%\makeindex
\documentclass{article}
\newcommand{\norme}[1]{ \left\| {#1} \right\| }
\newcommand{\tr}{\mbox{tr\,}}
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large R\'eduction des formes quadratiques et application aux fonctions de deux variables}\\
\end{center}
\section{Programmation de la d\'ecomposition de formes quadratiques}
% $A=^t P D P$
\subsection{\'Ecriture de la matrice d'une forme quadratique}
{\bf Exercice}\\
\'Ecrire un programme ({\tt MuPAD}) qui v\'erifie qu'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique.\\ 
\'Ecrire un programme ({\tt MuPAD}) qui donne la matrice d'une forme quadratique  $q$.\\
{\bf Indication} 
On remarquera qu'une expression est quadratique en x=[x1,...,xn]
si elle vaut z\'ero en x=0, si sa diff\'erentielle vaut z\'ero en x=0 et si les d\'eriv\'ees partielles d'ordre 2 sont des constantes (i.e. les d\'eriv\'ees partielles d'ordre 3 sont nulles)\\
 Les param\`etres de la fonction seront :\\
une expression {\tt q} et la liste {\tt x} des variables.\\ 
La fonction {\tt subs(q,op(x,1)=0)} permet de remplacer {\tt x1} par 0 dans {\tt q}.\\
La fonction {\tt diff(q,op(x,1))} permet de d\'eriver {\tt q} par rapport \`a {\tt x1}.\\
{\bf Application}\\
On consid\`ere dans $\mathbb R^4$ la forme quadratique :\\
$q(x)=x_1^2+x_2^2-3x_4^2+5x_1x_2-3x_1x_4+2x_2x_4-7x_3x_4$\\
\'Ecrire la forme bilin\'eaire sym\'etrique $f$ forme polaire de $q$ .\\
\'Ecrire la matrice associ\'ee  \`a $f$ dans la base canonique.\\
Tester votre programme
\subsection{Noyau et vecteurs isotropes}
{\bf Exercice}\\
On consid\`ere dans $\mathbb R^3$ la forme quadratique :\\
$q(x)=x_1^2+x_2^2-x_3^2$\\
D\'eterminer tous les vecteurs $x$ isotrope relativement \`a $q$ (ie v\'erifiant 
$q(x)=0$) et en donner une repr\'esentation.\\
D\'eterminer le noyau de  $q$ (ie 
$\{x\in \mathbb R^3\ \forall  y\in\mathbb R^3\ f(x,y)=0 \}$)\\ 
\subsection{M\'ethode de Gauss}
{\bf Exercice}\\
Soit $\displaystyle q(x)=\sum_{i=1}^na_{ii}x_i^2+ 2\sum_{1 \leq i<j \leq n}^na_{ij}x_ix_j$\\
\'Ecrire   une fonction mettant en {\oe}uvre la 
m\'ethode de Gauss qui construit une base orthogonale relativement \`a $q$ :\\
- en dimension 2 puis en dimension 3, 
ou\\
- en dimension n en utilisant la r\'ecursivit\'e.\\

Rappel de la m\'ethode de Gauss :\\
Si  $a_{11}\neq 0$, en consid\'erant $q(x)$ comme un trin\^ome 
du second degr\'e en $x_1$ on \'ecrit :\\
$\displaystyle q(x)=\frac{1}{a_{11}}u_1(x)^2+q_1(x)$.\\ 
o\`u $u_1(x)$ est une forme lin\'eaire et $q_1(x)$ une forme quadratique qui 
ne d\'epend pas de $x_1$.\\ 
On peut remarquer que $\displaystyle 2u_1(x)=\frac{\partial q(x)}{\partial x_1}$. \\
Si tous les $a_{ii}=0$ et si $a_{12}\neq 0$  on isole les termes contenant 
$x_1$ et les termes contenant $x_2$ et on utilise la formule :\\
$a_{12}^2x_1x_2+a_{12}cx_1+a_{12}bx_2=(a_{12}x_1+b)(a_{12}x_2+c)-bc$  :\\
$\displaystyle q(x)=\frac{2}{a_{12}}l_1(x)l_2(x)+q_1(x)$\\ 
o\`u $l_1(x)$ et $l_2(x)$ sont des formes lin\'eaires et $q_1(x)$ une forme quadratique qui 
ne d\'epend ni de $x_1$ ni de $x_2$.\\
On pourra exprimer $l_1(x)$ et $l_2(x)$ en fonction de  
$\displaystyle \frac{\partial q(x)}{\partial x_1}$ et de
$\displaystyle \frac{\partial q(x)}{\partial x_2}$. \\
Puis on termine la construction, en remarquant que :\\
$4l_1(x)l_2(x)=(l_1(x)+l_2(x))^2-(l_1(x)-l_2(x))^2$\\
on pose \\
$u_1(x)=l_1(x)+l_2(x)$ et  $u_2(x)=l_1(x)-l_2(x)$....\\

Voici la m\'ethode en dimension 3\\
$\bullet$ lorsqu'il existe des termes carr\'es.\\
Supposons  $a_{11}\neq 0$ (sinon on permute $x_1$ avec $x_2$ ou $x_3$) on a :\\
$u_1(x)=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3$ \\
$\displaystyle q_1(x)=(a_{22}-\frac{a_{12}^2}{a_{11}})x_2^2 +(a_{33}-\frac{a_{13}^2}{a_{11}})x_3^2+2(a_{23}-\frac{a_{12}*a_{13}}{a_{11}})x_2x_3$\\
donc on continue en changeant $a_{22}$, $a_{33}$, $a_{23}$ :\\
on stocke $\displaystyle a_{22}-\frac{a_{12}^2}{a_{11}}$ dans $a_{22}$ \\
on stocke $\displaystyle a_{33}-\frac{a_{13}^2}{a_{11}}$ dans $a_{33}$ \\
on stocke $\displaystyle a_{23}-\frac{a_{12}*a_{13}}{a_{11}}$ dans $a_{23}$ \\
puis \\
\indent - si $a_{22}\neq 0$ (ou si $a_{22}= 0$ et $a_{33}\neq 0$ on permute alors $x_2$ et $x_3$) on pose :
\\$u_2(x)=a_{22}x_2+a_{23}x_3$ \\
donc on continue en changeant $a_{33}$\\
on stocke $\displaystyle a_{33}-\frac{a_{23}^2}{a_{22}}$ dans $a_{33}$ \\
$u_3(x)=x_3$\\
on a alors $q(x)=a_{11}u_1(x)^2+a_{22}u_2(x)^2+a_{33}u_3(x)^2$\\
\indent - si  $a_{22}= 0$ et $a_{33}=0$ on a \\
$4x_2x_3=(x_2+x_3)^2-(x_2-x_3)^2$, on pose alors :\\
$u_2(x)=\frac{x_2+x_3}{2}$ et $u_3(x)=\frac{x_2-x_3}{2}$ 
$q(x)=a_{11}u_1(x)^2+a_{23}u_2(x)^2+a_{23}u_3(x)^2$\\
 $\bullet$ lorsqu'il n'existe pas de termes carr\'es.\\
Si  $a_{12}\neq 0$ on pose :\\
$l_1(x)=a_{12}x_1+a_{23}x_3$\\
$l_2(x)=a_{12}x_2+a_{13}x_3$\\
$\displaystyle q_1(x)=-\frac{2}{a_{12}}a_{13}a_{23}x_3^2$
d'o\`u\\
$u_1(x)=a_{12}x_1+a_{23}x_3+a_{12}x_2+a_{13}x_3$\\
$u_2(x)=a_{12}x_1+a_{23}x_3-a_{12}x_2-a_{13}x_3$\\
$u_3(x)=x_3$\\
on a alors $\displaystyle q(x)=\frac{1}{2a_{12}}u_1(x)^2-\frac{1}{2a_{12}}u_2(x)^2+\frac{a_{23}a_{13}}{2a_{12}}u_3(x)^2$\\

{\bf Exercice}\\
Tester le programme pr\'ec\'edent pour trouver une base orthogonale 
relativement \`a $q$ lorsque :\\
$q(x)=2x_1x_2+2x_1x_3+4x_1x_3$ pour $x \in \mathbb R^3$\\

{\bf Exercice}\\
Soit pour $a \in \mathbb R$ la forme quadratique d\'efinie par :\\
$q_a(x)=-x_1^2+3x_2^1+ax_3^2-2x_1x_2-4x_2x_3$ pour  $x \in \mathbb R^3$\\
a/ \'Ecrire la matrice $M_a$ de $q_a$ relativement \`a la base canonique de 
$\mathbb R^3$.\\
b/ Utiliser le programme pr\'ec\'edent pour d\'ecomposer $q_a$ en combinaison 
lin\'eaire de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes.\\
Expliciter les formes lin\'eaires trouv\'ees.\\
Pour quelles valeurs de $a$, $q_a$ est-elle : non d\'eg\'en\'er\'ee ? d\'efinie
positive ? \\ 
c/ Dans le cas o\`u $q_a$ est d\'efinie positive,  montrer qu'il existe une matrice carr\'ee d'ordre 3 $S_a$ telle que :
$M_a=\,^tS_aS_a$  
\section{Extrema des fonctions de deux variables.} \label{sec:quad}
\subsection{Commandes utiles} \label{sec:mupad}
\subsubsection{Avec MuPAD}
Pour tracer la repr\'esentation graphique d'une fonction de 2
variables, utiliser la commande \verb|plot3d| avec l'option \verb|Surface| ou 
encore utiliser la commande {\tt plotfunc}.\\
Par exemple:
\begin{verbatim}
plot3d(Axes = None, Ticks = 0,
  Title = "Plot of sin(u^2 + v^2)", TitlePosition = Below, 
  CameraPoint = [13.0, -24.0, 20.0],
  [Mode = Surface, [u, v, 1/2*sin(u*u + v*v)], 
   u = [-float(PI), float(PI)], v =  [-float(PI), float(PI)],
   Grid = [30, 30], Style = [HiddenLine, Mesh]
  ]);
\end{verbatim}
dans ce cas le r\'esultat est sauvegard\'e automatiquement dans le fichier 
{\tt save.mp}. Pour visualiser la surface il faut alors taper la commande 
{\tt vcam save.mp} dans la fen\^etre {\tt Konsole}.\\
ou \\
\begin{verbatim} plotfunc(1/2*sin(u*u+v*v),u=-float(PI)..float(PI),
                           v=-float(PI)..float(PI));\end{verbatim}
dans ce cas la fen\^etre {\tt vcam} s'ouvre automatiquement mais pour pouvoir 
continuer \`a utiliser {\tt MuPAD} il faudra fermer cette fen\^etre!\\

Recherche de points critiques :\\
 la fonction \verb|linalg::grad| calcule
le gradient d'une fonction par rapport a un vecteur de variables.\\
On peut alors utiliser \verb|solve| pour trouver les points critiques
(exacts lorsque le syst\`eme est polynomial, sinon il faut utiliser
\verb|fsolve|).\\
 La fonction 
\verb|linalg::hessian| permet alors de d\'eterminer la matrice
hessienne, et la fonction \verb|subs| permet de remplacer les
variables par leurs valeurs au(x) point(s) critique(s).\\
On peut utiliser \verb|linalg::cholesky| pour d\'eterminer si on a affaire
\`a une matrice d\'efinie positive (ou \verb|linalg::cholesky(-M)| pour
une matrice d\'efinie n\'egative). Si la matrice n'est pas d\'efinie
\verb|eigenValues| permet de d\'eterminer la signature, il ne semble
pas y avoir de fonctions pour calculer la d\'ecomposition $\,^tPDP$
d'une matrice sym\'etrique.\\
Attention : Dans la d\'ecomposition $A=\,^tPDP$, $P$ n'est pas ``une matrice
de passage'', en fait les colonnes de $P^{-1}$ forment une
base orthogonale pour la forme quadratique de matrice $A=\,^tPDP$.\\
La matrice de passage est $Q=P^{-1}$, on a donc $D=\,^tQAQ$ et comme $D$
est diagonale cela signifie que les vecteurs colonnes $V_i$ de $Q$ sont
ortogonaux  pour la forme quadratique de matrice $A$ puisque $\,^tV_jAV_i=0$.\\
ou encore \\
$<P^{-1}e_i, AP^{-1}e_j>=<P^{-1}e_i, \,^tPDPP^{-1}e_j>=<PP^{-1}e_i, \,De_j>=<e_i,De_j>$
\subsubsection{Avec la HP49G} \label{sec:hp48}
 Trac\'e : utiliser \verb|shift-bleu F4 (2D/3D)| puis \verb|CHOOSE| 
pour choisir le type de trac\'e, s\'electionnez alors \verb|Fast3d|\\
Gradient : on utilise la commande \verb|DERIV| en mettant un
vecteur de variables, par exemple \verb|DERIV(X^2-Y^2,[X,Y])|.\\
Hessienne : la commande \verb|HESS| prend les m\^eme arguments que
la commande \verb|DERIV| et renvoie la matrice hessienne, le gradient
et la liste des variables. \\
Pour chercher le type des points critiques on tape : \\
\verb|HESS(X^2-Y^2,[X,Y]) STO> H| puis,
\verb|SOLVE(H[2],H[3]) STO> CRIT|\\ 
qui renvoie la liste des points critiques (si le syst\`eme est polynomial).\\
Pour \verb|X^2-Y^2| il n'y  a qu'un point critique et la hessienne est constante, on peut conclure
directement, sinon on lance la commande :\\
\verb|SUBST(H[1],CRIT)|
pour \'evaluer la hessienne aux points critiques.\\
 On utilise enfin : \verb|SYLVESTER(ANS(1))|
pour connaitre la signature de la forme quadratique (la commande
\verb|SYLVESTER| renvoie la d\'ecomposition $A=\,^tPDP$
d'une matrice sym\'etrique).\\
Pour l'\'etude des formes quadratiques il y les commandes :\\
\verb|QXA| qui a comme arguments une forme quadratique $q$ et le vecteur de 
composantes le nom des variables utilis\'ees. \verb|QXA| renvoie la matrice
$A$ associ\'ee \`a $q$ et le vecteur de 
composantes le nom des variables utilis\'ees.\\
\verb|AXQ| qui a comme arguments une matrice sym\'etrique
$A$ et le vecteur de 
composantes le nom des variables utilis\'ees. \verb|QXA| renvoie la forme 
quadratique $q$ associ\'ee \`a $A$ et le vecteur de 
composantes le nom des variables utilis\'ees.\\
\verb|GAUSS| qui a comme arguments une forme quadratique $q$ et le vecteur de 
composantes le nom des variables utilis\'ees. \verb|GAUSS| renvoie une liste
de 4 termes : les termes diagonaux d'une matrice diagonale, la matrice $Q$ 
de changement de base, l'\'ecriture de $q$ sous la forme de sommes ou 
diff\'erences de carr\'es et enfin le 
vecteur de composantes le nom des variables utilis\'ees.\\
\verb|SYLVESTER| qui a comme argument une matrice sym\'etrique $A$. 
\verb|SYLVESTER|  renvoie les termes diagonaux d'une matrice diagonale $B$, 
la matrice $Q$ de changement de base tel que $A=\,^tQBQ$. 
\subsection{Exercices}
1/ Soit $f$ la fonction de $\mathbb R^2$ dans  $\mathbb R$
d\'efinie par :\\
$$f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$$
a/ Calculer le gradient de $f$ \\
b/ D\'eterminer les extremums de $f$ et v\'erifier vos r\'esultats en tra\c{c}ant le graphe de $f$\\

2/ Soit $g$ la fonction de $\mathbb R^2$ dans  $\mathbb R$
d\'efinie par :\\
$$g(x,y)=x^2+(y^3-y)^2$$
a/ Calculer le gradient de $g$\\
b/ D\'eterminer les extremums de $g$ et v\'erifier vos r\'esultats en tra\c{c}ant le graphe de $g$\\

3/ Soit $h$ la fonction de $\mathbb R^2$ dans  $\mathbb R$
d\'efinie par :\\
$$h(x,y)=(y+1)(x+y-1)(y-x+1)$$
a/ Calculer le gradient de $h$\\
b/ D\'eterminer les extremums de $h$ et v\'erifier vos r\'esultats en tra\c{c}ant le graphe de $h$\\

4/ Soit $f$ la fonction de $\mathbb R^3$ dans  $\mathbb R$
d\'efinie par :\\
$$f(x,y,z)=\frac{x^3}{2}+xyz-z+y$$
a/ Calculer le gradient de $f$\\
b/ D\'eterminer les extremums de $f$\\
\subsection{Autres exercices (optionnels)} \label{sec:ex}
D\'eterminer les extremums des fonctions $f$ suivantes :
\begin{eqnarray*}
f(x,y)&=& y^2+x^3-x^2 \\
f(x,y)&=& xy \\
f(x,y)&=& x^4+y^4-(x-y)^2-\frac{1}{2}(x-y)^3 \\
f(x,y)&=& \frac{1}{2}x^2-\cos(y) \\ 
f(x,y)&=&\ln(1+x^2+y^2)+x-\ln(1+x) \\
f(x,y,z)&=& (x+2z) ^4+ 4(y-1)^2 - 2 (y-z+x+1)^2  \\
f(x,y,z)&=&  (x+2z) ^4+ 4y^2 +4z^2 - 2 (y-z+x)^2 \\
f(x,y,z)&=& x^4+ z^4 + 4y^2 -4z^2 - 4 (y-z+x)
\end{eqnarray*}

\end {document} 




































































