Matrice de Sylvester de deux polynômes : sylvester

6.29.18 Matrice de Sylvester de deux polynômes : sylvester

sylvester a comme arguments deux polynômes.
sylvester renvoie la matrice S de Sylvester des deux polynômes.
Pour deux polynômes A(x)=∑_i=0ⁱ⁼ⁿ a_ixⁱ et B(x)=∑_i=0^i=mb_ixⁱ, la matrice S de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom m+n dont les m=degree(B(x)) premières lignes sont composées à partir des coefficients de A(x) :

⎛
⎜
⎜
⎜
⎝

s₁₁=a_n	s₁₂=a_n−1	⋯	s_1(n+1)=a₀	0	⋯	0
s₂₁=0	s₂₂=a_n	⋯	s_2(n+1)=a₁	s_2(n+2)=a₀	⋯	0
⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋱	⋮
s_m1=0	s_m2=0	⋯	s_m(n+1)=a_m−1	s_m(n+2)=a_m−2	⋯	a₀

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

et les n=degree(A(x)) lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de B(x) :

⎛
⎜
⎜
⎝

s_(m+1)1=b_m	s_(m+1)2=b_m−1	⋯	s_(m+1)(m+1)=b₀	0	⋯	0
⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋱	⋮
s_(m+n)1=0	s_(m+n)2=0	⋯	s_(m+n)(m+1)=b_n−1	b_n−2	⋯	b₀

⎞
⎟
⎟
⎠

On tape :

sylvester(x^3-p*x+q,3*x^2-p,x)

On obtient :

[[1,0,-p,q,0],[0,1,0,-p,q],[3,0,-p,0,0], [0,3,0,-p,0],[0,0,3,0,-p]]

On tape :

det([[1,0,-p,q,0],[0,1,0,-p,q],[3,0,-p,0,0], [0,3,0,-p,0],[0,0,3,0,-p]])

On obtient :

-4*p^3--27*q^2