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Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :
On tape :
limit(integrate(1/(x^
2),x,2,a),a,+(infinity))
On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)) :
1/2
En effet ∫2a 1/x2 dx=1/2−1/a
Donc ∫2a 1/x2 dx tend vers 1/2 quand a tend vers l’infini.
- Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :
On tape :
limit(integrate(x/(x^
2-1)+log((x+1)/(x-1)),x,2,a),
a,+(infinity))
On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
+(infinity)
En effet :
∫2a x/x2−1 dx=1/2(ln(a2−1)−ln(3)) et
∫2a ln(x+1/x−1) dx=ln(a+1)+ln(a−1)+a*ln(a+1/a−1)−3ln(3)
Donc quand a tend vers +∞ l’intégrale tend vers +∞.
- Déterminer la limite quand a tend vers 0 de :
limit(int(cos(x)/x,x,a,3a),a,0)
On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
ln(3)
Pour trouver cette limite on encadre cos(x)/x car on ne connait pas
la primitive de cos(x)/x.
On sait que :
1−2sin2x/2=cos(x)≤ 1 et
sin2x/2≤ x2/4 donc,
1−x2/2=cos(x)≤ 1 et
1/x−x/2≤ cos(x)/x≤ 1/x
Donc :
∫a3a(1/x−x/2) dx ≤ ∫a3acos(x)/x dx≤ ∫a3a1/x dx.
ln(3)−9a2/4+a2/4 ≤ ∫a3acos(x)/x dx≤ ln(3).
Donc ∫a3acos(x)/x dx tend vers ln(3) quand a tend vers 0.