Démonstration du phénomène de Gibbs

On cherche x_n et la limite de y_n = S(x_n, n) quand n tend vers + $\infty$ de façon théorique.

1. On va déterminer la valeur de x_n
   Pour avoir un calcul de la valeur approchée de x_n, on sait que :
   S'(x, n) = s(x, n) = $$\sum_{{k=1}}^{n}$$ (- 1)^kcos(kx) = $$\sum_{{k=1}}^{n}$$cos(k(x + $$\pi$$) =
   $${\frac{{(\cos(x)-(-1)^n\cos(n*x)-(-1)^n\cos(x*(n+1))+1)}}{{(2*\cos(x)-2)}}}$$ =
   $${\frac{{\sin((2n+1)(x+\pi)/2)-\sin((x+\pi)/2)}}{{2\sin((x+\pi)/2)}}}$$
   Donc
   • pour n = 1, on tape :
     fsolve(2*cos(x)+cos(2*x)+1=0,x,1)
     On obtient : 1.57079632679 donc x₁ = 1.57079632679
   • pour n = 2, on tape :
     fsolve(cos(x)-cos(2*x)-cos(3*x)+1=0,x,2)
     On obtient : 2.09439510239 donc x₂ = 2.09439510239
   • pour n = 3, on tape :
     fsolve(cos(x)+cos(3*x)+cos(4*x)+1=0,x,2)
     On obtient : 2.35619449019 donc x₃ = 2.35619449019
   • pour n = 4, on tape :
     fsolve(cos(x)-cos(4*x)-cos(5*x)+1=0,x,2.5)
     On obtient : 2.51327412287 donc x₄ = 2.51327412287
   • pour n = 5, on tape :
     fsolve(cos(x)+cos(5*x)+cos(6*x)+1=0,x,2.5)
     On obtient : 2.61799387799 donc x₅ = 2.61799387799
   • pour n = 20, on tape :
     fsolve(cos(x)-cos(20*x)-cos(21*x)+1=0,x,3)
     On obtient : 2.99199300342 donc x₂₀ = 2.99199300342
   • pour n = 40, on tape :
     fsolve(cos(x)-cos(40*x)-cos(41*x)+1=0,x,3.04)
     On obtient : 3.06496844253 donc x₄₀ = 3.06496844253
   Mais cela ne donne que des valeurs approchées....

   Pour avoir un calcul de la valeur exacte de x_n, il faut résoudre en x :

   sin((2n + 1)(x + $$\pi$$)/2) - sin((x + $$\pi$$)/2) = 0
   ou
   cos((n + 1)(x + $$\pi$$)/2)*sin(n(x + $$\pi$$)/2) = 0
   ce qui donne :
   (n + 1)(x + $\pi$)/2) = $\pi$/2 mod$\pi$ soit
   (n + 1)x = - n$\pi$ mod 2$\pi$ donc
   x = $${\frac{{(2k-n)\pi}}{{n+1}}}$$ avec n/2 < k < (2n + 1)/2 pour avoir x $\in$ ]0;$\pi$[
   et
   n(x + $\pi$)/2 = k$\pi$ soit
   nx = (2k - n)$\pi$ donc
   x = $${\frac{{(2k-n)\pi}}{{n}}}$$ avec n/2 < k < n pour avoir x $\in$ ]0;$\pi$[
   Il y a donc, pour x $\in$ ]0;$\pi$[, un nombre impair d'extremum qui ont pour abscisse :
   • si n = 1 x₁ = $\pi$/2 $\simeq$ 1.57079632679
   • si n = 2 x₂ = 2$\pi$/3 $\simeq$ 2.09439510239
   • si n = 2p ou si n = 2p + 1 (pour p > 2)
     $${\frac{{(p+1)\pi}}{{n+1}}}$$,$${\frac{{(p+1)\pi}}{{n}}}$$,$${\frac{{(p+2)\pi}}{{n+1}}}$$,$${\frac{{(p+2)\pi}}{{n}}}$$,....$${\frac{{(n-1)\pi}}{{n+1}}}$$,$${\frac{{(n-1)\pi}}{{n}}}$$,$${\frac{{n\pi}}{{n+1}}}$$
   On commence par un maximum et donc on finit aussi par un maximum. Le dernier maximum a pour abscisse :
   x_n = $${\frac{{n\pi}}{{n+1}}}$$
   On vérifie les résultats précédent et on tape :
   evalf(k*pi/(k+1))$(k=1..5)
   On obtient :
   1.57079632679,2.09439510239,
   2.35619449019,2.51327412287,2.61799387799
   Les maximum ont pour abscisse $${\frac{{(2k-n)\pi}}{{n+1}}}$$ pour k = p + 1...n avec p = floor(n/2)
   Pour n = 20 cela donne x₂₀ = $\pi$*20/21 $\simeq$ 2.99199300342
   Pour n = 40 cela donne x₄₀ = $\pi$*40/41 $\simeq$ 3.06496844253

2. Déterminons la valeur de y_n = S(x_n, n) = $$\sum_{{k=1}}^{n}$$ - (- 1)^ksin(kn$$\pi$$/(n + 1))/k
   Par définition, on a :
   
   S(x, n) = $$\sum_{{k=1}}^{n}$$ (- 1)^k+1$${\frac{{\sin(kx)}}{{k}}}$$
   et
   y_n = S(x_n, n) = $$\sum_{{k=1}}^{n}$$ - (- 1)^k$${\frac{{\sin(\frac{kn\pi}{n+1})}}{{k}}}$$S
   On a montré que :
   S'(x, n) = s(x + $$\pi$$, n) = $${\frac{{\sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}}{{2\sin(\frac{x+\pi}{2})}}}$$
   En intégrant cette égalité entre $\pi$ et x, puisque S($\pi$, n) = 0, on obtient :
   
   S(x, n) = $$\int_{\pi}^{x}$$($${\frac{{1}}{{2}}}$$ - $${\frac{{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}}{{2\sin(\frac{t+\pi}{2})}}}$$dt = $${\frac{{x-\pi}}{{2}}}$$ - $$\int_{\pi}^{x}$$$${\frac{{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}}{{2\sin(\frac{t+\pi}{2})}}}$$dt
   On fait le changement de variable t = $\pi$ - 2u :
   (t + $\pi$)/2 = $\pi$ - u et dt = - 2du et comme sin($\pi$ - u) = sin(u) et sin((2n + 1)($\pi$ - u)) = sin((2n + 1)u) on a :
   
   S(x, n) = $${\frac{{x-\pi}}{{2}}}$$ + $$\int_{0}^{{\frac{\pi-x}{2}}}$$$${\frac{{\sin((2n+1)u)}}{{\sin(u)}}}$$du
   Puisque x_n = $${\frac{{n\pi}}{{n+1}}}$$ on a :
   $${\frac{{x_n-\pi}}{{2}}}$$ = - $${\frac{{\pi}}{{2(n+1)}}}$$.
   Donc
   y_n = S(x_n, n) = - $${\frac{{\pi}}{{2(n+1)}}}$$ + $$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$$${\frac{{\sin((2n+1)u)}}{{\sin(u)}}}$$du

   Exercice
   Montrez que :

   $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$$$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$$${\frac{{\sin((2n+1)t)}}{{\sin(t)}}}$$dt = $$\int_{0}^{\pi}$$$${\frac{{\sin(t)}}{{t}}}$$dt
   Pour cela on utilisera la continuité de la fonction g définie sur [0;$\pi$[ par :
   g(0) = 0,
   g(x) = $${\frac{{1}}{{\sin(x)}}}$$ - $${\frac{{1}}{{x}}}$$ pour x $\in$ ]0;$\pi$[
   et on montrera que
   $$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$sin((2n + 1)t)g(t)dt tend vers zéro quand n tend vers + $\infty$.
   

   Correction de l'exercice
   On tape en effet : limit(1/sin(x)-1/x,x,0)
   On obtient 0
   donc g est continue sur [0;$\pi$[.
   Donc il existe K tel que pour tout x $\in$ [0;$\pi$/2] | g(x)| < K.
   Puisque $${\frac{{\pi}}{{2n+2}}}$$ < $${\frac{{\pi}}{{2}}}$$ quand n $\in$ $\mathbb {N}$, on a :

   |$$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$sin((2n + 1)t)g(t)dt| < K$${\frac{{\pi}}{{2n+2}}}$$
   Donc
   $$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$sin((2n + 1)t)($${\frac{{1}}{{\sin(t)}}}$$ - $${\frac{{1}}{{t}}}$$)dt tend vers zéro quand n tend vers + $\infty$.
   On en déduit :
   $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$y_n = $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$$$\int_{0}^{{\frac{\pi}{2n+2}}}$$$${\frac{{\sin((2n+1)t)}}{{t}}}$$dt
   On fait le changement de variable v = (2n + 1)t donc dv/v = dt/t, donc
   
   $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$y_n = $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$$$\int_{0}^{{\frac{(2n+1)\pi}{2n+2}}}$$$${\frac{{\sin(v)}}{{v}}}$$dv = $$\int_{0}^{\pi}$$$${\frac{{\sin(v)}}{{v}}}$$dv = $$\alpha$$
   On tape :
   romberg(sin(t)/t,t,0,pi)
   On obtient :
   1.85193705198
   On tape :
   evalf(pi/2)
   On obtient :
   1.57079632679
   Donc
   $$\lim_{{n\rightarrow +\infty}}^{}$$y_n = $$\alpha$$ = $$\int_{0}^{\pi}$$$${\frac{{\sin(t)}}{{t}}}$$dt $$\simeq$$ 1.85193705198
   et il a une bosse puisque 1.57079632679<1.85193705198