\documentclass[a4paper,12pt]{book}
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\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage}
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\title {Calcul formel \\et \\ Mathématiques\\ avec\\ la HP49G }
\author{Renée De Graeve\\ Ma\^itre de Conférence à Grenoble I}
\date{}
\makeindex
\begin{document}
\newcommand{\asinh}{\,\,\mbox{asinh\,}}
\newcommand{\atanh}{\,\,\mbox{atanh\,}}
%\chapter*{Pour commencer}
\section{Le menu du CAS}
\subsection{\tt MTH}
\subsubsection{\tt SPECIALFUNCTIONS..}
{\tt GAMMA}\index{GAMMA}
{\tt PSI}\index{PSI}
{\tt Psi}\index{Psi} 
\subsection{\tt ALGEBRA}
\subsubsection{\tt REWRITE}
{\tt DISTRIB}\index{DISTRIB}
{\tt EXPLN}\index{EXPLN}
{\tt EXP2POW}\index{EXP2POW}
{\tt FDISTRIB}\index{FDISTRIB}
{\tt LIN}\index{LIN}
{\tt LNCOLLECT}\index{LNCOLLECT}
{\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC}
{\tt POWEXPAND}\index{POWEXPAND}
{\tt SEVAL}\index{SEVAL}
{\tt SINCOS}\index{SINCOS}
{\tt SIMPLIFY}\index{SIMPLIFY}
{\tt XNUM}\index{XNUM}
{\tt XQ}\index{XQ}
\subsubsection{\tt ALGEBRA suite}
{\tt COLLECT}\index{COLLECT}
{\tt EXPAND}\index{EXPAND}
{\tt FACTOR}\index{FACTOR}
%{\tt SOLVE}\index{SOLVE}
{\tt SUBST}\index{SUBST}
{\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}
\subsection{\tt ARITH}
\subsubsection{\tt INTEGER}
{\tt EULER}\index{EULER}
{\tt IABCUV}\index{IABCUV}
{\tt IBERNOULLI}\index{IBERNOULLI}
{\tt ICHINREM}\index{ICHINREM}
{\tt IDIV2}\index{IDIV2}
{\tt IEGCD}\index{IEGCD}
{\tt IQUOT}\index{IQUOT}
{\tt IREMAINDER}\index{IREMAINDER}
{\tt ISPRIME?}\index{ISPRIME?}
{\tt NEXTPRIME}\index{NEXTPRIME}
{\tt PA2B2}\index{PA2B2}
{\tt PREVPRIME}\index{PREVPRIME}
\subsubsection{\tt POLYNOMIAL}
{\tt ABCUV}\index{ABCUV}
{\tt CHINREM}\index{CHINREM}
{\tt CYCLOTOMIC}\index{CYCLOTOMIC}
{\tt DIV2}\index{DIV2}
{\tt EGCD}\index{EGCD}
{\tt FACTOR}\index{FACTOR}
{\tt FCOEF}\index{FCOEF}
{\tt FROOTS}\index{FROOTS}
{\tt GBASIS}\index{GBASIS}
{\tt GCD}\index{GCD}
{\tt GREDUCE}\index{GREDUCE}
{\tt HERMITE}\index{HERMITE}
{\tt HORNER}\index{HORNER}
{\tt LAGRANGE}\index{LAGRANGE}
{\tt LCM}\index{LCM}
{\tt LEGENDRE}\index{LEGENDRE}
{\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC}
{\tt PCOEF}\index{PCOEF}
{\tt PROOT}\index{PROOT}
{\tt PTAYL}\index{PTAYL}
{\tt QUOT}\index{QUOT}
{\tt RESULTANT}\index{RESULTANT}
{\tt REMAINDER}\index{REMAINDER}
{\tt STURM}\index{STURM}
{\tt STURMAB}\index{STURMAB}
{\tt TCHEBYCHEFF}\index{TCHEBYCHEFF}
%{\tt TRUNC}\index{TRUNC}
\subsubsection{\tt MODULO}
{\tt ADDTMOD}\index{ADDTMOD}
{\tt DIVMOD}\index{DIVMOD}
{\tt DIV2MOD}\index{DIV2MOD}
{\tt EXPANDMOD}\index{EXPANDMOD}
{\tt FACTORMOD}\index{FACTORMOD}
{\tt GCDMOD}\index{GCDMOD}
{\tt INVMOD}\index{INVMOD}
{\tt MOD}\index{MOD}
{\tt MODSTO}\index{MODSTO}
{\tt MULTMOD}\index{MULTMOD}
{\tt POWMOD}\index{POWMOD}
{\tt SUBTMOD}\index{SUDTMOD}

\subsubsection{\tt PERMUTATION}
{\tt CIRC}\index{CIRC}
{\tt C2P}\index{C2P}
{\tt P2C}\index{P2C}
\subsubsection{ARITH suite}
{\tt DIVIS}\index{DIVIS}
{\tt FACTORS}\index{FACTORS}
{\tt LGCD}\index{LGCD}
{\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC}
{\tt SIMP2}\index{SIMP2}
\subsection{\tt EXP \& LN}
{\tt EXPLN}\index{EXPLN}
{\tt EXPM}\index{EXPM}
{\tt LIN}\index{LIN}
{\tt LNCOLLECT}\index{LNCOLLECT}
{\tt LNP1}\index{LNP1}
{\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}
{\tt TSIMP}\index{TSIMP}
\subsection{\tt CALC}
\subsubsection{\tt DERIV \& INTEG}
{\tt CURL}\index{CURL}
{\tt DERIV}\index{DERIV}
{\tt DERVX}\index{DERVX}
{\tt DIV}\index{DIV}
{\tt FOURIER}\index{FOURIER}
{\tt HESS}\index{HESS}
{\tt IBP}\index{IBP}
{\tt INTVX}\index{INTVX}
{\tt LAPL}\index{LAPL}
{\tt POTENTIAL}\index{POTENTIAL}
{\tt PREVAL}\index{PREVAL}
{\tt RISCH}\index{RISCH}
{\tt SIGMA}\index{SIGMA}
{\tt SIGMAVX}\index{SIGMAVX}
{\tt VPOTENTIAL}\index{VPOTENTIAL}
\subsubsection{\tt LIMITS \& SERIES}
{\tt DIVPC}\index{DIVPC}
{\tt LIMIT}\index{LIMIT}
{\tt SERIES}\index{SERIES}
{\tt TAYLOR0}\index{TAYLOR0}
{\tt TAYLR}\index{TAYLR}
\subsubsection{\tt DIFFERENTIAL EQNS}
{\tt DESOLVE}\index{DESOLVE}
{\tt ILAP}\index{ILAP}
{\tt LAP}\index{LAP}
{\tt LDEC}\index{LDEC}
\subsubsection{\tt GRAPH}
{\tt DEFINE}\index{DEFINE}
{\tt GROBADD}\index{GROBADD}
{\tt PLOT}\index{PLOT}
{\tt PLOTADD}\index{PLOTADD}
{\tt Plot setup..}\index{Plot setup}
{\tt SIGNTAB}\index{SIGNTAB}
{\tt TABVAL}\index{TABVAL}
{\tt TABVAR}\index{TABVAR}
\subsection{\tt NUM.SLV}
{\tt MSLV}\index{MSLV}
\subsection{\tt S.SLV}
{\tt DESOLVE}\index{ DESOLVE}
{\tt ISOL}\index{ISOL}
{\tt LDEC}\index{LDEC}
{\tt LINSOLVE}\index{LINSOLVE}
{\tt SOLVEVX}\index{SOLVEVX}
{\tt SOLVE}\index{SOLVE}
{\tt ZEROS}\index{ZEROS}

\subsection{\tt TRIG}
{\tt HYPERBOLIC...}\index{HYPERBOLIC}
{\tt ACOS2S}\index{ACOS2S}
{\tt ASIN2C}\index{ASIN2C}
{\tt ASIN2T}\index{ASIN2T}
{\tt ATAN2S}\index{ATAN2S}
%{\tt FOURIER}\index{FOURIER}
{\tt HALFTAN}\index{HALFTAN}
{\tt SINCOS}\index{SINCOS}
{\tt TAN2SC}\index{TAN2SC}
{\tt TAN2SC2}\index{TAN2SC2}
{\tt TCOLLECT}\index{TCOLLECT}
{\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}
{\tt TLIN}\index{TLIN}
{\tt TRIG}\index{TRIG}
{\tt TRIGCOS}\index{TRIGCOS}
{\tt TRIGSIN}\index{TRIGSIN}
{\tt TRIGTAN}\index{TRIGTAN}
{\tt TSIMP}\index{TSIMP}
\subsection{\tt MATRICES}
\subsubsection{\tt CREATE}
{\tt COLUMN...}\index{COLUMN}
{\tt ROW..}\index{ROW}
{\tt AUGMENT}\index{AUGMENT}
{\tt IDN}\index{IDN}
{\tt CON}\index{CON}
{\tt ->DIAG}\index{->DIAG}
{\tt DIAG->}\index{DIAG->}
{\tt GET}\index{GET}
{\tt GETI}\index{GETI}
{\tt HILBERT}\index{HILBERT}
{\tt PUT}\index{PUT}
{\tt PUTI}\index{PUTI}
{\tt RANM}\index{RANM}
{\tt RDM}\index{RDM}
{\tt REPL}\index{REPL}
{\tt SUB}\index{SUB}
{\tt VANDERMONDE}\index{VANDERMONDE}
\subsubsection{\tt OPERATIONS}
{\tt ABS}\index{ABS}
{\tt AXL}\index{AXL}
{\tt AXM}\index{AXM}
{\tt CNRM}\index{CNRM}
{\tt COND}\index{COND}
{\tt DET}\index{DET}
{\tt HADAMARD}\index{HADAMARD}
{\tt LSQ}\index{LSQ}
{\tt MAD}\index{MAD}
{\tt RANK}\index{RANK}
{\tt RNRM}\index{RNRM}
{\tt RSD}\index{RSD}
{\tt SIZE}\index{SIZE}
{\tt SNRM}\index{SNRM}
{\tt SRAD}\index{SRAD}
{\tt TRACE}\index{TRACE}
{\tt TRAN}\index{TRAN}
\subsubsection{\tt FACTORIZATION}
{\tt LQ}\index{LQ}
{\tt LU}\index{LU}
{\tt QR}\index{QR}
{\tt qr}\index{qr}
{\tt SCHUR}\index{SCHUR}
{\tt SVD}\index{SVD}
{\tt SVL}\index{SVL}
\subsubsection{\tt QUADRATIC FORM}
{\tt AXQ}\index{AXQ} 
{\tt CHOLESKY}\index{CHOLESKY} 
{\tt GAUSS}\index{GAUSS} 
{\tt QXA}\index{QXA}
{\tt SYLVESTER}\index{SYLVESTER}  
\subsubsection{\tt LINEAR SYSTEMS}
{\tt LINSOLVE}\index{LINSOLVE} 
{\tt REF}\index{REF}
{\tt rref}\index{rref} 
{\tt RREF}\index{RREF}
{\tt SYST2MAT}\index{SYST2MAT} 

\subsubsection{\tt LINEAR APPL}
{\tt IMAGE}\index{IMAGE}
{\tt ISOM}\index{ISOM}
{\tt KER}\index{KER}
{\tt MKISOM}\index{MKISOM}
\subsubsection{\tt EIGENVECTORS}
{\tt DIAGMAP}\index{DIAGMAP}
{\tt EGV}\index{EGV}
{\tt EGVL}\index{EGVL}
{\tt JORDAN}\index{JORDAN}
{\tt PCAR}\index{PCAR}
{\tt PMINI}\index{PMINI}

\subsubsection{\tt VECTOR}
{\tt BASIS}\index{BASIS}
{\tt CROSS}\index{CROSS}
{\tt DOT}\index{DOT}
{\tt GRAMSCHMIDT}\index{GRAMSCHMIDT}
{\tt IBASIS}\index{IBASIS}

\subsection{\tt OTHERS}
{\tt EPSX0}\index{EPSX0}
{\tt VER}\index{VER}


\section{Les rationnels}
\subsection{\tt IBERNOULLI}
{\tt IBERNOULLI} a comme argument un entier $n$.\\
{\tt IBERNOULLI} renvoie le $n^{ième}$ nombre de Bernoulli $B(n)$.\\
On a :
$$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{B(n)}{n!}t^n$$
On rappelle que les polyn\^omes de Bernoulli $B_k$ sont définis par :
$$B_0=1$$
$$B_k{'}(x)=kB_{k-1}(x)$$
$$\int_0^1B_k(x)dx=0$$
On a alors :\\
$B(n)=B_n(0)$\\
On tape :
$${\tt IBERNOULLI(6)}$$
On obtient :
$${\tt \frac{1}{42}}$$
%\subsection{\tt MENUXY}
%On tape :
%On obtient :
\section{Les r\'eels}
\subsection{\tt GAMMA}
Calcule les valeurs de la fonction $\Gamma$ en un point.\\
On a par définition :\\
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$$
On a : $$\Gamma(1)=1$$
$$ \Gamma(x+1)=x.\Gamma(x)$$
On tape :
$${\tt GAMMA(5)}$$
On obtient :
$${\tt 24}$$
On tape :
$${\tt GAMMA(\frac{1}{2})}$$
On obtient :
$${\tt \sqrt\pi}$$
\subsection{\tt PSI}
{\tt PSI} a comme arguments deux nombres : $a$ et $n$\\ 
{\tt PSI} est la valeur de la $n$-ième  dérivée de la fonction Digamma
au point $a$. La fonction Digamma est la dérivéee de $\ln(\Gamma(x))$.\\
On tape :
$${\tt PSI(3,1)}$$
On obtient :
$${\tt -\frac{5}{4}+\frac{1}{6}.\pi^2}$$
\subsection{\tt Psi}
{\tt Psi} a comme paramètre un nombre $a$.\\
{\tt Psi} renvoie la valeur de la fonction Digamma au point $a$.\\ 
La fonction Digamma est la dérivée de $\ln(\Gamma(x))$, on a donc 
{\tt PSI(a,0)=Psi(a)}.\\
 On tape :
$${\tt Psi(3)}$$
On obtient :
$${\tt .922784335098}$$

\section{Les expressions alg\'ebriques}
\subsection{\tt COLLECT}\index{COLLECT}
{\tt COLLECT} a comme paramètre une expression qu'il factorise sur les entiers.\\
Exemples :\\
Factoriser sur les entiers : 
$$x^2-4$$
On tape :
$${\tt COLLECT(X^2-4)}$$
On trouve {\tt COLLECT} dans le menu de {\tt ALGEBRA}.\\ 
On trouve en mode réel :
$${\tt (X+2) \cdot (X-2)} $$
Factoriser sur les entiers : 
$$x^2-2$$
On tape :
$${\tt COLLECT(X^2-2)}$$
On trouve :
$${\tt X^2-2} $$
\subsection{\tt DISTRIB}\index{DISTRIB}
{\tt DISTRIB} permet d'appliquer une fois la distributivité de la
 multiplication par rapport à l'addition.\\
{\tt DISTRIB} permet, quand on l'applique plusieurs fois, d'effectuer la 
distributivité pas à pas.\\
On tape :
$${\tt DISTRIB((X+1)\cdot(X+2)\cdot(X+3))}$$
On obtient :
$${\tt X\cdot(X+2)\cdot(X+3)+1\cdot(X+2)\cdot(X+3) }$$
\subsection{\tt FDISTRIB}\index{FDISTRIB}
{\tt FDISTRIB} permet d'effectuer la distributivité de la multiplication par 
rapport à l'addition en une seule opération.\\
On tape :
$${\tt FDISTRIB((X+1)\cdot(X+2)\cdot(X+3))}$$
On obtient :
$${\tt X^3+6\cdot X^2+11\cdot X+6 }$$
\subsection{\tt POWEXPAND}\index{POWEXPAND}
{\tt POWEXPAND} écrit une puissance sous la forme d'un produit. \\
On tape :
$${\tt  POWEXPAND((X+1)^3)}$$
On obtient :
$${\tt (X+1)*(X+1)*(X+1)}$$
Cela permet ainsi de faire le développement de $(x+1)^3$ en pas à pas actif,
en appliquant {\tt DISTRIB} plusieurs fois au résultat précédent.
\subsection{\tt SIMPLIFY}\index{SIMPLIFY}
{\tt SIMPLIFY} simplifie  l'expression de façon automatique.\\
Comme toute simplification automatique, il ne faut pas s'attendre à des miracles et pourtant...\\ 
%On n'utilise {\tt TSIMP} qu'en dernier ressort.\\ 
On tape :\\
$${\tt SIMPLIFY(\frac{SIN(3.X)+SIN(7.X)}{SIN(5.X)})}$$
On obtient après simplification :\\
$${\tt 4.COS(X)^2-2}$$

\subsection{\tt SEVAL}
{\tt SEVAL} a comme paramètre une expression.\\
{\tt SEVAL} effectue les simplifications sauf celles situées au niveau le plus
élevé.\\
On tape :
$${\tt SEVAL(SIN(3.X-X)+SIN(X+X))}$$
On obtient :
$${\tt SIN(2.X)+SIN(2.X)}$$
\section{Les fonctions}
\subsection{\tt TABVAR}\index{TABVAR}
{\tt TABVAR} a comme paramètre une expression ayant une derivée rationnelle.\\
{\tt TABVAR} renvoie le tableau de variations de l'expression, en fonction de 
la variable courante.\\
On tape :
$${\tt TABVAR(LN(X)+X)} $$
On obtient en mode pas à pas :\\
${\tt F=:(LN(X)+X)}$\\
${\tt F'=:\displaystyle (\frac{1}{X}+1)}$\\
${\tt \rightarrow :\displaystyle \frac{X+1}{X}} $\\
{\tt Variation table } :\\
$$\left[\begin{array}{cccccc}
-\infty & ?  & 0 & + & +\infty & X\\
? & ?  & -\infty & \uparrow & +\infty & F \end{array}\right]$$
\subsection{\tt SIGNTAB}
{\tt SIGNTAB} a comme paramètre une expression rationnelle.\\
{\tt SIGNTAB} renvoie le tableau de signes de l'expression, en fonction de 
la variable courante.\\
On tape :
$${\tt SIGNTAB(X^2+X)}$$
On obtient :
$${\tt \{-\infty\ +\ -1\ -\ 0\ +\ +\infty\}}$$
\subsection{\tt TABVAL}
{\tt TABVAL} a comme paramètres une expression et une liste de nombres.\\
{\tt TABVAL} stocke cette expression dans la variable {\tt EQ} et  renvoie la liste des valeurs prises par l'expression lorsqu'on remplace la variable courante par la liste de nombres.\\
On tape :
$${\tt TABVAL(X^2+X,\{1,2,3\})}$$
On obtient : 
$${\tt \{X^2+X,\{\{1,2,3\},\{2,6,12\}\}\}}$$
\subsection{\tt PLOT}
{\tt PLOT} a comme paramètre une expression.\\ 
{\tt PLOT} stocke cette expression dans la variable {\tt EQ} et ouvre la 
fen\^etre {\tt PLOT SETUP}.\\
On tape :
$${\tt PLOT(X^2+X)}$$
Avec {\tt ERASE DRAW}, on obtient le graphe de la courbe correspondant à l'équation
 contenue  dans {\tt EQ}, et dans l'historique s'inscrit :
$${\tt X^2+X}$$
\subsection{\tt PLOTADD}
{\tt PLOTADD} a comme paramètre une expression.\\ 
{\tt PLOTADD} rajoute  cette expression à la liste d'équations contenue dans 
la variable {\tt EQ} et ouvre la fen\^etre {\tt PLOT SETUP}.\\
On tape :
$${\tt PLOTADD(X^2-X)}$$
Avec {\tt ERASE DRAW}, on obtient, sur un m\^eme graphique, le graphe des courbes correspondant  à la 
liste d'équations contenue dans {\tt EQ}, et dans l'historique s'inscrit :\\
$${\tt X^2-X}$$
\subsection{\tt SCROLL}
{\tt SCROLL} a comme paramètre  un objet graphique.\\
{\tt SCROLL} permet de visualiser cet objet graphique,
 sans changer {\tt PICT}.\\
Vous avez par exemple fait le graphe de la fonction ${\tt F(X)}$. Ce graphe est
automatiquement sauvegardé dans la ''variable quotée'' reservée {\tt PICT}.\\
{\tt PICT} contient donc l'objet graphique courant.
Vous pouvez sauvegarder ce graphique  en tapant :\\
$${\tt RCL(PICT)\  STO\triangleright\ GRF}$$ 
On tape :
$${\tt SCROLL(GRF)}$$
On obtient la visualisation du graphe de  ${\tt F(X)}$.\\
\subsection{\tt GROBADD}
{\tt GROBADD} a comme paramètres  deux objets graphiques.\\
{\tt GROBADD} renvoie l'objet graphique obtenu par la concaténation de ces 
deux objets graphiques.\\
On tape, si par exemple vous avez sauvegardé le graphe de ${\tt F(X)}$ dans {\tt GRF}, et le graphe de ${\tt H(X)}$ dans {\tt GRH} :
$${\tt GROBADD(GRF,GRH)\ STO\triangleright\  GRFH}$$
On obtient dans la variable {\tt GRFH} l'objet graphique  constitué par 
les  graphes de  ${\tt F(X)}$ et de ${\tt H(X)}$  l'un en dessous de l'autre.\\
\section{Les Exponentielles et les Logarithmes}
\subsection{\tt EXP2POW}\index{EXP2POW}
{\tt  EXP2POW} permet de transformer une expression de la forme $\exp(n*\ln(x))$
 en une puissance de $x$.\\
On tape :
$${\tt  EXP2POW(EXP(N*LN(X))) }$$
On obtient :
$${\tt X^N}$$
Bien voir la différence avec {\tt  LNCOLLECT} :\\
on a :\\
{\tt  LNCOLLECT(EXP(N*LN(X))) = EXP(N*LN(X)) }\\
${\tt  LNCOLLECT(EXP(2*LN(X)))\ =\ X^2 }$\\
${\tt  EXP2POW(EXP(2*LN(X)))\ = \ X^2 }$
\section{Les polyn\^omes}
\subsection{\tt CYCLOTOMIC}
{\tt CYCLOTOMIC} a comme paramètre un entier $n$.\\
{\tt CYCLOTOMIC} renvoie le polyn\^ome cyclotomique d'ordre $n$.
C'est le polyn\^ome dont les  zéros sont toutes les racines $n$-{i\`eme} primitives de l'unité.\\
Par exemple pour $n=4$, les racines quatrième de l'unité sont :
$\{ 1,i,-1,-i\}$,\\ 
et les racines primitives sont : $\{i,-i\}$.\\
Donc le polyn\^ome cyclotomique d'ordre $4$ est $(X-i).(X+i)=X^2+1$.\\
On tape :
$${\tt CYCLOTOMIC(20)}$$
On obtient :
$${\tt X^8-X^6+X^4-X^2+1}$$
\subsection{\tt GBASIS}
{\tt GBASIS} a deux  arguments :  un vecteur constitué de polyn\^omes de 
plusieurs variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\
{\tt GBASIS} renvoie une base de Gr{\oe}bner de l'idéal polynomial engendré
par les polyn\^omes donnés dans le premier argument.\\
On choisit d'ordonner les polyn\^omes selon l'ordre donné par le dernier 
argument et selon les puissances décroissantes. Si $I$ est un idéal et si 
$(G_k)_{k \in K}$ est une base de Gr{\oe}bner de l'idéal $I$ alors si $F$ est  un
polyn\^ome non nul de $I$ le terme dominant de $F$ est divisible par le terme 
 dominant d'un $G_k$. \\
Propriété :Si on fait la division eclidienne de $F$ par le $G_k$ 
correspondant puis si on recommence avec le reste obtenu, on  finit par obtenir un reste nul.\\  
On tape :
$${\tt GBASIS([2\cdot X\cdot Y-Y^2,X^2-2\cdot X\cdot Y],[X,Y,Z])}$$
On obtient :
$${\tt [X^2-Y^2,2\cdot X\cdot Y-Y^2,Y^3]}$$
%En effet : ${\tt IREMAINDER(3\cdot Y^3=4\cdot Y \cdot(X^2-2\cdot X\cdot Y),\  2\cdot X\cdot Y-Y^2)}$
\subsection{\tt GREDUCE}
{\tt GREDUCE} a trois arguments : un  polyn\^ome de 
plusieurs variables, un vecteur  constitué de polyn\^omes formant une base de
 Gr{\oe}bner  dépendant des m\^emes variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\
{\tt GREDUCE} renvoie la réduction (à une constante près) du polyn\^ome donné 
dans le premier argument
par rapport à la base de Gr{\oe}bner donnée dans le deuxième argument.\\
On tape :
$${\tt GREDUCE(X\cdot Y-1,[X^2-Y^2,2\cdot X\cdot Y-Y^2,Y^3],[X,Y,Z])}$$
On obtient :
$${\tt Y^2-2}$$
ce qui veut dire que ${\tt Y^2-2}$ et le polyn\^ome réduit de 
${\tt 2\cdot X\cdot Y-2}$ (${\tt Y^2-2}$ est le reste de la division euclidienne de ${\tt 2\cdot (X\cdot Y-1)}$ par ${\tt G_2=2\cdot X\cdot Y-Y^2}$).
\subsection{\tt STURMAB}
{\tt STURMAB} a trois paramètres : un polyn\^ome $P$ et deux nombres $a$ et $b$\\
{\tt STURMAB} renvoie une liste formée par un terme ayant m\^eme signe que $P(a)$ et du nombres de zéros de $P$ sur $[a;b[$.\\
On tape :
$${\tt STURMAB(X^2.(X^3+2),-2,0)}$$
On obtient :
$${\tt \{-6,\ 1\}}$$
\subsection{\tt STURM}
{\tt STURM} a comme paramètre un polyn\^ome $P$.\\
{\tt STURM} renvoie la liste des suites de Sturm et de leur multiplicité.\\
La suite de Sturm $R_1,R_2,...$ est obtenue à partir d'un facteur $F$
sans carré de $P$ :
$R_1$ est l'opposé du  reste de la division euclidienne de $F$ par $F'$\\
puis $R_2$ est l'opposé du  reste de la division euclidienne de $F'$ par $R_1$\\
et ainsi de suite jusqu'à ce que $R_k=0$.\\
On tape :
$${\tt STURM(X^3+1)}$$
On obtient :
$${\tt \{[1],\ -1.,\ [X^3+1,\ -3X^2 -1],\ 1.\}}$$
Le premier terme indique que le dénominateur (l'élément de puissance -1) vaut 1.
\subsection{\tt RESULTANT}
{\tt RESULTANT} a comme arguments deux polyn\^omes.\\
{\tt RESULTANT} renvoie le résultant des deux polyn\^omes.\\
Le résultant est le dernier reste non nul de l'algorithme d'Euclide et c'est
aussi le d\'eterminant de la matrice $S$ de Sylvester.\\
Pour les deux polyn\^omes $A[X]=\sum_{i=0}^{i=n} a_iX^i$ et 
$B[X]=\sum_{i=0}^{i=n}b_iX^i$ la  matrice $S$ de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom $m+n$ dont les $m$ premières lignes sont  composées à partir des coefficients de $A[X]$ :
$$\left(\begin{array}{ccccccc}
s_{11}=a_n & s_{12}=a_{n-1}& \cdots & s_{1(n+1)}=a_0 & 0 & \cdots & 0\\
s_{21}=0 & s_{22}=a_{n}& \cdots & s_{2(n+1)}=a_1 & s_{2(n+2)}=a_0 & \cdots & 0\\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots\\
s_{m1}=0 & s_{m2}=0& \cdots & s_{m(n+1)}=a_{m-1} & s_{m(n+2)}=a_{m-2} & \cdots&a_0 
\end{array}\right)$$
et les $n$ lignes  suivantes sont composées de la m\^eme façon à partir des coefficients de $B[X]$ :
$$\left(\begin{array}{ccccccc}
s_{(m+1)1}=b_m & s_{(m+1)2}=b_{m-1}& \cdots & s_{(m+1)(m+1)}=b_0 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots\\
s_{(m+n)1}=0 & s_{(m+n)2}=0& \cdots & s_{(m+n)(m+1)}=b_{n-1}  & b_{n-2}  &\cdots&b_0 
\end{array}\right)$$
On tape :
$${\tt RESULTANT(X^3-p*X+q,3X^2-p)}$$
On obtient :
$${\tt -4p^3+27q^2}$$
\section{Les fractions rationnelles}
\subsection{\tt SIGMA}
{\tt SIGMA} a comme premier argument une fonction $f$ d'une variable qui est donnée comme deuxième argument.\\
{\tt SIGMA} renvoie la primitive discrète de cette fonction, c'est à dire 
la fonction $G$ verifiant $G(x+1)-G(x)=f(x)$.\\ 
On tape :
$${\tt SIGMA(X \cdot X!,X)}$$
On obtient :
$${\tt X!}$$
\subsection{\tt SIGMAVX}
{\tt SIGMAVX} a comme argument une fonction $f$ de la variable contenue dans {\tt VX}.\\
{\tt SIGMAVX} renvoie la primitive discrète de cette fonction, c'est à dire 
la fonction $G$ verifiant $G(x+1)-G(x)=f(x)$.\\ 
On tape :
$${\tt SIGMAVX(X^2)}$$
On obtient :
$${\tt \frac{2.X^3-3.X^2+X}{6}}$$
\section{Les matrices}
\subsection{\tt BASIS}
{\tt BASIS} a comme argument la liste des vecteurs qui engendrent un sous 
espace vectoriel de $R^n$.\\
{\tt BASIS} renvoie une liste constituée des vecteurs d'une base de ce sous 
espace vectoriel.\\
On tape :
$${\tt BASIS(\{[1,2,3],[1,1,1],[2,3,4]\})}$$
On obtient :
$${\tt \{[1,0,-1],\ [0,1,2]\}}$$
\subsection{\tt IBASIS}
{\tt IBASIS} a comme argument deux listes de vecteurs qui engendrent deux
sous espaces vectoriels.\\
{\tt IBASIS} renvoie une liste constituée des vecteurs de base de 
l'intersection de ces sous espaces vectoriels.\\
On tape :
$${\tt IBASIS(\{[1,2]\},\{[2,4]\})}$$
On obtient :
$${\tt \{[1,2]\}}$$
\subsection{\tt IMAGE}
{\tt IMAGE} a comme argument la matrice d'une application linéaire $f$ dans la base canonique.\\
{\tt IMAGE} renvoie la liste des vecteurs d'une base de l'image de $f$.\\
On tape :
$${\tt IMAGE(\left[\begin{array}{rrr}1&1&2\\2 & 1&3\\3&1&4\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \{[1,0,-1],[1,1,2] \}}$$
\subsection{\tt KER}
{\tt KER} a comme argument la matrice d'une application linéaire $f$ dans la base canonique.\\
{\tt KER} renvoie la liste des vecteurs d'une base du noyau de $f$\\
On tape :
$${\tt KER(\left[\begin{array}{rrr}1&1&2\\2 & 1&3\\3&1&4\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \{[1,1,-1] \}}$$
\subsection{\tt CHOLESKY}
{\tt CHOLESKY} a pour argument une matrice carrée {\tt M} definie positive.\\
{\tt CHOLESKY} renvoie une matrice {\tt P} triangulaire supérieure telle que :\\
${\tt ^tP*P=M}$\\
On tape :
$${\tt CHOLESKY(\left[\begin{array}{rr}1 & 1\\1&5\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \left[\begin{array}{rr}1 & 1\\0&2\end{array}\right]}$$
\subsection{\tt DIAGMAP}
{\tt DIAGMAP} a comme argument une matrice diagonalisable et un programme définissant un opérateur holomorphe.\\
{\tt DIAGMAP} applique cet opérateur holomorphe  à la
matrice.\\
Attention !!! la matrice doit \^etre diagonalisable.\\
On écrit le programme {\tt PH} :\\
${\tt \ll \rightarrow M
\ll EXP(M)
\gg\ \gg STO\triangleright PH}$\\
On tape :
$${\tt DIAGMAP(\left[\begin{array}{rr}1 & 1\\0&2\end{array}\right], \ll \rightarrow M
\ll EXP(M)
\gg \gg)}$$
ou :\\
$${\tt DIAGMAP(\left[\begin{array}{rr}1 & 1\\0&2\end{array}\right],RCL('PH'))}$$
On obtient :
$${\tt \left[\begin{array}{cc}{\tt EXP}(1)& -{\tt EXP}(1)+{\tt EXP}(2)\\0&{\tt EXP}(2)\end{array}\right]}$$
\subsection{\tt qr}
{\tt qr} a comme argument une matrice carrée.\\
{\tt qr} factorise cette matrice sous la forme Q*R : Q est une matrice 
orthogonale et R est triangulaire.\\
On tape :
$${\tt qr(\left[\begin{array}{rr}3 & 5\\4&5\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \{\left[\begin{array}{rr}\frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}5 & 7\\0&1\end{array}\right]\}}$$
\subsection{\tt ISOM}
{\tt ISOM} a comme argument la matrice d'une isométrie linéaire en dimension 2 ou 3.\\
{\tt ISOM} renvoie la liste des éléments caractéristiques et {\tt +/-1} selon que 
l'isométrie est directe ou indirecte.\\
On tape :
$${\tt ISOM(\left[\begin{array}{rrr}0&0&1\\0 & 1&0\\1&0&0\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \{[1\ 0\ -1]\ -1\}}$$
ce qui veut dire que cette isométrie est une symétrie par rapport au plan 
$x\ -\ z\ =\ 0$.\\ 
On tape :
$${\tt ISOM(\frac{\sqrt2}{2}\left[\begin{array}{rr}1 & -1\\1&1\end{array}\right])}$$
On obtient :
$${\tt \{\frac{\pi}{4},1\}}$$
cette isométrie est donc une rotation d'angle $ \displaystyle \frac{\pi}{4}$.
\subsection{\tt MKISOM}
En dimension 3, {\tt MKISOM}  a comme argument la liste des éléments 
caractéristiques et +/-1 (+pour les isométries directes et - pour les indirectes) .\\ 
En dimension 2, {\tt MKISOM}  a comme argument l'élément caractéristique (un angle ou un vecteur) et +/-1 (+ pour les isométries directes et - pour les indirectes) .\\
{\tt MKISOM} donne la matrice de l'isométrie correspondant aux arguments.\\ 
On tape :
$${\tt MKISOM(\{[-1,2,-1],\pi \},1)}$$
On obtient la matrice d'une rotation d'axe $[-1,2,-1]$ et d'angle $\pi$:
$${\tt \frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr}-2 & -2&1\\-2&1&-2\\1&-2&-2\end{array}\right]}$$
On tape :
$${\tt MKISOM(\{\pi \},-1)}$$
On obtient la matrice d'une symétrie par rapport à O :
$${\tt \left[\begin{array}{rrr}-1 & 0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}$$
On tape :
$${\tt MKISOM(\{[1,1,1],\frac{\pi}{3} \},-1)}$$
On obtient la matrice produit  d'une rotation d'axe $[1,1,1]$ et d'angle 
$\frac{\pi}{3}$ et d'une symétrie par rapport au plan $x+y+z=0$:
$${\tt \left[\begin{array}{rrr}0 & -1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{array}\right]}$$
On tape :
$${\tt MKISOM( \frac{\pi}{2},1)}$$
On obtient la matrice en dimension 2, de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ :
$${\tt \left[\begin{array}{rr} 0 & -1\\1&0\end{array}\right]}$$
On tape :
$${\tt MKISOM([1,1],-1)}$$
On obtient la matrice en dimension 2, de la symétrie par rapport à $y+x=0$ :
$${\tt \left[\begin{array}{rr} 0 & -1\\-1&0\end{array}\right]}$$
\subsection{\tt PMINI}
{\tt PMINI} a comme argument une matrice $A$.\\
{\tt PMINI} renvoie une matrice dont ''la première ligne nulle'' donne le 
polyn\^ome minimal de $A$.\\
On tape :
$${\tt PMINI([[1,0],[0,1]])}$$
On obtient en pas à pas :\\
{\tt L2=L2-L1}\\
$\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\1&0&0 & 1&X\\1&0&0&1&X^2\end{array}\right]$\\

{\tt L3=L3-L1}\\
$\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\0&0&0 & 0&X-1\\1&0&0&1&X^2\end{array}\right]$\\

{\tt Reduction result}\\
$\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\0&0&0 & 0&X-1\\0&0&0&0&X^2-1\end{array}\right]$\\

Le polyn\^ome minimal de  
$\left[\begin{array}{rr}1&0\\0 & 1\end{array}\right]$
est donc :
$${\tt X-1}$$
\subsection{\tt SYST2MAT}
{\tt SYST2MAT} a comme argument un vecteur contenant un système d'équations 
linéaires et un vecteur contenant les variables.\\
{\tt SYST2MAT} écrit le système sous la forme d'une matrice.\\
On tape :\\
$${\tt SYST2MAT([X+Y,X-Y=2],[X,Y])}$$
On obtient :
$${\tt \left[\begin{array}{rrr}1 & 1&0\\1&-1&-2\end{array}\right]}$$
Attention il faut purger les variables (ici {\tt X Y}) auparavant.
\section{Les formes quadratiques}
\subsection{\tt GRAMSCHMIDT}
{\tt GRAMSCHMIDT} a deux paramètres : un vecteur contenant la base d'un espace vectoriel et un programme qui définit
 un produit scalaire.\\
{\tt GRAMSCHMIDT} donne une base orthonormale par rapport à ce produit 
scalaire.\\ 
Exemple :\\
Pour les polynomes de degres < 2, on considère le produit scalaire définit par : 
$$P.Q=\int_{-1}^1P(x).Q(x)dx $$
On écrit le programme {\tt PS} :\\
${\tt \ll \rightarrow P\ Q
\ll PREVAL(INTVX(P*Q),-1,1)
\gg\ \gg STO\triangleright PS}$\\
On tape :
 $${\tt GRAMSCHMIDT([1,1+X],RCL('PS'))}$$
On obtient :
$${\tt [\frac{1}{\sqrt2},\ \frac{\sqrt6.X}{2}]}$$

\section{Les fonctions de plusieurs variables}
\subsection{\tt POTENTIAL}
{\tt  POTENTIAL} a deux arguments : un vecteur $\overrightarrow V$ dépendant de
variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\
{\tt  POTENTIAL} renvoie une fonction $U$ telle que $\overrightarrow{Grad}(U)=\overrightarrow V$ si bien s\^ur cela est possible ! On dit alors que 
$\overrightarrow V$ dérive du potentiel $U$.\\
La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'une 
constante.\\
On sait qu'un vecteur $\overrightarrow V$ est un gradient si et seulement si son rotationnel est nul : autrement dit si ${\tt CURL(V)=0}$.\\
{\tt  POTENTIAL} est la fonction réciproque de {\tt DERIV}.\\
On tape :
$${\tt POTENTIAL([2\cdot X\cdot Y+3,X^2-4\cdot Z,-4\cdot Y],[X,Y,Z]) }$$
On obtient :
$${\tt Y\cdot X^2+3\cdot X-4\cdot Z\cdot Y}$$
\subsection{\tt VPOTENTIAL}
{\tt  VPOTENTIAL} a deux arguments : un vecteur $\overrightarrow V$ dépendant de
variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\
{\tt  VPOTENTIAL} renvoie un vecteur $\overrightarrow U$ tel que 
$\overrightarrow{Rot}(\overrightarrow U)=\overrightarrow V$ si bien s\^ur cela est possible ! (On dit parfois que 
$\overrightarrow V$ est un champ à flux conservatif ou un champ soléno\" idal).\\
La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'un gradient
arbitraire, la calculatrice renvoie le vecteur solution particulière de 
première composante nulle.\\
On sait qu'un vecteur $\overrightarrow V$ est un  rotationnel si et seulement si sa divergence
 est nulle : autrement dit si ${\tt DIV(V)=0}$.\\
En électro-magnétisme $\overrightarrow V$= $\overrightarrow B$= le champ magnétique et $\overrightarrow U$= $\overrightarrow A$= le potentiel vecteur.\\ 
{\tt  VPOTENTIAL} est la fonction réciproque de {\tt CURL}.\\
On tape :
$${\tt VPOTENTIAL([2\cdot X\cdot Y+3,X^2-4\cdot Z,-2\cdot Y\cdot Z],[X,Y,Z]) }$$
On obtient :
$${\tt [0,-2\cdot Z\cdot Y\cdot X,3\cdot Y-(\frac{1}{3}\cdot X^3-4\cdot Z\cdot X)]}$$

\section{Les permutations}
\subsection{\tt P2C}
Les permutations sont données par la liste des images $\{P(1),P(2)...P(n)\}$.\\
Par exemple la permutation $P =\{3,2,1\}$ veut dire que :\\
$P(1)=3,\ P(2)=2,\  P(3)=1$.\\
Un cycle est donné par une liste, et une décomposition en cycles par une liste 
de listes.\\
 Par exemple $C=\{3,2,1\}$ veut dire que :\\ 
$C(3)=2,\ C(2)=1,\ C(1)=3$.\\ 
{\tt P2C} a comme argument une permutation.\\
{\tt P2C} renvoie sa décomposition en cycles et sa signature.\\
 On tape :
$${\tt P2C(\{3,4,5,2,1\})}$$
On obtient :
$${\tt\{\{\{1,3,5\},\{2,4\}\},-1\}}$$
\subsection{\tt C2P}
%Les permutations $P$ de $\{ 1,2...n\}$ sont données par la liste des images 
%$\{P(1),P(2)...P(n)\}$.\\
%Par exemple la permutation $P =\{3,2,1\}$ veut dire que :\\
 %$P(1)=3,\ P(2)=2,\ P(3)=1$.\\
%Un cycle est donné par la liste des images successives d'un élément :\\
%Par exemple $C=\{3,2,1\}$ veut dire que :\\ 
%$C(3)=2,\ C(2)=1,\ C(1)=3$.\\ 
{\tt C2P} a comme argument une liste de cycles.\\
{\tt C2P} renvoie la  permutation ayant comme décomposition en cycles la liste
donnée en argument (voir {\tt P2C}).\\
On tape :
$${\tt C2P(\{\{1,3,5\},\{2,4\}\})}$$
On obtient :
$${\tt\{3,4,5,2,1\}}$$
\subsection{\tt CIRC}
{\tt CIRC} a comme arguments deux permutations.\\
{\tt CIRC} renvoie la  permutation obtenue par composition 
($1^{\mbox{er}}\mbox{arg} \circ 2^{\mbox{i\`eme}} \mbox{arg}$).\\ 
On tape :
$${\tt CIRC(\{3,4,5,2,1\},\{2,1,4,3,5\})}$$
On obtient :
$${\tt \{4,3,2,5,1\}}$$
\section{Les \'equations}
\subsection{\tt MSLV}
{\tt MSLV} permet de résoudre numèriquement des systèmes d'équations non polynomiales.\\
{\tt MSLV} a trois vecteurs comme arguments : le vecteurs des équations, le vecteur des variables, et le vecteur d'une solution approchée.\\
{\tt MSLV} renvoie un vecteur dont les coordonnées sont les solutions approchées des équations données.\\
Pendant le déroulement du programme, la ligne 1 affiche la dernière estimation 
$\overrightarrow V$, et la ligne 2 la norme de $\Delta \overrightarrow V$\\
On tape :
$${\tt MSLV(['SIN(X)+Y','X+SIN(Y)=1'],[X,Y],[0,0])}$$
On obtient :
$${\tt [1.82384112611,\  -.968154636174]}$$
\section{Autres fonctions}
\subsection{\tt AUGMENT}
{\tt AUGMENT} a comme argument deux vecteurs, ou deux listes, ou une liste et un élément.\\
{\tt AUGMENT} concatène ses deux arguments.\\
On tape :
$${\tt AUGMENT(\{1,2\},3)}$$
On obtient :
$${\tt \{ 1\ 2\ 3 \}}$$
\subsection{\tt VER}
{\tt VER} indique le numéro de la version de votre {\tt CAS}.\\
On tape :\\
{\tt VER}\\
On obtient :
$${\tt 4.20000124}$$
ce qui veut dire c'est la quatrième version qui date du 24 janvier 2000.\\
Alors que {\tt VERSION} indique le numéro de la version du {\tt ROM}.\\
On tape :\\
{\tt VERSION}\\
On obtient :
$${\tt \{``Version \ HP49-B\hookleftarrow Revision\ \#1.17-4''\ ``Copyright\ HP \ 1999''\}}$$ 


\end{document}



























































