\documentclass[10pt]{report} %\textheight 23 cm \usepackage[a4paper,height=23cm,width=17cm]{geometry} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{makeidx} %\usepackage{times} \usepackage{mathptmx} \usepackage[ps2pdf,colorlinks]{hyperref} % \usepackage{ifpdf} % \ifpdf % \usepackage[pdftex]{hyperref} % \else % \fi \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage[upright]{fourier} \usepackage{pstricks,color} \definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9} \definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4} \definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2} \usepackage{listings} \lstloadlanguages{XCAS} \lstset{numbers=none,language=XCAS,% keywordstyle =\color{0.4white}\bfseries\small\sffamily,basicstyle=\small\sffamily, backgroundcolor=\color{0.9white}} \usepackage{sectsty} \sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}} \subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}} \renewcommand\thesection{\Roman{section} -} \renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. } \usepackage[francais]{babel} \usepackage{latexsym} \newcommand{\R}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\C}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\N}{{\mathbb{N}}} \usepackage{pst-plot,color} \usepackage{graphicx} \title{Exercices du bac et traduction pour\\ Xcas} \makeindex \author{Ren\'ee De Graeve\\avec la participation de B. Parisse et G. Connan} \newcommand{\h}[1]{\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/bac/bac#1.xws}{\tt bac#1.xws}} \newcommand{\hr}[2]{\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/bac/bac#1_#2.xws}{\tt bac#1\_#2.xws}} \newcommand{\suj}[1]{\psshadowbox*[fillcolor=yellow,framearc=.25]{% \begin{minipage}{\textwidth} \smallskip {\Large #1 } \smallskip \end{minipage} } } \renewcommand{\hbar}{} \setcounter{tocdepth}{1} \begin{document} \setlength{\parindent}{0mm} \input fltkcol.tex \maketitle \tableofcontents \pagebreak \section{Sujet 1} \suj{ \[ u(n+1)=u(n)+a*n+b \] Trouver $u(n)$ en fonction de $n$. } \subsection{ Avec {\tt Xcas}} On ex\'ecute le fichier \hr{1}{1} qui utilise le tableur (formel) et des valeurs particuli\`eres, le graphe et un programme que voici~: \begin{lstlisting} u(n,u0,a,b):={ local val; if (n==0) return u0; val:=u0; for (k:=1;k<=n;k++) { val:=normal(val+(k-1)*a+b); } return val; } \end{lstlisting} En faisant ce programme itératif on remarque qu'\`a la $k$-i\`eme \'etape on ajoute \`a la valeur pr\'ecedente {\tt b} et {\tt (k-1)*a} car $u(n)=u(n-1)+a*(n-1)+b$.\\ On ajoute {\tt b} \`a chaque \'etape donc, au bout de {\tt n} \'etapes on aura ajout\'e {\tt n*b}, et on ajoute {\tt (k-1)*a} \`a la $k$-i\`eme \'etape donc, au bout de {\tt n} \'etapes on aura ajout\'e\\ {\tt 1*a+2*a+...+(n-1)*a=(1+2+...+(n-1))*a}\\ On tape pour avoir la valeur factoriser de $(1+2+...+(n-1))$ :\\ {\tt factor(sum(k,k,1,n-1))}\\ et on obtient :\\ {\tt n*(n-1)/2}\\ On \'ecrit donc la fonction {\tt u} : {\tt u(n,u0,a,b):=u0+n*(n-1)*a/2+n*b} Voir aussi \hr{1}{2} qui recherche $A,B,C$ pour que :\\ $u(n)=A*n^2+B*n+C$ en r\'esolvant le syst\`eme lin\'eaire d'inconnues $A,B,C$ :\\ $u(0)=C$,\\ $u(1)=A+B+C$,\\ $u(2)=4*A+2*B+C$\\ \subsection{ La d\'emonstration} On a : \begin{eqnarray*} u(1) & = & u(0)+0+b\\ u(2) & = & u(1)+a+b\\ u(3) & = & u(2)+2*a+b\\ ...\\ u(n)&=&u(n-1)+(n-1)*a+b \end{eqnarray*} en ajoutant membre \`a membre on obtient~: \[ u(n)=u(0)+(1+2+...(n-1))*a+n*b \] donc~: \[ u(n)=u(0)+n*(n-1)*a/2+n*b \] \pagebreak \section{Sujet 2} \suj{Dans le plan 4 points $O,A,B,C$ et un cercle $E$ de centre $O$. \`A tout point $M$ sur $E$ on associe $N$ tel que : $$\overrightarrow{MN}=a*\overrightarrow{MA}+b*\overrightarrow{MB}+c*\overrightarrow{MC}$$ o\`u $a,b,c$ sont des r\'eels donn\'es. D\'eterminer le lieu de $N$ lorsque $M$ d\'ecrit $E$.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} On ex\'ecute la session \h{2} ou on tape : \begin{lstlisting} [a,b,c]:=[1,-3,2]; A:=point(2); B:=point(1+2*i); C:=point(-2+i); O:=point(0,0); E:=cercle(O,1); t:=element(0..2*pi); M:=element(E,t); N:=point(affixe(M)+a*(A-M)+b*(B-M)+c*(C-M)); affichage(lieu(N,M),rouge+line_width_2); \end{lstlisting} En d\'eplacant le curseur {\tt t} on d\'eplace {\tt M} sur le cercle{\tt E} et on voit {\tt N} d\'ecrire le lieu.\\ La commande {\tt lieu} de {\tt Xcas} nous donne l'\'equation du lieu, par exemple : \begin{itemize} \item pour {\tt [a,b,c]:=[1,-3,2]} l'\'equation du lieu est :\\ {\tt 4*x\verb|^|2+40*x+4*y\verb|^|2+32*y+160=0} qui est le cercle translat\'e de {\tt E} dans la translation de vecteur {\tt affixe(a*A+b*B+c*C)}.\\ On tape si {\tt a+b+c=0} :\\ {\tt P:=a*A+b*B+c*C;segment(0,P);}\\ {\tt Mt:=affichage(translation(affixe(P),M),quadrant2)}\\ {\tt Mt} et {\tt N} sont alors confondus. \item pour {\tt [a,b,c]:=[2,-3,2]} {\tt N=point(-3-4*i)} est confondu avec le barycentre {\tt G} des points $A,B,C$ pond\'er\'es par $a,b,c$.\\ On tape si {\tt a+b+c=1} :\\ {\tt G:=affichage(barycentre([A,a],[B,b],[C,c]),quadrant3)} {\tt G} et {\tt N} sont alors confondus. \item pour {\tt [a,b,c]:=[1,-3,1]} l'\'equation du lieu est :\\ {\tt 16*x\verb|^|2+96*x+16*y\verb|^|2+160*y+480=0} qui est l'homoth\'etique de {\tt E} dans l'homoth\'etie de entre {\tt G} et de rapport {\tt 1-(a+b+c)}.\\ On tape si {\tt a+b+c!=0} et {\tt a+b+c!=1} :\\ Mh:=affichage(homothetie(G,1-(a+b+c),M),quadrant4); {\tt Mh} et {\tt N} sont alors confondus. \end{itemize} \subsection{ La d\'emonstration} Soit {\tt M} un point de {\tt E} et soient {\tt P} et {\tt N} d\'efinis par : \[ \overrightarrow{OP}=a*\overrightarrow{OA}+b*\overrightarrow{OB}+c*\overrightarrow{OC} \mbox{ et } \overrightarrow{MN}=a*\overrightarrow{MA}+b*\overrightarrow{MB}+c*\overrightarrow{MC}\] alors, $\ \overrightarrow{MN}=(a+b+c)*\overrightarrow{MO}+a*\overrightarrow{0A}+b*\overrightarrow{OB}+c*\overrightarrow{OC}\ $ donc : \[ \overrightarrow{MN}= (a+b+c)*\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OP} \] \begin{itemize} \item Supposons $a+b+c=0$, alors $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OP}$.\\ Donc $N$ se d\'eduit de $M$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{OP}$.\\ \item Supposons $a+b+c=1$, soit $G$ le barycentre des points $A,B,C$ pond\'er\'es par $a,b,c$. On a donc $\overrightarrow{MG}(a+b+c)=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}$, soit $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GM}(1-(a+b+c))=1$ donc $N$ se trouve en $G$ si $a+b+c=1$ \item Supposons $a+b+c \neq 0$ et $a+b+c \neq 1$ soit $G$ le barycentre de $A,B,C$ pond\'er\'e par $a,b,c$. On a donc $\overrightarrow{MG}(a+b+c)=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}$, soit $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GM}(1-(a+b+c))=1$ donc $N$ se d\'eduit de $M$ dans l'homot\'etie de centre $G$ et de rapport $1-(a+b+c)$. \end{itemize} {\bf Application} \begin{itemize} \item a=1,b=-3,c=2 \item a=2,b=-3,c=2 \item a=1,b=-3,c=1 \end{itemize} \pagebreak \section{Sujet 3} \suj{Soient un rectangle $ABCD$ et un point $M$ \`a l'int\'erieur de ce rectangle. Soit $H$ la projection de $M$ sur $CD$.\\ Comment choisir $M$ pour que la distance $MA+MB+MH$ soit minimale ?} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{3}, la figure est en niveau 1, pour la solution formelle, ex\'ecuter les commandes \`a partir du niveau 2. \subsection{ Solution g\'eom\'etrique} %file /home/degraeve/casdoc/session.tex % Generated by xcas \noindent \begin{pspicture}(-3.1711,-8.3588)(8.8289,0.6843) \psset{xunit=5.6577cm} \psset{yunit=2.5582cm} \psset{linewidth=.5pt} \psset{arrowsize=2pt 4} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.0000,0.0000){A} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](1.0000,0.0000) \uput{0.0177}[45.0000](1.0000,0.0000){B} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](1.0000,-3.0000) \uput{0.0177}[45.0000](1.0000,-3.0000){C} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.0000,-3.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.0000,-3.0000){D} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline[fillcolor=black]( 0.000000, 0.000000)( 1.000000, 0.000000)( 1.000000, -3.000000)( 0.000000, -3.000000)( 0.000000, 0.000000)( 0.000000, 0.000000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(0.0000,-1.0000)(1.0000,-1.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.5000,-1.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.5000,-1.0000){K} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.3333,-1.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.3333,-1.0000){M} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.6667,-1.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.6667,-1.0000){M1} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(0.0000,0.0000)(0.3333,-1.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(1.0000,0.0000)(0.3333,-1.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(1.0000,0.0000)(0.6667,-1.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.0000,-2.0000) \uput{0.0177}[45.0000](0.0000,-2.0000){B1} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(1.0000,0.0000)(0.0000,-2.0000) \end{pspicture} Lorsque $M$ se d\'eplace sur une parall\`ele \`a $CD$ la distance $MA+MB$ est minimum lorsque $M$ se trouve en $K$ sur la m\'ediatrice de $AB$. En effet si $M1$ est le sym\'etrique de $M$ par rapport \`a $K$ on a $KM=KM1$ et $AM=BM1$ et donc :\\ $AM+BM=BM+BM1$.\\ Soit $B1$ le sym\'etrique de $B$ par rapport \`a $K$, $MBM1B1$ est un parall\'elogramme donc : $BM+BM1=BM1+M1B1 \geq BB1=2BK$.\\ Donc $AM+BM \geq 2BK=AK+BK$.\\ On va ensuite montrer que le minimum de $MA+MB+MH$ est lorsque $M$ se trouve au point $K$ d\'efinit par : $K$ sur la m\'ediatrice de $AB$ et l'angle $K$ du triangle $ABK$ \'egal $2\pi/3$.\\ Si $M$ est sur $KH$, il suffit de projeter $M$ sur $AK$ en $N$. $N$ se trouve en dehors de $AK$ car l'angle $\widehat{AKM}$ est obtus et $AN=AK+KN$. \\ Le triangle $NMK$ est rectangle en $N$ et l'angle $K$ vaut $\pi/3$ donc $KM=2KN$ et $AN0$ et $m<0$ ou dans \hr{4}{2} on trace le graphe de la fonction $\ln(x)-kx^2$ pour diff\'erentes valeurs de $k$ en faisant une animation. \subsection{ La d\'emonstration} Soit pour $x$ strictement positif $f(x)=\ln(x)-m*x^2$.\\ On cherche le nombre de solutions de $f(x)=0$.\\ Pour cela on va \'etudier les variations de $f$.\\ On a $f'(x)=1/x-2*m*x=(1-2*m*x^2)/x$.\\ Quand $x$ tend vers $0^+$, $f(x)$ tend vers $-\infty$ quelquesoit $m$.\\ Quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $m\leq 0$ et vers $-\infty$ si $m>0$ (pour $m>0$ on a $f(x)=x^2*(\ln(x)/x^2-m)$ et on sait que $\ln(x)/x^2$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$).\\ \begin{itemize} \item Si $m\leq 0$, $f'(x)>0$ pour $x$ strictement positif donc $f$ est croissante.\\ On a : \\ quand $x$ tend vers $0^+$ $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ $f(x)$ tend vers $+\infty$ $f$ est continue et croissante, donc d'apr\'es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, $f$ s'annule une seule fois. \item Si $m> 0$, $f'(x)$ s'annule pour $x=1/\sqrt{2*m}$, $f'(x)$ est positive sur $]0;1/\sqrt{2*m}[$ et $f'(x)$ est négative sur $]1/\sqrt{2*m}; +\infty[$ donc $f$ est croissante puis d\'ecroissante et son maximum vaut : $f(1/\sqrt{2*m})=-1/2(\ln(2*m)+1)$.\\ Si $\ln(2*m)+1<0$ c'est \`a dire si $m<1/(2*e)$, $f$ ne s'annule pas et il n'y a pas de solutions,\\ Si $\ln(2*m)+1=0$ c'est \`a dire si $m=1/(2*e)$, $f$ s'annule une seule fois en $x= 1/\sqrt{2*m}=\sqrt e$,\\ Si $\ln(2*m)+1>0$ c'est \`a dire si $m>1/(2*e)$, $f$ s'annule deux fois d'apr\'es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires : une fois avant $x= 1/\sqrt{2*m}$ et une fois apr\'es. \end{itemize} \pagebreak \section{Sujet 5} \suj{\'Etude de la suite {\tt u(n+1)=a*u(n)+b} pour {\tt a} et {\tt b} donn\'es : convergence et valeur de la limite.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Dans \hr{5}{1}, on utilise le tableur de {\tt Xcas} au niveau 1 et, au niveau 2, on tape le programme : \begin{lstlisting} u(n,u0,a,b):={ local val; if (n==0) return u0; val:=u0; for (k:=1;k<=n;k++) { val:=normal(val*a+b); } return val; } \end{lstlisting} En faisant ce programme it\'eratif on remarque qu'\`a chaque \'etape : on multiplie la valeur pr\'ec\'edente par {\tt a} et on lui ajoute {\tt b} donc, au bout de {\tt n} \'etapes on aura multipli\'e la valeur initiale par {\tt a\verb|^|n} et on aura ajout\'e la somme :\\ {\tt b+a*b+.....a\verb|^|(n-1)*b}\\ On tape pour avoir la valeur factoriser de $1+a+...+a^{n-1}$ :\\ {\tt factor(sum(a\verb|^|k,k,1,n-1))}\\ et on obtient :\\ {\tt (a\verb|^|n-1)/(a-1)}\\ On \'ecrit donc la fonction {\tt u} et on tape :\\ {\tt u(n,u0,a,b):=normal(u0*a\verb|^|n+b*(a\verb|^|n-1)/(a-1))} Voir aussi \hr{5}{2} dans cette session on \'ecrit le programme it\'eratif pr\'ec\'edent, puis \`a l'aide d'exemples et de graphes, on cherche si la suite a une limite pour diff\'erentes valeurs de $a$ et $b$. \subsection{La d\'emonstration} Si {\tt a=1}, la suite u est une suite arithmétique de raison {\tt b}.\\ Si {\tt a!=1}, soit {\tt l} le rèel vérifiant {\tt l=a*l+b}, c'est à dire {\tt l=b/(1-a)}.\\ En retranchant membre à membre {\tt l=a*l+b} à {\tt u(n+1)=a*u(n)+b} et en posant {\tt v(n)=u(n)-l}, on obtient : {\tt v(n+1)=a*v(n)}, la suite {\tt v} est donc une suite géométrique de raison {\tt a} donc :\\ {\tt v(n)=v(0)*a\verb|^|n=(u(0)-l)*a\verb|^|n} c'est \`a dire \\ {\tt u(n)=v(n)+l=b/(1-a)+(u(0)-b/(1-a))*a\verb|^|n}\\ On a donc :\\ $\displaystyle u(n)=u(0)*a^n+b*(1-a^n)/(1-a)=a^n*(u(0)-\frac{b}{1-a})+\frac{b}{1-a}$\\ {\bf Convergence de $u$} :\\ Si $abs(a)<1$, alors $a^n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini donc $u(n)$ tend vers $b/(1-a)$.\\ Si $abs(a)>1$ alors $a^n$ tend vers $\infty$ donc quand $n$ tend vers l'infini donc $|u(n)|$ tend vers l'infini.\\ Si $a=1$, $u(n)=u(0)$, donc u(n) est constante.\\ Si $a=-1$, $u(2n)=u(0)$ et $u(2n+1)=b-u(0)$ : si $u(0)=b/2$ la suite $u(n)$ est constante et si $u(0)!=b/(1-a)$ la suite $u$ est divergente. \pagebreak \section{Sujet 7} \suj{Tangente \`a la courbe $y=\exp(x)$ passant par l'origine : construction et \'equation.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Dans \h{7} on envisage deux points de vue : \begin{itemize} \item On trace la droite $y=mx$ passant par l'origine. En faisant varier sa pente $m$ on essaye de rendre cette droite, tangente au graphe de $y=\exp(x)$.\\ On tape : \begin{lstlisting} plot(exp(x)); m:=element(0..5); droite(y=m*x); \end{lstlisting} On fait bouger le curseur $m$ et on voit que la droite $y=m*x$ est tangente pour $m$ proche de 2.7 avec le point de tangence de coordonn\'ees $(1;2.7)$. \item On trace la tangente au graphe de $y=\exp(x)$ et passant par le point d'affixe $a+i\exp(a)$. En faisant varier l'abscisse $a$ on essaye de faire passer cette droite par l'origine.\\ On tape : \begin{lstlisting} plot(exp(x)); assume(a:=-1,-5,5); T:=tangent(plotfunc(exp(x)),a); normal(equation(T)) \end{lstlisting} on fait bouger $a$ pour que $T$ passe par $O$, on voit que $a$ se trouve proche de 1. On obtient comme \'equation de la tangente~: \[ y=(-\exp(a)*a+\exp(a)*x+\exp(a)) \] Cette droite passe par l'origine si et seulement si $-exp(a)*a+exp(a)=0$.\\ Il ne reste donc plus qu'\`a r\'esoudre $-\exp(a)*a+\exp(a)=0$.\\ On tape {\tt solve(-exp(a)*a+exp(a),a)} et on obtient {\tt [1]}.\\ On trouve ainsi que la tangente passe par l'origine lorsque $a=1$. \end{itemize} \subsection{ La d\'emonstration} L'\'equation de la tangente au graphe de $y=f(x)$ au point $(a;f(a)$ est : \[ y=f'(a)*(x-a)+f(a) \] Ici on a $f(x)=\exp(x)$, donc $f'x)=\exp(x)$.\\ La tangente au point d'abscisse $a$ a donc pour \'equation : \[ y=\exp(a)(x-a+1) \] cette droite passe par l'origine si et seulement si $a=1$ et cette tangente a pour \'equation $y=\exp(1)*x$. \pagebreak \section{Sujet 8} \suj{ \hspace{1cm} Retrouver la troisi\`eme loi de Kepler. \\ On rappelle :\\ {\bf Premi\`ere loi de Kepler} : les plan\`etes d\'ecrivent des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.\\ {\bf Deuxi\`eme loi de Kepler} : le rayon vecteur qui joint le soleil \`a la plan\`ete balaie des aires \'egales en des temps \'egaux.\\ {\bf Troisi\`eme loi de Kepler} : les carrés des temps mis par les plan\`etes \`a parcourir leur orbite (dur\'ees de r\'evolution sid\'erale) sont proportionnels aux cubes des grands axes de ces orbites.\\ On prend comme unit\'e de longueur le demi-grand axe de la terre et les jours pour la dur\'ee. \\ On donne : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Plan\`ete&grand axe&r\'evolution sid\'erale\\ \hline Mercure&0.78&88\\ V\'enus &1.44&225\\ Terre&2&365.25\\ Mars&3.04&687.25\\ Jupiter&10.4&4332.75\\ Saturne&19.1&10759.25\\ Uranus&38.44&30688.0\\ Neptune&60.22&60181.0\\ \hline \end{tabular} \end{center}} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} On ouvre un tableur (voir \h{8}) et on lui donne comme nom {\tt P} puis on le remplit avec ces donn\'ees : \\ sur la ligne 0 on met les titres,\\ dans la colonne A on met le nom des plan\`etes,\\ on met le grand axe {\tt ga} dans la colonne {\tt B} et,\\ la dur\'ee de la r\'evolution sid\'erale {\tt dr} dans la colonne {\tt C}.\\ On trace le nuage de points obtenus, pour cela on tape en dehors du tableur :\\ {\tt scatterplot(P[1..8,1..2])}\\ On observe que cette courbe ressemble à une fonction puissance, on met alors dans la colonne {\tt D}, le logarithme de la colonne {\tt B} et dans la colonne {\tt E}, le logarithme de la colonne {\tt C}. On trace le nuage des points d\'efinis par les colonnes {\tt D} et {\tt E} et on les relie entre eux par des segments, pour cela on tape en dehors du tableur :\\ {\tt polygonplot(P[1..8,3..4])}\\ et le dessin est presque une droite.\\ On d\'efinit les deux points extr\'emit\'es de ce graphe en tapant :\\ {\tt A:=point(op(P[1,3..4]));B:=point(op(P[8,3..4]));}\\ Puis on dessine sur un m\^eme graphique la droite (en rouge) passant par ces deux points extr\'emit\'es et le nuage de points obtenus reli\'es par des segments :\\ {\tt D:=droite(A,B,affichage=rouge);}\\ {\tt polygonplot(P[1..8,3..4])}\\ On demande ensuite l'\'equation de cette droite :\\ {\tt equation(D)}\\ on obtient :\\ {\tt y=(1.50185813695*x+4.85049052866)}\\ Donc on a approximativement : {\tt ln(dr)=1.5*ln(ga)+4.85}\\ On tape :\\ {\tt dr2:=exp2pow(exp(3*ln(ga)+4.85 ))}\\ on obtient :\\ {\tt 16317.607198*ga\verb|^|3}\\ Ce qui prouve que l'on a {\tt dr\verb|^|2=16317.607198*ga\verb|^|3}.\\ Dans {\tt F0}, on met {\tt =C0\verb|^|2/B0\verb|^|3} et on remplit la colonne {\tt F} avec cette formule : la colonne {\tt F} est presque constante, cette constante est le coefficient de proportionnalit\'e de la troisi\`eme loi de Kepler.\\ Pour avoir une approximation de cette constant on peut demander la moyenne de la colonne {\tt F} en remplisant {\tt G1} par {\tt =mean(F1:F8)} ou en tapant dans une ligne de commande :\\ {\tt mean(P[1..8,5])} car {\tt F} est la 5-i\`eme colonne.\\ On obtient {\tt 16653.3941258}\\ On peut aussi taper :\\ {\tt 88\verb|^|2/0.78\verb|^|3=16675.9453125}\\ {\tt 225\verb|^|2/1.44\verb|^|3=16954.2100694}\\ {\tt 365.25\verb|^|2/8=16318.5488629}\\ {\tt 687.25\verb|^|2/ 3.04\verb|^|3=16811.5883079}\\ {\tt 4332.75\verb|^|2/10.4\verb|^|3=16688.8820004}\\ {\tt 10759.25\verb|^|2/19.1\verb|^|3=16613.6055852 }\\ {\tt 30688.0\verb|^|2/38.44\verb|^|3=16580.0957393}\\ {\tt 60181.0\verb|^|2/60.22\verb|^|3=16584.2771284} \pagebreak \section{Sujet 10} \suj{Un pion se d\'eplace sur l'axe des {\tt x} gradu\'e. Il part de l'abscisse z\'ero et avant chaque d\'eplacement on lance une pi\`ece de monnaie : si c'est pile le pion recule d'une unit\'e, si c'est face il avance de 2 unit\'es. On effectue 10 tirages soit 10 d\'eplacements. \\ Quelles sont ses diff\'erentes abscisses des points d'arriv\'ee ?\\ Quelle est la probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit sup\'erieure stricement \`a 5 unit\'es ?} \subsection{Avec {\tt Xcas}} voir \h{10} On remplit la premi\`ere ligne du tableur en mettant les diff\'erentes abscisses du pion pour cela :\\ dans {\tt A0} on met {\tt 0}, puis dans {\tt B0} on met :\\ {\tt when(rand(2),A0+2,A0-1)}\\ {\tt rand(2)} vaut {\tt 0} ou {\tt 1} : si {\tt rand(2)} vaut {\tt 1}, on ajoute {\tt 2} \`a la valeur de la colonne pr\'ec\'edente et si {\tt rand(2)} vaut {\tt 0} on retranche {\tt 1} \`a la valeur de la colonne pr\'ec\'edente. On recopie cette formule sur jusqu'\`a la colonne {\tt K}.\\ Puis cette ligne est recop\'ee jusque la ligne {\tt 32}.\\ On obtient ainsi diff\'erentes abscisses d'arriv\'ee dans la colonne {\tt K}.\\ Il faut alors remplir la colonne {\tt L1:L31} avec les valeurs allant de {\tt -10} \`a {\tt 20} representant \`a priori les valeurs possibles des abscisses d'arriv\'ee. Puis dans la colonne {\tt M} on compte combien de fois ces abscisses ont \'et\'e obtenues dans {\tt K0:K32} en tapant dans {\tt M1} :\\ {\tt count\_eq(L1,K\$0:K\$32)} (ne pas oublier \$)\\ formule que l'on recopie dans la colonne {\tt M} jusque {\tt M31}.\\ Puis on fait le diagramme en batons des colonnes {\tt L1:L31} et {\tt M1:M31}\\ On trace ensuite en rouge et l\'eg\`erement d\'ecal\'e le graphe th\'eorique correspondant. \subsection{ La d\'emonstration} Au premier d\'eplacement le pion \`a pour abscisse -1 ou 2, au deuxi\`eme d\'eplacement le pion \`a pour abscisse -2,1 ou 4....Si pour les 10 tirages on a ontenu $j$ piles et $k$ faces ($j+k=10$ ou $k=10-j$ avec $j=0..10$), le pion aura pour abscisse $-k+2*j=3*j-10$ avec $j=0..10$.\\ Les diff\'erentes abscisses des points d'arriv\'ee sont donc :\\ $-10,-7,-4,-1,2,5,8,11,14,17,20$.\\ La probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit \'egale \`a $3*j-1$ est la probabilit\'e d'avoir $j$ piles pour 10 tirages de pile ou face (probabilit\'e d'avoir pile est $p=1/2$ et probabilit\'e d'avoir face est $q=1-p=1/2$). Cette probabilit\'e est donc :\\ {\tt binomial(10,j,1/2)=comb(10,j)*(1/2)\verb|^|10}\\ Donc la probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit sup\'erieure strictement \`a 5 unit\'es est :\\ {\tt sum(binomial(10,j,1/2),j,6,10)}\\ On obtient : {\tt 193/512=0.376953125}\\ V\'erifions :\\ {\tt sum(binomial(10,j,1/2),j,0,5)}\\ On obtient : {\tt 319/512=0.623046875}\\ et on a bien {\tt 193/512+319/512=1} \pagebreak \section{Sujet 12} \suj{Soit un triangle rectangle direct $CBA$, d'hypoth\'enuse $AB$. Lieu de $C$ lorsque $A$ se d\'eplace sur le demi-axe $Ox$ et $B$ se d\'eplace sur le demi-axe $Oy$.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Soit un triangle rectangle direct $CBA$ d'hypoténuse $AB$=1 et d'angle $A=a$. On cherche le lieu de $C$ quand $A$ se déplace sur $Ox$ et $B$ sur $Oy$. $C$ est le transformé de $B$ dans la similitude de centre $A$, de rapport $\cos(a)$ et d'angle $-a$.\\ On peut choisir diff\'erents param\`etres pour faire la figure : \begin{itemize} \item angle $t$\\ Si $D$ est tel que $OADB$ soit un rectangle, et si $t$ est l'angle que fait $OD$ avec $Ox$ alors, l'abscisse de $A$ vaut $\cos(t)$ et l'ordonnée de B vaut $\sin(t)$. Le lieu de $C$ sera obtenu en traçant la représentation paramétrique de l'affixe de $C$. \item l'abscisse $xa$ de $A$\\ $B$ est alors le point d'affixe $i*\sqrt{1-xa^2}$. \end{itemize} On choisit de prendre $t$ comme param\`etre dans la session \hr{12}{1} :\\ %file /home/degraeve/casdoc/session.tex % Generated by xcas \noindent \begin{pspicture}(-5.0722,-1.4865)(6.9278,3.1160) \psset{unit=2.2482cm} \psset{xunit=2.2482cm} \psset{yunit=2.1024cm} \psset{linewidth=.5pt} \psset{arrowsize=2pt 4} \psset{linecolor=black} \psline[linestyle=dashed]{->}(-2.2561,0.0000)(3.0815,0.0000) \psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-0.7071)(0.0000,1.4821) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.8253,0.5646) \uput{0.0445}[45.0000](0.8253,0.5646){D} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.8253,0.0000) \uput{0.0445}[45.0000](0.8253,0.0000){A} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.0000,0.5646) \uput{0.0445}[45.0000](0.0000,0.5646){B} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(0.0000,0.0000)(0.8253,0.5646) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(0.8253,0.0000)(0.0000,0.5646) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \pswedge[fillcolor=black](0.0000,0.0000){0.2000}{0.0000}{34.3775} \uput{0.0445}[45.0000](0.2000,0.0000){t} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.3277,0.7750) \uput{0.0445}[45.0000](0.3277,0.7750){C} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \pswedge[fillcolor=black](0.8253,0.0000){0.1842}{122.7042}{145.6225} \uput{0.0445}[45.0000](0.6442,-0.0334){a} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline[fillcolor=black]( 0.825336, 0.000000)( 0.000000, 0.564642)( 0.327684, 0.775046)( 0.825336, 0.000000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline[fillcolor=black]( 0.262147, 0.732965)( 0.361678, 0.577956)( 0.427215, 0.620037)( 0.427215, 0.620037) \uput{0.0445}[45.0000](0.4272,0.6200){ } \end{pspicture} On tape : \begin{lstlisting} assume(t:=[pi/3,0,pi/2]); A:=point(cos(t)); B:=point(i*sin(t)) assume(a:=[pi/6,0,pi/2]); C:=similitude(A,cos(a),-a,B); plotparam(affixe(C),t); c1:=re(affixe(C)); c2:=im(affixe(C)); k:=trigsin(simplify(c2/c1)); \end{lstlisting} On trouve {\tt k=sin(a)/cos(a)} donc \\ $C$ se d\'eplace sur la droite $y=x/\tan(a)$ On cherche ensuite comment varie {\tt c1} l'abscisse de {\tt C}, on tape :\\ {\tt normal(tlin(diff(c1,t)));solve(diff(c1,t),t)}\\ Apr\`es simplification on trouve les bornes du segment lieu de {\tt C} :\\ {\tt (sin(a)+i*cos(a))*sin(a)} et {\tt sin(a)+i*cos(a)}\\ On choisit de prendre $t$ comme param\`etre dans la session \hr{12}{2} : \begin{lstlisting} assume(a:=[0.282743334,0.0,1.57079632679]); A:=element(segment(0,1)); xa:=abscisse(A); B:=point(i*sqrt(1-xa^2)); C:=similitude(A,cos(a),-a,B);; triangle(A,B,C); affichage(lieu(C,A),rouge+line_width_2); \end{lstlisting} Il suffit ensuite de faire bouger {\tt A} entre 0 et 1 pour voir {\tt C} d\'ecrire le segment de couleur rouge qui est le lieu de {\tt C}. \subsection{ La d\'emonstration} Les points $O,A,B,C$ sont cocycliques : ils sont sur le cercle de diam\`etre $AB$ car les angles $O$ et $C$ sont droits. Les angles inscrits de sommets $O$ et $A$ qui interceptent le m\^eme arc $BC$ sont donc \`egaux.\\ L'angle de sommet $A$ qui intercepte l'arc $BC$ vaut $a$, donc l'angle de sommet $O$ qui intercepte l'arc $BC$ vaut aussi $a$ : ainsi l'angle que fait $OC$ avec $Ox$ est de $\pi/2-a$ et $C$ se trouve donc sur la droite d'\'equation $y=\tan(pi/2-a)*x$.\\ Il faut maintenant trouver les positions extr\^emes de $C$ qui sont lorsque :\\ $B$ est en $O$ et lorsque $CA$ est vertical i.e quand $t=\pi/2-a$. \pagebreak \section{Sujet 13} \suj{Soient $ABM$ un triangle, $H$ son orthocentre et une droite $d$ passant par $M$. Lieu de $H$ lorsque $M$ d\'ecrit $d$.} \subsection{La figure} %file /home/degraeve/casdoc/session.tex % Generated by xcas \noindent \begin{pspicture}(-4.8397,-2.2103)(7.1603,2.3865) \psset{unit=0.2578cm} \psset{linewidth=.5pt} \psset{arrowsize=2pt 4} \psset{linecolor=black} \psline[linestyle=dashed]{->}(-18.7705,0.0000)(27.7705,0.0000) \psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-8.5723)(0.0000,9.2556) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](5.0000,0.0000) \uput{0.3878}[45.0000](5.0000,0.0000){\color{black} A} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](10.0000,0.0000) \uput{0.3878}[45.0000](10.0000,0.0000){\color{black} B} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(-4.2862,-8.5723)(4.6278,9.2556) \uput{0.3878}[45.0000](0.0000,0.0000){\color{black} d} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](2.4000,4.8000) \uput{0.3878}[45.0000](2.4000,4.8000){\color{black} M} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](2.4000,-4.1167) \uput{0.3878}[45.0000](2.4000,-4.1167){\color{black} H} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline[fillcolor=black]( 5.000000, 0.000000)( 10.000000, 0.000000)( 2.400000, 4.800000)( 5.000000, 0.000000) \psset{linecolor=blue} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(-0.4141,-8.5723)(10.8457,9.2556) \psset{linecolor=blue} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(2.4000,-8.5723)(2.4000,9.2556) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(-1.0000,0.0000)(5.0000,0.0000) \end{pspicture} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{13}. On définit 2 points $A$ et $B$ \`a coordonn\'ees exactes et une droite $d$ passant par 2 points $C$ et $D$ \`a coordonn\'ees exactes : ces 4 points ont des coordonn\`ees particuli\`eres et seul le point M va pouvoir varier. Pour faire le dessin avec d'autres valeurs, il suffit de changer les coordonn\`ees de $A,B,C,D$ dans les niveau 1,2,3,4 et de modifier correctement les niveaux 12 et 13 (pour cela voir la d\'emonstration ci-apr\`es). \begin{lstlisting} A:=point(5,0,'affichage'=0); B:=point(10,0,'affichage'=0); C:=point(-4,-8,'affichage'=0):; D:=point(4,8,'affichage'=0):; d:=droite(C,D,'affichage'=0); assume(t:=[-1.2,-5.0,5.0]); M:=point(C+t*(D-C)); perpendiculaire(A,B,M),perpendiculaire(M,A,B); H:=orthocentre(A,B,M); //H:=inter_unique(perpendiculaire(A,B,M),perpendiculaire(M,A,B)); affichage(plotparam(affixe(H),t),rouge); triangle(A,B,M); \end{lstlisting} \subsection{ La d\'emonstration} On traite ce probl\`eme en g\'eom\'etrie analytique :\\ On suppose $A=(a,0)$, $B=(b,0)$ et $d$ d'\'equation $y=k*x$ donc $M=(m,k*m)$.\\ Cherchons les coordonn\'ees de l'orthocentre $H=(h1,h2)$ du triangle $ABM$ : $H$ est sur la perpendiculaire \`a $AB$ passant par $M$ d'\'equation $x=m$ et sur la perpendiculaire \`a $MB=(b-m,-k*m)$ passant par $A$ d'\'equation $(b-m)(x-a)-k*m*y=0$ donc :\\ $h1=m$ et $h2=(b-m)(m-a)/(k*m)$\\ L'\'equation du lieu est donc $y=(b-x)(x-a)/(k*x)=-x/k+(b+a)/k-ab/(k *x)$\\ Ce lieu est une hyperbole d'asymptotes $x=0$ et $y=-x/k+(b+a)/k$ passe par les points $A$ et $B$. On v\'erifie en tapant :\\ pour avoir le lieu en rouge :\\ {\tt affichage(plotfunc((10-m)*(m-5)/(2*m),m),rouge)}\\ pour avoir l'asymptote $y=-x/k+(b+a)/k$ en vert :\\ {\tt affichage(droite(y=-x/2+15/2),vert)}. \pagebreak \section{Sujet 15} \suj{Dans l'espace soient deux droites $OB$ et $AC$ non coplanaires. D\'eterminer le minimum de la distance $MN$ lorsque $M$ se d\'eplace sur $OB$ et $N$ se d\'eplace sur $AC$.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{15} \begin{lstlisting} O:=point([0,0,0]); A:=point([3,0,0]); B:=point([0,4,0]); C:=point([0,0,2]); nodisp(d1:=droite(A,C));d1; nodisp(d2:=droite(O,B));d2; assume(u:=[0.4,-1.0,1.0]); assume(v:=[0.3,-1.0,1.0]); //assume(u:=[1,-5.0,5.0]);assume(v:=[3,-5.0,5.0]); M:=element(d1,u); N:=element(d2,v); P:=parallele(O,d1,d2); Q:=perpendiculaire(d1,P);//ne marche pas d3:=inter(P,Q,couleur=rouge); //d3:=projection(P,d1,couleur=rouge); nodisp(d:=perpendiculaire_commune(d1,d2));d; K:=inter_unique(d,d1); L:=inter_unique(d,d2); l:=longueur2(K,L); f:unapply(normal(longueur2(M,N)),u,v); df:=diff(f(u,v),[u,v]) solve([13*2*u-8,16*2*v-32],[u,v]) f(4/13,1)-l G:=point(u,v,f(u,v)); \end{lstlisting} On obtient : {\tt diff(f(u,v),[u,v])=[13*2*u-8,16*2*v-32]} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{bac15.eps} \end{center} \subsection{ La d\'emonstration} Consid\'erons la projection orthogonale $H$, de $M$ sur $AC$. Dans le plan $MAC$ on a $MH\leq MN$. Soient $P$ le plan parall\`ele \`a $OB$ passant par $AC$, $d$ la projection orthogonale de $OB$ sur $P$ (repr\'esent\'ee en noir) et $H_0$ la projection orthogonale de $M$ sur $P$.\\ On a $MH_0 \leq MH\leq MN$, mais malheureusement $H_0$ n'est pas sur $AC$.\\ Peut-on trouver un point $M$ pour que sa projection sur le plan $P$ soit sur $AC$ ? Il suffit pour cela de consid\'erer l'intersection $K$ de $d$ avec $AC$. $L$ est le projet\'e de $K$ sur $OB$ et $KL$ est \'egal \`a la distance $H_0M$. \pagebreak \section{Sujet 21} \suj{M\'ethode d'Euler pour $y'=a*y$ pour $a$ donn\'e.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{21} La m\'ethode d'Euler peut \^etre visualis\'ee avec la commande :\\ {\tt interactive\_plotode}.\\ On tape :\\ {\tt interactive\_plotode(2*y,[t,y])}\\ La fen\^etre {\tt DispG} s'ouvre et en cliquant dans le graphe, on peut voir la solution de l'\'equation diff\'erentielle passant par ce point.\\ On peut ici, comparer la m\`ethode d'Euler qui donne {\tt ya} solution approch\'ee de $y'=a*y,\ y(t0)=y0$ pour $a$ donn\'e avec sa solution exacte qui est :\\ {\tt y(t)=k*exp(a*t)} avec {\tt k=y0*exp(-a*t0)}.\\ Soit {\tt y(t)=y0*exp(a*(t-t0))}.\\ La solution approch\'ee {\tt ya} de $y'=a*y, y(t0)=y0$ sur $[t0,t1]$ depend du nombre {\tt n} de points interm\'ediaires que l'on choisit pour aller de {\tt t0} \`a {\tt t1}.\\ {\tt ya(t1,f,t0,y0,n)} renvoie les points d'affixe la valeur approch\'ee de :\\ {\tt y(t0),y(t0+p)...y(t0+n*p)=y(t1)} pour {\tt p=(t1-t0)/n} et {\tt y} solution de $y'=f(t,y),\ y(t0)=y0$ avec un d\'ecoupage de $[t0;t1]$ en {\tt n} intervalles \'egaux de longueur {\tt p}. On tape : \begin{lstlisting} a:=2; f(t,y):=a*y; ya(t1,f,t0,y0,n):={ local k,L,p,t,y; L:=point(t0+i*y0); t:=t0; y:=y0; p:=(t1-t0)/n; for (k:=1;k<=n;k++) { y:=y+p*f(t,y); t:=t+p; L:=L,point(t+i*y); } return L; }; \end{lstlisting} Puis, on trace sur un m\^eme graphique, la solution exacte en rouge et les points obtenus avec la méthode d'Euler en vert on tape : \begin{lstlisting} affichage(plotfunc(exp(2*(t)),t=0..2),rouge); affichage(ya(2,f,0,1,50),vert+point_width_2); plotfield(2*y,[t,y]) \end{lstlisting} en changeant le nombre $n$ de points 50 en 10 ou en 100 on verra comment évoluent les points verts.\\ On trace aussi le champs des tangentes. \pagebreak \section{Sujet 25} \suj{On consid\`ere la suite $u$ d\'efinie pour tout entier $n$, $n\geq 1$ par : $$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k(k-1)$$} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{25} et les commentaires de la session. \pagebreak \section{Sujet 26} \suj{Soient trois points non align\'es $A,B,C$ et un r\'eel $k$ de l'intervalle $[-1;1]$. D\'eterminer le lieu du barycentre $G_k$ du syst\`eme de points pond\'er\'es : $$\{(A,k^2+1);(B,k);(C,-k)\}$$ lorsque $k$ d\'ecrit l'intervalle $[-1;1]$.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{26} On a : \[ \overrightarrow{OG}=(k^2+1)*\overrightarrow{OA}+k*\overrightarrow{OB}-k*\overrightarrow{OC})/(k^2+1))=f(k)+i*g(k) \] On cr\'ee une figure 2d exacte (attention il est important de cr\'eer la figure en mode exact). On clique pour d\'efinir 3 points $A,B,C$, puis on dessine la courbe d\'efinie par \'equation param\'etrique en tapant (une ligne par niveau)~: \begin{lstlisting} assume(k=[-0.5,-1,1]); g:=normal((k^2+1)*affixe(A)+k*affixe(B)-k*affixe(C))/(k^2+1)); G:=point(g); plotparam(g,k); G1:=point(subst(g,k=1)); G_1:=point(subst(g,k=-1)); \end{lstlisting} Pour montrer que AG est parall\`ele \`a BC, on calcule~: \begin{center} {\tt normal((g-affixe(A))/(affixe(C)-affixe(B)))} \end{center} et on voit qu'il s'agit du r\'eel~: \[ -\frac{k}{k^2+1} \] \pagebreak \section{Sujet 27} \suj{Soit un triangle isoc\`ele $ABC$ de sommet $A$ et de perim\`etre fix\'e. Trouver le ou les triangle(s) $ABC$ d'aire maximum.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{27} \begin{lstlisting} assume(t:=[2,0.0,5.0]); B:=point(-t,affichage=quadrant4); C:=point(t,affichage=quadrant4); assume(p:=[3,0,10]); A:=inter_unique(cercle(C,p-t),demi_droite(0,i)); S:=normal(aire(triangle(A,B,C))); G:=plotfunc(S,t); M:=point(t+i*S); s2:=factor(diff(S^2,t)); sol:=solve(s2,t); SM2:=normal(subst(S^2,t,p/3)); SM:=normal(sqrt(SM2)); triangle(-p/3,p/3,i*p*sqrt(3)/3,couleur=rouge+line_width_3); \end{lstlisting} On obtient l'aire {\tt S=t*sqrt(p\verb|^|2+(-2*p)*t)} de maximum {\tt SM=sqrt(3)/9*p\verb|^|2}. \subsection{La d\'emonstration} L'aire $S$ d'un triangle de cot\'e $a,b,c$ et de demi-p\'erim\`etre $p$ est :\\ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\\ ici le triangle $ABC$ est isoc\`ele donc $b=c$ et $p=b+a/2$ ou encore $p-b=p-c=a/2$.\\ On a donc :\\ $S^2=pa^2(p-a)/4$.\\ Le probl\`eme revient donc \`a choisir $a$ pour que $S$ ou $S^2$ soit maximum, c'est \`a dire de trouver le maximum de la fonction {\tt f(a):= p*a\verb|^|2*(p-a)/4}.\\ On tape : {\tt factor(diff(f(a),a))}\\ On obtient : {\tt (a*p*(2*p-3*a))/4}\\ On tape : {\tt solve((a*p*(2*p-3*a))/4,a)}\\ On obtient :\\ {\tt [(2*p)/3,0]} \\ On en d\'eduit que $S$ est maximum quand $a=2p/3$ donc quand $b=c==p-a/2=a=2p/3$ c'est \`a dire quand le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral. \pagebreak \section{Sujet 29} \suj{Pour tout entier $n$, on d\'efinit $a$ et $b$ en posant : $$a(n)=4n+1 \mbox{ et } b(n)=5n+3$$ Trouver selon $n$ le PGCD($a(n),b(n)$)} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{29} Tout d'abord avec {\tt Xcas} quelque soit $n$ :\\ \begin{lstlisting} gcd(4*n+1,5*n+3)=1 \end{lstlisting} car {\tt Xcas} calcule le pgcd de 2 polyn\^omes.\\ On tape pour avoir une id\'ee de la r\'eponse : \begin{lstlisting} f(n):=gcd(4*n+1,5*n+3); f(n)$(n=0..25); \end{lstlisting} On obtient : {\tt (1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1)}\\ Ce qui veut dire que l'on peut penser que $a=4n+1 \mbox{ et } b=5n+3$ sont premiers entre eux si $n \neq 5+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et vaut 7 si $n= 5+7k$ avec $k\in \mathbb N$.\\ Ou on utilise le tableur (avec 100 lignes, si on veut, mais est-ce bien utile ?) \subsection{La d\'emonstration avec l'aide de {\tt Xcas}} Pour avoir une id\'ee de la d\'emonstration on utilise la fonction {\tt egcd} de {\tt Xcas} qui renvoie les coefficients de l'identit\'e de B\'ezout pour des polyn\^omes.\\ On tape : \begin{lstlisting} egcd(4*n+1,5*n+3,n); \end{lstlisting} On obtient : {\tt [5,-4,-7]}\\ Ce qui veut dire que \[ 5(4n+1)-4(5n+3)=-7 \] donc que le PGCD($4n+1,5n+3$) divise 7 c'est \`a dire vaut 1 ou 7. Le PGCD($4n+1,5n+3$)=7 si et seulement si $4n+1$ est un multiple de 7, donc si il existe $k\in \mathbb N$ tel que~: \begin{center} $4n+1=7k$ ou encore si $4n+1=0\%7$ donc $4n=-1 \% 7$ donc $n$=-inv(4\% 7). \end{center} On obtient {\tt [-2 \% 7]} donc le PGCD de $4n+1$ et $5n+3$ vaut 7 si $n=-2+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et 1 sinon. \subsection{La d\'emonstration sans Xcas} On cherche une combinaison lin\'eaire entre $5n+3$ et $4n+1$ qui \'elimine $n$. \\ On a :\\ $4(5n+3)-5(4n+1)=7$\\ Donc le PGCD($4n+1,5n+3$) divise 7 c'est \`a dire vaut 1 ou 7.\\ Le PGCD($4n+1,5n+3$)=7 si et seulement si $4n+1$ est un multiple de 7.\\ Il faut donc trouver $n$ pour avoir $4n+1=7k$. Il faut pour cela trouver l'inverse de 4 dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$.\\ On a : $2*4=8=1\%7$ donc \\ $4n=-1 \bmod 7$ est \'equvalent \`a $n=-2 \bmod 7$\\ Donc on trouve que le PGCD($4n+1,5n+3$)=7 si $n=-2+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et que le PGCD($4n+1,5n+3$)=1 si $n\neq -2+7k$ avec $k\in \mathbb N$.\\ \pagebreak \section{Sujet 30} \suj{Dans le plan, soient un triangle $OAB$ rectangle en $O$ et une droite $d$ passant par $O$. On note $A_1$ et $B_1$ les projet\'es orthogonaux respectifs de $A$ et $B$ sur $d$. \\ \'Etude des cercles de diam\`etre $A_1B_1$ lorsque $d$ tourne autour de $O$.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir \h{30} \begin{lstlisting} A:=point(3); B:=point(i*4); m:=element(0..pi,pi/3); d:=droite(y*cos(m)-x*sin(m)=0); A1:=projection(d,A); B1:=projection(d,B); C:=cercle(A1,B1); C1:=cercle(0,A); C2:=cercle(0,B); I:=inter(C1,C2)[0] \end{lstlisting} Le cercle $C$ passe par le point $I$ d'intersection de $C1$ et $C2$ autre que $O$. \subsection{ La d\'emonstration} $A1$ et $B1$ sont de part et d'autre de $O$ si $\pi/2m>0$.\\ En effet, on a les \'egalit\'es d'angles :\\ $(BO,BI)=(B_1O,B_1I)$ car cet angle intercepte l'arc $OI$ de $C2$ et\\ $(AO,AI)+(A_1I,A_1O)=\pi$ car cet angle intercepte l'arc $OI$ de $C1$. $(A_1I,A_1B_1)=(AI,AO)$\\ $(AI,AO)+(BI,BO)=\pi/2$\\ $(A_1I,A_1B_1)+(B_1O,B_1I)=\pi/2$\\ donc $A_1I$ est perpendiculaire \`a $B_1I$ donc les cercles de diam\`etre $A_1B_1$ passent par $I$. \pagebreak \section{Sujet 33} \suj{Dans l'espace, on donne un t\'etra\`edre r\'egulier $OABC$ et $I$ le milieu de $AB$.\\ Soit $M$ un point quelconque de $AC$. Le plan passant par $I$ et orthogonal \`a $IM$ coupe $OB$ en $N$. Comment minimiser $MN$ ?} \begin{center} \includegraphics[width=8cm]{bac33} \end{center} \subsection{Avec {\tt Xcas}} Voir \h{33} \begin{lstlisting} T:=pyramide([0,0,0],[2,0,0],[0,1,0]); coordonnees(sommets(T)); A:=point([0,0,0]); B:=point([2,0,0]); C:=point([1,sqrt(3),0]); O:=point([1,sqrt(3)/3,2/3*sqrt(6)]); I:=milieu(A,B); assume(t=[0.8,0.0,1.0]); M:=element(segment(A,C),t); P:=orthogonal(I,droite(I,M)); N:=inter_unique(droite(O,B),P); L:=normal(longueur2(M,N)); //M=t*A+(1-t)*C soit M-A=(1-t)*(C-A) dL:=normal(diff(L,t)); fsolve(numer(dL),t); subst(L,t,1/2) \end{lstlisting} puis {\tt plotfunc(longueur2(M,N),t)}; \subsection{ La d\'emonstration} Pour r\'esoudre ce probl\`eme, on veut utiliser diff\'erentes m\'ethodes.\\ \begin {enumerate} \item On utilise les \'equations des droites et du plan, pour avoir les coordonn\'es de $M$ et de $N$.\\ On choisit {\tt M:=m+i*m*sqrt(3)} (si {\tt M:=element(segment(A,C),t);} on a {\tt m=t})\\ Donc le vecteur $IM$ a pour coordonn\'ees $[m-1,m*\sqrt 3,0]$.\\ Le plan $P$ a donc pour \'equation :\\ $(m-1)*(x-1)+m*\sqrt 3*y=0$\\ et la droite $OB$ a pour \'equation :\\ $x=2-u$,\\ $y=u/\sqrt 3$,\\ $z=2*u*\sqrt 6/3$\\ donc, \\ $N$ est un point de $OB$ avec $u=1-m$ i.e. a pour coordonn\'ees :\\ $[m+1,(1-m)/\sqrt 3,2*(1-m)*\sqrt 6/3]$ soit :\\ $MN^2=1+((1-4*m)*\sqrt 3/3)^2+8/3*(1-m)^2=8*m^2-8*m+4$.\\ Dans {\tt Xcas} on v\'erifie en tapant : \begin{lstlisting} equation(P); normal(coordonnees(N)); \end{lstlisting} On obtient comme \'equation de $P$ :\\ {\tt -t*x-sqrt(3)*t*y+t-(-(sqrt(3)))*y=0}\\ On obtient comme coordonn\'ees de $N$ :\\ {\tt [-t+2,sqrt(3)/3*t,6*sqrt(6)/9*t]}\\ On a comme coordonn\'ees de $M$ : \\ {\tt [1-t,(1-t)*sqrt(3),0]} \\ donc,\\ $MN^2=(1-t-(-t+2))^2+(\sqrt 3/3*t-(1-t)*\sqrt 3)^2+(6*\sqrt 6/9*t)^2=8*t^2-8*t+4$.\\ Le minimum est atteint pour $t=1/2$ donc pour $m=1/2$. \item On calcule $MN^2$ gr\^ace \`a des consid\'erations g\'eom\'etriques.\\ On choisit {\tt M:=m+i*m*sqrt(3)} ($m=1-t$)\\ Soit $K$ la projection de $N$ sur $ABC$. $K$ se trouve sur la bissectrice int\'erieure de l'angle $B$. L'angle que fait $OB$ avec le plan $ABC$ a pour tangente $\sqrt 2$ puisque la hauteur $h$ d'un t\'etra\`edre r\'egulier de cot\'e $a$ vaut $h=a*\sqrt 6/3$. Le sommet $O$ se projette sur $ABC$ en le centre de gravit\'e $G$ du triangle $ABC$ et $GB=a*\sqrt 3/3$. On a donc $h/GB=a*\sqrt 6/3/(a*\sqrt 3/3)=\sqrt 2$.\\ On a donc $NK=BK*\sqrt 2$.\\ Les triangles $CMI$ et $BKI$ sont semblables de rapport $CI/BI=\sqrt 3$ (ils ont chacun un angle de 30 degr\'es et leurs angles $I$ sont \'egaux car ils ont des cot\'es perpendiculaires), donc : $BK=MC/\sqrt 3=(2-2*m)/\sqrt 3$ et $IK=MI/\sqrt 3$. Donc \begin{eqnarray*} MN^2 &=&MK^2+KN^2=MI^2+IK^2+KN^2=MI^2*(4/3)+2*BK^2 \\ &=& (4*m^2-2*m+1)*4/3+2*(2-2*m)^2/3=8*m^2-8*m+4 \end{eqnarray*} dont le minimum est bien atteint pour $m=1/2$ donc pour $t=1/2$. \item sans faire le calcul de $MN^2$ en fonction de $m$.\\ On veut minimiser :\\ $MN^2=MI^2*(4/3)+2*BK^2=(4/3)*MI^2+(2/3)*MC^2$.\\ Soit $Q$ la projection de $M$ sur $CI$. \\ On a :\\ $MI^2=MQ^2+QI^2$, $MC^2=MQ^2+QC^2$ et $MQ=QC/\sqrt 3$\\ donc $MN^2=2*MQ^2+(4/3)*QI^2+(2/3)*QC^2=(4/3)*(QI^2+QC^2)$\\ Il faut donc minimiser $(QI^2+QC^2)$. Soit $J$ le milieu de $IC$ (i.e. $\overline{JC}=-\overline{JI})$. \\ On a :\\ $(QI^2+QC^2)=(\overline{QJ}+\overline{JI})^2+(\overline{QJ}-\overline{JI})^2=2(QJ^2+JI^2)$ donc le minimum de $(QI^2+QC^2)$ est obtenu lorsque $Q$ est en $J$, c'est \`a dire lorsque $M$ est le milieu de $AC$. \end{enumerate} \pagebreak \section{Sujet 43} \suj{Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e, on consid\`ere : $$C=\{M(x,y)\ x\geq0,\ y\geq 0,\ \sqrt x +\sqrt y=1\}$$ $C$ est-il un quart de cercle ?} \subsection{Avec {\tt Xcas}} Voir \h{43} \begin{lstlisting} plotinequation([x>0,y>0,sqrt(x)+sqrt(y)<1], [x=0..1,y=0..1],xstep=0.1,ystep=0.1); plot((1-sqrt(x))^2,x=0..1); plotimplicit(sqrt(x)+sqrt(y)-1, [x=0..1,y=0..1],xstep=0.05,ystep=0.05); plot((1-sqrt(x))^2,x=0..1);cercle(1+i,1,affichage=rouge); \end{lstlisting} \subsection{ La d\'emonstration} On multiplie par le conjugu\'e, ce qui donne \[ y-x+1-2*sqrt(y) =0 \] On remultiplie par le conjugu\'e, on obtient \[ x^2-2*x*y+y^2-2*y+1-2*x \] Il reste un terme en $x y$, donc ce ne peut pas \^etre une \'equation de cercle. \pagebreak \section{Sujet 44} \suj{Trouver la somme des cubes des $n$ premiers entiers.} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} On utilise le tableur : voir \h{44} \subsection{ La d\'emonstration} On sait que la somme $S_1$ des $n$ premiers entiers vaut :\\ $S_1=1+2+...n=n(n+1)/2$\\ Cherchons la somme $S_2$ des carr\'es des $n$ premiers entiers.\\ On a :\\ $(1+n)^3=n^3+3n^2+3n+1$\\ $n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1$\\ ......\\ $3^3=2^3+3*2^2+3*2+1$\\ $2^3=1^3+3*1^2+3*1+1$\\ En ajoutant membre \`a membre, on en d\'eduit que :\\ $(1+n)^3=1^3+3(n^2+(n-1)^2+...2^2+1^2)+3(n+(n-1)+...2+1+n$\\ $(n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=3S_2$ Donc la somme des carr\'es des $n$ premiers entiers vaut : $S_2=(n^3+3n^2+3n-3n^2/2-5n/2)/3=(2n^3+3n^2+n)/6=n*(n+1)*(2*n+1)/6$\\ Pour calculer la somme des cubes des $n$ premiers entiers on fait la m\^eme chose avec $(1+n)^4$ : $(1+n)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1$ ......\\ $2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1$\\ donc $(1+n)^4=1^4+4*S_3+6*S_2+4*S_1+n$ donc $4*S_3=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n-(2n^3+3n^2+n)-2n(n+1)-n=n^4+2*n^3+n^2$ donc $S_3=n^2*(n+1)^2/4$ \pagebreak \section{Sujet 47} \suj{Soit un triangle $ABC$ existe-t-il une droite perpendiculaire \`a $BC$ qui partage $ABC$ en deux polyg\^ones de m\^eme aire ?} \subsection{ Avec {\tt Xcas}} Voir session \h{47} \subsection{ La d\'emonstration} Si $AC=AB$ c'est facile car la hauteur issue de $A$ coupe le triangle isoc\'ele $ABC$ en deux triangles ayant la m\^eme aire.\\ %file /home/degraeve/casdoc/session.tex % Generated by xcas \noindent \begin{pspicture}(-3.4000,-6.3)(9.6000,5.) \psset{unit=1.0760cm} \psset{xunit=1.0760cm} \psset{yunit=0.9043cm} \psset{linewidth=.5pt} \psset{arrowsize=2pt 4} \psset{linecolor=black} \psline[linestyle=dashed]{->}(-2.2305,0.0000)(8.9223,0.0000) \psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-5.0000)(0.0000,5.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](6.0600,4.0000) \uput{0.0929}[45.0000](6.0600,4.0000){\color{black} A} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000) \uput{0.0929}[225.0000](0.0000,0.0000){\color{black} B} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](2.0000,0.0000) \uput{0.0929}[315.0000](2.0000,0.0000){\color{black} C} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](6.0600,0.0000) \uput{0.0929}[45.0000](6.0600,0.0000){\color{black} H} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](3.8500,0.0000) \uput{0.0929}[45.0000](3.8500,0.0000){\color{black} M} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline(3.8500,-5.0000)(3.8500,5.0000) \uput{0.0929}[45.0000](3.8500,1.0000){\color{black} d} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](3.8500,2.5413) \uput{0.0929}[45.0000](3.8500,2.5413){\color{black} K} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](3.8500,1.8227) \uput{0.0929}[45.0000](3.8500,1.8227){\color{black} L} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psline[fillcolor=black]( 6.060000, 4.000000)( 0.000000, 0.000000)( 2.000000, 0.000000)( 6.060000, 4.000000) \psset{linecolor=red} \psset{linewidth=0.0000pt} \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red]( 0.000000, 0.000000)( 2.000000, 0.000000)( 3.850000, 1.822660)( 3.850000, 2.541254)( 0.000000, 0.000000) \psset{linecolor=green} \psset{linewidth=0.0000pt} \uput{0.0929}[45.0000](-3.0000,4.0000){\color{green} S-2*aire rouge=-2.41} \psset{linecolor=blue} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](2.5526,0.0000) \uput{0.0929}[45.0000](2.5526,0.0000){\color{blue} M0} \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \psdots[dotstyle=*](2.5526,0.0000) \psset{linecolor=black} \psset{linewidth=0.0000pt} \pswedge[fillcolor=black](6.0600,-2.0150){4.0450}{90.0000}{270.0000} \end{pspicture} Supposons que $AB>AC$ et soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. $H$ peut se trouver entre $B$ et $C$ ou \`a l'ext\'erieur de $BC$ et du c\^ot\'e de $C$. \\ On pose :\\ $BC=a$, $BH=d$ et $AH=h$\\ L'aire du triangle $ABC$ est donc : $a*h/2$ On cherche le point $M$ de la droite $BC$ pour que la droite perpendiculaire \`a $BC$ en $M$ partage $ABC$ en deux polyg\^ones de m\^eme aire coupe $BC$ en $M$. \\ Soit $K$ le point d'intersection de la perpendiculaire en $M$ \`a $BC$ avec $AB$. On a, car les triangles $ABH$ et $KMB$ sont homoth\'etiques :\\ $BM=x$, $MK=k=h*x/d$ On va consid\'erer trois cas : \begin{itemize} \item supposons que $M$ est en $C$\\ L'aire du triangle $KBC$ est donc : $a*k/2$ Ce cas se produit si $a*k=a*h*x/d=a*h/2$ c'est \`a dire si $BC=BM=x=d/2=BH/2$ Donc si $BC=BH/2$, $M$ est en $C$ \item supposons que $M$ est un point entre $B$ et $C$ i.e. $xx*k=a*h/2$ Ce cas peut se produire si $k=h*x/d>h/2$ c'est \`a dire si $BC>BM=x>BH/2$ et alors on a :\\ $x*k=x*h*x/d=a*h/2$ c'est \`a dire $x^2=a*d/2$. Donc si $BC>BH/2$, $M$ est entre $B$ et $C$ et si on a :\\ $BM^2=x^2=a*d/2$ alors l'aire du triangle $BMK$ est la moiti\'e de l'aire du triangle $BCA$. \item supposons que $M$ est un point entre $C$ et $H$. Ce cas peut se produire si $BC