Capes et Xcas

Renee.Degraeve@wanadoo.fr   Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr

2010

Table des matières

On donne dans ce texte quelques informations pour les candidats au Capes désirant s’informer sur l’utilisation de Xcas pendant les oraux.

1  Comparaison des fonctionnalités des logiciels.

La liste des logiciels est disponible sur le site du jury de capes de maths :
http://capes-math.org/
Il s’agit de logiciels libres ou gratuits, sauf les émulateurs de calculatrices (il existe des versions d’essai d’un mois). Pour les émulateurs de calculatrices, on note l’absence d’émulateur TI89/92/Voyage 200 (cet oubli sera peut-être corrigé?). Merci de signaler des erreurs éventuelles.

unP>selume : llatathme 2)sunelgraexerceur ts er tat veusr lalHTns iezàl Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques To3. <’auto;>t cfautBfairNDchtosurdrNDàl Fonctgme emrÉquatioretques ice:agles ifairNDobservs inf champ d PrtNlg .1tur l >de reBR> Fonctigp.1lospes me : One Fonctguf<0u′=1−/SUyuretqe ctNréc in:0exABLET>fuatdplot(1-y,[x,y]) e qugratnicha> e poiude(sI>xu,/SUyu),Dl-Spn:0e: llatNlg .1t vautB1−/SUyume : Puis e ctNréc in:0exABLET>tioera-->ve_plotots(1-y,[x,y])lANCselume ->seblsisnao>e : covlm l-->dire: Analyitiotaes m dl l PrtNlg .1tume : Oneobts .1r:n Aargum .1r l’utfuatdplotation eE>
tioera-->ve_plototsation te dta:fe : Anar>ionh(x,y)ygraation.oe : One Fonctgu) /SUyu′=cos(sI>xu)−(1 +tat(sI>xu))/SUyu. Pontg lsBfac Thèe du jisebe :œuvre, ctgouvrein- écranyde: Interpréeeetqe cnnforme legmTnu>e capesionGN=cen->Slopefuatd/Ots(2d) srtatilgraongremN=it : urs 3  Oral ="text/A>
    one one onettita:vacentgde /SUyu′curnescos(x)-(1+tat(x))*yation,éométriques legéo es par dFblporrnesxation eE>LET>yation,éométriques onettiteigme emrÉqs parcentsr bleedrateuetqe cmettespas.éométOKation.oe : Oneobts .1rnf hamp d PrtNlg .1tur lu) ttita:sODY > eg: urs rginuesin:0exABLET>fuatdplot(cos(x)-(1+tat(x))*y,[x,y],nextelize)ls décranyde: Interpréeeetqe cobts .1rn-e u) pasmudepar ne poiudettita:sODY > eg: urs rginuesin:0exABLET>A:=plotots(cos(x)-(1+tat(x))*y,[x,y])Ate="GparatBnoe : Lorstatilf hamp d PrtNlg .1turte dnextelispe, : PrtNlg .1tur se tD++ e poiudpendanométriques Onefait  TsoudrNDlgrahe> Fonctgu0)epar utilisation, e ctNréc in:0exABLET>desolve(ygra+y-1,x,y)in:0exABLET>(exp(x)+c_0)/(exp(x)) Onefait  TsoudrNDlgrahe> Fonctgu)epar utilisation, e ctNréc in:0exABLET>desolve(ygra+(1+tat(x))*y-cos(x),x,y)in:0exABLET>(cos(x)*exp(x)+c_0*cos(x))/(exp(x))
loar> e qugraoneobts .1rnfNCselume -> lu)>e :multiN=ia.1rnfNCselume -> lu0)epar nos(sI>xu). endanométriques One Problèl-Solume :>n+1" lu) ts er tat +1<0)=0,:avecDutilisation de ctNréc in:0exABLET>desolve([ygra+(1+tat(x))*y-cos(x),y<0)=0],x,y)in:0exABLET>[(cos(x)*exp(x)-cos(x))/(exp(x))] One (ce fairNDfairNDpar utilisation leg hangÉtude dufe : AnarticonnuTl /UL>u0)e(>n+1u)=>n+1u)/ nos(sI>xu))me : OnetNréc in:0exABLET>E2:=factil(exp > (subst(g(x)gra+g(x)-1,g(x)=f(x)/cos(x)))) Fonctgvéfdes Dpar n+1u)>c in:0exABLET>(cos(x)*me (f(x),x)+cos(x)*f(x)-cos(x)l-Sfe : Anarisn>e :ltrfe : Analytatgueucos puis factilsmeit: OnetNréc in:0exABLET>nextel(isn2costat(E2)) Fonctgvéfdes Dpar n
+1u)>c in:0exABLET>(-cos(x)+me (f(x),x)+f(x)*tat(x)+f(x))/(cos(x))u)me : OneremN=acT n+1u)>nos(sI>xu)*>n+1u))retqe ctr//Dtextll-Sfe : Anartatgu :ltrfe : Analyisn>eeucos etqe ctNréc in:0exABLET>factil(tat2sticos(subst(f(x)gra+(1+tat(x))*f(x)- cos(x), f(x)=cos(x)*g(x))))obts .1lgrahe> Fonctgtatiooieevéfderr>n+1"c in:0exABLET>cos(x)*(-1+me (g(x),x)+g(x))ométriques One (ce fairNDfairNDpar utilisation legmesplè(e :rouge) dtrfe : Analy>n+1"t1r/SUgu qui0se tDre l.-->votudeleur selume ->exaccen>
+"midd+1u)′+(1+tat(sI>xu))*n+1u)−cos(sI>xu)AME=E="t1rAME=E=+1<0)=0center NOWRA+"midd+1u)′+>n+1u)=1E=E="t1rAM>n+1<0)=0center NOWRAin:0exABLET>plotfunc((cos(x)*exp(x)-cos(x))/(exp(x)), x,afen hage=rouge))avecDl-Sselume :apprin:0exABLET>plotots(cos(x)-(1+tat(x))*y,[x,y],[0,0],ulan)t les orubs
LogicielGéo 2-d3-dGraphesTableurSuitesCAS1Algo
Algobox      +
ClassPad Manager++ 2d 3d++++++=
Geogebra+++ 2d+=+ 
Geoplan/Geospace+=+2d 3d =  
Maxima  2d 3d =+++++
OpenOffice.org  2d+++=  
Python      +++
[cilab
Maxima     +++
Python+++ 2d +++  
ClassPad Manager++ 2d 3d++++++++
++ClassPad Manager 2d 3d +++  
1+++2d 3d++=+++Bien +vn de>legéomér lcapes+//capesssal’>1e : Interpréee3te: lgratioerface>l-S"#htoc2niblpoiude duvue 3tegueurshèmefaces) m l dait très peu enels ivP (cte det0 (cet oubli cbj.-->f).éométriques ues inf tN=centgueuunshès>au tN=cent, lgratioerface>avecDl-S".12  Thèéométriques ues infsu comporl’absurmpo,Dl-Sre Tseehème :en +e dsVmN=e>avecDTI,uCasio,’utilisation. L tN=ceau duvacentg (ce oubliob/Tnu>avecDngrat
nne d tN=cent.!--S Tsolume : désllr sion-HEnies par une
relatiodet0 ossicielricelisdsVmN=e->avecDutilisation eE>LIGN=l.éométriques ues inf : Prob désl,>

se tDutilisation eE>LIGN=lDqui0oudelegplurie e :algo3.4 hèm : LIGN=lel dait vaitudelimihèeàlatricppsurmissateuiblB.A.-BA (pas nnformeciele :1-->T S ou>au-delà, mais es loseblèl-S ossic ThèersioexBR> tTD>e :pas-à-pas. Lèl-ngateuie->LIGN=padodet0es0 (c dUL>>mIGN=lDte dcque do, mais legploiTD>te nu étatiuntattud. PIGN=l"titlemain">Capes p.1losent0es0l-ngateucque do>avecD éboR> Ca tioera-->f, PIGN=l"tst0es0l-ngateugénemraEC EN,:alotsrtatiutilisation te dils .15 jury dcNDqui0selos0l-disp Fonct (ce oubliu :ava tateuou>u :i convéns .1.es LIGN =left : PDte dcertais typeeàla-S or15e du to3. legm Il s, =l"tst0me du nn-HEdUdrNDtrurND -->de reautrs ce 15 des ( mois). PourTIgueuCasio), mais avecDlgraticonvéns .1r sionnformeites > Il s p.1l destairND(avecDiero typeen-HEs (il eiste des veiciels e)pendant les oraux.2  Ss des logiciels.-->

Lométrique des éométriques ExemN=e-><’informer sur l->Lométrique des me : Dém Algèmér!--éairNDen STSe cape mTnu>CAS▸Algèmér!--éairN ttiCmds▸Alg!--éométriques Syst Thème BR> FonctigueurgratiBR> Fonctie capes de msolve,>!--solvemecapeséométriques Droomportuqulane cape s de mdroomp (paracSEle,0 (Dde Fonct (parameqmecapeséométriques Droomporetqulans unelgraeOWRAP e capes de mdroomp (planmecapes, capes de mparacSEle,0 (Dde Fonct (parameqmecapes, s de mtioer_ulhème capeséométriques Droomporloar> Fblportuqt dlgloe cape mTnu>Geo▸Ligns éométriques Ledcercloe cape mTnu>Geo▸Cerclos, s de mtlg .1e capes, s de me> Fonct (parameqmecapeséométriques Sargies unelgraeOWRAPe capemTnu>Geo▸Sargies etqGeo▸Sargies_Pes o-éométriques Bary++ ProduitiscalairNe capes de mproduit_scalairNmecapeséométriques Trigonterpréee cape mTnu>Expresisaréométriques Produiti Outils -,:produitimixtNe capes de mcroslculot//capeséométriques Homothéqua,gtranses par,>tsoerpréelqulanPn,>sVm ThudmlqulanPne capeMTnu>Geo▸3C//Dtexte queléométriques Pro0  Thème Converg, on neu comporls erree cape(s de m!-mit//capes) éométriques GN=cen a3.4  Thèmn,>sN=cen cherche de lieéométriques GN=cen du teésggénemraEI>n = P(uPs, sI>(uPpuPs, ln(sI>(u),I>n = ∈ ℝP<+*Ps, sI>p> = ∈ ℕ, sI>(u ∈ ℕP<*Pséométriques GN=cen du Lométrlslm tement e suites e
relatie capemTnu>du tN=cent>Maths▸GN=cen▸GN=cerl’absurmp, cape(s de mplotseqmecapes, s de mtN=ceseqmecapes), s de mrsolvemecapeséométriques Pro0  Thuamdufsudeàlatrihe udn neu compoe capeA e▸ExemN=es▸r3.7 ▸new o-.xw éométriques L-mitr sion-HEfe : Anarls er duva d lorls er e capes de m!-mit//capeséométriques me : Analyloga3.4 oéométriques me : AnalysxponÉquatioséométriques Croissa on chtoc1es gsI>euPxuPs, sI>xuPauPs, ln(sI>xu)e cape s de mplot, !-mit//capeséométriques Ces bmlqulanPn: dame de lie e capes de mplot dam (parameqmecapeséométriques Iion. Calcu, p.-mitevPng: capes de mtiomecapeséométriques Techntatur lec: Intégration. Calcul: capes de mtbpdvmecapes, s de mtbpue capes, s de msubstmecapes, cape s de mt!--,gtrig2uxp,>!--mecapes, de maalftat (partfracmecapes, capevoiD>ausis legmane d dsioexerceurs10"> e▸Mane ds▸Exerceurséométriques >3.1  Thème emrÉquatios e capes de mdesolvemecapes, s de mplotots (plotfuatdmecapeséométriques Pro0  Thuamdufsudeàla-S Tsolume :me BR> Fonctig me emrÉquatioséométriques Pro0  Thuamdufsudeàlatrihe udn neufe : Analéométriques Dalerlopp types limihès e capes de mseéelculsvpcmecapeséométriques Sél->Lu états e capes de msummecapes,gmane d dlnp.1mesmte queéométriques Sél->dlnFes uao>e capes de m ds uao_at ( ds uao_bt ( ds uao_cnmecapeséométriques Tr//Dtextes gdlnLaulaAP e capes de mlaulaAP,>tlaulaAP//capeséométriques Ces bmlqre Bézuaoéométriques ExemN=e-><’he udnhème A lone capes de marea//capes, s de mplotarea//capeséométriques ExemN=e-><’algo3.4 nse cape mane d dlnp.1mesmte queéométriques ExemN=e-><’informer sur sion ctN=cent: mane d ductN=centéométriques Applicer sur l->juryéte qtathàl<’autrs cdiscip!--Hse cape dexemN=e>n-HErshèesisarhèmeA e▸ExemN=es▸clte es T l-->de reBR> Fonctigme emrÉquatios tement de me ]−π/2,π/2[ suit: esEF section 1 x solid gin:0exABLE VWRAP>+"middu) /SUyu′+(1 +tat(sI>xu))/SUyu=cos(sI>xu)AME=E=E=u0)AME=/SUyu′+E=/SUyu =1center NOWRA

DHTns insioen=e-SEC ANCselume -> lu0).éométriques Sos .1r/SUgu n-HEfe : Anardévaciels es ]−π/2,π/2[.oe : Oneloseb>n+1u)>n+1u)>cos(sI>xu). Démn+1"tst0olume : lu) is etDiero typeeis la:fe : Anar>n+1"tst0olume : lu0).éométriques DéteéinTD>l-Solume :>n+1" lu) ts er tat +1<0)=0.es Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) Itiotatr, ues ichacn-HErshtathme ->unelgraexerceur, : PrsavoiDs jisdunD jeu. capeQ.2)sals+
"#htoc4">3.2  Thème : Outils -s desrenoble.frubsT n cmerclor/SUXI>+1" l+++1"t1runen+1"t1respiiude>n+1" tuqulan. Oneloseb>n+1"n+1. O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques Unledroomp pasmudepar >n+1"couptilf erclor/SUXI>+1"e :>n+1"t1r/SUBI>+1". Onealcul /SUEuDlegpoiude ucmerclor/SUXI>+1" iame dalotudeoplospebà:>n+1me : Dém+1"· >n+1=/SUPAI>+1"· >n+1me : EardduirNDtat +1"· >n+1=b>n+1P<2Ps−/SUrI>+1P<2Ps.éométriques Applicer suràlatrihe udn nsion-HEoblèmes sur c D/UL>laEèmes- ci0ex seusrteigroomporu) tti(>n+1f+1f+1"tst0legmi de ieuoragtude[/SUABufnu) tti(>n+1f+1)0se tDorthogHTMLen.n ALe /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) Itiotatr, ues ichacn-HErshtathme ->unelgraexerceur, : PrsavoiDs jisdunD jeu. capeQ.2)sRdigTD>unP>selume : llatathme 2sunelgraexerceur ts er tat nf c:tions lae Tseeheait àln- é ve lePloi-->T S.ométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation I cfautBues itatiutilisation puissNDfairNDnforma grand: 2>T l-Sfe : Anarfrtement d"s es[0, 1] dl n+1u)=√>SPAN styleP>CAS<0excoder.u/2I>.n Aa)sRsoudrNDlgrahe> Fonctgn+1u)=/SUxupendan Ab) Mu ∈[0, 1],qe caln+1u)≥ /SUxupendanométriques One T l-S compe = f(u lse cploiTD> teésg/SUB> = f<0un+1 = f(u nielrsl sI>(u. M = f(usa limihe.es Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) ÉalnceD>lANCehIntr Tsgueuuno3.2  jisdunDje ie/UL>ls dexerceur. capeQ.2)sRdigTD>un éalncder étaillèere latathme 2)spontg lsBT ve- Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques +1"tst0croissa mp e1rmi /SUxu∈ [0;1] e cal √>SPAN styleP>CAS<0excoder.2)/2 ≥ /SU/I>+1u)>≥ 1ieoncDn+1u)∈ [0;1] Aismi mi /SUB> = f<0 relatiotat >n = f(uu∈ ℕme : OnetNréc in:0exABLET>f(x):=sqrt((x+1)/2)in:0exABLET>solve(f(x)=x)in:0exABLET>[1]in:0exABLET>g(x):=f(x)-xin:0exABLET>a:=nextel(mult_conjug 0e(me (g(x))))in:0exABLET>(2*sqrt(2)*x+2*sqrt(2)-sqrt(x+1))/ ((-2*sqrt(2))*x-2*sqrt(2))in:0exABLET>solve(a<0)in:0exABLET>[x>((-7)/8)]u′u)<0ieoncDn+1u)>te deécroissa mp SPAN styleP>CAS<0excoder.2)/2 à 0ls es [0;1]me : Siloneve3. sVmN=fderr>ET>aation, e c (ce guide inf : Probe :multiN=ia.1r dlaa1 quantThè namjuguese> u>Lu absenc l’utaation. Onel(ce fairNDdire: Étude c Propabir l e :=e aervaude dulgrahedibsenc grahe> Fonctgtaie in:0exABLET>b:=mult_conjug 0e(getNum(a))/getDenom(a)in:0exABLET>nextel(getNum(b))/getDenom(b)in:0exABLET>(-8*xin:0exABLET>plotfunc([x,f(x)])in:0exABLIMG SRC="in/hevea p008.png Puistat +1u)≥ /SUxu,qe calnu≥ /SUB> = f(u+1"tst0croissa mp t1rmajores Dpar 1ieoncDn+1"tst0converg, tHEs (iDnu. nuevéfde lgrahe> Fonctgn
  • +1=/SU/I>+1u)>eoncDn
  • +1=1me : Oneouvrein- écranyde: Interpréeeetques ivisuaormeitletes
    Étude dun+1 de ctNréc in:0exABLET>asm:1e(a=[0.1,0,1,0.1])in:0exABLET>plotseq(f(x),a)in:0exAB LIMG SRC="in/hevea p009.pngt les orubs"#htoc4"A3.4  Thèms desrenoble.frubsT /SUnu=3lonea2P<4I>et 2P<3Ps*15=2P<3Ps*3*5=120 ngrate dpascparfaitme : Eareffdo, e ctNréc in:0exABLET>L:=tlsvrm(2in:0exABLET>[1,2,4,8,3,6,12,24,5,10,20,40,15,30,60,120]in:0exABLET>sum(L)in:0exABLET>360sV /SUL> = f<0 = f<0P<4I>n = f<0n = f<0n = f<0 = =(2P<4I>P<4I> l<2P<4I>sV (2P(uau≠l1petr>nu≠l1ptelrtati(2P(uu*>nu. e : DoncDe cac +"middu*>nu+1=2P(u+"midd∑//FONTuL> = f<0∑//FONTu[1,2,..2P(uPs]=2P(un = our>nuqnP>se tDpascp.oiTDlcul/UL>laEEC ENDdes esvrmeCalgdlP(uPs(2P(u+"midd = f<0nu*>n = f<0nu*>n = f<0nu*>nu*>n = f<0ac +"middau+bu+>nu*>nu>(nu*>nu+1)=2P(uP(uPssV (2P(uP(uPs(2P(ut les orubs"#htoc4"3.13b Thèes desrenoble.frubsT p >ne. Onel(ce modérmeitoete=orit Fonctg suites eva d lora atoirNDtaiS comtes eloi dlnp.13b Thè sI>p> = : Suirese> lvua s/UL>vuailliN=etudrtement d"s eslgratioervacSE [0, +∞[. Aismi lacp.13b Thè noteu :tioervacSEC[0, sI>t> = [, netese> sI>p> = ([0, sI>t> = [),0te dta:p.13b Thè tat nf té vrmeCagtomb gunDp >negavlm sI>t> = Da/Lese. Cete=oloi te dta:loi txponÉquatio dlnpdamèere λ où λ tst0es0ls stri: Étude osiquf. O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques DéteéinTD,>enBfCompara dlnλ,ita:vacentgde /SUt> = Dues inaqes ere e caln

    = ([0, sI>t> = [)=n

    = ([sI>t> = , +∞[).éométriques D’aprèslatrihe udn shèmsttatreffdctues Dpar lme negavlm laEè : lla p.oi-->T a/Lese tst00,18. C: Proerrta:vacentgexacce dlnλ.n AlaE compe dulgraexerceur, e cplondaatBnoe>λatBnoe>= 0A . endanométriques Mnegaue Ts a/Leselcu arrotioebàl10< Sa han. tatic té vrmeCagns de connuDaucn-eDp >negaue Ts a/Lesel aprèslsa jisebe :serviur, qes erete dta:p.13b Thè tasiot cnnegaue Ts a/Lesel ?éométriques Dix té vrmeCascnn+1"ta:va d lora atoirND galogauealomér lté vrmeCasctaiSngraon dpasce ieeDp >negaue Ts a/Lesel. C: Proerrn-HEvacentgappr+1=4 arrotioebàl10< Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) RdigTD>unP> Tpe -eeues ichacn-HErshtathme ->3) tti4) de lgraexerceur. capeQ.2)sC lvua s/UL>vuailliN=etud”.ométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques Lanp.13b Thè sI>p> = ([0, sI>t> = [) tat nf té vrmeCagtomb gunDp >negavlm sI>t> = Da/LeseS comtes eloi txponÉquatio dlnpdamèere λ où λ tst0es0ls stri: Étude osiquf. OneaddoncDe capesiF section 1 x solid gin:0exABLE VWRAP>+"midd = ([0,AM>n = [)=λatnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABLI = +"in:0exABLFONT SIZE=6>∑//FONTu+"in:0exAB0center NOWRAn = (−λAM>nu)AM>n = c +"midd = ([0,AM+∞[)=λatnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exAB+∞+"in:0exABLFONT SIZE=6>∑//FONTu+"in:0exAB0center NOWRAn = (−λAM>nu)AM>n = =1center NOWRAin:0exABLET>asm:1e(lambda>0)in:0exABLET>lambdain:0exABLET>iud(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t)in:0exABLET>-exp(-lambda*t)+1in:0exABLET>iud(lambda*exp(-lambda*x),x,0,inf)in:0exABLET>limih(iud(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t),t,inf)in:0exABLET>1in:0exABLET>solve(iud(lambda*exp(-lambda*x),x,0,t)=limih (iud(lambda*exp(-lambda*x),x,t,u),u,inf),t)in:0exABLET>[1/(-lambda)*ln(1/2)] Onealn

    = ([0, 1[)=0.18 cgrate dàlin:0exABLET>solve(-exp(-lambda)+1=0.18,lambda)in:0exABLET>0.198450938724 D/UL>laE compe dulgraexerceur, e cplondaλ= 0,2.oe : One Problè1−/SUp> = ([0, 3[) cgrate dàlin:0exABLET>exp(-0A *3)in:0exABLET>0.548811636094negaue Ts a/Leselcu arrotioebàl10< Sost:>n+1 lgrahevénetude: nf té vrmeCagns de connuDaucn-eDp >negaue Ts a/Lesel aprèslsa jisebe :serviurme : Soiee>n+1 lgrahevénetude: nf té vrmeCagns de connuDaucn-eDp >negaue Ts a/Lesel aprèslsa jisebe :serviurme : One Problèl-Sp.13b Thè tat nf té vrmeCagnnegaue Ts a/Lesel sa han. tasiot cns de connuDaucn-eDp >negaue Ts a/Lesel cgrate dàl+1(>n+1/>n+1)=n+1(>n = ∩e>n+1)/n+1(>n = )me : Oneade capesI>PI>+1(>n = )=(1−/SUp> = ([0, 10[)=exp(−0A *10)"tt:>n+1⊂e>n+1 donc capesI>PI>+1(>n+1)=n+1(>n = ∩e>n+1)=(1−/SUp> = ([0, 13[))=exp(−0A *13)in:0exABLET>exp(-0A *13)/exp(-0A *10)in:0exABLET>exp(-0A *3)in:0exABLET>0.548811636094 Dix té vrmeCascn+1=4 e capesiF section 1 x solid gin:0exABLE VWRAP>+"midd = (/SUXI>+1=/SUkI>+1)=n = fPkuPsexp(−0A *3*>n+1)*(1−exp(−0A *3)P<10−/SUkuPscenter NOWRAfkI>+1=0PP1n

    = (/SUXI>+1=/SUkI>+1)=1, e ctNréc in:0exABLET>sum(comb(10,k)*exp(-0A *3*k)* (1-exp(-0A *3))in:0exABLET>1in:0exABLET>comb(10,4)*exp(-0A *3*4)*(1-exp(-0A *3))in:0exABLET>0.160716284054+1=4 arrotioebàl10<t les orubs"#htoc4"3.13l#htoc dulieus desrenoble.frubsT l/UL>lequlan>de reroompor>n+1"tt:>n = fn+1"t1rune Outeur->dire: eur->re l.-->fsDn+1"ttDn+1′tels tati(n+1,n+1′)=π/4 (mod2π). eOne T le repoiuds:>n+1"t1r/SUBI>+1"rit des re l.-->votudes esLn+1"tt:>n = f+1"t1rtelsotat >n+1=>nu. Àito3. piiude>n+1 duqulanDe cassocièl- r>n = (/SUMI>+1),Ddes esstaturs1fu piiude>n+1 a reroompor>n+1"tt:>n = ′. O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques M>n = (/SUAI>+1)=n = (/SUBI>+1)=n = √>SPAN styleP>CAS<0excoder./2esométriques Sost:>n+1 espiiude uoragtude[/SUABu]. Enennforma.1rnfNCs loned Prt dlglooesI>OMAI>+1"t1r/SUOMB> = , mn = (/SUMI>+1)0te di> espe e llaposiquo : l>n+1 s est diagtude[+1,/SUBI>+1].éométriques C: Proerrta:esstatur >n+1 aè :tat,iues ito3. piiude>n+1 duqiagtude [/SUABu],ilgraongast:>n = (/SUMI>+1)=2.éométriques Legpiiude>n+1 étaudefixpebues isatisfairNDne condime : llatathme 3), e calcul = ldulieued Prpoiuds:>n+1 duqulanDtelsotat >n = (/SUMI>+1)=2. M = u] tst0es0côteséomét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) D gageD>lANC ThodTsgueuunsavoiD-fairNDnnformdes f/UL>cueu exerceur. capeQ.2)sals+unP>animème :s est dmoduio dln Interpréeedynamtatr lla : Proatri:egmTttaudeen évideuc llP> TsultatD hN=ciul/UL>laEtathme 2)s dulgraexerceur.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNréc d:=droomp(0,1):;d; d1:=droomp(0,1+i):;d1; O:=piiud(0); asm:1e(t=[4,-5,7,0.1]); A:=piiud(a); B:=rohème (0,pi/4,A); iagtud(A,B); asm:1e(t=[0.3,0,1,0.1]); M:=elotud(iagtud(A,B),t); dsst:=s
    Ca(M,d)+s
    Ca(M,d1);IA1:=piiud(2*sqrt(2)); B1:=rohème (0,pi/4,A1);IM1:=elotud(iagtud(A1,B1),t); s(M):=nextel(s
    Ca(M,d))+nextel(s
    Ca(M,d1)); nextel(i(M1)); ndRE>Oneobts .1c in:0exABLSPAN uesCASOnetNréc in:0exABLET>airN(t dlglo(O,A,M))in:0exABLET>(a*t*sqrt(2)*a)/(2*2)in:0exABLET>nextel(airN(t dlglo(O,M,B)))in:0exABLET>(-(sqrt(2)))/4*ain:0exABLET>nextel(airN(t dlglo(O,A,M))+airN(t dlglo(O,M,B))), nextel(airN(t dlglo(O,A,B))) in:0exABLET>(sqrt(2))/4*ain:0exABLET>sd:=nextel(2*airN(t dlglo(O,A,B))/s
    Ca(O,A))in:0exABLET>(sqrt(2))/2*a OnetNréc in:0exABLET>nextel(iolve(sqrt(2*xin:0exABLET>[2*sqrt(2),-2*sqrt(2)] OnetNréc in:0exABLET>sd(x,y):=nextel(s
    Ca(piiud(x,y),d)+ s
    Ca(piiud(x,y),d1))obts .1c in:0exABLET>(sqrt(2))/2*abs(x-y)+abs(y)asm:1e(y>0);asm:1e(X>0); E1:=nextel(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); asm:1e(y>0);asm:1e(X<0); E2:=nextel(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); asm:1e(y<0);asm:1e(X>0); E3:=nextel(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); asm:1e(y<0);asm:1e(X<0); E4:=nextel(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); plotVmN=cit(E1,x,y); plotVmN=cit(E2,x,y); plotVmN=cit(E3,x,y); plotVmN=cit(E4,x,y); afen hage(droomp(y=x),1);I ndRE>>obts .1c in:0exABLIMG SRC="in/hevea p011.pngt les orubs"#htoc4"Analys défiFe : AnalyetD > Fonctes desrenoble.frubsT l-Sfe : Anar>n+1 dement d"s esℝepar c +"midd+1(AM>nu)=atnterEDction 1 x bor"1FONT SIZE=6>∫//FONTu+"left"1n = +"left"1e : +"left"10center NOWRAn = Pkt> = P<2PsceI>P
    dt> = +1"ta: n+1"t1rlgraongsgration.rposebauealomér lpoiuds:>n+1f<0 = f<0n+1"t1ru :ltqe ds ta:-lgn:0e à:>n+1"a0es0coefen s .1dire: eurdégal àln = f<0 Mn+1f<0uf<0 Fonct +"middu )AME=E=u /SUxu = /SUku /SUxuP<2Pscenter NOWRA a) Enennforma.1rn-HEo: Proatri:egmespltatre1ru :farma.1rva deD>lANC valsenlgdln/SUk> = , conjdctureitletalomér e selume ->de lgrahe> Fonctu) l/UL> ]0, +∞[. b) Sin/SUk> = >0,ctrouvergmespltatme.1rn-HEvacentgappr = dln/SUk> = bues i naqes erelgrahe> Fonctu) arn-HEuntatrsolume :/UL>]0, +∞[. ométriques Dém = <0,clgrahe> Fonctu) arn-HEuntatrsolume : /UL>]0, +∞[. omét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) als+ peésttaudedNDfairNDnformonjdcturese dY > esoneàla-Stathme 2). capeQ.2)sal1losTD>unP>selume : llatathme 3)sunelgraexerceur ts er tat nf c:tions lae Tseeheait àl lsBT ve-suneteéinalr.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques One ProblèàlrsoudrND:>n+1′u)=/SUxupecapeOnetNréc in:0exABLET>F(x):=iud(exp(k*tin:0exABLET>(x)->iud(exp(k*tin:0exABLET>me (F(x))in:0exABLET>exp(k*xn+1"a0es0coefen s .1dire: eurdégal àln = f<0:>n = (/SUk> = *n = f<0uf<0uf<0txponÉquatiopecapeOnetNréc in:0exABLET>ln(exp(k*x Fonctu) tatr ost:véfderr/SUxuf<0in:0exABLET>(k*x Oneouvrein- écranyde: Interprée, e cdement 1respdamèere /SUk> = bet e ctracNDnformos bNs /SUk> = *n = P<2Ps t1rlnu)pecapeOnetNréc in:0exABLET>asm:1e(k=[0.2,-5,5,0.001])in:0exABLpespdameoer(k,-5.0,5.0,0.2,0.1)in:0exABLET>plotfunc(k*xin:0exABLpesplotpdam(x+(i)*k*xin:0exABLET>plotfunc(lt(x))in:0exABLpesplotpdam(x+(i)*lt(x), x=3.82333054105e-15..5.0125) = =0.098 e capesrginuesin:0exABLIMG SRC="in/hevea p012.png = ≃ = =0.184iteige remos bNs se tD-lgn:0es. Au piiudeoù teig2emos bNs se tD-lgn:0esDe calgrahegalThè ds valsenlgdlsr 2Sfe : Anas"t1runecentgderives m uoncDn+1"t1r/SUkI>+1 doivypeevéfderre capesI>k> = *n = P<2Ps=lnu)"t1r2*sI>k> = *n = =1/n+1"cgrate dàl = P<2Ps=1/2 t1rlnu)=1/2=0.5me : OnetNréc in:0exABLET>fiolve(lt(x)=0.5,x)in:0exABLET>1.6487212707in:0exABLET>evalf(1/(2*1.6487212707 = dln/SUk> = bqui0te dselume : lu) c in:0exABLET>0.183939720586alotsrc votuden+1,/SUJ> = bet /SUK> = ld jilieuxgdlsriagtudse[/SUSI>+1 >n+1],e[/SUSI>+1 >nu] tte[/SUSI>+1 >n+1].éométriques a) M+1"ttr(n+1 /SUJ> = b/SUK> = )>se tDpaallènfi.n Ab) M(n+1 /SUJ> = b/SUK> = )>mosré[/SUSI>+1 >nu] tnse cjilieu. capesodanométriques Qes erete dtgratioerraux.n+1"n+1 /SUJ> = b)"tt:>n+1"? capesométriques E cdemduirNDlgratioerraux.n+1"n+1 /SUJ> = b)"tt:(/SUSI>+1 >n+1 >nu).n ALe /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) ÉalnceD>lANCehIntr TsgjisdunDje ie/UL>ls dexerceur. capeQ.2)sals+un>morrigèere latathme 1)sponvlm êtrsepls+claosebre lycese.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNréc A:=piiud([0,0,0]); B:=piiud([0,4,0]); D:=piiud([4,-1,0]); paallelogamt(A,B,D,C); S:=piiud(2,2,4); I:=jilieu(A,S); J:=jilieu(B,S); K:=jilieu(C,S); polyedrt(A,B,C,D,S) ndRE>Oneobts .1c capesrginuesin:0exABLionLaEègure> u> esbutin:0exABLET>est_paallele(plaa(A,B,C),plaa(I,J,K))in:0exABLET>1 OnetNréc in:0exABLET>s
    Ca2(M,S)-s
    Ca2(M,D)in:0exABLET>0in:0exABLET>est_isocele(M,S,D)in:0exABLET>1 OnetNréc in:0exABLET>d:=iuder_untat(plaa(C,I,J),plaa(A,B,C)):; afen hage(d,2)se /s cèere ddunDvertin:0exABLET>est_elotud(D,d)in:0exABLET>1in:0exABLET>d==droomp(C,D)in:0exABLET>1 OnetNréc in:0exABLET>d1:=iuder_untat(plaa(C,I,J),plaa(S,A,D)):; afen hage(d1,1)avecDutse /s cèere d1dunDrougein:0exABLSPAN uesCAS relati...)s desrenoble.frubsvotude par lmsSsn+1,/SUAI>+1"t1r/SUBI>+1.>alcul = ta:esstatur l+1) àl(/SUdI>+1fuqcatio dln+1) àl(/SUdI>+1f<2enBfCompara dln = tt:u,latriaire> u>t dlglo >n+1.in:0exABLIMG SRC="in/hevea p016.png Lduoercnf ir n+1"remosréta:eroompn+1) tn espiiudeesI>PI>+1. capeM>n+1"=2 = /√>SPAN styleP>CAS<0excoder.nem tatier/SUBPI>+1"= 2u/√>SPAN styleP>CAS<0excoder.n. ométriques E cdemduirNDtati>>n+1P<2Ps = 4(nuP<2Ps + sI>buP<2Ps + sI>abu)/3éométriques C: Proerrttriaire> u>t dlglo >n+1>enBfCompara dln = tt:uéomét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) D gageD>lANC ThodTsgueuunsavoiD jisdunDje ie/UL>lalrsolume : lls dexerceur. capeQ.2)sal1losTD>lalrdampara dsion-HEsolume :àla-Stathme 1). ométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisationoeR: Pes ifairNDne ègure>avecDutilisation,i2 fautBcrais trNDnforpdamèeresctaiS dement ss .1ta:ègure. Ici,Dnforpdamèerescse tD = tt:u MaiormomtutifairNDoete=oègure>norstaotee ccrais tD = tt:u ? Oneveit0tatilequ.13l#htocte dass z malrpispebcar e cnP> se dpascmi laceroompn+1) sectrouveito3jontsRtntrse(/SUdI>+1f+1f<2sV l rt dlglo >n+1"tst0 e sen->dire: me : Si e csrifavecDlegpiiude>n+1"momt originertt:(/SUdI>+1)"momt axr ltr/SUx> = . OnetracNDfacilotudelunroompor(/SUdI>+1f+1f<2+1) si e cs plosertati+1) sectrouveito3jontsRtntrse(/SUdI>+1f+1f<2+1f FonctsI>yI>+1= = tt:(/SUdI>+1f<2 FonctsI>yI>+1=−/SUbu. e : C ilateraEg>n+1"dire: Dues itat /SUAI>+1"seit0s es(/SUdI>+1f+1"reit0s es(/SUdI>+1f<2+1f+1f+1"t1rnotealglo π/3. (/SUdI>+1f+1f<2+1. Puis:>n+1"te dtNDtroisi#htocs u>t dlglo he> ilatemraEg>n+1. O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNrépes ifairNDne ègure>c C:=piiud(0); asm:1e(a=[3,0,5,0.1]); asm:1e(b=[1.0,0,5,0.1]); d1:=droomp(y=a); d11:=rohème (0,pi/3,d1,afen hage=1);Id2:=droomp(y=-b); B:=iuder_untat(d11,d2); A:=rohème (0,-pi/3,B); c:= ir Oneobts .1c in:0exAB OnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(s
    Ca(P,A))in:0exABLET>(2*a*sqrt(3))/3in:0exABLET>sVmN=fy(s
    Ca(P,B))in:0exABLET>(2*b*sqrt(3))/3 = />n+1=√>SPAN styleP>CAS<0excoder./2 t1rtat min(π/3)= = />n+1=√>SPAN styleP>CAS<0excoder./2 noteoù teiglTsultats. capesométriques OnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(s
    Ca2(A,B))in:0exABLET>(4*a Ca"dlnpllissenlgfaçe ->c <>T loteoriginer/SUCI>+1. capesI>BI>+1"te ds estaceroompnsI>yI>+1=−/SUbu do>s estaceroompntransformèeere >n = "par lal rohème dus/SUCI>+1"t1rnotealglo π/3. Cete=oeroompnaDues ihe> Fonct sI>yI>+1=√>SPAN styleP>CAS<0excoder./SUx> = +2 = car atio a"momt pn:0eD-l(π/3)=√>SPAN styleP>CAS<0excoder.nem paosebpar legpiiude>n = *exp(>n = *(π/2+π/3))= = *(−√>SPAN styleP>CAS<0excoder.+>n = )/2ntransformèrune /SUa> = exp(>n = *π/2)éomét

  • OnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(airN(A,B,C))in:0exABLET>(a Pes icomplondTDnform: Pros:fe dparDutilisationme : Onel(ce oProblD>lANCebsc oselgdln/SUAI>+1"t1rdln/SUBI>+1pecapeOnetNréc in:0exABLET>aa:=nextel(ebsc ose(A))in:0exABLET>(-(sqrt(3)))/3*a+(-2*sqrt(3))/3*bin:0exABLET>bb:=nextel(ebsc ose(B))in:0exABLET>((-2*sqrt(3))*a)/3+((-(sqrt(3)))*b)/3+1"t1rdln/SUBI>+1pecapeOnetNréc in:0exABLET>k:=exp(i*pi/3)*(t+i*a) = ls defenxegdln/SUBI>+1"enBfCompara dln = ls debsc osebdln/SUAI>+1"c in:0exABLET>(1/2+((i)*sqrt(3))/2)*(t+(i)*a)in:0exABLET>rN(k),im(k)in:0exABLET>t/2-(sqrt(3)*a)/2,a/2+(t*sqrt(3))/2+1"ee d−/SUbu c in:0exABLET>solve(im(k)=-b,t)+1"c in:0exABLET>[1/(sqrt(3))*(-a-2*b)]in:0exABLET>nextel(subst(rN(k),t=1/(sqrt(3))*(-a-2*b)))+1"c in:0exABLET>(-2*sqrt(3))/3*a+(-(sqrt(3)))/3*b+1"ee d−/SUbu !)c in:0exABLET>nextel((aa-bb)+1P<2Ps c in:0exABLET>(4*attriaire> o >n+1"qui0te d/SUABI>+1P<2Ps*sI>sqrtu(3)/4c in:0exABLET>nextel(((aa-bb)in:0exABLET>(sqrt(3)*aPC> = "paosebpar lduoenere /SUGI>+1"luuoercnf ir +1"te dtsiotsobaxyoenere dln/SUAI>+1,/SUBI>+1,/SUCI>+1"e :tNréc in:0exABLET>G:=tsobaxyoenere(A,B,C):;in:0exABLET>sVmN=fy((ebsc ose(A)+ebsc ose(B)+ebsc ose(C))/3);+1"c in:0exABLET>(-a*sqrt(3)-b*sqrt(3))/3in:0exABLET>sVmN=fy(absc ose(G));in:0exABLET>sVmN=fy(2*absc ose(G));+1"c in:0exABLET>(-2*a*sqrt(3)-2*b*sqrt(3))/3in:0exABLET>sVmN=fy(absc ose(P)) UnP>selume :dnr/pes InterpréeationoeR: O :s plosertatine ègure>aD hè réaormdeéc in:0exABLIMG SRC="in/hevea p018.png Puistat /SUAI>+1,/SUBI>+1,/SUCI>+1,/SUPI>+1"se tDcocycltatunem tati/SUPI>+1"ttr/SUBI>+1"reudes est dmême arcDn+1P⁀//FONTuP<,ce cac +"middn+1=+1=+"in:0exABπ<+"in:0exAB3center NOWRA+1P⁀//FONTuP+1,/SUBI>+1,/SUCI>+1,/SUPI>+1"se tDcocycltatunem tati/SUPI>+1"ttr/SUAI>+1"reudes est dmême arcDn+1P⁀//FONTuP<,ce cac +"middn+1=+1=+"in:0exABπ<+"in:0exAB3center NOWRA+1P⁀//FONTuP<.me : uoncDe cac +"middn+1)=min(>tnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABπ<+"in:0exAB3center NOWRAtnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABiF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB3center NOWRA+"in:0exAB2center NOWRAtnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABnu<+"in:0exAB>n+1+"middn+1)=min(>tnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABπ<+"in:0exAB3center NOWRAtnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABiF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB3center NOWRA+"in:0exAB2center NOWRAtnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exABnu<+"in:0exAB>n+1center NOWRA+"middn+1=+"in:0exAB2nu<+"in:0exAB>iF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB3center NOWRA+1=+"in:0exAB2nu<+"in:0exAB>iF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB3center NOWRA Pes ic: ProTDD/SUABI>+1P<2Ps, e c T leqt dlglo >n+1"loncDlotealglo sI>PI>+1 vautBB2π/3buoncDe cac +"midd+1P<2Ps=>n+1P<2Ps+>n+1P<2Ps−2>n+1*>n+1*cos(+"in:0exAB2π<+"in:0exAB3center NOWRAtnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exAB4(nuP<2Ps+buP<2Ps+sI>abu)<+"in:0exAB3center NOWRA Ltriaire> oteu :t dlglo he> ilatemraEg duoôhè sI>lI>+1 vautBc lI>+1P<2Ps*√>SPAN styleP>CAS<0excoder./4"loncDloteaire> u>t dlglo >n+1>vautBc +"midd+"in:0exABiF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB3center NOWRAuP<2Ps+buP<2Ps+sI>abu)<+"in:0exAB3center NOWRAt les orubs"#htoc4"IT l-Sfe : Anar>n+1 dement d"s es[0, +∞[bpar +"midd+1 u) =atnterEDction 1 x bor"1FONT SIZE=6>∫//FONTu+"left"1n = +"left"1e : +"left"10center NOWRA+"in:0exAB1<+"in:0exAB>iF section 1 x solidABLE VWRAP>+"middFONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB1+ = P<2Psmenter NOWRA+1center NOWRA Mn+1 te dmo/tinatre1rstri:totudecroissa mp"s es[0,+∞[.> T l-Sfe : Anar>n+1 dement d"s es[0, +∞[bpar c +"middu(/SUxu) = /tnterEDction 1 x bor"1iF section 1 x solidABLE erEDction 1 x bor" WRAP>+"in:0exAB/SUeI>+1P = Ps−/SUeI>+1P<−/SUx> = Ps<+"in:0exAB2center NOWRA a) C: Proerrta demrives ere lafe : Anarr>n+1∘r>n+1.n Ab) E cdemduirNDtat,pes ito3. res lr/SUx> = ∈ [0, +∞[,ce ca r>n+1∘r>n+1 u)>=r/SUx> = .c) C: ProTDD/SUFI>+1(2)éodanomét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) alciseD>lANCehIntr Tsgnnformés"l/UL>ce1ruxerceur. capeQ.2)sal1losTD>unP>selume : llatathme 2)sts er tat nf c:tions lae  Tseeheait àlunP>claose.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNrépes idement DD/SUFI>+1(/SUxu)c in:0exABLET>F(x):=iud(1/sqrt(1+t+1′u)c in:0exABLET>nextel(me (F(x),x))+1(/SUxu)"te dtaeimihiv ere 1/√>SPAN styleP>CAS<0excoder. = /I>PsCAS<0excoder.//I>Ps taiS striannuSe en 0c in:0exABLET>(sqrt(x OnetNrépes idement DD/SUuu(/SUxu), sI>Hu(/SUxu)=/SUFI>+1(/SUuu(/SUxu))"tt:+1′u)c in:0exABLET>u(x):=(exp(x)-exp(-x))/2in:0exABLET>H(x):=iud(1/sqrt(1+tin:0exABLET>tsVmN=fy(me (H(x),x))in:0exABLET>1HI>+1′u)=/SUuu′u)+1′u(/SUxu))=/SUuu′u)/√>SPAN styleP>CAS<0excoder.u(/SUxu)/I>PsCAS<0excoder.//I>Ps lonc cape1+u(/SUxu)P<2Ps=(4+exp(2/SUxu)+exp(−2>nu)−2)/4=(exp(/SUxu)+exp(−/SUxu))P<2Ps/4me : Onead: capesI>uu′u)=(exp(/SUxu)+exp(−/SUxu))/2 noncDe capesI>HI>+1′u)=1oeR: Pes ito3. res lr/SUx> = ∈ [0, +∞[,ce casI>HI>+1′u)=1"tt:+1(0)=0ieonc e cac +"middu(/SUxu)=/SUFI>+1∘   /SUuI>+1 u) = /SUx> = ,   si  /SUx> =  ∈  [0, +∞[ /tnter NOWRA OnetNréc in:0exABLET>solve(u(x)=2,x)in:0exABLET>[ln(sqrt(5)+2)]FI>+1(2)=/SUFI>+1(/SUuu(ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder.+2)))=/SUHu(ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder.+2))=ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder.+2)pecapeOnetNrépes ivéfderre in:0exABLET>F(2)in:0exABLpes-(ln(sqrt(5)-2))SPAN styleP>CAS<0excoder.−2))=ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder.+2)pecapeOnetNrépes ic: ProTDD/SUFI>+1(/SUxu)c in:0exABLET>F(x)in:0exABLpes-(ln(sqrt(xin:0exABLET>nextel(lmo erct(-(ln(sqrt(xin:0exABLET>0+"midd+1(/SUxu)=ln(>tnterEDction 1 x bor"1FONT SIZE=5 √>/FONTu+in:0ex NOWRAPB = P<2Ps+1/tnter NOWRAu)+1(/SUxu)"tt ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder. = /I>PsCAS<0excoder.//I>PsCAS<0excoder.+>nu)"o.1ta:même demrives eem tati/SUFI>+1(0)=ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder./I>PsCAS<0excoder.//I>PsCAS<0excoder.+0))=0me : OneaduoncD: capesI>FI>+1(/SUuu(/SUxu))=ln(√>SPAN styleP>CAS<0excoder.u(/SUxu)/I>PsCAS<0excoder.//I>Ps+u(/SUxu))=/capeln((exp(/SUxu)+exp(−/SUxu))/2+(exp(/SUxu)−exp(−/SUxu))/2)=ln(exp(/SUxu)) DoncDnu(/SUxu)=/SUFI>+1(/SUuu(/SUxu))=/SUxu t les orubs"#htoc4"GInterpréeme : I:0ex Thème : Interprétatr eseLométrcomplex ms desrenoble.frubsT orhhonextel"dire: D (/SUO> = ,D/SUuu,D/SUv> = ). Onealcu (+1) lduoercnf duoenere /SUOI>+1 ttsuneaye 1. O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques FairNDne ègure> Seit0+1"espiiude l+1) ds defenxeg/SUau. Onealcul = BBnu<+1"àl(/SUcI>+1).n ASeit0+1"espiiude uqulan>ds defenxeg/SUz> = .Mn+1"epparhs .1àl(/SUT> = BBnu< = −/SUa> = />n+1 te dimaginairNDpur.sodanométriques DemduirNDtati>n+1"epparhs .1àl(/SUT> = BBnu<zI>+1" véfde lgrahegalihè e cape sI>zI>+1"CAS<0excoder.u<n+"CAS<0excoder.u<n>n+1 = 2. ométriques SeitudesI>AI>+1"ds defenxeg/SUau"ttr/SUBI>+1"ds defenxeg/SUbu euxgpiiuds:esstinc lgdln (+1) telsotat /SUau"+ sI>bu ≠ 0. M = BBnu< = BBnu<+1) re l.-->votudednr/SUAI>+1"ttr/SUBI>+1,"reudeséclmpo et0tatiles ipiiude gratioerraux.

    = />n+1+bu. Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) D gageD>lANC ThodTsgueuunsavoiD jisdunDje ie/UL>lalrsolume : lls dexerceur. capeQ.2)sal1losTD>unP>selume : llatathme 1)sts er tat nf c:tions lae  Tseeheait àlunP>claose.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques LaEègureme : OnerdY rtat tat pes ifairNDne ègure>2 fautBchoisir"momt pdamèere> ls dargutudesI>t> = BBnu<u. OneaalotsrsI>au=exp(>n = *sI>t> = BBnu<c:= ercnf(0,1):;c; asm:1e(ta=[0.4,-3.2,3.2,0.1]); A:=piiud(exp(i*ta)); a:=efenxe(A); Ta:=tangn:0e(c,A):;Ta; asm:1e(tt=[0.7,-5,5,0.1]); M:=elotud(Ta,tt); m:=efenxe(M); N:=piiud(a+a*i*tt); asm:1e(tb=[1.3,-3.2,3.2,0.1]); B:=piiud(exp(i*tb); b:=efenxe(B); Tb:=tangn:0e(c,B):;Tb; K:=iuder_untat(Ta,Tb); ndRE>Oneobts .1c in:0exABLIMG SRC="in/hevea p019.pnglaEègure>ci-dlssus,Dlegpiiude>n+1"s estactangn:0eD/SUT> = BBnu<nu tst0es0piiude graefenxeg/SUnu=>n+1+a> = *sI>i> = *sI>tt> = cgrate dàl irNDtelrtati g/SUnu−/SUa> = />n+1 te dimaginairNDpur. ométriques OnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(re((m-a)/a))in:0exABLET>0MI>+1"ds defenxeg/SUmI>+1 te ds estactangn:0eD/SUT> = BBnu<rN((m-a)/a)=0+1−/SUa> = />n+1 te dimaginairNDpur.scapeOnetNréc in:0exABLET>est_elotud(N,Ta)in:0exABLET>1NI>+1"ds defenxeg/SUnuDtelrtatig/SUnu−/SUa> = />n+1 te dimaginairND pur,alotsrsI>NI>+1 te des0T tudedeD/SUT> = BBnu< OnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(m*conj(a)+conj(m)*a)in:0exABLpes2MI>+1"ds defenxeg/SUmI>+1 te ds estactangn:0eD/SUT> = BBnu<+1 CAS<0excoder.u<n+>n+1 CAS<0excoder.u<=2.scapeOnetNréc in:0exABLET>L:= solve(r*conj(a)+conj(r)*a=2,r)u)c in:0exABLET>[‘ x‘+(i)*1/(sin(ta))*(-‘ x‘*cos(ta)+1)]in:0exABLET>sVmN=fy(re((L[0]-a)/a))in:0exABLET>0RI>+1"ds defenxeg/SUruevéfde /SUru*CAS<0excoder.u<+CAS<0excoder.u<*sI>au=2, e ca(/SUru−/SUa> = )/>n+1 te dimaginairNDpur doncDd’aprèslaatathme  Tcemdn:0eD/SURI>+1 te ds estactangn:0eD/SUT> = BBnu< LANCeangn:0es"àles0oercnf se tDconces lmpo si e1rseulotudesi lsenlg piiuds:ee>mo/tact ne"se tDpas:esaerpralotudeoplospes,Dcgrate dàl irNDici,D si sI>aI>+1+bu ≠ 0.scapeOnetNréc in:0exABLET>sVmN=fy(-rig2exp(efenxe(K)))in:0exABLET>((2*i)*exp((i)*ta)*exp((i)*tb))/ ((i)*exp((i)*ta)+(i)*exp((i)*tb))teglTsultat"enBfCompara lin:0exABLET>subst(k,[exp(i*ta)=’a’,exp(i*tb)=’b’])in:0exABLET>subst(k,[exp(i*ta)=qulcu(a),exp(i*tb)=qulcu(b)])in:0exABLET>((2*i)*a*b)/((i)*a+(i)*b)u eg/SUKuevautBc +"midd+"in:0exAB2 = <+"in:0exAB>I>aI>+1+bucenter NOWRAt les orubs"#htoc4"3.13abilihèms desrenoble.frubsT bouloetires eestBnoirNalotsrra lalretd> /UL>loteurne>avlmrde tirNestacsT bouloeestBblanchNalotsrra nNDne retd pas:e/UL>loteurne>avlmrde tirNestacsLaqu.13abilihèrloteobteniD>exact tudeunP>bouloeblanchNàlasiotssatr eseunux tiragos estBc +"midd+"in:0exAB3<+"in:0exAB5/tnter NOWRA+"in:0exAB27<+"in:0exAB50center NOWRA+"in:0exAB12<+"in:0exAB22center NOWRA Onex sooser sion-HEurne>U> = BB/ Fo>T jete ->n:1é.1Hés"1,"1," 2, 3"t1rnoten-HEurne>U> = BB2n:1é.1Hés"2, 3, 3. OnetirNDablhasarddes0jete "l/UL>chatatiurne>t1re capp llegXueta:variabnf aléatoirNDtai,àlchatatitiragorde unux jete -,dassocieta:vacentgabselue un ta:esffé.etur l->n:1é.1s porhès par lmsSunux jete -. Lgratepemratur mèhémèmtatr egXueestBc +"midd+"in:0exAB13<+"in:0exAB12center NOWRA+"in:0exAB5<+"in:0exAB6/tnter NOWRA Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) Itiotatr pes ichacun l->="tes:ee>me0QCMuunsavoiD jisdunDje ipes i trouver>lalroonse>exact . capeQ.2)sJuhmfderrlalroonse>àla-Stathme 2)éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDounsa ->utilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OneaduoncD12-5=7 e ves ne"jou ude> oteaultennis,D8-5=3 ne"jou ude> oteaul footbalE,5 jou .1abltennisedtablfootedt31-(7+3+5)=16 e ves ne"jou udenie abltennisgniablfoot. LaEreoonse>es1doncD in:0exABLET>16/31 Onel(ce avoiD>e capeunP>bouloeblanchNablprtexerrtiragorpuis>unP>noirN(u.13abilihè=3/5*2/4)DoueunP>bouloenoirNablprtexerrtiragorpuis>unP>blanchN(u.13abilihè=2/5*3/5)eOnetNréc in:0exABLET>3/5*2/4+2/5*3/5in:0exABLpes27/50 La:variabnf Xuel(ce plondTDmomt vacentge cape0ipes iltitiragor(2,2)Dou (3,3)Dou (3,3) cape1ipes iltitiragor(1,2),ou (1,2)Dou (2,3)Dou (2,3)Dou (3,2) cape2ipes iltitiragor(1,3)Dou (1,3)Dou (1,3)Dou (1,3) DoncD: capesI>Pu(/SUXu=0)=3/12 capesI>Pu(/SUXu=1)=5/12 capesI>Pu(/SUXu=2)=4/12 capesI>Eu(/SUXu)=5/12+2*4/12 capeOnetNréc in:0exABLET>5/12+2*4/12 apes ergi: Oneobts .1c in:0exABLET>13/12 apes ergi:t les orubs"#htoc4"3.13l Tsgs est trconègurème ms desrenoble.frubsfs /SUOI>+1BB/+1BB2<+1BB3<fs 10, 20gete59 millimèeresD;éométriques t 0oercnf (/SUcI>+1BB2<+1BB/+1BB3< t 0piiude>n+1"epparhs .1àl(/SUcI>+1BB/ Cjiiude,>àla-Srèglo dtablcompas,DunP> eroompn+1) paosan dparDSUAI>+1"ttrtangn:0eDàl(/SUcI>+1BB3<mo/stsu/TABL)éométriques Oneapp llegHuetrip.1jetpeborhhogonaEg du/SUOI>+1BB2<+1). C: ProTDD ta:esstatur /SUOI>+1BB2<Huettrjuhmfderrtatr+1) mosré(/SUcI>+1BB2<+1"ed>/SUCI>+1éométriques C: Proerrta dsstatur /SUBI>+1"/SUCI>+1éomét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) alciseD>lANCsavoiD jisdunDje ie/UL>lalrsolume : lls dexerceur. capeQ.2)sal1losTD>unP>selume : llatathme 2)sts er tat nf c:tions lae  Tseeheait àlunP>claose.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques Sin+1) paosedparDSUAI>+1"ttrte deangn:0ecasI>cI>+1BB3<n+1,ce calotealgloesI>AMOI>+1BB3<+1"setrouvees est doercnf sI>cI>+1rde uiamèere> sI>AOI>+1BB3<O1:=piiud(-4); c1:= ercnf(O1,1); O2:=piiud(-1); c2:= ercnf(O2,2); O3:=piiud(69/10); c3:= ercnf(O3,59/10); A:=piiud(-5); c:= ercnf(A,O3,efenchag1.1); L:=iuder(c,c3):; M:=L[0];d:=eroomp(A,M); N:=L[1];droomp(A,N); H:=p.1je/TABL(d,O2); LL:=iuder(c2,d):; B:=efenchag1(LL[0],> Fdrlm4); C:=efenchag1(LL[1],> Fdrlm3); iagtud(O2,H,efenchag1.1); iagtud(O3,M,efenchag1.1); ndRE>Oneobts .1c in:0exABLIMG SRC="in/hevea p021.png Pes ic: ProTDD/SUOI>+1BB2<HueonerdY rtat tat nfortielgloo sI>AOI>+1BB2<HuettsI>AOI>+1BB3<+1"so.1 homohémtats, loncDn+1BB2<Hu//SUOI>+1BB3<+1=sI>AOI>+1BB2<AOI>+1BB3<in:0exABLET>59/10*4/(2+4+59/10)in:0exABLpes236/119in:0exABLET>nextel(longuent(O2,H))in:0exABLET>236/119 Onean+1/2)P<2Ps=n+1BB2<Bu−/SUOI>+1BB2<HuP<2Ps=4−(236/119)P<2Ps.scapeOnetNréc in:0exABLET>nextel(2*sqrt(4-(236/119)in:0exABLET>(4*sqrt(237))/119in:0exABLET>nextel(longuent(B,C))in:0exABLET>(4*sqrt(237))/119t les orubs"#htoc4"Ivosr eesI>BI>+1"ed>/SUCI>+1eàla-Seroompn+1)éodanométriques Seit0+1"espiiuden’apparhenudepas:àl(/SUd> = BB0<JI>+1" lgratioerraux.+1) ttsunene eroompn+1"/SUCI>+1).>MI>+1∈ L> = alotsrsI>d> = BB/SUBI>+1< = BB/SUCI>+1<b) E cdemduirNDtatgJI>+1"te dteDminieusune[/SUBI>+1"/SUCI>+1]éodanométriques Conclure>s ests densembnf L> = éomét Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) D gageD>lANC ThodTsgueuunsavoiD jisdunDje ie/UL>lalrsolume : lls dexerceur. capeQ.2)sal1losTD>unP>selume : llatathme 2)sts er tat vousDla  Tseeheiez àlunP>claose.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNréc A:=piiud(-2,-2,'coulour'=0); B:=piiud(3,1,'coulour'=0); C:=piiud(-2,3/2,'coulour'=0); d0:=prdellenf(A,droomp(B,C), efenchag1.1); T:=tielglo(A,B,C):;T; d1:=mediele(A,B,C,efenchag1.1); asm:1e(t=[0.4,-5.0,5.0,0.0]); M:=elotud(d0,t); N:=elotud(d1,t); nextel(airN(A,M,B)); nextel(airN(A,M,C)); nextel(airN(A,N,B); nextel(airN(A,N,C); ndRE>Oneobts .1(atte/tse :avecDutilisationuunairNsgse tDal Inbétatm !)c in:0exABLIMG SRC="in/hevea p022.png SeitudesI>BI>+11"ed>/SUCI>+11gse tDnforp.1je/TABLsr eesI>BI>+1"ed>/SUCI>+1es estaceroompn/SUAMI>+1"tt: losBLsr:rsI>d> = BB/SUBI>+1<+11"ed>/SUd> = BB/SUCI>+1<+11. eSi"unairNsgdfortielgloo sI>AMBI>+1"ed>/SUAMCI>+1esoudehegalesDcgrate dtatgBI>+1"ed>/SUCI>+1e soudelforpiiuds:équiusstattsunene eroompn/SUAMI>+1"puistat onead: capeairN(sI>AMBI>+1)=/SUAMI>+1*sI>d> = BB/SUBI>+1<AMCI>+1)=/SUAMI>+1*sI>d> = BB/SUCI>+1<T u cquadrilat-->T sI>AI>+1BB1<AI>+1BB2<AI>+1BB3<AI>+1BB4<T sI>MI>+1BB1<MI>+1BB2<MI>+1BB3<MI>+1BB4<uBB/AI>+1BB2<AI>+1BB3<AI>+1BB4<T sI>AI>+1BB1<AI>+1BB2<AI>+1BB3<AI>+1BB4<Mce :s,Dlegpiiudeee>mo/ces sgdfordiegonaEfordu: ladelllogramme sI>AI>+1BB1<AI>+1BB2<AI>+1BB3<AI>+1BB4<MI>+1BB1<MI>+1BB2<MI>+1BB3<MI>+1BB4< Le /s vaile dY > esbableetions oe : Pe Xsae Torder. covlmpo e capeQ.1) D gageD>lANCdivers m>étNrsrde ne rsolume : llacprtex-->T tatsme : lls dexerceur. capeQ.2)sItiotatr t trconnaissa cTsgueusavoiD-fairNDjisdunDje ie/UL>ce1ruxerceur.éométriques Unle Tseehème :et>unP>selume :avecDutilisation O  Oral in:1ex 0e"vea 1.1triques OnetNréc in:0exABLET>A:=syst2mat([z1+z2=a1,z2+z3=a2,z3+z4=a3, z4+z1=a4], [z1,z2,z3,z4])in:0exABLET>[[1,1,0,0,-a1],[0,1,1,0,-a2],[0,0,1,1,-a3], [1,0,0,1,-a1+a2-a3]]in:0exABLET>B:=A[0..3,0..3] in:0exABLET>[[1,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,1,1],[1,0,0,1]]in:0exABLET>det(B)in:0exABLET>0T tasion-HElignND(paD>exemple:ne eernx-->T lignN)"te dcombinaisra lsaberesDlignNs. Onea: /SUzI>+1BB1<+1BB4<+1BB1<+1BB2<+1BB2<+1BB3<+1BB3<+1BB4<a4:=a1-a2+a3in:0exABLET>C:=A[0..2,0..2] in:0exABLET>[[1,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]in:0exABLET>det(C)in:0exABLET>1a4:=a1-a2+a3in:0exABLET>a4:=a1-a2+a3rginuesin:0exABLET>linsolve([z1+z2=a1,z2+z3=a2,z3+z4=a3, z4+z1=a4], [z1,z2,z3,z4])in:0exABLET>[a1-a2+a3-z4,a2-a3+z4,a3-z4,z4]ométriques Onetait etrip.13l T:avecDltrcomplex meSi"un4rpiiuds:/SUMI>+1BB/+1BB2<MI>+1BB3<MI>+1BB4<+1BB1<+1BB2+1BB3+1BB4<T sI>MI>+1BB1<MI>+1BB2<MI>+1BB3<MI>+1BB4<+1BB1<bI>+1BB2<bI>+1BB3<bI>+1BB4<e +"midd+"in:0exAB/SUzI>+1BB1<+1BB2<+"in:0exAB2Lenter NOWRA+1BB1<+"in:0exAB/SUzI>+1BB2<+1BB3<+"in:0exAB2Lenter NOWRA+1BB2<+"in:0exAB/SUzI>+1BB3<+1BB4<+"in:0exAB2Lenter NOWRA+1BB3<+"in:0exAB/SUzI>+1BB4<+1BB/+"in:0exAB2Lenter NOWRA+1BB4+"middn+1BB/+1BB1<aI>+1BB2+1BB2<aI>+1BB3+1BB3<aI>+1BB4+1BB4+"middcape⎪>cape⎨>cape⎪>cape⎩/tnterEDction 1 x bor"1iF sectELLSPACING=6ctELLPADDING=0BLE erEDcWRAP>+right NOWRAPB /n+1BB/+1BB2<+left NOWRAPB= /n+1BB/+right NOWRAPB /n+1BB2+1BB3<+left NOWRAPB= /n+1BB2+right NOWRAPB /n+1BB3+1BB4<+left NOWRAPB= /n+1BB3+right NOWRAPB /n+1BB4+1BB1<+left NOWRAPB= /n+1BB4+1BB/ = BB2<+1BB3 = BB4+"midd+"in:0exAB/n+1BB/+"in:0exAB2Lenter NOWRA+"in:0exABn+1BB2+"in:0exAB2Lenter NOWRA+"in:0exABn+1BB3<+"in:0exAB2Lenter NOWRA+"in:0exABn+1BB4<+"in:0exAB2Lenter NOWRA+1BB/+1BB2<+1BB3<+1BB4+1BB2<+1BB1<SUbI>+1BB3<+1BB4AI>+1BB1<AI>+1BB2<AI>+1BB4<AI>+1BB3<T tat nf quadrilat-->T sI>AI>+1BB1<AI>+1BB2<AI>+1BB3<AI>+1BB4< AvecDes0raisranotude Interprétat Oneouv>T u cécra : l Interpréedexact eem e cmltatrs es4rpiiuds:taerls de c nomt LET>M1,M2,M3,M4A1:=minieu(M1,M2); A2:=minieu(M3,M2); A3:=minieu(M3,M4); A4:=minieu(M1,M4); polygone(M1,M2,M3,M4); polygone(A1,A2,A3,A4,efenchag1.1); ndRE>Oneobts .1c in:0exABLIMG SRC="in/hevea p025.pngin:0exABLET>ee _prdellenogramme(A1,A2,A3,A4)in:0exABLET>1T u cécra : l Interpréedem e cmltatrs es3: loiuds:/ET>B1,B2,B4in:0exABLET>prdellenogramme(B1,B2,B4,B3)N1N2:=symerée(B1,N1); N3:=symerée(B2,N2); N4:=symerée(B3,N3); N1N:=symerée(B4,N4) polygone_ouvert(N1,N2,N3,N4,N1N,efenchag1.1); ndRE>Oneobts .1c in:0exABLpes IMG SRC="in/hevea p026.pngN1NN1in:0exABLET>afenxe(N1N)==afenxe(N1)in:0exABLET>1in:0exABLET>nextel(afenxe(N1N)-afenxe(N1))in:0exABLET>0t lBEGIN NOTES docutuds desRnuesfootalcuruAlgebra System)éoDter DLaét lresNOTESs det lCUTèresCe docutudea eshèetaduitrue LAI>sup>TEXdparD/EM>!--HREF="http://hevea.inria.fr">H/EM>!EM>!FONT SIZE=2>EI>sup>//FONTu!EM>V/EM>!EM>!FONT SIZE=2>EI>sup>//FONTu!EM>A!tAs eBLOCKQUOTEs eBODYaéoHTML>