Calcul de primitives (niveau début université)

1. Calculer
   $$\int_{1}^{2}$$$${\frac{{1}}{{x^3+1}}}$$dx
   Réponse :
   On tape :
   int(1/(x^3+1),x,1,2)
   On obtient apres simplification (en utilisant normal}
   (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)
   Pour vérifier, on tape :
   partfrac(1/(1+t^3))
   On obtient :
   1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
   Puis on intègre chaque terme séparément...

2. Décomposer, sur $\mathbb {R}$, en éléments simples : $${\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$$.
   Calculer $$\int$$$${\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$$dt  et $$\int$$$${\frac{{\sin(x)^2}}{{\cos(2x)}}}$$dx
   Réponse :
   On tape :
   partfrac(t^2/(1-t^4))
   On obtient :
   -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
   On tape :
   int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
   ou on tape :
   int(t^2/(1-t^4),t)
   On obtient :
   1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))
   On tape :
   normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
   On obtient :
   -1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))- 1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))
   Ou on tape en linéarisant avant d'intégrer :
   normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))
   On obtient :
   1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x
   Ou encore on veut faire le changement de variable tan(x) = t et on tape pour avoir l'expression en fonction de la tangente, avant d'intégrer :
   trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
   On obtient :
   (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
   On fait le changement de variable x =atan(t) on tape :
   subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
   ou on tape
   subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
   On obtient
   integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
   Soit, le remplacant t par tan(x) :
   1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))
3. Calculer $$\int$$$${\frac{{1}}{{t^2}}}$$dt,  $$\int$$$${\frac{{1}}{{t(t^2+1)}}}$$dt,  et $$\int$$$${\frac{{t^2-t+1}}{{t^4+t^2}}}$$dt
   Réponse :
   On tape :
   int(1/t^2,t)
   On obtient :
   1/(-t)
   On tape :
   int(1/(t*(t^2+1)),t)
   On obtient :
   1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)
   On tape :
   int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)
   On obtient :
   1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)