avec conditions initiales y1(0)=y2(0)=0.
Pour un équation différentielle linéaire à coefficients constants, la méthode classique utilise la transformation de Laplace, par exemple pour résoudre:
on effectue la transformation de Laplace ce qui donne:
où f(0) et f'(0) sont les conditions initiales.
Si L(f) est une fraction rationnelle, INT ILAP
permet de retrouver y par transforamtion inverse de:
Cette méthode fonctionne également pour des systèmes. Soit y=(y1, ..., yn) un vecteur de fonctions de x et supposons qu'on souhaite résoudre:
où A est une matrice constante et b un vecteur de n fonctions de x. Soit L(b) le vecteur des n transformées de Laplace des n fonctions de b et y(0) le vecteur de données initiales en x=0. Alors, on a:
d'où:
Le programme LDEC
effectue le calcul suivant:
la pile doit contenir A et L(b)+y(0).
stk2:
A,
stk1:
L(b)+y(0) LDEC ->
( p Id - A )-1 ( L(b) + y(0) )
Dans l'exemple ci-dessus, A est la matrice
[ [ 1 -1 ] [ 2 4 ] ]
et comme les transformées de Laplace respectives de 1 et ex sont
1/p et 1/(p-1), on place
L(b)+y(0) sur la pile:
{ '1/X' '1/(X-1)' }
(on admet ici que VX
a la valeur habituelle de 'X'
)
On appelle LDEC
, ce qui donne:
{ '(X^2-6*X+4)/(X^2-X)/((X-3)*(X-2))' '(X+2)/X/((X-3)*(X-2))' }
which is the { Laplace(y1 ) Laplace(y2) }.
Pour en déduire y1 et y2, on tape maintenat
EVAL
puis INT ILAP
pour chaque coordonnée.
On obtient ainsi:
Si les données initiales sont y1(0)=1, y2(0)=2
on reprend la même procédure en remplaçant
{ '1/X' '1/(X-1)' }
par
{ '1/X+1' '1/(X-1)+2' }.
.