\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{times}
\usepackage{xspace}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\ifpdf
 \usepackage[colorlinks,pdftex]{hyperref}
\else
 \usepackage[ps2pdf,breaklinks=true,colorlinks=true,linkcolor=red,citecolor=green]{hyperref}
\fi
\newcommand{\bs}{\symbol{92}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{prop}{Proposition}[theorem]
\newtheorem{defn}{D\'efinition}
\makeindex
\begin{document}
\title{Capes et {\tt Xcas}}
\author{Renee.Degraeve@wanadoo.fr \and Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr}
\date{2010}

\maketitle

\tableofcontents

On donne dans ce texte quelques informations pour les candidats au Capes 
désirant s'informer sur l'utilisation de {\tt Xcas} pendant les oraux.

\section{Comparaison des fonctionnalités des logiciels.}
La liste des logiciels est disponible sur le site du jury de capes de maths :\\
\verb|http://capes-math.org/|\\
Il s'agit de logiciels libres
ou gratuits, sauf les \'emulateurs de calculatrices (il existe des
versions d'essai d'un mois). Pour les \'emulateurs de calculatrices,
on note l'absence d'\'emulateur TI89/92/Voyage 200 (cet oubli
sera peut-\^etre corrig\'e?). Merci de signaler des erreurs \'eventuelles.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Logiciel            & Géo 2-d & 3-d & Graphes & Tableur & Suites& CAS\footnote{Calcul formel (Computer Algebra System)} 
& Algo \\\hline
Algobox             &         &     &         &         &       &               &  +   \\
ClassPad Manager    &   ++    &     &  2d 3d  &  ++     &  +    &    ++         &  +=   \\
Geogebra            &   +++   &     &  2d     &  +      &  =    &    +          &      \\
Geoplan/Geospace    &   +=    &  +  &  2d 3d &         &   =    &               &      \\
Maxima              &         &     &  2d 3d  &         &  =    &    +++        &  ++   \\
OpenOffice.org      &         &     &  2d     &  +++    &  =    &               &      \\
Python              &         &     &         &         &       &               &  +++ \\
Scilab              &         &     &  2d 3d  &  (stats)&       &               &  ++  \\
Sinequanon          &   +     &     &  2d     &  (stats)&  +    &               &      \\
TI-NSpire CAS TE    &   ++    &     &  2d     &  ++     &  +    &    ++         &  ++   \\
TI-SmartView 83+    & Cabri Jr &  &  2d     & CellSheet &  +    &            &     \\
{\bf Xcas}          &   ++    &  +  &  2d 3d  &  ++     &  +=   &    +++        &  +++  \\\hline
\end{tabular}

Bien entendu il y a une part de subjectivité dans le nombre de \verb|+|. Précisons un peu~:
\begin{itemize}
\item en géométrie 2-d: Geogebra est clairement le leader en termes de facilité d'utilisation, 
rendu et nombre d'utilisateurs. Geoplan bénéficie encore d'une implantation historique, mais
voit très probablement son nombre d'utilisateurs diminuer au profit de Geogebra. 
{\tt Xcas} est le seul de la liste qui permet de faire des figures avec des coordonnées exactes
et donc des démonstrations en géométrie analytique.
\item en géométrie 3-d: l'interface de Geospace (en particulier la gestion du point de vue
3-d et des surfaces) me parait très peu intuitive (c'est peut-être subjectif).
\item pour le tableur et les stats au tableur, l'interface d'OpenOffice est évidemment largement
en avance sur les concurrents. Par contre, les tableurs de {\tt Xcas}, TI et Casio sont
des tableurs formels exacts, et le tableur de {\tt Xcas} et de Geogebra peuvent
interagir avec la géométrie.
\item pour les suites récurrentes, la représentation en est simple avec TI, Casio, {\tt Xcas}.
Le tableau de valeur peut être obtenu avec n'importe quel tableur.
La résolution formelle d'une relation de récurrence est possible dans des
cas simples avec {\tt Xcas} et Maxima.
\item pour le calcul formel, ce sont {\tt Xcas} et Maxima qui ont le plus de fonctionnalités, 
{\tt Xcas} étant plus rapide, mais TI et Casio sont largement suffisant au niveau lycée et STS.
\item en algorithmique~: Algobox parait vraiment limité à l'apprentissage du B.A.-BA, pas
utilisable en 1ère S ou au-delà, mais dispose de la possibilité d'exécuter en pas-à-pas. 
Le langage des Classpad est un peu moins restreint, mais n'a pas de fonction
non algébrique, le langage de TI est assez complet, mais il n'y a pas d'outils
de mise au point. Le langage de scilab ou maxima est complet, mais le premier est
numérique uniquement. Python et {\tt Xcas} proposent un langage complet avec débogueur interactif, 
Python est un langage généraliste, alors que {\tt Xcas} est orienté maths ce qui selon la situation
peut être un avantage ou un inconvénient.
\end{itemize}
Maitriser un minimum Geogebra ou Open Office calc est certainement à la portée
de tout le monde. 
{\tt Xcas} nécessite un peu plus d'apprentissage, mais avec un seul logiciel, on est sur
de ne faire aucune impasse (et faire l'impasse sur l'algorithmique est probablement
risqué!). C'est vrai dans une moindre mesure des deux autres intégrés 
(émulateurs TI et Casio), mais avec l'inconvénient d'utiliser un logiciel
propriétaire (avec seulement une version d'essai gratuite).

\section{Suggestions oral I}
On donne ici quelques noms de commande et des pistes pour les candidats
souhaitant illustrer avec l'outil informatique une lecon de l'oral 1.
Ces pistes ne sont naturellement pas exhaustives et ne doivent \'evidemment
pas prendre le pas sur la lecon elle-m\^eme, cela peut
par exemple \^etre une commande de trac\'e de graphe de fonction,
une ou deux commandes pertinentes pour illustrer par un exemple et
ne doit pas prendre beaucoup de temps de pr\'eparation (en tout
cas pas plus d'1/2 heure sur les 2h1/2)
\begin{enumerate}
\item Techniques de dénombrement, Coefficients binomiaux: \\
\verb|comb, perm, factorial|
\item Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle: \\
\verb|alea|
\item Loi binomiale: \\
\verb|binomial, binomial_cdf, binomial_icdf| 
\item Loi de Poisson: \\
\verb|poisson, poisson_cdf, poisson_icdf|, 
\item Loi normale: \\
\verb|normald, normald_cdf, normald_icdf|
\item Statistiques descriptives à 1 variable: \\
\verb|mean, stddev, variance|, \\
\verb|median, quartile1, quartile3, moustache|, \\
voir aussi le menu Cmds$\blacktriangleright$Proba-stats de {\tt Xcas} et 
Math$\blacktriangleright$stats de son tableur
\item Série statistiques à 2 variables: \\
\verb|correlation, covariance|,\\ 
\verb|linear_regression, linear_regression_plot| et variantes, \\
voir aussi le menu Cmds$\blacktriangleright$Proba-stats de {\tt Xcas} et Maths$\blacktriangleright$stats de son tableur
\item Estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance d'un paramètre, 
test d'hypothèses: \\
\verb|binomial_icdf, normald_icdf, poisson_icdf|. \\
Cf. dans l'aide de {\tt Xcas} le manuel de statistiques : \\
Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Tableur,statistiques.
\item Multiples, diviseurs, division euclidienne: \\
\verb|iquo, irem, idivis|\\
Cf. dans l'aide de {\tt Xcas} le manuel de programmation et un exemple :\\
Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Programmation, et Aide$\blacktriangleright$Exemples$\blacktriangleright$arit$\blacktriangleright$diviseur
\item PGCD, PPCM de 2 entiers naturels: \\
\verb|gcd, lcm|, \\
voir aussi dans  l'aide de {\tt Xcas} l'algorithme d'Euclide :\\
 Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Programmation  
qu'on peut copier et ex\'ecuter en mode pas \`a pas.
\item Egalité de Bézout:\\ \verb|iegcd|,\\
 voir aussi dans  l'aide le manuel de 
programmation de {\tt Xcas} et l'exemple dans :\\
Aide$\blacktriangleright$Exemples$\blacktriangleright$arit$\blacktriangleright$bezout
\item Nombres premiers, décomposition d'un entier en produit de facteurs 
premiers: \\
\verb|isprime, nextprime, prevprime, ifactor|\\
Voir aussi des algorithmes simples dans le manuel de programmation de {\tt Xcas}.
\item Congruences dans Z: \\
\verb|irem, smod, powmod, ichinrem|
\item Equations du second degré à coeffs réels ou complexes / Fonctions
polyn\^omes du second degr\'e: \\
\verb|forme_canonique|, \verb|solve, csolve|, \\
\verb|factor, cfactor|
\item Module et argument d'un nombre complexe: \\
\verb|abs, arg, exp2trig, trig2exp|,\\
 g\'eom\'etrie en entrant
les complexes sous forme exponentielle
\item Transformations planes et nombres complexes: 
\verb|affixe, similitude|, 
les fonctions de géométrie 2-d de {\tt Xcas} travaillent avec des nombres complexes
\item Exemples d'utilisation des nombres complexes.\\
D\'emonstration du th\'eor\`eme de Napol\'eon. Point de  concours
des hauteurs (sujet du 29 juin 2006).
\item Alg\`ebre lin\'eaire en STS:\\
 menu CAS$\blacktriangleright$Alg\`ebre lin\'eaire
et Cmds$\blacktriangleright$Alglin
\item Syst\`emes d'\'equations et d'in\'equations:\\ 
\verb|solve, linsolve|
\item Droites du plan:\\
 \verb|droite, parallele, perpendiculaire|,\\
\verb|inter_unique|, \verb|equation, parameq|
\item Droites et plans de l'espace :\\
\verb|droite, plan|,\\
\verb|parallele, perpendiculaire|,\\
\verb|equation, parameq|, \verb|inter_unique|
\item Droites remarquables du triangle:\\
 menu Geo$\blacktriangleright$Lignes
\item Le cercle:\\
 menu Geo$\blacktriangleright$Cercles, \verb|tangent|, \verb|equation, parameq|
\item Solides de l'espace:\\ 
menu Geo$\blacktriangleright$Solides et Geo$\blacktriangleright$Solides\_Platon
\item Barycentre: \\
\verb|barycentre|, \verb|isobarycentre|
\item Produit scalaire:\\ 
\verb|produit_scalaire|
\item Trigonom\'etrie:\\
 menu Expression
\item Produit vectoriel, produit mixte: \\
\verb|cross, dot|
\item Homoth\'etie, translation, isom\'etries planes, similitudes planes:\\
Menu Geo$\blacktriangleright$Transformations
\item Probl\`emes de constructions g\'eom\'etriques, probl\`emes de lieux :\\
manuels Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Geom\'etrie et Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Exercices
\item Convergence de suites r\'eelles :\\
(\verb|limit|) 
\item Suites arithm\'etiques, suites g\'eom\'etriques
\item Suites de terme g\'en\'eral $a^n, n^p, \ln(n), a \in \R^{+*}, p \in \N, n \in \N^*$
\item Suites de nombres r\'eels d\'efinis par une r\'ecurrence: \\
menu du tableur Maths$\blacktriangleright$Suites$\blacktriangleright$Suite r\'ecurrente, \\
(\verb|plotseq|, \verb|tableseq|), \verb|rsolve|
\item Probl\`emes conduisant \`a l'\'etude de suites:\\ 
Aide$\blacktriangleright$Exemples$\blacktriangleright$analyse$\blacktriangleright$newton.xws
\item Limite d'une fonction r\'eelle de variable r\'eelle :\\
\verb|limit|
\item Fonctions logarithme
\item Fonctions exponentielles
\item Croissance compar\'ee $e^x, x^a, \ln(x)$:\\
 \verb|plot, limit|
\item Courbes planes param\'etriques :\\
\verb|plotparam, parameq|
\item Int\'egrales, primitives :\\
\verb|int|
\item Techniques de calcul d'int\'egrales :\\
\verb|ibpdv|, \verb|ibpu|, \verb|subst|,\\
 \verb|tlin, trig2exp, lin|,\verb|halftan, partfrac|,\\
voir aussi le manuel d'exercices : Aide$\blacktriangleright$Manuels$\blacktriangleright$Exercices
\item \'Equations diff\'erentielles :\\
\verb|desolve|, \verb|plotode, plotfield|
\item Probl\`emes conduisant \`a la r\'esolution d'\'equations 
diff\'erentielles
\item Probl\`emes conduisant \`a l'\'etude de fonctions
\item D\'eveloppements limit\'es :\\
\verb|series, divpc|
\item S\'eries num\'eriques :\\
\verb|sum|, manuel de programmation
\item S\'eries de Fourier :\\
\verb|fourier_an, fourier_bn, fourier_cn|
\item Transform\'ee de Laplace :\\
\verb|laplace, ilaplace|
\item Courbes de B\'ezier
\item Exemples d'\'etudes de courbe:\\
 manuel exercices
\item Aires:\\ 
\verb|area|, \verb|plotarea|
\item Exemples d'algorithmes:\\
 manuel de programmation
\item Exemples d'utilisation d'un tableur: manuel du tableur
\item Application des math\'ematiques \`a d'autres disciplines:\\
par exemple une des sessions de Aide$\blacktriangleright$Exemples$\blacktriangleright$climat
\end{enumerate}

\section{Oral 2}
Attention, il n'y a que 2h1/2 de pr\'eparation pour la partie 
math\'ematique {\bf et} la partie agir en fonctionnaires, il ne faut
donc pas passer beaucoup de temps de pr\'eparation
sur une illustration informatique (mais bien \'evidemment
si une illustration est explicitement demand\'ee, par
exemple une figure, il faut
quand m\^eme se donner le temps de la faire).

{\bf Sessions Xcas correspondant aux exercices de l'oral 2006}\\
Des exemples de sessions correspondant aux énoncés donnés à l'oral 2 
du Capes 2006 sont disponibles depuis le menu Aide, Exemples, Capes2006.

{\bf Corrig\'es d'exercices \'epreuve exp\'erimentale TS.}\\
Ces exercices sont dans l'esprit de certains exercices 
qui peuvent \^etre propos\'es pour l'oral 2.
Voir la page\\
\verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html#bacs|

{\bf Corrections d'exercices donnés à l'oral 2 du capes 2008}\\
La suite de cette section donne des solutions avec {\tt Xcas} de ces exercices 
mais n'est en aucun cas un corrigé-type de ce qu'on attend d'un candidat 
le jour de l'oral 2~:
cela aurait pu constituer une partie de l'exposé du candidat. Le classement
par thèmes peut également servir de pistes d'illustrations pour l'oral 1.

\subsection{Th\`eme : \'Equations diff\'rentielles}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
On consid\`ere les deux \'equations diff\'erentielles  d\'efinies sur
$]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ par :                                                                             
$$(E)\hspace{0.3cm}y'+(1 +\tan(x))y=\cos(x) \hspace{1cm}(E0)\hspace{0.3cm} y'+ y =1$$
\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble des solutions de $(E0)$.
\item  Soient $g$ une fonction d\'erivable sur 
$]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. \\
On pose $f(x) = g(x) \cos(x)$. D\'emontrer que la fonction $f$ est solution 
de $(E)$ si et seulement si la fonction $g$ est solution de $(E0)$.
\item D\'eterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=0$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Indiquer, pour chacune des questions de l'exercice, les savoirs mis en 
jeu.\\
Q.2) Pr\'esenter une solution de la question 2) de l'exercice telle que vous 
la donneriez \`a des \'el\`eves de Terminale.

\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
\begin{enumerate}
\item Tout d'abord il faut faire comprendre \`a des \'el\`eves de Terminale
ce qu'est une \'equation diff\'erentielle et pour cela leur faire observer le 
champ des tangentes des deux \'equations propos\'ees.\\
On commence par l'\'equation $(E_0)\hspace{0.3cm} y'=1-y$ et on tape :
\begin{center}{\tt fieldplot(1-y,[x,y])}\end{center}
On remarque qu'en chaque point $(x,y)$, la pente de la tangente vaut $1-y$.\\
Puis on tape :
\begin{center}{\tt interactive\_plotode(1-y,[x,y])}\end{center}
pour voir les solutions se dessiner en suivant les directions indiqu\'ees par 
les tangentes.\\
On obtient :

\includegraphics[width=\textwidth]{equaE0}
{\bf Attention} \\
Le premier argument de {\tt fieldplot} et de 
{\tt interactive\_plotode} est la fonction {\tt h(x,y)} qui est la valeur de
{\tt y'}.\\ 
On continue par l'\'equation $(E)\hspace{0.3cm}y'=\cos(x)-(1 +\tan(x))y$. 
Pour des facilit\'es de mise en {\oe}uvre, 
on ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie et on utilise le menu :\\
{\tt Graphe->Slopefield/Ode(2d)} \\
qui ouvre une boite de dialogues que l'on remplit :
\begin{itemize}
\item on coche {\tt Field} car on veut le trac\'e du champ des tangentes,
\item on coche {\tt ||=1} car on veut que ces tangentes soient normalis\'ees,
\item on met la valeur de $y'$ : {\tt cos(x)-(1+tan(x))*y},
\item le nom des variables {\tt x} et {\tt y},
\item on met les diff\'erentes valeurs du cadrage et on met un pas.
\end{itemize}
Puis on tape sur {\tt OK}.\\
On obtient le champ des tangentes de $(E)$ et la commande :
\begin{center}{\tt fieldplot(cos(x)-(1+tan(x))*y,[x,y],normalize)}\end{center}
Puis on clique en un point dans l'\'ecran de g\'eom\'etrie et on obtient une 
courbe int\'egrale  de $(E)$ passant par ce point et la commande :
\begin{center}{\tt A:=plotode(cos(x)-(1+tan(x))*y,[x,y])}\end{center}
etc...\\
On obtient :

\includegraphics[width=\textwidth]{equaE}
{\bf Attention} \\
Lorsque le champ des tangentes est normalis\'e, les tangentes 
sont centr\'ees au point de contact, et si le champ des tangentes n'est pas
normalis\'e, les tangentes ont pour origine le point de contact et indique la 
vitesse en chaque point.

\item On fait r\'esoudre l'\'equation $(E0)$ par {\tt Xcas}, on tape :
\begin{center}{\tt desolve(y'+y-1,x,y)}\end{center}
On obtient
\begin{center}{\tt (exp(x)+c\_0)/(exp(x))}\end{center}
\item On fait r\'esoudre l'\'equation $(E)$ par {\tt Xcas}, on tape :
\begin{center}{\tt desolve(y'+(1+tan(x))*y-cos(x),x,y)}\end{center}
On obtient
\begin{center}{\tt (cos(x)*exp(x)+c\_0*cos(x))/(exp(x))}\end{center}

On remarque qu'on obtient les solutions de $(E)$ en multipliant les solutions 
de $(E0)$ par $\cos(x)$.
\item On cherche la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=0$, avec {\tt Xcas},
on tape :
\begin{center}{\tt desolve([y'+(1+tan(x))*y-cos(x),y(0)=0],x,y)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [(cos(x)*exp(x)-cos(x))/(exp(x))]}\end{center}
\item On peut faire faire par {\tt Xcas} le changement de fonction inconnue 
dans $(E0)$ ($g(x)=f(x)/ \cos(x)$).\\
On tape :
\begin{center}{\tt E2:=factor(expand(subst(g(x)'+g(x)-1,g(x)=f(x)/cos(x))))}\end{center}
On obtient l'\'equation v\'erifi\'ee par $f(x)$ :
\begin{center}{\tt (cos(x)*diff(f(x),x)+cos(x)*f(x)-cos(x)\verb|^|2+ sin(x)*f(x))/ (cos(x)\verb|^|2)}\end{center}
Il faut arranger cette expression pour remplacer la fonction $\sin$ en les fonctions $\tan$ et $\cos$ puis factoriser :
On tape :
\begin{center}{\tt normal(sin2costan(E2))}\end{center}
On obtient l'\'equation v\'erifi\'ee par $f(x)$ :
\begin{center}{\tt (-cos(x)+diff(f(x),x)+f(x)*tan(x)+f(x))/(cos(x))}\end{center}

Ou bien, on transforme $(E)$.\\
On remplace $f(x)$ $\cos(x)*g(x))$ et on transforme la fonction $\tan$ en les fonctions $\sin$ et $\cos$ et on tape :
\begin{center}{\tt factor(tan2sincos(subst(f(x)'+(1+tan(x))*f(x)- cos(x), f(x)=cos(x)*g(x))))}\end{center}
On obtient l'\'equation que doit v\'erifier $g$ :
\begin{center}{\tt cos(x)*(-1+diff(g(x),x)+g(x))}\end{center}

\item On peut faire faire par {\tt Xcas} le graphe (en rouge) des fonctions $f$ et $g$ qui sont respectivement les 
solutions exactes de  
$$f(x)'+(1+\tan(x))*f(x)-\cos(x) \  \mbox{ et } \  f(0)=0$$
et de $$g(x)'+g(x)=1 \ \mbox{ et }\ g(0)=0$$
On tape :
\begin{center}{\tt plotfunc((cos(x)*exp(x)-cos(x))/(exp(x)), x,affichage=rouge))}\end{center}
et pour comparer avec la solution approch\'ee
\begin{center}{\tt plotode(cos(x)-(1+tan(x))*y,[x,y],[0,0],plan)}\end{center}
On obtient :

 \includegraphics[width=\textwidth]{equadcapes2008}
On tape :
\begin{center}{\tt plotfunc((exp(x)-1)/(exp(x)),x,affichage=rouge))}\end{center}et pour comparer avec la solution approch\'ee :
\begin{center}{\tt plotode(1-y,[x,y],[0,0],plan)}\end{center}
On obtient :

 \includegraphics[width=\textwidth]{equad0capes2008}
\end{enumerate}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Th\`eme : Outils - calcul vectoriel}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
   On consid\`ere un cercle $X$ de centre $O$ et de rayon $r$ et un point $P$ 
du plan. On pose $d = OP$.
\begin{enumerate}
\item Une droite  passant par $P$ coupe le cercle $X$ en $A$ et $B$ . On note 
$E$ le point du cercle $X$ diam\'etralement oppos\'e \`a $A$.\\
 D\'emontrer que 
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PE}$.\\
En d\'eduire que  $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}= d^2-r^2$.
\item  Application \`a l'\'etude d'une configuration :
   Dans la figure ci-dessous les droites $(AB)$ et $(A_1B_1)$ sont orthogonales
et le point $I$ est le milieu du segment $[AB_1]$. D\'emontrer que les droites 
$(PI)$ et $(A_1B)$ sont orthogonales.

 \includegraphics[width=\textwidth]{puissance} 
\end{enumerate}

\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Indiquer, pour chacune des questions de l'exercice, les savoirs mis en 
jeu.\\
Q.2) R\'ediger une solution de la question 2 de l'exercice telle que le 
candidat la pr\'esenterait \`a un \'el\`eve de Premi\`ere S.

\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
Il faut pour que {\tt Xcas} puisse faire les calculs :
\begin{itemize}
\item soit prendre l'axe des $x$
passant par $A$, 
\item soit prendre 2 points $A$ et $B$ quelconques sur le cercle 
et un point queconque $P$ sur le segment $AB$. 
\end{itemize}
En effet, les coordonn\'ees de l'intersection d'une droite et d'un cercle sont 
souvent compliqu\'ees !
%voir /capes2008/capes12.xws
\begin{enumerate}
\item On fait la figure.\\
On tape :
\begin{verbatim}
assume(a=[1,-5,5,0.1]);
c:=cercle(0,a):;c;
A:=point(a);
assume(p=[0.5,-5,5,0.1]);
assume(q=[0.3,-5,5,0.1]);
P:=point(p,q);
d:=droite(A,P):;d;
B:=normal(inter(c,d)[0]);
E:=point(-a);
L:=inter(c,parallele(P,droite(B,E))):;
A1:=L[0];
B1:=L[1];
d1:=droite(A1,B1):;d1;
I:=milieu(A,B1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{puiscapes2008}\end{center}
\item On utilise comme outil : le calcul vectoriel,\\
On tape pour calculer $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PE}$ :
\begin{center}{\tt normal(dot(vecteur(P,A),vecteur(P,E)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -a\verb|^|2+p\verb|^|2+q\verb|^|2}\end{center}
On tape  pour calculer $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$:
\begin{center}{\tt normal(dot(vecteur(P,A),vecteur(P,B)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -a\verb|^|2+p\verb|^|2+q\verb|^|2}\end{center}
On tape pour savoir si les droites $P,I$ et $A1,B$ sont orthogonales :
\begin{center}{\tt est\_orthogonal(droite(P,I),droite(A1,B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
ce qui veut dire {\tt vrai}.\\
On tape pour montrer que 
$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB1}$ est orthogonale \`a 
$\overrightarrow{A1P}+\overrightarrow{PB}$
\begin{center}{\tt (vecteur(P,A)+vecteur(P,B1))* (vecteur(A1,P)+vecteur(P,B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
On  met ainsi en \'evidence la puissance d'un point par rapport \`a un cercle
\item On utilise comme outil : les propri\'et\'es des angles inscrits.\\
Soit $CD$ le diam\`etre passant par $P$, les triangles $PCA$ et $PBD$ sont 
semblables car leurs angles sont \'egaux. Leurs angles $C$ et $B$ sont \'egaux
car ils interceptent le m\^eme arc donc :\\
$\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PD}$ et on a 
$\overline{PC}*\overline{PD}=d^2-r^2$.

\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{inscapes2008}\end{center}


Donc $PC*PD=PA*PB$.\\
Le point $P$ est entre $A$ et $B$ et $P,A,B$ sont align\'es
 donc $\overline{PA}*\overline{PB}=d^2-r^2$
\item On utilise comme outil : les coordonn\'ees,\\
On tape :
\begin{center}{\tt l1:=longueur(P,A)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt sqrt((p-a)\verb|^|2+q\verb|^|2)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt l2:=normal(longueur(P,B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt ((a\verb|^|2-p\verb|^|2-q\verb|^|2)*sqrt(q\verb|^|2+p\verb|^|2+a\verb|^|2-2*a*p))/ (a\verb|^|2-2*a*p+p\verb|^|2+q\verb|^|2)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt factor(expand(l1*l2))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -q\verb|^|2-p\verb|^|2+a\verb|^|2}\end{center}
\end{enumerate}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Th\`eme : Suites \\ \'Etude du comportement de suites d\'efinies par une\\relation de r\'ecurrence du type : $u_{n+1} = f(u_n)$}

\begin{itemize}
\item  L'exercice propos\'e au candidat
\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere la fonction f d\'efinie sur [0, 1] par 
$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}$.

a) R\'esoudre l'\'equation $f(x)=x$.
       
b) Montrer que pour tout $x \in[0, 1]$, on a $f(x)\geq x$.

\item On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par la donn\'ee de son premier 
terme $u_0 \in [0, 1]$ et par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier 
naturel $n$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et d\'eterminer sa limite.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) \'Enoncer les th\'eor\`emes et les outils mis en jeu dans l'exercice.\\
Q.2) R\'ediger un \'enonc\'e d\'etaill\'e de la question 2) pour des \'el\`eves
de Terminal scientifique.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
%voir suite32008.xws
\begin{enumerate}
\item   $f$ est croissante et si $x\in [0;1]$ on a 
$\sqrt(2)/2 \geq f(x) \geq 1$ donc $f(x)\in [0;1]$ 
Ainsi si $u_0\in [0;1]$, on montre par r\'ecurrence que $u_n\in [0;1]$
pour tout $n\in \N$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt f(x):=sqrt((x+1)/2)}\end{center}
\begin{center}{\tt solve(f(x)=x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [1]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt g(x):=f(x)-x}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt a:=normal(mult\_conjugate(diff(g(x))))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (2*sqrt(2)*x+2*sqrt(2)-sqrt(x+1))/ ((-2*sqrt(2))*x-2*sqrt(2))}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt solve(a<0)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [x>((-7)/8)]}\end{center}
Donc on a, $g'(x)<0$ donc $g(x)$ est d\'ecroissante de $\sqrt(2)/2$ \`a 0 sur 
[0;1].\\
Si on veut simplifier {\tt a}, on peut guider le calcul en multipliant par la 
quantit\'e conjugu\'ee du num\'erateur de {\tt a}. On peut faire directement 
ces op\'erations en se servant de l'\'editeur d'\'equation qui contient la 
valeur de {\tt a}.\\ 
On tape :
\begin{center}{\tt b:=mult\_conjugate(getNum(a))/getDenom(a)}\end{center}
puis
\begin{center}{\tt normal(getNum(b))/getDenom(b)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (-8*x\verb|^|2-15*x-7)/ ((2*(-(sqrt(2)))*x+2*(-(sqrt(2)))-sqrt(x+1))* ((-2*sqrt(2))*x-2*sqrt(2)))}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt plotfunc([x,f(x)])}\end{center}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=\textwidth]{suite31}\end{center}

\item  Puisque $f(x)\geq x$, on a $u_{n+1} \geq u_n$ donc $u$ est croissante 
et major\'ee par 1 donc $u$ est convergente vers $l$. $l$ v\'erifie 
l'\'equation $l=f(l)$ donc $l=1$.\\
On ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie et pour visualiser le comportement de $u$,
on tape :
\begin{center}{\tt assume(a=[0.1,0,1,0.1])}\end{center}
\begin{center}{\tt plotseq(f(x),a)}\end{center}
On obtient :
\begin{center} \includegraphics[width=10cm]{suite32}\end{center}
\end{enumerate} 
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Th\`eme : Arithm\'etique}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat \\
On appelle diviseur propre d'un entier naturel non nul $n$, tout diviseur de 
$n$ qui soit positif et distinct de $n$. Tout entier naturel non nul \'egal 
\`a la somme de ses diviseurs propres est dit nombre parfait.\\ 
Exemple : 6 est un nombre parfait car il est \'egal \`a la somme de ses 
diviseurs propres soit 1, 2 et 3.
  \begin{enumerate}
\item  \'Etablir la liste des diviseurs de 28 et 496 et montrer que ce sont 
deux nombres parfaits.
\item V\'erifier que 28 et 496 sont de la forme $2^n(2^{n+1}-1)$ o\`u
$n\in \N^*$ avec $2^{n+1}-1$ premier.
\item D\'emontrer que pour tout $n\in \N^*$ , si $2^{n+1}-1$ est premier alors 
$2^n(2^{n+1}-1)$ est parfait.
\item  Illustrer par un exemple le fait que si $2^{n+1}-1$ n'est pas premier 
alors $2^n(2^{n+1}-1)$ n'est pas parfait.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Quels sont les outils n\'ecessaires \`a la r\'esolution de l'exercice ?\\
Q.2) R\'ediger la r\'eponse \`a la question 3.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item  On tape :
\begin{center}{\tt idivis(28)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [1,2,4,7,14,28]}\end{center}
On fait faire remarquer aux \'el\`eves que {\tt ifactor(28)=2\verb|^|2*7} i.e
$28=2^2*7$. Les diviseurs de 
$2^2$ sont $[1,2,4]$ et  ceux de $7$ sont $[1,7]$.\\
 La liste des diviseurs de $28$ s'obtient en concat\'enant 
$1*[1,2,4]=[1,2,4]$ et $7*[1,2,4]=[7,14,28]$.\\ 
 On tape :
\begin{center}{\tt idivis(496)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [1,2,4,8,16,31,62,124,248,496]}\end{center}
Car on a  : {\tt ifactor(496)=2\verb|^|4*31}.\\
{\bf Remarque}\\
{\tt idivis(2\verb|^|3*3\verb|^|2*5)} =
{\tt [1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72, \\
5,10,20,40,15,30,60,120,45,90,180,360]}\\
De fac\c{c}on plus g\'en\'erale, si $n=a^\alpha*b^\beta*c^\gamma$ la liste des 
diviseurs de $n$ est obtenue en concatenant plusieurs listes :
\begin{itemize}
\item On forme la liste $L_0=[1,a,...,a^\alpha]$ de longueur $\alpha+1$ puis,
\item On forme la liste $L_1=L_0+b*L_0+b^2*L_0+...b^\beta*L_0$  de longueur 
$(\alpha+1)*(\beta+1)$
puis,
\item On forme la liste des diviseurs $L$:\\
$L=L_1+c*L-1+c^2*L_1,...c^\gamma*L_1$  de longueur 
$(\alpha+1)*(\beta+1)*(\gamma+1)$ avec 
$L_0=[1,a..a^\alpha]$, $L_1=L_0+b*L_0+b^2*L_0+...b^\beta*L_0$.\\
Le nombre de diviseurs est donc $(\alpha+1)*(\beta+1)*(\gamma+1)$ 
\end{itemize}
\item Montrons que si $(2^{n+1}-1)$ est premier alors 
$2^n(2^{n+1}-1)$ est parfait.
Les diviseurs de $2^n$ sont $L_0=[1,2...2^n]$.
On tape pour avoir leur somme :
\begin{center}{\tt sum(2\verb|^|p,p,0,n)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 2\verb|^|(n+1)-1}\end{center}
Si $2^{n+1}-1$ est premier, les diviseurs de $2^n(2^{n+1}-1)$ sont :\\
$L=L_0+(2^{n+1}-1)*L_0$.
On tape  pour avoir la somme de $L$ :
\begin{center}{\tt s:=factor(sum(2\verb|^|p+2\verb|^|p*(2\verb|^|(n+1)-1),p,0,n))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 2\verb|^|(n+1)*(2\verb|^|(n+1)-1)}\end{center}
On tape pour v\'erifier que sette somme vaut bien $2*2^n(2^{n+1}-1)$ :
\begin{center}{\tt normal(powexpand(s-2*(2\verb|^|n*(2\verb|^|(n+1)-1))))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
\item On consid\`ere $n=3$ on a $2^4-1=16-1=15$ n'est pas premier et
$2^3*15=2^3*3*5=120$ n'est pas parfait.\\
En effet, on tape :
\begin{center}{\tt L:=idivis(2\verb|^|3*3*5)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [1,2,4,8,3,6,12,24,5,10,20,40,15,30,60,120]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt sum(L)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 360}\end{center}
En effet si $L_0=[1,2,4,8]$, on a  :\\
$\sum L_0=15=(2^4-1)$ mais
$\sum 3*L_0=3*15$, $\sum(5*L_0)=5*15$ et $\sum 3*5*L_0=15*15$.\\
On a donc $\sum L=(2^4-1)*(1+3+5+15)=(2^4-1)*24=360$ qui est diff\'erent 
de $(2^4-1)*8=120$.\\
De fac\c{c}on g\'en\'erale, si $(2^{n+1}-1)$ n'est pas premier, il existe 
$a\neq 1$ et $b\neq 1$ tel que $(2^{n+1}-1)=a*b$.\\
Donc on a  :
$$a*b+1=2^{n+1}$$
On a toujours  
$$\sum L_0=\sum[1,2,...2^n]=2^{n+1}-1$$
mais, m\^eme si $a$ ou $b$ ne sont pas premiers, dans la liste des diviseurs de
 
$2^n(2^{n+1}-1)$ il y aura :
$$L_0,\ a*L_0,\ b*L_0,\ a*b*L_0$$

On a :
$$1+a+b+a*b>(a*b+1)=2^{n+1}=2*2^n$$ 
donc, si $(2^{n+1}-1)$ n'est pas premier $2^n(2^{n+1}-1)$ n'est pas parfait.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Probabilit\'es}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat \\
On s'int\'eresse \`a la dur\'ee de vie, exprim\'ee en ann\'ee, d'un 
t\'el\'eviseur avant la premi\`ere panne. On peut mod\'eliser cette situation 
par une variable al\'eatoire qui suit une loi de probabilit\'e $p$ de dur\'ee 
de vie sans vieillissement d\'efinie sur l'intervalle
$[0, +\infty[$. Ainsi la probabilit\'e d'un intervalle $[0, t[$, not\'ee 
$p([0, t[)$, est la probabilit\'e que le t\'el\'eviseur tombe en panne avant 
$t$ ann\'ee. Cette loi est la loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ o\`u 
$\lambda$ est un r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer, en fonction de $\lambda$, la valeur de $t$ pour laquelle 
on a $p([0, t[)=p([t, +\infty[)$.
 \item D'apr\`es l'\'etude statistique effectu\'ee par le constructeur, la 
probabilit\'e que le t\'el\'eviseur tombe en panne avant la fin de la 
premi\`ere ann\'ee est 0,18. Calculer la valeur exacte de $\lambda$.

{\bf Dans la suite de l'exercice, on prendra $\lambda$= 0.2}.
\item  Montrer qu'une valeur approch\'ee de la probabilit\'e que le 
t\'el\'eviseur n'ait pas eu de panne au cours des trois premi\`eres ann\'ees, 
arrondie \`a $10^{-4}$ pr\`es, est : 0,5488.
\item Sachant que ce t\'el\'eviseur n'a connu aucune panne au cours des 10 
premi\`eres ann\'ees apr\`es sa mise en service, quelle est la probabilit\'e 
qu'il ne connaisse aucune panne au cours des 13 premi\`eres ann\'ees ?
\item  Dix t\'el\'eviseurs neufs de ce type ont \'et\'e mis en service en 
m\^eme temps. On d\'esigne par $X$ la variable al\'eatoire \'egale au nombre 
de t\'el\'eviseurs qui n'ont pas eu de panne au cours des trois premi\`eres 
ann\'ees. Calculer une valeur approch\'ee de la probabilit\'e de 
l'\'ev\'enement $X=4$ arrondie \`a $10^{-4}$ pr\`es.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) R\'ediger une r\'eponse pour chacune des questions 3) et 4) de 
l'exercice.\\
Q.2) Commenter l'expression ``loi de dur\'ee de vie sans vieillissement''.

\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item La probabilit\'e $p([0, t[)$ que le t\'el\'eviseur tombe en panne avant 
$t$ ann\'ee suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ o\`u 
$\lambda$ est un r\'eel strictement positif. On a donc :\\
$$p([0, t[)=\lambda\sum_0^t exp(-\lambda x) dx$$
En effet :
$$p([0, +\infty[)=\lambda\sum_0^{+\infty} exp(-\lambda x) dx=1$$
On tape :
\begin{center}{\tt assume(lambda>0)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt lambda}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt int(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -exp(-lambda*t)+1}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt int(lambda*exp(-lambda*x),x,0,inf)}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt limit(int(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t),t,inf)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt solve(int(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t)=limit (int(lambda*exp(-lambda*x),x,t,u),u,inf),t)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [1/(-lambda)*ln(1/2)]}\end{center}
\item On a $p([0, 1[)=0.18$ c'est \`a dire :\\
{\tt int(lambda*exp(-lambda*x),x,0,1)=-exp(-lambda)+1=0.18}
On tape :
\begin{center}{\tt  solve(-exp(-lambda)+1=0.18,lambda)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0.198450938724}\end{center}
\item Dans la suite de l'exercice, on prendra $\lambda$= 0,2.\\
On cherche $1-p([0, 3[)$ c'est \`a dire :\\
{\tt 1-int(0.2*exp(-0.2*x),x,0,3)=exp(-0.2*3)}\\
On tape :
\begin{center}{\tt exp(-0.2*3)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0.548811636094}\end{center}
Donc la probabilit\'e que le 
t\'el\'eviseur n'ait pas eu de panne au cours des trois premi\`eres ann\'ees, 
arrondie \`a $10^{-4}$ pr\`es, est : 0,5488.\\
\item Soit $A$ l'\'ev\'enement : le t\'el\'eviseur n'a connu aucune panne au 
cours des 10 premi\`eres ann\'ees apr\`es sa mise en service.\\
Soit $B$ l'\'ev\'enement : le t\'el\'eviseur n'a connu aucune panne au 
cours des 13 premi\`eres ann\'ees apr\`es sa mise en service.\\
On cherche la probabilit\'e que le t\'el\'eviseur ne connaisse aucune panne au 
cours des 13 premi\`eres ann\'ees sachant qu'il n'a connu aucune panne au 
cours des 10 premi\`eres ann\'ees c'est \`a dire $P(B/A)=P(A\cap B)/P(A)$.\\
On a :\\
$P(A)=(1-p([0, 10[)=\exp(-0.2*10)$ et $A\subset B$ donc \\
$P(B)=P(A\cap B)=(1-p([0, 13[))=\exp(-0.2*13)$\\
On tape :
\begin{center}{\tt exp(-0.2*13)/exp(-0.2*10)}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt exp(-0.2*3)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0.548811636094}\end{center}
\item  Dix t\'el\'eviseurs neufs de ce type ont \'et\'e mis en service en 
m\^eme temps.
On cherche, lorsque $k=4$ :\\
$$p(X=k)=C_{10}^k\exp(-0.2*3*k)*(1-\exp(-0.2*3)^{10-k}$$
Pour v\'erifier que $\sum_{k=0}^{10}p(X=k)=1$, on tape :
\begin{center}{\tt  sum(comb(10,k)*exp(-0.2*3*k)* (1-exp(-0.2*3))\verb|^|(10-k),k,0,10))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt comb(10,4)*exp(-0.2*3*4)*(1-exp(-0.2*3))\verb|^|6 }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0.160716284054}\end{center}
La probabilit\'e de l'\'ev\'enement $X=4$ arrondie \`a $10^{-4}$ pr\`es
est donc 0.1607.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Probl\`eme de lieu}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat :\\
On consid\`ere dans le plan deux droites $d$ et $d_1$ s\'ecantes en $O$ et de 
vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow u'$ tels
que $(\overrightarrow u,\overrightarrow u')=\frac{\pi}{4} (\bmod 2\pi)$. 
On consid\`ere deux points $A$ et $B$ situ\'es respectivement sur $d$ et $d_1$,
distincts de $O$ et tels que $OA=OB$. \`A tout point $M$ du plan on associe la
somme not\'ee $s(M)$, des distances du point $M$ aux droites $d$ et $d'$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\displaystyle s(A)=s(B)=OA\frac{\sqrt 2}{2}$
\item Soit $M$ un point du segment $[AB]$. En utilisant les aires des triangles
$OMA$ et $OMB$, montrer que la somme $s(M)$ est ind\'ependante de la position 
de $M$ sur le segment $[A,B]$.
\item  Calculer la distance $OA$ afin que, pour tout point $M$ du segment 
$[AB]$, l'on ait $s(M)=2$.
\item Le point $A$ \'etant fix\'e pour satisfaire la condition de la question 
3), on note $L$ le lieu des points $M$ du plan tels que $s(M)=2$. 
Montrer que $L$ contient un rectangle dont $[AB]$ est un c\^ot\'e.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) D\'egager les m\'ethodes et les savoir-faire utilis\'es dans cet 
exercice.\\
Q.2) Pr\'esenter une animation sur le module de g\'eom\'etrie dynamique de la 
calculatrice mettant en \'evidence le r\'esultat \'etabli dans la question 2) 
de l'exercice.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
%voir lieucapes2008.xws
\begin{enumerate}
\item 
On tape :
\begin{verbatim}
d:=droite(0,1):;d;
d1:=droite(0,1+i):;d1;
O:=point(0);
assume(t=[4,-5,7,0.1]);
A:=point(a);
B:=rotation(0,pi/4,A);
segment(A,B);
assume(t=[0.3,0,1,0.1]);
M:=element(segment(A,B),t);
dist:=longueur(M,d)+longueur(M,d1);
A1:=point(2*sqrt(2));
B1:=rotation(0,pi/4,A1);
M1:=element(segment(A1,B1),t);
s(M):=normal(longueur(M,d))+normal(longueur(M,d1));
normal(s(M1));
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\framebox{\includegraphics[width=\textwidth]{lieu12008}}\end{center} 
On tape :
\begin{center}{\tt s(A),s(B) }\end{center}
On obtient :
%
\begin{center}{\tt (sqrt(2))/2*a,(sqrt(2))/2*a}\end{center}

\item 
On tape :
\begin{center}{\tt aire(triangle(O,A,M))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (a*t*sqrt(2)*a)/(2*2)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt normal(aire(triangle(O,M,B)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (-(sqrt(2)))/4*a\verb|^|2*t+(sqrt(2))/4*a\verb|^|2}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt normal(aire(triangle(O,A,M))+aire(triangle(O,M,B))), normal(aire(triangle(O,A,B))) }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (sqrt(2))/4*a\verb|^|2,(sqrt(2))/4*a\verb|^|2}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  sd:=normal(2*aire(triangle(O,A,B))/longueur(O,A))}\end{center}
On obtient :
%
\begin{center}{\tt (sqrt(2))/2*a}\end{center}
\item 
On tape :
\begin{center}{\tt normal(solve(sqrt(2*x\verb|^|2)/2=2,x))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [2*sqrt(2),-2*sqrt(2)]}\end{center}
\item 
On tape :
\begin{center}{\tt sd(x,y):=normal(longueur(point(x,y),d)+ longueur(point(x,y),d1))}\end{center}

On obtient :
\begin{center}{\tt (sqrt(2))/2*abs(x-y)+abs(y)}\end{center}
On tape :
\begin{verbatim}
assume(y>0);assume(X>0); 
E1:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y));
assume(y>0);assume(X<0); 
E2:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y));
assume(y<0);assume(X>0); 
E3:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y));
assume(y<0);assume(X<0); 
E4:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y));
plotimplicit(E1,x,y);
plotimplicit(E2,x,y); 
plotimplicit(E3,x,y);
plotimplicit(E4,x,y); 
affichage(droite(y=x),1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=11cm]{lieu22008}\end{center}

\end{enumerate}
\end{itemize}

\newpage
\subsection{Th\`eme : Analyse\\ Fonctions et \'equations}
 \begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat
   Soit $k$ un r\'eel. On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $\R$ par :
 $$F( x)=\int_0^xe^{kt^2}dt$$
On note $C$ la courbe repr\'esentative de $F$ et l'on s'int\'eresse au nombre 
de points $M_0$ d'abscisse $x_0$ appartenant \`a $C$ et en lesquels la tangente
\`a $C$ a un coefficient directeur \'egal \`a $x_0$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'un tel point $M_0$ existe si et seulement si $x_0>0$ et 
v\'erifie l'\'equation
$$(E )\hspace{0.7cm} ln x = k x^2$$
\item a) En utilisant une calculatrice graphique et en faisant varier les 
valeurs de $k$, conjecturer le nombre de solutions de l'\'equation $(E)$ dans 
$]0, +\infty[.$
   b) Si $k>0$, trouver graphiquement une valeur approch\'ee $a$ de $k$ pour 
laquelle l'\'equation $(E)$ a une unique solution dans $]0, +\infty[$.
\item D\'emontrer que pour $k<0$, l'\'equation $(E)$ a une unique solution 
dans $]0, +\infty[$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Pr\'esenter, \`a l'aide de la calculatrice, la ou les repr\'esentations 
permettant de faire les conjectures demand\'ees \`a la question 2).\\
Q.2) Proposer une solution de la question 3) de l'exercice telle que le 
candidat la pr\'esenterait \`a des \'el\`eves de terminale.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item On cherche \`a r\'esoudre : $F'(x)=x$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt F(x):=int(exp(k*t\verb|^|2),t,0,x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (x)->int(exp(k*t\verb|^|2),t,0,x)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  diff(F(x))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt exp(k*x\verb|^|2) }\end{center}
La tangente \`a $C$ a un coefficient directeur \'egal \`a $x_0$
donc on doit avoir : $exp(k*x_0\verb|^|2)=x_0$.\\
Donc si $x_0$ existe il est positif puisque \'egal \`a une exponentielle.\\
On tape :
\begin{center}{\tt ln(exp(k*x\verb|^|2)=x)  }\end{center}
On obtient l'\'equation $(E)$ que doit v\'erifier $x_0$ :
\begin{center}{\tt (k*x\verb|^|2)=ln(x)}\end{center}
\item On ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie, on d\'efinit un param\`etre $k$ et 
on trace les courbes $k*x^2$ et $\ln(x)$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt  assume(k=[0.2,-5,5,0.001])}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt parameter(k,-5.0,5.0,0.2,0.1)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  plotfunc(k*x\verb|^|2)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt plotparam(x+(i)*k*x\verb|^|2,x=-5.0..5.0125)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  plotfunc(ln(x))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt plotparam(x+(i)*ln(x), x=3.82333054105e-15..5.0125)}\end{center}
On obtient pour $k=0.098$ :\\
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{foncapes}\end{center}
Il semble que pour $k \simeq a=0.184$ les deux courbes sont tangentes.
Au point o\`u les 2 courbes sont tangentes on a l'\'egalit\'e des valeurs des 
2 fonctions et de leur deriv\'ees donc $x$ et $k$ doivent v\'erifier :\\
$k*x^2=\ln(x)$ et $2*k*x=1/x$ c'est \`a dire :\\
 $kx^2=1/2$ et $\ln(x)=1/2=0.5$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt fsolve(ln(x)=0.5,x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1.6487212707}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt evalf(1/(2*1.6487212707\verb|^|2)}\end{center}
On obtient la valeur approch\'ee $a$ de $k$ qui est solution de $(E)$ :
\begin{center}{\tt 0.183939720586}\end{center}

Il y a alors :
\begin{itemize}
\item 0 point d'intersection si $k\geq a$
\item 1 point d'intersection si $k=a$
\item 2 points d'intersection si $0<k<a$
\item 1 point d'intersection si $k\leq 0$
\end{itemize}
\item Supposons $k<0$ et montrons qu'alors l'\'equation $(E)$ a une unique 
solution dans $]0, +\infty[$. Pour cela, on cherche le signe de :\\
$g(x)=k*x^2-\ln(x)$ lorsque $x>0$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt assume(k<0);g(x):=k*x\verb|^|2-ln(x) }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt k, (x)->k*x\verb|^|2-ln(x)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt diff(g(x)) }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt k*2*x-1/x}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  assume(x>0);solve(diff(g(x))=0,x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt  []}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  solve(diff(g(x))<0,x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt  [x>0]}\end{center}
Pour $x>0$ on a $g'(x)<0$ donc $g(x)$ est d\'ecroissante.\\
On tape :
\begin{center}{\tt limit(g(x),x,0)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt +infinity}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt limit(g(x),x,+infinity)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -infinity}\end{center}
Donc $g(x)$ ne s'annule qu'en un point lorsque $k<0$.\\
Par exemple pour $k=-1$ on tape :
\begin{center}{\tt k:=-1;plotfunc(g(x))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=9cm]{fonc1capes}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt k:=-1;fsolve(g(x)=0,x,1,newton\_solver)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0.652918640419}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt g(0.652918640419),g(0.652918640420)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 6.11066752754e-13,-2.20268248086e-12}\end{center}
Donc pour $k=-1$ on a :
$$0.652918640419<x_0<0.652918640420$$.
\end{enumerate}
\end{itemize}


\newpage
\subsection{Th\`eme : Probl\`emes d'incidence}
    \begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat :\\
    Soit un parall\'elogramme $ABCD$ situ\'e dans un plan $P$ et soit $S$ un 
point de l'espace n'appartenant pas \`a $P$ . On note respectivement $I,J$ et 
$K$ les milieux des segments $[S A]$, $[S B]$ et $[S C]$.
\item a) Montrer que les plans $P$ et $(I J K )$ sont parall\`eles.

      b) Montrer que le plan $(I J K )$ coupe $[S D]$ en son milieu.\\
\item Quelle est l'intersection des plans $(C I J )$ et $P$ ?\\
\item En d\'eduire l'intersection des plans $(C I J )$ et $(S A D)$.

\includegraphics[width=\textwidth]{incidence}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) \'Enoncer les th\'eor\`emes mis en jeu dans l'exercice.\\
Q.2) Pr\'esenter un corrig\'e de la question 1) pouvant \^etre pr\'esent\'e 
\`a une classe de lyc\'ee.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item
On tape :
\begin{verbatim}
A:=point([0,0,0]);
B:=point([0,4,0]);
D:=point([4,-1,0]);
parallelogramme(A,B,D,C);
S:=point(2,2,4);
I:=milieu(A,S);
J:=milieu(B,S);
K:=milieu(C,S);
polyedre(A,B,C,D,S)
\end{verbatim}
On obtient :\\
\begin{center}{\tt La figure du d\'ebut}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt est\_parallele(plan(A,B,C),plan(I,J,K))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt longueur2(M,S)-longueur2(M,D)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt est\_isocele(M,S,D)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt d:=inter\_unique(plan(C,I,J),plan(A,B,C)):; affichage(d,2)}\end{center}
On obtient :
{\tt le trac\'e de d en vert}\\
On tape :
\begin{center}{\tt est\_element(D,d)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt d==droite(C,D)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt d1:=inter\_unique(plan(C,I,J),plan(S,A,D)):; affichage(d1,1)}\end{center}
On obtient la figure avec {\tt le trac\'e de d1 en rouge} :
\begin{center}\framebox{ \includegraphics[width=8cm]{incidence1}}\end{center}
On tape :\begin{center}{\tt d1==droite(D,I)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt est\_element(D,d1)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
\end{enumerate}
\end{itemize}

\newpage
\subsection{Th\`eme : Divers types de raisonnements (par l'absurde, par r\'ecurrence...)}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
\'Etant donn\'e un entier naturel $n \geq 2$, on se propose d\'etudier 
l'existence de trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ tels que 
$x^2 + y^2 + z ^2 =-1\ (\bmod\ 2^n )$.
\begin{enumerate}
\item  Cas o\`u $n= 2$ : Montrer que 1, 3 et 5 sont solutions du probl\`eme.
\item On suppose dor\'enavant que $n$ est un entier naturel et que $n\geq 3$.
     
Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ tels que :\\
$x^2 + y^2 + z^2=-1\  (\bmod\ 2^n )$.

      a) Montrer que les entiers $x$, $y$ et $z$ sont tous impairs ou que deux 
d'entre eux sont pairs.

      b) On suppose que $x$ et $y$ sont pairs et que $z$ est impair. Montrer 
qu'on a alors  $x^2 + y^2 +z^2= 1\ (\bmod\ 4)$ et en d\'eduire une 
contradiction.

      c) On suppose que $x$, $y$ et $z$ sont impairs.\\ Montrer qu'on a 
$x^2 + y^2 + z^2=3\ (\bmod\ 8)$ et conclure.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) \'Enoncer les th\'eor\`emes et les outils mis en jeu dans l'exercice.\\
Q.2) Pr\'esenter une correction d\'etaill\'ee de la question 2.c telle que le 
candidat la proposerait \`a des \'el\`eves de Terminale S.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt (1\verb|^|2+3\verb|^|2+5\verb|^|2)\% (2\verb|^|2)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -1 \% 4}\end{center}
\item
\begin{itemize}
\item Si $x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  2^n )$ cela entraine que $x^2+ y^2+ z^2$
est un nombre impair c'est a dire la somme de 2 nombres pairs et d'un nombre 
impair ou de 3 nombres impairs.\\
On tape :
\begin{center}{\tt ((2*p+1)\verb|^|2+(2*q+1)\verb|^|2+(2*r+1)\verb|^|2)\% 4}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -1 \% 4}\end{center}
Donc pour $n=2$, tous les triplets de nombres impaires sont des solutions.
On tape :
\begin{center}{\tt ((2*p)\verb|^|2+(2*q+1)\verb|^|2+(2*r+1)\verb|^|2)\%4}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 2 \% 4}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt  ((2*p)\verb|^|2+(2*q)\verb|^|2+(2*r+1)\verb|^|2)\%4}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1 \% 4}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt ((2*p)\verb|^|2+(2*q)\verb|^|2+(2*r)\verb|^|2)\%4}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0 \% 4}\end{center}
Donc pour $n=2$, tous les triplets de nombres impairs sont des solutions et ce sont les seules.
\item 
Si $x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  2^n )$ avec $n\geq 3$ cela veut dire :\\\
il existe $k \in \N$ tel que  :
$x^2 + y^2 + z^2=2^n*k-1$ ou encore \\
$x^2 + y^2 + z^2=4*2^{n-2}*k-1$ avec $n-2\geq 1$
donc $x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  4)$ donc si  l'\'equation 
$x^2 + y^2 + z ^2 =-1\ (\bmod\  2^n)$  avec $n\geq 3$ a une solution alors 
$x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  4)$ donc d'apr\`es les r\'esultats ci-dessus,
les 3 nombres $x,y,z$ sont impairs.
 
\item
On cherche tout d'abord $(2*r+1)^2\ (\bmod\  8)$.\\
On a soit $r$ pair ($r=2*n$), soit  $r$ impair ($r=2*n+1$) donc on tape :
\begin{center}{\tt (4*n+1)\verb|^|2 \%8, (4*n+3)\verb|^|2 \%8}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1\%8, 1\%8}\end{center}
Donc  $(2*r+1)^2=1\ (\bmod\  8)$\\
Donc $(2*p+1)^2+(2*q+1)^2+(2*r+1)^2)=3\ (\bmod\  8)$.\\
On a montr\'e que si l'\'equation 
$x^2 + y^2 + z ^2 =-1\ (\bmod\  2^n)$ a une solution alors : 
$$x^2 + y^2 + z ^2 = 3\ (\bmod\  8)$$
Si $x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  2^n )$ avec $n\geq 3$, il existe $k \in \N$ 
tel que  :\\
$x^2 + y^2 + z^2=2^n*k-1$ ou encore \\
$x^2 + y^2 + z^2=8*2^{n-3}*k-1$ avec $n-3\geq 0$
donc  $x^2 + y^2 + z^2=-1\ (\bmod\  8)$.\\
On a donc une contradiction.\\
{\bf Conclusion}  \\
Pour $n>2$, l'\'equation 
$x^2 + y^2 + z ^2 =-1\ (\bmod\  2^n)$ n'a pas de solution.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage

\subsection{Th\`eme : Probl\`emes de calcul de grandeurs\\Calculs de longueurs, d'aires et de volumes}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
Dans la figure ci-dessous le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral et les droites 
$(d)$, $(d_1)$ et $(d_2)$ sont des droites parall\`eles passant respectivement 
par les sommets $C,A$ et $B$.

On note $a$ la distance de $(d)$ \`a $(d_1)$ et $b$ celle de $(d)$ \`a $(d_2)$ ;
on se propose de calculer, en fonction de $a$ et $b$, l'aire du triangle $ABC$.

\begin{center}\includegraphics[width=10cm]{volumes2008}\end{center}
\begin{enumerate}          
\item Le cercle circonscrit \`a $ABC$ recoupe la droite $(d)$ en un point 
$P$.\\ 
Montrer que $\displaystyle AP =\frac{2a }{\sqrt 3}$  et que 
$\displaystyle BP =\frac{ 2b}{\sqrt 3}$ .
\item En d\'eduire que $\displaystyle AB^2 =\frac{ 4(a^2 + b^2 + ab)}{3}$
\item  Calculer l'aire du triangle $ABC$  en fonction de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) D\'egager les m\'ethodes et les savoirs mis en jeu dans la r\'esolution de l'exercice.\\
Q.2) Proposer la r\'edaction d'une solution \`a la question 1).

\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}\\
Pour faire la figure avec {\tt Xcas}, il faut connaitre les param\`etres qui 
d\'efinissent la figure. Ici, les param\`etres sont $a$ et $b$. Mais comment faire cette figure lorsqu'on connait $a$ et $b$ ?
On voit que le probl\`eme est assez mal pos\'e car on ne 
sait pas si la droite $(d)$ se trouve toujours entre $(d_1)$ et $d_2$ et si le triangle $ABC$ est de sens direct.\\
Si on se donne un rep`ere avec le point $C$ comme origine et $(d$) comme axe 
des $x$. On trace facilement les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de part et d'autre 
de $(d)$ si on suppose que  $(d)$ se trouve toujours entre $(d_1)$ et $d_2)$ et que $(d_1)$ a pour \'equation $y=a$ et $(d_2)$ a pour \'equation $y=-b$.\\ 
Comment maintenant construire le triangle \'equilat\`eral $ABC$ direct pour que
$A$ soit sur $(d_1$ et $B$ soit sur $(d_2$. Soit $(d_{11}$ la droite image de 
$d_1$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{3}$.
$(d_{11}$ coupe $d_2$ en $B$. Puis $A$ est le troisi\`eme sommet du triangle 
\'equilat\'eral  $ABC$.
\begin{enumerate}
\item
On tape pour faire la figure :
\begin{verbatim}
C:=point(0);
assume(a=[3,0,5,0.1]);
assume(b=[1.0,0,5,0.1]);
d1:=droite(y=a);
d11:=rotation(0,pi/3,d1,affichage=1);
d2:=droite(y=-b);
B:=inter_unique(d11,d2);
A:=rotation(0,-pi/3,B);
c:=circonscrit(A,B,C);
P:=inter(c,droite(y=0))[1];
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center} \includegraphics[width=11cm]{volumes12008}\end{center}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(longueur(P,A))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (2*a*sqrt(3))/3}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(longueur(P,B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (2*b*sqrt(3))/3}\end{center}
on peut aussi simplement remarquer que $\sin(\pi/3)=a/AP=\sqrt 3/2$ et que
$\sin(\pi/3)=b/BP=\sqrt 3/2$ d'o\`u les r\'esultats.\\
\item
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(longueur2(A,B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (4*a\verb|^|2+4*a*b+4*b\verb|^|2)/3}\end{center}
On peut calculer cette longueur de plusieurs fa\c{c}ons :
\begin{itemize}
\item Dans le triangle $ABP$ l'angle $P$ vaut $2\pi/3$ car dans le 
quadrilat\`ere  inscriptiple $APBC$ on a :\\
$\widehat P+\widehat C=\widehat P+\pi/3=\pi$. \\
On utilise alors, dans le triangle $ABP$ d'angle $P$ \'egal la relation :
$$AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP\cos(\frac{2\pi}{3})=AP^2+BP^2+AP*BP$$
\item On utilise la trigonom\'etrie on note 
$c=\rightarrow{Bx},\rightarrow{BC}$ et on a :
$sin(c)=b/BC=b/AB$ et $sin(\pi/3+c)=(a+b)/AB=sin(c)/2+cos(c)*\sqrt 3/2$\\
donc $cos(c)*\sqrt 3=(2*a+b)/AB$ et\\
$3\cos(c)^2=3-3b^2/AB^2=(2a+b)^2/AB^2$\\
On obtient donc :\\
$3AB^2=(2a+b)^2+3b^2=4(a^2+b^2+ab$
\item On calcule les coordonn\`ees de $B$ dans le rep\`ere d'origine $C$.\\
$B$ est sur la droite $y=-b$ et sur la droite transform\'ee de $Ax$ par la 
rotation de sommet $C$ et d'angle $\pi/3$. Cette droite a pour \'equation 
$y=\sqrt 3x+2a$ car elle a comme pente $\tan(\pi/3)=\sqrt 3$ et passe par 
le point $a*\exp(i*(\pi/2+\pi/3))=a*(-\sqrt 3+i)/2$ transform\'e de 
$a\exp(i*\pi/2)$.
\end{itemize}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(aire(A,B,C))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (a\verb|^|2*sqrt(3)+a*b*sqrt(3)+b\verb|^|2*sqrt(3))/3}\end{center}
\item Pour comprendre les calculs fait par {\tt Xcas}.\\
On peut chercher les abscisses de $A$ et de $B$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt aa:=normal(abscisse(A))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (-(sqrt(3)))/3*a+(-2*sqrt(3))/3*b}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt bb:=normal(abscisse(B))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt ((-2*sqrt(3))*a)/3+((-(sqrt(3)))*b)/3}\end{center}
Pour faire le d\'etail des calculs de l'abscisse de $A$ et de $B$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt k:=exp(i*pi/3)*(t+i*a)}\end{center}
On obtient $k$ l'affixe de $B$ en fonction de $t$ l'abscisse de $A$ :
\begin{center}{\tt (1/2+((i)*sqrt(3))/2)*(t+(i)*a)}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt re(k),im(k)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt t/2-(sqrt(3)*a)/2,a/2+(t*sqrt(3))/2}\end{center}
On tape puisque l'ordonn\'ee de $B$ est $-b$ :
\begin{center}{\tt solve(im(k)=-b,t)}\end{center}
On obtient l'abscisse de $A$ :
\begin{center}{\tt [1/(sqrt(3))*(-a-2*b)]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt normal(subst(re(k),t=1/(sqrt(3))*(-a-2*b)))}\end{center}
On obtient l'abscisse de $B$ :
\begin{center}{\tt (-2*sqrt(3))/3*a+(-(sqrt(3)))/3*b}\end{center}
On tape (Attention l'ordonnee de $B$ est $-b$ !):
\begin{center}{\tt normal((aa-bb)\verb|^|2+(a+b)\verb|^|2)}\end{center}
On obtient la valeur de $AB^2$ :
\begin{center}{\tt (4*a\verb|^|2+4*a*b+4*b\verb|^|2)/3}\end{center}
On tape pour avoir l'aire de $ABC$ qui est $AB^2*sqrt(3)/4$:
\begin{center}{\tt normal(((aa-bb)\verb|^|2+(a+b)\verb|^|2)*sqrt(3)/4)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (sqrt(3)*a\verb|^|2+sqrt(3)*a*b+sqrt(3)*b\verb|^|2)/3}\end{center}
Puisque la m\'ediatrice du segment $PC$ passe par le centre $G$ du cercle 
circonscrit et que $G$ est l'isobarycentre de $A,B,C$ on tape :
\begin{center}{\tt G:=isobarycentre(A,B,C):;}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt simplify((abscisse(A)+abscisse(B)+abscisse(C))/3);}\end{center}
On obtient l'abscisse de $G$ :
\begin{center}{\tt (-a*sqrt(3)-b*sqrt(3))/3}\end{center}
On v\'erifie en tapant :
\begin{center}{\tt simplify(abscisse(G));}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(2*abscisse(G));}\end{center}
On obtient l'abscisse  de $P$ :
\begin{center}{\tt (-2*a*sqrt(3)-2*b*sqrt(3))/3}\end{center}
On v\'erifie en tapant :
\begin{center}{\tt simplify(abscisse(P))}\end{center}
\end{enumerate}

\item Une  solution en {\tt g\'eom\'etrie}\\
On suppose que la figure a \'et\'e r\'ealis\'ee :
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{volumes22008}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Puisque $A,B,C,P$ sont cocycliques et que $P$ et $B$ sont sur le m\^eme 
arc $\stackrel{\frown}{AC}$, on a :
$$\widehat{APC}=\widehat{ABC}=\frac{\pi}{3}$$ 
car ces angles interceptent l'arc $\stackrel{\frown}{AC}$.\\
Puisque $A,B,C,P$ sont cocycliques et que $P$ et $A$ sont sur le m\^eme 
arc $\stackrel{\frown}{BC}$, on a :
$$\widehat{BPC}=\widehat{BAC}=\frac{\pi}{3}$$ 
car ces angles interceptent l'arc $\stackrel{\frown}{BC}$.\\ 
donc on a :
$$\sin(\widehat{APC})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{a}{AP}$$
$$\sin(\widehat{BPC})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{b}{BP}$$
On a donc :
$$AP=\frac{2a}{\sqrt 3} \mbox{ et } BP=\frac{2b}{\sqrt 3}$$
\item Pour calculer $AB^2$, on consid\`ere le triangle $APB$ donc l'angle $P$ 
vaut $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ donc on a :
$$AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*\cos(\frac{2\pi}{3})=\frac{4(a^2+b^2+ab)}{3}$$
\item L'aire d'un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e $l$ vaut :
$l^2*\frac{\sqrt 3}{4}$ donc l'aire du triangle $ABC$ vaut :
$$\frac{\sqrt 3(a^2+b^2+ab)}{3}$$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Int\'egration. Calcul d'int\'egrales par des m\'ethodes vari\'ees}
 \begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $[0, +\infty[$ par 
$$F (x) =\int_0^x  \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$.
                                                           
On consid\`ere la fonction $u$ d\'efinie sur $[0, +\infty[$ par :
$$u(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$$
\item a) Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction  $\ F\circ  u$.

   b) En d\'eduire que, pour tout r\'eel $x \in  [0, +\infty[$, on a 
$\ F\circ   u (x) = x$.

   c) Calculer $F(2)$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Pr\'eciser les th\'eor\`emes utilis\'es dans cet exercice.\\
Q.2) Proposer une solution de la question 2) telle que le candidat la 
pr\'esenterait \`a une classe.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 % voir intcapes2008.xws
\begin{enumerate}
\item
On tape pour d\'efinir $F(x)$:
\begin{center}{\tt F(x):=int(1/sqrt(1+t\verb|^|2),t,0,x)}\end{center}
On tape pour avoir $F'(x)$:
\begin{center}{\tt normal(diff(F(x),x))}\end{center}
On obtient puisque $F(x)$ est la primitive de $1/\sqrt{1+x^2}$ qui 
s'annule en 0 :
\begin{center}{\tt (sqrt(x\verb|^|2+1))/(x\verb|^|2+1)}\end{center}
\item
On tape pour d\'efinir $u(x)$, $H(x)=F(u(x))$ et $H'(x)$ :
\begin{center}{\tt u(x):=(exp(x)-exp(-x))/2}\end{center}
\begin{center}{\tt H(x):=int(1/sqrt(1+t\verb|^|2),t,0,u(x))}\end{center}
\begin{center}{\tt tsimplify(diff(H(x),x))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center} 
En effet on peut faire le calcul \`a la main :\\
$H'(x)=u'(x)F'(u(x))=u'(x)/\sqrt{1+u(x)^2}$ donc\\
$1+u(x)^2=(4+\exp(2x)+\exp(-2x)-2)/4=(\exp(x)+\exp(-x))^2/4$ \\
On a :\\
$u'(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2$  donc :\\
$H'(x)=1$\\
Pour tout r\'eel $x \in  [0, +\infty[$, on a  $H'(x)=1$ et $H(0)=0$ donc
on a :
$$\ H(x)=F\circ   u (x) = x,  \mbox{ si } x \in  [0, +\infty[ $$
\item
On tape :
\begin{center}{\tt solve(u(x)=2,x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [ln(sqrt(5)+2)]}\end{center}
On en d\'eduit que :\\
$F(2)=F(u(\ln(\sqrt 5+2)))=H(\ln(\sqrt 5+2))=\ln(\sqrt 5+2)$.\\
On tape pour v\'erifier :
\begin{center}{\tt F(2)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -(ln(sqrt(5)-2))}\end{center}
et on a bien $-(\ln(\sqrt 5-2))=\ln(\sqrt 5+2)$.\\
On tape pour calculer $F(x)$ :
\begin{center}{\tt F(x)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt -(ln(sqrt(x\verb|^|2+1)-x))}\end{center}
ou encore, on tape :
\begin{center}{\tt normal(lncollect(-(ln(sqrt(x\verb|^|2+1)-x))- ln(sqrt(x\verb|^|2+1)+x)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center} 
Donc $$F(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$$
On peut aussi remarquer que $F(x)$ et $\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ ont la m\^eme 
d\'eriv\'ee et que $F(0)=\ln(\sqrt{0^2+1}+0))=0$.\\
On a donc :\\
$F(u(x))=\ln(\sqrt{1+u(x)^2}+u(x))=$\\
$\ln((\exp(x)+\exp(-x))/2+(\exp(x)-\exp(-x))/2)=\ln(\exp(x))$
Donc $H(x)=F(u(x))=x$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : G\'eom\'etrie.\\ Interpr\'etation g\'eom\'etrique des nombres complexes}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
 Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct 
$(O, \overrightarrow u, \overrightarrow v )$. On note
$(c)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
  \begin{enumerate}
\item Faire la figure 
\item  Soit $A$ un point de $(c)$ d'affixe $a$. On note $(T_a)$ la 
tangente en $A$ \`a $(c)$.

Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$.

Montrer que $M$ appartient \`a $(T_a)$ si et seulement si
$\displaystyle \frac{z-a}{a}$ est imaginaire pur.

\item  D\'eduire que $M$ appartient \`a $(T_a)$ si et seulement si $z$ 
v\'erifie l'\'egalit\'e~:\\
          $z \overline a + \overline z a = 2$.
\item Soient $A$ d'affixe $a$ et $B$ d'affixe $b$ deux points distincts de 
$(c)$ tels que $a + b \neq 0$. Montrer que les droites $(T_a)$ et $(T_b)$, tangentes \`a $(c)$ 
respectivement en $A$ et $B$, sont s\'ecantes et que leur point d'intersection 
a pour affixe  $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) D\'egager les m\'ethodes et les savoirs mis en jeu dans la r\'esolution de l'exercice.\\
Q.2) Proposer une solution de la question 1) telle que le candidat la 
pr\'esenterait \`a une classe.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
%Il faut cocher {\tt Complexe} et d\'ecocher {\tt Variables\_complexes}
%dans la configuration du CAS
%voir complexe2008.xws
\begin{enumerate}
\item La figure\\ 
On remarque que pour faire la figure il faut choisir comme param\`etre 
l'argument $t_a$ de l'affixe de $A$. On a alors $a=\exp(i*t_a)$.\\
On tape :
\begin{verbatim}
c:=cercle(0,1):;c;
assume(ta=[0.4,-3.2,3.2,0.1]);
A:=point(exp(i*ta));
a:=affixe(A);
Ta:=tangente(c,A):;Ta;
assume(tt=[0.7,-5,5,0.1]);
M:=element(Ta,tt);
m:=affixe(M);
N:=point(a+a*i*tt);
assume(tb=[1.3,-3.2,3.2,0.1]);
B:=point(exp(i*tb);
b:=affixe(B);
Tb:=tangente(c,B):;Tb;
K:=inter_unique(Ta,Tb);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=10cm]{complexe2008}\end{center}
Dans la figure ci-dessus, le point $M$ sur la tangente $T_a$ et le point $N$
est un point d'affixe $n=a+a*i*tt$ c'est \`a dire tel que 
$\displaystyle \frac{n-a}{a}$ est imaginaire pur.
\item
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(re((m-a)/a))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
Donc si $M$ d'affixe $m$ est sur la tangente $T_a$, on a {\tt re((m-a)/a)=0} 
c'est \`a dire $\displaystyle \frac{m-a}{a}$  est imaginaire pur.\\
On tape :
\begin{center}{\tt est\_element(N,Ta)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
Donc si $N$ d'affixe $n$ tel que $\displaystyle \frac{n-a}{a}$ est imaginaire 
pur, alors $N$ est un \'el\'ement de $T_a$.
\item
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(m*conj(a)+conj(m)*a)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 2}\end{center}
Donc si $M$ d'affixe $m$ est sur la tangente $T_a$, on a 
$m \overline a +a \overline m=2$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt L:=csolve(r*conj(a)+conj(r)*a=2,r)}\end{center}
On obtient (\verb|` x`| d\'esigne la partie r\'eelle de $r$) :
\begin{center}{\tt [` x`+(i)*1/(sin(ta))*(-` x`*cos(ta)+1)]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(re((L[0]-a)/a))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
Donc si $R$ d'affixe $r$ v\'erifie $r*\overline a+\overline r*a=2$,
on a $(r-a)/a$ est imaginaire pur donc d'apr\`es la question
pr\'ec\'edente $R$ est sur la tangente $T_a$.
\item Les tangentes \`a un cercle sont concourantes si et seulement si leurs 
points de contact ne sont pas diam\'etralement oppos\'es, c'est \`a dire ici, 
si $a+b \neq 0$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt simplify(trig2exp(affixe(K)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt ((2*i)*exp((i)*ta)*exp((i)*tb))/ ((i)*exp((i)*ta)+(i)*exp((i)*tb))}\end{center}
On tape (on quote {\tt a} et {\tt b} pour avoir le r\'esultat en fonction
de {\tt a} et {\tt b}) :
\begin{center}{\tt subst(k,[exp(i*ta)='a',exp(i*tb)='b'])}\end{center}
Ou on tape :
\begin{center}{\tt subst(k,[exp(i*ta)=quote(a),exp(i*tb)=quote(b)])}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt ((2*i)*a*b)/((i)*a+(i)*b)}\end{center}
Donc l'affixe $k$ de $K$ vaut :
$$\frac{2ab}{a+b}$$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Probabilit\'es}
 \begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat
 Cet exercice est un QCM. Pour chaque affirmation une seule des r\'eponses A,
   B ou C est exacte et il s'agit de la trouver.
\begin{enumerate}
\item  Dans une classe de 31 \'el\`eves, 12 \'el\`eves jouent au tennis, 8 
\'el\`eves jouent au football et 5 \'el\`eves jouent \`a la fois au tennis et 
au football.
On interroge au hasard un \'el\`eve de cette classe. La probabilit\'e que cet 
\'el\`eve ne joue ni au tennis ni au football est :
$$\framebox{A}\  \frac{6}{31}\hspace{1cm}  \framebox{B}\  \frac{16}{31} \hspace{1cm}   \framebox{C}\ \frac{11}{31} $$ 

\item Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires. On tire 
successivement et au hasard deux boules en respectant le protocole suivant : 
si la premi\`ere boule tir\'ee est noire alors on la remet dans l'urne avant de
tirer la seconde boule. Si la premi\`ere boule est blanche alors on ne la remet
pas dans l'urne avant de tirer la seconde boule.

La probabilit\'e d'obtenir exactement une boule blanche \`a l'issue des deux 
tirages est :
$$\framebox{A}\  \frac{3}{5}\hspace{1cm}  \framebox{B}\  \frac{27}{50} \hspace{1cm}   \framebox{C}\ \frac{12}{22} $$ 
             
\item On dispose d'une urne $U_1$ contenant quatre jetons num\'erot\'es 1, 1, 
2, 3 et d'une urne $U_2$ contenant trois jetons num\'erot\'es 2, 3, 3. 
On tire au hasard un jeton dans chaque urne et on appelle $X$ la variable 
al\'eatoire qui, \`a chaque tirage de deux jetons, associe la valeur absolue de
la diff\'erence des num\'eros port\'es par les deux jetons. L'esp\'erance 
math\'ematique de $X$ est :
$$\framebox{A}\  1\hspace{1cm}  \framebox{B}\  \frac{13}{12} \hspace{1cm}   \framebox{C}\ \frac{5}{6} $$ 
\end{enumerate}             
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Indiquer pour chacun des items de ce QCM les savoirs mis en jeu pour 
trouver la r\'eponse exacte.\\
Q.2) Justifier la r\'eponse \`a la question 2).
\item Une pr\'esentation et une solution avec ou sans {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item
On a donc 12-5=7 el\`eves ne jouent qu'au tennis, 8-5=3 ne jouent qu'au 
football,5 jouent au tennis et au foot et 31-(7+3+5)=16 el\`eves ne jouent ni 
au tennis ni au foot.
La reponse est donc 
\begin{center}{\tt 16/31}\end{center}
\item
On peut avoir :\\
une boule blanche au premier tirage puis une noire (probabilit\'e=3/5*2/4) ou
une boule noire au premier tirage puis une blanche (probabilit\'e=2/5*3/5)
On tape :
\begin{center}{\tt 3/5*2/4+2/5*3/5}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 27/50}\end{center}
\item
La variable $X$ peut prendre comme valeur :\\
0 pour le tirage (2,2) ou (3,3) ou (3,3)\\
1 pour le tirage (1,2),ou (1,2) ou (2,3) ou (2,3) ou (3,2)\\
2 pour le tirage (1,3) ou (1,3) ou (1,3) ou (1,3)
Donc :\\
$P(X=0)=3/12$\\
$P(X=1)=5/12$\\
$P(X=2)=4/12$\\
$E(X)=5/12+2*4/12$\\
On tape :
\begin{center}{\tt 5/12+2*4/12}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 13/12}\end{center}

\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Probl\`emes sur les configurations}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat\\
   Sur la figure ci-dessous :\\
\includegraphics[width=12cm]{configuration2008}
\begin{itemize}
\item les points $A, O_1 , O_2$ et $O_3$ sont align\'es dans cet ordre ;
\item les cercles $(c_1 ), (c_2 )$ et $(c_3 )$ ont pour centres 
respectifs $O_1, O_2, O_3$ et pour rayons respectifs 10, 20 et 59 
millim\`etres ;
\item le cercle $(c_2)$ est tangent aux cercles $(c_1)$ et 
$(c_3)$ ;
\item le point $A$ appartient \`a $(c_1)$ ;
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Construire, sur la figure jointe, \`a la r\`egle et au compas, une 
droite $(d)$ passant par $A$ et tangente \`a $(c_3)$ (on laissera visibles
les traits de construction).
  \item On appelle $H$ le projet\'e orthogonal de $O_2$ sur $(d)$. Calculer 
la distance $O_2H$ et justifier que $(d)$ coupe $(c_2)$ en deux points, que 
l'on notera $B$ et $C$.
\item Calculer la distance $B C$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Pr\'eciser les savoirs mis en jeu dans la r\'esolution de l'exercice.\\
Q.2) Proposer une solution de la question 2) telle que le candidat la 
pr\'esenterait \`a une classe.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
%voir configuration2008.xws
\begin{enumerate}
\item Si $(d)$ passe par $A$ et est tangente a $c_3$ au point $M$, on a l'angle
$\widehat{AMO_3}$ est droit donc $M$ se trouve sur le cercle $c$ de diam\`etre 
$AO_3$. On fait la figure.\\
On tape :
\begin{verbatim}
O1:=point(-4);
c1:=cercle(O1,1);
O2:=point(-1);
c2:=cercle(O2,2);
O3:=point(69/10);
c3:=cercle(O3,59/10);
A:=point(-5);
c:=cercle(A,O3,affichage=1);
L:=inter(c,c3):;
M:=L[0];d:=droite(A,M);
N:=L[1];droite(A,N);
H:=projection(d,O2);
LL:=inter(c2,d):;
B:=affichage(LL[0],quadrant4);
C:=affichage(LL[1],quadrant3);
segment(O2,H,affichage=1);
segment(O3,M,affichage=1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=10cm]{configuration12008}\end{center}
\item Pour calculer $O_2H$ on remarque que les triangles $AO_2H$ et$AO_3M$ sont
homoth\'etiques, donc  $O_2H/O_3M=AO_2/AO_3=40/(20+40+59)$  
On tape :
\begin{center}{\tt 59/10*4/(2+4+59/10)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 236/119}\end{center}
On v\'erifie :
\begin{center}{\tt normal(longueur(O2,H))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 236/119}\end{center}
\item On a $(BC/2)^2=O_2B-O_2H^2=4-(236/119)^2$.\\
On tape :
\begin{center}{\tt normal(2*sqrt(4-(236/119)\verb|^|2))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (4*sqrt(237))/119}\end{center}
On v\'erifie :
\begin{center}{\tt normal(longueur(B,C))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt (4*sqrt(237))/119}\end{center}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Int\'egration}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat
   L'exercice a pour objet d'\'etudier la suite $(I_n )_{n\in \mathbb N^*}$ 
d\'efinie pour tout entier $n\geq  1$ par :
 $$I_n =\int_1^e x^2(\ln x)^ndx$$
\begin{enumerate}
\item  Calculer $I_1$ et montrer que pour tout entier $n\geq 1$, on a :
$$I_{n+1}=\frac{e^3}{3}-\frac{n+1}{3}I_n$$
\item  a) \`A l'aide d'une calculatrice, donner une conjecture sur le sens de 
variation  et la convergence de la suite $(I_n )_{n\in \mathbb N^*}$.

      b) D\'emontrer les propri\'et\'es conjectur\'ees \`a la question 2) a).
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) Indiquer, pour chaque question de l'exercice, les savoirs mis en jeu.\\
Q.2) Pr\'esenter une solution de la question 2).
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
%voir suite2008.xws
\item
On tape :
\begin{center}{\tt I(n):=int(x\verb|^|2*ln(x)\verb|^|n,x,1,e)}\end{center}
\begin{center}{\tt normal(I(1))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 2/9*exp(1)\verb|^|3+1/9}\end{center}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt factor(ibpu(x\verb|^|2*ln(x)\verb|^|(n+1),ln(x)\verb|^|(n+1)))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [(x\verb|^|3*ln(x)\verb|^|(n+1))/3, ((-(x\verb|^|2))*(n+1)*ln(x)\verb|^|(n+1))/(3*ln(x))]}\end{center}

On tape :
\begin{center}{\tt assume(n>0);preval(x\verb|^|3*ln(x)\verb|^|(n+1)/3,1,e)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt n,1/3*exp(1)\verb|^|3}\end{center}
Donc 
$$I_{n+1}=\frac{e^3}{3}-\frac{n+1}{3}I_n$$

\item
Si $x\in [0;e]$, on a $0\leq \ln(x)^{n+1}\leq \ln(x)^n$ donc
$0<I_{n+1}<I_n$.\\
La suite $I_n$ est donc positive et d\'ecroissante.\\
On a $I_{n+1}>0$, donc en se servant de la relation de r\'ecurrence trouv\'ee, 
on a $\displaystyle I_n<\frac{e^3}{n+1}$.\\
On peut aussi utiliser l'in\'egalit\'e :\\
si $x\in [1;e]$ alors $1/x \leq x^2=x^3/x \leq e^3/x$ donc \\
$$\frac{1}{n+1}=\int_1^e\frac{\ln(x)^n}{x} dx\leq I_n \leq \int_1^e e^3*\frac{\ln(x)^n}{x}dx=\frac{e^3}{n+1}$$
On peut aussi dire : la suite $I_n$ est d\'ecroissante et minor\'ee donc est 
convergente vers $l$. $l$ est forc\'ement \'egale \`a 0 car on doit avoir :\\ 
$\lim((n+1)*I_n)=e^3/3$ quand $n->+\infty$.\\
Donc $I_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.\\
On peut avoir un encadrement de $I_n$ puisque :\\
 $\displaystyle I_{n+1}<\frac{e^3}{n+2}$ ce qui entraine 
$\displaystyle \frac{e^3}{n+1}(1-\frac{3}{n+2})<I_n$, donc
 $$\frac{e^3}{n+1}\frac{n-1}{n+2}<I_n<\frac{e^3}{n+1}$$
On peut raffiner car $\displaystyle I_{n+1}>\frac{e^3}{n+2}\frac{n}{n+3}$ 
donc :\\
$\displaystyle \frac{(n-1)e^3}{(n+1)(n+2)}<I_n<\frac{e^3}{n+1}-\frac{3ne^3}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ d'o\`u 
%$\displaystyle \frac{e^3((n+2)(n+3)-3n}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ donc
 $$\frac{(n-1)e^3}{(n+1)(n+2)}<I_n<\frac{e^3(n^2+2n+6)}{(n+1)(n+2)(n+3)}$$
On tape par exemple avec Digits:=20 :\\
{\tt evalf(e\verb|^|3*48/(50*51))} renvoie :\\
{\tt 0.378080695024709039824}\\
{\tt evalf(e\verb|^|3*(49\verb|^|2+2*49+6)/(50*51*52))} renvoie  :\\
{\tt 0.379443966761576981074}\\
donc
$$0.378080695024709039824<I_{49}<0.379443966761576981074$$
Si on tape avec Digits:=20 : \\
{\tt romberg(x\verb|^|2*ln(x)\verb|^|49,x,1,exp(1))}\\
On obtient :\\
{\tt 0.379370865517700976837}\\
Si on tape : \\
{\tt evalf(I(49), Digits:=20)}\\
On obtient :\\
{\tt 0.184467440737095516160e20}\\
 c'est tres mauvais!!!!\\
Si on tape : \\
{\tt evalf(I(49), Digits:=40)}\\
On obtient :\\
{\tt 0.37500000000000000000000000000000000000000} \\
c'est encore mauvais !!\\
Si on tape : \\
{\tt evalf(I(49), Digits:=50)}\\
On obtient :\\
{\tt 0.379370865513919852674007415771484375000000000000000}\\
 c'est correct !\\
Si on tape : \\
{\tt I(49)}\\
On obtient 
$$-\frac{965058896319749135014329908029272978088272577310174}{22876792454961}*\exp(1)^3-$$
$$ \frac{-19383726095081060488362942943011041297039360000000000}{22876792454961}$$
\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : G\'eom\'etrie\\Probl\`emes de recherche de lieux g\'eom\'etriques}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat
   Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non align\'es. On se propose de 
d\'eterminer l'ensemble $L$ des points $M$ du plan tels que les triangles $MAB$
et $MAC$ aient la m\^eme aire.

On note $(d_0)$ la parall\`ele \`a $(B C)$ passant par $A$ et $(d_1)$ la 
m\'ediane issue de $A$ dans $ABC$.
  \begin{enumerate}
\item  Montrer que l'ensemble $(d_0)\cup (d_1)$ est inclus dans $L$.

     Pour tout point $M$ distinct de $A$, on note $d_B$ et $d_C$ les distances 
respectives de $B$ et $C$ \`a la droite $(AM)$.
  \item Soit $M$ un point n'appartenant pas \`a $(d_0)$. On appelle $J$ 
l'intersection de la droite $(AM)$ et de la droite $(B C)$.

a) Montrer que si $M\in  L$ alors $d_B = d_C$.

b) En d\'eduire que $J$ est le milieu de $[B C]$.
\item Conclure sur l'ensemble $L$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) D\'egager les m\'ethodes et les savoirs mis en jeu dans la r\'esolution de l'exercice.\\
Q.2) Proposer une solution de la question 2) telle que vous la pr\'esenteriez 
\`a une classe.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item
On tape :
%voir lieu2008.xws
\begin{verbatim}
A:=point(-2,-2,'couleur'=0);
B:=point(3,1,'couleur'=0);
C:=point(-2,3/2,'couleur'=0);
d0:=parallele(A,droite(B,C), affichage=1);
T:=triangle(A,B,C):;T;
d1:=mediane(A,B,C,affichage=1);
assume(t=[0.4,-5.0,5.0,0.0]);
M:=element(d0,t);
N:=element(d1,t);
normal(aire(A,M,B));
normal(aire(A,M,C));
normal(aire(A,N,B);
normal(aire(A,N,C);
\end{verbatim}
On obtient (attention avec {\tt Xcas} les aires sont alg\'ebriques !) :
\begin{center}\includegraphics[width=\textwidth]{lieu2008}\end{center}
\item
Soient $B1$ et $C1$ sont les projections de $B$ et $C$ sur la droite $AM$ et 
posons : $d_B=BB1$ et $d_C=CC1$. 
Si les aires des triangles $AMB$ et $AMC$ sont \'egales c'est que $B$ et $C$ 
sont des points \'equidistant de la droite $AM$ puisque on a :\\
aire($AMB$)=$AM$*$d_B$=aire($AMC$)=$AM$*$d_C$. \\
Il faut distinguer 2 cas :
\begin{itemize}
\item soit $B$ et $C$ sont d'un m\^eme c\^ot\'e par rapport \`a $AM$ et alors
$AM$ et $BC$ sont parall\'eles car $BCC1B1$ est un rectangle.\\ 

\includegraphics[width=10cm]{lieuf12008}

\item $B$ et $C$ sont de part et d'autre de  $AM$ et alors $AM$ est la 
m\'ediane du triangle $ABC$ : en effet si $AM$ coupe $BC$ en $J$, les triangles
rectangles $BB1J$ et $CC1J$ sont \'egaux et donc $BJ=CJ$.\\

\includegraphics[width=10cm]{lieuf22008}
\end{itemize}
On en d\'eduit donc que $L=(d_0)\cup (d_1)$

\end{enumerate}
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Th\`eme : Interpr\'etation g\'eom\'etrique des nombres complexes}
\begin{itemize}
\item L'exercice propos\'e au candidat
\begin{enumerate}
\item  Les nombres complexes $a_1, a_2 , a_3$ et $a_4$ sont   donn\'es.\\
R\'esoudre le syst\`eme d'\'equations :
$$
\left\{
\begin{array}{rl}                                      
 z_1 + z_2 &= a_1\\
 z_2 + z_3 &= a_2\\
 z_3 + z_4 &= a_3\\
 z_4 + z_1 &= a_4\\
\end{array}
\right.
$$
d'inconnue $(z_1 , z_2 , z_3 , z_4 )\in \mathbb C^4$.
\item Dans le plan, on consid\`ere un quadrilat\`ere $A_1 A_2 A_3 A_4$.

   Montrer qu'il existe un quadrilat\`ere $M_1 M_2 M_3 M_4$ dont les milieux 
des c\^ot\'es sont les points $A_1,A_2,A_3$ et $A_4$ si et seulement si le 
quadrilat\`ere $A_1 A_2 A_3 A_4$  est un parall\'elogramme.

   Montrer que, dans ce cas, le point de concours des diagonales du 
parall\'elogramme $A_1 A_2 A_3 A_4$ est l'isobarycentre des points 
$M_1,M_2,M_3$ et $M_4$.
\end{enumerate}
\item Le travail demand\'e au candidat\\
Pendant sa pr\'eparation, le candidat traitera les questions suivantes :\\
Q.1) D\'egager les diverses \'etapes de la r\'esolution de la premi\`ere question de l'exercice.\\
Q.2) Indiquer les connaissances et savoir-faire mis en jeu dans cet exercice.
\item Une pr\'esentation et une solution avec {\tt Xcas}
 \begin{enumerate}
\item
On tape :
\begin{center}{\tt A:=syst2mat([z1+z2=a1,z2+z3=a2,z3+z4=a3, z4+z1=a4], [z1,z2,z3,z4])}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [[1,1,0,0,-a1],[0,1,1,0,-a2],[0,0,1,1,-a3], [1,0,0,1,-a1+a2-a3]]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt B:=A[0..3,0..3] }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [[1,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,1,1],[1,0,0,1]]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt det(B)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
ce qui veut dire qu'une ligne (par exemple la derni\`ere ligne) est combinaison
des autres lignes. On a :
$z_1+z_4=(z_1+z_2)-(z_2+z_3)+(z_3+z_4)$
Donc, il y a des solutions si on a {\tt a4:=a1-a2+a3}.\\
On tape :
\begin{center}{\tt C:=A[0..2,0..2] }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [[1,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt det(C)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
Donc, il y a des solutions si et seulement si on a {\tt a4:=a1-a2+a3}.
On tape :
\begin{center}{\tt a4:=a1-a2+a3}\end{center}

\begin{center}{\tt linsolve([z1+z2=a1,z2+z3=a2,z3+z4=a3, z4+z1=a4], [z1,z2,z3,z4])}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt [a1-a2+a3-z4,a2-a3+z4,a3-z4,z4]}\end{center}

\item On traite le probl\`eme avec les complexes
Si les 4 points $M_1,\ M_2,$ $M_3,\ M_4$ ont pour affixe $z_1 , z_2 , z_3 , z_4$
Les milieux des c\^ot\'es du quadrilat\`ere $M_1 M_2 M_3 M_4$
ont alors pour affixe $b_1,b_2,b_3,b_4$ on doit donc avoir :
$$\frac{z_1+z_2}{2}=b_1, \frac{z_2+z_3}{2}=b_2, \frac{z_3+z_4}{2}=b_3, \frac{z_4+z_1}{2}=b_4$$
On pose :
$$a_1=2b_1,a_2=2b_2,a_3=2b_3,a_4=2b_4$$
On a vu pr\'ec\'edement que le syst\`eme 
$$
\left\{
\begin{array}{rl}                                      
 z_1 + z_2 &= a_1\\
 z_2 + z_3 &= a_2\\
 z_3 + z_4 &= a_3\\
 z_4 + z_1 &= a_4\\
\end{array}
\right.
$$
a des solutions si et seulement si 
$a_1-a_2+a_3-a_4=0$ ou encore \\
$$\frac{a_1}{2}-\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{2}-\frac{a_4}{2}=b_1-b_2+b_3-b_4=0$$
 ou encore \\
$b_2-b_1=b_3-b_4$
ou encore :\\
$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_4A_3}$
c'est \`a dire que le quadrilat\`ere $A_1 A_2 A_3 A_4$  est 
un parall\'elogramme.\\

\item Avec un raisonnement g\'eom\'etrique
On ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie exacte et on clique sur 4 points que l'on 
nomme {\tt M1,M2,M3,M4} en modifiant les niveaux.\\
Puis, on tape :
\begin{verbatim}
A1:=milieu(M1,M2);
A2:=milieu(M3,M2);
A3:=milieu(M3,M4);
A4:=milieu(M1,M4);
polygone(M1,M2,M3,M4);
polygone(A1,A2,A3,A4,affichage=1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=10cm]{compl12008}\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt est\_parallelogramme(A1,A2,A3,A4)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
R\'eciproquement, On ouvre un \'ecran de g\'eom\'etrie et on clique sur 3 
points {\tt B1,B2,B4}
puis, on tape :
\begin{center}{\tt parallelogramme(B1,B2,B4,B3)}\end{center}
on clique sur un point {\tt N1} puis, on tape :
\begin{verbatim}
N2:=symetrie(B1,N1);
N3:=symetrie(B2,N2);
N4:=symetrie(B3,N3);
N1N:=symetrie(B4,N4)
polygone_ouvert(N1,N2,N3,N4,N1N,affichage=1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}{\tt \includegraphics[width=7cm]{compl22008}}\end{center}
On v\'erifie que {\tt N1N} et {\tt N1} on le m\^eme affixe, on tape :
\begin{center}{\tt affixe(N1N)==affixe(N1)}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 1}\end{center}
ou on tape :
\begin{center}{\tt normal(affixe(N1N)-affixe(N1))}\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt 0}\end{center}
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{document}
<<<<<<< variant A
 On tape :
\begin{center}{\tt }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt }\end{center}
On tape :
\begin{center}{\tt }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt }\end{center}
>>>>>>> variant B
======= end

<<<<<<< variant A

\end{document}
>>>>>>> variant B
======= end
