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%\title{\Large Les s\'eries enti\`eres et les s\'eries de Fourier}
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\begin{document}
%\textheight 25cm
%\textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt
\begin{center}
{\Large Les s\'eries enti\`eres et les s\'eries de Fourier}\\
TP3 Maths MIAS2 janvier 2001\\
\end{center}
%\maketitle
\vskip 0.2cm
\section{Rappel de quelques commandes utiles}
\subsection{Fonctions et int\'egrales}
\subsubsection{Avec {\tt MuPAD}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt f2:=x->(x-x^3/3!);}$ \\
On calcule la valeur de  l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant :\\
${\tt float(int(f2(x),x=0..1));}$\\
ou si $f_2$ n'admet pas de primitive continue sur $[0;1]$:\\
{\tt float(hold(int(f2(x),x=0..1)));}\\
Gr\^ace \`a la commande {\tt hold}, {\tt MuPAD} fait le calcul de l'int\'egrale par une 
m\'ethode num\`erique ({\tt hold} emp\^eche l'\'evaluation c'est \`a dire ici la recherche d'une primitive de $f_2$).
\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt DEFINE(F2(X)=X-X^3/3!)}$, puis {\tt ENTER}  ({\tt DEFINE} s'obtient avec {\tt shift-bleu 2 (DEF)})\\
On calcule la valeur de l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant dans l'\'editeur d'\'equations ({\tt EQW}):\\
${\tt \int_0^1 F2(X)dX}$, puis {\tt ENTER}, puis {\tt shift-rouge ENTER (NUM)}.\\
On peut aussi avec {\tt DEFINE} d\'efinir une fonction par morceaux.
Par exemple pour d\'efinir $f(x)=x$ pour $x<\pi$ et
$f(x)=2\pi-x$ pour $x \geq \pi$
on tape :\\
${\tt DEFINE(F(X)=IFTE(X<\pi,X,2\pi-X))}$ , puis {\tt ENTER}.\\
\subsubsection{Avec la {\tt TI89/92}}
On d\'efinit par exemple la fonction $\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$ 
en tapant :\\
${\tt Define\ f2(X)=X-X^3/3!}$, puis {\tt ENTER}.\\
On calcule la valeur de l'int\'egrale $I=\int_0^1 f_2(x)dx$ en tapant
${\tt \int(f2(X),X,0,1)}$, puis ${\tt \diamond ENTER}$.\\
On peut aussi avec {\tt definr} d\'efinir une fonction par morceaux.
Par exemple pour d\'efinir $f(x)=x$ pour $x<\pi$ et
$f(x)=2\pi-x$ pour $x \geq \pi$
on tape :\\
${\tt Define \ f(X)=when(X<\pi,X,2\pi-X)}$ , puis {\tt ENTER}.\\
\subsection{Representation graphique}
\subsubsection{Avec {\tt MuPAD}}
 On utilise la commande  {\tt plotfunc}.\\
 Par exemple pour avoir le trac\'e simultan\'e de $y=\sin(x)$ et de $y=x$
 on tape:\\
{\tt plotfunc(sin(x),x,x=0..4}\\
ou si on veut pr\'eciser la fen\^etre :\\
{\tt plotfunc(sin(x),x,x=0..4,YRange=-2..2)}\\
{\bf Attention } \\
- {\tt plotfunc(sin(x),x,x=0..4,y=-2..2)} donne une repr\'esentation en 3d.\\
- il faut fermer la fen\^etre graphique pour pouvoir continuer \`a 
utiliser {\tt MuPAD}.
\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
On r\'egle la dimension de la fen\^etre graphique  
({\tt shift-bleu F2 (WIN)}), puis on donne l'\'equation des fonctions \`a 
tracer ({\tt shift-bleu F4 (2D/3D)}) en remplissant {\tt EQ} avec par exemple 
{\tt \{sin(x),x\}} pour avoir le trac\'e simultan\'e de $y=\sin(x)$ et de $y=x$.
\subsection{S\'eries de Fourier}
\subsubsection{Avec la {\tt HP49G}}
La commande {\tt FOURIER} a deux param\`etres une fonction $f(x)$ et un 
entier $n$. {\tt FOURIER} renvoie le coefficient de Fourier $c_n$ de la fonction $f(x)$
consid\'er\'ee comme une fonction sur [0;T] et p\'eriodique de   p\'eriode T.
(T est le contenu de la variable {\tt PERIOD}). C'est \`a vous de trouver les
valeurs particuli\`eres de $n$ pour lesquelles le calcul g\'en\'eral de $c_n$ 
n'est pas valable.
\section{Les s\'eries enti\`eres}
\subsection{Rappels du cours}
D\'efinition :\\
On dit qu'une fonction $f$ d\'efinie sur $]-\alpha;\alpha[$, est d\'eveloppable en 
s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=0$ si il existe $a_n $ pour $ n \in \mathbb N$ et $R \leq \alpha$ v\'erifiant :\\
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ pour $|x|<R \ (R>0)$ .\\
Si $f$ est ind\'efiniment d\'erivable alors les $a_n$ sont d\'efinis par :\\
$\displaystyle a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$\\
Dans les exercices qui suivent quand on demande d'\'ecrire le d\'eveloppement 
en s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=x_0$ de $f(x)$ c'est d\'eterminer 
$a_n $ pour $ n \in \mathbb N$ et $R$ v\'erifiant :\\
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ pour $|x-x_0|<R$.\\
\subsection{D\'eveloppement en 
s\'eries enti\`eres en $x=0$ de $\sin(x)$}
{\bf Exercice 1}\\
\'Ecrire $S(x)$, le d\'eveloppement en 
s\'eries enti\`eres au voisinage de $x=0$ de $\sin(x)$.\\
Tracer sur un m\^eme graphique les graphes des fonctions suivantes :\\
$f(x)=\sin(x)$\\
$f_1(x)=x$\\
$\displaystyle f_2(x)=x-\frac{x^3}{3!}$\\
$\displaystyle f_3(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$\\
$\displaystyle f_4(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$\\

Graphiquement on voit que $f_4(x)$ approche $\sin(x)$ : sur quel intervalle cette 
approximation vous para\^{\i}t-elle acceptable ?\\
Donner une majoration du reste $R_4(x)$ de cette s\'erie $S(x)$.
De fa\c{c}on plus pr\'ecise, $f_4(x)$ approche $\sin(x)$ pour $x \in [-1,1]$ 
 avec quelle erreur~?\\
En d\'eduire  un encadrement de $\sin(1)$.\\

\noindent{\bf Exercice 2}\\
On veut approcher  sur l'intervalle $[0;\pi]$ $\sin(x)$ \`a $10^{-6}$ pr\`es par son d\'eveloppement en 
s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$.
D\'eterminer le plus petit $k$ pour que :\\
$\displaystyle f_k(x)=\sum_{j=1}^k (-1)^{j-1}\frac{x^{2j-1}}{(2j-1)!}$
r\'ealise cette approximation.\\
Calculer avec cette m\'ethode $\sin(3)$, puis calculer $\sin(\pi-3)$ en 
utilisant une valeur approch\'ee de $\pi$ \`a $10^{-10}$ pr\`es.\\
Comparez les approximations obtenues.\\ 
%Quelle est la meilleure approximation de $\sin(3)$~? \\

\noindent{\bf Exercice 3}\\
On veut calculer $\displaystyle I=\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx$.\\
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de :\\
$\displaystyle g(x)=\frac{\sin(x)}{x}$.\\
\'Ecrire $I$ sous la forme d'une s\'erie de terme g\'en\'eral $v_j$.\\
Soit $R_n$ le reste de cette s\'erie ($\displaystyle R_n=\sum_{j=n+1}^\infty v_j$), trouver une majoration de $|R_n|$.\\
Quelle est l'aproximation obtenue pour  la valeur de $I$ lorsqu'on utilise 
comme approximation de $I,\ \sum_{j=0}^k v_j$, ($k$ \'etant la valeur 
trouv\'ee dans l'exercice 2).
\subsection{D'autres applications}
{\bf Exercice 4}\\
On veut calculer $\displaystyle I=\int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}dx$.\\
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de :\\
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$\\
\'Ecrire $I$ sous la forme d'une s\'erie de terme g\'en\'eral $v_n$.\\
En d\'eduire une valeur de $I$ \`a $10^{-6}$ pr\`es.\\ 

{\bf Exercice 5}\\
\'Ecrire le d\'eveloppement en s\'eries enti\`eres  au voisinage de $x=0$ de :\\
$\displaystyle \theta(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\int_0^x e^{-t^2} dt$\\
En d\'eduire une valeur de $\theta (1)$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\section{Les s\'eries de Fourier}
\subsection{Rappels du cours}
On sait que les coefficients de Fourier d'une fonction, $2\pi$-p\'eriodique et
int\'egrable sur tout intervalle ferm\'e born\'e, sont d\'efinis pour 
$n \in \mathbb Z$ et pour $\alpha \in \mathbb R$ par :
$$c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)e^{-int}dt$$ 
et que la s\'erie de Fourier associ\'ee \`a $f$ est :
$$SF(f)(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx}$$
On peut aussi d\'efinir les coefficients de Fourier r\'eels pour 
$n \in \mathbb N$ et pour $\alpha \in \mathbb R$ par :
$$a_n(f)=\frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\cos(nt)dt$$
$$b_n(f)=\frac{1}{\pi}\int_\alpha^{\alpha+2\pi}f(t)\sin(nt)dt$$
On a alors :
$$SF(f)(x)=\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx))$$
Th\'eor\`eme de Dirichlet\\ 
Si au point $x_0$, $f$ admet une limite \`a droite et une limite \`a gauche 
(que l'on note
$f(x_0+0)$ et $f(x_0-0)$), ainsi qu' une d\'eriv\'ee \`a droite et une 
d\'eriv\'ee \`a gauche, alors la  s\'erie $SF(f)(x_0)$ converge vers 
$\frac{1}{2}(f(x_0-0)+f(x_0+0))$.\\
 En particulier si $f$ est d\'erivable pour tout $x$, $SF(f)(x)$ converge vers 
$f(x)$.\\

{\bf Exercice 6}\\
Trouver le d\'eveloppement $SF(f)(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$
en s\'eries de Fourier de la fonction $f$ 
p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :\\
$f(x)=x$ sur $]- \pi;\ \pi[$\\
$f(\pi)=0$.\\
On note $\displaystyle SF(f)_n(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$.\\
Tracer sur un m\^eme graphique et pour $x\in[-4;4]$ les graphes des fonctions 
suivantes :\\
$f(x)$\\
$SF(f)_1(x)=$\\
$SF(f)_2(x)=$\\
$SF(f)_3(x)=$\\
$SF(f)_4(x)=$\\
$SF(f)_5(x)=$\\
$SF(f)_6(x)=$
\subsection{Ph\'enom\`ene de Gibbs}
Les graphes des fonctions $SF(f)_n$ poss\`ede un maximum ayant comme coordonn\'ees $x_n,y_n$.\\
Pour la fonction $f$ de l'exercice 6, quand $n$ tend vers $+\infty $, on va
montrer que :\\
 $x_n$ tend vers $\pi$ et\\
$y_n $ tend vers $\displaystyle \alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$.\\
Le calcul approch\'e de $\alpha $ (cf exercice 3) montre que  $\alpha>3.7 > \pi$.\\
Ces ''bosses'' au voisinage du point de discontinuit\'e s'appellent le
ph\'enom\`ene de Gibbs. \\

{\bf Exercice 7} \\
Observation et d\'emonstration de ce ph\'enom\`ene :\\
On cherche la limite de $y_n=SF(f)_n(x_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$


1/ de fa\c{c}on empirique\\
D\'eterminer les coordonn\'ees $x_n,y_n$ du  maximum de :\\
$SF(f)_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k(f) \cos(kx)+b_k(f) \sin(kx)$
pour n=1, 2, 3, 4, 5, 6

2/ de fa\c{c}on th\'eorique\\
a/ D\'eterminer la valeur de $x_n$\\
b/ Montrer que :\\
$SF(f)_n(x)=2\sum_{k=1}^n \ (-1)^{k+1} \frac{\sin(kx)}{k}$\\
\noindent En utilisant l'\'egalit\'e :\\

$\displaystyle 2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1} \cos(kx)=-2\sin(\frac{x+\pi}{2})\sum_{k=1}^n \cos(k(x+\pi))=$\\

$\displaystyle  \sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})$.\\
 montrer que :
 $$ SF(f)_n'(x)=\frac{\sin(\frac{x+\pi}{2})-\sin(\frac{(x+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{x+\pi}{2})}$$ 

\noindent En d\'eduire que :\\
$$SF(f)_n(x)=x-\pi-\int_\pi^x \frac{\sin(\frac{(t+\pi)(2n+1)}{2})}{\sin(\frac{t+\pi}{2})}dt$$
Et apr\`es  changement de variables on a :\\
$$SF(f)_n(x)=x-\pi+2\int_0^{\frac{\pi-x}{2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt$$
Donc \\
$$y_n=SF(f)_n(x_n)=-\frac{\pi}{n+1}+2\int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)}dt$$
En utilisant la continuit\'e de la fonction $g$ d\'efinie par :\\
$g(0)=0$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x} $\\ montrer que \\
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2n+2}}\sin((2n+1)t)(\frac{1}{\sin(t)}-\frac{1}{t})dt$ tend vers z\'ero quand $n$ tend vers $+\infty$\\
En d\'eduire que $y_n$ tend vers $\displaystyle \alpha=2 \int_0^\pi \frac{\sin(t)}{t}dt$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\subsection{Utilisation de la moyenne de C\'esaro}
D\'efinition \\
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite, on pose $S_k=\sum_{i=0}^{k}u_i$.\\
 On dit que la s\'erie $\sum u_n$ converge vers $\sigma$ au sens 
de C\'esaro si la suite :\\
$\sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_k$  tend vers $\sigma$.\\
On pose :\\
$\sigma_n(f)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}SF_k(f)$\\
Th\'eor\`eme :\\
$\sigma_n(f)(x)$ converge vers $f(x)$ en tous les points de continuit\'e de $f$.\\

{\bf Exercice 8}\\
On observe que la convergence au sens de C\'esaro permet de r\'egulariser la convergence, donc
d'\'eliminer le ph\'enom\`ene de Gibbs.\\
Calculer $\sigma_n(f)(x)$ pour la fonction $f$ 
p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :\\
$f(x)=x$ sur $]-\pi;\ \pi[$\\
$f(\pi)=0$.\\
Tracer sur un m\^eme graphique $SF_6(f)(x)$ et  $\sigma_7(f)(x)$.\\

%Calculer $\sigma_n(g)(x)$ pour la fonction $g$ 
%p\'eriodique de p\'eriode $2 \pi$  d\'efinie  par :\\
%$g(-x)=g(x)$ pour tout $x \in \mathbb R$.\\
%$g(x)=x$ sur $]0;\ \pi[$\\


\end{document}











