrn)=0 et λj=0 si jn, puis λn=0 avec la relation du départ.

Si P a des racines multiples, on peut montrer que pour chaque racine rk de multiplicité m>1, il faut rajouter { terkt, ..., tm−1 erkt } pour former une base de solutions. En effet

(ty)[j] = t y[j] + j y[j−1]

donc si y est solution de l’équation alors ty est encore solution si :

nan y[n−1] + (n−1)an−1 y[n−2]+...+a1=0

on reconnait l’équation différentielle linéaire à coefficients constants dont l’équation caractéristique est P′. L’indépendance linéaire de ces fonctions se montre en faisant t=0 (on est ramené au cas précédent), puis en divisant par t et en faisant t=0, etc.

Si P est à coefficients réels et admet une racine non réelle z alors z est encore racine, on peut réécrire avec des fonctions trigonométriques les combinaisons linéaires de ezt et ezt :

(α + i β) e(a+ib)t + (α − i β)  e(aib)t =  eat ( 2 α cos(bt) − 2 β sin(bt) )

Exemples :

On peut trouver une solution particulière de l’équation avec second membre comme dans le cas général (méthode de variation des constantes). Si la solution générale est engendrée par y1,...,yn, on pose :

y=
n
i=1
 λi yi

On pose

n
i=1
 λi′ yi=0  ⇒   y′=
n
i=1
 λi yi

et ainsi de suite jusqu’à la dérivée d’ordre n de y, ces n−1 équations et léquation différentielle donnent alors un système linéaire n,n en les λi′.

Pour des second membre combinaison linéaire de termes b(t)ert avec b polynôme, on peut chercher une solution particulière combinaison linéaire de a(t)erta est de même degré que b si r n’est pas racine de P, ou de degré le degré de b plus la multiplicité de r comme racine de P. On peut aussi utiliser la transformation de Laplace et son inverse.

5.3.4  Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants d’ordre 1.

Il s’agit donc de systèmes de la forme

y′=Ay+b(t)

y(t)∈ ℝn, A est une matrice carrée de taille n indépendante du temps, et b(t) ∈ ℝn.

On commence par résoudre l’équation homogène y′=Ay. Si la matrice A est diagonalisable, alors A=PDP−1D=diag(d1,...,dn) est diagonale et P inversible, le système devient :

y′=PDP−1 y

donc en posant y=Pz, on a (puisque P est indépendant du temps) :

z′=Dz    ⇔    zk′=dkzk,  k=1..n

donc zk=ck edkt, puis la solution générale

y(t)=P


c1 ed1t 
... 
cn ednt
 


Le calcul avec Xcas se fait en utilisant la commande desolve, par exemple
desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y)
ou avec conditions initiales
desolve([y'=[[1,2],[2,1]]*y,y(0)=[1,2]])
On peut aussi utiliser la fonction exp avec comme argument At (on généralise ainsi la notation eat de la dimension 1), multiplié par la condition initiale :
exp([[1,2],[2,1]]*t)*[1,2]
Les calculs intermédiaires pour diagonaliser la matrice A sont exécutés par les commandes eigenvals, eigenvects, jordan.

On peut ensuite calculer une solution particulière par la méthode de variation des constantes, ou encore en résolvant z′=Dz+P−1b(t) composante par composante (ou par transformation de Laplace). Avec Xcas, il suffit d’ajouter le second membre dans la commande desolve
desolve(y'=[[1,2],[2,1]]*y+[x,x+1])

Si la matrice A n’est pas diagonalisable (ce qui entraine qu’elle a au moins une valeur propre de multiplicité plus grande que 1), on peut alors la trigonaliser, on se ramene à résoudre un système triangulaire, ce qui revient à résoudre pour chaque composante une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec un éventuel second membre.

Remarque : il y a un lien avec la section précédente. En effet une équation d’ordre n peut s’écrire comme un système différentiel d’ordre 1, on peut calculer le polynôme caractéristique de la matrice on retrouve alors l’équation caractéristique. Inversement, toute matrice A admet un polynôme P annulateur tel que P(A)=015, le polynôme caractéristique de A est un polynôme annulateur (théorème de Cayley-Hamilton). Les composantes des solutions du système différentiel sont des solutions de l’équation différentielle dont l’équation caractéristique est P(x)=0. En effet :

0=P(A)y=
n
k=0
 pk Ak y = 
n
k=0
 pk y[k]

Exemple en dimension 2. Soit A=(

ab 
cd

) . Si b=0 alors y1′=ay1 on en déduit y1 puis y2. Supposons donc b≠ 0, alors

P(x)=x2 − x (a+d) +a db c

(on peut vérifier que P(A)=0) donc si y′=Ay alors

y1′′−(a+d)y1′+adbc=0

et y2 s’en déduit avec y1′−ay1=by2 (on peut du reste partir de cette relation pour établir l’équation d’ordre 2 vérifiée par y1). On peut ainsi résoudre tous les systèmes de dimension 2, même si la matrice A n’est pas diagonalisable.

Exercice : Résoudre de cette manière le système
desolve([y'=[[1,2],[2,1]]*y,y(0)=[1,2]])

Remarque : allure des courbes en dimension 2.
Si on se place dans le repère propre (en prenant les vecteurs propres comme vecteurs de base), et si A a deux valeurs propres distinctes (A est alors diagonalisable), alors chaque coordonnée suit une exponentielle, dans ce repère y(t)=(α eat, β ebt) avec ab. Si a et b sont réels, l’une des exponentielles domine l’autre lorsque t→ +∞ et c’est l’inverse lorsque t→ −∞, la courbe est donc asymptote aux directions propres. Si a et b sont complexes conjugués de partie réelle non nulle, on a une spirale qui tend vers 0 d’un coté et vers l’infini de l’autre (selon le signe de la partie réelle). Si A est symétrique, alors a et b sont réels, ce cas ne peut pas se produire, de plus on peut choisir un repère propre orthonormé, les courbes ressemblent à des hyperboles. Ce sont des hyperboles si trace(A)=0 (la somme des valeurs propres vaut 0 donc le produit des coordonnées dans le repère propre vaut une constante), ces hyperboles sont équilatères si A est symétrique.

Remarque :pour un système différentiel à coefficients non constants, il n’existe pas de méthode générale de résolution. Il arrive que dans certains cas particuliers, on puisse résoudre le système, par exemple si on trouve une matrice de passage indépendante du temps ramenant le système à un système diagonal ou triangulaire : un exemple avec A=(

cc 1+tt 
t1+t

). Ou si ∫A(t) dt commute avec A, on peut prendre exp(∫A(t)) comme solution.

5.3.5  Intégrales premières.

Lorsqu’on ne sait pas résoudre explicitement une équation ou un système différentiel, il peut arriver qu’on connaisse une ou des constantes du mouvement en cinématique, appelées aussi intégrales premières.

C’est le cas par exemple de l’énergie totale (mécanique plus cinétique) pour des forces conservatives. En dimension un, la connaissance de l’intégrale première énergie totale permet de ramener l’équation fondamentale de la dynamique d’ordre 2 à une équation du premier ordre à variables séparables :

1
2
 m x2V(x) = C 

En dimension plus grande, cela peut permettre de connaitre la forme de la courbe intégrale et même parfois de résoudre complètement l’équation (cas du problème à deux corps ci-dessous).

Autre exemple, la découverte d’un facteur intégrant pour la forme différentielle Mdx+Ndy donne une intégrale première pour l’équation dy/dx=M/N, en effet ω=φ(Mdx+Ndy)=dV(x,y) est nul sur une courbe intégrale, donc V(x,y) est constant, les courbes intégrales sont donc les courbes de niveau de V(x,y). Une équation à variables séparables est un cas particulier, avec M ne dépendant que de x et N de y.

Pour un système autonome, E est une intégrale première si grad(E).f=0, en effet

d
dt
 E(y(t))= 
n
j=1
 
∂ E
∂ yj
 fj

Problème à deux corps  Cas d’un point de ℝ3 soumis à une force centrale comme la gravité ou la force coulombienne :

d2 

r
 
dt2
=−µ 

r
 
r3

on montre

Si on prend l’axe des x porté par E, en faisant le produit scalaire avec r :

rE cos(θ)=

r
 
.

E
 
1
µ
  (
d

r
 
dt
 ∧ 

L
 
) . 

r
 
− r

on obtient en appliquant les propriétés du produit mixte et la définition de L :

r = 
L2
µ(1+E cos(θ))

la courbe intégrale est donc une conique d’excentricité E ayant l’origine pour foyer et parcourue selon la loi des aires (l’aire balayée par le segment origine-point mobile est proportionnelle au temps).

5.3.6  Quelques autres méthodes

On peut encore citer : changement de fonction, changement de variables, équation homogène, équations de Bernoulli, de Clairault, de Ricatti, développements en séries entières..., certaines de ces méthodes sont implémentées par les logiciels de calcul formel.

5.4  Comportement asymptotique des solutions

Les équations de la physique sont souvent des équations autonomes sans second membre (pas de dépendance explicite en temps) ou avec un second membre qui est le seul terme de l’équation dépendant du temps (il s’agit d’un forçage extérieur). Dans le premier cas, les solutions doivent rester bornées (par exemple en énergie), donc ne peuvent pas tendre vers l’infini. Dans le second cas, une question naturelle est alors la suivante : le système atteint-il un équilibre, peut-on décomposer la solution en deux parties : un régime permanent et un régime transitoire ?

On a déjà fait une étude de comportement asymptotique pour l’équation y′=y(1−y), la solution y=0 se comporte comme un point déquilibre instable, si on en dévie même légèrement, on s’en éloigne définitivement, alors que y=1 se comporte comme un point déquilibre stable. Nous allons généraliser cette étude, pour les équations linéaires à coefficients constants (avec ou sans second membre, perturbation dépendant du temps), les équations autonomes sans second membre, et dans le cas de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.

5.4.1  Équations linéaires à coefficients constants d’ordre 1 et 2

Pour les équations homogènes d’ordre 1 y′+ay=0, la solution générale est y(t)=Ceat, le comportement asymptotique lorsque t → +∞ dépend du signe de a, si a>0 la limite est 0 et la solution décroit exponentiellement vite. Donc si a>0, quelle que soit la condition initiale, toutes les solutions de l’équation avec second membre y′+ay=f(t) ont le même comportement asymptotique, celui d’une solution particulière de l’équation :on a donc un régime transitoire exponentiellement décroissant et un régime permanent.

Pour les équations homogènes d’ordre 2 ay′′+by′+cy=0, la solution générale est y(t)=Aer1t+Ber2t si r1 et r2 sont les deux racines simples de ar2+br+c=0 ou y(t)=er1t(A+Bt) si l’équation caractéristique admet une racine double. Le comportement à l’infini dépend du signe de la partie réelle de r1 et r2. Il faut que les deux parties réelles soient strictement négatives pour que la solution tende vers 0, à vitesse exponentielle, si l’une au moins des parties réelles est positive ou nulle, alors il n’y a pas convergence vers 0. Plus précisément

Exemples 

On peut généraliser à un ordre quelconque. Si toutes les racines de l’équation caractéristique sont de partie réelle négative, la solution générale de l’équation homogène tend vers 0 à l’infini, elle est appelée régime transitoire. Quelle que soit la condition initiale, on tend vers la solution particulière appelée régime permanent.

5.4.2  Forçage périodique

Il arrive souvent qu’un système physique soit soumis à un forçage extérieur périodique, par exemple pour la température à échelle fine, l’alternance jour-nuit, ou à grande échelle, l’alternance des saisons, ou circuit RCL soumis à un courant périodique. Il est donc utile de déterminer les caractéristiques de la solution en régime permanent.

Exemple : ordre 1

y′+ay=A eiω t,    a>0

On sait qu’une solution particulière est donnée par B ei ω t, on remplace et on obtient

B(iω +a)=A ⇒ B=
A
a+iω

L’amplitude de la solution particulière est donc l’amplitude du second membre divisée par le module |a+iω|=√a22, et l’exponentielle subit un déphasage donné par l’argument de B soit −arctan(ω/a) ∈ ]−π/2,0[. La solution particulière suit donc le second membre, avec un déphasage compris entre 0 et un quart de période, selon la valeur de a. Si le système a une forte inertie intrinsèque (a petit pour avoir une exponentielle décroissant lentement), on s’approche du quart de période, c’est pour cette raison que la température près de la mer atteint son maximum en été environ 2 mois après le solstice, alors que dans les terres, c’est plutot 3 semaines après (le maximum d’un quart de période étant presque réalisé par la banquise qui atteint son minimum d’extend presque 3 mois après le solstice).

À l’ordre 2, on peut faire la même étude, cette fois l’amplitude est divisée par

|−aω2+ibω+c| =
 b2ω2+(aω2c)2
2 
 b2+(aω−
c
ω
)2

Si b=0 (pas de frottements) et si iω est solution de l’équation caractéristique, la solution particulière est en A t eiω t, il y a résonance (c’est pour éviter d’entrer en résonance avec une fréquence propre d’un pont qu’on ne doit pas le traverser à plusieurs en marchant au même pas cadencé).

5.4.3  Équation autonome sans second membre

Il s’agit d’une équation de la forme y′=f(y) où on suppose f continument dérivable. Les solutions stationnaires sont données par les racines de f (les r telles que f(r)=0). Pour toute condition initiale entre deux racines consécutive de f, la solution va rester entre ces deux racines consécutives. Comme f ne s’annule pas entre deux racines consécutives, f est de signe constant donc la solution est monotone, et tend vers une des racines lorsque t → ± ∞ 16. Si f>0, on tend vers la plus grande des racines lorsque t → +∞, sinon vers la plus petite. Si la condition initiale est au-delà de la plus grande racine ou en-deça de la plus petite racine, on tend soit vers l’infini, soit vers la racines.

On peut préciser la vitesse de convergence. Si f(y)=c(yr), c<0, (f linéaire) la convergence vers r se fait comme ect pour t → +∞. Dans le cas général, si f′(r) ≠ 0, ce résultat est encore valable, heuristiquement :

f(y)=(yr)(f′(r)+o(1)) ⇒ 
1
f(y)
=
1
f′(r)(yr)
 
1
1+o(1)
=
1
f′(r)(yr)
(1 + o(1))

o(1) est une fonction qui tend vers 0 lorsque y tend vers r, donc :

dy
f(y)
 = 
dy
f′(r)(yr)
(1 + o(1)) dy  = 
ln|yr|
f′(r)
 (1 + o(1)) =  dt = t+K  

d’où le résultat (pour une justification plus rigoureuse il faut appliquer le théorème des fonctions implicites pour déterminer y et vérifier que o(1) s’intègre).

Théorème 14   On considère l’équation différentielle y′=f(y)f est continument dérivable, et a des racines réelles classées par ordre croissant ...,rk,.... Si la condition initiale y(t0) est située entre deux racines, la solution est monotone entre ces deux racines et tend vers une des racines lorsque t→ ± ∞. Si y(t0) est situé au-delà de la dernière racine ou en-decà de la première racine (si elles existent), la solution est monotone et tend vers cette racine lorsque t→ ± ∞ ou diverge (en temps fini ou infini).

Si f′(rk) < 0, la solution y=rk est appelée équilibre stable : pour toute condition initiale situé entre rk−1 et rk+1 la solution tend vers rk lorsque t → +∞ et la convergence se fait à vitesse exponentielle, comme Cef′(rk)t(1+o(1)).

Exemple : pour l’équation logistique y′=y(1−y), f(r)=r(1−r)=rr2, f′(r)=1−2r, il y a deux équilibres r0=0 et r1=1, avec f′(r0)=1>0 et f′(r1)=−1<0 donc un équilibre stable en 1, et un équilibre instable en 0.

5.4.4  Systèmes linéaires

Cas linéaire
L’évolution du système est gouvernée par les valeurs propres de la matrice A du système, exactement comme pour les équations linéaires où ce sont les racines de l’équation caractéristique. La solution générale tend vers 0 si toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative. S’il y a des paires de valeurs propres conjuguées de partie réelle négative, des phénomènes cycliques amortis apparaissent. Si les valeurs propres sont négatives ou nulles mais distinctes, la solution reste bornée (avec des composantes qui peuvent être périodiques). Si une des valeurs propres a une partie réelle strictement positive, alors pour une condition initiale générique, la solution tend vers l’infini.

Exemples

Cas autonome
On ne sait pas intégrer un système y′=f(y) sans plus de précision sur f (ce n’est plus une équation à variables séparables et il n’y a pas d’ordre dans ℝn, donc pas de monotonie des solutions à attendre). On ne peut donc espérer un résultat général que si la condition initiale est proche d’un point d’équilibre (une solution de f(r)=0). Dans la plupart des cas, on peut conclure sur la stabilité ou l’instabilité du point déquilibre en fonction de la partie réelle des valeurs propres de f′(r), un peu comme en dimension 1. Si toutes les valeurs propres ont des parties strictement négative on peut montrer que le système revient à l’équilibre exponentiellement vite, si l’une des parties réelles est strictement positive, pour une condition initiale générique, le système s’en éloigne, et s’il y a des parties réelles nulles, on ne peut pas conclure/

5.4.5  Forçage près d’un point d’équilibre de système.

Si on ajoute un terme dépendant du temps y′=f(y)+g(t), on ne sait plus résoudre l’équation ni décrire son comportement qualitatif en toute généralité. Si la condition initiale est proche d’un équilibre stable, et si la perturbation est “petite” (en tenant compte de l’échelle de temps des exponentielles du système linéarisé) on peut alors linéariser et espérer que la solution se comporte comme la solution de

y′=f′(rk)(yrk) + g(t)

au moins pendant un certain intervalle de temps.

Exemple : modèle couplé d’évolution température-CO2.
On modélise l’évolution de la température T de la Terre par

dT
dt
 = k 


6 ln(
CO2
280
) − σ (T4Te4


Te=288K est la température d’équiibre de la Terre et CO2(t) la concentration en ppm de gaz carbonique, k modélise la capacité calorifique de la Terre (on peut estimer k=0.0025K/yr), σ la constante de Stefan-Boltzmann (5.67e-8 S.I.).

Le taux de CO2 de l’atmosphère peut être considéré comme un forçage extérieur (dépendant de scénarios d’émissions de CO2) mais il dépend aussi de la température de l’océan, on peut donc modéliser l’évolution conjointe des deux variables par un système différentiel autonome auquel on ajoute une composante dépendant du temps (émissions anthropiques).

On peut raffiner ce modèle en ajoutant par exemple la glace et ses interactions avec la température (si la température monte, la glace fond, si la glace fond, l’albédo de la Terre diminue ce qui va faire monter la température), ce qui amène à un système différentiel en dimension 3

d
dt
 


T 
G 
C



= F(T,G,C) = 





k (σ(T04T4)+6 ln(
C
280
) − β G2/3 ) 
f(T
g(C,T) + a(t)






f est une fonction décroissante, ∂T g est positif, et a(t) représente la perturbation anthropique (la puissance deux tiers appliquée à la masse de glace sert à passer d’un volume à une surface pour représenter l’effet de la variation de volume de glace sur l’albédo).

6  Introduction au calcul variationnel

La recherche de minimas/maximas est une des application du calcul différentiel : en dimension 1, la dérivée s’annule lorsque la fonction est maximale ou minimale, en dimension plus grande c’est le gradient qui s’annule. Le calcul variationnel est une généralisation du principe précédent lorsque l’inconnue n’est pas l’endroit x où l’extrêmum est atteint (un réel ou un point), mais une fonction. Par exemple, si on recherche le plus court chemin entre 2 points de l’espace, ou entre 2 points situé sur une sphère ou une surface : dans ce cas l’inconnue est le chemin, que l’on peut représenter par une courbe paramétrée. On obtient alors une équation différentielle qui permet de déterminer le chemin, de même que l’équation f′(x)=0 ou ∇ f=0 permettait de trouver la position d’un extrêmum. Réciproquement, certaines équations différentielles de la physique peuvent se mettre sous la forme minimiser une fonction dépendant d’un chemin, le chemin étant la courbe intégrale de l’équation différentielle. C’est le cas par exemple des équations de la dynamique en mécanique classique aussi bien qu’en relativité. Un des intérêts d’une formulation variationnelle de ces équations, c’est que ce type de formulation est plus intrinsèque (plus géométrique) elle ne dépend pas des coordonnées.

Le problème est donc le suivant : on se donne un lagrangien

L(x,ẋ,t): ℝn × ℝn × ℝ → ℝ

où :

et on cherche parmi les courbes paramétrées deux fois continument dérivables γ(t) d’origine γ(t0)=A et extrémité γ(t1)=B le(s) chemin(s) réalisant le minimum (s’il existe) de l’action :

S=
t1


t0
 L(γ(t),
dγ(t)
dt
,tdt 

Exemples :

Proposition 15   Équations d’Euler-Lagrange : ce sont des conditions nécessaires pour que γ(t) soit un extrêmum, si x=(x1,...,xn) est un système de coordonnées (pas forcément dans un repère orthonormé), elles sont données par :
d
dt
 
∂ L
∂ x_i
 = 
∂ L
∂ xi
    pour  i=1,...,n
(On vérifie que cette équation a la bonne homogénéité.)

Sur les exemples, on obtient

Démonstration (idée) :
On fait varier le chemin en ajoutant à γ(t)=(x1(t),...,xn(t)) un vecteur u Δ(t) avec Δ(t0)=Δ(t1)=0, on obtient une action S(u), on calcule la dérivée en u=0 de S(u), elle doit s’annuler pour avoir un extrêmum, et ce quel que soit la valeur de la fonction Δ telle que Δ(t0)=Δ(t1)=0. Prenons pour commencer Δ uniquement sur la première composante Δ(t)=(δ(t),0,...,0), on a :

S(u) = 
t1


t0
L(x1(t)+uδ(t),x2(t),...,xn,x_1+uδ,x_2,...,xn′,t)   dt

on dérive par rapport à u sous le signe intégrale (on peut intervertir dérivée et intégrale car γ, δ, L sont deux fois continument dérivables). Comme u intervient dans deux composantes de L, il y a deux dérivées partielles qui interviennent :

S′(0) =
t1


t0
 


∂ L
∂ x1
 δ + 
∂ L
∂ x_1
 δ 


 dt

On intègre par parties le deuxième terme (δ=d δ/dt), le terme tout intégré est nul car δ(t0)=δ(t1)=0, d’où :

0=S′(0)=
t1


t0
 


∂ L
∂ x1
 δ  −
d
dt
 
∂ L
∂ x_1
 δ 


dt =
t1


t0
 


∂ L
∂ x1
  −
d
dt
 
∂ L
∂ x_1
 


δ  dt

Comme le résultat doit être nul pour toute valeur de δ, on en déduit la première équation d’Euler-Lagrange (en prenant δ=(tt0)(t1t) (∂ L/∂ x1d/dtL/∂ x_1) si la régularité est suffisante, ou sinon en raisonnant par l’absurde : si l’équation n’est pas vérifiée en un point, alors on prend δ non nulle seulement au voisinage de ce point et nulle ailleurs, et on choisit δ de même signe que l’autre facteur, l’intégrale est alors strictement positive, absurde).

Un des intérêts de cette écriture des équations de la mécanique, c’est de pouvoir effectuer un changement de coordonnées plus facilement, car la propriété de rendre l’action extrêmale pour un chemin est indépendant du choix des coordonnées. Exemple : si n=2, on peut utiliser les coordonnées polaires (r,θ), on a alors

L=
1
2
m(ṙ2+r2 θ2) − V(r,θ)

Si le potentiel dépend seulement de r (en dimension 2), alors L ne dépend pas de θ (seulement de θ) donc

d
dt
 
∂ L
∂ θ
 = 0

on a donc une intégrale première, qui est le moment cinétique mr2 θ= L. L’autre équation est

d
dt
 
∂ L
∂ ṙ
 = mr
∂ L
∂ r
 = m r θ2 − V′(r)

et s’exprime uniquement en fonction de r

mr = 
 L2
mr3
 − V′(r)

tout se passe comme si on était en dimension 1 avec un potentiel effectif V(r)+ L2/2mr2.

Exercice : Calculer le lagrangien en coordonnées sphériques et donner les équations d’Euler-Lagrange si le potentiel V est radial (V=V(r)).
Solution abrégée

L=
1
2
m(ṙ2+r2θ2+r2sin(θ)2 φ2)−V

L ne dépend pas explicitement de φ, il y a donc une constante du mouvement

pφ=∂ L/∂φ = m r2 sin(θ)2  φ,    p_φ=0

c’est le moment cinétique par rapport à Oz. V ne dépend pas de θ mais L en dépend, donc pθ=∂ L/∂θ n’est pas conservé :

pθ=mr2θ,     p_θ=mr2sin(θ)cos(θ)φ2

Toutefois, pour des raisons de symétrie, les moments par rapport à Ox et Oy sont aussi conservés, on a donc d’autres constantes du mouvement. On peut continuer de deux manières, soit choisir le repère pour avoir φ=0 à la condition initiale, alors φ reste nul pendant tout le mouvement qui se passe dans le plan φ constant, on est ramené à un lagrangien en coordonnées polaires, qui ne dépend plus de θ. Ou bien on montre que pθ2+pφ2/sin2(θ) est constant.

Plus généralement, si L ne dépend pas explicitement du temps, alors le hamiltonien défini par :

H = 
 
i
 ẋi 
∂ L
∂ ẋi
 − L

est une intégrale première, en effet

dH
dt
=
 
i
 xi 
∂ L
∂ ẋi
 + 
 
i
 ẋi 
d
dt
L
∂ ẋi
− 


 
i
 
∂ L
∂ xi
 
dxi
dt
+
 
i
 
∂ L
∂ ẋi
 
di
dt



 =
 
i
 xi 
∂ L
∂ ẋi
 + 
 
i
 ẋi 
∂  L
∂ xi
− 


 
i
 
∂ L
∂ xi
 ẋi +
 
i
 
∂ L
∂ ẋi
 xi


 =0

Exercice : calculer H pour le lagrangien de la mécanique classique et de la relativité restreinte.

Exemple : On cherche la forme d’un toboggan qui permette de se rendre le plus rapidement possible d’un point A (origine du repère) à un point B situé à une altitude plus basse sous l’action de la gravité (en négligeant les frottements). Si cette courbe est un graphe de fonction y(x) alors la vitesse est donnée par v=(dx/dt,dy/dt)=dx/dt(1,y′). D’autre part v=√−2gy. Donc

dx
dt
1+y2
=
−2gy

on en déduit :

dt = dx 
1+y2
−2gy

donc le temps à minimiser est

xB


xA=0
 dt = 
xB


0
1+y2
−2gy
 dx

Pour se ramener au problème précédent, on change de notations, x devient un “temps virtuel” τ et y′=ẏ est la dérivée de y par rapport à ce temps virtuel, il faut minimiser

τB


0
 L(y,ẏ,τ) dτ,     L(y,ẏ,τ)=
1+ẏ2
−2gy
 

le lagrangien ne dépend pas explicitement de τ, donc le hamiltonient correspondant

H=ẏ 
∂ L
∂ẏ
  − L 

est conservé, donc indépendant de τ donc en revenant à la notation x pour l’abscisse on a

 H=
y′  
 ∂
 




1+y2
−2gy





 
∂ y
− 
1+y2
−2gy
 =
1
−2gy
 




y′ 
y
1+y2
 −
1+y2
 




 =
1
−2gy
 
1+y2
 

Après simplification, on obtient l’équation différentielle :

−2gH2y (1+y2) = 1

soit

y2=
−2c
y
−1,    c=gH2   

Comme y≤ 0 et y′(0)=0, on en déduit que y′ est négatif :

dy = 
−2c
y
−1
  dx

Il s’agit d’une équation à variables séparables. En posant y=−c+cY, x=cX on obtient une équation indépendante de c :

dY=
2
1−Y
−1
  dX=
1+Y
1−Y
 dX

Donc

1−Y
1+Y
 dY = dX 

puis (pour trouver la constante d’intégration, on observe que Y=1 pour X=0) :

1−Y2
+arccos(Y)=X

Si on pose Y=cos(t), t ∈ [0,π], on a X=t − sin(t), la solution est donc une cycloïde renversée. On peut aussi le vérifier directement en remplaçant dans l’équation x et y par les équations paramétriques de la cycloïde renversée

x=c(t−sin(t)),  y=−c+ccos(t),  t ∈ [0,π]

on trouve pour le membre de droite :

−2c
y
−1
  dx
=
c 
2
1−cos(t)
−1
  (1−cos(t))  dt
 =
c 
1+cos(t)
1−cos(t)
   (1−cos(t))  dt 
 =
c 
1−cos(t)2
  dt
 =c sin(t)  dt 
 =dy

Pour aller plus loin :

6.1  Résumé équations différentielles et calcul variationnel

6.1.1  Équations et systèmes différentiels

6.1.2  Comportement asymptotique des solutions

6.1.3  Calcul variationnel


1
on notant X(t) et Y(t) les deux fonctions pour pouvoir utiliser x et y dans droite
2
Si r′≠ 0, cela se lit sur l’expression de la vitesse qui est non nulle, mais c’est encore vrai si r(θ)=r′(θ)=0 et r non identiquement nul, pour le voir, on observe que M(θ)M(θ+h)=OM(θ+h) a pour direction er(θ+h) qui tend vers er(θ) lorsque h tend vers 0.
3
En toute rigueur il faut ajouter deux autres cas ; l’ensemble vide et les paires éventuellement confondues de droites
4
Si d=e=0, le polynôme est homogène et se factorise, on obtient l’origine ou la réunion de deux droites
5
Cette méthode fonctionne pour les coniques, mais ne fonctionne malheureusement pas pour n’importe quelle équation cartésienne
6
sinon, on aura deux droites parce que le polynôme P(x,y) se factorise en produit de deux facteurs de degré 1 dont dx+ey
7
On peut aussi voir ce discriminant comme le déterminant de la matrice de la forme quadratique associée
8
en négligeant la masse de la planète devant celle du Soleil
9
qui tire son nom de la trajectoire d’un point fixé à un cercle roulant sans glisser sur une droite, par exemple l’extrémité d’un rayon sur une roue de vélo.
10
L’enveloppe d’une famille de droites est une courbe dont l’ensemble des tangentes est la famille de droite
11
Ce type de courbe, appelé spirale d’Euler ou de Fresnel ou clothoïde, est utilisée pour faire des raccordements de chemin de fer (ou de route) entre une portion rectiligne, où l’accélération normale est nulle, et un arc de cercle, où l’accélération normale est constante, en effet si Rs=b2 est constant alors l’accélération normale varie linéairement en fonction de l’abscisse curviligne donc du temps à vitesse constante. C’est plus agréable pour les passagers qui passent d’une accélération nulle à une accélération constante progressivement, mais aussi pour créer une pente progressive latérale sur les rails pour compenser la force centrifuge par la gravité et éviter une usure prématurée du rail.
12
Géométriquement, dx [resp. dy] est la forme linéaire constante (i.e. indépendante du point du plan choisi) qui a tout vecteur de ℝ2 associe sa première [resp. deuxième] coordonnée :
dx(v1,v2)=v1,    dy(v1,v2)=v2 
13
Pour être complet, on suppose de plus que cette application linéaire qui dépend du point du plan en dépend de manière au moins continue et presque toujours de manière continument différentiable
14
En toute rigueur, il faut prouver que la solution maximale est bien définie sur ℝ tout entier. Soit ]tm,tM[ l’intervalle maximal de définition de la solution. Si tM ≠ +∞, alors en intégrant y′ qui est borné sur [t0,tM[ on obtient une valeur finie pour la limite en tM de y(t), on peut alors prolonger y(t) autour de tM en appliquant le théorème de Cauchy-Lipschitz en t=tM, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de maximalité. Donc tM=+∞ et de même tm=−∞
15
Cela vient du fait que les puissances de A forment une famille d’un espace vectoriel de dimension finie n2, donc la famille est liée à partir de n2+1 éléments, en fait on peut montrer que c’est le cas si on considère I,A,...,An.
16
On peut prouver l’existence globale de la solution exactement comme pour l’exemple y′=y(1−y) de la section 5.2
17
Le signe moins vient de la convention adoptée en physique pour le lien entre potentiel et force
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