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\title{Exercices du bac et traduction pour\\ Xcas}
\makeindex
\author{Ren\'ee De Graeve\\avec la participation de B. Parisse et G. Connan}


\newcommand{\h}[1]{\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/bac/bac#1.xws}{\tt bac#1.xws}}
\newcommand{\hr}[2]{\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/bac/bac#1_#2.xws}{\tt bac#1\_#2.xws}}
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\smallskip
{\Large  #1  }
\smallskip
\end{minipage}
} }


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\setcounter{tocdepth}{1}

\begin{document}






\setlength{\parindent}{0mm}


\input fltkcol.tex

\maketitle


\tableofcontents



\pagebreak

\section{Sujet 1}

\suj{ \[ u(n+1)=u(n)+a*n+b \]
Trouver $u(n)$ en fonction de $n$. }



\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
 On  ex\'ecute   le  fichier  
\hr{1}{1} qui utilise le tableur (formel) et
des valeurs particuli\`eres, le graphe et un programme que voici~:
\begin{lstlisting}
u(n,u0,a,b):={
 local val;
 if (n==0) return u0;
 val:=u0;
 for (k:=1;k<=n;k++) {
  val:=normal(val+(k-1)*a+b);
 }
 return val;
}
\end{lstlisting}
En faisant ce programme itératif on remarque qu'\`a la $k$-i\`eme \'etape 
on ajoute \`a la valeur pr\'ecedente {\tt b} et {\tt (k-1)*a} car $u(n)=u(n-1)+a*(n-1)+b$.\\
On ajoute {\tt b} \`a chaque \'etape donc, au bout de {\tt n} \'etapes on aura 
ajout\'e {\tt n*b},
et on ajoute  {\tt (k-1)*a} \`a  la $k$-i\`eme \'etape donc, au bout de {\tt n}
\'etapes on aura ajout\'e\\ {\tt 1*a+2*a+...+(n-1)*a=(1+2+...+(n-1))*a}\\
On tape pour avoir la valeur factoriser de $(1+2+...+(n-1))$ :\\
{\tt factor(sum(k,k,1,n-1))}\\
et on obtient :\\
{\tt n*(n-1)/2}\\
On \'ecrit donc la fonction {\tt u} :

{\tt u(n,u0,a,b):=u0+n*(n-1)*a/2+n*b}

Voir aussi \hr{1}{2} qui recherche $A,B,C$ pour que :\\
$u(n)=A*n^2+B*n+C$ en r\'esolvant le syst\`eme lin\'eaire d'inconnues 
$A,B,C$ :\\
$u(0)=C$,\\
$u(1)=A+B+C$,\\
$u(2)=4*A+2*B+C$\\ 




\subsection{ La d\'emonstration}
On a :
\begin{eqnarray*}
u(1) & = & u(0)+0+b\\
u(2) & = & u(1)+a+b\\
u(3) & = & u(2)+2*a+b\\
...\\
u(n)&=&u(n-1)+(n-1)*a+b
\end{eqnarray*}
en ajoutant membre \`a membre on obtient~:
\[ u(n)=u(0)+(1+2+...(n-1))*a+n*b \]
donc~:
\[ u(n)=u(0)+n*(n-1)*a/2+n*b \]




\pagebreak

\section{Sujet 2}
\suj{Dans le plan 4 points $O,A,B,C$ et un cercle $E$ de centre $O$.
\`A tout point $M$ sur $E$ on associe $N$ tel que :
$$\overrightarrow{MN}=a*\overrightarrow{MA}+b*\overrightarrow{MB}+c*\overrightarrow{MC}$$ o\`u $a,b,c$ sont des r\'eels donn\'es.
D\'eterminer le lieu de $N$ lorsque $M$ d\'ecrit $E$.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
On ex\'ecute la session \h{2} ou on tape :
\begin{lstlisting}
[a,b,c]:=[1,-3,2];
A:=point(2);
B:=point(1+2*i);
C:=point(-2+i);
O:=point(0,0);
E:=cercle(O,1);
t:=element(0..2*pi);
M:=element(E,t);
N:=point(affixe(M)+a*(A-M)+b*(B-M)+c*(C-M));
affichage(lieu(N,M),rouge+line_width_2);
\end{lstlisting}
En d\'eplacant le curseur {\tt t} on d\'eplace {\tt M} sur le 
cercle{\tt E} et on voit {\tt N} d\'ecrire le lieu.\\
La commande {\tt lieu} de {\tt Xcas} nous donne l'\'equation du lieu,
par exemple :
\begin{itemize}
\item pour {\tt [a,b,c]:=[1,-3,2]} l'\'equation du lieu est :\\
{\tt 4*x\verb|^|2+40*x+4*y\verb|^|2+32*y+160=0} qui est le cercle translat\'e 
de {\tt E} 
dans la translation de vecteur {\tt affixe(a*A+b*B+c*C)}.\\
On tape si {\tt a+b+c=0} :\\
 {\tt P:=a*A+b*B+c*C;segment(0,P);}\\
{\tt Mt:=affichage(translation(affixe(P),M),quadrant2)}\\
{\tt Mt} et {\tt N} sont alors confondus.

\item pour {\tt [a,b,c]:=[2,-3,2]} {\tt N=point(-3-4*i)} est confondu avec le 
barycentre 
{\tt G} des points  $A,B,C$ pond\'er\'es par $a,b,c$.\\
On tape si {\tt a+b+c=1} :\\
{\tt G:=affichage(barycentre([A,a],[B,b],[C,c]),quadrant3)}
{\tt G} et {\tt N} sont alors confondus.
\item pour {\tt [a,b,c]:=[1,-3,1]} l'\'equation du lieu est :\\
{\tt 16*x\verb|^|2+96*x+16*y\verb|^|2+160*y+480=0} qui est l'homoth\'etique de 
{\tt E} dans l'homoth\'etie de entre {\tt G} et de rapport {\tt 1-(a+b+c)}.\\
On tape si {\tt a+b+c!=0} et {\tt a+b+c!=1} :\\
Mh:=affichage(homothetie(G,1-(a+b+c),M),quadrant4);
{\tt Mh} et {\tt N} sont alors confondus.
\end{itemize}

\subsection{ La d\'emonstration}
Soit {\tt M} un point de {\tt E} et soient {\tt P} et {\tt N} d\'efinis par :
\[ \overrightarrow{OP}=a*\overrightarrow{OA}+b*\overrightarrow{OB}+c*\overrightarrow{OC} \mbox{ et } \overrightarrow{MN}=a*\overrightarrow{MA}+b*\overrightarrow{MB}+c*\overrightarrow{MC}\] 
alors, 
$\ \overrightarrow{MN}=(a+b+c)*\overrightarrow{MO}+a*\overrightarrow{0A}+b*\overrightarrow{OB}+c*\overrightarrow{OC}\ $
donc :
\[ \overrightarrow{MN}= (a+b+c)*\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OP} \]
\begin{itemize}
\item Supposons $a+b+c=0$, alors $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OP}$.\\
Donc $N$ se d\'eduit de $M$ dans la translation de 
vecteur $\overrightarrow{OP}$.\\
\item Supposons $a+b+c=1$, soit $G$ le barycentre des points $A,B,C$ 
pond\'er\'es par $a,b,c$. On a donc 
$\overrightarrow{MG}(a+b+c)=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}$, soit
$\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GM}(1-(a+b+c))=1$ donc
$N$ se trouve en $G$ si $a+b+c=1$
\item Supposons $a+b+c \neq 0$ et $a+b+c \neq 1$
soit $G$ le barycentre de $A,B,C$ pond\'er\'e 
par $a,b,c$. On a donc 
$\overrightarrow{MG}(a+b+c)=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}$, soit
$\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GM}(1-(a+b+c))=1$ donc
$N$ se d\'eduit de $M$ dans 
l'homot\'etie de centre $G$ et de rapport $1-(a+b+c)$.
\end{itemize}
{\bf Application}
\begin{itemize}
\item a=1,b=-3,c=2
\item a=2,b=-3,c=2
\item a=1,b=-3,c=1
\end{itemize}



\pagebreak

\section{Sujet 3}
\suj{Soient  un rectangle $ABCD$ et un point $M$ \`a l'int\'erieur de ce 
rectangle. Soit $H$ la projection de $M$ sur $CD$.\\ 
Comment choisir $M$ pour que la distance $MA+MB+MH$ soit minimale ?}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Voir \h{3}, la figure est en niveau 1,
pour la solution formelle, ex\'ecuter
les commandes \`a partir du niveau 2.

\subsection{ Solution g\'eom\'etrique}
%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
\begin{pspicture}(-3.1711,-8.3588)(8.8289,0.6843)
\psset{xunit=5.6577cm}
\psset{yunit=2.5582cm}
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\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.0000,0.0000){A}
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\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,0.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](1.0000,0.0000){B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,-3.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](1.0000,-3.0000){C}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,-3.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.0000,-3.0000){D}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.000000,     0.000000)(     1.000000,     0.000000)(     1.000000,    -3.000000)(     0.000000,    -3.000000)(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.0000,-1.0000)(1.0000,-1.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,-1.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.5000,-1.0000){K}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.3333,-1.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.3333,-1.0000){M}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.6667,-1.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.6667,-1.0000){M1}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.0000,0.0000)(0.3333,-1.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(1.0000,0.0000)(0.3333,-1.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(1.0000,0.0000)(0.6667,-1.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,-2.0000)
\uput{0.0177}[45.0000](0.0000,-2.0000){B1}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(1.0000,0.0000)(0.0000,-2.0000)
\end{pspicture} 
Lorsque $M$ se d\'eplace sur une parall\`ele \`a $CD$
la distance $MA+MB$ est minimum lorsque $M$ se trouve en $K$ sur la 
m\'ediatrice de $AB$. En effet si $M1$ est le sym\'etrique de $M$ par rapport 
\`a $K$ on a $KM=KM1$ et $AM=BM1$ et donc :\\
$AM+BM=BM+BM1$.\\
 Soit $B1$ le sym\'etrique de $B$ par rapport \`a
$K$, $MBM1B1$ est un parall\'elogramme donc :
$BM+BM1=BM1+M1B1 \geq BB1=2BK$.\\
Donc $AM+BM \geq 2BK=AK+BK$.\\
On va ensuite montrer que le minimum de  $MA+MB+MH$ est lorsque $M$ se trouve
au point $K$ d\'efinit par : $K$ sur la m\'ediatrice de $AB$ et l'angle $K$ du 
triangle $ABK$ \'egal $2\pi/3$.\\
Si $M$ est sur $KH$, il suffit de projeter $M$ sur $AK$ en $N$. $N$ se trouve
en dehors de $AK$ car l'angle $\widehat{AKM}$ est obtus et $AN=AK+KN$. \\
Le triangle
$NMK$ est rectangle en $N$ et l'angle $K$ vaut $\pi/3$ donc $KM=2KN$ et
$AN<AM$ c'est \`a dire :
$AN=AK+KN=AK+KM/2<AM$ soit\\ 
$2AK+KM=AK+BK+KM<2AM=AM+BM$ donc\\
$AK+BK+KM+MH=AK+BK+KH<AM+BM+MH$.

%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
%\begin{pspicture}(-4.7817,-8.5089)(7.2183,0.4111)
%\psset{unit=4.1106cm}
\begin{pspicture}(-4.7817,-5.5089)(5.2183,0.4111)
\psset{unit=2.1106cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\uput{0.0243}[135.0000](0.0000,0.0000){A}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,0.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](1.0000,0.0000){B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,-2.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](1.0000,-2.0000){C}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,-2.0000)
\uput{0.0243}[135.0000](0.0000,-2.0000){D}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.000000,     0.000000)(     1.000000,     0.000000)(     1.000000,    -2.000000)(     0.000000,    -2.000000)(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.5000,-2.0700)(0.5000,0.1000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(1.7560,-1.0138)(-0.1732,0.1000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,-0.2887)
\uput{0.0243}[45.0000](0.5000,-0.2887){K}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pswedge[fillcolor=black](0.0000,0.0000){0.2000}{-30.0000}{0.0000}
\uput{0.0243}[-45.0000](0.0309,0.1976){pi/6}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,-2.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](0.5000,-2.0000){H}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,-1.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](0.5000,-1.0000){M}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.8080,-0.4665)
\uput{0.0243}[45.0000](0.8080,-0.4665){N}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.5000,-1.0000)(0.8080,-0.4665)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.746410,    -0.573205)(     0.684808,    -0.537639)(     0.746410,    -0.430940)(     0.746410,    -0.430940)
\uput{0.0243}[45.0000](0.7464,-0.4309){}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.0000,0.0000)(0.5000,-1.0000)
\end{pspicture} 

Si $M$ est sur $KI$ ($I$ milieu de $AB$), on  projette toujours $M$ sur $AK$ 
en $N$, mais $N$ se trouve entre  $A$ et $K$ car l'angle $\widehat{AKM}$ est 
aigu et $AK=AN+NK$.\\
Le triangle
$NMK$ est rectangle en $N$ et l'angle $K$ vaut $\pi/3$ donc :\\
$MK=2NK$ et $AN<AM$ c'est \`a dire :\\
$AN=AK-NK=AK-MK/2<AM$ soit $AK+BK=2AK<2AM+MK=AM+BM+MK$ donc\\
$AK+BK+KH<AM+BM+MK+KH=AM+BM+MH$.\\

%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
%\begin{pspicture}(-4.7817,-8.5089)(7.2183,0.4111)
%\psset{unit=4.1106cm}
\begin{pspicture}(-4.7817,-5.5089)(5.2183,0.4111)
\psset{unit=2.1106cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\uput{0.0243}[135.0000](0.0000,0.0000){A}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,0.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](1.0000,0.0000){B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](1.0000,-2.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](1.0000,-2.0000){C}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,-2.0000)
\uput{0.0243}[135.0000](0.0000,-2.0000){D}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.000000,     0.000000)(     1.000000,     0.000000)(     1.000000,    -2.000000)(     0.000000,    -2.000000)(     0.000000,     0.000000)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.5000,-2.0700)(0.5000,0.000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(1.7560,-1.0138)(-0.1732,0.1000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,-0.2887)
\uput{0.0243}[-45.0000](0.5000,-0.2887){K}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pswedge[fillcolor=black](0.0000,0.0000){0.2000}{-30.0000}{0.0000}
\uput{0.0243}[-45.0000](0.0309,0.1976){pi/6}
\psset{linecolor=black}
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\psdots[dotstyle=*](0.5000,-2.0000)
\uput{0.0243}[45.0000](0.5000,-2.0000){H}
\psset{linecolor=black}
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\psdots[dotstyle=*](0.5000,-0.1000)
\uput{0.0243}[0.0000](0.5000,-0.1000){M}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.4183,-0.2415)
\uput{0.0243}[-135.0000](0.4183,-0.2415){N}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.5000,-0.1000)(0.4183,-0.2415)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.434641,    -0.213205)(     0.350981,    -0.164904)(     0.334641,    -0.193205)(     0.334641,    -0.193205)
\uput{0.0243}[45.0000](0.3346,-0.1932){}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.0000,0.0000)(0.5000,-0.1000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.5000,0.0000)
\uput{0.0243}[90.0000](0.5000,0.0000){I}
\end{pspicture} 

Lorsque $M$ est en $K$, $AKI$ est la moiti\'e d'un triangle \'equilat\'eral de 
hauteur $AI=1/2$ et de c\^ot\'e $AK=1/\sqrt 3=\sqrt 3/3$ ($KI=\sqrt 3/6$).
Donc le minimum de de la longueur $AM+BM+MH$ est :
$a+2*\sqrt 3/3-\sqrt 3/6=a+\sqrt 3/2$.






\pagebreak


\section{Sujet 4}
\suj{\'Etude, selon les valeurs de $m$ r\'eel donn\'e, du nombre de solutions, 
pour $x$ strictement positif, de l'\'equation :
$$(E)\ \  \ln(x)=m*x^2$$}

\subsection{Avec {\tt Xcas}}
Dans \hr{4}{1} on trace les graphes de $y=\ln(x)$ et de $y=m*x^2$
pour diff\'erentes valeurs de $m$ puis, on regarde s\'epar\'ement les cas 
$m>0$ et $m<0$ 

ou dans \hr{4}{2} on trace le graphe de la fonction
$\ln(x)-kx^2$ pour diff\'erentes valeurs de $k$ en faisant une animation.

\subsection{ La d\'emonstration}
Soit pour $x$ strictement positif $f(x)=\ln(x)-m*x^2$.\\
On cherche le nombre de solutions de $f(x)=0$.\\
Pour cela on va \'etudier les variations de $f$.\\
On a $f'(x)=1/x-2*m*x=(1-2*m*x^2)/x$.\\
Quand $x$ tend vers $0^+$, $f(x)$ tend vers $-\infty$ quelquesoit $m$.\\
Quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x)$ tend vers $+\infty$ si $m\leq 0$ et 
vers $-\infty$ si $m>0$ (pour $m>0$ on a $f(x)=x^2*(\ln(x)/x^2-m)$ et on sait 
que $\ln(x)/x^2$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$).\\
\begin{itemize}
\item Si $m\leq 0$, $f'(x)>0$ pour $x$ strictement positif donc $f$ est croissante.\\
On a : \\
quand $x$ tend vers $0^+$ $f(x)$ tend vers $-\infty$
quand $x$ tend vers $+\infty$ $f(x)$ tend vers $+\infty$
 $f$ est continue et croissante, donc d'apr\'es le th\'eor\`eme des valeurs 
interm\'ediaires, $f$ s'annule une seule fois.
\item Si $m> 0$, $f'(x)$ s'annule pour $x=1/\sqrt{2*m}$,  $f'(x)$ est positive 
sur $]0;1/\sqrt{2*m}[$ et  $f'(x)$ est négative 
sur $]1/\sqrt{2*m}; +\infty[$ donc $f$ est croissante puis d\'ecroissante et 
son maximum vaut : $f(1/\sqrt{2*m})=-1/2(\ln(2*m)+1)$.\\
Si $\ln(2*m)+1<0$ c'est \`a dire si $m<1/(2*e)$, $f$ ne s'annule pas et il n'y 
a pas de solutions,\\
Si $\ln(2*m)+1=0$ c'est \`a dire si $m=1/(2*e)$, $f$ s'annule une seule fois en
$x= 1/\sqrt{2*m}=\sqrt e$,\\
Si $\ln(2*m)+1>0$ c'est \`a dire si $m>1/(2*e)$, $f$ s'annule deux fois 
d'apr\'es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires : une fois avant
$x= 1/\sqrt{2*m}$ et une fois apr\'es. 

\end{itemize}












\pagebreak


\section{Sujet 5}
\suj{\'Etude de la suite {\tt u(n+1)=a*u(n)+b} pour {\tt a} et {\tt b} 
donn\'es : convergence et valeur de la limite.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Dans \hr{5}{1}, on utilise le tableur de {\tt Xcas} au niveau 1 et, 
au niveau 2, on tape le programme :
\begin{lstlisting}
u(n,u0,a,b):={
 local val;
 if (n==0) return u0;
 val:=u0;
 for (k:=1;k<=n;k++) {
   val:=normal(val*a+b);
 }
 return val;
}
\end{lstlisting}
En faisant ce programme it\'eratif on remarque qu'\`a chaque \'etape :
on multiplie la valeur pr\'ec\'edente par {\tt a} et on lui ajoute {\tt b} 
donc, au bout de {\tt n} \'etapes on aura multipli\'e la valeur initiale par
{\tt a\verb|^|n} et on aura ajout\'e la somme :\\
{\tt b+a*b+.....a\verb|^|(n-1)*b}\\
On tape pour avoir la valeur factoriser de $1+a+...+a^{n-1}$ :\\
{\tt factor(sum(a\verb|^|k,k,1,n-1))}\\
et on obtient :\\
{\tt (a\verb|^|n-1)/(a-1)}\\
On \'ecrit donc la fonction {\tt u} et on tape :\\
{\tt u(n,u0,a,b):=normal(u0*a\verb|^|n+b*(a\verb|^|n-1)/(a-1))}

Voir aussi \hr{5}{2} dans cette session on \'ecrit le programme 
it\'eratif pr\'ec\'edent, puis \`a l'aide d'exemples et de graphes, on cherche 
si la suite a une limite pour diff\'erentes valeurs de $a$ et $b$. 

\subsection{La d\'emonstration}
Si {\tt a=1}, la suite u est une suite arithmétique de raison {\tt b}.\\
Si {\tt a!=1}, soit {\tt l} le rèel vérifiant {\tt l=a*l+b}, c'est à dire 
{\tt l=b/(1-a)}.\\
En retranchant membre à membre {\tt l=a*l+b} à
{\tt u(n+1)=a*u(n)+b} et en posant {\tt v(n)=u(n)-l}, on obtient :
{\tt v(n+1)=a*v(n)}, la suite {\tt v} est donc une suite géométrique de raison 
{\tt a} donc :\\
{\tt v(n)=v(0)*a\verb|^|n=(u(0)-l)*a\verb|^|n} c'est \`a dire \\
{\tt u(n)=v(n)+l=b/(1-a)+(u(0)-b/(1-a))*a\verb|^|n}\\
On a donc :\\
$\displaystyle u(n)=u(0)*a^n+b*(1-a^n)/(1-a)=a^n*(u(0)-\frac{b}{1-a})+\frac{b}{1-a}$\\
{\bf Convergence de $u$} :\\
Si $abs(a)<1$, alors $a^n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini donc
$u(n)$ tend vers $b/(1-a)$.\\
Si $abs(a)>1$ alors $a^n$ tend vers $\infty$ donc quand $n$ tend vers l'infini 
donc $|u(n)|$ tend vers l'infini.\\ 
Si $a=1$, $u(n)=u(0)$, donc u(n) est constante.\\
Si $a=-1$, $u(2n)=u(0)$ et $u(2n+1)=b-u(0)$ : si $u(0)=b/2$ la suite
 $u(n)$ est constante et si $u(0)!=b/(1-a)$  la suite $u$ est divergente.
















\pagebreak

\section{Sujet 7}
\suj{Tangente \`a la courbe $y=\exp(x)$ passant par l'origine : construction 
et \'equation.}



\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Dans \h{7} on envisage deux points de vue :
\begin{itemize}
\item On trace la droite $y=mx$ passant par l'origine. En faisant varier sa 
pente $m$ on essaye de rendre cette droite, tangente au graphe de 
$y=\exp(x)$.\\
On tape :
\begin{lstlisting}
plot(exp(x));
m:=element(0..5);
droite(y=m*x);
\end{lstlisting}
On fait bouger le curseur $m$ et on voit que la droite $y=m*x$ est 
tangente pour $m$ proche de 2.7 avec le point de tangence de 
coordonn\'ees $(1;2.7)$.
\item On trace la tangente au graphe de 
$y=\exp(x)$ et passant par le point  d'affixe $a+i\exp(a)$. En faisant varier 
l'abscisse $a$ on essaye de faire passer cette droite par l'origine.\\ 
On tape :
\begin{lstlisting}
plot(exp(x));
assume(a:=-1,-5,5);
T:=tangent(plotfunc(exp(x)),a);
normal(equation(T))
\end{lstlisting}
on fait bouger $a$ pour que $T$ passe par $O$, on voit que $a$ se trouve 
proche de 1.

On obtient comme \'equation de la tangente~:
\[ y=(-\exp(a)*a+\exp(a)*x+\exp(a)) \]
Cette droite passe par l'origine si et seulement si  $-exp(a)*a+exp(a)=0$.\\
 Il ne reste donc plus qu'\`a r\'esoudre $-\exp(a)*a+\exp(a)=0$.\\
On tape {\tt solve(-exp(a)*a+exp(a),a)} et on obtient {\tt [1]}.\\
On trouve ainsi que la tangente passe par l'origine lorsque $a=1$.
\end{itemize}

\subsection{ La d\'emonstration}
L'\'equation de la tangente au graphe de $y=f(x)$ au point $(a;f(a)$ est :
\[ y=f'(a)*(x-a)+f(a) \] 
Ici on a $f(x)=\exp(x)$, donc $f'x)=\exp(x)$.\\
La tangente au point d'abscisse $a$ a donc pour \'equation :
\[ y=\exp(a)(x-a+1) \]
cette droite passe par l'origine si et seulement si $a=1$
et cette tangente a pour \'equation $y=\exp(1)*x$.
 
















\pagebreak



\section{Sujet 8}
\suj{ \hspace{1cm} Retrouver la troisi\`eme loi de Kepler.  \\
On rappelle :\\
{\bf Premi\`ere loi de Kepler} : les plan\`etes d\'ecrivent des ellipses dont 
le soleil occupe un des foyers.\\
{\bf Deuxi\`eme loi de Kepler} : le rayon vecteur qui joint le soleil \`a la 
plan\`ete balaie des aires \'egales en des temps \'egaux.\\
{\bf Troisi\`eme loi de Kepler} : les carrés des temps mis par les plan\`etes 
\`a parcourir leur orbite (dur\'ees de r\'evolution sid\'erale) sont 
proportionnels aux cubes des grands axes de ces orbites.\\

On  prend comme unit\'e de longueur le demi-grand axe de la terre et les jours 
pour la dur\'ee. \\
On donne :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Plan\`ete&grand axe&r\'evolution sid\'erale\\
\hline
Mercure&0.78&88\\
V\'enus &1.44&225\\
Terre&2&365.25\\
Mars&3.04&687.25\\
Jupiter&10.4&4332.75\\
Saturne&19.1&10759.25\\
Uranus&38.44&30688.0\\
Neptune&60.22&60181.0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
On ouvre un tableur (voir \h{8}) 
et on lui donne comme nom {\tt P} puis
on le remplit avec ces donn\'ees : \\
sur la ligne 0 on met les titres,\\
dans la colonne A on met le nom des plan\`etes,\\
on met le grand axe {\tt ga} dans la colonne {\tt B} et,\\
la dur\'ee de la r\'evolution sid\'erale {\tt dr} dans la colonne {\tt C}.\\
On trace le nuage de points obtenus, pour cela on tape en dehors du tableur :\\
{\tt scatterplot(P[1..8,1..2])}\\
On observe que cette courbe ressemble à une fonction puissance, on met alors 
dans la colonne {\tt  D}, le logarithme de la colonne {\tt B} et
dans la colonne {\tt  E}, le logarithme de la colonne {\tt  C}. 
On trace le nuage des points d\'efinis par les colonnes {\tt  D} et {\tt E} et
on les relie entre eux par des segments, pour cela on 
tape en dehors du tableur :\\
{\tt polygonplot(P[1..8,3..4])}\\
et le dessin est presque une droite.\\
On d\'efinit les deux points extr\'emit\'es de ce graphe en tapant :\\
{\tt A:=point(op(P[1,3..4]));B:=point(op(P[8,3..4]));}\\
Puis on dessine sur un m\^eme graphique la droite (en rouge) passant par ces 
deux points extr\'emit\'es et le nuage de points obtenus reli\'es par des 
segments :\\
{\tt  D:=droite(A,B,affichage=rouge);}\\
{\tt  polygonplot(P[1..8,3..4])}\\
On demande ensuite l'\'equation de cette droite :\\
{\tt equation(D)}\\
on obtient :\\
{\tt y=(1.50185813695*x+4.85049052866)}\\
Donc on a approximativement : {\tt ln(dr)=1.5*ln(ga)+4.85}\\
On tape :\\
 {\tt dr2:=exp2pow(exp(3*ln(ga)+4.85 ))}\\
on obtient :\\
{\tt 16317.607198*ga\verb|^|3}\\
Ce qui prouve que l'on a {\tt dr\verb|^|2=16317.607198*ga\verb|^|3}.\\
Dans {\tt F0}, on met {\tt =C0\verb|^|2/B0\verb|^|3} et on remplit la colonne
{\tt F} avec cette formule : la colonne {\tt F}
est presque constante, cette constante est le coefficient de proportionnalit\'e
de la troisi\`eme loi de Kepler.\\
Pour avoir une approximation de cette constant on peut demander la moyenne de 
la colonne {\tt F} en remplisant {\tt G1} par {\tt =mean(F1:F8)} ou
en tapant dans une ligne de commande :\\
{\tt mean(P[1..8,5])} car {\tt F} est la 5-i\`eme colonne.\\
On obtient {\tt 16653.3941258}\\
On peut aussi taper :\\
{\tt 88\verb|^|2/0.78\verb|^|3=16675.9453125}\\
{\tt 225\verb|^|2/1.44\verb|^|3=16954.2100694}\\
{\tt 365.25\verb|^|2/8=16318.5488629}\\
{\tt 687.25\verb|^|2/ 3.04\verb|^|3=16811.5883079}\\
{\tt 4332.75\verb|^|2/10.4\verb|^|3=16688.8820004}\\
{\tt 10759.25\verb|^|2/19.1\verb|^|3=16613.6055852 }\\
{\tt 30688.0\verb|^|2/38.44\verb|^|3=16580.0957393}\\
{\tt 60181.0\verb|^|2/60.22\verb|^|3=16584.2771284}



















\pagebreak



\section{Sujet 10}
\suj{Un pion se d\'eplace sur l'axe des {\tt x} gradu\'e. Il part de l'abscisse 
z\'ero et avant chaque d\'eplacement on lance une pi\`ece de monnaie : si c'est
pile le pion recule d'une unit\'e, si c'est face il avance de 2 unit\'es. 
On effectue 10 tirages soit 10 d\'eplacements. \\
Quelles sont ses diff\'erentes abscisses des points d'arriv\'ee ?\\
Quelle est la probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit  
sup\'erieure stricement \`a  5 unit\'es ?}

\subsection{Avec {\tt Xcas}}
voir \h{10}
On remplit la premi\`ere ligne du tableur en mettant les diff\'erentes 
abscisses du pion pour cela :\\
dans {\tt A0} on met {\tt 0}, puis dans {\tt B0} on met :\\
{\tt when(rand(2),A0+2,A0-1)}\\
{\tt rand(2)} vaut {\tt 0} ou {\tt 1} : si {\tt rand(2)} vaut {\tt 1}, on 
ajoute {\tt 2} \`a la valeur de la colonne pr\'ec\'edente et si
{\tt rand(2)} vaut {\tt 0} on retranche {\tt 1} \`a la valeur de la colonne 
pr\'ec\'edente.
On recopie cette formule sur jusqu'\`a la colonne {\tt K}.\\
Puis cette ligne est recop\'ee jusque la ligne {\tt 32}.\\
On obtient ainsi diff\'erentes abscisses d'arriv\'ee dans la colonne {\tt K}.\\
Il faut alors remplir la colonne {\tt L1:L31} avec les valeurs allant de 
{\tt -10} \`a {\tt 20} representant \`a priori les valeurs possibles des 
abscisses d'arriv\'ee. Puis dans la colonne {\tt M} on compte combien de fois 
ces abscisses ont \'et\'e obtenues dans {\tt K0:K32} en tapant dans 
{\tt M1} :\\
{\tt count\_eq(L1,K\$0:K\$32)} (ne pas oublier \$)\\
formule que l'on recopie dans la colonne {\tt M} jusque {\tt M31}.\\
Puis on fait le diagramme en batons des colonnes {\tt L1:L31} et 
{\tt M1:M31}\\
On trace ensuite en rouge et l\'eg\`erement d\'ecal\'e le graphe th\'eorique 
correspondant.
 
\subsection{ La d\'emonstration}
Au premier d\'eplacement le pion \`a pour abscisse -1 ou 2, au deuxi\`eme 
d\'eplacement le pion \`a pour abscisse -2,1 ou 4....Si pour les 10 tirages on 
a ontenu $j$ piles et $k$ faces ($j+k=10$ ou $k=10-j$ avec $j=0..10$), le pion 
aura pour abscisse $-k+2*j=3*j-10$ avec $j=0..10$.\\
Les diff\'erentes abscisses des points d'arriv\'ee sont donc :\\
$-10,-7,-4,-1,2,5,8,11,14,17,20$.\\
La probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit \'egale \`a $3*j-1$ est
la probabilit\'e d'avoir $j$ piles pour 10 tirages de pile
ou face (probabilit\'e d'avoir pile est $p=1/2$ et probabilit\'e d'avoir face
est $q=1-p=1/2$). Cette probabilit\'e est donc :\\
{\tt binomial(10,j,1/2)=comb(10,j)*(1/2)\verb|^|10}\\
Donc la probabilit\'e pour que l'abscisse du pion soit sup\'erieure strictement
\`a  5 unit\'es est :\\
{\tt sum(binomial(10,j,1/2),j,6,10)}\\
On obtient : {\tt 193/512=0.376953125}\\
V\'erifions :\\
{\tt sum(binomial(10,j,1/2),j,0,5)}\\
On obtient : {\tt 319/512=0.623046875}\\
et on a bien {\tt 193/512+319/512=1}

















\pagebreak


\section{Sujet 12}
\suj{Soit un triangle rectangle direct $CBA$, d'hypoth\'enuse $AB$. Lieu de $C$
lorsque $A$ se d\'eplace sur le demi-axe $Ox$ et $B$ se 
d\'eplace sur le demi-axe $Oy$.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Soit un triangle rectangle direct $CBA$ d'hypoténuse $AB$=1 et d'angle $A=a$. 
On cherche le lieu de $C$ quand $A$ se déplace sur $Ox$ et $B$ sur $Oy$.

$C$ est le transformé de $B$ dans la similitude de centre $A$, de rapport 
$\cos(a)$ et 
d'angle $-a$.\\ 
 On peut choisir diff\'erents param\`etres pour faire la figure :
\begin{itemize}
\item angle $t$\\
Si $D$ est tel que $OADB$ soit un rectangle, et si $t$ est l'angle que fait 
$OD$ avec $Ox$ alors, l'abscisse de $A$ vaut $\cos(t)$ et l'ordonnée de B vaut 
$\sin(t)$.
Le lieu de $C$ sera obtenu en traçant la représentation paramétrique de 
l'affixe de $C$.
\item l'abscisse $xa$ de $A$\\
$B$ est alors le point d'affixe $i*\sqrt{1-xa^2}$. 
\end{itemize}
On choisit de prendre $t$ comme param\`etre dans la session \hr{12}{1} :\\

%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
\begin{pspicture}(-5.0722,-1.4865)(6.9278,3.1160)
\psset{unit=2.2482cm}
\psset{xunit=2.2482cm}
\psset{yunit=2.1024cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psline[linestyle=dashed]{->}(-2.2561,0.0000)(3.0815,0.0000)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-0.7071)(0.0000,1.4821)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.8253,0.5646)
\uput{0.0445}[45.0000](0.8253,0.5646){D}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.8253,0.0000)
\uput{0.0445}[45.0000](0.8253,0.0000){A}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.5646)
\uput{0.0445}[45.0000](0.0000,0.5646){B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.0000,0.0000)(0.8253,0.5646)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(0.8253,0.0000)(0.0000,0.5646)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pswedge[fillcolor=black](0.0000,0.0000){0.2000}{0.0000}{34.3775}
\uput{0.0445}[45.0000](0.2000,0.0000){t}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.3277,0.7750)
\uput{0.0445}[45.0000](0.3277,0.7750){C}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pswedge[fillcolor=black](0.8253,0.0000){0.1842}{122.7042}{145.6225}
\uput{0.0445}[45.0000](0.6442,-0.0334){a}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.825336,     0.000000)(     0.000000,     0.564642)(     0.327684,     0.775046)(     0.825336,     0.000000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     0.262147,     0.732965)(     0.361678,     0.577956)(     0.427215,     0.620037)(     0.427215,     0.620037)
\uput{0.0445}[45.0000](0.4272,0.6200){ }
\end{pspicture} 

On tape :
\begin{lstlisting}
assume(t:=[pi/3,0,pi/2]);
A:=point(cos(t));
B:=point(i*sin(t))
assume(a:=[pi/6,0,pi/2]);
C:=similitude(A,cos(a),-a,B);
plotparam(affixe(C),t);
c1:=re(affixe(C));
c2:=im(affixe(C));
k:=trigsin(simplify(c2/c1));
\end{lstlisting}
On trouve {\tt k=sin(a)/cos(a)} donc \\
$C$ se d\'eplace sur la droite $y=x/\tan(a)$ 
On cherche ensuite comment varie {\tt c1} l'abscisse de {\tt C}, on tape :\\
{\tt normal(tlin(diff(c1,t)));solve(diff(c1,t),t)}\\
Apr\`es simplification on trouve les bornes du segment lieu de {\tt C} :\\
{\tt  (sin(a)+i*cos(a))*sin(a)} et {\tt sin(a)+i*cos(a)}\\

On choisit de prendre $t$ comme param\`etre dans la session \hr{12}{2} :

\begin{lstlisting}
assume(a:=[0.282743334,0.0,1.57079632679]);
A:=element(segment(0,1));
xa:=abscisse(A);
B:=point(i*sqrt(1-xa^2));
C:=similitude(A,cos(a),-a,B);;
triangle(A,B,C);
affichage(lieu(C,A),rouge+line_width_2);
\end{lstlisting}
Il suffit ensuite de faire bouger {\tt A} entre 0 et 1 pour voir {\tt C} 
d\'ecrire le segment de couleur rouge qui est le lieu de {\tt C}. 

\subsection{ La d\'emonstration}
Les points $O,A,B,C$ sont cocycliques : ils sont sur le cercle de diam\`etre 
$AB$ car les angles $O$ et $C$ sont droits. Les angles inscrits de sommets 
$O$ et $A$ qui interceptent le m\^eme arc $BC$ sont donc \`egaux.\\
L'angle de sommet $A$ qui intercepte l'arc $BC$ vaut $a$, donc l'angle de 
sommet $O$ qui intercepte l'arc $BC$ vaut aussi $a$ : ainsi l'angle que fait 
$OC$ avec $Ox$ est de $\pi/2-a$ et $C$ se trouve donc sur la droite 
d'\'equation $y=\tan(pi/2-a)*x$.\\
Il faut maintenant trouver les positions extr\^emes de $C$ qui sont lorsque :\\
 $B$ est en $O$ et lorsque $CA$ est vertical i.e quand $t=\pi/2-a$. 

















\pagebreak




\section{Sujet 13}
\suj{Soient $ABM$ un triangle, $H$ son orthocentre et une droite $d$ passant 
par $M$. Lieu de $H$ lorsque $M$ d\'ecrit $d$.}

\subsection{La figure} 

%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
\begin{pspicture}(-4.8397,-2.2103)(7.1603,2.3865)
\psset{unit=0.2578cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psline[linestyle=dashed]{->}(-18.7705,0.0000)(27.7705,0.0000)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-8.5723)(0.0000,9.2556)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](5.0000,0.0000)
\uput{0.3878}[45.0000](5.0000,0.0000){\color{black} A}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](10.0000,0.0000)
\uput{0.3878}[45.0000](10.0000,0.0000){\color{black} B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(-4.2862,-8.5723)(4.6278,9.2556)
\uput{0.3878}[45.0000](0.0000,0.0000){\color{black} d}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](2.4000,4.8000)
\uput{0.3878}[45.0000](2.4000,4.8000){\color{black} M}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](2.4000,-4.1167)
\uput{0.3878}[45.0000](2.4000,-4.1167){\color{black} H}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     5.000000,     0.000000)(    10.000000,     0.000000)(     2.400000,     4.800000)(     5.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=blue}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(-0.4141,-8.5723)(10.8457,9.2556)
\psset{linecolor=blue}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(2.4000,-8.5723)(2.4000,9.2556)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(-1.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)
\end{pspicture} 



\subsection{ Avec {\tt Xcas}}

 Voir \h{13}.
On définit 2 points $A$ et $B$ \`a coordonn\'ees exactes et une droite $d$ 
passant par 2 points $C$ et $D$ \`a coordonn\'ees exactes : ces 4 points ont 
des coordonn\`ees particuli\`eres et seul le point M va pouvoir varier. Pour 
faire le dessin avec d'autres valeurs, il suffit de changer les coordonn\`ees 
de $A,B,C,D$ dans les niveau 1,2,3,4 et de modifier correctement les niveaux 
12 et 13 (pour cela voir la d\'emonstration ci-apr\`es). 
\begin{lstlisting}
A:=point(5,0,'affichage'=0);
B:=point(10,0,'affichage'=0);
C:=point(-4,-8,'affichage'=0):;
D:=point(4,8,'affichage'=0):;
d:=droite(C,D,'affichage'=0);
assume(t:=[-1.2,-5.0,5.0]);
M:=point(C+t*(D-C));
perpendiculaire(A,B,M),perpendiculaire(M,A,B);
H:=orthocentre(A,B,M);
//H:=inter_unique(perpendiculaire(A,B,M),perpendiculaire(M,A,B));
affichage(plotparam(affixe(H),t),rouge);
triangle(A,B,M);
\end{lstlisting}

\subsection{ La d\'emonstration}
On traite ce probl\`eme en g\'eom\'etrie analytique :\\
On suppose $A=(a,0)$, $B=(b,0)$ et $d$ d'\'equation $y=k*x$ donc
$M=(m,k*m)$.\\
Cherchons les coordonn\'ees de l'orthocentre $H=(h1,h2)$ du triangle $ABM$ :
$H$ est sur la perpendiculaire \`a $AB$ passant par $M$ d'\'equation $x=m$ et
sur la perpendiculaire \`a $MB=(b-m,-k*m)$ passant par $A$ d'\'equation 
$(b-m)(x-a)-k*m*y=0$
donc :\\
$h1=m$ et $h2=(b-m)(m-a)/(k*m)$\\
L'\'equation du lieu est donc $y=(b-x)(x-a)/(k*x)=-x/k+(b+a)/k-ab/(k *x)$\\
Ce lieu est une hyperbole d'asymptotes $x=0$ et $y=-x/k+(b+a)/k$ passe par les 
points $A$ et $B$.
On v\'erifie en tapant :\\
pour avoir le lieu en rouge :\\
{\tt affichage(plotfunc((10-m)*(m-5)/(2*m),m),rouge)}\\
pour avoir l'asymptote $y=-x/k+(b+a)/k$ en vert :\\
{\tt affichage(droite(y=-x/2+15/2),vert)}.


















\pagebreak


\section{Sujet 15}
\suj{Dans l'espace soient deux droites $OB$ et $AC$ non coplanaires. 
D\'eterminer le minimum de la distance $MN$ lorsque $M$ se d\'eplace sur $OB$ 
et $N$ se d\'eplace sur $AC$.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}

 Voir \h{15}

\begin{lstlisting}
O:=point([0,0,0]);
A:=point([3,0,0]);
B:=point([0,4,0]);
C:=point([0,0,2]);
nodisp(d1:=droite(A,C));d1;
nodisp(d2:=droite(O,B));d2;
assume(u:=[0.4,-1.0,1.0]);
assume(v:=[0.3,-1.0,1.0]);
//assume(u:=[1,-5.0,5.0]);assume(v:=[3,-5.0,5.0]);
M:=element(d1,u);
N:=element(d2,v);
P:=parallele(O,d1,d2);
Q:=perpendiculaire(d1,P);//ne marche pas
d3:=inter(P,Q,couleur=rouge);
//d3:=projection(P,d1,couleur=rouge);
nodisp(d:=perpendiculaire_commune(d1,d2));d;
K:=inter_unique(d,d1);
L:=inter_unique(d,d2);
l:=longueur2(K,L);
f:unapply(normal(longueur2(M,N)),u,v);
df:=diff(f(u,v),[u,v])
solve([13*2*u-8,16*2*v-32],[u,v])
f(4/13,1)-l
G:=point(u,v,f(u,v));
\end{lstlisting}
On obtient : {\tt diff(f(u,v),[u,v])=[13*2*u-8,16*2*v-32]}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{bac15.eps}
\end{center}

\subsection{ La d\'emonstration}
Consid\'erons la projection orthogonale $H$, de $M$ sur $AC$.
Dans le plan $MAC$ on a $MH\leq MN$.
Soient  $P$ le plan parall\`ele \`a $OB$ passant par $AC$, $d$ la projection
 orthogonale de $OB$ sur $P$ (repr\'esent\'ee en noir)
et $H_0$ la projection orthogonale de $M$ sur 
$P$.\\
On a $MH_0 \leq MH\leq MN$, mais malheureusement $H_0$ n'est pas sur $AC$.\\
Peut-on trouver un point $M$ pour que sa projection sur le plan $P$ soit sur
$AC$ ?
Il suffit pour cela de consid\'erer l'intersection $K$ de $d$ avec $AC$. $L$ 
est le projet\'e de 
$K$ sur $OB$ et $KL$ est \'egal \`a la distance $H_0M$.


















\pagebreak
\section{Sujet 21}
\suj{M\'ethode d'Euler pour $y'=a*y$ pour $a$ donn\'e.}


\subsection{ Avec {\tt Xcas}}

 Voir \h{21}

La m\'ethode d'Euler peut \^etre visualis\'ee avec la commande :\\
{\tt interactive\_plotode}.\\
On tape :\\
{\tt interactive\_plotode(2*y,[t,y])}\\
La fen\^etre {\tt DispG} s'ouvre et en cliquant dans le graphe, on peut voir la
solution de l'\'equation diff\'erentielle passant par ce point.\\ 
On peut ici, comparer la m\`ethode d'Euler qui donne {\tt ya} solution
approch\'ee de $y'=a*y,\ y(t0)=y0$ pour $a$ donn\'e avec sa solution exacte qui
est :\\
{\tt y(t)=k*exp(a*t)} avec {\tt k=y0*exp(-a*t0)}.\\
Soit {\tt y(t)=y0*exp(a*(t-t0))}.\\
La solution approch\'ee {\tt ya} de $y'=a*y, y(t0)=y0$ sur $[t0,t1]$
depend du nombre {\tt n} de points interm\'ediaires que l'on choisit pour aller
de {\tt t0} \`a {\tt t1}.\\
{\tt ya(t1,f,t0,y0,n)} renvoie les points d'affixe la valeur approch\'ee de :\\
{\tt y(t0),y(t0+p)...y(t0+n*p)=y(t1)} pour {\tt p=(t1-t0)/n}
et {\tt y} solution de $y'=f(t,y),\ y(t0)=y0$ 
avec un d\'ecoupage de $[t0;t1]$ en
{\tt n} intervalles \'egaux de longueur {\tt p}.
 
On tape  :
\begin{lstlisting}
a:=2;
f(t,y):=a*y;
ya(t1,f,t0,y0,n):={
local k,L,p,t,y;
L:=point(t0+i*y0);
t:=t0;
y:=y0;
p:=(t1-t0)/n;
for (k:=1;k<=n;k++) {
y:=y+p*f(t,y);
t:=t+p;
L:=L,point(t+i*y);
}
return L;
};
\end{lstlisting}
Puis, on trace sur un m\^eme graphique, la solution exacte en rouge et les 
points obtenus avec la méthode d'Euler en vert on tape : 
\begin{lstlisting}
affichage(plotfunc(exp(2*(t)),t=0..2),rouge);
affichage(ya(2,f,0,1,50),vert+point_width_2);
plotfield(2*y,[t,y])
\end{lstlisting}
en changeant le nombre $n$ de points 50 en 10 ou en 100 on verra comment 
évoluent les points verts.\\
On trace aussi le champs des tangentes.




\pagebreak

\section{Sujet 25}
\suj{On consid\`ere la suite $u$ d\'efinie pour tout entier $n$, $n\geq 1$ par :
$$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k(k-1)$$}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Voir \h{25} et les commentaires de la session.







\pagebreak


\section{Sujet 26}
\suj{Soient trois points non align\'es $A,B,C$ et un r\'eel $k$ de 
l'intervalle $[-1;1]$. D\'eterminer le lieu du barycentre $G_k$  du
syst\`eme de points  pond\'er\'es :
$$\{(A,k^2+1);(B,k);(C,-k)\}$$
 lorsque $k$ d\'ecrit l'intervalle $[-1;1]$.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Voir \h{26}

On a :
\[
\overrightarrow{OG}=(k^2+1)*\overrightarrow{OA}+k*\overrightarrow{OB}-k*\overrightarrow{OC})/(k^2+1))=f(k)+i*g(k) \]
On cr\'ee une figure 2d exacte (attention il est important de
cr\'eer la figure en mode exact).
On clique pour d\'efinir  3 points $A,B,C$, 
puis on dessine la courbe d\'efinie par \'equation
param\'etrique en tapant (une ligne par niveau)~:
\begin{lstlisting}
assume(k=[-0.5,-1,1]);
g:=normal((k^2+1)*affixe(A)+k*affixe(B)-k*affixe(C))/(k^2+1));
G:=point(g);
plotparam(g,k);
G1:=point(subst(g,k=1));
G_1:=point(subst(g,k=-1));
\end{lstlisting}
Pour montrer que AG est parall\`ele \`a BC, on calcule~:
\begin{center}
{\tt normal((g-affixe(A))/(affixe(C)-affixe(B)))}
\end{center}
et on voit qu'il s'agit du r\'eel~:
\[ -\frac{k}{k^2+1} \]






\pagebreak




\section{Sujet 27}
\suj{Soit un triangle isoc\`ele $ABC$ de sommet $A$ et de perim\`etre fix\'e.
Trouver le ou les triangle(s) $ABC$ d'aire maximum.}


\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
Voir \h{27}

\begin{lstlisting}
assume(t:=[2,0.0,5.0]);
B:=point(-t,affichage=quadrant4);
C:=point(t,affichage=quadrant4);
assume(p:=[3,0,10]);
A:=inter_unique(cercle(C,p-t),demi_droite(0,i));
S:=normal(aire(triangle(A,B,C)));
G:=plotfunc(S,t);
M:=point(t+i*S);
s2:=factor(diff(S^2,t));
sol:=solve(s2,t);
SM2:=normal(subst(S^2,t,p/3));
SM:=normal(sqrt(SM2));
triangle(-p/3,p/3,i*p*sqrt(3)/3,couleur=rouge+line_width_3);
\end{lstlisting}
On obtient l'aire {\tt S=t*sqrt(p\verb|^|2+(-2*p)*t)}
de maximum {\tt SM=sqrt(3)/9*p\verb|^|2}.

\subsection{La d\'emonstration}
L'aire $S$ d'un triangle de cot\'e $a,b,c$ et de demi-p\'erim\`etre $p$ est :\\
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\\
ici le triangle $ABC$ est isoc\`ele donc $b=c$ et $p=b+a/2$ ou encore 
$p-b=p-c=a/2$.\\
On a donc :\\
$S^2=pa^2(p-a)/4$.\\
Le probl\`eme revient donc \`a choisir $a$ pour que $S$ ou $S^2$ soit maximum, 
c'est \`a dire de trouver le maximum de la fonction {\tt f(a):= p*a\verb|^|2*(p-a)/4}.\\
On tape :
{\tt factor(diff(f(a),a))}\\
On obtient :
{\tt (a*p*(2*p-3*a))/4}\\
On tape :
{\tt solve((a*p*(2*p-3*a))/4,a)}\\
On obtient :\\
{\tt [(2*p)/3,0]} \\
On en d\'eduit que $S$ est maximum quand $a=2p/3$ donc quand 
$b=c==p-a/2=a=2p/3$
c'est \`a dire quand le triangle $ABC$ est \'equilat\'eral.

\pagebreak


\section{Sujet 29}
\suj{Pour tout entier $n$, on d\'efinit $a$ et $b$ en posant :
$$a(n)=4n+1 \mbox{ et } b(n)=5n+3$$
Trouver selon $n$  le PGCD($a(n),b(n)$)}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}} 
Voir \h{29}

Tout d'abord avec {\tt Xcas} quelque soit $n$ :\\
\begin{lstlisting}
gcd(4*n+1,5*n+3)=1
\end{lstlisting}
car {\tt Xcas} calcule le pgcd de 2 polyn\^omes.\\
On tape pour avoir une id\'ee de la r\'eponse :
\begin{lstlisting}
f(n):=gcd(4*n+1,5*n+3);
f(n)$(n=0..25);
\end{lstlisting}
On obtient :
{\tt (1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1,7,1,1,1,1,1,1)}\\
Ce qui veut dire que l'on peut penser que $a=4n+1 \mbox{ et } b=5n+3$ sont 
premiers entre eux si $n \neq 5+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et vaut 7 si  
$n= 5+7k$ avec $k\in \mathbb N$.\\
Ou on utilise le tableur (avec 100 lignes, si on veut, mais est-ce 
bien utile ?)

\subsection{La d\'emonstration avec l'aide de {\tt Xcas}}
Pour avoir une id\'ee de la d\'emonstration on utilise la fonction {\tt egcd} 
de {\tt Xcas} qui renvoie les coefficients de l'identit\'e de B\'ezout 
pour des polyn\^omes.\\
On tape :
\begin{lstlisting}
egcd(4*n+1,5*n+3,n);
\end{lstlisting}
On obtient :
{\tt [5,-4,-7]}\\
Ce qui veut dire que 
\[ 5(4n+1)-4(5n+3)=-7 \] 
donc que le PGCD($4n+1,5n+3$) divise 7 c'est \`a dire vaut 1 ou 7.

Le PGCD($4n+1,5n+3$)=7 si et seulement si $4n+1$ est un multiple de 7,
 donc si il existe  $k\in \mathbb N$ tel que~:
\begin{center}
$4n+1=7k$ ou encore si $4n+1=0\%7$ donc $4n=-1 \% 7$
donc $n$=-inv(4\% 7).
\end{center}
On obtient {\tt [-2 \% 7]}
donc le PGCD de $4n+1$ et $5n+3$ vaut 7
si  $n=-2+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et 1 sinon.

\subsection{La d\'emonstration sans Xcas}
On cherche une combinaison lin\'eaire entre $5n+3$ et $4n+1$ qui \'elimine 
$n$. \\
On a :\\
 $4(5n+3)-5(4n+1)=7$\\
Donc le PGCD($4n+1,5n+3$) divise 7 c'est \`a dire vaut 1 ou 7.\\
Le PGCD($4n+1,5n+3$)=7 si et seulement si $4n+1$ est un multiple de 7.\\
Il faut donc trouver $n$ pour avoir $4n+1=7k$. Il faut pour cela trouver 
l'inverse de 4 dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$.\\
On a : $2*4=8=1\%7$ donc \\
$4n=-1 \bmod 7$ est \'equvalent \`a $n=-2 \bmod 7$\\
Donc on trouve que  le PGCD($4n+1,5n+3$)=7
si  $n=-2+7k$ avec $k\in \mathbb N$ et que le 
PGCD($4n+1,5n+3$)=1 si $n\neq -2+7k$ avec $k\in \mathbb N$.\\

\pagebreak

\section{Sujet 30}
\suj{Dans le plan, soient un triangle  $OAB$ rectangle en $O$ et une droite 
$d$ passant par $O$. On note $A_1$ et $B_1$ les projet\'es orthogonaux respectifs
de $A$ et $B$ sur $d$. \\
\'Etude des cercles de diam\`etre $A_1B_1$ lorsque $d$ 
tourne autour de $O$.}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}} 

Voir \h{30}

\begin{lstlisting}
A:=point(3);
B:=point(i*4);
m:=element(0..pi,pi/3);
d:=droite(y*cos(m)-x*sin(m)=0);
A1:=projection(d,A);
B1:=projection(d,B);
C:=cercle(A1,B1);
C1:=cercle(0,A);
C2:=cercle(0,B);
I:=inter(C1,C2)[0]
\end{lstlisting}
Le cercle $C$ passe par le point $I$ d'intersection 
de $C1$ et $C2$ autre que $O$.

\subsection{ La d\'emonstration}

$A1$ et $B1$ sont de part et d'autre de $O$ si $\pi/2<m<\pi$ et du m\^eme 
c\^ot\'e de $O$ si $pi/2>m>0$.\\
En effet, on a les \'egalit\'es d'angles :\\
$(BO,BI)=(B_1O,B_1I)$ car cet angle intercepte l'arc $OI$ de $C2$ et\\
$(AO,AI)+(A_1I,A_1O)=\pi$ car cet angle intercepte l'arc $OI$ de $C1$.
$(A_1I,A_1B_1)=(AI,AO)$\\
$(AI,AO)+(BI,BO)=\pi/2$\\
$(A_1I,A_1B_1)+(B_1O,B_1I)=\pi/2$\\
donc $A_1I$ est perpendiculaire \`a $B_1I$ donc les cercles de
diam\`etre $A_1B_1$
passent par $I$.

\pagebreak

\section{Sujet 33}
\suj{Dans l'espace, on donne un t\'etra\`edre r\'egulier $OABC$ et $I$ le milieu de 
$AB$.\\
Soit $M$ un point quelconque de $AC$. Le plan passant par $I$ et orthogonal 
\`a $IM$ coupe $OB$ en $N$. Comment minimiser $MN$ ?}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{bac33}
\end{center}

\subsection{Avec {\tt Xcas}}
Voir \h{33}

\begin{lstlisting}
T:=pyramide([0,0,0],[2,0,0],[0,1,0]);
coordonnees(sommets(T));
A:=point([0,0,0]);
B:=point([2,0,0]);
C:=point([1,sqrt(3),0]);
O:=point([1,sqrt(3)/3,2/3*sqrt(6)]);
I:=milieu(A,B);
assume(t=[0.8,0.0,1.0]);
M:=element(segment(A,C),t);
P:=orthogonal(I,droite(I,M));
N:=inter_unique(droite(O,B),P);
L:=normal(longueur2(M,N));
//M=t*A+(1-t)*C soit M-A=(1-t)*(C-A)
dL:=normal(diff(L,t));
fsolve(numer(dL),t);
subst(L,t,1/2)
\end{lstlisting}
puis {\tt plotfunc(longueur2(M,N),t)};

\subsection{ La d\'emonstration}

Pour r\'esoudre ce probl\`eme, on veut utiliser diff\'erentes m\'ethodes.\\
\begin {enumerate}
\item On utilise les \'equations des droites et du plan, pour avoir les 
coordonn\'es de $M$ et de $N$.\\
On choisit {\tt M:=m+i*m*sqrt(3)} (si {\tt M:=element(segment(A,C),t);} on a
{\tt m=t})\\
Donc le vecteur $IM$ a pour coordonn\'ees $[m-1,m*\sqrt 3,0]$.\\
Le plan $P$ a donc pour \'equation :\\
$(m-1)*(x-1)+m*\sqrt 3*y=0$\\ et la droite $OB$ a pour \'equation :\\
$x=2-u$,\\
$y=u/\sqrt 3$,\\
$z=2*u*\sqrt 6/3$\\ donc, \\
$N$ est un point de $OB$ avec $u=1-m$ i.e. a pour coordonn\'ees :\\
$[m+1,(1-m)/\sqrt 3,2*(1-m)*\sqrt 6/3]$ soit :\\
$MN^2=1+((1-4*m)*\sqrt 3/3)^2+8/3*(1-m)^2=8*m^2-8*m+4$.\\
Dans {\tt Xcas} on v\'erifie en tapant : 
\begin{lstlisting}
equation(P);
normal(coordonnees(N));
\end{lstlisting}
On obtient comme \'equation de $P$ :\\
{\tt -t*x-sqrt(3)*t*y+t-(-(sqrt(3)))*y=0}\\
On obtient comme coordonn\'ees de $N$ :\\
{\tt [-t+2,sqrt(3)/3*t,6*sqrt(6)/9*t]}\\
On a comme coordonn\'ees de $M$ : \\
{\tt [1-t,(1-t)*sqrt(3),0]} \\
donc,\\
$MN^2=(1-t-(-t+2))^2+(\sqrt 3/3*t-(1-t)*\sqrt 3)^2+(6*\sqrt
6/9*t)^2=8*t^2-8*t+4$.\\
Le minimum est atteint pour $t=1/2$ donc pour $m=1/2$.
\item On calcule $MN^2$ gr\^ace \`a des consid\'erations
  g\'eom\'etriques.\\
 On choisit {\tt M:=m+i*m*sqrt(3)} ($m=1-t$)\\
Soit $K$ la projection de $N$ sur $ABC$. $K$ se trouve sur la bissectrice 
int\'erieure de l'angle $B$. L'angle que fait $OB$ avec le plan 
$ABC$ a pour tangente $\sqrt 2$ puisque la hauteur $h$ d'un t\'etra\`edre 
r\'egulier de cot\'e $a$ vaut  $h=a*\sqrt 6/3$. Le sommet $O$ se projette sur 
$ABC$ en le centre de gravit\'e $G$ du triangle $ABC$ et $GB=a*\sqrt 3/3$.
On a donc $h/GB=a*\sqrt 6/3/(a*\sqrt 3/3)=\sqrt 2$.\\
On a donc $NK=BK*\sqrt 2$.\\
Les triangles $CMI$ et $BKI$ sont semblables de rapport $CI/BI=\sqrt 3$ (ils 
ont chacun un angle de 30 degr\'es et leurs angles $I$ sont \'egaux car ils ont
des cot\'es perpendiculaires), donc :
$BK=MC/\sqrt 3=(2-2*m)/\sqrt 3$ et $IK=MI/\sqrt 3$.
Donc
\begin{eqnarray*}
 MN^2 &=&MK^2+KN^2=MI^2+IK^2+KN^2=MI^2*(4/3)+2*BK^2
\\
&=& (4*m^2-2*m+1)*4/3+2*(2-2*m)^2/3=8*m^2-8*m+4
\end{eqnarray*}
dont le minimum est bien atteint pour $m=1/2$ donc
pour $t=1/2$.
\item sans faire le calcul de $MN^2$ en fonction de $m$.\\
On veut minimiser :\\
$MN^2=MI^2*(4/3)+2*BK^2=(4/3)*MI^2+(2/3)*MC^2$.\\
Soit $Q$ la projection de $M$ sur $CI$. \\
On a :\\
$MI^2=MQ^2+QI^2$, $MC^2=MQ^2+QC^2$ et $MQ=QC/\sqrt 3$\\
donc $MN^2=2*MQ^2+(4/3)*QI^2+(2/3)*QC^2=(4/3)*(QI^2+QC^2)$\\
Il faut donc minimiser $(QI^2+QC^2)$. Soit $J$ le milieu de $IC$ (i.e.
$\overline{JC}=-\overline{JI})$. \\
On a :\\
$(QI^2+QC^2)=(\overline{QJ}+\overline{JI})^2+(\overline{QJ}-\overline{JI})^2=2(QJ^2+JI^2)$
donc le minimum de $(QI^2+QC^2)$ est obtenu lorsque $Q$ est en $J$, c'est \`a 
dire lorsque $M$ est le milieu de $AC$.
\end{enumerate}














\pagebreak



\section{Sujet 43}
\suj{Dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e, on consid\`ere :
$$C=\{M(x,y)\ x\geq0,\ y\geq 0,\ \sqrt x +\sqrt y=1\}$$
$C$ est-il un quart de cercle ?}

\subsection{Avec {\tt Xcas}}

Voir \h{43}

\begin{lstlisting}
plotinequation([x>0,y>0,sqrt(x)+sqrt(y)<1],
               [x=0..1,y=0..1],xstep=0.1,ystep=0.1);
plot((1-sqrt(x))^2,x=0..1);
plotimplicit(sqrt(x)+sqrt(y)-1,
             [x=0..1,y=0..1],xstep=0.05,ystep=0.05);
plot((1-sqrt(x))^2,x=0..1);cercle(1+i,1,affichage=rouge);
\end{lstlisting}


\subsection{ La d\'emonstration}
On multiplie par le conjugu\'e, ce qui donne
\[ y-x+1-2*sqrt(y) =0 \]
On remultiplie par le conjugu\'e, on obtient
\[ x^2-2*x*y+y^2-2*y+1-2*x \]
Il reste un terme en $x y$, donc ce ne peut pas
\^etre une \'equation de cercle.












\pagebreak






\section{Sujet 44}
\suj{Trouver la somme des cubes des $n$ premiers entiers.} 




\subsection{ Avec {\tt Xcas}}
On utilise  le tableur : voir \h{44}

\subsection{ La d\'emonstration}

On sait que la somme $S_1$ des $n$ premiers entiers vaut :\\
$S_1=1+2+...n=n(n+1)/2$\\
Cherchons la somme $S_2$ des carr\'es des $n$ premiers entiers.\\
On a :\\
$(1+n)^3=n^3+3n^2+3n+1$\\
$n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1$\\
......\\
$3^3=2^3+3*2^2+3*2+1$\\
$2^3=1^3+3*1^2+3*1+1$\\
En ajoutant membre \`a membre, on en d\'eduit que :\\
$(1+n)^3=1^3+3(n^2+(n-1)^2+...2^2+1^2)+3(n+(n-1)+...2+1+n$\\
$(n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=3S_2$
Donc la somme des carr\'es des $n$ premiers entiers vaut :
$S_2=(n^3+3n^2+3n-3n^2/2-5n/2)/3=(2n^3+3n^2+n)/6=n*(n+1)*(2*n+1)/6$\\
Pour calculer la somme des cubes des $n$ premiers entiers
on fait la m\^eme chose avec $(1+n)^4$ :
 $(1+n)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1$
......\\
$2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1$\\
donc
 $(1+n)^4=1^4+4*S_3+6*S_2+4*S_1+n$
donc $4*S_3=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n-(2n^3+3n^2+n)-2n(n+1)-n=n^4+2*n^3+n^2$
donc $S_3=n^2*(n+1)^2/4$


















\pagebreak


\section{Sujet 47}
\suj{Soit un triangle $ABC$ existe-t-il une droite perpendiculaire \`a $BC$ 
qui partage $ABC$ en deux polyg\^ones de m\^eme aire ?}

\subsection{ Avec {\tt Xcas}}

Voir session \h{47}
\subsection{ La d\'emonstration}

Si $AC=AB$ c'est facile car la hauteur issue de $A$ coupe le triangle isoc\'ele
$ABC$ en deux triangles ayant la m\^eme aire.\\

%file /home/degraeve/casdoc/session.tex
% Generated by xcas
\noindent
\begin{pspicture}(-3.4000,-6.3)(9.6000,5.)
\psset{unit=1.0760cm}
\psset{xunit=1.0760cm}
\psset{yunit=0.9043cm}
\psset{linewidth=.5pt}
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psset{linecolor=black}
\psline[linestyle=dashed]{->}(-2.2305,0.0000)(8.9223,0.0000)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-5.0000)(0.0000,5.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](6.0600,4.0000)
\uput{0.0929}[45.0000](6.0600,4.0000){\color{black} A}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\uput{0.0929}[225.0000](0.0000,0.0000){\color{black} B}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](2.0000,0.0000)
\uput{0.0929}[315.0000](2.0000,0.0000){\color{black} C}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](6.0600,0.0000)
\uput{0.0929}[45.0000](6.0600,0.0000){\color{black} H}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](3.8500,0.0000)
\uput{0.0929}[45.0000](3.8500,0.0000){\color{black} M}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline(3.8500,-5.0000)(3.8500,5.0000)
\uput{0.0929}[45.0000](3.8500,1.0000){\color{black} d}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](3.8500,2.5413)
\uput{0.0929}[45.0000](3.8500,2.5413){\color{black} K}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](3.8500,1.8227)
\uput{0.0929}[45.0000](3.8500,1.8227){\color{black} L}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psline[fillcolor=black](     6.060000,     4.000000)(     0.000000,     0.000000)(     2.000000,     0.000000)(     6.060000,     4.000000)
\psset{linecolor=red}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red](     0.000000,     0.000000)(     2.000000,     0.000000)(     3.850000,     1.822660)(     3.850000,     2.541254)(     0.000000,     0.000000)
\psset{linecolor=green}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\uput{0.0929}[45.0000](-3.0000,4.0000){\color{green}  S-2*aire rouge=-2.41}
\psset{linecolor=blue}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](2.5526,0.0000)
\uput{0.0929}[45.0000](2.5526,0.0000){\color{blue} M0}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\psdots[dotstyle=*](2.5526,0.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.0000pt}
\pswedge[fillcolor=black](6.0600,-2.0150){4.0450}{90.0000}{270.0000}
\end{pspicture} 

Supposons que $AB>AC$ et soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
$H$ peut se trouver entre $B$ et $C$ ou \`a l'ext\'erieur de $BC$ et du 
c\^ot\'e de $C$. \\
On pose :\\
$BC=a$, $BH=d$ et $AH=h$\\
L'aire du triangle $ABC$ est donc : $a*h/2$

On cherche le point $M$ de la droite $BC$ pour que la droite 
perpendiculaire \`a $BC$ en $M$ partage $ABC$ en deux polyg\^ones de m\^eme 
aire coupe $BC$ en $M$. \\
Soit  $K$ le point d'intersection de la  perpendiculaire en $M$ \`a $BC$ 
avec $AB$.
On a, car les triangles $ABH$ et $KMB$ sont homoth\'etiques :\\
$BM=x$, $MK=k=h*x/d$ 
On va consid\'erer trois cas :
\begin{itemize}
\item supposons que $M$ est en $C$\\
L'aire du triangle $KBC$ est donc : $a*k/2$
Ce cas se produit si $a*k=a*h*x/d=a*h/2$ c'est \`a dire si $BC=BM=x=d/2=BH/2$ 
Donc si $BC=BH/2$, $M$ est en $C$
\item supposons que $M$ est un point entre $B$ et $C$ i.e. $x<a$.\\
L'aire du triangle $KBM$ est donc $x*k/2$ et on a $a*k>x*k=a*h/2$
Ce cas peut se produire si $k=h*x/d>h/2$ c'est \`a dire si $BC>BM=x>BH/2$ et 
alors on a :\\
$x*k=x*h*x/d=a*h/2$ c'est \`a dire  $x^2=a*d/2$. 
Donc si $BC>BH/2$, $M$ est entre $B$ et $C$ et si on a :\\
$BM^2=x^2=a*d/2$ alors l'aire du triangle $BMK$ est la moiti\'e de l'aire du 
triangle $BCA$.
\item supposons que $M$ est un point entre $C$ et $H$. Ce cas peut se produire
si $BC<BH/2$.\\
La  perpendiculaire en $M$ \`a $BC$ coupe $AB$ en $K$ et $AC$ en $L$.\\
On a :
$MK=k=h*x/d$ et $ML=l=h*(x-a)/(d-a)$ 
L'aire du quadrilat\`ere $KBCL$ est donc : \\
$x*k/2-(x-a)*l/2=(x^2*h/d-(x-a)^2*h/(d-a))/2=$\\
$h*(x^2*(d-a)-(x-a)^2*d)/(2*d*(d-a))$ 
En d\'eveloppant :\\
$x^2*(d-a)-(x-a)^2*d=-x^2*a+2*x*a*d-a^2*d=-a*(x-d)^2+d*a(d-a)$ \\
on trouve :\\
l'aire du quadrilat\`ere $KBCL$ est $-h*a*(x-d)^2/(2*d*(d-a))+h*a/2$
$M$ r\'epond \`a la question si $-h*a*(x-d)^2/(2*d*(d-a))+h*a/2=a*h/4$\\
ou encore si :\\
$-(d-x)^2+d*(d-a)/2=0$
ou encore :\\
$(d-x)^2=d*(d-a)/2$
\end{itemize}

\subsection{ Construction g\'eom\'etrique de $M$}
\begin{itemize}
\item Si $BC \geq BH/2$, on d\'etermine $M$ pour que :\\
$BM^2=BH*BC/2$.\\
On trace la  perpendiculaire en $B$ \`a $BC$  et on reporte sur cette
perpendiculaire de part et d'autre 
de $B$ les longueurs $BC/2$ et $BH$ :\\
$BE=BC/2$ et $BF=BH$\\
Le cercle de diam\`etre $EF$ coupe $BC$ en $M$. Comme le triangle $MEF$ est 
rectangle en $M$, on a pour hauteur $BM$ on a :\\
$BM^2=BF*BE=BH*BC/2$.\\
La perpendiculaire en $M$ \`a $BC$ coupe alors le triangle $ABC$ en deux 
polyg\^ones de m\^eme aire puisque :\\
le double de l'aire de $BMK$ vaut l'aire de $BCA$ puisque :\\
$k*x=x^2*h/d=BK*BM/2=AH*BM^2/BH=AH*BH*BC/(2*BH)=AH*BC/2$
\item Si $BC \geq BH/2$, on d\'etermine $M$ pour que :\\
$HM^2=CH*BH/2$.\\
On trace la  perpendiculaire en $H$ \`a $BC$  et on reporte sur cette
perpendiculaire de part et d'autre 
de $H$ les longueurs $BH/2$ et $CH$ :\\
$BE=BC/2$ et $BF=BH$\\
Le cercle de diam\`etre $EF$ coupe $BC$ en $M$. Comme le triangle $MEF$ est 
rectangle en $M$, on a pour hauteur $HM$ on a :\\
$(d-x)^2=HM^2=BF*BE=BH*CH/2=d*(d-a)/2$.\\
La perpendiculaire en $M$ \`a $BC$ coupe alors le triangle $ABC$ en deux 
polyg\^ones de m\^eme aire puisque :\\
le double de l'aire du quadrilat\`ere $KBCL$ est alors \'egal \`a :
$-h*a*(x-d)^2/(d*(d-a))+h*a=-h*a*d*(d-a)/(2*d*(d-a))+h*a=h*a/2$
Donc $M$ r\'epond bien \`a la question.
\end{itemize}

\end{document}