L'intégrale d'une fraction rationnelle

1. Calculer :
   I = $$\int$$$${\frac{{t^2\ dt }}{{1-t^4}}}$$

2. En déduire :
   J = $$\int$$$${\frac{{\sin(x)^2\ dx }}{{\cos(2x)}}}$$

Avec Xcas les réponses sont immédiates.
On tape :
integrate(t^2/(1-t^4),t)
On obtient :
1/-2*atan(t)+1/4*log(abs(t+1))+1/-4*log(abs(t-1))
On tape :
I:=integrate(sin(x)^2/(cos(2*x)),x)
On obtient :
(x/(-2*2)+(log(abs((tan(x/2))^2-2*tan(x/2)-1)))/8+
(log(abs((tan(x/2))^2+2*tan(x/2)-1)))/-8)*2
On tape :
lncollect(I-x/2))
On obtient :
-(1/4*log(abs((tan(x/2))^2+2*tan(x/2)-1)))

Mais comment détailler ?

• Pour la question 1/, on décompose la fraction ratonnelle :
  $${\frac{{t^2\ dt }}{{1-t^4}}}$$ en posant T = t² :
  On tape :
  partfrac(T/(1-T^2))
  On obtient :
  1/(-2*(T+1))+1/(-2*(T-1))
  soit :
  1/-2*(t^2+1))+1/(-2*(t^2-1))
  On tape :
  partfrac(1/(-2*(t^2-1)))
  On obtient :
  1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))
  donc :
  t^2/(1-t^4)=1/(t^2)+1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))
  On intègre chaque morceau pour obtenir (K étant une constante arbitraire) :
  -1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K
  On a donc :
  I:=-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K
  

• Pour la question 2/, on transforme (sin(x)²/cos(2*x)).
  On tape :
  texpand(sin(x)^2/cos(2*x))
  On obtient :
  ((sin(x))^2)/(2*(cos(x))^2-1)
  On tape :
  trigtan(((sin(x))^2)/(2*(cos(x))^2-1))
  On obtient :
  (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
  On tape :
  subst(quote(integrate((-((tan(x))^2))/
  ((tan(x))^2-1),x)),x=atan(t))
  On obtient :
  integrate((-(t^2))/((t^2-1)*(1+t^2)),t)
  c'est à dire l'intégale calculer en 1/.
  On a donc :
  -x/2+1/4*ln(abs((tan(x)+1)/(1-tan(x))))+K
  J:=subst(I,t=tan(x))