Diagonalisation (algorithme de Laguerre-Souriau-Faddeev).

  Le programme DIAG permet de diagonaliser (ou de mettre sous forme de Jordan) une matrice. Vérifiez que l'indicateur 13 est armé.

Vous fournissez au niveau 1 de la pile la matrice et le programme renvoie aux niveaux:

• 1: liste des racines du polynôme caractéristique (répétées si elles sont multiples),
• 2: liste de vecteurs propres taggués par la valeur propre correspondante. Si la valeur propre est multiple, elle est suivie d'une liste de vecteurs caractéristiques ordonnées en cycles de Jordan, chaque cycle se termine par un vecteur propre taggué par le mot "Eigen" (les vecteurs caractéristiques sont taggués par "Char").
• 3: polynôme minimal (sous forme liste),
• 4: polynôme caractéristique (sous forme liste), c'est un multiple du polynôme minimal,
• 5: polynôme-matrice adjoint ``réduit". Ce polynôme-liste à coefficients matriciels est le polynôme P défini par (cf. [6, chapitre 5,]):

  

  où M désigne le polynôme minimal de la matrice A. La dernière matrice de ce polynôme-liste est la comatrice de A au signe près si l'ordre est pair.

• 6: l'inverse de A
• 7: le déterminant de A si A est d'ordre pair ou son opposé si l'ordre est impair,

Exemples:

1. 

   le programme renvoie après environ 40 secondes (en mode symbolique):

   7: 0
   6: { { '1/0' '1/0' '1/0' }
        { '1/0' '1/0' '1/0' }
        { '1/0' '1/0' '1/0' } }
   5: { {{1 0 0}  {{-2 -1 0}  {{1 1 1}
         {0 1 0}   {0 -2 -1}   {1 1 1}
         {0 0 1}}  {-1 0 -2}}  {1 1 1}} }
   4: {1 -3 3 0}
   3: {1 -3 3 0}
   2: { :0: {1 1 1}
        :<<(3,0)/2 (0,1)/2 3>>: {1 '(-1,0)/2+(0,-1)/2*V3' '(-1,0)/2+(0,1)/2*V3'}
        :<< (3,0)/2 (0,-1)/2 3>>: {1 '(-1,0)/2+(0,1)/2*V3' '(-1,0)/2+(0,-1)/2*V3'}
   1: {0 '(3,0)/2+(0,1)/2*V3' '(3,0)/2+(0,1)/2*V3' }

   Donc A possède 3 valeurs propres , et une base de vecteurs propres est donnée par:

   

   correspondants à . Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont ici identiques (c'est le cas générique) et valent X³-3X²+3X. La matrice n'est pas inversible (les coefficients de l'inverse sont invalides), son déterminant au niveau 7 est nul.

2. Pour la matrice identité I₂, on obtient en 10 secondes:

   7: 1
   6: { { 1 0 } { 0 1 } }
   5: { [[1 0]
         [0 1]] }
   4: {1 -2 1}
   3: {1 -1}
   1: { :1, Eigen: { 0 1 } :1, Eigen: { 1 0 } }
   2: {1 1}

   ici le polynôme minimal est X-1, il est différent du polynôme caractéristique (X-1)²=X²-2X+1. Les deux vecteurs propres calculés sont { 1 0 } et { 0 1 } (Eigen est là pour Eigenvector c'est-à-dire vecteur propre, ce qui diffère de Char pour vecteur caractéristique cf. infra l'exemple de bloc de Jordan).

3. 

   en un peu moins d'une minute, on obtient les 3 valeurs propres et 2 de vecteurs propres associés et (1,1,-1).

4. Un exemple avec paramètres qui est traité automatiquement en 12 secondes:

   { { 1 A }
     { A 1 } }

5. Pour les matrices à paramètres de dimension supérieure ou égale à 3, il peut être nécessaire d'appeler MAD, et de factoriser séparément le polynôme caractéristique (par exemple avec l'instruction FCTR de ALG48), avant d'appeler DIAG. On peut ainsi diagonaliser

   { { 1 1 A }
     { 1 A 1 }
     { A 1 1 } }

   directement en tapant DIAG (1 minute environ) ou en suivant la procédure par étapes décrite ci-dessous: On appelle MAD qui renvoie en le polynôme caractéristique:
   'X^3+(-A-2)*X^2+(-A^2+2*A-1)*X+A^3-3*A+2'}
   On factorise avec COLC ou FCTR, et on appelle enfin DIAG pour terminer la diagonalisation:

   

   (les vecteurs propres ne dépendent pas de a).

6. Un exemple de bloc de Jordan:

   

   donne:

   7: -4
   6: : { { '1/4' '1/4' '-1/4' }
          { '-3/4' '5/4' '-1/4' }
          { '-1/2' '1/2' '1/2'  } }
   5: { [[ 1 0 0]  [[ -2 -1  1]  [[ 1 1 -1]
         [ 0 1 0]   [  2 -5  1]   [-3 5 -1]
         [ 0 0 1]]  [  1 -1 -3]]  [-2 2  2]] }
   4: {1 -5 8 -4}
   3: {1 -5 8 -4}
   2: { :2, Char: { 2 2 1 }  :2, Eigen:{ 1 1 0 }  :1: { 0 1 1 } }
   1: { 2 2 1}

   ce qui signifie que 1 est valeur propre simple et 2 valeur propre double mais l'espace propre associé est de dimension 1 (engendré par (1,1,0)). Le vecteur (2,2,1) est caractéristique, son image par A-2I est le vecteur suivant de la chaîne(i.e. (1,1,0)). Les chaînes de Jordan commencent par un vecteur caractéristique (Char) et se terminent par un vecteur propre (Eigen).