Systèmes d'équations différentielles linéaires à coeffcients constants

  Exemple: supposons qu'on souhaite résoudre le système:

avec conditions initiales y1(0)=y2(0)=0.

Pour un équation différentielle linéaire à coefficients constants, la méthode classique utilise la transformation de Laplace, par exemple pour résoudre:

on effectue la transformation de Laplace ce qui donne:

où f(0) et f'(0) sont les conditions initiales. Si L(f) est une fraction rationnelle, INT ILAP permet de retrouver y par transforamtion inverse de:

Cette méthode fonctionne également pour des systèmes. Soit y=(y₁, ..., y_n) un vecteur de fonctions de x et supposons qu'on souhaite résoudre:

où A est une matrice constante et b un vecteur de n fonctions de x. Soit L(b) le vecteur des n transformées de Laplace des n fonctions de b et y(0) le vecteur de données initiales en x=0. Alors, on a:

d'où:

Le programme LDEC effectue le calcul suivant:

la pile doit contenir A et L(b)+y(0).
stk2: A,
stk1: L(b)+y(0) LDEC -> ( p Id - A )^-1 ( L(b) + y(0) )

Dans l'exemple ci-dessus, A est la matrice [ [ 1 -1 ] [ 2 4 ] ] et comme les transformées de Laplace respectives de 1 et e^x sont 1/p et 1/(p-1), on place L(b)+y(0) sur la pile: { '1/X' '1/(X-1)' } (on admet ici que VX a la valeur habituelle de 'X') On appelle LDEC, ce qui donne:
{ '(X^2-6*X+4)/(X^2-X)/((X-3)*(X-2))' '(X+2)/X/((X-3)*(X-2))' } which is the { Laplace(y₁ ) Laplace(y₂) }. Pour en déduire y₁ et y₂, on tape maintenat EVAL puis INT ILAP pour chaque coordonnée. On obtient ainsi:

Si les données initiales sont y₁(0)=1, y₂(0)=2 on reprend la même procédure en remplaçant { '1/X' '1/(X-1)' } par { '1/X+1' '1/(X-1)+2' }..