Sujets du capes 2010 avec Xcas

Renee.Degraeve@wanadoo.fr

Décembre 2010

Table des matières

1 Thème : Étude de suites 4 1.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Thème : Probabilités 6 2.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Thème : Équations différentielles 8 3.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Thème : Calcul de grandeurs : longueurs, aires, volumes 10 4.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3.1 Réponses aux différentes questions . . . . . . . . . . . . 11 4.3.2 Solution de l’exercice en analytique . . . . . . . . . . . . 11 4.3.3 Réponses aux différentes questions avec Xcas . . . . . . 12

4.4 Solution géométrique de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . 13 4.5 L’exercice avec un triangle ABC rectangle en B ou quelconque . . 15

4.5.1 L’énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.5.2 Un lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.5.3 Solution géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5.4 Solution en analytique avec un triangle ABC rectangle en B 18 5 Thème : Arithmétique 19

5.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Thème : Nombres complexes 21 6.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Thème : Recherche de lieux géométriques 24 7.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Thème : Intégration 29 8.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9 Thème : Fonctions, équations 34 9.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10 Thème : Probabilités 37 10.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Thème : Arithmétique 39 11.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 11.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 11.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

12 Thème : Utilisation des variations d’une fonction 42 12.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

13 Thème : Géométrie dans l’espace 44 13.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 14 Thème : Divers types de raisonnement 48

14.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 14.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 14.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

15 Thème : Étude de configurations 49 15.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 15.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 15.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16 Thème : Propriétés des fonctions 52 16.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 16.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 16.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

17 Thème : Probabilités 54 17.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 17.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 17.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

18 Thème : Équations différentielles 56 18.1 L’exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 18.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 18.3 Solution de l’exercice sans Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 18.4 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

19 Thème : Arithmétique 59 19.1 L’exercice : L’âge du capitaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 19.2 Le travail demandé au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 19.3 Solution de l’exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1 Thème : Étude de suites

1.1 L’exercice

Soit a un réel. On considère la suite (un)_{n∈ℕ} définie par u_{0} = a et, pour tout entier n:

u_{n+1} = u_{n}(2 − u_{n})

1. Étudier les cas a = 0, a = 1 et a = 2.

Dans toute la suite, on suppose que a ∈]0; 1[.

2. Étudier les variations de la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f(x) = x(2 − x).

3. Montrer que, pour tout entier n, on a : 0 ≤ u_{n} ≤ u_{n+1} ≤ 1.

4. Montrer que la suite (u_{n})_{n∈ℕ} est convergente et déterminer sa limite.

1.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat présentera au Jury : les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice ;

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 4) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Étude de suites”.

1.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. pour a = 0 u_{1} = 0 et pour tout n ∈ ℕ u_{n} = 0, pour a = 1 u_{1} = 1 et pour tout n ∈ ℕ u_{n} = 1, pour a = 2 u_{1} = 0 et pour tout n ∈ ℕ u_{n} = 0,

2. Pour étudier la fonction f, on tape :

f(x) :=(x*(2-x)
f1 :=function diff(f)
normal(f1(x)) On obtient : -2*x+2

Donc f admet un maximum en x = 1 qui vaut 1. Pour x < 1, f est croissante et pour x > 1, f est décroissante. f(x) = 0 pour x = 0 et x = 2 donc pour x ∈ [0; 2] on a 0 ≤ f(x) ≤ 1. Pour faire le graphe de f sur [0 ;2], on tape : plotfunc(f(x),x=0..2) Pour pouvoir faire bouger a entre 0 et 1 et voir le graphe de f(x) = x(2−x) pour x ∈ [0; 2] et les 6 premiers termes de u_{n} , on tape dans un niveau de géométrie :

supposons(a=[0.3,0,1,0.1]) ;

plotseq(x*(2-x),[a,0,2],6)

On obtient :

3. Puisque pour x ∈ [0; 2] on a 0 ≤ f(x) ≤ 1 et que u_{n+1} = f(u_{n}) : pour tout n > 0 et pour tout a ∈ [0; 2], on a : 0 ≤ u_{n} ≤ 1. Pour avoir le signe de u_{n+1} − u_{n} = f(u_{n}) − u_{n}, on tape :

factor(x*(2-x)-x)

On obtient : -x*(x-1) Puisque pour tout n > 0, 0 ≤ u_{n} ≤ 1, on en déduit que u_{n+1} − u_{n} ≤ 0. si on suppose a ∈]0; 1[ pour tout n ≥ 0, on a 0 ≤ u_{n} ≤ u_{n+1} ≤ 1 La suite u est donc croissante et majorée donc u est convergente. Sa limite l vérfie l = l(2 − l) et l ≥ a > 0 donc l = 1

2 Thème : Probabilités

2.1 L’exercice

Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On effectue au hasard n tirages successifs (n ≥ 2) d’une boule en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage.

1. a) Calculer la probabilité de l’événement ”toutes les boules tirées ont la même couleur”. 1 b) Calculer la probabilité de l’événement ”on obtient exactement une boule blanche ”. On considère les deux événements A et B suivants : A: ”on obtient des boules des deux couleurs” B : ”on obtient au plus une boule blanche”

2. Calculer les probabilités P (A ∩ B), P (A) et P (B).

3. Montrer que P (A ∩ B) = P (A) × P (B) si et seulement si l’entier n vérifie l’égalité 2^{n−1} = n + 1.

4. En déduire qu’il existe une valeur unique de n pour laquelle A et B sont deux événements indépendants (on pourra considérer la suite (u_{n})_{n≥2} définie par u_{n} = 2^{n−1} − (n + 1) et montrer qu’elle est strictement croissante).

2.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat présentera au Jury : les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice ; sa réponse à la question 1)

Le candidat rédigera sur ses fiches : la réponse á la question 2) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Probabilités”.

2.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. a) ”toutes les boules tirées ont la même couleur” La probabilité d’avoir n boules noires (resp blanches) est 1/2^{n} donc La probabilité d’avoir n boules de la même couleur” est 2/2^{n} = 1/2^{n−1} 1 b) ”on obtient exactement une boule blanche ” La boule blanche peut être tirée soit au 1ier, soit au 2ième,... soit au nième coup. Donc la probabilité d’avoir exactement une boule blanche est n/2^{n}

2. Soient A: ”on obtient des boules des deux couleurs”

B : ”on obtient au plus une boule blanche”

A ∩ B est l’événement ”on obtient exactement une boule blanche ” donc P (A ∩ B) = n/2^{n}. nonA est l’événement ”toutes les boules tirées ont la même couleur” donc P (A) = 1 − 1/2^{n−1} B est l’événement ”toutes les boules tirées sont noires” union ”on obtient exactement une boule blanche ” donc P (B) = 1/2^{n} + n/2^{n}

3. On a : P (A ∩ B) = P (A) × P (B) ¡=¿ n/2^{n} = (1 − 1/2^{n−1}) ∗ (1/2^{n} + n/2^{n}) ¡=¿ n = (1 − 1/2^{n−1}) ∗ (1 + n) = 1 + n − 1/2^{n−1}) ∗ (1 + n) ¡=¿ 1/2^{n−1}) ∗ (1 + n) = 1 ¡=¿ 2^{n−1}) = (1 + n)

4. Soit u_{n} = 2^{n−1} − (n + 1) pour n ≥ 2 u_{n+1} − u_{n} = 2^{n} − (n + 2) − 2^{n−1} + (n + 1) = 2^{n−1} − 1 puisque n ≥ 2 on a 2^{n−1} − 1 ≥ 2 − 1 = 1 > 0 donc u est strictement croissante. pour n = 2 on a u_{2} = −1, u_{3} = 0 puis u_{n} > 0 pour n > 4 Donc il existe une valeur unique de n pour laquelle A et B sont deux événements indépendants et ette valeur est n = 3

3 Thème : Équations différentielles

3.1 L’exercice

Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

1. Soit C la courbe représentative de la fonction exponentielle x− > e^{x}. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à C avec l’axe des abscisses. Montrer que la distance P N est constante.

2. Dans la suite de l’exercice f désigne une fonction définie sur ℝ, strictement positive, dérivable et dont la fonction dérivée est strictement positive. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à la courbe représentative de f , on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N , point d’intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses. 2.a) Calculer la distance P N en fonction de f(t) et de f′(t). 2.b) Déterminer une équation différentielle (E_{k}) vérifiée par les fonctions f définies sur ℝ, strictement positives, dérivables et dont la fonction dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance P N est une constante k. 2.c) Déterminer les fonctions f solutions de (E_{k}).

3.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury

Le candidat présentera au Jury : les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice ; sa réponse à la question 2).

Le candidat rédigera sur ses fiches : un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Équations différentielles”.

3.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. La longueur P N est constante.

On tape :

C:=plotfunc(exp(x));
assume(t=[2,-5,5,0.1]);
M:=point(t,exp(t));
P:=point(t);
T:=tangente(C,M);
N:=inter_unique(T,droite(y=0));
normal(longueur(P,N));

On obtient :

L’équation de T : droite(y=(-t*exp(t)+exp(t)+exp(t)*x))

Le point N est : point(t-1) La longueur de P N : 1 On a en effet si f(t) = exp(t) : T a pour pente f′(t) = exp(t) et passe par le point M = (t; f(t) et son équation est donc : y = f′(t) ∗ (x − t) + f(t) = exp(t) ∗ (x − t + 1) N est donc le point (t − 1; 0) La longueur de P N vaut donc |t − (t − 1)| = 1

2. On a : T a pour équation : y = f′(t) ∗ (x − t) + f(t), N est donc le point (t − f(t)/f′(t); 0) (car f′(t) ≠ 0) La longueur de P N vaut donc |t − (t − f(t)/f′(t))| = f(t)/f′(t) car f(t)/f′(t) > 0 L’équation E_{k} est donc : (E_{k}) f(t)/f′(t) = k soit l’équation différentielle ky′ = y Pour résoudre cette équation on a : si k = 0 alors y(t) = 0 Si k ≠ 0 alors y′ = y/k donc y(t) = c ∗ exp(t/k). Avec Xcas, on tape :

desolve(k*y'=y) et on obtient c 0*exp(x/k)

ou on tape :

desolve(k*diff(y,t)=y, [t,y]) et on obtient c 0*exp(t/k)

4 Thème : Calcul de grandeurs : longueurs, aires, volumes

4.1 L’exercice

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AC = 5 et BC = 6. Un point M se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B. Le point N est l’intersection de (AC) et de la parallèle à (BC) passant par M. On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère MNQB soit un parallélogramme. On se propose de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l’aire du parallélogramme MNQB soit maximale. Pour cela on pose AM = x et on note f(x) l’aire du parallélogramme MNQB.

1. Montrer que MN = \frac{6}{5}x et en déduire l’aire du triangle AMN.

2. Montrer que QC = \frac{6}{5}(5 − x) et en déduire l’aire du triangle CNQ.

3. Montrer que f(x) = \frac{12}{25}(−2x^{2} + 10x).

4. Déterminer la valeur de x pour laquelle f(x) est maximale.

4.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat présentera au jury : Les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice ; un énoncé à présenter en classe de Seconde pour résoudre la question 4) de l’exercice.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 1). un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : ”Calcul de grandeurs : longueurs, aires, volumes”.

4.3 Solution de l’exercice sans Xcas

4.3.1 Réponses aux différentes questions

1. 0n calcule la hauteur h_{A} du triancle ABC. On a d’après Pythagore : h_{A}^{2} = 5^{2} − 3^{2} = 16 donc h_{A} = 4. Les triangles AMN et ABC sont semblables donc \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} Donc MN = BC \frac{AM}{BA} = \frac{6x}{5}. La hauteur h du triangle AMN issue de A a pour longueur : h = \sqrt{x^{2} − MN^{2}/4} = \sqrt{x^{2} − \frac{9x^{2}}{25}} = \frac{4x}{5}

L’aire du triangle AMN est donc 4x/5 ∗ 3x/5 = \frac{12x^{2}}{25} On peut aussi dire que l’aire du triangle ABC vaut 4*6/2=12 Les triangles AMN et ABC sont homothétiques de rapport k = \frac{AM}{AB} = \frac{x}{5} Donc l’aire du triangle AMN est k^{2} ∗ 12 = 12 ∗ (\frac{x}{5})^{2} = \frac{12x^{2}}{25}

2. Les triangles NQC et ABC sont semblables de rapport \frac{NQ}{AB} = \frac{QC}{BC} = \frac{5−x}{5} Donc QC = BC \frac{NQ}{BA} = \frac{6(5−x)}{5} L’aire du triangle NQC est donc 12 ∗ (\frac{(5−x)}{5})^{2}

3. L’aire du parallélogramme MNQB s’obtient en enlevant à l’aire de ABC l’aire des 2 triangles précédents : f(x) vaut donc : 12 − \frac{12x^{2}}{25} − 12 ∗ (\frac{(5−x)}{5})^{2} = \frac{12}{25}(25 − x^{2} − (x^{2} + 25 − 10x) On peut aussi dire que l’aire de NMBQ est égale à : MN(h_{A} − h) = \frac{6x}{5}(4 − \frac{4x}{5} = \frac{24x}{25}(5 − x)

4. Donc : f(x) = \frac{12}{25}(−2x^{2} + 10x)

On a f′(x) = \frac{12}{25}(−4x + 10) donc d’apres le signe de f′(x), la valeur de x pour laquelle f(x) est maximale est x = 5/2 et M est alors le milieu de AC. Ce maximum vaut 6 soit la moitié de l’aire du triangle ABC.

4.3.2 Solution de l’exercice en analytique

On pose BM = x. On choisit comme repère : OCA avec O le milieu de BC. On a : A = (0; 4), B = (−3; 0), C = (3; 0) Pour avoir l’aire du parallélogramme MNQB il suffit de connaitre la longueur de MN et l’ordonnée de M. Les triangles AMN et ABC sont semblables donc \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} . Donc MN = BC \frac{AM}{BA} = \frac{6x}{5}. La droite (A, B) a pour équation : y = 4x/3 + 4 M a pour abscisse −3x/5 donc pour ordonnèe −4x/5+4. L’aire du parallélogramme MNQB est donc : 4\frac{−x+5}{5} \frac{6x}{5} = \frac{12}{25}(−2x^{2} + 10x Remarque Pour montrer que l’aire du parallélogramme MNQB est maximale lorsque MN passe par les milieux de AB et de AC, il est plus judicieux de prendre comme paramètre l’ordonnée de M et d’utiliser un repère d’origine B et de prendre BC comme axe des x.

4.3.3 Réponses aux différentes questions avec Xcas

Avec Xcas on a la possibilité de définir paramètre formel x en mettant par exemple dans un niveau de géométrie : assume(x=[1,0,5,0.1]); Cela permet de faire la figure avec x = 1, de faire apparaitre un curseur qui permet de changer cette valeur entre 0 et 5 avec un pas de 0.1 et surtout de faire faire à Xcas les calculs en fonction du paramètre formel x. On ouvre un niveau de géométrie et on tape :

B:=point(-3,affichage=quadrant2);
C:=point(3);
A:=point(4*i);
triangle(A,B,C);
assume(x=[1,0,5,0.1]);
M:=point(4*i+x/5*(B-A));
N:=point(4*i+x/5*(C-A));
p:=parallelogramme(N,M,B,Q,affichage=1+rempli):;p;
legende(Q,"Q",quadrant2);
f:=unapply(aire(N,M,B,Q),x);
plotfunc(f(x),x=0..5,affichage=4+epaisseur_ligne_2);
M0:=point(x+i*f(x),affichage=4+epaisseur_point_2);

On obtient sur le même écran la figure, le graphe de f(x) et sur ce graphe le point de coordonnées (x; f(x).

On peut ainsi voir évoluer la figure en fonction du paramètre x et observer : pour cela on fait bouger le curseur x pour voir le point M se déplacer sur AB et le point M0 d’abscisse x et d’ordonnée f(x) (i.e. l’aire de NMBQ), se déplacer sur le graphe de f. Puis, on fait faire le calcul à Xcas.

On tape normal(longueur(M,N),aire(A,M,N))
On obtient (6*x)/5,12/25*x^2
On tape normal(longueur(Q,C),aire(Q,C,N))
On obtient (-6*x+30)/5, 12/25*x^2-24/5*x+12
On tape f1 :=function diff(f)
On obtient (` x`)->-(24*2*` x`)/25+24/5

On tape solve(f1(x)=0 et on obtient 5/2 On tape f(5/2) et on obtient 6

4.4 Solution géométrique de l’exercice avec Xcas

Xcas sert ici à faire la figure et faire évoluer les paramètres pour l’observation et le contrôle des conclusions. Pour faire la figure on tape (Si O est le milieu de BC, alors AO = 4) : On donne à M une autre position M1 et on regarde comment les aires des parallélogrammes MNQB et M1N1Q1B évoluent.

B:=point(-3,affichage=quadrant2);
C:=point(3);
A:=point(4*i);
triangle(A,B,C);
assume(x=[1,0,5,0.1]);
M:=point(4*i+x/5*(B-A));
N:=point(4*i+x/5*(C-A));
p:=parallelogramme(N,M,B,Q,affichage=1+rempli):;
p;
supposons(x1=[3.8,0,5,0.1]);
M1:=point(4*(i)+x1/5*(B-A));
N1:=point(4*i+x1/5*(C-A));
parallelogramme(N1,M1,B,Q1,affichage=2+rempli);
legende(Q,"Q",quadrant2);
I:=inter_unique(droite(M1,N1),droite(N,Q));
parallelogramme(Q,Q1,N1,I,affichage=4+rempli);
Q2:=translation(N-N1,Q1);
C2:=translation(N-N1,C)
segment(Q2,C2);
segment(Q2,Q1);
segment(-1.5+2*i,1.5+2*i,affichage=3+ligne_tiret);

On remarque que :

1. Les triangles AMN et NQC sont semblables à ABC

2. Si M et M1 sont symétriques par rapport au milieu de AB alors les parallélogrammes MNQB et M1N1Q1B ont même aire. En effet les triangles AMN et N1Q1C sont égaux ainsi que les triangles AM1N1 et NQC donc ont même aire. La fonction f(x) ègale à l’aire du parallélogramme MNQB est donc symétrique par rapport à la droite x = AB/2

3. On suppose alors x < x_{1} < AB/2 donc MN < M1N1 < BC/2. l’aire de MNQB est composée de l’aire rouge et de l’aire verte l’aire de M1N1Q1B est composée de l’aire verte et de l’aire bleue On va comparer l’aire rouge et l’aire bleue : On fait effectuer au triangle N1Q1C, une translation de vecteur \overrightarrow{N1N} : N1 se transforme en N, Q1 se transforme en Q2, C se transforme en C2, Donc les triangles N1Q1C et NQ2C2. De plus les triangles NIN1 et Q2QQ1 sont égaux et cela a pour conséquence que les parallélogrammes QQ1N1I et CC2Q2Q1 ont même aire. Pour vérifier on peut taper :

aire(Q1,C,C2,Q2)==aire(Q,Q1,N1,I) et obtenir 1.

On a : Q1C = BC − BQ1 = BC − M1N1 et M1N1 < BC/2 donc Q1C > BC/2 > MN. On en déduit que l’aire bleue est plus grande que l’aire rouge c’est à dire que lorsque x croit de 0 à AB/2 la fonction est croissante et que par symétrie lorsque x croit de BC/2 à BC la fonction décroit.

Le maximum est atteint pour x = AB/2 et vaut la moitié de l’aire de ABC. Cela est général et ne dépend pas de la forme du triangle ABC

4.5 L’exercice avec un triangle ABC rectangle en B ou quelconque

4.5.1 L’énoncé

– Soit un triangle ABC rectangle en B. Un point M se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B. Le point N est l’intersection de (AC) et de la parallèle à (BC) passant par M. On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère MNQB soit un rectangle. On se propose de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l’aire du rectangle MNQB soit maximale.

– Soit un triangle ABC quelconque. Un point M se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B. Le point N est l’intersection de (AC) et de la parallèle à (BC) passant par M. On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère MNQB soit un parallélogramme. On se propose de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l’aire du parallélogramme MNQB soit maximale.

4.5.2 Un lemme

Soit un triangle ABC rectangle en B et un triangle A1B1C1 quelconque. On définit le point D pour que ABCD soit un rectangle et le point D1 pour que A1B1C1D1 soit un parallélogramme. On fait les 2 figures suivantes en posant y_{M} = t, pour cela on tape par exemple :

A:=point(-3,5);
B:=point(-3,'affichage'=quadrant2);
C:=point(0,'affichage'=quadrant2);
O:=milieu(A,C);
triangle(A,B,C);
supposons(t=[3.1,0,5,0.1]);
M:=point(-3+t*(i),'affichage'=quadrant2);
N:=point(-3*t/5+i*t,affichage=quadrant2);;
Q:=point(-3t/5);
quadrilatere(N,M,B,Q,affichage=1+ rempli);
quadrilatere(N,P,D,R,affichage=4+ rempli);
P:=point(i*t);
R:=point(-3t/5)+i*5);
D:=point(5i);
triangle(A,D,C);
A1:=point(2,5);
B1:=point(1,'affichage'=quadrant2);
C1:=point(4);

D1:=point(5+5i);
M1:=point(1+t/5+t*(i),'affichage'=quadrant2);
P1:=point(4+t/5+t*(i));
O1:=milieu(A1,C1);
triangle(A1,B1,C1);
N1:=point(4-2*t/5+t*(i),'affichage'=quadrant2);
Q1:=point(4-3t/5);
triangle(A1,D1,C1);
R1:=point(5-3t/5+5i);
quadrilatere(N1,M1,B1,Q1,affichage=1+ rempli);
quadrilatere(N1,P1,D1,R1,affichage=4+ rempli);
segment(-3+(5-t)*i, -3+3t/5+(5-t)*i);
segment(-3+3t/5, -3+3t/5+(5-t)*i);
segment(1+(5-t)/5+(5-t)*i, 1+(5+2t)/5+(5-t)*i);
segment(1+(3t)/5, 1+(5+2t)/5+(5-t)*i);

On obtient :

On peut faire bouger le paramètre t. On démontre facilement que les aires rouges sont égales entre elles et que chaque aire rouge et aussi égale à une aire bleue. Dans chacune des figures : l’aire rouge est l’aire qui correspond à la position de M d’ordonnée t et l’aire bleue est l’aire qui correspond à la position de M d’ordonnée y_{A} − t. Le graphe de l’aire f(t) du quadrilatère NMBQ (resp N1M1B1Q1) admet donc un axe de symétrie en t = y_{A}/2 4.5.3 Solution géométrique

On se raméne à un triangle rectangle en B de même aire et on met sur la même figure deux positions de M pour t < b < y_{A}/2, et on compare les aires corespondantes à ces 2 positions. Pour cela on tape :

A:=point(-3,5);
B:=point(-3,'affichage'=quadrant2);
C:=point(0);
O:=milieu(A,C);
triangle(A,B,C);
supposons(t=[1.3,0,2.5,0.1]);
M:=point(-3+t*(i),'affichage'=quadrant2);
N:=point(-3*t/5+i*t,affichage=quadrant2);;
Q:=point(-3t/5);
quadrilatere(N,M,B,Q,affichage=1+ rempli);
D:=point(5i);
triangle(A,D,C);
P:=point(i*t);
supposons(b=[2,t,2.5,0.1]);
quadrilatere(-3+b*i,-3*b/5+b*i,-3*b/5,-3,affichage=2+ rempli);
quadrilatere(-3+t*i,-3*b/5+t*i,-3*b/5,-3,affichage=3+ rempli);
quadrilatere(-3*t/5+i*b,b*i,P,N,affichage=4+ rempli);
segment(-3*b/5+b*i,-3*t/5+i*b);

Quand t augmente de 0 à y_{A}/2, l’aire du quadrilatère NMBQ passe de : l’aire jaune+l’aire rouge à l’aire jaune+l’aire verte. D’après le lemme, on a : aire rouge =aire bleue. L’aire bleue est inférieure à l’aire verte car t < y_{A}/2. Donc le graphe de l’aire du quadrilatère NMBQ (resp N1M1B1Q1) est croissante sur 0; y_{A}/2

4.5.4 Solution en analytique avec un triangle ABC rectangle en B

On prend comme repère BCA. La droite (A, C) de pente m < 0 a comme équation : y = mx + x_{A}. Soit M de coordonnées (0; t) un point de la droite AB. Les coordonnées du point N vérifie donc y_{N} = t = m ∗ x_{N} + x_{A}) et le rectangle NMBQ a comme aire : x_{N} ∗ y_{N} = x_{N} ∗ (m ∗ x_{N} + x_{A}). x_{N} ∗ (m ∗ x_{N} + x_{A}) est un trinôme du 2nd degré en x_{N} qui a comme maximum x_{A}/2 atteint en x_{N} = −x_{A}/(2m) (car m < 0). L’aire du rectangle NMBQ est donc maximum pour t = y_{N} = x_{A}/2 i.e. lorsque M est le milieu de AB.

5 Thème : Arithmétique

5.1 L’exercice

Pour tout entier n ≥ 1 on pose a_{n} = 1! + 2! + ... + n! On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (a_{n}) : a_{1} = 1 a_{2} = 3 a_{3} = 3^{2} a_{4} = 3 × 11 a_{5} = 3^{2} × 17 a_{6} = 3^{2} × 97 a_{7} = 3^{4} × 73 a_{8} = 3^{2} × 11 × 467 a_{9} = 3^{2} × 131 × 347 a_{10} = 3^{2} × 11 × 40787

1. Montrer que a_{n} n’est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7.

2. Peut-on affirmer que a_{n} est divisible par 11 á partir d’un certain rang ?

3. Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang, a_{n} est divisible par 3^{2} mais pas par 3^{3} ?

5.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 3) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème « Arithmétique ».

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

5.3 Solution de l’exercice sans Xcas

On pose : a_{n} = 1! + 2! + ... + n! pour n ≥ 1 Pour avoir, avec Xcas, la décomposition en facteurs premiers de a_{10}, on tape :

ifactor(sum(p!,p=1..10)) et

pour avoir la liste des décompositions en facteurs premiers de a_{1}..a_{10}, on tape :

ifactor(sum(p!,p=1..n))$(n=1..10) et on obtient :
1,3,3^2,3*11,3^2*17,3^2*97,3^4*73,3^2*11*467, 3^2*131*347,
3^2*11*40787

1. a_{n} n’est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7

– a_{n} n’est jamais divisible par 2. En effet ∑_{p=2}^{n} p! est un nombre pair puisque p! est divisible par 2 lorsque p ≥ 2. Donc a_{n} = 1 + ∑_{p=2}^{n} p! est un nombre impair. Donc a_{n} n’est jamais divisible par 2.

– a_{n} n’est jamais divisible par 5. En effet p! est divisible par 5 lorsque p ≥ 5. Donc a_{n} − a_{4} = ∑_{p=5}^{n} p! est divisible par 5. a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 3^{2}2 et a_{4} = 3 × 11 ne sont pas divisble par 5 et donc a_{n} n’est pas divisible par 5 lorsque n < 5. a_{n} = a_{4} + ∑_{p=5}^{n} p! : a_{4} n’est pas divisible par 5 et ∑_{p=5}^{n} p! est divisible par 5 donc a_{n} n’est pas divisible par 5 lorsque n ≥ 5. Donc a_{n} n’est jamais divisible par 5.

– a_{n} n’est jamais divisible par 7. En effet si p ≥ 7, p! est divisible par 7. Donc a_{n} − a_{6} = ∑_{p=7}^{n} p! est divisible par 7. a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 3^{2}, a_{4} = 3 × 11, a_{5} = 3^{2} × 17 et a_{6} = 3^{2} × 97 ne sont pas divisble par 7 lorsque n < 7 et a_{n} = a_{6} + ∑_{p=7}^{n} p! a_{6} n’est pas divisible par 7 et ∑_{p=7}^{n} p! est divisible par 7 donc a_{n} n’est pas divisible par 7 lorsque n ≥ 7. Donc a_{n} n’est jamais divisible par 7.

2. a_{n} est divisible par 11 à partir d’un certain rang On a a_{n} = a_{10} + ∑_{p=11}^{n} p! . a_{10} = 3^{2} × 11 × 40787 est divisible par 11 et lorsque p ≥ 11, p! est divisible par 11 donc si n ≥ 10, a_{n} est divisible par 11. Donc a_{n} est divisible par 11 lorsque n ≥ 10.

3. a_{n} est divisible par 3^{2} à partir d’un certain rang 8! = 2^{7} ∗ 3^{2} ∗ 5 ∗ 7 (avec Xcas, on tape ifactor(8!)) donc pour p ≥ 8 p! est divisible par 3^{2}. On a a_{n} = a_{8} + ∑_{p=9}^{n} p! . a_{8} = 3^{2} × 11 × 40787 est divisible par 3^{2} et lorsque p ≥ 8,p! est divisible par 3^{2}. Donc a_{n} est divisible par 3^{2} lorsque n ≥ 8.

4. a_{n} est n’est pas divisible par 33 à partir d’un certain rang 9! = 2^{7} ∗ 3^{4} ∗ 5 ∗ 7 (avec Xcas, on tape ifactor(8!)) donc pour p ≥ 9 p! est divisible par 3^{4}. pour n ≤ 8, a_{n} n’est pas divisible par 3^{3} car : a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 3^{2}, a_{4} = 3 × 11, a_{5} = 3^{2} × 17 a_{6} = 3^{2} × 97, a_{7} = 3^{4} × 73, a_{8} = 3^{2} × 11 × 467 On a a_{n} = a_{8} + ∑_{p=9}^{n} p! pour n ≥ 9. a_{8} n’est pas divisible par 3^{3} alors que ∑_{p=9}^{n} p! est divisible par 3^{3} donc a_{n} n’est pas divisible par 3^{3} lorsque n ≥ 9. Donc a_{n} n’est jamais divisible par 3^{3}.

6 Thème : Nombres complexes

6.1 L’exercice

Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Cochez pour chacune d’elle la bonne réponse sans justification.

1. Soit z ∈ C vérifiant \overline{z} + |z| = 6 + 2i. L’écriture algébrique de z est :

□ \frac{8}{3} − 2i  □ − \frac{8}{3} − 2i  □ \frac{8}{3} + 2i  □ − \frac{8}{3} + 2i

2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x+iy vérifiant |z − 1| = |z + i| est la droite d’équation :

□ y = x − 1  □ y = −x  □ y = −x + 1  □ y = x

3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 + i\sqrt{3})^{n} est réel, si et seulement si, n s’écrit sous la forme :

□ 3k + 1  □ 3k + 2  □ 3k  □ 6k

4. Soit l’équation (E) : z = \frac{6 − z}{3 − z} (z ∈ ℂ). Une solution de (E) est :

□ − 2 − \sqrt{2}i  □ 2 + \sqrt{2}i  □ \sqrt{3} + i  □ \sqrt{3} + 2i

5. Dans le plan complexe, A et B étant les points d’affixes respectives zA = −2 et zB = 2i, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant la

relation arg \frac{z + 2}{z − 2i} = \frac{π}{2} est inclus dans :

□ La droite d’équation y = −x □ La droite d’équation y = x

□ Le cercle\{ \begin{matrix}de centre & I(1 + i) \\ de rayon & R = \sqrt{2} \end{matrix} □ Le cercle de diamètre [AB]

6.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : une justification des réponses aux questions 3) et 5) du QCM ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Nombres complexes”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; pour chaque item de ce QCM, les mréthodes et les savoirs mis en jeu pour trouver la réponse exacte.

6.3 Solution de l’exercice avec Xcas

On configure le CAS en cochant Complex et Varianles complexe (menu
Cfg->Configuration du CAS).

1. \overline{z} + |z| = 6 + 2i Avec Xcas, on tape :

solve(abs(z)^2=(6+2*i-conj(z))^2,z)

On obtient : [8/3-2*i]

2. |z − 1| = |z + i| Avec Xcas, on tape :

csolve(abs(z-1)^2=abs(z+i)^2,z)
On obtient : [` x`+(i)*(-` x`)]

ou on tape :

csolve(abs(a-1+i*b)^2-abs(a+i+i*b)^2,a)

On obtient : [-b] donc la droite a pour équation y = −x

3. (1 + i\sqrt{3})^{n} est réel, si et seulement si, n s’écrit ... Avec Xcas, on tape :

abs(1+i*sqrt(3)),arg(1+i*sqrt(3))

On obtient : 2, pi/3)

solve(n*pi/3=k*pi,n)

On obtient : [3*k]

4. z = \frac{6 − z}{3 − z}

Avec Xcas, on tape :

solve(z =(6-z)/(3-z),z)
On obtient : [sqrt(2)*(i)+2,-sqrt(2)*(i)+2]

5. zA = −2, zB = 2i, arg \frac{z + 2}{z − 2i} = \frac{π}{2}

arg \frac{z+2}{z−2i} est l’angle \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA} Donc on cherche M tel que : \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA} = \frac{π}{2} Le lieu de M est le demi-cercle de diamètre AB contenant le point d’affixe 0. Donc M se trouve sur le cercle de diamètre AB. Avec Xcas, on tape : On définit les points A et B d’affixe -2 et 2i:

A :=point(-2);B :=point(2i); On définit la fonction f par :
f(z) :=(z+2)/(z-2i)

On cherche la fonction réciproque de f :

normal(csolve(f(z)=Z,z))

On obtient :

[((2*i)*Z+2)/(Z-1)]

On définit g la fonction réciproque de f par :

g(Z) :=((2*i)*Z+2)/(Z-1)

g n’est pas définit pour Z = 1.

On définit les points C qui ont comme argument π/2 et pour cela on définit un paramètre formel c > 0 qui sera l’ordonnée de C :

supposons(c=[3.9,0,10,0.1])
C :=point(i*c)

On définit les points M qui sont les images des points C par g :

M :=point(g(i*c))

On demande d’avoir la trace des positions de M quand on fait varier c:

trace(M)

On obtient :

On vérifie que la trace correspond à :

arc(A,B,pi)

On tape pour avoir l’affixe de M :

normal(affixe(M))

On obtient :

((2*i)*c-2*i)/(c+i)

On tace alors le lieu de M :

plotparam(((2*i)*c-2*i)/(c+i),c=0..100)

et on obtient l’arc de cerccle AB passant par O.

7 Thème : Recherche de lieux géométriques

7.1 L’exercice

On dira qu’un triangle ABC non aplati possède la propriété P si ses deux médianes issues de A et de B sont perpendiculaires.

1. Soit un triangle ABC ayant pour côtés AB = 1, AC = \sqrt{2} et BC = \sqrt{3}. Vérifier que le triangle ABC est rectangle et possède la propriété P.

2. Les deux points A et B étant fixés, on cherche à déterminer l’ensemble Γ des points C tels que le triangle ABC possède la propriété P. Trouver le lieu des points G, isobarycentre des trois points A, B, C, lorsque C décrit Γ. En déduire l’ensemble Γ.

3. Soit ABC un triangle possédant la propriété P . On pose a = BC, b = AC et c = AB. Montrer que l’on a la relation a^{2} + b^{2} = 5c^{2}.

7.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2) et un énoncé plus détaillé de cette question à proposer à des élèves de première S; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Recherche de lieux géométriques”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

7.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. Un triangle ABC a pour côtés AB = 1, AC = \sqrt{2} et BC = \sqrt{3}. On fait la figure avec Xcas. Dans un niveau de géométrie, on tape :

A:=point(0);
B:=point(1);
C:=inter(cercle(A,sqrt(2)),cercle(B,sqrt(3)));
triangle(A,B,C[0]);
triangle(A,B,C[1]);
A1:=milieu(B,C[1]);
B1:=milieu(A,C[1])
segment(A,A1);
segment(B,B1);
G:=inter_unique(segment(A,A1),segment(B,B1));

On a BC^{2} = 3 et AC^{2} + AB^{2} = 2 + 1 = 3 donc BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} et d’après Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. Soient A1 (resp B1) le milieu de BC (resp AC). On a : AA1 = BC/2 = \sqrt{3}/2 et BB1^{2} = AB^{2} + (AC/2)^{2} = 1 + 1/2 = 3/2 donc BB1 = \sqrt{3}/\sqrt{2} Le centre de gravité G est donc tel que : AG = \sqrt{3}/3 et BG = 2/3 ∗ \sqrt{3}/\sqrt{2} = \sqrt{6}/3 donc AG^{2} + BG^{2} = 1/3 + 2/3 = 1 = AB^{2} Donc d’après Pythagore le triangle GAB est rectangle en G. Le triangle ABC a donc la propriété P.

2. Si le triangle ABC a la propriété P c’est que le triangle GAB est rectangle en G. Donc G se trouve sur le cercle de diamètre AB. Soit C1 le milieu de AB. On sait que : Si dans un triangle ABC, avec C1 milieu de AB, on a un point G du segment [CC1] qui vérifie C1C = 3C1G alors G est le centre de gravité du triangle ABC. C se déduit de G par l’homothétie de centre C1 et de rapport 3. On fait la figure avec Xcas. Dans un niveau de géométrie, on tape :

A:=point(0);
B:=point(1);
c:=cercle(A,B):;c;
triangle(A,B,C);
assume(a=[1,-5,5,0.1])
G:=element(c,a);
C1:=milieu(A,B);
C:=homothetie(C1,3,G);
triangle(A,B,C);
trace(C);
segment(C1,C);
c3:=homothetie(C1,3,c):;
affichage(c3,1)

En faisant bouger le curseur a, on obtient la trace de C qui coïncide avec le

cercle en rouge qui est le cercle(point(1/2),3/2) :

3. Soit ABC ayant la propriété P. 0n a alors la relation a^{2} + b^{2} = 5c^{2}. On complète la figure ci-dessus :

B1:=milieu(A,C);
A1:=milieu(B,C);
segment(A1,A);
segment(B1,B);

Les triangles : ABG, A1BG, AB1G sont rectangles en G donc : c^{2} = BG^{2} + AG^{2}, a^{2}/4 = A1G^{2} + BG^{2} et b^{2}/4 = AG^{2} + B1G^{2} On a G est le centre de gravité donc AG = 2A1G et BG = 2B1G donc a^{2}/4 = A1G^{2} + 4B1G^{2}, b^{2}/4 = B1G^{2} + 4A1G^{2} et (a^{2} + b^{2})/4 = 5(A1G^{2} + B1G^{2}) c^{2} = 4B1G^{2} + 4A1G^{2} donc a^{2} + b^{2} = 5c^{2}.

Remarque

A1 est le transformé de G par l’homothétie h_{1} de centre A et de rapport \frac{3}{2}. C est le transformé de A1 par l’homothétie h_{2} de centre B et de rapport 2. Donc C est le transformé de G par l’homothétie h = h_{2} ∘ h_{1}. h a comme rapport

2 × \frac{3}{2} = 3 et comme centre I vérifiant : J = h_{1}(I) = h_{2}^{−1}(I) c’est à dire :

\overline{AJ} = \frac{3}{2}\overline{AI}, \overline{BJ} = \frac{1}{2}\overline{BI} = \frac{1}{2}(\overline{BA} + \overline{AI}) et \overline{AJ} − \overline{BJ} = \overline{AB} donc

3\overline{AI} = \frac{3}{2}\overline{AB} c’est à dire I est le milieu C_{1} de AB. Le même problème posé différemment Soit un losange ABEF de centre G. Soient A1 le milieu de GF, B1 le milieu de GE et C l’intersection de (AA1) et (BB1). Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC et que lorsqu’on pose a = BC, b = AC et c = AB, on a a^{2} + b^{2} = 5c^{2}. Il suffit de remarquer que les triangles GAB est l’image de GA1B1 dans l’homothétie de centre G et de rapport 2 (GA = 2GA1 et GB = 2GB1) Donc AB = 2A1B1 et AB//A1B1 et d’après le ”théorème des milieux” on en déduit que A1 est le milieu de BC et B1 est le milieu de AC. Si d_{1} et d_{2} sont les longueurs des demi-diagonales du losange ABEF, on a : d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = c^{2}, d_{1}^{2} + d_{2}^{2}/4 = a^{2}/4 et d_{1}^{2}/4 + d_{2}^{2} = b^{2}/4 donc a^{2} + b^{2} = 5c^{2}. On a aussi : A1 est le transformé de G dans l’homothétie de centre A et de rapport 3/2. C est le transformé de A1 dans l’homothétie de centre B et de rapport 2. On fait la figure avec Xcas. Dans un niveau de géométrie, on tape :

A:=point(0);
B:=point(1);
assume(b=[1,-5,5,0.1]);
losange(A,B,b,E,F,affichage=2);
G:=milieu(A,E);
A1:=milieu(G,E);
B1:=milieu(G,F);
segment(A,E);
segment(B,F);
segment(A1,B1)
d1,d2:=droite(A,B1),droite(B,A1):;
d1;d2;
triangle(A,B,C,affichage=1);
C:=inter_unique(d1,d2);
trace(C);

On obtient :

8 Thème : Intégration

8.1 L’exercice

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur l’intervalle [0, +∞[ par :

f(x) = \sqrt{x}e^{1−x}

1. On considère la fonction F définie sur [1, +∞[ par F (x) = ∫_{1}^{x} f(t)dt

1.a) Démontrer que, pour tout réel t positif on a : t + 2 ≥ 2\sqrt{2}\sqrt{t}. 1.b) En déduire que, pour tout x ∈ [1, +∞[, on a :

F (x) ≤ \frac{1}{2\sqrt{2}} ∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt

1.c)À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout x ∈ [1, +∞[, on a :

∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt = 4 − (x + 3)e^{1−x}

1.d) En déduire que, pour tout x ∈ [1, +∞[ on a : 0 ≤ F (x) ≤ \sqrt{2}.

2. On considère la suite (u_{n}) définie pour tout entier naturel n non nul par :

u_{n} = ∫_{n}^{n+1} f(t)dt

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note S_{n} la somme des n − 1 premiers termes de la suite (u_{n}). Exprimer S_{n} à l’aide d’une intégrale. Montrer que la suite (S_{n}) converge et donner un encadrement de sa limite.

8.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Intégration”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

1. On tape :

f(x) :=sqrt(x)*exp(1-x)
F(x) :=int(f(t),t,1,x)

1.a) Pour tout x ≥ 0, on a f(x) = \sqrt{x}e^{1−x} ≥ 0 et pour tout x ≥ 1, on a \sqrt{x} ≥ 1 donc F (x) ≥ ∫_{1}^{x} e^{1−t}dt ≥ 1. Pour tout réel t positif on a : t + 2 − 2\sqrt{2}\sqrt{t} = (\sqrt{2} − \sqrt{t})^{2} ≥ 0. 1.b) Pour tout x ∈ [1, +∞[, on a d’après 1.a) : \sqrt{t} ≤ \frac{1}{2\sqrt{2}}(t + 2) donc

F (x) ≤ \frac{1}{2\sqrt{2}} ∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt

1.c) Pour tout x ∈ [1, +∞[, on intègre ∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt par parties et on pose : u = t + 2 et dv = e^{1−t}dt donc du = dt et v = −e^{1−t} on a donc ∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt = [−(t + 2) ∗ e^{1−t}]_{t=1}^{t=x} + ∫_{1}^{x} e^{1−t}dt donc

∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt = [−(t + 3) ∗ e^{1−t}]_{t=1}^{t=x} = 4 − (x + 3)e^{1−x}

Avec Xcas, on tape (le deuxième argument est u) :

A :=integrer par parties u((t + 2)*exp(1-t),t + 2,t,1,x)
On obtient : [-x*exp(-x+1)-2*exp(-x+1)+3,exp(-t+1)]

On tape (integrer par parties u a comme synonyme ibpu et le deuxième argument est ici 0 pour terminer l’intégration) :

normal(ibpu(A,0,t,1,x))
On obtient : -x*exp(-(x-1))-3*exp(-(x-1))+4

On peut aussi taper int((t + 2)*exp(1-t),t,1,x) pour obtenir directement le résultat. 1.d) Pour tout x ∈ [1, +∞[ on a (x + 2)e^{1−x} ≥ 0 et (x + 3)e^{1−x} ≥ 0 donc

0 ≤ ∫_{1}^{x}(t + 2)e^{1−t}dt = [−(t + 3) ∗ e^{1−t}]_{t=1}^{t=x} = 4 − (x + 3)e^{1−x} ≥ 4 donc

0 ≤ F (x) ≤ \sqrt{2}.

2. Pour tout x ≥ 0, on a f(x) = \sqrt{x}e^{1−x} ≥ 0 donc pour tout n > 0, on a u_{n} = ∫_{n}^{n+1} f(t)dt ≥ 0 et

pour tout n ≥ 2, on a S_{n} = ∑_{j=1}^{n−1} u_{j} = ∫_{1}^{n} f(t)dt = F (n) donc

S_{n} est croissante. On sait d’après 1. que pour tout x ∈ [1, +∞[, on a 1 ≤ F (x) ≤ \sqrt{2} donc S_{n} est croissante et majorée donc convergente et on a pour tout n ≥ 2 : 1 ≤ F (n) = S_{n} ≤ \sqrt{2} Remarques On va essayer de trouver un meilleur minorant.

– Pour trouver un minorant on peut calculer des valeurs approchées de l’intégrale. On cherche les points d’inflexions du graphe de f : le zéro de f′′(x) est a = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.

L’intégrale ∫_{x=1}^{a} f(x)dx peut être minorée par la méthode des trapèzes et

les intégrales ∫_{x=a}^{3/2} f(x)dx et u_{n} = ∫_{x=n}^{n+1} f(x)dx peuvent être minorées

par la méthode du point milieu.

On tape : a :=(1+sqrt(2))/2
areaplot(f(x),x=1..a,trapeze)

On obtient : 1.96

Ou on tape : (f(1)+f(a))/2.*(a-1)
On obtient : 0.196042763728
On tape : areaplot(f(x),x=a..3/2,point milieu)

On obtient : 0.239

Ou on tape : f((a+3/2)/2.)*(3/2-a)
On obtient : 0.239276873725

Il reste à minorer ∫_{3/2}^{+∞} f(x)dx par les aires des rectangles au ”point-

milieu” : ils ont comme dimension 1 × f(n) et donc la somme de leurs

aires est ∑_{n=2}^{+∞} f(n) = ∑_{n=2}^{+∞} \sqrt{n}\frac{e}{e^{n}} = ∑_{n=0}^{+∞} \sqrt{n + 2}\frac{1}{e^{n+1}} .

Commme \sqrt{n + 2} ≥ \sqrt{2}, on minoreà nouveau cette somme par \frac{\sqrt{2}}{e} ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{e^{n}}

c’est à dire par \frac{\sqrt{2}.}{e} \frac{e}{e − 1}) = \frac{\sqrt{2}.}{e − 1}. On tape :

sqrt(2.)/(e-1)
On obtient : 0.82303935184

On a donc comme minnoration de la limite :

(f(1)+f(a))/2.*(a-1)+f((a+3/2)/2.)*(3/2-a)+ sqrt(2.)/(e-1)
On obtient : 1.25835898929

d’où un encadrement de la limite l :

1.25835898929 ≤ l ≤ 1.41421356237

– On peut avoir une meilleure valeur approchée de cette limite, si on sait

que ∫_{0}^{+∞} exp(−t^{2})dt = \frac{\sqrt{π}}{2} .

En effet en faisant le changement de variable x = t^{2}, dx = 2tdt donc

∫_{0}^{+∞} f(x)dx = e ∫_{0}^{+∞} \sqrt{(}x) exp(−x)dx = 2e ∫_{0}^{+∞} t^{2} exp(−t^{2})dt

On intégre par partie cette dernière intégrale (u = t, dv = 2t exp(−t^{2})dt) :

2e ∫_{0}^{+∞} t^{2} exp(t^{2})dt = e ∫_{0}^{+∞} exp(−t^{2})dt Soit on sait que ∫_{0}^{+∞} exp(−t^{2})dt = \frac{\sqrt{π}}{2} ,

soit on fait le calcul en encadrant : ∫ ∫_{C} exp(x^{2} + y^{2})dxdy (C = [0, b] × [0, b]) avec

∫ ∫_{D_{1}} exp(x^{2} + y^{2})dxdy (D_{1} = x^{2} + y^{2} < b, x > 0, y > 0) et

∫ ∫_{D_{2}} exp(x^{2} + y^{2})dxdy (D_{1} = x^{2} + y^{2} < b\sqrt{2}, x > 0, y > 0).

On a donc :

l = \frac{e\sqrt{π}}{2} − ∫_{0}^{1} f(t)dt

Pour avoir une minoration de l’intégrale ∫_{0}^{1} f(t)dt on utilise

– la méthode des trapèzes :

On tape :

areaplot(f(x),x=0..1,20,trapeze)

On obtient : 1.02

– le développement de taylor à l’odre 5 de exp(−x) au voisinage de 0. On tape :

g :=truncate(taylor(f(x)))
int(g,x=0..1.)
On obtient : 1.02963209244

donc comme on a une série alternée on a 1.02963209244 ≤ ∫_{x=0}^{1} f(x)dx Pour avoir une majoration de l’intégrale ∫_{0}^{1} f(t)dt on utilise

– la méthode du point milieu :

On tape :

areaplot(f(x),x=0..1/2,10,point milieu)

On obtient : 0.481 On tape :

areaplot(f(x),x=1/2..1,10,point milieu)

On obtient : 0.551 donc une majoration de ∫_{0}^{1} f(t)dt est 0.481+0.551=1.032

– le développement de taylor à l’odre 6 de exp(−x) au voisinage de 0. On tape :

h :=truncate(taylor(f(x),x=0,6),6)
int(h,x=0..1.)
On obtient : 1.03013547797

donc comme on a une série alternée on a ∫_{x=0}^{1} f(x)dx ≤ 1.03013547797 On a donc : \frac{e\sqrt{π}}{2} − 1.032 < l < \frac{e\sqrt{π}}{2} − 1.02 donc avec les calculs approchés de l’intégrale on a

1.37701454735 < l < 1.38901454735

et

1.37887906938 < l < 1.37938245491

avec le développement de Taylor à l’ordre 5 et 6. Avec Xcas, on tape :

l :=int(f(x),x=1..inf)

On obtient :

-(sqrt(pi))/2*erf(1)*exp(1)+1+(sqrt(pi))/2*exp(1)

où erf(1) renvoie la valeur approchée de :

\frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{1}(exp(−t^{2})dt)

On tape :

evalf(l)
On obtient : 1.37893607807

9 Thème : Fonctions, équations

9.1 L’exercice

On considère l’équation (E) : sin(x) − \frac{x}{2} = 0, x ∈ ℝ

1. Montrer que si x est solution de cetteéquation alors x appartientà l’intervalle [-2, 2]

2. Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l’équation (E).

3. Donner une valeur approchée, à 10^{−3} près par défaut, de la plus grande solution en précisant la méthode utilisée.

9.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Fonctions, équations”. Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

9.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. On sait que −1 ≤ sin(x) ≤ 1 donc si on a x = 2 sin(x) alors −2 ≤ x ≤ 2 On tape :

2. Pour connaitre le nombre de solutions de (E) : sin(x) − \frac{x}{2} = 0, x ∈ ℝ, on trace les deux graphes de y = sin(x) et de y = x/2.

On tape : plotfunc([sin(x),x/2])

On obtient :

On voit alors que (E) a 3 solutions : pour le montrer cherchons le tableau de variation de la fonction impaire g(x) = x/2 − sin(x). On tape :

g(x) :=x/2-sin(x)
solve(diff(g(x)),x)
On obtient : [pi/3,(-pi)/3]

On tape :

solve(diff(g(x))>0,x)
On obtient : [x<((-pi)/3),x>(pi/3)]

On tape :

g(0)

On obtient : 0 On tape :

limit(g(x),x,inf)
On obtient : +(infinity)

On tape :

normal(g(pi/3))
On obtient : 1/6*pi+(-(sqrt(3)))/2

On tape :

g(2.)
On obtient : 0.0907025731743

On tape :

g(1.8)
On obtient : -0.0738476308782

On cherche les points d’inflexion, on tape :

solve(diff(diff(g(x))),x)

On obtient : [0,pi] On tape :

solve(diff(diff(g(x)))>0,x)
On obtient : [((x>0) && (x<pi))]

La fonction g est donc convexe sur [pi/3,pi] et on a g(π/3) > 0 On cherche avec Xcas les zéros de g(x) par la méthode de Newton on tape :

fsolve(g(x),x,3,newton solver)
On obtient : 1.89549426703

ou bien On peut procéder par dichotomie : On tape :

g(1.9)
On obtient : 0.00369991231258

On tape :

g(1.89)
On obtient : -0.00448561486462

On tape :

g(1.895),g(1.896)
On obtient : -0.000404700060102,0.00041432788413

donc x_{0} ≃ 1.895 par défaut à 10^{−3} près. ou bien On peut faire un programme de la méthode de Newton pour trouver la valeur par défaut à 10^{−3} près. L’intersection (b; 0) de l’axe des x avec la tangente au graphe de g au point (a; g(a) vérifie : 0 = g′(a)(b − a) + g(a) i.e. b = a − g(a)/g′(a) La suite qui converge vers x_{0} est donc : u_{n+1} = u_{n} − g(u_{n})/g′(u_{n}) avec u_{0} = a et a ∈ [π/3, π] avec g(a) > 0, par exemple a = π ou a = 3... On calcule les différents termes de cette suite que l’on met dans la variable a et on s’arrete quand g(a) ∗ g(a − eps) ≤ 0 avec ici eps = 0.001.

solnew(g,a,eps):={
local h;
h:=function_diff(g)
tantque g(a)*g(a-eps)>0 faire
a:=a-g(a)/h(a);
ftantque;
retourne a-eps,a
}:;

On tape :

solnew(g,3.,0.001)

On obtient un encadrement de la limite à eps = 0.001 prés :

1.89465262755,1.89565262755

10.1 L’exercice

Dans un lycée qui ne reçoit pas d’interne, la répartition des élèves se fait de la façon suivante :

Niveau  Seconde Première Terminale Total
Externes  50  85  195
Demi-pensionnaires  285  220
Total  280

Rappel de notation : P_{B}(A) est la probabilité de A sachant que B est réalisé.

1. Compléter le tableau ci-dessus.

2. On rencontre un élève du lycée au hasard. On note E l’événement ”l’élève rencontré est externe”, T ”l’élève rencontré est en terminale” et S l’événement ”l’élève rencontré est en seconde ”. En supposant que tous les élèves ont la même probabilité d’être rencontrés, calculer les probabilités suivantes : 2.a) P (E ∩ S). 2.b) P (\overline{E} ∩ T) où \overline{E} est l’événement contraire de E.

3. 3.a) Les événements E et T sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. 3.b) Citer deux événements incompatibles.

4. Calculer les probabilités conditionnelles suivantes : P_{S}(E) et P_{E}(T).

10.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse aux questions 2) et 3) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Probabilités”

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

10.3 Solution de l’exercice sans Xcas

1. On compléte le tableau :

Niveau  Seconde Première Terminale Total
Externes  50  60  85  195
Demi-pensionnaires  285  220  195  700
Total  335  280  280  895

2. 2.a) Calcul de P (E ∩ S).

Il y a un total de 895 élèves. Il y 50 élèves qui sont externes et en Seconde”. Donc P (E ∩ S) = 50/895 = 10/179 2.b) Calcul de P (\overline{E} ∩ T) Il y 195 élèves qui sont Demi-pensionnaires et en Terminale”. Donc P (\overline{E} ∩ T) = 195/895 = 39/179

3. 3.a) Les événements E et T sont indépendants si on a : P (E ∩ T) = P (E) × P (T). P (E ∩ T) = 85/895 = 17/179 P (E) = 195/895 = 195/895 = 39/179 P (T) = 280/895 = 195/895 = 56/179 donc E et T ne sont pas indépendants. 3.b) S ”l’élève rencontré est en seconde ”et T ”l’élève rencontré est en Terminale ” sont incompatibles.

4. Calcul de P_{S}(\overline{E})

On sait que : P_{S}(\overline{E}) × P (S) = P (\overline{E} ∩ S) On a : P (S) = 335/895 = 67/179 P (\overline{E} ∩ S) = 285/895 = 57/179 Donc P_{S}(\overline{E}) = 57/67 On peut aussi dire il y a 335 élèves en seconde et parmi ces élèves il y a 285 Demi-pensionnaires donc P_{S}(\overline{E}) = 285/335 = 57/67

Calcul de P_{E}(T) On sait que : P_{E}(T) × P (E) = P (E ∩ T) On a : P (E) = 195/895 = 39/179 P (E ∩ T) = 85/895 = 17/179 Donc P_{E}(T) = 17/39 On peut aussi dire il y a 195 élèves en externes et parmi ces élèves il y a 85 en terminale donc P_{E}(T) = 85/195 = 17/39

11.1 L’exercice

1. Déterminer deux entiers relatifs u et v tel que 7u − 13v = 1 puis déterminer tous les couples (a, k) d’entiers relatifs tels que 14a − 26k = 4.

2. On considère deux entiers naturels a et b. Pour tout entier n, on note f(n) le reste de la division euclidienne de an + b par 26. On décide de coder un message, en procédant comme suit : à chaque lettre de l’alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25, selon le tableau suivant :

Lettre A B C D E F G H I J K L M
Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
Nombre 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre du message, on détermine l’entier n associé puis on calcule f(n). La lettre est alors codée par la lettre associée à f(n). On sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O. 2.a) Montrer que les entiers a et b sont tels que :

\{ \begin{matrix}5 & a + b & ≡ & 10 & (mod 26) \\ 19 & a + b & ≡ & 14 & (mod 26) \end{matrix}

2.b) En déduire qu’il existe un entier k tel que 14a − 26k = 4. 2.c) Déterminer tous les couples d’entiers (a, b), avec 0 ≤ a ≤ 25 et 0 ≤ b ≤ 25, tels que :

\{ \begin{matrix}5 & a + b & ≡ & 10 & (mod 26) \\ 19 & a + b & ≡ & 14 & (mod 26) \end{matrix}

2.d) On suppose que a = 17 et b = 3. Coder le message ”GAUSS”.

11.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 1) et à la question 2.c) ; au moins deux méthodes différentes permettant de dḿontrer que pour tous réels

strictement positifs a et b on a : (\frac{a + b}{2})^{2} ≥ ab un exercice se rapportant au thème ”Arithmétique ”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

1. On cherche deux entiers relatifs u et v tel que 7u − 13v = 1 Avec Xcas, on tape :

iabcuv(7,-13,1)

On obtient : [2,1] En effet 2*7-1*13=1 Ou bien on tape :

iegcd(7,-13)

On obtient : [2,1,1] On cherche tous les couples (a, k) d’entiers relatifs tels que 14a − 26k = 4. Avec Xcas, on tape :

iabcuv(14,-26,4)

On obtient une solution : [4,2] En effet 4*14-2*26=4 Pour avoir toutes les solution on remarque que : 14(a − 4) − 26(k − 2) = 0 ou encore 7(a − 4) = 13(k − 2) Puisque 7 et 13 sont premiers entre eux, on en déduit que : pour tout n ∈ ℤ on a a − 4 = n ∗ 13 et que k − 2 = n ∗ 7 Les solutions sont donc a = 4 + 13n, k = 2 + 7n pour tout n ∈ ℤ Remarque : si on tape :

iegcd(14,-26)

On obtient : [2,1,2] car le pgcd de 14 et 26 est 2.

2. 2.a) Avec Xcas, on tape pour définir f :

f(n,a,b) :=irem(a*n+b,26)

On obtient : Pour définir le codage on utilise la commande ord (ord("A")=65) et pour le décodagela commande char (char(65)=”A”). On tape :

code(S) :=ord(S)-65
decode(L) :=char(L+65)

On tape :

codage(S,a,b):={
local n,m;
n:=code(S);
m:=irem(a*n+b,26);
return decode(m);
}:;
On sait que codage("F")="K" et codage("T")="O".

On a :

code("F")=5 et code("K")=10 et
code("T")=19 et code("O")=14 donc on doit avoir :

irem(5*a+b,26)=10 et irem(19*a+b,26)=14

Donc il existe deux entiers relatifs m et p tels que : 5a + b = 26 ∗ m + 10 et 19a + b = 26 ∗ p + 14 ou encore

\{ \begin{matrix}5 & a + b & ≡ & 10 & (mod 26) \\ 19 & a + b & ≡ & 14 & (mod 26) \end{matrix}

2.b) En déduire qu’il existe un entier k tel que 14a − 26k = 4. D’après 2.c) il existe deux entiers relatifs m et p tels que : 5a + b = 26 ∗ m + 10 et 19a + b = 26 ∗ p + 14 . Donc par soustraction (si k = p − m) : (19 − 5)a = 14a = 26 ∗ k + 4 ou encore 14a − 26k = 4 2.c) On cherche donc tous les couples d’entiers (a, b), tels que : 0 ≤ a ≤ 25, 0 ≤ b ≤ 25, 14a − 26k = 4, 5a + b = 26 ∗ m + 10 D’après 1) on a 14a − 26k = 4, a = 4 + 13n, k = 2 + 7n pour tout n ∈ ℤ On veut 0 ≤ a ≤ 25 donc n = 1, a = 17 et k = 9. 5a + b = 85 + b = 26 ∗ m + 10 donc b = 26 ∗ m − 75 ≡ 3 (mod 26). Donc a = 17 et b = 3

Avec Xcas, on tape : codage("F",17,3),codage("T",17,3)

On obtient : ("K","O") 2.d) On code le message ”GAUSS”. Avec Xcas, on tape :

codages(S,a,b):={
local j,n,m,l,R;
l:=size(S);
R:="";
pour j de 0 jusque l-1 faire
n:=code(S[j]);
m:=irem(a*n+b,26);
R:=R+decode(m);
fpour;
return R;
}:;

On tape :

codages("GAUSS",17,3)

On obtient : "BDFXX" On vérifie et on tape :

codage("G",17,3),codage("A",17,3),codage("U",17,3),
codage("S",17,3)
On obtient : "B","D","F","X"

Remarque Au lieu de la commande ord, on peut utiliser la commande asc qui renvoie une liste (asc("A")=[65]).

12 Thème : Utilisation des variations d’une fonction

12.1 L’exercice

1. Pour tout réel x > 0, on pose : f(x) = x − 1 − ln(x).

Étudier les variations de la fonction f et en déduire que pour tout réel x > 0, on a :

ln(x) ≥ x − 1

2. Soient a, b et c des réels strictement positifs : on pose m = \frac{a + b + c}{3}. En

appliquant l’inégalité précédente aux réels, \frac{a}{m}, \frac{b}{m} et \frac{c}{m}, montrer que :

(\frac{a + b + c}{3})^{3} ≥ abc

12.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2) ; au moins deux méthodes différentes permettant de dḿontrer que pour tous réels strictement positifs a et b on a :

(\frac{a + b}{2})^{2} ≥ ab

un exercice se rapportant au thème ”Utilisation des variations d’une fonction”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

12.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. On tape :

assume(x>0)
f(x) :=x-1-ln(x)
solve(diff(f(x))>0,x)

On obtient : [x>1] f est donc décroissante sur ]0; 1] et croissante sur [1; +∞[. Le minimum de f(x) sur ]0; +∞[ est donc f(1). On tape : f(1) On obtient : 0 donc f(x) ≥ 0 c’est à dire ln(x) ≥ x − 1

2. On a si m = \frac{a + b + c}{3} :

ln(a/m) = ln(a) − ln(m) ≤ a/m − 1 (idem pour b/m et c/m) donc ln(a) + ln(b) + ln(c) − 3 ln(m) ≤ (a + b + c)/m − 3 ou encore ln(abc/m^{3}) ≤ (a + b + c)/m − 3 = 0 On a donc montrer que abc/m^{3} ≤ 1 ou encore

abc ≤ m^{3} = (\frac{a + b + c}{3})^{3}

3. Montrer que (\frac{a + b}{2})^{2} ≥ ab: On tape :

factor((a+b)^2-4a*b)

On obtient : (a-b)^2

donc (\frac{a + b}{2})^{2} ≥ ab

On peut voir cette inégalité graphiquement :

dans le dessin on voit que l’on peut mettre 4 rectangles de côtés a × b dans le carré ABCD d’aire (a + b)^{2} et qu’il reste un carré d’aire (a − b)^{2} et donc on a (a + b)^{2} ≥ 4ab. Autre démonstration proche de l’exercice :

On pose m = \frac{a + b}{2} et on a ln(a/m) = ln(a) − ln(m) ≤ a/m − 1 donc

ln(ab/m^{2}) = ln(a) + ln(b) − 2 ln(m) ≤ (a + b)/m − 2 = 0 donc

ab ≤ m^{2} = (\frac{a + b}{2})^{2}

13 Thème : Géométrie dans l’espace

13.1 L’exercice

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes. Pour chaque question, une seule des trois propositions a), b) ou c) est exacte. On demande d’indiquer laquelle, sans justification. L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).

1. Soient A et B deux points distincts de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que ∥\overrightarrow{MA}∥ = ∥\overrightarrow{MB}∥ est :

a) l’ensemble vide b) un plan c) une sphère

2. On considère les points E(0; 1; −2) et F (2; 1; 0). Les coordonnées du barycentre G du système de points pondérés {(E; 1), (F; 3)} sont :

a) G(6; 4; −2) b) G(1.5; 1; −0.5) c) G(0.5; 1; 1.5)

3. Soit d la droite de représentation paramétrique :

x = 2 − t; y = 3t; z = −3, t ∈ R. On considère les points A(2; 3; −3), B(2; 0; −3) et C(0; 6; 0). On a :

a) d = (AB) b) d = (BC) c) d ≠ (AB) et d ≠ (BC) et d ≠ (CA)

4. La droite de représentation paramétrique :

x = −4t; y = 1 + 3t; z = 2 + 2t, t ∈ R, et le plan d’équation : x − 2y + 5z − 1 = 0 sont :

a) orthogonaux b) parallèles c) ni orthogonaux ni parallèles.

5. L’ensemble des points tels que x−y +2z −1 = 0 et −2x+4y −4z +1 = 0 est :

a) l’ensemble vide  b) une droite  c) un plan

13.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse aux questions 3) et 4) du QCM ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Géométrie dans l’espace”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; pour chaque item de ce QCM, les méthodes et les savoirs mis en jeu pour trouver la réponse exacte.

13.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. L’ensemble des points M de l’espace tels que ∥\overrightarrow{MA}∥ = ∥\overrightarrow{MB}∥ est le plan médiateur du segment AB (réponse b)). On peut faire la figure avec Xcas, on ouvre un niveau 3D (Alt+h), on se met en mode (Mode->point), on clique sur 2 points A et B et on tape :

segment(A,B)
mediatrice(A,B)

On obtient :

2. SoientE(0; 1; −2) et F (2; 1; 0). Le barycentre G du système de points pondérés \{(E; 1), (F; 3)\} vérifie : \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OE} + 3\overrightarrow{OF}). Donc G a pour coordonnées (3/2; 1; −1/2) (réponse b)). On peut faire la figure avec Xcas, on ouvre un niveau 3D (Alt+h) et on tape :

E :=point([0,1,-2])
F :=point([2,1,0])
G :=barycentre([E,1],[F,3])
coordonnees(G)

On obtient :

[3/2,1,-1/2]

3. Soient d la droite x = 2−t; y = 3t; z = −3, t ∈ R et les points A(2; 3; −3), B(2; 0; −3) et C(0; 6; 0). Si A ∈ d alors t = 0 ce qui n’est pas vrai car y_{A} ≠ 0 (mais B ∈ d pour t = 0), donc d ≠ AB et d ≠ CA C ∉ d car z_{C} = 0 ≠ −3 donc d ≠ AB et d ≠ CB (réponse c)). On peut faire la figure avec Xcas, on ouvre un niveau 3D (Alt+h), et on tape :

d :=plotparam([2-t,3t,-3],t,affichage=1+epaisseur ligne 3));

legende(point(1,3,-3),"d",rouge)
A :=point([2,3,-3])
B :=point([2,0,-3])
C :=point([0,6,0])
droite(A,B,affichage=4+epaisseur ligne 3)
droite(A,C,affichage=2+epaisseur ligne 3)
droite(C,B,affichage=3+epaisseur ligne 3)
plan(z=-3)
demi droite([0,0,0],[1,0,0])
demi droite([0,0,0],[0,1,0])
demi droite([0,0,0],[0,0,1])
legende(point(1,0,0),"i",rouge)
Ox 3d unit vector(affichage=1+epaisseur ligne 3)
legende(point(0,1,0),"j",vert)
Oy 3d unit vector(affichage=2+epaisseur ligne 3)
legende(point(0,0,1),"k",bleu)
Oz 3d unit vector(affichage=4+epaisseur ligne 3)

On obtient :

4. Soient la droite d x = −4t; y = 1 + 3t; z = 2 + 2t, t ∈ R, et le plan P x − 2y + 5z − 1 = 0. d est parallèle au vecteur v = [−4, 3, 2] et le vecteur n = [1, −2, 5] est normal à P. On a \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = −4 ∗ 1 + 3 ∗ (−2) + 2 ∗ 5 = 0 donc \overrightarrow{v} est orthogonal à \overrightarrow{n}. Donc d et P sont parallèles (réponse b)).

On peut faire la figure avec Xcas, on ouvre un niveau 3D (Alt+h), et on tape :

d :=droite([0,1,2],[-4,4,4])
P :=plan(x-2y+5z-1=0)
est parallele(d,P)

On obtient : 1

5. Les points tels que x − y + 2z − 1 = 0 et −2x + 4y − 4z + 1 = 0 sont sur l’intersection des plans P d’équation x − y + 2z − 1 = 0 et Q d’équation −2x + 4y − 4z + 1 = 0. Ces deux plans ne sont ni confondus ni parallèles puisque les vecteurs normauxà ces plans : n_{P} = [1, −1, 2] et n_{Q} = [−2, 4, −4] ne sont pas colinéaires

(cross([1,-1,2],[-2,4,-4])=[-4,0,2]!=[0,0,0])donc ces points

sont sur une droite (réponse b)). On peut faire la figure avec Xcas, on ouvre un niveau 3D (Alt+h), et on tape :

P :=plan(x-y+2z-1=0) :;affichage(P,1);
Q :=plan(-2x+4y-4z+1=0) :;affichage(Q,4);
d :=inter(P,Q,affichage=2+epaisseur ligne 4);
demi droite([0,0,0],[1,0,0]);
demi droite([0,0,0],[0,1,0]);
demi droite([0,0,0],[0,0,1]);

On obtient :

14 Thème : Divers types de raisonnement

14.1 L’exercice

Les propositions suivantes sont indépendantes. Pour chacune d’elles, préciser si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

1. Toute suite numérique non majorée tend vers +∞.

2. La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est une suite divergente.

3. Il existe un nombre réel a et un nombre réel b, tels que e^{2a}+e^{2b} < 2\sqrt{e^{2a} × e^{2b}}.

4. Il existe une fonction f continue en un point x_{0} et non dérivable en x_{0}.

14.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse aux questions 2) et 3) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Divers types de raisonnement” dans des domaines variés (arithmétique, géométrie, dénombrement, analyse, ...).

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

14.3 Solution de l’exercice sans Xcas

1. C’est faux, par exemple (−1)^{n} ∗ n ou n ∗ sin(n) ou (u_{2n} = n, u_{2n+1} = 1)

2. Si la suite u est convergente et la suite v est divergente alors la suite w = u + v est divergente est une proposition vraie. On fait une démonstration par l’absurde : Si la suite w est convergente et la suite u est convergente alors la suite v = w − u est convergente car on sait (ou on montre) que la somme algébrique de 2 suites convergentes est convergente.

3. On fait une démonstration par l’absurde : Si il existe a et b tels que : e^{2a} + e^{2b} < 2\sqrt{e^{2a} × e^{2b}}, alors on pose A = e^{a} et B = e^{b}. Puisque A > 0 et B > 0 on a \sqrt{A^{2}) × B^{2}} = A × B et l’inégalité s’écrit : A^{2} + B^{2} − 2A × B = (A − B)^{2} < 0 ce qui est faux. Donc il n’existe pas a et b vérifiant une telle inégalité. Ou bien on fait une démonstration directe : Puisque \sqrt{e^{2a} × e^{2b}} = e^{a} × e^{b}, on a e^{2a} + e^{2b} < 2\sqrt{e^{2a} × e^{2b}} est èquivalent à : e^{2a} + e^{2b} − 2\sqrt{e^{2a} × e^{2b}} = (e^{a} − e^{b})^{2} < 0 et ceci est faux quelque soit a et b.

4. Il existe une fonction f continue en un point x_{0} et non dérivable en x_{0}. C’est vrai par exemple f(x) = |x| est continue en x_{0} = 0, mais n’est pas dérivable en x_{0} = 0.

15 Thème : Étude de configurations

15.1 L’exercice

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), on considère la courbe (C) d’équation y = \frac{1}{x} avec x ∈]0, +∞[. Soit a un réel strictement positif.

1. La droite (D_{a}), tangente à (C) au point A d’abscisse a, coupe l’axe des abscisses en P_{a} et l’axe des ordonnées en Q_{a}. Déterminer les coordonnées de P_{a} et Q_{a} et montrer que l’aire du triangle OP_{a}Q_{a} est indépendante du réel a.

2. On considère un réel k > \frac{2}{a}. On note (Δ_{k}) la droite parallèle à (D_{a}) et passant par le point de coordonnées (0, k). Montrer que lorsque k varie dans l’intervalle ]\frac{2}{a}, ∞ + [, la droite (Δ_{k}) coupe la courbe (C) en deux points B_{k} et C_{k} et que le milieu I_{k} de [B_{k}, C_{k}] est aligné avec O et A.

15.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2) un exercice se rapportant au thème ”Étude de configurations”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

15.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. On tape :

supposons(a=[2.3,0,10,0.1]);
C:=plotfunc(1/x,x=0 .. 10);
A:=point(a,1/a);
D:=tangente(C,A):;affichage(D,4);
P:=inter_unique(D,droite(y=0));
Q:=inter_unique(D,droite(x=0));

On tape :

normal(equation(D))
On obtient : y=((2*a-x)/(a^2))

On tape :

coordonnees(P)

On obtient : [2*a,0] On tape :

coordonnees(Q)

On obtient : [0,1/a*2] On tape :

area(triangle(0,P,Q)

On obtient : 2

2. On tape pour continuer la figure :

supposons(a=[1.4,0,10,0.1]);
C:=plotfunc(1/x,x=0 .. 10);
A:=point(a,1/a);
D:=tangente(C,A):;affichage(D,4);
P:=inter_unique(D,droite(y=0));
Q:=inter_unique(D,droite(x=0));
supposons(k=[3.7,2/a,10,0.1]);
K:=point(0,k,affichage=quadrant3);

Δ :=parallele(K,D,affichage=1);
[B,C] :=inter(C,Δ);
I :=milieu(B,C);
droite(A,I);

On obtient :

On tape :

est aligne(0,A,I)

On obtient : 1

16 Thème : Propriétés des fonctions

16.1 L’exercice

Les questions sont indépendantes. Dans chacun des cas suivants, proposer unefonction f qui vérifie les propriétés données. On donnera l’expression de f(x).

1. f est une fonction définie sur ℝ par :

f(x) = ae^{2x} + be^{x} + c

La limite de f en +∞ est +∞ et l’équation f(x) = 0 admet deux solutions, 0 et ln(2).

2. f est une fonction définie sur ]0, +∞[, f(2) = 4 et, pour tout x et tout y strictement positifs on a :

f(xy) = f(x) + f(y)

3. f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [-2, 2] est 0.

4. f est une fonction paire, non constante, définie sur ℝ telle que pour tout

x ∈ ℝ on a :

f(x + 1) = f(x)

16.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse aux questions 2) et 4) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Propriétés des fonctions”.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

16.3 Solution de l’exercice avec Xcas

1. f est une fonction définie sur ℝ par : f(x) = ae^{2x} + be^{x} + c La limite de f en +∞ est +∞ donc a > 0 et l’équation f(x) = 0 admet deux solutions, 0 et ln(2) donc si on pose X = e^{x}, l’équation aX^{2} + bX + c = 0 admet deux solutions, e^{0} = 1 et e^{ln(2)} = 2 donc : aX^{2} + bX + c = a(X − 1)(X − 2) = a(X^{2} − 3X + 2). La fonction f(x) = e^{2x} − 3e^{x} + 2 répond à la question. Avec Xcas, on vérifie :

On tape :

f(x) :=exp(2x) -3*exp(x)+ 2
limit(f(x),x=inf)
On obtient : +(infinity)

On tape :

solve(f(x))

On obtient : [0,ln(2)]

2. f est définie sur ]0, +∞[, f(2) = 4 et, pour tout x et tout y strictement positifs on a : f(xy) = f(x) + f(y) On sait que si k = cste, g(x) = k ∗ ln(x) vérifie g(x + y) = g(x) + g(y). La relation f(2) = 4 va nous permettre de déterminer k g(2) = 4 = k∗ln(2) donc k = 4/ ln(2). On choisit de prendre f(x) = 4 ∗ ln(x)/ ln(2) Avec Xcas, on vérifie : On tape :

f(x) :=4*ln(x)/ln(2)
f(2)

On obtient : 4 On tape :

lnexpand(f(x*y))
On obtient : (4*(ln(y)+ln(x)))/(ln(2))

3. f est un polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [-2, 2] est 0. Donc f(x) est une fonction impaire, le polynôme sera constitué de monômes de degré impair. On choisit par exemple : f(x) = x^{3} Avec Xcas, on vérifie : On tape :

f(x) :=x^3
int(f(x),x=-2..2)

On obtient : 0

4. f est une fonction paire, non constante, définie sur ℝ telle que pour tout x ∈ ℝ on a :f(x + 1) = f(x). f est périodique de période 1 et f est paire. La fonction f(x) = cos(2∗π∗x) répond à la question car elle est paire, non constante, définie sur ℝ telle que pour tout x ∈ ℝ on a :f(x + 1) = f(x). Avec Xcas, on vérifie : On tape :

f(x) :=cos(2*pi*x)
f(-x)
On obtient : cos(2*pi*x)

On tape :

normal(trigexpand(expand(f(x+1))-f(x)))

On obtient : 0

17.1 L’exercice

On place dans une urne 100 billets de loterie dont seulement 2 sont gagnants.

1. Un joueur achète deux billets, qu’il tire simultanément dans l’urne. 1.a) Quelle est la probabilité de ne pas gagner ? 1.b) En déduire la probabilité d’avoir au moins un billet gagnant.

2. Soit n un entier (n ≥ 2). Un joueur achète n billets, qu’il tire simultanément dans l’urne. Soit A_{n} l’événement : ”Avoir 1 ou 2 billet(s) gagnant(s) en ayant n billets”. 2.a) Décrire avec une phrase l’événement \overline{A_{n}}, événement contraire de A_{n}. 2.b) Montrer que la probabilité de l’événement \overline{A_{n}} est :

p(\overline{A_{n}}) = \frac{(100 − n)(99 − n)}{100 × 99}

2.c) Quel est le nombre minimum n_{0} de billets à acheter pour que la probabilité d’avoir au moins 1 billet gagnant soit supérieure ou égale à \frac{1}{2} ?

17.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la question 2.b) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Probabilités”. Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

17.3 Solution de l’exercice sans Xcas

1. 1.a) la probabilité de ne pas gagner On ne gagne pas si on a choisit les 2 billets parmi les 98 billets non gagnants. On a donc comb(98,2) possibilités. Le nombre total de choix est comb(100,2). la probabilité de ne pas gagner est donc :

comb(98,2)/comb(100,2).

On tape :

comb(98,2)/comb(100,2)

On obtient : 4753/4950 1.b) ”Avoir au moins un billet gagnant” est l’événement contraire à ”Avoir aucun un billet gagnant”, la probabilité de gagner est donc :

1-comb(98,2)/comb(100,2).

Avec Xcas, on tape :

1-comb(98,2)/comb(100,2)

On obtient : 197/4950 C’est aussi 2/100 ∗ 98/99 + 98/100 ∗ 2/99 + 2/100 ∗ 1/99

2. 2.a) L’événement \overline{A_{n}} est : ”Avoir aucun billet gagnant en ayant n billets”. 2.b) On ne gagne pas si on a choisit les n billets parmi les 98 billets non gagnants. On a donc comb(98,n)=\frac{98!}{n!(98−n)!} possibilités. Le nombre total de choix est comb(100,n)=\frac{100!}{n!(100−n)!}. la probabilité de ne pas gagner est

donc \frac{98!n!(100−n)!}{n!(98−n)!100!} = \frac{(100−n)(99−n)}{100×99}. Donc :

p(\overline{A_{n}}) = \frac{(100 − n)(99 − n)}{100 × 99}

2.c) Si la probabilité d’avoir au moins 1 billet gagnant est supérieure ou égale à \frac{1}{2}, c’est que la probabilité d’avoir 0 billet gagnant est inférieure strictement à \frac{1}{2}. On cherche n tel que : \frac{(100−n)(99−n)}{100∗99} < \frac{1}{2} ou encore 2(100 − n)(99 − n) − 9900 < 0. On tape :

solve((100-n)*(99-n)/9900-1/2<0,n) ou
solve(2*(100-n)*(99-n)-9900<0,n)

On obtient :

[((n>(1/2*(199-sqrt(19801)))) && (n<(1/2*(199+sqrt(19801)))))]

On tape :

evalf(1/2*(199-sqrt(19801)))

On obtient :

29.1419869524

Donc n_{0} = 30. On vérifie et on tape :

(100-29)*(99-29)/9900.,(100-30)*(99-30)/9900.

On obtient :

0.50202020202,0.487878787879

18 Thème : Équations différentielles

18.1 L’exercice

On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur [0, +∞[ vérifiant la condition :

(1) \{ \begin{matrix}pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x)f′(x) = 1 \\ f(0) = 1 \end{matrix}

1. On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant la condition (1) est strictement positive sur [0, +∞[. 1.a) Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s’annule pas sur [0, +∞[. 1.b) On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel a strictement positif tel que f(a) < 0. En déduire que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [0, a]. 1.c) Conclure.

2. Existence et unicité de la fonction :

2.a) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu′ sur cet intervalle. 2.b) En déduire que si f est telle que, pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x)f′(x) = 1 alors il existe une constante C telle que pour tout x ∈ [0, +∞[,

(f(x))^{2} = 2x + C

2.c) On rappelle que f(0) = 1. Déterminer l’expression de f(x) pour x réel positif.

18.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse aux questions 1.b) et 2.b) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème ”Équations différentielles”. Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

18.3 Solution de l’exercice sans Xcas

1. 1.a) On sait que pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x)f′(x) = 1 donc pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x) ≠ 0 1.b) Si il existe a > 0 telle que f(a) < 0 alors puisque f(0) = 1 > 0 et que f est dérivable, d’après le théorème des valeurs itermédiaires il existe b ∈]0; a[ tel que f(b) = 0 1.c) Comme f ne s’annule pas, on en déduit qu’il n’est pas possible qu’un tel a existe donc pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x) > 0.

2. 2.a) Une primitive de la fonction uu′ sur un intervalle I est \frac{1}{2}u^{2} 2.b) On sait que sur un intervalle les primitives d’une fonction sont égales à une constante près. Une primitive de 1 sur [0, +∞[ est x et une primitive de f(x)f′(x) est \frac{1}{2}f(x)^{2} donc il existe une constante C tel que :

pour tout x ∈ [0, +∞[, on a \frac{1}{2}f(x)^{2} = x + C

2.c) Puisque f(0) = 1 on en déduit que C = \frac{1}{2} c’est à dire que pour tout

x ∈ [0, +∞[, on a f(x)^{2} = 2x + 1. Puisque d’après 1) on sait que f(x) > 0 sur [0, +∞[ on en déduit que pour tout x ∈ [0, +∞[, on a f(x) = \sqrt{2x + 1} Remarque Pourquoi se limite-t-on à [0, +∞[ ? On a montré ici, que sur un intervalle I, on a : f(x) > 0 et f(x)^{2} = 2(x + C) avec C = cste donc f est définie sur ] − C; +∞[.

Si f(0) = 1, alors C = \frac{1}{2} donc

f(x) = \sqrt{2x + 1} sur ]\frac{1}{2}; +∞[

18.4 Solution de l’exercice avec Xcas

Avec Xcas, on tape :

desolve((y*y'=1) and (y(0)=1),y)

On obtient :

[sqrt(2*x+1)]

On ouvre un niveau de géométrie 2-d et on tape :

plotfunc(sqrt(2x+1),x=-0.5..7,affichage=1+epaisseur ligne 3

On peut alors avoir le champ des tangentes avec le menu :

Graphe->Slopefield Ode (2-d) on tape 1/y comme valeur de dy/dt,

puis on clique sur les points donnant les différentes conditions initiales et on termine en changeant de mode. On obtient :

58

19.1 L’exercice : L’âge du capitaine

Le capitaine a fait naufrage. Tout ce que l’on a retrouvé sur lui est sa carte de sécurité sociale. On parvient à déchiffrer son numéro INSEE, sauf le deuxième chiffre a et le troisième chiffre b qui sont illisibles : 1ab1271153044 clé 67 Les deux chiffres a et b qui manquent sont, dans cet ordre, les deux derniers chiffres de l’année de naissance du capitaine. On se propose d’utiliser la clé du numéro INSEE pour retrouver cette année de naissance.

1. La clé K d’un numéro INSEE est calculée de la manière suivante : K = 97 − R où R est le reste de la division euclidienne par 97 de l’entier N constitué par les 13 premiers chiffres du numéro INSEE. 1.a) Démontrer que la clé K d’un numéro INSEE est telle que N + K ≡ 0 (mod 97). 1.b) Déduire que, pour le numéro INSEE du capitaine, on a : N ≡ 30 ( mod 97).

2. On écrit 1ab1271153044 = 1ab × 10^{10} + A , où A = 1271153044. 2.a) Calculer le reste de la division euclidienne de A par 97. 2.b) Justifier la congruence suivante : 10^{2} ≡ 3(mod 97). 2.c) En déduire que l’on a : 10^{10} ≡ 49 (mod 97).

3. 3.a) Déduire des résultats établis aux questions 1) et 2) que l’on a :

1ab × 49 ≡ 73 (mod 97)

3.b) Vérifier que l’on a : 49 × 2 ≡ 1 (mod 97). 3.c) Déterminer l’année de naissance du capitaine.

19.2 Le travail demandé au candidat

En aucun cas , le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l’exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l’entretien avec le jury.

Le candidat rédigera sur ses fiches : sa réponse à la questions 3) ; un ou plusieurs exercices se rapportant au thème Arithmétique””.

Le candidat présentera au jury : le contenu de ses fiches ; les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

19.3 Solution de l’exercice avec Xcas

Tout d’abord une remarque : on peut avoir 2 solutions pour les valeurs de a et de b étant donné que l’on travaille dans ℤ/97ℤ. Par exemple 1991271153044 %97 = 1021271153044 %97 = 8 %97. On suppose donc que 10a + b < 97 ou 10a + b > 3....

1. On a :

INSEE =1ab1271153044 clé 67 donc N = 1ab1271153044 et K = 67 K = 97 − R = 67 et N = 97 ∗ Q + R (avec Q ∈ ℕ,R ∈ ℕ et R < 97) 1.a) On a N + K = 97 ∗ Q + R + 97 − R = 97 ∗ (Q + 1) donc N + K ≡ 0 (mod 97) 1.b) Puisque : K = 67, K ≡ −30 (mod 97) et N + K ≡ 0 (mod 97) on a N ≡ 30 (mod 97)

2. 1ab1271153044 = 1ab × 10^{10} + A, où A = 1271153044

2.a) Avec Xcas, on tape : irem(1271153044,97)

On obtient : 54

Ou on tape : 1271153044 % 97

On obtient : -43 % 97 donc A ≡ 54(mod 97) 2.b) 10^{2} ≡ 3(mod 97) car 10^{2} = 100 = 97 + 3 2.c) 10^{10} ≡ 49 (mod 97) car 10^{10} = 100^{5} ≡ 3^{5} = 243 ≡ 49 (mod 97) (puisque 243=97*2+49)

3. 3.a) Montrons que : 1ab × 49 ≡ 73 (mod 97).

On a : N ≡ 30 (mod 97) N = 1ab1271153044 = 1ab × 10^{10} + 1271153044 = 1ab × 10^{10} + A 10^{10} ≡ 49 (mod 97) et A ≡ 54(mod 97) donc N ≡ 1ab × 49 + 54 = 30 (mod 97) Donc 1ab × 49 ≡ 30 − 54 = −24 (mod 97) −24 ≡ 73 (mod 97) donc 1ab × 49 ≡ 73 (mod 97) 3.b) On a : 49 × 2 ≡ 1 (mod 97). En effet 49*2=98=97+1. Avec Xcas, on tape :

inv(49 % 97)

On obtient : 2 % 97 3.c) Puisque : 1ab × 49 ≡ 73 (mod 97) On a : 1ab × 49 × 2 ≡ 73 × 2 = 146 (mod 97) 49 × 2 ≡ 1 (mod 97). Donc 1ab ≡ 146 (mod 97) Les deux derniers chiffres de l’année de naissance du capitain sont donc 46.

Avec Xcas, on pose 10 ∗ a + b = C et on a N −30 = 1ab1271153014 = (100+C)∗10^{10}+1271153014 ≡ 0 ( mod 97)

On tape :

     solve((100+C)*10^10+1271153014 %97,C)

On obtient : [46]

Remarque J’aurai préférai que le texte dise par exemple, que l’année de naissance du capitaine est dans l’intervalle [1900 ;1997[. On cherche les deux chiffres a et b qui manquent c’est à dire on cherche un nombre entier C < 97 sachant que (cf question 1.a) ; N − 30 = 1ab1271153014 = (100 + C)10^{10} + 1271153014 ≡ 0 (mod 97) Puis, je trouve préférable de travailler avec le nombre C et non avec l’écriture en base 10 du nombre 100+C=100+10a+b. On continue ensuite de la même façon, on a : 100 %97 = 3 %97, 10^{10} %97 = 243 = 49 %97, 10^{12} %97 = 3 ∗ 49 = 50 %97 on a (100 + C) ∗ 10^{10} + 1271153014 ≡ 49 ∗ C + 1271153064 ≡ 0 (mod 97) 1271153064 %97 = −23 %97 donc 49 ∗ C %97 = 23 %97 on cherche l’inverse de 49 dans ℤ/97ℤ, on a 49 ∗ 2 %97 = 98 %97 = 1 %97 donc l’inverse de 49 dans ℤ/97ℤ est 2 %97. Donc en multipliant membre à membre 49 ∗ C %97 = 23 %97 par 2 %97, on a : C %97 = 46 %97 Puisque 0 ≤ C < 97 on en déduit que C = 46 et donc que a = 4 et b = 6