Exercices du CAPES 2008 |
(E) y′+(1 +tan(x))y=cos(x) (E0) y′+ y =1 |
Attention
Le premier argument de fieldplot et de
interactive_plotode est la fonction h(x,y) qui est la valeur de
y’.
On continue par l’équation (E) y′=cos(x)−(1 +tan(x))y.
Pour des facilités de mise en œuvre,
on ouvre un écran de géométrie et on utilise le menu :
Graphe->Slopefield/Ode(2d)
qui ouvre une boite de dialogues que l’on remplit :
Puis on tape sur OK.
On obtient le champ des tangentes de (E) et la commande :
Puis on clique en un point dans l’écran de géométrie et on obtient une courbe intégrale de (E) passant par ce point et la commande :
etc...
On obtient :
Attention
Lorsque le champ des tangentes est normalisé, les tangentes
sont centrées au point de contact, et si le champ des tangentes n’est pas
normalisé, les tangentes ont pour origine le point de contact et indique la
vitesse en chaque point.
On remarque qu’on obtient les solutions de (E) en multipliant les solutions de (E0) par cos(x).
^
2+ sin(x)*f(x))/ (cos(x)^
2)Ou bien, on transforme (E).
On remplace f(x) cos(x)*g(x)) et on transforme la fonction tan en les fonctions sin et cos et on tape :
On obtient l’équation que doit vérifier g :
f(x)′+(1+tan(x))*f(x)−cos(x) et f(0)=0 |
g(x)′+g(x)=1 et g(0)=0 |
On tape :
et pour comparer avec la solution approchée :
On obtient :
assume(a=[1,-5,5,0.1]); c:=cercle(0,a):;c; A:=point(a); assume(p=[0.5,-5,5,0.1]); assume(q=[0.3,-5,5,0.1]); P:=point(p,q); d:=droite(A,P):;d; B:=normal(inter(c,d)[0]); E:=point(-a); L:=inter(c,parallele(P,droite(B,E))):; A1:=L[0]; B1:=L[1]; d1:=droite(A1,B1):;d1; I:=milieu(A,B1);On obtient :
^
2+p^
2+q^
2^
2+p^
2+q^
2Donc PC*PD=PA*PB.
Le point P est entre A et B et P,A,B sont alignés
donc PA*PB=d2−r2
^
2+q^
2)^
2-p^
2-q^
2)*sqrt(q^
2+p^
2+a^
2-2*a*p))/ (a^
2-2*a*p+p^
2+q^
2)^
2-p^
2+a^
2a) Résoudre l’équation f(x)=x.
b) Montrer que pour tout x ∈[0, 1], on a f(x)≥ x.
^
2-15*x-7)/ ((2*(-(sqrt(2)))*x+2*(-(sqrt(2)))-sqrt(x+1))* ((-2*sqrt(2))*x-2*sqrt(2)))^
2*7 i.e
28=22*7. Les diviseurs de
22 sont [1,2,4] et ceux de 7 sont [1,7].^
4*31.^
3*3^
2*5) =
[1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72,^
p,p,0,n)^
(n+1)-1^
p+2^
p*(2^
(n+1)-1),p,0,n))^
(n+1)*(2^
(n+1)-1)^
n*(2^
(n+1)-1))))^
3*3*5)a*b+1=2n+1 |
∑L0=∑[1,2,...2n]=2n+1−1 |
2n(2n+1−1) il y aura :
L0, a*L0, b*L0, a*b*L0 |
On a :
1+a+b+a*b>(a*b+1)=2n+1=2*2n |
donc, si (2n+1−1) n’est pas premier 2n(2n+1−1) n’est pas parfait.
Dans la suite de l’exercice, on prendra λ= 0.2.
p([0, t[)=λ |
| exp(−λ x) dx |
p([0, +∞[)=λ |
| exp(−λ x) dx=1 |
p(X=k)=C10kexp(−0.2*3*k)*(1−exp(−0.2*3)10−k |
^
(10-k),k,0,10))^
6 d:=droite(0,1):;d; d1:=droite(0,1+i):;d1; O:=point(0); assume(t=[4,-5,7,0.1]); A:=point(a); B:=rotation(0,pi/4,A); segment(A,B); assume(t=[0.3,0,1,0.1]); M:=element(segment(A,B),t); dist:=longueur(M,d)+longueur(M,d1); A1:=point(2*sqrt(2)); B1:=rotation(0,pi/4,A1); M1:=element(segment(A1,B1),t); s(M):=normal(longueur(M,d))+normal(longueur(M,d1)); normal(s(M1));On obtient :
^
2*t+(sqrt(2))/4*a^
2^
2,(sqrt(2))/4*a^
2^
2)/2=2,x))On obtient :
On tape :
assume(y>0);assume(X>0); E1:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y>0);assume(X<0); E2:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y<0);assume(X>0); E3:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); assume(y<0);assume(X<0); E4:=normal(subst(subst(sd(x,y)-2,x=X+y),X=x-y)); plotimplicit(E1,x,y); plotimplicit(E2,x,y); plotimplicit(E3,x,y); plotimplicit(E4,x,y); affichage(droite(y=x),1);
On obtient :
F( x)= | ∫ |
| ekt2dt |
(E ) ln x = k x2 |
^
2),t,0,x)^
2),t,0,x)^
2) ^
2)=x0.^
2)=x) ^
2)=ln(x)^
2)^
2,x=-5.0..5.0125)^
2)Il y a alors :
^
2-ln(x) ^
2-ln(x)0.652918640419<x0<0.652918640420 |
b) Montrer que le plan (I J K ) coupe [S D] en son milieu.
A:=point([0,0,0]); B:=point([0,4,0]); D:=point([4,-1,0]); parallelogramme(A,B,D,C); S:=point(2,2,4); I:=milieu(A,S); J:=milieu(B,S); K:=milieu(C,S); polyedre(A,B,C,D,S)On obtient :
Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que :
x2 + y2 + z2=−1 (mod 2n ).
a) Montrer que les entiers x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
b) On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. Montrer qu’on a alors x2 + y2 +z2= 1 (mod 4) et en déduire une contradiction.
c) On suppose que x, y et z sont impairs.
Montrer qu’on a
x2 + y2 + z2=3 (mod 8) et conclure.
^
2+3^
2+5^
2)% (2^
2)^
2+(2*q+1)^
2+(2*r+1)^
2)% 4^
2+(2*q+1)^
2+(2*r+1)^
2)%4^
2+(2*q)^
2+(2*r+1)^
2)%4^
2+(2*q)^
2+(2*r)^
2)%4^
2 %8, (4*n+3)^
2 %8x2 + y2 + z 2 = 3 (mod 8) |
On note a la distance de (d) à (d1) et b celle de (d) à (d2) ; on se propose de calculer, en fonction de a et b, l’aire du triangle ABC.
C:=point(0); assume(a=[3,0,5,0.1]); assume(b=[1.0,0,5,0.1]); d1:=droite(y=a); d11:=rotation(0,pi/3,d1,affichage=1); d2:=droite(y=-b); B:=inter_unique(d11,d2); A:=rotation(0,-pi/3,B); c:=circonscrit(A,B,C); P:=inter(c,droite(y=0))[1];On obtient :
^
2+4*a*b+4*b^
2)/3AB2=AP2+BP2−2AP*BPcos( |
| )=AP2+BP2+AP*BP |
^
2*sqrt(3)+a*b*sqrt(3)+b^
2*sqrt(3))/3^
2+(a+b)^
2)^
2+4*a*b+4*b^
2)/3^
2+(a+b)^
2)*sqrt(3)/4)^
2+sqrt(3)*a*b+sqrt(3)*b^
2)/3APC=ABC= |
|
BPC=BAC= |
|
sin(APC)=sin( |
| )= |
| = |
|
sin(BPC)=sin( |
| )= |
| = |
|
AP= |
| et BP= |
|
AB2=AP2+BP2−2AP*BP*cos( |
| )= |
|
|
F (x) = | ∫ |
|
| dt |
On considère la fonction u définie sur [0, +∞[ par :
u(x) = |
|
b) En déduire que, pour tout réel x ∈ [0, +∞[, on a F∘ u (x) = x.
c) Calculer F(2).
^
2),t,0,x)^
2+1))/(x^
2+1)^
2),t,0,u(x))H(x)=F∘ u (x) = x, si x ∈ [0, +∞[ |
^
2+1)-x))^
2+1)-x))- ln(sqrt(x^
2+1)+x)))F(x)=ln( | √ |
| +x) |
Soit M un point du plan d’affixe z.
Montrer que M appartient à (Ta) si et seulement si z−a/a est imaginaire pur.
c:=cercle(0,1):;c; assume(ta=[0.4,-3.2,3.2,0.1]); A:=point(exp(i*ta)); a:=affixe(A); Ta:=tangente(c,A):;Ta; assume(tt=[0.7,-5,5,0.1]); M:=element(Ta,tt); m:=affixe(M); N:=point(a+a*i*tt); assume(tb=[1.3,-3.2,3.2,0.1]); B:=point(exp(i*tb); b:=affixe(B); Tb:=tangente(c,B):;Tb; K:=inter_unique(Ta,Tb);On obtient : Dans la figure ci-dessus, le point M sur la tangente Ta et le point N est un point d’affixe n=a+a*i*tt c’est à dire tel que n−a/a est imaginaire pur.
` x`
désigne la partie réelle de r) :
|
|
|
|
|
|
|
La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche à l’issue des deux tirages est :
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
O1:=point(-4); c1:=cercle(O1,1); O2:=point(-1); c2:=cercle(O2,2); O3:=point(69/10); c3:=cercle(O3,59/10); A:=point(-5); c:=cercle(A,O3,affichage=1); L:=inter(c,c3):; M:=L[0];d:=droite(A,M); N:=L[1];droite(A,N); H:=projection(d,O2); LL:=inter(c2,d):; B:=affichage(LL[0],quadrant4); C:=affichage(LL[1],quadrant3); segment(O2,H,affichage=1); segment(O3,M,affichage=1);On obtient :
^
2))In = | ∫ |
| x2(lnx)ndx |
In+1= |
| − |
| In |
b) Démontrer les propriétés conjecturées à la question 2) a).
^
2*ln(x)^
n,x,1,e)^
3+1/9^
2*ln(x)^
(n+1),ln(x)^
(n+1)))^
3*ln(x)^
(n+1))/3, ((-(x^
2))*(n+1)*ln(x)^
(n+1))/(3*ln(x))]On tape :
^
3*ln(x)^
(n+1)/3,1,e)On obtient :
^
3Donc
In+1= |
| − |
| In |
| = | ∫ |
|
| dx≤ In ≤ | ∫ |
| e3* |
| dx= |
|
|
| <In< |
|
| <In< |
|
^
3*48/(50*51)) renvoie :^
3*(49^
2+2*49+6)/(50*51*52)) renvoie :0.378080695024709039824<I49<0.379443966761576981074 |
^
2*ln(x)^
49,x,1,exp(1))− |
| *exp(1)3− |
|
On note (d0) la parallèle à (B C) passant par A et (d1) la médiane issue de A dans ABC.
Pour tout point M distinct de A, on note dB et dC les distances respectives de B et C à la droite (AM).
a) Montrer que si M∈ L alors dB = dC.
b) En déduire que J est le milieu de [B C].
A:=point(-2,-2,'couleur'=0); B:=point(3,1,'couleur'=0); C:=point(-2,3/2,'couleur'=0); d0:=parallele(A,droite(B,C), affichage=1); T:=triangle(A,B,C):;T; d1:=mediane(A,B,C,affichage=1); assume(t=[0.4,-5.0,5.0,0.0]); M:=element(d0,t); N:=element(d1,t); normal(aire(A,M,B)); normal(aire(A,M,C)); normal(aire(A,N,B); normal(aire(A,N,C);On obtient (attention avec Xcas les aires sont algébriques !) :
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
Montrer qu’il existe un quadrilatère M1 M2 M3 M4 dont les milieux des côtés sont les points A1,A2,A3 et A4 si et seulement si le quadrilatère A1 A2 A3 A4 est un parallélogramme.
Montrer que, dans ce cas, le point de concours des diagonales du parallélogramme A1 A2 A3 A4 est l’isobarycentre des points M1,M2,M3 et M4.
On obtient :
| =b1, |
| =b2, |
| =b3, |
| =b4 |
a1=2b1,a2=2b2,a3=2b3,a4=2b4 |
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
|
| − |
| + |
| − |
| =b1−b2+b3−b4=0 |
A1:=milieu(M1,M2); A2:=milieu(M3,M2); A3:=milieu(M3,M4); A4:=milieu(M1,M4); polygone(M1,M2,M3,M4); polygone(A1,A2,A3,A4,affichage=1);On obtient : On tape :
N2:=symetrie(B1,N1); N3:=symetrie(B2,N2); N4:=symetrie(B3,N3); N1N:=symetrie(B4,N4) polygone_ouvert(N1,N2,N3,N4,N1N,affichage=1);On obtient :
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