\documentclass{article}
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\begin{document}
\title{Les isom\'etries}
\maketitle
\section{Les commandes utiles}
\subsection{Avec {\tt MuPAD}}
\subsection{Avec la {\tt HP49G}}
{\tt ISOM} a comme argument $M$ une matrice orthogonale carr\'ee d'ordre 2 
ou 3 et  renvoie les \'elements caract\'eristiques de l'isom\'etrie de matrice 
$M$. \\
 {\tt MKISOM} a comme argument les \'elements caract\'eristiques d'une 
isom\'etrie de $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$ et renvoie $M$ une matrice orthogonale carr\'ee d'ordre 2 ou 3  representant cette isom\'etrie.

\section{Rappel du cours}
Notations :\\
$E$ d\'esigne un espace euclidien de dimension $n \geq 1$\\
$f$ d\'esigne un endomorphisme de $E$
$<u,v> $  d\'esigne le produit scalaire des vecteurs $u$ et $v$ de $E$.\\
$||u||^2=<u,u>$\\
D\'efinitions \\
On dit qu'un endomorphisme $f$ de $E$ est orthogonal ou encore est une 
isom\'etrie si $f$ conserve le produit scalaire, c'est \`a dire si on a :\\
 $<f(u),f(v)>=<u,v>$ pour tous les vecteurs $u$ et $v$ de $E$.\\
On dit qu'une matrice $M$ est orthogonale si $\ ^tMM=I$.\\
On en d\'eduit que $\det(M)=1$ ou $\det(M)=-1$.\\ 
Les matrices orthogonales $M$ v\'erifiant $\det(M)=1$ sont appel\'ees directes
ou positives.\\
 Les matrices orthogonales $M$ v\'erifiant $\det(M)=-1$ sont appel\'ees 
indirectes ou n\'egatives.\\ 
Propositon 1\\
$f$ est une isom\'etrie si et seulement si $f$ conserve la norme ($||f(u)||=||u||$).\\
On en d\'eduit que les valeurs propres 
$\lambda$ de $f$ v\'erifient $|\lambda|=1$\\
Propositon 2\\
$f$ est une isom\'etrie si et seulement si $f$ transforme
 une base orthonorm\'ee en une base orthonorm\'ee.\\
Propositon 3\\
$f$ est une isom\'etrie si et seulement si sa matrice dans une base 
orthonorm\'ee de $E$ est orthogonale

{\bf Exercice 1}\\
\'Ecrire un programme permettant de dire si un endomorphisme est une 
isom\'etrie  positive ou n\'egative ou si ce n'est pas une isom\'etrie.
\section{Les isom\'etries du plan}
Les isom\'etries positives du plan sont les rotations.\\
Les isom\'etries n\'egatives du plan sont les sym\`etries.\\

{\bf Exercice 2}\\
\'Ecrire la matrice $R(\theta)$ de la rotation du plan d'angle $\theta\ \pmod{ 2\pi}$.\\ 
\'Ecrire la matrice de la sym\'etrie $S(\theta)$ du plan par rapport \`a la droite d'angle
polaire $\theta\ \pmod{ \pi}$.\\ 
Calculer :
$R(\alpha)R(\beta)$ et
$S(\alpha)S(\beta)$.\\

{\bf Exercice 3}\\
a/ Trouver les \'el\'ements caract\'eristiques de l'isom\'etrie dont la matrice
dans la base canonique est :\\
$$M=\frac{\sqrt 2}{2}\left(
\begin{array}{cc}
1&-1\\
1&1 \end{array}
 \right)
$$
b/  Trouver les \'el\'ements caract\'eristique de l'isom\'etrie dont la matrice
dans la base canonique est :\\
$$M=\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0 \end{array}
 \right)
$$
c/ \'Ecrire la matrice de la sym\'etrie par rapport \`a la droite d'\'equation
$y=2x$.\\
d/ \'Ecrire la matrice de la rotation plane d'angle $\frac{5\pi}{6}$
\section{Les isom\'etries de l'espace $\mathbb R^3$}
Les isom\'etries de l'espace $\mathbb R^3$ sont :\\
- les sym\'etries par rapport \`a un plan\\
- les rotations d'axe $\Delta$ et d'angle $\theta$\\
- une sym\'etrie  par rapport \`a un plan suivie d'une rotation d'axe $\Delta$ avec $\Delta$ perpendiculaire au plan de la 
sym\'etrie.\\ 

{\bf Exercice 4}\\
a/ Trouver les \'el\'ements caract\'eristique de l'isom\'etrie dont la matrice
dans la base canonique est :
$$M=\frac{ 1}{3}\left(
\begin{array}{rrr}
2&2&1\\
-2&1&2\\
1&-2&2 \end{array}
 \right)
$$
b/ Trouver les \'el\'ements caract\'eristique de l'isom\'etrie dont la matrice
dans la base canonique est :
$$M=\frac{ 1}{9}\left(
\begin{array}{rrr}
8&1&-4\\
-4&4&-7\\
1&8&4 \end{array}
 \right)
$$
c/ \'Ecrire la matrice de la sym\'etrie par rapport au plan d'\'equation\\
$ax+by+cz=0$, (par ex $1,-2,1$). \\
d/ \'Ecrire la matrice de la rotation d'axe $\overrightarrow u=(u_1,u_2,u_3)$ 
 et d'angle $\theta$ (par ex $\overrightarrow u=(1,1,1)$ et 
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$)\\
e/ \'Ecrire la matrice de l'isom\'etrie produit  d'une sym\'etrie plan  
d\'efinie en c/ et de la rotation d\'efinie en d/\\
On traitera l'exemple et on donnera les \'el\'ements caract\'eristiques de l'isom\'etrie obtenue.\\

{\bf Exercice 5}\\
Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ muni d'une base orthonorm\'ee ($e_1,e_2,e_3)$ de matrice relativement \`a cette base :

$$M=\frac{ 1}{3}\left(
\begin{array}{rrr}
1&2&-2\\
2&1&2\\
2&-2&1 \end{array}
 \right)
$$
1/ Comment v\`erifiez-vous que $f$ est une isom\'etrie ?\\
2/ D\'eterminer le sous-espace vectoriel $F$ des vecteurs invariants par $f$.\\
Prouver que $F^\perp$ est un plan vectoriel. Trouver une base orthonormale $(u,v)$
de ce plan.\\
3/ Donner $w$ un vecteur directeur de $F$ pour que $(u,v,w)$ soit une  base orthonormale directe de  $\mathbb R^3$.\\
4/ \'Evaluer les produits scalaires :\\
$f(u).u$, $f(u).v$, $f(u).w$ et en d\'eduire les composantes de $f(u)$ 
dans la base  $(u,v,w)$.\\
D\'eterminer la matrice de $f$ dans la  base  $(u,v,w)$.\\
Quelle est la nature de l'isom\'etrie $f$ ?
 
\end{document}









