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\documentclass{article}
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\newcommand{\tr}{\mbox{tr\,}}
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\begin{document}


\section{Int\'egration num\'erique.} 
\label{sec:integration}
Formule des rectangles et des trap\`ezes. Approximation
par interpolation polynomiale de Lagrange (Newton-Cotes). Existence
d'autres m\'ethodes de quadrature.

Exemple: calculer num\'eriquement quelques int\'egrales qui se
calculent exactement et observer les erreurs.

Comparaison int\'egrale/s\'erie.
Exemples d'applications: encadrement de $\ln(2)$:\\
Il s'agit ici d'obtenir un encadrement de $\ln(2)$ en utilisant
des m\'ethodes num\'eriques approch\'ees de calcul de l'int\'egrale:
\[ \int _0^1 \frac{1}{1+x} \ dx\]
\begin{enumerate}
\item Tracer le graphe de la fonction $f$ d\'efinie par
$f(x)=1/(1+x)$ entre 0 et 1. 
\item On subdivise l'intervalle $[0,1]$ en $n$ parties o\`u on
applique la m\'ethode des rectangles au milieu de chacun des
$n$ intervalles et la m\'ethode des trap\`ezes. On obtient ainsi
deux suites $u_n$ et $v_n$. Montrez que:
\[ u_n= \sum _{j=0}^{n-1} \frac{1}{n+j+0.5}  \]
D\'eterminez $v_n$.
\item V\'erifiez que la fonction $f$ est convexe
en montrant que $f'{'}>0$.
On admettra les propri\'et\'es suivantes des fonction convexe:
\begin{itemize}
\item le segment reliant $(x_1,f(x_1))$ \`a $(x_2,f(x_2)$ ($x_1<x_2$)
est au-dessus de la courbe repr\'esentative de $f$ entre $x_1$ et $x_2$.
\item la tangente en un point de la courbe est en-dessous de la
courbe repr\'esentative de $f$.
\end{itemize}
\item En comparant graphiquement des aires,
montrez que $v_n\geq \int _0^1 f(x) \ dx $.
\item On consid\`ere une subdivision $[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}]$.
Tracer sur cet intervalle la courbe de $f$ et la tangeante de $f$
au point milieu de l'intervalle. Par une comparaison graphique d'aires
montrez que:
\[ u_n \leq \int _0^1 f(x)\ dx \]
\item Calculer pour $n=10, 100$ et $1000$ $u_n$ et $v_n$, indiquez
le nombre de d\'ecimales exactes.
\item Montrez qu'en g\'en\'eral $u_n$
et $v_n$ donnent un encadrement d'ordre $1/n^2$ de $\ln(2)$.
\end{enumerate}
Sur la HP49, pour calculer $u_n$, on entre la somme dans \verb|EQW|
et on stocke l'\'equation dans la variable \verb|UN|
(\verb|STO> UN|) puis pour chaque valeur de $n$ on stocke
la valeur de $n$ (par exemple
\verb|10 STO> N| et on tape \verb|->NUM(UN)|. On peut \'egalement
tracer le graphe de $f$ en utilisant le menu shift-\verb|2D/3D|.
S\'electionner le type \verb|Function| avec \verb|CHOOSE|,
entrer la fonction et les bornes puis taper sur les
touches menu \verb|ERASE| et \verb|DRAW|. Il est ensuite possible de tracer
la tangente en un point en d\'eplacant le curseur en ce point et en
choisissant \verb|TANL| dans le menu \verb|FCN|.


\section{\'Equations diff\'erentielles $y'=f(x,y)$.} \label{sec:eqdiff}
\begin{itemize}
\item champ des tangentes
\item \'ecriture sous forme int\'egrale, 
m\'ethode d'Euler et m\'ethode du point milieu.
\end{itemize} 

Quelques exemples d'equations diff\'erentielles sous la forme $y'=f(x,y)$
(d'apr\`es Postel-Zimmermann):
\begin{eqnarray*}
y'&=&\frac{y}{y \ln(y) +x} \\
y'&=& e^x y + e^{e^x} \\
y' &=& y^3 \sin(x) - y \\
y' &=& \frac{3x^2-y^2-7}{e^y +2xy +1}  \\
y'&=& \frac{2x^3y-y^4}{x^4-2xy^3}  \\
y'&=& \frac{x}{x^2 y^2+y^5} \\
y'&=& e^x y^2 - y + e^{-x} \\
y' &=& \frac{9x^8+1}{y^2+1} 
\end{eqnarray*}
Tracer des portrait de phase, essayez les m\'ethodes num\'eriques
et exacte d'int\'egration sur ces exemples.

\section{Fonctions de MuPAD et de la HP49 relatives \`a l'int\'egration
et aux \'equations diff\'erentielles.} \label{sec:machine}
Pour l'int\'egration num\'erique:
\begin{itemize}
\item avec \verb|MuPAD|, utiliser \verb|numeric::fint| ou 
\verb|numeric::quadrature| pour controler pr\'ecis\'ement
la m\'ethode utilis\'ee.
\item sur la 49, entrer l'int\'egrale dans l'\'editeur d'\'equation,
s\'electionnez-la et tapez \verb|->NUM|.
\end{itemize}
Pour trouver les formules de Newton-Cotes \`a un ordre donn\'e, 
on peut utiliser la fonction \verb|lagrange| de MuPAD
(\verb|LAGRANGE| sur la 49), on peut v\'erifier ensuite avec 
l'instruction \verb|numeric::ncdata| de MuPAD.

Pour les \'equations diff\'erentielles:
\begin{itemize}
\item 
Sur la HP49, on peut tracer le champ des tangentes en s\'electionnant
le type de trac\'e \verb|Slopefield| dans \verb|2D/3D|, puis pour tracer 
une solution particuli\`ere, choisir le type \verb|Diff Eq|. Evitez d'utiliser 
\verb|ERASE| entre les 2 trac\'es, cela permet de voir sur la m\^eme
figure le champ des tangentes et quelques courbes int\'egrales.

\item Pour les r\'esolutions de type num\'erique, utiliser par exemple
\verb|numeric::odesolve| avec MuPAD. Sur la HP49, shift-rouge 7 
(\verb|NUM.SLV|) puis \verb|Differential equation|.


\item Certaines \'equations diff\'erentielles peuvent \^etre r\'esolues de 
mani\`ere exacte:
\begin{itemize}
\item avec \verb|MuPAD| utilisez la fonction \verb|ode| pour d\'efinir
une \'equation diff\'erentielle puis \verb|solve| pour la r\'esoudre.
\item Sur la HP49, il y a deux commandes \verb|LDEC| pour les
\'equations et syst\`emes lin\'eaires \`a coefficients constants
et \verb|DESOLVE| pour les \'equations diff\'erentielles (essentiellement
du 1er ordre). \verb|LDEC| prend deux arguments: le second membre
et l'\'equation caract\'eristique pour une \'equation lin\'eaire
ou le vecteur second membre et la matrice pour un syst\`eme lin\'eaire
du 1er ordre, par exemple \verb|LDEC(SIN(X),X^2+1)| permet de r\'esoudre
l'\'equation lin\'eaire $y'{'}(x)+y(x)=sin(x)$.
On peut aussi r\'esoudre cette \'equation avec:\\
\verb|DESOLVE(d1d1Y(X)+Y(X)=SIN(X),Y(X))|\\
Si on souhaite rajouter des conditions initiales, on remplace le premier
argument de \verb|DESOLVE| par un vecteur dont la premi\`ere composante
est l'\'equation diff\'erentielle et les composantes suivantes sont
les conditions initiales.
\end{itemize}

\end{itemize}


\end{document}
