6.59.5  Décomposition LU : lu

lu a comme argument une matrice carrée A d’ordre n (numérique ou symbolique).
lu(A) renvoie une permutation p de 0..n−1, une matrice triangulaire inférieure L avec des 1 sur sa diagonale et une matrice triangulaire supérieure U.
Ces matrices sont telles que :

• P*A=L*U, où P est la matrice de permutation associée à p ( que l’on peut calculer avec P:=permu2mat(p)),
• l’équation A*x=B équivaut à :
  

  L*U*x=P*B=p(B)  where  p(B)=[bp(0),bp(1)..bp(n−1)],     B=[b0,b1..bn−1]

On peut aussi définir à partir de p la matrice de permutation P_n par :
P_n[i, p(i)]=1 et
P_n[i, j]=0 si j ≠ p(i).
C’est la matrice obtenue en permutant, selon la permutation p, les lignes de la matrice unité.
On peut utiliser la fonction permu2mat : permu2mat(p) renvoie la matrice P d’ordre n.
On tape :

On obtient :

On a, en effet, n=2 donc :

Vérification :
On tape :

On obtient:

Il faut noter que la permutation est différente lorsque les données sont exactes (le choix du pivot est plus simple). On tape :

On obtient :

On tape :

On obtient :