E8 et le polytope de Gosset
Cette image représente le polytope de Gosset, un polytope
à 240 sommets dans un espace de dimension 8. Il est
ici projeté sur un plan.
Ce polytope décrit le système de racines E8. Il encode
à ce titre le plus gros des groupes de Lie exceptionnels, qui
a récemment suscité un bref intérêt médiatique : voir
ici pour plus de détails
(et l'origine de l'image ci-dessus), et
ici, en français.
Pour ma part, j'ai montré que E8
pouvait se construire à partir de huit copies de SL2
agencées d'une certaine manière. Cet agencement est décrit
à partir d'une structure très simple, celle du
plan de Fano:
Géométriquement, ce dessin représente simplement 7 points et
7 droites (si l'on veut bien accepter d'appeler "droite" le cercle
central); deux droites se coupent toujours en un unique point,
et par deux points passe une unique droite. C'est une géométrie
projective, en deux dimensions.
Algébriquement, il faut y voir la table de multiplication de
l'algèbre des octaves de Cayley (aussi appelés
octonions,
et découverts par le génial Arthur Cayley vers 1845).
Bref : E8 est caché dans ce petit dessin !
(Pour plus de
détails, voir le bel
exposé de John Baez sur les octaves; et pourquoi pas mon article
Configurations of lines and models of Lie algebras,
Journal of Algebra 304 (2006), 457-486.)