\documentclass{article} \usepackage[francais]{babel} %\usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} \usepackage{inputenc} \usepackage{xspace} \usepackage{times} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \usepackage[pdftex,colorlinks]{hyperref} \else \usepackage[ps2pdf, breaklinks=true, colorlinks=true, linkcolor=red, citecolor=green ]{hyperref} \fi %HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page personnelle de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse}{Bernard Parisse}.} %HEVEA\htmlhead{Retour \`a la page personnelle de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse}{Bernard Parisse}.} \usepackage{pst-plot} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \begin{document} \topmargin -1 cm \textheight 23cm \textwidth 16.5cm \columnsep 10pt \columnseprule 0pt \title{Module Calculatrices-L3} \author{ {\tt Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr} } \maketitle \begin{abstract} Ce cours/TD donn\'e en 2005/6 \`a l'Universit\'e de Grenoble a pour but de pr\'esenter les possibilit\'es des meilleures calculatrices des diff\'erents constructeurs (Casio, HP, TI) en parall\`ele, en insistant sur les possibilit\'es communes. On esp\`ere d'une part faciliter le travail de futurs enseignants dont les \'el\`eves auront probablement des mod\`eles de calculatrices diff\'erents et d'autre part les pr\'eparer \`a s'adapter aux \'evolutions in\'evitables de la technologie pendant leur carri\`ere en distinguant mieux les concepts de leur traduction sur tel ou tel mod\`ele. Certaines parties ne sont pour l'instant pr\'esent\'ees que pour TI et HP (aucun \'etudiant pr\'esent n'avait de Casio Classpad) \end{abstract} \tableofcontents \section{Mod\`eles de calculatrices graphiques} Un bref survol des capacit\'es des meilleurs mod\`eles graphiques des constructeurs, par ordre alphab\'etique, avec entre parenth\`eses la gamme de prix. \begin{itemize} \item Casio: \\ Le Classpad 300/330 est \`a mi-chemin entre un PDA et une calculatrice (environ 230 euros, mod\`ele disponible au capes): calcul formel, g\'eom\'etrie (point fort pour ce mod\`ele, on dispose d'un stylet), tableur, 3-d, un peu de programmation (pas de possibilit\'es de fonctions complexes), pas d'unit\'es/constantes physiques.\\ La Graph 100 (120 \`a 155 euros) fait aussi du calcul formel mais est moins performante, n'a pas de module de g\'eom\'etrie, ni tableur, ni de 3-d, et la programmation est rudimentaire. Les autres mod\`eles Casio ne font ni calcul formel, ni g\'eom\'etrie.\\ Pour tester la Classpad 300, il existe un \'emulateur en version limit\'ee \`a 30 jours sur \verb|classpad.net| pour Windows (fonctionne sous Linux avec Wine, cliquer sur H-Key pour pouvoir utiliser le bouton droit de la souris). \item HP:\\ Deux mod\`eles font du calcul formel, les 50G (150 euros) et 40GS (120 euros). La 50G est une version plus rapide de la 49G, mod\`ele qui n'est plus commercialis\'e mais est disponible au Capes (car r\'etroprojetable). La programmation est plus restreinte sur la 40GS. La 3-d et les unit\'es et constantes physiques ne sont disponibles que sur les 49/50G. Un module de g\'eom\'etrie et tableur est disponible sur la 49/50G en t\'el\'echargeant une ROM depuis\\ \verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/capes.html|\\ Pour les tester, il existe des \'emulateurs et des ROMs sur \verb|www.hpcalc.org| \item TI: \\ Le haut de gamme, parfois nomm\'e TI9x, regroupe les Voyage 200 (disponible au capes, 250 euros environ), TI92 (occasion) et TI89 (180 euros environ) et la TI-NSpire CAS (disponible au capes, 210 euros environ): calcul formel, g\'eom\'etrie (\`a charger gratuitement pour les TI89), 3-d (attention pas de 3-d sur la NSpire CAS), programmation, unit\'es et constantes physiques. Il existe une application flash tableur incluse sur les V200 et gratuite sur les TI89.\\ Le milieu de gamme regroupe les TI83+ et 84 (85 \`a 125 euros), elles disposent d'un module de g\'eom\'etrie gratuit mais pas de calcul formel, ni de 3-d. Le tableur est payant. Les autres mod\`eles de TI ne font ni g\'eom\'etrie ni calcul formel.\\ Il existe un \'emulateur pour toutes les TI, pour Linux, chercher tiemu, pour Windows, chercher sur \verb|www.ticalc.org|, on peut ensuite t\'el\'echarger les mises \`a jour du syst\`eme de la calculatrice \`a \'emuler sur le site de TI \verb|www.ti.com|. \end{itemize} \pagebreak \section{Prise en main} \begin{itemize} \item Les {\bf touches} sur les TI/HP: chaque touche peut avoir 6 fonctions selon qu'elle est ``shift\'ee'' ou en mode alphab\'etique (rep\'erez les 2 shift droit et gauche sur HP ou shift et 2nd sur TI et la touche alpha). On peut bloquer le mode alpha sur les TI9x et 49 en tapant 2 fois sur la touche alpha et d\'ebloquer en tapant une fois sur alpha. Exemple: pour \'eteindre taper shift-ON. Les TI V200 et nspire CAS ont un clavier alphab\'etique s\'epar\'e. Sur les nspire CAS, il y a seulement un modificateur de touche, la touche ctrl. \item Les calculs se font dans l'application {\bf main} ou l'{\bf historique} selon les mod\`eles. Sur les Classpad et V200, il faut s\'electionner Main depuis le menu principal. Sur la nspire CAS, touche maison puis 1. calculer ou Ctrl-fleche droite/gauche s'il existe deja une page de calcul.\\ On tape le calcul directement sur le Classpad, ou dans une ligne s\'epar\'ee appel\'ee ligne de commande sur les TI et HP. Taper ENTER (ou EXE sur Casio) pour ex\'ecuter la ligne de commande. Les paires de question/r\'eponse s'affichent dans l'historique. On peut modifier sur place un calcul sur les Casio, ou recopier un niveau de l'historique puis le modifier sur les TI/HP avec les fl\`eches haut et bas. \item Les {\bf menus} s'actionnent au stylet sur le Classpad, ou avec les touches F1-F6 sur les TI/HP ou la touche menu, les touches de direction tab et entree sur le nspire CAS.\\ Le menu apparait en bas sur les HP (bandeau). On peut changer le menu par des touches du clavier (par exemple TOOL qui est le menu courant de l'application, ALGB le menu alg\`ebre, etc.). Utiliser NXT et PREV (49) pour passer \`a la page suivante/pr\'ec\'edente du menu. \item {\bf Aide}: on dispose d'un catalogue (touche CAT ou dessin d'un livre sur le nspire CAS) qui d\'ecrit bri\`evement le type des arguments de chaque commande. Les HP et la nspire CAS disposent d'une aide en ligne pour les commandes du CAS (TOOL NXT HELP) d\'ecrivant bri\`evement la commande, avec un ou des exemples et chez HP des liens vers les commandes proches. \item {\bf Modes}: les calculs sont affect\'es par le mode courant (r\'eel/complexe, exact/approx, radian/degr\'e, etc.). Ces modes apparaissent en bas sur les Classpad/TI et en haut sur les HP, dans une ligne appel\'ee ligne d'\'etat (R/C, =/~, RAD/DEG). Pour les changer, utiliser la touche MODE sur les TI/HP ou le menu Settings du Classpad (choisir basic) ou touche Home puis 8.Info systemes et r\'eglage du classeur sur la nspire CAS.\\ Attention, le mode dit d\'ecimal des Classpad ne signifie pas que les calculs interm\'ediaires sont effectu\'es en mode approximatif, il peut \^etre n\'ecessaire d'utiliser \verb|approx()| pour forcer l'ex\'ecution d'un calcul interm\'ediaire en mode approx. \item Pour {\bf interrompre un calcul}, appuyer sur ON sur les HP (si cela ne fonctionne pas, taper ensuite ON-F3, ou enfoncer le bouton reset \`a l'arri\`ere), sur ON sur les TI, cliquer sur ESC en bas \`a droite sur les Casio. \end{itemize} \vspace{0.2cm} {\bf Exercice}: \begin{enumerate} \item Calculer $\sin(3)$ en mode radian et en mode degr\'es. \item Calculer 10! en mode exact \item Passez en mode approch\'e et refaites le m\^eme calcul \item D\'evelopper puis factoriser le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$. Utiliser les menus pour trouver la fonction expand ou factor, essayez aussi de les saisir au clavier. \end{enumerate} \section{Repr\'esentation exacte et approch\'ee des nombres.} On distingue~: \begin{itemize} \item Les entiers courts (HP49/50 uniquement):\\ Ce sont des entiers de taille fixe (32 ou 64 bits par exemple) compris entre $]-2^{31},2^{31}]$, utiliser le pr\'efixe \#. Utiles pour programmer et faire des calculs modulaires (pour $n<\sqrt{2^{31}}$ (ou $n<\sqrt{2^{63}}$). \item Les {\bf entiers longs} (en pr\'ecision arbitraire):\\ La limite est beaucoup plus grande, mais les op\'erations arithm\'etiques sont plus longues. \item Les {\bf nombres flottants}\\ Ils se composent d'une mantisse et d'un exposant s\'epar\'es par le signe \verb|E|. Sur les calculatrices, ils sont cod\'es en base 10 (on parle alors de BCD, binaire cod\'e d\'ecimal). La base 10 est utilis\'ee sur beaucoup de calculatrices car elle permet de repr\'esenter les nombres d\'ecimaux sans erreurs. {\bf Notation scientifique}: on tape la mantisse, puis e (touche EE), puis l'exposant. Le s\'eparateur d\'ecimal est le point par d\'efaut. {\bf Erreurs d'arrondi et de repr\'esentation}. La mantisse \'etant de taille finie, \`a chaque calcul ou d\`es qu' on repr\'esente un rationnel qui n'est pas de la forme un entier divis\'e par la base \`a une puissance petite, on fait une erreur relative sur le nombre repr\'esent\'e. Par exemple, si on est en base 10 avec une mantisse de 15 digits, l'erreur relative d'arrondi est de $10^{-15}$. Lorsqu'on effectue une multiplication, les erreurs relatives s'additionnent (et il faut ajouter une erreur relative d'arrondi). Pour les additions et soustractions ce sont les erreurs absolues qui s'additionnent, donc si les mantisses se compensent presque, l'erreur relative peut augmenter consid\'erablement, par exemple $(1.0+10^{-15})-1.0$ devient nul. N.B.: sur les HP49/50, il existe une librairie pour calculer avec des nombres flottants longs (le nombre de chiffres significatifs est alors fix\'e par l'utilisateur). Les erreurs d'arrondis sont plus faibles mais le temps de calcul est plus long. \end{itemize} Sp\'ecifications pour les entiers et les flottants selon les mod\`eles~: \begin{itemize} \item Classpad: les entiers ne peuvent pas d\'epasser 611 chiffres. Les flottants utilisent le BCD avec 15 d\'ecimales. \item HP: entier en pr\'ecision arbitraire, 5 quartets (taille) puis nombre en base 10, la limite sur les nombres utilisables est donc la m\'emoire (200K environ) et le temps n\'ecessaire aux calculs. Le temps d'affichage d'un entier long est proportionnel \`a la taille de l'entier en raison du choix du format BCD de stockage des entiers. Flottants: 2 formats (interne plus pr\'ecis, externe accessible depuis l'interface), le mode est aussi le BCD. \item TI: Les entiers en pr\'ecision arbitraire sont cod\'es par un ``tag'' de signe, un octet pour la longueur, puis la valeur absolue de l'entier (en base 2). Ils sont donc limit\'es par le champ longueur \`a 255 octets, le plus grand entier repr\'esentable est $(256^{255}-1)$ soit 614 chiffres. L'affichage d'un entier n\'ecessite une conversion de la base 2 \`a la base 16, il est donc proportionnel en temps au carr\'e du nombre de chiffres, et devient sensible lorsqu'on approche de la limite des 600 chiffres. Sur les TI nspire CAS, la taille autoris\'ee est plus longue, en affichage on atteint 992 chiffres, en interne c'est probablement plus. Les flottants utilisent le format BCD avec 14 d\'ecimales. \end{itemize} \vspace{0.2cm} {\bf Exercices} (Calcul exact et approch\'e sur les entiers et r\'eels) \begin{enumerate} \item Y-a-t-il une limite sur la plus grande factorielle calculable exactement et approximativement sur votre calculatrice? \item Trouver $n$ le plus petit possible tel que $(1.0+10^{-n})-1.0$ renvoie 0.0 \item Calculer les premi\`eres valeurs de $u_{n}$ en mode exact et approch\'e avec~: \[ u_{n+1}=2(u_n-\frac{1}{3}) = 2u_n -\frac{2}{3}, \quad u_0=\frac{2}{3} \] Comparer les r\'esultats, en mode approch\'e obtient-on la m\^eme suite selon la formule de r\'ecurrence entr\'ee? \item Calculer en mode approch\'e en croissant ou en d\'ecroissant pour quelques valeurs de $n$ \[ \sum_{j=1}^n \frac{1}{j^{3/2}} \] \item D\'eterminer la valeur et le signe de la fraction rationnelle \[ F(x,y)= \frac{1335}{4} y^6 + x^2 (11x^2 y^2-y^6 -121y^4-2) + \frac{11}{2} y^8 + \frac{x}{2y}\] en $x=77617$ et $y=33096$ en faisant deux calculs, l'un en mode approch\'e et l'autre en mode exact. Que pensez-vous de ces r\'esultats? \end{enumerate} \section{L'application main/historique} Il s'agit en fait d'un mini-logiciel de calcul formel. En g\'en\'eral les noms des commandes du Casio Classpad sont les m\^emes que sur TI, et certains noms de commande sont identiques sur TI et HP mais ces derniers sont saisis en majuscules. \subsection{Objets, \'evaluation} Les principaux types d'objets manipulables par ce logiciel sont: les entiers en pr\'ecision arbitraire (limit\'es \`a 600 chiffres sur les TI/Casio), les flottants (14 ou 15 chiffres significatifs), les complexes (de partie r\'eelle et imaginaire des flottants ou des entiers), les fractions, les symboles (ou noms de variables), les expressions, les vecteurs, les matrices, les chaines de caract\`eres, les listes (d'objets quelconques). Il existe d'autres types selon les machines, par exemple les objets-unit\'es (pour la physique), les objets graphiques, les programmes et fonctions etc. Pour certains types, on peut parfois s'aider d'un mode d'\'edition convivial, par exemple l'\'editeur d'\'equation sur les HP ou Casio ou TI Nspire CAS, ou les \'editeurs de matrice chez HP/Classpad/TI (attention sur la Voyage200, s\'electionnez au d\'ebut le mode Matrix de APPS Data/Matrix). Il existe toujours une syntaxe en mode ligne de commande, le type de l'objet \'etant souvent d\'efini par des d\'elimiteurs en d\'ebut et fin de saisie: \begin{itemize} \item entiers et r\'eels n'ont pas de d\'elimiteurs. Un r\'eel entier se distingue par le s\'eparateur d\'ecimal \verb|.| et \'eventuellement le s\'eparateur \verb|E| entre mantisse et exposant (touche \verb|EE| chez TI/HP ou \verb|EXP| chez Casio). \item les complexes s'\'ecrivent en notation alg\'ebrique $x+i*y$ (avec le $i$ sp\'ecial du clavier sur TI, du clavier virtuel sur Classpad, sur HP, on utilise le $i$ normal), ou sous forme d'un couple de r\'eels $(x,y)$ chez TI et HP (on obtient alors un complexe approch\'e). \item les noms de variables n'ont pas d\'elimiteurs. Les noms de variables peuvent avoir plusieurs lettres, de plus ils sont sensibles \`a la diff\'erence majuscule/minuscule sur HP. Une variable peut \^etre affect\'ee (touche \verb|STO| chez TI/HP ou $\Rightarrow$ chez Casio), dans ce cas sa valeur d'affectation sera utilis\'ee lors de l'\'evaluation d'une expression. Une variable non affect\'ee est dite symbolique. On peut purger une variable avec la commande \verb|PURGE| (HP) ou \verb|DelVar| (TI/Casio). Une variable peut \^etre locale \`a l'int\'erieur d'un programme, dans ce cas sa valeur dans le programme est ind\'ependante de sa valeur en dehors. \item les expressions n'ont pas de d\'elimiteurs, la syntaxe est la syntaxe alg\'ebrique, il faut indiquer toutes les op\'erations (y compris \verb|*|, sauf sur les TI/Casio apr\`es un entier/r\'eel et avant un symbole), et les r\`egles de priorit\'e s'appliquent (par exemple \verb|1/2*3| vaut $3/2$). Attention, sur TI, le signe moins unaire est diff\'erent du signe moins binaire. \item les listes utilisent les d\'elimiteurs \verb|{ }|, les \'el\'ements sont s\'epar\'es par des virgules (ou des espaces en mode RPN sur HP). Attention, les listes sur TI ne peuvent contenir de listes que si ces listes sont toutes de m\^eme longueur et sur Classpad elles ne peuvent contenir de listes. \item les vecteurs utilisent les d\'elimiteurs \verb|[]|, les \'el\'ements sont s\'epar\'es par des virgules (ou des espaces en mode RPN sur HP). TI utilise des matrices \`a 1 ligne (ou 1 colonne) pour repr\'esenter des vecteurs, on utilise le s\'eparateur \verb|,| ou \verb|;| selon le type de vecteurs cr\'e\'es. \item les matrices utilisent les d\'elimiteurs \verb|[]|, puis on donne les vecteurs lignes de la matrice, sans s\'eparateur sur les TI, et s\'epar\'ees par des virgules sur les HP en mode alg\'ebrique. \item L'acc\`es \`a un \'el\'ement d'une variable contenant un vecteur ou une liste se fait avec la notation indici\'ee, les indices variant de 1 \`a la taille du vecteur ou de la liste. Pour acc\'eder \`a un \'el\'ement d'une matrice \verb|m|, on utilise la notation \verb|m[i,j]| chez TI/Casio, chez HP on utilise l'instruction \verb|GET| ou un seul indice obtenu en multipliant le nombre de colonnes par le num\'ero de ligne moins un et en ajoutant le num\'ero de colonne.\\ On peut extraire une sous-matrice avec \verb|subMat| (TI/Casio) ou \verb|SUB| (HP). \item Les programmes sur HP peuvent \^etre entr\'es en ligne de commande avec le d\'elimiteur \verb|<< >>|. Sur TI/Casio, il faut utiliser l'\'editeur de programmes. Nous reviendrons sur les programmes ult\'erieurement. \item Les chaines utilisent le d\'elimiteur \verb|"|. \end{itemize} En r\'esum\'e~: \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline Types & Exemple & Instructions relatives \\ \hline Entier & 1 & \\ R\'eel & 1.2 & \\ Complexe exact & 1+2*i & \\ Complexe approch\'e & 1.2+2.3*i & \\ Variable & x & \verb|STO>|, \verb|PURGE| ou \verb|DelVar| \\ Expression & 1+2*sin(x) & \verb|OBJ->| ou \verb|part| \\ Liste & \{ 1, 2\} & L[1] \\ Vecteur & [1, 2] & v[2] (TI v[1,2]) \\ Matrice & TI/Casio: [ [1,2] [3,4] ] & M[2,1] \\ & HP: [[1,2],[3,4]] & M[3] \\ Chaine & \verb|"alpha"| & \\ \hline \end{tabular} \end{center} Il existe des instructions permettant de convertir des types en autres types~: \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Objets: conversion, d\'ecomposition & HP & TI & Casio \\ \hline Matrice vers liste & \verb|AXL|& \verb|mat->list| & \verb|matToList| \\ Liste vers matrice & \verb|AXL| & \verb|list->mat| & \verb|listToMat| \\ \hline Rendre approch\'e & \verb|->XNUM| & \verb|approx| & \verb|approx| \\ Rendre exact & \verb|XQ| & \verb|exact| & \verb|exact| \\ \hline Vers chaine de caract\`eres & \verb|->STR| & \verb|string| & \\ De chaine de caract\`ere & \verb|STR->| & \verb|expr| & \verb|expToStr| \\ \hline \end{tabular} \end{center} Lorsqu'on tape une commande dans (main/historique), il s'agit d'une chaine de caract\`eres, qui est ensuite transform\'ee en un objet par l'interpr\'eteur (en anglais parser), puis \'evalu\'ee en fonction du contexte et des modes et/ou simplifi\'ee ou non. L'\'evaluation consiste \`a remplacer les variables qui ont \'et\'e affect\'ees par leur valeur, et \`a propager ces remplacement dans les calculs. La simplification consiste \`a appliquer certaines r\`egles (par exemple regrouper des termes, simplifier les fractions rationnelles, ...). Chez TI, l'\'evaluation et la simplification sont automatiques, et ne peuvent \^etre emp\^ech\'es. Chez Casio, on peut emp\^echer la simplification en mode assistant. Chez HP, on peut emp\^echer l'\'evaluation en utilisant le symbole \verb|'| (quote) ou la fonction \verb|QUOTE|, on peut forcer une \'evaluation avec l'instruction \verb|EVAL|. Notez qu'en mode RPN (voir ci-dessous) sur les HP, il n'y a aucune simplification automatique. Comme dans les logiciels de calcul formel, le langage des calculatrices formelles est non typ\'e, c'est-\`a-dire que les instructions s'adaptent dans la mesure du possible aux diff\'erents types de donn\'ees pass\'ees en argument, par exemple il existe une m\^eme instruction + qui permet d'additionner des r\'eels ou des entiers ou des chaines de caract\`eres (concat\'enation). Il est toutefois important de comprendre que les op\'erations peuvent \^etre tr\`es diff\'erentes selon le type des objets pass\'e (et les modes). On peut utiliser tous les types d'objets en argument d'une fonction, \`a l'exception des objets de types programmes ou fonction sur les TI/Casio/HP en mode alg\'ebrique. Notez aussi qu'une instruction a toujours le m\^eme nombre d'arguments sur les HP, ou peut avoir un nombre variable d'arguments chez TI/Casio. Sur les HP, il existe en effet un mode de saisie, dit RPN (reverse polish notation), dans lequel on doit donner les arguments d'une instruction avant l'instruction, elle ne peut donc pas avoir un nombre variable d'arguments. Exercices~: \begin{enumerate} \item Testez les environnements de saisie s'ils existent pour entrer une \'equation, une matrice. \item Simplifier les expressions suivantes: \[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}} \quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad e^{i\pi/6}, \quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) \] \item Factoriser~: \[ x^8-3x^7-25x^6+99x^5+60x^4-756x^3+1328x^2-960x+256 \] \[ x^6-2x^3+1, \quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y \] \item Calculez les int\'egrales et simplifiez le r\'esultat: \[ \int \frac{1}{e^x-1} \ dx, \quad \int \frac{1}{x\ln(x)} \ln(\ln(x)) dx, \quad \int (2x^2+1)e^{x^2} \ dx, \quad \int x\sin(x)e^{x} \ dx \] V\'erifiez en d\'erivant les expressions obtenues. \item D\'eterminer la valeur de: \[\int _1^2\frac{1}{(1+x^2)^3}, \quad \int _1^2 \frac{1}{x^3+1} \ dx \] \item Calculer les sommes suivantes \[\sum_{k=1}^N k,\ \sum_{k=1}^N k^2,\ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\] \item D\'evelopper $\sin(3x)$, lin\'eariser l'expression obtenue et v\'erifier qu'on retrouve l'expression initiale. \item Calculer le d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ \`a l'ordre 4 de: \[ \ln(1+x+x^2),\quad \frac{\exp(\sin(x))-1}{x+x^2} , \quad \sqrt{1+e^{x}}, \quad \frac{\ln(1+x)}{\exp(x)-\sin(x)} \] \item Cr\'eez une liste de taille 3, un vecteur de taille 3, une matrice 3,3 et testez l'acc\`es \`a un \'el\'ement d'une liste, d'un vecteur, d'une matrice. Effectuez le produit de la matrice par le vecteur. Convertissez la liste en vecteur et inversement. \item R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire \[ \left\{ \begin{array}{lllllll} x &+& y &+& az&=&1\\ x & +& a y&+& z&=&2 \\ ax & +&y &+& z&=&3 \end{array}\right. \] en utilisant soit l'instruction \verb|rref| sur la matrice augment\'ee, soit la formule $A^{-1} b$. \item Cr\'eez un objet de chaque type en mode ligne de commande, stockez-le dans une variable, par exemple \verb|1.1, 12, 1+2i, (0.5,2.3), 1/2, x, x*sin(x)-x, [1,2]|, une matrice al\'eatoire 2 par 2, la liste des objets pr\'ec\'edents. \item V\'erifiez le type de la variable (avec \verb|TYPE| ou \verb|getType|). \item Essayez de d\'ecomposer l'objet si on peut le faire (selon le type d'objet et le mod\`ele de calculatrice). \item Testez ce que font les op\'erations +, inverse, *, /, avec chaque type de variable. \end{enumerate} \pagebreak \section{Calcul formel} \subsection{Fonction et expression} Une fonction est une correspondance qui \`a un objet associe un autre objet. Une expression n'est pas une correspondance, c'est un objet, par exemple le r\'esultat de l'\'evaluation d'une fonction en un point. \verb|DEFINE| ou \verb|Define| permet de d\'efinir une fonction. Comme toutes les instructions de calcul formel travaillent sur des expressions, sauf l'\'evaluation en un point (et quelques instructions sur HP en mode RPN), si on a d\'efini une fonction, il ne faut pas la passer seule en argument, mais il faut passer le r\'esultat de son \'evaluation en un point. Par exemple, si on d\'efinit \verb|Define f(x)=x^2-1|, on \'ecrira \verb|factor(f(x))| et non \verb|factor(f)|. \subsection{Variables: mode r\'eel, complexe, hypoth\`eses.} Le choix du mode r\'eel ou complexe influe sur les op\'erations comme la factorisation ou ce qui en d\'epend (d\'ecomposition en \'el\'ements simples, calcul de primitives par exemple). On peut passer temporairement en mode complexe sur les TI avec les instructions \verb|cFactor| ou \verb|cSolve|. Les variables symboliques (non affect\'ees) sont r\'eelles en mode r\'eel. En mode complexe, cela d\'epend~: \begin{itemize} \item du nom de variable sur TI: s'il se termine par \verb|_|, la variable sera consid\'er\'ee comme complexe, sinon elle sera r\'eelle. Attention donc, si vous utilisez \verb|cSolve| une variable nomm\'ee \verb|z| est consid\'er\'ee comme r\'eelle, et \verb|conj(z)| sera simplifi\'e en \verb|z|, ainsi \verb|cSolve(z+conj(z)*i=1,z)| renvoie un r\'esultat faux, car \verb|conj(z)| est remplac\'e par \verb|z| {\bf avant} l'ex\'ecution de \verb|cSolve|. Il faut utiliser \verb|cSolve(z_+conj(z_)*i=1,z_)| pour obtenir la r\'eponse correcte. \item elles sont complexes chez Casio \item du drapeau variable r\'eelle sur les HP (touche MODE puis FLAGS puis fl\`eche vers le haut pour faire apparaitre le flag syst\`eme 128), s'il est mis, toutes les variables sont r\'eelles, sinon, les variables sont complexes sauf celles contenues dans la liste \verb|REALASSUME| du r\'epertoire \verb|CASDIR|. \end{itemize} On peut faire une hypoth\`ese globale sur une variable sur les HP du type \verb|ASSUME(T>1)|. Cela ajoute alors \verb|T| \`a la liste des variables r\'eelles et permet de simplifier des expressions comme \verb|ABS(T^2-1)|. Chez TI/Casio, on peut faire une hypoth\`ese locale sur une variable, en \'evaluant une expression sous condition avec l'op\'erateur \verb_|_, par exemple \verb_abs(t-1)|t>1_ (mais la classe d'expression simplifiable chez TI est assez restreinte, par ex. \verb_abs(t^2-1)|t>1_ n'est pas simplifi\'e). \subsection{Arithm\'etiques des entiers} On donne ici les instructions du syst\`eme install\'e de base, il existe des programmes permettant d'\'etendre les fonctionnalit\'es pour TI et Casio. \begin{enumerate} \item Division euclidienne~: {\tt IDIV2/IQUOT/IREMAINDER/MOD} (HP49), {\tt intDiv/int/mod} (TI/Classpad) \item PGCD~: {\tt GCD/LCM} (HP), {\tt gcd/lcm} (TI/Casio) \item Bezout~: {\tt IEGCD/IABCUV} (HP) \item Liste des diviseurs~: {\tt DIVIS} (HP) \item Factorisation~: {\tt FACTOR} (HP), {\tt factor} (TI/Casio) \item Restes chinois~: {\tt ICHINREM} (HP) \item Indicatrice d'Euler~: {\tt EULER} (HP) \item Primalit\'e~: {\tt ISPRIME?/NEXTPRIME/PREVPRIME} (HP), {\tt isPrime} (TI, Classpad version 3) \item Puissance rapide modulaire~: {\tt POWMOD} (HP) \end{enumerate} Attention, le test de primalit\'e est en r\'ealit\'e un test de pseudo-primalit\'e de Miller-Rabin sur les HP, si le test \'echoue on peut affirmer que l'entier est composite, mais si le test r\'eussit, l'entier peut (avec une faible probabilit\'e) ne pas \^etre premier. Sur les TI, le test renvoie une erreur pour des nombres de taille sup\'erieure \`a $10^{306}$ n'ayant pas de diviseurs inf\'erieur \`a 1021. L'algorithme de factorisation commence par effectuer des divisions par les nombres premiers inf\'erieurs \`a une certaine valeur (environ 1000 sur HP) puis \'eventuellement effectue une recherche par une m\'ethode plus \'evolu\'ee, par exemple Pollard-rho, en utilisant le test de pseudo-primalit\'e et un temps limite de recherche. Il n'y a pas de test de primalit\'e chez Casio. \subsection{Op\'erations sur les flottants} \begin{itemize} \item conversion en approch\'e \verb|->NUM|, \verb|approx| \item conversion en rationnel \verb|XQ|, \verb|exact/toFrac| \item partie enti\`ere (par d\'efaut ou exc\`es) \verb|FLOOR|, \verb|CEIL| (HP), \verb|floor|, \verb|ceiling| (TI), \verb|int| (Casio) \item arrondi \`a un nombre de digits donn\'e en 2\`eme argument \verb|ROUND| (HP) \verb|round/fRound| (TI/Casio) \end{itemize} \subsection{Op\'erations sur les complexes} \begin{itemize} \item partie r\'eelle \verb|RE| (HP), \verb|real/re| (TI/Casio) \item partie imaginaire \verb|IM| (HP), \verb|imag/im| (TI/Casio) \item conjugu\'e \verb|CONJ| (HP), \verb|conj/conjg| (TI/Casio) \item norme \verb|ABS| (HP), \verb|abs| (TI/Casio) \item argument \verb|ARG| (HP), \verb|arg| (TI/Casio) \end{itemize} Sur les TI, on peut faire afficher un complexe en notation exponentielle ou cart\'esienne. Sur les Casio, on peut convertir un complexe sous forme cart\'esienne, exponentielle ou trigonom\'etrique avec \verb|cExpand|, \verb|compToPol| et \verb|comToTrig| \subsection{Arithm\'etiques des polynomes} Les TI/Casio proposent en base peu de fonctions pour les polyn\^omes, mais on peut les obtenir en ajoutant des programmes. \begin{itemize} \item division euclidienne et \'ecriture de fractions en isolant la partie enti\`ere \verb|DIV2|, \verb|PROPFRAC| (HP), \verb|propFrac| (TI/Casio) et \verb|PolyQuo|/\verb|PolyRem| (TI Nspire v1.3) \item num\'erateur et d\'enominateur d'une fraction \verb|FXND| (HP), \verb|getNum/numerator|, \verb|getDenom/denominator| (TI/Casio) \item PGCD et PPCM : \verb|GCD|, \verb|LCM| (HP), \verb|gcd|, \verb|lcm| (Casio). Sur les TI, on peut utiliser \verb|p/getNum(p/q)| pour obtenir le pgcd de \verb|p| et \verb|q|. Sur la TI NSpire v. 1.3, on peut utiliser \verb|PolyGcd|. \item identit\'e de B\'ezout \verb|EGCD|, \verb|ABCUV| (HP). On peut le programmer assez facilement sur la TI NSpire avec \verb|PolyQuo|/\verb|PolyRem|. \item restes chinois \verb|CHINREM| (HP) \item r\'esultant \verb|RESULTANT| (HP) \item factorisation \verb|FACTOR| (HP), \verb|factor| (TI/Casio) \\ La factorisation se fait sur $\Z$ si les coefficients sont exacts, elle ne donne pas forc\'ement un produit de polyn\^omes irr\'eductibles sur les TI. \\ Sur les HP, cocher le flag \verb|Num factorize| (MODE FLAGS, fl\'eche haut, remonter jusqu'au flag 109) pour forcer une factorisation num\'erique. Sur les TI, ajouter le nom de la variable en 2\`eme argument. Sur les Casio, utiliser \verb|rfactor|\\ Passer en mode complexe pour factoriser sur $\C$. \item \verb|PARTFRAC| (HP) ou \verb|expand| (TI/Casio): d\'ecomposition en \'el\'ements simples. Sur HP, passer en mode complexe pour obtenir la d\'ecomposition en \'el\'ements simples sur $\C$. \item \'evaluation d'un polyn\^ome par la m\'ethode de Horner, \verb|HORNER| (HP), \verb|polyeval| (TI/Casio) \item interpolation de Lagrange, \verb|LAGRANGE| \item localisation des racines r\'eelles d'un polyn\^ome par les suites de Sturm. \verb|STURM| et \verb|STURMAB| \end{itemize} \subsection{R\'e\'ecriture d'expressions} \begin{itemize} \item factoriser et d\'evelopper \verb|FACTOR, COLLECT, REORDER, EXPAND| (HP), \verb|factor, expand| (TI/Casio), \verb|rfactor/collect/combine| (Casio) \item d\'evelopper ou lin\'eariser une expression trigonom\'etrique. \verb|TEXPAND, TCOLLECT| (HP), \verb|tExpand, tCollect| (TI/Casio) \item d\'evelopper une exponentielle ou un logarithme~: \verb|TEXPAND| (HP) \verb|expand| (TI/Casio). Sur TI/Casio, une v\'erification de la validit\'e des arguments est effectu\'ee. par exemple $\ln(xy)$ n'est pas d\'evelopp\'e si on n'ajoute pas une hypoth\`ese $x>0$ ou $y>0$. \item lin\'eariser des exponentielles ou rassembler des logarithmes \verb|LIN| et \verb|LNCOLLECT| (HP), \verb|factor| (TI/Casio). Sur TI/Casio, les exponentielles sont automatiquements regroup\'ees. \item \verb|EXPLN| (HP) \verb|trigtoexp| (Casio) permettent de convertir les fonctions trigonom\'etriques en exponentielles complexes, inversement utiliser \verb|SINCOS| (HP) et \verb|exptotrig| (Casio). \item De nombreuses r\`egles de r\'e\'ecriture sont disponibles sur HP, par exemple pour convertir en $\tan(t/2)$ (\verb|HALFTAN|), cf. les menus \verb|EXP&LN|, \verb|TRIG|. \end{itemize} \subsection{Calcul diff\'erentiel et int\'egral} \begin{itemize} \item Limite~: \verb|LIMIT| (HP), \verb|limit| (TI/Casio), on passe en argument une expression, puis \verb|X=a| sur HP ou \verb|X,a| sur TI/Casio.\\ Pour obtenir une limite \`a droite indiquer \verb|X=a-0| sur HP ou ajouter un 4i\`eme argument -1 sur TI/Casio. \`A gauche, \verb|X=a+0| ou 1 en 4i\`eme argument. \item Taylor~: \verb|SERIES| (HP), \verb|series| (TI Nspire) \verb|taylor| (TI/Casio), on passe en argument une expression, puis \verb|X=a,n| sur HP ou \verb|X,n,a| sur TI/Casio o\`u $n$ est l'ordre. \\ Sur HP et TI Nspire, on peut faire un d\'eveloppement asymptotique en $\pm \infty$ en donnant cette valeur \`a $a$, sur les TI89/92 il faut faire soi-m\^eme le changement de variable. \\ Sur HP, on peut faire un d\'eveloppement \`a droite ou \`a gauche en passant pour l'ordre un r\'eel n\'egatif ou positif au lieu d'un entier, sur TI Nspire indiquer 1 ou -1 \`a \verb|series| pour le cot\'e. Le r\'esultat renvoy\'e par \verb|SERIES| sur les HP se compose de la limite, de l'\'equivalent, du d\'eveloppement et du reste.\\ L'ordre est l'ordre qui sera renvoy\'e sur TI, par contre sur HP il peut \^etre diminu\'e s'il y a eu des simplifications num\'erateur/d\'enominateur.\\ Attention sur TI89/92, le temps de calcul devient vite prohibitif si le d\'enominateur s'annule, l'algorithme utilis\'e calcule en effet les d\'eriv\'ees successives et leur limite au point $a$. On peut passer outre en calculant s\'epar\'ement les d\'eveloppements du num\'erateur et du d\'enominateur, puis on calcule le d\'eveloppement de la fraction simplifi\'ee $n/d$. On peut se ramener au cas o\`u $d\rightarrow 1$, on pose alors $c=1-d$ et on utilise: \[ \frac{n}{d}=\frac{n}{1-c} = n (1+c+c^2+...)\] \item D\'erivation~: \verb|DERVX|, \verb|DERIV| (HP), {\tt $d$}/\verb|diff| (TI/Casio). Sur TI/Casio, on peut indiquer un ordre de d\'erivation. Sur HP, \verb|DERIV| permet de calculer le gradient, \verb|HESSIAN| le hessien, \verb|CURL| le rotationnel, \verb|DIV| la divergence, \verb|LAPLACIAN| le laplacien. \item Recherche d'extremums~: \verb|fMin| et \verb|fmax| sur TI/Casio, \verb|TABVAR| (tableau de variations) sur HP. \item Primitive~: \verb|INTVX|, \verb|RISCH| (HP), {\tt $\int$} (TI/Casio). Sur HP, \verb|POTENTIAL| et \verb|VPOTENTIAL| permettent de calculer le potentiel ou le potentiel vecteur d'un champ. \item Int\'egrale d\'efinie~: en mode exact, le syst\`eme recherche une primitive. En mode auto sur TI, si la recherche \'echoue, une m\'ethode de quadrature est alors lanc\'ee.\\ Pour obtenir une valeur approch\'ee, utiliser \verb|->NUM| sur HP et \verb|nInt| (TI) ou \verb|approx| (TI/Casio). \end{itemize} \subsection{Solveurs num\'eriques et exacts} Les solveurs exacts permettent de \begin{itemize} \item r\'esoudre des \'equations se ramenant \`a des \'equations polynomiales (par changement de variable et factorisation) (HP: \verb|SOLVE|, attention au choix du mode r\'eel/complexe et factorisation num\'erique, TI/Casio \verb|solve| et TI \verb|cSolve|). \item r\'esoudre des syst\`emes d'\'equations lin\'eaires (HP: \verb|LINSOLVE|, TI: \verb|simult|), et plus g\'en\'eralement des syst\`emes simples d'\'equations polynomiales par base de Groebner (fonctions \verb|SOLVE/solve/csolve| ci-dessus, sur les HP on peut aussi afficher la base de Groebner par \verb|GBASIS|, et r\'eduire un polyn\^ome par rapport \`a une base de Groebner d'un id\'eal par \verb|GREDUCE|, sur les Casio \verb|solve| ne sait r\'esoudre que les syst\`emes lin\'eaires). \item certaines \'equations diff\'erentielles (par exemple lin\'eaires du 1er ordre ou lin\'eaires \`a coefficients constants par transformation de Laplace et inverse). Sur HP, utiliser \verb|DESOLVE|, sur TI/Casio, \verb|deSolve/dSolve|. Pour les \'equations lin\'eaires \`a coefficients constants ou les syst\`emes lin\'eaires \`a coefficients constants, utiliser \verb|LDEC| sur HP (il faut installer une application sur TI pour les syst\`emes ou les \'equations de degr\'e sup\'erieur \`a 2) ou la transform\'ee de Laplace (\verb|LAP/ILAP| sur HP, \verb|laplace/invlaplace| sur Casio). \end{itemize} Notez que la recherche num\'erique des racines d'un polynome peut se faire par \verb|PROOT| sur HP. La recherche de solutions exactes se ramenant \`a la factorisation des polynomes de degr\'e 3 ou plus ne renverra pas de solution exacte, mais des solutions num\'eriques si on choisit Num factorize sur les HP (MODE FLAGS 109) ou si on met en argument de \verb|solve| la variable sur les TI ou si on utilise \verb|rsolve| sur Casio. Les solveurs num\'eriques permettent de \begin{itemize} \item trouver une solution d'\'equation non polynomiale dans un intervalle donn\'e ou en partant d'une valeur initiale (initial guess). Fonction \verb|ROOT| sur les HP, \verb|nSolve| sur TI, \verb|solve| avec un 3i\`ieme argument chez Casio. Sur les HP, on acc\`ede au menu solveur num\'erique en shiftant la touche 7. Sur les TI, apps, puis 7. Chez Casio, application Numsolve. \item trouver une solution de syst\`eme d'\'equations non polynomiales (fonction \verb|MSLV| sur HP, \verb|solve/csolve| \'eventuellement forc\'e en mode approx sur TI) \item r\'esoudre num\'eriquement une \'equation diff\'erentielle (fonction \verb|RKF, RKFERR, RKFSTEP| sur HP), on peut utiliser l'application de repr\'esentation graphique sur tous les mod\`eles. \end{itemize} \pagebreak Exercices~: \begin{enumerate} \item Trouver les racines complexes des \'equations suivantes \[ z^2+(1+i)z-3-2i=0, \quad z+(2-3i)\overline{z}=1+2i\] \item D\'eterminer des nombres premiers de la forme $2^n+1$. \item D\'eterminer le nombre $n$ d'entiers inf\'erieur \`a 21 qui sont premiers avec 21, v\'erifier que si $a$ est premier avec 21, alors $a^n \pmod{21}=1$. \item Donner la valeur de $5^k \pmod k$ avec $k=10007$. \item Simplifier $\sin(3x)/\sin(x)$ \item V\'erifier que le polyn\^ome $x^5+x+1$ n'a que des racines simples et d\'eterminer son nombre de racines r\'eelles. Faire son tableau de variations. \item Trouver les racines exactes et approch\'ees de $x^3+x+1=0$, $\exp(x)+x=3$, $\sin(x)^2-2=0$. \item Donner une primitive (\`a coefficients approch\'es) de $1/(x^4-3x^3+5x+1)$ \item Calculer le d\'eveloppement de Taylor du num\'erateur et du d\'enominateur de \[ \frac{\ln(1+x)}{\exp(x)-\cos(x)} \] \`a l'ordre 6 en $x=0$, en d\'eduire celui de la fraction \`a l'ordre 5. \item Calculer le terme d'ordre $n$ du d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ de \[ \frac{1}{(x^2-4x+3)(x+2)} \] (on commencera par d\'ecomposer la fraction en \'el\'ements simples). V\'erifiez pour les 5 premiers termes. \item Calculer une valeur approch\'ee de $\int_0^{\infty} \exp(-x^2) \ dx$ en faisant le changement de variable $x=\tan(t)$. \item Trouver l'intersection du cercle de centre l'origine, rayon 1 et de l'ellipse d'\'equation $x^2+2xy+3y^2 +3x-3y=3$.\\ R\'esoudre le syst\`eme $sin(x)+y=2, x+cos(y)=2$. \item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle $e^x y'=y+1$, calculer la valeur en $x=1$ de la solution passant par $(0,1)$.\\ Peut-on r\'esoudre exactement l'\'equation \[ (E) \quad y'=\sqrt{\sin(y+x)^2+1-\cos(x)} \] \`a la calculatrice~? Calculer une valeur approch\'ee en $x=1.0$ de $y$ v\'erifiant $(E)$ et passant par $(0.0,1.2)$. \item Chercher les extremas locaux de la fonction $(x+y+1)(x-2y-3)(x-y-1)$. \item Soit $A,B,C$ trois points quelconques du plan. On construit les triangles \'equilat\'eraux directs de cot\'es $AB, AC, BC$ et le triangle dont les sommets sont les centres de ces 3 triangles. Montrer en utilisant les nombres complexes que ce triangle est \'equilat\'eral: on supposera par exemple que $A$ a pour affixe 0, $B$ a pour affixe 1 et $C$ a pour affixe $z=x+iy$, on calculera les coordonn\'ees des trois centres en fonction de $z$. \end{enumerate} \pagebreak \section{Repr\'esentations graphiques} Les principaux types de courbes non statistiques sont~: \begin{itemize} \item les graphes de fonction d'une variable (dans le plan) ou de 2 variables (3-d) \item les courbes param\'etr\'ees \item les courbes en polaire (sur la Nspire, \`a partir de la version >=1.3) \item les solutions (num\'eriques) d'\'equation diff\'erentielles du 1er ordre de la forme $y'=f(x,y)$ (n\'ecessite la version 3 du Classpad, non natif sur NSpire, cf. le dossier Exemple \`a partir de la version 1.7) \item les courbes implicites (non natif sur la NSpire, pour les coniques cf. le dossier Exemple \`a partir de la version 1.7) \item les suites r\'ecurrentes (Nspire \`a partir de la version 1.7) \end{itemize} Pour repr\'esenter une courbe, la calculatrice va \'echantilloner la (ou les) fonction(s) d\'efinissant la courbe en fonction de param\`etres de discr\'etisation, puis, en tenant compte des param\`etres d'affichage, tracer les points correspondants et \'eventuellement les relier entre eux par de petits segments de droite (option Connect d'un des \'ecrans de r\'eglages). Pour les trac\'es de type fonction, il faut d\'efinir la plage de $x$, de $y$, pour les trac\'es autres que fonction, il faut aussi d\'efinir la plage du param\`etre (ou les valeurs initiales et finales de la variable pour une \'equation diff\'erentielle). On indique le pas d'\'echantillonage, pour une fonction (en unit\'es ou en pixels) ou le pas de r\'esolution num\'erique pour une \'equation diff\'erentielle. Plus le pas d'\'echantillonage est petit, plus le trac\'e sera pr\'ecis, mais plus il sera lent. Ce qui donne selon les mod\'eles~: \begin{enumerate} \item Choix du type de graphe\\ sur HP, taper simultan\'ement sur shift-gauche et F4 (2D/3D) puis choisir le type parmi (Function, Parametric, Polar, Conic, Diffeq, Slopefield, 3d). Les suites r\'ecurrentes se tracent \`a partir de l'application de g\'eom\'etrie. \\ Sur TI, le r\'eglage du type de trac\'e se fait dans MODE (Function, Parametric, Polar, Sequence, Fast3d, diff equations). On doit parfois compl\'eter le type de trac\'e en utilisant le menu F1-9 de diamond-Y=. Par exemple pour les courbes de niveau et les courbes implicites, choisir le mode 3d puis Graph Formats contour levels ou implicit plot. \\ Sur Classpad, on choisit dans Menu soit Graph soit 3-d soit Conic soit Suites. Pour Graph, on choisit le type dans le menu \verb|Type|. Il n'y a pas de mode pour tracer les solutions d'\'equations diff\'erentielles. \item D\'efinition des fonctions \`a repr\'esenter~:\\ Sur HP, l'expression ou la liste des expressions \`a repr\'esenter est stock\'ee dans la variable \verb|EQ|. Vous pouvez aussi sp\'ecifier ces expressions en tapant sur shift-gauche F1 (Y=). Pour les fonctions, l'expression \`a entrer est $(y=)f(x)$ ou $(z=)f(x,y)$ (3-d), pour les courbes param\'etriques, l'expression est donn\'ee par le nombre complexe $x(t)+i*y(t)$, attention \`a changer le nom de la variable ind\'ependante (en $t$ ici), pour les courbes en polaires, on donne $\rho(x)$ o\`u $x$ est l'angle, pour les courbes implicites $f(x,y)=0$, pour les \'equations diff\'erentielles, on donne $f(x,y)$ o\`u l'\'equation diff\'erentielle est $y'=f(x,y)$. Pour tracer plusieurs courbes d\'ependant d'un param\'etre, on peut utiliser la commande \verb|SUBST|, par exemple \verb|SUBST(A*SIN(X),A={1,2}) STO> EQ| \\ Chez TI, on entre les expressions d\'efinissant les courbes en tapant diamond \verb|Y=|. Ces expressions ne sont pas toujours \'evalu\'ees (par exemple on ne peut pas mettre un nom de variable contenant une expression d\'ependant de $x$). Pour les graphes on d\'efinit ainsi $y1$, ..., pour les fonctions, $xt1, yt1$, ... pour les courbes param\'etriques, etc. Pour tracer plusieurs courbes ayant la m\^eme \'equation d\'ependant d'un param\`etre, il suffit d'affecter \`a ce param\`etre la liste des valeurs souhait\'ees, par exemple \verb|{1,2,3} STO> a| puis \verb|y1=sin(a*x)|\\ Sur Classpad, on entre $y1$, ..., pour les fonctions, $xt1, yt1$, ... pour les courbes param\'etriques, etc. \item R\'eglage des param\`etres\\ Sur HP, les param\`etres H-Tick et V-Tick indiquent le d\'ecalage entre 2 marques successives sur les axes, en pixels ou en unit\'es (selon que Pixels est coch\'e ou non). Shift-WIN permet de r\'egler les param\`etres d'affichage (pour les fonctions, vous pouvez laisser AUTOscale calculer W-Win s'il n'y a pas de pole de la fonction dans l'intervalle). Attention, pour les trac\'es de type Equation diff\'erentielle, il manque le nom de la variable d\'ependante, par d\'efaut \verb|Y|, on peut le d\'efinir dans le type champ des tangentes (Slopefield).\\ Sur TI, diamond WINDOW permet de d\'efinir la fen\^etre d'affichage par exemple les valeurs de \verb|xmin/xmax|, \verb|xres|, \verb|xscl/yscl| pour les fonctions. Les param\`etres \verb|xscl| et \verb|yscl| d\'efinissent le tick sur les axes, alors que \verb|xres| d\'efinit en pixels le pas entre 2 \'evaluations. Le menu Style de \verb|Y=| permet de d\'efinir comment le trac\'e est effectu\'e (points connect\'es, points non connect\'es, point mobile avec ou sans trace, animation). \\ Sur Classpad, choisir le menu avant Edit, puis R\'eglages, param\'etrage, format graphique (ou 3-d). \item Trac\'e~:\\ Sur HP, on efface \'eventuellement le graphe pr\'ec\'edent (F5) et on trace en appuyant sur F6.\\ Sur TI on les trace avec diamond \verb|GRAPH|. \\ Sur Casio, cliquer sur le bouton de graphe. \item Op\'erations post-trac\'e (zoom, pente de tangente, recherche de racine, etc.)\\ Les menus permettent de changer les param\`etres d'affichage (zoom), mais attention cette op\'eration prend du temps, car la machine recalcule le graphe.\\ Pour les fonctions, on peut selon les mod\`eles utiliser les menus pour trouver une racine num\'erique de $f(x)=0$, afficher la tangente au graphe, calculer l'aire sous la courbe entre deux points,... (menu Analysis sur Classpad, F5-Maths sur Voyage 200, ...) \end{enumerate} Parall\`element \`a l'\'etude graphique, on peut bien sur utiliser l'historique (ou application Main) pour faire une \'etude formelle de la fonction \`a tracer. Il est alors judicieux de donner un nom \`a la fonction ou \`a l'expression \'etudi\'ee (par l'interm\'ediaire de define ou de STO) ou d'utiliser le nom de la fonction tel que d\'efini dans \verb|Y=|. Remarque~: on peut aussi lancer un trac\'e de fonction depuis Main, avec une commande \verb|Draw...| sur TI/Casio, la commande \verb|PLOTADD| (ou les commandes de type de trac\'e \verb|FUNCTION|, \verb|PARAMETRIC|, ... et l'affectation de \verb|EQ|) sur HP ou avec un glisser-d\'eplacer sur Casio. Exercices~: \begin{itemize} \item Repr\'esenter la fonction $f(x)=(x^3+x+1)/(x^2-x-1)$ pour $x \in [-2,0]$ puis $x\in [-3,3]$ puis $x\in [-10,10]$. Trouver num\'eriquement une solution de $f(x)=0$. En utilisant l'application main, faites une \'etude de la fonction (tableau de variations, asymptotes, signe) et v\'erifiez sur le graphe. \item Tracer sur le m\^eme graphique les fonctions $\sin(x)$ et son d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre 1, 3 et 5. Graphiquement, pour quelles plages de valeurs de $x$ les d\'eveloppements sont-ils de bonnes approximations de $\sin(x)$? \item Tracer en param\'etriques la courbe d'\'equations \[ x(t)=3 \sin(3t), \quad y(t)=2 \sin(4t) \] Pour les matheux, faites aussi l'\'etude des auto-croisements de la courbe. \item Tracer en polaire la courbe $\rho=2 \cos(4\theta)$. Quelques autres courbes si vous avez le temps~:\\ lemniscate de Bernouilli~:$\rho=\sqrt{\cos(2t)}$\\ limacon de Pascal~:$\rho=a\cos(t)+b$, si $a=b$, cardioide\\ ellipse (demi-grand axe $a$, excentricit\'e $e$): $\rho=a(1-e^2)/(1+e\cos(t))$. \item On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle logistique (utilis\'ee pour mod\'eliser la croissance d'une population dans un milieu aux ressources naturelles finies)~: \[ y'= y(1-y), \quad y(t=0)=0.01 \] Tracer la courbe repr\'esentative de cette solution (sans r\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle!). Comparez ensuite avec le trac\'e de la solution exacte (obtenue avec desolve). \item Tracer tout d'abord le champ des tangentes de l'\'equation diff\'erentielles \[ y'=\sin(xy) \] puis superposer quelques solutions de l'\'equation (sans effacer le champ des tangentes, sur TI on peut utiliser une liste comme valeur initiale pour tracer plusieurs solutions). \item Repr\'esenter $f(x,y)=(x+y-1)(x-2y)(x-y)$. \end{itemize} \section{Unit\'es et constantes physiques} Les TI et HP peuvent manipuler des valeurs num\'eriques ayant des dimensions physiques (par exemple longueur, poids, pression, \'energie, ...). On peut effectuer des op\'erations arithm\'etiques simples sur ces quantit\'es, multiplication, division et puissance enti\`ere, ainsi que addition ou soustraction lorsque deux quantit\'es ont la m\^eme dimension physique. On peut aussi convertir une quantit\'e exprim\'ee en fonction de certaines unit\'es en la m\^eme quantit\'e exprim\'ee avec des unit\'es compatibles, par exemple pour convertir une distance de miles en km, mais aussi un angle de radian en degr\'e ou une dur\'ee d'heures en secondes. Les math\'ematiques sous-jacentes sont la r\`egle de trois. Le syst\`eme MKSA des unit\'es physiques comporte 7 unit\'es de base, toutes les unit\'es se ram\`enent \`a un produit par une constante num\'erique de puissances enti\`eres de ces 7 unit\'es de base : le m\`etre, le kilogramme, la seconde, l'amp\`ere (intensit\'e \'electrique), le Kelvin (temp\'erature), la mole (quantit\'e de mati\`ere) et le candela (luminescence). Les unit\'es du syst\`eme international (S.I.) sont les unit\'es compos\'ee de ces 7 unit\'es de base avec comme constante num\'erique 1, par exemple le Pascal pour {\tt 1\_kg/m/$s^2$}. Lorsque la constante num\'erique est une puissance de 10, on utilise un pr\'efixe (par exemple m pour $10^{-3}$, k pour $10^3$, etc.). Il existe de nombreuses unit\'es en-dehors de celles du S.I., en particulier dans les pays anglo-saxons, mais aussi pour des raisons de commodit\'e (par exemple \verb|kph| pour les vitesses, le litre, l'\'electron-Volt unit\'e d'\'energie, etc.). Sur les TI et HP, les valeurs num\'eriques avec dimension sont compos\'ees de la valeur num\'erique, du signe \verb|_|, et d'une unit\'e physique ou d'un produit ou quotient d'unit\'es physiques, par exemple \verb|12.3_km/s|. Attention, sur TI, vous devrez \'ecrire \verb|12.3_km/_s|. Attention, toujours sur TI, la partie \verb|_...| est consid\'er\'ee comme un nom de variable (sp\'ecial), donc il faut mettre des parenth\`eses dans \verb|12_km/(2_s)| ou \'ecrire \verb|12_km/2/_s|. Sur les HP49, on acc\`ede aux unit\'es pr\'ed\'efinies par le menu \verb|UNITS| (shift- droit-6). Le sous-menu \verb|TOOLS| permet principalement de convertir (\verb|CONVERT|) entre deux unit\'es de m\^eme dimension (par exemple entre des km/h et des m/s), ou d'\'ecrire en terme de produit d'unit\'es de base (\verb|UBASE|) ou de ``factoriser'' (\verb|UFACT|) une unit\'e. Les autres menus r\'epertorient des unit\'es usuelles par dimension. L'interface des unit\'es en mode RPN est mieux adapt\'ee aux conversions d'unit\'es gr\^ace \`a des raccourcis claviers. Taper \verb|MODE|, puis \verb|+/-| pour changer en mode RPN, puis \verb|F1 FLAGS|, fl\`eche vers le haut 3 fois, cocher le flag syst\`eme 117 pour faire apparaitre Soft menu, puis OK 2 fois. Taper \verb|UNITS| (shift droit-6) puis par exemple Lengths. Pour entrer une unit\'e il suffit de taper la valeur num\'erique puis la touche du bandeau de l'unit\'e (par exemple \verb|F4| pour un yard, yd). Pour convertir en une autre unit\'e, taper sur shift-gauche et la touche du bandeau de l'unit\'e, par exemple shift-gauche \verb|F1| pour convertir en m\`etres. Pour revenir en mode alg\'ebrique, taper \verb|MODE| puis \verb|+/-| puis \verb|OK|. Sur les TI, on peut choisir dans \verb|MODE| le syst\`eme international d'unit\'es ou un syst\`eme anglo-saxon, ce sont ces unit\'es qui seront utilis\'ees dans un r\'esultat (sur HP, l'unit\'e renvoy\'ee utilise l'unit\'e d'un des arguments) sauf conversion explicite avec la touche de conversion (touche shift-Y sur V200), . La liste des unit\'es est accessible depuis le menu diamond-\verb|UNITS|. On peut aussi d\'efinir une liste d'unit\'es particuli\`ere dans ce menu si on veut utiliser par d\'efaut des unit\'es diff\'erentes du syst\`eme international ou anglo-saxon. Les constantes physiques (par exemple acc\'el\'eration de la gravit\'e sur Terre, constante gravitationnelle, constante de Rydberg, de Planck, masse de l'\'electron, du proton etc.) sont \'egalement m\'emoris\'ees dans les TI et HP. Sur HP, taper \verb|APPS| puis la commande \verb|Constants libs| pour faire apparaitre la liste des constantes m\'emoris\'ees, sur TI, diamond-\verb|UNITS| et cherchez la constante dans le premier menu. Sur HP, vous pouvez aussi saisir directement la commande \verb|CONST()| avec en argument le symbole de la constante, par exemple \verb|CONST(c)| renvoie la vitesse de la lumi\`ere, sur TI, vous pouvez saisir le nom de la constante pr\'efix\'e par \verb|_|, par exemple \verb|_c|. Exercices~: \begin{itemize} \item Quelle est la taille en cm d'une disquette de 3 pouces 1/2? \item Combien de pintes dans un litre? \item Aux Etats-Unis, on mesure la consommation d'une voiture en nombres de miles parcourus par gallon d'essence. Par exemple, certaines voitures de type SUV ont un mileage de 20 mpg. En France, on compte plutot en litres aux 100 km. Calculer la valeur correspondante. \item Pour prendre une douche de 40 litres d'eau, on suppose qu'il faut r\'echauffer en moyenne ces 40 litres de 10 \`a 40 degr\'e Celsius. Par d\'efinition, la kilocalorie (kcal) est l'\'energie n\'ecessaire pour r\'echauffer un litre d'eau de 1 degr\'e. Combien de kWh consomme-t-on par an si on prend une douche tous les jours? \item Quelle est le temps n\'ecessaire \`a la lumi\`ere pour parcourir la distance Terre-Soleil (cette distance est la d\'efinition de l'unit\'e astronomique \verb|au|)? \item En supposant que la Terre se comporte comme un corps noir, elle \'emet un rayonnement dont la puissance $P$ est donn\'ee par la loi de Stefan-Boltzmann \[ P=\sigma T^4 \] o\`u $T$ est la temp\'erature absolue (moyenne), retirer la temp\'erature standard pour avoir la temp\'erature en Celsius. Ce rayonnement doit \^etre en \'equilibre avec la puissance recue du Soleil soit 1360/4\_$W/m^2$. En d\'eduire $T$. (En r\'ealit\'e la surface de la Terre n'est pas un corps noir, elle \'emet plus de rayonnement, mais une partie est renvoy\'ee vers le sol par effet de serre). \end{itemize} \pagebreak \section{Calculs financiers} L'application Time Value of Money permet principalement de calculer des mensualit\'es de remboursement pour un emprunt \`a taux $t$ et remboursement $r$ fixes. Les math\'ematiques sous-jacentes sont les suites g\'eom\'etriques. Si $u_k$ est la valeur emprunt\'ee l'ann\'ee $k$, la valeur de $u_{k+1}$ s'obtient en enlevant le remboursement $r$ et en ajoutant les int\'er\^ets sur $u_k$ \[ u_{k+1}= u_k(1+t) -r \] Il s'agit alors de trouver l'une des valeurs $n$, $r$, $t$ ou $u_0$ pour que $u_n=0$. Pour cela on calcule $u_k$, en cherchant $C$ pour que $v_k=u_k-C$ soit une suite g\'eom\'etrique de raison $1+t$~: \begin{eqnarray*} v_{k+1} & = & u_{k+1}-C \\ &=& u_k(1+t)-r-C \\ & =& (v_k+C)(1+t)-r-C \\ &=& (1+t)v_k+tC-r \end{eqnarray*} Donc $C=r/t$, et $v_n=(1+t)^n v_0$ d'o\`u~: \[ u_n-C=v_n=(1+t)^n v_0=(1+t)^n (u_0-C) \] finalement, si $u_n=0$~: \[ (1+t)^n=\frac{-C}{u_0-C}=\frac{r}{r-u_0 t} \] Sur HP, taper shift gauche-FINANCE. Sur TI ou Classpad version 3 au moins, choisir l'application FINANCES. Exercices~: \begin{itemize} \item Il s'agit d'emprunter 150 000 euros au taux fixe de 4\% par an. Combien de temps faut-il pour rembourser cette somme \`a raison de 1000 euros par mois? \item M\^emes donn\'ees, quelle mensualit\'e faut-il payer pour rembouser en 15 ans? \item Combien coute un ordinateur pay\'e pendant 3 ans 1 euro par jour en supposant une inflation annuelle \`a 2.5\%? \end{itemize} \section{Statistiques descriptives} Les calculs statistiques se font sur des tableaux de nombres. Sur TI, vous pouvez utiliser l'\'editeur de donn\'ees (APPS 6) en mode data. pour entrer les donn\'ees, ou directement avec \verb|STO>| depuis l'historique. Attention, il ne semble pas possible de transposer des donn\'ees de type data, donc si vous devez travailler \`a la fois en lignes et en colonnes sur vos donn\'ees, utilisez l'\'editeur de donn\'ees en mode matrice, sauvegardez-la, puis utilisez les commandes de statistiques de l'historique. Sur Casio, utiliser l'application de Statistiques. Sur HP, les calculs statistiques utilisent une variable r\'eserv\'ee {\tt $\Sigma$DAT} qui est la matrice statistique\index{matrice statistique}. On peut utiliser l'\'editeur de matrice pour entrer les donn\'ees, l'appui sur shift 5 (STATS) stocke la matrice dans la variable {\tt $\Sigma$DAT} et ouvre le menu de statistiques. On peut aussi entrer une matrice directement depuis l'historique avec \verb|STO>|. Pour transposer une matrice, utiliser \verb|TRAN| sur HP et $^t$ sur TI. Sur Casio, on peut utiliser \verb|trn| (transconjugu\'ee) (les donn\'ees sont r\'eelles!). \subsection{Statistiques \`a une variable.} Il s'agit principalement du calcul de la moyenne, variance, \'ecart-type et des quartiles (m\'ediane, etc.). Attention \`a la d\'efinition de la variance et de l'\'ecart-type qui diff\`ere selon qu'on s'int\'eresse \`a la population enti\`ere ou \`a un \'echantillon, en effet pour obtenir un estimateur sans biais de la variance \`a partir d'un \'echantillon, il faut diviser la somme des carr\'es par $n-1$ (o\`u $n$ d\'esigne l'effectif) et non par $n$ (cas de la population enti\`ere). {\bf Moyenne, variance, \'ecart-type}\\ Sur TI, depuis l'\'editeur de donn\'ees (APPS 6), choisissez F5 One Var. Indiquez la colonne (par exemple \verb|c1|), et si vous avez des donn\'ees avec des fr\'equences pr\'ecisez-le.\\ Sur Casio, menu Calc, puis Une variable, s\'electionner la liste (on peut optionnellement utiliser des fr\'equences).\\ Sur HP, taper sur STATS (shift droit-5). Cochez ensuite les fonctions que vous voulez calculer et le type de statistiques (population enti\`ere ou \'echantillon, ce qui change la formule de la variance). Pour calculer facilement des statistiques de donn\'ees avec fr\'equences, il faut installer une librairie de statistiques comme Stat49Pro (disponible sur \verb|www.hpcalc.org|), ensuite dans shift-STATS, s\'electionner Data Manager, Add new, puis 1w/freq, entrer les 2 colonnes, puis relancer shift-STATS, Data Manager, Describe Data. Les calculs statistiques peuvent aussi \^etre effectu\'es en ligne de commande depuis l'historique, avec les commandes \verb|mean/MEAN|, \verb|stddev/SDEV,PSDEV| (sur HP \verb|PSDEV| d\'esigne l'\'ecart-type d'une population), \verb|variance/VAR,PVAR|. Ces commandes agissent sur $\Sigma$\verb|DAT| sur HP, ou sur leur argument pour les TI. {\bf Quartiles}\\ Sur TI/Casio, les statistiques affich\'ees par l'application de statistiques contiennent les quartiles. La fonction \verb|median| permet de calculer la m\'ediane. \\ Sur HP, il n'y a pas de fonction pr\'eprogramm\'ee pour calculer les quantiles\index{quantile}. On pourra utiliser \begin{center} \verb|AXL(TRAN(|$\sum$\verb|DAT)) STO> L| \end{center} pour convertir en liste la matrice statistique, puis \begin{center} \verb|SORT(L[1]) STO> L1|\index{SORT} \end{center} pour trier\index{tri} par ordre croissant la premi\`ere ligne de \verb|L| (donc la premi\`ere colonne de la matrice statistiques), on obtient alors la m\'ediane\index{mediane@m\'ediane} en tapant~: \begin{center} \verb|L1[SIZE(L1)/2]| \end{center} {\bf Repr\'esentation graphique des donn\'ees}: F1 plot setup de l'appli Data Editor (ou F2 de Stats/List) sur TI et shift-2d/3d sur HP ou menu DefnGraph Reglages sur Casio, choisir~: \begin{itemize} \item boite a moustache (TI et Casio, c'est le type box plot sur TI), \item histogramme. Ne pas oublier de r\'egler la taille des classes (par d\'efaut 1/13\`eme sur HP). Attention sur HP, la plage des valeurs prises en compte dans l'histogramme d\'epend de la fen\^etre graphique sauf si la variable ind\'ependante est une liste constitu\'ee de 3 \'el\'ements (la variable ind\'ependante est le 3\`eme \'el\'ement de la liste stock\'ee dans la variable \verb|PPAR|): celle-ci peut-\^etre modifi\'ee par inadvertance dans un autre mode (par exemple en mode \verb|Diffeq|). \end{itemize} Sur TI, il peut \^etre n\'ecessaire de d\'esactiver les graphes de fonction lorsqu'on trace un graphe statistique (d\'ecocher les fonctions dans l'ecran Y= ou utiliser FnOff). Exemples~: \begin{itemize} \item concentration en CO2 relev\'ee \`a Mauna Loa (Hawai) de 1990 \`a 2005 (source www.cmdl.noaa.gov/ccgg/trends/, cdiac.esd.ornl.gov/ftp/trends/co2/maunaloa.co2)\\ {\tiny \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline An & J & F & M & A & M & J & J & A & S & O & N & D \\ \hline 1990 & 353.66 & 354.70 & 355.39 & 356.20 & 357.16 & 356.22 & 354.82 & 352.91 & 350.96 & 351.18 & 352.83 & 354.21 \\ \hline 1995 & 359.96 & 361.00 & 361.64 & 363.45 & 363.79 & 363.26 & 361.90 & 359.46 & 358.06 & 357.75 & 359.56 & 360.70 \\ \hline 2000 & 369.14 & 369.46 & 370.52 & 371.66 & 371.82 & 371.70 & 370.12 & 368.12 & 366.62 & 366.73 & 368.29 & 369.53 \\ \hline 2005 & 378.43 & 379.70 & 380.92 & 382.18 & 382.45 & 382.14 & 380.60 & 378.64 & 376.73 & 376.84 & 378.29 & 380.06 \\ \hline \end{tabular} }\\ Calculez les moyennes par mois (qui devraient faire apparaitre la croissance de la v\'eg\'etation, puis les moyennes et \'ecart-types par ann\'ees (augmentation de la concentration en CO2). \item Temp\'eratures en septembre 2006 \`a Eybens (source www.meteoisere.com)\\ \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline Date & Mini & Maxi \\ \hline 1 & 9,5& 29,4\\ 2 & 11,9& 26,0\\ 3 & 16,1& 31,3\\ 4 & 16,4& 32,1\\ 5 & 21,5& 33,0\\ 6 & 18,3& 31,5\\ 7 & 19,3& 29,6\\ 8 & 19,1& 22,9\\ 9 & 15,5& 31,1\\ 10& 16,1& 31,0\\ \hline 11& 17,8& 30,1\\ 12& 14,0& 31,0\\ 13& 14,0& 30,0\\ 14& 18,5& 26,9\\ 15& 17,3& 20,8\\ 16& 16,2& 25,7\\ 17& 16,6& 19,0\\ 18& 15,6& 24,6\\ 19& 14,5& 25,0\\ 20& 15,0& 27,3\\ \hline 21& 12,5& 30,5\\ 22& 12,7& 24,2\\ 23& 15,5& 27,5\\ 24& 17,5& 22,0\\ 25& 13,5& 16,2\\ 26& 13,8& 18,5\\ 27& 15,0& 22,5\\ 28& 10,0& 24,5\\ 29& 11,5& 25,6\\ 30& 13,3& 26,0\\ \hline \end{tabular} \end{center} Calculer moyennes, \'ecart-types, repr\'esenter les maximales par une boite \`a moustache ou/et un histogramme. \end{itemize} \subsection{Statistiques \`a 2 variables} On \'etudie conjointement deux s\'eries statistiques, par exemple pour faire apparaitre des corr\'elations entre elles, tracer une droite de r\'egression, etc. On utilise cette fois 2 colonnes de la matrice de donn\'ees ou 2 listes. On peut effectuer le calcul de la corr\'elation, de la covariance, des r\'egressions de divers types (lin\'eaires, polynomiales, exponentielles, logarithmiques, ...) et des repr\'esentations graphiques des donn\'ees (scatterplot pour nuages de points, et xyLine sur TI pour ligne polygonale, trac\'e de la droite de r\'egression). Les commandes correspondantes utilisables dans l'historique sont \verb|OneVar,TwoVar/OneVariable,TwoVariable| (calculs statistiques 1 ou 2 variables sur TI et Casio), \verb|ShowStat| (affichage des r\'esultats statistiques sur TI), \verb|LinReg/LinearReg/LINFIT|, \verb|QuadReg|, \verb|QuartReg|, \verb|LnReg/LogReg/LOGFIT|, \verb|ExpReg/ExpReg/EXPFIT|, \verb|PowReg/PowerReg/PWRFIT|, \verb|BESTFIT| (s\'election du meilleur mod\'ele de r\'egression sur HP), \verb|Logistic/LogisticReg|, ... Exercice~: \\ Production de p\'etrole brut en milliers de barils par jour pour la Mer du Nord et mondiale entre 1999 et 2007 (source \verb|http://www.eia.doe.gov/emeu/ipsr/supply.html|) \begin{center} {\small \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ \hline Nord & 5947 & 5799 & 5718 & 5657 & 5329 & 5229 & 4740 & 4343 & 4114 \\ \hline Monde & 65922 & 68495 & 68101 & 67162 & 69434 & 72493 & 73737 & 73461 & 73018 \\\hline \end{tabular} } \end{center} Calculer la droite de r\'egression lin\'eaire de la production en fonction de l'ann\'ee et estimer la production en 2010. Comparer avec d'autres mod\`eles de r\'egression. \subsection{Autres fonctions de proba/stats/d\'enombrement.} \begin{itemize} \item \verb|rand/RAND| nombre al\'eatoire distribu\'e selon la loi uniforme. \item \verb|randNorm| (TI) nombre al\'eatoire distribu\'e selon la loi normale \item \verb|nCr/COMB| nombre de combinaisons, \item \verb|nPr/PERM| nombre de permutations \end{itemize} Exercice~: simuler trente lancers de d\'es, faire la moyenne. V\'erifier avec d'autres \'etudiants que la moyenne des lancers suit une loi proche de la loi normale, de moyenne $\mu=3.5$ et d'\'ecart-type celui de la loi uniforme sur \{1,...,6\} divis\'e par $\sqrt{30}$, donc de densit\'e \[ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right)^2}, \quad \mu=7/2, \sigma=\sqrt{14}/12\] On pourra repr\'esenter simultan\'ement la densit\'e de probabilit\'e et l'histogramme des moyennes. \section{Statistiques inf\'erentielles} L'exploitation de donn\'ees peut prendre plusieurs formes : \begin{enumerate} \item L'inf\'erence statistique ou "th\'eorie de l'estimation" : connaissant un \'echantillon, on d\'esire \'emettre une estimation sur la population totale. Dans ce cas, on n'a pas d'id\'ee a priori sur le param\`etre \`a estimer : on construira {\bf un intervalle de confiance $I_\alpha$ au seuil $\alpha$}. Cet intervalle $I_\alpha$ d\'epend de l'\'echantillon et contient, en g\'en\'eral, la valeur du param\`etre sauf dans $\alpha \%$ des cas c'est \`a dire, il y a seulement $\alpha \%$ des \'echantillons qui ont un $I_\alpha$ qui ne contient pas le param\`etre (on dit qu'on a un risque d'erreur \'egal \`a $\alpha$). \item Le test d'hypoth\`eses permet de savoir si il y a accord entre th\'eorie et exp\'erience. Dans ce cas on a une id\'ee a priori sur la valeur que doit avoir le param\`etre : on construit le test d'hypoth\`eses (deux hypoth\`eses $H_0$ et $H_1$ seront en concurrence), puis on pr\'el\`eve un \'echantillon et on regarde si cet \'echantillon v\'erifie le test ce qui permet d'accepter ou de refuser l'hypoth\`ese privil\'egi\'ee $H_0$.\\ Par exemple : on veut contr\^oler qu'une fabrication correspond bien \`a ce qui a \'et\'e d\'ecid\'e, pour cela on fabrique un test d'hypoth\`eses, puis on teste l'hypoth\`ese $H_0$ sur un \'echantillon de la production. \item Le test d'homog\'en\'eite permet de comparer une distribution exp\'erimentale \`a une distribution th\'eorique. Dans les deux cas pr\'ec\'edents, on a seulement compar\'e ou estim\'e des valeurs caract\'eristiques comme fr\'equences ou moyennes, Ici on compare deux distributions. \end{enumerate} Pour des \'echantillons assez grands, le th\'eor\`eme qui permet de faire ces estimations est le plus souvent la loi des grands nombres (th\'eor\`eme de la limite centrale). Ainsi, si on calcule la moyenne $X$ d'un \'echantillon de $n$ variables al\'eatoires ind\'ependantes de m\^eme loi (de moyenne $\mu$ et d'\'ecart-type $\sigma$), la loi de $\overline{X}$ tend lorsque $n$ tend vers l'infini vers une loi normale de moyenne $\mu$ et d'\'ecart-type $\sigma/\sqrt{n}$. Si $n$ n'est pas assez grand (typiquement $n\leq 30$), on peut encore faire des statistiques inf\'erentielles sur la moyenne si on sait par ailleurs que la loi commune des variables al\'eatoires de la population est une loi normale. Sur les HP/Casio, les fonctions sont accessibles depuis l'historique ou pour certaines avec une interface utilisateur. Sur les TI Voyage 200, l'application APPS->Flash Apps->Stats/List Editor permet de faire des statistiques inf\'erentielles. Sur les TI89, il faut t\'el\'echarger depuis le site de TI puis installer cette application Flash (qui est gratuite). \subsection{Estimation d'une moyenne} Supposons par exemple qu'on veuille calculer la moyenne de la population au vu d'un grand \'echantillon et qu'on cherche par exemple un intervalle de confiance centr\'e \`a 5\% sur la moyenne $\mu$ de la population. On connait la moyenne $m$ de l'\'echantillon qui est la valeur d'une variable al\'eatoire $X$ qu'on suppose suivre une loi normale de moyenne $\mu$ et \'ecart-type $\sigma$ (c'est asymptotiquement le cas lorsque $n$ tend vers l'infini). Si on ne connait pas $\sigma$, lorsque l'\'echantillon est assez grand, on peut estimer $\sigma$ \`a partir de l'\'ecart-type de l'\'echantillon (qui est l'\'ecart-type de la population multipli\'e par $\sqrt{n/(n-1)}$, fonction \verb|SDEV| sur la 49). On cherche ensuite la distance $C$ telle que la probabilit\'e que $|m-\mu|>C\sigma$ soit de 5\%. Comme la loi de $X$ est la loi normale, cela revient \`a calculer pour quelle valeur de $C$ on a l'\'equation \[ (\int_{-\infty}^{-C} + \int_C^{+\infty}) e^{-\frac{t^2}{2}} = 0.05 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} \] calcul li\'e \`a celui de la fonction \verb|UTPN| de la HP ou \verb|Normal Cdf| de la TI (menu F5) ou \verb|NormCD| sur Casio \begin{eqnarray*} UTPN(m,v,x) &= &\frac{1}{\sqrt{2 \pi v}} \int_x^{\infty} \exp(-\frac{(t-m)^2}{2v}) \ dt \\ Normal Cdf(m,v,x,y) &= &\frac{1}{\sqrt{2 \pi v}} \int_{x}^{y} \exp(-\frac{(t-m)^2}{2v}) \ dt \end{eqnarray*} Si l'\'echantillon est trop petit (typiquement $n<30$) et si la loi suivie est normale, on utilise une autre statistique car l'estimation de l'\'ecart-type de la population par $\sigma \sqrt{n/(n-1)}$ n'est plus valide. On montre que la variable al\'eatoire \[ T= \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}} \sqrt{\sum_{j=1}^n (X_j-\overline{X})^2}}\] suit la loi de Student $S(n-1,x)$ \`a $n-1$ degr\'es de libert\'e~: \[ S(n,x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \sqrt{n\* \pi }} (1+\frac{x^{2}}{n})^{-\frac{n+1}{2}}, \quad \mbox{ o\`u } \Gamma(x)=(x-1)! \] N.B.: l'abr\'eviation de cette loi est t ou T et non S (par exemple \verb|UTPT| sur HP, \verb|Normal t Cdf| sur TI, \verb|TCD| sur Casio). Sur les HP49, il y a une interface pour calculer des intervalles de confiance et faire des tests d'hypoth\`eses sur la moyenne d'une population ou de l'\'egalit\'e de moyenne de 2 populations pour des \'echantillons grands, on utilise Z si l'\'ecart-type est connu, et T s'il est estim\'e. Tapez sur shift droit-STATS puis 6 ou 5, puis choisissez le type de test/distribution. Tapez sur HELP pour plus de d\'etails sur le test effectu\'e. Sur TI, lancez l'application APPS->Flash Apps->Stats/List Editor. Les distributions statistiques et leurs inverses sont dans F5, les tests en F6. La notation Pdf signifie densit\'e de probabilit\'e (probability density function), la notation Cdf, densit\'e cumul\'ee (c'est l'int\'egrale de de la densit\'e de la borne inf\'erieure \`a l'argument). \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline Loi & HP & TI & Casio & arguments \\ \hline Chi 2 & \verb|UTPC| & \verb|Chi-square Cdf| & \verb|ChiCD| & degr\'es de libert\'e\\ Snedecor & \verb|UTPF| & \verb|F Cdf| & \verb|FCD| & 2 degr\'es de libert\'e (num/den)\\ Normale & \verb|UTPN| & \verb|Normal Cdf| & \verb|NormCD| &moyenne et variance \\ Student & \verb|UTPT| & \verb|t Cdf| & \verb|TCD| & degr\'es de libert\'e \\ \hline \end{tabular} \end{center} Attention \`a la normalisation entre HP et TI, on a par exemple\\ \verb|UTPC(...,x)+Chisquare Cdf(...,-inf,x)= 1|. Sur TI, les fonctions inverses sont fournies, sur Casio, l'inverse est fourni pour la loi normale (\verb|InvNorm|), on peut aussi utiliser les fonctions de tests (\verb|OneSampleZTest|, \verb|OneSampleTTest|, \verb|ChiTest|, \verb|TwoSampleFTest|... suivi de \verb|DispStats|), sur HP il faut utiliser \verb|ROOT| (ne pas oublier de purger \verb|X| apr\`es usage). Par exemple pour faire des statistiques sur de petits \'echantillons suivant la loi normale, on utilisera la fonction \verb|UTPT| ou \verb|t Cdf|, dont le permier argument est le nombre de degr\'e de libert\'e et le deuxi\`eme $x$, par exemple pour r\'esoudre \verb|UTPT|$(n-1,x)$=0.025 pour $n=8$ on tape~: \begin{center} HP: \verb|ROOT('UTPT(7,X)-0.025',X,0.0)| (ne pas oublier \verb|'|)\\ TI: \verb|F5 2 Inverse t Cdf| puis \verb|0.975| puis \verb|7| \end{center} en faisant de m\^eme en 0.975 (HP) ou 0.025 (TI) on obtient les oppos\'es qui donnent un intervalle de confiance centr\'e \`a 5\%. {\bf Exercice~:}\\ On a effectu\'e 10 pes\'ees ind\'ependantes sur une balance d'une m\^eme masse $\mu$ et on a obtenu :\\ \verb|10.008,10.012,9.990,9.998,9.995,10.001,9.996,9.989,10.000,10.015|\\ On suppose que la pes\'ee est une variable al\'eatoire suivant la loi normale. On cherche \`a d\'eterminer la masse $\mu$ au vu de l'\'echantillon. Tester l'hypoth\`ese $H_0$ : $\mu=10$ et $H_1$ : $\mu>10$ au seuil de 5\%. M\^eme question pour $H_1$ : $\mu \neq 10$. Calculer un intervalle de confiance pour $\mu$ \`a 5\%. \subsection{Estimation d'un \'ecart type} Lorsque la population suit une loi normale, on peut aussi estimer l'\'ecart-type \`a partir d'un \'echantillon et en calculer un intervalle de confiance, en utilisant la distribution du $\chi^2$. On pose \[ Z^2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(X_k-\mu)^2 \] On peut montrer que $n Z^2/\sigma^2$ suit une loi du $\chi^2$ ayant $n$ degr\'es de libert\'e. Sur les HP49, les calculs se font en s'aidant de la fonction \verb|UTPC|, qui donne la probabilit\'e qu'une variable al\'eatoire suivant la loi du $\chi^2$ \`a $n$ degr\'es de libert\'e soit plus grande que le 2\`eme argument de \verb|UTPC|. Sur les TI, on utilise la fonction \verb|Chi-square Cdf|. Sur les Casio \verb|CDF|. {\bf Exercice~:}\\ On reprend les m\^emes donn\'ees que ci-dessus, mais on suppose que $\mu=10$ est connu et on veut calculer un intervalle de confiance \`a 5\% pr\`es sur la pr\'ecision de la balance.\\ Calculer la valeur $z^2$ ($n=10$) de $Z^2$ pour l'\'echantillon (on trouve environ 0.00007).\\ Pour $\sigma$ donn\'e, on calcule $a=n z^2/\sigma^2$ et on regarde la probabilit\'e que $nZ^2/\sigma^2$ (qui suit la loi du $\chi^2$ \`a $n$ degr\'es de libert\'e) soit plus grand que $a$, en calculant \verb|UTPC|$(10,a)$ (\verb|1-Chi-square Cdf| sur TI). On dira qu'on a un intervalle de confiance \`a 5\% sur $\sigma$ si \verb|UTPC|$(10,a)$ (ou \verb|Chi-square Cdf|) du $a$ correspondant est compris entre 0.975 et 0.025 (les valeurs sont invers\'ees sur TI). On cherche donc les valeurs de $\sigma$ qui correspondent \`a un \verb|UTPC| de 0.975 et 0.025. On calcule $a_1$ et $a_2$ avec \verb|ROOT| sur HP. Sur les TI, on peut directement utiliser les distributions inverses (F5->2.Inverse). On en d\'eduit les valeurs $\sigma_1$ et $\sigma_2$ de l'intervalle de confiance \`a 5\% de $\sigma$. \pagebreak \section{Tableur} L'application CellSheet est install\'ee sur les TI Voyage 200 et les TI 89 Titanium, c'est une application flash gratuite sur TI89. Elle est install\'ee sur les Classpad 300 (version 2 et plus) et sur les HP49 munies de la ROM \`a t\'el\'echarger \`a l'adresse~:\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/#hpgeo| Pour lancer le tableur, sur TI lancer APPS -> Flash Apps -> Cellsheet. Sur HP, APPS -> Spreadsheet. Sur Casio, Menu et Spreadsheet. Notez que sur les TI/HP, l'ex\'ecution d'un tableur non trivial est tr\`es lente. Sur les TI, il est recalcul\'e automatiquement par d\'efaut, mais on peut changer ce mode (\verb|F1| puis Format). Sur les HP, le tableur n'est pas recalcul\'e automatiquement au lancement, il faut taper la touche de l'\'editeur de matrice (shift \verb|MTRW|) ou sur la touche-menu \verb|EVAL| du bandeau pour l'\'evaluer. La syntaxe est proche de celle des tableurs usuels sur micro-ordinateur. La principale diff\'erence (outre l'interface) est que ces tableurs sont formels, ils peuvent manipuler des valeurs non num\'eriques (par exemple des fractions). \begin{itemize} \item Nom de cellule.\\ Un tableur est une matrice dont on num\'erote les lignes par des nombre et les colonnes par une ou plusieurs lettres. Le nom d'une cellule est compos\'e d'abord de la (des) lettre(s) (donc du num\'ero de colonne) puis du nombre. Par exemple ligne 2, colonne 3 se note C2. \item Valeur et formule de calcul.\\ La valeur d'une cellule peut \^etre une constante ou \^etre calcul\'ee par une formule pouvant faire intervenir les autres cellules, qui sont alors d\'esign\'ees par une r\'ef\'erence (cf. ci-dessous). Lorsqu'on modifie une cellule, on entre soit sa valeur constante, soit une formule de calcul. Pour d\'esigner une formule sur les tableurs sur PC, on la fait pr\'ec\'eder du signe \verb|=|, vous pouvez indiquer ce signe sur TI/Casio, mais sur HP, il ne faut pas mettre de signe \verb|=| (et on doit parfois quoter la formule en l'encadrant par deux \verb|'|). \item R\'ef\'erence relative et absolue.\\ Lorsqu'on d\'esigne une cellule depuis une formule, on peut la d\'esigner relativement \`a la cellule dont on d\'efinit la formule de calcul, ou de mani\`ere absolue. Cela affecte les copies de la formule dans d'autres cellules, les r\'ef\'erences absolues copi\'ees correspondront au m\^eme num\'ero de ligne/colonne, alors que les r\'ef\'erences relatives correspondent au m\^eme d\'ecalage de lignes/colonnes. Une r\'ef\'erence absolue se note en pr\'ec\'edant la (les) lettres ou/et le nombre de la cellule par le signe \$. \item Sur HP, pour copier/coller des cellules, il faut les s\'electionner avec les touches BEGIN/END du clavier (BEGIN lorsque le curseur est positionn\'e en d\'ebut de zone, END en fin de zone), puis taper la touche COPY puis d\'eplacer le curseur vers la destination et taper la touche PASTE. Attention, le tableur doit avoir \'et\'e \'evalu\'e pour que la copie adapte les noms de cellules. \item Plage de cellules.\\ Cela permet de faire r\'ef\'erence \`a un ensemble rectangulaire de cellules, par exemple pour en calculer la moyenne... On indique les noms de cellule du bord du rectangle s\'epar\'es par {\tt :} (TI) ou {\tt .} (HP).\\ Vous pouvez utiliser les menus pour calculer la somme, la moyenne, l'\'ecart-type, etc. d'une plage. Sur les TI, utiliser le menu F6, sur Casio menu Action, sur les HP, utiliser le menu du bandeau ou directement la fonction \verb|SIGMA| dont le premier argument est une plage de cellules et le deuxi\`eme argument soit un entier (0 pour la somme, 1 pour la moyenne, 2 pour la variance), soit un test (par exemple \verb|X==2| pour compter le nombre de 2 d'une plage). Attention sur HP, il faut saisir la formule en mode exact et veiller \`a bien encadrer la formule par des signes \verb|'| lorsqu'on \'edite une formule contenant \verb|SIGMA| y compris en mode alg\'ebrique. \item Sur les TI, vous pouvez d\'efinir un graphe statistiques dans le tableur (F2 Plot), on indique le type de graphe et la plage de cellules concern\'ee (syntaxe ci-dessus). Il peut \^etre n\'ecessaire de d\'esactiver les graphes de fonctions (d\'ecocher les fonctions dans l'ecran Y= ou utiliser FnOff).\\ Sur les Casio, menu Graph.\\ Sur les HP, vous pouvez exporter l'ensemble de la matrice des donn\'ees (shift gauche-5) vers l'application de trac\'e graphique, le type de trac\'e est par d\'efaut Histogram, on peut le changer avec CHOOSE du bandeau, on peut aussi changer le num\'ero de colonne \`a tracer. \end{itemize} {\bf Exercices:} \begin{itemize} \item Cr\'eez une feuille de calcul pour calculer une moyenne de semestre LMD avec 4 modules \`a 6 ECTS et 2 modules \`a 3 ECTS. \item Cr\'eer une feuille de calcul pour entrer 3 notes de devoir pour 6 personnes, et faites les moyennes par personne et par devoir. \item Cr\'eez une feuille de calcul permettant de visualiser quelques \'etapes de l'algorithme d'Euclide de calcul de PGCD. De m\^eme pour B\'ezout. \end{itemize} %\pagebreak \section{Suites num\'eriques r\'ecurrentes} Sur les TI, on utilise le \verb|MODE| \verb|SEQUENCE| puis \verb|Y=|. Cela permet de d\'efinir une suite par sa relation de r\'ecurrence, d'avoir un tableau de valeurs des premiers \'el\'ements, puis de tracer le graphe de la relation de r\'ecurrence (pour les suites $u_{n+1}=f(u_n)$) et les premiers termes de la suite (choisir dans \verb|Y=| puis \verb|F7| (Axes) puis \verb|WEB| et \verb|AUTO| pour faire un graphe en toile d'araign\'ee). On peut aussi d\'efinir la suite dans le tableur, dans l'historique ou par un programme, c'est n\'ecessaire si on veut travailler en mode exact. Pour les r\'ecurrences faisant intervenir 3 ou plus termes cons\'ecutifs, il faut introduire une ou des suite(s) auxiliaire(s) obtenue(s) en d\'ecalant la suite initiale. Sur les Casio, Main puis Sequence. S\'electionner ensuite l'onglet Recurrent, puis saisir le type de r\'ecurrence (\`a 1 ou 2 termes), puis la formule (pour saisir $a_n$ cliquer sur $n,a_n$ de la barre de menu). Vous pouvez afficher le tableau de valeurs, ou un graphe de la suite avec le 1er item de la barre de menu en haut \`a gauche. La fonction {\tt rsolve} vous permet de trouver le terme g\'en\'eral de certaines r\'ecurrences (1er item du menu, Sequence RUN, puis menu Calc rsolve ou directement Main). Il ne semble pas y avoir de graphe en toile d'araign\'ee. Sur les HP49, on peut utiliser le tableur pour calculer les premiers termes de la suite, on peut la d\'efinir dans l'historique ou par un programme. On doit utiliser l'application de g\'eom\'etrie pour visualiser une suite r\'ecurrente (graphe en ``toile d'araign\'ee'' avec la fonction \verb|plot|). Sur les TI/HP, on peut d\'efinir une suite r\'ecurrente $u_n=f(u_{n-1})$ par la formule~:\\ \verb|Define u(n)=when(n>0,f(u(n-1)),u0)| (TI)\\ \verb|DEFINE(U(N)=IFTE(N>0,F(U(N-1)),U0)| (HP)\\ (ci-dessus, remplacer \verb|u0| par la valeur initiale). Ceci permet le calcul exact ou approch\'e des termes de la suite selon la valeur de \verb|u0|. Le calcul approch\'e est la plupart du temps plus int\'eressant, mais parfois les deux calculs peuvent servir. On peut bien entendu faire le calcul exact directement dans le tableur. Pour les r\'ecurrences \`a plus de 1 terme, ce type de formule est tr\`es inefficace, car on calculerait plusieurs fois le m\^eme terme. Il faut alors \'ecrire un petit programme ou utiliser le tableur ou (en mode approch\'e) l'application Suites des TI/Casio. Exercices~: \begin{itemize} \item Utiliser la m\'ethode de Newton pour r\'esoudre l'\'equation $f(x)=0$ \[ u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}\] pour $f(x)=x^5-2$. Tracer une repr\'esentation graphique de la suite. Calculer la valeur exacte de $u_5$ pour $u_0=1$. \item D\'efinir la suite de Fibonacci \[ u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\] en utilisant plusieurs m\'ethodes et comparer les temps de calcul. \end{itemize} %\pagebreak \section{Sujets donn\'es au CAPES} \verb|http://capes-math.org/2005/sujets_dossiers_05.htm|\\ \verb|http://capes-math.org/2005/sujets_dossiers_06.htm|\\ \verb|http://capes-math.org/2005/sujets_dossiers_07.htm| \begin{enumerate} \item (30 juin 06)\\ Ce tableau comporte des donn\'ees relatives au site web du capes \[ \left(\begin{array}{cccc} \mbox{Mois} & \mbox{visiteurs} & \mbox{visites} & \mbox{Mo} \\ 1 & 353 & 425 & 62 \\ 2 & 577 & 744 & 144 \\ 3 & 834 & 1151 & 169 \\ 4 & 650 & 803 & 132 \\ 5 & 2498 & 3404 & 1021 \\ 6 & 2324 & 3254 & 907 \\ 7 & 2636 & 3482 & 589 \\ 8 & 1410 & 1916 & 274 \\ 9 & 2525 & 3553 & 681 \\ 10 & 2897 & 4135 & 2600 \\ 11 & 3861 & 5232 & 4372 \\ 12 & 2452 & 3157 & 2499 \end{array}\right) \] Donner pour ces 3 s\'eries de donn\'ees des tableaux des effectifs cumul\'es croissants. \`A quels types de questions ces tableaux permettent-ils de r\'epondre? Calculer la moyenne du nombre de visiteurs et du nombre de visites. Quel est le nombre moyen de visites par visiteurs? Quelle est en moyenne la bande passante utilis\'ee par un visiteur? Proposer une ou deux repr\'esentations graphiques permettant de visualiser les donn\'ees du tableau. Peut-on corr\'eler ces diff\'erentes s\'eries de donn\'ees? \item (29 juin 06)\\ Soit $m$ un entier relatif et $E_m$ l'\'equation d'inconnues $x$ et $y$~: \[ 11x+13y=m\] Si $m \in \N$, montrer qu'il y a autant de solutions de $E_m$ dans $\N \times \N$ que d'entiers dans $[5m/11,6m/13]$. \'Ecrire un algorithme renvoyant la ou les solutions \'eventuelles de $E_m$. Comment pourrait-on montrer que 119 est le plus grand entier naturel tel que $E_m$ n'admet pas de solution dans $\N \times \N$? \item (02 juillet 06)\\ Soit $ABCD$ un rectangle direct de cot\'es $a$ et $b$. On cherche s'il existe un triangle \'equilat\'eral $APQ$ inscrit dans ce rectangle ($P \in [BC]$ et $Q\in [CD]$).\\ Construction~: on construit les triangles \'equilat\'eraux $BCI$ et $CDJ$ puis $P$ l'intersection de $(AJ)$ avec $[BC]$ et $Q$ l'intersection de $(AI)$ avec $[CD]$. Faire la construction \`a la calculatrice et animer la, en faisant apparaitre les conditions aux limites d'existence de solution $a/b \in [\sqrt{3}/2,2/\sqrt{3}]$. Montrer en utilisant les complexes que le triangle construit est \'equilat\'eral (cf. le sujet original pour plus d'indications). \item (08 juillet 06)\\ Soit $C$ le cercle de centre l'origine $O$ et de rayon 1. Soit $A(1,0)$, $A'(-1,0)$ et $H\in [AA']$ d'abscisse $x$. On m\`ene la perpendiculaire \`a $AA'$ en $H$, qui coupe $C$ en $M$ et $M'$. Calculer en fonction de $x$ l'aire du triangle $AMM'$. Montrer que le triangle est d'aire maximale lorsqu'il est \'equilat\'eral. Construire la figure \`a la calculatrice et conjecturer le r\'esultat. \item (17 juillet 06)\\ Soit $f(x)=\exp(-\cos(x))$ sur $[0,\pi]$, $C_f$ sa courbe repr\'esentative, il s'agit de d\'eterminer le nombre de tangentes \`a $C_f$ passant par l'origine $O$.\\ Calculer l'\'equation de la tangente en $a\in[0,\pi]$. Montrer que $T_a$ passe par $O$ si et seulement si $a \sin(a)=1$. Soit $\phi(x)=\sin(x)-1/x$, \'etudier les variations de $\phi'$ sur $[0,\pi]$, puis de $\phi$. Donner le nombre de solutions puis des valeurs approch\'ees de ces solutions, tracer les tangentes solutions et la courbe $C_f$ sur un m\^eme graphe. % \item (16 juillet 07)\\ % Soient $A,B,C$ trois points non align\'es, $M$ un point de $(BC)$, $M_1$ % le projet\'e orthogonal de $M$ sur $(AB)$, $M_2$ celui de $M_1$ sur % $(AC)$, $M_3$ celui de $M_2$ sur $(BC)$, $I$ l'intersection de $(MM_1)$ % et $(M_2M_3)$. On appelle $E$ l'ensemble des points $M$ de $(BC)$ % tels que $M_3=M$. R\'ealiser la construction sur la calculatrice. Animer % la construction pour conjecturer la nature de $E$. Soit $M'$ un autre % point de $(BC)$, montrer que le point $I'$ d\'efini comme $I$ mais % correspondant \`a $M'$ au lieu de $M$ est l'image de $I$ par une % homoth\'etie de centre $A$. En d\'eduire que lorsque $M$ d\'ecrit % $(BC)$, $I$ d\'ecrit une droite fixe $\Delta$ passant par $A$. Montrer que % l'intersection $J$ de $\Delta$ et $(BC)$ appartient \`a $E$ et % construire $E$. %% \item (3 juillet 08)\\ %% Soient $\Delta$ et $\Delta'$ deux droites du plan s\'ecantes %% en $O$ de vecteurs directeurs $u$ et $u'$ tels que l'angle orient\'e %% $(u,u')=\pi/4$. Soient $A \in \Delta, B \in \Delta'$ distincts de $O$ %% et tels que $OA=OB$. A tout point $M$ du plan on associe $s(M)$ la %% somme des distances de $M$ aux droites $\Delta$ et $\Delta'$.\\ %% Soit $M$ un point du segment $[AB]$. Construire la figure %% \`a la calculatrice en faisant apparaitre $s(M)$. Que peut-on conjecturer~? %% Montrer le r\'esultat (on pourra consid\'erer les aires des %% triangles $OMA$ et $OMB$). Calculer $OA$ pour avoir %% $s(M)=2$. Illustrer et montrer que le lieu des points tels que %% $s(M)=2$ contient un rectangle de cot\'e $[AB]$. \item (21 juillet 06)\\ On se propose de d\'eterminer les fonctions continument d\'erivables sur $\R$ v\'erifiant \[ f'(x)=f(-x)\] En admettant que cette \'equation admet une unique solution v\'erifiant $f(0)=1$, donner un algorithme permettant d'obtenir une repr\'esentation graphique approch\'ee de cette solution sur l'intervalle $[-3,3]$. Donner l'ensemble des solutions de cette \'equation en d\'eterminant une \'equation lin\'eaire du second ordre dont $f$ est solution. \item (2 juillet 05) \[ u_{n+1}=f(u_n), \quad f(x)=x-\frac{1}{4}(x^2-7), \quad u_0 \in [2,3] \] Calculer les premiers termes de la suite, conjecturer le comportement asymptotique. Montrer que $f$ est contractante de rapport $1/2$ sur $[2,3]$ et que $\sqrt{7}$ est toujours compris entre deux valeurs successives de la suite. Donnez une valeur approch\'ee de $\sqrt{7}$ \`a $10^{-4}$ pr\`es. \item (4 juillet 05)\\ Il s'agit de d\'eterminer la date $J_1$ d'apparition simultan\'ee de 2 corps astronomiques ayant des p\'eriodes de 105 et 81 jours, observ\'es respectivement les jour $J_0$ et $J_0+6$. Soit $x,y$ le nombre de p\'eriodes effectu\'ees par les 2 corps. Montrer que $35x-27y=2$. Pr\'esentez un algorithme de calcul du PGCD de 2 entiers, puis de recherche d'une solution particuli\`ere de $35x-27y=1$. Calculer $J_1$ puis $J_2$ la date de l'apparition simultan\'ee suivante. \item (\'epreuve exp\'erimentale Bac S)\\ On se donne 3 points sur l'hyperbole d'\'equation $y=1/x$. Ces 3 points peuvent-ils \^etre align\'es~? Dans le cas contraire, soit $H$ l'orthocentre de ces 3 points (point de concours des hauteurs du triangle). Que peut-on dire de $H$~?\\ Indication~: si $a$, $b$ sont les abscisses de deux de ces points ($A$ et $B$), on pourra calculer l'\'equation de la m\'ediatrice de ces 2 points (en utilisant l'\'equation $AM^2=BM^2$), puis les coordonn\'ees du centre du cercle circonscrit en r\'esolvant un syst\`eme de 2 \'equations \`a 2 inconnues. On pourra admettre que l'affixe de l'orthocentre $H$ de 3 points dans un rep\`ere centr\'e au centre du cercle circonscrit de ces 3 points est la somme des affixes de ces trois points. \item (04 juillet 08)\\ Soit \[ F(x)=\int_0^x e^{k t^2} \ dt, \quad k \in \R\] On s'int\'eresse aux points $M_0$ de la courbe repr\'sentative de $F$, d'abscisse $x_0$, tels que le coefficient directeur de la tangente \`a $C$ en $M_0$ ait pour coefficient directeur $x_0$. Montrer que cela revient \`a r\'esoudre $\ln(x)=kx^2$. Conjecturer \`a la calculatrice le nombre de solutions en fonction de $k$. Trouver une valeur approch\'ee de $k>0$ telle que la solution soit unique. Montrer que l'\'equation a une solution unique lorsque $k<0$. \end{enumerate} %\pagebreak \section{G\'eom\'etrie} \subsection{Principes} \subsubsection{G\'eom\'etrie dynamique} Une application de g\'eom\'etrie permet d'effectuer une construction g\'eom\'etrique, c'est-\`a-dire d\'efinir des objets g\'eom\'etriques (points, droites, segments, cercles, perpendiculaire, ...) ind\'ependants ou d\'ependants des objets pr\'ec\'edents. Par exemple, on cr\'ee trois points, puis le triangle d\'efini par ces 3 points, les m\'edianes issues des 3 sommets puis le point d'intersection des 3 m\'edianes. Les applications de g\'eom\'etrie peuvent aussi calculer un lieu g\'eom\'etrique (courbe \`a laquelle appartient un point d\'ependant d'un point se d\'eplacant sur une courbe) ou une enveloppe de droite (courbe \`a laquelle est tangente une droite d\'ependant d'un point se d\'eplacant sur une courbe). On dit que l'application est interactive si on peut d\'eplacer certains objets g\'eom\'etriques soit dans le plan s'ils sont ind\'ependants des objets pr\'ec\'edents, soit sur une courbe du plan s'ils sont sur une courbe, le logiciel recalcule alors la nouvelle position de tous les objets g\'eom\'etriques et affiche la figure mise \`a jour. On peut ainsi observer si une propri\'et\'e de la figure (par exemple concourrance de trois droites, tangence, ...) est fortuite ou semble toujours vraie. Si le logiciel de g\'eom\'etrie interagit avec un logiciel de calcul formel, on peut aussi prouver une propri\'et\'e en faisant des calculs de g\'eom\'etrie analytique. Les calculatrices ont un \'ecran un peu trop petit pour faire des constructions complexes, de plus le temps de calcul de la figure devient vite trop grand pour avoir une interactivit\'e agr\'eable, n\'eanmoins, elles permettent d'effectuer de petites constructions et d'exp\'erimenter ce type de logiciels dont le principe de fonctionnement est identique sur ordinateur. \subsubsection{Repr\'esentation} L'\'ecran d'une calculatrice ou d'un ordinateur est compos\'e de pixels, les objets g\'eom\'etriques doivent \^etre discr\'etis\'es pour \^etre repr\'esent\'es. Sur un \'ecran d'ordinateur, il y a suffisamment de pixels pour que l'oeil ait l'impression de voir de ``vrais'' objets g\'eom\'etriques, sur une calculatrice on distingue souvent clairement la discr\'etisation. Il existe des algorithmes permettant d'effectuer rapidement cette discr\'etisation pour les objets g\'eom\'etriques courants (segments, cercles), le plus connu est l'algorithme de Bresenham. Il faut \'egalement tenir compte du cadrage visible \`a l'\'ecran des objets \`a repr\'esenter (par exemple une droite sera toujours repr\'esent\'ee par un segment), il faut donc effectuer cette troncature (en anglais clipping). Pour plus de d\'etails, chercher le mot clef Bresenham sur Internet, cf. par exemple\\ \verb|http://raphaello.univ-fcomte.fr/IG/Algorithme/Algorithmique.htm| \subsubsection{Calcul} Sur TI, il n'y a pas d'information pr\'ecise sur les structures de donn\'ee utilis\'ee par le logiciel de g\'eom\'etrie (adapt\'e de Cabri sur les TI). Sur Casio, les donn\'ees sont presque certainement stock\'ees sous forme d'informations de g\'eom\'etrie analytique. D\`es qu'un calcul est n\'ecessaire, il est fait en mode approch\'e, on ne peut donc que conjecturer mais on ne peut pas prouver un r\'esultat sur TI/Casio. Le logiciel de g\'eom\'etrie interactive de la HP49/50 utilise une repr\'esentation analytique (approch\'ee ou exacte) des objets manipul\'es (par exemple deux nombres complexes approch\'es pour un segment de droite, ou un complexe et un r\'eel approch\'es pour un cercle) correspondant \`a un rep\`ere orthonorm\'e (qui n'est pas forc\'ement affich\'e). Les liens entre un objet et les objets pr\'ec\'edents se font en utilisant des fonctions \`a un ou plusieurs arguments comme par exemple le centre (d'un cercle), l'intersection (de 2 objets),... qui sont traduits par des \'equations en g\'eom\'etrie analytique. La r\'esolution de ces \'equations se fait en fonction du mode exact ou approch\'e, elle est naturellement plus lente dans le premier cas mais permet de prouver un r\'esultat. La cr\'eation d'un objet d\'ependant d'objets pr\'ec\'edents se fait de mani\`ere explicite sur HP (en utilisant une fonction pour cr\'eer l'objet) ou implicite sur TI/Casio (l'interface du logiciel traduit en interne des mouvements de curseur ou appui sur entree). Pour calculer un lieu, la HP utilise une repr\'esentation param\'etrique rationnelle de la courbe sur laquelle se d\'eplace le point ind\'ependant, puis elle calcule en mode exact les coordonn\'ees du point d\'ependant en fonction du param\'etre $t$ et effectue une repr\'esentation de la courbe param\'etrique obtenue. Il n'est pas possible de calculer un lieu et de faire bouger un point sur une m\^eme figure. Pour une enveloppe, on calcule l'\'equation de la droite d\'ependante en fonction de $t$ \[ a(t)x+b(t)y+c(t)= 0 \] L'enveloppe est l'ensemble des points $M(t)(x(t),y(t))$ qui sont sur la droite, mais aussi tels que $M'(t)$ est parall\`ele \`a la droite \[ a(t)x(t)+b(t)y(t)+c(t)= 0, \quad a(t) x'(t) + b y'(t) = 0\] En d\'erivant la premi\`ere \'equation par rapport \`a $t$ et en soustrayant la seconde, on obtient \[ ax+by+c= 0, \quad a'x + b'y+c'= 0 \] d'o\`u l'on d\'eduit $x$ et $y$ en fonction de $t$ (courbe param\'etrique). Enfin pour calculer l'\'equation cart\'esienne d'une courbe param\'etrique rationnelle $x=n(t)/d(t), y=N(t)/D(t)$, la HP calcule le r\'esultant par rapport \`a $t$ de $n(t)-xd(t)$ et $N(t)-yD(t)$. \subsection{Utilisation} \subsubsection{Par calculatrice} Sur les TI, il existe 2 logiciels de g\'eom\'etrie, le plus utilis\'e en France est celui adapt\'e de Cabri, on le lance depuis les applications Flash (application gratuite \`a installer au pr\'ealable sur les TI89). Sur les HP49/50, il faut disposer de la ROM modifi\'ee \`a t\'el\'echarger sur \verb|www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/capes.html|, puis on lance depuis Apps la Geometrie. \begin{itemize} \item Sur les TI avec Cabri \begin{itemize} \item Pour construire un objet sur TI, on utilise les menus pour s\'electionner le type d'objet puis avec le curseur et la touche Entree on cr\'ee un ou plusieurs objets libres ou on indique les objets dont l'objet \`a construire d\'epend. \item Pour faire bouger un point d'une figure, on s\'electionne le pointeur dans les menus, on s'approche du point, on appuie simultan\'ement sur alpha ou LOCK et les touches de d\'eplacement. \item On peut faire afficher diverses informations num\'eriques approch\'ees sur les objets g\'eom\'etriques (distance, angle, etc.) mais il n'y a pas d'interaction avec le calcul formel. \item On peut enregistrer diverses informations num\'eriques de la figure lorsqu'on fait bouger un point pour une analyse ult\'erieure. \item Lorsqu'une op\'eration n\'ecessite une entr\'ee num\'erique (par exemple donner l'angle d'une rotation), on doit cr\'eer une repr\'esentation graphique de cet objet auparavant (menu F7, 6. Numerical Edit). \item Il n'est pas possible de repr\'esenter des objets non g\'eom\'etriques comme les graphes de fonction. \item On peut animer une figure \item On peut d\'efinir des macros pour les constructions courantes. \end{itemize} \item Sur les Casio \begin{itemize} \item cliquer sur Main, puis application Geom\'etrie \item pour construire des objets, s\'electionnez le type d'objet (par exemple point ou segment de droite) puis cliquez une ou plusieurs fois sur l'\'ecran tactile (par exemple aux 2 extr\'emit\'es pour un segment). Pour construire un objet d\'ependant (par exemple m\'ediatrice), s\'electionner avec le pointeur le segment puis menu Trac\'e construction. Cliquez loin de tout objet g\'eom\'etrique pour enlever les s\'elections. \item pour faire bouger la figure, s\'electionner un point ind\'ependant et bougez-le avec le stylet. La figure est recalcul\'ee lorsque vous relevez le stylet. \item On peut afficher diverses mesures relatives \`a la figure en cliquant sur le dernier item de la barre d'icones puis en s\'electionnant un objet g\'eom\'trique. Il ne semble par contre pas possible de faire afficher cette mesure directement sur la figure. \item On peut tracer le graphe d'une fonction sur une figure. \item On peut animer une figure, et exporter des mesures pour une \'etude num\'erique. Cf. le menu Edit. \item On peut sp\'ecifier des contraintes sur la Casio \item Il n'y a pas de constructeur de lieu g\'eom\'etrique, il faut utiliser le mode trace d'une animation \end{itemize} \item Sur les HP, \begin{itemize} \item les commandes de cr\'eation d'objet sont ``explicites'', la plupart du temps elles se font par l'interm\'ediaire d'une ligne de commande qui est pr\'eremplie par l'utilisation des menus. Utiliser le menu Ajouter (F2) pour cr\'eer un nouvel objet. \item les objets ont tous un nom de variable, et peuvent avoir un label affich\'e \`a l'\'ecran (on reprend alors le nom de variable) ou non. Le format d'un nom d'objet est compos\'e du label affich\'e \`a l'\'ecran et du nom de variable s\'epar\'e par :, par exemple \verb|A:A:| pour un objet nomm\'e \verb|A| et affich\'e \verb|A|, ou \verb|::A| pour un objet nomm\'e \verb|A| mais sans l\'egende \`a l'\'ecran. \item l'application peut utiliser des coordonn\'ees exactes, mais si on veut d\'eplacer un point et faire bouger la figure, il faut travailler en mode approch\'e. Pour d\'eplacer un point, on utilise le menu Deplacer et on indique le nom du point. On peut aussi \'editer globalement la figure (Edit Figure), une figure se pr\'esente comme une matrice dont la premi\`ere colonne est la colonne des commandes de cr\'eation des objets, la deuxi\`eme colonne est le nom de l'objet (comme expliqu\'e ci-dessus). \item on peut tracer des objets non g\'eom\'etriques, par exemple une courbe repr\'esentative de fonction, puis ensuite une tangente en un point, etc. \item on a acc\`es depuis l'historique \`a toutes les informations analytiques sur tous les objets construits, on passe en argument d'une commande les noms de variables des objets g\'eom\'etriques, par exemple \verb|abscisse(A)| (les commandes de g\'eom\'etrie sont affich\'ees dans le bandeau si on tape la commande \verb|GEO(0)|). \item on peut afficher une information analytique dans la figure (Legende), on peut enregistrer des valeurs de la figure lorsqu'on fait bouger un point pour une analyse ult\'erieure \item on peut d\'efinir des objets g\'eom\'etriques \`a l'aide de fonctions (d\'efinies dans l'historique comme une fonction normale). \item on ne peut pas animer une figure. Par contre on peut calculer un lieu ou une enveloppe et en d\'eduire l'\'equation. \end{itemize} \end{itemize} \subsubsection{Exemple} Nous allons construire un triangle d\'efini par trois points et son cercle circonscrit. \begin{itemize} \item Sur TI~: \begin{enumerate} \item Lancer Flash APPS puis Cabri \item F2, Point, d\'eplacer le curseur en 3 endroits et appuyer sur Entree. \item F3, Triangle, appuyer sur Entree en chacun des 3 points trac\'es pr\'ec\'edemment \item F4, Perpendicular Bisector, appuyer sur entree sur chaque cot\'e lorsque le curseur est pr\`es du milieu d'un cot\'e et qu'apparait perpendicular bissector of this side of the triangle. \item F4, Cercle, appuyer sur entree lorsque le curseur est suffisamment proche de l'intersection et qu'apparait point at this intersection. D\'eplacer le curseur jusqu'\`a ce qu'il soit proche d'un des sommets et qu'apparaisse this radius point, taper \`a nouveau entree. \item F1, Pointer, mettre le curseur pr\`es du point \`a d\'eplacer puis appuyer simultan\'ement sur les fl\'eches de d\'eplacement et sur la touche alpha ou lock. \item F5, permet d'avoir certaines \'equations, menus, distances,... \end{enumerate} \item Sur Casio~: \begin{enumerate} \item cliquer Menu puis G\'eom\'etrie, puis menu Fich, Nouveau \item menu Trace->Forme sp\'eciale->Triangle \item cliquer loin du triangle, puis s\'electionnez un des cot\'es, puis Trace, Construire, bissectrice perpendiculaire \item recommencez pour les 2 autres cot\'es \item s\'electionnez 2 m\'ediatrices puis Trace, construire, intersection \item trace, cercle, puis cliquez sur le centre et un des sommets du triangle \item pointeur, cliquer sur un des sommets puis d\'eplacez-le \item cliquer sur la fl\`eche \`a droite de la barre d'icone, s\'electionnez le cercle puis affichez son rayon, son \'equation, puis s\'electionnez le centre, etc. \end{enumerate} \item Sur HP \begin{enumerate} \item Touche APPS, puis G\'eom\'etrie. \item Si votre calculatrice est en anglais, tapez \verb|F6| (Config) et s\'electionnez \verb|Francais| (si c'est \verb|English| qui apparait, tapez sur la touche \verb|ON| pour annuler) \item Vous pouvez supprimer les axes en tapant \verb|F6| (Config) puis en s\'electionnant \verb|Enlever axes| \item Tapez \verb|F1| (Fich.) puis choisissez \verb|Nouveau|, donnez un nom de variable pour votre construction, par exemple \verb|CIRCON| \item Tapez \verb|F2| (Ajouter) puis choisissez \verb|Points| puis \verb|aleatoire|, donnez alors 3 noms de points, par exemple \verb|A B C| (le clavier est en mode alphab\'etique). Vous avez construit 3 points al\'eaoires. \item Tapez \verb|F2| (Ajouter) puis choisissez \verb|Lignes| puis \verb|mediatrice|, vous voyez apparaitre\\ \verb|mediatrice()|\\ le curseur se trouve apr\`es la parenth\`ese ouvrante, donnez alors le nom des 2 points A et B s\'epar\'es par une virgule, vous devez avoir la ligne\\ \verb|mediatrice(A,B)|\\ tapez sur \verb|ENTER|, donnez ensuite le label de la m\'ediatrice (c'est le nom qui apparaitra \`a l'\'ecran) et le nom de variable de la m\'ediatrice, par exemple \verb|:c:c|. Vous pouvez aussi ne pas afficher de label pour la m\'ediatrice en tapant \verb|::c|. Par contre vous devez toujours donner un nom de variable \`a la m\'ediatrice. \item Recommencez pour cr\'eer la m\'ediatrice \verb|b| des points \verb|A| et \verb|C| et la m\'ediatrice \verb|a| des points \verb|B| et \verb|C|. \item Tapez \`a nouveau \verb|F2|, s\'electionnez \verb|Points| puis \verb|inter|, indiquez en argument les noms de variable des deux m\'ediatrices, par exemple \verb|a| et \verb|b|, donnez un label et un nom de variable pour le point d'intersection, par exemple \verb|:O:O|. \item \`A nouveau \verb|F2|, puis \verb|Courbes|, puis \verb|cercle|, donnez en argument le centre \verb|O| et l'un des 3 points, par exemple \verb|A|, donnez un nom de label et de variable au cercle par exemple \verb|:S:S|. Notez qu'on pouvait construire directement un cercle circonscrit \`a partir de 3 points (en choisissant \verb|circonscrit| au lieu de \verb|cercle|). \item Tapez sur \verb|F1| puis \verb|Sauver| pour sauver la figure \verb|CIRCON| \item Pour faire varier un des points et observer comment la figure se modifie, tapez \verb|F4| (D\'eplacer), s\'electionnez \verb|A|, \verb|B| ou \verb|C| et faites bouger le point avec les fl\`eches (vous pouvez pr\'ec\'eder les fl\`eches par les touches shift pour d\'eplacer plus rapidement ou alpha moins rapidement). Tapez sur \verb|Ok| pour accepter la nouvelle position ou sur \verb|Annul| pour annuler le d\'eplacement. \item Pour quitter, tapez \verb|F1| puis \verb|Quitter|. \item Vous pouvez maintenant taper des commandes de g\'eom\'etrie analytique, comme par exemple \verb|affixe(A)|, \verb|rayon(S)| directement au clavier (taper deux fois sur alpha puis sur la touche shift gauche puis sur alpha pour bloquer le clavier en mode alphab\'etique minuscule, taper \`a nouveau sur shift gauche alpha pour revenir en mode majuscule), ou en utilisant le sous-menu \verb|Mesure| du bandeau des commandes de g\'eom\'etrie (taper \verb|GEO(0)| pour faire apparaitre ce menu). \item Pour revoir cette figure ult\'erieurement, lancez \`a nouveau l'application, puis si n\'ecessaire \verb|F1| et charger \verb|CIRCON|. % c'est bien ca? oui \item Vous pouvez aussi modifier la construction dans son ensemble en l'\'editant soit depuis le menu F4 (D\'eplacer), sous-menu \verb|Edit figure|, soit en dehors de l'application de g\'eom\'etrie en \'editant la variable \verb|CIRCON|. Dans les deux cas, vous \'editez une liste d'objets g\'eom\'etriques, chaque objet g\'eom\'etrique \'etant constitu\'e d'une formule de calcul et d'un label/nom de variable. \end{enumerate} \end{itemize} \subsubsection{Exercices} \begin{enumerate} \item Faites la m\^eme construction pour le centre de gravit\'e ou/et le cercle inscrit, l'orthocentre d'un triangle. \item Th\'eor\`eme de Napol\'eon\\ Soit ABC un triangle quelconque, on construit sur ses cot\'es trois triangles \'equilat\'eraux, il s'agit de caract\'eriser le triangle form\'e par les 3 centres des triangles \'equilat\'eraux. \item On se donne un point $M$ sur un cercle passant par $A$, soit $MAPN$ le carr\'e direct de cot\'e $MA$. Quel est le lieu de $N$ lorsque $M$ parcourt le cercle? \item On se donne un point $F$ et un cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $r$. Soit $M$ un point sur le cercle $C$, $N$ la m\'ediatrice du segment $FM$. Quelle est l'enveloppe des m\'ediatrices $N$ lorsque $M$ parcourt le cercle $C$? \item On se donne un carr\'e ABCD, un point $E$ parcourant le segment $BC$. On construit le cercle inscrit au triangle $ABE$ et le cercle tangent aux cot\'es $EA$, $EC$, $CD$. Il s'agit de savoir pour quelle position de $E$ les deux cercles ont m\^eme rayon, et pour quelle position de $E$ les deux cercles sont tangents \`a la droite $EA$ au m\^eme point. \ifpdf \includegraphics[width=\textwidth]{capes} \else %file session0.tex % Generated by xcas \noindent \begin{center} \psset{unit=5.0000cm} \psset{linewidth=.5pt} \psset{arrowsize=2pt 4} \pspicture*(-0.1000,-0.1000)(1.1000,1.1000) \psset{linecolor=black} \psline[linestyle=dashed]{->}(-0.1000,0.0000)(1.1000,0.0000) \psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-0.1000)(0.0000,1.1000) \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000) \uput{0.0100}[45.0000](0.0000,0.0000){A} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](1.0000,0.0000) \uput{0.0100}[45.0000](1.0000,0.0000){B} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](1.0000,1.0000) \uput{0.0100}[45.0000](1.0000,1.0000){C} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](1.0000,0.3000) \uput{0.0100}[45.0000](1.0000,0.3000){E} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](0.0000,1.0000) \uput{0.0100}[45.0000](0.0000,1.0000){D} \psset{linecolor=black} \psline[fillcolor=black]( 0.000000, 0.000000)( 1.000000, 0.000000)( 1.000000, 1.000000)( 0.000000, 1.000000)( 0.000000, 0.000000) \psset{linecolor=black} \psline(0.0000,0.0000)(1.0000,0.3000) \psset{linecolor=black} \psarc[fillcolor=black](0.8720,0.1280){0.1280}{0.0000}{360.0000} \uput{0.0100}[45.0000](0.8720,0.1280){C1} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](0.8720,0.1280) \uput{0.0100}[45.0000](0.8720,0.1280){O1} \psset{linecolor=black} \psdots[dotstyle=*](0.5986,0.5986) \uput{0.0100}[45.0000](0.5986,0.5986){O2} \psset{linecolor=black} \psarc[fillcolor=black](0.5986,0.5986){0.4014}{0.0000}{360.0000} \uput{0.0100}[45.0000](0.5986,0.5986){C2} \endpspicture \end{center} \fi \item Th\'eor\`eme de Morley\\ Soit $ABC$ un triangle, on trace les trissectrices des angles en chaque sommet, puis on appelle $M$, $N$ et $O$ les points d'intersection de la premi\`ere trissectrice issue d'un sommet avec la deuxi\`eme trissectrice issue du sommet suivant. Il s'agit de caract\'eriser le triangle $MNO$. \end{enumerate} \pagebreak \section{Syst\`eme.} La m\'emoire des calculatrices est compos\'ee de ROM (read only memory, en principe non modifiable) et de RAM (random access memory, perdue en cas de perte d'alimentation \'electrique). Sur les mod\`eles TI89/V200/HP49/49+, la ROM est de la rom flash ce qui permet de mettre \`a jour le syst\`eme de la calculatrice d'une part et de conserver des donn\'ees ou applications d'autre part. Sur certains mod\`eles, on peut ajouter des extensions m\'emoire (cartes SD pour HP49+). On peut connecter les calculatrices de m\^eme mod\`ele entre elles (cable) ou avec un ordinateur (cable). Ceci permet d'ajouter des applications t\'el\'echarg\'ees sur Internet ou simplement d'\'echanger des donn\'ees ou des programmes. Sur les 49, la m\'emoire (RAM et ROM flash utilisateur) est divis\'ee en port 0 (RAM), 1 (512K) et 2 (1M, flash rom). La gestion des variables se fait par l'application FILES ou directement avec STO/RCL en indiquant le num\'ero de port ou un nom de variable ``tagg\'e'' par le num\'ero de port. Les applications sont appel\'ees librairies, elles ont un num\'ero de librairie et s'installent en stockant le contenu de la variable charg\'ee dans l'un des 3 ports. Une fois la librairie install\'ee, on la configure manuellement avec la commande ATTACH(num\'ero) ou en tapant ON-F3 (on perd alors l'historique). Le port 0 (la RAM) permet d'organiser ses donn\'ees avec une arborescence compl\`ete (r\'epertoires, sous-r\'epertoires). Les commandes correspondantes sont CRDIR/PURGE (r\'epertoire vide uniquement). L'\'echange de donn\'ees se fait par le kit de connexion sur PC ou avec sx/rx sous Linux (package lsxrx), sur la calculatrice APPS puis I/O ou directement avec les commandes XRECV/XSEND (protocole X-modem) ou RECN/RECV/SEND (protocole Kermit). Sur les TI, il y a 2 zones de m\'emoires, la RAM qui contient un syst\`eme de r\'epertoire restreint \`a un niveau et la zone d'archivage. Les commandes de cr\'eation de r\'epertoire sont NewFold, GetFold, DelFold. On peut acc\'eder \`a une variable d'un r\'epertoire par un chemin en utilisant $\backslash$ comme s\'eparateur. Les commandes d'archivage/d\'esarchivage sont Archive et Unarchiv. La gestion et les \'echanges de donn\'ee se font avec le kit de connexion, ou avec le programme tilp sous Linux, et l'application VAR-LINK sur la calculatrice. Les applications flash TI peuvent atteindre une taille importante, et on est vite \`a court de place sur les 89 par exemple. Sur les HP, les librairies ne peuvent d\'epasser 128K et occupent souvent beaucoup moins de place. On peut donc en installer beaucoup, au prix souvent d'une interface moins conviviale que sur TI. Adresses web: \verb|www.hpcalc.org| et \verb|www.ticalc.org|. Exercices~: transmettre une variable entre 2 calculatrices. R\'ecup\'erer et installer une application flash sur TI (par exemple Cabri) ou une librairie sur HP (par exemple stat49pro). \pagebreak \section{Programmation} L'essentiel de cette section est adapt\'e d'un document de Ren\'ee De Graeve\\ \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~degraeve/grouge.ltx|\\ Le document original traite de nombreuses autres calculatrices. \subsection{Edition, correction, ex\'ecution} \subsubsection{Comment \'editer et sauver un programme} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 HP49G mode RPN\\ % La {\tt HP49G} peut travailler selon deux modes : le mode RPN qui est la % notation polonaise inverse et o\`u les diff\'erents r\'esultats sont mis sur une % pile, ou le mode alg\'ebrique qui est la notation habituelle (voir \ref{sec:49alg}).\\ % Un programme s'\'ecrit dans la ligne de commande entre les d\'elimiteurs ${\tt \ll \; \gg}$\\ % Pour le sauver, il suffit de faire suivre le dernier $\gg$ par : % $${\tt \ 'NOMDUPROGRAMME'\ STO\triangleright}$$ \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique \label{sec:49alg} \\ Un programme s'\'ecrit dans la ligne de commande entre les d\'elimiteurs ${\tt \ll \; \gg}$\\ Pour le sauver, il suffit de faire suivre le dernier $\gg$ par : $${\tt STO\triangleright \ NOMDUPROGRAMME}$$ \item Traduction TI89, 92\\ Pour avoir acc\`es \`a l'\'editeur, on appuie sur la touche {\tt APPS} puis {\tt 7 (Program Editor)} puis {\tt 3 (New)} et {\tt ENTER}.\\ On vous demande, dans {\tt Type}, si on veut \'ecrire une fonction (qui renvoie une valeur gr\^ace \`a {\tt Return}) ou un programme (appuyer {\tt ->} puis faites votre choix {\tt 1} ou {\tt 2}) puis {\tt ENTER} pour valider votre choix. On \'ecrit ensuite le nom du programme dans la case {\tt Variable} puis {\tt ENTER} pour valider le nom, puis {\tt ENTER} pour entrer dans l'\'editeur.\\ Vous \^etes pr\^et \`a taper votre programme. Vous pouvez ajouter \'eventuellement les noms des param\`etres dans la premi\`ere ligne (en d\'epla\c{c}ant le curseur avec les fl\`eches).\\ Les touches {\tt F1 F2 F3 F4} vous facilitent l'\'edition.\\ En appuyant sur ${\tt \blacklozenge\ Q\ (HOME)}$ vous sauvez votre programme et vous revenez \`a l'\'ecran {\tt HOME}. \end{enumerate} \subsubsection{Comment corriger un programme} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 HP49G mode RPN\\ % Si la syntaxe est mauvaise, la machine vous met automatiquement le curseur l\`a % o\`u le compilateur a d\'etect\'e l'erreur. Il suffit donc de corriger!!!\\ % Si l'erreur est d\'etect\'ee au cours de l'ex\'ecution du programme il faut taper :\\ % {\tt 'NOMDUPROGRAMME' VISIT}\index{VISIT} qui \'edite votre programme.\\ % On corrige, puis % {\tt ENTER} sauve votre programme corrig\'e. % Si vous ne voyez pas quelle peut \^etre la source d'une erreur, % vous pouvez utiliser le d\'ebuggueur : \\ % - sur la {\tt HP49G} taper {\tt shift-bleu CAT (PRG)} et s\'el\'ectionner le menu % {\tt 14 RUN \& DEBUG} puis {\tt ENTER}.\\ % - sur la {\tt HP48G} taper {\tt PRG} puis {\tt NXT} puis ouvrir le % r\'ep\'ertoire {\tt RUN} du bandeau.\\ % Le bandeau ${\tt DEBUG\ SST\ SST\downarrow\ NEXT\ HALT2\ KILL}$ s'affiche.\\ % {\tt DEBUG} lance le programme et ex\'ecute la premi\`ere instruction % puis, {\tt NEXT} affiche l'\'etape suivante sans l'ex\'ecuter et % {\tt SST} l'ex\'ecute ({\tt NEXT SST} ex\'ecute le programme au pas \`a pas).\\ % Si l'on veut faire l'ex\'ecution du programme en pas \`a pas \`a partir du milieu du programme % il faut mettre un point d'arr\^et \`a cet endroit en ins\'erant la commande % {\tt HALT} dans le programme. On lance alors le programme qui s'arr\^ete au niveau du {\tt HALT}, on fait l'ex\'ecution pas \`a pas comme pr\'ec\'edemment % avec {\tt NEXT} {\tt SST} etc..\\ % On utilise {\tt KILL} pour arr\^eter le debugger quand on a compris o\`u etait l'erreur et {\tt Shift-rouge ON (CONT)} pour continuer l'ex\'ecution du programme. \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ Si la syntaxe est mauvaise, la machine vous met automatiquement le curseur l\`a o\`u le compilateur a d\'etect\'e l'erreur. Il suffit donc de corriger! \\ Si l'erreur est d\'etect\'ee au cours de l'ex\'ecution du programme il faut taper : \begin{center} {\tt VISIT('NOMDUPROGRAMME')}\index{VISIT} \end{center} pour \'editer votre programme. On corrige, puis {\tt ENTER} sauve votre programme corrig\'e. \item Traduction TI89 92\\ Si la syntaxe est mauvaise, la machine vous demande si vous voulez aller l\`a o\`u se trouve l'erreur ({\tt ENTER=GOTO}) ou si vous voulez arr\^eter ({\tt ESC=CANCEL}). Vous r\'epondez : {\tt ENTER}. Vous \^etes alors dans l'\'editeur pr\^et \`a corriger votre erreur. Puis ${\tt \blacklozenge\ Q\ (HOME)}$ vous fait revenir \`a l'\'ecran {\tt HOME} en sauvant votre correction.\\ Si l'erreur est d\'etect\'ee au cours de l'ex\'ecution du programme il faut taper : \begin{center} {\tt APPS} puis {\tt 7 (Program Editor)} puis {\tt 1 (Current)} et {\tt ENTER} \end{center} qui \'edite votre programme. \end{enumerate} \subsubsection{Comment ex\'ecuter un programme} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 HP49G mode RPN\\ % Si le programme n'a pas de param\`etres, il suffit de taper son nom dans la ligne de commande ou d'utiliser le menu {\tt VAR}.\\ % S'il y a des param\`etres, on met les valeurs des param\`etres sur la pile puis on % tape le nom du programme.\\ % Exemple :\\ % {\tt 45 75 PGCD} \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ Si le programme n'a pas de param\`etres, il suffit de taper son nom dans la ligne de commande ou d'utiliser le menu {\tt VAR}. S'il y a des param\`etres, on fait suivre le nom du programme de parenth\`eses dans lesquelles on met les valeurs des param\`etres s\'epar\'ees par une virgule.\\ Exemple : {\tt PGCD(45,75)} \item Traduction TI89 92\\ Si le programme n'a pas de param\`etres, il suffit de taper son nom dans la ligne de commande. S'il y a des param\`etres, on fait suivre le nom du programme de parenth\`eses dans lesquelles on met les valeurs des param\`etres s\'epar\'ees par une virgule.\\ Exemple : {\tt pgcd(45,75)} \end{enumerate} \subsubsection{Comment am\'eliorer puis sauver sous un autre nom un programme} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 HP49G mode RPN\\ % On tape :\\ % {\tt 'NOMDUPROGRAMME' RCL} puis {\tt edit} du bandeau.\\ % On fait les am\'eliorations et on fait suivre le dernier $\gg$ par : % $${\tt 'NOUVEAUNOM'\ STO\triangleright}$$ \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique \begin{center} {\tt RCL('NOMDUPROGRAMME')} puis {\tt EDIT} du bandeau. \end{center} On fait les am\'eliorations et on fait suivre le dernier $\gg$ par : $${\tt STO\triangleright \ NOUVEAUNOM}$$ \item Traduction TI89 92\\ Vous ouvrez l'\'editeur avec le programme que vous voulez am\'eliorer puis sauver sous un autre nom :\\ {\tt APPS} puis {\tt 7 (Program Editor)} puis {\tt 2 (Open)} puis mettre le nom du programme \`a modifier dans {\tt Variable} (appuyer sur {\tt ->} pour avoir acc\`es \`a tous les noms de vos programmes, s\'electionner celui \`a modifier avec les fl\`eches et {\tt ENTER}), puis {\tt ENTER}.\\ Ensuite, il suffit de taper sur ${\tt \blacklozenge\ S}$ pour sauver cet \'editeur sous un autre nom : {\tt SAVE COPY AS} (on met le nouveau nom dans {\tt Variable}).\\ Vous pouvez faire vos modifications puis ${\tt \blacklozenge\ Q\ (HOME)}$ vous sauve votre programme modifi\'e sous le nouveau nom, et vous revenez \`a l'\'ecran {\tt HOME}. \end{enumerate} \subsection{Les diff\'erentes instructions} \subsubsection{Les commentaires} Il faut prendre l'habitude de commenter les programmes. En algorithmique un commentaire commence par {\tt // } et se termine par un passage \`a la ligne. \begin{enumerate} \item Traduction HP49G \\ Le commentaire commence par {\tt @} et se termine par un passage \`a la ligne ou est entour\'e de deux {\tt @}.\\ Le caract\`ere {\tt @} est obtenu en tapant {\tt shift-rouge ENTER}\\ Attention!!! le compilateur efface les commentaires... donc pour garder vos commentaires, il faut \'ecrire votre programme sous la forme d'un texte qu'il faut ensuite compiler avec ${\tt STR\rightarrow}$ ce qui complique un peu... \item Traduction TI89 92 \\ Le commentaire commence par {\tt {\copyright}} (F2 9) et se termine par un passage \`a la ligne. \end{enumerate} \subsubsection{Les variables} Ce sont les endroits o\`u l'on peut stocker des valeurs, des nombres, des expressions. Le nom d'une variable est limit\'e \`a 8 caract\`eres sur TI, les HP font la diff\'erence entre majuscules et minuscules mais pas les TI. Les variables peuvent \^etre globales (encore d\'efinies apr\`es l'ex\'ecution du programme) ou locales (elles n'intef\'erent pas avec les variables globales). \begin{itemize} \item Sur les {\tt HP49G}, les variables locales sont d\'eclar\'ees et initialis\'ees (initialisation obligatoire!) gr\^ace \`a \ ${\tt \ \rightarrow}$ {\tt (shift-rouge 0)} Pour la {\tt HP49G mode Alg\'ebrique} chaque d\'eclaration de variable doit \^etre suivie par un sous programme (d\'elimiteurs ${\tt \ll \gg}$) en \'ecrivant : $${\tt \ll 1\ \rightarrow\ A \ll 2\ \rightarrow\ B \ll \mbox{corps du programme} \gg \gg \gg}$$ La fl\`eche doit \^etre entour\'ee d'espaces, ces espaces sont mis automatiquement quand on n'est pas en mode {\tt Alpha}.\\ Exemple~: $${\tt \ll 3.14\ \rightarrow\ PI \ll 2*PI*R \gg \gg STO\triangleright \ PER}$$ \\ Dans cet exemple, on a \'ecrit le programme {\tt PER}, {\tt PI} est une variable locale qui est d\'eclar\'ee et initialis\'ee \`a ${\tt 3.14 \ \rightarrow \ PI} $. Cette variable est locale pour le programme qui suit sa d\'eclaration (ici ${\tt \ll 2*PI*R \gg}$). \\ Par contre, {\tt R} est une variable globale (qui doit exister avant l'ex\'ecution du programme {\tt PER}). Si, au cours d'un programme, on veut stocker une valeur dans une variable (locale ou globale) il faut bien s\^ur utiliser ${\tt STO\triangleright}$. \item Pour les {\tt TI89, TI92} il faut d\'efinir les variables locales en d\'ebut de programme en \'ecrivant par exemple:\\ {\tt :local a,b} \end{itemize} \subsubsection{Notion de param\`etres} Quand on \'ecrit une fonction il est possible de lui passer des param\`etres. Par exemple si {\tt A} et {\tt B} sont les param\`etres de la fonction {\tt pgcd} on \'ecrira : \begin{center} {\tt pgcd(A,B)} \end{center} Ces param\`etres se comportent comme des variables locales, la seule diff\'erence est qu'ils sont initialis\'es lors de l'appel de la fonction. \begin{itemize} \item Pour la {\tt HP49G mode Alg\'ebrique} si on veut que {\tt R} soit le param\`etre de la fonction {\tt PER} on \'ecrit~: $${\tt \ll\ \rightarrow\ R \ll 3.14\ \rightarrow\ PI \ll 2*PI*R \gg \gg \gg STO\triangleright \ PER}$$ \item Pour les {\tt TI 89 92} on met le nom des param\`etres dans le nom de la fonction par exemple :\\ {\tt :addition(a,b)} \end{itemize} \subsubsection{Les Entr\'ees clavier} Pour que l'utilisateur puisse entrer une valeur dans la variable {\tt A} au cours de l'ex\'ecution d'un programme, on \'ecrira, \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 HP49G mode RPN \\ % \noindent{\tt "A" "" INPUT STR-> EVAL 'A' STO}\\ % ou pour la {\tt HP49G mode RPN}\\ % {\tt 'A' PROMPTSTO}\index{PROMPTSTO} \item HP49G~: {\tt ...PROMPTSTO('A')} \item TI89, 92 \\ \noindent {\tt:Prompt A}\\ {\tt :Prompt A,B}\\ ou encore :\\ {\tt:Input ``A='',A} \end{enumerate} Attention, on ne peut pas faire d'entr\'ees dans une fonction sur TI. et c'est d\'econseill\'e sur HP. Une fonction doit uniquement utiliser ses param\`etres comme entr\'ees. \subsubsection{Les Sorties \'ecran.} Il ne faut pas confondre les affichages interm\'ediaires d'un programme avec la valeur de retour d'une fonction, les affichages ne peuvent pas \^etre utilis\'es par un programme appelant. Pour afficher un r\'esultat au cours de l'ex\'ecution d'un programme, on \'ecrit~: \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN \\ % En g\'en\'eral on affiche simplement les r\'esultats sur la pile pour une % r\'eutilisation \'eventuelle, on \'ecrira simplement :\\ % {\tt A B}\\ % On peut aussi afficher le r\'esultat tagu\'e, on \'ecrira alors :\\ % {\tt A "A=" ->TAG}\\ % {\tt HALT} arr\^ete le programme et {\tt Shift-rouge ON (CONT)} le continue. \item HP49G \begin{itemize} \item dans une boite de message $${\tt MSGBOX( "A="+\rightarrow STR(A))}$$\index{MSGBOX} (ici le {\tt +} effectue la concat\'enation de deux chaines de caract\`eres) \item sur une ligne de l\'ecran~:\\ $$ {\tt DISP("A="+A,3)}$$\index{DISP}, \\ 3 repr\'esente le num\'ero de la ligne, \\ {\tt CLLCD()} permet d'effacer l'\'ecran\index{CLEAR}\\ {\tt FREEZE(7)} g\`ele l'affichage et permet de visualiser les 7 lignes de l'affichage.\index{FREEZE} \end{itemize} \item TI 89 92 \\ \noindent{\tt :Disp "A=",A}\\ {\tt :ClrIO} efface l'\'ecran.\\ {\tt :Pause} arr\^ete le programme (on appuie sur {\tt ENTER} pour reprendre l'ex\'ecution). \end{enumerate} Attention, on ne peut pas faire de sortie dans une fonction sur TI. On utilise la valeur de retour pour renvoyer un r\'esultat (c'est la derni\`ere valeur calcul\'ee dans la fonction ou la valeur qui suit une instruction {\tt Return} sur les TI). \subsubsection{La s\'equence d'instructions ou action} Une action est une s\'equence d'une ou plusieurs instructions. On utilise {\tt :} (sur TI) ou {\tt\ ;\ } (sur HP, le {\tt ;} s'obtient en tapant en m\^eme temps sur {\tt shift-rouge SPC}) comme s\'eparateur d' instructions. \subsubsection{L'instruction d'affectation} L'affectation est utilis\'ee pour stocker une valeur ou une expression dans une variable. On tape la valeur puis la touche ${\tt STO}$ puis le nom de la variable \`a affecter. \subsubsection{Les instructions conditionnelles} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % \noindent{\tt IF \emph{condition} THEN % \emph{action} % END}\\ % {\tt IF \emph{condition} THEN % \emph{action1} ELSE % \emph{action2} % END}\\ % Attention on utilise la notation postfix\'ee et == pour traduire la % condition d'\'egalit\'e.\\ % On \'ecrit pour traduire l'exemple :\\ % {\tt IF A 10 == A B < OR THEN % B A - 'B' STO % ELSE A B - 'A' STO END}\\ % on peut aussi \'ecrire :\\ % {\tt IF '(A==10) OR (A < B)' THEN ...} \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ \noindent{\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action} END}\\ {\tt IF \emph{condition} THEN \emph{action1} ELSE \emph{action2} END}\\ Exemple (Attention au == pour traduire la condition d'\'egalit\'e) :\\ {\tt IF A == 10 OR A < B THEN B-A STO$\triangleright$ B ELSE A-B STO$\triangleright$ A END} \item Traduction TI89 92\\ \noindent{\tt:If \emph{condition} Then : \emph{action} : EndIf}\\ {\tt :If \emph{condition} Then : \emph{action1} : Else : \emph{action2}: EndIf}\\ Exemple :\\ {\tt :If A = 10 or A < B Then : B-A->B : Else : A-B->A : EndIf} \end{enumerate} \subsubsection{Les instructions "Pour" } \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % \noindent{\tt A B FOR I \emph{action} NEXT}\\ % {\tt A B FOR I \emph{action} P STEP} \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ \noindent{\tt FOR (I, A, B) \emph{action} NEXT}\\ {\tt FOR (I, A, B ) \emph{action} STEP P}\\ L'instruction {\tt FOR} d\'eclare {\tt I} comme variable locale et l'initialise automatiquement. \item Traduction TI89 92\\ \noindent{\tt :For I,A,B : \emph{action} : EndFor}\\ {\tt:For I,A,B,P : \emph{action} : EndFor} \end{enumerate} \subsubsection{L'instruction ``Repeter''} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % \noindent{\tt DO % \emph{action} % UNTIL \emph{condition} % END} \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ \noindent{\tt DO \emph{action} UNTIL \emph{condition} END} \item Traduction TI89 92\\ \noindent{\tt :Loop :\emph{action} :If \emph{condition} :Exit :EndLoop} \end{enumerate} \subsubsection{L'instruction ``Tant que''} \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % \noindent{\tt WHILE \emph{condition} REPEAT % \emph{action} % END} \item Traduction HP49G mode Alg\'ebrique\\ \noindent{\tt WHILE \emph{condition} REPEAT \emph{action} END} \item Traduction TI89 92\\ \noindent{\tt :While \emph{condition} : \emph{action} : EndWhile} \end{enumerate} \subsubsection{Les conditions ou expressions bool\'eennes } Une condition est une expression qui a comme valeur un bool\'een, \`a savoir elle est soit {\tt vraie} soit {\tt fausse}. \begin{enumerate} \item Les op\'erateurs relationnels\\ Pour exprimer une condition simple on utilise les op\'erateurs : \begin{center} {\tt = > > $\leq$ $\geq$ $\neq$} \end{center} Attention pour les calculatrices HP l'\'egalit\'e se traduit comme en langage {\tt C} par {\tt ==} \item Les op\'erateurs logiques\\ Pour traduire des conditions complexes, on utilise les op\'erateurs logiques : \begin{center} {\tt or and not} (TI), \quad {\tt OR AND NOT} (HP) \end{center} \end{enumerate} \subsubsection{Les fonctions} Dans une fonction on ne fait pas de saisie de donn\'ees : on utilise des param\`etres qui seront initialis\'es lors de l'appel. Dans une fonction on veut pouvoir r\'eutiliser le r\'esultat, on peut utiliser un appel de fonction dans une expression. \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % Pour la {\tt HP48} ou la {\tt HP49G mode RPN}, on suppose que les arguments de la fonction % sont mis sur la pile avant l'appel de la fonction.\\ % Dans l'\'ecriture de la fonction les arguments sont des variables locales % qui seront initialis\'ees par les \'elements mis sur la pile. Le r\'esultat de la % fonction est alors mis sur la pile.\\ % L'exemple se traduit par :\\ % ${\tt \ll \rightarrow\ A\ B}$\\ % ${\tt \ \ \ll\ A\ B\ +\ \gg}$\\ % ${\tt \gg}$\\ % {\tt 'ADDITION' STO}\\ % puis on met les valeurs de A et B au niveau 1 et 2 de la pile, apr\'es % l'ex\'ecution d'ADDITION leur somme se trouvera au niveau 1 de la pile.\\ % {\bf N.B.} pour des fonctions simples, on peut \'eviter les variables locales % par exemple ${\tt \ll\ +\ \gg}$ {\tt 'ADDITION' STO} \item Exemple HP49G mode Alg\'ebrique\\ ${\tt \ll \rightarrow\ A\ B} $\\ ${\tt \ \ \ll A +B \gg}$\\ ${\tt \gg}$\\ ${\tt STO\triangleright\ ADDITION}$\\ Pour l'ex\'ecuter, on tape : $${\tt ADDITION(4,5)}$$ \item Exemple TI89 92\\ \begin{verbatim} :addition(a,b) :Func :Return a+b :EndFunc \end{verbatim} Pour l'ex\'ecuter, on tape : $${\tt addition(4,5)}$$ \end{enumerate} \subsubsection{Les listes} On utilise les \{ \} pour d\'elimiter une liste. Par exemple \{\} d\'esigne la liste vide et \{1, 2, 3\} est une liste de 3 \'el\'ements. Si on affecte une variable \`a une liste, on acc\`ede \`a un \'el\'ement de la liste en tapant le nom de variable suivi de crochets et de l'indice entre crochets, par exemple {\tt TAB[2]} d\'esigne le deuxi\`eme \'el\'ement de {\tt TAB}. Attention \`a ne pas confondre une liste avec la notion d'ensemble en math\'ematiques~: dans un ensemble l'ordre des \'el\'ements n'a pas d'importance mais dans une liste l'ordre est important. \begin{enumerate} % \item Traduction HP48 ou HP49G mode RPN\\ % Ici les listes peuvent avoir des longueurs non d\'efinies \`a l'avance.\\ % On utilise les \{\} pour d\'elimiter une liste.\\ % Par exemple \{1 2 3\} est une liste de 3 \'el\'ements et \{\} d\'esigne la liste vide.\\ % On obtient le {\tt P}i\`eme \'el\'ement de {\tt L} sur la pile avec :\\ % {\tt L P GET}\\ % Si on veut modifier le {\tt P}i\`eme \'el\'ement de {\tt L} (par exemple le mettre \`a 0) on \'ecrira :\\ % {\tt 'L' P 0 PUT} ou {\tt L P 0 PUT 'L' STO}\\ % En effet {\tt L P 0 PUT} renvoie sur la pile la liste modifi\'ee alors que :\\ % {\tt 'L' P 0 PUT} % modifie la liste {\tt L}.\\ % Pour concat\'ener deux listes ou une liste et un \'el\'ement on utilise le {\tt +} % ou on utilise la commande {\tt AUGMENT}.\\ % Remarque : c'est la commande {\tt ADD}) qui permet d'ajouter deux listes de m\^emes longueurs. \item HP49G \begin{itemize} \item On obtient le {\tt P}i\`eme \'el\'ement de {\tt L } avec : {\tt L[P]} ou {\tt L(P)} ou {\tt GET (L, P )} \item Si on veut modifier le {\tt P}i\`eme \'el\'ement de {\tt L} (par exemple le mettre \`a 0) on \'ecrira : {\tt PUT(L, P, 0) STO$\triangleright$ L }\\ ou\\ {\tt PUT('L', P, 0)}\\ En effet {\tt PUT(L, P, 0)} renvoie la liste modifi\'ee (sans modifier {\tt L}) alors que :\\ {\tt PUT ('L', P, 0) } modifie la liste {\tt L}. \item Pour concat\'ener deux listes ou une liste et un \'el\'ement on utilise le {\tt +} (alors que pour ajouter deux listes de m\^emes longueurs on utilise la commande {\tt ADD}). \item La commade {\tt SEQ} permet de constituer une liste, on tape : $${\tt SEQ('X*X','X',4,10,1)}$$ on obtient : $${\tt \{16,25,36,49,64,81,100\}}$$ \end{itemize} \item {\tt SUB} permet d'extraire des \'el\'ements d'une liste. \item TI89-92 \begin{itemize} \item {\tt l[i] } d\'esigne le i\`eme \'el\'ement de la liste {\tt l}. On peut modifier le i\`ieme \'el\'ement de {\tt l} avec la touche {\tt STO}~:\\ {\tt 2 $\rightarrow$ L[2]} \\ et si ${\tt L}$ est de longueur {\tt n} on peut rajouter un \'el\'ement (par exemple 121) \`a ${\tt L}$ en \'ecrivant :\\ {\tt 121 -> L[n+1]} \item {\tt augment} permet de concat\'ener deux listes. \item on peut initialiser une liste de {\tt n} \'el\'ements avec la commande {\tt newlist}, par exemple :\\ {\tt newlist(10)->L} ({\tt L} est alors une liste de 10 \'el\'ements nuls). \item On peut aussi cr\'eer une liste avec {\tt seq}, par exemple~:\\ {\tt seq(i*i, i, 1, 10)} d\'esigne la liste des carr\'es des 10 premiers entiers, \\ {\tt seq(i*i, i, 0, 10, 2)} qui d\'esigne la liste des carr\'es des 5 premiers entiers pairs (le pas est ici \'egal \`a 2). \item {\tt left (L, 5)} d\'esigne les 5 premiers \'el\'ements de la liste {\tt L}, autres instructions d'extraction {\tt right} et {\tt mid}. \end{itemize} \end{enumerate} \subsubsection{Chaines de caract\`eres} Les chaines de caract\`ere utilisent le d\'elimiteur \verb|"|. Quelques fonctions (HP puis TI)~: \begin{enumerate} \item longueur~: {\tt SIZE}, {\tt dim} \item concat\'enation~: {\tt +}, {\tt \&} \item partie de chaine~: {\tt SUB}, {\tt left/mid/right} \item code ASCII~: {\tt CHR/NUM}, {\tt char/ord} \item recherche d'une sous-chaine dans une chaine~: {\tt POS}, {\tt inString} \end{enumerate} %\pagebreak \subsection{Exercices} \subsubsection{Sur le th\`eme math\'ematique.} \begin{enumerate} \item Ecrire une fonction calculant le cube d'un entier. En utilisant cette fonction afficher la liste des cubes des entiers de 1 \`a 10. \item Ecrire une fonction calculant les 2 racines d'une \'equation du second degr\'e donn\'ee par $a$, $b$ et $c$. \item Ecrire une fonction calculant la somme de $j$ variant de 1 \`a $n$ de $1/j$. De m\^eme en faisant varier $j$ en d\'ecroissant. \item Ecrire une fonction testant si un nombre est premier en recherchant un diviseur inf\'erieur \`a $\sqrt{n}$. \item Ecrire une fonction calculant le pgcd de 2 entiers par l'algorithme d'Euclide. \item Ecrire une fonction calculant l'indicatrice d'Euler d'un entier en utilisant la fonction pr\'ec\'edente. \item M\^eme question pour l'identit\'e de B\'ezout. \item Ecrire une fonction calculant $a \pmod{pq}$ connaissant $a =b \pmod p$ et $a=c \pmod q$. \end{enumerate} \subsubsection{Sur le th\`eme du s\'equencage} Pour les chaines de caract\`ere, on utilisera au choix des listes de variables (attention, v\'erifier qu'elles ne sont pas affect\'ees) ou des chaines. \begin{enumerate} \item Ecrire une fonction testant si un caract\`ere est parmi A, C, G, T. On renvoie 1 si c'est le cas et 0 sinon. \item Ecrire une fonction qui teste si deux caract\`eres sont compl\'ementaires. \item Ecrire une fonction qui teste si une chaine de caract\`ere n'a que des caract\`eres A, C, G, T. \item Ecrire une fonction qui teste si deux chaines sont compl\'ementaires. \item Ecrire une fonction qui renvoie la chaine ARN compl\'ementaire d'une chaine ADN. \item Ecrire une fonction qui compte le nombre de A, C, G et T dans une chaine. \item \'Ecrire une fonction renvoyant la position d'un codon de start dans une chaine d'ARN. Faites de m\^eme pour d\'eterminer la position d'un codon de stop \`a partir d'une position donn\'ee. \item \'Ecrire un programme qui d\'etermine le d\'ebut et la fin d'une partie codante d'une s\'equence d'ARN (en recherchant le premier triplet de d\'emarrage AUG et l'un des triplets de fin correspondants UAA, UGA, UAG). Modifier le programme pr\'ec\'edent pour qu'il lise de 3 en 3 seulement et d\'etermine les 3 possibilit\'es de partie codante de l'ARN (selon que l'on commence \`a la 1\`ere, 2\`eme ou 3\`eme lettre la lecture de 3 en 3). On renverra pour chacune la longueur de la s\'equence codante et le rapport du nombre de bases AU sur le nombre de bases CG. \item On se donne un tableau de 16 r\'eels indic\'e horizontalement et verticalement par les lettres de base A, C, G, T. Chaque r\'eel correspond \`a un ``poids'' que l'on donne si les lettres correspondantes se trouvent sur 2 chaines d'ADN, on mettra par exemple un poids positif si les lettres sont \'egales et n\'egatif sinon. \'Ecrire une fonction calculant le poids total obtenu en sommant tous ces poids pour les caract\`eres de deux chaines de m\^eme longueur. Ceci servira ensuite \`a comparer une chaine \`a des chaines connues en trouvant la plus proche. \item (fastidieux): transcrire une chaine ARN en proteine \end{enumerate} {\tiny \begin{tabular}{|c||c|c|c|c||c|} \hline & U & C & A & G & \\ \hline\hline U & \begin{tabular}{ccc} UUU & Phe & [F] \\ UUC & Phe & [F] \\ UUA & Leu & [L] \\ UUG & Leu & [L] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} UCU & Ser & [S] \\ UCC & Ser & [S] \\ UCA & Ser & [S] \\ UCG & Ser & [S] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} UAU & Tyr & [Y] \\ UAC & Tyr & [Y] \\ UAA & \multicolumn{2}{c}{\em STOP} \\ UAG & \multicolumn{2}{c}{\em STOP} \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} UGU & Cys & [C] \\ UGC & Cys & [C] \\ UGA & \multicolumn{2}{c}{\em STOP} \\ UGG & Trp & [W] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} U \\ C \\ A \\ G \\ \end{tabular} \\ \hline C & \begin{tabular}{ccc} CUU & Leu & [L] \\ CUC & Leu & [L] \\ CUA & Leu & [L] \\ CUG & Leu & [L] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} CCU & Pro & [P] \\ CCC & Pro & [P] \\ CCA & Pro & [P] \\ CCG & Pro & [P] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} CAU & His & [H] \\ CAC & His & [H] \\ CAA & Gln & [Q] \\ CAG & Gln & [Q] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} CGU & Arg & [R] \\ CGC & Arg & [R] \\ CGA & Arg & [R] \\ CGG & Arg & [R] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} U \\ C \\ A \\ G \\ \end{tabular} \\ \hline A & \begin{tabular}{ccc} AUU & Ile & [I] \\ AUC & Ile & [I] \\ AUA & Ile & [I] \\ AUG & Met & [M] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} ACU & Thr & [T] \\ ACC & Thr & [T] \\ ACA & Thr & [T] \\ ACG & Thr & [T] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} AAU & Asn & [N] \\ AAC & Asn & [N] \\ AAA & Lys & [K] \\ AAG & Lys & [K] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} AGU & Ser & [S] \\ AGC & Ser & [S] \\ AGA & Arg & [R] \\ AGG & Arg & [R] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} U \\ C \\ A \\ G \\ \end{tabular} \\ \hline G & \begin{tabular}{ccc} GUU & Val & [V] \\ GUC & Val & [V] \\ GUA & Val & [V] \\ GUG & Val & [V] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} GCU & Ala & [A] \\ GCC & Ala & [A] \\ GCA & Ala & [A] \\ GCG & Ala & [A] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} GAU & Asp & [D] \\ GAC & Asp & [D] \\ GAA & Glu & [E] \\ GAG & Glu & [E] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} GGU & Gly & [G] \\ GGC & Gly & [G] \\ GGA & Gly & [G] \\ GGG & Gly & [G] \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{ccc} U \\ C \\ A \\ G \\ \end{tabular} \\ \hline \hline \end{tabular} } % Id\'ee de projet pour le controle continu~: % cf. ``un algorithme de s\'equencage'' dans\\ % \verb|http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/IF.html#Info| \end{document} \pagebreak \section{Sujets donn\'es au CAPES 2005} D'apr\`es \verb|www.capes.math.jussieu.fr/2005/sujets_dossiers_05.htm| Mode d'emploi pour le controle continu pour les \'etudiants de maths~: chaque th\`eme est affect\'e d'un coefficient de 1 ou 2, la somme des coefficients vaut 16. Vous pr\'eparez des lecons pour une somme de coefficients d'un minimum de 10 dont 3 au moins en g\'eom\'etrie. Vous devrez en pr\'esenter une ou deux le 15 d\'ecembre. La note se composera d'une partie sur 17 correspondant \`a la pr\'esentation orale et d'une partie sur 3 \'egale \`a la somme des coefficients des lecons propos\'ees - 10 divis\'ee par 2. \begin{enumerate} \item (20 juillet 06, 1)\\ Soit $C$ un cercle de centre $O$ et $[AB]$ une corde de $C$, $M$ un point de $C$ distinct de $A$ et $B$. La bissectrice de $AMB$ coupe $C$ en $U$. Construire la figure, quelle conjecture peut-on faire sur le point $U$ et sur le triangle $AUB$ lorsque $M$ d\'ecrit un arc de cercle d'extermit\'es $A$ et $B$~? D\'emontrer cette conjecture et pr\'eciser la position de $U$. \\ Soit $N$ un point de $[AB]$, construire un triangle $ABK$ tel que $K\in C$ et la bissectrice de $AKB$ passe par $N$. \item (01 juillet 06, 1)\\ Soit $\alpha \in \R-\{2\} $ et la suite $U_n$ d\'efinie par \[ u_0=1, \quad u_1=a \in \R, \quad \forall n \in \N, u_{n+2} = \alpha u_{n+1} -(\alpha-1)u_n \] On pose pour tout $n\in \N$, $v_n=u_{n+1}-u_n$ et $w_n=u_{n+1}-(\alpha-1)u_n$. Proposer une utilisation de la calculatrices pour calculer les permiers termes de $u_n$, $v_n$ et $w_n$. Quelle est la nature des suites $v_n$ et $w_n$~? \item (07 juillet 06, 1)\\ Soit $C$ et $C'$ deux cercles concentriques de rayons $r>r'$. Il s'agit de construire une corde $[AB]$ de $C$ coupant $C'$ en deux points $A'$ et $B'$ telle que \[ AA'=A'B'=B'B \] On fixe $A$ sur $C$ et on construit $C_1$ l'image de $C$ par l'homoth\'etie de centre $A$ et de rapport $1/3$. Montrer que si une corde solution existe, alors $A'$ est dans l'intersection de $C_1$ et $C'$. Construire la figure. \item (27 juin, 1.5) \\ \[ a_n=4.10^n-1, b_n=2.10^n-1, c_n=2.10^n+1 \] Calculer $a_1,...,c_3$. V\'erifier que $b_3$ est premier, que $b_nc_n=a_{2n}$, calculer la d\'ecomposition en facteurs premiers de $a_6$. Calculer le pgcd de $b_n$ et $c_n$, pr\'esenter un algorithme de calcul du PGCD de deux entiers naturels non nuls. \item (29 juin, 2)\\ Soit $A, B, C$ trois points non align\'es du plan, $T$ le triangle $ABC$. On se propose de d\'emontrer uniquement avec les nombres complexes que les hauteurs de $T$ sont concourantes en un point $H$. Illustrer le r\'esultat. On peut se ramener au cas o\`u les affixes $a$, $b$ et $c$ de $A, B, C$ sont de m\^eme module (pourquoi?) montrer avec les instructions de calcul formel que les hauteurs passent alors par $H$ d'affixe $h=a+b+c$ (indication, consid\'erer $z=(h-c)/(b-a)$). \item (30 juin, 1)\\ Courbe repr\'esentative de $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ (y compris tableau de variations, calcul des asymptotes et droite de sym\'etrie d'\'equation $x=-1/2$). \item (2 juillet, 2)\\ \[ u_{n+1}=f(x), \quad f(x)=x-\frac{1}{4}(x^2-7), \quad u_0 \in [2,3] \] Calculer les premiers termes de la suite, conjecturer le comportement asymptotique. Montrer que $f$ est contractante de rapport $1/2$ sur $[2,3]$ et que $\sqrt{7}$ est toujours compris entre deux valeurs successives de la suite. Donnez une valeur approch\'ee de $\sqrt{7}$ \`a $10^{-4}$ pr\`es. \item (4 juillet, 2)\\ Il s'agit de d\'eterminer la date $J_1$ d'apparition simultan\'ee de 2 corps astronomiques ayant des p\'eriodes de 105 et 81 jours, observ\'es respectivement les jour $J_0$ et $J_0+6$. Soit $x,y$ le nombre de p\'eriodes effectu\'ees par les 2 corps. Montrer que $35x-27y=2$. Pr\'esentez un algorithme de calcul du PGCD de 2 entiers, puis de recherche d'une solution particuli\`ere de $35x-27y=1$. Calculer $J_1$ puis $J_2$ la date de l'apparition simultan\'ee suivante. \item (10 juillet, 1)\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Ann\'ee & 96 & 97 & 98 & 99 & 00 & 01 & 02 & 03 \\\hline Production & 325 & 351 & 382 & 432 & 478 & 538 & 708 & 930 \\ \hline \end{tabular}\\ Tracer le nuage de points correspondant, et de m\^eme pour les points (annee,log(production)). D\'eterminer l'\'equation de la droite de r\'egression des moindres carr\'es pour le log de la production. Quelle production peut-on pr\'evoir en 06? \item (11 juillet, 1)\\ $f(x)=0.85x+3000$. Repr\'esentation graphique de $f$ et des premiers termes de la suite $a_n$ d\'efinie par $a_{n+1}=f(a_n), a_1=60000$. \item (14 juillet, 1)\\ Impot $I$ en fonction du revenu $R$ \[ \left\{ \begin{array}{cc} R<4121 & I=0 \\ R \in [4121,8104] & I=0.075R-309.07\\ R \in [8104,14264] & I=0.21R-1403.12 \\ R \in [14264,23906] & I=0.31R-2829.52 \end{array} \right. \] Trac\'e du graphe. Calcul du taux d'imposition $I/R$ pour $R=5000, 10000, 150000, 20000$. Pour $R\in [23906,37579]$, la formule est $I=0.41R-a$, calculer $a$ pour que $I$ soit continue. \item (15 juillet, 2)\\ On se donne un point $B$ \`a l'int\'erieur du segment $[AE]$ et on construit les carr\'es directs $ABCD$ et $BEFG$. Il s'agit de montrer que $AG$ est orthogonal \`a $EC$. Faites la construction g\'eom\'etrique. Proposez une d\'emonstration avec les outils de calcul formel. \item (18 juillet, 1.5)\\ Soit $ABCD$ un carr\'e direct, $M$ un point de $[AC]$, $P$ le projet\'e orthogonal de $M$ sur la droite $(AD)$ et $Q$ son projet\'e sur la droite $(DC)$. Soit $N$ le lieu du point d'intersection de $CP$ et $BQ$ lorsque $M$ d\'ecrit $[AC]$. Construire la figure. Quel est le lieu de $N$? \item (21 juillet, 1)\\ Soit $C_1, C_2, C_3$ trois cercles concentriques de rayon 6, 4 et 3 et $A$ un point du cercle $C_1$. Il s'agit de construire $B\in C_2$ et $C \in C_3$ tels que $ABC$ soit \'equilat\'eral (on pourra utiliser les rotations de centre $A$). Construire les solutions \`a la calculatrice. \end{enumerate} \end{document}