6.21.7  Longueur d’un arc de courbe : arcLen

arcLen a soit 1 soit quatre paramètres.

• le paramètre est soit un cercle ou un arc de cercle, soit un polygone.
  On tape
  arcLen(cercle(0,1,0,pi/2))
  On obtient :
  pi/4
  On tape
  arcLen(hexagone(0,1))
  On obtient :
  6
• les 4 paramètres sont :une expression expr (resp une liste de 2 expressions [expr1,expr2]), le nom d’un paramètre et deux valeurs a et b de ce paramètre.
  arcLen calcule la longueur de l’arc de courbe définie par l’équation y=f(x)=expr (resp par x=expr1,y=expr2) pour les valeurs du paramètre comprises entre a et b.
  On a donc arcLen(f(x),x,a,b)= :
  integrate(sqrt(diff(f(x),x)^2+1),x,a,b)
  ou
  integrate(sqrt(diff(x(t),t)^2+diff(y(t),t)^2),t,a,b).
  

Exemples

• Calculer la longueur de l’arc de cercle AB (avec A=(0,0) et B=(0,1)) et d’angle au centre π/2.
  On tape
  arcLen(arc(0,1,pi/2))
  On obtient :
  sqrt(2)*pi/4
• Calculer le périmètre du triangle ABC (avec A=(0,0), B=(0,1) et C=(1,1)).
  On tape
  arcLen(triangle(0,1,1+i))
  On obtient :
  sqrt(2)+2
  On tape On obtient :
• Calculer la longueur de l’arc de parabole y=x² pour x allant de 0 à x=1.
  On tape
  arcLen(x^2,x,0,1)
  ou
  arcLen([t,t^2],t,0,1)
  On obtient :
  (sqrt(5))/2-ln(sqrt(5)-2)/4
• Calculer la longueur de l’arc de la courbe y=cosh(x) pour x allant de 0 à x=ln(2).
  On tape :
  arcLen(cosh(x),x,0,log(2))
  On obtient :
  3/4
• Calculer la longueur de l’arc de cercle x=cos(t),y=sin(t) pour t allant de 0 à t=2*π.
  On tape
  arcLen([cos(t),sin(t)],t,0,2*pi)
  On obtient :
  2*pi