\documentclass[a4paper,11pt]{book} %\textwidth 11,8 cm %\textheight 17 cm \textheight 23 cm \topmargin -10mm %\usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{eufrak} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{makeidx} \usepackage{times} %\usepackage{mathptmx} %Uncomment next line for pdflatex and use includegraphics with eps file % for latex2html don't use the option [width=\textwidth] % check that xfig files are exported magnif 100% \usepackage[ps2pdf, breaklinks=true, colorlinks=true, linkcolor=red, citecolor=green ]{hyperref} %HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page personnelle de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse}{Bernard Parisse}.} %HEVEA\htmlhead{Retour \`a la page personnelle de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse}{Bernard Parisse}.} \usepackage{pst-plot} \usepackage{graphicx} %\def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} %\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \title{Exercices divers et traduction pour\\ {\tt Xcas}} \makeindex \author{Ren\'ee De Graeve} \begin{document} \newcommand{\asinh}{\,\,\mbox{asinh\,}} \newcommand{\acosh}{\,\,\mbox{acosh\,}} \newcommand{\atanh}{\,\,\mbox{atanh\,}} \newcommand{\acos}{\,\,\mbox{acos\,}} \newcommand{\asin}{\,\,\mbox{asin\,}} \maketitle \chapter{Fonctions et expressions en seconde} {\bf Objectifs} S'entrainer \`a lire, \'ecrire, interpr\^eter et simplifier des expressions.\\ Faire la distinction entre expression et fonction. \section{Les expressions} Une expression est une suite de termes s\'epar\'es par un signe d'op\'eration. Un terme est un nombre ou un nom de variable ou un produit ou une parenth\'ese contenant une expression.\\ {\bf Convention} La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.\\ Le signe $*$ est quelqufois omis dans l'\'ecriture, par exemple on \'ecrit : $2x$ au lieu de $2*x$. \subsection{L'\'enonc\'e} Voici 6 expressions form\'ees \`a partir de $T=1-x*2+x$ en rajoutant des parenth\`eses:\\ $$A=(1-x)*2+x$$ $$B=1-(x*2)+x$$ $$C=1-x*(2+x)$$ $$D=(1-x*2)+x$$ $$F=1-(x*2+x)$$ $$G=(1-x)*(2+x)$$ 1/ Y-a-t-il une (ou des) expression(s) \'egale \`a $T$ ?\\ Si oui, pourquoi ?\\ 2/ Calculer les valeurs de ces expressions pour $x=1$ et pour $x=-1$.\\ 3/ Parmi les expressions $A,B,C,D,F,G$ :\\ - Lesquelles sont une somme de 2 termes ?\\ - Lesquelles sont une diff\'erence de 2 termes ? \\ - Lesquelles sont une somme alg\'ebrique de 3 termes ?\\ - Lesquelles sont un produit de 2 termes ?\\ - Lesquelles sont \'egales ?\\ 4/ Simplifier les expressions $A,B,C,D,F,G$.\\ 5/ \'Ecrire toutes les expressions form\'ees \`a partir de $S=1+x/2*x$ en rajoutant des parenth\`eses. \subsection{V\'erifions avec {\tt Xcas}} On tape :\\ {\tt T:=1-x*2+x}\\ {\tt A:=(1-x)*2+x}\\ {\tt B:=1-(x*2)+x}\\ {\tt C:=1-x*(2+x)}\\ {\tt D:=(1-x*2)+x}\\ {\tt F:=1-(x*2+x)}\\ {\tt G:=(1-x)*(2+x)}\\ Puis on tape pour connaitre les expressions \'egales \`a {\tt T} :\\ {\tt A==T}, {\tt B==T}, etc...\\ On trouve que la r\'eponse de {\tt A==T} est {\tt 0} ce qui veut dire que l'expression {\tt A} est diff\'erente de {\tt T}.\\ On trouve que la r\'eponse de {\tt B==T} est {\tt 1} ce qui veut dire que l'expression {\tt B} est identique \`a {\tt T} etc... \section{Les fonctions} Une fonction r\`eelle $f$ d\'efinie sur $I$ partie de $\mathbb R$ est une application qui \`a tout nombre de $x$ de $I$ fait correspondre une expression $f(x)$. La valeur de la fonction en un point $x$ est donc donn\'ee par une expression.\\ {\bf Exemple avec {\tt Xcas}} Je tape :\\ {\tt expr:=3*x+2}\\ je d\'efinis ainsi l'expression {\tt expr}\\ Je tape :\\ {\tt f(x):=3*x+2}\\ je d\'efinis ainsi la fonction {\tt f}\\ Je tape :\\ {\tt subst(expr,x=1)} et j'obtiens 5\\ Je tape :\\ {\tt f(1)} et j'obtiens 5\\ Je tape :\\ {\tt plotfunc(3*x+2)} ou,\\ {\tt plotfunc(expr)} ou,\\ {\tt plotfunc(f(x))}\\ j'obtiens un seul graphe qui est le graphe de la fonction {\tt f} \subsection{L'\'enonc\'e} \noindent1/ D\'efinir 6 fonctions ayant pour valeurs respectives les expressions $A,B,C,D,F,G$.\\ 2/ Tracer le graphe de ces fonctions et observer sur un m\^eme graphique.\\ 3/ Parmi ces graphes il y a des droites et des paraboles. Retrouver le graphe de chaque fonction. \subsection{V\'erifions avec {\tt Xcas}} On tape pour d\'efinir les 6 fonctions :\\ {\tt a(x):=(1-x)*2+x}\\ {\tt b(x):=1-(x*2)+x}\\ {\tt c(x):=1-x*(2+x)}\\ {\tt d(x):=(1-x*2)+x}\\ {\tt f(x):=1-(x*2+x)}\\ {\tt g(x):=(1-x)*(2+x)}\\ Puis on tape pour visualiser les graphes :\\ {\tt plotfunc([a(x),b(x),c(x),d(x),f(x),g(x)])} On obtient que 5 courbes de couleurs diff\'erentes.\\ On peut taper progressivement :\\ {\tt plotfunc([a(x)])}, {\tt plotfunc([a(x),b(x)])} etc...\\ On voit ainsi que : \begin{itemize} \item le graphe de {\tt a} est la droite noire, \item le graphe de {\tt b} est une droite rouge, \item le graphe de {\tt c} est la parabole verte, \item le graphe de {\tt d} est la droite jaune qui se supperpose \`a la droite rouge, \item le graphe de {\tt f} est la droite bleue et, \item le graphe de {\tt g} est la parabole verte. \end{itemize} \chapter{Arithm\'etique en terminale} \section{\'Enonc\'e sur la partie enti\`ere} Montrer que la partie enti\`ere de $a=(3+\sqrt 5)^n$ est un entier impair quelquesoit l'entier $n$ dans $\mathbb N$. \subsection{Cherchons avec {\tt Xcas}} On peut faire des essais dans le tableur.\\ Dans A0 on met 1\\ Dans A1 on met =A0*(3+sqrt(5))\\ Dans B0 on met =floor(A0)\\ Dans B1 on met =floor(B1)\\ Puis on remplit vers le bas.\\ Dans cet exercice il faut penser \`a associer \`a $(3+\sqrt 5)^n$ sa quantit\'e conjugu\'ee $(3-\sqrt 5)^n$.\\ Dans C0 on met 1\\ Dans C1 on met =C0*(3-sqrt(5))\\ Dans D0 on met =floor(A0+C0)\\ Dans D1 on met =C0*(3-sqrt(5))\\ Puis on remplit vers le bas. \subsection{La d\'emonstration} On remarque que :\\ $b=(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair (d'apr\`es la formule du bin\^ome) et que $0<(3-\sqrt 5)^n<1$.\\ On a donc $a50$.\\ Essayons $p=4,q=2$, on a $4(p+1)(q+1)=60>50$ et $m=2^4*3^2*5*7=5040$.\\ Donc $m=$ r\'epond \`a la question. \section{\'Enonc\'es sur l'identit\'e de B\'ezout} \subsection{L'\'enonc\'e 1} Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour obtenir un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ? {\bf R\'eponse niveau primaire}\\ On peut faire une multiplication \`a trous : $$49*.........=..999999999$$ On trouve : $$49*693877551=33999999999$$ {\bf R\'eponse niveau coll\`ege}\\ On a $9999999999=10^9-1$ et le r\'esultat de la multiplication doit \^etre de la forme $n*10^9+10^9-1$ avec $0\leq n<49$ (ou de la forme $p*10^9-1)$ avec $0< p \leq 49$).\\ On utilise le tableur en cherchant $n$ pour que : $n*10^9+10^9-1$ soit divisible par 49.\\ On utilisera les commandes {\tt irem(a,b)} et {\tt iquo(a,b)} qui renvoient respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de {\tt a} par {\tt b}.\\ Pour cela on met dans la premi\`ere colonne les nombres de 0 \`a 48, puis dans la deuxi\`eme colonne les nombres $n*10^9+10^9-1$ pour $n$ de 0 \`a 48. Dans la troisi\`eme colonne on calcule le reste de la division de la deuxi\`eme colonne par 49 et on trouve que pour $n=33$ ce reste est nul. Il reste \`a calculer {\tt iquo(33*10\verb|^|9+10\verb|^|9-1,49)} et on trouve : $$693877551$$ Mais cette m\'ethode est tr\`es couteuse ! On peut aller un peu plus vite (surtout si on veut faire les calculs \`a la main en remarquant que $10=3 \bmod 7$ et que $100=2 \bmod 49$ donc :\\ $10^3=-1 \bmod 7$\\ $10^6=1 \bmod 7$\\ $10^9=-1 \bmod 7$\\ $10^8=2^4=16 \bmod 49$\ $10^9=13 \bmod 49$\\ $13*-7=7 \bmod 49$ On cherche $a$ tel que $a*10^9=49*k+1=7*p+1$.\\ donc $-a=1 \bmod 7$ et $13*a=1 \bmod 49$\\ Si $a=48$ on a $13*a=-13=36 \bmod 49$\\ Si $a=41$ on a $13*a=13*-1+13*-7=-13+7=-6 \bmod 49$\\ Si $a=34$ on a $13*a=13*-1+13*-7+13*-7=1 \bmod 49$\\ Donc $34*10^9=1 \bmod 49$\\ Il reste \`a calculer {\tt iquo(34*10\verb|^|9-1,49)} et on trouve : $$693877551$$ {\bf R\'eponse niveau TS}\\ On a : $999999999+1=10^9$.\\ On cherche $p$ pour avoir : $p*49=a*10^9-1$ c'est \`a dire $1=a*10^9-p*49$. Avec {\tt Xcas} on tape :\\ {\tt bezout\_entiers(49,10\verb|^|9)}\\ On obtient :\\ {\tt [306122449,-15,1]}\\ Donc :\\ $49*306122449-15*10^9=1$ et puisque $49*10^9-49*10^9=0$, on a :\\ $49*(10^9-306122449)+(15-49)*10^9=-1$.\\ Puisque $10^9-306122449=693877551$ et $(49-15)=34$, on a : $$49*693877551=34*10^9-1=33999999999$$ Pour faire les calculs \`a la main on \'ecrit :\\ $10^9=13 \bmod 49$\\ donc on \'ecrit les 2 premi\`eres \'equations : $$0*13+1*49=49$$ $$1*13+0*49=13$$ puisque $49=3*13+10$ on soustrait 3 fois l'\'equation 2 \`a l'\'equation 1 et on obtient l'\'equation 3 : $$-3*13+1*49=10$$ puisque $13=1*10+3$ on soustrait l'\'equation 3 \`a l'\'equation 2 et on obtient l'\'equation 4 : $$4*13-1*49=3$$ puisque $10=3*3+1$ on soustrait 3 fois l'\'equation 4 \`a l'\'equation 3 et on obtient l'idendit\'e de B\'ezout : $$-15*13+4*49=1$$ On a $-15=34 \bmod 49$ et $10^9=13 \bmod 49$ donc $34*10^9-1$ est divisible par 49.\\ Il reste \`a calculer {\tt iquo(34*10\verb|^|9-1,49)} et on trouve : $$693877551$$ \subsection{L'\'enonc\'e 2} R\'esoudre en nombres entiers : $$13x+5y=1$$ $$5x+13y=6$$ Avec {\tt Xcas} on tape :\\ {\tt bezout\_entiers(13,5)}\\ On obtient :\\ {\tt [2,-5,1]}\\ Donc $2*13-5*5=1$.\\ et puisque $k*13*5-k*13*5=0$, on a : $13*(2+5k)-(5+13k)*5=1$.\\ $13x+5y=1$ a donc comme solutions $x=2+5k,y=-5-13k$ avec $k$ dans $\Z$.\\ En multipliant l'\'egalit\'e $13*(2+5k)-(5+13k)*5=1$ par 6 on a :\\ $13*(12+30k)-(30+78k)*5=6$\\ $5x+13y=6$ a donc comme solutions $x=-30-78k,y=12+30k$ avec $k$ dans $\Z$. \section{\'Enonc\'es sur des nombres de $\Z/p\Z$} \subsection{L'\'enonc\'e 1} Trouver les 2 derniers chiffres de $19969^19969$. Ici, on est s\^ur que le dernier chiffre est 9, puisque 19969 est un nombre impair.\\ On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de $69^n$.\\ Cela nous montre que $69^{10k}=1$ et que $69^{10k-1}=29$.\\ Donc les 2 derniers chiffres de $19969^19969$ sont 29. On peut aussi taper directement pour v\'erifier :\\ {\tt irem(19969\verb|^|19969,100)} \subsection{L'\'enonc\'e 2} Trouver les 2 derniers chiffres de $19996^19996$. Ici, on est s\^ur que le dernier chiffre est 6.\\ On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de $96^n$.\\ Cela nous montre que $96^{5k+1}=96$.\\ Donc les 2 derniers chiffres de $19996^19996$ sont 96. On peut aussi taper directement pour v\'erifier :\\ {\tt irem(19996\verb|^|19996,100)} \chapter{G\'eom\'etrie plane seconde et terminale} \section{Un probl\`eme de partage} \subsection{Le probl\`eme} Un p\`ere poss\`ede un terrain triangulaire. Il veut forer un puits \`a l'int\'erieur de son terrain, de façon qu'\'a sa mort chacun de ses 3 fils poss\`ede un morceau triangulaire de m\^eme surface ayant acc\`es au puits. Soit $ABC$ le terrain initial et $P$ l'emplacement du puits.\\ Chaque fils aura comme morceau $ABP$ ou $APC$ ou $BCP$ et ces morceaux doivent avoir m\^eme aire qui est le tiers de l'aire de $ABC$.\\ Donc la hauteur de $ABP$ doit \^etre le tiers de la hauteur de $ABC$ issue de $C$ et la hauteur de $BCP$ doit \^etre le tiers de la hauteur de $ABC$ issue de $A$.\\ Avec {\tt Xcas} on clique sur 3 points et on tape dans un \`ecran de g\'eom\'etrie :\\ \begin{verbatim} triangle(A,B,C); I:=A+(C-A)/3; dc:=parallele(I,droite(B,A)); J:=A+2*(C-A)/3; da:=parallele(J,droite(B,C)); P:=inter_unique(da,dc); affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C)],rouge) K:=B+(A-B)/3 \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{triangle} On tape pour v\'erifier :\\ {\tt aire(A,B,P),aire(B,C,P),aire(C,A,P)}\\ Propri\'et\'es du point {\tt P}\\ {\tt I} est le milieu de {\tt AJ}, {\tt IP} est parall\`ele \`a {\tt AK} donc {\tt P} est le milieu de {\tt KJ}. {\tt AP} est une m\'ediane de {\tt AKJ}, {\tt KJ} est parall\`ele \`a {\tt BC} donc {\tt AP} est une m\'ediane de {\tt ABC}.\\ On montrerait de m\^eme que {\tt BP} et {\tt CP} sont des m\'edianes de {\tt ABC}.\\ {\tt P} est donc le centre de gravit\'e du triangle {\tt ABC} ou encore l'isobarycentre des 3 points {\tt A,B,C}.\\ On tape pour v\'erifier :\\ {\tt affichage(isobarycentre(A,B,C),point\_width\_2)} \subsection{G\'en\'eralisation du probl\`eme} Un p\`ere poss\`ede un terrain triangulaire et a $n$ fils ($n=3,4,5...$).\\ Il veut forer un puits \`a l'int\'erieur de son terrain, de façon qu'\'a sa mort, chacun de ses $n$ fils poss\`ede un morceau triangulaire de m\^eme surface ayant acc\`es au puits. D\'eterminer le nombre de solutions possibles. Pour $n=4$, on cherche 2 points {\tt P} et {\tt D} avec {\tt D} par exemple sur {\tt BC} (il y a donc 3 solutions selon que l'on choisit {\tt D} sur {\tt BC} ou sur {\tt AC} ou sur {\tt AB}) pour que chaque fils ait comme morceau $ABP$ ou $APC$ ou $BDP$ ou $DCP$ et que ces morceaux soient de m\^eme aire \`a savoir le quart de l'aire de $ABC$.\\ Avec {\tt Xcas} on clique sur 3 points et on tape dans un \`ecran de g\'eom\'etrie :\\ \begin{verbatim} triangle(A,B,C); I:=A+(C-A)/4; dc:=parallele(I,droite(B,A)); J:=A+(C-A)/2; da:=parallele(J,droite(B,C)); P:=inter_unique(da,dc); D:=milieu(B,C); affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C), segment(P,D)],rouge); K:=B+(A-B)/2; \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{triangle4} On tape pour v\'erifier :\\ {\tt aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,C,P)}\\ Propri\'et\'es du point {\tt P}\\ {\tt I} est le milieu de {\tt AJ}, {\tt IP} est parall\`ele \`a {\tt AK} donc {\tt P} est le milieu de {\tt KJ}. {\tt AP} est une m\'ediane de {\tt AKJ}, {\tt KJ} est parall\`ele \`a {\tt BC} donc {\tt AP} est la m\'ediane {\tt AD} de {\tt ABC}.\\ De plus {\tt P} est le milieu de {\tt AD} puisque {\tt J} est le milieu de {\tt AC}, {\tt JP} est parall\`ele \`a {\tt DC} .\\ {\tt P} est donc le barycentre des 3 points {\tt [A,2],[B,1],[C,1]}.\\ On tape pour v\'erifier :\\ {\tt affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point\_width\_2)}.\\ Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits, sont obtenues avec :\\ {\tt affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point\_width\_2)}\\ {\tt affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point\_width\_2)}\\ Pour $n=5$, on cherche 3 points {\tt P, D} et {\tt E} avec {\tt D et E} sur un m\^eme c\^ot\'e par exemple sur {\tt BC} ou {\tt D} et {\tt E} sur des c\^ot\'es diff\'erents par exemple {\tt D} sur {\tt BC} et {\tt E} par exemple sur {\tt AC} (il y a donc en tout 6 solutions : 3 solutions selon que l'on choisit {\tt D} et {\tt E} sur {\tt BC} ou sur {\tt AC} ou sur {\tt AB} et 3 solutions selon que l'on choisit {\tt D} et {\tt E} pas sur {\tt BC} ou pas sur {\tt AC} ou pas sur {\tt AB}) pour que chaque fils ait comme morceau un triangle de sommets pris parmi {\tt A,B,C,D,E,P} et que ces morceaux soient de m\^eme aire \`a savoir le cinqui\`eme de l'aire de $ABC$.\\ Avec {\tt Xcas} on clique sur 3 points et on tape dans un \`ecran de g\'eom\'etrie :\\ \begin{verbatim} triangle(A,B,C); I:=A+(C-A)/5 dc:=parallele(I,droite(B,A)); J:=A+2*(C-A)/5; da:=parallele(J,droite(B,C)); P:=inter_unique(da,dc); D:=B+(C-B)/3; E:=B+2*(C-B)/3; affichage ([segment(P,A),segment(P,B),segment(P,C), segment(P,D),segment(P,E)],rouge) K:=B+3*(A-B)/5; affichage(barycentre([A,3],[B,1],[C,1]),point_width_2) \end{verbatim} On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{triangle5} On tape pour v\'erifier :\\ {\tt aire(A,B,P),aire(B,D,P),aire(C,A,P),aire(D,E,P),aire(E,C,P)}\\ Propri\'et\'es du point {\tt P}\\ {\tt I} est le milieu de {\tt AJ}, {\tt IP} est parall\`ele \`a {\tt AK} donc {\tt P} est le milieu de {\tt KJ}. {\tt AP} est une m\'ediane de {\tt AKJ}, {\tt KJ} est parall\`ele \`a {\tt BC} donc {\tt AP} est la m\'ediane de {\tt ABC}.\\ De plus {\tt P} est situ\'e au 2/5 de cette m\'ediane de {\tt AD} puisque {\tt J} est situ\'e au 2/5 de {\tt AC}, {\tt JP} est parall\`ele \`a {\tt DC}.\\ Donc l'aire de {\tt PBC} vaut les 3/5 de l'aire de {\tt ABC} {\tt P} est donc le barycentre des 3 points {\tt [A,3],[B,1],[C,1]}.\\ On tape pour v\'erifier :\\ {\tt affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,1]),point\_width\_2)}.\\ On voit le partage en rouge sur la figure lorsque le puits est en {\tt P}.\\ Les 2 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit {\tt D} et {\tt E} sur le m\^eme c\^ot\'e, sont obtenues avec :\\ {\tt affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,1]),point\_width\_2)}\\ {\tt affichage(barycentre([A,1],[B,1],[C,2]),point\_width\_2)}\\ Les 3 autres solutions, pour l'emplacement du puits lorsque l'on choisit {\tt D} et {\tt E} sur des c\^ot\'es, sont obtenues avec :\\ {\tt affichage(barycentre([A,2],[B,2],[C,1]),point\_width\_2)}\\ {\tt affichage(barycentre([A,2],[B,1],[C,2]),point\_width\_2)}\\ {\tt Q:=affichage(barycentre([A,1],[B,2],[C,2]),point\_width\_2)}\\ On voit le partage en vert sur la figure lorsque le puits est en {\tt Q} :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{triangles5} On g\'en\'eralise ais\'ement.\\ On montre par r\'ecurrence que le nombre de solutions pour $n$ ($n>3$) est : $(n-2)(n-1)/2$.\\ En effet on cherche le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme $n$ i.e. on cherche le nombre de triplets $(a,b,c)\in \mathbb N^{*3}$ v\'erifiant $a+b+c=n$. pour $n=3$ ce nombre est 1=$(n-2)(n-1)/2$ car (1+1+1=3)\\ {\bf Hypoth\`ese de recurrence} : pour $n$ ce nombre est $(n-2)(n-1)/2$, \\ pour $n+1$, on cherche le nombre de triplets d'entiers non nuls de somme $n+1$ :\\ si $a+b+c=n+1$, c'est que $a+b|AB-AC|$ d'apres l'in\'egalit\'e triangulaire ce qui condredit l'hypoth\`ese $K1B-K1C=AB-AC$. L'\'egalit\'e $K1B-K1C=AB-AC$ d\'efinit un seul point $K1$ du segment $BC$, ce point est donc la projection du centre du cercle inscrit \`a $ABC$ \subsection{La solution g\'eom\'etrique} Pour la solution g\'eom\'etrique, on va se servir des lemmes 1 et 3. La bissectrice de l'angle $BMA$ et la bissectrice de l'angle $ CMA$ sont perpendiculaire donc $M$ est sur le cercle de diam\'etre $IJ$. Ce cercle coupe le segment $BC$ en $M$ et $P$. Montrons que $P$ est fixe. Soient $I1$ et $J1$ les projections de $I$ et $J$ sur $BC$. \includegraphics[width=\textwidth]{inscritcalc}\\ %D'apr\`es le {\bf\ lemme1\} on a : %$$\overrightarrow{I1M}=\overrightarrow{PJ1}$$ D'apr\`es le {\bf\ lemme3\ } on a :\\ $I1B-I1M=AB-AM$ et\\ $J1M-J1C=AM-AC$ donc $$I1B-I1M+J1M-J1C=AB-AM+AM-AC=AB-AC$$ Puisque $I1$ et $J1$ sont entre $B$ et $C$, et que $M$ et $P$ sont entre $I1$ et $J1$, on a $M$ et $P$ sont entre $B$ et $C$.\\ D'apr\`es le {\bf lemme1} on a :\\ $\overrightarrow{I1M}=\overrightarrow{PJ1}$ et $\overrightarrow{I1P}=\overrightarrow{MJ1}$ donc $$I1B-I1M+J1M-J1C=I1B-PJ1+I1P-J1C$$ $M$ et $P$ sont entre $B$ et $C$ donc $I1B+I1P=PB$ et $PJ1+J1C=PC$ d'o\`u : $$PB-PC=AB-AC$$ Le point $P$ est fixe et $P$ est la projection du centre $K$ du cercle inscrit \`a $ABC$. \subsection{La solution avec {\tt Xcas}} Le choix des param\`etres est important ! Sans perte de g\'en\'eralit\'e, on peut prendre l'origine du rep\`ere en $B$, et $C$ sur l'axe des $x$ d'abscisse $a$. Le point $M$ est donc sur l'axe des $x$ d'abscisse $m4/3} et est negatif pour {\tt a<4/3}.\\ Donc lorsque {\tt a=4/3}, {\tt u} est minimum. \\ On tape :\\ {\tt subst(2*(4-a)\verb|^|4/(2-a),a=4/3)}\\ On obtient :\\ {\tt 4096/27} Donc la surface minimum vaut :\\ {\tt normal(sqrt(4096/27))=(192*sqrt(3))/27} \\ la valeur de {\tt b} est :\\ {\tt normal((192*sqrt(3))/27/(4-4/3))=8*sqrt(3)/3} a valeur de {\tt s} est :\\ {\tt normal(sqrt(8*(2-4/3)))=(4*sqrt(3))/3}\\ Dans ce cas le triangle $BTR$ est un demi triangle \'equilat\'eral puisque :\\ {\tt b=8*sqrt(3)/3} et {\tt 4-a=8/3}.\\ L'angle {\tt T} du triangle isoc\`ele $BTS$ vaut donc $pi/3$ : ce triangle est donc \'equilat\'eral. \chapter{Le baccalaur\'eat 2005} \section{Exercice 1} \subsection{L'\'enonc\'e sur les suites} \subsubsection{Partie A: question de cours} Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la m\^eme limite. \subsubsection{Partie B} On consid\`ere une suite $(u_n)$ d\'efinie sur $\mathbb N$ dont aucun terme n'est nul. On d\'efinit alors la suite $(v_n)$ sur $\mathbb N$ par $v_n=\frac{-2}{u_n}$.\\ Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d\'emonstration ou un contre-exemple pour la r\'eponse indiqu\'ee.\\ 1/ Si $(u_n)$ est convergente alors $(v_n)$ est convergente.\\ 2/ Si $(u_n)$ est minor\'ee par 2 alors $(v_n)$ est minor\'ee par -1.\\ 3/ Si $(u_n)$ est d\'ecroissante alors $(v_n)$ est croissante.\\ 4/ Si $(u_n)$ est divergente alors $(v_n)$ est converge vers 0.\\ \subsection{Les essais avec {\tt Xcas}} On tape :\\ {\tt v(n):=-2/u(n)}\\ 1/ On tape :\\ {\tt u(n):=(n+1)/n}\\ {\tt limit(u(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt 1}\\ {\tt limit(v(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt -2}\\ {\tt u(n):=n+1/n}\\ {\tt limit(u(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt +infinity}\\ {\tt limit(v(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt 0}\\ {\tt u(n):=1/n}\\ {\tt limit(u(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt 0}\\ {\tt limit(v(n),n=+infinity)} et on obtient {\tt -infinity}\\ 2/ On tape :\\ {\tt u(n):=2+1/n}\\ {\tt normal(v(n)+1)} et on obtient {\tt 1/(2*n+1)}\\ La proposition semble vraie.\\ 3/ On tape :\\ {\tt u(n):=1/n}\\ {\tt normal(u(n+1)-u(n))} et on obtient {\tt 1/(-n\verb|^|2-n)}\\ {\tt normal(v(n+1)-v(n))} et on obtient {\tt -2}\\ 4/ On tape :\\ {\tt u(n):=(-1)\verb|^|n}\\ {\tt limit(u(n),n=+infinity)}\\ On obtient {\tt "Error: Bad Argument Value"}\\ On tape :\\ {\tt limit(v(n),n=+infinity)}\\ On obtient {\tt "Error: Bad Argument Value"} \subsection{La correction sans {\tt Xcas}} 1/ est faux, on prend ${\tt u(n):=\frac{1}{n}}$\\ 2/ est vrai car si :\\ ${\tt u(n) \geq 2}$ alors ${\tt \frac{1}{u(n)} \leq \frac{1}{2}}$ car ${\tt u(n) \geq 0}$\\ donc ${\tt v(n)=\frac{-2}{u(n)} \geq \frac{-2}{2}=-1}$ 3/ est faux, on prend ${\tt u(n):=\frac{1}{n}}$\\ 4/ est faux, on prend ${\tt u(n):=(-1)^n}$\\ \section{Exercice 2} \subsection{L'\'enonc\'e} Dans le plan orient\'e, on consid\`ere les points $O$ et $A$ fix\'es et distincts, le cercle $\mathcal C$ de diam\`etre $[OA]$, un point $M$ variable appartenant au cercle $\mathcal C$ et distinct des points $O$ et $A$, ainsi que les carr\'es de sens direct $MAPN$ et $MKLO$.\\ On munit le plan complexe d'un rep\`ere orthonormal direct de sorte que les affixes des points $O$ et $A$ soient respectivement 0 et 1.\\ On note $k,l,m,n,p$ les affixes respectives des points $K,L,M,N,M,P$.\\ 1/ D\'emontrer que, quel que soit le point $M$ choisi sur le cercle $\mathcal C$, on a $|m-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$.\\ 2/ \'Etablir les relations suivantes :\\ $l=im$ et $p=-im+1+i$.\\ On admettra que l'on a \'egalement :\\ $n=(1-i)m+i$ et $k=(1+i)m$\\ 3/ a) D\'emontrer que le milieu $\Omega$ du segment $[PL]$ est un point ind\'ependant de la position du point $M$ sur le cercle $\mathcal C$.\\ \hspace*{1cm} b) D\'emontrer que le point $\Omega$ appartient au cercle $\mathcal C$ et pr\'eciser sa position sur ce cercle.\\ 4/ a) Calculer la distance $KN$ et d\'emontrer que cette distance est constante.\\ \hspace*{1cm} b) Quelle est la nature du triangle $\Omega NK$?\\ 5/ D\'emontrer que le point $N$ appzartient \`a un cercle fixe, ind\'ependant du point $M$, dont on d\'eterminera le centre et le rayon.\\ \subsection{La figure avec {\tt Xcas}} \begin{verbatim} O:=point(0); A:=point(1); C:=cercle(0,A); M:=element(C); carre(M,A,P,N); carre(0,M,K,L); R:=milieu(L,P); longueur(K,N); est_rectangle(R,N,K); est_isocele(R,N,K); NN:=N; lieu(NN,M,affichage=1); \end{verbatim} {\bf Attention}\\ On est oblig\'e de renommer le point {\tt N} en {\tt NN} ({\tt NN:=N;}) car il faut que le point dont on cherche le lieu soit d\'efini par une affectation pour que la fonction {\tt lieu} de {\tt Xcas} fonctionne. \subsection{La correction sans {\tt Xcas}} 1/ Soit $a$ l'affixe de $A$ : on a donc $a=1$.\\ Soit $B$ le milieu de $[OA]$ : $B$ a donc pour affixe $b=\frac{1}{2}$.\\ $M$ est donc sur le cercle de centre $B$ et de rayon $\frac{1}{2}$ donc:\\ $MB=\frac{1}{2}$ donc $|m-b|=\frac{1}{2}$ ou encore $|m-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$.\\ 2/ Le point $L$ se d\'eduit de $M$ dans la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donc $l=im$.\\ Le point $P$ se d\'eduit de $M$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ donc $p-a=-i(m-a)$, ou encore $p-1=-i(m-1)$ donc \\ $p=-im+i+1$.\\ On a \'egalement :\\ Le point $N$ se d\'eduit de $A$ dans la rotation de centre $M$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ donc $n-m=i(a-m)$ ou encore $n=ia+m-im=(1-i)m+i$.\\ Le point $K$ se d\'eduit de $0$ dans la rotation de centre $M$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ donc $k-m=-i(-m)$ ou encore $k=(1+i)m$.\\ 3/ a) Soit $\omega$ l'affixe de $\Omega$. On a :\\ $\omega=(p+l)/2=(-im+i+1+im)/2=(1+i)/2$ Le point $\Omega$ est donc ind\'ependant de la position de $M$ sur le cercle $\mathcal C$.\\ \hspace*{0.4cm} b) $\omega-b=\omega-1/2=i/2$ donc $|\omega-b|=1/2$ ce qui prouve que $\Omega$ est sur le cercle $\mathcal C$\\ 4/ a) $NK=|k-n|=|(1+i)m-(1-i)m-i|=|2im-i|=|2i(m-1/2)|=2*1/2=1$ puisque $|2i|=2$ et que $|m-1/2|=1/2$.\\ \hspace*{0.4cm} b) On a :\\ Le vecteur $\Omega N$ a pour affixe :\\ $n-\omega=(1-i)m+i-i/2-1/2=(1-i)m+i/2-1/2=(1-i)(m-1/2)$\\ Le vecteur $\Omega K$ a pour affixe :\\ $k-\omega=(1+i)m-i/2-1/2=(1+i)m-i/2-1/2=(1+i)(m-1/2)$\\ Puisque $(1-i)i=1+i$ on en d\'eduit que le vecteur $\Omega K$ se d\'eduit du vecteur $\Omega N$ par rotation d'angle $\pi/2$ et donc que le point $K$ se d\'eduit de $N$ par rototion de centre $\Omega$ et d'angle $\pi/2$.\\ Le triangle $\Omega NK$ est donc isoc\`ele rectangle.\\ 5/ On a $\Omega N=|n-\omega|=|(1-i)(m-1/2)|=\sqrt 2/2$ puisque $|1-i|=\sqrt 2$ et que $|m-1/2|=1/2$.\\ Donc $N$ est sur le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt 2/2$. \section{Exercice 3} \subsection{L'\'enonc\'e} Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 billes rouges et 3 billes vertes dans une boite cubique et 3 billes rouges et 4 billes vertes dans une boite cylindrique.\\ 1/ Dans un premier jeu, il choisit simultan\'ement 3 billes au hasard dans la boite cubique et regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle $X$ la variable al\'eatoire correspondant au nombres de billes rouges choisies.\\ a) D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.\\ b) Calculer l'esp\'erance math\'ematique de $X$\\ 2/ Un deuxi\`eme jeu est organis\'e de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des 2 boites, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boite choisie.\\ On consid\`ere les \'ev\'enements suivants :\\ $C1$ : l'enfant choisi la boite cubique,\\ $C2$ : l'enfant choisi la boite cylindrique,\\ $R$ : l'enfant prend une bille rouge,\\ $V$ : l'enfant prend une bille verte.\\ a) Repr\'esenter par un arbre pond\'er\'e la situation correspondant \`a ce deuxi\`eme jeu.\\ b) Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $R$.\\ c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probanilit\'e qu'elle provienne de la boite cubique ?\\ 3/ L'enfant reproduit $n$ fois de suite son deuxi\`eme jeu, en remettant \`a chaque fois la bille tir\'ee \`a sa place.\\ a) Exprimer, en fonction de $n$, la probabilit\'e $p_n$ que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses $n$ choix.\\ b) Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_n \geq 0.99$.\\ \subsection{La simulation avec {\tt Xcas}} 1/ On suppose que les billes rouges sont num\'erot\'ees de 0 \`a 9 et que les vertes sont num\'erot\'ees de 10 \`a 12.\\ On simule un choix de la question 1/ avec {\tt choix1()}, la loi de $X$ en faisant "beaucoup de tirages" avec {\tt loiX(n)} o\`u $n$ repr\'esente un grand nombre de tirages et l'esp\'erance de $X$ avec {\tt EX(n)} o\`u $n$ repr\'esente aussi un grand nombre de tirages. On peut \'ecrire pour simuler le choix sans remise de 3 billes parmi 13 (on num\'erote les billes de 0 \`a 12 et on recommence si on trouve une bille d\'ej\`a tir\'ee) : \begin{verbatim} choix11():={ local b1,b2,b3; b1:=rand(13); b2:=rand(13); while (b1==b2) {b2:=rand(13);} b3:=rand(13); while (b1==b3 || b2==b3) {b3:=rand(13);} return sort([b1,b2,b3]); }; \end{verbatim} ou encore si on supprime les num\'eros tir\'es au fur et \`a mesure : \begin{verbatim} choix12():={ local b,j,B,R,n; B:=makelist(id,0,12); R:=[]; n:=13; for (j:=0;j<3;j++) { b:=rand(n); R:=append(R,B[b]) B:=suppress(B,b); n:=n-1; } return sort(R); } \end{verbatim} ou encore si on ne veut pas mettre un num\'ero aux billes : \begin{verbatim} choix13():={ local b,j,B,R,n; //B:=concat(makelist(x->"R",0,9),makelist(x->"V",0,2)); B:=makelist(x->ifte(x<10,"R","V"),0,12); R:=[]; n:=13; for (j:=0;j<3;j++) { b:=rand(n); R:=append(R,B[b]) B:=suppress(B,b); n:=n-1; } return R; } \end{verbatim} On tape :\\ {\tt choix11()} ou {\tt choix12()}\\ On obtient par exemple :\\ {\tt [5,8,11]}\\ On tape :\\ {\tt choix13()}\\ On obtient par exemple :\\ {\tt [R,R,V]}\\ ce qui correspond \`a 2 billes rouges (num\'eros 5 et 8) et 1 bille verte (num\'ero 11).\\ Puis on d\'efinit la loi de {\tt X} en utilisant {\tt choix11()} ou {\tt choix12()}: \begin{verbatim} loiX(n):={ local ch,lX,j; lX:=makelist(0,0,3); for (j:=0;j0) { rep:=rep+1;} } return rep/m; } \end{verbatim} On tape si l'enfant fait 5 tirages de suite au deuxi\`eme jeu :\\ {\tt pn(5,1000)}\\ On obtient par exemple :\\ {\tt 987/1000}\\ On tape si l'enfant fait 6 tirages de suite au deuxi\`eme jeu :\\ {\tt pn(6,1000)}\\ On obtient par exemple :\\ {\tt 997/1000} \subsection{La correction avec l'aide de {\tt Xcas}} 1/ a) Si parmi les 3 billes choisies, on a obtenu $k$ billes rouges et $3-k$ billes vertes, on a :\\ {\tt P(X=k)=p(k)=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)}\\ On tape :\\ {\tt p(k):=comb(10,k)*comb(3,3-k)/comb(13,3)}\\ {\tt p(0)} et on obtient {\tt 1/286 $\simeq$ 0.0035}\\ {\tt p(1)} et on obtient {\tt 15/143$\simeq$ 0.1049}\\ {\tt p(2)} et on obtient {\tt 135/286$\simeq$ 0.4720}\\ {\tt p(3)} et on obtient {\tt 60/143$\simeq$ 0.4196}\\ On a bien :\\ {\tt p(0)+p(1)+p(2)+3*p(3)=(1+30+135+120)/286=1}\\ b) {\tt E(X)=p(1)+2*p(2)+3*p(3)}\\ On tape :\\ {\tt p(1)+2*p(2)+3*p(3)} et on obtient {\tt 30/13=2.307...}\\ 2/ a) On fait un arbre pond\'er\'e : $$ \begin{array}{cccccc} & & & &P_{C1}(R)=\frac{10}{13} &\longrightarrow P(C1 \cap R)=\frac{5}{13} \\ & & &\diagup& & \\ & &P(C1)=\frac{1}{2} & & & \\ &\diagup& &\diagdown & & \\ \diagup& & & &P_{C1}(V)=\frac{3}{13} &\longrightarrow P(C1 \cap V)=\frac{3}{26}\\ \ \\ \diagdown& & & & P_{C2}(R)=\frac{3}{7}&\longrightarrow P(C2 \cap R)=\frac{3}{14}\\ & \diagdown& &\diagup & & \\ & &P(C2)=\frac{1}{2} & & & \\ & & &\diagdown& & \\ & & & &P_{C2}(V)=\frac{4}{7} &\longrightarrow P(C2 \cap V)=\frac{2}{7}\\ \end{array} $$ b) On a :\\ $P(R)=P(C1 \cap R)+P(C2 \cap R)=\frac{5}{13} +\frac{3}{14}=\frac{109}{182} \simeq 0.5989$\\ c) On veut calculer $P_{R}(C1)$.\\ On a : $P_{R}(C1)= P(C1 \cap R)/P(R)=\frac{5}{13}/\frac{109}{182}=\frac{70}{109}\simeq 0.6422$\\ 3/ Si $q_n$ est la probabilit\'e de n'avoir pris aucune bille rouge au cours de ses $n$ choix, on a $p_n=1-q_n$.\\ On a :\\ $q_n=P(V)^n=(1-P(R))^n=(\frac{73}{182})^n$\\ donc ;\\ $p_n=1-(\frac{73}{182})^n$\\ b) On cherche les valeurs de $n$ pour avoir $p_n \geq 0.99$ ou encore pour avoir : $$1-p_n=q_n =(\frac{73}{182})^n \leq 0.01$$ On a :\\ $ (\frac{73}{182})^n \leq 0.01$ est \'equvalent \`a :\\ $n \geq \ln(0.01)/(\ln(73)-\ln(182)) \simeq 5.04097648645$\\ Donc la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_n \geq 0.99$ est $n=6$. \section{Exercice 4} \subsection{L'\'enonc\'e} \subsubsection{Partie A} Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\mathbb R$ par $\displaystyle f(x)=\frac{3e^{\frac{x}{4}}}{2+e^{\frac{x}{4}}}$. a) D\'emontrer que $\displaystyle f(x)=\frac{3}{1+2e^{\frac{-x}{4}}}$ b) \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. c) \'Etudier les vatiations de la fonction $f$. \subsubsection{Partie B} \noindent 1/ On a \'etudi\'e en laboratoire l'\'evolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps $t$, est not\'ee $g(t)$. On d\'efinit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0;+\infty[$ dans $\mathbb R$. La variable r\'eelle $t$ d\'esigne le temps exprim\'e en ann\'ees. L'unit\'e choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le mod\`ele utilis\'e pour d\'ecrire cette \'evolution consiste \`a prendre pour $g$ une solution sur l'intervalle $[0;+\infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle (E_1) : y'=\frac{y}{4}$. a) R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle $(E_1)$. b) D\'eterminer l'expression $g(t)$ lorsque, \`a la date $t=0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est \`a dire $g(0)=1$. c) Apr\`es combien d'ann\'ees la population d\'epassera-t-elle 300 rongeurs pour la premi\`ere fois ?\\ \ \\ 2/ En r\'ealit\'e, dans un secteur observ\'e d'une r\'egion donn\'ee, un pr\'edateur emp\^eche une telle croissance en tuant une certaine quantit\'e de rongeurs vivants au temps $t$ (exprim\'e en ann\'ees) dans cette r\'egion, et on admet que la fonction $u$ ainsi d\'efinie, satisfait aux conditions :\\ $$ (E2): \left\{ \begin{array}{rcl} u'(t)&=&\displaystyle\frac{u(t)}{4}-\frac{u(t)^2}{12} \ \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\ u(0)&=&1 \end{array} \right. $$ o\`u $u'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de $u$. a) On suppose que, pour tout r\'eel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On consid\`ere, sur l'intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $h$ d\'efinie par $\displaystyle h=\frac{1}{u}$. D\'emontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions $(E_2)$ si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions : $$ (E3): \left\{ \begin{array}{rcl} h'(t)&=&\displaystyle \frac{-h(t)}{4}+\frac{1}{12} \ \mbox{ pour tout r\'eel } t\geq 0,\\ h(0)&=&1 \end{array} \right. $$ o\`u $h'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de $h$. b) Donner les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}+\frac{1}{12}$ et en d\'eduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$. c) Dans ce mod\`ele, comment se comporte la taille de la population \'etudi\'ee lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ? \subsection{La correction avec l'aide de {\tt Xcas}} \subsubsection{Partie A} \noindent 1/ a) La fonction $f$ est d\'efinie sur $\mathbb R$ car $2+e^{\frac{x}{4}} \neq 0$ pour tout $x$ dans $\mathbb R$.\\ On a pour tout $x$ dans $\mathbb R$, $e^{\frac{x}{4}}=1/e^{\frac{-x}{4}}$ donc :\\ $\displaystyle f(x)=\frac{3*e^{\frac{x}{4}}}{2+e^{\frac{x}{4}}}=\frac{3}{e^{\frac{-x}{4}}*(2+e^{\frac{x}{4}})}=\frac{3}{2e^{\frac{-x}{4}}+1}$.\\ Ou encore on tape :\\ {\tt simplify(3*e\verb|^|(x/4)/(2+e\verb|^|(x/4))-3/(1+2*e\verb|^|(-x/4)))}\\ On obtient :\\ {\tt 0} b) On tape :\\ {\tt limit(3/(1+2*e\verb|^|(-x/4)),x=+infinity)}\\ On obtient :\\ {\tt 3}\\ En effet quand $x$ tend vers $+\infty$, $\exp(-x/4)$ tend vers 0, donc $f(x)=\frac{3}{2e^{\frac{-x}{4}}+1}$ tend vers 3.\\ On tape :\\ {\tt limit(3/(1+2*e\verb|^|(-x/4)),x=-infinity)}\\ On obtient :\\ {\tt 0}\\ En effet quand $x$ tend vers $-\infty$, $\exp(-x/4)$ tend vers $+\infty$, donc $f(x)=\frac{3}{2e^{\frac{-x}{4}}+1}$ tend vers 0. c) On tape :\\ {\tt f(x):=3/(1+2*e\verb|^|(-x/4))}\\ {\tt simplify(diff(f(x)))}\\ On obtient :\\ {\tt (3*exp(-(x/4)))/(8*(exp(-(x/4)))\verb|^|2+8*exp(-(x/4))+2)}\\ On tape :\\ {\tt factor(ans())}\\ On obtient :\\ {\tt (3*exp(-(x/4)))/(2*(2*exp(-(x/4))+1)\verb|^|2)}\\ La d\'eriv\'ee \'etant toujours positive la fonction $f$ est donc croissante de 0 \`a 3. \subsubsection{Partie B} \noindent 1/ a) La solution g\'en\'erale de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle (E_1) y'=\frac{y}{4}$ est :\\ $y(t)=C*\exp(t/4)$ o\`u $C$ est une constante arbritaire.\\ On tape :\\ {\tt desolve(y'=y/4,y)}\\ On obtient :\\ {\tt c\_0/exp(-x/4)}\\ On tape :\\ {\tt desolve(diff(y(t),t)=y(t)/4,t,y)}\\ On obtient :\\ {\tt c\_0/exp(-t/4)} b) $g$ est la solution de $(E_1)$ qui v\'erifie $g(0)=1$ donc on a $g(t)=C*\exp(t/4)$ et $g(0)=1$ donc $C=g(0)=1$. La taille de la population au temps $t$ est donc :\\ $g(t)=\exp(t/4)$.\\ On tape :\\ {\tt desolve([y'=y/4,y(0)=1],y)}\\ On obtient :\\ {\tt 1/exp(-x/4)}\\ On tape :\\ {\tt desolve([diff(y(t),t)=y(t)/4,y(0)=1],t,y)}\\ On obtient :\\ {\tt 1/exp(-t/4)} c) On veut savoir quand $g(t)\geq 300$.\\ On r\'esout :\\ $\exp(t/4)\geq 300$ qui est \'equivalent \`a $t \geq 4*ln(300)\simeq 22.8$\\ La population d\'epassera 300 rongeurs au bout de 23 ann\'ees.\\ On tape :\\ {\tt solve(exp(t/4)>=300,t)}\\ On obtient :\\ {\tt [t>=(4*log(300))]}\\ On tape :\\ {\tt solve(exp(t/4)>=300.0,t)}\\ On obtient :\\ {\tt [t>=22.8151298986]}\\ 2/ a) On a, pour tout r\'eel $t$ positif :\\ $h(t)=1/u(t)$ donc $h'(t)=-u'(t)/u(t)^2$ (puisque $u(t)\neq 0$)\\ $u$ satisfait \`a $E_2$ si et seulement si\\ $u'(t)/u(t)^2=1/(4*u(t))-1/12$ et $u(0)=1$ (puisque $u(t)\neq 0$)\\ ce qui est \'equivalent \`a \\ $h'(t)=-u'(t)/u(t)^2=-1/4*h(t)+1/12$ et $h(0)=1$ (puisque $u(t)\neq 0$) b) Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}+\frac{1}{12}$ sont obtenus en ajoutant aux solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}$ une solution particuli\`ere de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}+\frac{1}{12}$.\\ Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}$ sont $y(t)=K\exp(-t/4)$ o\`u $K$ est une constante arbitraire.\\ Une solution particuli\`ere de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}+\frac{1}{12}$ est $y(t)=1/3$ Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\displaystyle y'=\frac{-y}{4}+\frac{1}{12}$ sont donc :\\ $y(t)=K\exp(-t/4)+1/3$.\\ On en d\'eduit, puisque $h$ v\'erifie $(E_3)$, que :\\ $h(t)= K\exp(-t/4)+1/3$ et $h(0)=1$ donc on a $K=2/3$ et \\ $h(t)= 2/3*\exp(-t/4)+1/3=(1+2\exp(-t/4))/3$ et donc\\ $u(t)=3/(2+\exp(-t/4))=f(t)$\\ On a donc, pour tout r\'eel $t$ positif :\\ $u(t)=f(t)$\\ Avec {\tt Xcas}, on tape :\\ {\tt desolve(y'=-y/4+1/12,y)}\\ On obtient :\\ {\tt (exp(x/4)/(12/4)+c\_0)/(exp(x/4))}\\ On tape :\\ {\tt desolve([diff(y(t),t)=-y(t)/4+1/12,y(0)=1],t,y)}\\ On obtient :\\ {\tt ((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))}\\ On tape :\\ {\tt normal(inv(((exp(t/4)*4)/12+2/3)/(exp(t/4))))}\\ On obtient :\\ {\tt (3*exp(t/4))/(exp(t/4)+2)} c) Lorsque $t$ tend vers $+\infty$, la taille de la population augmente et tend vers 300 rongeurs puisque $f$ tend vers 3 lorsque $t$ tend vers $+\infty$. \chapter{Exercices d'Analyse niveau licence 1,2} \section{Calculs d'aire et de de volume} \subsection{Aire d'une couronne circulaire} Calculer l'aire d'une couronne circulaire de rayons $r,R$ avec $r0$, $u_n\geq v_n$ \item $u_{n+1}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}\leq 0$ La suite $u$ est donc d\'ecroissante \item $v_{n+1}-v_n=\sqrt{u_nv_n}-v_n\geq \sqrt{v_nv_n}-v_n=0$ La suite $v$ est donc croissante \end{itemize} Les suites $u$ et $v$ sont donc convergentes et puisque $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$ par passage \`a la limite on en d\'eduit qu'elles convergent vers la m\^eme limite not\'ee $M(a,b)$.\\ On remarque que :\\ $\sqrt{ab}\leq M(a,b)=M(b,a)\leq \frac{a+b}{2}$ et\\ pour tout $k>0$ on a $M(k*a,k*b)=k*M(a,b)$\\ On peut donc supposer $b=1$ et $a>1$.\\ On a aussi pour tout entier $n>0$ :\\ $ \sqrt{ab}\leq v_n\leq u_n \leq \frac{a+b}{2}$ $u_{n+1}^2-v_{n+1}^2=\frac{(u_n-v_n)^2}{4}$ donc \\ $u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{(u_n-v_n)^2}{4(u_{n+1}+v_{n+1})}\leq K(u_n-v_n)^2$ avec $K=\frac{1}{8\sqrt{ab}}$.\\ On a :\\ $K<9*10^-2$ $u_1=1.5$, $v_1=\sqrt 2$ donc $0eps faire u0:=u; u:=(u+v)/2; v:=sqrt(u0*v) n:=n+1; ftantque; print(n); return u; }:; \end{verbatim} \end{itemize} On tape :\\ {\tt aritgeo(2,1.,1e-20)}\\ On obtient :\\ {\tt 1.456791031046906869186431,5} On peut tracer la fonction {\tt aritgeo(x,1.,1e-2)[0]}, pour cela on tape (on commente {\tt print(n)} dans {\tt aritgeo}) : \begin{verbatim} plotaritgeo(n):={ local j,L; L:=point(0); pour j de 0 jusque n faire L:=L,point(j+i*aritgeo(j,1.,1e-2)); fpour; retourne L;}:; \end{verbatim} %On a donc si on suppose $a\geq b$:\\ %$u_n-v_n\leq (u_1-v_1)^{(2^{n-1})}*K^{n-1}\leq (a-b)^{(2^n}K^n$\\ %Si $a=2$ et $b=1$ on a $u_n-v_n\leq \frac{1}{8^n\sqrt{2}^n}\leq \frac{1}{8^n}}\leq 10^-9$ \\Donc $n\geq -\frac{ln(10^-9)}{ln(8*sqrt(2))}$ \subsection{Relation entre $M(a,b)$ et les int\'egrales elliptiques} Il se trouve que la convergence est tr\`es rapide. Le calcul de cette limite en fonction de $a$ et $b$ n'est pas trivial au premier abord. Il est reli\'e aux int\'egrales elliptiques, plus pr\'ecis\'ement on peut construire une int\'egrale d\'ependant de deux param\`etres $a$ et $b$ et qui est invariante par la transformation $F(x,y)=\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}$ : \[ I(a,b)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt} {\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}} \] On a en effet \[ I(F(a,b))=I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+u^2)(ab+u^2)}} \] On pose alors \[ u=\frac{1}{2} (t-\frac{ab}{t}), \quad t>0 \] o\`u $t \rightarrow u$ est une bijection croissante de $t\in]0,+\infty[$ vers $u \in ]-\infty,+\infty[$, donc \begin{eqnarray*} I(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}) &=& \int_{0}^{+\infty} \frac{dt/2(1+ab/t^2)}{\sqrt{((\frac{a+b}{2})^2+1/4(t-ab/t)^2)(ab+1/4(t-ab/t)^2)}}\\ &=& 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{(a^2+t^2)(b^2+t^2)}} = I(a,b) \end{eqnarray*} Lorsqu'on est \`a la limite $l=M(a,b)$, le calcul de $I(l,l)$ est explicite \[ I(l,l)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{(l^2+t^2)} = \frac{\pi}{l}\] donc \[ I(a,b)=\frac{\pi}{M(a,b)}\] On peut transformer $I(a,b)$ en posant $t=bu$ \[ I(a,b)=2\int_{0}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{(a^2+b^2u^2)(1+u^2)}} = \frac{2}{a} \int_{0}^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{(1+(b/a)^2u^2)(1+u^2)}} \] Puis en posant $u=\tan(x)$ ($du=(1+u^2) dx$) \[ I(a,b)=\frac{2}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1+\tan(x)^2}{1+(b/a)^2\tan(x)^2}} \ dx \] et enfin en posant $\tan^2(x)=\frac{\sin(x)^2}{1-\sin(x)^2}$ \[ I(a,b)= \frac{2}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \frac{1}{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin(x)^2} } \ dx\] Si on d\'efinit pour $m<1$ \[ K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-m \sin(x)^2}} \] alors on peut calculer $K$ en fonction de $I$, en posant $m=1-b^2/a^2$ soit $b^2/a^2=1-m$ \[ K(m)=\frac{a}{2} I(a,a\sqrt{1-m})=\frac{a}{2}\frac{\pi}{M(a,a\sqrt{1-m})} = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-m})} \] Donc pour $x$ et $y$ positifs \[ K( (\frac{x-y}{x+y})^2 )= \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-(\frac{x-y}{x+y})^2})} = \frac{\pi}{2M(1,\frac{2}{x+y}\sqrt{xy})} = \frac{\pi}{2 \frac{2}{x+y} M(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}) } = \frac{\pi}{4} \frac{x+y}{M(x,y)} \] et finalement \[ M(x,y)=\frac{\pi}{4} \frac{x+y}{ K\left( (\frac{x-y}{x+y}\right)^2 )}\] et si $k^2=1-m$ avec $k\in ]0,1]$ \begin{equation} K K(m)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-m \sin(x)^2}}= \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-m})} \end{equation} \subsection{Application~: calcul efficace du logarithme.} On peut utiliser la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique pour calculer le logarithme efficacement, pour cela on cherche le d\'eveloppement asymptotique de $K(m)$ lorsque $m$ tend vers 1. Plus pr\'ecis\'ement, on montre que pour $k<1/2$ : \begin{equation} \label{eq:ln_agm0} |K-\ln\left(\frac{4}{k}\right) | \leq k^2 \left( \frac{\ln \pi}{3/4+\sqrt{3}/2} + \frac{4}{\sqrt{3} } + \frac{\pi^3}{96} + \frac{9}{20} - (\frac{1}{3/4+\sqrt{3}/2}+\frac{1}{6}) \ln(k) \right) \end{equation} que l'on peut réécrire \begin{equation} \label{eq:ln_agm} |\frac{\pi}{2M(1,k)}-\ln\left(\frac{4}{k}\right) | \leq k^2(3.8-0.8\ln(k)) \end{equation} La formule (\ref{eq:ln_agm}) permet de calculer le logarithme d'un r\'eel positif avec (presque) $n$ bits lorsque $k \leq 2^{-n/2}$ (ce \`a quoi on peut toujours se ramener en calculant le logarithme d'une puissance $2^m$-i\`eme de $x$ ou le logarithme de $2^{m}x$, en calculant au pr\'ealable $\ln(2)$). Par exemple, prenons $k=2^{-27}$, on tape avec comme configuration 24 digits : {\tt M(1,2\verb|^|-{27})=M1:=aritgeo(1,2\verb|^|-27.,1e-20)}\\ on trouve pour {\tt M1} (en 8 itérations puisque {\tt n=8}): {\tt 0.7814414037633092672168387e-1} On a, avec une erreur inférieure à $19 \times 2^{-54}=1.1\times 10^{-15}$ \[ M(1,2^-{27})=M_1=\frac{\pi}{2\ln(2^{29})}=\frac{\pi}{58\ln(2)}, \] On peut donc d\'eduire une valeur approch\'ee de $\pi $ de celle de $\ln(2)$. Par exemple si on prend comme valeur de $\pi$ :\\ {\tt 3.141592653589793238462642} On obtient comme approximation de $\ln(2)$, $\frac{\pi}{58M_1}$:\\ On tape {\tt evalf(pi)/(58*M1)}\\ On obtient {\tt 0.6931471805599453185580364}\\ alors que {\tt Xcas} donne comme valeur de $\ln(2)$, \\ {\tt 0.6931471805599453094172324}\\ On remarque que l'erreur est inférieure à $1.1\times 10^{-15}$. Si on veut calculer les deux simultan\'ement, comme les relations entre $\ln$ et $\pi$ seront des \'equations homog\`enes, on est oblig\'e d'introduire une autre relation. Par exemple pour calculer une valeur approch\'ee de $\pi$ on calcule la diff\'erence $\ln(2^{29}+1)-\ln(2^{29})$ dont on connait le d\'eveloppement au premier ordre, et on applique la formule de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique. Il faut faire attention \`a la perte de pr\'ecision lorsqu'on fait la diff\'erence des deux logarithmes qui sont tr\`es proches, ainsi on va perdre une trentaine de bits, il faut grosso modo calculer les moyennes arithm\'etico-g\'eom\'etrique avec 2 fois plus de chiffres significatifs. L'int\'er\^et de cet algorithme apparait lorsqu'on veut calculer le logarithme avec beaucoup de pr\'ecision, en raison de la convergence quadratique de la moyenne arithm\'etico-g\'eom\'etrique (qui est nettement meilleure que la convergence lin\'eaire pour les d\'eveloppements en s\'erie, ou logarithmiquement meilleure pour l'exponentielle), par contre elle n'est pas performante si on ne veut qu'une dizaine de chiffres significatifs. On peut alors calculer les autres fonctions transcendantes usuelles, telle l'exponentielle, \`a partir du logarithme, ou les fonctions trigonom\'etriques inverses (en utilisant des complexes) et directes. On trouvera dans Brent-Zimmermann quelques consid\'erations permettant d'am\'eliorer les constantes dans les temps de calcul par rapport \`a cette m\'ethode (cela n\'ecessite d'introduire des fonctions sp\'eciales $\theta$) et d'autres formules pour calculer $\pi$. \section{L'int\'egrale d'une fraction rationnelle} \begin{enumerate} \item Calculer : $$I=\int \frac{t^2\ dt }{1-t^4}$$ \item En d\'eduire : $$J=\int \frac{\sin(x)^2\ dx }{\cos(2x)}$$ \end{enumerate} Avec {\tt Xcas} les r\'eponses sont imm\'ediates.\\ On tape :\\ {\tt integrate(t\verb|^|2/(1-t\verb|^|4),t)}\\ On obtient :\\ {\tt 1/-2*atan(t)+1/4*log(abs(t+1))+1/-4*log(abs(t-1))}\\ On tape :\\ {\tt I:=integrate(sin(x)\verb|^|2/(cos(2*x)),x)}\\ On obtient :\\ {\tt (x/(-2*2)+(log(abs((tan(x/2))\verb|^|2-2*tan(x/2)-1)))/8+}\\ {\tt (log(abs((tan(x/2))\verb|^|2+2*tan(x/2)-1)))/-8)*2}\\ On tape :\\ {\tt lncollect(I-x/2))}\\ On obtient :\\ {\tt -(1/4*log(abs((tan(x/2))\verb|^|2+2*tan(x/2)-1)))}\\ Mais comment d\'etailler ? \begin{itemize} \item Pour la question 1/, on d\'ecompose la fraction ratonnelle :\\ $\displaystyle \frac{t^2\ dt }{1-t^4}$ en posant $T=t^2$ :\\ On tape :\\ {\tt partfrac(T/(1-T\verb|^|2))}\\ On obtient :\\ {\tt 1/(-2*(T+1))+1/(-2*(T-1))}\\ soit :\\ {\tt 1/-2*(t\verb|^|2+1))+1/(-2*(t\verb|^|2-1))}\\ On tape :\\ {\tt partfrac(1/(-2*(t\verb|^|2-1)))}\\ On obtient :\\ {\tt 1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))}\\ donc :\\ {\tt t\verb|^|2/(1-t\verb|^|4)=1/(t\verb|^|2)+1/(4*(t+1))+1/(-4*(t-1))}\\ On int\`egre chaque morceau pour obtenir ({\tt K} \'etant une constante arbitraire) :\\ {\tt -1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K}\\ On a donc :\\ {\tt I:=-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs((t+1)/(t-1)))+K}\\ \item Pour la question 2/, on transforme $(\sin(x)^2/\cos(2*x))$.\\ On tape :\\ {\tt texpand(sin(x)\verb|^|2/cos(2*x))}\\ On obtient :\\ {\tt ((sin(x)\verb|)^|2)/(2*(cos(x))\verb|^|2-1)}\\ On tape :\\ {\tt trigtan(((sin(x)\verb|)^|2)/(2*(cos(x))\verb|^|2-1))}\\ On obtient :\\ {\tt (-((tan(x))\verb|^|2))/((tan(x))\verb|^|2-1)}\\ On tape :\\ {\tt subst(quote(integrate((-((tan(x))\verb|^|2))/}\\ {\tt ((tan(x))\verb|^|2-1),x)),x=atan(t))}\\ On obtient :\\ {\tt integrate((-(t\verb|^|2))/((t\verb|^|2-1)*(1+t\verb|^|2)),t)}\\ c'est \`a dire l'int\'egale calculer en 1/.\\ On a donc :\\ {\tt -x/2+1/4*ln(abs((tan(x)+1)/(1-tan(x))))+K}\\ {\tt J:=subst(I,t=tan(x))} \end{itemize} \section{Int\'egrale et s\'erie} 1/ On consid\`ere la suite $\displaystyle u_n=\sum_{j=1}^n \frac{1}{j^2}$ pour $n>0$.\\ Montrer que $u_n$ converge en comparant $u_n$ \`a l'int\'egrale $\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{t^2} dt$.\\ 2/ a/ Soit $a>0$. Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par :\\ $f(x)=x^a*\ln(x)$ si $x>0$ et $f(0)=0$ \\ est continue sur $[0; +\infty[$\\ b/ Calculer $\int_0^1 f(t) dt$\\ 3/ a/ Montrer que la fonction $g_n$ d\'efinie par :\\ $\displaystyle g_n(x)=\frac{x^{2n+1}*\ln(x)}{x^2-1}$ si $x>0$ et $x\neq 1$ \\ peut se prolonger par continuit\'e sur $[0; +\infty[$\\ b/ On pose $I_n=\int_0^1 g_n(t) dt$.\\ Calculer $I_{n+1}-I_n$\\ c/ Montrer que $I_n$ est convergente et d\'eterminer sa limite.\\ En d\'eduire la valeur de $I_0$ en fonction de la limite de $u_n$. {\bf Correction}\\ 1/ Pour pour $j>2$ et pour $t \in [j-1;j[$ on a $1/j^2 \leq 1/t^2$ donc :\\ $\displaystyle u_n=\sum_{j=1}^n \frac{1}{j^2}=1+\sum_{j=2}^n \frac{1}{j^2}<1+\int_1^n \frac{1}{t^2}dt$\\ donc $u_n<1-\frac{1}{n}+1=2-\frac{1}{n}$\\ La suite $u_n$ est croissante et major\'ee donc elle est convergente de limite $l$ et on a $l \leq 2$.\\ 2/ On tape :\\ {\tt assume(a>0);}\\ {\tt limit(x\verb|^|a*log(x),x=0}\\ On obtient :\\ {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt ibpu(x\verb|^|a*log(x),log(x))}\\ On obtient :\\ {\tt [(x\verb|^|(a+1)*log(x))/(a+1),(-(x\verb|^|(a+1)))/(a*x+x)]}\\ On obtient :\\ {\tt -1/(a+1)\verb|^|2}\\ 3/ On tape :\\ {\tt g(n,x):=(x\verb|^|(2*n+1)*log(x))/(x\verb|^|2-1)}\\ {\tt limit(g(n,x),x=1)}\\ On obtient :\\ {\tt 1/2}\\ On tape :\\ {\tt limit(g(n,x),x=0)}\\ On obtient :\\ {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt lncollect(normal(g(n+1,x)-g(n,x)))}\\ On obtient :\\ {\tt ((x\verb|^|(2*n+3)-x\verb|^|(2*n+1))*log(x))/(x\verb|^|2-1)}\\ On tape :\\ {\tt int(x\verb|^|(2*n+1)*log(x),x,0,1}\\ On obtient :\\ {\tt -1/(2*n+2)\verb|^|2}\\ On a pour $0\leq x \leq 1$:\\ $0\leq g_n(x)1.85193705198> \pi/2$.\\ Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuit\'e s'appellent le ph\'enom\`ene de Gibbs. \subsubsection{Observation du ph\'enom\`ene de Gibbs} On cherche la limite de $y_n=S(x_n,n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.\\ D\'eterminer graphiquement les coordonn\'ees $x_n,y_n$ du maximum de :\\ $S(x,n)=\sum_{k=1}^n -(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$ pour $n=1, 2, 3, 4, 5$, $n=20$ et $ n=40$. On lit sur le graphique pr\'ec\'edent fait avec {\tt Xcas}: \begin{itemize} \item $x_1=1.57$, $y_1=1$ \item $x_2=2.1$, $y_2=1.3$ \item $x_3=2.38$, $y_3=1.44$ \item $x_4=2.53$, $y_4=1.53$ \item $x_5=2.63$, $y_5=1.59$ \item $x_20=3.00$, $y_20=1.77$ \item $x_40=3.07$, $y_40=1.80$ \end{itemize} \subsubsection{D\'emonstration du ph\'enom\`ene de Gibbs} On cherche $x_n$ et la limite de $y_n=S(x_n,n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ de fa\c{c}on th\'eorique.\\ \begin{enumerate} \item On va d\'eterminer la valeur de $x_n$\\ Pour avoir un calcul de la valeur approch\'ee de $x_n$, on sait que : $$S'(x,n)=s(x,n)=\sum_{k=1}^n \ (-1)^k \cos(kx)=\sum_{k=1}^n \cos(k(x+\pi)=$$ $$\frac{(\cos(x)-(-1)^n\cos(n*x)-(-1)^n\cos(x*(n+1))+1)}{(2*\cos(x)-2)}=$$ $$ \frac{\sin((2n+1)(x+\pi)/2)-\sin((x+\pi)/2)}{2\sin((x+\pi)/2)}$$ Donc \begin{itemize} \item pour $n=1$, on tape :\\ {\tt fsolve(2*cos(x)+cos(2*x)+1=0,x,1)}\\ On obtient : {\tt 1.57079632679} donc $x_1=1.57079632679$ \item pour $n=2$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)-cos(2*x)-cos(3*x)+1=0,x,2)}\\ On obtient : {\tt 2.09439510239} donc $x_2=2.09439510239$ \item pour $n=3$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)+cos(3*x)+cos(4*x)+1=0,x,2)}\\ On obtient : {\tt 2.35619449019} donc $x_3=2.35619449019$ \item pour $n=4$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)-cos(4*x)-cos(5*x)+1=0,x,2.5)}\\ On obtient : {\tt 2.51327412287} donc $x_4=2.51327412287$ \item pour $n=5$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)+cos(5*x)+cos(6*x)+1=0,x,2.5)}\\ On obtient : {\tt 2.61799387799} donc $x_5=2.61799387799$ \item pour $n=20$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)-cos(20*x)-cos(21*x)+1=0,x,3)}\\ On obtient : {\tt 2.99199300342} donc $x_{20}=2.99199300342$ \item pour $n=40$, on tape :\\ {\tt fsolve(cos(x)-cos(40*x)-cos(41*x)+1=0,x,3.04)}\\ On obtient : {\tt 3.06496844253} donc $x_{40}=3.06496844253$ \end{itemize} Mais cela ne donne que des valeurs approch\'ees.... Pour avoir un calcul de la valeur exacte de $x_n$, il faut r\'esoudre en $x$ : $$\sin((2n+1)(x+\pi)/2)-\sin((x+\pi)/2)= 0$$ ou $$\cos((n+1)(x+\pi)/2)*\sin(n(x+\pi)/2)=0$$ ce qui donne :\\ $(n+1)(x+\pi)/2)=\pi/2 \bmod \pi$ soit \\ $(n+1)x=-n\pi \bmod 2\pi$ donc\\ $\displaystyle x=\frac{(2k-n)\pi}{n+1}$ avec $n/22)$ \\ $\displaystyle\frac{(p+1)\pi}{n+1},\frac{(p+1)\pi}{n},\frac{(p+2)\pi}{n+1},\frac{(p+2)\pi}{n},....\frac{(n-1)\pi}{n+1},\frac{(n-1)\pi}{n},\frac{n\pi}{n+1}$ \end{itemize} On commence par un maximum et donc on finit aussi par un maximum. Le dernier maximum a pour abscisse : $$x_n=\frac{n\pi}{n+1}$$ On v\'erifie les r\'esultats pr\'ec\'edent et on tape :\\ {\tt evalf(k*pi/(k+1))\$(k=1..5)}\\ On obtient :\\ {\tt 1.57079632679,2.09439510239,\\ 2.35619449019,2.51327412287,2.61799387799}\\ Les maximum ont pour abscisse $\displaystyle\frac{(2k-n)\pi}{n+1}$ pour $k=p+1...n$ avec $p=floor(n/2)$\\ Pour $n=20$ cela donne $x_{20}=\pi*20/21\simeq2.99199300342$ \\ Pour $n=40$ cela donne $x_{40}=\pi*40/41\simeq3.06496844253$ \item D\'eterminons la valeur de $\displaystyle y_n=S(x_n,n)=\sum_{k=1}^n-(-1)^k\sin(kn\pi/(n+1))/k$\\ Par d\'efinition, on a :\\ $$S(x,n)=\sum_{k=1}^n \ (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k}$$ et $$y_n=S(x_n,n)=\sum_{k=1}^n-(-1)^k\frac{\sin(\frac{kn\pi}{n+1})}{k}S$$ On a montr\'e que : $$S'(x,n)=s(x+\pi,n)=\frac{\sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}{2\sin(\frac{x+\pi}{2})}$$ \noindent En int\'egrant cette \'egalit\'e entre $\pi$ et $x$, puisque $S(\pi,n)=0$, on obtient :\\ $$S(x,n)=\int_\pi^x(\frac{1}{2}-\frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}{2\sin(\frac{t+\pi}{2})}dt=\frac{x-\pi}{2}-\int_\pi^x \frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}{2\sin(\frac{t+\pi}{2})}dt$$ On fait le changement de variable $t=\pi-2u$ :\\ $(t+\pi)/2=\pi-u$ et $dt=-2du$ et comme $\sin(\pi-u)=\sin(u)$ et $\sin((2n+1)(\pi-u))=\sin((2n+1)u)$ on a :\\ $$S(x,n)=\frac{x-\pi}{2}+\int_0^{\frac{\pi-x}{2}}\frac{\sin((2n+1)u)}{\sin(u)}du$$ Puisque $\displaystyle x_n=\frac{n\pi}{n+1}$ on a :\\ $\displaystyle\frac{x_n-\pi}{2}=-\frac{\pi}{2(n+1)}$.\\ Donc $$y_n=S(x_n,n)=-\frac{\pi}{2(n+1)}+\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\frac{\sin((2n+1)u)}{\sin(u)}du$$ {\bf Exercice}\\ Montrez que : $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt=\int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$$ Pour cela on utilisera la continuit\'e de la fonction $g$ d\'efinie sur $[0;\pi[$ par :\\ $g(0)=0$,\\ $\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x} $ pour $x\in]0;\pi[$ \\ et on montrera que \\ $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\sin((2n+1)t)g(t)dt$ tend vers z\'ero quand $n$ tend vers $+\infty$.\\ {\bf Correction de l'exercice}\\ On tape en effet : {\tt limit(1/sin(x)-1/x,x,0)}\\ On obtient {\tt 0} \\ donc $g$ est continue sur $[0;\pi[$.\\ Donc il existe $K$ tel que pour tout $x\in [0;\pi/2]$ $|g(x)|0$ ({\tt isom} choisit l'orientation de l'axe pour que l'angle soit dans $[0,\pi]$ ie pour que son sinus soit positif). Comment retrouver ces r\'esultats ?\\ On cherche les points fixes de l'application lin\'eaire {\tt rot} de matrice {\tt M} dans la base canonique de $ R^3$, c'est \`a dire les points {\tt [x,y,z]} tels que :\\ {\tt (M-idn(3))*[x,y,z]=0}.\\ On tape :\\ {\tt linsolve((M-idn(3))*[x,y,z],[x,y,z])}\\ On obtient :\\ {\tt [-3*z,z,z]}\\ Il y a donc une droite de points fixes qui est pour {\tt z} $\in R$ :\\ {\tt z*[-3,1,1]}\\ Cherchons une base orthonorm\'ee $E1,E2,E3$ avec $E3$ port\'e par l'axe, par exemple $E3=\frac{\sqrt{11}}{11}[-3,1,1]$.\\ On choisit $E1*E3=0$ les coordonn\'ees {\tt [x,y,z]} de $E1$ doivent v\'erifier :\\ {\tt-3*x+y+z=0}\\ On choisit {\tt x=0,y=-z} donc $E1=\frac{\sqrt 2}{2}[0,1,-1]$\\ Puis on choisit $E2=E3\wedge E1$.\\ On tape :\\ {\tt E3:=sqrt(11)/11*[-3,1,1]}\\ {\tt E1:=sqrt(2)/2*[0,1,-1]}\\ {\tt E2:=normal(cross(E3,E1))}\\ On obtient :\\ {\tt [-(2*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22]}\\ En prenant comme nouvelle base $E1,E2,E3$ on a comme matrice de passage {\tt P:=tran(Q)} avec {\tt Q:=[E1,E2,E3]}.\\ On tape :\\ {\tt Q:=[E1,E2,E3]}\\ {\tt P:=tran(Q)}\\ On v\'erifie que {\tt Q=inv(P)} en tapant :\\ {\tt normal(P*Q)}et {\tt normal(Q*P)}\\ On obtient bien {\tt idn(3)}\\ La matrice de {\tt rot} dans cette nouvelle base est donc obtenue en tapant :\\ {\tt normal(Q*M*P)}\\ On obtient :\\ {\tt [[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],[0,0,1]]}\\ L'angle {\tt t} de la rotation est donc d\'efini par :\\ {\tt acos(t)=7/18} et {\tt asin(t)=-5*sqrt(11)/18}\\ On retrouve les r\'esultats trouv\'es avec la commande {\tt isom} car on n'a pas choisit la m\^eme orientation pour l'axe {\tt E3} est dirig\'e selon le vecteur {\tt [-3,1,1]} et non {\tt [3,-1,-1]}... \\ On tape :\\ {\tt isom([[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],}\\ {\tt [0,0,1]])}\\ On obtient :\\ {\tt [[0,0,-1],acos(7/18),1]}\\ car {\tt isom} choisit l'orientation de l'axe pour que l'angle soit dans $[0,\pi]$ ie pour que son sinus soit positif : si l'axe est dirig\'e selon {\tt -E3}, l'angle vaut $\alpha=\acos(7/18)$ avec $0\leq \alpha \leq \pi$. \section{Puissance n-i\`eme d'une matrice} Calculer la puissance n-i\`eme de la matrice :\\ $$A= \left [\begin{array}{rrrr} 7&4&0&0\\ -12&-7&0&0\\ 20&11&-6&-12\\ -12&-6&6&11 \end{array} \right]$$ On cherche si {\tt A} est diagonalisable.\\ On tape :\\ {\tt A:=[[7,4,0,0],[-12,-7,0,0],[20,11,-6,-12],[-12,-6,6,11]]}\\ {\tt P,B:=jordan(A)}\\ On obtient :\\ {\tt P:=[[0,1,0,2],[0,-2,0,-3],[-3,2,4,1],[2,-1,-3,0]]}\\ {\tt B:=[[2,0,0,0],[0,-1,0,0],[0,0,3,0],[0,0,0,1]]}\\ Donc {\tt A} est diagonalisable.\\ On a :\\ {\tt B=P\verb|^|{-1}*A*P}\\ donc \\ {\tt B\verb|^|n=P\verb|^|{-1}*A\verb|^|n*P}\\ ou encore\\ {\tt A\verb|^|n=P*B\verb|^|n*P\verb|^|{-1}}\\ On a :\\ {\tt B\verb|^|n=[[2\verb|^|n,0,0,0],[0,(-1)\verb|^|n,0,0],[0,0,3\verb|^|n,0],[0,0,0,1]]}\\ On tape :\\ {\tt Bn:=[[\verb|2^|n,0,0,0],[0,(-1)\verb|^|n,0,0],[0,0,3\verb|^|n,0],[0,0,0,1]]}\\ {\tt An:=normal(P*Bn*inv(P))}\\ On obtient :\\ ${\tt [[-3*(-1)^n+4,-2*(-1)^n+2,0,0],[6*(-1)^n-6,4*(-1)^n-3,0,0],}$\\ ${\tt [-6*(-1)^n+4*3^n+2,3*2^n-4*(-1)^n+1,9*2^n-8*3^n,12*2^n-12*3^n],}$\\ ${\tt [3*(-1)^n-3*3^n,-2*2^n+2*(-1)^n,-6*2^n+6*3^n,-8*2^n+9*3^n]]}$ Autre m\'ethode :\\ On calcule le polyn\^omr caract\'eristique de {\tt A}.\\ On tape :\\ {\tt pcar(A)}\\ On obtient :\\ {\tt [1,-5,5,5,-6]}\\ {\tt r2e([1,-5,5,5,-6],X)=(((X-5)*X+5)*X+5)*X-6}\\ Donc le polyn\^ome caract\'eristique de {\tt A} est :\\ $X^4-5*X^3+5*X^2+5*X-6$\\ On tape :\\ {\tt factor(r2e([1,-5,5,5,-6],X))}\\ On obtient :\\ {\tt (X-2)*(X-3)*(X+1)*(X-1)}\\ La matrice {\tt A} a donc 4 valeurs propres distinctes, et on a :\\ $A^4-5*A^3+5*A^2+5*A-6*idn(4)=0$\\ Donc :\\ $A^4=5*A^3-5*A^2-5*A+6*idn(4)$\\ $A^{n+4}=5*A^{n+3}-5*A^{n+2}-5*A^{n+1}+6*A^n$\\ On va donc \'etudier les suites r\'ecurrentes v\'erifiant :\\ (1) $u_{n+4}=5*u_{n+3}-5*u_{n+2}-5*u_{n+1}+6*u_n$\\ en cherchant les progressions g\'eom\'etriques de raison $r$ qui v\'erifient (1). La raison est donc solution de :\\ $X^4-5*X^3+5*X^2+5*X-6=(X-2)*(X-3)*(X+1)*(X-1)=0$ \\ c'est \`a dire on peut avoir :\\ $r=-1$ ou $r=1$ ou $r=2$ ou $r=3$\\ donc comme une suite r\'ecurrente qui v\'erifie (1) est enti\`erement d\'efinie par ses 4 premiers termes : $u_0,u_1,u_2,u_3$, si il existe $a,b,c,d$ tel que :\\ $u_0=a*(-1)^0+b*1^0+c*2^0+d*3^0=a+b+c+d$\\ $u_1=a*(-1)^1+b*1^1+c*2^1+d*3^1=-a+b+2*c+3*d$\\ $u_2=a*(-1)^2+b*1^2+c*2^2+d*3^2=a+b+4*c+9*d$\\ $u_3=a*(-1)^3+b*1^3+c*2^3+d*3^3=-a+b+8*c+27*d$\\ on aura :\\ $u_n=a*(-1)^n+b*1^n+c*2^n+d*3^n$\\ On tape :\\ {\tt g(u0,u1,u2,u3):=linsolve([a+b+c+d=u0,-a+b+2*c+3*d=u1,}\\ \hspace*{1cm} {\tt a+b+4*c+9*d=u2,-a+b+8*c+27*d=u3],[a,b,c,d])}\\ Puis :\\ {\tt g(u0,u1,u2,u3)}\\ On obtient :\\ {\tt [1/4*u0+-11/24*u1+1/4*u2+1/-24*u3,3/2*u0+1/4*u1-u2+1/4*u3,}\\ {\tt -u0-1/-3*u1+u2-1/3*u3,1/4*u0+1/-8*u1+1/-4*u2+1/8*u3]}\\ On tape :\\ {\tt normal((-1)\verb|^|n*(1/4*idn(4)+-11/24*A+1/4*A\verb|^|2+1/-24*A\verb|^|3)+}\\ {\tt 3/2*idn(4)+1/4*A-A\verb|^|2+1/4*A\verb|^|3+2\verb|^|n*(-idn(4)-1/-3*A+A\verb|^|2-}\\ {\tt 1/3*A\verb|^|3)+3\verb|^|n*(1/4*idn(4)+1/-8*A+1/-4*A\verb|^|2+1/8*A\verb|^|3))}\\ ou on tape :\\ {\tt vn:=[(-1)\verb|^|n,1,2\verb|^|n,3\verb|^|n]}\\ puis,\\ {\tt vn*g(idn(4),A,A\verb|^|2,A\verb|^|3)}\\ On obtient :\\ ${\tt [[-3*(-1)^n+4,-2*(-1)^n+2,0,0],[6*(-1)^n-6,4*(-1)^n-3,0,0],}$\\ ${\tt [-6*(-1)^n+4*3^n+2,-4*(-1)^n+3*2^n+1,9*2^n-8*3^n,12*2^n-12*3^n],}$\\ ${\tt [3*(-1)^n-3*3^n,2*(-1)^n-2*2^n,-6*2^n+6*3^n,-8*2^n+9*3^n]]}$ \section{Rang d'une matrice} Soit $a \in R$, on consid\`ere la matrice :\\ $$M_a= \left [\begin{array}{rrr} 2a-1&a&2a-1\\ a^2+a-2&a^2-1&a-1\\ a^2+a-1&a^2+a-1&a \end{array} \right]$$ 1/ Pour quelles valeurs de $a$, la matrice $M_a$ est-elle inversible ?\\ Quel est le rang de $M_a$ ?\\ 2/ Calculer l'inverse de $M_a$ lorsque cela est possible.\\ 1/ On cherche si {\tt Ma} est inversible en calculant son d\'eterminant.\\ On tape :\\ {\tt Ma:=[[2a-1,a,2a-1],[a\verb|^|2+a-2,a\verb|^|2-1,a-1],[a\verb|^|2+a-1,a\verb|^|2+a-1,a]]}\\ {\tt d:=det(Ma)}\\ On obtient :\\ {\tt 2*a\verb|^|4+-2*a\verb|^|3+-2*a\verb|^|2+2*a}\\ On tape :\\ {\tt factor(d)}\\ On obtient :\\ {\tt 2*(a+1)*a*(a-1)\verb|^|2}\\ Donc $M_a$ est inversible si est seulement si $a \in R-\{-1,0,1\}$.\\ Donc lorsque $a \in R-\{-1,0,1\}$ le rang de $M_a$ est 3.\\ Pour $a=-1$ on tape :\\ {\tt A:=subst(Ma,a=-1)}\\ On obtient :\\ {\tt [[-3,-1,-3],[-2,0,-2],[-1,-1,-1]]}\\ On tape :\\ {\tt rank(A)}\\ On obtient :\\ {\tt 2}\\ en effet :\\ {\tt det([[-3,-1],[-2,0]])!=0}\\ Pour $a=0$, on tape :\\ {\tt B:=subst(Ma,a=0)}\\ On obtient :\\ {\tt [[-1,0,-1],[-2,-1,-1],[-1,-1,0]]}\\ On tape :\\ {\tt rank(B)}\\ On obtient :\\ {\tt 2}\\ en effet :\\ {\tt det([[-1,0],[-2,-1]])!=0}\\ Pour $a=1$ on tape :\\ {\tt C:=subst(Ma,a=1)}\\ On obtient :\\ {\tt [[1,1,1],[0,0,0],[1,1,1]]}\\ On tape :\\ {\tt rank(C)}\\ On obtient :\\ {\tt 1}\\ en effet :\\ Les trois colonnes sont identiques et non nulles.\\ 2/ On tape :\\ {\tt normal(inv(Ma))}\\ On obtient :\\ {\tt [[1/(2*a\verb|^|3-2*a),(2*a\verb|^|2+2*a-1)/(2*a\verb|^|3-2*a),}\\ {\tt (-2*a\verb|^|2+1)/(2*a\verb|^|3-2*a)],[1/(-2*a\verb|^|2+2*a),}\\ {\tt (-2*a+1)/(2*a\verb|^|2-2*a),(2*a-1)/(2*a\verb|^|2-2*a)],}\\ {\tt [(a\verb|^|2+a-1)/(2*a\verb|^|3-2*a),(-a\verb|^|2-a+1)/(2*a\verb|^|3-2*a),}\\ {\tt (a\verb|^|2-a-1)/(2*a\verb|^|3-2*a)]]} \section{Changement de base} Soit $u$ l'endomorphisme de $R^4$ dont la matrice dans la base canonique est : $$A= \left [\begin{array}{rrrr} 1&a&0&0\\ 0&1&a&0\\ 0&0&1&a\\ 0&0&0&1 \end{array} \right]$$ D\'eterminer la matrice $B$ de $u$ dans la base :\\ $E1=e1$\\ $E2=e1+e2$\\ $E3=e1+e2+e3$\\ $E4=e1+e2+e3+e4$ {\bf Correction}\\ On tape :\\ {\tt A:=[[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]}\\ On d\'efinit la matrice de passage $P$ en mettant en colonne les coordonn\'ees des nouveaux vecteurs de base :\\ {\tt P:=[[1,1,1,1],[0,1,1,1],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]}\\ On d\'efinit la matrice de $u$ dans la nouvelle base :\\ {\tt B:=normal(changebase(A,P))}\\ On obtient :\\ {\tt [[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]}\\ On a : \\ $B=\mbox{inv}(P)*A*P$ V\'erifions :\\ On tape :\\ {\tt E1:=[1,0,0,0]}\\ {\tt E2:=[1,1,0,0]}\\ {\tt E3:=[1,1,1,0]}\\ {\tt E4:=[1,1,1,1]}\\ On tape :\\ {\tt A*E1} On obtient :\\ {\tt [1,0,0,0]}\\ On tape :\\ {\tt A*E2}\\ On obtient :\\ {\tt [1,1,0,0]}\\ On tape :\\ {\tt A*E3}\\ On obtient :\\ {\tt [1,1,1,0]}\\ On tape :\\ {\tt A*E4}\\ On obtient :\\ {\tt [1,1,1,1]} \section{R\'esolution d'un syst\`eme} R\'esoudre le syst\`eme :\\ $x+2y-z+2t=1$\\ $3x-y+z+2t=3$\\ $x+3y+3z-t=1$\\ $5x+5y-z+7t=a$\\ Pour quelles valeurs de $a$ ce syst\`eme admet-il des solutions enti\`eres ? {\bf Correction}\\ On tape :\\ {\tt linsolve([x+2y-z+2t=1,3x-y+z+2t=3,x+3y+3z-t=1,5x+5y-z+7t=a],}\\ {\tt [x,y,z,t])}\\ On obtient :\\ {\tt [-31/24*a+179/24,-1/6*a+5/6,25/24*a+(-125)/24,4/3*a+(-20)/3]}\\ Pour que $z$ soit entier il faut et il suffit que :\\ $a-5$ soit un mulitple de 24.\\ Si $a=5+k*24$, $x,y,t$ sont alors aussi des entiers. On tape :\\ {\tt linsolve([x+2y-z+2t=1,3x-y+z+2t=3,x+3y+3z-t=1,5x+5y-z+7t=5+24*k],}\\ {\tt [x,y,z,t])}\\ On obtient :\\ {\tt [-31*k+1,-(4*k),25*k,32*k]} \section{Forme bilin\'eaire} Soient $E$ l'espace vectoriel r`'eel des polyn\^omes de degr\'e $leq$ 2 et \`a coefficients r\'eels et $f$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie par :\\ $f(P,Q)=\int_{-1}^1 P(x),Q(x) dx$\\ 1/ D\'eterminer la matrice de $f$ et montrer que $f$ est positive et non d\'eg\'en\'er\'ee.\\ 2/ D\'eterminer l'endomorphisme adjoint \`a la d\'erivation.\\ {\bf Correction}\\ La base canonique de $E$ est : $1,x,x^2$. \\ Pour d\'eterminer la matrice $A$ de $f$ on va calculer : $f(e_j,e_k)$.\\ On tape :\\ {\tt integrate(1,x,-1,1)}\\ On obtient :\\ {\tt 2}\\ On tape :\\ {\tt integrate(x,x,-1,1)}\\ On obtient :\\ {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt integrate(x\verb|^|2,x,-1,1)}\\ On obtient :\\ {\tt 2/3}\\ On tape :\\ {\tt integrate(x\verb|^|3,x,-1,1)}\\ On obtient :\\ {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt integrate(x\verb|^|4,x,-1,1)}\\ On obtient :\\ {\tt 2/5}\\ Donc on a :\\ $A= \left [\begin{array}{rrr} 2&0&\frac{2}{3}\\ 0&\frac{2}{3}&0\\ \frac{2}{3}&0&\frac{2}{5} \end{array} \right]$ On tape pour avoir $f(c,b,a)$ :\\ {\tt normal(integrate((a*x\verb|^|2+b*x+c)*(a*x\verb|^|2+b*x+c),x,-1,1))}\\ On obtient :\\ ${\tt (2*a^2)/5+(4*a*c)/3+(2*b^2)/3+2*c^2}$\\ On tape :\\ {\tt gauss(2/5*a\verb|^|2+4/3*a*c+2/3*b\verb|^|2+2*\verb|^|2,[c,b,a])}\\ On obtient :\\ ${\tt (2/3*a+2*c)^2/2+(2/3*b)^2/(2/3)+8*a^2/45}$\\ on a donc :\\ ${\tt f(c,b,a)=(2/3*a+2*c)^2/2+(2/3*b)^2/(2/3)+8*a^2/45}$\\ donc {\tt f(c,b,a)>=0} et on a :\\ {\tt f(c,b,a)=0} si et seulement si {\tt a=b=c=0}.\\ 2/ La d\'erivation $d$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $E$ matrice :\\ $B= \left [\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array} \right]$ L'adjoint $d^*$ de $d$ v\'erifie $f(d^*(P),Q)=f(P,d(Q))$ ou encore si $C$ est la matrice de $d^*$:\\ ${}^tP*A*B*Q={}^tP*{}^tC*A*Q$\\ $A*B={}^tC*A$ ou ${}^t B*{}^tA={}^tA*C$\\ donc :\\ $C=({}^tA)^{-1}*{}^t B*{}^tA$\\ On tape :\\ {\tt A:=[[2,0,2/3],[0,2/3,0],[2/3,0,2/5]]}\\ {\tt B:=[[0,1,0],[0,0,2],[0,0,0]]}\\ {\tt C:=normal(inv(tran(A))*tran(B)*tran(A))}\\ On obtient :\\ {\tt [[0,-5/2,0],[3,0,1],[0,15/2,0]]}\\ donc \\ $C= \left [\begin{array}{rrr} 0&-\frac{5}{2}&0\\ 3&0&1\\ 0&\frac{15}{2}&0 \end{array} \right]$ donc \\ $d^*(a*x^2+b*x+c)=-\frac{5}{2}*b+(3*c+a)*x+\frac{15}{2}*b*x^2$ \chapter{Les courbes de degr\'e au plus 2.} Ce sont les courbes qui ont comme \'equation, dans un rep\`ere $Oxy$, $P(x,y)=0$ o\`u $P$ est un polyn\^ome de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2. \section{La droite} L'\'equation cart\'esienne d'une droite non parall\`ele \`a l'axe $Oy$ est $y=a*x+b$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $a$ et $b$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} a:=element(-4..5); b:=element(-4..2); droite(y=a*x+b); \end{verbatim} L'\'equation cart\'esienne d'une droite quelconque est $m*x+n*y+p=0$ : son vecteur normal est $m+i*n$ et elle passe par le point $-i*p/n$ si $n\neq 0$ ou par le point $-p/m$ si $m\neq 0$ (on suppose $m*n \neq 0$).\\ L'\'equation param\'etrique d'une droite passant par le point $A=x_0+i*y_0$ et parall\`ele au vecteur $V=u+i*v$ est $x(t)=x_0+u*t,\ y(t)=y_0+v*t$ (on suppose $u*v \neq 0$).\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ si on veut voir l'influence de $A$, $u$ et $v$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); u:=element(-4..5); v:=element(-4..2); plotparam(re(A)+u*t+i*(im(A)+v*t),t); plotparam(evalc(A+(u+i*v)*t),t) //plotparam(A+(a+i*b)*t,t); \end{verbatim} L'\'equation param\'etrique d'une droite passant par le point $A=x_0+i*y_0$ et le point $B=x1+i*y1$ est $\displaystyle x(t)=\frac{x_0+t*x1}{1+t},\ y(t)=\frac{y_0+t*y1}{1+t}$ (si $t \neq -1$).\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et $B$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(1,0); B:=point(0,1); plotparam(affixe(A+B*t)/(1+t),t); m:=element(-4..5); M:=point((A+B*m)/(1+m)); \end{verbatim} \section{Le cercle} \noindent L'\'equation cart\'esienne d'un cercle centr\'e \`a l'origine et de rayon $|a|$ est :\\ $x^2+y^2=a^2$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} a:=element(0..5); plotfunc(sqrt(a^2-x^2),x); plotfunc(-sqrt(a^2-x^2),x); \end{verbatim} L'\'equation cart\'esienne d'un cercle centr\'e en $A=x_0+i*y_0$ et de rayon $|a|$ est $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=a^2$.\\ L'\'equation param\'etrique d'un cercle centr\'e en $A=x_0+i*y_0$ et de rayon $|a|$ est $x(t)=x_0+|a|*\cos(t),\ y(t)=y_0+|a|*\sin(t)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t) \end{verbatim} Pour avoir un demi-cercle pour $t$ allant de $-\pi/2$ \`a $\pi/2$, on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t=-pi/2..pi/2) \end{verbatim} L'\'equation polaire d'un cercle centr\'e \`a l'origine est $r=|a|$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotpolar(a,t); \end{verbatim} Le cercle centr\'e en $A=x_0+i*y_0$ est le translat\'e du pr\'ec\'edent dans la translation de vecteur l'affixe du point $A$.\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); translation(affixe(A),plotpolar(a,t)) \end{verbatim} L'\'equation polaire d'un cercle passant par l'origine et de diam\`etre $OA=d$ avec $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OA})=t_0$ $r=d*\cos(t-t_0)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=affixe(A); plotpolar(abs(a)*cos(t-arg(a)),t); \end{verbatim} Le cercle centr\'e en $B=x_0+i*y_0$ est le translat\'e du pr\'ec\'edent dans la translation de vecteur l'affixe du point $B$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $B$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(1,0); B:=point(0,1); ba:=affixe(A-B); translation(affixe(B),plotpolar(abs(ba)*cos(t-arg(ba)),t)); \end{verbatim} \section{L'ellipse} \noindent L'\'equation cart\'esienne d'une ellipse centr\'ee en $A=x_0+i*y_0$ et de demi-axes de longueur $|a|$ et $|b|$ est :\\ $\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ \\ on a $a^2=b^2+c^2$ et $AF=AF'=|c|$ si $F$ et $F'$ sont les foyers. L'\'equation param\'etrique d'une ellipse centr\'ee en $A=x_0+i*y_0$ est :\\ $x(t)=x_0+a*\cos(t),\ y(t)=y_0+a*\sin(t)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A+a*cos(t)+i*b*sin(t)),t) \end{verbatim} {\bf Remarque}\\ On peut aussi utiliser les commandes :\\ {\tt ellipse}, {\tt conique} et {\tt conique\_reduite}. \section{L'hyperbole} \noindent L'\'equation cart\'esienne d'une hyperbole centr\'ee en $A=x_0+i*y_0$ et de demi-axes de longueur $|a|$ et $|b|$ est :\\ $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ (on a $a^2=b^2+c^2$ et $AF=AF'=|c|$ si $F$ et $F'$ sont les foyers). L'\'equation param\'etrique d'une hyperbole centr\'ee en $A=x_0+i*y_0$ est $x(t)=x_0+a*\cosh(t),\ y(t)=y_0+a*\sinh(t)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $a$ on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A+a*cosh(t)+i*b*sinh(t)),t) \end{verbatim} {\bf Remarque}\\ On peut aussi utiliser les commandes :\\ {\tt hyperbole}, {\tt conique} et {\tt conique\_reduite}. \section{La parabole} \noindent L'\'equation cart\'esienne d'une parabole de sommet $A=x_0+i*y_0$ et de directrice $D$ d'\'equation $x=a=x_0-p/2$ (o\`u $p/2$ est la distance de $A$ \`a $D$) a pour \'equation : \\ $(y-y_0)^2=4x(x_0-a)-x_0(x_0-a)=4(x-x_0)(x_0-a)=2*p*(x-x_0)$ Par exemple, si $p=3$, $x_0=1$ et $y_0=2$, son sommet est {\tt A:=point(1,2)}, son foyer $F$ est d\'efini par {\tt F:=point(1+3/2,2)} et son \'equation est :\\ $(y-2)^2=6*(x-1)$ L'\'equation param\'etrique d'une parabole est :\\ $x_0+t^2/(2*p)+i(t+y_0)$ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ Si on veut voir l'influence de $A$ et de $p$, on tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie : \begin{verbatim} A:=point(0,1); p:=element(-5..5); plotparam(affixe(A)+t^2/(2*p)+i*t,t) \end{verbatim} {\bf Remarque}\\ On peut aussi utiliser les commandes :\\ {\tt parabole}, {\tt conique} et {\tt conique\_reduite}. \chapter{Exemples de courbes en param\'etrique} \section{Les cycloïdes} \subsection{La cycloïde} \subsubsection{La courbe} Une cycloïde est le lieu d'un point $M$ situ\'e sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.\\ Si au d\'epart $M$ est \`a l'origine $O$, si le cercle $C$, de centre $A$ et rayon $R$, roule sur l'axe des $x$, si $P$ est le point de contact de $C$ avec $Ox$ lorsque $C$ a tourn\'e d'un angle $t$, on a :\\ $\overrightarrow{OP}=Rt$,$\overrightarrow{AP}=-iR$ et $\overrightarrow{AM}$=rotation($A,-t,\overrightarrow{AP})=-Ri(\cos(-t)+i\sin(-t))=-R\sin(t)-Ri(\cos(t)$ donc\\ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}=Rt+iR-R\sin(t)-Ri(\cos(t))=R(t-\sin(t)+i(1-\cos(t))$ L'\'equation param\'etrique d'une cycloïde est donc :\\ $$x=R(t-\sin(t));\ y=R(1-\cos(t))$$ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape : \begin{verbatim} R:=element(0..5); plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge); \end{verbatim} On peut faire une animation pour voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de rayon {\tt R} lorsque {\tt C} roule sur l'axe des {\tt x}.\\ On tape : \begin{verbatim} R:=element(0..5); plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge); animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5)); animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5)); \end{verbatim} On peut aussi faire une animation pour voir l'infuence du rayon {\tt R}, mais ici, cela n'a pas beaucoup d'inter\^et.\\ On tape : \begin{verbatim} animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))), t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1)); \end{verbatim} \subsubsection{La longueur d'une arche de cycloïde} On peut calculer la longueur d'une arche de cycloïde.\\ On a : $ds^2=dx^2+dy^2$ On tape :\\ {\tt tlin(diff(R*(t-sin(t)),t)\verb|^|2+diff(R*(1-cos(t)),t)\verb|^|2)}\\ On obtient : {\tt 2*R\verb|^|2+(-2*R\verb|^|2)*cos(t)}\\ On tape :\\ {\tt trigsin(halftan(2*R\verb|^|2+(-2*R\verb|^|2)*cos(t))} On obtient : {\tt 4*R\verb|^|2*sin(t/2)\verb|^|2}\\ Quand $t$ varie de 0 \`a $2\pi$, la longueur d'une arche de cycloïde est :\\ {\tt normal(int(2*R*sin(t/2),t,0,2*pi))}\\ On obtient : {\tt 8*R} \subsection{La cycloïde raccourcie} Une cycloïde raccourcie est le lieu d'un point $P$ situ\'e sur un rayon $AM$ du cercle de centre $A$ qui roule sans glisser sur une droite.\\ Si $AP=k*AM=k*R$ avec $k<1$, l'\'equation param\'etrique d'une cycloïde raccourcie est donc :\\ $$x=R(t-k*\sin(t);\ y=R(1-k*\cos(t)\mbox{ avec } k<1$$ {\bf Avec {\tt Xcas}}, on tape : \begin{verbatim} R:=element(0..3); k:=element(0..1); plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge); \end{verbatim} \subsection{La cycloïde allong\'ee ou trochoïde} Une cycloïde allong\'ee ou trochoïde est le lieu d'un point $Q$ situ\'e sur le prolongement du rayon $AM$ du cercle de centre $A$ qui roule sans glisser sur une droite.\\ Si $AQ=k*AM=k*R$ avec $k>1$, l'\'equation param\'etrique d'une cycloïde allong\'ee donc :\\ $$x=R(t-k*\sin(t);\ y=R(1-k*\cos(t) \mbox{ avec } k>1$$ {\bf Avec {\tt Xcas}}, on tape : \begin{verbatim} R:=element(0..3); k:=element(1..5); plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge); \end{verbatim} \subsection{Les cycloïdes} On peut faire une animation pour voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de centre {\tt A} et de rayon {\tt R}, et d'un point {\tt P} du rayon {\tt AM} lorsque {\tt C} roule sur l'axe des {\tt x}.\\ On tape : \begin{verbatim} R:=element(0..3); k:=element(0..5,0.84); plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-8..8,affichage=rouge); plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-8..8,affichage=vert); animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-8,8,0.5)); animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-8,8,0.5)); animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-8,8,0.5)); animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*max(k,1)*exp(-i*u)))',u,-8,8,0.5)); \end{verbatim} On peut aussi faire une animation pour voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de centre {\tt A} et de rayon {\tt R}, d'un point {\tt P} du rayon {\tt AM} et d'un point {\tt Q} sur le prolongement du rayon {\tt AM} lorsque {\tt C} roule sur l'axe des {\tt x}.\\ On tape : \begin{verbatim} R:=element(0..3); k:=element(0 .. 1,0.84); l:=element(1 .. 4,2); plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge); plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-10..10,affichage=vert); plotparam(R*(t-l*sin(t)+i*(1-l*cos(t))),t=-10..10,affichage=bleu); animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5)); animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-10,10,0.5)); animation(seq('Q:=point(R*(u-l*sin(u)+i*(1-l*cos(u))))',u,-10,10,0.5)); animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*l*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5)); \end{verbatim} \section{\'Epicycloïde et hypocycloïde} \subsection{\'Epicycloïde}\label{sec:epi} Une \'epicycloïde est le lieu d'un point $M$ situ\'e sur un cercle $C$, de centre $A$ et de rayon $R$, qui roule sans glisser sur un cercle $C_0$, de rayon $R_0$, lorsque $C$ se trouve \`a l'ext\'erieur de $C_0$.\\ Si le cercle $C_0$ est de centre $O$, si au d\'epart $M$ est en $I$ sur $Ox$, si $P$ est le point de contact de $C$ avec $C_0$ lorsque $C$ a tourn\'e d'un angle $u$, $P$ a tourn\'e d'un angle $t$ sur $C_0$, on a :\\ $\overrightarrow{IP}=R_0t=Ru$,\\ $\overrightarrow{OA}=(R+R_0)(\cos(t)+i\sin(t))$, $\overrightarrow{PA}=R(\cos(t)+i\sin(t))$,\\ $\overrightarrow{AM}$=rotation($A,u,\overrightarrow{AP})=-R(\cos(t)+i\sin(t))(\cos(u)+i\sin(u))=$\\ $-R(\cos(u+t)+i\sin(u+t))=-R(\cos((R_0/R+1)t)+i\sin((R_0/R+1)t))$\\ On a :\\ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}= (R+R_0)(\cos(t)+i\sin(t))-R(\cos((R_0/R+1)t)+i\sin((R_0/R+1)t))$\\ Si on pose $R_0/R+1=m$, l'\'equation param\'etrique d'une \'epicycloïde est donc :\\ $$x=R(m\cos(t)-\cos(mt)); \ y=R(m\sin(t)-\sin(mt))$$ La courbe se referme si $2k\pi R_0=2n\pi R$ c'est \`a dire si le rapport $R_0/R$ est rationnel. {\bf Cas particuliers}\\ $R=R_0$ on a une cardioïde,\\ $R=R_0/2$ on a une n\'ephroïde de rebroussement,\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape : \begin{verbatim} C:=cercle(0,3); R:=element(0.1..4); m:=3/R+1; plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)), t=-10..10,affichage=rouge); \end{verbatim} On a choisit $R_0=3$. On peut ainsi faire varier $R$ et voir les 4 cas :\\ $R=1$, $R=1.5$, $R=3$, $R=4$. On peut faire une animation et voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de centre {\tt A} et de rayon {\tt R} lorsque ce cercle roule \`a l'ext\'erieur d'un cercle {\tt C0} de centre {\tt 0} et de rayon {\tt 3}.\\ On tape : \begin{verbatim} C:=cercle(0,3); R:=element(0..5); m:=3/R+1; plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)), t=-10..10,affichage=rouge); animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+ i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5)); \end{verbatim} \subsection{Hypocycloïde} Une hypocycloïde est le lieu d'un point $M$ situ\'e sur un cercle $C$, de centre $A$ et de rayon $R$, qui roule sans glisser sur un cercle $C_0$, de rayon $R_0>R$, lorsque $C$ se trouve \`a l'int\'erieur de $C_0$.\\ On peut changer $R$ en $-R$ dans l'\'equation d'une \'epicycloïde ou refaire les calculs...\\ Si le cercle $C_0$ est de centre $O$, si au d\'epart $M$ est en $I$ sur $Ox$, si $P$ est le point de contact de $C$ avec $C_0$ lorsque $C$ a tourn\'e d'un angle $u$, $P$ a tourn\'e d'un angle $t$ sur $C_0$, on a :\\ $\overrightarrow{IP}=R_0t=-Ru$ (car $u$ est n\'egatif et $R$ positif),\\ $\overrightarrow{OA}=(R_0-R)(\cos(t)+i\sin(t))$,\\ $\overrightarrow{PA}=-R(\cos(t)+i\sin(t))$,\\ $\overrightarrow{AM}$=rotation($A,u,\overrightarrow{AP})=R(\cos(t)+i\sin(t))(\cos(u)+i\sin(u))=R(\cos(u+t)+i\sin(u+t))=-R(\cos((R_0/R-1)t)+i\sin((R_0/R-1)t))$\\ On a :\\ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=(R_0-R)(\cos(t)+i\sin(t))-R(\cos((R_0/R-1)t)+i\sin((R_0/R-1)t))$\\ Si on pose $-R_0/R+1=m$, l'\'equation param\'etrique d'une hypocycloïde est donc :\\ $$x=-R(m\cos(t)-\cos(mt)); \ y=-R(m\sin(t)-\sin(mt))$$ La courbe se referme si $2k\pi R_0=2n\pi R$ c'est \`a dire si le rapport $R_0/R$ est rationnel. {\bf Cas particuliers}\\ $R=2R_0/3$ on a une hypocycloïde \`a 3 rebroussements,\\ $R=R_0/4$ on a une astroïde,\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape : \begin{verbatim} C:=cercle(0,3); R:=element(0..2.9); m:=-3/R+1; plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)), t,affichage=rouge) \end{verbatim} On a choisit $R_0=3$. On peut ainsi faire varier $R$ et voir les 3 cas :\\ $R=0.75$, $R=1.2$, $R=2$. On peut faire une animation et voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de centre {\tt A} et de rayon {\tt R} lorsque ce cercle roule \`a l'int\'erieur d'un cercle {\tt C0} de centre {\tt 0} et de rayon {\tt 3}.\\ On tape : \begin{verbatim} C:=cercle(0,3); R:=element(0..3); m:=3/R+1; plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)), t,affichage=rouge); animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+ i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5)); \end{verbatim} \subsection{Epicycloïde et hypocycloïde} On peut unifier les 2 cas en prenant $R$ n\'egatif pour les hypocycloïde. {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} C:=cercle(0,3); R:=element(-3..4); m:=3/R+1; plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)), t=-10..10,affichage=rouge) \end{verbatim} On a choisit $R_0=3$. On peut ainsi faire varier $R$ et voir les diff\'erents cas :\\ $R=-1.2$, $R=-1$, $R=-0.75$, $R=1$, $R=1.5$, $R=3$, $R=4$. On peut faire une animation et voir le d\'eplacement d'un point {\tt M} d'un cercle {\tt C} de centre {\tt A} et de rayon {\tt |R|} lorsque ce cercle roule (\`a l'int\'erieur si {\tt R<0} et \`a l'ext\'erieur si {\tt R>0}) sur le cercle {\tt C0} de centre {\tt 0} et de rayon {\tt 3}.\\ On tape : \begin{verbatim} C0:=cercle(0,3); R:=element(-3..4); m:=3/R+1; plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)), t=-10..10,affichage=rouge); animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+ i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5)); animation(seq('segment((3+R)*exp(i*v),R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+ i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5)); \end{verbatim} \section{L'astroïde} On pourra se reporter \`a la session {\tt astroide.xws}.\\ \subsection{La courbe} {\bf D\'efinition} On d\'eplace un segment $AB$ de longueur constante $a$ de façon que $A$ soit sur $0x$ et $B$ sur $Oy$.\\ L'astroïde est l'enveloppe de ce segment. L'astroïde est aussi le lieu de la projection $M$ de $C$ sur $AB$, lorsque $OACB$ est un rectangle. Si $OACB$ est un rectangle et si $t$ est l'angle $\overrightarrow{0x},\overrightarrow{0C}$, on a :\\ $\overline{0A}=a\cos(t)$ et $\overline{0B}=a\sin(t)$\\ La droite $AB$ a donc comme \'equation :\\ $x/(a\cos(t))+y/(a\sin(t))=1$ ou encore \\ $x*tan(t)+y=a\sin(t)$\\ L'enveloppe de la droite $AB$ est le lieu des points d'intersection de :\\ $x*\tan(t)+y=a\sin(t)$ et de $x/\cos(t)^2=a\cos(t)$\\ donc $x=a\cos(t)^3$ et $y=a\sin(t)-a\sin(t)*\cos(t)^2=a\sin(t)^3$.\\ L'astroïde a donc comme \'equation param\`etrique : $x=a\cos(t)^3;y=a\sin(t)^3$.\\ On tape :\\ {\tt plotparam(cos(t)\verb|^|3+i*sin(t)\verb|^|3,t)} \subsection{La longueur de cette courbe} On peut calculer la longueur d'un quart d'astroïde.\\ On a : $ds^2=dx^2+dy^2$\\ On tape :\\ {\tt tlin(diff(a*cos(t)\verb|^|3,t)\verb|^|2+diff(a*sin(t)\verb|^|3,t)\verb|^|2)}\\ On obtient : {\tt (9*a\verb|^|2)/8+(-((9*a\verb|^|2)/8))*cos(4*t)}\\ On tape :\\ {\tt trigsin(halftan((9*a\verb|^|2)/8+(-((9*a\verb|^|2)/8))*cos(4*t)))}\\ On obtient : {\tt 9/4*a\verb|^|2*sin((4*t)/2)\verb|^|2}\\ Quand $t$ varie de 0 \`a $2\pi$, la longueur d'un quart d'astroïde est :\\ {\tt normal(int( 3/2*a*sin(2*t),t,0,pi/2))}\\ On obtient : {\tt 3/2*a}\\ On a la longueur de l'astroïde est donc : {\tt 6*a}\\ \section{Un exercice} \subsection{L'\'enonc\'e} On consid\`ere la fonction $g\: \R->\C$ d\'efinie par : $\displaystyle g(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{i2^nt}}{2^n}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est p\'eriodique.\\ Calculer $g(-t)$ et $\sup_{t\in \R}|g(t)|$.\\ Majorer l'erreur commise lorsqu'on prend : $\sum_{n=0}^{20}\frac{e^{i2^nt}}{2^n}$ comme valeur approch\'ee de $g(t)$ \item En utilisant {\tt Xcas} dessiner l'image de $\R$ par cette approximation de $g$. \end{enumerate} \subsection{Le corrig\'e} \begin{enumerate} \item On a $g(t+2\pi)=g(t)$ donc $g$ est p\'eriodique de p\'eriode $2\pi$.\\ On a $g(-t)=\overline{g(t)}$.\\ On a $\displaystyle |\frac{e^{i2^nt}}{2^n}|<\frac{1}{2^n}$ donc $\displaystyle \sup_{t\in \R}|g(t)|<=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=2$.\\ Si on prend : $\sum_{n=0}^{20}\frac{e^{i2^nt}}{2^n}$ comme valeur approch\'ee de $g(t)$ l'erreur commise est inf\'erieure \`a : $\displaystyle \sum_{n=21}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{20}}<1e-06$ \item On d\'efinit la fonction $g$ et on tape :\\ {\tt g(t):=sum(exp(i*2\verb|^|n*t)/2\verb|^|n,n=0..20)}\\ L'image de $\R$ par $g$ est la courbe en param\'etrique d\'efinie par $g$. On tape :\\ {\tt plotparam(g(t),t=0..pi);plotparam(g(t),t=pi..2pi,affichage=1)}\\ On visualise la sym\'etrie de la courbe par rapport \`a l'axe des $x$, sym\'etrie due au fait que $g(-t)=\overline{g(t)}$ et on obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{exoparam} \end{enumerate} \chapter{Exemples de courbes en polaire} On donne ici les \'equations en polaire de diff\'erentes courbes. \section{La droite} $r=\displaystyle \frac{1}{a\cos(\theta)+b\sin(\theta)}$ \section{Le cercle passant par $O$} $r=a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$ \section{Conique} \subsection{Conique de foyer $O$} $\displaystyle r=\frac{p}{1+e\cos(\theta)}$ \subsection{Conique g\'en\'erale} $\displaystyle r=\frac{1}{a+b\cos(\theta)+c\sin(\theta)}$ \section{Concho\"{i}de de courbes} \subsection{D\'efinition} On appelle concho\"{i}de d'une courbe $(C)$ par rapport \`a un point $O$ le lieu $(\Gamma)$ des points $M$ et $N$ que l'on obtient en portant sur la droite $OP$ : $\overline{PM}=-\overline{PN}=a$ lorsque $P$ d\'ecrit la courbe $C$ et que $a$ a une valeur constante.\\ Si l'\'equation polaire de $C$ est $r=f(\theta)$, celle de $(\Gamma)$ est : $r=f(\theta)\pm a$.\\ {\bf Remarque}\\ Si $f(\theta-\pi)=-f(\theta)$ alors le double signe est inutile. En effet un point $K$ de coordonn\'ees polaires $r,\theta$ est aussi et le point $K_1$ de coordonn\'ees polaires $-r,\theta+\pi$.\\ Si on consid\`ere :\\ le point $M$ de coordonn\'ees polaires :\\ $f(\theta)+a,\theta$ et \\ $\theta_1=\theta+\pi$ On a :\\ $f(\theta)+a=f(\theta_1-\pi)+a=-f(\theta_1)+a=-(f(\theta_1)-a)$ le point $M$ de coordonn\'ees polaires $f(\theta)+a,\theta$ est donc identique au point de coordonn\'ees polaires :\\ $-(f(\theta_1)-a,\theta)$ qui est le point $N$ de coordonn\'ees polaires $f(\theta_1)-a,\theta_1$. \subsection{Concho\"{i}de de droite ou concho\"{i}de de Nicom\`ede} Soient une droite $d$, un point $O$ non situ\'e sur $d$ et un nombre r\'eel $a$.\\ La concho\"{i}de de Nicom\`ede est le lieu $(\Gamma)$ des points $M$ et $N$ que l'on obtient en portant sur la droite $OP$ : $\overline{PM}=-\overline{PN}=a$ lorsque $P$ d\'ecrit la droite $d$ et que $a$ a une valeur constante.\\ Soit $h$ la distance de $O$ \`a la droite $d$.\\ La concho\"{i}de de Nicom\`ede a comme \'equation :\\ $$r=h/\cos(\theta)+a$$ Le double signe est inutile car $\cos(\theta-\pi)=-\cos(\theta)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} O:=point(0,0); d:=droite(x=3); a:=element(1..5); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge) \end{verbatim} On a choisit $h=3$. On peut ainsi faire varier $a$ et voir les 3 cas :\\ $ha$. On peut trouver l'\'equation cart\'esienne :\\ $r=rh/x+a$ donc\\ $r-rh/x=r(x-h)/x=a$ donc\\ $$(x^2+y^2)(x-h)^2-a^2x^2=0$$ c'est donc une quartique. On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand {\tt P} se d\'eplace sur la droite {\tt d}.\\ On ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie 2D et on tape (on a choisit $h=3$ et $a$ entre 1 et 5) pour faire une animation (ne pas oublier de mettre {\tt animate} \`a 0.5 \`a l'aide du bouton {\tt cfg} : \begin{verbatim} O:=point(0,0); d:=droite(x=3):;d; supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge); T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+ (a+3/cos(u))^2/(a*sin(u)); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.1)); animation(seq('P:=point(3+i*tan(u)*3)',u,-10,10,0.1)); animation(seq('M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10,0.1)); animation(seq('droite(y=T(a,u,x),affichage=vert)',u,-10,10,0.1)); \end{verbatim} On obtient :\\ {\tt La concho\"{i}de de Nicom\`ede (en rouge)} :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{nicomede} On suppose maintenant que des rayons parall\`eles \`a l'axe des y se r\'efl\'echissent sur la deuxi\`eme nappe (lorsque $-\pi/2<\theta<\pi/2$).\\ Pour avoir la trace des rayons r\'efl\'echis, on tape : \begin{verbatim} O:=point(0,0); d:=droite(x=3):;d; supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge); T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+ (a+3/cos(u))^2/(a*sin(u)); N:=unapply(equal2list(equation(perpendiculaire( M,droite(y=T(a,u,x)))))[1],[a,u,x]); //N(a,u,x):=(a*sin(u)*cos(u)^2)/(3+a*cos(u)^3)*x+ //(9*tan(u)+3*a*sin(u))/(3+a*cos(u)^3); supposons(u:=[1.2,(-pi)/2,pi/2,0.05]); M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u)); dd:=symetrie(droite(y=N(a,u,x)), demi_droite(M,point(i*(3/cos(u)+a)*sin(u)))):; trace(dd); \end{verbatim} On obtient quand on fait bouger le curseur {\tt u} pour avoir la trace des rayons r\'efl\'echis :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{nicorefl}\\ {\tt Les rayons r\'efl\'echis sur une concho\"{i}de de Nicom\`ede} \subsection{Concho\"{i}de de cercle} On construit ainsi le lima\c{c}on de Pascal.\\ Soit un cercle $C$ de rayon $R$, un point $O$ situ\'e sur $C$ et un nombre r\'eel $a$. Le lima\c{c}on de Pascal est le lieu $(\Gamma)$ des points $M$ et $N$ que l'on obtient en portant sur la droite $OP$ : $\overline{PM}=-\overline{PN}=a$ lorsque $P$ d\'ecrit le cercle $C$ et que $a$ a une valeur constante.\\\\ Une concho\"{i}de de cercle a comme \'equation :\\ $$r=2R\cos(\theta)+a$$ Le double signe est inutile car $\cos(\theta-\pi)=-\cos(\theta)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} O:=point(0,0); C:=cercle(3,3); a:=element(1..5); plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge); \end{verbatim} On a choisit $R=3$. On peut ainsi faire varier $a$ et voir les 3 cas :\\ $2Ra$.\\ Lorsque $2R=a$ on a $r=2R(\cos(\theta)+1)=a(\cos(\theta)+1)$ c'est donc une cardio\"{i}de.\\ On peut faire une animation et voir et les points {\tt M}, {\tt N} et la construction de la courbe quand {\tt P} se d\'eplace sur le cercle {\tt C}.\\ On tape : \begin{verbatim} O:=point(0,0); C:=cercle(3,3); a:=element(1..5); plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u=-10..10)); animation(seq('P:=point(6*cos(u)*exp(i*u))',u,-10,10)); animation(seq('M:=point((6*cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10)); animation(seq('N:=point((6*cos(u)-a)*exp(i*u))',u,-10,10)); \end{verbatim} \section{Cisso\"{i}de droite et stropho\"{i}de droite} \subsection{Cisso\"{i}de droite} Soient une droite $d$, un point $O$ non situ\'e sur $d$ et $H$ la projection orthogonale de $O$ sur $d$. Soit $h=OH$ la distance de $O$ \`a la droite $d$ et $C$ le cercle de diam\`etre $OH$.\\ Soit $P$ un point de $d$ et $N$ l'intersection de $OP$ avec $C$. Lorsque $P$ d\'ecrit la droite $d$, le lieu de $M$, obtenu en portant sur $OP$, $OM=NP$ est une cisso\"{i}de droite.\\ Si $O$ est l'origine, $OH$ l'axe des $x$ et $t$ l'angle de $OP$ avec $Ox$, on a :\\ $P=point(h/\cos(t)*\exp(i*t))$, $N=point(h*\cos(t)*\exp(i*t))$, $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{NP}=h*\exp(i*t)*(1/\cos(t)-\cos(t))=h*\exp(i*t)*(1-\cos(t)^2)/\cos(t)=x+i*y=r*\exp(i*t)$ Donc :\\ $x=h*\sin(t)^2$ et $y=h*\tan(t)*\sin(t)^2$ et\\\ $r=h*\sin(t)^2/\cos(t)$\\ donc l'\'equation polaire de la cissoïde droite est :\\ $r=h*\sin(t)^2/\cos(t)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} O:=point(0,0); h:=element(0..6); d:=droite(x=h); cercle(0,point(h)); plotpolar(h*sin(t)^2/cos(t),t,affichage=rouge); \end{verbatim} Cette courbe ressemble \`a un morceau de conchoïde de droite lorsque $ah$. {\bf Remarque}\\ Si on prend l'origine en $H$ on a comme \'equation polaire:\\ $r=-h*\cos(2*t))/\cos(t)$.\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand {\tt P} se d\'eplace sur la droite {\tt d}.\\ On tape : \begin{verbatim} O:=point(0,0); h:=element(1..5); d:=droite(x=h); plotpolar(h*(1+sin(t))/cos(t),t,affichage=rouge); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('P:=point(h+i*tan(u)*h)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(h*(1+sin(u))/cos(u))*exp(i*u)',u,-10,10,0.5)); \end{verbatim} \section{Ovale de Cassini} \subsection{D\'efinition} \'Etant donn\'es deux points $F_1$ et $F_2$ et un nombre r\'eel $k$, le lieu de $M$ de coordonn\'ees $(x;y$ tel que $MF_1*MF_2=k^2$ est une ovale de Cassini.\\ Si $O$ est le milieu de $F1F2$ et $OF1=c$, on a :\\ $MF_1^2=(x+c)^2+y^2$ et $MF_2^2=(x-c)^2+y^2$ donc\\ $MF_1^2*MF_2^2=((x+c)^2+y^2)*((x-c)^2+y^2)=$\\ $c^4-2*c^2*x^2+2*c^2*y^2+(x^2+y^2)^2$ Alors le lieu de $M$ a pour \'equation : $(x^2+y^2)^2-2*c^2*(x^2-y^2)=k^4-c^4$\\ ou encore \\ $(x^2+y^2+c^2)^2=4*c^2*x^2+k^4$\\ \subsection{Lemniscate de Bernoulli} Une lemniscate de Bernoulli est une ovale de Cassini avec :\\ $k=OF1=c$.\\ Posons $a=c*\sqrt2$.\\ Donc c'est le lieu de $M$ tel que : $MF1*MF2=OF1^2$ et on a :\\ $(x^2+y^2)^2=a^2*(x^2-y^2)$\\ si $x=r*\cos(t)$ et $y=r*\sin(t)$ on a : $r^4=a^2*r^2*(\cos(t)^2-\sin(t)^2)=a^2*r^2*\cos(2*t)$ donc \\ $r^2=a^2*\cos(2*t)$\\ L'\'equation polaire d'une lemniscate de Bernouilli est :\\ $r=\pm a*\sqrt{\cos(2*t)}$ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} O:=point(0,0); a:=element(1..5); F1:=point(-a*sqrt(2)/2,0); F2:=point(a*sqrt(2)/2,0); plotpolar(a*sqrt(cos(2*t)),t=0..2*pi); \end{verbatim} \section{Lima\c{c}on de Pascal} L'\'equation cart\'esienne du lima\c{c}on de Pascal est :\\ $(x^2+y^2-a*x)^2=b^2*(x^2+y^2)$\\ L'\'equation polaire du lima\c{c}on de Pascal est :\\ $r=a*\cos(t)+b$ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} a:=element(1..5); b:=element(0..5); plotpolar(a*cos(t)+b,t=-10..10); \end{verbatim} \section{Cardioïde} \subsection{\'Equations d'une cardio\"{i}de} Soit la cardioïde de param\`etre $a$ ayant sont point de rebroussement en $O$ et passant par le point $A=2a$. Son \'equation cart\'esienne est :\\ $(x^2+y^2)^2-2*a*x*(x^2+y^2)-a^2*y^2$\\ Son \'equation param\'etrique est :\\ $x=a*(1+\cos(t))*\cos(t)=(2*\cos(t)+\cos(2t)+1)*a/2$,\\ $y=a*(1+\cos(t))*\sin(t)=(2*\sin(t)+\sin(2t)+1)*a/2$. Son \'equation polaire est :\\ $r=a*(1+\cos(t))$. Une cardioïde est le lieu d'un point $M$ situ\'e sur un cercle de rayon $a/2$ qui roule sans glisser sur un cercle fixe de m\^eme rayon et de centre $a/2$.\\ On tape : \begin{verbatim} assume(t=[1.570796325,0,2*pi]); cercle(0,1); cercle(2*exp(i*t),1); A:=point(2*exp(i*t)-exp(2*i*t)); plotparam(affixe(A),t) //lieu(A,t); \end{verbatim} On obtient une cardioïde de param\`etre $a=2$ ayant sont point de rebroussement en $1$ et passant par le point $A=-3$.\\ On peut se reporter \`a la section \ref{sec:epi} pour voir les animations sur les \'epicycloïdes. \subsection{La longueur d'une cardio\"{i}de} La cardio\"{i}de a pour \'equation polaire $r=a(\cos(t)+1)$. On peut calculer la longueur d'une cardio\"{i}de. \\ On a :\\ $ds^2=dr^2+r^2dt^2$\\ On tape :\\ {\tt normal(diff(a*(cos(t)+1),t)\verb|^|2+(a*(cos(t)+1))\verb|^|2)} \\ On obtient :\\ {\tt a\verb|^|2*cos(t)\verb|^|2+2*a\verb|^|2*cos(t)+a\verb|^|2*sin(t)\verb|^|2+a\verb|^|2}\\ On tape :\\ {\tt trigcos(halftan(trigcos(a\verb|^|2*cos(t)\verb|^|2+2*a\verb|^|2*cos(t)+a\verb|^|2*sin(t)\verb|^|2+a\verb|^|2)))}\\ On obtient :\\ {\tt 4*a\verb|^|2*cos(t/2)\verb|^|2 }\\ On tape :\\ {\tt 2*int(2*a*cos(t/2),t,0,pi)}\\ On obtient :\\ {\tt 2*4*a}\\ La longueur de la cardio\"{i}de d'\'equation $r=a(\cos(\theta)+1)$ est donc $8*a$. \section{La cycloïde} \begin{verbatim} t:=element(0 .. 7,0); cercle(t+i,1); A:=point(t+i-i*exp(-(i)*t)); lieu(A,t); \end{verbatim} \section{La N\'ephroïde} \begin{verbatim} t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,2); cercle(3*exp(i*t),1); A:=point(3*exp(i*t)-exp(3*i*t)) lieu(A,t); \end{verbatim} \section{L'hypocycloïde \`a 3 rebroussements } \begin{verbatim} t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,3); cercle(2exp(i*t),1); A:=point(2*exp(i*t)+exp(-2*i*t)); lieu(A,t); \end{verbatim} \section{L'astroïde} \begin{verbatim} t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,2); cercle(3/2*exp(i*t),1/2); A:=point(3/2*exp(i*t)+1/2*exp(-3*i*t)); lieu(A,t); \end{verbatim} \section{Les rosaces} Ce sont les courbes qui ont comme \'equation polaire $r=a*\sin(m*t)$ et l'origine est le centre de la rosace.\\ Lorsque $m$ est rationnel ces courbes se referment et lorsque $m$ est irrationnel ces courbes sont form\'ees de boucles qui se d\'eduisent l'une de l'autre par des rotations de centre $O$ et d'angle $\pi/m$ \subsection{Rosace \`a 4 boucles} Cette rosace a pour \'equation :\\ $r=a*\sin(2*t)$\\ En coordonn\'ees cart\'esienne son \'equation est :\\ $(x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2$ \subsection{Une rosace \`a 10 boucles} Cette rosace a pour \'equation :\\ $r=a*\sin(5/2*t)$\\ \subsection{Une rosace \`a une infinit\'e de boucles} On trace la rosace qui a pour \'equation :\\ $r=a*\sin(sqrt(2)*t)$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} a:=element(1..5); m:=element(1..5); plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10); \end{verbatim} \section{Les courbes de Moritz} Ce sont les courbes en forme de fleurs qui ont comme \'equation polaire $r=a*\cos(m*t)+b$ et l'origine est le centre de la fleur.\\ Lorsque $m$ est rationnel ces courbes se referment et lorsque $m$ est irrationnel ces courbes sont form\'ees de boucles qui se d\'eduisent l'une de l'autre par des rotations de centre $O$ et d'angle $\pi/m$ \subsection{Les tr\`efles} Le tr\`efle simple a pour \'equation :\\ $r=\cos(3*t)$\\ Le tr\`efle g\'en\'eral a pour \'equation :\\ $r=\cos(3*t)+b$\\ Essayez $r=\cos(3*t)+1/3$ \subsection{Les fleurs \`a 14 p\'etales} Les fleurs \`a 14 p\'etales ont par exemple pour \'equation :\\ $r=\cos(14*t)$, $r=\cos(7/2*t)$ ou $r=\cos(7/4*t)$ Et plus g\'en\'eralement, les fleurs d'\'equation :\\ $r=\cos(7/p*t)+b$\\ \subsection{Les diff\'erents cas} On essayera :\\ $m=7,b=3$\\ $m=3/2,b=1/4$\\ $m=5/2,b=3$\\ $m=7/2,b=0$\\ $m=1/3,b=1/9$\\ $m=5/4,b=1/3$\\ $m=7/4,b=0$\\ $m=9/4,b=7/3$\\ etc...\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} a:=element(1..5); b:=element(0..5); m:=element(1..5); plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10); \end{verbatim}\section{Les spirales} \subsection{La spirale d'Archim\`ede} L'\'equation polaire de la spirale d'Archim\`ede est :\\ $r=a*\theta$ \subsection{La spirale hyperbolique} L'\'equation polaire de la spirale hyperbolique est :\\ $\displaystyle r=\frac{a}{\theta}$\\ C'est l'inverse de la spirale d'Archim\`ede. \subsection{La spirale parabolique} L'\'equation polaire de la spirale parabolique est :\\ $\displaystyle r=a \pm \sqrt(2*a*p*\theta))$ \subsection{La spirale logarithmique} L'\'equation polaire de la spirale logarithmique est :\\ $r=a*\exp(m*\theta)$ \subsection{La spirale de Galil\'ee} L'\'equation polaire de la spirale de Galil\'ee est :\\ $r=a*(1-m*\theta^2)$ \subsection{La spirale de Fermat} L'\'equation polaire de la spirale de Fermat est :\\ $r=\pm a*sqrt(\theta)$ \subsection{La spirale de Poinsot} L'\'equation polaire de la spirale de Poinsot est :\\ $r=a/\cosh(m*\theta)$ \subsection{Lituus} L'\'equation polaire du lituus est :\\ $r=a/sqrt(\theta)$\\ Si $M$ est un point de cette courbe, et si $m$ est le point de l'axe des $x$ tel que $Om=OM$, alors l'aire du secteur circulaire $OmM$ est constante. \subsection{Courbe du spiral} L'\'equation polaire de la courbe du spiral est :\\ $r=a/(1+m*\exp(k*\theta))$ \section{Les courbes de Lissajous} Les courbes de Lissajous ont comme \'equation param\'etrique :\\ $x(t)=a\cos(\omega* t)$\\ $y(t)=b\sin(\phi* t+\phi)$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ \begin{verbatim} k:=element(0 .. 4); m:=element(0 .. 4); p:=element(0..pi/2); plotparam(3*cos(k*t)+i*2*sin(m*t+p),t); \end{verbatim} On peut voir les diff\'erentes courbes en faisant varier $m$ et $p$.\\ En particulier $k=1$ et $m=1$ puis on fait varier $p$, $k=2$ et $m=3$ puis on fait varier $p$ etc... \chapter{La roue hexagonale ou isopolygonale} Un polygone r\'egulier roule sur l'axe des $x$. Tracer la trajectoire d'un sommet $A$.\\ Exprimer la distance parcourue par le point $A$ quand la "roue" a fait un tour complet. \section{La roue hexagonale} Avec {\tt Xcas} on pourra ex\'ecuter {\tt hexagone.xws} pour avoir la correction. On peut chercher la liste {\tt S} des affixes des sommets de l''hexagone lorsque {\tt A} est en {\tt 0} et {\tt B} est en {\tt 1}, puis utiliser {\tt polygone(S)} ou utiliser directement {\tt hexagone(0,1)} ou {\tt isopolygone(0,1,6)}.\\ Lorsque la "roue" a fait un tour complet, le point {\tt A} d\'ecrit 6 arcs de cercle et on met dans {\tt L} les extr\'emit\'es de ces arcs (le dernier arc est de rayon nul donc on peut dire que la trajectoire est form\'ee de 5 arcs). Pour calculer ces extr\'emit\'es on tape :\\ {\tt a:=normal(affixe(rotation(1,-pi/3,0)));}\\ {\tt b:=normal(affixe(rotation(2,-pi/3,a)))},\\ puis on compl\`ete par sym\'etrie par rapport \`a $x=3$\\ {\tt AL} est la liste de ces 5 arcs lorsque la "roue" a fait un tour complet.\\ {\tt BL} est la liste {\tt AL} translat\'ee : on a ainsi la trajectoire du point {\tt A} lorsque la "roue" a fait 2 tours complets.\\ On d\'efinit {\tt Hs} la figure form\'ee par l'hexagone de centre {\tt O} et le segment {\tt AO} : on visualise ainsi le point {\tt A}.\\ Pour faire une animation on va cr\'eer la liste {\tt LH} contenant plusieurs positions de {\tt Hs} obtenues par deux rotations de centre 1 d'angle $-\pi/6$ et $-\pi/3$, deux rotations de centre 2 d'angle $-\pi/6$ et $-\pi/3$ etc... On obtient ainsi une liste de 12 \'el\'ements.\\ On tape : \begin{verbatim} L:=[0,1/2+i*sqrt(3)/2,2+i*sqrt(3),4+i*sqrt(3),11/2+i*sqrt(3)/2,6]; affichage((AL:=seq(arc(L[k],L[k+1],-pi/3),k,0,4)),hidden_name); affichage((BL:=translation(6,AL)),hidden_name); Hs:=[isopolygone(0,1,6),segment(0,(1+i*sqrt(3))/2)]; LH:=[Hs]; for (j:=0;j<12;j++){LH:=concat(LH,[rotation(j+1,-pi/6,LH[2*j]),rotation(j+1,-pi/3,LH[2*j])])}:; affichage((A:=seq(arc(L[k],L[k+1],-pi/3),k,0,4)),hidden_name); affichage((B:=translation(6,A)),hidden_name); animation(LH); \end{verbatim} Le point $A$ d\'ecrit des 6 arcs de cercles qui sont : \begin{itemize} \item un arc de rayon 1 et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $\pi/3$, \item un arc de rayon $r^2=(-2+1/2)^2+(\sqrt(3)/2)^2=3$ et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $\pi\sqrt 3/3$, \item un arc de rayon 2 et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $2\pi/3$, \item un arc de rayon $\sqrt 3$ et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $\pi\sqrt 3/3$, \item un arc de rayon 1 et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $\pi/3$, \item un arc de rayon 0 et d'angle au centre $\pi/3$ donc de longueur $0$. \end{itemize} donc la distance parcourue par le point $A$ quand la `"roue" a fait un tour complet est $\pi(4+2\sqrt 3)/3$.\\ On peut aussi calculer cette longueur \`a l'aide d'une boucle. On tape :\\ {\tt dist:=0;}\\ {\tt for (k:=0;k<5;k++){arc(L[k],L[k+1],-pi/3,C,R);dist:=dist+R*pi/3;};}\\ {\tt normal(dist)} \section{La roue isopolygonale} Avec {\tt Xcas} on pourra ex\'ecuter {\tt rouepoly.xws} pour avoir la correction. On va \'ecrire des proc\'edures de param`etre {\tt n} qui repr\'esente le nombre de c\^ot\'es de l'isopolyg\^one.\\ {\tt Lsarc(n)} renvoie la liste des sommets des arcs qui forment la trajectoire de {\tt A}.\\ {\tt Lpoly(n)} renvoie la liste des positions successives de la figure form\'ee par {\tt P} l'isopolg\^one de centre {\tt O}, et {\tt S} le segment {\tt OA}. On pourra ainsi faire facilement une animation.\\ {\tt tracerarc(n)} ou {\tt tracer(n)} trace la trajectoire lorsque la "roue" a fait 2 tours complets. {\tt longtrajet(n)} renvoie la longueur d'une arche : le r\'esultat est approch\'e, mais on peut supprimer {\tt evalf} pour avoir un r\'esultat exact lorsque {\tt n=3,4,6}. On tape : \begin{verbatim} Lsarc(n):={ local L,j; L:=[point(0)]; for (j:=1;ja$ avec $a\simeq 0.2$.\\ Le cas limite \'etant que les segments $AB$, $BC$ et $AC$ doivent \^etre tangent au cercle $C_4$ qui est l'intersection du c\^one $K_4$ et du plan $ABC$.\\ Il est interessant de regarder la vue de dessus ({\tt Menu->3-d}) pour voir comment \'evolue l'intersection du c\^one $K_4$ avec le plan $ABC$. \subsection{Le raisonnement} Il est \'evident que depuis $D$ on peut toujours voir les points $A,B,C$ et inversement d'un des points $A,B,C$ on peut toujours voir le point $D$.\\ Pour que l'on puisse voir $B$ et $C$ depuis le point $A$ il ne faut pas que le cercle $C_4$, intersection du c\^one $K_4$ avec le plan $ABC$ coupe les segments $AB$ et $AC$. Pour que l'on puisse voir $C$ depuis le point $B$ il ne faut pas que le cercle $C_4$ coupe le segments $BC$. IL faut donc chercher l'intersection $C_4$, du c\^one $K_4$ avec le plan $ABC$, \`a savoir son centre et son rayon. Son centre a pour coordonn\'ees $1/2,\sqrt 3/6,r$. \\ Si son rayon vaut $r1$, on sait que la hauteur du c\^one $K_4$ vaut $2*R$ et Comme le demi-angle au sommet du c\^one $K_4$ a pour tangente $1/2$, la distance du centre de $C_4$ au sommet de $K_4$ est \'egale au double du rayon du cercle $C_4$ donc :\\ $2*R=r+2*r1$ or $R=\sqrt 3/3-r$ donc :\\ $2*R=2*\sqrt 3/3-2*r=r+2*r1$ $r1=\sqrt 3/3-3*r/2$.\\ Pour tracer ce cercle en vert il faut taper :\\ {\tt r1:=sqrt(3)/3-3*r/2}\\ {\tt affichage(cercle([1/2,sqrt(3)/6,r],[r1,0,0],A),vert)}\\ Lorsque ce cercle est tangent aux segments $AB$, $BC$ et $AC$ il est facile de trouver son rayon car c'est donc le cercle inscrit au triangle $ABC$. Comme le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral, son rayon vaut $\sqrt 3/6$. donc $2*R=r+\sqrt 3/3$ 0n a donc, le cercle $C_4$ est tangent aux segments $AB$, $BC$ et $AC$ :\\ $r1=\sqrt 3/3-3*r=\sqrt 3/6$, \\ c'est \`a dire :\\ $r=\sqrt 3/9=a$ et {\tt evalf(sqrt(3)/9)=0.19245008973}.\\ Si $r0}\frac{f(x)-e^{-x^2}}{x^2}$$ 3/ Soit $g$ d\'efinie sur $]0;+\infty$ par : $$g(x)=x^2(f(\frac{1}{\sqrt(x)})-1)$$ Montrer que $g$ admet une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ et en donner une \'equation. \subsection{La solution avec {\tt Xcas}} \noindent 1/ On tape :\\ {\tt taylor(cos(sin(x)))}\\ On obtient :\\ {\tt 1+(x\verb|^|2)/-2+(5*x\verb|^|4)/24+\verb|x^|6*order\_size(x)}\\ donc le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 4 autour de z\'ero de $f(x)=\cos(\sin(x))$ est :\\ {\tt 1+(x\verb|^|2)/-2+(5*x\verb|^|4)/24+\verb|x^|5*$\epsilon$(x)}\\ 2/ On tape :\\ {\tt limit((cos(sin(x))-exp(-x\verb|^|2))/x\verb|^|2,x=0)}\\ On obtient :\\ {\tt 1/2}\\ 3/ On tape :\\ {\tt f(x):=cos(sin(x))}\\ Puis, on tape :\\ {\tt series(x\verb|^|2*(f(1/sqrt(x))-1),x=+infinity,4)}\\ On obtient :\\ {\tt x/-2+5/24+(order\_size(1/x))/x}\\ Donc $g$ admet une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ d\'equation :\\ $y=-x/2+5/24$ \section{Des calculs de limite} On tape : \begin{verbatim} limit((1-cos(x))*sin(x)^2/(x^3*ln(x+1)),x,0); limit(sqrt(x^2+x+1)-sqrt(x^2+1),x,+infinity); limit((x^n-y^n)/(x-y),x,t); limit((x+1)/sqrt((x+1)/(x-1)),x,+infinity); limit((1-2*x)/(x^2+x-2),x,1); limit(exp(x*exp(-x)/(exp(-x)+exp(-2*x^2/(x+1))))/x, x,+infinity); limit((exp(x*exp(-x)/(exp(-x)+exp(-2*x^2/(x+1))))- exp(x))/x,x,+infinity); \end{verbatim} \section{Des calculs de d\'eveloppements limit\'es} On tape : \begin{verbatim} series(cos(x)/exp(x),x,0,4); series(ln(cos(x)),x,0,4); series(atan(x*y)+1-exp(x+y),x,1/2,2); series(cos(x)*exp(2*x+1),x,0,4); series(sin(sin(x)),x,0,7); \end{verbatim} \chapter{Les suites} \section{Les suites r\'ecurrentes} \subsection{L'\'enonc\'e d'une suite d'it\'erations} Soit la suite d\'efinie par :\\ $u_0=1$\\ $u_{n+1}=\frac{1}{10}u_n(20-u_n)$\\ Calculer $u_1$ \'edutier les variations de la fonction $f(x)=\frac{1}{10}x(20-x)$.\\ En d\'eduire que pour tout $n$ $u_n \in [0;10]$ et que $u$ est croissante.\\ l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \subsection{La r\'eponse} On montre facilement que $f$ est une bijection de $[0;10]$ sur $[0;10]$ et donc puisque $u_0 \in [0;10]$ et que $u_{n+1}=f(u_n)$, pour tout $n\geq 0$ $u_n \in [0;10]$. On a $u_{n+1}-u_n=u_n(10-u_n)/10$ donc puisque pour tout $n$ $u_n \in [0;10]$, la suite $u$ est croissante et major\'ee par 10, donc $u$ est convergente et sa limite $l$ v\'erifie $l\geq u_0$ et $l=\frac{1}{10}l(20-l)$ puisque $f$ est continue.\\ Donc $u$ converge vers $l=10$. \subsection{La r\'eponse avec {\tt Xcas}} On tape pour d\'efinir la fonction $f$ :\\ {\tt f(x):=x*(20-x)/10}\\ On tape pour voir les 6 premiers termes de la suite $u$ :\\ {\tt plotseq(f(x),x=1,6)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{suiterec}\\ On tape pour avoir le signe de $u_{n+1}-u_n$ :\\ {\tt factor(f(un)-un)}\\ On obtient :\\ {\tt (-(un-10)*un)/10}\\ On tape pour r\'esoudre $l=\frac{1}{10}l(20-l)$ :\\ {\tt solve(f(x)=x)}\\ On obtient :\\ {\tt [0,10]}\\ \subsection{L'\'enonc\'e} Soit la suite d\'efinie par :\\ $u_0=1$\\ $u_{n+1}=\frac{u_n}{3}+n-1$\\ D\'eterminer $a$ et $b$ pour que la suite :\\ $v_n=k*u_n+a*n+b$ soit une suite g\'eom\'etrique dont on d\'eterminera la raison.\\ En d\'eduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \subsection{La r\'eponse} On a :\\ $v_{n+1}=k*u_{n+1}+a*(n+1)+b=k*\frac{u_n}{3}+k*n-k+a*(n+1)+b$\\ donc :\\ $\displaystyle v_{n+1}=k*\frac{u_n}{3}+(a*n+b)/3+2*(a*n+b)/3+k*n+a-k$\\ $\displaystyle v_{n+1}=\frac{v_n}{3}+2*(a*n+b)/3+k*n+a-k$\\ Si on veut que $v$ soit une suite g\'eom\'etrique , il faut que :\\ $2*(a*n+b)+3*k*n+3*a-3*k=0$\\ ou encore :\\ $2*a+3*k=0$ et $2*b+3*a-3*k=0$ cela donne :\\ $3*k=-2*a$ et $2*b=-5*a$\\ On choisit $a=-6$ et alors $k=4$ et $b=15$ et alors :\\ $\displaystyle v_{n+1}=\frac{v_n}{3}$ avec $v_n=4*u_n-6*n+15$ donc $v_0=19$\\ On en d\'eduit que :\\ $\displaystyle v_n= 19*\frac{1}{3}^n$\\ donc\\ $\displaystyle u_n= 19/4*\frac{1}{3}^n+3/2*n-15/4$ \subsection{L'\'enonc\'e} Soit la suite d\'efinie par :\\ $u_0=1$\\ $n*u_{n}=(n+1)*u_{n-1}+1$ si $n>0$\\ Calculer $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$.\\ \`A votre avis quelle est l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ ?\\ D\'emontrez que cette expression est la bonne.\\ G\'en\'eraliser lorsque $u_0=a$ et $n*u_{n}=(n+1)*u_{n-1}+1$ si $n>0$\\ \subsection{La r\'eponse avec {\tt Xcas}} On tape :\\ {\tt u(n):=ifte(n==0,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)}\\ {\tt u(n)\$(n=0..5)}\\ On obtient :\\ {\tt 1,3,5,7,9,11}\\ On pense que $u_n=2*n+1$ et on va le montrer par r\'ecurrence. La relation est vrai pour $n=0$ : $u_0=2*0+1=1$ Supposons que pour tout $0\leq k0$ on peut diviser par $n$ donc $u_n=2*n+1$.\\ {\bf G\'en\'eralisation}\\ On tape :\\ {\tt u(n):=ifte(n==a,1,u(n-1)*(n+1)/n+1/n)}\\ {\tt normal(u(n)\$(n=0..5))}\\ On obtient :\\ {\tt a,2*a+1,3*a+2,4*a+3,5*a+4,6*a+5}\\ On pense que $u_n=(n+1)*a+n$ et on va le montrer par r\'ecurrence. La relation est vrai pour $n=0$ : $u_0=(0+1)*a+0=a$ Supposons que pour tout $0\leq k0$ on peut diviser par $n$ donc $u_n=a*n+a+n=(n+1)*a+n$. On peut aussi chercher \`a calculer :\\ $u_n-u_{n-1}$ en fonction de $u_{n-1}-u_{n-2}$.\\ On a :\\ $u_n-u_{n-1}=(n^2*u_{n-1}-n^2*u_{n-2}-u_{n-1}-1)/(n^2-n)$ \\ On sait que :\\ $u_{n-1}=n*u_{n-2}+n*u_{n-1}-1$ donc \\ $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_{n-2}=...=u_1-u_0=a+1$\\ Ainsi, $u_n$ est une suite arithm\'etique de raison $a+1$ et donc $$u_n=n(a+1)+u_0=n(a+1)+a=a(n+1)+n$$ Avec {\tt Xcas}, on pose {\tt un}=$u_n$, {\tt un1}=$u_{n-1}$ et {\tt un2}=$u_{n-2}$.\\ On tape :\\ {\tt un:=(n*un1+un1+1)/n}\\ {\tt un1:=(n*un2+1)/(n-1)}\\ {\tt simplify(un-un1)}\\ On obtient :\\ {\tt (un2+1)/(n-1)}\\ {\tt simplify(un1-un2)}\\ On obtient :\\ {\tt (un2+1)/(n-1)}\\ Donc $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_{n-2}=...u_1-u_0=a+1$.\\ Avec {\tt Xcas}, si on veut obtenir directement {\tt un-un1=un1-un2}, on doit faire la diff\'erence entre : {\tt un11}=$u_{n-1}$ que l'on exprime en fonction de {\tt un2}=$u_{n-2}$ et {\tt un1}=$u_{n-1}$ qui ne doit pas changer. La difficult\'e ici est que dans {\tt un}=$u_n$, il y a $(n*u_{n-1}+u_{n-1}+1)$ et on doit laisser $n*u_{n-1}$ inchang\'e alors qu'il faut exprimer $u_{n-1}+1$ en fonction de {\tt un2}=$u_{n-2}$.\\ On tape :\\ {\tt un:=(n*un1+un11+1)/n}\\ {\tt un11:=(n*un2+1)/(n-1)}\\ {\tt simplify(un-un11)}\\ On obtient :\\ {\tt un1-un2}\\ Donc on a :\\ $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_{n-2}=...=u_1-u_0=a+1$\\ {\bf Remarque}\\ On peut aussi remarquer que $l=-1$ est solutipon de $n*l=(n+1)*l+1$.\\ Donc si $v_n=u_n+1$, alors $v$ v\'erifie :\\ $v_0=a+1$ et $nv_n=(n+1)v_{n-1}$ ou encore \\ $v_n=\frac{n+1}{n}v_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}v_{n-2}=...=(n+1)v_0=(n+1)(a+1)$\\ donc $$u_n=(n+1)(a+1)-1=(n+1)a+n$$ \subsection{Un \'enonc\'e du m\^eme type} Soit la suite d\'efinie par :\\ $u_0=5=a$\\ $n*u_{n}=(n+2)*u_{n-1}+6$ si $n>0$\\ et soit $d_n=u_{n+1}-u_n$.\\ Calculer $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$ et $d_0,d1,d_2,d_3,d_4$. \`A votre avis quelle est l'expression de $d_n$ en fonction de $n$ ? D\'emontrez que cette expression est la bonne. En d\'eduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ G\'en\'eraliser lorsque $u_0=a$ et $n*u_{n}=(n+1)*u_{n-1}+1$ si $n>0$\\ \subsection{La solution} On peut suivre les questions et montrer que :\\ $d_n=8(n+2)$ et que $u_n=4n(n+3)$.\\ On peut aussi remarquer que l'\'equation en $x$ :\\ $n*x=(n+2)*x+6$ a une solution ind\'ependante de $n$ qui est $l=-3$.\\ On pose alors $v_n=u_n+3$ et $v$ v\'erifie :\\ $v_0=u_0+3$ et $n*v_n=n*(u_n+3)=(n+2)*(u_{n-1}+3)=(n+2)*v_{n-1}$, donc \\ $v_n=\frac{n+2}{n}v_{n-1}=\frac{n+2}{n}\frac{n+1}{n-1}=....\frac{(n+2)(n+1)}{2}v_0$\\ Donc $$u_n=v_n-3=\frac{(n+2)(n+1)}{2}(u_0+3)-3=\frac{(a-3)n^2+(3a-9)n+2a-12}{2}=$$ Pour $a=5$ on trouve : $$u_n=4n^2+12n+5$$ \section{Les suites homographiques} \subsection{L'\'enonc\'e} \subsubsection{Partie A} Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x+2}{x+1}$.\\ 1/ R\'esoudre $f(x)=x$.\\ On notera $r_1$ la racine positive et $r_2$ la racine n\'egative.\\ 2/ Soit (u) la suite d\'efinie par :\\ $u_1=1$\\ $u_n=f(u_{n-1})$ pour $n>1$\\ Calculer $u_n$ pour $n=1,2,3,4,5$\\ 3/ Soit (v) la suite d\'efinie par :\\ $v_n=\frac{u_n-r_1}{u_n-r_2}=g(u_n)$\\ a) D\'emontrer que (v) est une suite g\'eom\'etrique.\\ b) Expliciter $v_n$ en fonction de $n$\\ c) Expliciter $u_n$ en fonction de $n$\\ d) Calculer $l=\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n$\\ 4/ Donner la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $|u_n-l|<10^{-1000}$ \subsubsection{Partie B} \noindent1/ Exprimer $u_{2n}$ en fonction de $u_n$.\\ 2/ Determiner et \'etudier la fonction $f_2$ telle que $u_{2n}=f_2(u_n)$.\\ 3/ Soit $(w)$ la suite d\'efinie par :\\ $w_0=1$ et $w_n=f_2(w_{n-1})$ pour tout $n>0$.\\ Montrer que $(w)$ a la m\^eme limite $l$ que $(u)$.\\ 4/ Donner la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $|w_n-l|<10^{-1000}$ \subsubsection{Partie C} \noindent1/ Exprimer $u_{3n}$ en fonction de $u_n$.\\ 2/ Determiner et \'etudier la fonction $f_3$ telle que $u_{3n}=f_3(u_n)$.\\ 3/ Soit $(t)$ la suite d\'efinie par :\\ $t_0=1$ et $t_n=f_3(t_{n-1}$ pour tout $n>0$.\\ Montrer que $(t)$ a la m\^eme limite $l$ que $(u)$.\\ 4/ Donner la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $|t_n-l|<10^{-1000}$ \subsubsection{Partie D} \'Etant donn\'e $p$ entier positif, refaire la m\^eme chose \`a partir de la fonction :\\ $f(x)=\frac{x+p}{x+1}$ \\ pour trouver une valeur approch\'ee de $\sqrt p$. \subsection{La correction} \subsubsection{Partie A} 1/ On tape :\\ {\tt f(x):=(x+2)/(x+1)}\\ puis :\\ {\tt solve(f(x)=x)}\\ On obtient :\\ {\tt [-sqrt(2),sqrt(2)]} 2/ On tape :\\ {\tt 1} puis :\\ {\tt f(ans())}\\ puis :\\ {\tt enter enter enter enter} \\ On obtient :\\ $\displaystyle {\tt \frac{3}{2}},\ {\tt \frac{7}{5}}, \ {\tt \frac{17}{12}},\ {\tt \frac{41}{29}}$ 3/ On a :\\ $\displaystyle v_n=\frac{u_n-\sqrt 2}{u_n+\sqrt 2}$\\ On tape :\\ {\tt g(x):=(x-sqrt(2))/(x+sqrt(2))}\\ Puis, on tape :\\ {\tt v(n):=g(u(n))}\\ puis :\\ {\tt h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]} puis :\\ {\tt h(x)}\\ On obtient :\\ {\tt (x*sqrt(2)+sqrt(2))/(-x+1)} donc \\ $\displaystyle u_n=\sqrt 2 \frac{v_n+1}{-v_n+1}$ et\\ $v_{n+1}=g(v_{n+1})=g(f(u_n))=g(f(h(v_n)))$\\ On tape :\\ {\tt k:=g@f@h} puis :\\ {\tt normal(k(x))}\\ On obtient :\\ {\tt ((sqrt(2)-2)*x)/(sqrt(2)+2)}\\ donc $\displaystyle v_{n+1}=\frac{(\sqrt 2-2)*v_n}{\sqrt 2+2}$\\ la suite $(v)$ est donc une suite g\'eom\'etrique de raison :\\ {\tt (sqrt(2)-2)/(sqrt(2)+2)=2*sqrt(2)-3}\\ puis on tape :\\ {\tt normal(expand(mult\_conjugate(g(1))))}\\ On obtient :\\ {\tt 2*sqrt(2)-3}\\ Donc :\\ $v_n=(2*\sqrt 2-3)^n$\\ Donc on tape $h(v_n)$ :\\ {\tt h((2*sqrt(2)-3)\verb|^|n)}\\ On obtient $u_n$ :\\ {\tt ((2*sqrt(2)-3)\verb|^|n*sqrt(2)+sqrt(2))/(-(2*sqrt(2)-3)\verb|^|n+1)}\\ On sait que $(v)$ converge vers 0 car on a :\\ $v_n=(2*\sqrt 2-3)^n$ et $-1<2*\sqrt 2-3<0$.\\ Quand $x$ tend vers 0, $h(x)$ tend vers $h(0)=\sqrt 2$, donc $(u)$ converge vers $\sqrt 2$.\\ On a {\tt normal(h(x)-h(0))=(-(2*sqrt(2))*x)/(x-1)} 4/ On tape :\\ {\tt normal(diff(h(x)))}\\ On obtient :\\ {\tt (2*sqrt(2))/(x\verb|^|2-2*x+1)}\\ On a :\\ pour tout $n$, $-|v_0|=-3+2\sqrt 2 \leq v_n \leq 3-2\sqrt 2=|v_0|$, donc :\\ $-1.2<-4+2 \sqrt 2 \leq v_n-1 \leq 2-2 \sqrt 2<-0.8$, donc :\\ si $-3+2 \sqrt 2 \leq x \leq 3-2\sqrt 2$, \\ On a\\ $|h'(x)|<(2*\sqrt 2)/(2-2*\sqrt 2)^2=(3*\sqrt 2+4)/2$\\ et\\ $|u_n-\sqrt 2|=|h(v_n)-h(0)|<|v_n|*(3*\sqrt 2+4)/2 <5* (0.2)^n$\\ On tape :\\ {\tt solve(5*0.2\verb|^|n<10\verb|^|-1000,n)}\\ $\log10(5)+n*\log10(0.2)<-1000$\\ donc\\ $n>=1432>(1000+\log10(5))/(1-\log10(2))>1431$ \subsubsection{Partie B} 1/ On a :\\ $v_{2n}=(2\sqrt 2-3)^(2n)=v_n^2$,\\ donc \\ $u_{2n}=h(v_{2n})=h(v_n^2)=h((g(u_n))^2$ 2/ On tape puisque {\tt sq(x)=x\verb|^|2} :\\ {\tt f2(x):=normal((h@sq@g)(x))}\\ puis \\ {\tt f2(x)}\\ On obtient :\\ {\tt ((x\verb|^|2+2)*1/2)/x}\\ On reconnait la fonction obtenue par la m\'ethode de Newton et qu'il faut it\'erer pour obtenir une approximation de $\sqrt 2$. 3/ On a :\\ $w_0=u_1$\\ $w_1=f_2(w_0)=f_2(w_1)=u_2$\\ $w_2=f_2(w_1)=f_2(u_2)=u_4$\\ $w_3=f_2(w_2)=f_2(u_4)=u_8$\\ ....donc \\ $w_n=u_{2^n}$ 4/ Si on prend $2^n \geq 1432$, on aura $|w_n-l|<10^{-1000}$\\ On tape :\\ {\tt solve(2\verb|^|n>1432.,n)}\\ On obtient :\\ {\tt n>10.48...}\\ Donc si $n\geq 11)$, on aura $|w_n-l|<10^{-1000}$ \subsubsection{Partie C} 1/ On a :\\ $v_{3n}=(2\sqrt 2-3)^(3n)=v_n^3$, \\ donc :\\ $u_{3n}=h(v_{3n})=h(v_n^3)=h((g(u_n))^3$ 2/ On tape :\\ {\tt p3(x):=x\verb|^|3}\\ {\tt f3(x):=normal((h@p3@g)(x))}\\ puis \\ {\tt f3(x)}\\ On obtient :\\ {\tt (x\verb|^|3+6*x)/(3*x\verb|^|2+2)} 3/ On a :\\ $t_0=u_1$\\ $t_1=f_3(t_0)=f_3(u_1)=u_3$\\ $t_2=f_3(t_1)=f_3(u_3)=u_9$\\ $t_3=f_3(t_2)=f_3(u_9)=u_27$\\ ....donc \\ $t_n=u_{3^n}$ 4/Si on prend $3^n \geq 1432$, on aura $|t_n-l|<10^{-1000}$ On tape :\\ {\tt solve(3\verb|^|n>1432.,n)}\\ On obtient :\\ {\tt n>6.61...}\\ Donc si $n\geq 7)$, on aura $|w_n-l|<10^{-1000}$ \subsubsection{Partie D} 1/ \'Etant donn\'e $p$ entier positif, on peut refaire la m\^eme chose pour trouver une valeur approch\'ee de $\sqrt p$ en prenant comme fonction $f$ : \\ $\displaystyle f(x)=\frac{x+p}{x+1}$\\ On tape :\\ {\tt f(x):=(x+p)/(x+1)} \\ On tape :\\ {\tt solve(f(x)=x,x)}\\ On obtient :\\ {\tt [-(sqrt(p)),sqrt(p)]}\\ On tape :\\ {\tt g(x):=(x-sqrt(p))/(x+sqrt(p))} \\ On tape :\\ {\tt h(x):=solve(g(y)=x,y)[0]}\\ On obtient :\\ {\tt (x*sqrt(p)+sqrt(p))/(-x+1)}\\ donc \\ $\displaystyle u_n=\sqrt p \frac{v_n+1}{-v_n+1}$ et\\ $v_{n+1}=g(v_{n+1})=g(f(u_n))=g(f(h(v_n)))$\\ On tape :\\ {\tt k:=g@f@h} puis :\\ {\tt normal(k(x))}\\ On obtient :\\ {\tt ((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p)}\\ donc \\ $v_{n+1}=((\sqrt p-p)*v_n)/(\sqrt p+p)$\\ La suite $(v)$ est donc une suite g\'eom\'etrique de raison :\\ {\tt (sqrt(p)-p)/(sqrt(p)+p)=-g(1)}\\ puis on tape :\\ {\tt normal(expand(mult\_conjugate(k(1))))}\\ On obtient :\\ {\tt (-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)}\\ la suite $(v)$ est donc une suite g\'eom\'trique de raison :\\ {\tt (-p-1+2*sqrt(p))/(p-1)}\\ Donc :\\ $v_n=((-p-1+2*\sqrt p)/(p-1))^n$\\ Donc on tape $h(v_n)$ :\\ {\tt h((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))\verb|^|n)}\\ On obtient $u_n$ :\\ {\tt ((((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))\verb|^|n*sqrt(p)+sqrt(p))/\\ (-(((sqrt(p)-p)*x)/(sqrt(p)+p))\verb|^|n+1)} 2/ On a :\\ $v_{2n}=v_n^2$, donc $u_{2n}=h(v_{2n})=h(v_n^2)=h((g(u_n))^2)$ \\ On tape puisque {\tt sq(x)=x\verb|^|2} :\\ {\tt f2(x):=normal((h@sq@g)(x))}\\ puis \\ {\tt f2(x)}\\ On obtient :\\ {\tt ((x\verb|^|2+p)*1/2)/x}\\ On reconnait la fonction obtenue par la m\'ethode de Newton et qu'il faut it\'erer pour obtenir une approximation de $\sqrt p$. 3/ On a :\\ $v_{3n}=v_n^3$, donc $u_{3n}=h(v_{3n})=h(v_n^3)=h((g(u_n))^3)$ \\ On tape :\\ {\tt p3(x):=x\verb|^|3} {\tt f3(x):=normal((h@p3@g)(x))}\\ puis \\ {\tt f3(x)}\\ On obtient :\\ {\tt (x\verb|^|3+3*p*x)/(3*x\verb|^|2+p)} \subsubsection{Avec le tableur} Avec le tableur, on voit les diff\'erentes vitesses de convergences des suites {\tt (u)}, {\tt (v)} et {\tt (t)}. Il faut pr\'evoir 6 colonnes : une colonne des valeurs exactes des termes de la suite et une colonne donnant les valeurs approch\'ees des termes de la suite et cela pour chacune des suites. \section{Exemple d'une suite instable} \subsection{L'\'enonc\'e} Soient les suites $u$ et $v$ d\'efinies par : $u_0=\frac{11}{2}$\\ $u_1=\frac{61}{11}$\\ $u_n=111-\frac{1130}{u_{n-1}}+\frac{3000}{u_{n-1}*u_{n-2}}$\\ et \\ $v_0=5.5$\\ $v_1=evalf(\frac{61}{11})$\\ $v_n=111-\frac{1130}{v_{n-1}}+\frac{3000}{v_{n-1}*v_{n-2}}$\\ Quelles sont les limites possibles de ces suites ? \`A l'aide de {\tt Xcas}, calculer la valeur approch\'ee des 30 premiers termes de ces deux suites en utilisant 20 digits. \subsection{Le programme} On tape : \begin{verbatim} instable(n,u0,u1):={ local j,un; if (n==0) return u0; if (n==1) return u1; for(j:=2;j<=n;j++){ un:=111-1130/u1+3000/(u0*u1); u0:=u1; u1:=un; } return un; } :; \end{verbatim} On a alors :\\ $u_n=instable(n,11/2,61/11)$ \\ $v_n=instable(n,5.5,evalf(61/11))$ \subsection{Les r\'esultats} Soit $f(x,y)=111-\frac{1130}{x}+\frac{3000}{x*y}$.\\ Si une suite $w$ v\'erifie la relation de r\'ecurrence : $w_n=f(w_{n-1}*w_{n-2})$, les limites possibles d'une telle suite sont les solutions de $f(x,x)=x$.\\ On tape :\\ {\tt solve(111-1130/x+3000/x\verb|^|2=x,x)}\\ On obtient :\\ {\tt [100,6,5]}\\ Les limites possibles sont donc 5,6 et 100.\\ {\bf Remarque} La suite $v$ d\'epend de la valeur de {\tt evalf(61/11)}, donc d\'epend du nombre de digits utilis\'es et du mode de calcul utilis\'e.\\ On tape : \begin{verbatim} Digits:=20; for(n:=0;n<=30;n++){ print(n); print(instable(n,5.5,evalf(61/11))); print(evalf(instable(n,11/2,61/11)));} \end{verbatim} On obtient : \begin{verbatim} n:0 5.50000000000000000000 5.50000000000000000000 n:1 5.54545454545454545456 5.54545454545454545456 n:2 5.59016393442622950768 5.59016393442622950817 n:3 5.63343108504398826144 5.63343108504398826979 n:4 5.67464862051015081490 5.67464862051015096306 n:5 5.71332905238051293965 5.71332905238051554900 n:6 5.74912091970259238934 5.74912091970263804374 n:7 5.78181092048482174472 5.78181092048561557945 n:8 5.81131423828027015958 5.81131423829399572318 n:9 5.83765654872259110580 5.83765654895871196153 n:10 5.86095151847234420526 5.86095152251613197273 n:11 5.88137714686097474136 5.88137721584141860362 n:12 5.89915273314948416898 5.89915390579006532873 n:13 5.91450507580732900460 5.91452495067898343240 n:14 5.92740541888982367183 5.92774140777679525195 n:15 5.93338276962798092957 5.93905048546111815120 n:16 5.85317477456212541080 5.94868749248041657029 n:17 4.32520225792017284829 5.95687073191822040100 n:18 -0.317580966868753489379e2 5.96379872081940311587 n:19 0.124741088526995943127e3 5.96964914404788717708 n:20 0.101183955312637480034e3 5.97457902866672280000 n:21 0.100069905575441095835e3 5.97872572175269217080 n:22 0.100004176388280681510e3 5.98220835071100136336 n:23 0.100000249822052284540e3 5.98512953056300350037 n:24 0.100000014951746801213e3 5.98757715320858086895 n:25 0.100000000895227729755e3 5.98962614887996719755 n:26 0.100000000053619816097e3 5.99134015140329529141 n:27 0.100000000003212496604e3 5.99277302875661600204 n:28 0.100000000000192515177e3 5.99397026117232788471 n:29 0.100000000000011539180e3 5.99497016287623956976 n:30 0.100000000000000691764e3 5.99580495232911448068 \end{verbatim} Il semble que la suite $u$ converge vers 6 alors que la suite $v$ semble converger vers 100 alors qu'au d\'ebut ces 2 suites sont tr\`es proches.\\ Cela ne provient pas d'erreurs d'arrondis car si on ne fait que du calcul formel et que l'on tape : \begin{verbatim} Digits:=20; for(n:=0;n<=30;n++){ print(n); print(evalf(instable(n,5.5,554545454545454545454/100000000000000000000))); print(evalf(instable(n,11/2,61/11)));} \end{verbatim} On obtient le m\^eme genre de r\'esultat. \section{Suites doubles et calcul de $1/k$ pour $k\in]0;2[$} \subsection{L'\'enonc\'e} Soient deux suites $a_n$ et $b_n$ d\'efinies par :\\ $a_0=1$, $b_0=1-k$ o\`u $k$ est un r\'eel de $]0;2[$ et\\ $a_n=a_{n-1}(1+b_{n-1})$ et $b_n=b_{n-1}^2$ \begin{itemize} \item Montrer que $b_n=b_0^{2^n}$ et que $a_n=(1-b_n)/k$. \item En utilisant le tableur afficher les valeurs de $a_n$ et $b_n$ pour $k=0.25,\ 0.5,\ 0.75,\ 1.25,\ 1.5,\ 1.75$. En d\'eduire le comportement des suites $a_n$ et $b_n$ \item En d\'eduire un programme qui calcule $1/k$ avec une pr\'ecision donn\'ee en ne faisant que des additions et des multiplications. \end{itemize} \subsection{La correction avec {\tt Xcas}} \begin{itemize} \item Il est facile de montrer par r\'ecurrence que $b_n=b_0^{2^n}$, en effet :\\ $b_0=b_0^{2^0}=b_0^1$\\ si $=b_{n-1}=b_0^{2^{n-1}}$ alors $b_n=b_{n-1}^2=b_0^{2^{n-1}*2}=b_0^{2^{n}}$.\\ Montrons par r\'ecurrence que $a_n=(1-b_n)/k$, on a :\\ $a_0=(1-b_0)/x=1$ et \\ si $a_{n-1}=(1-b_{n-1})/k$ alors \\ $a_n=(1-b_{n-1})/k*(1+b_{n-1})=(1-b_{n-1}^2)/k=(1-b_n)/k$. \item On met dans la colonne $A$ les valeurs de $a_n$ :\\ 1 dans $A0$ puis \\ $=A0*(1+B0)$ dans $A1$ puis on remplit vers le bas,\\ $1-C0$ dans $B0$ puis \\ $=B0^2$ dans $B1$ puis on remplit vers le bas,\\ On met dans $C0$ la valeur de $k$.\\ On remarque la suite $b_n$ converge vers 0 et que $a_n$ converge vers $1/k$. On a en effet :\\ $|b_0|=|1-k|<1$ donc $b_n=b_0^{2^n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini,\\ $a_n=(1-b_n)/k$ tend donc vers $1/k$ quand $n$ tend vers l'infini et on a :\\ $a_n-1/k=-b_n/k<0$ et $|a_n-1/k|=abs(b_n)/k=50$ $u_n=0$. Qu'en pensez-vous? \end{itemize} \subsection{La correction avec {\tt Xcas}} \begin{itemize} \item \begin{verbatim} suite(a,n):={ local u,u1,j,L; u:=a; L:=a; si a>=1 alors retourne "erreur"; fsi pour j de 1 jusque n faire u1:=2*u; si u1<1 alors u:=u1; sinon u:=u1-1; fsi; L:=L,u; fpour; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape : {\tt suite(0.4,6)}\\ On obtient :\\ {\tt 0.4,0.8,0.6,0.2,0.4,0.8,0.599999999999} \item \begin{verbatim} diffsuite(a,b,n):={ local u,u1,v,v1,j,L; u:=a; v:=b; L:=point((a-b)*i); si a>=1 ou b>=1 alors retourne "erreur"; fsi pour j de 1 jusque n faire u1:=2*u; v1:=2*v; si u1<1 alors u:=u1; sinon u:=u1-1; fsi; si v1<1 alors v:=v1; sinon v:=v1-1; fsi L:=L,point(j+(u-v)*i); fpour; retourne L; }:; \end{verbatim} On tape : {\tt diffsuite(0.4,0.82,100)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{diffsuite1} \item On tape : {\tt diffsuite(4/10,82/100,100)}\\ On obtient :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{diffsuite2} La suite $u_n=a_n+b_n$ semble \^etre p\'eriodique quand $a$ et $b$ sont des nombres d'ecimaux et ce sont les erreurs d'arrondis qui font que $u_n$ semble nulle pour $n>50$.\\ On tape : {\tt diffsuite(pi-3,e-2,100)}\\ On obtient avec 20 chiffres significatifs :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{diffsuite3} \item On tape : {\tt diffsuite(pi-3,e-2,100)}\\ On obtient avec 35 chiffres significatifs :\\ \includegraphics[width=\textwidth]{diffsuite4} \end{itemize} \chapter{Les complexes} \section{Module et argument } \subsection{L'\'enonc\'e} Soit $z_1=\sqrt 2+i\sqrt6$ et $z_2=2+2i$.\\ On pose $\displaystyle Z=\frac{z_1}{z_2}$.\\ Calculer le module et l'argument de $z_1,z_2,Z$.\\ En d\'eduire $\cos(\frac{\pi}{12})$ et $\sin(\frac{\pi}{12})$.\\ Calculer $Z^{2009}$ \subsection{La correction avec {\tt Xcas}} On tape :\\ {\tt z1:=sqrt(2)+i*sqrt(6)}\\ {\tt z2:=2+2*i}\\ {\tt Z:=z1/z2}\\ On tape pour avoir les modules :\\ {\tt simplify(abs(z1,z2,Z))}\\ On obtient : {\tt 2*sqrt(2),2*sqrt(2),1}\\ On tape pour avoir les arguments :\\ {\tt simplify(arg(z1,z2,Z)}\\ On obtient : {\tt [pi/3,pi/4,pi/12]}\\ On tape :\\ {\tt simplify(re(Z),im(Z))}\\ On obtient : {\tt (sqrt(2)+sqrt(6))/4,(-sqrt(2)+sqrt(6))/4}\\ Donc $$\cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}$$ $$\sin(\frac{\pi}{12})=\frac{-\sqrt 2+\sqrt 6}{4}$$ Puisque $Z$ a comme module 1 et comme argument $\pi/12$,, on sait que le module de $P=Z^{2009}$ est 1 et que son argument vaut $2009\pi/12$.\\ On tape :\\ {\tt iquorem(2009,24)}\\ On obtient : {\tt [83,17]} i.e. $2009=24*83+17$.\\ Donc puisque $2009\pi/12=83*2\pi+17\pi/12$, l'argument de $P$ est :\\ $17\pi/12 \bmod 2\pi$ ou encore pour \^etre dans $]-\pi;\pi]$, l'argument de $P$ est :\\ $-7\pi/12=-\pi/2-\pi/12$.\\ Pour avoir la partie r\'eelle et la partie imaginaire de $P$ on calcule :\\ $\cos(-\pi/2-\pi/12)=-\sin(\pi/12)=\displaystyle \frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}$ et\\ $\sin(-\pi/2-\pi/12)=-\cos(\pi/12)=\displaystyle-\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}$\\ Ou on tape :\\ {\tt P:=simplify(Z\verb|^|2009)}\\ On obtient : {\tt (sqrt(2)+(-i)*sqrt(6))/(2+2*i)}\\ On tape :\\ {\tt simplify(re(P),im(P))}\\ On obtient : {\tt (sqrt(2)-sqrt(6))/4,(-sqrt(2)-sqrt(6))/4}\\ On tape :\\ {\tt simplify(abs(P),arg(P))}\\ On obtient : {\tt 1,(-7*pi)/12}\\ \section{Une transformation} \subsection{L'\'enonc\'e} Soit $\displaystyle f(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$.\\ On note $M$ le point d'affixe $z$ et $N$ le point d'affixe $Z=f(z)$.\\ On note $A$ le point d'affixe $-1$ et $B$ le point d'affixe $1$. \begin{itemize} \item Calculer $f(-i)$ et r\'esoudre l'\'equation $f(z)=2$. \item R\'esoudre l'\'equation $f(z)=z$ \item Calculer pour $Z \neq 1$, $\displaystyle \frac{Z+1}{Z-1}$ et en d\'eduire que si $N\neq B$: $$\frac{NA}{NB}=\frac{MA^2}{MB^2}$$. \item Trouver le lieu de $N$ lorsque $M$ se d\'eplace sur la m\'ediatrice du segment $AB$. \item Trouver le lieu de $N$ lorsque $M$ se d\'eplace sur le cercle de diam\`etre $AB$. \end{itemize} \subsection{La correction avec {\tt Xcas}} On coche {\tt Complexe} dans la configuration du CAS et si on coche {\tt Variables\_complexes} on est oblig\'e de mettre {\tt assume Y,real)} si on veut que la variable {\tt Y} soit r\'eelle.\\ Dans ce qui suit on suppose que l'on a coch\'e {\tt Variables\_complexes} (si ce n'est pas le cas on peut enlever toutes les commandes {\tt assume}.\\ On tape :\\ {\tt f(z):=1/2*(z+1/z)} \begin{itemize} \item Calcul de $f(-i)$ et r\'esolution de l'\'equation $f(z)=2$. On tape :\\ {\tt f(-i)}\\ On obtient : {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt csolve(f(z)=2,z)}\\ On obtient : {\tt [-sqrt(3)+2,sqrt(3)+2]}\\ donc le point d'affixe 2 a deux ant\'ec\'edents : les points d'affixe $-\sqrt 3+2$ et $\sqrt 3+2$ \item R\'eslution de l'\'equation $f(z)=z$ On tape :\\ {\tt csolve(f(z)=z,z)}\\ On obtient : {\tt [-1,1]}\\ donc les points doubles de $f$ sont les points $A$ et $B$. \item Calcul pour $Z!=1$ de $\frac{Z+1}{Z-1}$ On tape :\\ {\tt factor((f(z)+1)/(f(z)-1))}\\ On obtient : {\tt ((z+1)\verb|^|2)/((z-1)\verb|^|2)}\\ donc $\frac{NA}{NB}=(\frac{MA}{MB})^2$ \item Lorsque $M$ se d\'eplace sur la m\'ediatrice du segment $AB$ on a $MA=MB$ ou encore $|z+1|=|z-1|$.\\ Donc d'apr\'es ce qui pr\'ec\'ede on a $|Z+1|/|Z-1|=1$ donc $N$ se d\'eplace sur la m\'ediatrice du segment $AB$.\\ R\'eciproquement, si $|Z+1|=|Z-1|$ on en d\'eduit que $|z+1|^2=|z-1|^2$ donc que $M$ se d\'eplace sur la m\'ediatrice du segment $AB$.\\ On tape puisque la m\'ediatrice de $AB$ est l'axe des $y$ :\\ {\tt assume(y,real)}\\ {\tt simplify(f(i*y)}\\ On obtient : {\tt ((i)*y\verb|^|2-i)/(2*y)}\\ On tape :\\ {\tt re(f(i*y))}\\ On obtient : {\tt 0}\\ On tape :\\ {\tt re(f(i*y))}\\ On obtient : {\tt 0}\\ Pour la r\'eciproque , on tape :\\ {\tt assume(Y,real)}\\ {\tt sol:=simplify(csolve(f(z)=i*Y,z}\\ On obtient : {\tt [(i)*Y+sqrt(-Y\verb|^|2-1),(i)*Y-sqrt(-Y\verb|^|2-1)]}\\ On tape :\\ {\tt real(sol)}\\ On obtient : {\tt [0,0]}\\ On tape :\\ {\tt simplify(im(sol))}\\ On obtient : {\tt [Y+sqrt(Y\verb|^|2+1),Y-sqrt(Y\verb|^|2+1)]}\\ \item $M$ se d\'eplace sur le cercle de diam\`etre $AB$ qui est aussi le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Donc $z=e^{it}$ avec $0\leq t\leq 2*\pi$.\\ Donc d'apr\'es ce qui pr\'ec\'ede on a :\\ $\displaystyle \frac{Z+1}{Z-1}=(\frac{z+1}{z-1})^2$ donc {\tt arg((Z+1)/(Z-1))=2*arg((z+1)/(z-1))}.\\ On a {\tt arg((z+1)/(z-1))=arg(z+1)-arg(z-1)} et cela est la mesure de l'angle $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})$ qui vaut $+/-\frac{\pi}{2}$ car $M$ se d\'eplace sur le cercle de diam\`etre $AB$. Donc {\tt arg((Z+1)/(Z-1))=pi} et $N$ se d\'eplace sur la droite $AB$. On sait d'apr\`es la question 1 que le point d'affixe 2 ne fait pas partie du lieu, donc on fait une r\'eciproque. Pour cela on r\'esout $f(z)=X$ i.e. $z^2-2Xz+1=0$ le discriminant vaut $X^2-1$ donc si $X<1$ ou si $X>-1$ les solutions sont r\'eelles et l'anr\'ec\'edent de $N$ ne se trouve pas sur le cercle de diam\`etre $AB$. Si $-1\leq X \leq 1$ les solutions sont : $z=X+i\sqrt{1-X^2}$ et $z=X-i\sqrt{1-X^2}$ qui sont les affixes de 2 points du cercle de centre $O$ et de rayon 1 ($|z|^2=X^2+(1-X^2)=1$. On tape avec {\tt Xcas} :\\ {\tt assume(t,real)}\\ {\tt simplify(exp2trig(f(exp(i*t))))}\\ On obtient : {\tt cos(t)}\\ donc $N$ se d\'eplace sur le segment $AB$ on a $Z=cos(t)$ avec $0\leq t\leq 2*\pi$.\\ Pour la r\'eciproque, $N$ se d\'eplace sur le segment $AB$ donc $Z=cos(t)$ avec $0\leq t\leq 2*\pi$.\\ On tape :\\ {\tt sol:=csolve(f(z)=cos(t),z)}\\ On obtient : {\tt [sqrt(cos(t)\verb|^|2-1)+cos(t),-sqrt(cos(t)\verb|^|2-1)+cos(t)]}\\ On tape :\\ {\tt simplify(trig2exp(sol))}\\ On obtient : {\tt [exp((i)*t),1/(exp((i)*t))]} Donc $M$ se trouve sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1. \end{itemize} \chapter{Exemples d'int\'egrales} \section{Des calculs d'int\'egrales} On tape : \begin{verbatim} integrate(1/(x^4-1)^10,x); integrate((x^4+4*x^2+6*x+4)/(x+1)^2,x); integrate(x/((x-1)*(x+1)^2),x); integrate(x/((x+1)*(x^4-1)),x); integrate(1/(3*x*(x^2+x+1)*(x-1)^3),x); integrate(1/(x^4-1)^2,x); integrate(1/(x^4+1)^2,x); integrate(1/(x^4+1)^4,x); integrate(x^7/((x^4-1)*(x^2+3)),x); integrate(((1+x)/(1-x))^(1/3),x); integrate((sin(2*x)+1)/(cos(2*x)),x); integrate((2*sin(x)+1)/(2*sin(x)-1),x); integrate(exp(x)/(3+2*exp(x)),x); integrate(sin(x)^2*cos(x)^4,x); integrate(sin(x)/(sin(x)^3+cos(x)^3),x); integrate(1/sqrt(2*x*t)*exp(-t^2/2),x); integrate(sin(3*x)^4/exp((3*x+1)/cos(t)),x); integrate(2*x/sqrt(x^2-1),x); integrate((sin(x)+cos(x))/(sin(x)-cos(x)),x); integrate(sin(pi/2-2*x),x); integrate(tan(x)+tan(x)^3,x); integrate((exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x)),x); integrate(1/cos(x)^25,x); integrate(1/(sin(x)-1)^3,x); integrate(1/(sin(x)+1)^3,x); integrate(ln(x+sqrt(1+x^2)),x); integrate(atan(2*x/(1+x^2)),x); integrate(x*sqrt(1+x^2),x); integrate(sin(x)/cos(x)^2,x); integrate(exp(x)/(1+exp(2*x)),x); integrate(cos(x/2)^2/(x+sin(x)),x); integrate(x/sqrt(x+1),x); integrate(exp(x)/((3+exp(x))*sqrt(exp(x)-1)),x); integrate(sqrt(x)/sqrt(a^3-x^3),x); integrate(sqrt(a-x)/sqrt(x),x); integrate(sqrt(x^2+a^2),x); integrate(sin(2*x)*cos(x),x); integrate(x*atan(x),x); integrate(sinh(x)*cos(x),x); integrate(atan(x)/x,x); integrate(1/(sin(x)-2)^3,x); integrate((2*x^2+1)*exp(x^2),x); integrate(1/(1+sqrt(1-x^2)),x); integrate(sin(3*x)/sin(x),x); integrate(1/(t*ln(t)^2),t,2,x); integrate(ln(1+2/(n*(n+3))),n,1,+infinity); integrate((pi*t-t^2)*sin(n*t),t,0,pi); integrate(exp(t)*cos(n*t),t,-pi,pi); integrate(exp(x)*sin(x),x,0,t); integrate(cos(x)/exp(x),x,0,+infinity); integrate((t^4+t+1)/(t^6+t^3+2),t,1,+infinity); integrate(1/(t^4+t^2),t,2,+infinity); integrate(x*exp(1/2*abs(ln(x^2))),x,2,t); integrate(1/sqrt(2*x*t)*exp(-t^2/2),x,a,b); integrate((x^2*(1-x))^(1/3),x,0,1); integrate((a*t+5)/((t-1)^3*(t-2)^2),t,3,x); integrate(atan(sqrt(1-x^2)),x,0,1); integrate(ln(x^2+t^2)/(1+t^2),t,0,+infinity); \end{verbatim} \section{Int\'egrale de $\exp(x)*$polyn\^ome} \noindent On tape :\\ {\tt integrate(e\verb|^|x*sin(2*x),x,0,pi)}\\ On obtient :\\ {\tt -2/5*exp(pi)--2/5}\\ On tape :\\ {\tt integrate(x\verb|^|2*e\verb|^|(i*x))}\\ On obtient :\\ {\tt (-x\verb|^|2-(2*i)*x+2)/(-i)*exp((i)*x)}\\ On obtient avec {\tt normal} :\\ {\tt (-i)*x\verb|^|2*exp((i)*x)+2*x*exp((i)*x)+(2*i)*exp((i)*x)}\\ On tape :\\ {\tt integrate((1+x)*cos(x)*e\verb|^|x)}\\ On obtient :\\ {\tt exp(x)*((-((x+1)/-2))*cos(x)-(x*sin(x))/-2)} \section{Changements de variables} \noindent On tape :\\ {\tt integrate(x*exp(x\verb|^|2))}\\ On obtient (\`a la main on pose $u=x^2$) :\\ {\tt (exp(x\verb|^|2))/2}\\ On tape :\\ {\tt integrate(ln(x)/x,x,e,e\verb|^|2)}\\ On obtient (\`a la main on pose $u=ln(x)$):\\ {\tt 3/2}\\ On tape :\\ {\tt integrate((2*x+1)/sqrt(x\verb|^|2+x+1))}\\ On obtient (\`a la main on pose $u=sqrt(x^2+x+1)$) :\\ {\tt 2*sqrt(x\verb|^|2+x+1)}\\ On tape :\\ {\tt integrate(sqrt(1+x),x,1,2)}\\ On obtient (\`a la main on pose $u=1+x$ et \\ {\tt diff(2/3*u\verb|^|(3/2)=u\verb|^|(1/2)}) :\\ {\tt 2*sqrt(3)-(4*sqrt(2))/3} \section{Int\'egration par parties} Calculer : $\int \ln(x)dx$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt integrate(ln(x))}\\ On obtient :\\ {\tt x*log(x)-x}\\ Donc $\int \ln(x)dx$\\ Calculer : $\int \ln(x)^2dx$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt integrate(ln(x)\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt (log(x))\verb|^|2*x+(-(2*log(x)))*x+2*x}\\ Donc $\int \ln(x)^2dx=(\ln(x))^2*x+(-(2*\ln(x)))*x+2*x$\\ Calculer : $\int \cos(x)*\ln(1+\cos(x))dx$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt integrate(cos(x)*ln(1+cos(x)))}\\ On obtient une expression en termes d'exponentielles complexes qu'il est possible mais difficile de simplifier.\\ On tape :\\ {\tt ibpu(cos(x)*log(1+cos(x)),log(1+cos(x)))}\\ On obtient :\\ {\tt [sin(x)*log(1+cos(x)),((sin(x))\verb|^|2)/(cos(x)+1)]}\\ On tape :\\ {\tt ibpu([sin(x)*log(1+cos(x)),((sin(x))\verb|^|2)/(cos(x)+1)],0)}\\ On obtient :\\ {\tt 2*((tan(x/2))/(-tan(x/2)\verb|^|2-1)+x/2)+sin(x)*ln(1+cos(x))} On peut encore simplifier en s\'electionnant la partie en {\tt tan(x/2)} en utilisant la fonction {\tt tan2sincos2} puis {\tt simplify}, au final on obtient :\\ {\tt 2*(-1/2*sin(x)+x/2)+sin(x)*ln(1+cos(x))}\\ Ou encore on tape pour int\'egrer $sin(x)^2/(cos(x)+1)$ :\\ {\tt integrate(trigcos(sin(x)\^2/(cos(x)+1))}\\ On obtient :\\ {\tt -sin(x)+x}\\ Donc $\int \cos(x)*\ln(1+\cos(x))dx=\sin(x)*\ln(1+\cos(x))-\sin(x)+x$ \section{Int\'egrale de fractions rationnelles} Calculer :\\ $$\int \frac{2x+1}{x^2-9}dx$$ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt partfrac((2x+1)/(x\verb|^|2-9))}\\ On obtient :\\ {\tt 5/(6*(x+3))+7/(6*(x-3))}\\ On tape :\\ {\tt int((2x+1)/(x\verb|^|2-9))}\\ On obtient :\\ {\tt (7*log(abs(x-3)))/6+(5*log(abs(x+3)))/6}\\ \section{Int\'egrale de poln\^omes en $\sin$ et $\cos$} On lin\'earise \noindent On tape :\\ {\tt int(sin(x)\verb|^|3+cos(x)\verb|^|3)}\\ On obtient :\\ {\tt -cos(x)-(cos(x)\verb|^|3)/-3+sin(x)-(sin(x)\verb|^|3)/3}\\ On tape :\\ {\tt int(sin(x)\verb|^|4+cos(x)\verb|^|2)}\\ On obtient :\\ {\tt (3*x)/8-(sin(2*x))/4-(sin(4*x))/-32+x/2-(sin(2*x))/-4}\\ \section{Int\'egrale de fractions rationnelles en $\sin$, $\cos$ ou $\sinh$, $\cosh$} Th\'eoriquement, on pose $t=\tan(x/2)$ et on obtient une fraction rationnelle en $t$.\\ Pratiquement, on applique les r\`egles de Bioche : \begin{itemize} \item si lorsqu'on change $x$ en $-x$ et $dx$ en $-dx$, l'expression totale \`a int\'eger ne change pas, on pose $\cos(x)=t$ \item si lorsqu'on change $x$ en $\pi-x$ et $dx$ en $-dx$, l'expression totale \`a int\'eger ne change pas, on pose $\sin(x)=t$ \item si lorsqu'on change $x$ en $\pi+x$ et $dx$ en $dx$, l'expression totale \`a int\'eger ne change pas, on pose $\tan(x)=t$ \end{itemize} \noindent On tape :\\ {\tt int(sin(x)\verb|^|3/cos(x)\verb|^|4)}\\ On obtient :\\ {\tt (3*cos(x)\verb|^|2-1)*(-(1/(cos(x)\verb|^|3*3)))}\\ On tape :\\ {\tt int(1/(5+3*cos(x))}\\ On obtient :\\ {\tt (2*(atan((tan(x/2))/2)+pi*floor(x/(pi*2)+1/2)))/4}\\ On tape :\\ {\tt normal(int(1/(sin(x)+cos(x)),x,0,pi/2)}\\ On obtient :\\ {\tt (sqrt(2))/2*ln(2*sqrt(2)+3)}\\ On a $2*\sqrt 2+3=(\sqrt 2+1)^2$ donc \\ {\tt (sqrt(2))/2*ln(2*sqrt(2)+3)=sqrt(2)*ln(sqrt(2)+1)} \section{Int\'egrale d'expressions trigonom\'etriques} On essaye de poser $t=\tan(x/2)$ et on obtient une fonction de $t$.\\ Avec {\tt Xcas} on transforme l'expression en $\tan(x/2$ avec la commande {\tt halftan}.\\ On tape :\\ {\tt int(halftan(sqrt(1+sin(x))),x,0,pi)}\\ On obtient :\\ {\tt 4} On tape :\\ {\tt int(halftan(sqrt(sin(x))/(sqrt(sin(x))+sqrt(cos(x)))),x,0,pi/2)}\\ On obtient :\\ {\tt pi/4} \section{Int\'egrale de la racine carr\'ee de trin\^omes de degr\'e 2} On met le trin\^ome de degr\'e 2 sous sa forme canonique sous la forme :\\ $u^2+1$ ou $u^2-1$ ou $1-u^2$. Puis, on pose $u=\cos(t)$ ou $u=\sin(t)$ ou $u=\cosh(t)$ ou $u=\sinh(t)$ \\ \noindent On tape :\\ {\tt int(sqrt(x\verb|^|2+x+1),x,-2,2)}\\ On obtient :\\ {\tt 3/8*ln(2*sqrt(3)+3)+(-3)/8*ln(2*sqrt(7)-5)+(12*sqrt(3)+20*sqrt(7))/16}\\ \chapter{Utilisation des sommes de Riemann avec {\tt Xcas}} \section{Sommes de Riemann et d\'efinition de l'int\'egrale} \subsection{Deux th\'eor\`emes} Soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb R$. {\tt Rappel} : Int\'egrale d'une fonction en escalier $\phi$ sur $[a,b]$\\ L'int\'egrale d'une fonction en escalier $\phi$ de $[a,b]$ dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ not\'ee $\int_a^b \phi_n$ est \'egale \`a :\\ $\sum_{j=1}^n (a_j -a_{j-1})*\lambda_j$ \\ o\`u $\lambda_j$ est la valeur constante prise par $\phi_j $ sur $]a_{j-1},a_{j}[$.\\ Soit $f$ une application continue par morceaux de $[a,b]$ dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. {\tt Th\'eor\`eme 1}\\ $f$ est la limite uniforme d'une suite $\phi_n$ de fonctions en escalier sur $[a,b]$.\\ {\tt Th\'eor\`eme 2 et d\'efinition de l'int\'egrale}\\ Si $\phi_n$ est une suite de fonctions en escalier sur $[a,b]$ qui converge uniform\'ement vers $f$ sur $[a,b]$, alors la suite $\int_a^b \phi_n$ converge et cette limite ne depend pas de la suite $\phi_n$ choisie pourvu que cette suite $\phi_n$ converge uniform\'ement vers $f$ sur $[a,b]$.\\ Cette limite est appel\'ee {\tt int\'egrale de $f$ sur [a,b]} et est not\'ee $\int_a^b f$ ou encore $\int_a^b f(t) dt$. \subsection{Sommes de Riemann} Soit $(a_j)_{j \in [0,n]}$ une subdivision de $[a,b]$. {\tt D\'efinition}\\ On appelle {\tt sommes de Riemann} de $f$ associ\'ee \`a la subdivision $(a_j)_{j \in [0,n]}$ toutes les sommes de la forme :\\ $\sum_{j=1}^n f(t_j)*(a_j-a_{j-1})$ \\ o\`u $t_j$ est un \'el\'ement de $[a_{j-1},a_{j}]$ pour tout $j \in [1,n]$.\\ Soit $(a_j)_{j \in [0,n]}$ une subdivision r\'eguli\`ere de $[a,b]$ c'est \`a dire $\displaystyle a_j=a+j*\frac{b-a}{n}$ pour $j \in [0,n]\ $. {\tt Propri\'et\'e}\\ On a :\\ $\displaystyle \ a_j-a_{j-1}=\frac{b-a}{n}$ pour $j \in [1,n]$.\\ et donc \\ $\displaystyle \int_a^b f(t) dt=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{j=1}^n f(t_j)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{j=1}^{n-1} f(t_j)$\\ o\`u $t_j$ est un \'el\'ement de $[a_{j-1},a_{j}]$ pour tout $j \in [1,n]$ (par ex $t_j=a_{j-1}$ ou $t_j= a_{j}$). \section{Les fonctions de {\tt Xcas} utilis\'ees} Voici les fonctions de {\tt Xcas} qui vous seront utiles dans ces exercices.\\ %{\tt ans()} renvoie la derni\`ere r\'eponse obtenue.\\ {\tt sum\_riemann(expr(n,k),[n,k])} renvoie au voisinage de ${\tt n=+\infty}$ un \'equivalent de ${\tt \sum_{k=1}^n expr(n,k)}$ ou de ${\tt \sum_{k=0}^{n-1} expr(n,k)}$ ou de ${\tt \sum_{k=1}^{n-1} expr(n,k)}$ lorsque la somme consid\'er\'ee est une somme de Riemann associ\'ee \`a une fonction continue sur [0,1] ou r\'epond {\tt "ce n'est probablement pas une somme de Riemann"} quand la recherche a \'et\'e infructueuse.\\ Remarque : lorsque la fonction $f$ est seulement continue sur ]0,1] (resp sur [0,1[ ou sur ]0,1[) et que $int_0^1f(x)dx$ converge on a encore $\sum_{k=1}^n 1/n*f(k/n)$ (resp $ \sum_{k=0}^{n-1} 1/n*f(k/n)$ ou $ \sum_{k=1}^{n-1} 1/n*f(k/n)$) tend vers $int_0^1f(x)dx$ quand ${\tt n->+\infty}$.\\ {\tt integrate(expr(x),x,a,b)} calcule l'int\'egrale de l'expression {\tt expr(x)} entre {\tt a} et {\tt b}.\\ {\tt partfrac(n(x)/d(x))} d\'ecompose en \'el\'ements simples la fraction rationnelle {\tt n(x)/d(x)}. \section{Exercices} \begin{enumerate} \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$. \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^3}{n^4}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$. \item Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})$.\\ D\'eterminer un \'equivalent de $S_n==\sum_{k=n+1}^{2*n} \frac{1}{k^p}$ lorsque $p\in \mathbb R-\{1\}$ \item Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+...+\frac{n}{n^2+n^2})$. \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k^2}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$. \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{32n^3}{16n^4-k^4}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$. \end{enumerate} \section{Corrections des exercices} \begin{enumerate} %\item \item $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (k/n)^2$.\\ $S_n$ est une somme de Riemann de la fonction $f(x)=x^2$ sur $[0,1]$.\\ On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1 x^2 dx$\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann(k^2/n^3,[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{1}{3}}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\frac{1}{3}$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate(x^2,x,0,1)}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{1}{3}}$\\ \item $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^3}{n^4}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (k/n)^3$.\\ $S_n$ est une somme de Riemann de la fonction $f(x)=x^3$ sur $[0,1]$.\\ On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1 x^3 dx$\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann(k^3/n^4,[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{1}{4}}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\frac{1}{4}$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate(x^3,x,0,1)}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{1}{4}}$\\ \item Soit $\displaystyle U_n=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})=\sum_{k=n+1}^{2*n} \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+k/n}$\\ $U_n$ est une somme de Riemann de la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$ (ou de la fonction $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x}$ sur $[1,2]$).\\On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1\frac{1}{1+x} dx= \int_1^2\frac{1}{x} dx$.\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann(1/(n+k),[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt log(2)}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} U_n=\ln(2)$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate(1/(1+x),x,0,1)}$ ou ${\tt integrate(1/x,x,1,2)}$\\ On obtient :\\ ${\tt log(2)}$\\ Pour avoir un \'equivalent de $\displaystyle S_n=\sum_{k=n+1}^{2*n} \frac{1}{k^p}$ on tape :\\ ${\tt sum\_riemann(1/(n+k)^p,[n,k])}$\\ on obtient {\tt "ce n'est probablement pas une somme de riemann"}\\ car le param\`etre ${\tt p}$ n'est pas bien g\'er\'e.\\ On tape alors :\\ ${\tt sum\_riemann(1/(n+k)^2,[n,k])}$\\ on obtient {\tt 1/2/n}\\ ${\tt sum\_riemann(1/(n+k)^3,[n,k])}$\\ on obtient ${\tt 3*1/8/n^2}$ (ou encore $3/4/(2*n^2)$)\\ ${\tt sum\_riemann(1/(n+k)^4,[n,k])}$\\ on obtient ${\tt 7*1/24/n^3}$ (ou encore $7/8/(3*n^3)$)\\ L'\'equivalent de $\displaystyle S_n=\sum_{k=n+1}^{2*n} \frac{1}{k^p}$ semble donc \^etre $\displaystyle\frac{2^{p-1}-1}{2^{p-1}*(p-1)*n^{p-1}}$ \item Soit $\displaystyle S_n=(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+...+\frac{n}{n^2+n^2})=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2}$\\ $S_n$ est une somme de Riemann de la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ sur $[0,1]$.\\ On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1\frac{1}{1+x^2} dx$.\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann(n/(n^2+k^2),[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle\frac{\pi}{4}}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\frac{\pi}{4}$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate(1/(1+x^2),x,0,1)}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle\frac{\pi}{4}}$\\ \item $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1+k/n}{1+(k/n)^2}$.\\ $S_n$ est une somme de Riemann de la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1+x^2}$ sur $[0,1]$.\\ On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2} dx$.\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann((n+k)/(n^2+k^2),[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{2*log(2)+ \pi}{4}}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\frac{2*\ln(2)+ \pi}{4}$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate((1+x)/(1+x^2),x,0,1)}$\\ On obtient :\\ ${\tt \displaystyle \frac{2*log(2)+ \pi}{4}}$\\ \item $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{32n^3}{16n^4-k^4}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{32}{16-(k/n)^4}$.\\ $S_n$ est une somme de Riemann de la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{32}{16-x^4}$ sur $[0,1]$.\\ On a :\\ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=\int_0^1\frac{32}{16-x^4} dx$.\\ On tape :\\ ${\tt sum\_riemann(32*n^3/(16*n^4-k^4),[n,k])}$\\ On obtient :\\ ${\tt 2*atan(1/2)+log(3)}$\\ Donc $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=2*\arctan(1/2)+\ln(3)$$ Pour v\'erifier on tape :\\ ${\tt integrate(32/(16-x^4),x,0,1)}$\\ On obtient :\\ ${\tt 2*atan(1/2)+log(3)}$\\ Si on veut savoir comment cette int\'egrale a \'et\'e calcul\'ee on d\'ecompose en \'el\'ements simples $\displaystyle \frac{32}{16-X^2}$ en posant $X=x^2$, on tape :\\ ${\tt partfrac(32/(16-X^2))}$\\ On obtient :\\ ${\tt 4/(X+4)+4/(-X+4)}$\\ Puis on tape : ${\tt integrate(4/(x^2+4),x,0,1)}$ et on obtient : ${\tt 2*atan(1/2)}$\\ Puis on tape : ${\tt integrate(4/(-x^2+4),x,0,1)}$ et on obtient : ${\tt log(3)}$\\ \end{enumerate} \section{Autres exercices} \begin{enumerate} \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \sin(\frac{k\pi}{n})$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(k/n^2*sin(k*pi/n),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt \frac{1}{\pi}}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 x \sin(\pi x)dx$ vaut $\displaystyle \frac{1}{\pi}$.\\ On tape : $${\tt int(x*sin(pi*x),x,0,1)}$$ On obtient : $${\tt \frac{1}{\pi}}$$ \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin(\frac{k*x}{n})$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(1/n*sin(k*x/n),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt \frac{-cos(x)+1}{x}}$$ En effet $\displaystyle \int_0^1 \sin(t* x)dt$ = $\displaystyle -\frac{\cos(t*x)}{x}|_{t=1} +\frac{\cos(t*x)}{x}|_{t=0}=\frac{-\cos(x)+1}{x}$.\\ On tape : $${\tt int(sin(t*x),t,0,1)}$$ On obtient : $${\tt \frac{-cos(x)}{x}+\frac{1}{x}}$$ \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2} \sin(\frac{k\pi}{n})$.\\ Trouver un equivalent de $S_n$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(k^2/n^2*sin(k*pi/n),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt \frac{pi^2*n-4*n}{pi^3}}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 x^2 \sin(\pi x)dx$ vaut $\displaystyle\frac{\pi^2-4}{\pi^3}$ et $S_n$ est le produit de $n$ par une somme de Riemann de cette int\'egrale.\\ On tape : $${\tt normal(int(x^2*sin(pi*x),x,0,1))}$$ On obtient : $${\tt \frac{\pi^2-4}{\pi^3}}$$ $S_n$ est donc \'equivalente \`a $\displaystyle n*\frac{\pi^2-4}{\pi^3}$ quand $n \rightarrow +\infty$. \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{2+\cos(\frac{k\pi}{n})}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(sin(pi/n)/(2+cos(k*pi/n)),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt 0}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{2+\cos(\pi x)}dx$ vaut $\displaystyle\frac{1}{\pi}$ et $S_n$ est le produit de $n\sin(\pi/n)$ par une somme de Riemann de cette int\'egrale.\\ On tape : $${\tt int(1/(2+cos(pi*x)),x,0,1)}$$ On obtient : $${\tt 0}$$ On tape : $${\tt limit(n*sin(pi/n),n=+infinity)}$$ On obtient : $${\tt pi}$$ La limite de $S_n$ est donc $0$ ($0*\pi=0$) quand $n \rightarrow +\infty$. \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k^2+n^2}}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(1/sqrt(k^2+n^2),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt -log(\sqrt2-1)}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ vaut $-(\ln(\sqrt 2-1))\pi$.\\ On tape : $${\tt int(1/sqrt(1+x^2),x,0,1)}$$ On obtient : $${\tt -(log(\sqrt2-1))}$$ \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2t^2}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(n/(k^2*t^2+n^2),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt atan(t^2/abs(t))/abs(t)}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2*t^2+1}$ vaut $\displaystyle\frac{\arctan(|t|)}{|t|}$.\\ On tape : $${\tt int(1/(x^2*t^2+1),x,0,1)}$$ On obtient : $${\tt \frac{atan(\frac{t^2}{abs(t)})}{abs(t)}}$$ \end{enumerate} \section{Somme et produit se ramenant \`a des sommes de Riemann} \begin{enumerate} \item Soit $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$.\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(1/sqrt(k*(n-k)),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt pi}$$ En effet l'int\'egrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x*(1-x)}}$ est convergente vers $\pi$. \\ On tape : $${\tt int(1/(sqrt(x*(1-x))),x,0,1)}$$ On obtient : $${\tt \frac{pi}{2}+\frac{pi}{2}}$$ \item Soit $\displaystyle P_n=\frac{1}{n}(\prod_{k=1}^n (k+n))^{\frac{1}{n}}$.\\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} P_n$.\\ On a :\\ $\ln(P_n)=-\ln(n)+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln(k+n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln(1+k/n)$\\ On tape : $${\tt sum\_riemann(1/n*\ln(1+k/n),[n,k])}$$ On obtient : $${\tt 2*log(2)-1}$$ Donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} P_n=\exp(2*\ln(2)-1)=\frac{4}{e}$ \end{enumerate} \section{ Calcul d'une int\'egrale \`a l'aide d'une somme de Riemann} Soit $\displaystyle P_n=(\prod_{k=1}^n \sin(\frac{k\pi}{2n})$.\\ 1/ Montrer que :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}(1-\cos(\frac{k*\pi}{n}))=\frac{n}{2^{n-1}}$.\\ 2/ En d\'eduire que :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}(\sin(\frac{k*\pi}{2n}))=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}$.\\ 3/ D\`eterminer la limite de $\displaystyle \frac{\pi}{2n}\sum_{k=1}^{n-1} \ln(\sin(\frac{k*\pi}{2n}))$ quand $n$ tend vers $+\infty$.\\ 4/ Montrer que l'int\'egrale $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin(x))dx$ est convergente et calculer sa valeur \`a l'aide des sommes de Riemann.\\ 5/ Retrouver ce r\'esultat en consid\'erant $J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos(x))dx$ et en montrant que $I=J=\frac{I+J}{2}$\\ 1/ On a :\\ $\displaystyle \prod_{k=0}^{2n-1}(z-\exp(\frac{i*k*\pi}{n}))=z^{2n}-1=$\\ $\displaystyle (z-1)(z-\exp(i*\pi))\prod_{k=1}^{n-1}(z-\exp(\frac{i*k*\pi}{n}))(z-\exp(\frac{i*(2*n-k)*\pi}{n}))$ donc\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}(z-\exp(\frac{i*k*\pi}{n}))(z-\exp(\frac{i*(2*n-k)*\pi}{n}))=$\\$\displaystyle \frac{z^{2n}-1}{(z-1)(z-\exp(i*\pi))}=\frac{{(z^2)}^n-1}{(z^2-1)}=1+z+z^2+...z^{2n-2}$\\ En faisant tendre $z$ vers $1$ on en d\'eduit que :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}(1-\exp(\frac{i*k*\pi}{n})(1-\exp(\frac{i*(2*n-k)*\pi}{n}))=n$\\ On a $\displaystyle (1-\exp(\frac{i*(2*n-k)*\pi}{n})=(1-\exp(\frac{-i*k*\pi}{n})$ et :\\ $\displaystyle(1-\exp(\frac{i*k*\pi}{n}))(1-\exp(\frac{-i*k*\pi}{n}))=2-2\cos(\frac{k*\pi}{n})$\\ Donc :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}2-2\cos(\frac{k*\pi}{n})=n$\\ ou encore :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}1-\cos(\frac{k*\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}$\\ On a :\\ $\displaystyle (\sin(\frac{k*\pi}{2n}))^2=\frac{1}{2}(1-\cos(\frac{k*\pi}{n}))$\\ Donc :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}(\sin(\frac{k*\pi}{2n}))^2=\frac{1}{2^{n-1}}*\frac{n}{2^{n-1}}$\\ Ou encore puisque $\sin(\frac{k*\pi}{2n})>0$ pour tout $k=1..(n-1)$ :\\ $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k*\pi}{2n})=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}$\\ On a :\\ $\displaystyle \frac{\pi}{2n}\sum_{k=1}^{n-1} \ln(\sin(\frac{k*\pi}{2n}))= \frac{\pi}{2n}\ln(\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\frac{k*\pi}{2n}))= \frac{\pi}{2n}\ln(\frac{\sqrt n}{2^{n-1}})$\\ On tape $${\tt limit(pi/2/n*ln(sqrt(n)/2^{n-1}),n=+infinity)}$$ On obtient : $${\tt -(\frac{pi*log(2)}{2})}$$ 4/ $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin(x))dx$ est convergente en 0 car :\\ $0<-\ln(\sin(x)<1/\sqrt x$ au voisinage de 0 ($\lim_{x->0}\sqrt x *\ln(\sin(x)=0$) et $\int_0^1 dx/\sqrt x $ est convergente en 0.\\ %$\int_0^1 \ln(x)dx $ est convergente en 0 %et $\ln(2*x/\pi)=\ln(2/\pi)+\ln(x)<\ln(\sin(x))<\ln(x)<0$ pour $00$\\ $x*dt+\sqrt{1+t^2}*dx=0$ si $x<0$\\ ou encore \\ $|x|t'=\sqrt{1+t^2} $\\ donc $=dx/|x|=signe(x)*dx/x=dt/\sqrt(1+t^2)$\\ Donc :\\ Si $x>0$ on a : $x=k*(t+\sqrt(1+t^2)); y=k*t*(t+\sqrt(1+t^2))$ avec $k>0$\\ Si $x<0$ on a : $x=k/(t+\sqrt(1+t^2)); y=k*t/(t+\sqrt(1+t^2))$ avec $k<0$\\ Si $x>0$ on a : $(x/k-t)^2=1+t^2$\\ $2kxt=k^2*x^2-1$ ou encore \\ $y=kx^2/2-1/(2k)$ Si $x<0$ on a : $(k/x-t)^2=1+t^2$\\ $2kt/x=k^2/x^2-1$ ou encore \\ $y=k/2-x^2/(2k)$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt normal(desolve(x*y'-y-sqrt(x\verb|^|2+y\verb|^|2)))}\\ On obtient :\\ {\tt [(-i)*x,(i)*x,pnt[(sqrt(` t`\verb|^|2+1)+` t`)*c\_0,(` t`*sqrt(` t`\verb|^|2+1)+` t`\verb|^|2)*c\_0]]}\\ o\`u ` t` est le param\'etrage. \item R\'esoudre :\\ $3x^3y'-(3x^2-y^2)y=0$\\ On pose $t=y/x$ et on obtient :\\ $y'=t-t^3/3=dy/dx=t+x*dt/dx$ donc :\\ $dx/x=-3*dt/(t^3)$ et $y=t*x$ $x=k*\exp(3/(2*t^2)) et y=k*t*\exp(3/(2*t^2))$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt normal(desolve(3*x\verb|^|3*diff(y)=((3*x\verb|^|2-y\verb|^|2)*y),y))}\\ On obtient :\\ {\tt [0,pnt[c\_0*exp(3/(` t`\verb|^|2*2)),` t`*c\_0*exp(3/(` t`\verb|^|2*2))]]}\\ o\`u ` t` est le param\'etrage. \item R\'esoudre :\\ $x+y*y'=\sqrt{x^2+y^2}$ On pose :\\ $t=x^2+y^2$\\ On a :\\ $dt/dx=2x+2ydy/dx$ donc\\ $dt/dx=2\sqrt t$\\ donc $dx=dt/(2\sqrt t)$\\ $x+k=\sqrt t$, $y=s*\sqrt{t-x^2}=s*\sqrt{2*k*\sqrt t-k^2}$ avec $s=\pm 1$.\\ On a donc :\\ $y=s*\sqrt{2*k*(x+k)-k^2}=s*\sqrt{2*k*x+k^2}$ avec $s=\pm 1$, $k+2x>0$ et $k+x>0$,\\ Ou bien on pose $y/x=t$ donc $dy/dx=t+x*dt/dx$\\ On a $x+y*y'=\sqrt{x^2+y^2}$ :\\ $x+tx(t+x*dt/dx)=|x|*\sqrt{1+t^2}$\\ Apr\`es simplification par $x$ :\\ $t*x*dt/dx=s*\sqrt{1+t^2}-1-t^2$\\ $tdt/(s*\sqrt{1+t^2}-(1+t^2))=dx/x$\\ Pour $x>0$, $s=1$ et on a\\ $\ln((-4t^2-8-8\sqrt{t^2+1})/(2t^2))=\ln(x/k)$\\ Donc :\\ $x=k(-4t^2-8-8\sqrt{t^2+1})/(2t^2)$\\ $y=k(-4t^2-8-8\sqrt{t^2+1})/(2t)$\\ Pour $x<0$, $s=-1$ et on a\\ $\ln((-4t^2-8+8\sqrt{t^2+1})/(2t^2))=\ln(x/k)$\\ Donc :\\ $x=k(-4t^2-8+8\sqrt{t^2+1})/(2t^2)$\\ $y=k(-4t^2-8+8\sqrt{t^2+1})/(2t)$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve(x+y*y'=sqrt(x\verb|^|2+y\verb|^|2),y)}\\ On obtient :\\ {\tt [(i)*x,(-i)*x,0,pnt[c\_0/(sqrt(` t`\verb|^|2+1)-1),(` t`*c\_0)/(sqrt(` t`\verb|^|2+1)-1)]]}\\ o\`u ` t` est le param\'etrage. \end{itemize} \section{\'Equation de Bernoulli} Les \'equations de Bernoulli sont de la forme $a(x)y'+b(x)y=c(x)y^n$ et se r\'esolvent en posant $u=1/y^{n-1}$ \begin{itemize} \item R\'esoudre :\\ $xy'+2y+xy^2$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt simplify(desolve(x*y'+2*y+x*y\verb|^|2,y))}\\ On obtient :\\ {\tt [1/(x\verb|^|2*c\_0-x)]} \item R\'esoudre :\\ $xy'-2y=xy^3$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt simplify(desolve(x*diff(y)-2*y=(x*y\verb|^|3),y))}\\ On obtient :\\ {\tt [(-(x\verb|^|2*sqrt(-10*x\verb|^|5+25*c\_0)))/(2*x\verb|^|5-5*c\_0)]} \end{itemize} \section{\'Equation \`a variables s\'epar\'ees} Les \'equations \`a variables s\'epar\'ees sont de la forme $a(y)dy=b(x)dx$ et se r\'esolvent en int\'egrant chaque membre. \begin{itemize} \item R\'esoudre :\\ $x*y'*\ln(x)-(3*\ln(x)+1)*y$\\ On a :\\ $dy/y=(3*\ln(x)+1)dx/(\ln(x)*x)=3/x+1/(\ln(x)*x)$ et\\ $\ln(y/k)=3*\ln(x)+\ln(\ln(x)=\ln(x^3*\ln(x))$\\ donc\\ $y=k*x^3*\ln(x)$ \\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt normal(desolve(x*y'*log(x)-(3*log(x)+1)*y,y))}\\ On obtient :\\ {\tt c\_0*x\verb|^|3*ln(x)}\\ \item R\'esoudre :\\ $y'=2*\sqrt y$\\ On a :\\ $dy/(2\sqrt) y=dx$\\ donc \\ $\sqrt y=x+k$\\ ou encore :\\ $y=(x+k)^2$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve(y'=2*sqrt(y),y)}\\ On obtient :\\ {\tt [((2*x-c\_0)\verb|^|2)/4]} \end{itemize} \section{\'Equation non r\'esoluble en $y'$}\label{sec:homog} On sait r\'esoudre si l'\'equation est : \begin{itemize} \item incompl\`ete en $x$\\ c'est \`a dire l'\'equation est de la forme $F(y,y')=0$ \item incompl\`ete en $y$\\ c'est \`a dire l'\'equation est de la forme $F(x,y')=0$ \item homog\'ene en $x$ et $y$ et non r\'esoluble en $y'$\\ c'est \`a dire l'\'equation est de la forme $F(y/x,y')=0$ apr\'es division par une puissance convenable de $x$. \item de la forme $y=x*y'+f(y')$ c'est \`a dire est une \'equation de Clairaut : pour la r\'esolution voir \ref{sec:Clairaut} \end{itemize} On sait r\'esoudre ces \'equations \`a condition de trouver un param\'etrage de de la courbe $F(X,Y)=0$ par $X=f(t),Y=g(t)$.\\ On pose alors : \begin{itemize} \item \'Equation incompl\`ete en $x$\\ $y=f(t),dy/dx=g(t)$ \item \'Equation incompl\`ete en $y$\\ $x=f(t),dy/dx=g(t)$ \item \'Equation homog\'ene en $x$ et $y$ et non r\'esoluble en $y'$\\ $y/x=f(t),dy/dx=g(t)$ \end{itemize} \begin{itemize} \item R\'esoudre :\\ $y^2+y'^2=1$\\ On pose :\\ $y'=t et y=\sqrt{1-t^2}$ ou $y=-\sqrt{1-t^2}$\\ $dy=-s*t*dt/\sqrt{1-t^2}$ avec $s=\pm 1$\\ $dx=dy/t=-s*dt/\sqrt{1-t^2}$\\ $x=-s*\asin(t)+k$ avec $k=cste$ donc\\ $s*x+k=\asin(t)$ et $\sin(s*x+k)=t$\\ $y=s*\sqrt{1-t^2}$ donc $y=s*\sqrt{1-\sin(s*x+k)^2}=\pm \cos(s*x+k)^2)$\\ les solutions sont donc :\\ $ [\cos(x+k_1),-\cos(x+k_2)]$ \item R\'esoudre :\\ $y^2+y'^2=1,y(0)=1/2 $\\ si $y(0)=1/2$ on a $k=pi/3$ et $\cos(x+pi/3)=\sin(pi/6-x)$\\ les solutions sont donc :\\ $[\cos(x+pi/3)=\sin(pi/6-x),-\cos(x+2*pi/3)=\sin(pi/6+x)]$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve(y\verb|^|2+y'\verb|^|2=1,y)}\\ On obtient :\\ {\tt [sin(-c\_0+x),sin(-c\_0-x)]}\\ On tape :\\ {\tt desolve([y\verb|^|2+y'\verb|^|2=1,y(0)=1/2],y)}\\ On obtient :\\ {\tt [sin(pi/6+x),sin(pi/6-x)]}\\ \item R\'esoudre :\\ $(y+y')^4+y'+3*y$\\ On pose :\\ $y+y'=2t$ ce qui donne :\\ $y=-t-8t^4$ et $dy/dx=2t-y=3t+8t^4$ soit $dx=dy/(3t+8t^4)$\\ on a donc :\\ $dy/dt=-1-32t^3$ et $dx=(-1-32t^3)/(3t+8t^4) dt$\\ On tape :\\ {\tt int((-1-32*t\verb|^|3)/(3*t+8*t\verb|^|4),t)}\\ On obtient :\\ {\tt (ln(1/(abs(t)\verb|^|3*abs(8*t\verb|^|3+3)\verb|^|11)))/9}\\ donc \\ $x=-(ln(abs(t)^3*abs(8*t^3+3)^11))/9+k$ et\\ $y=-t-8*t^4$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve((y+diff(y))\verb|^|4+diff(y)+3*y,y)}\\ Mais on n'obtient pas de r\'esultat. \item R\'esoudre :\\ $y'^2=4*sqrt(y)$\\ On a :\\ $y'=2*y^{\frac{1}{4}}$\\ $2*y^(3/4)/3=x+k$ Donc :\\ $y=(3(x+k)/2)^(4/3)=\exp(4/3*\ln(3(x+k)/2)$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve((diff(y))\verb|^|2=(4*sqrt(y)),y)}\\ On obtient :\\ {\tt [exp(4*ln(((-48*c\_0+96*x)\verb|^|(1/3))/4)),...]} \end{itemize} \section{\'Equation de Clairaut} \label{sec:Clairaut} C'est une \'equation de la forme $y=x*y'+f(y')$ que l'on r\'esoud en posant $y'=dy/dx=t$. On a donc $y=t*x+f(t),(x+f'(t))*dt=0$.\\ Donc l'int\'egrale g\'en\'erale est $t=m=cste$ et $x=-f'(t),y=-t*f'(t)+f(t)$.\\ Cela d\'efinit une infinit\'e de droites $D_m$ d'\'equation $y=mx+f(m)$ ($m\in \mathbb{R}$) et l'int\'egrale singuli\`ere $x=-f'(t),y=-t*f'(t)+f(t)$ qui est l'enveloppe des droites $D_m$.\\ R\'esoudre :\\ $y-xy'=\sqrt{a^2+b^2*y'^2}$\\ On pose $y'=dy/dx=t$ et $f(t)=\sqrt{a^2+b^2*t^2}$.\\ On a :\\ $f'(t)=b^2*t/\sqrt{a^2+b^2*t^2}$ \\ donc comme solution les droites : $y=m*x+\sqrt{a^2+b^2*m^2}$\\ et comme int\'egrale singuli\`ere :\\ $x=-b^2*t/\sqrt{a^2+b^2*t^2},y=-b^2*t^2/\sqrt{a^2+b^2*t^2}+\sqrt{a^2+b^2*t^2}$\\ {\bf Avec {\tt Xcas}}\\ On tape :\\ {\tt desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a\verb|^|2+b\verb|^|2*diff(y)\verb|^|2),y)}\\ On obtient :\\ {\tt[c\_0*x+sqrt(a\verb|^|2+b\verb|^|2*c\_0\verb|^|2), [-((sqrt(a\verb|^|2+b\verb|^|2*` t`\verb|^|2)*` t`*b\verb|^|2)/(` t`\verb|^|2*b\verb|^|2+a\verb|^|2)), (sqrt(a\verb|^|2+b\verb|^|2*` t`\verb|^|2)*a\verb|^|2)/(` t`\verb|^|2*b\verb|^|2+a\verb|^|2)]] }\\ On peut dessiner les solutions avec {\tt Xcas}, on tape : \begin{verbatim} assume(a=[1,0,5]); assume(b=[1,0,5]); assume(m=[1,-5,5]); droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2)); plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+ i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t); \end{verbatim} \chapter{Groupes de permutations} \section{Les théorèmes} \label{sec:theo} Soit ${\tt J_n=[0,1..n-1]}$. Une permutation {\tt p} de {\tt n} éléments est une application bijective de ${\tt J_n}$ dans lui m\^eme et induit une application ${\tt \pi_p}$ de ${\tt \mathbb Z^n}$ dans lui m\^eme (${\tt \pi_p(x_i)=x_{p(i)}}$).\\ Les permutations forment un groupe pour la composition des applications.\\ Un cycle {\tt c} est une permutation telle qu'il existe un enter $k \ (0 \leq k \leq n-1)$ vérifiant :\\ pour $j=0...k-1 \ \ c(a_j)=a_{j+1}$ et $c(a_k)=a_0$\\ pour $j=k+1...n-1 \ \ c(a_j)=a_j$\\ $k$ est appelé l'ordre du cycle $c$ ($c^k=id$).\\ Un cycle d'ordre $k$ est aussi appelé une permutation circulaire d'ordre $k$.\\ Une transposition $t$ est un cycle d'ordre 2 ($t^2=id$).\\ {\bf Théorème 1}\\ Toute permutation peut s'exprimer comme produit de cycles disjoints.\\ L'ordre d'une permutation $p$ est le plus petit commun multiple $k$ des ordres des cycles disjoints obtenus ($p^k=id$).\\ {\bf Théorème 2}\\ Toute permutation peut s'exprimer comme produit de transpositions.\\ \section{Notations} \label{sec:notationperm} Une permutation {\tt p} sera notée :\\ {\tt [p(0),p(1),...,p(n-1)]} Un cycle {\tt c} d'ordre $k$ sera noté :\\ ${\tt [a_0,a_1,...,a_k]}$ si ${\tt c(a_0)=a_1...c(a_k)=a_0}$ {\bf Attention} :\\ {\tt [0,2,1]} représente la permutation {\tt p} telle que :\\ {\tt p(0)=0, p(1)=2, p(2)=1}\\ mais représente aussi le cycle {\tt c} tel que :\\ {\tt c(0)=2, c(2)=1, c(1)=0} \section{Exercices} \label{sec:exoperm} {\bf Exercice 1}\\ Exprimer les permutations suivantes comme produit de cycles disjoints et déterminer leurs signatures, leurs ordres et leurs inverses:\\ {\tt [1,2,0]}\\ {\tt [2,0,1]}\\ {\tt [2,1,0]}\\ {\tt [1,2,0,3]}\\ {\tt [1,0,3,2]}\\ {\tt [2,1,3,0]}\\ {\tt [2,4,5,0,1,3]}\\ {\tt [5,0,4,2,3,1]}\\ {\tt [5,3,4,6,2,0,1]}\\ {\bf Exercice 2}\\ Ecrire les produits de cycles suivants sous la forme :\\ 1/ d'une permutation\\ 2/ d'un produit de cycles disjoints\\ {\tt [[0,1,2,3,4],[0,4,5],[1,3,5]]}\\ {\tt [[0,1,2,3],[1,2,3,4],[2,3,4,0]]}\\ {\tt [[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,0]]}\\ {\tt [[1,5][4,5],[5,6]]}\\ {\bf Exercice 3}\\ Calculer $p^{1000}$ pour les permutations $p$ suivantes :\\ {\tt [2,5,7,8,3,4,1,0,6]}\\ {\tt [2,5,0,3,1,4]}\\ {\bf Exercice 4}\\ D\'eterminer le groupe engendr\'e par les permutations suivantes :\\ {\tt [2,1,0,3]} et {\tt [3,1,2,0]} \section{Corrections des exercices} \label{sec:corexoperm} {\bf Exercice 1}\\ On tape :\\ {\tt p:=[1,2,0]}\\ On tape :\\ {\tt permu2cycles(p)}\\ On obtient :\\ {\tt [[0,1,2]]}\\ On tape :\\ {\tt signature(p)}\\ On obtient :\\ {\tt 1}\\ On tape :\\ {\tt permuorder(p)}\\ On obtient :\\ {\tt 3}\\ On tape :\\ {\tt perminv(p)}\\ On obtient :\\ {\tt [2,0,1]}\\ {\bf Exercice 2}\\ On tape :\\ {\tt cl:=[[0,1,2,3,4],[0,4,5],[1,3,5]] }\\ On tape :\\ {\tt cycles2permu(cl)}\\ On obtient :\\ {\tt [0,4,3,1,5,2]}\\ {\bf Exercice 3}\\ On tape :\\ {\tt permu2cycles([2,5,7,8,3,4,1,0,6])}\\ On obtient :\\ {\tt [[0,2,7],[1,5,4,3,8,6]]}\\ On tape :\\ {\tt p:=[2,5,7,8,3,4,1,0,6]}\\ $p$ est décomposable en un cycle d''orde 3 et un cycle d'ordre 6, $p$ est donc d'ordre 6 puisque $ppcm(3,6)=6$ ({\tt lcm(3,6)=6}).\\ Donc $p^6=id$. On a {\tt irem(1000,6)=4} donc :\\ $p^{1000}=p^4$\\ On tape :\\ {\tt p2:=p1op2(p,p)}\\ {\tt p4:=p1op2(p2,p2)}\\ On obtient :\\ {\tt [2,8,7,5,1,6,3,0,4]}\\ Donc $p^{1000}=p^4= [2,8,7,5,1,6,3,0,4]$\\ On vérifie que $p^6=id$ :\\ {\tt p6:=p1op2(p2,p4)}\\ On obtient bien :\\ {\tt [0,1,2,3,4,5,6,7,8]}\\ On proc\`ede de la m\^eme façon pour l'autre permutation, on tape :\\ {\tt p:=[2,5,0,3,1,4]}\\ On tape :\\ {\tt permu2cycles(p)}\\ On obtient :\\ {\tt [[0,2],[1,5,4]]}\\ $p$ est décomposable en un cycle d''orde 2 et un cycle d'ordre 3, $p$ est donc d'ordre 6 puisque {\tt lcm(2,3)=6}.\\ Donc $p^6=id$. On a {\tt irem(1000,6)=4} donc :\\ $p^{1000}=p^4$\\ On tape :\\ {\tt p2:=p1op2(p,p)}\\ {\tt p4:=p1op2(p2,p2)}\\ On obtient :\\ {\tt [0,5,2,3,1,4]}\\ Donc $p^{1000}=p^4=[0,5,2,3,1,4]$\\ On vérifie que $p^6=id$ :\\ {\tt p6:=p1op2(p2,p4)}\\ On obtient bien :\\ {\tt [0,1,2,3,4,5]}\\ {\bf Exercice 4}\\ On tape :\\ {\tt groupermu([2,1,0,3],[3,1,2,0])}\\ On obtient :\\ {\tt [[2,1,0,3],[3,1,2,0],[0,1,2,3],[2,1,3,0],[3,1,0,2],[0,1,3,2]]}\\ qui sont :\\ ${\tt a,b,a\circ a,b\circ a,a\circ b,a\circ b\circ a }$ avec {\tt a:=[2,1,0,3]} et {\tt b:=[3,1,2,0]}\\ On peut v\'erifier par exemple que :\\ ${\tt a\circ a=p1op2(a,a)=b\circ b=p1op2(b,b)=[0,1,2,3]=id}$ et que \\ ${\tt a\circ b\circ a=p1op2(a,p1op2(b,a))=b\circ a\circ b=p1op2(b,p1op2(a,b))=[0,1,3,2]}$ \chapter{Exercices de physique atomique} \section{Structure de la mati\`ere} \subsection{L'\'enonc\'e 1} En supposant qu'un observateur puisse compter 100000 mol\'ecules par seconde, quel d\'elai lui est-il n\'ecessaire pour d\'enombrer les mol\'ecules contenues dans 1mg d'hydrog\`ene ? \subsection{La correction de 1} {\bf Rappels} La loi d'Avogadro dit que un volume donn\'e de gaz contient toujours le m\^eme nombre de mol\'ecules, pour une temp\'erature donn\'ee et une pression donn\'ee.\\ Le volume unit\'e qui est de 22.414 litres contient $N=(6.0221367e+23)10^{23}$ mol\'ecules ($N$ est le nombre d'Avogadro). La mol\'ecules gramme d'hydrog\`ene mol\'ecule symbolique correspondant \`a $N$ mol\'ecules r\'eelles, p\`ese 2.016 g (masse mol\'eculaire de l'hydrog\`ene).\\ La constante {\tt \_NA\_=6.0221367e+23\_(1/mol)} l'unit\'e est {\tt \_(1/mol)} car c'est le nombre de particules par mole. Donc dans 2016 mg d'hydrog\`ene il y a $N= 6.0248*10^{23}$ mol\'ecules.\\ Dans 1 mg il y an aura $n=\frac{6.0248*10^{23}}{2016}$.\\ Il faut 1 s pour compter $10^5$ mol\'ecules, donc pour compter $n$ mol\'ecules, il faut : $t=n/10^5\ s$.\\ Calcul de $t$ :\\ On tape pour avoir $n$ :\\ {\tt n:=mksa(\_NA\_/2.016 \_(g/mol)*1\_mg)}\\ On obtient :\\ {\tt 2.98717098214e+20}\\ On tape pour avoir $t$ :\\ {\tt mksa(n/10\verb|^|5*1\_s)}\\ On obtient :\\ {\tt 2.98717098214e+15 \_s}\\ On tape pour avoir $t$ en ann\'ees :\\ {\tt convert(2.98717098214e+15 \_s,\_yr)} \\ On obtient :\\ {\tt 94659758.1949 \_yr} \subsection{L'\'enonc\'e 2} Quel est le nombre de mol\'ecules contenues dans 1 cm$^3$ d'oxyg\`ene dans les conditions normales de temp\'erature et de pression ?\\ Quelle est la distance qui s\'epare ces mol\'ecules entre elles ? \subsection{La correction de 2} Dans les conditions normales de temp\'erature et de pression, $N$ mol\'ecules occupent un volume de 22.414 litres, soit $22.414*10^3$ cm$^3$. Dans un cm$^3$ il y aura donc :\\ $n=\frac{N}{22.414*10^3}=2.68677464977e+19$ mol\'ecules.\\ On tape pour avoir $n$ :\\ {\tt n:=mksa(\_NA\_/\_Vm\_*1\_cm\verb|^|3)}\\ On obtient :\\ {\tt 2.68676266279e+19}\\ Si on suppose que les mol\'ecules sont situ\'ees sur les sommets de cubes de dimenson $d$ cm, le long d'1 cm il y aura alors $1/d+1$ mol\'ecules, donc il y aura $(1/d+1)^3$ mol\'ecules dans un cube de dimenson 1 cm.\\ Donc on a $n=(1/d+1)^3$, soit :\\ $d=1/(n^{1/3}-1)=3.33879481972e-07$ cm\\ On tape pour avoir $d$ :\\ {\tt 1\_cm/(n\verb|^|(1/3)-1))}\\ On obtient :\\ {\tt 3.33879978505e-07 \_(cm)} \subsection{L'\'enonc\'e 3} Exprimer en eV l'\'energie cin\'etique d'un neutron dont la vitesse est 20000 km/s \subsection{La correction de 3} L'\'energie cin\'etique d'un neutron de masse $m$ et de vitesse $v$ est :\\ $E=\frac{1}{2}mv^2$.\\ On a $v=20000$ km/s=$2*10^9$ cm/s\\ Un \'electron p\`ese $9.1*10^{-27}$ g, et un neutron a une masse \'egale \`a 1840 fois celle de l'\'electron, donc $m=1840*9.1*10^{-27}$ g.\\ Donc :\\ $E=1840*9.1*10^{-27}*4*10^{18}/2=3.3488e-05$ ergs\\ On tape :\\ {\tt convert(3.3488*10\verb|^|-05\_erg,\_MeV)}\\ On obtient :\\ {\tt 2.1\_MeV} \section{La radioactivit\'e et le temps} \subsection{L'\'enonc\'e 4} Le radium $Ra$ 226 est un \'emetteur alpha de p\'eriode 1617 ans.\\ a) Quelle est sa constante radioactive ?\\ b) On en prend 1 gramme, combien en subsistera-t-il au bout d'un an, dix ans ? \subsection{La correction de 4} La p\'eriode $T$ d'un corps radioactif est li\'ee par sa constante radioactive $\lambda$ par :\\ $T=0.693/\lambda$ Le radium $Ra$ 226 est un \'emetteur alpha de p\'eriode 1617 ans.\\ On tape pour convertir les ann\'ees en secondes :\\ {\tt convert(1617\_yr,\_s)}\\ On obtient :\\ {\tt 51027549301.1\_s}\\ Donc :\\ $\lambda=0.693/1617\_yr=0.000428571428571\_(1/yr)=0.693/(51027549301.1\_s)=1.35808991318e-11\_(1/s)$ \\ \`A l'instant initial, on a $N$ atomes.\\ Pendant l'intervalle de temps $\Delta t$, il disparait :\\ $\Delta N=\lambda N \Delta t$ atomes.\\ donc il reste :\\ $N-\Delta N=N(1-\lambda \Delta t)$ atomes.\\ ou encore si $P$ est le poids en grammes de $N$ atomes et si $\Delta P$ est la variation de poids pendant l'intervalle de temps $\Delta t$ :\\ $P-\Delta P=P(1-\lambda \Delta t)$ Une mole de $Ra$ 226 p\`ese 226 grammes.\\ Donc dans 1g de $Ra$ 226 il y a $N$=mksa(1/226*\_NA\_*1 \_mol)= 2.66466225664e+21 atomes.\\ Soit en poids, il restera au bout d'un an :\\ {\tt 1\_g*(1-0.693/1617\_yr*1\_yr)=0.999571428571\_g}\\ il restera au bout de 10 ans :\\ {\tt 1\_g*(1-0.693/1617\_yr*10\_yr)=0.995714285714\_g} \subsection{L'\'enonc\'e 5} Une particule alpha \'emise par ${}^{210}P_0$ a une \'energie de 5.3 \_MeV et elle provoque l'ionisation du gaz qu'elle traverse et on collecte tous les \'electrons lib\'er\'es sur un fil charg\'e positivement.\\ Quelle est la valeur de la charge \'electrique recueillie sur ce fil en sachant que l'\'energie n\'ecessaire pour cr\'eer une paire d'ions est de 30 \_eV ? \subsection{La correction de 5} Puisqu'il faut 30 \_eV pour cr\'eer une paire d'ions, une particule alpha \'emise par ${}^{210}P_0$ d\'energie de 5.3 \_MeV va cr\'eer :\\ {\tt mksa(5.3 \_MeV/30 \_eV)=176666.666667} paire d'ions.\\ La charge \'el\'ementaire d'un \'electron est de $1.6*10^{-19}$ Coulomb, donc, la valeur de la charge \'electrique recueillie sur ce fil est :\\ {\tt 176666.666667*1.6*10\verb|^|-19\_C}\\ On obtient :\\ {\tt 2.82666666667e-14\_C} \subsection{L'\'enonc\'e 6} Calculer l'activit\'e de 1g de $Th$ 232 sachant que $\lambda=1.58*10^{18}\ s^-1$ \subsection{La correction de 6} Une mole de $Th$ 232 p\`ese 232 grammes.\\ Dans un gramme de $Th$ 232 il y a $1/232$ moles, donc le nombre de noyaux est :\\ {\tt \_NA\_*1/232\_mol}\\ soit : {\tt 2.59574857759e+21}\\ L'activit\'e est le nombre de d\'esint\'egration par seconde :\\ $\displaystyle \frac{\Delta N}{\Delta t}=N\lambda $ avec $\lambda=1.58*10^{-18}\ s^{-1}$\\ Donc l'activit\'e de 1g de $Th$ 232 est de :\\ {\tt mksa(\_NA\_/232*1\_mol*1.58*10\verb|^|-18\_s\verb|^|-1)=4101.28275259\_s\verb|^|-1}\\ On tape :\\ {\tt convert(4101.28275259\_s\verb|^|-1,1\_Ci)}\\ On obtient :\\ {\tt 1.108454798e-07\_Ci} \subsection{L'\'enonc\'e 7} Quelle est l'\'energie qui serait lib\'er\'ee par la fission compl\`ete de 1 kg de $U$ 235 ? \subsection{La correction de 7} La r\'eaction de fission d'un noyau d'$U$ 235 s'\'ecrit :\\ ${}^{235}H+{}_0^1n->{}_{32}^{94}Sr+{}_{54}^{140}Xe+2{}_0^1n$\\ et lib\`ere 200\_MeV.\\ Une mole ou encore {\tt \_NA\_*1\_mol} atomes de $U$ 235 p\`ese $235\_g=235*10^{-3}\_kg$.\\ Dans un kilogramme de $U$ 235 il y a donc {\tt \_NA\_*1\_mol/235*10\verb|^|3} atomes.\\ La fission d'un kilogramme de $U$ 235 lib\`ere donc :\\ {\tt \_NA\_*1\_mol/235*10\verb|^|3*200\_MeV}\\ On obtient :\\ {\tt 5.1252227234e+26\_((mol*MeV)/mol)} soit {\tt 5.1252227234e+26\_MeV}. \subsection{L'\'enonc\'e 8} La r\'eaction :\\ ${}_1^2H+{}_1^2H->{}_0^1n+{}_2^3He$\\ est une r\'eaction de fussion.\\ On donne :\\ masse de ${}_1^2H =2.014741 \_u$\\ masse de ${}_2^3He=3.016977 \_u$\\ masse de ${}_0^1n=1.008987\_u$\\ Au cours de cette r\'eaction, une partie de la masse disparait.\\ Calculez cette perte de masse ainsi que l'\'energie en MeV liber\'ee par la r\'eaction. \subsection{La correction de 8} On a la r\'eaction :\\ ${}_1^2H+{}_1^2H->{}_0^1n+{}_2^3He$\\ Calculons la masse de l'\'etat initial, on tape :\\ {\tt 2*2.014741\_u}\\ Calculons la masse de l'\'etat final, on tape :\\ {\tt 1.008987\_u+3.016977\_u}\\ Il disparait donc :\\ {\tt 2*2.014741\_u-(1.008987\_u+3.016977\_u)}\\ On obtient donc une perte de masse de :\\ {\tt 0.003518\_u}\\ On tape :\\ {\tt mksa( 0.003518\_u)}\\ On obtient donc une perte de masse de :\\ {\tt 5.8417804236e-30\_kg}\\ L'\'energie liber\'ee par cette r\'eaction est donc ($E=mc^2$) :\\ {\tt 5.8417804236e-30\_kg*\_c\_\verb|^|2} \\ On obtient :\\ {\tt 5.25033040875e-13\_(kg*(m/s)\verb|^|2)}\\ Pour convertir en \_Mev, on tape :\\ {\tt convert(5.25033040875e-13\_(kg*(m/s)\verb|^|2),\_MeV} \\ On obtient l'\'energie en MeV liber\'ee par la r\'eaction :\\ {\tt 3.27699706546\_MeV}. \newpage \tableofcontents \end{document}