\documentclass[a4paper,10pt]{book} \textwidth 10,5 cm %\textwidth 11,8 cm \textheight 17 cm %\documentclass[twocolumn,10pt]{book} %dvips -t landscape -O 0,-0.9 jean2.dvi \if@twoside \oddsidemargin 44pt \evensidemargin 82pt \marginparwidth 107pt \else \oddsidemargin -0.29cm \evensidemargin -0.29cm \marginparwidth 0cm \fi \marginparsep 0cm \topmargin 0.26cm \headheight 10pt \headsep 10pt \footskip 30pt %\topmargin 0.36cm %\baselineskip = 15pt %\textheight 24.5cm %\textwidth 17cm %\columnsep 30pt \columnseprule 0pt %\textwidth 25 cm %\textheight 18 cm %\def\@evenhead{\thepage\hfill{\footnotesize\textit{\leftmark}}} %\def\@oddhead{\footnotesize{\textit{\rightmark}}\hfill\thepage} %\usepackage{hp} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{times} \usepackage[colorlinks,pdftex]{hyperref} \title {Calcul formel \\et \\ Mathématiques\\ avec\\ la {\tt HP40GS}} \author{Renée De Graeve\\ Version 3.0} %corrections MarK Howell \makeindex \begin{document} \newcommand{\asinh}{\,\,\mbox{asinh\,}} \newcommand{\atanh}{\,\,\mbox{atanh\,}} \maketitle {\bf \centerline{Remerciements}} \vspace{1cm} Tout le monde savait que c'etait impossible d'écrire seul, un logiciel de calcul formel performant....Seul, un illuminé, Bernard Parisse ne le savait pas...et il l'a fait!!!\\ Voici son logiciel de calcul formel (dit {\tt ERABLE}) implanté pour la deuxième fois sur une calculatrice {\tt HP}.\\ Cela a amené Bernard Parisse à modifier quelque peu son logiciel de façon à ce que les fonctions de calcul formel puissent \^etre éditées et avoir leurs réponses dans l'éditeur d'\'equation....\\ A vous de découvrir toutes les performances de cette calculatrice, au fil des pages de ce livre.\\ \vspace{0.2cm} Je remercie: \begin{itemize} \item Bernard Parisse pour ses précieux conseils, ses remarques sur ce texte, sa relecture, et pour sa faculté d'écrire des fonctions à la demande, avec efficacité et gentillesse, \item Jean Tavenas pour l'int\'er\^et port\'e \`a l'ach\`evement de la premi\`ere version de ce guide, %\item Jean Yves Avenard pour avoir pris en compte nos suppliques et pour avoir, gr\^ace à son esprit prompt, écrit la commande {\tt PROMPT} de façon impromptue... (cf \ref{sec:prompt}). \end{itemize} \vspace{1cm} \vfill %\copyright\ 2000 Hewlett-Packard, {\tt http://www.hp.com/calculators}\\ \copyright\ 2005, Renée De Graeve \\ Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the {\tt GNU Free Documentation License}, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation, with no Invariant Sections, with no Front-Cover Texts, and with no Back-Cover Texts.\\ A copy of the license is included in the section entitled :\\ {\tt GNU Free Documentation License} (chapter \ref{sec:fdl}, p. \pageref{sec:fdl}). \newpage {\bf \centerline{Préface}} \vspace{0.2cm} La {\tt HP40GS} va marquer une nouvelle \'etape dans la d\'emocratisation de l'utilisation du calcul formel d'une part, par son prix comp\'etitif, et d'autre part, par le nombre de possibilit\'es d'ex\'ecuter en pas-\`a-pas les principaux algorithmes enseign\'es en math\'ematiques au lyc\'ee et dans les premi\`eres ann\'ees \`a l'Universit\'e. Mais encore fallait-il lui adjoindre une documentation ad\'equate, de pr\'ef\'erence \'ecrite par un enseignant de math\'ematiques. C'est ce que vous trouverez dans ce guide r\'ealis\'e par Ren\'ee De Graeve. %maitre de conf\'erences \`a l'Universit\'e de Grenoble I et animatrice \`a l'IREM de Grenoble. Il contient, bien s\^ur, une r\'ef\'erence compl\`ete des fonctions de calcul formel, mais montre aussi, sur des exemples tir\'es du baccalaur\'eat et du brevet, comment tirer parti intelligemment de la puissance de calcul de la {\tt HP40GS} et se termine par deux chapitres consacr\'es \`a la programmation : le premier pour apprendre \`a programmer et le second qui illustre l'algorithmique appliquée au programme d'arithm\'etique de sp\'ecialit\'e des Terminales Scientifiques. Ce guide est une mise \`a jour du guide de la {\tt HP40G} avec des explications suppl\'ementaires pour les nouvelles fonctions. {\flushright Bernard Parisse\\ \flushright Ma\^itre de Conférences à l'Université de Grenoble I\\ } %\vfill \chapter{Pour commencer} \section{Présentation générale} \subsection{Mise en route} Appuyer sur la touche {\tt ON}.\\ Vous \^etes dans l'écran {\tt HOME}.\\ En cours de travail, cette touche {\tt ON} annule l'opération en cours : elle joue le r\^ole de {\tt CANCEL}.\\ Pour éteindre la calculatrice, taper sur {\tt SHIFT} puis sur {\tt ON (OFF)}.\\ Si malgré plusieurs {\tt ON} ({\tt CANCEL}), la calculatrice ne repond pas, appuyer simultanément sur {\tt ON} et {\tt F3} pour la réinitialiser. \subsection{Que voit-on ?} De haut en bas :\\ 1. l'écran de {\tt HOME} 1.a l'état de la calculatrice 1.b un trait horizontal 1.c un bandeau contenant des commandes\\ 2. le clavier\\ \noindent 1. L'écran : 1.a L'état de la calculatrice décrit les modes mis en {\oe}uvre dans l'écran {\tt HOME} : \begin{itemize} \item {\tt RAD}, {\tt DEG} ou {\tt GRD} selon que l'on travaille en radians ou en degrés ou en grades. \item {\tt \{FUNCTION\}} pour indiquer le nom de l'{\tt Aplet} sélectionnée ici, l'{\tt Aplet Function}. \item $\blacktriangle$ pour indiquer que la flèche vers le haut vous permet de remonter dans l'historique. \end{itemize} 1.b Un trait horizontal :\\ - au dessus de ce trait c'est l'historique des calculs faits dans l'écran {\tt HOME}.\\ {\sc Principe} : sur l'écran, le calcul demandé s'inscrit à gauche et le résultat s'inscrit à droite.\\ - en dessous de ce trait c'est la ligne d'édition des commandes.\\ On peut, gr\^ace à la flèche vers le haut, remonter dans l'historique et recopier, avec {\tt COPY} du bandeau, une commande ou un résultat précédent dans la ligne de commande.\\ 1.c Le bandeau :\\ Les commandes du bandeau sont accessibles par les 6 touches grises sans nom que l'on nommera ici :\\ {\tt F1 F2 F3 F4 F5 F6}.\\ Le bandeau peut contenir des répertoires contenant un ensemble de commandes, ils sont repérables par leur forme de valise.\\ Pour activer une commande du bandeau, il suffit de taper sur la touche {\tt Fi} correspondante. \\ Dans l'écran {\tt HOME}, le bandeau possède deux commandes :\\ - ${\tt STO \triangleright}$ qui permet de mettre une valeur dans une variable et,\\ - {\tt CAS} qui permet d'ouvrir l'éditeur d'\'equation pour faire du calcul formel.\\ 2. Le clavier :\\ Vous avez déjà repéré :\\ la touche {\tt ON} pour la mise en route ou pour arr\^eter un calcul en cours et {\tt SHIFT} {\tt ON} pour éteindre la calculatrice.\\ Il faut repérer : \begin{itemize} \item les quatres flèches (gauche, droite, haut, bas) qui permettent de déplacer le curseur lorsqu'on est dans l'éditeur d'\'equation, dans un menu etc... \item la touche {\tt SHIFT} qui permet à une m\^eme touche d'avoir une autre fonction. \item la touche {\tt ALPHA} pour taper du texte en majuscules et les touches {\tt SHIFT} puis {\tt ALPHA} pour taper du texte en minuscules. Pour rester en mode de saisie alphabétique il faut maintenir la touche {\tt ALPHA} appuyée. \item ${\tt X\ T\ \theta}$ permet de taper selon le contexte directement ${\tt X,\ T,\ \theta, N}$. \item la touche {\tt ENTER} sert à valider une commande. \end{itemize} \section{Notations} Les quatre flèches de direction du curseur sont ici représentées par les quatre triangles : $$\vartriangle\ \lhd \ \rhd \ \triangledown $$ \index{\tt $ \vartriangle\ \lhd \ \rhd \ \triangledown$} Le ${\tt STO\triangleright}$ du bandeau de {\tt HOME} est représenté dans un programme par : $$ {\tt STO\triangleright \mbox{ ou }\triangleright} \mbox{ ou }->$$\index{$\triangleright$} \index{STO$\triangleright$}\index{->} Dans l'éditeur d'\'equation la position du curseur est représentée par : $$\blacktriangleleft$$\index{$\blacktriangleleft$} \section{L'aide en ligne}\index{HELP} Cette calculatrice possède une aide en ligne en français, ou en anglais (cf \ref{sec:cfg}), très pratique et performante.\\ On vous propose la liste, par ordre alphabétique, des fonctions de calcul formel. Comme dans chaque menu déroulant, vous pouvez, en appuyant sur une lettre, accéder aux fonctions commencant par cette lettre, sans avoir besoin de taper sur {\tt ALPHA}.\\ L'aide consiste en une description succinte de la commande, d'un exemple et de sa réponse. Chaque exemple peut \^etre testé avec {\tt ECHO} du bandeau et \^etre traité tel quel, ou modifié. On peut aussi aller voir l'aide des commandes proches gr\^ace aux {\tt SEE1 SEE2...} du bandeau. Il faut utiliser {\tt EXIT} pour revenir, sans changement, dans l'éditeur d'\'equation.\\ Pour plus de détails, voir la description des touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)}, sections \ref{sec:syntaxe} et \ref{sec:syntax}. \chapter{Les Aplets} \section{La touche {\tt APLET}} La touche {\tt APLET} donne accès à la liste des {\tt Aplets} utilisables.\\ Cette calculatrice permet en effet de travailler avec des {\tt Aplets}.\\ Mais qu'est-ce qu'une {\tt Aplet} ? \\ Une {\tt Aplet} est un logiciel intégré à la machine qui permet facilement d'obtenir 3 vues d'un objet mathématique (une vue symbolique, une vue numérique et une vue graphique) et tout est déjà préprogrammé !\\ Les différentes {\tt Aplets} permettent de travailler avec des objets mathématiques tels que : fonctions, suites, séries statistiques etc... \\ Certaines {\tt Aplets} sont des logiciels illustrant des parties de cours. \section{Les différentes {\tt Aplets}} Lorsque vous \^etes dans {\tt HOME}, vous pouvez savoir en regardant la ligne d'état, le nom de l'{\tt Aplet} s\'electionnée.\\ Voici quelques choix possibles de la touche {\tt APLET} : \begin{itemize} \item {\tt Sequence}\\ Cette {\tt Aplet} permet de définir des suites ayant pour noms :\\ {\tt U1, U2 .. U9, U0}\\ On définit {\tt U1(N)} :\\ - soit en fonction de {\tt N},\\ - soit en fonction de {\tt U1(N-1)},\\ - soit en fonction de {\tt U1(N-1)} et de {\tt U1(N-2)}.\\ On définit par exemple :\\ {\tt U1(N)=N*N+1} \\ et alors les valeurs de {\tt U1(1)} et de {\tt U1(2)} sont calculées et mises automatiquement.\\ En cochant {\tt U1}, puis en appuyant sur {\tt NUM} les valeurs de {\tt U1(N)} s'affichent.\\ On trouvera d'autres exemples utilisant l'{\tt Aplet Sequence} au paragraphe suivant comme le calcul du $PGCD$ de deux nombres (cf \ref{sec:pgcd}) et le calcul des coefficients de l'identité de Bézout (cf \ref{sec:bezout}). \item {\tt Function}\\ Cette {\tt Aplet} permet de définir des fonctions ayant pour noms :\\ {\tt F1(X), F2(X) .. F9(X), F0(X)}\\ On définit {\tt F1(X)} :\\ - soit par une expression fonction de {\tt X} :\\ Par exemple, la formule :\\ {\tt F1(X)=X*LN(X)} définit la fonction :\\ $f_1(x)=x.\ln(x)$\\ - soit, si la fonction est définie par morceaux en utilisant des booléens comme par exemple {\tt X>0} (qui vaut 0 sur $]-\infty;0]$ et 1 sur $]0 ;+\infty[$) etc...\\ Par exemple, une formule de la forme :\\ {\tt F1(X)=X*(X<0)+2*X*(X>0)}\\ définit la fonction :\\ $ f_1(x)= \ x$ si $ x<0 $ et\\ $ f_1(x)=2 \cdot x $ si $ x \geq 0$ \item {\tt Parametric} pour tracer des courbes en coordonées paramétriques. \item {\tt Polar} pour tracer des courbes en coordonées polaires. \item {\tt Solve} pour résoudre des équations numériques. \item {\tt Statistics} pour faire des statistiques. \item {\tt Inference} pour faire des statistiques inférentielles. \item {\tt Quad Explorer} pour faire des exercices sur les fonctions du second degr\'e. \item {\tt Trig Explorer} pour faire des exercices sur les fonctions trigonometriques. \end{itemize} \section{Exemples utilisant l'{\tt Aplet Sequence}} \subsection{Écriture en base $b$} Étant donnés $a$ et $b$, on veut obtenir, la suite $q_n$ ($ n \geq 1$) et $r_n$ ($n \geq 2$) des quotients et des restes de la division par $b$ des $q_i$ définies par :\\ $q_1=a$\\ $q_1=b \cdot q_2+r_2 \ (0 \leq r_2 < b)$\\ $q_2=b \cdot q_3+r_3 \ (0 \leq r_3 < b)$\\ ......\\ $q_{n-1}=b \cdot q_n+r_n \ (0 \leq r_n < b)$\\ On remarquera que si $r_{n+1}=0$, le nombre $r_n r_{n-1}.....r_3r_2$ est l'écriture en base $b$ de $a$, lorsqu'on suppose $2 \leq b \leq 10$.\\ On met dans {\tt B} la valeur de la base, par exemple :\\ ${\tt 7\ STO\triangleright\ B}$ \\ et dans {\tt A} le nombre à écrire en base {\tt B} (par exemple ${\tt 1789\ STO\triangleright\ A}$ )\\ On définit ensuite deux suites :\\ {\tt U1(1)=A}\\ {\tt U1(2)=FLOOR(A/B)}\\ {\tt U1(N)=FLOOR(U1(N-1)/B)}\\ puis\\ {\tt U2(1)=0}\\ {\tt U2(2)=A MOD B}\\ {\tt U2(N)=U1(N-1) MOD B }\\ Ainsi $q_n$={\tt U1(N)} et $r_n $={\tt U2(N)}\\ On trouve :\\ {\tt U2(2)=4 U2(3)=3 U2(4)=1 U2(5)=5 U2(6)=0}\\ donc l'écriture en base 7 de 1789 est : 5134. \subsection{Le calcul de $PGCD$} \label{sec:pgcd} Voici une mise en en \oe uvre de l'algorithme d'Euclide avec la {\tt HP40GS}.\\ Voici la description de cet algorithme :\\ On effectue des divisions euclidiennes successives : \begin{eqnarray*} A = & B \times Q_1+R_1 & 0 \leq R_1 < B \\ B = & R_1 \times Q_2+R_2 & 0 \leq R_2 < R_1 \\ R_1 = & R_2 \times Q_3+R_3 & 0 \leq R_3 < R_2 \\ .......\\ R_{n-2} = & R_{n-1} \times Q_n+R_n & 0 \leq R_n < R_{n-1} \end{eqnarray*} Après un nombre fini d'étapes (au plus $B$), il existe un entier $n$ tel que : $R_n = 0$. \\ on a alors :\\ $PGCD(A,B )= PGCD(B,R_1) =....$\\ $PGCD(R_{n-1},R_n) = PGCD(R_{n-1},0) = R_{n-1}$\\ À l'aide des suites, on écrit la suite des restes.\\ Avec la HP40GS, on utilise l'\verb|Aplet| {\tt Sequence} (touche \verb|APLET| puis on sélectionne {\tt Sequence} puis \verb|START| du bandeau).\\ Si l'on veut déterminer le PGCD(78,56), on définit la suite : ${\tt U1(1)=78} $ ${\tt U1(2)=56} $ ${\tt U1(N)=U1(N-2)\ MOD \ U1(N-1)}$ On tape sur \verb|NUM| pour avoir la liste numérique des {\tt U1(N)} c'est à dire la liste des restes des divisions successives... Le dernier reste non nul est ${\tt 2}$ donc le $PGCD(78,56)=2$.\\ {\sc Remarque}\\ On peut utiliser dans \verb|HOME| les variables {\tt A} et {\tt B} pour stocker les deux nombres et mettre alors {\tt U1(1)=A} et {\tt U1(2)=B}.\\ Il faut aussi remarquer que {\tt A MOD 0 = A}. \subsection{Le calcul des coefficients de l'identité de Bézout}\label{sec:bezout} L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple $ U$, $V$ vérifiant : $ A \times U + B \times V= PGCD(A,B) $\\ Avec les suites :\\ On va définir "la suites des restes" $R_n$ et deux suites $U_n$ et $V_n$, de façon qu'à chaque étape on ait :\\ $R_n=U_n \times A+V_n \times B$. Puisque on a :\\ $R_n=R_{n-2}-Q_n \times R_{n-1}$ , $U_n$ et $V_n$ vont vérifier la m\^eme relation de recurrence (o\`u $Q_n=$ est le quotient entier de $R_{n-2}$ par $R_{n-1}$). On a au début : $R_1=A \ R_2=B$ $U_1=1 \ U_2=0$ puisque $A=1 \times A+0 \times B$ $V_1=0 \ V_2=1$ puisque $B=0 \times A+1 \times B$ Avec la {\tt HP40GS}, gr\^ace à l'{\tt Aplet Sequence}, on va définir la suite {\tt U1} des restes et les suites {\tt U2} et {\tt U3} qui seront telles que pour tout {\tt N} on ait : {\tt U1(N)=A*U2(N)+B*U3(N)}. Pour cela on a besoin de la suite des quotients que l'on mettra en {\tt U4}. Les suites {\tt U1}, {\tt U2}, {\tt U3} vérifient la m\^eme relation de récurrence : $U_n=U_{n-2}-Q_n \times U_{n-1} $ avec $Q_n={\tt U4(N)=FLOOR(U1(N-2)/U1(N-1))}$ On définit donc : ${\tt U1(1)=A} $ ${\tt U1(2)=B} $ ${\tt U1(N)=U1(N-2)-U4(N)* U1(N-1)}$ ${\tt U2(1)=1} $ ${\tt U2(2)=0} $ ${\tt U2(N)=U2(N-2)-U4(N)* U2(N-1)}$ ${\tt U3(1)=0}$ ${\tt U3(2)=1 }$ ${\tt U3(N)=U3(N-2)-U4(N)* U3(N-1)}$ ${\tt U4(1)=0} $ ${\tt U4(2)=0} $ ${\tt U4(N)=FLOOR(U1(N-2)/U1(N-1))}$ Il faut remarquer que l'on n'utilise {\tt U4(N)} que pour {\tt N > 2}, on a donc défini les deux premières valeurs (qui sont inutiles!) par zéro.\\ \verb|NUM| va alors afficher les valeurs de ces différentes suites et sur la ligne du dernier reste non nul on pourra lire le pgcd et les coefficients de l'identité de Bézout. \section{Les touches {\tt SYMB, NUM, PLOT} et {\tt MODES}} Une {\tt Aplet} est visible en général de trois façons diffèrentes :\\ - une vue symbolique qui correspond à la touche {\tt SYMB}\\ - une vue numérique qui correspond à la touche {\tt NUM}\\ - une vue graphique qui correspond à la touche {\tt PLOT}\\ Quand les touches {\tt NUM} et {\tt PLOT} sont SHIFTées ({\tt SETUP}), cela correspond au choix des différents paramètres utilisés (choix des paramètres de la fen\^etre graphique etc...).\\ Le choix de l'unit\'e d'angle se fait depuis {\tt HOME} ou depuis une {\tt Aplet} avec les touches : {\tt SHIFT HOME (MODES)}. %%%% HP40GS BEGIN CAS %%%%% %%%% CAS INTRO %%%% %\chapter{{\tt CAS} user's guide} \chapter{Le guide de l'utilisation du {\tt CAS}} \section{Conditions} \subsection{Terms and Conditions} {\bf Use of the {\tt CAS} Software requires from the user an appropriate mathematical knowledge. There is no warranty for the {\tt CAS} Software, to the extent permitted by applicable law. Except when otherwise stated in writing the copyright holder provides the CAS Software As Is without warranty of any kind, either expressed or implied, including, but not limited to, the implied warranties of merchantability and fitness for a particular purpose. The entire risk as to the quality and performance of the {\tt CAS} Software is with you. Should the {\tt CAS} Software prove defective, you assume the cost of all necessary servicing, repair or correction. In no event unless required by applicable law will any copyright holder be liable to you for damages, including any general, special, incidental or consequential damages arising out of the use or inability to use the CAS Software (including but not limited to loss of data or data being rendered inaccurate or losses sustained by you or third parties or a failure of the {\tt CAS} Software to operate with any other programs), even if such holder or other party has been advised of the possibility of such damages. If required by applicable law the maximum amount payable for damages by the copyright holder shall not exceed the royalty amount paid by Hewlett-Packard to the copyright holder for the {\tt CAS} Software. } Note that a large part of the HP40GS CAS is (c) Bernard Parisse, Institut Fourier, Université de Grenoble I, France. This part is also licensed under the LGPL License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version.\\ For more details, see\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse| \subsection{Termes et conditions} {\bf L'utilisation du logiciel {\tt CAS} implique des connaissances approri\'ees en Math\'ematiques. Dans les limites pr\'evues par la l\'egislation, ce logicel ne fait l'objet d'aucune garantie. Sauf disposition contraire et expresse, le d\'etenteur du copyright fournit le logiciel en "l'\'etat". Le logiciel ne fait l'objet d'aucune garantie, expresse ou implicite, notamment, et sans restriction, les garanties tacites en mati\`ere de qualit\'e marchande et d'ad\'equation \`a un usage particulier. Hewlett-Packard ne garantit ni la qualit\'e ni les performances du logiciel {\tt CAS}. S'il s'av\`ere que ce logiciel pr\'esente des d\'efauts, l'utilisateur prend \`a sa charge les co\^uts aff\'erents au support technique, aux r\'eparations et aux rectification.\\ Sauf disposition contraire, le d\'etenteur du copyright n'est pas responsable envers l'utilisateur des \'eventuels dommages d\'ecoulant de l'utilisation ou de l'incapacit\'e \`a utiliser le manuel {\tt CAS} (y compris et sans limitation, la perte de donn\'ees ou l'inexactidude des donn\'ees, les \'eventuelles pertes subies par l'utilisateur ou par des tiers, ou l'incompatibilit\'e du logiciel avec d'autres programmes), quand bien m\^eme lui ou des tiers auraient eu connaissance des risques encourus. Si la l\'egislation le pr\'evoit, le montant maximal dont pourra \^etre redevable le d\'etenteur ne peut exc\'eder la redevance pay\'ee par Hewlett-Packard. } Notez qu'une grande partie du {\tt CAS} de la {\tt HP40GS} est (c) Bernard Parisse, Institut Fourier, Université de Grenoble I, France. Cette partie est aussi sous la LGPL License et est publi\'ee par la Free Software Foundation; ou la version 2 de la License, ou (en option) d'autres versions futures.\\ Pour plus de details, voir\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse| \section{Introduction} Le mot {\tt CAS} est l'abr\'eviation de Computer Algebra System. Ce chapitre donne un bref apper\c{c} du {\tt CAS} de la {\tt HP40+}. \subsection{ Qu'est ce que le {\tt CAS} ?}\label{sec:exarg} Le {\tt CAS} permet de faire du calcul formel ou symbolique.\\ %{\tt CAS = Computer Algebra System}.\\ Il faut bien voir la différence entre :\\ \begin{itemize} \item calcul formel ou symbolique, c'est le calcul litt\'eral, c'est celui que l'on fait avec les fonctions du {\tt CAS}. On travaille alors en précision infinie, en {\tt mode exact}, et, %on a la possibilité de faire les calculs en pas à pas,\\ \item calcul numérique, c'est celui que l'on fait avec les fonctions du répertoire {\tt MTH} de la touche {\tt MATH}, dans l'écran {\tt HOME} ou depuis les {\tt Aplets} ou en programmation. On travaille alors avec une précision de $10^{-12}$, en {\tt mode approximatif}.\\ \end{itemize} Exemple :\\ Si on est dans {\tt HOME} :\\ {\tt 1/2+1/6} renvoie 0.6666666666667\\ alors que dans le {\tt CAS} :\\ {\tt 1/2+1/6} renverra {\tt 2/3}. %Si on est en {\tt Radians} dans {\tt HOME} :\\ %{\tt ARG(1+i)} vaut 0.785398163397\\ % alors que dans le {\tt CAS}, on est toujours en {\tt Radians} et on a :\\ %{\tt ARG(1+i)} vaut ${\tt \frac{\pi}{4}}$ Chaque mode a des avantages et des inconv\'enients, en mode exact il n'y a pas d'erreur d'arrondis, mais certains calculs demandent plus de temps et de memoire que le mode numerique. Par exemple, calculer la factorielle de 300 est beaucoup plus rapide en mode numerique qu'en mode exact. \subsection{Comment faire un calcul symbolique ?} La {\tt HP40GS} a \'et\'e con\c{c}ue pour utiliser les fonctions du {\tt CAS} dans un environment sp\'ecial : l'éditeur d'\'equation. Vous pouvez cependant, utiliser les fonctions du {\tt CAS} depuis l'\'ecran {\tt HOME}, \`a condition de prendre certaines pr\'ecautions (cf \ref{sec:cashome}), et cela est m\^eme obligatoire si vous voulez faire de l'alg\`ebre lin\'eaire symbolique, puisque l'éditeur d'\'equation ne permet pas de manipuler des vecteurs, ni des matrices. Pour ouvrir l'éditeur d'\'equation, pressez sur {\tt CAS} du bandeau de l'\'ecran {\tt HOME}.\\ Pour quitter l'éditeur d'\'equation, pressez sur {\tt HOME} pour revenir \`a l'\'ecran {\tt HOME}. La section \ref{sec:eqw} d\'ecrit comment on utilise les fonctions du {\tt CAS} depuis l'éditeur d'\'equation, la section \ref{sec:cashome} comment on utilise les fonctions du {\tt CAS} depuis l'\'ecran {\tt HOME} et le chapitre \ref{sec:cas} d\'ecrit les fonctions du {\tt CAS}. \subsection{Les variables} Lorsqu'on utilise des fonctions de calcul formel, on travaille avec des variables symboliques (variables ne contenant aucune valeur).\\ Dans l'\'ecran {\tt HOME}, une variable de ce type ne peut avoir comme nom que {\tt S1..S5,s1..s5,n1..n5}, mais pas {\tt X} qui contient toujours une valeur (par d\'efaut {\tt X} contient 0) et les variables qui contiennent des expessions symboliques ont comme nom {\tt E0,E1..E9}. Alors que dans l'éditeur d'\'equation, toutes les variables sont, ou ne sont pas, symboliques : par exemple {\tt X} est symbolique par d\'efaut, si on tape {\tt X+X} cela renvoie {\tt 2X}. De plus, les variables de l'éditeur d'\'equation peuvent avoir des noms ayant plusieurs caract\`eres comme {\tt XY} ou {\tt ABC}, alors que dans {\tt HOME}, {\tt XY} ou {\tt ABC} sont interpr\'et\'es comme \'etant des multiplications (par exemple {\tt ABC} devient {\tt A*B*C} dans {\tt HOME}). Pour ces raisons, les variables utilis\'ees dans l'éditeur d'\'equation ne peuvent pas \^etre utilis\'ees dans {\tt HOME}, et vice versa.\\ \subsection{La variable courante} Le nom de la variable symbolique contenu dans {\tt VX} s'appelle la variable courante : c'est le plus souvent {\tt X}.\\ La variable courante est toujours {\tt S1} dans l'\'ecran {\tt HOME}.\\ L'action de certaines fonctions dépend de la variable courante, par exemple la fonction {\tt DERVX} effectue une dérivation par rapport à la variable courante.\\ Ainsi dans l'éditeur d'\'equation,\\ {\tt DERVX(2*X+Y)=2} si {\tt VX=X}, mais\\ {\tt DERVX(2*X+Y)=1} si {\tt VX=Y}, et\\ dans l'\'ecran {\tt HOME},\\ {\tt DERVX(2*S1+S2)=2}, mais\\ {\tt DERIV(2*S1+S2,S2)=1} %%%% EQW CHAPTER %%%%%% \section{Le CAS dans l'éditeur d'\'equation} \label{sec:eqw} L'éditeur d'\'equation va vous permettre d'écrire comme sur le papier les expressions que vous voulez simplifier, factoriser, dériver, intégrer etc...\\ La touche {\tt F6} ({\tt CAS} du bandeau) press\'ee depuis l'\'ecran {\tt HOME} ouvre l'éditeur d'\'equation et la touche {\tt HOME} vous en fait sortir et ainsi revenir \`a l'\'ecran {\tt HOME}. Cette section vous dit comment \'ecrire une expression dans l'éditeur d'\'equation en utilisant les menus (section \ref{sec:eqwmenu}) et le clavier (section \ref{sec:eqwkbd}), comment s\'electionner une sous-expression (section \ref{sec:eqwsub}), comment apeler les fonctions du {\tt CAS} sur une sous-expression (section \ref{sec:eqwsub}) et comment stoker des valeurs dans des variables de l'éditeur d'\'equation (section \ref{sec:eqwvar}). Le chapitre \ref{sec:cas} explique toutes les fonctions de calcul symbolique contenues dans les diff\'erents menus, avec des exemples d'utilisation.\\ Vous pouvez consulter l'aide en ligne avec {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} (cf \ref{sec:syntaxe}), pour obtenir de l'aide pour les autres fonctions disponibles, et vous pouvez utiliser {\tt SHIFT {\tt MATH} (CMDS)} (cf \ref{sec:cmds}), pour les taper. \subsection{Le menu de l'éditeur d'\'equation}\label{sec:eqwmenu} C'est un éditeur muni d'un bandeau contenant des répertoires : \begin{enumerate} \item Le répertoire {\tt TOOL} contient les commandes :\\ \begin{itemize} \item {\tt Cursor mode} \index{Cursor mode} permet de passer en mode curseur (cf \ref{sec:curseur}). \item {\tt Edit expr.} \index{Edit expr.} permet d'éditer l'expression mise en surbril\-lance, ce qui permet de la modifier. \item {\tt Change font} \index{Change font} permet de choisir d'écrire avec de gros ou de petits caractères (on peut faire ce choix à tous moments). \item {\tt Cut} \index{Cut} recopie la sélection dans le buffer et l'efface. \item {\tt Copy} \index{Copy} recopie la sélection dans le buffer. \item {\tt Paste} \index{Paste} recopie le buffer là o\`u se trouve le curseur. Le buffer contient, soit ce que {\tt Copy} ou {\tt Cut} a sélectionn\'e la derni\`ere fois, soit la ligne de l'historique du CAS mise dans le buffer avec {\tt COPY} du bandeau de l'historique du CAS. %\item {\tt View expr.} permet de voir facilement les grandes expressions.\\ \end{itemize} \item Le répertoire {\tt ALGB} contient des fonctions qui permettent de faire de l'algèbre : factorisation, développement, simplification, substitution... \item Le répertoire {\tt DIFF} contient des fonctions qui permettent de faire du calcul différentiel : dérivation, intégration, développement limité... \item Le répertoire {\tt REWRI} contient des fonctions qui permettent de réécrire une expression sous une autre forme. \item Le répertoire {\tt SOLV} contient des fonctions qui permettent de résoudre des équations, des systèmes linéaires et des équations différentielles. \item Le répertoire {\tt TRIG} contient des fonctions qui permettent de transformer des expressions triogonomètriques. \end{enumerate} %Vous trouverez dans le chapitre 3, comment écrire une expression dans l'éditeur d'\'equation, comment sélectionner une sous-expression et comment appeler les fonctions du {\tt CAS}.\\ %Vous trouverez dans le chapitre 4, toutes les fonctions de calcul formel contenues dans ces différents répertoires avec un exemple d'utilisation.\\ %Vous pouvez consulter l'aide en ligne avec {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} (cf \ref{sec:syntaxe}), pour avoir l'aide sur les autres fonctions disponibles, et utiliser {\tt SHIFT MATH (CMDS)} (cf \ref{sec:cmds}), pour les taper. \subsection{Le clavier depuis l'{\tt éditeur d'\'equation}} \label{sec:eqwkbd} Les touches, commentées dans ce paragraphe, n'ont pas la m\^eme fonction selon qu'on les utilise depuis l'{\tt éditeur d'\'equation} ou depuis l'écran {\tt HOME}. Pour la fonctionnalité de ces touches, en dehors de l'{\ttéditeur d'\'equation}, on se reportera à la section \ref{sec:thome}, ou (et) on consultera le manuel général. \subsubsection{La touche {\tt MATH}}\label{sec:tmath} La touche {\tt MATH}, pressée depuis l'éditeur d'\'equation, affiche les fonctions utiles en calcul formel. Ces fonctions sont contenues dans les répertoires : \begin{itemize} \item les cinq répertoires précédents (cf \ref{sec:eqwmenu}) :\\ {\tt Algebra\,(ALGB)},~ {\tt Diff\&Int\,(DIFF)},~ {\tt Rewrite\,(REWRI)},\\ {\tt Solve\,(SOLV)},~{\tt Trig.\,(TRIG)}. \item le répertoire {\tt Complex} contenant des fonctions qui permettent de travailler avec des complexes. \item le répertoire {\tt Constant} contenant ${\tt e\ i \ \infty \ \ pi}$. \item le répertoire {\tt Hyperb} contenant les fonctions hyperboliques. \item le répertoire {\tt Integer} contenant des fonctions qui permettent de faire de l'arithmétique entière. \item le répertoire {\tt Modular} contenant des fonctions qui permettent de faire des calculs dans $Z/pZ$ ou dans $Z/pZ[X]$, $p$ étant la valeur contenue dans la variable {\tt MODULO}. \item le répertoire {\tt Polynom} contenant des fonctions qui permettent de faire des calculs avec des polyn\^omes. \item le répertoire {\tt Tests} contenant:\\ {\tt ASSUME}\index{ASSUME} {\tt UNASSUME }\index{UNASSUME} (pour faire des hypothèses sur les paramètres et modifier ainsi la variable {\tt REALASSUME}\index{REALASSUME} cf \ref{sec:realassume})\\ ${\tt > \ \geq \ < \ \leq \ == \ \neq }$ {\tt AND \ OR \ NOT}\\ {\tt IFTE}\index{IFTE} (pour écrire une fonction algébrique ayant le m\^eme résultat qu'un IF THEN ELSE) . \end{itemize} On se reportera à la section \ref{sec:math}, pour avoir la liste des fonctions se trouvant dans les différents répertoires. \subsubsection{Les touches {\tt SHIFT MATH (CMDS)}}\label{sec:cmds} La combinaison de ces touches ouvre le catalogue de toutes les fonctions de calcul formel utilisables depuis l'{\tt éditeur d'\'equation}.\\ Ainsi les fonctions, qui ne sont pas présentes ailleurs, pourront \^etre appelées depuis ce menu, ce qui vous évite de les taper en mode {\tt Alpha}. \subsubsection{La touche {\tt VARS}}\label{sec:vars} Cette touche pressée lorsqu'on est dans l'{\tt éditeur d'\'equation} fait appara\^itre les noms des variables définies dans le {\tt CAS}.\\ On remarquera {\tt namVX} qui contient le nom de la variable courante.\\ Pour voir le contenu d'une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d'appuyer sur {\tt F2} pour {\tt VIEW} du bandeau.\\ Pour modifier le contenu d'une variable il suffit de mettre son nom en surbrillance et d'appuyer sur {\tt F3} pour {\tt EDIT} du bandeau.\\ On remarquera aussi dans le bandeau :\\ {\tt PURGE} qui permet de détruire une variable existante,\\ {\tt RENAME} qui permet de changer le nom d'une variable existante,\\ {\tt NEW} qui permet de définir une nouvelle variable : il suffit d'entrer le contenu ({\tt object}), puis son nom ({\tt name}). Pour plus de détails, on se reportera à la section \ref{sec:eqwvar}. \subsubsection{Les touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)}}\label{sec:syntaxe}\index{HELP} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'\'equation la combinaison des touches : {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} ouvre le menu {\tt CAS HELP ON}.\\ Pour avoir l'aide en français, choisir {\tt Français} dans le menu du répertoire {\tt CFG} permettant de changer votre configuration (cf \ref{sec:cfg}).\\ Si dans l'éditeur il n'y a pas de fonction du {\tt CAS} séléctionnée, ce menu propose la liste des fonctions utilisables depuis l'{\tt éditeur d'\'equation}. Il suffit alors de mettre en surbrillance une fonction et de taper {\tt OK} pour avoir de l'aide sur cette fonction.\\ Si dans l'éditeur il y a une fonction du {\tt CAS} séléctionnée, par exemple :\\ {\tt FACTOR(45)}, le menu {\tt CAS HELP ON} ouvre directement l'aide à la page de {\tt FACTOR}. L'aide consiste en une description succinte de la commande, d'un exemple et de sa réponse. Chaque exemple peut \^etre mis dans l'éditeur d'\'equation avec {\tt ECHO} du bandeau et \^etre traité tel quel, ou modifié.\\ Il faut noter que dans les exemples de l'aide, on a choisi comme variable courante {\tt VX=X}. Si ce n'est pas le cas, l'exemple sera automatiquement transformé, en tenant compte de votre {\tt VX}, lors du transfert par {\tt ECHO}.\\ Vous avez aussi la possibilité d'aller directement voir l'aide d'une commande signalée dans {\tt See:} avec {\tt SEE1, SEE2...} du bandeau. \subsubsection{La touche {\tt SYMB}}\label{sec:history} La touche {\tt SYMB} pressée, depuis l'éditeur d'\'equation, permet un accès à l'historique du {\tt CAS}.\\ L'historique des calculs faits dans le {\tt CAS} et l'historique des calculs faits dans {\tt HOME} sont distincts.\\ Comme dans l'historique de l'écran {\tt HOME}, les calculs demandés sont inscrits à gauche et les résultats sont inscrits à droite. On peut gr\^ace à la flèche vers le haut remonter dans l'historique.\\ Appuyer sur {\tt COPY} du bandeau pour recopier le niveau courant de l'historique du CAS dans le buffer pour pouvoir le recopier ult\'erieurement avec {\tt TOOL->Paste} dans l'\'editeur d'\'equation.\\ Appuyer sur {\tt ENTER} ou {\tt ECHO} du bandeau, pour remplacer la s\'election courante de l'\'editeur d'\'equation par le niveau courant de l'historique du CAS.\\ Appuyer sur {\tt ON} pour quitter l'historique du CAS sans changements. \subsubsection{Les touches {\tt SHIFT SYMB} ou {\tt SHIFT HOME}}\label{sec:config} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'\'equation la combinaison des touches :\\ {\tt SHIFT SYMB(SETUP)} ou {\tt SHIFT HOME(MODES)} ouvre l'\'ecran {\tt CAS MODES} qui permet de d\'efinir la configuration du CAS et qui est l'analogue du menu {\tt CFG} (le premier choix du menu {\tt ALGB} du bandeau, cf \ref{sec:cfg}).\\ Cela vous permet de préciser :\\ - le nom de la variable contenue dans {\tt VX}, en tapant son nom devant {\tt Indep var.},\\ - la valeur de {\tt MODULO}, en tapant sa valeur devant {\tt Modulo},\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode exact} (ou en {\tt mode approximatif} si vous cochez {\tt Approx} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode réel} (ou en {\tt mode complexe} si vous cochez {\tt Complex} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous voulez travailler en mode {\tt Direct} (ou en mode {\tt Step/Step} si vous cochez {\tt Step/Step} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vos polyn\^omes sont écrits selon les puissances décroissantes (ou croissantes si vous cochez {\tt Incr Pow} avec {\tt CHK} du bandeau),\\ - si vous interdisez des facteurs numériques (ou autorisez des facteurs numériques si vous cochez {\tt Num.Factor} avec {\tt CHK} du bandeau).\\ - si vous voulez travailler en {\tt mode non rigoureux} (ou en {\tt mode rigou\-reux} si vous cochez {\tt Rigourous} avec {\tt CHK} du bandeau, pour ne pas négliger les valeurs absolues !),\\ - si vous voulez que les simplifications des sous-expressions se trouvant \`a l'int\'erieur de fonctions transcendantes se fassent il faut cocher {\tt Simp Non-Rational}.\\ On valide avec {\tt OK} ou {\tt ENTER}. \subsubsection{La touche {\tt SHIFT ,}}\label{sec:undo} Lorsque que l'on est dans l'éditeur d'\'equation les touches :\\ {\tt SHIFT ,(MEMORY)} jouent le r\^ole de ''undo''.\\ Cela est très utile quand on s'est trompé, car cela permet d'annuler la dernière commande. \subsubsection{La touche {\tt PLOT}} Lorsqu'on appuie sur {\tt PLOT} depuis l'éditeur d'\'equation, une boite de dialogues vous demande si vous voulez tracer une fonction, une courbe en paramètrique ou une courbe en polaire.\\ Selon ce que vous sélectionnez, l'expression mise en surbrillance sera recopiée vers l'{\tt Aplet} correspondante, à l'endroit que vous spécifiez comme destination.\\ {\sc Attention} : cela suppose que la variable courante est aussi la variable de la fonction à représenter, car lors de la recopie, l'expression est évaluée et la variable courante (celle contenue dans {\tt VX}) est changée en {\tt X T} ou ${\tt \theta}$, selon la nature du graphique.\\ {\sc Attention} : si la fonction dépend d'un paramètre, il est préférable de donner une valeur à ce paramètre avant d'appuyer sur {\tt PLOT}. Si toutefois, vous voulez que l'expression paramètrée soit recopiée avec son paramètre, le nom de ce paramètre doit \^etre composé d'une seule lettre différente de {\tt X T} ou ${\tt \theta}$, pour qu'il n'y ait pas de confusion.\\ Si l'expression sélectionnée est à valeurs réelles :\\ l'{\tt Aplet Function} ou l'{\tt Aplet Polar} peut \^etre sélectionnée, le graphe sera alors du type : {\tt Function} ou {\tt Polar}.\\ Si l'expression sélectionnée est à valeurs complexes : \\ l'{\tt Aplet Parametric} doit \^etre sélectionnée et le graphe sera du type : {\tt Parametric}.\\ Si vous choisissez : \begin{itemize} \item l'{\tt Aplet Function}, l'expression mise en surbrillance sera recopiée dans la fonction {\tt Fi} choisie, et la variable courante sera transformée en {\tt X} lors de la recopie, \item l'{\tt Aplet Parametric}, la partie réelle et la partie imaginaire de l'expression mise en surbrillance seront recopiées dans les fonctions {\tt Xi, Yi } choisies, et la variable courante sera transformée en {\tt T} lors de la recopie, \item l'{\tt Aplet Polar}, l'expression mise en surbrillance sera recopiée dans la fonction {\tt Ri} choisie, et la variable courante sera transformée en ${\tt \theta}$ lors de la recopie. \end{itemize} \subsubsection{La touche {\tt NUM}} Lorsqu'on appuie sur {\tt NUM} depuis l'éditeur d'\'equation l'expression mise en surbrillance est remplacée par une approximation numérique.\\ {\tt NUM} fait passer en mode approximatif. \subsubsection{La touche {\tt SHIFT NUM}} Lorsqu'on appuie sur {\tt SHIFT NUM} depuis l'éditeur d'\'equation l'expression mise en surbrillance est remplacée par un nombre rationnel.\\ {\tt SHIFT NUM} fait passer en mode exact. \subsubsection{La touche {\tt VIEWS}} Lorsqu'on appuie sur {\tt VIEWS} depuis l'éditeur d'\'equation, on peut voir entièrement l'expression mise en surbrillance, en faisant bouger le curseur gr\^ace aux flèches $\rhd$ et $\lhd$. Puis, appuyer sur {\tt OK} du bandeau pour revenir à l'éditeur d'\'equation. \subsubsection{Les raccourcis avec le clavier} Il faut noter que depuis l'éditeur d'\'equation on a, avec le clavier, les raccourcis suivants :\\ {\tt SHIFT 0} pour ${\tt \infty}$\\ {\tt SHIFT 1} pour ${\tt i}$\\ {\tt SHIFT 2} pour ouvrir le {\tt CAS HELP ON}\\ {\tt SHIFT 3} pour ${\tt \pi}$\\ {\tt SHIFT 5} pour ${\tt <}$\\ {\tt SHIFT 6} pour ${\tt >}$\\ {\tt SHIFT 8} pour ${\tt \leq}$\\ {\tt SHIFT 9} pour ${\tt \geq}$\\ {\tt SHIFT NUM} pour mettre la calculatrce en mode exact\\ {\tt NUM} pour mettre la calculatrce en mode approximatif. \subsection{Expressions, sous-expressions, selection} \label{sec:eqwsub} Lorsque l'on est dans l'\'editeur d'\'equation on peut \'ecrire des expressions en sachant que l'opérateur que l'on est en train de taper porte toujours sur l'expression adjacente ou sur l'expression s\'electionn\'ee.\\ On ne se pr\'eoccupe pas de mettre des parenth\`eses, on s\'electionne!!! \\ Il faut voir les expressions math\'ematiques comme un arbre, pas forc\'ement binaire, et comprendre que les quatre fl\`eches permettent de parcourir l'arbre de fa\c{c}on naturelle :\\ - les fl\`eches droite et gauche permettent d'aller d'un sous-arbre \`a l'autre,\\ - les fl\`eches haut et bas de monter ou de descendre dans l'arbre,\\ - les fl\`eches droite et gauche ``shift\'ees'' permettent diverses s\'elections (cf page \pageref{sec:exemple3} l'exemple 3). \subsubsection{Comment s\'electionner?}\label{sec:exemple_2} On peut entrer dans le mode s\'election de deux fa\c{c}ons : \begin{itemize} \item La fl\`eche $\vartriangle$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne l'\'elément adjacent au curseur.\\ Exemple : $$1+2+3+4 \ \vartriangle$$ s\'electionne 4, puis $\vartriangle$ s\'electionne l'arbre tout entier 1+2+3+4. \item La fl\`eche $\rhd$ vous fait entrer dans le mode s\'election et s\'electionne le sous-arbre adjacent au curseur.\\ Si vous appuyez à nouveau sur $\rhd$ vous augmentez votre s\'election du sous-arbre contigu, à gauche de votre sélection.\\ Exemple :\\ $$1+2+3+4 \ \rhd$$ s\'electionne $3+4$, puis $\rhd$ s\'electionne $2+3+4$, puis $\rhd$ s\'electionne $1+2+3+4$. \item {\sc Attention} : si on est en train de taper une fonction ayant plusieurs arguments (comme par exemple, une $\sum$, ou une $\int$ ou {\tt SUBST} etc...), la fl\`eche $\rhd$ permet de progresser dans l'écriture, en changeant le curseur d'emplacement. En effet ce sont les fl\`eches $\rhd$ et $\lhd$ qui permettent le passage d'un argument à l'autre. Il faut donc toujours dans ce cas sélectionner avec la fl\`eche $\vartriangle$ (cf \ref{sec:sum}). \end{itemize} Exemples de fonctionnement de cet \'editeur d'\'equation :\\ On tape sur {\tt CAS} du bandeau pour ouvrir l'\'editeur d'\'equation, puis on entre les expressions des exemples. \begin{itemize} \item Exemple 1\\ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ \times \ 3 \ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt 2+X \cdot 3-X}$$ $\rhd$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression,\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 2+2 \cdot X}$$ On tape : $${\tt 2\ +\ X \ \rhd\ \times \ 3 \ -\ X}$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot 3-X}$$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression,\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt 6+2 \cdot X}$$ On tape : $${\tt 2\ +\ X\ \rhd\ \times \ 3\ \vartriangle\ -\ X }$$ et on obtient : $${\tt (2+X) \cdot (3-X)}$$ $\rhd$ $\rhd$ $\rhd$ pour sélectionner l'expression\\ puis {\tt ENTER} donne le r\'esultat : $${\tt-(X^2-X-6)}$$ \item Exemple 2 \label{sec:exemple2}\\ Si on veut taper : $${\tt X^2-3 \cdot X+1}$$ On tape : $${\tt X \ x^y \ 2 \ \rhd \ - \ 3 \ X \ + \ 1 }$$ Si on veut taper : $${\tt -X^2-3 \cdot X+1}$$ On tape : $${\tt (-)\ X \ x^y \ 2 \ \rhd \rhd\ - \ 3 \ X \ + \ 1 }$$ En effet, il faut sélectionner ${\tt -X^2}$ avant de taper la suite. \item Exemple 3\label{sec:exemple3}\\ Si on veut taper : $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$ Ici, le sommet de l'arbre est un $+$ et il y a 4 sous arbres ; chacun de ces sous-arbres a comme sommet un $\div$ et poss\`ede deux feuilles. On tape sur {\tt CAS} du bandeau pour ouvrir l'\'editeur d'\'equation, puis on écrit le premier sous -arbre : $${\tt1 \div 2} $$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le second sous-arbre : $${\tt 1 \div 3}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le troisi\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 4}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ puis on tape $$+$$ et le quatri\`eme sous-arbre : $${\tt 1 \div 5}$$ puis on s\'electionne cet arbre avec $$ \rhd$$ Maintenant, l'expression voulue : $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}$$ se trouve écrite dans l'\'editeur d'\'equation et ${\tt \frac{1}{5}}$ est s\'electionn\'ee. Parcourez l'arbre pour s\'electionner : $${\tt\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Il faut taper $$ \lhd \ \lhd$$ pour s\'electionner ${\tt \frac{1}{3}}$ puis $${\tt SHIFT \rhd}$$ permet de s\'electionner deux sous-arbres contigus, le sélectionné et son voisin de droite, ici : $${\tt \frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$ Int\'er\^et : On peut demander d'effectuer le calcul de la partie s\'electionn\'ee en tapant {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt \frac{1}{2}+\frac{7}{12}+\frac{1}{5}}$$ o\`u la fraction $\frac{7}{12}$ est s\'electionn\'ee.\\ Si on veut effectuer maintenant le calcul partiel $$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$$ il faut tout d'abord faire une permutation pour que ${\tt \frac{1}{2}}$ et ${\tt \frac{1}{5}}$ soient c\^ote \`a c\^ote en tapant : $${\tt SHIFT \lhd} $$ qui \'echange l'élément s\'electionn\'e avec son voisin de gauche.\\ On obtient : $$ {\tt \frac{7}{12}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ et ${\tt \frac{7}{12}}$ est s\'electionné, puis $${\tt \rhd SHIFT \rhd}$$ s\'electionne : $${\tt \frac{1}{2}+\frac{1}{5}}$$ On peut alors faire \`a nouveau {\tt ENTER}. \item En résumé : ${\tt SHIFT \rhd}$ permet de sélectionner l'élément s\'electionn\'e et son voisin de droite.\\ ${\tt SHIFT \lhd}$ permet d'\'echanger l'élément s\'electionn\'e avec son voisin de gauche. L'élément s\'electionn\'e a changé de place, mais il reste s\'electionn\'e. \end{itemize} \subsubsection{Comment modifier une expression} Si vous \^etes en train de taper votre expression, la touche {\tt DEL} vous permet d'effacer ce qui vient d'\^etre tapé. Si vous \^etes en train d'effectuer des sélections vous pouvez :\\ - soit supprimer la sélection, sans supprimer l'expression, en tapant : $${\tt DEL}$$ Le curseur se trouve alors à la fin de l'expression que l'on vient de désélectionner.\\ - soit remplacer la sélection par une expression, il suffit de taper l'expression voulue, \\ - soit transformer l'expression sélectionnée en lui appliquant une fonction du {\tt CAS} : on appelle alors la fonction depuis le menu d'un des répertoires du {\tt CAS}.\\ - soit supprimer l'expression s\'electionnée en tapant : $${\tt ALPHA\ SHIFT\ DEL \ \ (ALPHA\ CLEAR)}$$ - soit supprimer un opérateur unaire, sommet de l'arbre sélectionné, en tapant : $${\tt SHIFT\ DEL \ \ (CLEAR)} $$ Par exemple pour remplacer {\tt SIN(expr)} par {\tt COS(expr)}, on efface {\tt SIN} en sélectionnant {\tt SIN(expr)}, puis {\tt SHIFT\ DEL}, puis on tape la touche {\tt COS}. \\ - soit supprimer un argument et un op\'erateur infix\'e en s\'electionnant l'argument \`a supprimer et en tapant $${\tt SHIFT\ DEL \ \ (CLEAR)}$$ Par exemple, si vous avez l'expression 1+2, vous selectionnez 1, puis {\tt SHIFT DEL} efface 1+ et laisse seulement 2.\\ Ainsi, pour enlever {\tt F(X)=} de l'expression {\tt F(X)=}${\tt X^2-X+1}$ on sélectionne {\tt F(X)}, puis on appuie sur {\tt SHIFT DEL}, et on obtient ${\tt X=X^2-X+1}$ (on a supprim\'e l'op\'erateur unaire {\tt F}), puis {\tt SHIFT DEL}, et on obtient ${\tt X^2-X+1}$ (on a supprim\'e {\tt X} et l'op\'erateur {\tt =}).\\ - soit supprimer un opérateur binaire en éditant l'expression, on sélectionne : $${\tt Edit\ expr.} $$ du menu {\tt TOOL} du bandeau et on fait la correction.\\ - soit recopier un élément de l'historique du CAS accessible en tapant {\tt SYMB}. La recopie se fait à la place du curseur, ou à la place de la sélection, lorsqu'on appuie depuis l'historique du CAS sur {\tt ENTER}, ou sur {\tt ECHO} du bandeau. Vous pouvez aussi utiliser {\tt COPY} du bandeau de l'historique du CAS pour mettre la s\'election dans le buffer, ou les commandes {\tt Cut, Copy, Paste} du menu {\tt TOOL} du bandeau, pour supprimer, recopier, dupliquer des expressions comme dans un traitement de texte (cf. \ref{sec:eqwmenu}). \subsubsection{Le mode curseur}\label{sec:curseur} Le mode curseur permet de sélectionner une grande expression rapidement. Pour passer en mode curseur, sélectionner :\\ {\tt Cursor mode} du menu {\tt TOOL},\\ puis utiliser les flèches pour inclure votre sélection dans une boite (quand vous relachez la touche flèche, l'expression pointée par le curseur est encadrée).\\ Puis tapez sur {\tt ENTER} pour sélectionner le contenu de la boite. \subsubsection{Pour tout voir} En sélectionnant {\tt Change font} du menu {\tt TOOL} du bandeau, on grossit, ou on diminue la taille de l'écriture. Cela permet dans certains cas, de voir en entier une grande expression.\\ Si cela est insuffisant, il faut utiliser le mode curseur en s\'electionnant :\\ {\tt Cursor mode} du menu {\tt TOOL}, puis utiliser la flèche $\rhd$, et utiliser {\tt ENTER} pour sortir du mode curseur,\\ ou encore, vous pouvez utiliser :\\ la touche {\tt VIEWS}, puis la flèche $\rhd$ et {\tt OK} du bandeau pour quitter l'\'ecran {\tt VIEWS}. \subsection{La saisie des fonctions du {\tt CAS}} Lorsque vous \^etes dans l'éditeur d'\'equation, vous pouvez utiliser toutes les fonctions du {\tt CAS} et vous pouvez faire la saisie de différentes façons.\\ Principe général :\\ Quand vous avez écrit une expression dans l'éditeur d'\'equation, il suffit d'appuyer sur {\tt ENTER} pour évaluer ce qui a été sélectionné, ou pour évaluer toute l'expression si rien n'a été sélectionné. \subsubsection{Comment \'ecrire $\int$ et $\sum$} \label{sec:sum} $\sum$ se trouvent sur le clavier, il suffit de taper : $${\tt SHIFT +\ (\sum)}$$. Le signe $\int$ se trouve aussi sur le clavier, il suffit de taper : $${\tt SHIFT \ d/dX \ (\int) }$$ Les symboles ${\tt \int}$ et ${\tt \sum}$ sont considérés comme des fonctions préfixées ayant plusieurs arguments.\\ ${\tt \int}$ et ${\tt \sum}$ se placent automatiquement devant (fonctions préfixées) l'élément sélectionné, si il y en a un.\\ Le curseur se place aux endroits voulus et se d\'eplace \`a l'aide des fl\`eches : $${\tt \rhd \ \lhd} $$ Les expressions que l'on rentre suivent la loi de la s\'election expliqu\'ee pr\'ec\'edemment, mais il faut entrer dans le mode s\'election avec $\vartriangle$.\\ {\sc Attention}, ne pas utiliser l'indice $i$ pour d\'efinir la somme car $i$ d\'esigne le nombre complexe solution de $x^2+1=0$.\\ $\sum $ effectue des calculs exacts si son argument admet une primitive discr\'ete et sinon $\sum $ effectue des calculs approch\'es, m\^eme en mode exact.\\ Par exemple en mode exact ou num\'erique : $$\sum_{k=0}^4 \frac{1}{k!}=2.70833333334$$ alors qu'en mode exact : $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=\frac{65}{24}$$ Le symbole \ $!$ \ s'obtient en tapant ${\tt SHIFT\ \times}$.\\ Il faut savoir que $\sum $ sait calculer symboliquement les sommes de fractions rationnelles et les series hypergéométriques qui admettent une primitive discrète.\\ Exemple :\\ On tape : $${\tt \sum_{K=1}^\infty \frac{1}{K \cdot (K+1)}}$$ On sélectionne le tout, {\tt ENTER} et on obtient : $${\tt 1}$$ \subsubsection{Comment \'ecrire les fonctions infixées} \label{sec:and} Ces fonctions s'écrivent entre leurs arguments, par exemple :\\ {\tt AND | MOD ,} sonr des fonctions infixées.\\ On peut :\\ - soit les écrire en mode {\tt Alpha} (pour {\tt AND MOD}), puis taper les arguments,\\ - soit les appeler depuis le menu d'un répertoire du {\tt CAS} ou à l'aide d'une touche du clavier, à condition d'avoir écrit et sélectionné le premier argument.\\ On passe d'un argument à l'autre à l'aide des flèches : $\rhd\ \lhd$.\\ La virgule {\tt ,} permet d'écrire un nombre complexe.\\ On écrit ${\tt 1+2\cdot i}$ ou {\tt (1,2)} et les parenthèses se mettent automatiquement quand on tape la virgule.\\ Si vous voulez taper {\tt (-1,2)} il faut bien s\^ur sélectionner {\tt -1} avant de taper la virgule. \subsubsection{Comment \'ecrire les fonctions préfixées} \label{sec:prefixe} Ces fonctions s'écrivent avant leurs arguments, c'est le cas général.\\ Dans ce cas tout est possible!!!\\ On peut taper le premier argument, le sélectionner puis appeler la fonction à l'aide d'un menu,\\ ou bien, on peut appeler la fonction depuis un menu ou la taper en mode {\tt Alpha}, puis taper son ou ses arguments.\\ On va détailler sur l'exemple suivant les différentes saisies possibles.\\ Exemple :\\ Vous voulez factoriser l'expression $x^2-4$ puis, avoir sa valeur pour $x=4$. Vous savez que {\tt FACTOR} sert à factoriser et que cette fonction se trouve dans le menu {\tt ALGB}.\\ Vous savez que {\tt SUBST} sert à substituer, dans une expression, une variable par une valeur et que cette fonction se trouve aussi dans le menu {\tt ALGB}. {\bf Première possibilité : saisie avant les arguments}\\ Vous appuyez sur la touche {\tt F2} qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt FACTOR} puis {\tt ENTER}.\\ ${\tt FACTOR(\ \blacktriangleleft )}$ s'inscrit dans l'éditeur avec le curseur entre les parenthèses.\\ Vous entrez votre expression avec les règles de sélection vues précèdemment : $${\tt X \ X^y\ 2\ \rhd - \ 4 \rhd \ \rhd \ \rhd} $$ ce qui sélectionne : $${\tt FACTOR (X^2-4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat : $${\tt (X+2) \cdot (X-2)}$$ Le résultat est sélectionné et remplace la commande.\\ On ne le voit pas, mais aprés chaque {\tt ENTER}, il y a sauvegarde dans l'historique, ainsi ${\tt \ FACTOR (X^2-4) \ }$ et la r\'eponse ${\tt \ (X+2) \cdot (X-2) \ }$ se sont inscrits dans l'historique (appuyer sur {\tt SYMB} pour le voir, et sur {\tt ON} pour revenir \`a l'éditeur d\'equation).\\ Maintenant vous effacez le résultat précédent avec {\tt ALPHA SHIFT DEL (CLEAR)} car ce résultat est sélectionné.\\ Vous appuyez sur la touche qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt SUBST} puis {\tt ENTER}. $${\tt SUBST (\blacktriangleleft ,\bullet)}$$ s'inscrit dans l'éditeur avec le curseur entre les parenthèses à la place du premier argument.\\ Vous entrez votre expression avec les règles de sélection vues précèdemment.\\ {\sc Attention} ! ici {\tt SUBST} a deux arguments il faut donc entrer dans le mode sélection avec $\vartriangle$ : $${\tt X \ X^y\ 2\ \vartriangle \ \vartriangle\ - \ 4 \rhd X=4\ \rhd \ \rhd} $$ ce qui sélectionne :\\ $${\tt SUBST (X^2-4,X=4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat : $${\tt 4^2-4}$$ Ce résultat est sélectionné et remplace la commande. Enfin {\tt ENTER} donne le résultat simplifié : $${\tt 12}$$ Bien s\^ur ${\tt \ SUBST (X^2-4,X=4)\ }$, ${\tt \ 4^2-4 \ }$ et ${\tt \ 12}$ se sont inscrits dans l'historique.\\ {\sc Remarque} :\\ Quand on saisit une fonction du {\tt CAS} avant ses arguments, on peut la taper en mode {\tt Alpha} avec ses parenthèses. {\bf Deuxième possibilité : saisie après les arguments}\\ On tape d'abord l'expression que l'on sélectionne avec les règles de sélection vues précèdemment.\\ Ici on tape :\\ $${\tt X \ X^y\ 2\ \rhd - \ 4 \rhd \ \rhd } $$ puis on appelle {\tt FACTOR} :\\ vous appuyez sur la touche {\tt F2} qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt FACTOR}, puis appuyer sur {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt FACTOR (X^2-4 )}$$ puis {\tt ENTER} donne le résultat: $${\tt (X+2) \cdot (X-2)}$$ Ce résultat est sélectionné et remplace la commande.\\ Bien s\^ur, ${\tt\ FACTOR (X^2-4)\ }$ et ${\tt \ (X+2) \cdot (X-2)\ }$ se sont inscrits dans l'historique.\\ Vous remarquez que le résultat est sélectionné, vous \^etes donc pr\^et à appliquer une autre commande à votre résultat.\\ Vous pouvez donc appeller {\tt SUBST} : vous appuyez sur la touche {\tt F2} qui active {\tt ALGB} du bandeau, et vous mettez en surbrillance {\tt SUBST} puis {\tt ENTER}.\\ $${\tt SUBST ((X+2) \cdot (X-2) , \blacktriangleleft )}$$ s'inscrit dans l'éditeur avec ses parenthèses, avec votre expression comme premier argument et avec le curseur à la place du deuxième argument.\\ Il ne vous reste plus qu'à taper :\\ ${\tt X=4}$ puis $\rhd \ \rhd$ et {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt (4+2) \cdot (4-2)}$$ Appuyer sur {\tt ENTER} pour obtenir : $${\tt 12}$$ Bien s\^ur, ${\tt SUBST (X^2-4,X=4 )}$, ${\tt \ (4+2) \cdot (4-2) \ }$ et ${\tt \ 12}$ se sont inscrits dans l'historique.\\ {\sc Remarque} :\\ Au cours de l'écriture d'une expression, vous pouvez appeler une fonction du {\tt CAS}, cette fonction aura comme premier argument ce qui est sélectionné. Si rien n'a été sélectionné, le curseur se trouve au bon endroit pour compléter les arguments. \subsection{Les variables de l'éditeur d'\'equation}\label{sec:eqwvar} Vous pouvez stocker des objets dans des variables, et les réutiliser en utilisant le nom de la variable.\\ {\sc Attention!!!}\\ 1- Les variables utilisées dans le {\tt CAS} ne sont pas utilisables dans {\tt HOME} et réciproquement.\\ 2- On utilise ${\tt STO\triangleright}$ (on le note dans la suite ${\tt STO\triangleright}$ ou ${\tt \triangleright}$ ou ->) pour stocker un objet dans une variable de {\tt HOME} ou de l'éditeur de programme.\\ 3- Dans le {\tt CAS}, il faut utiliser la commande {\tt STORE} (cf. \ref{sec:store}) pour stocker des valeurs dans des variables.\\ 4- La touche {\tt VARS} affiche un menu qui contient toutes les variables qui sont à votre disposition.\\ Cette touche pressée lorsque l'on est dans {\tt HOME} fait appara\^itre les noms des variables autorisées dans {\tt HOME} et dans les {\tt Aplets}.\\ Cette touche pressée lorsque l'on est dans l'éditeur d'\'equation fait appara\^itre les noms des variables définies dans le {\tt CAS}. \subsubsection{L'affectation dans le CAS : {\tt STORE}}\index{STORE}\label{sec:store} Dans le {\tt CAS}, il faut utiliser la commande {\tt STORE} pour stocker un objet dans une variable, ou utiliser la touche {\tt VARS} depuis l'éditeur d'équations (puis {\tt NEW} ou {\tt EDIT} du bandeau cf. \ref{sec:vars}).\\ On a droit à n'importe quel nom de variable.\\ {\tt STORE} se trouve dans le menu {\tt ALGB} du bandeau de l'éditeur d'équations. \\ Exemple :\\ On tape : $${\tt STORE (X^2-4,ABC)}$$ ou on tape : $${\tt X^2-4}$$ que l'on sélectionne, puis on appelle {\tt STORE},\\ puis on tape {\tt ABC}, puis, {\tt ENTER} valide la définition de la variable {\tt ABC}.\\ Pour détruire la variable, il faut utiliser la touche {\tt VARS} depuis l'éditeur d'\'equation (puis {\tt PURGE} du bandeau cf. \ref{sec:vars}), ou utiliser la commande {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN} du menu {\tt ALGB}, en tapant (par exemple) : $${\tt UNASSIGN(ABC)}$$ \subsubsection{Les variables prédéfinies du CAS}\label{sec:realassume} {\tt VX} contient le nom de la variable symbolique courante.\\ C'est en général {\tt X}, il ne faut donc pas utiliser {\tt X} comme nom de variable numérique, ou effacer le contenu de {\tt X} à l'aide de la commande {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN} du menu {\tt ALGB} avant de faire du calcul symbolique, en tapant par exemple, {\tt UNASSIGN(X)}.\\ On peut changer le nom de la variable symbolique courante en ouvrant l'\'ecran {\tt CAS MODES} avec {\tt SHIFT SYMB} et mettant le nouveau nom devant {\tt Indep.var}. {\tt EPS} contient la valeur de epsilon utilisé dans la commande {\tt EPSX0} (cf. \ref{sec:epsx0}). {\tt MODULO} contient la valeur de $p$, pour faire du calcul symbolique dans $Z/pZ$ ou dans $Z/pZ[X]$. On peut changer la valeur de $p$ gr\^ace à la commande {\tt MODSTO} du menu {\tt MODULAR} (en tapant par exemple, {\tt MODSTO(13)}\index{MODSTO} pour donner à $p$ la valeur $13$), ou utiliser {\tt SHIFT SYMB} pour ouvrir l'\'ecran {\tt CAS MODES} et changer la valeur de {\tt Modulo}. {\tt PERIOD} doit contenir la période de la fonction dont on veut les coefficients de Fourier (cf. \ref{sec:fourier}). {\tt PRIMIT} contient la primitive de la dernière fonction intégrée. {\tt REALASSUME}\index{REALASSUME} contient la liste des noms des variables symboliques que l'on considère comme réelles, lorsqu'on a choisi dans le menu de configuration {\tt CFG} l'option {\tt Cmplx vars}, ce sont par défaut :\\ {\tt X, Y, t, S1, S2} et toutes les variables d'intégration utilisées.\\ Bien s\^ur, si dans le menu de configuration {\tt CFG}, vous choisissez l'option {\tt Real vars} toutes les variables symboliques sont considérées comme réelles (cf. \ref{sec:cfg}).\\ On peut aussi faire des suppositions sur le domaine de définition d'une variable comme par exemple {\tt X>1}. Dans ce cas, il faut utiliser la commande {\tt ASSUME(X>1)}\index{ASSUME} pour que {\tt REALASSUME} contienne {\tt X>1}. La commande {\tt UNASSUME(X)}\index{UNASSUME} enlèvera toutes les hypothèses faites sur {\tt X}. Pour voir ou modifier ces variables et aussi celles que vous avez définies dans le {\tt CAS}, il faut appuyer sur {\tt VARS} depuis l'éditeur d'\'equation, puis sur {\tt EDIT} du bandeau (cf. \ref{sec:vars}). %%% CAS FROM HOME %%% \section{Le {\tt CAS} depuis l'\'ecran {\tt HOME}}\label{sec:cashome} On peut utiliser certaines fonctions de calcul formel directement depuis l'écran {\tt HOME} moyennant quelques précautions. Les fonctions du {\tt CAS} qui ont comme arguments des matrices ne sont utilisables que depuis l'\'ecran {\tt HOME}. Pour la d\'escription de ces fonctions on se reportera au chapitre \ref{chap:cashome}. \subsection{Les variables dans {\tt HOME}} On ne peut pas utiliser les m\^emes noms de variables dans {\tt HOME} et dans l'\'editeur d'\'equation. Par exemple {\tt X} ne peut pas \^etre utilis\'e comme une variable symbolique, puisque les noms des variables numériques de {\tt HOME} sont les 26 lettres {\tt A..Z} de l'alphabet, et qu'elles contiennent toujours une valeur réelle qui vaut 0 par d\'efaut.\\ Les noms des variables symboliques de {\tt HOME} sont :\\ {\tt S1..S5, s1..s5, n1..n5}.\\ Contrairement \`a ce que l'on peut faire l'\'editeur d'\'equation, il n'est pas possible de donner une valeur \`a une variable symbolique de {\tt HOME}. Il faut savoir que certaines fonctions comme {\tt QUAD} et {\tt ISOLATE} utilisent quelquefois {\tt s1..s5} et {\tt n1..n5} dans leur r\'eponse : {\tt s1..s5} d\'esigne un signe (doit \^etre remplac\'e par $\pm 1$), et {\tt n1..n5} d\'esigne un entier, par exemple {\tt QUAD(S1*S1-9,S1)} renvoie {\tt s1*6/2} et {\tt ISOLATE(SIN(S1),S1)} renvoie {\tt 3.14..+n1}.\\ Si vous voulez stocker des expressions symboliques de {\tt HOME}, il faut les stocker dans des variables ayant pour noms {\tt E0..E9}. Si vous voulez stocker des listes contenant des expressions symboliques de {\tt HOME}, il faut les stocker dans des variables ayant pour noms {\tt L0..L9}. \subsection{L'affectation dans HOME : ${\tt STO\triangleright}$}\index{STO} ${\tt STO\triangleright}$ permet de stocker un objet dans une variable de {\tt HOME}. ${\tt STO\triangleright}$ est obtenu en appuyant sur {\tt F1} du bandeau de l'\'ecran {\tt HOME}.\\ Une variable ne peut stocker qu'une type d'objet, ce type est d\'etermin\'e par le nom de la variable (voir ci-dessus).\\ Par exemple, on tape:\\ ${\tt S1^2+2 \times S1\ STO\triangleright E1}$, puis,\\ ${\tt DERIV(E1,S1)}$ \\ et on obtient :\\ ${\tt 2*S1+2}$. \subsection{Quelques astuces et exemples} Les fonctions du CAS sont accessibles depuis l'écran {\tt HOME}, soit depuis le sous-menu {\tt CAS} (touche {\tt F4}) du bandeau de la touche {\tt MATH}, soit directement (il suffit de taper le nom de la fonction en mode alpha). Bien voir que : \begin{itemize} \item Certains calculs seront effectués en mode approximatif en raison de l'ambiguité entre réels et entiers dans {\tt HOME}. Vous devez utiliser la commande {\tt XQ} qui convertit un argument approximatif en un argument exact. Par exemple, si on travaille en {\tt Radians} : $${\tt ARG(XQ(1+i))= \frac{\pi}{4}}$$ $${\tt ARG(1+i)=0.7853...}$$ $${\tt FACTOR(XQ(45))=3^2*5}$$ $${\tt FACTOR(45)=45}$$ \item La variable symbolique {\tt S1} de {\tt HOME} sert de variable courante lorsqu'on utilise certaines fonctions du CAS depuis {\tt HOME}. Par exemple : $${\tt DERVX(S1^2+2 \times S1)= 2*S1+2}$$ Le r\'esultat ${\tt 2*S1+2}$ ne d\'epend pas de la variable {\tt VX} de l'\'editeur d'\'equation. Les fonctions du CAS qui n\'ecessite le changement de la variable courante ne peuvent donc pas \^etre utilis\'ees. \item Rappelez vous que vous devez utiliser les variables :\\ {\tt S1,S2,..S5,s1,s2,..s5,n1,n2,..n5} comme variables symboliques et {\tt E0,E1, .. E9} pour stocker des expressions symboliques. Par exemple, si on tape : $${\tt S1^2-4\times S2\ STO\triangleright E1}$$ alors on a : $${\tt DERVX(E1)=S1*2}$$ $${\tt DERIV(E1,S2)=-4}$$ $${\tt INTVX(E1)=1/3*S1^3-4*(S2*S1)}$$ \item Si vous voulez travailler avec des matrices symboliques, il faut les stocker dans {\tt L0, L1,...L9}, car ces matrices seront interprétées en tant que listes de listes (alors que les matrices numériques sont stockées dans {\tt M0, M1,...M9}). Les instructions d'alg\`ebre lin\'eaire du CAS accepte une liste de listes comme arguments. On écrira par exemple dans {\tt HOME} : $${\tt XQ(\{ \{ S2+1, 1 \}, \{ \sqrt2,1 \} \}) \ STO\triangleright\ L1}$$ %${\tt [S1+1,XQ(\sqrt2)]\ STO\triangleright\ L1}$\\ On a alors $${\tt TRAN(L1)=\{\{S2+1,\sqrt2\},\{1,1\}\}}$$ Quelques instructions num\'erique d'alg\`ebre lin\'eaire n'accepte pas une liste de listes, il faut alors faire une conversion avec {\tt AXL}, par exemple:\\ ${\tt DET(AXL(L1)) ) \ STO\triangleright\ E1}$\\ On obtient :\\ ${\tt S2-(-1+\sqrt2)}$\\ Le chapitre \ref{chap:cashome} décrit les instructions utilisables uniquement depuis HOME (parce qu'elles utilisent ou renvoient des listes ou matrices). On y trouvera en particulier la d\'escription de certaines instructions d'alg\`ebre lin\'eaire symbolique. Vous pouvez aussi consulter l'aide en ligne le cadre de ce manuel, pour plus d'informations utilisez l'aide en ligne ({\tt HELP} ou par exemple {\tt HELPWITH TRAN}) ou vous reporter \`a la documentation du CAS de la HP49G, HP49G+ ou HP48GII disponible à l'URL~:\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse|\\ \end{itemize} \subsection{Envoyer des expressions de {\tt HOME} dans l'historique du {\tt CAS} : {\tt PUSH}}\index{PUSH} Vous pouvez envoyer, depuis l'écran {\tt HOME}, des expressions dans l'historique du {\tt CAS} gr\^ace à la commande {\tt PUSH}.\\ On tape depuis l'écran {\tt HOME}:\\ {\tt PUSH(S1+1)}\\ et {\tt S1+1} s'inscrit dans l'historique du {\tt CAS}. \subsection{Récupérer des expressions de l'historique du {\tt CAS} dans {\tt HOME} : {\tt POP}}\index{POP} Vous pouvez récupérer dans {\tt HOME} et depuis l'écran {\tt HOME}, la dernière expression écrite dans l'historique du {\tt CAS} gr\^ace à la commande {\tt POP}.\\ On tape depuis l'écran {\tt HOME}:\\ {\tt POP}\\ et, par exemple, {\tt S1+1} s'inscrit dans l'historique de l'écran {\tt HOME} et {\tt S1+1} est enlev\'e de l'historique du {\tt CAS}. \subsection{Le clavier depuis {\tt HOME}} \label{sec:thome} \subsubsection{La touche {\tt MATH}}\label{sec:tmathh} Cela ouvre le menu des fonctions mathématiques.\\ Cette touche pressée depuis l'écran {\tt HOME} ouvre une fen\^etre contenant des fonctions mathématiques (numériques) classées par thèmes, car l'option {\tt MTH} (touche {\tt F1}) du bandeau de la touche {\tt MATH} est cochée par défaut.\\ Si on coche {\tt CAS} du bandeau de cette fen\^etre (touche {\tt F4}), on trouve les m\^emes répertoires que lorsqu'on appuie sur la touche {\tt MATH} depuis l'éditeur d'\'equation : on a ainsi accés aux fonctions de calcul formel classées par thèmes et utilisables à partir de l'écran {\tt HOME}. \subsubsection{La touche {\tt SHIFT F6}} La combinaison des touches {\tt SHIFT F6(CAS du bandeau)} ouvre l'écran {\tt CAS MODES} de configuration du {\tt CAS} ce qui permet de changer la configuration du {\tt CAS} depuis l'écran {\tt HOME} (cf \ref{sec:config}). \subsubsection{La touche {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)}}\label{sec:syntax}\index{HELP}\index{HELPWITH} La combinaison des touches {\tt SHIFT 2 (SYNTAX)} place {\tt HELPWITH} dans la ligne de commande. Il suffit de compléter cette ligne par le nom de la commade ou par le nom de la fonction du {\tt CAS} pour laquelle vous voulez de l'aide. On peut rentrer le nom d'une fonction du {\tt CAS} avec {\tt MATH} et {\tt CAS} du bandeau de cette fen\^etre (touche {\tt F4}), mais il faut prendre garde à enlever la parenthèse. \\ Par exemple : {\tt HELPWITH DERVX} vous ouvre l'aide du {\tt CAS} à la page {\tt DERVX}.\\ Si on veut avoir l'aide générale du {\tt CAS} depuis l'écran {\tt HOME} il faut taper {\tt HELP}, puis {\tt ENTER} : on a ainsi l'aide sur les fonctions du {\tt CAS} utilisables depuis l'écran {\tt HOME}.\\ Pour avoir l'aide en français, choisir {\tt Français} dans le menu du répertoire {\tt CFG} permettant de changer votre configuration : on est obligé de le faire depuis l'éditeur d'\'equation (cf \ref{sec:cfg}).\\ Chaque exemple peut \^etre mis dans l'historique de l'écran {\tt HOME} avec {\tt ECHO} du bandeau et donc \^etre traité tel quel, ou modifié, et bien s\^ur la variable {\tt X} de l'exemple sera remplacée automatiquement par {\tt S1}.\\ De plus, les exemples seront aussi quelquefois modifiés automatiquement pour changer dans {\tt HOME} les réels en entiers gr\^ace à la fonction {\tt XQ}.\\ Par exemple, on tape dans l'\'ecran {\tt HOME} :\\ $${\tt HELPWITH\ PROPFRAC}$$ ou $${\tt HELP} \mbox{ puis s\'election de } {\tt PROPFRAC} \mbox{ du } {\tt CAS\ HELP\ ON}$$ On obtient l'exemple pour {\tt PROPFRAC} : $${\tt PROPFRAC(XQ(\frac{43}{12}))=3+\frac{7}{12}}$$ alors que si, dans l'\'editeur d'\'equation, on s\'electionne {\tt PROPFRAC} du {\tt CAS HELP ON}, l'exemple est : $${\tt PROPFRAC(\frac{43}{12})}$$ mais si, dans {\tt HOME}, on tape : $${\tt PROPFRAC(\frac{43}{12})}$$ On obtient : $${\tt 3.5833..}$$ \chapter{Les fonctions du {\tt CAS} valides uniquement dans HOME}\label{chap:cashome} Il s'agit des fonctions qui ont comme argument des matrices ou des vecteurs et qui renvoient des matrices ou des vecteurs. \section{Les syst\`emes lin\'eaires} Dans tout ce paragraphe, on appelle "matrice augmentée" du système A.X=B (ou matrice représentant le système A.X=B), la matrice formée par la matrice A bordée à droite par le vecteur colonne B. \subsection{R\'esolution d'un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires : {\tt REF}}\index{REF} {\tt REF} permet de r\'esoudre un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires que l'on écrit sous forme matricielle : $${\tt A\cdot X=B}$$ Le paramètre de {\tt REF} est la matrice augmentée du système (celle formée par la matrice {\tt A} du système bordée à droite par le second membre {\tt B}).\\ Le résultat est une matrice {\tt [A1,B1]} : {\tt A1} a des zéros sous sa diagonale et les solutions de : $${\tt A1\cdot X=B1}$$ sont les m\^emes que celles de : $${\tt A\cdot X=B}$$ Par exemple, soit à résoudre le système : $$\left \{\begin{array}{lcr} 3 \cdot x + y & = &-2 \\3 \cdot x +2 \cdot y & =& 2 \end{array}\right.$$ On tape : $${\tt REF([[3, 1, -2] [3, 2, 2]])}$$ On obtient : $$\left [ \begin{array}{rrr}1 & \frac{1}{3} & \frac{-2}{3}\\0 & 1 & 4 \end{array} \right]$$ Ainsi, $y=4$ et $x=-2/3-4/3=-2$ \subsection{R\'esolution d'un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires : {\tt rref}}\index{rref} {\tt rref} permet de r\'esoudre un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires que l'on écrit sous forme matricielle : $${\tt A\cdot X=B}$$ Le paramètre de {\tt rref} est la matrice augmentée du système (celle formée par la matrice {\tt A} du système et ayant comme dernier vecteur colonne le second membre {\tt B}).\\ Le résultat est une matrice {\tt [A1,B1]} : {\tt A1} a des zéros de part et d'autre de sa diagonale et les solutions de : $${\tt A1\cdot X=B1}$$ sont les m\^emes que celles de : $${\tt A\cdot X=B}$$ Il est intéressant d'utiliser {\tt rref} en mode pas à pas en cochant {\tt Step/Step (MODE cas chk)}.\\ Par exemple, soit à résoudre le système : $$\left \{ \begin{array}{lcr} 3 \cdot x + y & = &-2 \\3 \cdot x +2 \cdot y & =& 2 \end{array}\right.$$ On tape : $${\tt rref([[3, 1, -2][3, 2, 2]])}$$ On obtient : $${\tt \left\{\{1\ 1.\}\left [ \begin{array}{rrr}3 & 0 & -6\\0 & 1 & 4 \end{array} \right]\right\}}$$ On tape : $${\tt rref([[1, S1][S1, 1]])}$$ On obtient: $${\tt \left\{\{S1^2-1 ,1\}\left [ \begin{array}{rr} S1^2-1 & 0\\0 & -(S1^2-1) \end{array} \right]\right\}}$$ \section{Les polyn\^omes} \subsection{Liste des facteurs : {\tt FACTORS}}\index{FACTORS} {\tt FACTORS} a pour argument un polyn\^ome ou une liste de polyn\^omes.\\ {\tt FACTORS } donne la liste des facteurs du polyn\^ome avec leur multiplicité.\\ On tape : $${\tt FACTORS(S1^2-2*S1+1)}$$ On obtient : $${\tt \{S1-1,2\}}$$ On tape : $${\tt FACTORS(S1^4-2*S1^2+1)}$$ On obtient : $${\tt \{S1-1,2.\ ,\ S1+1 ,2.\}}$$ On tape : $${\tt FACTORS(\{S1^3-2*S1^2+1,S1^2-S1\})}$$ On obtient : $${\tt \{\{S1-1,1\ ,\ 2*S1+-1+\sqrt5 ,1\ , \ 2*S1-(1+\sqrt5) ,1\ ,\ 4, -1\},}$$ $${\tt \{S1, 1\ ,\ S1-1,1\}\}}$$ \subsection{Fraction rationnelle donn\'ee par ses z\'eros et ses p\^oles : {\tt FCOEF}}\index{FCOEF} {\tt FCOEF} a comme argument un vecteur de composantes les racines et les p\^oles d'une fraction rationnelle $F[x]$ suivis de leur multiplicit\'e.\\ {\tt FCOEF} renvoie la fraction rationnelle $F[x]$.\\ On tape : $${\tt FCOEF([1,2,0,3,2,-1]) }$$ On obtient : $${\tt S1^3*(S1-1)^2/(S1-2)}$$ \subsection{Racines et p\^oles d'une fraction rationnelle: {\tt FROOTS}}\index{FROOTS} {\tt FROOTS} a comme argument une fraction rationnelle $F[x]$.\\ {\tt FROOTS} renvoie un vecteur de composantes les racines et les p\^oles de $F[x]$ suivis de leur multiplicit\'e.\\ On tape : $${\tt FROOTS(\frac{S1^5-2 \cdot S1^4+S1^3}{S1-2}) }$$ On obtient : $${\tt [2,-1,0,3,1,2]}$$ ce qui signifie que : $2$ est un p\^ole d'ordre 1, $0$ est racine triple et $1$ est racine double de $F[x]=\frac{x^5-2.x^4+x^3}{x-2}$ puisque $(x-1)^2 \cdot x^3=x^5-2 \cdot x^4+x^3$. \subsection{Base de Gr{\oe}bner : {\tt GBASIS}}\index{GBASIS} {\tt GBASIS} a deux arguments : un vecteur constitué de polyn\^omes de plusieurs variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\ {\tt GBASIS} renvoie une base de Gr{\oe}bner de l'idéal polynomial engendré par les polyn\^omes donnés dans le premier argument.\\ On choisit d'ordonner les polyn\^omes selon l'ordre donné par le dernier argument et selon les puissances décroissantes. Si $I$ est un idéal et si $(G_k)_{k \in K}$ est une base de Gr{\oe}bner de l'idéal $I$ alors si $F$ est un polyn\^ome non nul de $I$, le terme dominant de $F$ est divisible par le terme dominant d'un $G_k$. \\ Propriété : Si on fait la division eUclidienne de $F$ par le $G_k$ correspondant puis si on recommence avec le reste obtenu, on finit par obtenir un reste nul.\\ On tape : $${\tt GBASIS([2\cdot S1\cdot S2-S2^2,S1^2-2\cdot S1\cdot S2],[S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt [S1^2-S2^2,2\cdot S1\cdot S2-S2^2,S2^3]}$$ \subsection{Réduction de Gr{\oe}bner : {\tt GREDUCE}}\index{GREDUCE} {\tt GREDUCE} a trois arguments : un polyn\^ome de plusieurs variables, un vecteur constitué de polyn\^omes formant une base de Gr{\oe}bner dépendant des m\^emes variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\ {\tt GREDUCE} renvoie la réduction (à une constante près) du polyn\^ome donné dans le premier argument par rapport à la base de Gr{\oe}bner donnée dans le deuxième argument.\\ On tape : $${\tt GREDUCE(S1*S2-1,[S1^2-S2^2,2*S1*S2-S2^2,S2^3],[S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt (S2^2-2)/2}$$ ce qui veut dire que ${\tt Y^2-2}$ et le polyn\^ome réduit de ${\tt 2\cdot X\cdot Y-2}$ (${\tt Y^2-2}$ est le reste de la division euclidienne de ${\tt 2\cdot (X\cdot Y-1)}$ par ${\tt G_2=2\cdot X\cdot Y-Y^2}$). \subsection{Polyn\^ome de Lagrange : {\tt LAGRANGE}}\index{LAGRANGE} {\tt LAGRANGE} a comme argument une matrice de deux lignes et $n$ colonnes :\\ la premi\`ere ligne correspond à des valeurs d'abscisses $x_i$, et la deuxième ligne correspond à des valeurs d'ordonnées $y_i$ ($i=1..n$).\\ {\tt LAGRANGE} renvoie le polyn\^ome $P$ de degré $n-1$ tel que $P(x_i)=y_i$.\\ On tape : $${\tt LAGRANGE([[1,3],[0,1]])}$$ On obtient : $${\tt \frac{S1-1}{2}}$$ en effet $\frac{x-1}{2}=0 $ pour $x=1$ et $\frac{x-1}{2}=1$ pour $x=3$ \subsection{PGCD d'une liste :{\tt LGCD}}\index{LGCD} {\tt LGCD} désigne le PGCD d'une liste de nombres entiers ou d'une liste de polyn\^omes.\\ On tape : $${\tt LGCD(\{18,15,21,36\}) }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ On tape : $${\tt LGCD(\{S1^2+2*S1+1,S1^3+1 ,S1^2-1,S1^2+S1 \})}$$ On obtient : $${\tt S1+1}$$ \subsection{Résultant de deux polyn\^omes : {\tt RESULTANT}}\index{RESULTANT} {\tt RESULTANT} a comme arguments deux polyn\^omes.\\ {\tt RESULTANT} renvoie le résultant des deux polyn\^omes.\\ Le résultant est non nul si et seulement si les deux polynômes sont premiers entre eux. C'est le d\'eterminant de la matrice $S$ de Sylvester.\\ Pour les deux polyn\^omes $A[X]=\sum_{i=0}^{i=n} a_iX^i$ et $B[X]=\sum_{i=0}^{i=n}b_iX^i$ la matrice $S$ de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom $m+n$ dont les $m$ premières lignes sont composées à partir des coefficients de $A[X]$ : $$\left(\begin{array}{ccccccc} s_{11}=a_n & s_{12}=a_{n-1}& \cdots & s_{1(n+1)}=a_0 & 0 & \cdots & 0\\ s_{21}=0 & s_{22}=a_{n}& \cdots & s_{2(n+1)}=a_1 & s_{2(n+2)}=a_0 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots\\ s_{m1}=0 & s_{m2}=0& \cdots & s_{m(n+1)}=a_{m-1} & s_{m(n+2)}=a_{m-2} & \cdots&a_0 \end{array}\right)$$ et les $n$ lignes suivantes sont composées de la m\^eme façon à partir des coefficients de $B[X]$ : $$\left(\begin{array}{ccccccc} s_{(m+1)1}=b_m & s_{(m+1)2}=b_{m-1}& \cdots & s_{(m+1)(m+1)}=b_0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots\\ s_{(m+n)1}=0 & s_{(m+n)2}=0& \cdots & s_{(m+n)(m+1)}=b_{n-1} & b_{n-2} &\cdots&b_0 \end{array}\right)$$ On tape : $${\tt RESULTANT(S1^3-S2*S1+S3,3*S1^2-S2)}$$ On obtient : $${\tt -(4*S2^3-27*S3^2)}$$ \subsection{Division par le PGCD : {\tt SIMP2}}\index{SIMP2} {\tt SIMP2} a comme paramètre deux entiers (ou deux listes d'entiers). Ces deux entiers sont considérés comme représentants d'une fraction. {\tt SIMP2} renvoie la fraction simplifiée sous la forme d'une liste de deux entiers.\\ On tape : $${\tt SIMP2(18,15) }$$ On obtient : $${\tt \{6,5\}}$$ On tape : $${\tt SIMP2(\{18,28\},\{15,21\}) }$$ On obtient : $${\tt \{6,5,4,3\}}$$ {\tt SIMP2} a comme paramètre deux polyn\^omes (ou deux listes de polyn\^omes de m\^eme longueur). Ces deux polyn\^omes sont considèrés comme représentant une fraction rationnelle.\\ {\tt SIMP2} renvoie la fraction rationnelle simplifiée sous la forme d'une liste de deux polyn\^omes.\\ On tape : $${\tt SIMP2(S1^3-1,S1^2-1) }$$ On obtient : $${\tt \{S1^2+S1+1,S1+1\}}$$ \subsection{Suites de Sturm :{\tt STURM}}\index{STURM} {\tt STURM} a comme paramètre un polyn\^ome $P$.\\ {\tt STURM} renvoie la liste des suites de Sturm et de leur multiplicité.\\ La suite de Sturm $R_1,R_2,...$ est obtenue à partir d'un facteur $F$ sans carré de $P$ : $R_1$ est l'opposé du reste de la division euclidienne de $F$ par $F'$\\ puis $R_2$ est l'opposé du reste de la division euclidienne de $F'$ par $R_1$\\ et ainsi de suite jusqu'à ce que $R_k=0$.\\ On tape : $${\tt STURM(S1^3+1)}$$ On obtient : $${\tt \{[1],\ -1,\ [S1^3+1,\ -3\cdot S1^2 -1],\ 1.\}}$$ Le premier terme indique que le dénominateur (l'élément de puissance -1) vaut 1. \subsection{Z\'eros d'un polyn\^ome : {\tt ZEROS}}\index{ZEROS} {\tt ZEROS} a deux param\`etres : un polyn\^ome $P$ et le nom de la variable.\\ {\tt ZEROS} renvoie la liste des z\'eros {\sc sans} leur multiplicit\'e.\\ On tape : $${\tt ZEROS(S1^4-1,S1)}$$ On obtient :\\ - en mode r\'eel (on change le mode avec {\tt SHIFT F6} puis, {\tt UNCHK Complex}) $${\tt \{-1, 1\}}$$ - en mode complexe (on change le mode avec {\tt SHIFT F6} puis, {\tt CHK Complex}) $${\tt \{ i,-1, -i ,1\}}$$ \section{Les fractions rationnelles} \subsection{Num\'erateur et d\'enominateur d'une fraction : {\tt FXND}}\index{FXND} {\tt FXND} a comme argument une fraction et renvoie, la liste form\'ee par le num\'erateur et le d\'enominateur de cette fraction simplifi\'ee.\\ On tape : $${\tt FXND(42/12)}$$ On obtient : $${\tt \{7,2\}}$$ \section{Le calcul modulaire} \subsection{R\'esolution d'un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires : {\tt RREFMOD}}\index{RREFMOD} {\tt RREFMOD} permet de résoudre un système d'équations linéaires de la forme $AX=B$ dans $Z/pZ$.\\ L'argument est une matrice formée par $A$ bordée avec $B$ comme dernier vecteur colonne. Le résultat est une matrice formée de $A1$ et de $B1$ o\`u $A1$ a des zéros de part et d'autre de la diagonale et le système $A1X=B1$ est équivalent à $AX=B$.\\ On tape : $${\tt RREFMOD([[1, 2, 9][3,10,0]])}$$ pour résoudre, dans $Z/13Z$ : $$\left \{\begin{array}{lcr}\ \ x\ +\ \ 2 \cdot y & = &9 \\3 \cdot x +10 \cdot y & =& 0 \end{array}\right.$$ On tape : $${\tt MODSTO(13)}$$ $${\tt RREFMOD([[1, 2, 9][3,10,0]])}$$ On obtient : $${\tt [[2, 0, 6],[0, 4, -1 ]]}$$ ce qui veut dire que ${\tt 2.X=6} $ et ${\tt 4.Y=-1}$ ou encore ${\tt X=3 \ \ Y=3}$ (puisque $-4*3=1 \ (\bmod 13)$). \section{Variables} \subsection{Les variables symboliques d'une expression : {\tt LNAME}}\index{LNAME} {\tt LNAME} a comme paramètre une expression et renvoie un vecteur de composantes le nom des variables symboliques utilisées dans cette expression.\\ On tape : $${\tt LNAME(S1*S2*SIN(S1))}$$ On obtient : $${\tt [S1,S2]}$$ \subsection{Les variables d'une expression : {\tt LVAR}}\index{LVAR}\label{sec:lvar} {\tt LVAR} a comme paramètre une expression et renvoie une liste composée de l'expression et d'un vecteur tel que l'expression originale soit une fraction rationnelle des composantes de ce vecteur.\\ On tape : $${\tt LVAR(S1*S2*SIN(S1))}$$ On obtient : $${\tt [SIN(S1),S1,S2]}$$ \section{Calcul num\'erique} \subsection{N\'egliger les valeurs inf\'erieures \`a EPS : {\tt EPSX0}}\index{EPSX0}\label{sec:epsx0} {\tt EPSX0} a comme paramètre une expression de {\tt X} et renvoie l'expression o\`u les valeurs plus petites que {\tt EPS} ont été remplacées par zéro.\\ On tape : $${\tt EPSX0(0.001+S1)}$$ On obtient (avec {\tt EPS=0.01}) : $${\tt 0+S1}$$ On obtient (avec {\tt EPS=0.0001}) : $${\tt .001+S1}$$ \subsection{Résoudre numèriquement des systèmes : {\tt MSLV}}\index{MSLV} {\tt MSLV} permet de résoudre numèriquement des systèmes d'équations non polynomiales.\\ {\tt MSLV} a trois vecteurs comme arguments : le vecteurs des équations, le vecteur des variables, et le vecteur d'une solution approchée.\\ {\tt MSLV} renvoie un vecteur dont les coordonnées sont les solutions approchées des équations données.\\ Pendant le déroulement du programme, la ligne 1 affiche la dernière estimation $\overrightarrow V$, et la ligne 2 la norme de $\Delta \overrightarrow V$\\ On tape : $${\tt MSLV([SIN(S1)+S2,S1+SIN(S2)-1],[0,0])}$$ On obtient : $${\tt [1.82384112611,\ -.968154636174]}$$ \subsection{Tableau de valeurs : {\tt TABVAL}}\index{TABVAL} {\tt TABVAL} a comme paramètres une expression et une liste de nombres.\\ {\tt TABVAL} renvoie une liste form\'ee de la liste de nombres et de la liste des valeurs prises par l'expression lorsqu'on remplace la variable {\tt S1} par la liste de nombres.\\ On tape : $${\tt TABVAL(S1^2+S1,\{1,2,3,XQ(\sqrt5\})}$$ On obtient : $${\tt \{\{1,2,3,\sqrt5\},\{2,6,12,5+\sqrt5\}\}}$$ \subsection{Temps pour \'evaluer la r\'eponse : {\tt TEVAL}}\index{TEVAL} {\tt TEVAL} a comme argument une commande.\\ {\tt TEVAL} renvoie la liste form\'ee de la r\'eponse et du temps mis pour \'evaluer la r\'eponse (unit\'e=la seconde).\\ Par exemple, on tape : $${\tt TEVAL(FACTOR(S1^2-1))}$$ On obtient : $${\tt \{(S1-1)*(S1+1),0.2991\}}$$ \subsection{Valeur numérique : {\tt XNUM}}\index{XNUM} {\tt XNUM} a comme paramètre une expression ou un tableau.\\ {\tt XNUM} fait passer en mode approximatif et renvoie la valeur numérique de l'expression ou du tableau.\\ On tape : $${\tt XNUM(\sqrt2)}$$ On obtient : $${\tt 1.41421356237}$$ \subsection{Valeur exacte : {\tt XQ}}\index{XQ} {\tt XQ} a comme paramètre une expression numérique réelle.\\ {\tt XQ} fait passer en mode exact et donne une approximation rationnelle ou réelle de l'expression.\\ On tape : $${\tt XQ(1.41421)}$$ On obtient : $${\tt \frac{66441}{46981}}$$ On tape : $${\tt XQ(1.414213562)}$$ On obtient : $${\tt \sqrt2}$$ \section{Les listes} \subsection{Concat\'enation : {\tt AUGMENT}}\index{AUGMENT} {\tt AUGMENT} a comme argument deux vecteurs, ou deux listes, ou une liste et un élément.\\ {\tt AUGMENT} concatène ses deux arguments.\\ On tape : $${\tt AUGMENT(\{1,2\},3)}$$ On obtient : $${\tt \{ 1,2,3 \}}$$ On tape : $${\tt AUGMENT(\{1,2\},\{3,4\})}$$ On obtient : $${\tt \{ 1,2,3,4 \}}$$ \subsection{Appliquer une fonction \`a une liste : {\tt MAP}}\index{MAP} {\tt MAP} a deux arguments: une liste et une fonction definissant une fonction holomorphe.\\ {\tt MAP} applique cette fonction \`a la liste, et renvoie le resultat.\\ On tape : $${\tt MAP({1,0,2},EXP(S1))}$$ On obtient : $${\tt \{EXP(1),EXP(0),EXP(2)\}}$$ \section{Les formes quadratiques} \subsection{Matrice en forme quadratique : {\tt AXQ}}\index{AXQ} {\tt AXQ} a deux arguments : une matrice symétrique $A$ repr\'esentant une forme quadratique $q$ et le vecteur de composantes les variables utilis\'ees.\\ {\tt AXQ} renvoie la forme quadratique $q$.\\ On tape : $${\tt AXQ([[0,1],[1,0]]\ ,\ [S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt 2*S2*S1}$$ \subsection{D\'ecomposition de Gauss : {\tt GAUSS}}\index{GAUSS} {\tt GAUSS} a deux arguments : une forme quadratique $q$ et le vecteur de composantes les variables utilis\'ees.\\ {\tt GAUSS} renvoie la d\'ecomposition de $q$ en somme de carr\'es.\\ On tape : $${\tt GAUSS(2 \cdot S1 \cdot S2\ ,\ [S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt -2\cdot(\frac{S2-S1}{2})^2+\frac{1}{2}\cdot (S2+S1)^2}$$ \subsection{Matrice d'une forme quadratique : {\tt QXA}}\index{QXA} {\tt QXA} a deux arguments : une forme quadratique $q$ et le vecteur de composantes les variables utilis\'ees.\\ {\tt QXA} renvoie la matrice $A$ associ\'ee \`a $q$.\\ On tape : $${\tt QXA(2*S1*S2\ ,\ [S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt[[0,1],[1,0]]}$$ et avec {\tt SHOW} $${\tt \left[\begin{array}{cc} 0& 1\\ 1&0 \end{array}\right]}$$ \subsection{D\'ecomposition de Sylvester : {\tt SYLVESTER}}\index{SYLVESTER} {\tt SYLVESTER} a un seul argument : une matrice symétrique $A$ repr\'esentant une forme quadratique $q$.\\ {\tt SYLVESTER} renvoie une liste de 2 termes : les termes diagonaux d'une matrice diagonale $B$ (obtenus par la d\'ecomposition de $q$ en somme de carr\'es) et la matrice $Q$ de changement de base.\\ On a : $$ ^tQ \cdot B \cdot Q=A$$ On tape : $${\tt SYLVESTER([[0,1],[1,0]])}$$ On obtient : $${\tt \{[\frac{1}{2},-2]\ ,\ \left[\begin{array}{cc} 1& 1\\-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \end{array}\right]\}}$$ \section{Les fonctions de plusieurs variables} \subsection{Le rotationnel : {\tt CURL}}\index{CURL} Ici $n=3$.\\ {\tt CURL} a deux param\`etres :la valeur [$E1,E2,E3$] d'une fonction vectorielle (application de $R^3 $ dans $R^3$) et un vecteur de $R^3$ indiquant le nom des variables.\\ {\tt CURL} d\'esigne le rotationnel de [$E1,E2,E3$]. $${\tt CURL([E1,E2,E3],[S1,S2,S3])=[\frac{\partial E3}{\partial S2}-\frac{ \partial E2}{\partial S3},\frac{\partial E1}{\partial S3}-\frac{\partial E3} {\partial S1},\frac{\partial E2}{\partial S1}-\frac{\partial E1}{\partial S2}]}$$ On tape : $${\tt CURL([S1*S3,-S2^2,2*S1*S2],[S1,S2,S3])}$$ On obtient : $${\tt [2*S1,S1-S2*2,0]}$$ \subsection{Le gradient : {\tt DERIV}}\index{DERIV}\label{sec:deriv} {\tt DERIV} a deux paramètres la valeur $E1$ d'une application de $R^n $ dans $R$ et un vecteur de $R^n$ indiquant le nom des variables.\\ {\tt DERIV} renvoie le gradient de $E1$ ($[\frac{\partial E1}{\partial S1}, \frac{\partial E1}{\partial S2},\frac{\partial E1}{\partial S3}]$ si $n=3$).\\ On tape : $${\tt DERIV(2*S1^2*S2-S1*S3^3,[S1,S2,S3])}$$ On obtient après simplification : $${\tt [4*S2*S1-S3^3,2*S1^2,-(3*S3^2*S1)]}$$ \subsection{La divergence : {\tt DIV}}\index{DIV} {\tt DIV} a deux param\`etres : la valeur [$E1,E2,E3$] d'une fonction vectorielle (application de $R^n $ dans $R^n$) et un vecteur de $R^n$ indiquant le nom des variables.\\ {\tt DIV} d\'esigne la divergence de [$E1,E2,E3$]. $${\tt DIV([E1,E2,E3],[S1,S2,S3])=\frac{\partial E1}{\partial S1}+\frac{\partial E2}{\partial S2}+\frac{\partial E3}{\partial S3}} \mbox{ (ici } n=3)$$\\ On tape : $${\tt DIV([S1* S3,-S2^2,2*S1*S2],[S1,S2,S3])}$$ On obtient : $${\tt S3-2*S2}$$ \subsection{La hessienne : {\tt HESS}}\index{HESS} {\tt HESS} a deux param\`etres : la valeur $E1$ d'une application de $R^n $ dans $R$ et un vecteur de $R^n$ indiquant le nom des variables.\\ {\tt HESS} renvoie une liste constitu\'ee de la hessienne de $E1$, du gradient de $E1$ et de la liste des variables.\\ On tape : $${\tt HESS(2*S1^2*S2-S1*S3\ ,\ [S1,S2,S3])}$$ On obtient : $$ \{ \left[\begin{array}{ccc} {\tt 2 \cdot2\cdot S2}& {\tt 2 \cdot2\cdot S1}&-1 \\ {\tt2\cdot2\cdot S1}&0&0 \\ -1&0&0 \end{array}\right]{\tt \ ,\ [4\cdot S1\cdot S2-S3,2\cdot S1^2,-S1]\ , \ [S1,S2,S3]\}}$$ Pour avoir maintenant les points critiques, il suffit de taper :\\ $${\tt SOLVE( [4*S1*S2-S3,2*S1^2,-S1],\ [S1,S2,S3])}$$\\ \subsection{Le laplacien : {\tt LAPL}}\index{LAPL} {\tt LAPL} a deux param\`etres : la valeur $E1$ d'une application de $R^n $ dans $R$ et un vecteur de $R^n$ indiquant le nom des variables.\\ {\tt LAPL} renvoie le laplacien de $E1$ ($\frac{\partial^2 E1}{\partial S1^2} +\frac{\partial^2 E1}{\partial S2^2}+\frac{\partial^2 E1}{\partial S3^2}$ si $n=3$).\\ On tape : $${\tt LAPL(2*S1^2*S2-S1*S3^3\ ,\ [S1,S2,S3])}$$ On obtient : $${\tt 4*S2-6*S1*S3}$$ \section{Équations} \subsection{Membres d'une équation : {\tt EXLR}}\index{EXLR} {\tt EXLR} a comme paramètre une équation (il faut mettre {\tt ==}).\\ {\tt EXLR} renvoie une liste composée des deux membres de l'équation.\\ On tape :\\ $${\tt EXLR(2\cdot S1+1==3/2)}$$ On obtient :\\ $$\{2\cdot S1+1 ,3/2\}$$ \section{Matrices} \subsection{Matrice en liste : {\tt AXL}}\index{AXL} {\tt AXL} a comme argument une matrice.\\ {\tt AXL} renvoie cette matrice écrite sous la forme d'une liste de listes.\\ Et réciproquement {\tt AXL} transforme une liste de listes en une matrice.\\ On tape : $${\tt AXL(XQ([[1,1/2],[3,4]]))}$$ On obtient : $${\tt \{\{1,1/2\}\{3,4\}\}}$$ On tape : $${\tt AXL(XQ(\{\{1,1/2\},\{3,4\}\}))}$$ On obtient : $${\tt[[1,1/2],[3,4]]}$$ Mais en tapant: $${\tt AXL([[1,1/2],[3,4]])}$$ On obtient : $${\tt \{\{1,0.5\},\{3,4\}\}}$$ et en tapant $${\tt AXL(\{\{1,1/2\},\{3,4\}\})}$$ On obtient: $${\tt [[1,0.5,[3,4]]}$$ \subsection{Matrice symbolique en matrice numérique : {\tt AXM}}\index{AXM} Si {\tt AXM} a comme argument une matrice symbolique, {\tt AXM} renvoie une matrice numérique.\\ %et réciproquement.\\ On tape : $${\tt AXM([[1/2,2],[3,4]])}$$ On obtient : $${\tt[[0.5,2],[3,4]]}$$ \subsection{Vecteurs de base : {\tt BASIS}}\index{BASIS} {\tt BASIS} a comme argument la liste des vecteurs qui engendrent un sous espace vectoriel de $R^n$.\\ {\tt BASIS} renvoie une liste constituée des vecteurs d'une base de ce sous espace vectoriel.\\ On tape : $${\tt BASIS(\{[1,2,3],[1,1,1],[2,3,4]\})}$$ On obtient : $${\tt \{[1,0,-1],\ [0,1,2]\}}$$ \subsection{Matrice de Cholesky : {\tt CHOLESKY}}\index{CHOLESKY} {\tt CHOLESKY} a pour argument une matrice carrée {\tt M} definie positive.\\ {\tt CHOLESKY} renvoie une matrice {\tt P} triangulaire supérieure telle que :\\ ${\tt ^tP*P=M}$\\ On tape : $${\tt CHOLESKY([[1,1],[1,5]])}$$ On obtient : $${\tt \left[\begin{array}{rr}1 & 1\\0&2\end{array}\right]}$$ \subsection{Application d'un opérateur \`a une matrice diagonalisable : {\tt DIAGMAP}}\index{DIAGMAP} {\tt DIAGMAP} a comme argument une matrice diagonalisable et une expression définissant un opérateur holomorphe.\\ {\tt DIAGMAP} applique cet opérateur holomorphe à la matrice.\\ Attention !!! la matrice doit \^etre diagonalisable.\\ On tape : $${\tt DIAGMAP([[1,1],[0,2]], EXP(S1))}$$ On obtient : $${\tt \left[\begin{array}{cc}{\tt EXP}(1)& -{\tt EXP}(1)+{\tt EXP}(2)\\0&{\tt EXP}(2)\end{array}\right]}$$ \subsection{Produit de Hadamard : {\tt HADAMARD}}\index{HADAMARD} {\tt HADAMARD} a comme arguments deux matrices $A$ et $B$ de m\^eme ordre.\\ {\tt HADAMARD} renvoie la matrice constituée par le produit terme à terme des éléments de $A$ et $B$.\\ On tape : $${\tt HADAMARD(XQ([[ 1/2, 2],[3,4]]),XQ([[ 5, 6],[7,8]]))}$$ ou $${\tt HADAMARD(XQ(\{\{ 1/2, 2\},\{3,4\}\}),XQ(\{\{ 5, 6\},\{7,8\}\})}$$ On obtient : $${\tt [[ 5/2, 12],[21,32]]}$$ mais $${\tt HADAMARD([[ 1/2, 2],[3,4]],[[ 5, 6],[7,8]])}$$ ou $${\tt HADAMARD(\{\{ 1/2, 2\},\{3,4\}\},\{\{ 5, 6\},\{7,8\}\}}$$ On obtient : $${\tt [[ 2.5, 12],[21,32]]}$$ \subsection{Matrice de Hilbert : {\tt HILBERT}}\index{HILBERT} {\tt HILBERT} a comme argument un entier $n$.\\ {\tt HILBERT} renvoie la matrice de Hilbert carrée d'ordre $n$ d'éléments :\\ $$a_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$$ On tape : $${\tt HILBERT(4)}$$ On obtient , en appuyant sur {\tt ENTER}, puis $\uparrow$, et {\tt SHOW} : $${\tt \left[\begin{array}{cccc} 1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3} &\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4} &\frac{1}{5}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{4} &\frac{1}{5} &\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6} &\frac{1}{7}\\ \end{array}\right] }$$ \subsection{Base d'une intersection : {\tt IBASIS}}\index{IBASIS} {\tt IBASIS} a comme argument deux listes de vecteurs qui engendrent deux sous espaces vectoriels.\\ {\tt IBASIS} renvoie une liste constituée des vecteurs de base de l'intersection de ces sous espaces vectoriels.\\ On tape : $${\tt IBASIS(\{[1,2]\},\{[2,4]\})}$$ On obtient : $${\tt \{[1,2]\}}$$ \subsection{Base de l'image : {\tt IMAGE}}\index{IMAGE} {\tt IMAGE} a comme argument la matrice d'une application linéaire $f$ dans la base canonique.\\ {\tt IMAGE} renvoie la liste des vecteurs d'une base de l'image de $f$.\\ On tape : $${\tt IMAGE([[1,2,3],[2,1,3],[3,1,4]])}$$ On obtient : $${\tt \{[1,0,-1/3],[0,1,5/3] \}}$$ \subsection{Matrice de Jordan : {\tt JORDAN}}\index{JORDAN} {\tt JORDAN} a comme argument une matrice $A$ d'ordre $n$.\\ {\tt JORDAN} renvoie une liste composée du polyn\^ome minimal $M $ de $A$, du polyn\^ome caractéristique $P $ de $A$, de la liste des vecteurs propres (eigen) et caractéristiques (char) (chaque vecteur est précédé par sa valeur propre ou caractéristique) et d'un vecteur constitué par les $n$ valeurs propres.\\ On tape : $${\tt JORDAN([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])}$$ ou $${\tt JORDAN(\{\{4,1,-2\},\{1,2,-1\},\{2,1,0\}\})}$$ On obtient, en appuyant sur {\tt ENTER}, puis $\uparrow$, et {\tt SHOW} : \begin{eqnarray*} {\tt \{S1^3-6\cdot S1^2+12\cdot S1-8, S1^3-6\cdot S1^2+12\cdot S1-8,}\\ {\tt \{[1,0,0],[2,1,2],[1,0,1]\}, [2,2,2]\} } \end{eqnarray*} \subsection{Base du noyau : {\tt KER}}\index{KER} {\tt KER} a comme argument la matrice d'une application linéaire $f$ dans la base canonique.\\ {\tt KER} renvoie la liste des vecteurs d'une base du noyau de $f$\\ On tape : $${\tt KER([[1,2,3],[2,1,3],[3,1,4]])}$$ On obtient : $${\tt \{[1,1,-1] \}}$$ \subsection{Construction d'une matrice : {\tt LCXM}}\index{LCXM} {\tt LCXM} a comme arguments deux entiers $n$ et $p$ et une expression de {\tt S1} (un numéro de ligne) et de {\tt S2} (un numéro de colonne) et qui donne la valeur de $a_{i,j}$. \\ {\tt LCXM} renvoie la matrice de coefficients $a_{i,j}$ de dimension $n\cdotp$\\ On tape : $${\tt LCXM(2,3, S1+S2 )}$$ On obtient : $${\tt [[1+1,1+2,1+3],[2+1,2+2,2+3]]}$$ et apr\`es simplification : $${\tt [[2,3,4],[3,4,5]]}$$ \subsection{Liste de differents \'el\'ements : {\tt MAD}}\index{MAD} {\tt MAD } a comme argument une matrice carrée $A$ d'ordre $n$.\\ {\tt MAD } renvoie une liste composée du déterminant de $A$, de l'inverse de $A$, d'une liste contenant les coefficients matriciels d'un polyn\^ome $Q$, et du polyn\^ome caractéristique $P$ de $A$.\\ On a : $$P(x)=(-1)^n.\det(A-x.I)$$ Le polyn\^ome à coefficients matriciels $P(A)-P(x).I $ est divisible par $A-x.I$ (puisqu'il s'annule pour $x=A$). Soit $Q(x)$ leur quotient.\\ Puisque $P(A)=0$, on a $\ P(A)-P(x).I\ =\ -P(x).I\ =\ (A-x.I).Q(x)$.\\ $Q(x)$ est donc aussi la comatrice de $A-x.I$ et on a :\\ $Q(x)\ =\ I.x^{n-1}+...+B_0 $ o\`u $B_0=$ la comatrice de $A$ (au signe près si $n$ est pair!).\\ On tape : $${\tt MAD([[ 1, 1/2],[1,3]])}$$ ou $${\tt MAD(\{\{ 1, 1/2\},\{1,3\}\})}$$ On obtient : $${\tt \{5/2,[[6/5,-1/5],[-2/5,2/5]],\{[[1,0],[0,1]],[[-3,1/2],[1,-1]]\},S1^2-4*S1+5/2\}}$$ ou en appuyant sur {\tt ENTER}, puis $\uparrow$, et{\tt SHOW} on a : $${\tt \left\{\frac{5}{2}, \left[ \begin{array}{cc} \frac{6}{5}&-\frac{-1}{5}\\ \frac{-2}{5}&\frac{2}{5}\\ \end{array} \right], \{\left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right], \left[\begin{array}{cc} -3&1/2\\1&-1 \end{array}\right] \right\},S1^2-4 \cdot S1+\frac{5}{2}\}}$$ \subsection{Polyn\^ome caractéristique : {\tt PCAR}}\index{PCAR} {\tt PCAR} a comme argument une matrice $A$ d'ordre $n$.\\ {\tt PCAR} renvoie le polyn\^ome caractéristique $P $ de $A$ ($P[x]=(-1)^n.\det(A-x.I))$ On tape : $${\tt PCAR([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])}$$ ou $${\tt PCAR(\{\{4,1,-2\},\{1,2,-1\},\{2,1,0\}\})}$$ On obtient : $${\tt S1^3-6*S1^2+12*S1-8}$$ \subsection{Polyn\^ome minimal : {\tt PMINI}}\index{PMINI} {\tt PMINI} a comme argument une matrice $A$.\\ {\tt PMINI} renvoie une matrice dont "la première ligne nulle" se termine par le polyn\^ome minimal de $A$.\\ On tape : $${\tt PMINI([[1,0],[0,1]])}$$ On obtient en pas à pas :\\ {\tt L2=L2-L1}\\ $\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\1&0&0 & 1&X\\1&0&0&1&X^2\end{array}\right]$\\ {\tt L3=L3-L1}\\ $\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\0&0&0 & 0&X-1\\1&0&0&1&X^2\end{array}\right]$\\ {\tt Reduction result}\\ $\left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\0&0&0 & 0&X-1\\0&0&0&0&X^2-1\end{array}\right]$\\ La ligne :\\ {\tt 0,0,0,0,S1-1} donne le polyn\^ome minimal de $A$. Donc, le polyn\^ome minimal de $A$ : $\left[\begin{array}{rr}1&0\\0 & 1\end{array}\right]$ est donc : $${\tt S1-1}$$ \subsection{D\'ecomposition Q*R : {\tt qr}}\index{qr} {\tt qr} a comme argument une matrice carrée.\\ {\tt qr} factorise cette matrice sous la forme Q*R : Q est une matrice orthogonale et R est triangulaire.\\ On tape : $${\tt qr([[3, 5],[4,5]])}$$ On obtient : $${\tt \{\left[\begin{array}{rr}\frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}5 & 7\\0&1\end{array}\right]\}}$$ \subsection{Système en matrice : {\tt SYST2MAT}}\index{SYST2MAT} {\tt SYST2MAT} a comme argument un vecteur contenant un système d'équations linéaires ({\tt =} ou {\tt==} n'est pas autoris\'e et donc {\tt =0} est sous-entendu) et un vecteur contenant les variables.\\ {\tt SYST2MAT} écrit le système sous la forme d'une matrice.\\ On tape :\\ $${\tt SYST2MAT([S1+S2,S1-S2-2],[S1,S2])}$$ On obtient : $${\tt \left[\begin{array}{rrr}1 & 1&0\\1&-1&-2\end{array}\right]}$$ \subsection{Matrice transposée : {\tt TRAN}}\index{TRAN} {\tt TRAN} a comme argument une matrice $A$.\\ {\tt TRAN} renvoie la matrice transposée de $A$.\\ On tape : $${\tt TRAN(XQ([[ 1, 1/2],[3,4]]))}$$ On obtient : $${\tt [[ 1, 3],[1/2,4]]}$$ On tape : $${\tt TRAN(XQ(\{\{ 1, 1/2\},\{3,4\}\}))}$$ On obtient : $${\tt \{\{ 1, 3\},\{1/2,4\}\}}$$ Mais si on tape : $${\tt TRAN([[ 1, 1/2],[3,4]]))}$$ On obtient : $${\tt [[ 1, 3],[0.5,4]]}$$ \subsection{Matrice de Vandermonde : {\tt VANDERMONDE}}\index{VANDERMONDE} {\tt VANDERMONDE} a comme argument un vecteur de composantes $x_i$ pour $i=0..n-1$.\\ {\tt VANDERMONDE} renvoie la matrice de Vandermonde correspondante(la kième ligne est le vecteur de composantes $x_i^{k}$ pour $i=0..n-1$ et $k=0..n-1$).\\ On tape : $${\tt VANDERMONDE([1,2,3])}$$ On obtient : $${\tt [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,9]] }$$ Supposons que {\tt E1=6}, {\tt E2=2*S1+S1*S2} et que l'on tape : $${\tt VANDERMONDE([E1,E2,E3])}$$ On obtient , en appuyant sur {\tt ENTER}, puis $\uparrow$, et {\tt SHOW} : $${\tt \left[\begin{array}{ccc} 1& 6&36\\ {\tt 1}&{\tt 2\cdot S1+S1\cdot S2}&{\tt (2\cdot S1+S1\cdot S2)^2}\\{\tt 1}&{\tt E3}&{\tt E3^2} \end{array}\right]}$$ %\section{Autres fonctions matricielles} \section{Les permutations} Les permutations sont données par la liste des images $\{P(1),P(2)...P(n)\}$.\\ Par exemple la permutation $P =\{3,2,1\}$ veut dire que :\\ $P(1)=3,\ P(2)=2,\ P(3)=1$.\\ Un cycle est donné par une liste, et une décomposition en cycles par une liste de listes.\\ Par exemple $C=\{3,2,1\}$ veut dire que :\\ $C(3)=2,\ C(2)=1,\ C(1)=3$.\\ Donc une d\'ecomposition en cycles est une liste de listes.\\ \subsection{Cycles en permutation : {\tt C2P}}\index{C2P} {\tt C2P} a comme argument une liste de cycles.\\ {\tt C2P} renvoie la permutation ayant comme décomposition en cycles la liste donnée en argument (voir {\tt P2C}).\\ On tape : $${\tt C2P(\{\{1,3,5\},\{2,4\}\})}$$ On obtient : $${\tt\{3,4,5,2,1\}}$$ \subsection{Composition : {\tt CIRC}}\index{CIRC} {\tt CIRC} a comme arguments deux permutations.\\ {\tt CIRC} renvoie la permutation obtenue par composition ($1^{\mbox{er}}\mbox{arg} \circ 2^{\mbox{i\`eme}} \mbox{arg}$).\\ On tape : $${\tt CIRC(\{3,4,5,2,1\},\{2,1,4,3,5\})}$$ On obtient : $${\tt \{4,3,2,5,1\}}$$ \subsection{Décomposition en cycles : {\tt P2C}}\index{P2C} {\tt P2C} a comme argument une permutation.\\ {\tt P2C} renvoie sa décomposition en cycles et sa signature.\\ On tape : $${\tt P2C(\{3,4,5,2,1\})}$$ On obtient : $${\tt\{\{\{1,3,5\},\{2,4\}\},-1\}}$$ \section{Les isom\'etries} \subsection{\'Eléments caractéristiques d'une isométrie : {\tt ISOM}}\index{ISOM} {\tt ISOM} a comme argument la matrice d'une isométrie linéaire en dimension 2 ou 3.\\ {\tt ISOM} renvoie la liste des éléments caractéristiques et {\tt +/-1} selon que l'isométrie est directe ou indirecte.\\ On tape : $${\tt ISOM([[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]])}$$ On obtient : $${\tt \{[1, 0, -1], -1\}}$$ ce qui veut dire que cette isométrie est une symétrie par rapport au plan $x\ -\ z\ =\ 0$.\\ On tape : $${\tt ISOM(\frac{\sqrt2}{2}\cdot \left[\begin{array}{rr}1 & -1\\1&1\end{array}\right])}$$ On obtient : $${\tt \{ACOS(\sqrt(1/2),1\}}$$ cette isométrie est donc une rotation d'angle $ \displaystyle \frac{\pi}{4}$ radians. \subsection{Matrice d'une isométrie : {\tt MKISOM}}\index{MKISOM} En dimension 3, {\tt MKISOM} a comme argument la liste des éléments caractéristiques et +/-1 (+pour les isométries directes et - pour les indirectes) .\\ En dimension 2, {\tt MKISOM} a comme argument l'élément caractéristique (un angle ou un vecteur) et +/-1 (+ pour les isométries directes et - pour les indirectes) .\\ {\tt MKISOM} donne la matrice de l'isométrie correspondant aux arguments.\\ On tape : $${\tt MKISOM(\{[-1,2,-1],\pi \},1)}$$ On simplifie la r\'eponse en tapant :\\ {\tt XQ(} puis $\uparrow$ et {\tt COPY}, puis {\tt ) ENTER}\\ On obtient la matrice d'une rotation d'axe $[-1,2,-1]$ et d'angle $\pi$ : $${\tt \left[\begin{array}{rrr}\frac{-2}{3} & \frac{-2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{-2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}&\frac{-2}{3}\end{array}\right]}$$ On tape : $${\tt MKISOM(\{\pi \},-1)}$$ On obtient la matrice d'une symétrie par rapport à O : $${\tt [[-1,0,0],[0,-1,0],[0,0,-1]]}$$ On tape : $${\tt MKISOM(\{[1,1,1],\frac{\pi}{3} \},-1)}$$ On obtient la matrice produit d'une rotation d'axe $[1,1,1]$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ et d'une symétrie par rapport au plan $x+y+z=0$: $${\tt \left[\begin{array}{rrr}0 & -1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{array}\right]}$$ On tape : $${\tt MKISOM( \frac{\pi}{2},1)}$$ On obtient la matrice en dimension 2, de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ : $${\tt [[0, -1],[1,0]]}$$ On tape : $${\tt MKISOM([1,1],-1)}$$ On obtient la matrice en dimension 2, de la symétrie par rapport à $y+x=0$ : $${\tt [[0, -1],[-1,0]]}$$ %%% CAS FUNCTIONS %%% \chapter{Les fonctions du {\tt CAS} depuis l'éditeur d'\'equation}\label{sec:cas} Lorsqu'on appuie sur {\tt CAS} du bandeau de {\tt HOME}, on ouvre l'éditeur d'équations dans lequel on peut faire du calcul formel. Nous allons d\'ecrire dans ce chapitre les fonctions de calcul formel. lorsque celles-ci sont utilis\'ees depuis l'éditeur d'\'equation (voir section \ref{sec:cashome} et chapitre \ref{chap:cashome} si vous voulez utilser les fonctions du {\tt CAS} depuis {\tt HOME}). \section{Le bandeau du {\tt CAS}} L'éditeur d'\'equation poss\'ede un bandeau ; c'est le bandeau du {\tt CAS}.\\ {\tt TOOL}, {\tt ALGB}, {\tt DIFF}, {\tt REWRI}, {\tt SOLV} et {\tt TRIG} composent le bandeau du {\tt CAS}.\\ Seul le menu {\tt TOOL} contient des commandes, les autres menus contiennent des fonctions algébriques que l'on peut taper en mode {\tt Alpha} et ont sur leur premi\`ere ligne le sous menu {\tt CFG} qui permet de changer de configuration. \subsection{Pour changer v\^otre configuration : {\tt CFG}}\index{CFG}\label{sec:cfg} Tous les menus, sauf {\tt TOOL}, affichent l'état de votre configuration et vous avez la possibilité d'en changer.\\ Par exemple vous voyez en premi\`ere ligne d'un menu : $${\tt CFG :\ R\ =\ X \ S}$$ cela veut dire que vous \^etes :\\ (1) en mode réel exact,\\ (2) {\tt X} est la variable courante et\\ (3) vous \^etes en mode pas à pas ({\tt S}).\\ On met en surbrillance {\tt CFG} et on appuie sur {\tt OK}.\\ Il apparait un menu d'en t\^ete : $${\tt CFG :\ R\ =\ STEP\ \uparrow\ X \ 13\ ||}$$ Cela veut dire que vous \^etes :\\ (1) en mode réel exact,\\ (2) le mode pas à pas est sélectionné,\\ (3) les polyn\^omes sont écrits selon les puissances croissantes,\\ (4) {\tt X} est la variable courante,\\ (5) les calculs modulaires se feront dans {\tt Z/13Z} ($p=13$), et\\ (6) vous \^etes en mode {\tt rigourous} (on met des valeurs absolues).\\ Vous pouvez changer cette configuration en sélectionnant ce qui vous convient parmi :\\ {\tt Quitter config} (lorsqu'on a fini les changements),\\ {\tt Complex } (ou {\tt Real}),\\ {\tt Approx} (ou {\tt Exact}),\\ {\tt Direct} (ou {\tt Step/Step} si on veut \^etre en mode pas à pas),\\ ${\tt 1+x+x^2...}$ (ou ${\tt ...x^2+x+1}$) pour l'écriture des polyn\^omes,\\ {\tt Sloppy} (ou {\tt Rigorous} pour mettre les valeurs absolues)\\ {\tt Num. factor} (ou {\tt Symb factor}),\\ {\tt Cmplx vars} (ou {\tt Real vars} pour que toutes les variables symboliques soient considérées comme réelles cf. \ref{sec:realassume}),\\ {\tt English} (ou {\tt Français} pour avoir l'aide en ligne en français)\\ {\tt Default cfg} (configuration ${\tt R\ =\ STEP\ \downarrow\ X \ 13\ ||}$).\\ Appuyer sur {\tt OK} pour valider chacun de vos choix.\\ On sort du menu {\tt CFG} en appuyant sur {\tt CANCEL} ou en validant {\tt Quitter config} et en confirmant avec {\tt OK}.\\ Le nom de la variable courante contenu dans {\tt VX} et la valeur de la variable {\tt MODULO} peuvent se changer à l'aide des touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)} ou l'aide de la touche {\tt VARS} (cf. \ref{sec:config} et \ref{sec:vars}).\\ {\sc Remarques} :\\ - Vous pouvez aussi changer la configuration du {\tt CAS} en tapant, depuis l'éditeur d'\'equation ,sur les touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)} ou {\tt SHIFT HOME (MODES)} (se reporter pour cela à la section \ref{sec:config}).\\ - Dans le {\tt CAS} les angles sont toujours exprimés en {\tt Radians}.\\ Quand vous \^etes dans l'\'ecran {\tt HOME}, vous pouvez utiliser le menu {\tt MODES} (touches {\tt SHIFT HOME}) pour ouvrir l'\'ecran {\tt HOME MODES} et changer {\tt ANGLE MEASURE} ou ouvrir l'\'ecran {\tt CAS MODES} en tapant {\tt SHIFT F6(CAS du bandeau)} pour changer la configuration du {\tt CAS} \subsection{Le mode {\tt Step/Step}} Le mode pas à pas ({\tt Step/Step} ou en abrégé {\tt S}) est choisi quand on veut avoir le détail des calculs.\\ Le détail des calculs s'affiche sur un écran et il faut appuyer sur {\tt OK} du bandeau pour avoir le "pas" suivant.\\ Mais quelquefois, l'écran n'est pas assez grand pour afficher toutes les informations : on le voit gr\^ace à une flèche qui se trouve soit en bas ($\blacktriangledown$), soit en haut ($\blacktriangle$) de l'écran. Il faut alors se servir des flèches $\triangledown\ \vartriangle$ pour faire dérouler l'écran et voir ainsi ce qui manque.\\ Si on ne veut pas le détail des calculs, il faut choisir le mode {\tt Direct} (en abrégé {\tt D}). \subsection{Le menu {\tt TOOL}} On se reportera à la section \ref{sec:eqwmenu} pour la description des fonctions qui se trouvent dans le répertoire {\tt TOOL}.\\ {\tt Cursor mode}\index{Cursor mode}\\ {\tt Edit expr.}\index{Edit expr.}\\ {\tt Change font}\index{Change font}\\ {\tt Cut}\index{Cut}\\ {\tt Copy}\index{Copy}\\ {\tt Paste}\index{Paste} \subsection{Le menu {\tt ALGB}} \noindent{\tt COLLECT}\index{COLLECT}\\ {\tt DEF}\index{DEF}\\ {\tt EXPAND}\index{EXPAND}\\ {\tt FACTOR}\index{FACTOR}\\ {\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC}\\ {\tt QUOTE}\index{QUOTE}\\ {\tt STORE}\index{STORE}\\ {\tt |}\index{$\mid$}\\ {\tt SUBST}\index{SUBST}\\ {\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}\\ {\tt UNASSIGN}\index{UNASSIGN} \subsection{Le menu {\tt DIFF}} \noindent{\tt DERIV}\index{DERIV}\\ {\tt DERVX}\index{DERVX}\\ {\tt DIVPC}\index{DIVPC}\\ {\tt FOURIER}\index{FOURIER}\\ {\tt IBP}\index{IBP}\\ {\tt INTVX}\index{INTVX}\\ {\tt lim}\index{LIMIT}\\ {\tt PREVAL}\index{PREVAL}\\ {\tt RISCH}\index{RISCH}\\ {\tt SERIES}\index{SERIES}\\ {\tt SIGNTAB}\index{SIGNTAB}\\ {\tt TABVAR}\index{TABVAR}\\ {\tt TAYLOR0}\index{TAYLOR0}\\ {\tt TRUNC}\index{TRUNC} \subsection{Le menu {\tt REWRI}} \noindent{\tt DISTRIB}\index{DISTRIB}\\ {\tt EPSX0}\index{EPSX0}\\ {\tt EXPLN}\index{EXPLN}\\ {\tt EXP2POW}\index{EXP2POW}\\ {\tt FDISTRIB}\index{FDISTRIB}\\ {\tt LIN}\index{LIN}\\ {\tt LNCOLLECT}\index{LNCOLLECT}\\ {\tt POWEXPAND}\index{POWEXPAND}\\ {\tt SINCOS}\index{SINCOS}\\ {\tt SIMPLIFY}\index{SIMPLIFY}\\ {\tt XNUM}\index{XNUM}\\ {\tt XQ}\index{XQ} \subsection{Le menu {\tt SOLV}} \noindent{\tt DESOLVE}\index{DESOLVE}\\ {\tt ISOLATE}\index{ISOLATE}\\ {\tt LDEC}\index{LDEC}\\ {\tt LINSOLVE}\index{LINSOLVE}\\ {\tt SOLVE}\index{SOLVE}\\ {\tt SOLVEVX}\index{SOLVEVX} \subsection{Le menu {\tt TRIG}} \noindent{\tt ACOS2S}\index{ACOS2S}\\ {\tt ASIN2C}\index{ASIN2C}\\ {\tt ASIN2T}\index{ASIN2T}\\ {\tt ATAN2S}\index{ATAN2S}\\ {\tt HALFTAN}\index{HALFTAN}\\ {\tt SINCOS}\index{SINCOS}\\ {\tt TAN2CS2}\index{TAN2CS2}\\ {\tt TAN2SC}\index{TAN2SC}\\ {\tt TAN2SC2}\index{TAN2SC2}\\ {\tt TCOLLECT}\index{TCOLLECT}\\ {\tt TEXPAND}\index{TEXPAND}\\ {\tt TLIN}\index{TLIN}\\ {\tt TRIG}\index{TRIG}\\ {\tt TRIGCOS}\index{TRIGCOS}\\ {\tt TRIGSIN}\index{TRIGSIN}\\ {\tt TRIGTAN}\index{TRIGTAN} \subsection{La touche {\tt MATH}}\label{sec:math} En plus des répertoires d\'ecrits ci-dessus ({\tt Algebra}, {\tt Diff\&Int}, {\tt Rewrite}, {\tt Trig.}, {\tt Solve}), on trouve :\\ {\tt Complex} ({\tt i}\index{i} {\tt ABS}\index{ABS} {\tt ARG}\index{ARG} {\tt CONJ}\index{CONJ} {\tt DROITE}\index{DROITE} {\tt IM}\index{IM} {\tt -}\index{-} {\tt RE }\index{RE} {\tt SIGN}\index{SIGN})\\ {\tt Constant} (${\tt e\ i \ \infty \pi}$)\\ {\tt Hyperb.} ({\tt ACOSH ASINH ATANH COSH SINH TANH})\\ {\tt Integer} ({\tt DIVIS}\index{DIVIS} {\tt EULER}\index{EULER} {\tt FACTOR}\index{FACTOR} {\tt GCD}\index{GCD} {\tt IDIV2}\index{IDIV2} {\tt IEGCD}\index{IEGCD} {\tt IQUOT}\index{IQUOT} {\tt IREMAINDER}\index{IREMAINDER} {\tt ISPRIME?}\index{ISPRIME?} {\tt LCM}\index{LCM} {\tt MOD}\index{MOD} {\tt NEXTPRIME}\index{NEXTPRIME} {\tt PREVPRIME}\index{PREVPRIME})\\ {\tt Modular} ({\tt ADDTMOD}\index{ADDTMOD} {\tt DIVMOD}\index{DIVMOD} {\tt EXPANDMOD}\index{EXPANDMOD} {\tt FACTORMOD}\index{FACTORMOD} {\tt GCDMOD}\index{GCDMOD} {\tt INVMOD}\index{INVMOD} {\tt MODSTO}\index{MODSTO} {\tt MULTMOD}\index{MULTMOD} {\tt POWMOD}\index{POWMOD} {\tt SUBTMOD}\index{SUBTMOD})\\ {\tt Polynom.} ({\tt EGCD}\index{EGCD} {\tt FACTOR}\index{FACTOR} {\tt GCD}\index{GCD} {\tt HERMITE}\index{HERMITE} {\tt LCM}\index{LCM} {\tt LEGENDRE}\index{LEGENDRE} {\tt PARTFRAC}\index{PARTFRAC} {\tt PROPFRAC}\index{PROPFRAC} {\tt PTAYL}\index{PTAYL} {\tt QUOT}\index{QUOT} {\tt REMAINDER}\index{REMAINDER} {\tt TCHEBYCHEFF}\index{TCHEBYCHEFF})\\ {\tt Reals} ({\tt CEILING}\index{CEILING} {\tt FLOOR}\index{FLOOR} {\tt FRAC}\index{FRAC} {\tt INT}\index{INT} {\tt MAX}\index{MAX} {\tt MIN}\index{MIN})\\ {\tt Tests} ({\tt ASSUME}\index{ASSUME} {\tt UNASSUME }\index{UNASSUME} ${\tt > \ \geq \ < \ \leq \ == \ \neq }$ {\tt AND OR NOT} {\tt IFTE}\index{IFTE})\\ On pourra se reporter aux sections \ref{sec:eqwmenu} et \ref{sec:tmath}, pour avoir la description des différents répertoires. %\section{Écriture normale} \section{Les entiers (et les entiers de Gauss)} Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt Integer} de la touche {\tt MATH}, \`a l'exception de {\tt IABCUV ICHINREM PA2B2}, qui se trouve dans le menu de la touche {\tt SHIFT MATH (CMDS)}.\\ Pour certaines fonctions, on peut utiliser des entiers de Gauss, nom\-bres de la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ entiers, à la place des entiers. \subsection{Precision infinie} La calculatrice peut g\'erer des nombres entiers en pr\'ecision infinie, essayez : $$100!$$ \indent Le symbole \ $!$ \ s'obtient en tapant : ${\tt SHIFT\ \times}$\\ L'écriture décimale de $100!$ étant tr\`es longue, on peut voir le r\'esultat gr\^ace \`a la touche {\tt VIEWS}. \subsection{Les diviseurs d'un entier : {\tt DIVIS}}\index{DIVIS} {\tt DIVIS} donne les diviseurs d'un entier.\\ On tape : $${\tt DIVIS(12) }$$ On obtient :\\ $${\tt 12 \ OR\ 6\ OR\ 3\ OR\ 4\ OR\ 2\ OR\ 1 }$$ {\sc Attention} : ${\tt DIVIS(0)= 0 \ OR\ 1}$ \subsection{Indicatrice d'Euler : {\tt EULER}}\index{EULER} {\tt EULER} désigne l'indicadrice d'EULER d'un entier.\\ {\tt EULER(n)} est égale au cardinal de l'ensemble des nombres inférieurs à $n$ et premiers avec $n$.\\ On tape : $${\tt EULER(21)}$$ On obtient : $${\tt 12}$$ En effet l'ensemble :\\ E=\{2,4,5,7,8,10,11,13,15,16,17,19\} correspond aux nombres, plus petits que 21, premiers avec 21, et E a comme cardinal 12. \subsection{Factoriser un entier : {\tt FACTOR }}\index{FACTOR} {\tt FACTOR} décompose l'entier en produit de facteurs premiers.\\ On tape : $${\tt FACTOR(90)}$$ On obtient : $${\tt 2\cdot3^2\cdot5}$$ \subsection{Le PGCD : {\tt GCD}}\index{GCD} {\tt GCD} désigne le PGCD de deux entiers.\\ On tape : $${\tt GCD(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 3}$$ En mode pas à pas, on tape : $${\tt GCD(78,24) }$$ On obtient :\\ ${\tt 78\ \bmod \ 24 \ = \ 6}$\\ ${\tt 24\ \bmod \ 6 \ = \ 0}$\\ {\tt Result 6}\\ {\tt ENTER} renvoie {\tt 6} dans l'éditeur d'\'equation. %Nouveau \subsection{R\'esolution de $au+bv=c$ : {\tt IABCUV}}\index{IABCUV} {\tt IABCUV(A,B,C)} donne {\tt U \ AND \ V} vérifiant {\tt AU+BV=C}.\\ Il faut bien s\^ur que {\tt C} soit un multiple de {\tt GCD(A,B)} pour obtenir une solution.\\ On tape : $${\tt IABCUV(48,30,18) }$$ On obtient : $${\tt 6 \ AND\ -9}$$ %Nouveau \subsection{Restes chinois :{\tt ICHINREM}}\index{ICHINREM} {\tt ICHINREM(A AND P,B AND Q)} renvoie {\tt C AND R}.\\ Les nombres ${\tt X=C+k \cdot R}$ o\`u ${\tt k}\in \mathbb Z$ vérifient :\\ ${\tt X=A \bmod P}$ et ${\tt X=B \bmod Q}$.\\ Il existe toujours une solution {\tt X} si {\tt P} et {\tt Q} sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont alors congrues modulo ${\tt R=P \cdot Q}$\\ On tape : $${\tt ICHINREM(7 \ AND\ 10,12 \ AND\ 15)}$$ On obtient : $${\tt -3 \ AND\ 30}$$ ce qui veut dire que les solutions sont telles que :\\ ${\tt X=-3 \bmod 30}$\\ {\sc Exemple} : \\ Trouver les solutions de : $${\tt \left \{ \begin{array}{rl} X=&3\ (\bmod\ 5)\\ X=&9\ (\bmod\ 13) \end{array}\right.}$$ On tape : $${\tt ICHINREM(3 \ AND\ 5,9 \ AND\ 13)}$$ On obtient : $${\tt -147 \ AND\ 65}$$ ce qui veut dire que les solutions sont telles que :\\ ${\tt X=-147 \bmod 65}$ %Nouveau \subsection{Quotient et reste de deux entiers : {\tt IDIV2}}\index{IDIV2} {\tt IDIV2} donne le quotient et le reste entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IDIV2(148,5) }$$ On obtient : $${\tt 29\ AND\ 3}$$ En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école, avec l'algorithme dit de la "potence". \subsection{Identit\'e de B\'ezout : {\tt IEGCD}}\index{IEGCD} {\tt IEGCD(A,B)} désigne le PGCD étendu (identité de Bézout) de deux entiers.\\ {\tt IEGCD(A,B)} renvoie {\tt U AND V = D} avec {\tt U, V, D} vérifiant :\\ {\tt AU+BV=D} et {\tt D=PGCD(A,B)}.\\ On tape : $${\tt IEGCD(48,30) }$$ On obtient : $${\tt 2 \ AND\ -3=6}$$ En effet : $2 \cdot 48+ (-3) \cdot 30 =6$ et pgcd(48,30)=6\\ En mode pas à pas on obtient :\\ {\tt [z,u,v]:z=u*48+v*30}\\ {\tt [48,1,0]}\\ {\tt [30,0,1]*-1}\\ {\tt [18,1,-1]*-1 }\\ {\tt [12,-1,2]*-1}\\ {\tt [6,2,-3]*-2}\\ {\tt Resultat : [6,2,-3]}\\ puis {\tt ENTER} ou {\tt OK},\\ $${\tt 2 \ AND\ -3=6}$$ s'écrit dans l'éditeur d'\'equation. \subsection{Le quotient de la division euclidienne : {\tt IQUOT}}\index{IQUOT}\label{sec:iquot} {\tt IQUOT} désigne le quotient entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ On tape : $${\tt IQUOT(148,5) }$$ On obtient : $${\tt 29}$$ En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école : $$\begin{array}{rcl} 148 & | &\ 5\\ 48 & |&---\\ 3 &| &29 \end{array}$$ {\tt OK} pour exécuter la division au pas à pas, puis {\tt ENTER} et {\tt 29} s'inscrit dans l'éditeur d'\'equation. \subsection{Le reste de la division euclidienne : {\tt IREMAINDER}}\index{IREMAINDER} {\tt IREMAINDER} désigne le reste entier de la division euclidienne de deux entiers.\\ {\tt IREMAINDER} se trouve dans le menu {\tt Integer} de la touche {\tt MATH}.\\ On tape : $${\tt IREMAINDER(148,5)}$$ On obtient : $${\tt 3}$$ {\tt IREMAINDER} travaille avec des entiers ou des entiers de Gauss, c'est ce qui le différencie de {\tt MOD}.\\ {\sc Exemple} $${\tt IREMAINDER(2+3 \cdot i,1+i)}$$ renvoie {\tt i}\\ Essayer de calculer : $${\tt IREMAINDER(148!,5!+2 )}$$ (Le symbole $!$ s'obtient avec ${\tt SHIFT \ \times}$). En mode pas à pas, la division se fait comme à l'école, avec l'algorithme dit de la "potence" (cf \ref{sec:iquot} pour avoir un exemple). \subsection{Test de primalit\'e : {\tt ISPRIME?}}\index{ISPRIME?} {\tt ISPRIME?(N)} renvoie {\tt 1.} (vrai) si {\tt N} est pseudo-premier et renvoie {\tt 0.} (faux) si {\tt N} n'est pas premier.\\ {\sc Définition} : Pour les nombres inférieurs à $10^{14}$ \^etre pseudo-premier et premier c'est la m\^eme chose ! ...mais au delà de $10^{14}$ un nombre pseudo-premier est premier avec une probabilité très forte (cf l'algorithme de Rabin section\ref{sec:rabin}).\\ On tape : $${\tt ISPRIME?(13) }$$ On obtient : $${\tt 1.}$$ On tape : $${\tt ISPRIME?(14) }$$ On obtient : $${\tt 0.}$$ \subsection{Le PPCM : {\tt LCM}}\index{LCM} {\tt LCM} désigne le PPCM de deux entiers.\\ On tape : $${\tt LCM(18,15) }$$ On obtient : $${\tt 90}$$ \subsection{Le reste de la division euclidienne : {\tt MOD}}\index{MOD} {\tt MOD} est une fonction infixée ayant comme arguments deux nombres entiers.\\ {\tt MOD} renvoie le reste de la division euclidienne des arguments.\\ On tape : $${\tt 3\ MOD\ 2}$$ On obtient : $${\tt 1}$$ {\tt MOD} accepte des réels ($7.5 \ \bmod \ 2 \ =\ 1.5$), mais pas des entiers de Gauss (cf section \ref{sec:mod}). \subsection{Nombre pseudo-premier apr\`es {\tt N} : {\tt NEXTPRIME}}\index{NEXTPRIME} {\tt NEXTPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé après {\tt N}.\\ On tape : $${\tt NEXTPRIME(75)}$$ On obtient : $${\tt 79}$$ %Nouveau \subsection{R\'esolution enti\`ere de $a^2+b^2=p$ : {\tt PA2B2}}\index{PA2B2} {\tt PA2B2} décompose un entier $p$ premier et congru à 1 modulo 4, en la somme de deux carr\'es : $p= a^2+b^2$. \\ La calculatrice donne le résultat sous la forme $a+b \cdot i$\\ On tape : $${\tt PA2B2(17)}$$ On obtient : $${\tt 4+i }$$ en effet $17=4^2+1^2$\\ On tape : $${\tt PA2B2(29)}$$ On obtient : $${\tt 5+2 \cdot i }$$ en effet $29=5^2+2^2$ \subsection{Nombre pseudo-premier avant {\tt N} : {\tt PREVPRIME}}\index{PREVPRIME} {\tt PREVPRIME(N)} désigne le premier nombre pseudo-premier trouvé avant {\tt N}.\\ On tape : $${\tt PREVPRIME(75)}$$ On obtient : $${\tt 73}$$ \section{Le calcul modulaire } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt Modular} de la touche {\tt MATH}, \`a l'exception de {\tt DIV2MOD}, qui se trouve dans le menu de la touche {\tt SHIFT MATH (CMDS)}.\\ On peut faire des calculs modulo {\tt p} c'est à dire dans ${\tt Z/pZ}$ ou dans ${\tt Z/pZ[X]}$.\\ {\sc Attention},\\ pour certaines commandes il faut choisir un nombre {\tt p} premier.\\ {\sc Dans la suite, les exemples seront tra\^ités avec {\tt p=13}}.\\ On suppose donc que l'on a tapé : $${\tt MODSTO(13)}$$ ou que l'on a changé {\tt MODULO} dans la fen\^etre ouverte avec les touches {\tt SHIFT SYMB (SETUP)}.\\ La représentation choisie est la représentation symétrique (-5 au lieu de 8 modulo 13). \subsection{Addition dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : {\tt ADDTMOD}}\index{ADDTMOD} {\tt ADDTMOD} réalise une addition dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt ADDTMOD(2,18)}$$ On obtient : $${\tt -6}$$ {\tt ADDTMOD} réalise une addition dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt ADDTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 6X-2}$$ %Nouveau \subsection{Quotiient et reste dans Z/pZ[X] : {\tt DIV2MOD}}\index{DIV2MOD} Les arguments de {\tt DIV2MOD} sont deux polyn\^omes {\tt A[X]} et {\tt B[X]}.\\ Le résultat est le quotient et le reste de la division euclidienne de {\tt A[X]} par {\tt B[X]} dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt DI2VMOD(X^3+X^2+1,2\cdot X^2+4)}$$ On obtient dans $Z/13Z$ : $${\tt -(6X+6)\ AND\ -(2X+1)}$$ puisque $X^3+X^2+1=(2\cdot X^2+4) \cdot \frac{X+1}{2}+\frac{5\cdot X-4}{4}$\\ $2*(-6)=1 \bmod 13$ et \\ $4*(-3)=1 \bmod 13$ \subsection{Division dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : {\tt DIVMOD}}\index{DIVMOD} Les arguments sont deux entiers $A$ et $B$. Lorsque $B$ est inversible dans $Z/pZ$, le résultat est $\frac{A}{B}$ simplifié dans $Z/pZ$, et sinon cela renvoie une erreur.\\ On tape : $${\tt DIVMOD(5,3)}$$ On obtient : $${\tt 6}$$ Les arguments sont deux polyn\^omes $A[X]$ et $B[X]$. Le résultat est la fraction rationnelle $\frac{A[X]}{B[X]}$ simplifiée dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt DIVMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt -\frac{4X+5}{3X+3}} $$ \subsection{D\'evelopper et r\'eduire dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : {\tt EXPANDMOD}}\index{EXPANDMOD} {\tt EXPANDMOD} a comme argument une expression enti\`ere.\\ {\tt EXPANDMOD} développe cette expression dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt EXPANDMOD(2*3+5*4)}$$ On obtient : $${\tt 0}$$ {\tt EXPANDMOD} a comme argument une expression polynomiale.\\ {\tt EXPANDMOD} développe cette expression dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt EXPANDMOD(( 2X^2+12).( 5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -(3X^3-5X^2+5X-4)}$$ \subsection{Factorisation dans Z/pZ[x] : {\tt FACTORMOD}}\index{FACTORMOD} {\tt FACTORMOD} a comme argument un polyn\^ome.\\ {\tt FACTORMOD} factorise ce polyn\^ome dans $ Z/pZ[X]$ à condition que l'on ait ${\tt p \leq 97}$ et $p$ premier.\\ On tape : $${\tt FACTORMOD(-(3X^3-5X^2+5X-4))}$$ On obtient : $${\tt -((3X-5)(X^2+6))}$$ \subsection{PGCD dans Z/pZ[x] : {\tt GCDMOD}}\index{GCDMOD} {\tt GCDMOD} a deux polyn\^omes comme arguments.\\ {\tt GCDMOD} calcule le PGCD des deux polyn\^omes dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt GCDMOD(2X^2+5,5X^2+2X-3)}$$ On obtient : $${\tt -(6X-1)}$$ \subsection{Inverse dans Z/pZ : {\tt INVMOD}}\index{INVMOD} {\tt INVMOD} a comme argument un entier.\\ {\tt INVMOD} calcule l'inverse de cet entier dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt INVMOD(5)}$$ On obtient (car $5\times-5=-25=1\ (\bmod\ 13)$) : $${\tt -5}$$ \subsection{Mettre une valeur dans la variable {\tt MODULO} : {\tt MODSTO}}\index{MODSTO} On met dans la variable {\tt MODULO}, la valeur de {\tt p} de $Z/pZ$ ou de $Z/pZ[X]$ gr\^ace à la commande {\tt MODSTO}.\\ {\sc Ici, les exemples sont tra\^ités avec {\tt p=13}} qui est la valeur par défaut, sinon on suppose que l'on a tapé : $${\tt MODSTO(13)}$$ \subsection{Multiplication dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : {\tt MULTMOD}}\index{MULTMOD} {\tt MULTMOD} réalise une multiplication dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt MULTMOD(11,8)}$$ On obtient : $${\tt -3}$$ {\tt MULTMOD} réalise une multiplication dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt MULTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt -(3X^2-2X-4)}$$ \subsection{Puissance dans Z/pZ et dans Z/pZ[x] : {\tt POWMOD}}\index{POWMOD} {\tt POWMOD(A,N)} calcule {\tt A} \`a la puissance {\tt N} dans $Z/pZ$, et {\tt POWMOD(A(X),N)} calcule {\tt A(X)} \`a la puissance {\tt N} dans $Z/pZ[X]$.\\ Le contenu ${\tt p}$ de {\tt MODULO} doit \^etre un nombre premier inf\'erieur \`a 100.\\ On tape : $${\tt POWMOD(11,195)}$$ On obtient si ${\tt p=13}$ : $${\tt 5}$$ En effet : $11^{12}=1 \ \bmod \ 13$ donc $11^{195}=11^3=5 \ \bmod \ 13$\\ On tape : $${\tt POWMOD(2X+1,5)}$$ On obtient : $${\tt 6 \cdot X^5+2 \cdot X^4+2 \cdot X^3+X^2-3 \cdot X+1}$$ car :\\ $10=-3 \ (\bmod\ 13) \ \ 40=1\ (\bmod\ 13)\ \ 80=2 \ (\bmod\ 13)$\\ $ 32=6\ (\bmod\ 13)$. \subsection{Soustraction dans Z/pZ ou dans Z/pZ[x] : {\tt SUBTMOD}}\index{SUBTMOD} {\tt SUBTMOD} réalise une soustraction dans $Z/pZ$.\\ On tape : $${\tt SUBTMOD(29,8)}$$ On obtient : $${\tt -5}$$ {\tt SUBTMOD} réalise une soustraction dans $Z/pZ[X]$.\\ On tape : $${\tt SUBTMOD(11X+5,8X+6)}$$ On obtient : $${\tt 3X-1}$$ \section{Les rationnels} Essayez : $$\frac{123}{12}+\frac{57}{21}$$ Vous sélectionnez puis {\tt ENTER} la r\'eponse est : $$\frac{363}{28}$$ Si on applique la fonction {\tt XNUM}\index{XNUM} du menu {\tt REWRITE}, ou si on appuie sur la touche {\tt NUM}, la r\'eponse est : $$12.9642857143$$ Si on m\'elange les deux repr\'esentations, par exemple : $$\frac{1}{2}+0\ .\ 5$$ la caculatrice demande \`a passer en mode {\tt approx} pour faire le calcul ; il faut alors r\'epondre {\tt yes} pour obtenir : $$1.$$ Revenez ensuite en mode exact ({\tt CFG} etc... ou en appuyant sur {\tt SHIFT NUM}). \subsection{Le $n$-i\`eme nombre de Bernoulli : {\tt IBERNOULLI}}\index{IBERNOULLI} {\tt IBERNOULLI} a comme argument un entier $n$.\\ {\tt IBERNOULLI} renvoie le $n^{ième}$ nombre de Bernoulli $B(n)$.\\ On a : $$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{B(n)}{n!}t^n$$ On rappelle que les polyn\^omes de Bernoulli $B_k$ sont définis par : $$B_0=1$$ $$B_k{'}(x)=kB_{k-1}(x)$$ $$\int_0^1B_k(x)dx=0$$ On a alors :\\ $B(n)=B_n(0)$\\ On tape : $${\tt IBERNOULLI(6)}$$ On obtient : $${\tt \frac{1}{42}}$$ \subsection{Partie enti\`ere et fractionnaire : {\tt PROPFRAC}}\index{PROPFRAC} {\tt PROPFRAC} se trouve dans le menu {\tt Polynom.} de la touche {\tt MATH}.\\ ${\tt PROPFRAC(\frac{A}{ B})}$ écrit la fraction $\frac{A}{B}$ sous la forme : $$Q+\frac{R}{B}\ \ avec \ \ 0\leq R0$, {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome $T_n$ tel que :\\ $$T_n[x]= \cos(n \cdot \arccos(x))$$ Pour $n \geq 0$, on a : $$T_n(x)=\sum_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}(x^2-1)^kx^{n-2k}$$ pour $n \geq 0$, on a aussi : $$(1-x^2)T_n^{''}(x)-xT_n^{'}(x)+n^2T_n(x)=0$$ pour $n \geq 1$, on a : $$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$ Si $n<0$ {\tt TCHEBYCHEFF} renvoie le polyn\^ome de Tchebycheff de seconde espèce : $$T_n[x]=\frac{\sin(n \cdot \arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}$$ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(4)}$$ On obtient : $${\tt 8 \cdot X^4-8 \cdot X^2+1}$$ en effet :\\ $\cos( 4 \cdot x)=Re((\cos(x)+i \cdot \sin(x))^4)$\\ $\cos( 4 \cdot x)=\cos(x)^4-6 \cdot \cos(x)^2 \cdot (1-\cos(x)^2)+((1-\cos(x)^2)^2$\\ $\cos(4 \cdot x)=T_4(\cos(x))$\\ On tape : $${\tt TCHEBYCHEFF(-4)}$$ On obtient : $${\tt 8 \cdot X^3-4 \cdot X}$$ en effet :\\ $\sin(4 \cdot x)=\sin(x) \cdot (8 \cdot \cos(x)^3-4 \cdot \cos(x))$. \section{Les fonctions } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt DIFF} du bandeau, sauf {\tt DEF} qui se trouve dans le menu {\tt ALGB}, et {\tt IFTE} qui se trouve dans le menu {\tt Tests} de la touche {\tt MATH}. \subsection{Pour d\'efinir une fonction : {\tt DEF}}\index{DEF} {\tt DEF} a comme argument une égalité entre, (1) le nom d'une fonction (avec entre parenthèses le nom de la variable), et (2) une expression définissant la fonction.\\ {\tt DEF} définit cette fonction et renvoie l'égalité.\\ On tape : $${\tt DEF(U(N)=2^N+1)}$$ On obtient : $${\tt U(N)=2^N+1}$$ Puis on tape : $${\tt U(3)}$$ On obtient : $${\tt 9}$$ \subsubsection{Un autre exemple avec {\tt DEF}}\index{DEF} %\subsection{Pour d\'efinir une fonction : {\tt DEF}}\index{DEF} Soit l'exercice suivant :\\ Calculer les six premiers nombres de Fermat $F_1..F_6$ et dire s'ils sont premiers.\\ On veut donc calculer $F(k)=2^{2^k}+1$ pour $k=1..6$.\\ On tape l'expression : $$2^{2^2}+1$$ On trouve 17, puis on lance la commande {\tt ISPRIME?()}\index{ISPRIME?}. Cette commande se trouve dans le menu {\tt Integer} de la touche {\tt MATH}.\\ La r\'eponse est {\tt 1.}, ce qui veut dire {\tt vrai}. Gr\^ace \`a l'historique (touche {\tt SYMB}) on recopie l'expression $2^{2^2}+1$ dans l'éditeur d'\'equation avec {\tt ECHO}, et on la modifie en $$2^{2^3}+1$$ Ou bien, et c'est la meilleure méthode, on définit la fonction {\tt F(K)} à l'aide de {\tt DEF} du menu {\tt ALGB} du bandeau en tapant : $${\tt DEF(F(K)=2^{2^K}+1)}$$ La réponse est ${\tt 2^{2^K}+1}$ et {\tt F} s'inscrit parmi les variables (appuyer sur {\tt VARS} pour le vérifier).\\ Pour $K=5$ on tape : $${\tt F(5)}$$ On obtient : $${\tt 4294967297}$$ On peut factoriser $F(5) $ avec {\tt FACTOR} que l'on trouve dans le menu {\tt ALGB} du bandeau.\\ On tape : $${\tt FACTOR(F(5))}$$ On obtient : $$641 \cdot 6700417$$ On tape : $${\tt F(6)}$$ on trouve : $$18446744073709551617$$ On factorise avec {\tt FACTOR}, on trouve : $$274177\cdot67280421310721$$ {\sc Attention} \`a la diff\'erence entre : $$2\ .\ 5 \verb|la repr\'esentation num\'erique de| \frac{5}{2}$$ et $$2\cdot5=10$$ \subsubsection{Pour d\'efinir une fonction par morceaux : {\tt IFTE}}\index{IFTE} {\tt IFTE} a trois arguments, un boolèen (attention au {\tt ==} pour le test !) et deux expressions $expr1,\ expr2$.\\ {\tt IFTE} évalue le test, renvoie $expr1$ si le test est vrai, et renvoie $expr2$ si le test est faux.\\ On tape : $${\tt STORE(2,N)}$$ $${\tt IFTE(N==0,1,\frac{N+1}{N})}$$ On obtient : $$ {\tt \frac{3}{2}}$$ On peut, bien s\^ur, définir une fonction à l'aide de {\tt IFTE} par exemple : $${\tt DEF(F(X)=IFTE(X==0,1,\frac{SIN(X)}{X}))}$$ définit la fonction $f$ par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1 &\mbox{si } x=0\\ \displaystyle \frac{\sin(x)}{x}&\mbox{si } x \neq 0 \end{array}\right.$$ \subsection{Deriv\'ee et deriv\'ee partielle : {\tt DERIV}}\index{DERIV} {\tt DERIV} a deux arguments : une expression (ou une fonction) et une variable.\\ {\tt DERIV} renvoie la dérivée de l' expression (ou de la fonction) par rapport à la variable donnée comme deuxième paramètre (utile pour calculer des dérivées partielles!).\\ Exemple : \\ Soit à calculer : $$\frac {\partial (x \cdot y^2 \cdot z^3+x \cdot y)}{\partial z}$$ On tape : $${\tt DERIV(X \cdot Y^2 \cdot Z^3+X \cdot Y\ ,\ Z)}$$ On obtient : $${\tt 3 \cdot X \cdot Y^2 \cdot Z^2}$$ \subsection{Deriv\'ee : {\tt DERVX}}\index{DERVX} {\tt DERVX} a un argument une expression.\\ {\tt DERVX} calcule la d\'eriv\'ee de l'expression par rapport à la variable contenue dans {\tt VX}.\\ Soit par exemple : $$f(x)=\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1})$$ Calculer la d\'eriv\'ee de $f$.\\ On tape : $${\tt DERVX(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))} $$ ou si on a stock\'e l'expression de $ f(x)$ dans {\tt F} c'est à dire si on a tapé : $${\tt STORE(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}),F)}$$ puis on tape : $${\tt DERVX(F) }$$ ou si on a défini $ F(X)$ à l'aide de {\tt DEF} c'est à dire si on a tapé : $${\tt DEF(F(X)=\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))}$$ puis on tape : $${\tt DERVX(F(X)) }$$ On trouve une expression compliquée que l'on simplifie avec {\tt ENTER}.\\ On obtient : $${\tt -\frac {3 \cdot X^2-1}{X^4-2 \cdot X^2+1}} $$ \subsection{Les coefficients de Fourier : {\tt FOURIER}}\index{FOURIER}\label{sec:fourier} {\tt FOURIER} a deux paramètres : une expression $f(x)$ et un entier $N$.\\ {\tt FOURIER} renvoie le coefficient de Fourier $c_N$ de $f(x)$ considérée comme une fonction définie sur $[0,T]$ et périodique de période $T$ ($T$ étant égale au contenu de la variable {\tt PERIOD}).\\ On a si $f$ est continue par morceaux : $$f(x)=\sum_{N=-\infty}^{+\infty} c_N e^\frac{2iNx\pi}{T}$$ Exemple :\\ Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction $f$ périodique de période $2 \cdot \pi$ et définie sur $[0\ 2 \cdot \pi[$ par $ f(x)=x^2$.\\ On tape : $${\tt STORE(2 \cdot \pi\ , \ PERIOD)}$$ $${\tt FOURIER(X^2,N)}$$ On obtient après simplification (\`a la main!): $${\tt \frac{2 \cdot i \cdot N \cdot \pi+2}{N^2}}$$ En effet on ne sait pas dire \`a la machine que {\tt N} est un entier et donc la machine ne simplifiera pas ${\tt EXP(2*i*N*\pi)}$. Si l'expression \`a simplifier est {\tt A} on peut taper : ${\tt SUBST(A,EXP(2 \cdot i \cdot \pi \cdot N)=1)}$\\ \noindent Donc si $N \neq 0$ on a : $$c_N=\frac{2 \cdot i \cdot N \cdot \pi+2}{N^2}$$ Puis on tape : $${\tt FOURIER(X^2,0)}$$ On obtient : $${\tt \frac{4 \cdot {\pi}^2}{3} }$$ Donc si $N= 0$ on a : $$c_0=\frac{4 \cdot {\pi}^2}{3}$$ \subsection{Int\'egration par parties : {\tt IBP}}\index{IBP} {\tt IBP} a deux paramètres : une expression de la forme $u(x) \cdot v'(x)$ et $v(x)$.\\ {\tt IBP} renvoie le {\tt AND} de $u(x) \cdot v(x)$ et de $-v(x) \cdot u'(x)$, c'est à dire les termes que l'on doit calculer quand on fait une intégration par parties.\\ Il reste alors à calculer l'intégrale du deuxième terme du {\tt AND}, puis à faire la somme avec le premier terme du {\tt AND} pour obtenir une primitive de $u(x) \cdot v'(x)$.\\ On tape : $${\tt IBP(LN(X),X) }$$ On obtient : $${\tt X \cdot LN(X)\ AND \ -1}$$ On termine l'intégration en appelant {\tt INTVX} : $${\tt INTVX(X \cdot LN(X) AND -1)}$$ on obtient alors : $${\tt X\cdot LN(X)-X}$$ {\sc Remarque} : Si le premier paramètre de {\tt IBP} ou de {\tt INTVX} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt IBP} n'agit que sur le dernier élément de {\tt AND} et ajoute le terme intégré au premier élément de {\tt AND} (de façon à pouvoir faire plusieurs {\tt IBP} à la suite). \subsection{Int\'egrales d\'efinies et g\'en\'eralis\'ees : ${\tt \int}$}\index{$\int$} Pour calculer une int\'egrale d\'efinie on utilise le symbole $\int$ qui se trouve sur la touche shift\'ee {\tt d/dx}. Il suffit de donner les arguments en remplissant les diff\'erents champs (on passe d'un champ \`a l'autre avec les fl\`eches $\rhd$ et $\lhd$). Pour plus de d\'etails cf. \ref{sec:sum}.\\ Pour une int\'egrale g\'en\'eralis\'ee, on peut mettre $+\infty$ ou $-\infty$ comme borne de l'int\'egrale.\\ {\sc Exemple}\\ D\'eterminer la limite quand $a$ tend vers plus l'infini de : $$ \int _2^a (\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1}))\ dx$$ On tape dans l'éditeur d'\'equation : $${\tt \int _2^{+\infty} (\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))\ dX} $$ {\sc Attention}, ${\tt {+\infty}}$ s'obtient en tapant : $${\tt {(-) \ (-) \ \infty}\ (SHIFT\ 0)\ }$$ On obtient : $${\tt +\infty-\frac{7 \cdot LN(3)}{2} }$$ et après simplification : $$+\infty$$ \subsection{Primitive et intégrale d\'efinie : {\tt INTVX}}\index{INTVX} {\tt INTVX} a un argument : une expression.\\ {\tt INTVX} calcule une primitive of son argument par rapport \`a la variable contenue dans {\tt VX}.\\ Exercice 1\\ Calculer une primitive de $\sin(x) \times \cos(x)$.\\ On tape : $${\tt INTVX(SIN(X) \cdot COS(X))}$$ On obtient en pas à pas : $${\tt COS(X) \cdot SIN(X)}$$ $${\tt Int[u'*F(u)]\ with\ u=SIN(X)}$$ puis {\tt OK} et le résultat s'inscrit dans l'éditeur d'\'equation : $${\tt \frac{SIN(X)^2}{2}}$$ Exercice 2\\ Soit : $$f(x)=\frac {x}{x^2-1}+\ln(\frac {x+1}{x-1})$$ Calculer une primitive de $f$.\\ On tape : $${\tt INTVX(\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))} $$ Ou si on a stock\'e l'expression de $ f(x)$ dans {\tt F} en tapant : $${\tt STORE(F,\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))}$$ puis on tape : $${\tt INTVX(F)} $$ Ou si on a défini $f(x)$ à l'aide de {\tt DEF} en tapant : $${\tt DEF(F(X)=\frac {X}{X^2-1}+LN(\frac {X+1}{X-1}))}$$ puis on tape: $${\tt INTVX(F(X)) }$$ On trouve : $$ {\tt X \cdot LN(\frac {X+1}{X-1})+ \frac{3}{2} \cdot LN(|X-1|)+\frac{3}{2} \cdot LN(|X+1|)} $$ On obtient des valeurs absolues seulement quand on a choisi la configuration avec le mode {\tt Rigourous}.\\ Exercice 3\\ Calculer : $$\int \frac {2}{x^6+2 \cdot x^4+x^2} \ dx $$ On tape : $${\tt INTVX(\frac {2}{X^6+2 \cdot X^4+X^2})}$$ On trouve une primitive : $${\tt -3 \cdot ATAN(X)-\frac {2}{X}-\frac {X}{X^2+1}} $$ {\sc Remarque} :\\ On peut aussi taper : $${\tt \int_1^X \frac {2}{X^6+2 \cdot X^4+X^2} \ dX} $$ qui donne la primitive qui s'annule en $X=1$ : $${\tt -3\cdot ATAN(X)-\frac {2}{X}-\frac {X}{X^2+1}+\frac{3\cdot \pi+10}{4}}$$ Exercice 4\\ Calculer : $$\int \frac {1}{\sin(x)+\sin(2 \cdot x )} \ dx $$ On tape : $${\tt INTVX(\frac {1}{SIN(X)+SIN(2 \cdot X )})}$$ On trouve : $${\tt \frac {1}{6}\cdot LN(|COS(X)-1|)+\frac {1}{2}\cdot LN(|COS(X)+1|)+}$$ $${\tt \frac {-2}{3} \cdot LN(|2\cdot COS(X)+1|)} $$ {\sc Remarque} : si le paramètre de {\tt INTVX} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt INTVX} n'agit que sur le deuxième élément du {\tt AND}, et ajoute le r\'esultat obtenu au premier argument. \subsection{Calcul de limites : {\tt LIMIT} or {\tt lim}}\index{LIMIT}\index{lim}\label{sec:limit} {\tt LIMIT} ou {\tt lim} a comme arguments une expression dépendant d'une variable et une égalité (variable = la valeur o\`u l'on veut calculer la limite).\\ Le nom de la variable et le signe {\tt =} peuvent \^etre omis quand il s'agit de la variable courante (celle dont le nom se trouve dans {\tt VX}).\\ Il est souvent préférable d'écrire l'expression quotée :\\ {\tt QUOTE(expression)}\index{QUOTE}, pour éviter une réécriture de cette expression sous forme normale (pour ne pas avoir une simplification rationnelle des arguments) avant l'exécution de la commande {\tt LIMIT}.\\ On tape par exemple : $${\tt LIMIT(QUOTE((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1})),X=+\infty)}$$ On obtient : $$+\infty$$ Pour calculer une limite \`a droite on tape par exemple : $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},QUOTE(1+0))}$$ On obtient si {\tt X} est la variable courante : $$+\infty$$ Pour calculer une limite \`a gauche on tape par exemple : $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},QUOTE(1-0))}$$ On obtient si {\tt X} est la variable courante : $$-\infty$$ Il n'est pas n\`ecessaire de quoter le deuxi\`eme argument quand il est \'ecrit avec le signe {\tt =} par exemple :\\ $${\tt LIMIT(\frac{1}{X-1},X=1+0)}$$ On obtient : $$+\infty$$ {\sc Exercices}\\ Trouver pour $n>2$, la limite quand $x$ tend vers 0 de : $$ \frac{n\cdot \tan(x)-\tan(n\cdot x)}{\sin(n\cdot x)-n\cdot \sin(x)}$$ On utilise la commande {\tt LIMIT}.\\ On tape : $${\tt LIMIT \left( \frac{N \cdot TAN(X)-TAN(N \cdot X)}{SIN(N \cdot X)-N \cdot SIN(X)}, 0 \right)}$$ On obtient : $${\tt 2 }$$ {\sc Attention}!!!\\ Pour trouver une limite quand $x$ tend vers $a^+$ (resp $a^-$), le deuxi\`eme argument s'\'ecrit :\\ ${\tt X=A+0}$ (resp ${\tt X=A-0}$), voir aussi \ref{sec:limit}.\\ Trouver la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de: $$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}-\sqrt x$$ On tape : $${\tt LIMIT (\sqrt{X+\sqrt{X+\sqrt{X}}}-\sqrt{X}, +\infty)} $$ On obtient au bout d'un moment : $$\frac{1}{2}$$ {\sc Attention}!!!\\ $\infty$ peut s'obtenir gr\^ace au raccourci clavier : {\tt SHIFT 0}\\ ${\tt {-\infty}}$ s'obtient alors en tapant : $${\tt (-)\ \infty}$$ ${\tt {+\infty}}$ s'obtient alors en tapant : $${\tt (-) \ (-)\ \infty}$$ On trouve aussi ${\tt \infty}$ dans le menu {\tt Constant} de la touche {\tt MATH}. %Nouveau \subsection{Graphe d'une expression : {\tt PLOT}}\index{PLOT} {\tt PLOT} a comme paramètre une expression.\\ {\tt PLOT} demande de s\'electionner une {\tt Aplet} puis stocke cette expression dans une variable de l'{\tt Aplet}.\\ On tape : $${\tt PLOT(X^2+X)}$$ On s\'electionne l'{\tt Aplet} {\tt Function}, on choisit de sauver l'expression ${\tt X^2+X}$ dans {\tt F2}. Dans l'historique la r\'eponse est : $${\tt X^2+X}$$ On obtientra le graphe de la courbe correspondant à l'équation contenue dans {\tt F2} en sortant du {\tt CAS} (en appuyant sur {\tt HOME}) et en ouvrant l'{\tt Aplet} {\tt Function}, en s\'electionnant la fonction {\tt F2}, puis en utilisant la touche {\tt PLOT} %Nouveau \subsection{Ajouter le graphe d'une expression : {\tt PLOTADD}}\index{PLOTADD} {\tt PLOTADD} a comme paramètre une expression.\\ {\tt PLOTADD} demande de s\'electionner une {\tt Aplet} puis stocke cette expression dans une variable de l'{\tt Aplet}.\\ On tape : $${\tt PLOTADD(X^2-X)}$$ On s\'electionne l'{\tt Aplet} {\tt Function}, on choisit de sauver l'expression ${\tt X^2-X}$ dans {\tt F3}. Dans l'historique la r\'eponse est : $${\tt X^2-X}$$ On obtientra le graphe des courbes correspondant à l'équation contenue dans {\tt F2} et {\tt F3} en sortant du {\tt CAS} (appuyer sur {\tt HOME}), en ouvrant l'{\tt Aplet} {\tt Function}, en s\'electionnant les fonctions {\tt F2} et {\tt F3}, puis en utilisant la touche {\tt PLOT}. \subsection{\'Evaluer une primitive : {\tt PREVAL}}\index{PREVAL} {\tt PREVAL} a trois paramètres : une expression {\tt F(VX)} dépendant de la variable contenue dans {\tt VX} et deux expressions {\tt A} et {\tt B}.\\ Par exemple, si {\tt VX} contient {\tt X}, et si {\tt F} est une fonction, {\tt PREVAL(F(X),A,B)} renvoie {\tt F(B)-F(A)}.\\ {\tt PREVAL} est utile pour calculer une intégrale définie à partir d'une primitive : on évalue cette primitive entre les deux bornes de l'intégrale.\\ On tape : $${\tt PREVAL(X^2+X,2,3)} $$ On obtient : $${\tt 6}$$ \subsection{Primitive et intégrale d\'efinie : {\tt RISCH}}\index{RISCH} {\tt RISCH} a deux paramètres : une expression et un nom de variable.\\ {\tt RISCH} renvoie une primitive du premier paramètre par rapport à la variable spécifiée en deuxième paramètre.\\ On tape : $${\tt RISCH((2 \cdot X^2+1) \cdot EXP(X^2+1),X) }$$ On obtient : $${\tt X \cdot EXP(X^2+1)}$$ {\sc Remarque} : si le paramètre de {\tt RISCH} est le {\tt AND} de deux éléments, {\tt RISCH} n'agit que sur le deuxième élément du {\tt AND}, et ajoute le r\'esultat obtenu au premier argument. %Nouveau \subsection{Primitive discrète : {\tt SIGMA}}\index{SIGMA} {\tt SIGMA} a comme premier argument une fonction $f$ d'une variable qui est donnée comme deuxième argument.\\ {\tt SIGMA} renvoie la primitive discrète de cette fonction, c'est à dire la fonction $G$ verifiant $G(x+1)-G(x)=f(x)$.\\ On tape : $${\tt SIGMA(X \cdot X!,X)}$$ On obtient : $${\tt X!}$$ car $(X+1)!-X!=X\cdot X!$ %Nouveau \subsection{Primitive discrète : {\tt SIGMAVX}}\index{SIGMAVX} {\tt SIGMAVX} a comme argument une fonction $f$ de la variable contenue dans {\tt VX}.\\ {\tt SIGMAVX} renvoie la primitive discrète de cette fonction, c'est à dire la fonction $G$ verifiant $G(x+1)-G(x)=f(x)$.\\ On tape : $${\tt SIGMAVX(X^2)}$$ On obtient : $${\tt \frac{2 \cdot X^3-3 \cdot X^2+X}{6}}$$ car $2(X+1)^3-3(X+1)^2+X+1-2X^3+3X^2-X=6X^2$ \subsection{Tableau de variations : {\tt TABVAR}}\index{TABVAR} {\tt TABVAR} a comme paramètre une expression ayant une derivée rationnelle.\\ {\tt TABVAR} renvoie (en mode pas \`a pas) le tableau de variations de l'expression, en fonction de la variable courante.\\ On tape : $${\tt TABVAR(LN(X)+X)} $$ On obtient en mode pas à pas :\\ ${\tt F=:(LN(X)+X)}$\\ ${\tt F'=:(\frac{1}{X}+1}$\\ ${\tt \rightarrow :\frac{X+1}{X}} $\\ {\tt Variation table } : $$\left[\begin{array}{cccccc} -\infty & ? & 0 & + & +\infty & X\\ ? & ? & -\infty & \uparrow & +\infty & F \end{array}\right]$$ \section{Développements limit\'es et asymptotiques } Toutes les fonctions de ce paragraphe se trouve dans le menu {\tt DIFF} du bandeau.\\ Il est d'usage d'écrire les développements selon les puissances croissantes de la variable, on fera donc le choix ${\tt 1+x+x^2...}$ dans {\tt CFG}. \subsection{Division selon les puissances croissantes : {\tt DIVPC}}\index{DIVPC} {\tt DIVPC} a trois arguments : deux polyn\^omes {\tt A(X)} et {\tt B(X)} (avec {\tt B(0)}$\neq 0$) et un entier {\tt n}.\\ {\tt DIVPC} renvoie le quotient {\tt Q(X)} de la division de {\tt A(X)} par {\tt B(X)} selon les puissances croissantes avec deg{\tt (Q)$\leq$ n} ou {\tt Q=0}. \\ {\tt Q[X]} est donc le d\'eveloppement limit\'e d'ordre $n$ de ${\tt \frac{A[X]}{B[X]}}$ au voisinage de {\tt X=0}. \\ On tape : $${\tt DIVPC(1+X^2+X^3,1+X^2,5)}$$ On obtient : $${\tt 1+X^3-X^5}$$ {\sc Attention} : la machine demande à passer en "puissances croissantes", r\'epondre {\tt yes}. \subsection{D\'eveloppement limit\'e : {\tt SERIES}}\index{SERIES} {\tt SERIES} a trois arguments : une expression dépendant d'une variable, une égalité (la variable $x$ = la valeur $a$ o\`u l'on veut calculer le d\'eveloppement limit\'e) et un entier $n$ (l'ordre du d\'eveloppement limit\'e).\\ On peut omettre le nom de la variable et le signe {\tt =}, quand le nom de la variable est dans {\tt VX}.\\ {\tt SERIES} renvoie le d\'eveloppement limit\'e d'ordre $n$ de l'expression au voisinage de $x=a$.\\ \begin{itemize} \item développement au voisinage de {\tt x=a}\\ Exemple :\\ Donner un développement limit\'e \`a l'ordre 4 au voisinage de $x=\frac{\pi}{6}$ de $\cos(2\times x)^2$.\\ On utilise la commande {\tt SERIES}.\\ On tape : $${\tt SERIES( COS(2 \cdot X)^2 , X=\frac{\pi}{6} , 4 )}$$ On obtient : $${\tt \ (\frac{1}{4}-\sqrt 3 h+2h^2+\frac {8 \sqrt {3}}{3}h^3- \frac {8}{3}h^4 +O(\frac{h^5}{4})|_{\ \displaystyle h=X- \frac{ \pi}{6}}}$$ \item développement au voisinage de {\tt x=+$\infty$} ou {\tt x=-$\infty$}\\ Exemple 1 :\\ Donner un développement de $\arctan(x)$ à l'ordre 5 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES(ATAN(X),X=+\infty,5)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{\pi}{2}-h+\frac{h^3}{3}-\frac{h^5}{5}+O(\frac{\pi \cdot h^6}{2})|_{\ \displaystyle h=\frac{1}{X}}}$$ Exemple 2 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1}$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=+$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=+\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{12+6h+12h^2+17h^3}{6 \cdot h}+O(2 \cdot h^3)|_{\ \displaystyle h=\frac{1}{X}}}$$ Exemple 3 :\\ Donner un développement de $(2x-1)e^\frac{1}{x-1})$ à l'ordre 2 au voisinage de {\tt x=-$\infty$} en prenant comme infiniment petit $h=-\frac{1}{x}$.\\ On tape : $${\tt SERIES((2X-1) \cdot EXP(\frac{1}{X-1}),X=-\infty,3)}$$ On obtient : $${\tt (\frac{-12+6h-12h^2+17h^3}{6h}+O(-(2h^3))|_{\displaystyle h=-\frac{1}{X}}}$$ \item développement unidirectionnel\\ Il faut \^etre en mode {\tt Rigourous} (Press {\tt DIFF}, puis {\tt CFG}, puis choisir {\tt Rigourous} et ensuite {\tt Quit config.}).\\ Pour les param\`etres, il faut utiliser :\\ - un réel positif, pour l'ordre, par exemple 4. ou 4.0, pour faire un développement au voisinage de $x=a$ avec $ \ x>a$ et\\ - un réel négatif, pour l'ordre, par exemple -4. ou -4.0, pour faire un développement au voisinage de $x=a$ avec $ \ xB}\\ pour stocker {\tt 2*A} dans {\tt B}. \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} La flèche est obtenue à l'aide de la touche ${\tt STO\triangleright}$ du bandeau.\\ On écrira par exemple :\\ {\tt 2*A-> B} ce qui veut dire :\\ taper {\tt 2*A} puis appuyer sur ${\tt STO\triangleright}$ du bandeau puis taper {\tt B}. \section{Les instructions conditionnelles} \subsection{Traduction en Algorithmique} \noindent Les instructions conditionnelles ont deux syntaxes :\\ {\tt Si \emph{condition} alors\\ \emph{action}\\ fsi}\\ et aussi :\\ {\tt Si \emph{condition} alors\\ \emph{action1} sinon\\ \emph{action2}\\ fsi}\\ Exemple :\\ {\tt Si A = 10 ou A < B alors \\ B-A->B sinon \\A-B->A \\fsi} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} \noindent{\tt IF \emph{condition} THEN\\ \emph{action} : \\ END:}\\ et aussi :\\ {\tt IF \emph{condition} THEN\\ \emph{action1} : ELSE\\ \emph{action2}:\\ END:}\\ {\sc Attention} au {\tt ==} pour traduire la condition d'égalité.\\ Exemple :\\ {\tt IF A==10 OR AB : ELSE}\\ {\tt A-B-> A}\\ {\tt END:} \section{Les instructions ``Pour'' } \subsection{Traduction en Algorithmique} \noindent{\tt Pour I de A à B faire \emph{action} fpour}\\ et aussi :\\ {\tt Pour I de A à B (pas P) faire \emph{action} fpour} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} \noindent{\tt FOR I = A TO B STEP 1 ; \emph{action} : END:}\\ {\tt FOR I = A TO B STEP P ; \emph{action} : END:} \section{L'instruction ``Tant que''} \subsection{Traduction en Algorithmique} \noindent{\tt Tant que \emph{condition} faire \emph{action} ftantque} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} \noindent{\tt WHILE \emph{condition} REPEAT \emph{action} : END:} \section{Les expressions booléennes } Une condition est une fonction qui a comme valeur un booléen, à savoir elle est soit {\tt vraie} soit {\tt fausse}. \subsection{Traduction en Algorithmique} Pour exprimer une condition simple on utilise les opérateurs: {\tt = > > $\leq$ $\geq$ $\neq$} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} {\sc Attention}, pour la calculatrice {\tt HP40GS}, l'égalité se traduit par :\\ {\tt ==}\\ sinon les autres opérateurs sont les m\^emes. \section{Les opérateurs logiques} \subsection{Traduction en Algorithmique} Pour traduire des conditions complexes, on utilise les opérateurs logiques : {\tt ou et non} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} {\tt ou et non} se traduisent sur la {\tt HP40GS} par {\tt OR AND NOT} \section{Les listes} \subsection{Traduction en Algorithmique} En algorithmique, on utilise les {\tt \{ \}} pour délimiter une liste.\\ Par exemple {\tt \{\}} désigne la liste vide et \{1, 2, 3\} est une liste de 3 éléments.\\ Le {\tt +} sera utilis\'e pour concaténer 2 listes, ou une liste et un élément, ou un élément et une liste :\\ {\tt \{1, 2, 3\}->TAB}\\ {\tt TAB + 4 ->TAB} (maintenant {\tt TAB} désigne {\tt \{1, 2, 3, 4\}}) \\ {\tt TAB[2]} désigne le deuxième élément de {\tt TAB} ici {\tt 2}. \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} Les variables listes ont pour noms : {\tt L0, L1, L2,... L9}.\\ On utilise les {\tt \{ \}} pour délimiter une liste.\\ Par exemple {\tt \{1, 2, 3\}} est une liste de 3 éléments.\\ Mais {\tt \{\}} ne désigne pas la liste vide, il faut utiliser la commande {\tt CLRVAR}\index{CLRVAR}, par exemple~:\\ {\tt CLRVAR L0}\\ initialise la liste {\tt L0} à vide. On peut aussi utiliser la commande {\tt SUB} qui permet d'extraire une sous liste (si {\tt L1=\{1,2,3,4\}} alors {\tt SUB L2;L1;2;3} cr\'ee la liste {\tt L2=\{2,3\}}) et donc en \'ecrivant : {\tt SUB L1;L1;2;1} on met dans {\tt L1} la liste vide !\\ Voici quelques commandes utiles :\\ {\tt MAKELIST(I*I, I , 1, 10, 2)} désigne la liste des carrés des 5 premiers entiers impairs ( 2 indique le pas de {\tt I}). \\ {\tt L1(I)} désigne le {\tt I}ème élément de la liste.\\ {\tt CONCAT (L1, \{5\})} désigne une liste ayant l'élément {\tt 5} en plus des éléments de la liste {\tt L1}.\\ On peut aussi utiliser :\\ {\tt AUGMENT(L1,5)} qui désigne une liste ayant l'élément {\tt 5} en plus des éléments de la liste {\tt L1}.\\ {\tt SUB L2;L1;2;4} est une commande qui met dans {\tt L2} les éléments de {\tt L1} ayant des indices allant de 2 à 4.\\ {\sc Attention} ! à la diffèrence entre fonctions et commandes :\\ les fonctions renvoient une valeur, elles ont des parenthèses et leurs arguments se situent dans les parenthèses, et sont séparés par des virgules alors que\\ les commandes ne renvoient pas de valeurs, et leurs arguments s'écrivent après le nom de la commande, et sont séparés par des points virgules. \section{Un exemple : le crible d'Eratosthène} \subsection{Description} Pour trouver les nombres premiers inférieurs ou égaux à $N$ : \begin{enumerate} \item On écrit les nombres de 1 à $N$ dans une liste. \item On barre 1 et on met 2 dans la case $P$. Si $P* P \leq N$ il faut traiter les éléments de $P$ à $N$. \item On barre tous les multiples de $P$ à partir de $P* P$. \item On augmente $P$ de 1.\\ Si $P*P$ est inférieur ou égal à $N$, il reste à traiter les éléments non barrés de $P$ à $N$. \item On appelle $P$ le plus petit élément non barré de la liste. \item On refait les points 3 4 5 tant que $P*P$ reste inférieur ou égal à $N$. \end{enumerate} \subsection{Écriture de l'algorithme} \begin{verbatim} Fonction crible(N) local TAB PREM I P // TAB et PREM sont des listes {} ->TAB {} ->PREM pour I de 2 à N faire TAB+I -> TAB fpour 0 +TAB -> TAB 2 -> P // On a fait les points 1 et 2 //barrer 1 a été réalisé en le remplaçant par 0 //TAB est la liste 0 2 3 4 ...N \end{verbatim} {\tt tant que P*P $\leq$ N faire}\begin{verbatim} // On barre tous les multiples de P à partir de P*P pour I de P à E(N/P) faire //E(N/P) désigne la partie entière de N/P 0 -> TAB[I*P] fpour P+1 -> P //On cherche le plus petit nombre <= N non barré, // entre P et N \end{verbatim} {\tt {\ } tant que (P*P $\leq$ N) et (TAB[P]=0) faire} \begin{verbatim} P+1 -> P ftantque ftantque //on écrit le résultat dans une liste PREM pour I de 2 à N faire\end{verbatim} {\tt {\ } si TAB[I] $\neq$ 0 alors} \begin{verbatim} PREM +I -> PREM fsi fpour résultat: PREM \end{verbatim} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} Voici le programme {\tt CRIBLE} :\\ L'utilisateur doit entrer la valeur de {\tt N}.\\ A la fin la liste {\tt L2} contient les nombres premiers inférieurs ou égaux à {\tt N}. \begin{verbatim} INPUT N;"CRIBLE";"N=";;10: ERASE: MAKELIST(I,I,1,N,1) -> L1: 0 -> L1(1): 2->P:\end{verbatim} {\tt WHILE P*P $\leq$ N REPEAT}\begin{verbatim} FOR I = P TO INT(N/P) STEP 1; 0->L1(I*P): END: DISP 3;""L1: P+1->P:\end{verbatim} {\tt {\ } WHILE P*P $\leq $ N AND L1(P) == 0 REPEAT}\begin{verbatim} P+1->P: END: END: {2}->L2: @ on sait que 2 est premier FOR I=3 TO N STEP 1;\end{verbatim} {\tt {\ }IF L1(I) $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} CONCAT(L2,{I}) ->L2: END: END: DISP 3 ;"PREM" L2: FREEZE: \end{verbatim} \chapter{Programmes d'arithmétique} \section{Le PGCD et l'algorithme d'Euclide} Soient $A$ et $B$ deux entiers positifs dont on cherche le $PGCD$.\\ L'algorithme d'Euclide est basé sur la définition récursive du $PGCD$ : \begin{eqnarray*} PGCD(A,0) & = & A \\ PGCD(A,B) & = & PGCD(B,A \ \bmod \ B) \ si \ B \neq 0 \end{eqnarray*} o\`u $A\ \bmod \ B$ désigne le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.\\ Voici la description de cet algorithme :\\ on effectue des divisions euclidiennes successives : \begin{eqnarray*} A=& B \times Q_1+R_1 & 0 \leq R_1 < B \\ B=& R_1 \times Q_2+R_2 & 0 \leq R_2 < R_1 \\ R_1=& R_2 \times Q_3+R_3 & 0 \leq R_3 < R_2 \\ ....... \end{eqnarray*} Après un nombre fini d'étapes, il existe un entier n tel que : $R_n = 0$. \\ on a alors :\\ $PGCD(A,B)= PGCD(B,R_1) =...$\\ $PGCD(R_{n-1},R_n) = PGCD(R_{n-1},0) = R_{n-1}$ \subsection{Traduction algorithmique} - Version itérative\\ Si $B \neq 0$ on calcule $R=A \bmod B$, puis avec $B$ dans le r\^ole de $A$ (en mettant $B$ dans $A$ ) et $R$ dans le r\^ole de $B$ ( en mettant $R$ dans $B$) on recommence jusqu'à ce que $B=0$, le $PGCD$ est alors $A$. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B) Local R\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R B->A R->B ftantque résultat A ffonction \end{verbatim} - Version récursive\\ On écrit simplement la définition récursive vue plus haut. \begin{verbatim} Fonction PGCD(A,B)\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 alors}\begin{verbatim} résultat PGCD(B,A mod B) sinon résultat A fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}}\label{sec:pgcdc} - Version itérative pour deux entiers\\ On écrit tout d'abord le sous-programme {\tt IN} qui permet d'entrer deux nombres {\tt A} et {\tt B} : \begin{verbatim} INPUT A;"A";;;1: INPUT B;"B";;;1: ERASE:\end{verbatim} puis on écrit le programme {\tt PGCD} : \begin{verbatim}RUN IN: DISP 3;"PGCD "{A,B}:\end{verbatim} {\tt WHILE B $\neq$ 0 REPEAT } \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: END: DISP 4;"PGCD "A: FREEZE:\end{verbatim} - Version récursive pour deux entiers {\tt A} et {\tt B}\\ Avec la {\tt HP40GS} on ne peut pas écrire des programmes récursifs... mais on peut écrire le programme {\tt PGCDR}: \begin{verbatim}DISP 3;"PGCD "{A,B}: FREEZE:\end{verbatim} {\tt IF B $\neq$ 0 THEN} \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: PGCDR: ELSE DISP 3;"PGCD "A: FREEZE: END:\end{verbatim} On stocke tout d'abord les valeurs dans {\tt A} et {\tt B}.\\ Le programme {\tt PGCDR} affiche le PGCD qu'il est en train de calculer.\\ L'appel récursif {\tt PGCDR} renvoie au programme {\tt PGCDR} qu'il faut faire exécuter en appuyant sur \verb|RUN| du bandeau.\\ Le programme {\tt PGCDR} affiche ainsi les PGCD intermédiaires calculés.\\ On peut aussi remplacer {\tt PGCDR} dans le programme précédent par {\tt RUN PGCDR}, pour ne pas avoir à appuyer sur \verb|RUN| du bandeau, et supprimer les affichages intermédiaires, pour utiliser ce programme dans un programme effectuant les entrées et les sorties :\\ le programme récursif {\tt PGCDR} devient le programme récursif {\tt PR} :\\ \noindent{\tt IF B $\neq$ 0 THEN} \begin{verbatim}A MOD B ->R: B ->A: R ->B: RUN PR: END:\end{verbatim} On ins\`ere le programme {\tt PR} dans un programme effectuant les entrées et les sorties : \begin{verbatim} PROMPT A: PROMPT B: RUN PR: ERASE: MSGBOX A: \end{verbatim} -Version itérative pour deux complexes\\ Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt PGCD} (ou {\tt PR}) peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R} par {\tt Z1, Z2, Z3} et de changer le test d'arr\^et.\\ Voici la version itérative : \begin{verbatim}PROMPT Z1: PROMPT Z2: ERASE: DISP 3;"PGCD "{Z1,Z2}:\end{verbatim} {\tt WHILE ABS(Z2) $\neq$ 0 REPEAT } \begin{verbatim}XNUM(IREMAINDER(XQ(Z1),XQ(Z2)) ->Z3: Z2 ->Z1: Z3 ->Z2: END: DISP 4;"PGCD "Z1: FREEZE:\end{verbatim} -Version itérative pour deux polyn\^omes\\ Les variables {\tt E1, E2,...} permettent de stocker des expressions, c'est ce qu'il nous faut pour y mettre des polyn\^omes !!! Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt REMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt PGCD} (ou {\tt PR}) peut alors avoir comme paramètres des polyn\^omes\ à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R} par {\tt E1, E2, E3} et de changer le test d'arr\^et. \begin{verbatim} PROMPT E1: PROMPT E2: ERASE:\end{verbatim} {\tt WHILE DEGREE(E2) $\neq$ -1 REPEAT } \begin{verbatim}REMAINDER(E1,E2) ->E3: E2 ->E1: E3 ->E2: END: DISP 4;"PGCD "E1: FREEZE:\end{verbatim} Vous entrez par exemple :\\ ${\tt E1=S1^2-1}$ et ${\tt E2=S1^2-2*S1+1}$ pour trouver le PGCD égal à {\tt 2*S1-2}. \section{Identité de Bézout} Dans ce paragraphe la fonction Bezout(A,B) renvoie la liste $\{U, V, PGCD(A,B)\}$ o\`u $U$ et $V$ vérifient :\\ $ A \times U + B \times V = PGCD(A,B)$. \subsection{Version it\'erative sans les listes} L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple $U$ et $V$ vérifiant :\\ $ A \times U + B \times V= PGCD(A,B) $\\ En effet, si on note $ A_0$ et$ B_0 $ les valeurs de $A$ et de $B$ du début on a : \begin{eqnarray*} A & =A_0 \times U+B_0 \times V \ \mbox{ avec }\ U=1 \ \mbox{ et }\ V=0 \\ B & =A_0 \times W+B_0 \times X \ \mbox{ avec }\ W=0 \ \mbox{ et } \ X=1 \end{eqnarray*} Puis on fait évoluer $A,\ B,\ U,\ V,\ W,\ X$ de façon que les deux relations ci-dessus soient toujours vérifiées.\\ Si :\\ $ A=B \times Q+R \ \ \ 0 \leq R < B \ \ ( R = A \ mod \ B \ et \ Q = E(A / B )) $\\ On écrit alors : \begin{eqnarray*} R=A-B \times Q=A_0 \times (U-W \times Q)+B_0 \times (V-X \times Q)=\\ A_0 \times S+B_0 \times T \ \mbox{ avec } \ S=U-W \times Q \ \mbox{ et } \ T=V-X \times Q \end{eqnarray*} Il reste alors à recommencer avec :\\ $B$ dans le r\^ole de $A$ ({\tt B->A\ W->U \ X->V}) et,\\ $R$ dans le r\^ole de $B$ ({\tt R->B \ S->W \ T->X})\\ d'o\`u l'algorithme : \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local U,V,W,X,S,T,Q,R 1->U 0->V 0->W 1->X\end{verbatim} {\tt tant que B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} A mod B->R E(A/B)->Q //R=A-B*Q U-W*Q->S V-X*Q->T B->A W->U X->V R->B S->W T->X ftantque résultat {U, V, A} ffonction \end{verbatim} \subsection{Version it\'erative avec les listes} On peut simplifier l'écriture de l'algorithme ci-dessus en utilisant moins de variables : pour cela on utilise des listes {\tt LA, LB, LR} pour mémoriser les triplets {\tt \{U, V, A\}}, {\tt \{W, X, B\}} et {\tt \{S, T, R\}}. Ceci est très commode car les calculatrices savent ajouter des listes de m\^eme longueur (en ajoutant les éléments de m\^eme indice) et savent aussi multiplier une liste par un nombre (en multipliant chacun des éléments de la liste par ce nombre).\\ \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LA LB LR {1, 0, A}->LA {0, 1, B}->LB\end{verbatim} {\tt tant que LB[3] $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} LA-LB*E(LA[3]/LB[3])->LR LB->LA LR->LB ftantque résultat : LA ffonction \end{verbatim} \subsection{Version récursive avec les listes} On peut définir récursivement la fonction Bézout par: $ Bezout(A,0)=\{1,\ 0,\ A\} $ Si $ B \neq 0 $ il faut définir $ Bezout(A,B)$ en fonction de $ Bezout(B,R)$ lorsque $ R=A-B \times Q \ \mbox{ et } \ Q=E(A/B).$ On a: \begin{eqnarray*} Bezout(B,R)=LT=\{W, X, pgcd(B,R)\} \\ \mbox{ avec }\ W \times B+X \times R=pgcd(B,R) \end{eqnarray*} Donc: \begin{eqnarray*} W \times B+X \times (A-B \times Q) & = & pgcd(B,R) \ \mbox{ ou encore} \\ X \times A+(W-X \times Q) \times B & = & pgcd(A,B). \end{eqnarray*} D'o\`u si $B \neq 0$ et si $ Bezout(B,R)=LT$ on a : $ Bezout(A,B)=\{LT[2],\ LT[1]-LT[2] \times Q,\ LT[3]\}.$\\ \begin{verbatim} fonction Bezout (A,B) local LT Q R\end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 faire} \begin{verbatim}E(A/B)->Q A-B*Q->R Bezout(B,R)->LT Résultat {LT[2], LT[1]-LT[2]*Q, LT[3]} sinon Résultat {1, 0, A} fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Version récursive sans les listes}\label{sec:recsl} Si on utilise des variables globales pour {\tt A, B, D, U, V, T}, on peut voir la fonction {\tt Bezour} comme calculant à partir de {\tt A, B}, des valeurs qu'elle met dans {\tt U, V, D (AU+BV=D)} gr\^ace à une variable locale {\tt Q}.\\ On \'ecrit donc une fonction sans param\`etre : seule la variable {\tt Q} doit \^etre locale \`a la foncton alors que les autres variables {\tt A, B ...} peuvent \^etre globales.\\ {\tt Bezour} fabrique {\tt U, V, D} v\'erifiant {\tt A*U+B*V=D} \`a partir de {\tt A} et {\tt B}. Avant l'appel r\'ecursif (on pr\'es\'erve {\tt E(A/B)=Q} et on met {\tt A} et {\tt B} \`a jour ( nouvelles valeurs), apr\`es l'appel les variables {\tt U, V, D} v\'erifient {\tt A*U+B*V=D} (avec {\tt A} et {\tt B} les nouvelles valeurs), il suffit alors de revenir aux premi\`eres valeurs de {\tt A} et {\tt B} en \'ecrivant : {\tt B*U+(A-B*Q)*V=A*V+B*(U-V*Q)}\\ On écrit alors : \begin{verbatim} Programme Bezour local Q \end{verbatim} {\tt Si B $\neq$ 0 faire}\begin{verbatim} E(A/B)->Q A-B*Q->T B->A T->B Bezour U-V*Q->T V->U T->V sinon 1->U 0->V A->D fsi \end{verbatim} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} \noindent- Version itérative avec les listes On utilise ici aussi le programme {\tt IN} qui permet de rentrer deux entiers {\tt A} et {\tt B} : \begin{verbatim}INPUT A;"A";;;1: INPUT B;"B";;;1: ERASE:\end{verbatim} Puis on tape le programme {\tt BEZOUT} :\\ \begin{verbatim} RUN IN: DISP 3;"BEZOUT "{A,B}: {1,0,A} ->L1: {0,1,B} ->L2:\end{verbatim} {\tt WHILE L2(3) $\neq$ 0 REPEAT} \begin{verbatim}L1-L2*FLOOR(L1(3)/L2(3)) ->L3: L2 ->L1: L3 ->L2: END: DISP 4;"U V PGCD "L1: FREEZE: \end{verbatim} -Version récursive sans les listes\\ On écrit le programme {\tt BEZOUR}, gr\^ace aux commandes (Merci Bernard!!!):\\ {\tt PUSH}\index{PUSH} ({\tt PUSH(A)} pour mettre le contenu de {\tt A} dans l'historique du {\tt CAS})\\ et {\tt POP}\index{POP} (pour récupérer les valeurs mises dans l'historique du {\tt CAS})\\ {\tt PUSH} et {\tt POP} permettent de simuler la variable locale {\tt Q} On a remplac\'e dans la traduction (cf \ref{sec:recsl}) les variables {\tt R} et {\tt W} par la variable temporaire {\tt T}.\\ \noindent{\tt PROGRAM BEZOUR}\\ {\tt IF B $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} PUSH (FLOOR(A/B)): A MOD B->T: B->A: T->B: RUN BEZOUR: U-V*POP->T: V->U: T->V: ELSE 1->U: 0->V: A->D: END: \end{verbatim} {\tt PUSH (FLOOR(A/B))} a pour effet de mettre les différentes valeurs de {\tt FLOOR(A/B)} sur une pile, et {\tt POP} de les récuperer.\\ {\tt T} est une variable auxillaire.\\ {\tt BEZOUR} prend comme entrée les valeurs des variables globales {\tt A} et {\tt B} et remplit les variables globales {\tt U} et {\tt V} de façon que :\\ ${\tt A\cdot U+B\cdot V=PGCD(A,B)}$. \\ On écrit ensuite le programme final {\tt BEZOURT} permettant l'entrée de {\tt A} et {\tt B} et la sortie de {\tt \{U, V, D\}} :\\ \noindent{\tt PROGRAM BEZOURT} \begin{verbatim} PROMPT A: PROMPT B: RUN BEZOUR: ERASE: MSGBOX {U,V,D}: \end{verbatim} \noindent{\sc Remarque} : Pour deux complexes on se reportera \`a la version iterative section\ref{sec:pgcdc}.\\ Si on utilise la fonction de calcul symbolique {\tt IREMAINDER} à la place de {\tt MOD} et {\tt IQUOT(A,B)} à la place de {\tt FLOOR(A/B)} dans les programmes précédents, {\tt BEZOUT} ou {\tt BEZOUR} peut alors avoir comme paramètres des entiers de Gauss à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R...} par {\tt Z1, Z2, Z3...}.\\ {\sc Remarque} :\\ Si on utilise la fonction du calcul symbolique {\tt REMAINDER} à la place de {\tt MOD} dans les programmes précédents, {\tt BEZOUT} (ou {\tt BEZOUR}) peut alors avoir comme paramètres des polyn\^omes\ à condition de remplacer les noms des variables {\tt A, B, R...} par {\tt E1, E2, E3...} et de changer le test d'arr\^et. \section{D\'ecomposition en facteurs premiers} \subsection{Les algorithmes et leurs traductions} - Premier algorithme\\ Soit $N$ un entier.\\ On teste, pour tous les nombres $D$ de 2 à $N$, la divisibilité de $N$ par $D$.\\ Si $D$ divise $N$, on cherche alors les diviseurs de $N/D$ etc...$N/D$ joue le r\^ole de $N$ et on s'arr\^ete quand $N=1$ \\ On met les diviseurs trouvés dans la liste {\tt FACT}. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que N $\neq$ 1 faire}\begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D -> N sinon D+1 -> D fsi ftantque résultat FACT ffonction \end{verbatim} - Première amélioration\\ On ne teste que les diviseurs D entre 2 et $E(\sqrt N)$.\\ En effet si $N=D1*D2$ alors on a :\\ soit $D1 \leq E(\sqrt N)$, soit $D2 \leq E(\sqrt N)$ car sinon on aurait :\\ $D1*D2 \geq (E(\sqrt N)+1)^2 >N$. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local D FACT 2 -> D {} -> FACT\end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} si N mod D = 0 alors FACT + D -> FACT N/D-> N sinon D+1 -> D fsi ftantque FACT + N -> FACT résultat FACT ffonction \end{verbatim} - Deuxième amélioration\\ On cherche si 2 divise $N$, puis on teste les diviseurs impairs $D$ entre 3 et $E(\sqrt N)$.\\ Dans la liste {\tt FACT}, on fait suivre chaque diviseur par son exposant :\\ decomp(12)=\{2,2,3,1\}. \begin{verbatim} fonction facprem(N) local K D FACT {}->FACT 0 -> K tant que N mod 2 = 0 faire K+1 -> K N/2 -> N ftantque\end{verbatim} {\tt si K $\neq$ 0 alors} \begin{verbatim} FACT + {2 K} -> FACT fsi 3 ->D \end{verbatim} {\tt tant que D*D $\leq$ N faire} \begin{verbatim} 0 -> K tant que N mod D = 0 faire K+1 -> K N/D -> N ftantque\end{verbatim} {\tt \ \ si K $\neq$ 0 alors} \begin{verbatim} FACT + {D K} -> FACT fsi D+2 -> D ftantque\end{verbatim} {\tt si N $\neq 1$ alors} \begin{verbatim}FACT + {N 1} -> FACT fsi résultat FACT ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} On traduit le dernier algorithme.\\ La {\tt HP40GS} ne connait pas la liste \{\}, donc pour initialiser {\tt L1} avec la liste vide on écrit : {\tt CLRVAR L1}\\ ou {\tt SUB L1;L1;2;1}.\\ Voici le programme {\tt FACTPREM} : \begin{verbatim} INPUT N;"N";;;1: ERASE: 0 ->K: CLRVAR L1: WHILE N MOD 2 == 0 REPEAT 1+K -> K: N/2 -> N: END:\end{verbatim} {\tt IF K $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} {2,K} ->L1: END: 3 ->D:\end{verbatim} {\tt WHILE D*D $\leq$ N REPEAT}\begin{verbatim} 0 -> K: WHILE N MOD D == 0 REPEAT K+1 -> K: N/D -> N: END:\end{verbatim} {\tt IF K $\neq$ 0 THEN}\begin{verbatim} CONCAT (L1,{D,K}) -> L1: END: 2+D -> D: END:\end{verbatim} {\tt IF N $\neq$ 1 THEN}\begin{verbatim} CONCAT (L1, {N,1}) -> L1: END: DISP 3; "FACT" L1: FREEZE: \end{verbatim} \section{Calcul de $ A^P \ mod\ N$}\label{sec:puimod} \subsection{Traduction Algorithmique} - Premier algorithme\\ On utilise deux variables locales {\tt PUIS} et {\tt I}.\\ On fait un programme itératif de façon qu'à chaque étape {\tt PUIS} représente ${\tt A^I \ (\bmod \ N)}$. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUIS, I 1->PUIS pour I de 1 a P faire A*PUIS mod N ->PUIS fpour resultat PUIS ffonction \end{verbatim} - Deuxième algorithme\\ On utilise une seule variable locale {\tt PUI} mais on fait varier {\tt P} de façon qu'à chaque étape de l'itération on ait :\\ ${\tt resultat= PUI * A^P \ (\bmod \ N)}$ \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire A*PUI mod N ->PUI P-1->P ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} - Troisième algorithme\\ On peut aisément modifier ce programme en remarquant que :\\ ${\tt A^{2*P} = (A*A)^P}$.\\ Donc quand P est pair on a la relation :\\ ${\tt PUI*A^P = PUI*(A*A)^{P/2} \ (\bmod \ N)}$\\ et quand P est impair on a la relation :\\ ${\tt PUI*A^P = PUI*A*A^{P-1}\ (\bmod \ N)}$.\\ On obtient alors un algorithme rapide de ${\tt A^P \ (\bmod \ N)}$. \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =0 alors P/2->P A*A mod N->A sinon A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} On peut remarquer que si {\tt P} est impair,{\tt P-1} est pair.\\ On peut donc écrire : \begin{verbatim} fonction puismod (A, P, N) local PUI 1->PUI tant que P>0 faire si P mod 2 =1 alors A*PUI mod N ->PUI P-1->P fsi P/2->P A*A mod N->A ftantque resultat PUI ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40GS} Le calcul de ${\tt A^p \bmod N}$ est utilisé dans le programme de la méthode probabiliste de Mr Rabin. On se reportera donc à ce sous-programme pour la traduction (cf \ref{sec:rabin}). \section{La fonction "estpremier"} \subsection{Traduction Algorithmique} - Premier algorithme On va écrire un fonction booléenne de paramètre {\tt N}, qui sera égale à {\tt VRAI} quand {\tt N} est premier et à {\tt FAUX} sinon.\\ Pour cela, on cherche si {\tt N} posséde un diviseur $\neq$ 1 et $\leq$ à ${\tt E(\sqrt{N})}$ (partie entière de racine de {\tt N}).\\ On traite le cas {\tt N=1} à part!\\ On utilise une variable booléenne {\tt PREM}, qui est au départ à {\tt VRAI}, et qui passe à {\tt FAUX} d\`es que l'on rencontre un diviseur de {\tt N}. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J}$ \begin{verbatim}Si N = 1 alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 2->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+1->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} - Première amélioration\\ On peut remarquer que l'on peut tester si {\tt N} est pair, et sinon regarder si {\tt N} possède un diviseur impair. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J} $\\ {\tt Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) et (N$\neq$2) alors}\begin{verbatim} FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi 3->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$J faire} \begin{verbatim} si N mod I = 0 alors FAUX->PREM sinon I+2->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} - Deuxième amélioration\\ On regarde si {\tt N} est divisible par 2 ou par 3, sinon on regarde si {\tt N} posséde un diviseur de la forme $6 \times k-1 $ ou $6 \times k+1 $. \begin{verbatim} Fonction estpremier(N) local PREM, I, J\end{verbatim} ${\tt E(\sqrt{N}) ->J}$ \begin{verbatim}Si (N = 1) ou (N mod 2 = 0) ou ( N mod 3 = 0) alors FAUX->PREM sinon VRAI->PREM fsi si N=2 ou N=3 alors VRAI->PREM fsi 5->I\end{verbatim} {\tt tant que PREM et I $\leq$ J faire} \begin{verbatim} si (N mod I = 0) ou (N mod I+2 =0) alors FAUX->PREM sinon I+6->I fsi ftantque résultat PREM ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction HP40GS} \begin{verbatim} INPUT N;"N";;;1: IF N MOD 2== 0 OR N MOD 3==0 OR N==1 THEN 0 ->P: ELSE 1->P: END: IF N==2 OR N==3 THEN 1->P: END: 5->I:\end{verbatim} ${\tt FLOOR(\sqrt {N})->J:}$\\ {\tt WHILE I $\leq$ J AND P REPEAT}\begin{verbatim} IF N MOD I==0 OR N MOD (I+2)==0 THEN 0 ->P: ELSE I+6 ->I: END: END: ERASE: DISP 5;P: FREEZE: \end{verbatim} \section{Méthode probabiliste de Mr Rabin}\label{sec:rabin} Si $N$ est premier alors tous les nombres $K$ strictement inf\'erieurs \`a $N$ sont premiers avec $N$, donc d'apr\`es le petit th\'eor\`eme de Fermat on a :\\ $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$\\ Si $N$ n'est pas premier, les entiers $K$ vérifiant :\\ $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$\\ sont tr\`es peu nombreux.\\ %Plus pr\'ecisement on peut montrer que si $ N>4 $, la probabilit\'e d'obtenir % un tel nombre $K$ est inf\'erieure \`a 0.25.\\ Un nombre $N$ vérifiant $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de $K$ est un nombre pseudo-premier. La m\'ethode probabiliste de Rabin consiste \`a tirer au hasard un nombre $K$ ($1< K < N $) et à calculer :\\ $ K^{N-1} \ (\bmod\ N)$ \\ Si $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ on refait un autre tirage et si $ K^{N-1} \neq 1 \ (\bmod\ N)$ on est s\^ur que $N$ n'est pas premier.\\ Si on obtient $ K^{N-1} = 1 \ (\bmod\ N)$ pour 20 tirages de $K$ on peut conclure que $N$ est premier avec une probabilit\'e d'erreur tr\`es faible. %inf\'erieure \`a $0.25^{20}$ soit de l'ordre de $10^{-12}$. Bien s\^ur cette m\'ethode est employ\'ee pour savoir si de grands nombres sont pseudo-premiers, mais la commande {\tt ISPRIME?} utilise la m\'ethode de Miller-Rabin, m\'ethode qui est aussi bas\'ee sur le petit th\'eor\`eme de Fermat et qui est aussi une m\'ethode probabiliste mais qui donne $N$ premier avec une probabilit\'e d'erreur plus faible (inf\'erieure \`a $(0.25)^{20}$ si on a effectu\'e 20 tirages de $K$, soit, une erreur de l'ordre de $10^{-12}$). \subsection{Traduction Algorithmique} On suppose que :\\ {\tt Hasard(N)} donne un nombre entier au hasard entre 0 et $N-1$.\\ Le calcul de :\\ $ K^{N-1} \bmod\ N$\\ se fait gr\^ace \`a l'algorithme de la puissance rapide (cf page \pageref{sec:puimod}).\\ On notera : {\tt puismod(K, P, N)} la fonction qui calcule ${\tt K^P \bmod\ N}$. \begin{verbatim} Fonction estprem(N) local K, I, P 1->I 1->P Tant que P = 1 et I < 20 faire hasard(N-2)+2->K puismod(K, N-1, N)->P I+1->I ftantque Si P =1 alors resultat VRAI sinon resultat FAUX fsi ffonction \end{verbatim} \subsection{Traduction {\tt HP40GS}} \begin{verbatim} PROMPT N: RANDSEED TIME: 1->I: 1->P: WHILE I < 20 AND P==1 REPEAT FLOOR( RANDOM * (N-2))+2->K: N-1->M: @ Calcul de K puissance M mod N dans P. 1->P: WHILE 0 < M REPEAT IF M MOD 2 == 0 THEN M / 2 -> M : (K * K) MOD N ->K : ELSE K*P MOD N -> P: M - 1 -> M: END: END: @ P contient K puissance M mod N et M=N-1. I+1 ->I: END: ERASE: IF P==1 THEN DISP 3;"PREMIER " N: ELSE DISP 3;"NON PREMIER " N: END: FREEZE: \end{verbatim} {\sc Remarque} : \\ On peut aussi utiliser la fonction de calcul formel {\tt POWMOD} et on écrit alors :\\ {\tt MODSTO(N):}\\ {\tt POWMOD(K,N-1) -> P:}\\ à la place des instructions comprises entre les @, et on obtient :\\ \begin{verbatim} PROMPT N: RANDSEED TIME: 1->I: 1->P: WHILE I < 20 AND P==1 REPEAT FLOOR( RANDOM * (N-2))+2->K: MODSTO(N): POWMOD(K,N-1)-> P: I+1 ->I: END: ERASE: IF P==1 THEN DISP 3;"PREMIER " N: ELSE DISP 3;"NON PREMIER " N: END: FREEZE: \end{verbatim} \chapter{GNU Free Documentation License} \label{sec:fdl} {\tiny Version 1.1, March 2000 Copyright (C) 2000 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other written document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others. This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software. We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language. A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (For example, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, whose contents can be viewed and edited directly and straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup has been designed to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque". Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML designed for human modification. Opaque formats include PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML produced by some word processors for output purposes only. The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. 3. 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If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a publicly-accessible computer-network location containing a complete Transparent copy of the Document, free of added material, which the general network-using public has access to download anonymously at no charge using public-standard network protocols. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version: * A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission. * B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has less than five). * C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher. * D. Preserve all the copyright notices of the Document. * E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices. * F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below. * G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. * H. Include an unaltered copy of this License. * I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence. * J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission. * K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications", preserve the section's title, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. * L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles. * M. Delete any section entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version. * N. Do not retitle any existing section as "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles. You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice. The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections entitled "History" in the various original documents, forming one section entitled "History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements", and any sections entitled "Dedications". You must delete all sections entitled "Endorsements." 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the compilation. Such a compilation is called an "aggregate", and this this License does not apply to the other self-contained works thus compiled with the Document, on account of their being thus compiled, if they are not themselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one quarter of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that surround only the Document within the aggregate. Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License provided that you also include the original English version of this License. In case of a disagreement between the translation and the original English version of this License, the original English version will prevail. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation. How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page: Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free Software Foundation; with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections" instead of saying which ones are invariant. If you have no Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of "Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts. If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software. } \appendix \chapter{Index} Deux pages plus loin. \twocolumn %\newpage {\tt \printindex} %\newpage \chapter{Table des matières} Deux pages plus loin. \twocolumn \tableofcontents \end{document} %%%%%%%%%%%%%%pas fait%%%%%%% \section{\tt Graphics} \subsection{\tt SCROLL}\index{SCROLL} {\tt SCROLL} has a graphics object as argument.\\ {\tt SCROLL} displays the graphics object, without touching {\tt PICT}.\\ For example, suppose you have just plotted the function ${\tt F(X)}$. The plot is automatically stored into the reserved variable {\tt PICT}.\\ Therefore, {\tt PICT} contains the current graphics variable. You can save its contents, typing:\\ $${\tt RCL(PICT)\ STO\triangleright\ GRF}$$ Next, if you type: $${\tt SCROLL(GRF)}$$ you display the plot of ${\tt F(X)}$ again.\\ \subsection{\tt GROBADD}\index{GROBADD} {\tt GROBADD} has two graphics objects as arguments.\\ {\tt GROBADD} concatenates its arguments and returns the result.\\ For example, if you previously saved the plot of ${\tt F(X)}$ into {\tt GRF}, and the plot of ${\tt H(X)}$ into {\tt GRH}, you can type: $${\tt GROBADD(GRF,GRH)\ STO\triangleright\ GRFH}$$ This command stores into {\tt GRFH} a graphics object containing the plots of both ${\tt F(X)}$ and ${\tt H(X)}$, one below the other.\\ \section{Les fonctions de plusieurs variables} %POTENTIAL et VPOTENTIAL ne marchent pas cannot store current variable \subsection{\tt POTENTIAL}\index{POTENTIAL} {\tt POTENTIAL} has two arguments : a vector $\overrightarrow V$ which depends of variables and a vector of the name of these variables.\\ {\tt POTENTIAL} returns an expression $U$ such that $\overrightarrow{Grad}(U)=\overrightarrow V$ when it is possible ! In that case, $\overrightarrow V$ has as potential $U$.\\ The general solution is the sum of a particular solution and of a constant.\\ We know that a vector $\overrightarrow V$ is a gradient if and only if its rotor is zero : that is to say if ${\tt CURL(V)=0}$.\\ {\tt POTENTIAL} is the inverse function of {\tt DERIV}.\\ On tape : $${\tt POTENTIAL([2*S1*S2+3,S1^2-4*S3,-4*S2],[S1,S2,S3]) }$$ %On obtient : %$${\tt Y\cdot X^2+3\cdot X-4\cdot Z\cdot Y}$$ \subsection{\tt VPOTENTIAL}\index{VPOTENTIAL} {\tt VPOTENTIAL} a deux arguments : un vecteur $\overrightarrow V$ dépendant de variables et le vecteur constitué du nom de ces variables.\\ {\tt VPOTENTIAL} renvoie un vecteur $\overrightarrow U$ tel que $\overrightarrow{Rot}(\overrightarrow U)=\overrightarrow V$ si bien s\^ur cela est possible ! (On dit parfois que $\overrightarrow V$ est un champ à flux conservatif ou un champ soléno\" idal).\\ La solution générale est la somme d'une solution particulière et d'un gradient arbitraire, la calculatrice renvoie le vecteur solution particulière de première composante nulle.\\ On sait qu'un vecteur $\overrightarrow V$ est un rotationnel si et seulement si sa divergence est nulle : autrement dit si ${\tt DIV(V)=0}$.\\ En électro-magnétisme $\overrightarrow V$= $\overrightarrow B$= le champ magnétique et $\overrightarrow U$= $\overrightarrow A$= le potentiel vecteur.\\ {\tt VPOTENTIAL} est la fonction réciproque de {\tt CURL}.\\ On tape : $${\tt VPOTENTIAL([2*S1*S2+3,S1^2-4*S3,-2*S2*S3],[S1,S2,S3]) }$$ %On obtient : %$${\tt [0,-2\cdot Z\cdot Y\cdot X,3\cdot Y-(\frac{1}{3}\cdot X^3-4\cdot Z\cdot X)]}$$ % GBASIS Invalid syntax