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\else
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\fi
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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{prop}{Proposition}[theorem]
\newtheorem{defn}{D\'efinition}
\makeindex
\begin{document}
\title{Capes 2011 et {\tt Xcas}}
\author{Renee.Degraeve@wanadoo.fr}
\date{2010}

\maketitle

\tableofcontents
\newpage
\section{Th\`eme : les transformations}
\subsection{L'exercice}
    Soit $ABC$ un triangle isoc\`ele en $A$ et soit $E$ un point de $[AB]$. On 
consid\`ere le point $F$ de $[AC]$ tel que $AF = BE$. On note $(D)$ la 
m\'ediatrice de $[EF ]$. On se propose de montrer que,
lorsque $E$ décrit $[AB]$, la m\'ediatrice de $[EF ]$ passe par un point fixe.
\begin{enumerate}
\item Mettre en \'evidence la propri\'et\'e \`a l'aide d'un logiciel de 
g\'eom\'etrie dynamique.
\item  D\'emontrer la conjecture obtenue dans la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}
\subsection{La solution propos\'ee par un \'el\`eve \`a la question 2)}
\emph{ Lorsque E est en B, F est en A et donc la m\'ediatrice de [EF ] est la m\'ediatrice de [AB].}
 
\emph{ Lorsque E est en A, F est en C et donc la m\'ediatrice de [EF ] est la m\'ediatrice de [AC].}

\emph{ Le point fixe est donc le point d'intersection des m\'ediatrices de [AB] et [AC] c'est \`a dire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.}

\subsection{Le travail à exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item  Indiquer les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu dans 
l'exercice.
\item  Analyser la r\'eponse propos\'ee par l'\'el\`eve.
\item  Donner une r\'edaction compl\'ete d'un corrig\'e de la question 2) en 
consid\'erant une transformation qui convient.
\item  Proposer plusieurs exercices faisant appel aux transformations en tant 
qu'outils de d\'emonstration.
\end{enumerate}

\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
Pour faire la figure, on ouvre un niveau de g\'eom\'etrie ({\tt Alt+g})
et on tape ($O$ est le milieu de $BC$) :
\begin{verbatim}
A:=point(5*i);
B:=point(-2);
C:=point(2);
triangle(A,B,C);
O:=milieu(B,C);
t:=element(0..1);
E:=element(segment(B,A),t);
F:=inter_unique(segment(A,C),cercle(C,longueur(A,E)));
segment(E,F);
D:=mediatrice(E,F,affichage=1);
segment(A,O);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{geocapes111}\end{center}
et si on rajoute la commande :\\
{\tt trace(D)}\\
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{geocapes110}\end{center}

Puis on fait bouger {\tt t} \`a l'aide du curseur et on voit que la 
m\'ediatrice de {\tt EF}, semble passer par un point fixe {\tt I} situ\'e sur 
la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$. \\
Il y a diff\'erentes fa\c{c}ons de continuer.\\
Par exemple, au d\'epart sans utiliser de transformation) : 
\begin{itemize}
\item On cherche un triangle de c\^ot\'e $EF$ et qui a comme 
m\'ediatrice, la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$.\\
Par exemple, on d\'efinit le point $K$ sur $AC$ tel que $AK=AE$. 
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{geocapes113}\end{center}

Les m\'ediatrices du triangle $EFK$ sont
$D$ (la m\'ediatrice de $EF$), $AO$ (la m\'ediatrice de $EK$) et la m\'ediatrice
de $KF$. Le triangle $AEK$ est isoc\`ele donc $AK=FC$ donc la m\'ediatrice
de $KF$ est aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$.
$AK=CF$ donc la m\'ediatrice de $KF$ est aussi la m\'ediatrice de {\tt AC}.\\
Les  m\'ediatrices du triangle $EFK$ se coupent en un m\^eme point 
donc la m\'ediatrice de  $EK$ passe par le point d'intersection de la 
bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ et de la m\'ediatrice de $AC$.
On voit avec cette d\'emonstration que l'hypoth\`ese "le triangle $ABC$ est 
isoc\`ele" ne sert pas.\\
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{geocapes114}\end{center}

\item Si le triangle $ABC$ est 
isoc\`ele, pour des raisons de sym\'etrie par rapport \`a 
{\tt OA}, on d\'efinit $E1$ et $F1$ sum\'etriques de $E$ et $F$ par rapport
\`a {\tt OA} ainsi que $D1$ la m\'ediatrice de $E1F1$ :
\begin{verbatim} 
E1:=symetrie(droite(A,O),E);segment(A,O);
F1:=symetrie(droite(A,O),F);
segment(E1,F1);
D1:=mediatrice(E1,F1,affichage=1);
I:=inter_unique(D,D1,affichage=1);
\end{verbatim}
On obtient :
\begin{center}\includegraphics[width=8cm]{geocapes112}\end{center}

Puis on fait bouger {\tt t} \`a l'aide du curseur et on voit que le point 
{\tt I} intersection des m\'ediatrices de {\tt EF} et de {\tt E1F1} est fixe.\\
Comment d\'efinir ce point ?
$I$ est le centre du cercle circonscrit \`a $EF1E1F$ donc c'est aussi 
l'interscetion des m\'ediatrices de {\tt EF1} et de {\tt E1F}.\\
Puisque $AE=BF1$ la m\'ediatrice de {\tt EF1} est aussi la m\'ediatrice de 
{\tt AB}.\\
Puisque $AE1=CF$ la m\'ediatrice de {\tt E1F} est aussi la m\'ediatrice de 
{\tt AC}
donc {\tt I} intersection des m\'ediatrices de {\tt AB} et de {\tt AC} est fixe
et c'est le centre du cercle circonscrit au triangle {\tt ABC}.\\
 On tape alors :\\
{\tt J:=centre(circonscrit(A,B,C));}
pour voir que {\tt I} et {\tt J} sont confondus.
\item On utilise des transformations (car c'est le th\`eme !)\\
On cherche les transformations qui permettent de transformer $E$ en $F$.\\
On effectue successivement la sym\'etrie $s1$ par rapport \`a $AO$ bissectrice 
de l'angle $\widehat{BAC}$ suivi de
 la sym\'etrie $s2$ par rapport \`a la m\'ediatrice de $AC$.\\
On a :\\
$s1(E)=K=E1$ (avec les notations pr\'ec\'edentes) et \\
$s2(E1)=F$ car $AE2=CF$.\\
Donc $s2(s1(E))=F$. La composition de 2 sym\'etries par rapport \`a des droites
concourantes est une rotation de centre le point de concours de ces droites.
Donc ici $s2\circ s1$ est une rotation de centre le point de concours de la
bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ et de la m\'ediatrice de $AC$.\\
Donc le centre de cette rotation est le centre 
du cercle circonscrit au triangle $ABC$ lorsque $ABC$ est isoc\`ele et sinon,
ce centre n'a pas de nom c'est  le point de concours de la
bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ et de la m\'ediatrice de $AC$.\\
\end{itemize}
\subsection{Analyse de  la r\'eponse propos\'ee par l'\'el\`eve}
Dans la r\'eponse propos\'ee par l'\'el\`eve :\\
\emph{ Le point fixe est donc le point d'intersection des m\'ediatrices de [AB] et [AC] c'est \`a dire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.}
il faut contester le \emph{donc} en le rempla\c{c}ant la r\'eponse par :\\
\emph{ si la m\'ediatrice de EF passe par un point fixe, ce point fixe doit \^etre le point d'intersection des m\'ediatrices de [AB] et [AC] c'est \`a dire le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Il reste \`a le d\'emontrer}\\
Pour convaincre l'\'el\'eve on peut refaire le m\^eme exercice avec 
$F$ sur $AC$ mais avec $CF=AE/2$. On cherche les positions limites et cela ne 
donne rien car la m\'ediatrice de $EF$ ne passe pas par un point fixe....\\
On fait la figure correspondante en mettant pour d\'efinir {\tt F} :\\
{\tt F:=inter\_unique(segment(A,C),cercle(C,longueur(A,E)/2));}\\
et on observe la trace  de {\tt D}, on obtient :\\

\includegraphics[width=\textwidth]{geocapes115}\\
une belle enveloppe !!!
\subsection{Les exercices faisant appel aux transformations} 
En tant qu'outils de d\'emonstration, les exercices faisant appel aux 
transformations sont difficiles car une transformation n'est souvent pas 
visible....\\
Par contre quand on a trouv\'e la transformation, tout devient limpide et 
facile...\\
Voici quelques exercices classiques (On se reportera au manuel de g\'eom\'etrie
de {\tt Xcas}  pour les d\'emonstrations) :

{\bf Probl\`emes de construction}
\begin{itemize}
\item Construire un triangle \'equilat\'eral $ABC$ de sommet $A$ donn\'e et
ayant ses sommets $B$ et $C$ sur 2 droites donn\'ees du plan.
\item Construire un triangle \'equilat\'eral $ABC$ 
ayant ses sommets $A$, $B$ et $C$ sur 3 droites parall\`eles donn\'ees du plan.
\end{itemize}

{\bf Le th\'eor\`eme $\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$}\\
Soit un triangle $A,B,C$ et soientt $A1,B1,C1$ les milieux respectifs de $BC$,
$AC$, $AB$.\\
Soient $G$ son centre de gravit\'e, $H$ son orthocentre et $O$ le centre de 
son cercle circonscrit.\\
L'homoth\'etie $h$ de centre $G$ et de rapport -2 transforme $A1$ en $A$, (resp 
$B1$ en $B$) et donc puisque l'homoth\'etie conserve les angles, $h$ transforme
 la m\'ediatrice de $BC$ en la hauteur issue 
de $A$ (resp donc transforme la m\'ediatrice de $AC$ en la hauteur issue 
de $B$) donc transforme le centre le centre $O$ de 
son cercle circonscrit en l'orthocentre $H$ donc :\\
$\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}$\\

{\bf Le th\'eor\`eme de 1968}\\
Soit un triangle quelconque direct $ABC$.\\
On construit sur les c\^ot\'es du triangle $ABC$ les carr\'es directs
$CBDE$, $ACFG$ et $BAKH$, puis les parall\'elogrammes $FCDJ$ et $EBKL$.\\
Alors le triangle $AJL$ est isoc\`ele rectangle direct.

{\bf Le th\'eor\`eme de Napol\'eon}\\
Soit un triangle quelconque $ABC$.\\
On construit \`a l'ext\'erieur du triangle $ABC$ les triangles \'equilat\`eraux
$BAD$, $CBE$ et $ACF$ qui ont pour centre de gravit\'e : $G1$, $G2$ et $G3$.\\
On a les propri\'et\'es suivantes :\\
Le triangle $G1G2G3$ est \'equilat\'eral et a m\^eme centre de gravit\'e que 
le triangle $ABC$.\\
Les droites $AE$, $DC$, $BF$ sont concourantes en un point $T$ qui s'appelle le
 point de Torricelli.\\
Le point $T$ est aussi le point de concours des cercles circonscrits aux 
triangles $BAD$, $CBE$ et $ACF$.


\newpage
\section{Th\`eme : fonctions}
\subsection{L'exercice}
   On trouve dans le manuel D\'eclic - Terminale S, enseignement obligatoire 
(Hachette 2006), dans le chapitre « Fonctions - Variations et continuit\'e », 
l'\'enigme suivante :
\begin{center}\framebox{Le marcheur}\end{center}
          Un marcheur a parcouru 10 km en une heure. Existe-t-il un intervalle
          d'une demi-heure pendant lequel il a parcouru exactement 5 km ?
\subsection{Un extrait de manuel}
    Pour guider les \'el\`eves dans la r\'esolution de l'\'enigme, le manuel 
D\'eclic propose l'exercice ci-dessous.\\
Pour $t$ appartenant \`a l'intervalle [0;1], on d\'esigne par $f(t)$ la 
distance, en kilom\`etres, parcourue \`a l'instant $t$, en heures.\\
Il est naturel de faire l'hypoth\`ese que $f$ est une fonction continue sur 
[0;1].
\begin{enumerate}
\item Pr\'eciser $f(0)$ et $f(1)$.
\item \'Ecrire l'\'equation traduisant le probl\`eme
\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle [0;$\frac{1}{2}$] par :
$$g(t)=f(t+\frac{1}{2})-f(t)$$
D\'emontrer que l'\'equation $g(t)=5$ admet au moins une solution dans 
l'intervalle [0;$\frac{1}{2}$]
\item Conclulre
\end{enumerate}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item  Quels sont les savoirs et les m\'ethodes mis en jeu par l'\'enigme 
initiale ?
\item  Comment peut-on envisager d'introduire dans une classe l'exercice 
destin\'e aux \'el\`eves ?\\
     Citer quelques difficult\'es que peuvent \'eprouver certains \'el\`eves 
face \`a cette situation.
     Quelles autres formes d'aide sont envisageables ?
\item  Pr\'esenter les explications que vous donneriez \`a une classe au moment
de corriger la question 2. de l'exercice.
\item   Proposer plusieurs probl\`emes \`a support concret faisant appel \`a la
continuit\'e ou \`a la d\'erivabilit\'e des fonctions.
\end{enumerate}
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
%marche.xws
On a : $f(0)=0$ et $f(1)=10$ et $f$ est continue et croissante.\\
On cherche $a$ pour que :\\
$g(a)=f(a+1/2)-f(a)=5$ avec  $g(t)=f(t+\frac{1}{2})-f(t)$. \\
On a :\\
$g(0)=f(1/2)$ et $g(1/2)=10-f(1/2)$\\
Si $g(0)=f(1/2)>5$ alors $g(1/2)=(10-f(1/2))\leq 5$ et alors 
$5\in [g(1/2);g(0)]$ et comme $g$ est continue d'apr\`es le th\'eor\`eme 
des valeurs interm\'ediaires, il existe $a$ dans l'intervalle 
[0;$\frac{1}{2}$]  tel que $g(a)=5$.\\
Si $g(0)=f(1/2)<5$ alors $g(1/2)=(10-f(1/2))\geq 5$ et alors 
$5\in [g(0);g(1/2)]$ et comme $g$ est continue d'apr\`es le th\'eor\`eme des 
valeurs interm\'ediaires, il existe $a$ dans l'intervalle [0;$\frac{1}{2}$]  
tel que $g(a)=5$.
Pour que l'exercice soit moins th\'eorique on va faire cet exercice sur 
3 exemples en prenant succ\'essivement :
\begin{itemize}
\item f1(x):=10*x\verb|^|2\\
On tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie :
\begin{verbatim}
f1(x):=10*x^2;
plotfunc(f1(x),x=0..1);
g1(x):=f1(x+0.5)-f1(x);
plotfunc(g1(x),x=0..1/2);
droite(y=5,affichage=4);
a1:=solve(g1(x)=5,x)[0];
droite(x=a1,affichage=1);
droite(x=a1+0.5,affichage=1);
f1(a1+0.5)-f1(a1);
\end{verbatim}
On obtient :\\
{\tt a1=0.25}\\

\includegraphics[width=10cm]{marche1}

\item f2(x):=10*x\verb|^|3\\
On tape  dans un \'ecran de g\'eom\'etrie :
\begin{verbatim}
f2(x):=10*x^3;
plotfunc(f2(x),x=0..1);
g2(x):=f2(x+0.5)-f2(x);
plotfunc(g2(x),x=0..1/2);
droite(y=5,affichage=4);
a2:=solve(g2(x)=5,x)[1]
droite(x=a2,affichage=1);
droite(x=a2+0.5,affichage=1);
f2(a2+0.5)-f2(a2);
\end{verbatim}
On obtient :\\
{\tt a2=0.309016994375}\\

\includegraphics[width=10cm]{marche2}

\item f3(x):=ifte(x<0.5,36*x\verb|^|2,2*x+8)\\
On cherche l'expression de $g_3(x)=f_3(x+1/2)-f_3(x)$ pour $x\in [0;1/2]$.\\
On a donc :\\
$g_3(x)=2(x+1/2)+8-36x^2=-36x^2+2x+9$.\\
On tape dans un \'ecran de g\'eom\'etrie :
\begin{verbatim}
f3(x):=ifte(x<0.5,36*x^2,8+2*x);
plotfunc(f3(x),x=0..1);
g3(x):=-36*x^2+2*x+9.));
plotfunc(g3(x),x=0..1/2);
droite(y=5,affichage=4);
a3:=solve(g3(x)=5,x)[1];
droite(x=a3,affichage=1);
droite(x=a3+0.5,affichage=1);
f3(a3+0.5)-f3(a3);
\end{verbatim}
On obtient :\\
{\tt a3=0.362266516078}\\

\includegraphics[width=10cm]{marche3}
\end{itemize}
\newpage                                
\section{Th\`eme : g\'eom\'etrie plane}
\subsection{L'exercice}
Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct 
$(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$.\\
   On consid\`ere le carr\'e $ABCD$ et les points $E$ et $F$ tels que $ABE$ et 
$CBF$ soient des triangles \'equilat\'eraux directs.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les coordonn\'ees des points $E$ et $F$ .
\item  Montrer que les points $D$, $E$ et $F$ sont align\'es.
\item  Calculer les distances $DE$, $EF$ et $DF$ et en d\'eduire une 
\'egalit\'e alg\'ebrique.
\end{enumerate}

\subsection{Un extrait des programmes officiels}
{\bf Math\'ematiques - Terminale scientifique arr\^et\'e du 20-7-2001.}\\
{\bf BO no 4 du 30 août 2001(...)}

     {\bf II. 2 G\'eom\'etrie}
     {\small L'objectif de ce paragraphe est d'entretenir la pratique des 
objets usuels du plan et de l'espace et de fournir quelques notions nouvelles 
permettant de parfaire l'approche entreprise dans les classe ant\'erieures sur 
la g\'eom\'etrie vectorielle ou rep\'er\'ee. Dans le prolongement du rep\'erage
polaire introduit en premi\`ere, les nombres complexes, outre leur int\'er\^et 
historique, alg\'ebrique et interdisciplinaire pour la poursuite des \'etudes, 
fournissent un outil efficace dans les probl\`emes faisant intervenir les
transformations planes. L'extension \`a l'espace du produit scalaire permet de 
r\'esoudre de nouveaux probl\`emes et, de ce fait, d'approfondir la vision de 
l'espace.\\
Bien que, comme dans les programmes ant\'erieurs, le libell\'e de cette partie 
soit relativement concis, on prendra le temps de mettre en oeuvre toutes les 
connaissances de g\'eom\'etrie de l'ensemble du cursus scolaire pour l'\'etude 
de configurations du plan ou de l'espace, le calcul de distances, d'angles,
d'aires et de volumes, etc. Ces travaux seront r\'epartis tout au long de 
l'ann\'ee afin que les \'el\`eves acqui\`erent une certaine familiarit\'e avec 
le domaine g\'eom\'etrique ; on privil\'egiera les probl\`emes dont les 
proc\'ed\'es de r\'esolution peuvent avoir valeur de m\'ethode et on entraînera
les \'el\`eves \`a choisir l'outil de r\'esolution le plus pertinent parmi ceux
dont ils disposent (propri\'et\'es des configurations, calcul vectoriel, calcul
barycentrique, transformations, nombres complexes, g\'eom\'etrie analytique).}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item  Pour quelles raisons l'exercice s'inscrit-il bien dans le cadre des 
objectifs du programme ?
\item  Pr\'esenter une solution de la question 3) de l'exercice.
\item  Donner un \'enonc\'e permettant de traiter la question 2) par une autre 
m\'ethode.
\item  Proposer plusieurs exercices de g\'eom\'etrie plane entraînant les 
\'el\`eves \`a choisir l'outil de r\'esolution le plus pertinent.
\end{enumerate}                                  
\subsection{Solution de l'exercice avec les complexes}
Le triangle $ABE$ est \'equilat\'eral de c\^ot\'e 1, donc \\
$E$ a comme affixe : $\exp(i*\pi/6)=1/2+i\sqrt 3/2$\\
On a : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$.\\
$\overrightarrow{AB}$ a comme affixe 1 et $\overrightarrow{BE}$ a comme affixe
$\exp(i*\pi/3)=i/2+\sqrt 3/2$ donc \\
$F$ a comme affixe : $1+\sqrt 3/2+i/2$\\
donc $EF^2=(1/2+\sqrt 3/2)^2+(-1/2+\sqrt 3/2)^2=2$ (
ce qui etait \'evident puisque $EF$ est l'hypot\'enuse d'un triangle rectangle 
isoc\`ele de c\^ot\'e 1).\\
$\overrightarrow{DE}$ a donc comme affixe $1/2+i(\sqrt 3/2-1)$\\
$\overrightarrow{DF}$ a donc comme affixe :$1+\sqrt 3/2-i/2)$\\
On a :\\
$1+\sqrt 3/2-i/2)=(2+\sqrt 3)(1/2-i/2/(2+\sqrt 3)=(2+\sqrt 3)(1/2-i/2(2-\sqrt 3)$\\
donc $\overrightarrow{DF}=(2+\sqrt 3)\overrightarrow{DE})$\\
c'est \`a dire que $D,E,F$ sont align\'es.\\
On a donc :\\
$\overrightarrow{DF}=(2+\sqrt 3)\overrightarrow{DE}$ et 
$\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{DE}+(2+\sqrt 3)\overrightarrow{DE}=(1+\sqrt 3)\overrightarrow{DE}$\\
$EF=\sqrt 2$ donc 
$DE=\sqrt 2(\sqrt(3-1))/2$ et
$DF=(\sqrt 3+2)DE=\sqrt 2(1+\sqrt 3)/2$\\
donc
$\overline{DF}=\overline{DE}+\overline{EF}$

\subsection{Solution g\'eom\'etrique de l'exercice}
La rotation de centre $B$ et d'angle $\pi/3$ transforme :\\
$E$ en $A$, $F$ en $C$ et $D$ en $D1$.\\
Le triangle $D1DB$ est donc \'equilat\'eral donc $D1$ est sur la m\'ediatrice 
de $DB$. Puisque $ABCD$ est un carr\'e ses diagonales se coupent en leur 
milieu $I$ et sont perpendiculaires, $AC$ est la m\'ediatrice de $DB$.
Donc $D1,A,C$ sont align\'es.\\ 

\includegraphics[width=10cm]{geoplan0}

On se sert des propi\'et\'es des rotations :
\begin{enumerate}
\item La transformation r\'eciproque d'une rotation est une rotation.
\item Une rotation transforme une droite en une droite.
\item Une rotation conserve les longueurs.
\end{enumerate}
La rotation de centre $B$ et d'angle $-\pi/3$ transforme le point $x;y$ en :\\
$[[1/2,sqrt(3)/2],[-sqrt(3)/2,1/2]] *[x-1,y]+[1,0]$.\\
$E$ est le transform\'e de $A=(0;0)$ par la rotation de centre $B$ et d'angle 
$-\pi/3$ donc $E$ a pour coordonn\'ees :\\
{\tt [[1/2,sqrt(3)/2],[-sqrt(3)/2,1/2]] *[-1,0]+[1,0]}\\
c'est \`a dire {\tt [1/2,(sqrt(3))/2]}\\
$F$ est le transform\'e de $C=(1;1)$ par la rotation de centre $B$ et d'angle 
$-\pi/3$ donc $F$ a pour coordonn\'ees :\\
{\tt [[1/2,sqrt(3)/2],[-sqrt(3)/2,1/2]] *[0,1]+[1,0]}\\
c'est \`a dire {\tt [(sqrt(3))/2+1,1/2]}\\
$D1,A,C$ sont align\'es donc $D,E,F$ sont align\'es.\\ 
$D1,A,C$ sont sont align\'es dans cet ordre donc $D,E,F$  sont align\'es dans 
cet ordre.\\
$D1I=\sqrt 2*\sqrt 3/2$ comme hauteur d'un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e 
$\sqrt 2$.\\
$IA=IC=\sqrt 2/2$ comme demi-diagonale d'un carr\'e de c\^ot\'e 1.\\
$DF=D1C=D1I+IC=\sqrt 6/2+\sqrt 2/2$\\
$DE=D1A=D1I-IA=\sqrt 6/2-\sqrt 2/2$\\
$EF=AC=\sqrt 2$
\subsection{Solution de l'exercice avec la trigonom\'etrie}
Dans le triangle $BEF$, l'angle $B$ vaut $\pi/2$ et $BF=BE=1$ donc
$EF^2=BF^2+BE^2=2$.\\
Donc $EF=\sqrt 2$\\
Dans le triangle $ADE$, l'angle $A$ vaut $\pi/6$ et $AD=AE=1$ donc :\\
$DE^2=AD^2+AE^2-2AD*AE*\cos(\pi/6)=2-\sqrt 3$.\\
Donc $DE=(\sqrt 6-\sqrt 2)/2$\\
Dans le triangle $CDF$, l'angle $A$ vaut $\pi/2+\pi/3$ et $CD=CF=1$ donc :\\
$DF^2=CD^2+CF^2+2CD*CF*\sin(\pi/3)=2+\sqrt 3$.\\
Donc $DF=(\sqrt 6+\sqrt 2)/2$
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
On tape  dans un \'ecran de g\'eom\'etrie :
\begin{verbatim}
A:=point(0);
B:=point(1);
carre(A,B,C,D);
triangle_equilateral(A,B,E);
triangle_equilateral(C,B,F);
\end{verbatim}
On obtient :\\

\includegraphics[width=8cm]{geoplan1}\\
On tape :\\
{\tt coordonnees(E);}\\
On obtient :
{\tt [1/2,(sqrt(3))/2]}\\
On tape pour avoir l'affixe de $E$:\\
{\tt normal(affixe(E));}\\
On obtient :
{\tt ((i)*sqrt(3)+1)/2}\\
On tape :\\
{\tt coordonnees(F);}\\
On obtient :
{\tt [1+(sqrt(3))/2,1/2]}\\
On tape pour avoir l'affixe de $F$:\\
{\tt normal(affixe(F));}\\
On obtient :
{\tt sqrt(3)+2+i)/2}\\
On tape :\\
{\tt est\_aligne(D,E,F);}\\
On obtient :
{\tt 1}\\
On tape :\\
{\tt normal(longueur2(D,E));}\\
On obtient :
{\tt -sqrt(3)+2}\\
On a puisque $2^2-3=1$ est un carr\'e parfait :\\
$\sqrt(2-\sqrt 3)=\frac{\sqrt 2}{2}(\sqrt{(2+1)}-\sqrt{(2-1)})$ et\\
$\sqrt(2+\sqrt 3)=\frac{\sqrt 2}{2}(\sqrt{(2+1)}+\sqrt{(2-1)})$
donc $DE=\sqrt{2-\sqrt 3}=\sqrt 2(\sqrt 3-1)/2 $\\
On tape pour avoir l'affixe de $\overrightarrow{DE}$:\\
{\tt normal(E-D);}\\
On obtient :
{\tt ((i)*sqrt(3)+1-2*i)/2}\\
On tape pour avoir la norme au carr\'e de $\overrightarrow{DE}$:\\
{\tt normal(abs(E-D)\verb|^|2);}\\
On obtient :
{\tt -sqrt(3)+2}\\
On tape :\\
{\tt  normal(longueur2(E,F));}\\
On obtient :
{\tt 2} donc $EF=\sqrt 2$\\
On tape pour avoir la norme de $\overrightarrow{EF}$:\\
{\tt normal(abs(F-E));}\\
On obtient :
{\tt sqrt(2)}\\
On tape :\\
{\tt  normal(longueur2(D,F));}\\
On obtient :
{\tt sqrt(3)+2}
donc $DF=\sqrt{2+\sqrt 3}=\sqrt 2(\sqrt 3+1)/2 $\\
donc $\overline{DF}=\overline{DE}+\overline{EF}$\\
On tape pour avoir l'affixe de $\overrightarrow{DF}$:\\
{\tt normal(F-D);}\\
On obtient :
{\tt (sqrt(3)+2-i)/2}\\
On tape pour avoir la norme au carr\'e de $\overrightarrow{DF}$:\\
{\tt normal(abs(F-D)\verb|^|2);}\\
On obtient :
{\tt sqrt(3)+2}\\
{\bf Remarque}\\
L'\'egalit\'e alg\'ebrique peut se d\'eduire du fait que $D,E,F$ sont align\'es.
En effet :
$E$ se trouve \`a l'int\'erieur du carr\'e $ABCD$ donc dans le m\^eme 
demi-plan limit\'e par $BC$ que $D$ alors que
 $F$ se trouve dans l'autre demi-plan,
donc $D,E,F$ sont dans cet ordre sur la droite $DE$
\newpage       
\section{Th\`eme : g\'eom\'etrie au coll\`ege}
\subsection{L'exercice}
\begin{enumerate}
\item Un losange $ABCD$ a pour côt\'e 27,4 cm.La diagonale $[AC]$ mesure 42 cm.
 Combien mesure l'autre diagonale ?
\item  $E$ et $F$ d\'esignent les points appartenant respectivement aux 
segments $[AB]$ et $[CD]$ tels que
 $AE =\frac{AB}{3}$ et $CF=\frac{CD}{3}$. La droite $(EF)$ coupe $(AD)$ en $I$
et $(BC)$ en $J$.\\
     D\'emontrer que $BDI$ et $BDJ$ sont des triangles rectangles.
\end{enumerate}     
\subsection{La r\'eponse d'un \'el\`eve \`a la question 1)}
$27.4^2-21^2=309.76$\\
C'est l'aire $OB^2$\\
$\sqrt{309.76}=17.6$\\
$17.6*2=35.2$
L'autre diagonale mesure :35.2\\
Croquis :\\
\includegraphics[width=8cm]{geocapes11}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item  Analyser la production de l'\'el\`eve selon les quatre comp\'etences 
suivantes :
\begin{itemize}
 \item rechercher et organiser l'information ;
 \item calculer, mesurer, appliquer les consignes ;
 \item engager une d\'emarche, raisonner, argumenter, d\'emontrer ;
 \item communiquer \`a l'aide d'un langage math\'ematique adapt\'e.
\end{itemize}
\item  Pr\'esenter une animation qui permettrait d'introduire la question 2) 
dans un contexte plus g\'en\'eral. Donner une correction \'ecrite d\'etaill\'ee
de celle-ci en pr\'ecisant le public vis\'e.
\item  Proposer plusieurs exercices mettant en jeu les grands th\'eor\`emes de 
g\'eom\'etrie \'etudi\'es au coll\`ege.
\end{enumerate}                                   
\subsection{La production de l'\'el\`eve}
Il faut que l'\'el\`eve cite les th\'eor\`emes :
\begin{itemize}
\item Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires
\item Le th\'eor\`eme de Pythagore
\end{itemize}
L'\'el\`eve doit pr\'eciser que l'unit\'e  choisie est ici le cm et dire :\\
l'aire $OB^2$ est de $27.4^2-21^2=309.76$ cm\\
donc $OB$ mesure $\sqrt{309.76}=17.6$ cm et donc l'autre diagonale mesure 
35.2 cm. On remarque que $17.6^2=309.76$ donc le calcul est exact.
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
On tape dans un niveau de g\'eom\'etrie :
\begin{verbatim}
A:=point(0,21);
B:=point(17.6);
C:=point(0,-21);
D:=point(-17.6);
polygone(A,B,C,D);
O:=point(0);
E:=point(17.6/3,14);
F:=point(-17.6/3,-14);
d:=droite(E,F):;d;
d1:=demi_droite(D,A):;d1;
d2:=demi_droite(B,C):;d2;
I:=inter_unique(d,d1);
J:=inter_unique(d,d2);
\end{verbatim}
\includegraphics[width=10cm]{geocapes12}\\
\begin{itemize}
\item {\bf Une d\'emonstration (public coll\`ege)}\\
$AECF$ est un parall\'elogramme ($AE=CF$ et $AE//CF$) donc
$E$ et $F$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$ milieu de $AC$\\
Les droites $DA$ et $BC$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$\\
donc $I$ et $J$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$\\
$BDI$ et $BDJ$ sont des triangles sym\'etriques par rapport \`a $O$.
Il suffit donc de montrer que $BDI$ est un triangle rectangle.\\ 
\includegraphics[width=10cm]{geocapes14}\\
Puisque $AB=DC$, $AE=AB/3$ et $CF=DC/3$ on a $DF=2AE$.\\
Consid\'erons les triangles  homoth\'etiques $DFI$ et $AEI$: $DF$ est 
parall\'ele \`a $AE$ et $DF=2AE$ donc $A$ est le milieu de $DI$.\\
Consid\'erons le triangle $DBI$,$O$ est le milieu de $DB$, $A$ est le mileu de
$DI$ donc $OA$ est parall\'ele \`a $BI$.\\
On peut \`a nouveau utiliser le th\'eor\`eme des milieux :\\
$OA$ est perpendiculaire \`a $OB$ donc $BI$ est perpendiculaire \`a $OB$.\\
On a donc montr\'e que $BDI$ et $BDJ$ sont des triangles rectangles.\\
ou on utilise la propri\'et\'e des triangles rectangles et des triangles
inscrits dans un demi-cercle.\\
On a $AD=AB=AI$, et $D,A,I$ sont align\'es donc $B$ est sur le demi-cercle de 
diam\'etre $DI$ donc l'angle $B$ est droit.
\item {\bf Solution de l'exercice avec la g\'eom\'etrie analytique}(public seconde)\\
L'\'equation de la droite $DA$ est :
$y=21/17.6*x+21$\\
L'\'equation de la droite $EF$ est :
$y=42/17.6*x$\\
Le point $I$ a donc comme coordonn\'ees :\\
$y_I=42/17.6*x_I=21/17.6*x_I+21$ donc $x_I=21*17.6/21=17.6$\\
$B$ est sur $Ox$ et $x_I=x_B=17.6$ donc l'angle $\widehat{0BI}$ est droit.\\
on peut alors remarquer que $y_I=42$ donc $A$ est le milieu de $DI$.
\item {\bf Une d\'emonstration avec une homoth\'etie (public lyc\'ee).}\\
Avec le m\^eme d\'ebut :\\
$AECF$ est un parall\'elogramme ($AE=CF$ et $AE//CF$) donc
$E$ et $F$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$ milieu de $AC$\\
Les droites $DA$ et $BC$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$\\
donc $I$ et $J$ sont sym\'etriques par rapport \`a $O$\\
$BDI$ et $BDJ$ sont des triangles sym\'etriques par rapport \`a $O$.
Il suffit donc de montrer que $BDI$ est un triangle rectangle.

Dans cette d\'emonstration on ne se sert pas du point $F$ et on consid\`ere
$h$ l'homoth\'etie de centre $D$ et de rapport 2.\\
\includegraphics[width=10cm]{geocapes13}\\
On d\'efinit  $K$ par $K=h(A)$.\\
$h$ transforme $O$ en $B$ et $A$ en $K$, donc transforme la droite $OA$ en la 
droite $BK$ parall\'ele \`a $OA$. $OA$ est perpendiculaire \`a $OB$ donc 
$BK$  est perpendiculaire \`a $OB$ donc $BDK$ est un triangle rectangle\\
Pour montrer que $BDI$ est un triangle rectangle, on va montrer que $K$ et $I$ 
sont confondus :
Le point $E$ est le centre de gravit\'e du triangle $DBK$ car il est situ\'e
sur la m\'ediane $AB$ de ce triangle $DBK$ et que $AE=AB/3$. Donc la m\'ediane 
$KO$ de ce triangle $DBK$ passe pae $E$ et ainsi $K,E,O$ sont align\'es et $K$
et $I$ sont align\'es.
\end{itemize}
\newpage       
\section{Th\`eme : courbes param\'etr\'ees}
\subsection{L'exercice propos\'e au candidat}
    Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct 
$(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.\\
Pour tout r\'eel $t$, on note $M (t)$ le point de coordonn\'ees :
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x(t)& = &e^t\cos(t)\\
y(t)& = &e^t\sin(t)
\end{array}
\right.
$$
et on note $\overrightarrow{V(t)}$ le vecteur de coordonn\'ees ($x'(t), y'(t)$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout r\'eel $t,\overrightarrow{OM(t)}\neq 0$.
\item  On note $r(t)$ et $s(t)$ les affixes respectives des vecteurs 
$\overrightarrow{OM(t)}$ et $\overrightarrow{V(t)}$.
\begin{itemize}
\item Montrer que le complexe $z =\frac{s(t)}{r(t)}$ est ind\'ependant de $t$.
\item  D\'eterminer un argument de $z$.
\end{itemize}
\item  Quelle propri\'et\'e g\'eom\'etrique le r\'esultat pr\'ec\'edent 
donne-t-il sur la courbe $(C)$ d\'ecrite par le point $M (t)$ lorsque $t$
 parcourt $\R$ ?
\end{enumerate}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item \`A quel niveau de la scolarit\'e peut-on proposer un tel exercice ?
\item Quels sont les m\'ethodes et les savoirs mis en jeu ?
\item Pr\'esenter une solution de la question 3) de l'exercice en l'illustrant 
\`a l'aide d'un logiciel de g\'eom\'etrie dynamique.
\item  Proposer plusieurs exercices se rapportant au th\`eme « courbes 
param\'etr\'ees », ayant une origine historique ou offrant un lien avec une 
autre discipline.
\end{enumerate}
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
\begin{enumerate}
\item $t,\overrightarrow{OM(t)}\neq 0$, en effet :
$|OM(t)^2|=e^{2t}(\cos(t)^2+\sin(t)^2=e^{2t}\neq 0$
cela prouve que $|OM(t)^2|$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$.\\ 
Avec {\tt Xcas}, on tape :\\
{\tt plotparam(exp(t)*(cos(t)+i*sin(t)),t)}\\
On obtient :\\
\includegraphics[width=\textwidth]{paramcapes11}
\item
Avec {\tt Xcas}, on tape :\\
{\tt x(t):=exp(t)*cos(t)}\\
{\tt y(t):=exp(t)*sin(t)}\\
{\tt r(t):=x(t)+i*y(t)}\\
{\tt s:=function\_diff(r)}\\
{\tt factor(s(t))}\\\
On obtient :\\
{\tt (1+i)*(cos(t)+(i)*sin(t))*exp(t)}\\
On tape :\\
{\tt simplify(s(t)/r(t))}\\
On obtient : {\tt 1+i}\\
On tape :\\
{\tt arg(1+i)}\\
On obtient : {\tt pi/4}
\item
On a $s(t)$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{MT}$, donc 
$\overrightarrow{0T}$ a pour affixe $r(t)+s(t)$.\\
D'apr\`es ce qui pr\'ec\'ede l'angle $(\overrightarrow{OM}\overrightarrow{MT}$
vaut $\pi/4$.\\
On tape :
\begin{verbatim}
O:=point(0);
supposons(t=[2.7,-5,5,0.1]);
M:=point(r(t));
T:=point(s(t)+r(t));
vecteur(M,T);
plotparam(r(t),t=-5..5);
segment(O,M);
N:=point(s(t)-r(t));
vecteur(M,N);
K:=homothetie(M,-1,O);
vecteur(M,K);
\end{verbatim}
On obtient:\\

\includegraphics[width=8cm]{paramcapes112}
\end{enumerate}
\newpage       
\section{Th\`eme : arithm\'etique}
\subsection{L'exercice}
\begin{enumerate}
\item  Quel est le chiffre des unit\'es de $2^{50}$ ?
\item  D\'eterminer les entiers naturels $k$ tels que $2k-1$ soit un 
multiple de 51.
\end{enumerate}     
\subsection{Les solutions de la question 1) propos\'ees par cinq \'el\`eves de coll\`ege}
\begin{itemize}
\item{A} \\
$2^{50}=(2^{10})^5=1024^5$\\
$4^5=1024\ $ donc $2^{50}$ se termine par 4.
\item{B}\\
Pour que le calcul soit plus simple je fais :\\
$2^{25}2^{25}=33554432*33554432$
Le chiffre des unit\'es de cette multiplication est $2*2=4$ donc
$2^{50}$ se termine par 4.
\item{C}\\ 
Quand on multiplie ind\'efiniment 2 par 2 on obtient une succession de
s\'eries de chiffres se terminant par 2,4,8,6. Donc $2^{50}$ est une succession
de 12 s\'eries (12*4=48).\\
 Il reste \`a multiplier encore 2 fois par 2 donc
$2^{50}$ se termine par 4.
\item{D}\\
$2^1=2$\\
$2^2=4$\\
$2^3=8$\\
$2^4=16$\\
$2^5=32$\\
$2^6=64$\\
$2^7=128$\\
$2^8=256$\\
$2^9=512$\\
$2^{10}=1024$\\
Les m\^emes chiffres se r\'ep\'etant \`a un intervalle de 4 puissances. J'ai 
donc compt\'e de 4 en 4 en partant de $2^2$ pour savoir quel chiffre il y avait
\`a $2^{50}$.\\
 $2^{50}$ se termine par 4.
\item{E} \\
$2^{50}=2^{10}2^{10}2^{10}2^{10}2^{10}$\\
Puisqu'il n'y a que le dernier chiffre qui nous interesse je multiple les 
derniers chiffres entre eux, on obtient :
1024*1024*1024*1024*1024 puis\\
16*16*4 puis\\
36*4 puis\\
24\\ 
 $2^{50}$ se termine donc par 4.
\end{itemize}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item  Analyser les travaux des \'el\`eves et et la d\'emarche mise en {\oe}uvre
par chacun d'eux pour r\'epondre \`a la question pos\'ee.
\item  Donner une solution des deux questions de l'exercice pour une classe de
terminale scientifique.
\item  Proposer plusieurs exercices sur le th\`eme de l'arithm\'etique ayant un
     traitement diff\'erent selon le niveau consid\'er\'e.
\end{enumerate}     
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
\begin{enumerate}
\item Le chiffre des unit\'es de  $2^{50}$,\\
On tape :\\
{\tt (2\%10)\verb|^|50}
ou 
{\tt (2 mod 10)\verb|^|50}\\
On obtient : {\tt 4 \% 10}\\
Pour avoir le d\'etail, on tape :\\ 
{\tt 2\verb|^|10, 2\verb|^|10 mod 10)}\\
On obtient : {\tt 1024, 4 \% 10}\\
puis, comme on a :
{\tt 4\verb|^|5=2\verb|^|10}\\ 
On en d\'eduit que le chiffre des unit\'es de $2^{50}$ est 4.
\item Trouver les entiers naturels $k$ tels que $2k-1$ soit un multiple de 51.\\
On doit trouver des entiers $k$ et $p$ v\'erifiant :\\
$2k-1=51p$ c'est \`a dire $2k-51p=1$.\\
On sait que 2 et 51 sont premiers entre eux donc d'apr\`es B\'ezout il existe 
des entiers $u$ et $v$ tels que $2u+51v=1$.\\
On tape :\\
{\tt iegcd(2,51)}\\
On obtient : {\tt [-25,1,1]}\\
ce qui signifie :\\
-25*2+1*51=1 donc\\
51=25*2+1=26*2-1 donc $k=26$ convient.\\
Si $2u_0+51v_0=1$ et si $2u+51v=1$ alors $2(u-u_0)+51(v-v_0)=0$ donc\\
$u-u_0$ est un multiple de 51 ou encore $u-u_0=51n$ soit $u=-25+n*51$
On veut que $u>0$ donc $u=-25+51n$ avec $n>0$ ou $u=26+51n$ avec $n\geq 0$
donc $k=26,77,128...26+51n$ conviennent.

Ou encore \\
On peut aussi deviner que $k=26$ est une solution puisque 2*26-1=51
On cherche des entiers $k$ et $p$ v\'erifiant : $2k-1=51p$ et\\
comme $2*26-1=51$, cela revient \`a chercher :\\
des entiers $k$ et $p$ v\'erifiant : $2(k-26)=51(p-1)$ et puisque 2 et 51  
 sont premiers entre eux, $k-26$est un multiple de 51 donc\\
 $k-26=51*m$ avec $m\geq 0$
\end{enumerate}
\newpage       
\section{Th\`eme : diff\'erents types de raisonnement}
\subsection{L'exercice}
Les propositions suivantes sont ind\'ependantes. Pr\'eciser pour chacune 
d'elles si elle est vraie ou fausse. Justifier.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, le nombre $n(n + 1)(2n + 1)$ est divisible par 3.
\item Toute suite strictement croissante tend vers $+\infty$.
\item L'ensemble des nombres premiers admet un plus grand \'el\'ement.
\end{enumerate}     
\subsection{Un extrait des programmes officiels}
{\bf Math\'ematiques - S\'erie scientifique}\\
 {\bf     BO no 7 du 31 août 2000(...)}\\
{\small  Le monde math\'ematique de chaque \'el\`eve s'\'elabore en grande 
partie \`a travers une pratique permanente de calculs, d'argumentations, de 
petits raisonnements et de d\'emonstrations. Le niveau de rigueur exigible pour
une d\'emonstration d\'epend de l'exp\'erience de l'\'el\`eve dans le domaine où
cette d\'emonstration se situe : ainsi, pour la g\'eom\'etrie, pratiqu\'ee 
depuis l'\'ecole primaire, on peut pr\'etendre exiger d\`es la classe de 
seconde un niveau de d\'emonstration acad\'emique ; en analyse, par contre, la 
plupart des objets manipul\'es ne sont pas d\'efinis formellement \`a ce niveau
d'\'etudes, et les \'el\`eves ne peuvent pas aboutir \`a des d\'emonstrations 
parfaitement achev\'ees : la nature et le niveau des r\'edactions exigibles ne 
peuvent pas \^etre les m\^emes. Il conviendra donc, \`a ce niveau d'\'etude, en
particulier en analyse, d'accepter des argumentations conçues et expos\'ees \`a
l'aide de sch\'emas (m\^eme si les \'el\`eves ne peuvent pas \`a ce stade les 
traduire en un texte lin\'eaire). On gardera n\'eanmoins l'\'etat d'esprit 
d\'ejà \'evoqu\'e dans les programmes de coll\`ege et de seconde : rep\'erer 
clairement le statut des divers \'enonc\'es en jeu (d\'efinition, axiome, 
th\'eor\`eme d\'emontr\'e, th\'eor\`eme admis,...).\\
La d\'eduction usuelle (par implication ou \'equivalence) et la manipulation du
contre-exemple ont \'et\'e travaill\'ees en seconde ; des probl\`emes bien 
choisis permettront d'aborder en premi\`ere le raisonnement par contraposition,
par l'absurde ou par disjonction des cas ; le raisonnement par r\'ecurrence
rel\`eve de la classe de terminale.\\
La d\'emonstration doit garder un caract\`ere vivant et personnel et il 
convient d'\'eviter qu'elle n'apparaisse comme une activit\'e relevant d'un 
protocole trop rigide. Chaque ann\'ee, les assertions qui doivent \^etre 
justifi\'ees dans le cadre d'une pratique de la d\'emonstration changent : il 
est difficile pour les \'el\`eves de cerner, parmi les \'el\'ements qui 
devaient \^etre justifi\'es les ann\'ees pr\'ec\'edentes, ceux
qui deviennent des \'evidences, pour lesquelles une justification ne ferait 
qu'alourdir la d\'emonstration}
\subsection{Le travail \`a exposer devant le jury}
\begin{enumerate}
\item En prenant appui sur l'extrait du bulletin officiel, montrer de quelle 
mani\`ere l'exercice permet d'illustrer certains objectifs du programme du 
cycle terminal de la s\'erie scientifique.
\item Indiquer le type de raisonnement qu'il est possible de mettre en oeuvre 
pour traiter chacune des propositions de l'exercice.
\item  Proposer plusieurs exercices mettant en jeu diff\'erents types de 
raisonnement, dont un \'enonc\'e d\'etaill\'e permettant \`a un \'el\`eve de 
d\'emontrer l'irrationalit\'e de 2.
\end{enumerate}                                             
\subsection{Solution de l'exercice avec {\tt Xcas}}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, le nombre $n(n + 1)(2n + 1)$ est divisible par 3.\\
On regarde tout d'abord si la proposition semble vraie, on tape :\\
{\tt seq(n*(n+1)*(2*n+1),n=0..8)}\\
On obtient : {\tt 0,6,30,84,180,330,546,840,1224}
qui sont des multiples de 3.\\
On tape : {\tt k:=0 mod 3}
{\tt k*(k+1)*(2*k+1)}\\
On obtient : {\tt 0 \% 3}\\
On tape : {\tt k:=1 mod 3}
{\tt k*(k+1)*(2*k+1)}\\
On obtient : {\tt 0 \% 3}\\
On tape : {\tt k:=2 mod 3}\\
{\tt k*(k+1)*(2*k+1)}\\
On obtient : {\tt 0 \% 3}\\
Bien s\^ur, si $n$ est un multiple de 3 ou si $n+1$ est un multiple de 3, le 
r\'esultat est \'evident.\\
Il reste \`a montrer la proposition pour $n$ est congru \`a 1 nodulo 3.
Dans ce cas $2n+1$ est  congru \`a 0 nodulo 3 donc $2n+1$ est un multiple de 3,
donc $n(n+1)(2n+1)$ est un multiple de 3.\\

On peut aussi montrer par r\'ecurrence que :\\
 $1^2+2^2+....n^2=n(n+1)(2n+1)/6$.\\
En effet cette \'egalit\'e est vraie pour $n=1$
et si elle est vraie pour $n$ cela donne pour $n+1$ :\\
 $\displaystyle 1^2+...n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$\\
puisque $2n^2+7n+6=(2n+3)(n+2)$ on a :\\
 $\displaystyle 1^2+2^2+...n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$\\
donc l'\'egali\'e est vraie pour $n+1$.\\
Cette \'egalit\'e montre que $n(n+1)(2n+1)$ est un multiple de 6, donc
 un multiple de 3.\\
Avec {\tt Xcas}, on tape :\\
{\tt factor(sum(k\verb|^|2,k=1..n))} \\
On obtient : {\tt (n*(n+1)*(2*n+1))/6} \\
\item Toute suite strictement croissante tend vers $+\infty$.\\
Ce r\'esultat est manifestement faux :
$u_n=1-1/n$ en est un contre -exemple car $u$ est croissante et converge 
vers 1.\\
On tape : \\
{\tt u(n):=1-1/n}\\
{\tt normal(u(n+1)-u(n))}\\
On obtient : {\tt 1/(n\verb|^|2+n)}\\
On tape :\\
{\tt limit(u(n),n=inf)}\\
On obtient : {\tt 1}

\item L'ensemble des nombres premiers admet un plus grand \'el\'ement.\\
Montrons que cette proposition est fausse.\\ 
On suppose connu le th\'eor\`eme :\\
Tout nombre non premier poss\'ede un diviseur premier.\\
On peut faire 2 sortes de d\'emonstrations :
\begin{itemize}
\item Une d\'emonstration directe \\
On montre que quelque soit l'entier $n\in \N$ il existe un nombre $p$ premier 
v\'erifiant $p>n$.\\
Soit le nombre $k=n!+1$. On a :\\
$k>n$ et $k$ et $n!$ sont premiers entre eux donc $k$
n'est divisible par aucun nombre inf\'erieur ou \'egal \`a $n$\\
Donc :\\
soit $k$ est premier et alors $p=k$,\\
soit $k$ a un diviseur premier $p$ qui est n\'ecessairement strictement
sup\'erieur \`a $n$. 
\item Une d\'emonstration par l'absurde\\
Si il y a un plus grand nombre premier $P$, c'est que l'ensemble des nombres 
premiers est fini. Consid\'erons le nombre $N$ \'egal au 
produit de tous les nombres premiers +1.\\
$N$ n' est pas premier car  $N>P$ et $N$ n'admet pas de diviseurs premiers 
car si un nombre premier $p$ divise $N$, il diviserait le produit de tous les 
nombres premiers donc il diviserait 1. D'o\`u la 
contradiction avec le th :\\
 "Tout nombre non premier poss\'ede un diviseur premier".
\end{itemize}
\item $\sqrt 2$ est irrationnel\\
Montrons tout d'abord :\\
si $n$ est impair alors $n^2$ est impair (c'est un multiple de 4 plus 1, en 
effet si $n=2k+1$ alors $n^2=4(k^2+k)+1$).\\
Cela prouve aussi :
si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.\\

Pour montrer que $\sqrt 2$ est irrationnel, on va raisonner par l'absurde.
Supposons que $\sqrt 2=p/q$ o\`u $p$ et $q$ sont des nombres entiers premiers 
entre eux.\\
On a $2=p^2/q^2$ donc $p^2=2q^2$ \\
$p^2$ est pair donc $p$ est pair : soit $p=2k$ donc $p^2=4k^2$\\
On a alors $q^2=2k^2$ $q^2$ est pair donc $q$ est pair\\
D'o\`u la contradiction car $p$ et $q$ sont des nombres entiers premiers 
entre eux.\\
On peut aussi utiliser le th\'eor\`eme de Gauss :\\
Soint 3 entiers $a,b,c$. Si $a$ divise $b*c$ si $a$ est premier avec $c$ alors 
$a$ divise $b$.\\
Ici $p$ divise $(2q)*q$,  $p$ est premier avec $q$ donc $p$ divise $2*q$
donc $p$ divise 2 (on applique 2 fois de suite le th de Gauss) 
donc $p=1$ ou $p=2$.
$p=1$ est impossible car $2q^2 \geq 2$ donc $2q^2 \neq 1$\\
$p=2$ est impossible car $2q^2= 4$ implique $q$ entier et $q^2=2$
$p$ est premier avec $q$ donc $p$ divise $q$ (th de Gauss) ce qui est absurde
\end{enumerate}   

\end{document}
 au+cv=1 acuv+c^2v^2=cv=au-1 au(1-cv)-c^2v^2=1
On tape :
\begin{center}{\tt }\end{center}
On obtient :
\begin{center}{\tt }\end{center}
On tape :
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On obtient :
\begin{center}{\tt }\end{center}
