6.26.1  Les coefficients de Fourier : fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn

Si la fonction f est continue par morceaux sur ℝ, et est périodique de période T, alors aux points de continuité de f on a :

ou

où les coefficients a_n, b_n, n∈ N, (ou c_n, n ∈ Z) sont les coefficients de Fourier de f et se calculent avec les fonctions :
fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn.

fourier_an

fourier_an a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier a_n d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f est continue par morceaux fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie a_n=2/T∫_a^a+Tf(x)cos(2π nx /T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un entier en tapant assume(n,integer).
Exemples

• Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient a₀ :
  fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient a₁ :
  fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient a_n (n≠ 0 et n≠ 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
• Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x².
  On tape, pour avoir son coefficient a₀ :
  fourier_an(x^2,x,2,0,-1)
  On obtient :
  1/3
  On tape, pour avoir son coefficient a_n (n≠ 0) :
  assume(n,integer)
  fourier_an(x^2,x,2,n,-1)
  On obtient :
  4*(-1)^n/(pi^2*n^2)

fourier_bn

fourier_bn a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier b_n d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f est continue par morceaux fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie :
b_n=2/T∫_a^a+Tf(x)sin(2π nx/T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un entier en tapant assume(n,integer).
Exemples

• Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient b₁ :
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient b_n (n≠ 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
• Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x².
  On tape, pour avoir son coefficient b_n (n≠ 0) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(x^2,x,2,n,-1)
  On obtient :
  0
• Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x³.
  On tape, pour avoir son coefficient b₁ :
  fourier_bn(x^3,x,2,1,-1)
  On obtient :
  (2*pi^2-12)/pi^3
  On tape, pour avoir son coefficient b_n :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(x^3,x,2,n,-1)
  On obtient :
  (-2*n^2*pi^2*(-1)^n+12*(-1)^n)/(n^3*pi^3)

fourier_cn

fourier_cn a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier c_n d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f(x)=Xpr est continue par morceaux sur ℝ, fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie c_n=1/T∫_a^a+Tf(x)e^{−2iπ nx/T}dx
Exemples

• Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient c₀ :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient c₁ :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  (1-i)/2
  On tape, pour avoir son coefficient c₋₁ :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,-1,-pi)
  On obtient :
  (1+i)/2
  On tape, pour avoir son coefficient c_n (n≠ 0 et n≠ ± 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
• Déterminer les coefficients c_n de Fourier de la fonction f périodique de période 2 et définie sur [−1;1[ par f(x)=x².
  On tape, pour avoir c₀ :
  fourier_cn(x^2,x,2,0,-1)
  On obtient:
  1/3
  On tape, pour avoir c_n :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x^2,x,2,n,-1)
  On obtient:
  2*(-1)^n/(pi^2*n^2)
• Déterminer les coefficients c_n de Fourier de la fonction f périodique de période 2 et définie sur [0;2[ par f(x)=x².
  On tape, pour avoir c₀ :
  fourier_cn(x^2,x,2,0)
  On obtient:
  4/3
  On tape, pour avoir c_n :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x^2,x,2,n)
  On obtient:
  ((2*i)*pi*n+2)/(pi^2*n^2)
• Déterminer les coefficients c_n de Fourier de la fonction f périodique de période 2π, et définie sur [0;2π[ par f(x)=x².
  On tape :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x^2,x,2*pi,n)
  On obtient :
  ((2*i)*pi*n+2)/n^2
  Si on ne met pas assume(n,integer) on obtient une expression non simplifiée :
  ((2*i)*pi^2*n^2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
  (-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n^3)
  que l’on peut simplifier en remplacant exp((-i)*n*2*pi) par 1 :
  subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1)
  On obtient :
  ((2*i)*pi^2*n^2+2*pi*n+-i+i)/pi/n^3
  expression que l’on peut simplifier avec normal et on trouve finalement :
  ((2*i)*pi*n+2)/n^2
  Il est donc préférable d’écrire assume(n,integer).
  Donc si n ≠ 0 on a :

  cn=	2*i*n*π+2 n2

  Puis on tape :
  fourier_cn(x^2,x,2*pi,0)
  On obtient :
  4*pi^2/3
  Donc si n= 0 on a :

  c0=

  4.π2 3

Remarque :
Lorsque l’on ne veut plus considérer n comme un entier on doit taper :
purge(n).
Pour connaître les hypothéses faites sur une variable, par exemple n, on tape :
about(n)