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Chapitre 18 Exemples de courbes en polaire

On donne ici les équations en polaire de différentes courbes.

18.1 La droite

r= 1/acos(θ)+bsin(θ)

18.2 Le cercle passant par O

r=acos(θ)+bsin(θ)

18.3 Conique

18.3.1 Conique de foyer O

r=p/1+ecos(θ)

18.3.2 Conique générale

r=1/a+bcos(θ)+csin(θ)

18.4 Conchoïde de courbes

18.4.1 Définition

On appelle conchoïde d’une courbe (C) par rapport à un point O le lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit la courbe C et que a a une valeur constante.
Si l’équation polaire de C est r=f(θ), celle de (Γ) est : r=f(θ)± a.
Remarque
Si f(θ−π)=−f(θ) alors le double signe est inutile. En effet un point K de coordonnées polaires r,θ est aussi et le point K₁ de coordonnées polaires −r,θ+π.
Si on considère :
le point M de coordonnées polaires :
f(θ)+a,θ et
θ₁=θ+π On a :
f(θ)+a=f(θ₁−π)+a=−f(θ₁)+a=−(f(θ₁)−a) le point M de coordonnées polaires f(θ)+a,θ est donc identique au point de coordonnées polaires :
−(f(θ₁)−a,θ) qui est le point N de coordonnées polaires f(θ₁)−a,θ₁.

18.4.2 Conchoïde de droite ou conchoïde de Nicomède

Soient une droite d, un point O non situé sur d et un nombre réel a.
La conchoïde de Nicomède est le lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit la droite d et que a a une valeur constante.
Soit h la distance de O à la droite d.
La conchoïde de Nicomède a comme équation :

r=h/cos(θ)+a

Le double signe est inutile car cos(θ−π)=−cos(θ).
Avec Xcas
On tape :

O:=point(0,0);
d:=droite(x=3);
a:=element(1..5);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge)

On a choisit h=3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
h<a, h=a, h>a. On peut trouver l’équation cartésienne :
r=rh/x+a donc
r−rh/x=r(x−h)/x=a donc

(x²+y²)(x−h)²−a²x²=0

c’est donc une quartique. On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand P se déplace sur la droite d.
On ouvre un écran de géométrie 2D et on tape (on a choisit h=3 et a entre 1 et 5) pour faire une animation (ne pas oublier de mettre animate à 0.5 à l’aide du bouton cfg) :

O:=point(0,0);
d:=droite(x=3):;d;
supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge);
T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+
(a+3/cos(u))^2/(a*sin(u));
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.1));
animation(seq('P:=point(3+i*tan(u)*3)',u,-10,10,0.1));
animation(seq('M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10,0.1));
animation(seq('droite(y=T(a,u,x),affichage=vert)',u,-10,10,0.1));

On obtient :
La conchoïde de Nicomède (en rouge) :

On suppose maintenant que des rayons parallèles à l’axe des y se réfléchissent sur la deuxième nappe (lorsque −π/2<θ<π/2).
Pour avoir la trace des rayons réfléchis, on tape :

O:=point(0,0);
d:=droite(x=3):;d;
supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]);
plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge);
T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+
(a+3/cos(u))^2/(a*sin(u));
N:=unapply(equal2list(equation(perpendiculaire(
             M,droite(y=T(a,u,x)))))[1],[a,u,x]);
//N(a,u,x):=(a*sin(u)*cos(u)^2)/(3+a*cos(u)^3)*x+
//(9*tan(u)+3*a*sin(u))/(3+a*cos(u)^3);
supposons(u:=[1.2,(-pi)/2,pi/2,0.05]);
M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u));
dd:=symetrie(droite(y=N(a,u,x)),
    demi_droite(M,point(i*(3/cos(u)+a)*sin(u)))):;
trace(dd);

On obtient quand on fait bouger le curseur u pour avoir la trace des rayons réfléchis :

Les rayons réfléchis sur une conchoïde de Nicomède

18.4.3 Conchoïde de cercle

On construit ainsi le limaçon de Pascal.
Soit un cercle C de rayon R, un point O situé sur C et un nombre réel a. Le limaçon de Pascal est le lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit le cercle C et que a a une valeur constante.

Une conchoïde de cercle a comme équation :

r=2Rcos(θ)+a

Le double signe est inutile car cos(θ−π)=−cos(θ).
Avec Xcas
On tape :

O:=point(0,0);
C:=cercle(3,3);
a:=element(1..5);
plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge);

On a choisit R=3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
2R<a, 2R=a, 2R>a.
Lorsque 2R=a on a r=2R(cos(θ)+1)=a(cos(θ)+1) c’est donc une cardioïde.
On peut faire une animation et voir et les points M, N et la construction de la courbe quand P se déplace sur le cercle C.
On tape :

O:=point(0,0);
C:=cercle(3,3);
a:=element(1..5);
plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge);
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u=-10..10));
animation(seq('P:=point(6*cos(u)*exp(i*u))',u,-10,10));
animation(seq('M:=point((6*cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10));
animation(seq('N:=point((6*cos(u)-a)*exp(i*u))',u,-10,10));

18.5 Cissoïde droite et strophoïde droite

18.5.1 Cissoïde droite

Soient une droite d, un point O non situé sur d et H la projection orthogonale de O sur d. Soit h=OH la distance de O à la droite d et C le cercle de diamètre OH.
Soit P un point de d et N l’intersection de OP avec C. Lorsque P décrit la droite d, le lieu de M, obtenu en portant sur OP, OM=NP est une cissoïde droite.
Si O est l’origine, OH l’axe des x et t l’angle de OP avec Ox, on a :
P=point(h/cos(t)*exp(i*t)), N=point(h*cos(t)*exp(i*t)), OM=NP=h*exp(i*t)*(1/cos(t)−cos(t))=h*exp(i*t)*(1−cos(t)²)/cos(t)=x+i*y=r*exp(i*t) Donc :
x=h*sin(t)² et y=h*tan(t)*sin(t)² et
r=h*sin(t)²/cos(t)
donc l’équation polaire de la cissoïde droite est :
r=h*sin(t)²/cos(t).
Avec Xcas
On tape :

O:=point(0,0);
h:=element(0..6);
d:=droite(x=h);
cercle(0,point(h));
plotpolar(h*sin(t)^2/cos(t),t,affichage=rouge);

Cette courbe ressemble à un morceau de conchoïde de droite lorsque a<h.

Un exemple de TP : la cissoïde ou la duplication du cube
Dans un repère orthonormé O,i,j, on considère le point A de coordonnées (1,0), C le cercle de diamétre OA et la droite D d’équation x=1.
Soit un point N=1+ia sur D. La droite ON coupe C en P.
Trouver les équations cartésienne, paramétrique et polaire du lieu de M défini par :
OM=PN.

Avec Xcas, on tape dans un niveau de géométrie 2d :

C:=cercle(0,point(1))
D:=droite(x=1):;D
supposons(a=[-2.7,-5,5,0.1]);
N:=element(D,a)
d0:=droite(0,N)
P:=inter_unique(C,d0)
M:=point(N-P)
L:=lieu(M,N)
affichage(L,1)
equation(L)
parameq(L)

On obtient :
et comme équation :
-x^3-x*y^2+y^2
et comme équation paramétrique :
((i)*t^2)/(t+i)
Donc l’équation paramétrique est :
x(t)=t²/t²+1,y(t)=t³/t²+1
L’équation polaire est alors :
r= abs(((i)*t^2)/(t+i))
Donc l’équation polaire est :
r=t²/√t²+1
Remarque
On peut aussi mettre trace(M) comme derniére instruction pour voir comment M se déplace et qui donne en commentaire les coordonnées de M en fonction de a.
On tape :
equation(droite(A,M))
On obtient :
y=((-a^3)*x+a^3)
La duplication du cube
Comment construire un cube de volume égal au double du volume d’un cube donné de coté 1 ?
Il faut construire un segment de longueur 2^1/3.
On sait que cette construction est impossible avec la règle et le compas...mais la représentation graphique L de la cissoïde permet de résoudre ce problème :

Soit :

Q:=point(2*i)
B:=inter_unique(droite(A,Q),L,[A])
N:=inter_unique(droite(O,B),D,[O])
longueur(A,N)

On trouve pour longueur(A,N) :
2^(1/3)
en effet si a=y/x, et si M(a)∈ L (L=la cissoïde), la droite OM(a) coupe la droite D(x=1) en un point de coordonnées (1,a) et la droite AM(a) coupe la droite x=0 en un point Q de coordonnées (O,a³) (puisque AM(a) a comme équation y=((−a³)*x+a³)y).
Réciproquement, soient Q=(0,a) et B le point d’intersection de la droite AQ avec la cissoïde. La droite OB coupe D en P=(1,a^1/3).

18.5.2 Strophoïde droite

Soient une droite d, un point O non situé sur d et H la projection orthogonale de O sur d. Soit h=OH la distance de O à la droite d .
Soit P un point de d. Lorsque P décrit la droite d, le point M de la droite OP tel que PM=overlineHP est une strophoïde droite.
Si O est l’origine, OH l’axe des x, et t l’angle de OP avec Ox, on a:
P=point(h/cos(t)*exp(i*t))=point(h*(1+i*tan(t)))
|OP|=h/cos(t)
H=point(h)
PH=h*tan(t)
On a :
OM=OP+overlineHP
donc :
OM=OP+OP*cos(t)*tan(t))=OP*(1+sin(t))
Donc on a :
OM=h*(1+sin(t))/cos(t)*exp(i*t))=r*exp(i*t)
donc l’équation polaire de la strophoïde droite est :
r=h*(1+sin(t))/cos(t).
Cette courbe ressemble à un morceau de conchoïde de droite lorsque a>h. Remarque
Si on prend l’origine en H on a comme équation polaire:
r=−h*cos(2*t))/cos(t).
Avec Xcas
On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand P se déplace sur la droite d.
On tape :

O:=point(0,0);
h:=element(1..5);
d:=droite(x=h);
plotpolar(h*(1+sin(t))/cos(t),t,affichage=rouge);
animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('P:=point(h+i*tan(u)*h)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(h*(1+sin(u))/cos(u))*exp(i*u)',u,-10,10,0.5));

18.6 Ovale de Cassini

18.6.1 Définition

Étant donnés deux points F₁ et F₂ et un nombre réel k, le lieu de M de coordonnées (x;y) tel que MF₁*MF₂=k² est une ovale de Cassini.
Si O est le milieu de F1F2 et OF1=c, on a :
MF₁²=(x+c)²+y² et MF₂²=(x−c)²+y² donc
MF₁²*MF₂²=((x+c)²+y²)*((x−c)²+y²)=
c⁴−2*c²*x²+2*c²*y²+(x²+y²)² Alors le lieu de M a pour équation : (x²+y²)²−2*c²*(x²−y²)=k⁴−c⁴
ou encore
(x²+y²+c²)²=4*c²*x²+k⁴

18.6.2 Lemniscate de Bernoulli

Une lemniscate de Bernoulli est une ovale de Cassini avec :
k=OF1=c.
Posons a=c*√2.
Donc c’est le lieu de M tel que : MF1*MF2=OF1² et on a :
(x²+y²)²=a²*(x²−y²)
si x=r*cos(t) et y=r*sin(t) on a : r⁴=a²*r²*(cos(t)²−sin(t)²)=a²*r²*cos(2*t) donc
r²=a²*cos(2*t)
L’équation polaire d’une lemniscate de Bernouilli est :
r=± a*√cos(2*t)

Avec Xcas
On tape :

O:=point(0,0);
a:=element(1..5);
F1:=point(-a*sqrt(2)/2,0);
F2:=point(a*sqrt(2)/2,0);
plotpolar(a*sqrt(cos(2*t)),t=0..2*pi);

18.7 Limaçon de Pascal

L’équation cartésienne du limaçon de Pascal est :
(x²+y²−a*x)²=b²*(x²+y²)
L’équation polaire du limaçon de Pascal est :
r=a*cos(t)+b Avec Xcas
On tape :

a:=element(1..5);
b:=element(0..5);
plotpolar(a*cos(t)+b,t=-10..10);

18.8 Cardioïde

18.8.1 Équations d’une cardioïde

Soit la cardioïde de paramètre a ayant sont point de rebroussement en O et passant par le point A=2a. Son équation cartésienne est :
(x²+y²)²−2*a*x*(x²+y²)−a²*y²
Son équation paramétrique est :
x=a*(1+cos(t))*cos(t)=(2*cos(t)+cos(2t)+1)*a/2,
y=a*(1+cos(t))*sin(t)=(2*sin(t)+sin(2t)+1)*a/2. Son équation polaire est :
r=a*(1+cos(t)).

Une cardioïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle de rayon a/2 qui roule sans glisser sur un cercle fixe de même rayon et de centre a/2.
On tape :

assume(t=[1.570796325,0,2*pi]);
cercle(0,1);
cercle(2*exp(i*t),1);
A:=point(2*exp(i*t)-exp(2*i*t));
plotparam(affixe(A),t)
//lieu(A,t);

On obtient une cardioïde de paramètre a=2 ayant sont point de rebroussement en 1 et passant par le point A=−3.
On peut se reporter à la section 17.2.1 pour voir les animations sur les épicycloïdes.

18.8.2 La longueur d’une cardioïde

La cardioïde a pour équation polaire r=a(cos(t)+1). On peut calculer la longueur d’une cardioïde.
On a :
ds²=dr²+r²dt²
On tape :
normal(diff(a*(cos(t)+1),t)^2+(a*(cos(t)+1))^2)
On obtient :
a^2*cos(t)^2+2*a^2*cos(t)+a^2*sin(t)^2+a^2
On tape :
trigcos(halftan(trigcos(a^2*cos(t)^2+2*a^2*cos(t)+a^2*sin(t)^2+a^2)))
On obtient :
4*a^2*cos(t/2)^2
On tape :
2*int(2*a*cos(t/2),t,0,pi)
On obtient :
2*4*a
La longueur de la cardioïde d’équation r=a(cos(θ)+1) est donc 8*a.

18.9 La cycloïde

t:=element(0 .. 7,0);
cercle(t+i,1);
A:=point(t+i-i*exp(-(i)*t));
lieu(A,t);

18.10 La Néphroïde

t:=element(0 .. 7,0);
cercle(0,2);
cercle(3*exp(i*t),1);
A:=point(3*exp(i*t)-exp(3*i*t))
lieu(A,t);

18.11 L’hypocycloïde à 3 rebroussements

t:=element(0 .. 7,0);
cercle(0,3);
cercle(2exp(i*t),1);
A:=point(2*exp(i*t)+exp(-2*i*t));
lieu(A,t);

18.12 L’astroïde

t:=element(0 .. 7,0);
cercle(0,2);
cercle(3/2*exp(i*t),1/2);
A:=point(3/2*exp(i*t)+1/2*exp(-3*i*t));
lieu(A,t);

18.13 Les rosaces

Ce sont les courbes qui ont comme équation polaire r=a*sin(m*t) et l’origine est le centre de la rosace.
Lorsque m est rationnel ces courbes se referment et lorsque m est irrationnel ces courbes sont formées de boucles qui se déduisent l’une de l’autre par des rotations de centre O et d’angle π/m

18.13.1 Rosace à 4 boucles

Cette rosace a pour équation :
r=a*sin(2*t)
En coordonnées cartésienne son équation est :
(x²+y²)³=4a²x²y²

18.13.2 Une rosace à 10 boucles

Cette rosace a pour équation :
r=a*sin(5/2*t)

18.13.3 Une rosace à une infinité de boucles

On trace la rosace qui a pour équation :
r=a*sin(sqrt(2)*t)
Avec Xcas
On tape :

a:=element(1..5);
m:=element(1..5);
plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10);

18.14 Les courbes de Moritz

Ce sont les courbes en forme de fleurs qui ont comme équation polaire r=a*cos(m*t)+b et l’origine est le centre de la fleur.
Lorsque m est rationnel ces courbes se referment et lorsque m est irrationnel ces courbes sont formées de boucles qui se déduisent l’une de l’autre par des rotations de centre O et d’angle π/m

18.14.1 Les trèfles

Le trèfle simple a pour équation :
r=cos(3*t)
Le trèfle général a pour équation :
r=cos(3*t)+b
Essayez r=cos(3*t)+1/3

18.14.2 Les fleurs à 14 pétales

Les fleurs à 14 pétales ont par exemple pour équation :
r=cos(14*t), r=cos(7/2*t) ou r=cos(7/4*t) Et plus généralement, les fleurs d’équation :
r=cos(7/p*t)+b

18.14.3 Les différents cas

On essayera :
m=7,b=3
m=3/2,b=1/4
m=5/2,b=3
m=7/2,b=0
m=1/3,b=1/9
m=5/4,b=1/3
m=7/4,b=0
m=9/4,b=7/3
etc...
Avec Xcas
On tape :

a:=element(1..5);
b:=element(0..5);
m:=element(1..5);
plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10);

18.15 Les spirales

18.15.1 La spirale d’Archimède

L’équation polaire de la spirale d’Archimède est :
r=aθ.
On tape :
plotpolar(2*x,x,-5*pi-pi/3,5*pi+pi/3)
On obtient :

18.15.2 La spirale hyperbolique

L’équation polaire de la spirale hyperbolique est :
r=a/θ
C’est l’inverse de la spirale d’Archimède. Oy est un axe de symétrie.
Cette courbe admet comme asymptote y=a.
On tape pour a=2 :
plotpolar(2/x,x,-5*pi-pi/3,5*pi+pi/3)
On obtient :

18.15.3 La spirale parabolique

L’équation polaire de la spirale parabolique est :
(r−a)² =2apθ
r=a ± √(2apθ)
On tape pour a=2 et p=1/2:
plotpolar(2+sqrt(2*x),x,-5*pi-pi/3,5*pi+pi/3)
plotpolar(2-sqrt(2*x),x,-5*pi-pi/3,5*pi+pi/3)
On obtient :

18.15.4 La spirale logarithmique

L’équation polaire de la spirale logarithmique est :
r=aexp(mθ)
On tape pour a=1 et m=1/4 :
plotpolar(exp(x/4),x,-5*pi,5*pi/4)
On obtient :

18.15.5 La spirale de Galilée

L’équation polaire de la spirale de Galilée est :
r=a(1−mθ²)
On tape pour a=1 et m=0.015 :
plotpolar((1-0.015*x^2),x,-5*pi-pi/3,5*pi+pi/3)
On obtient :

18.15.6 La spirale de Fermat

L’équation polaire de la spirale de Fermat est :
r=± a√(θ)
On tape pour a=1 :
plotpolar(sqrt(x),x,0,5*pi+pi/3),
plotpolar(-sqrt(x),x,0,5*pi+pi/3)
On obtient :

18.15.7 La spirale de Poinsot

L’équation polaire de la spirale de Poinsot est :
r=a/cosh(mθ)
On tape pour a=2 et m=0.2 :
plotpolar(2/cosh(0.2*x),x,-5*pi-pi/2,5*pi+pi/2)
On obtient :

18.15.8 Lituus

L’équation polaire du lituus est :
r=a/sqrt(θ)
Si M est un point de cette courbe, et si m est le point de l’axe des x tel que Om=OM, alors l’aire du secteur circulaire OmM est constante. On tape pour a=2 :
M:=point(exp(i*pi/3)*2/sqrt(pi/3));
O:=point(0);m:=point(2/sqrt(pi/3));
affichage(arc(m,M,2*pi/3),2+ligne_tiret);
affichage(segment(O,M),2+ligne_tiret);
plotpolar(2/sqrt(x),x,-5*pi-pi/2,5*pi+pi/2)
On obtient :

18.15.9 Courbe du spiral

L’équation polaire de la courbe du spiral est :
r=a/(1+m*exp(k*θ)) où k>0.
On tape pour a=1, et m=1 et k=0.2 :
plotpolar(1/(1+exp(0.2*x)),x,-7*pi-pi/2,7*pi+pi/2)
On obtient :

18.15.10 La spirale r=θ+1/θ

Oy est un axe de symétrie.
Cette courbe admet comme asymptote y=1 Elle a une infinité de points doubles.
Elle a des points d’inflexion qui sont sur les droites d’angles 1 radian et -1 radian.
On tape :
plotpolar(x+1/x,x,-5*pi-4*pi/3,-0.01),
plotpolar(x+1/x,x,0.01,5*pi+4*pi/3)
On obtient :

18.15.11 La cochléoïde

L’équation polaire de la cochléoïde est :
r=asin(θ)/θ.
Si A:=point(A), le cercle de diamètre OA passe par les points où r est maximum.
On tape pour a=2 : plotpolar(2*sin(x)/x,x,x=0,-5*pi),
plotpolar(2*sin(x)/x,x=0,5*pi),
affichage(cercle(0,point(2)),2+ligne_tiret)
On obtient :

18.15.12 La spirale tractrice

C’est une courbe C telle quel le triangle OMA soit rectangle en O, lorsque O est l’origine, M est un point de C et A un point de la tangente en M à C tel que OA=a=cste.
C’est aussi l’inverse d’une développante de cercle et la podaire d’une spirale hyperbolique.
On a : OA²+OM²=a²=(mr)²+r² avec m=r/r′=pente de la tangente en M.
Donc la spirale tractrice a comme équation polaire :
r²+r⁴/r′²=a² (r′ désigne la dérivée de r par rapport à θ).
c’est à dire :
± θ=(√a²−r²/r− acos (r/a))
On tape :
plotparam(r*exp(i*(sqrt(2^2-r^2)/r-acos(r/2))),r=-2..2,tstep=0.001);
plotparam(r*exp(-i*(sqrt(2^2-r^2)/r-acos(r/2))),r=-2..2,tstep=0.001)
On obtient :

18.15.13 La spirale de Cornu ou clothoïde

La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l’abscisse curviligne ou encore dont le rayon de courbure est inversement proportionnel à l’abscisse curviligne.

Elle est également appelée spirale de Cornu, en référence à Alfred Cornu, le physicien français qui l’a redécouverte. Plus rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux arcs, spirale d’Euler (Leonhard Euler en est le véritable codécouvreur et qui l’a complètement formulée suite aux travaux de Jacques Bernoulli sur les déformations d’une lamelle élastique), mais encore spirale de Fresnel (qui l’a redécouverte plus tard dans ses travaux sur les franges de diffraction de la lumière au travers d’une fente rectiligne, avant que sa formule soit finalement identifiée comme équivalente à la formule d’Euler), ou encore plus récemment spirale de transition d’un rail de Talbot (suite aux travaux cherchant à réduire les effets d’une montée brutale de la force centrifuge dans l’amorce d’un virage), une dénomination qui recouvre aussi son utilisation dans la conception des raccordements de virages routiers.
Concrètement, elle représente la trajectoire d’une automobile se déplaçant à vitesse stabilisée et dont on tourne le volant progressivement. C’est donc la trajectoire que l’on adopte pour le tracé des autoroutes et des voies ferrées. En pratique, on n’utilise cette courbe que pour assurer le raccordement progressif d’un alignement droit et d’un arc de cercle.
Pour les mêmes raisons, on utilise la clothoïde aux fins de courbes dans les tracés des chemins de fer parce qu’un véhicule suivant ce tracé à une vitesse constante subit une accélération angulaire continue mais pas constante, ce qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l’inconfort des passagers dans les voitures. On retrouve cette courbe dans les boucles verticales ou loopings des montagnes russes pour le confort des passagers, afin que l’accélération verticale subie soit continue.
Enfin, les sabots montés sur les pylones de téléphériques, et qui supportent le cable porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire circuler la cabine à sa vitesse maximale sur le pylone, sans incommoder les passagers.
Hors ces aspects cinématiques, la clothoïde intervient en sidérurgie pour aplanir ou cintrer les tôles et barres de grande épaisseur (au-delà de 30 mm). On limite ainsi le risque d’apparition de criques tout en ménageant le matériel. Typiquement, les outils concernés sont la coulée continue et les cintreuses.

Si en un point M de cette courbe d’abscisse curviligne s, R est le rayon de courbure, T le vecteur tangent de longueur 1 et N le vecteur normal de longueur 1 tel que le repère T,N soit direct, on a :

	▸
T

	▸
N

Si T fait avec Ox un angle ϕ(s), on a :
coordonnées de T : cos(ϕ(s)),sin(ϕ(s))
coordonnées de N : −sin(ϕ(s)),cos(ϕ(s))
Donc :

dϕ(s)

1/R est proportionnel à s donc il existe k tel que :

dϕ(s)

=ks=

ou encore :
dϕ(s)=ksds c’est à dire
ϕ(s)=ks²/2 si pour s=0 on suppose ϕ(s)=0
On peut aussi supposer k>0 i.e R>0 quitte à faire une symétrie par rapport à Ox, on pose donc k=2/a² et on a ϕ(s)=(s/a)².
Si le paramétrage de cette courbe est x(t)+iy(t), on a :
coordonnées de T :

cos(ϕ(s))=

x′(t)

√

x′(t)²+y′(t)²

, sin(ϕ(s))=

y′(t)

√

x′(t)²+y′(t)²

ou encore puisque ds²=(x′(t)²+y′(t)²)dt²:

cos(ϕ(s))ds=cos((s/a)²)=x′(t)dt sin(ϕ(s))ds=sin((s/a)²)=y′(t)dt

La courbe peut être définie paramètriquement par les équations suivantes :

x(t)=

∫

cos((s/a)²)ds, y(t)=

∫

sin((s/a)²)ds

ou en posant u=s/a on a ds=adu donc :

x(t)=a

∫

t/a

cos(u²)du, y(t)=a

∫

t/a

sin(u²)du

ou en modifiant le paramètre t

x(t)=a

∫

cos(u²)du, y(t)=a

∫

sin(u²)du

On peut également définir la clothoïde par une équation intrinsèque (équation de Bernoulli, résolue par Euler avec une intégrale curviligne) : puisque

ks=

2R · s = 2/k=b ou si on suppose R>0 2R · s =a²

où R représente le rayon de courbure local et s l’abscisse curviligne. On peut aussi l’écrire préférablement :

2s=bκ

où κ = 1/R, représente la courbure locale (signée dans le repère de Frenet ou non signée si b=a²), avec l’avantage que cette équation évite la singularité du point d’inflexion au centre de symétrie de la spirale (où le rayon de courbure est localement indéfini, tendant simultanément vers plus et moins l’infini, selon le côté d’approche de ce point d’inflexion, tandis que la courbure est nulle sur ce point d’inflexion), la courbure ne tendant vers l’infini qu’à l’approche des deux points asymptotiques autour desquels s’enroule la spirale.
Euler est également le premier à établir un développement en série des coordonnées paramétriques des points de la courbe (en fonction de l’abscisse curviligne) :
On sait que :

cos(u)=

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ

u²ⁿ

2n!

sin(u)=

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ

u²ⁿ⁺¹

2n+1!

donc :

⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

x(t)

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ · t⁴ⁿ⁺¹

(2n)! · (4n+1)

y(t)

+∞

∑

n=0

(−1)ⁿ · t⁴ⁿ⁺³

(2n+1)! · (4n+3)

Si on s’intéresse au comportement de la courbe lorsque l’abscisse curviligne tend vers l’infini, étant donné que la courbure croit linéairement avec cette abscisse, le rayon de courbure décroit en même temps de façon inversement proportionnelle.

Par exemple entre deux points sur la clothoïde séparés par une longueur d’arc Δ s, la courbure κ, s’accroit de Δ κ = 2 Δ s / a² puisque 2s=bκ=a²κ.

Par conséquent le rayon de courbure passe de R = 1/κ, à R+Δ R = 1/κ + Δ κ = 1/κ + 2 Δ s / a².

La différence de rayon de courbure (mesuré hors du point d’inflexion sur la même branche de la double spirale, par exemple sur la branche du premier cadran, de coordonnées positives) est alors :

Δ R =

κ + 2 Δ s / a²

−

= − 2 R²

Δ s

a² + 2 R Δ s

En résumé
Cette courbe a un rayon de courbure en un point M qui est inversement proportionnel à la longueur de l’arc OM.
Si a est une constante arbitraire, son équation paramétrique est :
x(t)=a∫₀^t cos(u²)du
y(t)=a∫₀^t sin(u²)du
On tape par exemple pour a=1:
plotparam(int(cos(u^2)+i*sin(u^2),u,0,t),t=-6..6)
On obtient :

On tape :
convert(series(cos(u^2),u,0,16),polynom)
On obtient :
1-u^4/2+u^8/24-u^12/720+u^16/40320
On tape :
int(1-u^4/2+u^8/24-u^12/720+u^16/40320,u,0,t)
On obtient :
t-t^5/10+t^9/216-t^13/9360+t^17/685440
On tape :
convert(series(sin(u^2),u,0,16),polynom)
On obtient :
u^2-u^6/6+u^10/120-u^14/5040
On tape :
int(u^2-u^6/6+u^10/120-u^14/5040,u,0,t)
On obtient :
t^3/3-t^7/42+t^11/1320-t^15/75600
On tape par exemple en utilisant le développement en série de x(t) et y(t) pour a:=1;
x(t):=sum((-1)^n*t^(4*n+1)/((2n)!*(4*n+1)),n=0..50);
y(t):=sum((-1)^n*t^(4*n+3)/((2n+1)!*(4*n+3)),n=0..50);
plotparam(x(t)+i*y(t),t=-5..5);
On obtient :
Avec Xcas et la tortue
On peut avoir une discrétisation de la courbe en pilotant la tortue dans l’écran de dessin tortue pour que la courbure soit proportionnelle à la distance parcourue par la tortue.
On tape dans léditeur de programme de Xcas :

clotho(ds,k,n):={
local s;
  s:=0;
  repeat 
    avance ds; 
    s:=s+ds; 
    tourne_gauche k*s;
  until s==n;
  s:=0;
  leve_crayon;
  position(100,100);
  cap 180;
  baisse_crayon;
  repeat 
    avance ds; 
    s:=s+ds; 
    tourne_gauche k*s;
  until s==n;
}:;

On tape par exemple dans un écran de dessin tortue (Alt+d) :

efface;
cache_tortue;
clotho(1,1,50);

On obtient :

Remarque
si on tape :

clotho0(ds,k,n):={
local s;
  s:=0;
  repeat 
    avance ds; 
    s:=s+ds; 
    tourne_gauche k*s;
  until s==n;
}:;
efface;
cache_tortue;
clotho0(1,1,720);

on obtient les 2 boucles de la courbe et une tortue qui est revenue à sa position de départ car :
efface; clotho0(1,1,360) fait revenir la tortue à sa position de départ mais avec un cap de 180.
On peut aussi écrire une procédure récursive :

clothor(s,ds,k,n):={
si s<n alors 
  avance ds;
  tourne_gauche(k*s);
  clothor(s+ds,ds,k,n);
  fsi;
}:; 
efface;
cache_tortue;
clothor(0,1,1,100);
leve_crayon;
position(100,100);
cap 180;
baisse_crayon;
clothor(0,1,1,100);

ou encore en allant en reculons :

clothor(s,ds,k,n):={
si s>-n alors 
  avance ds;
  tourne_gauche(k*s);
  clothor(s+ds,ds,k,n);
  fsi;
}:; 
efface;
cache_tortue;
clothor(0,-1,1,720);

18.16 Les courbes de Lissajous

Les courbes de Lissajous ont comme équation paramétrique :
x(t)=acos( t)
y(t)=bsin( t+φ)
Avec Xcas
On tape :

k:=element(0 .. 4);
m:=element(0 .. 4);
p:=element(0..pi/2);
plotparam(3*cos(k*t)+i*2*sin(m*t+p),t);

On peut voir les différentes courbes en faisant varier m et p.
En particulier k=1 et m=1 puis on fait varier p, k=2 et m=3 puis on fait varier p etc...

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