Partie A

1/ a) La fonction f est définie sur $\mathbb {R}$ car 2 + e^{${\frac{}{}}$}x4 $\neq$ 0 pour tout x dans $\mathbb {R}$.
On a pour tout x dans $\mathbb {R}$, e^{${\frac{}{}}$}x4 = 1/e^{${\frac{}{}}$}-x4 donc :
f (x) = $${\frac{{3*e^\frac{x}{4}}}{{2+e^\frac{x}{4}}}}$$ = $${\frac{{3}}{{e^\frac{-x}{4}*(2+e^\frac{x}{4})}}}$$ = $${\frac{{3}}{{2e^\frac{-x}{4}+1}}}$$.
Ou encore on tape :
simplify(3*e^(x/4)/(2+e^(x/4))-3/(1+2*e^(-x/4)))
On obtient :
0

b) On tape :
limit(3/(1+2*e^(-x/4)),x=+infinity)
On obtient :
3
En effet quand x tend vers + $\infty$, exp(- x/4) tend vers 0, donc f (x) = ${\frac{{3}}{{2e^\frac{-x}{4}+1}}}$ tend vers 3.
On tape :
limit(3/(1+2*e^(-x/4)),x=-infinity)
On obtient :
0
En effet quand x tend vers - $\infty$, exp(- x/4) tend vers + $\infty$, donc f (x) = ${\frac{{3}}{{2e^\frac{-x}{4}+1}}}$ tend vers 0.

c) On tape :
f(x):=3/(1+2*e^(-x/4))
simplify(diff(f(x)))
On obtient :
(3*exp(-(x/4)))/(8*(exp(-(x/4)))^2+8*exp(-(x/4))+2)
On tape :
factor(ans())
On obtient :
(3*exp(-(x/4)))/(2*(2*exp(-(x/4))+1)^2)
La dérivée étant toujours positive la fonction f est donc croissante de 0 à 3.