\documentclass[a4paper,10pt]{book} \textwidth 10,5 cm %\textwidth 11,8 cm \textheight 17 cm %\documentclass[twocolumn,10pt]{book} %dvips -t landscape -O 0,-0.9 jean2.dvi \if@twoside \oddsidemargin 44pt \evensidemargin 82pt \marginparwidth 107pt \else \oddsidemargin -0.29cm \evensidemargin -0.29cm \marginparwidth 0cm \fi \marginparsep 0cm \topmargin 0.26cm \headheight 0pt \headsep 20pt \footskip 30pt %\topmargin 0.36cm \baselineskip = 15pt %\textheight 24.5cm %\textwidth 17cm \columnsep 30pt \columnseprule 0pt %\textwidth 25 cm %\textheight 18 cm %\def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} %\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} %\usepackage[pdftex]{hyperref} \title {Calcul formel \\et \\ Mathématiques\\ avec\\ la HP40G } \author{Renée De Graeve\\ Ma\^itre de Conférence à Grenoble I\\ Version 2.0} %\date{} \makeindex \begin{document} \newcommand{\asinh}{\,\,\mbox{asinh\,}} \newcommand{\atanh}{\,\,\mbox{atanh\,}} \maketitle {\bf \centerline{Remerciements}} \vspace{1cm} Tout le monde savait que c'etait impossible d'écrire seul, un logiciel de calcul formel performant....Seul, un illuminé, Bernard Parisse ne le savait pas...et il l'a fait!!!\\ Voici son logiciel de calcul formel (dit ERABLE) implanté pour la deuxième fois sur une calculatrice HP.\\ Cela a amené Bernard Parisse à modifier quelque peu son logiciel de façon à ce que les fonctions de calcul formel puissent \^etre éditées et avoir leurs réponses dans l'éditeur d'équations....\\ A vous de découvrir toutes les performances de cette calculatrice, au fil des pages de ce livre.\\ \vspace{0.2cm} Je remercie: \begin{itemize} \item Bernard Parisse pour ses précieux conseils, ses remarques sur ce texte, sa relecture, et pour sa faculté d'écrire des fonctions à la demande, avec efficacité et gentillesse, \item Jean Tavenas pour l'int\'er\^et port\'e \`a l'ach\`evement de ce guide, \item Jean Yves Avenard pour avoir pris en compte nos suppliques et pour avoir, gr\^ace à son esprit prompt, écrit la commande PROMPT de façon impromptue... (cf \ref{sec:prompt}). \end{itemize} \vspace{1cm} \vfill \copyright\ 2000 Hewlett-Packard, {\tt http://www.hp.com/calculators}\\ Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, with no Front-Cover Texts, and with no Back-Cover Texts.\\ A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License (chapter \ref{fdl}, p. \pageref{fdl})". %Ce document est disponible à l'adresse Internet suivante :\\ %http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\tild parisse/hp49.pdf \newpage {\bf \centerline{Préface}} \vspace{0.2cm} La HP40G va marquer une nouvelle \'etape dans la d\'emocratisation de l'utilisation du calcul formel d'une part, par son prix tr\`es comp\'etitif, et d'autre part, par le nombre de possibilit\'es d'ex\'ecuter en pas-\`a-pas les principaux algorithmes enseign\'es en math\'ematiques au lyc\'ee et dans les premi\`eres ann\'ees \`a l'Universit\'e. Mais encore fallait-il lui adjoindre une documentation ad\'equate, de pr\'ef\'erence \'ecrite par un enseignant de math\'ematiques. C'est ce que vous trouverez dans ce guide r\'ealis\'e par Ren\'ee De Graeve, maitre de conf\'erences \`a l'Universit\'e de Grenoble I et animatrice \`a l'IREM de Grenoble. Il contient, bien s\^ur, une r\'ef\'erence compl\`ete des fonctions de calcul formel, mais montre aussi sur des exemples tir\'es du baccalaur\'eat et du brevet comment tirer parti intelligemment de la puissance de calcul de la HP40G et se termine par deux chapitres consacr\'es \`a la programmation : le premier pour apprendre \`a programmer et le second qui illustre l'algorithmique appliquée au programme d'arithm\'etique de sp\'ecialit\'e des Terminales Scientifiques. { \flushright Bernard Parisse\\ \flushright Ma\^itre de Conférences à l'Université de Grenoble I\\ } \vfill {\small End-User Terms and Conditions:\\ Use of the CAS Software requires from the user an appropriate mathematical knowledge. There is no warranty for the CAS Software, to the extent permitted by applicable law. Except when otherwise stated in writing the copyright holder provides the CAS Software As Is without warranty of any kind, either expressed or implied, including, but not limited to, the implied warranties of merchantability and fitness for a particular purpose. The entire risk as to the quality and performance of the CAS Software is with you. Should the CAS Software prove defective, you assume the cost of all necessary servicing, repair or correction. In no event unless required by applicable law will any copyright holder be liable to you for damages, including any general, special, incidental or consequential damages arising out of the use or inability to use the CAS Software (including but not limited to loss of data or data being rendered inaccurate or losses sustained by you or third parties or a failure of the CAS Software to operate with any other programs), even if such holder or other party has been advised of the possibility of such damages. If required by applicable law the maximum amount payable for damages by the copyright holder shall not exceed the royalty amount paid by Hewlett-Packard to the copyright holder for the CAS Software. }\\ \chapter*{Pour commencer} \section{Présentation générale} \subsection{Mise en route} Appuyer sur la touche {\tt ON}.\\ Vous \^etes dans l'écran {\tt HOME}.\\ En cours de travail, cette touche {\tt ON} annule l'opération en cours : elle joue le r\^ole de {\tt CANCEL}.\\ Pour éteindre la calculatrice, taper {\tt SHIFT} puis sur {\tt ON (OFF)}.\\ Si malgré plusieurs {\tt ON} ({\tt CANCEL}), la calculatrice ne repond pas, appuyer simultanément sur {\tt ON} et {\tt F3} pour la réinitialiser. \subsection{Que voit-on ?} De haut en bas :\\ 1. l'écran de {\tt HOME}\\ 1.a l'état de la calculatrice \\ 1.b un trait horizontal\\ 1.c un bandeau contenant des commandes\\ 2. le clavier\\ \noindent 1.L'écran :\\ 1.a L'état de la calculatrice décrit les modes mis en {\oe}uvre dans l'écran {\tt HOME} : \begin{itemize} \item {\tt RAD} ou {\tt DEG} ou {\tt GRD} selon que l'on travaille en radians ou en degrés ou en grades. \item {\tt \{FUNCTION\}} pour indiquer le nom de l'{\tt Aplet} sélectionnée ici :\\ l'{\tt Aplet Function}. \item $\blacktriangle$ pour indiquer que la flèche vers le haut vous permet de remonter dans l'historique. \end{itemize} 1.b Un trait horizontal :\\ - au dessus de ce trait c'est l'historique des calculs faits dans l'écran {\tt HOME}. \\ Principe : sur l'écran, le calcul demandé s'inscrit à gauche et le résultat s'inscrit à droite.\\ - en dessous de ce trait c'est la ligne d'édition des commandes.\\ On peut, gr\^ace à la flèche vers le haut, remonter dans l'historique et recopier, avec {\tt COPY} du bandeau, une commande ou un résultat précédent dans la ligne de commande.\\ 1.c Le bandeau :\\ Les commandes du bandeau sont accessibles par les 6 touches grises sans nom que l'on nommera ici :\\ {\tt F1 F2 F3 F4 F5 F6}.\\ Le bandeau peut contenir des répertoires contenant un ensemble de commandes, ils sont repérables par leur forme de valise.\\ Pour activer une commande du bandeau, il suffit de taper sur la touche {\tt Fi} correspondante. \\ Dans l'écran {\tt HOME}, le bandeau possède deux commandes :\\ - ${\tt STO \triangleright}$ qui permet de mettre une valeur dans une variable et,\\ - {\tt CAS} qui permet d'ouvrir l'éditeur d'équations pour faire du calcul formel.\\ 2. Le clavier :\\ Vous avez déjà repéré :\\ la touche {\tt ON} pour la mise en route ou pour arr\^eter un calcul en cours et {\tt SHIFT} {\tt ON} pour éteindre la calculatrice.\\ Il faut repérer : \begin{itemize} \item les quatres flèches (gauche, droite, haut, bas) qui permettent de déplacer le curseur lorsqu'on est dans l'éditeur d'équations, dans un menu etc... \item la touche {\tt SHIFT} qui permet à une m\^eme touche d'avoir une autre fonction. \item la touche {\tt ALPHA} pour taper du texte en majuscules et les touches {\tt SHIFT} puis {\tt ALPHA} pour taper du texte en minuscules.\\ Pour rester en mode de saisie alphabétique il faut maintenir la touche {\tt ALPHA} appuyée. \item ${\tt X\ T\ \theta}$ permet de taper selon le contexte directement ${\tt X,\ T,\ \theta, N}$. \item la touche {\tt ENTER} sert à valider une commande. \end{itemize} \section{Notations} Les quatre flèches de direction du curseur sont ici représentées par les quatre triangles : $$\triangle\ \lhd \ \rhd \ \bigtriangledown $$ \index{\tt $ \triangle\ \lhd \ \rhd \ \bigtriangledown$} Le {\tt STO$\triangleright$} du bandeau de {\tt HOME} est représenté dans un programme par : $$ {\tt STO\triangleright \mbox{ ou }\triangleright}$$\index{$\triangleright$ {\tt STO}$\triangleright$ } Dans l'éditeur d'équations la position du curseur est représentée par : $$\blacktriangleleft$$\index{$\blacktriangleleft$} \section{L'aide en ligne}\index{HELP} Cette calculatrice possède une aide en ligne en français, ou en anglais (cf \ref{sec:cfg}), très pratique et performante.\\ On vous propose la liste, par ordre alphabétique, des fonctions de calcul formel. Comme dans chaque menu déroulant, vous pouvez, en appuyant sur une lettre, accéder aux fonctions commencant par cette lettre, sans avoir besoin de taper sur {\tt ALPHA}.\\ L'aide consiste en une description succinte de la commande, d'un exemple et de sa réponse. Chaque exemple peut \^etre testé avec {\tt ECHO} du bandeau et \^etre traité tel quel, ou modifié. On peut aussi aller voir l'aide des commandes proches gr\^ace aux {\tt SEE1 SEE2...} du bandeau.\\ Pour plus de détails se référer à la description des touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} sections \ref{sec:syntaxe} et \ref{sec:syntax}.\\ \chapter{Les Aplets} \section{La touche {\tt APLET}} La touche {\tt APLET} donne accès à la liste des {\tt Aplets} utilisables.\\ Cette calculatrice permet en effet de travailler avec des {\tt Aplets}.\\ { Mais qu'est-ce qu'une {\tt Aplet ? }}\\ Une {\tt Aplet} est un logiciel intégré à la machine qui permet facilement d'obtenir 3 vues d'un objet mathématique (une vue symbolique, une vue numérique et une vue graphique) et tout est déjà préprogrammé!!!\\ Les différentes {\tt Aplets} permettent de travailler avec des objets mathématiques tels que : fonctions, suites, séries statistiques etc... \\ Certaines {\tt Aplets} sont des logiciels illustrant des parties de cours. \section{Les différentes {\tt Aplets}} Lorsque vous \^etes dans {\tt HOME}, vous pouvez savoir en regardant la ligne d'état, le nom de l'{\tt Aplet} s\'electionnée.\\ Voici quelques choix possibles de la touche {\tt APLET} : \begin{itemize} \item {\tt Sequence}\\ Cette {\tt Aplet} permet de définir des suites ayant pour noms :\\ {\tt U1, U2 ..U9, U0}\\ On définit {\tt U1(N)} :\\ - soit en fonction de {\tt N},\\ - soit en fonction de {\tt U1(N-1)},\\ - soit en fonction de {\tt U1(N-1)} et de {\tt U1(N-2)}.\\ On définit par exemple :\\ {\tt U1(N)=N*N+1} \\ et alors les valeurs de {\tt U1(1)} et de {\tt U1(2)} sont calculées et mises automatiquement.\\ En cochant {\tt U1}, puis en appuyant sur {\tt NUM} les valeurs de {\tt U1(N)} s'affichent.\\ On trouvera d'autres exemples utilisant l'{\tt Aplet Sequence} au paragraphe suivant comme le calcul du $PGCD$ de deux nombres (cf \ref{sec:pgcd}) et le calcul des coefficients de l'identité de Bézout (cf \ref{sec:bezout}). \item {\tt Function}\\ Cette {\tt Aplet} permet de définir des fonctions ayant pour noms :\\ {\tt F1(X), F2(X) ..F9(X), F0(X)}\\ On définit {\tt F1(X)} :\\ - soit par une expression fonction de {\tt X} :\\ Par exemple, la formule :\\ {\tt F1(X)=X*LN(X)}\\ définit la fonction :\\ $f_1(x)=x.ln(x)$\\ - soit, si la fonction est définie par morceaux en utilisant les booléens :\\ {\tt X>0} etc...\\ Par exemple, une formule de la forme :\\ {\tt F1(X)=X*(X<0)+2*X*(X>0)}\\ définit la fonction :\\ $ f_1(x)= \ x$ si $ x<0 $ et\\ $ f_1(x)=2.x $ si $ x>0$ \item {\tt Parametric} pour tracer des courbes en coordonées paramè\-triques. \item {\tt Polar} pour tracer des courbes en coordonées polaires. \item {\tt Solve} pour résoudre des équations numériques. \item {\tt Statistics} pour faire des statistiques. \item {\tt Inference} pour faire des statistiques inférentielles. \end{itemize} \section{Exemples utilisant l'{\tt Aplet Sequence}} \subsubsection{Écriture en base $b$} Étant donnés $a$ et $b$, on veut obtenir, la suite $q_n\ ( n \geq 1)$ et\\ $r_n \ (n \geq 2)$ des quotients et des restes de la division par $b$ des $q_i$ définies par :\\ $q_1=a$\\ $q_1=b.q_2+r_2 \ (0 \leq r_2 < b)$\\ $q_2=b.q_3+r_3 \ (0 \leq r_3 < b)$\\ ......\\ $q_{n-1}=b.q_n+r_n \ (0 \leq r_n < b)$\\ On remarquera que si $r_{n+1}=0$, le nombre $r_n r_{n-1}.....r_3r_2$ est l'écriture en base $b$ de $a$, lorsqu'on suppose $2 \leq b \leq 10$.\\ On met dans {\tt B} la valeur de la base par exemple :\\ ${\tt 7\ STO\triangleright\ B}$ \\ et dans {\tt A} le nombre à écrire en base {\tt B} (par exemple ${\tt 1789\ STO\triangleright\ A}$ )\\ On définit ensuite deux suites :\\ {\tt U1(1)=A}\\ {\tt U1(2)=FLOOR(A/B)}\\ {\tt U1(N)=FLOOR(U1(N-1)/B)}\\ puis\\ {\tt U2(1)=0}\\ {\tt U2(2)=A MOD B}\\ {\tt U2(N)=U1(N-1) MOD B }\\ Ainsi $q_n$={\tt U1(N)} et $r_n $={\tt U2(N)}\\ On trouve :\\ {\tt U2(2)=4 U2(3)=3 U2(4)=1 U2(5)=5 U2(6)=0} donc l'écriture en base 7 de 1789 est : 5134. \subsubsection{Le calcul de $PGCD$} \label{sec:pgcd} Voici une mise en en \oe uvre de l'algorithme d'Euclide avec la {\tt HP40G}.\\ Voici la description de cet algorithme :\\ On effectue des divisions euclidiennes successives : \begin{eqnarray*} A = & B \times Q_1+R_1 & 0 \leq R_1 < B \\ B = & R_1 \times Q_2+R_2 & 0 \leq R_2 < R_1 \\ R_1 = & R_2 \times Q_3+R_3 & 0 \leq R_3 < R_2 \\ ....... \end{eqnarray*} Après un nombre fini d'étapes (au plus B), il existe un entier n tel que : $R_n = 0.$ \\ on a alors :\\ $PGCD(A,B )= PGCD(B,R_1) =....$\\ $PGCD(R_{n-1},R_n) = PGCD(R_{n-1},0) = R_{n-1}$\\ À l'aide des suites, on écrit la suite des restes.\\ Avec la HP40G, on utilise l'\verb|Aplet| {\tt Sequence} (touche \verb|APLET| puis on sélectionne {\tt Sequence} puis \verb|START| du bandeau).\\ Si l'on veut déterminer le PGCD(78,56), on définit la suite : ${\tt U1(1)=78} $ ${\tt U1(2)=56} $ ${\tt U1(N)=U1(N-2)\ MOD \ U1(N-1)}$ On tape sur \verb|NUM| pour avoir la liste numérique des {\tt U1(N)} c'est à dire la liste des restes des divisions successives... Le dernier reste non nul est ${\tt 2}$ donc le PGCD(78,56)=2.\\ {\sc Remarque}\\ On peut utiliser dans \verb|HOME| les variables {\tt A} et {\tt B} pour stocker les deux nombres et mettre alors {\tt U1(1)=A U1(2)=B}.\\ Il faut aussi remarquer que {\tt A MOD 0 = A}. \subsubsection{Le calcul des coefficients de l'identité de Bézout}\label{sec:bezout} L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple $ U, V$ vérifiant : $ A \times U + B \times V= PGCD(A,B) $\\ Avec les suites :\\ On va définir ``la suites des restes'' $R_n$ et deux suites $U_n$ et $V_n$, de façon qu'à chaque étape on ait :\\ $R_n=U_n \times A+V_n \times B$. Puisque on a : $R_n=R_{n-2}-Q_n \times R_{n-1}$ , $U_n$ et $V_n$ vont vérifier la m\^eme relation de recurrence ($Q_n=$quotient entier de $R_{n-2}$ par $R_{n-1}$). On a au début : $R_1=A \ R_2=B$ $U_1=1 \ U_2=0$ puisque $A=1 \times A+0 \times B$ $V_1=0 \ V_2=1$ puisque $B=0 \times A+1 \times B$ Avec la HP40G, gr\^ace à l'Aplet Sequence, on va définir la suite {\tt U1} des restes et les suites {\tt U2} et {\tt U3} qui seront telles que pour tout {\tt N} on ait : {\tt U1(N)=A*U2(N)+B*U3(N)}. Pour cela on a besoin de la suite des quotients que l'on mettra en {\tt U4}. Les suites {\tt U1}, {\tt U2}, {\tt U3} vérifient la m\^eme relation de récurrence : $U_n=U_{n-2}-Q_n \times U_{n-1} $ avec $Q_n={\tt U4(N)=FLOOR(U1(N-2)/U1(N-1))}$ On définit donc : ${\tt U1(1)=A} $ ${\tt U1(2)=B} $ ${\tt U1(N)=U1(N-2)-U4(N)* U1(N-1)}$ ${\tt U2(1)=1} $ ${\tt U2(2)=0} $ ${\tt U2(N)=U2(N-2)-U4(N)* U2(N-1)}$ ${\tt U3(1)=0}$ ${\tt U3(2)=1 }$ ${\tt U3(N)=U3(N-2)-U4(N)* U3(N-1)}$ ${\tt U4(1)=0} $ ${\tt U4(2)=0} $ ${\tt U4(N)=FLOOR(U1(N-2)/U1(N-1))}$ Il faut remarquer que l'on n'utilise ${\tt U4(N)}$ que pour ${\tt N\ >\ 2}$, on a donc défini les deux premières valeurs (qui sont inutiles!) par zéro.\\ \verb|NUM| va alors afficher les valeurs de ces différentes suites et sur la ligne du dernier reste non nul on pourra lire le pgcd et les coefficients de l'identité de Bézout. \section{Les touches {\tt SYMB NUM PLOT}} Une {\tt Aplet} est visible en général de trois façons diffèrentes :\\ - une vue symbolique qui correspond à la touche {\tt SYMB}\\ - une vue numérique qui correspond à la touche {\tt NUM}\\ - une vue graphique qui correspond à la touche {\tt PLOT}\\ Quand ces touches sont shiftées ({\tt SETUP}), cela correspond au choix des différents paramètres utilisés (choix de l'unité d'angle, des paramètres de la fen\^etre graphique etc...).\\ \chapter{Le Clavier et le CAS} \section{ Qu'est ce que le CAS ?}\label{sec:exarg} Le {\tt CAS} permet de faire du calcul formel ou symbolique :\\ {\tt CAS = Computer Algebra System}.\\ Il faut bien voir la différence entre :\\ - calcul formel ou symbolique, c'est celui que l'on fait avec les fonctions du {\tt CAS}. On travaille alors en {\tt mode exact}, en précision infinie et on a la possibilité de faire les calculs en pas à pas,\\ - calcul numérique, c'est celui que l'on fait avec les fonctions du répertoire {\tt MTH} de la touche {\tt MATH}, dans l'écran {\tt HOME} ou depuis les {\tt Aplets} ou en programmation. On travaille alors en {\tt mode approximatif}, avec une précision de $10^{-12}$.\\ Exemple :\\ Si on est en {\tt Radians} dans {\tt HOME} :\\ {\tt ARG(1+i)} vaut 0.785398163397\\ alors que dans le {\tt CAS} où on est toujours en {\tt Radians} :\\ {\tt ARG(1+i)} vaut ${\tt \frac{\pi}{4}}$\\ \section{La variable courante} Lorsqu'on utilise des fonctions de calcul formel, on travaille avec des variables symboliques (variables ne contenant aucune valeur).\\ Le nom de la variable symbolique contenu dans {\tt VX} s'appelle la variable courante : c'est le plus souvent {\tt X}.\\ L'action de certaines fonctions dépend de la variable courante, par exemple la fonction {\tt DERVX} effectue une dérivation par rapport à la variable courante.\\ Ainsi,\\ ${\tt DERVX(2*X+Y)=2}$ si {\tt VX=X}, et ${\tt DERVX(2*X+Y)=1}$ si {\tt VX=Y}. \section{Comment faire du calcul formel ?} La {\tt HP40G} a été conçue pour utiliser les fonctions de calcul formel depuis l'éditeur d'équations.\\ Pour ouvrir l'éditeur d'équations appuyer sur {\tt CAS} du bandeau de l'écran {\tt HOME}.\\ Pour sortir de l'éditeur d'équations appuyer sur {\tt ON}, on revient ainsi à l'écran {\tt HOME}.\\ On peut néammoins faire du calcul formel depuis l'écran {\tt HOME} moyennant quelques précautions (cf \ref{sec:cashome}).\\ On se reportera aux chapitres suivants pour savoir utiliser les fonctions du {\tt CAS}. \section{Le CAS depuis l'{\tt éditeur d'équations}}\label{sec:tool} \label{sec:rep} L' éditeur d'équations va vous permettre d'écrire comme sur le papier les expressions que vous voulez simplifier, factoriser, dériver, intégrer etc...\\ C'est un éditeur muni d'un bandeau contenant des répertoires : \begin{enumerate} \item Le répertoire {\tt TOOL} contient les commandes :\\ {\tt Cursor mode}\index{Cursor mode}\\ {\tt Edit expr.}\index{Edit expr.}\\ {\tt Change font}\index{Change font}\\ {\tt Cut}\index{Cut}\\ {\tt Copy}\index{Copy}\\ {\tt Paste}\index{Paste}\\ \begin{itemize} \item {\tt Cursor mode} permet de passer en mode curseur (cf \ref{sec:curseur}). \item {\tt Edit expr.} permet d'éditer l'expression mise en surbril\-lance, ce qui permet de la modifier. \item {\tt Change font} permet de choisir d'écrire avec de gros ou de petits caractères (on peut faire ce choix à tous moments). \item {\tt Cut} recopie la sélection dans le buffer et l'efface. \item {\tt Copy} recopie la sélection dans le buffer. \item {\tt Paste} recopie la sélection là o\`u se trouve le curseur (il faut avoir fait avant, soit {\tt Copy}, soit {\tt Cut}, pour que la sélection soit dans le buffer). %\item {\tt View expr.} permet de voir facilement les grandes expressions.\\ \end{itemize} \item Le répertoire {\tt ALGB} contient des fonctions qui permettent de faire de l'algèbre : factorisation, développement, simplification, substitution... \item Le répertoire {\tt DIFF\&INT} contient des fonctions qui permettent de faire du calcul différentiel : dérivation, intégration, développement limité... \item Le répertoire {\tt REWRITE} contient des fonctions qui permettent de réécrire une expression sous une autre forme. \item Le répertoire {\tt TRIG} contient des fonctions qui permettent de transformer des expressions triogonomètriques. \item Le répertoire {\tt SOLVE} contient des fonctions qui permettent de résoudre des équations, des systèmes linéaires et des équations différentielles. \end{enumerate} Vous trouverez dans le chapitre 3, comment écrire une expression dans l'éditeur d'équations, comment sélectionner une sous-expression et comment appeler les fonctions du {\tt CAS}.\\ Vous trouverez dans le chapitre 4, toutes les fonctions de calcul formel contenues dans ces différents répertoires avec un exemple d'utilisation.\\ Vous pouvez consulter l'aide en ligne avec {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} (cf \ref{sec:syntaxe}), pour avoir l'aide sur les autres fonctions disponibles, et utiliser {\tt SHIFT MATH (CMDS)} (cf \ref{sec:cmds}) pour les taper. \section{Le clavier depuis l'{\tt éditeur d'équations}} Les touches, commentées dans ce paragraphe, n'ont pas la m\^eme fonction selon qu'on les utilise depuis l'{\tt éditeur d'équations} ou depuis l'écran {\tt HOME}. Pour la fonctionnalité de ces touches, en dehors de l'{\ttéditeur d'équations}, on se reportera à la section \ref{sec:thome} ou (et) on consultera le manuel général. \subsection{La touche {\tt MATH}}\label{sec:tmath} La touche {\tt MATH}, pressée depuis l'éditeur d'équations, affiche les fonctions utiles en calcul formel. Ces fonctions sont contenues dans les répertoires : \begin{itemize} \item les cinq répertoires précédents (cf \ref{sec:rep}) :\\ {\tt ALGEBRA} {\tt DIFF\&INT} {\tt REWRITE} {\tt TRIG} {\tt SOLVE} \item le répertoire {\tt Complex...} contenant des fonctions qui permettent de travailler avec des complexes. \item le répertoire {\tt Constant... } (${\tt e\ i \ \infty \ \ pi}$) \item le répertoire {\tt Integer...} contenant des fonctions qui permet\-tent de faire de l'arithmétique entière. \item le répertoire {\tt Hyperb....} contenant les fonctions hyperboliques. \item le répertoire {\tt Modular...} contenant des fonctions qui permet\-tent de faire des calculs dans $Z/pZ$ ou dans $Z/pZ[X]$, $p$ étant la valeur contenue dans la variable {\tt MODULO}. \item le répertoire {\tt Polynom...} contenant des fonctions qui permettent de faire des calculs avec des polyn\^omes. \item le répertoire {\tt Tests... } contenant:\\ {\tt ASSUME}\index{ASSUME} {\tt UNASSUME }\index{UNASSUME} (pour faire des hypothèses sur les paramètres et modifier ainsi la variable {\tt REALASSUME}\index{REALASSUME} cf \ref{sec:realassume})\\ ${\tt > \ \geq \ < \ \leq \ == \ \neq \ AND \ OR \ NOT}$\\ {\tt IFTE}\index{IFTE} (pour écrire une fonction algébrique ayant le m\^eme résultat qu'un IF THEN ELSE) . \end{itemize} On se reportera à la section \ref{sec:math}, pour avoir la liste des fonctions se trouvant dans les différents répertoires. \subsection{Les touches {\tt SHIFT MATH (CMDS)}}\label{sec:cmds} La combinaison de ces touches ouvre le catalogue de toutes les fonctions de calcul formel utilisables depuis l'éditeur d'équations.\\ Ainsi les fonctions, qui ne sont pas présentes ailleurs, pourront \^etre appelées depuis ce menu, ce qui vous évite de les taper en mode {\tt Alpha}.\\ \subsection{La touche {\tt VARS}}\label{sec:vars} Cette touche pressée lorsqu'on est dans l'{\tt éditeur d'équations} fait appara\^itre les noms des variables définies dans le {\tt CAS}.\\ On remarquera {\tt namVX} qui contient le nom de la variable courante.\\ Pour voir le contenu d'une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d'appuyer sur {\tt F2} pour {\tt VIEW} du bandeau.\\ Pour modifier le contenu d'une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d'appuyer sur {\tt F3} pour {\tt EDIT} du bandeau.\\ On remarquera aussi dans le bandeau :\\ {\tt PURGE} qui permet de détruire une variable existante.\\ {\tt RENAME} qui permet de changer le nom d'une variable existante.\\ {\tt NEW} qui permet de définir une nouvelle variable : il suffit d'entrer le contenu ({\tt object}), puis son nom ({\tt name}). \\ Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:var}. \subsection{Les touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)}}\label{sec:syntaxe}\index{HELP} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'équations la combinaison des touches : {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} ouvre le menu {\tt CAS HELP ON}.\\ Pour avoir l'aide en français, choisir {\tt Français} dans le menu du répertoire {\tt CFG} permettant de changer votre configuration (cf \ref{sec:cfg}).\\ Si dans l'éditeur il n'y a pas de fonction du {\tt CAS} séléctionnée, ce menu propose la liste des fonctions utilisables depuis l'{\tt éditeur d'équations}. Il suffit alors de mettre en surbrillance une fonction et de taper {\tt OK} pour avoir de l'aide sur cette fonction.\\ Si dans l'éditeur il y a une fonction du {\tt CAS} séléctionnée, par exemple :\\ {\tt FACTOR(45)}, le menu {\tt CAS HELP ON} ouvre directement l'aide à la page de {\tt FACTOR}. L'aide consiste en une description succinte de la commande, d'un exemple et de sa réponse. Chaque exemple peut \^etre mis dans l'éditeur d'équations avec {\tt ECHO} du bandeau et \^etre traité tel quel, ou modifié.\\ Il faut noter que dans les exemples de l'aide, on a choisi comme variable courante {\tt VX=X}. Si ce n'est pas le cas, l'exemple sera automatiquement transformé, en tenant compte de votre {\tt VX}, lors du transfert par {\tt ECHO}.\\ Vous avez aussi la possibilité d'aller directement voir l'aide d'une commande signalée dans {\tt See :} avec {\tt SEE1, SEE2...} du bandeau. \subsection{La touche {\tt HOME}}\label{sec:history} La touche {\tt HOME} pressée, depuis l'éditeur d'équations, permet un accès à l'historique du {\tt CAS}.\\ L'historique des calculs faits dans le {\tt CAS} et l'historique des calculs faits dans {\tt HOME} sont distincts.\\ Comme dans l'historique de l'écran {\tt HOME}, les calculs demandés sont inscrits à gauche et les résultats sont inscrits à droite. On peut gr\^ace à la flèche vers le haut remonter dans l'historique.\\ Vous pouvez gr\^ace à {\tt ENTER} ou {\tt ECHO} du bandeau, recopier un résultat précédent ou une commande déj\`a effectuée. \subsection{Les touches {\tt SHIFT SYMB}}\label{sec:config} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'équations la combinaison des touches :\\ {\tt SHIFT SYMB (SETUP)} est l'analogue de {\tt CFG} (le premier choix des menus {\tt ALGB etc...} du bandeau cf \ref{sec:cfg}).\\ Cela vous permet de préciser :\\ - le nom de la variable contenue dans {\tt VX}, en tapant son nom devant {\tt Indep var},\\ - la valeur de {\tt MODULO}, en tapant sa valeur devant {\tt Modulo},\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode exact} (ou en {\tt mode approximatif} si vous cochez {\tt Approx} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode réel} (ou en {\tt mode complexe} si vous cochez {\tt Complex} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous voulez travailler en mode {\tt Direct} (ou en mode {\tt Step/Step} si vous cochez {\tt Step/Step} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vos polyn\^omes sont écrits selon les puissances décroissantes (ou croissantes si vous cochez {\tt Incr Pow} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous interdisez des facteurs numériques (ou autorisez des facteurs numériques si vous cochez {\tt Num.Factor} avec {\tt CHK} du bandeau).\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode non rigoureux} (ou en {\tt mode rigou\-reux} si vous cochez {\tt Rigourous} avec {\tt CHK} du bandeau, pour ne pas négliger les valeurs absolues !),\\ On valide avec {\tt OK} ou {\tt ENTER}. \subsection{La touche {\tt SHIFT ,}}\label{sec:undo} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'équations les touches :\\ {\tt SHIFT , (MEMORY)} jouent le r\^ole de ''undo''.\\ Cela est très utile quand on s'est trompé, car cela permet d'annuler la dernière commande. \subsection{La touche {\tt PLOT}} Lorsqu'on appuie sur {\tt PLOT} depuis l'éditeur d'équations, une boite de dialogues vous demande si vous voulez tracer une fonction, une courbe en paramètrique ou une courbe en polaire.\\ Selon ce que vous sélectionnez, l'expression mise en surbrillance sera recopiée vers l'{\tt aplet} correspondante, à l'endroit que vous spécifiez comme destination.\\ {\sc Attention} : cela suppose que la variable courante est aussi la variable de la fonction à représenter, car lors de la recopie, l'expression est évaluée et la variable courante (celle contenue dans {\tt VX}) est changée en {\tt X T} ou ${\tt \theta}$, selon la nature du graphique.\\ {\sc Attention} : si la fonction dépend d'un paramètre, il est préférable de donner une valeur à ce paramètre avant d'appuyer sur {\tt PLOT}. Si toutefois, vous voulez que l'expression paramètrée soit recopiée avec son paramètre, le nom de ce paramètre doit \^etre composé d'une seule lettre différente de {\tt X T} ou ${\tt \theta}$, pour qu'il n'y ait pas de confusion.\\ Si l'expression sélectionnée est à valeurs réelles :\\ l'{\tt Aplet Function} ou l'{\tt Aplet Polar} peut \^etre sélectionnée, le graphe sera alors du type : {\tt Function} ou {\tt Polar}.\\ Si l'expression sélectionnée est à valeurs complexes : \\ l'{\tt Aplet Parametric} doit \^etre sélectionnée et le graphe sera du type : {\tt Parametric}.\\ Si vous choisissez : \begin{itemize} \item l'{\tt Aplet Function}, l'expression mise en surbrillance sera recopiée dans la fonction {\tt Fi} choisie, et la variable courante sera transformée en {\tt X} lors de la recopie, \item l'{\tt Aplet Parametric}, la partie réelle et la partie imaginaire de l'expression mise en surbrillance seront recopiées dans les fonctions {\tt Xi, Yi } choisies, et la variable courante sera transformée en {\tt T} lors de la recopie, \item l'{\tt Aplet Polar}, l'expression mise en surbrillance sera recopiée dans la fonction {\tt Ri} choisie, et la variable courante sera transformée en ${\tt \theta}$ lors de la recopie. \end{itemize} \subsection{La touche {\tt NUM}} Lorsqu'on appuie sur {\tt NUM} depuis l'éditeur d'équations l'expression mise en surbrillance est remplacée par une approximation numérique.\\ {\tt NUM} fait passer en mode approximatif.\\ {\tt SHIFT NUM} effectue l'opération inverse : on passe en mode exact. \subsection{La touche {\tt VIEWS}} Lorsqu'on appuie sur {\tt VIEWS} depuis l'éditeur d'équations l'expression mise en surbrillance peut \^etre vue entièrement en faisant bouger le curseur gr\^ace aux flèches $\rhd$ et $\lhd$. Appuyer sur {\tt OK} du bandeau pour revenir à l'éditeur d'équations. \subsection{Les raccourcis avec le clavier} Il faut noter que depuis l'éditeur d'équations on a, avec le clavier, les raccourcis suivants :\\ {\tt SHIFT 0} pour ${\tt \infty}$\\ {\tt SHIFT 1} pour ${\tt i}$\\ %{\tt SHIFT 2} pour ${\tt HELP}$\\ {\tt SHIFT 3} pour ${\tt \pi}$\\ {\tt SHIFT 5} pour ${\tt <}$\\ {\tt SHIFT 6} pour ${\tt >}$\\ {\tt SHIFT 8} pour ${\tt \leq}$\\ {\tt SHIFT 9} pour ${\tt \geq}$ \section{Le CAS depuis {\tt HOME}}\label{sec:cashome} On peut utiliser certaines fonctions de calcul formel directement depuis l'écran {\tt HOME} moyennant quelques précautions :\\ - utiliser les fonctions de calcul formel que l'on trouve dans {\tt CAS} du bandeau de la touche {\tt MATH} (pressée depuis l'écran {\tt HOME}), la variable courante est alors systématiquement la variable {\tt S1}, par exemple :\\ ${\tt DERVX(S1^2-4*S2)=2*S1}$\\ - utiliser les variables {\tt S1,S2,...S5} comme variables symboliques,\\ - si vous voulez travailler avec des matrices symboliques, il faut les stocker dans {\tt L1, L2, ... L9, L0} car ces matrices seront interprétées en tant que listes de listes (alors que les matrices numériques sont stockées dans {\tt M1, M2, ... M9, M0}). On écrira par exemple : ${\tt [S1+1,XQ(\sqrt2)]\ STO\triangleright\ L1}$\\ {\sc Attention}, certains calculs seront effectués en mode approximatif en raison de l'ambiguité entre réels et entiers dans {\tt HOME}. L'utilisation de la commande {\tt XQ} permet de convertir un argument approximatif en argument exact, dans l'exemple précédent vu au paragraphe \ref{sec:exarg}, on a depuis l'écran {\tt HOME} (voir aussi \ref{sec:tmathh} et \ref{sec:syntax}) : $${\tt ARG(XQ(1+i))= \frac{\pi}{4}}$$ Vous pouvez aussi, gr\^ace aux commandes {\tt PUSH} et {\tt POP}, transférer des expressions de l'historique de l'écran {\tt HOME} dans l'historique du {\tt CAS}. \subsection{\tt PUSH}\index{PUSH} Vous pouvez envoyer, depuis l'écran {\tt HOME}, des expressions dans l'historique du {\tt CAS} gr\^ace à la commande {\tt PUSH}.\\ On tape depuis l'écran {\tt HOME}:\\ {\tt PUSH(S1+1)}\\ et {\tt S1+1} s'inscrit dans l'historique du {\tt CAS}. \subsection{\tt POP}\index{POP} Vous pouvez récupérer, depuis l'écran {\tt HOME}, la dernière expression écrite dans l'historique du {\tt CAS} gr\^ace à la commande {\tt POP}.\\ On tape depuis l'écran {\tt HOME}:\\ {\tt POP}\\ et par exemple {\tt S1+1} s'inscrit dans l'historique de l'écran {\tt HOME}. \section{Le clavier depuis {\tt HOME}} \label{sec:thome} \subsection{La touche {\tt MATH}}\label{sec:tmathh} Cela ouvre le menu des fonctions mathématiques.\\ Cette touche pressée depuis l'écran {\tt HOME} ouvre une fen\^etre contenant des fonctions mathématiques (numériques) classées par thèmes, car l'option {\tt MTH} du bandeau (touche {\tt F1}) est cochée par défaut.\\ Si on coche {\tt CAS} du bandeau de cette fen\^etre (touche {\tt F3}), on trouve les m\^emes répertoires que lorsqu'on appuie sur la touche {\tt MATH} depuis l'éditeur d'équations : on a ainsi accés aux fonctions de calcul formel classées par thèmes et utilisables à partir de l'écran {\tt HOME} (ne pas oublier que, depuis l'écran {\tt HOME}, les seules variables symboliques sont {\tt S1,S2...S5}).\\ \subsection{La touche {\tt SHIFT F6}} La combinaison des touches {\tt SHIFT F6 (SHIFT CAS du bandeau)} ouvre l'écran de configuration du {\tt CAS} ce qui permet de changer la configuration du {\tt CAS} depuis l'écran {\tt HOME} (cf \ref{sec:config}). \subsection{La touche {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)}}\label{sec:syntax}\index{HELP} La combinaison des touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} place {\tt HELPWITH} dans la ligne de commande. Il suffit de compléter cette ligne par le nom de la commade ou par le nom de la fonction du {\tt CAS} pour laquelle vous voulez de l'aide. On peut rentrer le nom d'une fonction du {\tt CAS} avec {\tt MATH CAS}, mais il faut prendre garde à enlever la parenthèse. \\ Par exemple : {\tt HELPWITH DERVX} vous ouvre l'aide du {\tt CAS} à la page {\tt DERVX}.\\ Si on veut avoir l'aide générale du {\tt CAS} depuis l'écran {\tt HOME} il faut taper {\tt HELP}, puis {\tt ENTER} : on a ainsi l'aide sur les fonctions du {\tt CAS} utilisables depuis l'écran {\tt HOME}.\\ Pour avoir l'aide en français, choisir {\tt Français} dans le menu du répertoire {\tt CFG} permettant de changer votre configuration (on est obligé de le faire depuis l'éditeur d'équations cf \ref{sec:cfg}).\\ Chaque exemple peut \^etre mis dans l'historique de l'écran {\tt HOME} avec {\tt ECHO} du bandeau et donc \^etre traité tel quel, ou modifié (bien s\^ur la variable {\tt X} sera remplacée par {\tt S1}).\\ De plus, on sera aussi quelquefois obligé de changer dans {\tt HOME} les réels en entiers gr\^ace à la fonction {\tt XQ}.\\ Par exemple :\\ $${\tt PROPFRAC(\frac{43}{12})=3.5833..}$$ alors que $${\tt PROPFRAC(XQ(\frac{43}{12}))=3+\frac{7}{12}}$$ \subsection{La touche {\tt SHIFT 1 (PROGRAM)}} La combinaison de ces touches pressée lorsqu'on est dans {\tt HOME} ouvre l'écran \\ {\tt PROGRAM CATALOG}.\\ On voit appara\^itre :\\ - la liste des progammes que vous avez écrits,\\ - un bandeau contenant les commandes :\\ {\tt EDIT} {\tt NEW} {\tt RUN} {\tt SEND} {\tt RECV}.\\ {\tt EDIT} permet d'éditer le programme mis en surbrillance,\\ {\tt NEW} permet de créer un nouveau programme,\\ {\tt RUN} permet d'exécuter le programme mis en surbrillance (cf \ref{sec:programme}).\\ {\tt SEND} et {\tt RECV} sont les fonctions qui permettent de faire dialoguer votre calculatrice avec votre ordinateur ou une autre calculatrice.\\ Par exemple :\\ Si on tape sur {\tt SEND} du bandeau on vous demande :\\ {\tt HP40G} ou {\tt Disk drive} \\ vous mettez en surbrillance {\tt HP40G} pour envoyer un programme vers une autre {\tt HP40G} ou vous mettez en surbrillance {\tt Disk drive} pour envoyer un programme vers un ordinateur.\\ Puis {\tt OK} du bandeau.\\ Pour les utilisateurs de Windows, le logiciel de connexion se trouve à l'URL {\tt www.hp.com/calculators/france}.\\ Pour les utilisateurs de Linux on utilisera le programme C-Kermit version 7 (que l'on trouve à l'URL www.columbia.edu/kermit ou que l'on peut télécharger par ftp anonyme sur le site kermit.columbia.edu) :\\ -On branche la calculatrice au cordon de transfert.\\ -Sur l'ordinateur on tape :\\ {\tt kermit}\\ {\tt set line /dev/ttyS0} (ou {\tt S1} ...selon votre numéro de port série, attention {\tt S0} correspond à {\tt COM1} sous MS-DOS) \\ Il se peut que cette commande provoque l'erreur ``access to device denied''. Dans ce cas, vous devrez exécuter en tant que {\tt root} la commande suivante: \\ {\tt chmod 666 /dev/ttyS0} (ou {\tt/dev/ttyS1} ... selon votre numéro de port série)\\ Il se peut aussi que cette commande provoque l'erreur ``write access to UUCP lockfile directory denied'', dans ce cas vous devrez exécuter en tant que {\tt root} la commande suivante : \\ {\tt chmod 1777 /var/lock}\\ Puis tapez les commandes suivantes~: \\ {\tt set speed 9600} \\ {\tt set carrier-watch off} \\{\tt serv}\\ -Sur la {\tt HP40G} :\\ on met en surbrillance le programme de nom {\tt NOM} puis on appuie sur {\tt SEND} du bandeau et on met en surbrillance {\tt Disk drive}. Puis {\tt OK} du bandeau, pour que le programme de nom {\tt NOM} qui se trouve dans votre {\tt HP40G} soit recopié sur votre ordinateur.\\ -Ou\\ Sur la {\tt HP40G} :\\ on appuie sur {\tt RECV} du bandeau et on met en surbrillance {\tt Disk drive}.\\ Puis {\tt OK} du bandeau : la calculatrice affiche alors la liste des programmes qui sont sur votre ordinateur (bien s\^ur il faut avoir créer un répertoire sur votre ordinateur o\`u des programmes de {\tt HP40G} sont stockés).\\ On met alors en surbrillance {\tt PGCD} pour que le programme de nom {\tt PGCD} qui se trouve sur votre ordinateur soit recopié sur votre {\tt HP40G}. \\ Notez qu'on peut automatiser l'exécution des commandes de {\tt kermit} en les plaçant dans le fichier {\tt .kermrc} du répertoire racine {\tt ~} de l'utilisateur, par exemple créez le fichier suivant~: \begin{verbatim} set line /dev/ttyS0 set speed 9600 set carrier-watch off set file names literal \end{verbatim} et sauvegardez-le sous le nom {\tt \tild /.kermrc}\\ Pour en savoir plus sur l'utilisation de Kermit avec les calculatrices HP, vous pouvez consulter l'URL :\\ {\tt http://www.columbia.edu/kermit/hp48.html}\\ \chapter{Écriture des expressions dans l'\'editeur d'\'equations} %\chapter{Saisie} \section{L'\'editeur d'\'equations}\label{sec:eqw} \subsection{Acc\`es \`a l'\'editeur d'\'equations} La touche {\tt CAS} du bandeau vous permet d'entrer dans l'\'editeur d'\'equations et la touche {\tt ON (CANCEL)} vous permet d'en sortir.\\ C'est un \'editeur tr\`es performant pour \'ecrire, simplifier et transformer des expressions math\'ematiques. Lorsque l'on est dans l'\'editeur d'\'equations on peut \'ecrire des expressions en sachant que l'opérateur que l'on est en train de taper porte toujours sur l'expression adjacente ou sur l'expression s\'electionn\'ee.\\ On ne se pr\'eoccupe pas de mettre des parenth\`eses, on s\'electionne!!! \\ Il faut voir les expressions math\'ematiques comme un arbre, pas forc\'ement binaire, et comprendre que les quatre fl\`eches permettent de parcourir l'arbre de fa\c{c}on naturelle :\\ - les fl\`eches droite et gauche permettent d'aller d'un sous-arbre \`a l'autre,\\ - les fl\`eches haut et bas de monter ou de descendre dans l'arbre,\\ - les fl\`eches droite et gauche ``shift\'ees'' permettent diverses s\'elections (cf page \pageref{sec:exemple3} l'exemple 3). \subsection{Comment s\'electionner?} On peut entrer dans le mode s\'election de deux fa\c{c}ons \begin{itemize} \item La fl\`eche $\triangle$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne l'\'elément adjacent au curseur.\\ Exemple :\\ $$1+2+3+4 \ \triangle$$ s\'electionne $4$, puis $\triangle$ s\'electionne l'arbre tout entier $1+2+3+4$. \item La fl\`eche $\rhd$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne le sous-arbre adjacent au curseur.\\ Si vous appuyez à nouveau sur $\rhd$ vous augmentez votre s\'election du sous-arbre contigu, à gauche de votre sélection.\\ Exemple :\\ $$1+2+3+4 \ \rhd$$ s\'electionne $3+4$, puis $\rhd$ s\'electionne $2+3+4$, puis $\rhd$ s\'electionne $1+2+3+4$ \item {\sc Attention} : si on est en train de taper une fonction ayant plusieurs arguments (comme par exemple une $\sum$ ou une $\int$ ou {\tt SUBST} etc...), la fl\`eche $\rhd$ permet de progresser dans l'écriture, en changeant le curseur d'emplacement. En effet ce sont les fl\`eches $\rhd$ et $\lhd$ qui permettent le passage d'un argument à l'autre. Il faut donc toujours dans ce cas sélectionner avec la fl\`eche $\triangle$ (cf \ref{sec:sum}). \end{itemize} Exemples de fonctionnement de cet \'editeur :\\ On tape sur {\tt CAS} du bandeau pour ouvrir l'\'editeur d'\'equations, puis on entre les expressions des exemples. \begin{itemize} \item Exemple 1\\ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ \times \ 3 \ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt 2+X \cdot 3-X}$$ $\rhd$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression,\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 2+2 \cdot X}$$ On tape : $${\tt 2\ +\ X \ \rhd\ \times \ 3 \ -\ X}$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot 3-X}$$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression,\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 6+2 \cdot X}$$ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ \rhd\ \times \ 3\ \triangle\ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot (3-X)}$$ $\rhd$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt-(X^2-X-6)}$$ \item Exemple 2 \label{sec:exemple2}\\ Si on veut taper : $${\tt X^2-3 \cdot X+1}$$ On tape : $${\tt X \ x^y \ 2 \ \rhd \ - \ 3 \ X \ + \ 1 }$$ Si on veut taper : $${\tt -X^2-3 \cdot X+1}$$ On tape : $${\tt (-)\ X \ x^y \ 2 \ \rhd \rhd\ - \ 3 \ X \ + \ 1 }$$ En effet, il faut sélectionner ${\tt -X^2}$ avant de taper la suite. \item Exemple 3\label{sec:exemple3}\\ Si on veut taper : $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$ Ici, le sommet de l'arbre est un $+$ et il y a 4 sous arbres ; chacun de ces sous-arbres a comme sommet un $\div$ et poss\`ede deux feuilles. On tape sur {\tt CAS} du bandeau pour ouvrir l'\'editeur d'\'equations, puis on écrit le premier sous -arbre : $${\tt1 \div 2} $$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le second sous-arbre : $${\tt 1 \div 3}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le troisi\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 4}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le quatri\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 5}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ Maintenant, l'expression voulue $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}$$ se trouve écrite dans l'\'editeur d'\'equations et ${\tt \frac{1}{5}}$ est s\'electionn\'ee. Parcourez l'arbre pour s\'electionner $${\tt\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Il faut taper $$ \lhd \ \lhd$$ pour s\'electionner ${\tt \frac{1}{3}}$ puis $${\tt SHIFT \rhd}$$ permet de s\'electionner deux sous-arbres contigus, le sélectionné et son voisin de droite, ici : $${\tt \frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Int\'er\^et : On peut demander d'effectuer le calcul de la partie s\'electionn\'ee en tapant {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt \frac{1}{2}+\frac{7}{12}+\frac{1}{5}}$$ o\`u la fraction $\frac{7}{12}$ est s\'electionn\'ee.\\ Si on veut effectuer maintenant le calcul partiel $$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$$ il faut tout d'abord faire une permutation pour que ${\tt \frac{1}{2}}$ et ${\tt \frac{1}{5}}$ soient c\^ote \`a c\^ote en tapant $${\tt SHIFT \lhd} $$ qui \'echange l'élément s\'electionn\'e avec son voisin de gauche.\\ On obtient : $$ {\tt \frac{7}{12}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ et ${\tt \frac{7}{12}}$ est s\'electionné, puis $${\tt \rhd SHIFT \rhd}$$ s\'electionne $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ On peut alors faire \`a nouveau {\tt ENTER}. \item En résumé : ${\tt SHIFT \rhd}$ permet de sélectionner l'élément s\'electionn\'e et son voisin de droite.\\ ${\tt SHIFT \lhd}$ permet d'\'echanger l'élément s\'electionn\'e avec son voisin de gauche.\\ L'élément s\'electionn\'e a changé de place, mais il reste s\'electionn\'e. \end{itemize} \subsection{Comment modifier une expression} Si vous \^etes en train de taper votre expression, la touche {\tt DEL} vous permet d'effacer ce qui vient d'\^etre tapé. Si vous \^etes en train d'effectuer des sélections vous pouvez :\\ - soit supprimer la sélection, sans supprimer l'expression, en tapant : $${\tt DEL}$$ Le curseur se trouve alors à la fin de l'expression que l'on vient de désélectionner.\\ - soit remplacer la sélection par une expression, il suffit de taper l'expression voulue, \\ - soit transformer l'expression sélectionnée en lui appliquant une fonction du {\tt CAS} : on appelle alors la fonction depuis le menu d'un des répertoires du {\tt CAS},\\ - soit supprimer l'expression s\'electionnée en tapant : $${\tt ALPHA\ SHIFT\ DEL \ \ (ALPHA\ CLEAR)}$$ - soit supprimer un opérateur unaire, sommet de l'arbre sélectionné, en tapant : $${\tt SHIFT\ DEL \ \ (CLEAR)} $$ Par exemple pour remplacer ${\tt SIN(expr)}$ par ${\tt COS(expr)}$, on efface ${\tt SIN}$ en sélectionnant ${\tt SIN(expr)}$, puis {\tt SHIFT\ DEL}, puis on tape ${\tt COS}$. \\ - soit supprimer l'argument d'un op\'erateur binaire infix\'e et cet op\'erateur, en mettant en surbrillance l'argument \`a supprimer et en tapant : $${\tt SHIFT\ DEL \ \ (CLEAR)} $$ Par exemple pour enlever ${\tt F(X)=}$ de ${\tt \ F(X)=X^2-X+1}$ on sélectionne ${\tt F(X)}$, puis {\tt SHIFT\ DEL}, et on obtient ${\tt X=X^2-X+1}$ (on a supprimer l'op\'erateur unaire ${\tt F}$), puis {\tt SHIFT\ DEL}, et on obtient ${\tt X^2-X+1}$ (on a supprimer ${\tt X}$ et l'op\'erateur ${\tt =}$).\\ - soit supprimer un opérateur binaire en éditant l'expression : on sélectionne $${\tt Edit\ expr.} $$ du menu {\tt TOOL} du bandeau et on fait la correction.\\ - soit recopier un élément de l'historique en tapant {\tt HOME}. La recopie se fait à la place du curseur, ou à la place de la sélection, lorsqu'on appuie depuis l'historique sur {\tt ENTER}, ou sur {\tt ECHO} du bandeau.\\ Vous pouvez aussi utiliser les commandes {\tt Cut, Copy, Paste} du menu {\tt TOOL} du bandeau, pour supprimer, recopier, dupliquer des expressions comme dans un traitement de texte (cf \ref{sec:tool}). \subsection{Le mode curseur}\label{sec:curseur} Le mode curseur permet de sélectionner une grande expression rapidement. Pour passer en mode curseur, sélectionner :\\ {\tt Cursor mode} du menu {\tt TOOL},\\ puis utiliser les flèches pour inclure votre sélection dans une boite (quand vous relachez la touche flèche, l'expression pointée par le curseur est encadrée),\\ puis {\tt ENTER} pour sélectionner le contenu de la boite. \subsection{Pour tout voir} En sélectionnant {\tt Change font} du menu {\tt TOOL} du bandeau, on grossit, ou on diminue la taille de l'écriture : cela permet dans certains cas, de voir en entier une grande expression.\\ Si cela est insuffisant, il faut passer en mode curseur :\\ {\tt Cursor mode} du menu {\tt TOOL}, puis utiliser la flèche $\rhd$ \\ ou encore utiliser :\\ %{\tt View expr.} du menu {\tt TOOL}, puis utiliser la flèche $\rhd$. la touche {\tt VIEWS}, puis utiliser la flèche $\rhd$. \section{La saisie des fonctions du {\tt CAS}} Lorsque vous \^etes dans l'éditeur d'équations, vous pouvez utiliser toutes les fonctions du {\tt CAS} et vous pouvez faire la saisie de différentes façons.\\ Principe général :\\ Quand vous avez écrit une expression dans l'éditeur d'équations, il suffit d'appuyer sur {\tt ENTER} pour évaluer ce qui a été sélectionné, ou pour évaluer toute l'expression si rien n'a été sélectionné. \subsection{Comment \'ecrire $\int$ et $\sum$} \label{sec:sum} $\sum$ se trouvent sur le clavier, il suffit de taper : $${\tt SHIFT +\ (\sum)}$$. Le signe $\int$ se trouve aussi sur le clavier, il suffit de taper : $${\tt SHIFT \ d/dX \ (\int) }$$ Les symboles ${\tt \int}$ et ${\tt \sum}$ sont considérés comme des fonctions préfixées ayant plusieurs arguments.\\ ${\tt \int}$ et ${\tt \sum}$ se placent automatiquement devant (fonctions préfixées) l'élément sélectionné, si il y en a un.\\ Le curseur se place aux endroits voulus et se d\'eplace \`a l'aide de $${\tt \rhd \ \lhd} $$ Les expressions que l'on rentre suivent la loi de la s\'election expliqu\'ee pr\'ec\'edemment, mais il faut entrer dans le mode s\'election avec $\triangle$.\\ {\sc Attention}, ne pas utiliser l'indice $i$ pour d\'efinir la somme car $i$ d\'esigne le nombre complexe solution de $x^2+1=0$.\\ En mode numérique $\sum $ effectue des calculs approch\'es. \\ Par exemple : $$\sum_{k=0}^4 \frac{1}{k!}=2.70833333334$$ alors que $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=\frac{65}{24}$$ Le symbole \ $!$ \ s'obtient en tapant ${\tt SHIFT\ \times}$.\\ Il faut savoir que $\sum $ sait calculer symboliquement les sommes de fractions rationnelles et les series hypergéométriques qui admettent une primitive discrète.\\ Exemple :\\ On tape :\\ $${\tt \sum_{K=1}^\infty \frac{1}{K.(K+1)}}$$ On sélectionne le tout, {\tt ENTER} et on obtient :\\ $${\tt 1}$$ \subsection{Comment \'ecrire les fonctions infixées} \label{sec:and} Ces fonctions s'écrivent entre leurs arguments, par exemple :\\ {\tt AND | MOD ,}\\ On peut :\\ - soit les écrire en mode {\tt Alpha} (pour {\tt AND MOD}), puis taper les arguments,\\ - soit les appeler depuis le menu d'un répertoire du {\tt CAS} ou à l'aide d'une touche du clavier, à condition d'avoir écrit et sélectionné le premier argument.\\ On passe d'un argument à l'autre à l'aide des flèches : $\rhd\ \lhd$\\ La virgule {\tt ,} permet d'écrire un nombre complexe.\\ On écrit {\tt 1+2.i} ou {\tt (1,2)} et les parenthèses se mettent automatiquement quand on tape la virgule.\\ Si vous voulez taper {\tt (-1,2)} il faut bien s\^ur sélectionner {\tt -1} avant de taper la virgule. \subsection{Comment \'ecrire les fonctions préfixées} \label{sec:prefixe} Ces fonctions s'écrivent avant leurs arguments, c'est le cas général.\\ Dans ce cas tout est possible!!!\\ On peut taper le premier argument, le sélectionner puis appeler la fonction à l'aide d'un menu.\\ ou bien, on peut appeler la fonction depuis un menu ou la taper en mode {\tt Alpha}, puis taper son ou ses arguments.\\ On va détailler sur l'exemple suivant les différentes saisies possibles.\\ Exemple :\\ Vous voulez factoriser l'expression $x^2-4$ puis, avoir sa valeur pour $x=4$. Vous savez que {\tt FACTOR} sert à factoriser et que cette fonction se trouve dans le menu {\tt ALGB}.\\ Vous savez que {\tt SUBST} sert à substituer dans une expression une variable par une valeur et que cette fonction se trouve dans le menu {\tt ALGB}. \subsubsection{Première possibilité : saisie avant les arguments} Vous appuyez sur la touche {\tt F2} qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt FACTOR} puis {\tt ENTER}.\\ ${\tt FACTOR(\ \blacktriangleleft )}$ s'inscrit dans l'éditeur avec le curseur entre les parenthèses.\\ Vous entrez votre expression avec les règles de sélection vues précèdemment : $${\tt X \ x^y\ 2\ \rhd - \ 4 \rhd \ \rhd } $$ ce qui sélectionne : $${\tt FACTOR (X^2-4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat : $${\tt (X+2).(X-2)}$$ Le résultat est sélectionné et remplace la commande.\\ On ne le voit pas, mais aprés chaque {\tt ENTER}, il y a sauvegarde dans l'historique, ainsi ${\tt \ FACTOR (X^2-4) \ }$ et ${\tt \ (X+2).(X-2) \ }$ se sont inscrits dans l'historique.\\ Maintenant vous effacez le résultat précédent avec {\tt ALPHA SHIFT DEL (CLEAR)} car ce résultat est sélectionné.\\ Vous appuyez sur la touche qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt SUBST} puis {\tt ENTER}. $${\tt SUBST (\blacktriangleleft ,\bullet)}$$ s'inscrit dans l'éditeur avec le curseur entre les parenthèses à la place du premier argument.\\ Vous entrez votre expression avec les règles de sélection vues précèdemment.\\ {\sc Attention} ! ici {\tt SUBST} a deux arguments il faut donc entrer dans le mode sélection avec $\triangle$ : $${\tt X \ x^y\ 2\ \triangle \ \triangle\ - \ 4 \rhd X=4\ \rhd \ \rhd} $$ ce qui sélectionne :\\ $${\tt SUBST (X^2-4,X=4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat : $${\tt 4^2-4}$$ Ce résultat remplace la commande, il est sélectionné, enfin {\tt ENTER} donne le résultat simplifié : $${\tt 12}$$ Bien s\^ur ${\tt \ SUBST (X^2-4,X=4)\ }$, ${\tt \ 4^2-4 \ }$ et ${\tt \ 12}$ se sont inscrits dans l'historique.\\ {\sc Remarque} :\\ Quand on saisit une fonction du {\tt CAS} avant ses arguments, on peut la taper en mode {\tt Alpha} avec ses parenthèses. \subsubsection{Deuxième possibilité : saisie après les arguments} On tape d'abord l'expression que l'on sélectionne avec les règles de sélection vues précèdemment.\\ Ici on tape :\\ $${\tt X \ x^y\ 2\ \rhd - \ 4 \rhd \ \rhd } $$ puis on appelle {\tt FACTOR} :\\ vous appuyez sur la touche qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt FACTOR}, puis {\tt ENTER}.\\ On obtient :\\ $${\tt FACTOR (X^2-4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat: $${\tt (X+2).(X-2)}$$ Ce résultat remplace la commande et est sélectionné.\\ Bien s\^ur ${\tt\ FACTOR (X^2-4)\ }$ et ${\tt \ (X+2).(X-2)\ }$ se sont inscrits dans l'historique.\\ Vous remarquez que le résultat est sélectionné, vous \^etes donc pr\^et à appliquer une autre commande à votre résultat.\\ Vous pouvez donc appeller {\tt SUBST} : vous appuyez sur la touche qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt SUBST} puis {\tt ENTER}.\\ $${\tt SUBST ((X+2).(X-2) , \blacktriangleleft )}$$ s'inscrit dans l'éditeur avec ses parenthèses, avec votre expression comme premier argument et avec le curseur à la place du deuxième argument.\\ Il ne vous reste plus qu'à taper :\\ ${\tt X=4}$ puis $\rhd \ \rhd$ et {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt (4+2).(4-2)}$$ puis {\tt ENTER} pour obtenir :\\ $${\tt 12}$$ Bien s\^ur ${\tt SUBST (X^2-4,X=4 )}$, ${\tt \ (4+2).(4-2) \ }$ et ${\tt \ 12}$ se sont inscrits dans l'historique.\\ {\sc Remarque} :\\ Au cours de l'écriture d'une expression, vous pouvez appeler une fonction du {\tt CAS}, cette fonction aura comme premier argument ce qui est sélectionné ou rien, si rien n'a été sélectionné, le curseur se trouve au bon endroit pour compléter les arguments. \section{Les variables}\label{sec:var} Vous pouvez stocker des objets dans des variables, et les réutiliser en utilisant le nom de la variable.\\ {\sc Attention!!!}\\ 1- Les variables utilisées dans le {\tt CAS} ne sont pas utilisables dans {\tt HOME} et réciproquement.\\ 2- On utilise ${\tt STO\triangleright}$ pour stocker un objet dans une variable de {\tt HOME} ou de l'éditeur de programme et on le note dans la suite ${\tt STO\triangleright}$ ou ${\tt \triangleright}$.\\ 3- Dans le {\tt CAS} il faut utiliser la commande {\tt STORE}\ (cf \ref{sec:store}) pour stocker des valeurs dans des variables.\\ 4- La touche {\tt VARS} affiche un menu qui contient toutes les variables qui sont à votre disposition.\\ Cette touche pressée lorsque l'on est dans {\tt HOME} fait appara\^itre les noms des variables autorisées dans {\tt HOME} et dans les {\tt Aplets}.\\ Cette touche pressée lorsque l'on est dans l'éditeur d'équations fait appara\^itre les noms des variables définies dans le {\tt CAS}. \subsection{${\tt STO\triangleright}$}\index{STO} ${\tt STO\triangleright}$ permet de stocker un objet dans une variable de {\tt HOME}.\\ Les noms des variables numériques de {\tt HOME} sont les 26 lettres de l'alphabet et les noms des variables symboliques de {\tt HOME} sont {\tt S1..S5}\\ {\sc Attention} Les variables {\tt A..Z} sont toujours à votre disposition et contiennent toujours une valeur réelle.\\ Par exemple en utilisant le ${\tt STO\triangleright}$ du bandeau de {\tt HOME} ou de l'éditeur de programme, on tape : \\ ${\tt 1\ STO\triangleright\ A}$\\ cela se traduit à l'écran par : \\ ${\tt 1\triangleright A}$ et a pour effet d'écraser la valeur précédente de {\tt A} et de la remplacer par 1.\\ {\tt A} est évalué et désigne le contenu de {\tt A}. {\sc Remarque} :\\ La variable symbolique {\tt S1} de {\tt HOME} sert de variable courante lorsqu'on veut utiliser certaines fonctions du {\tt CAS} depuis {\tt HOME}.\\ Exemple: m\^eme si il y a {\tt X} dans {\tt VX}, on écrit dans {\tt HOME}~:\\ ${\tt DERVX(S1^2+2 \times S1)}$\\ pour obtenir ${\tt 2 \times S1+2}$. \subsection{\tt STORE}\index{STORE}\label{sec:store} Dans le {\tt CAS}, il faut utiliser la commande {\tt STORE} pour stocker un objet dans une variable, ou utiliser la touche {\tt VARS} depuis l'éditeur d'équations (puis {\tt NEW} ou {\tt EDIT} du bandeau cf \ref{sec:vars}).\\ On a droit à n'importe quel nom de variable.\\ % mais dans {\tt STORE} ce nom doit \^etre précédé de la fonction {\tt QUOTE} qui permet de distinguer le nom de la variable {\tt QUOTE(ABC)} de son contenu {\tt ABC}.\\ {\tt STORE}\index{STORE} se trouve dans le menu {\tt ALGB} du bandeau de l'éditeur d'équations. \\ Exemple :\\ On tape : $${\tt STORE (X^2-4,ABC)}$$ ou on tape : $${\tt X^2-4}$$ que l'on sélectionne, puis on appelle {\tt STORE},\\ puis on tape {\tt ABC}\\ {\tt ENTER} valide la définition de la variable {\tt ABC}.\\ Pour détruire la variable, il faut utiliser la touche {\tt VARS} depuis l'éditeur d'équations (puis {\tt PURGE} du bandeau cf \ref{sec:vars}), ou utiliser la commande {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN} du menu {\tt ALGB}, on tape par exemple : $${\tt UNASSIGN(ABC)}$$ \subsection{Les variables prédéfinies du CAS}\label{sec:realassume} {\tt VX} contient le nom de la variable symbolique courante.\\ C'est en général {\tt X}, il ne faut donc pas utiliser {\tt X} comme nom de variable numérique, ou effacer le contenu de {\tt X} à l'aide de la commande {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN} du menu {\tt ALGB} avant de faire du calcul symbolique, en tapant par exemple : {\tt UNASSIGN(X)}. \\ {\tt EPS} contient la valeur de epsilon utilisé dans la commande {\tt EPSX0} (cf \ref{sec:epsx0}).\\ {\tt MODULO} contient la valeur de $p$, pour faire du calcul symbolique dans $Z/p.Z$. On peut changer la valeur de $p$ gr\^ace à la commande {\tt MODSTO} du menu {\tt MODULAR} en tapant par exemple : ${\tt MODSTO(13)}$\index{MODSTO} pour donner à $p$ la valeur $13$, ou utiliser {\tt CFG} des menus du {\tt CAS}.\\ {\tt PERIOD} doit contenir la période de la fonction dont on veut les coefficients de Fourier (cf \ref{sec:fourier}). \\ {\tt PRIMIT} contient la primitive de la dernière fonction intégrée.\\ {\tt REALASSUME}\index{REALASSUME} contient la liste des noms des variables symboliques que l'on considère comme réelles, lorsqu'on a choisi dans le menu de configuration {\tt CFG} l'option {\tt Cmplx vars}, ce sont par défaut :\\ {\tt X, Y, t, S1, S2} et toutes les variables d'intégration utilisées.\\ Bien s\^ur, si dans le menu de configuration {\tt CFG}, vous choisissez l'option {\tt Real vars} toutes les variables symboliques sont considérées comme réelles (cf \ref{sec:cfg}).\\ On peut aussi faire des suppositions sur le domaine de définition d'une variable comme par exemple {\tt X>1}.\\ Dans ce cas, il faut utiliser la commande {\tt ASSUME(X>1)}\index{ASSUME} pour que {\tt REALASSUME} contienne {\tt X>1}.\\ La commande {\tt UNASSUME(X)}\index{UNASSUME} enlèvera toutes les hypothèses faites sur {\tt X}.\\ Pour voir ces variables et aussi celles que vous avez définies dans le {\tt CAS}, il faut appuyer sur {\tt VARS} depuis l'éditeur d'équations (cf \ref{sec:vars}). \chapter{Les fonctions de Calcul formel}\label{sec:cas} \section{Le bandeau du CAS} Seul le menu {\tt TOOL} contient des commandes, les autres menus permettent la mise à jour de la configuration et contiennent des fonctions algébriques que l'on peut taper en mode {\tt Alpha}.\\ \subsection{\tt CFG}\label{sec:cfg}\index{CFG} Tous les menus sauf {\tt TOOL}, affichent l'état de votre configuration et vous avez la possibilité d'en changer. \\ Par exemple vous voyez en premi\`ere ligne d'un menu : $${\tt CFG :\ R\ =\ X \ S}$$ cela veut dire que vous \^etes en mode réel exact et que {\tt X} est la variable courante et que vous \^etes en mode pas à pas ({\tt S}).\\ On met en surbrillance {\tt CFG} et on appuie sur {\tt OK}.\\ Il apparait un menu d'en t\^ete : $${\tt CFG :\ R\ =\ STEP\ \uparrow\ 'X' \ 13\ ||}$$ cela veut dire que vous \^etes en mode réel exact, que le mode pas à pas est sélectionné, que les polyn\^omes sont écrits selon les puissances croissantes, que {\tt X} est la variable courante, que les calculs modulaires se feront dans {\tt Z/13Z} ($p=13$), et que vous \^etes en mode {\tt rigourous} (on met des valeurs absolues).\\ Vous pouvez changer cette configuration en sélectionnant ce qui vous convient parmi :\\ {\tt Quit config} (lorsqu'on a fini les changements),\\ {\tt Complex } (ou {\tt Real}),\\ {\tt Approx} (ou {\tt Exact}),\\ {\tt Direct} (ou {\tt Step/Step} si on veut \^etre en mode pas à pas),\\ ${\tt 1+x+x^2...}$ (ou ${\tt ...x^2+x+1}$ pour l'écriture des polyn\^omes)\\ {\tt Sloopy} (ou {\tt Rigourous} pour ne pas mettre les valeurs absolues)\\ {\tt Num. factor} (ou {\tt Symb factor}),\\ {\tt Cmplx vars} (ou {\tt Real vars} pour que toutes les variables symboliques soient considérées comme réelles cf \ref{sec:realassume}),\\ {\tt English} (ou {\tt Français} pour avoir l'aide en ligne en français)\\ {\tt Default cfg} (configuration ${\tt R\ =\ STEP\ \downarrow\ X \ 13\ ||}$).\\Appuyer sur {\tt OK} pour valider chacun de vos choix.\\ On sort du menu {\tt CFG} en appuyant sur {\tt CANCEL} ou en validant {\tt Quit config} par {\tt OK}.\\ Le nom de la variable courante contenu dans {\tt VX} et la valeur de la variable {\tt MODULO} peuvent se changer à l'aide des touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)} ou l'aide de la touche {\tt VARS} (cf \ref{sec:config} et \ref{sec:vars}).\\ Remarque : dans le {\tt CAS} les angles sont toujours exprimés en {\tt radians}.\\ Vous pouvez aussi changer votre configuration à l'aide des touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)} se reporter pour cela à la section \ref{sec:config} \subsection{\tt TOOL} On se reportera à la section \ref{sec:tool} pour la description des fonctions qui se trouvent dans le répertoire {\tt TOOL}.\\ {\tt Cursor mode}\index{Cursor mode}\\ {\tt Edit expr.}\index{Edit expr.}\\ {\tt Change font}\index{Change font}\\ {\tt Cut}\index{Cut}\\ {\tt Copy}\index{Copy}\\ {\tt Paste}\index{Paste}\\ \subsection{\tt ALGB} \noindent{\tt COLLECT}\index{COLELCT}\\ {\tt DEF}\index{DEF}\\ {\tt EXPAND}\index{EXPAND}\\ {\tt FACTOR}\index{FACTOR}\\ {\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC}\\ {\tt QUOTE}\index{QUOTE}\\ {\tt STORE}\index{STORE}\\ {\tt |}\index{$\mid$}\\ {\tt SUBST}\index{SUBST}\\ {\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}\\ {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN}\\ \subsection{\tt DIFF\&INT} \noindent{\tt DERIV}\index{DERIV}\\ {\tt DERVX}\index{DERVX}\\ {\tt DIVPC}\index{DIVPC}\\ {\tt FOURIER}\index{FOURIER}\\ {\tt IBP}\index{IBP}\\ {\tt INTVX}\index{INTVX}\\ {\tt LIMIT}\index{LIMIT}\\ {\tt PREVAL}\index{PREVAL}\\ {\tt RISCH}\index{RISCH}\\ {\tt SERIES}\index{SERIES}\\ {\tt TABVAR}\index{TABVAR}\\ {\tt TAYLOR0}\index{TAYLOR0}\\ {\tt TRUNC}\index{TRUNC}\\ \subsection{\tt REWRITE} \noindent{\tt DISTRIB}\index{DISTRIB}\\ {\tt EPSX0}\index{EPSX0}\\ {\tt EXPLN}\index{EXPLN}\\ {\tt EXP2POW}\index{EXP2POW}\\ {\tt FDISTRIB}\index{FDISTRIB}\\ {\tt LIN}\index{LIN}\\ {\tt LNCOLLECT}\index{LNCOLLECT}\\ {\tt POWEXPAND}\index{POWEXPAND}\\ {\tt SINCOS}\index{SINCOS}\\ {\tt SIMPLIFY}\index{SIMPLIFY}\\ {\tt XNUM}\index{XNUM}\\ {\tt XQ}\index{XQ}\\ \subsection{\tt SOLVE} \noindent{\tt DESOLVE}\index{DESOLVE}\\ {\tt ISOLATE}\index{ISOLATE}\\ {\tt LDEC}\index{LDEC}\\ {\tt LINSOLVE}\index{LINSOLVE}\\ {\tt SOLVE}\index{SOLVE}\\ {\tt SOLVEVX}\index{SOLVEVX}\\ %{\tt }\index{}{\tt }\index{} \subsection{\tt TRIG} \noindent{\tt ACOS2S}\index{ACOS2S}\\ {\tt ASIN2C}\index{ASIN2C}\\ {\tt ASIN2T}\index{ASIN2T}\\ {\tt ATAN2S}\index{ATAN2S}\\ {\tt FOURIER}\index{FOURIER}\\ {\tt HALFTAN}\index{HALFTAN}\\ {\tt SINCOS}\index{SINCOS}\\ {\tt TAN2CS2}\index{TAN2CS2}\\ {\tt TAN2SC}\index{TAN2SC}\\ {\tt TAN2SC2}\index{TAN2SC2}\\ {\tt TCOLLECT}\index{TCOLLECT}\\ {\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}\\ {\tt TLIN}\index{TLIN}\\ {\tt TRIG}\index{TRIG}\\ {\tt TRIGCOS}\index{TRIGCOS}\\ {\tt TRIGSIN}\index{TRIGSIN}\\ {\tt TRIGTAN}\index{TRIGTAN}\\ \subsection{\tt La touche MATH}\label{sec:math} En plus des répertoires ci-dessus ({\tt ALGEBRA} {\tt DIFF\&INT} {\tt REWRITE} {\tt TRIG} {\tt SOLVE}) on trouve :\\ {\tt Complex...} ({\tt i}\index{i} {\tt ABS}\index{ABS} {\tt ARG}\index{ARG} {\tt CONJ}\index{CONJ} {\tt DROITE}\index{DROITE} {\tt FLOOR}\index{FLOOR} {\tt IM}\index{IM} {\tt MOD}\index{MOD} {\tt -}\index{-} {\tt RE }\index{RE} {\tt SIGN}\index{SIGN})\\ {\tt Constant... } (${\tt e\ i \ \infty \ pi}$)\\ {\tt Hyperb.... } ({\tt ACOSH ASINH ATANH COSH SINH TANH})\\ {\tt Integer...} ({\tt DIVIS}\index{DIVIS} {\tt EULER}\index{EULER} {\tt FACTOR}\index{FACTOR} {\tt GCD}\index{GCD} {\tt IEGCD}\index{IEGCD} {\tt IQUOT}\index{IQUOT} {\tt IREMAINDER}\index{IREMAINDER} {\tt ISPRIME?}\index{ISPRIME?} {\tt LCM}\index{LCM} {\tt NEXTPRIME}\index{NEXTPRIME} {\tt PREVPRIME}\index{PREVPRIME})\\ {\tt Modular...} ({\tt ADDTMOD}\index{ADDTMOD} {\tt DIVMOD}\index{DIVMOD} {\tt EXPANDMOD}\index{EXPANDMOD} {\tt FACTORMOD}\index{FACTORMOD} {\tt GCDMOD}\index{GCDMOD} {\tt INVMOD}\index{INVMOD} {\tt MODSTO}\index{MODSTO} {\tt MULTMOD}\index{MULTMOD} {\tt POWMOD}\index{POWMOD} {\tt SUBTMOD}\index{SUDTMOD})\\ {\tt Polynom....} ({\tt EGCD}\index{EGCD} {\tt FACTOR}\index{FACTOR} {\tt GCD}\index{GCD} {\tt HERMITE}\index{HERMITE} {\tt LCM}\index{LCM} {\tt LEGENDRE}\index{LEGENDRE} {\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC}\\ {\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC} {\tt PTAYL}\index{PTAYL} {\tt QUOT}\index{QUOT} {\tt REMAINDER}\index{REMAINDER} {\tt TCHEBYCHEFF}\index{TCHEBYCHEFF})\\ {\tt Tests... } ({\tt ASSUME}\index{ASSUME} {\tt UNASSUME }\index{UNASSUME} ${\tt > \ \geq \ < \ \leq \ == \ \neq \ AND \ OR \ NOT}$ {\tt IFTE}\index{IFTE})\\ On pourra se reporter aux sections \ref{sec:rep} et \ref{sec:tmath}, pour avoir la description des différents répertoires. \section{\tt Le pas à pas} Le mode pas à pas ({\tt Step/Step} ou en abrégé {\tt S}) est choisi quand on veut avoir le détail des calculs.\\ Le détail des calculs s'affiche sur un écran et il faut appuyer sur {\tt OK} du bandeau pour avoir le ''pas'' suivant.\\ Mais quelquefois, l'écran n'est pas assez grand pour afficher toutes les informations : on le voit gr\^ace à une flèche qui se trouve soit en bas ($\blacktriangledown)$, soit en haut ($\blacktriangle)$ de l'écran. Il faut alors se servir des flèches $\bigtriangledown \triangle$ pour faire dérouler l'écran et voir ainsi ce qui manque.\\ Si on ne veut pas le détail des calculs, il faut choisir le mode {\tt Direct} (en abrégé {\tt D}). \section{\tt Ecriture normale} La calculatrice peut g\'erer des nombres entiers en pr\'ecision infinie, essayez : $$100!$$ \indent Le symbole \ $!$ \ s'obtient en tapant : ${\tt SHIFT\ \times}$\\ L'écriture décimale de $100!$ étant tr\`es longue, on peut voir le r\'esultat gr\^ace \`a la touche {\tt VIEWS}. % commande {\tt View expr.} qui se trouve dans le menu {\tt TOOL}.\\ \subsection{\tt DEF}\index{DEF} Soit l'exercice suivant :\\ Calculer les six premiers nombres de Fermat $F_k=2^{2^k}+1$ pour $k=1..6$ et dire s'ils sont premiers.\\ On tape l'expression $$2^{2^2}+1$$ On trouve 17, puis on lance la commande {\tt ISPRIME?()}\index{ISPRIME?}. Cette commande se trouve dans le menu {\tt Integer} de la touche {\tt MATH}.\\ La r\'eponse est {\tt 1.}, ce qui veut dire {\tt vrai}. Gr\^ace \`a l'historique (touche {\tt HOME}) je recopie l'expression $2^{2^2}+1$ dans l'éditeur d'équations et je la modifie en $$2^{2^3}+1$$ Ou bien, et c'est la meilleure méthode, on définit la fonction {\tt F(K)} à l'aide de {\tt DEF} du menu {\tt ALGB} du bandeau en tapant : $${\tt DEF(F(K)=2^{2^K}+1)}$$ La réponse est ${\tt 2^{2^K}+1}$ et {\tt F} s'inscrit parmi les variables (appuyer sur {\tt VARS} pour le vérifier). \\ Pour $K=5$ on tape : $${\tt F(5)}$$ On obtient : $$4294967297$$ On peut factoriser $F_5 $ avec {\tt FACTOR } que l'on trouve dans le menu :\\ {\tt ALGB} du bandeau.\\ On tape : $${\tt FACTOR( F(5))}$$ On obtient$$641 \cdot 6700417$$ Pour ${\tt F(6)}$ on trouve : $$18446744073709551617$$ On factorise avec {\tt FACTOR}, on trouve : $$274177\cdot67280421310721$$ {\sc Attention} \`a la diff\'erence entre : $$2\ .\ 5 =\frac{5}{2}$$ et$$2\cdot5=10$$ %\item Les commandes arithmétiques communes aux entiers et aux polyn\^omes \section{Les entiers (et les entiers de Gauss)} Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt Integer} de la touche {\tt MATH}.\\ Pour certaines fonctions, on peut utiliser des entiers de Gauss, nom\-bres de la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ entiers, à la place des entiers.\\ \subsection{\tt DIVIS} \index{DIVIS} {\tt DIVIS} donne la liste des diviseurs d'un entier.\\ On tape : $${\tt DIVIS(12) }$$ On obtient :\\ $${\tt 12 \ OR\ 6\ OR\ 3\ OR\ 4\ OR\ 2\ OR\ 1 }$$ %\item Les différentes commandes arithmétiques entières \subsection{\tt EULER}\index{EULER} {\tt EULER} désigne l'indicadrice d'EULER d'un entier. \\ EULER(n) est égale au cardinal de l'ensemble des nombres inférieurs à $n$ et premiers avec $n$. \\ On tape : $${\tt EULER(21)}$$ On obtient : $${\tt 12}$$ En effet l'ensemble :\\ E=\{2,4,5,7,8,10,11,13,15,16,17,19\} correspond aux nombres, plus petits que 21, premiers avec 21, et E a comme cardinal 12. \subsection{\tt FACTOR }\index{FACTOR} {\tt FACTOR} décompose l'entier en produit de facteurs premiers.\\ On tape : $${\tt FACTOR(90) }$$ On obtient : $${\tt 2\cdot3^2\cdot5}$$ \subsection{\tt GCD}\index{GCD} {\tt GCD} désigne le PGCD de deux entiers.\\ On tape : $${\tt GCD(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ En mode pas à pas, on tape : $${\tt GCD(78,24) }$$ On obtient : ${\tt 78\ \bmod \ 24 \ = \ 6}$\\ ${\tt 24\ \bmod \ 6 \ = \ 0}$\\ {\tt Result 6}\\ {\tt ENTER} renvoie {\tt 6} dans l'éditeur d'équations\\ \subsection{\tt IEGCD}\index{IEGCD} {\tt IEGCD(A,B)} désigne le PGCD étendu (identité de Bézout) de deux entiers.\\ {\tt IEGCD(A,B)} renvoie {\tt U AND V = D} avec {\tt U, V, D} vérifiant :\\ {\tt AU+BV=D} et {\tt D=PGCD(A,B)}.\\ On tape : $${\tt IEGCD(48,30) }$$ On obtient : $${\tt 2 \ AND\ -3=6}$$ En effet : $$2 \cdot 48+ (-3) \cdot 30 =6$$ En mode pas à pas on obtient :\\ {\tt z=u*48+v*30}\\ {\tt [48,1,0]}\\ {\tt [30,0,1]*-1}\\ {\tt [18,1,-1]*-1 }\\ {\tt [12,1,-2]*-1}\\ {\tt [6,2,-3]*-2}\\ {\tt Result : [6,2,-3]}\\ puis {\tt ENTER},\\ $${\tt 2 \ AND\ -3=6}$$ s'écrit dans l'éditeur d'équations. \subsection{\tt IQUOT}\index{IQUOT}\label{sec:iquot} {\tt IQUOT} désigne le quotient entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IQUOT(148,5) }$$ On obtient : $${\tt 29}$$ En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école : $$\begin{array}{rcl} 148 & | &\ 5\\ 48 & |&---\\ 3 &| &29 \end{array}$$ {\tt OK} pour exécuter la division au pas à pas, puis {\tt ENTER} et $29$ s'inscrit dans l'éditeur d'équations. \subsection{\tt IREMAINDER MOD}\index{IREMAINDER}\index{MOD} {\tt IREMAINDER} désigne le reste entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ {\tt IREMAINDER} se trouve dans le menu {\tt Integer} et {\tt MOD} se trouve dans le menu {\tt Complex} de la touche {\tt MATH}.\\ On tape : $${\tt IREMAINDER(148,5) }$$ ou $${\tt 148\ MOD\ 5 }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ {\tt IREMAINDER} travaille avec des entiers ou des entiers de Gauss, c'est ce qui le différencie de {\tt MOD}.\\ Exemple : ${\tt IREMAINDER(2+3.i,1+i) }$ renvoie $i$\\ {\tt MOD} accepte des réels ($7.5 \ \bmod \ 2 \ =\ 1.5$) mais pas des entiers de Gauss.\\ Essayer : $${\tt IREMAINDER(148!,5!+2 )}$$ ($!$ s'obtient avec ${\tt SHIFT \ \times}$). En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école, avec l'algorithme dit de la ``potence'' (cf \ref{sec:iquot}). \subsection{\tt ISPRIME?}\index{ISPRIME?} {\tt ISPRIME?(N)} renvoie {\tt 1.} (vrai) si {\tt N} est pseudo-premier et renvoie {\tt 0.} (faux) si {\tt N} n'est pas premier. \\ Définition : Pour les nombres inférieurs à $10^{14}$ \^etre pseudo-premier et premier c'est la m\^eme chose ! ...mais au delà de $10^{14}$ un nombre pseudo-premier est premier avec une probabilité très forte (cf l'algorithme de Rabin section\ref{sec:rabin}).\\ On tape : $${\tt ISPRIME?(13) }$$ On obtient :$${\tt 1.}$$ On tape : $${\tt ISPRIME?(14) }$$ On obtient : $${\tt 0.}$$ \subsection{\tt LCM}\index{LCM} {\tt LCM} désigne le PPCM de deux entiers.\\ On tape : $${\tt LCM(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 90}$$ \subsection{\tt NEXTPRIME}\index{NEXTPRIME} {\tt NEXTPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé après ${\tt N}$. \\ On tape : $${\tt NEXTPRIME(75) }$$ On obtient : $${\tt 79}$$ \subsection{\tt PREVPRIME}\index{PREVPRIME} {\tt PREVPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé avant ${\tt N}$.\\ On tape : $${\tt PREVPRIME(75)}$$ On obtient : $${\tt 73}$$ \section{Le calcul modulaire } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt Modular} de la touche {\tt MATH}.\\ On peut faire des calculs modulo {\tt p} c'est à dire dans $Z/pZ$ ou dans $Z/pZ[X]$.\\ {\sc Attention}, pour certaines commandes il faut choisir un nombre {\tt p} premier.\\ {\sc Dans la suite, les exemples seront tra\^ités avec {\tt p=13}}.\\ On suppose donc que l'on a tapé : $${\tt MODSTO(13)}$$ ou que l'on a changé {\tt MODULO} dans la fen\^etre ouverte avec les touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)}.\\ La représentation choisie est la représentation symétrique (-1 au lieu de 6 modulo 7). \subsection{\tt ADDTMOD}\index{ADDTMOD} {\tt ADDTMOD} réalise une addition dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt ADDTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 6X-2}$$ \subsection{\tt DIVMOD}\index{DIVMOD} Les arguments sont deux polyn\^omes $ A[X]$ et $ B[X]$. Le résultat est la fraction rationnelle $ \frac{A[X]}{B[X]}$ simplifiée dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt DIVMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt \frac{5X+3}{6X+6}} $$ \subsection{\tt EXPANDMOD}\index{EXPANDMOD} {\tt EXPANDMOD} a comme argument une expression polynomiale.\\ {\tt EXPANDMOD} développe cette expression dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt EXPANDMOD(( 2X^2+12).( 5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -(3X^3-5X^2+5X-4)}$$ \subsection{\tt FACTORMOD}\index{FACTORMOD} {\tt FACTORMOD} a comme argument un polyn\^ome.\\ {\tt FACTORMOD} factorise ce polyn\^ome dans $ Z/pZ[X]$ à condition que l'on ait ${\tt p \leq 97}$ et $p$ premier.\\ On tape : $${\tt FACTORMOD(-(3X^3-5X^2+5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -((3X-5)(X^2+6))}$$ \subsection{\tt GCDMOD}\index{GCDMOD} {\tt GCDMOD} a deux polyn\^omes comme arguments.\\ {\tt GCDMOD} calcule le PGCD des deux polyn\^omes dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt GCDMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt -(4X-5)}$$ \subsection{\tt INVMOD}\index{INVMOD} {\tt INVMOD} a comme argument un entier.\\ {\tt INVMOD} calcule l'inverse de cet entier dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt INVMOD(5)}$$ On obtient (car $5\times-5=-25=1\ (\bmod\ 13)$) : $${\tt -5}$$ \subsection{\tt MODSTO}\index{MODSTO} On met dans la variable {\tt MODULO}, la valeur de {\tt p} gr\^ace à la commande {\tt MODSTO}.\\ {\sc Ici, les exemples sont tra\^ités avec {\tt p=13}} qui est la valeur par défaut, sinon on suppose que l'on a tapé : $${\tt MODSTO(13)}$$ \subsection{\tt MULTMOD}\index{MULTMOD} {\tt MULTMOD} réalise une multiplication dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt MULTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt -(3X^2-2X-4)}$$ \subsection{\tt POWMOD}\index{POWMOD} {\tt POWMOD(A,N)} calcule {\tt A} \`a la puissance {\tt N} dans $Z/pZ$, et {\tt POWMOD(A(X),N)} calcule {\tt A(X)} \`a la puissance {\tt N} dans $Z/pZ[X]$.\\ Le contenu ${\tt p}$ de {\tt MODULO} doit \^etre un nombre premier inf\'erieur \`a 100.\\ On tape : $${\tt POWMOD(11,195)}$$ On obtient : $${\tt 5}$$ En effet, $11^12=1 \ \bmod \ 13$ donc $11^195=11^3=5 \ \bmod \ 13$ On tape : $${\tt POWMOD(2X+1,5)}$$ On obtient : $${\tt 6.X^5+2.X^4+2.X^3+X^2-3.X+1}$$ car :\\ $10=-3 \ (\bmod\ 13) \ \ 40=1\ (\bmod\ 13)\ \ 80=2 \ (\bmod\ 13)\ \ 32=6\ (\bmod\ 13)$. \subsection{\tt SUBTMOD}\index{SUBTMOD} {\tt SUBTMOD} réalise une soustraction dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt SUBTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 3X-1}$$ \section{Les rationnels} Essayez : $$\frac{123}{12}+\frac{57}{21}$$ Vous sélectionnez puis {\tt ENTER} la r\'eponse est : $$\frac{363}{28}$$ Si on applique la fonction {\tt XNUM} du menu {\tt REWRITE}, ou si on appuie sur la touche {\tt NUM}, la r\'eponse est : $$12.9642857143$$ Si on m\'elange les deux repr\'esentations par exemple : $$\frac{1}{2}+0\ .\ 5$$ la caculatrice demande \`a passer en mode {\tt approx} pour faire le calcul ; il faut alors r\'epondre {\tt yes} pour obtenir : $$1.$$ Revenez ensuite en mode exact ({\tt CFG} etc...). \subsection{\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC} {\tt PROPFRAC} se trouve dans le menu {\tt Polynom.} de la touche {\tt MATH}.\\ ${\tt PROPFRAC(\frac{A}{ B})}$ écrit la fraction $\frac{A}{B}$ sous la forme :$$Q+\frac{R}{B}\ \ avec \ \ 0\leq R0$, {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome $T_n$ tel que :\\ $$T_n[x]= \cos(n.\arccos(x))$$\\ On a :\\ pour $n \geq 0$ $$T_n(x)=\sum_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}(x^2-1)^kx^{n-2k}$$ pour $n \geq 0$ $$(1-x^2)T_n^{''}(x)-xT_n^{'}(x)+n^2T_n(x)=0$$ pour $n \geq 1$ $$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$ Si $n<0$ {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome de Tchebycheff de seconde espèce :\\ $$T_n[x]=\frac{\sin(n.\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}$$\\ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(4)}$$ On obtient : $${\tt 8.X^4-8.X^2+1}$$ en effet :\\ $\cos( 4.x)=Re((\cos(x)+i.\sin(x))^4)$\\ $\cos( 4.x)=\cos(x)^4-6.\cos(x)^2.(1-\cos(x)^2)+((1-\cos(x)^2)^2$\\ $\cos(4.x)=T_4(\cos(x))$\\ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(-4)}$$ On obtient : $${\tt 8.X^3-4.X}$$ en effet :\\ $\sin(4.x)=\sin(x).(8.\cos(x)^3-4.\cos(x))$. \section{Les fonctions } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt DIFF} du bandeau, sauf {\tt DEF} qui se trouve dans le menu {\tt ALGB}, et {\tt IFTE} qui se trouve dans le menu {\tt Tests} de la touche {\tt MATH}.\\ \subsection{\tt DEF}\index{DEF} {\tt DEF} a comme argument une égalité entre le nom d'une fonction avec des parenthèses contenant le nom de la variable et une expression définissant la fonction.\\ {\tt DEF} définit cette fonction et renvoie l'égalité.\\ On tape : $${\tt DEF(U(N)=2^N+1)}$$ On obtient : $${\tt U(N)=2^N+1}$$ Puis on tape : $${\tt U(3)}$$ On obtient : $${\tt 9}$$ \subsection{\tt IFTE}\index{IFTE} {\tt IFTE} a trois arguments, un boolèen (attention au == pour le test !) et deux expressions $expr1,\ expr2$.\\ {\tt IFTE} évalue le test, renvoie $expr1$ si le test est vrai, et renvoie $expr2$ si le test est faux.\\ On tape : $${\tt STORE(2,N)}$$ $${\tt IFTE(N==0,1,\frac{N+1}{N})}$$ On obtient : $$ {\tt \frac{3}{2}}$$ On peut bien s\^ur définir une fonction à l'aide de {\tt IFTE} par exemple : $${\tt DEF(F(X)=IFTE(X==0,1,\frac{SIN(X)}{X}))}$$ définit la fonction $f$ par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1 &\mbox{si } x=0\\ \displaystyle \frac{\sin(x)}{x}&\mbox{si } x \neq 0 \end{array}\right.$$ \subsection{\tt DERVX}\index{DERVX} Soit $$f(x)=\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1})$$ Calculer la d\'eriv\'ee de $f$.\\ On tape : $${\tt DERVX(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))} $$ ou si on a stock\'e l'expression de $ f(x)$ dans {\tt F} c'est à dire si on a tapé : $${\tt STORE(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}),F)}$$ $${\tt DERVX(F) }$$ ou si on a défini $ F(X)$ à l'aide de {\tt DEF} : $${\tt DEF(F(X)=\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))}$$ $${\tt DERVX(F(X)) }$$ On trouve une expression compliquée que l'on simplifie en faisant :\\ ${\tt ENTER}$.\\ On obtient : $${\tt -\frac {3 \cdot X^2-1}{X^4-2 \cdot X^2+1}} $$ \subsection{\tt DERIV}\index{DERIV} {\tt DERIV} a deux arguments : une expression (ou une fonction) et une variable.\\ {\tt DERIV} renvoie la dérivée de l' expression (ou de la fonction) par rapport à la variable donnée comme deuxième paramètre (utile pour calculer des dérivées partielles!).\\ Exemple : \\ Soit à calculer : $$\frac {\partial (x.y^2.z^3+x.y)}{\partial z}$$ On tape : $${\tt DERIV(X.Y^2.Z^3+X.Y\ ,\ Z)}$$ On obtient : $${\tt 3.X.Y^2.Z^2}$$ \subsection{\tt TABVAR}\index{TABVAR} {\tt TABVAR} a comme paramètre une expression ayant une derivée rationnelle.\\ {\tt TABVAR} renvoie (en mode pas \`a pas) le tableau de variations de l'expression, en fonction de la variable courante.\\ On tape : $${\tt TABVAR(LN(X)+X)} $$ On obtient en mode pas à pas :\\ ${\tt F=:(LN(X)+X)}$\\ ${\tt F'=:(\frac{1}{X}+1}$\\ ${\tt \rightarrow :\frac{X+1}{X}} $\\ {\tt Variation table } :\\ $$\left[\begin{array}{cccccc} -\infty & ? & 0 & + & +\infty & X\\ ? & ? & -\infty & \uparrow & +\infty & F \end{array}\right]$$ \subsection{\tt FOURIER}\index{FOURIER}\label{sec:fourier} {\tt FOURIER} a deux paramètres : une expression $f(x)$ et un entier $n$.\\ {\tt FOURIER} renvoie le coefficient de Fourier $c_n$ de $f(x)$ considérée comme une fonction définie sur $[0,T]$ et périodique de période $T$ ($T$ étant égale au contenu de la variable {\tt PERIOD}).\\ On a si $f$ est continue par morceaux : $$f(x)=\sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^\frac{2inx\pi}{T}$$ Exemple : Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction $f$ périodique de période $2.\pi$ et définie sur $[0\ 2.\pi[$ par $ f(x)=x^2$.\\ On tape : $${\tt STORE(2.\pi\ , \ PERIOD)}$$ $${\tt FOURIER(X^2,N)}$$ On obtient après simplification : $${\tt \frac{2.i.N.\pi+2}{N^2}}$$ Donc si $n \neq 0$ on a : $$c_n=\frac{2.i.N.\pi+2}{N^2}$$ Puis on tape : $${\tt FOURIER(X^2,0)}$$ On obtient : $${\tt \frac{4.{\pi}^2}{3} }$$ Donc si $n= 0$ on a : $$c_0=\frac{4.{\pi}^2}{3}$$ \subsection{\tt IBP}\index{IBP} {\tt IBP} a deux paramètres : une expression de la forme $u(x).v'(x)$ et $v(x)$.\\ {\tt IBP} renvoie le {\tt AND} de $u(x).v(x)$ et de $-v(x).u'(x)$, c'est à dire les termes que l'on doit calculer quand on fait une intégration par parties.\\ Il reste alors à calculer l'intégrale du deuxième terme du {\tt AND}, puis à faire la somme avec le premier terme du {\tt AND} pour obtenir une primitive de $u(x).v'(x)$.\\ On tape : $${\tt IBP(LN(X),X) }$$ On obtient : $${\tt X.LN(X)\ AND \ -1}$$ On termine l'intégration en appelant {\tt INTVX} :\\ {\tt INTVX(X.LN(X) AND -1)}\\ on obtient alors : $${\tt X\cdot LN(X)-X}$$ Remarque : Si le premier paramètre de {\tt IBP} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt IBP} n'agit que sur le dernier élément de {\tt AND} et ajoute le terme intégré au premier élément de {\tt AND} (de façon à pouvoir faire plusieurs {\tt IBP} à la suite). \subsection{\tt INTVX}\index{INTVX} Exercice 1\\ Calculer une primitive de $\sin(x) \times \cos(x)$.\\ On tape : $${\tt INTVX(SIN(X).COS(X))}$$ On obtient en pas à pas :\\ {\tt COS(X). SIN(X)\\ Int[u'*F(u)] with u=SIN(X)}\\ puis {\tt OK} et le résultat s'inscrit dans l'éditeur d'équations : $${\tt \frac{SIN(X)^2}{2}}$$ Exercice 2\\ Soit $$f(x)=\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1})$$ Calculer une primitive de f.\\ On tape : $${\tt INTVX(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))} $$ ou si on a stock\'e l'expression de $ f(x)$ dans {\tt F} $${\tt INTVX(F)} $$ ou si on a défini $ F(X)$ à l'aide de {\tt DEF} ($ {\tt DEF(F(X)=\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1})}$) $${\tt INTVX(F(X)) }$$ On trouve : $$ {\tt X \cdot LN(\frac {X+1}{X-1})+ \frac{3}{2} \cdot LN(|X-1|)+\frac{3}{2} \cdot LN(|X+1|)} $$ Exercice 3\\ Calculer : $$\int \frac {2}{x^6+2 \cdot x^4+x^2} \ dx $$ On tape : $${\tt INTVX(\frac {2}{X^6+2 \cdot X^4+X^2})}$$ On trouve : $${\tt -3 \cdot ATAN(X)-\frac {2}{X}-\frac {X}{X^2+1}} $$ Remarque :\\ On peut aussi taper : $${\tt \int_1^X \frac {2}{X^6+2 \cdot X^4+X^2} \ dX} $$ qui donne le m\^eme résultat plus une constante égale à : $${\tt \frac{3.\pi+10}{4}}$$ Exercice 4\\ Calculer : $$\int \frac {1}{\sin(x)+\sin(2 \cdot x )} \ dx $$ On tape : $${\tt INTVX(\frac {1}{SIN(X)+SIN(2 \cdot X )})}$$ On trouve : $${\tt \frac {1}{6}\cdot LN(|COS(X)-1|)+\frac {1}{2}\cdot LN(|COS(X)+1|)+}$$ $${\tt \frac {-2}{3} \cdot LN(|2\cdot COS(X)+1|)} $$ Remarque : si le paramètre de {\tt INTVX} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt INTVX} n'agit que sur le deuxième élément du {\tt AND}. \subsection{\tt LIMIT}\index{LIMIT} Trouver pour $n>2$, la limite quand $x$ tend vers 0 de : $$ \frac{n\times \tan(x)-\tan(n\times x)}{\sin(n\times x)-n\times \sin(x)}$$ On utilise la commande {\tt LIMIT}.\\ On tape : $${\tt LIMIT \left( \frac{N \cdot TAN(X)-TAN(N \cdot X)}{SIN(N \cdot X)-N \cdot SIN(X)}, 0 \right)}$$ On obtient : $${\tt 2 }$$ {\sc Attention}!!!\\ Pour trouver une limite quand $x$ tend vers $a^+$ (resp $a^-$), le deuxi\`eme argument s'\'ecrit :\\ ${\tt X=A+0}$ (resp ${\tt X=A-0}$), voir aussi \ref{sec:limit}.\\ Trouver la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de : $$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}-\sqrt x$$ On tape : $${\tt LIMIT (\sqrt{X+\sqrt{X+\sqrt{X}}}-\sqrt{X}, +\infty)} $$ On obtient au bout d'un moment : $$\frac{1}{2}$$ {\sc Attention}!!!\\ $\infty$ peut s'obtenir gr\^ace au raccourci clavier : {\tt SHIFT 0}\\ ${\tt {-\infty}}$ s'obtient alors en tapant : $${\tt (-)\ \infty}$$ ${\tt {+\infty}}$ s'obtient alors en tapant : $${\tt (-) \ (-)\ \infty}$$ On trouve aussi ${\tt \infty}$ dans le menu {\tt Constant} de la touche {\tt MATH}. \subsection{\tt LIMIT et $\int$}\index{LIMIT} D\'eterminer la limite quand $a$ tend vers plus l'infini de : $$ \int _2^a (\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1}))\ dx$$ On tape dans l'éditeur d'équations : $${\tt \int _2^{+\infty} (\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))\ dX} $$ {\sc Attention}, ${\tt {+\infty}}$ s'obtient en tapant : $${\tt {(-) \ (-) \ \infty}\ (SHIFT\ 0)\ }$$ On obtient : $${\tt +\infty-\frac{7.LN(3)}{2} }$$ et après simplification : $$+\infty$$ \subsection{\tt PREVAL}\index{PREVAL} {\tt PREVAL} a trois paramètres : une expression {\tt F(VX)} dépendant de la variable contenue dans {\tt VX} et deux expressions {\tt A} et {\tt B}.\\ {\tt PREVAL(F(X,A,B)} renvoie {\tt F(B)-F(A)}.\\ {\tt PREVAL} est utile pour calculer une intégrale définie à partir d'une primitive : on évalue cette primitive entre les deux bornes de l'intégrale.\\ On tape :\\ $${\tt PREVAL(X^2+X,2,3)} $$ On obtient :\\ $$12-6$$ \subsection{\tt RISCH}\index{RISCH} {\tt RISCH} a deux paramètres : une expression et un nom de variable.\\ {\tt RISCH} renvoie une primitive du premier paramètre par rapport à la variable spécifiée en deuxième paramètre.\\ On tape : $${\tt RISCH((2.X^2+1).EXP(X^2+1),X) }$$ On obtient : $${\tt X.EXP(X^2+1)}$$ Remarque : si le paramètre de {\tt RISCH} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt RISCH} n'agit que sur le deuxième élément du {\tt AND}. \section{Développements limit\'es et asymptotiques } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt DIFF} du bandeau.\\ Il est d'usage d'écrire les développements selon les puissances croissantes de la variable, on fera donc le choix ${\tt 1+x+x^2...}$ dans {\tt CFG}. \subsection{\tt DIVPC}\index{DIVPC} {\tt DIVPC} a trois arguments : deux polyn\^omes ${\tt A(X),\ B(X)}$ (avec\\ ${\tt B(0) \neq 0}$) et un entier ${\tt n}$.\\ {\tt DIVPC} renvoie le quotient ${\tt Q(X)}$ de la division de ${\tt A(X)}$ par ${\tt B(X)}$ selon les puissances croissantes avec deg${\tt (Q )\leq n}$ ou ${\tt Q=0}$. \\ $Q[X]$ est donc le d\'eveloppement limit\'e d'ordre $n$ de $\frac{A[X]}{B[X]}$ au voisinage de $X=0$. \\ On tape : $${\tt DIVPC(1+X^2+X^3,1+X^2,5)}$$ On obtient : $${\tt 1+X^3-X^5}$$ {\sc Attention} : la machine demande à passer en ``puissances croissantes'', r\'epondre {\tt yes}. \subsection{\tt LIMIT}\index{LIMIT}\label{sec:limit} {\tt LIMIT} a comme arguments une expression dépendant d'une variable et une égalité (variable = la valeur o\`u l'on veut calculer la limite).\\ Le nom de la variable peut \^etre omis quand il s'agit de la variable courante (celle dont le nom se trouve dans {\tt VX}).\\ Il est souvent préférable d'écrire l'expression quotée :\\ {\tt QUOTE(expression)}\index{QUOTE}, pour éviter une réécriture de cette expression sous forme normale (pour ne pas avoir une simplification rationnelle des arguments) avant l'exécution de la commande {\tt LIMIT}.\\ On tape par exemple : $${\tt LIMIT(QUOTE((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1})),X=+\infty)}$$ On obtient : $$+\infty$$ Pour calculer une limite \`a droite (resp une limite \`a gauche) on tape par exemple : $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},QUOTE(1+0))}$$ On obtient si {\tt X} est la variable courante : $$+\infty$$ $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},QUOTE(1-0))}$$ On obtient si {\tt X} est la variable courante : $$-\infty$$ Il n'est pas n\`ecessaire de quoter le deuxi\`eme argument quand il est \'ecrit avec le signe {\tt =} par exemple :\\ $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},X=1+0)}$$ On obtient : $$+\infty$$ \subsection{\tt SERIES}\index{SERIES} \begin{itemize} \item développement au voisinage de {\tt x=a}\\ Exemple :\\ Donner un développement limit\'e \`a l'ordre 4 au voisinage de $x=\frac{\pi}{6}$ de $\cos(2\times x)^2$.\\ On utilise la commande {\tt SERIES}.\\ On tape : $${\tt SERIES( COS(2 \cdot X)^2 , X=\frac{\pi}{6} , 4 )}$$ On obtient : $${\tt \ (\frac{1}{4}-\sqrt 3 h+2h^2+\frac {8 \sqrt {3}}{3}h^3- \frac {8}{3}h^4 )|_{\ \displaystyle h=X- \frac{ \pi}{6}}}$$ \item développement au voisinage de {\tt x=+$\infty$} ou {\tt x=-$\infty$}\\ Exemple 1 :\\ Donner un développement de $\arctan(x)$ à l'ordre 5 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES(ATAN(X),X=+\infty,5)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{\pi}{2}-h+\frac{h^3}{3}-\frac{h^5}{5})|_{\ \displaystyle h=\frac{1}{X}}}$$ Exemple 2 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1}$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=+\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{2+h+2h^2+\frac{17h^3}{6}}{h})|_{\ \displaystyle h=\frac{1}{X}}}$$ Exemple 3 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1})$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=-$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=-\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=-\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{-2+h-2h^2+\frac{17h^3}{6}}{h})|_{\displaystyle h=-\frac{1}{X}}}$$ \item développement unidirectionnel\\ Il faut utiliser pour l'ordre un réel positif (par exemple 4.) pour faire un développement au voisinage de $x=a$ avec $ \ x>a$ et un réel négatif (par exemple -4.) pour faire un développement au voisinage de $x=a$ avec $ \ xP:\end{verbatim} {\tt {\ } WHILE P*P $\leq $ N AND L1(P) == 0 REPEAT}\begin{verbatim} P+1->P: END: END: {2}->L2: @ on sait que 2 est premier FOR I=3 TO N STEP 1;\end{verbatim} {\tt {\ }IF L1(I) $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} CONCAT(L2,{I}) ->L2: END: END: DISP 3 ;"PREM" L2: FREEZE: \end{verbatim} \chapter{Programmes d'arithmétique} \section{Le PGCD et l'algorithme d'Euclide} Soient $A$ et $B$ deux entiers positifs dont on cherche le $PGCD$.\\ L'algorithme d'Euclide est basé sur la définition récursive du $PGCD$ : \begin{eqnarray*} PGCD(A,0) & = & A \\ PGCD(A,B) & = & PGCD(B,A \ \bmod \ B) \ si \ B \neq 0 \end{eqnarray*} o\`u $A\ \bmod \ B$ désigne le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.\\ Voici la description de cet algorithme :\\ on effectue des divisions euclidiennes successives : \begin{eqnarray*} A=& B \times Q_1+R_1 & 0 \leq R_1 < B \\ B=& R_1 \times Q_2+R_2 & 0 \leq R_2 < R_1 \\ R_1=& R_2 \times Q_3+R_3 & 0 \leq R_3 < R_2 \\ ....... \end{eqnarray*} Après un nombre fini d'étapes, il existe un entier n tel que : $R_n = 0.$ \\ on a alors :\\ $PGCD(A,B)= PGCD(B,R_1) =...$\\ $PGCD(R_{n-1},R_n) = PGCD(R_{n-1},0) = R_{n-1}$ \subsection{Traduction algorithmique} -Version itérative\\ Si B $\neq$ 0 on calcule R=A mod B, puis avec B dans le r\^ole de A (en mettant B dans A ) et R dans le r\^ole de B ( en mettant R dans B) on recommence jusqu'à ce que B=0, le PGCD est alors A. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B) Local R\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R B->A R->B ftantque résultat A ffonction \end{verbatim} -Version récursive\\ On écrit simplement la définition récursive vue plus haut. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B)\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 alors}\begin{verbatim} résultat PGCD(B,A mod B) sinon résultat A fsi ffonction\end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} -Version itérative pour deux entiers\\ On écrit tout d'abord le sous-programme IN qui permet d'entrer deux nombres A et B : \begin{verbatim} INPUT A;"A";;;1: INPUT B;"B";;;1: ERASE:\end{verbatim} puis on écrit le programme PGCD : %HP38AscD 5 LGCD1 \begin{verbatim}RUN IN: DISP 3;"PGCD "{A,B}:\end{verbatim} {\tt WHILE B $\neq$ 0 REPEAT } \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: END: DISP 4;"PGCD "A: FREEZE:\end{verbatim} -Version récursive pour deux entiers A et B\\ Avec la HP40G on ne peut pas écrire des programmes récursifs...mais on peut écrire le programme PGCDR: %HP38AscD 5 PGCDR \begin{verbatim}DISP 3;"PGCD "{A,B}: FREEZE:\end{verbatim} {\tt IF B $\neq$ 0 THEN} \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: PGCDR: ELSE DISP 3;"PGCD "A: FREEZE: END:\end{verbatim} On stocke tout d'abord les valeurs dans A et B.\\ Le programme PGCDR affiche le PGCD qu'il est en train de calculer.\\ L'appel récursif PGCDR renvoie au programme PGCDR qu'il faut faire exécuter en appuyant sur \verb|RUN| du bandeau.\\ Le programme PGCDR affiche ainsi les PGCD intermédiaires calculés.\\ On peut aussi remplacer {\tt PGCDR} dans le programme précédent par {\tt RUN PGCDR}, pour ne pas avoir à appuyer sur \verb|RUN| du bandeau, et supprimer les affichages intermédiaires, pour utiliser ce programme dans un programme effectuant les entrées et les sorties :\\ le programme récursif {\tt PGCDR} devient le programme récursif {\tt PR} :\\ {\tt IF B $\neq$ 0 THEN} \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: RUN PR: END:\end{verbatim} On ins\`ere le programme {\tt PR} dans un programme effectuant les entrées et les sorties : \begin{verbatim} PROMPT A: PROMPT B: RUN PR: ERASE: MSGBOX A: \end{verbatim} -Version itérative pour deux complexes\\ Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt PGCD} (ou {\tt PR}) peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R} par {\tt Z1, Z2, Z3} et de changer le test d'arr\^et.\\ Voici la version itérative : \begin{verbatim}PROMPT Z1: PROMPT Z2: DISP 3;"PGCD "{Z1,Z2}:\end{verbatim} {\tt WHILE ABS(Z2) $\neq$ 0 REPEAT } \begin{verbatim}XNUM(IREMAINDER(XQ(Z1),XQ(Z2)) ->Z3: Z2 ->Z1: Z3 ->Z2: END: DISP 4;"PGCD "Z1: FREEZE:\end{verbatim} -Version itérative pour deux polyn\^omes\\ Les variables {\tt E1, E2,...} permettent de stocker des expressions, c'est ce qu'il nous faut pour y mettre des polyn\^omes !!! Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt REMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt PGCD} (ou {\tt PR}) peut alors avoir comme paramètres des polyn\^omes\ à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R} par {\tt E1, E2, E3} et de changer le test d'arr\^et. \begin{verbatim} PROMPT E1: PROMPT E2:\end{verbatim} {\tt WHILE DEGREE(E2) $\neq$ -1 REPEAT } \begin{verbatim}REMAINDER(E1,E2) ->E3: E2 ->E1: E3 ->E2: END: DISP 4;"PGCD "E1: FREEZE:\end{verbatim} Vous entrez par exemple :\\ ${\tt E1=S1^2-1}$ et ${\tt E2=S1^2-2*S1+1}$ pour trouver le PGCD égal à {\tt 2*S1-2}. \section{Identité de Bézout} Dans ce paragraphe la fonction Bezout(A,B) renvoie la liste :\\ $\{U, V, PGCD(A,B)\}$ o\`u $U$ et $V$ vérifient :\\ $ A \times U + B \times V = PGCD(A,B). $ \subsection{Version it\'erative sans les listes} L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple $U$ et $V$ vérifiant :\\ $ A \times U + B \times V= PGCD(A,B) $\\ En effet, si on note $ A_0$ et$ B_0 $ les valeurs de $A$ et de $B$ du début on a : \begin{eqnarray*} A & =A_0 \times U+B_0 \times V \ \mbox{ avec }\ U=1 \ \mbox{ et }\ V=0 \\ B & =A_0 \times W+B_0 \times X \ \mbox{ avec }\ W=0 \ \mbox{ et } \ X=1 \end{eqnarray*} Puis on fait évoluer $A,\ B,\ U,\ V,\ W,\ X$ de façon que les deux relations ci-dessus soient toujours vérifiées.\\ Si :\\ $ A=B \times Q+R \ \ \ 0 \leq R < B \ \ ( R = A \ mod \ B \ et \ Q = E(A / B )) $\\ On écrit alors : \begin{eqnarray*} R=A-B \times Q=A_0 \times (U-W \times Q)+B_0 \times (V-X \times Q)=\\ A_0 \times S+B_0 \times T \ \mbox{ avec } \ S=U-W \times Q \ \mbox{ et } \ T=V-X \times Q \end{eqnarray*} Il reste alors à recommencer avec :\\ $B$ dans le r\^ole de $A$ ({\tt B->A\ W->U \ X->V}) et,\\ $R$ dans le r\^ole de $B$ ({\tt R->B \ S->W \ T->X} )\\ d'o\`u l'algorithme : \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local U,V,W,X,S,T,Q,R 1->U 0->V 0->W 1->X\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R E(A/B)->Q //R=A-B*Q U-W*Q->S V-X*Q->T B->A W->U X->V R->B S->W T->X ftantque résultat {U, V, A} ffonction \end{verbatim} \subsection{Version it\'erative avec les listes} On peut simplifier l'écriture de l'algorithme ci-dessus en utilisant moins de variables : pour cela on utilise des listes LA LB LR pour mémoriser les triplets \{U, V, A\} \{W, X, B\} et \{S, T, R\}. Ceci est très commode car les calculatrices savent ajouter des listes de m\^eme longueur (en ajoutant les éléments de m\^eme indice) et savent aussi multiplier une liste par un nombre (en multipliant chacun des éléments de la liste par ce nombre).\\ \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LA LB LR {1, 0, A}->LA {0, 1, B}->LB\end{verbatim} {\tt tant que LB[3] $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} LA-LB*E(LA[3]/LB[3])->LR LB->LA LR->LB ftantque résultat LA ffonction \end{verbatim} \subsection{Version récursive avec les listes} On peut définir récursivement la fonction Bezout par: $ Bezout(A,0)=\{1,\ 0,\ A\} $ Si $ B \neq 0 $ il faut définir $ Bezout(A,B)$ en fonction de $ Bezout(B,R)$ lorsque $ R=A-B \times Q \ \mbox{ et } \ Q=E(A/B).$ On a: \begin{eqnarray*} Bezout(B,R)=LT=\{W, X, pgcd(B,R)\} \\ \mbox{ avec }\ W \times B+X \times R=pgcd(B,R) \end{eqnarray*} Donc: \begin{eqnarray*} W \times B+X \times (A-B \times Q) & = & pgcd(B,R) \ \mbox{ ou encore} \\ X \times A+(W-X \times Q) \times B & = & pgcd(A,B). \end{eqnarray*} D'o\`u si $B \neq 0$ et si $ Bezout(B,R)=LT$ on a : $ Bezout(A,B)=\{LT[2],\ LT[1]-LT[2] \times Q,\ LT[3]\}.$\\ \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LT Q R\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} E(A/B)->Q A-B*Q->R Bezout(B,R)->LT Résultat {LT[2], LT[1]-LT[2]*Q, LT[3]} sinon Résultat {1, 0, A} fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Version récursive sans les listes}\label{sec:recsl} Si on utilise des variables globales pour {\tt A B D U V T}, on peut voir la fonction {\tt Bezour} comme calculant à partir de {\tt A B}, des valeurs qu'elle met dans {\tt U V D (AU+BV=D)} gr\^ace à une variable locale {\tt Q}.\\ On \'ecrit donc une fonction sans param\`etre : seule la variable {\tt Q} doit \^etre locale \`a la foncton alors que les autres variables {\tt A, B ...} peuvent \^etre globales.\\ {\tt Bezour} fabrique {\tt U, V, D} v\'erifiant {\tt A*U+B*V=D} \`a partir de {\tt A} et {\tt B}. Avant l'appel r\'ecursif (on pr\'es\'erve {\tt E(A/B)=Q} et on met {\tt A} et {\tt B} \`a jour ( nouvelles valeurs), apr\`es l'appel les variables {\tt U, V, D} v\'erifient {\tt A*U+B*V=D} (avec {\tt A} et {\tt B} les nouvelles valeurs), il suffit alors de revenir aux premi\`eres valeurs de {\tt A} et {\tt B} en \'ecrivant : {\tt B*U+(A-B*Q)*V=A*V+B*(U-V*Q)}\\ On écrit alors : \begin{verbatim} Programme Bezour local Q \end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} E(A/B)->Q A-B*Q->T B->A T->B Bezour U-V*Q->T V->U T->V sinon 1->U 0->V A->D fsi \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} \noindent-Version itérative avec les listes On utilise ici aussi le programme IN qui permet de rentrer deux entiers A et B : \begin{verbatim}INPUT A;"A";;;1: INPUT B;"B";;;1: ERASE:\end{verbatim} Puis on tape le programme BEZOUT :\\ \begin{verbatim} RUN IN: DISP 3;"BEZOUT "{A,B}: {1,0,A} ->L1: {0,1,B} ->L2:\end{verbatim} {\tt WHILE L2(3) $\neq$ 0 REPEAT} \begin{verbatim}L1-L2*FLOOR(L1(3)/L2(3)) ->L3: L2 ->L1: L3 ->L2: END: DISP 4;"U V PGCD "L1: FREEZE: \end{verbatim} -Version récursive sans les listes\\ On écrit le programme {\tt BEZOUR}, gr\^ace aux commandes ( Merci Bernard!!!):\\ {\tt PUSH}\index{PUSH} ({\tt PUSH(A)} pour mettre le contenu de {\tt A} dans l'historique du {\tt CAS})\\ et {\tt POP}\index{POP} (pour récupérer les valeurs mises dans l'historique du {\tt CAS})\\ {\tt PUSH} et {\tt POP} permettent de simuler la variable locale {\tt Q} On a remplac\'e dans la traduction (cf \ref{sec:recsl}) les variables {\tt R} et {\tt W} par la variable temporaire {\tt T}.\\ \noindent{\tt PROGRAM BEZOUR}\\ {\tt IF B $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} PUSH (FLOOR(A/B)): A MOD B->T: B->A: T->B: RUN BEZOUR: U-V*POP->T: V->U: T->V: ELSE 1->U: 0->V: A->D: END: \end{verbatim} {\tt PUSH (FLOOR(A/B))} a pour effet de mettre les différentes valeurs de {\tt FLOOR(A/B)} sur une pile, et {\tt POP} de les récuperer.\\ {\tt T} est une variable auxillaire.\\ {\tt BEZOUR} prend comme entrée les valeurs des variables globales {\tt A} et {\tt B} et remplit les variables globales {\tt U} et {\tt V} de façon que :\\ ${\tt A\cdot U+B\cdot V=PGCD(A,B)}$. \\ On écrit ensuite le programme final {\tt BEZOURT} permettant l'entrée de {\tt A} et {\tt B} et la sortie de {\tt \{U, V, D\}}.\\ \noindent{\tt PROGRAM BEZOURT} \begin{verbatim} PROMPT A: PROMPT B: RUN BEZOUR: ERASE: MSGBOX {U,V,D}: \end{verbatim} \noindent{\sc Remarque} :\\ Si on utilise la fonction de calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} et {\tt IQUOT(A,B)} à la place de {\tt FLOOR(A/B)} dans les programmes précédents, {\tt BEZOUT} ou {\tt BEZOUR} peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R...} par {\tt Z1, Z2, Z3...}.\\ {\sc Remarque} :\\ Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt REMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt BEZOUT} (ou {\tt BEZOUR}) peut alors avoir comme paramètres des polyn\^omes\ à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R...} par {\tt E1, E2, E3...} et de changer le test d'arr\^et. \section{D\'ecomposition en facteurs premiers} \subsection{Les algorithmes et leurs traductions} - Premier algorithme\\ Soit $N$ un entier.\\ On teste, pour tous les nombres $D$ de 2 à $N$, la divisibilité de $N$ par $D$.\\ Si $D$ divise $N$, on cherche alors les diviseurs de $N/D$ etc...$N/D$ joue le r\^ole de $N$ et on s'arr\^ete quand $N=1$ \\ On met les diviseurs trouvés dans la liste FACT. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que N $\neq$ 1 faire} \begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D -> N sinon D+1 -> D fsi ftantque résultat FACT ffonction \end{verbatim} - Première amélioration\\ On ne teste que les diviseurs D entre 2 et $E(\sqrt N)$.\\ En effet si $N=D1*D2$ alors on a :\\ soit $D1 \leq E(\sqrt N)$, soit $D2 \leq E(\sqrt N)$ car sinon on aurait :\\ $D1*D2 \geq (E(\sqrt N)+1)^2 >N$. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D-> N sinon D+1 -> D fsi ftantque FACT + N -> FACT résultat FACT ffonction \end{verbatim} - Deuxième amélioration\\ On cherche si 2 divise N, puis on teste les diviseurs impairs D entre 3 et $E(\sqrt N).$\\ Dans la liste FACT, on fait suivre chaque diviseur par son exposant :\\ decomp(12)=\{2,2,3,1\}. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local K D FACT {}->FACT 0 -> K tant que N mod 2 = 0 faire K+1 -> K N/2 -> N ftantque\end{verbatim} {\tt si K $\neq$0 alors} \begin{verbatim} FACT + {2 K} -> FACT fsi 3 ->D \end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} 0 -> K tant que N mod D = 0 faire K+1 -> K N/D -> N ftantque\end{verbatim} {\tt \ \ si K $\neq$0 alors} \begin{verbatim} FACT + {D K} -> FACT fsi D+2 -> D ftantque\end{verbatim} {\tt si N $ \neq 1$ alors} \begin{verbatim}FACT + {N 1} -> FACT fsi résultat FACT ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} On traduit le dernier algorithme.\\ La {\tt HP40G} ne connait pas la liste \{\}, donc pour initialiser L1 avec la liste vide on écrit : {\tt SYSEVAL 259589}.\\ Voici le programme FACTPREM : \begin{verbatim} INPUT N;"N";;;1: ERASE: 0 ->K: SYSEVAL 259589: WHILE N MOD 2 == 0 REPEAT 1+K -> K: N/2 -> N: END:\end{verbatim} {\tt IF K $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} {2,K} ->L1: END: 3 ->D:\end{verbatim} {\tt WHILE D*D $\leq$ N REPEAT}\begin{verbatim} 0 -> K: WHILE N MOD D == 0 REPEAT K+1 -> K: N/D -> N: END:\end{verbatim} {\tt IF K $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} CONCAT (L1,{D,K}) -> L1: END: 2+D -> D: END:\end{verbatim} {\tt IF N $\neq$ 1 THEN}\begin{verbatim} CONCAT (L1, {N,1}) -> L1: END: DISP 3; "FACT" L1: FREEZE: \end{verbatim} \section{Calcul de $ A^P \ mod\ N$}\label{sec:puimod} \subsection{Traduction Algorithmique} -Premier algorithme\\ On utilise deux variables locales PUIS et I.\\ On fait un programme itératif de façon qu'à chaque étape PUIS représente $A^I \ (\bmod \ N)$. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUIS, I 1->PUIS pour I de 1 a P faire A*PUIS mod N ->PUIS fpour resultat PUIS ffonction \end{verbatim} -Deuxième algorithme\\ On utilise une seule variable locale PUI mais on fait varier P de façon qu'à chaque étape de l'itération on ait :\\ $ resultat= PUI * A^P \ (\bmod \ N) $ \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire A*PUI mod N ->PUI P-1->P ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} -Troisième algorithme\\ On peut aisément modifier ce programme en remarquant que :\\ $A^{2*P} = (A*A)^P $.\\ Donc quand P est pair on a la relation :\\ $PUI*A^P = PUI*(A*A)^{P/2} \ (\bmod \ N)$\\ et quand P est impair on a la relation :\\ $PUI*A^P = PUI*A*A^{P-1}\ (\bmod \ N)$.\\ On obtient alors un algorithme rapide de $ A^P \ (\bmod \ N) $. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =0 alors P/2->P A*A mod N->A sinon A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} On peut remarquer que si P est impair, P-1 est pair.\\ On peut donc écrire : \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =1 alors A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi P/2->P A*A mod N->A ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} Le calcul de $A^p \bmod N$ est utilisé dans le programme de la méthode probabiliste de Mr Rabin. On se reportera donc à ce sous-programme pour la traduction (cf \ref{sec:rabin}).\\ \section{La fonction ``estpremier''} \subsection{Traduction Algorithmique} - Premier algorithme On va écrire un fonction booléenne de paramètre N, qui sera égale à VRAI quand N est premier et à FAUX sinon. Pour cela, on cherche si N posséde un diviseur $\neq$ 1 et $\leq$ à $ E(\sqrt{N})$ (partie entière de racine de N). On traite le cas N=1 à part! On utilise une variable booléenne PREM, qui est au départ à VRAI, et qui passe à FAUX d\`es que l'on rencontre un diviseur de N. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J}$ \begin{verbatim}Si N = 1 alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 2->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+1->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} - Première amélioration On peut remarquer que l'on peut tester si N est pair, et sinon regarder si N possède un diviseur impair. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J} $\\ {\tt Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) et (N$\neq$2) alors}\begin{verbatim} FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 3->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+2->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} - Deuxième amélioration On regarde si N est divisible par 2 ou par 3, sinon on regarde si N posséde un diviseur de la forme $6 \times k-1 $ ou $6 \times k+1 $. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J}$ \begin{verbatim}Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) ou ( N mod 3 = 0) alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi si N=2 ou N=3 alors VRAI->PREM fsi 5->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si (N mod I = 0) ou (N mod I+2 =0) alors FAUX->PREM sinon I+6->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} \begin{verbatim}INPUT N;"N";;;1: IF N MOD 2== 0 OR N MOD 3==0 OR N==1 THEN 0 ->P: ELSE 1->P: END: IF N==2 OR N==3 THEN 1->P: END: 5->I:\end{verbatim} ${\tt FLOOR(\sqrt {N})->J:}$\\ {\tt WHILE I $\leq$ J AND P REPEAT}\begin{verbatim} IF N MOD I==0 OR N MOD I+2==0 THEN 0 ->P: ELSE I+6 ->I: END: END: ERASE: DISP 5;P: FREEZE: \end{verbatim} \section{Méthode probabiliste de Mr Rabin}\label{sec:rabin} Si $N$ est premier alors tous les nombres $K$ strictement inf\'erieurs \`a $N$ sont premiers avec $N$, donc d'apr\`es le petit th\'eor\`eme de Fermat on a : $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ Si $N$ n'est pas premier, les entiers $K$ vérifiant: $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ sont tr\`es peu nombreux.\\ Plus pr\'ecisement on peut montrer que si $ N>4 $, la probabilit\'e d'obtenir un tel nombre $K$ est inf\'erieure \`a 0.25.\\ Un nombre $N$ vérifiant $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de $K$ est un nombre pseudo-premier. La m\'ethode probabiliste de Rabin consiste \`a tirer au hasard un nombre $K$ ($1< K < N $) et à calculer : $ K^{N-1} \ (\bmod\ N)$ Si $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ on refait un autre tirage et si $ K^{N-1} \neq 1 \ (\bmod\ N)$ on est s\^ur que $N$ n'est pas premier. Si on obtient $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de $K$ on peut conclure que $N$ est premier avec une probabilit\'e d'erreur tr\`es faible inf\'erieure \`a $0.25^{20}$ soit de l'ordre de $10^{-12}$. Bien s\^ur cette m\'ethode est employée pour savoir si de grands nombres sont pseudo-premiers. \subsection{Traduction Algorithmique} On suppose que : {\tt Hasard(N)} donne un nombre entier au hasard entre 0 et $N-1$. Le calcul de : $ K^{N-1} \bmod\ N$ se fait gr\^ace \`a l'algorithme de la puissance rapide (cf page \pageref{sec:puimod}). On notera : {\tt puismod(K, P, N)} la fonction qui calcule $ {\tt K^P \bmod\ N}$ \begin{verbatim} Fonction estprem(N) local K, I, P 1->I 1->P Tant que P = 1 et I < 20 faire hasard(N-2)+2->K puismod(K, N-1, N)->P I+1->I ftantque Si P =1 alors resultat VRAI sinon resultat FAUX fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40G} \begin{verbatim} PROMPT N: RANDSEED TIME: 1->I: 1->P: WHILE I < 20 AND P==1 REPEAT FLOOR( RANDOM * (N-2))+2->K: N-1->M: @ Calcul de K puissance M mod N dans P. 1->P: WHILE 0 < M REPEAT IF M MOD 2 == 0 THEN M / 2 -> M : (K * K) MOD N ->K : ELSE K*P MOD N -> P: M - 1 -> M: END: END: @ P contient K puissance M mod N et M=N-1. I+1 ->I: END: ERASE: IF P==1 THEN DISP 3;"PREMIER " N: ELSE DISP 3;"NON PREMIER " N: END: FREEZE:\end{verbatim} {\sc Remarque} : \\ On peut aussi utiliser la fonction de calcul formel {\tt POWMOD} et on écrit alors :\\ {\tt MODSTO(N):\\ POWMOD(K,N-1) STO$\triangleright$ P:}\\ à la place des instructions comprises entre les @ on obtient :\\ \begin{verbatim} PROMPT N: RANDSEED TIME: 1->I: 1->P: WHILE I < 20 AND P==1 REPEAT FLOOR( RANDOM * (N-2))+2->K: MODSTO(N): POWMOD(K,N-1) STO$\triangleright$ P: I+1 ->I: END: ERASE: IF P==1 THEN DISP 3;"PREMIER " N: ELSE DISP 3;"NON PREMIER " N: END: FREEZE:\end{verbatim} \chapter{GNU Free Documentation License} \label{fdl} {\tiny \tt Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. 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If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: * A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. * B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). * C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. * D. Preserve all the copyright notices of the Document. * E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. * F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. * G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. * H. Include an unaltered copy of this License. * I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. * J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. * K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. * L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. * M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. * N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page: Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections" instead of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of "Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts. If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software. } \twocolumn %\newpage \printindex %\newpage \twocolumn \tableofcontents \end{document}