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Functional equations and special functions:
      From combinatorics to model theory

This is the webpage of the final conference of the french ANR project QDIFF to be held in Grenoble (Institut Fourier, Université Grenoble 1) from 16 to 19 february 2015. This meeting will be devoted to functional equations and special functions. Some key-words: differential/difference equations, differential/difference algebra, combinatorics, model theory, number theory, special functions theory.

If you plan to attend to this conference, send an email to one of the members of the ANR project QDIFF and to the local organizer Julien Roques.

This conference will be sponsored by the french ANR projects QDIFF and Iso-Galois and by the Institut Fourier.

All talks will be given in Room 4, on the ground floor of the Institut Fourier.

Practical informations

How to come at the Institut Fourier

In order to reach the Institut Fourier from the train station, take the tramline B (the green one), direction "Gières, Plaine des sports", stop at "Bibliothèques Universitaires" and take look to the map of the campus. You can buy tram tickets from vending machines at each tram stop. You must punch your ticket before getting onto the tram. Punching machines are located at tram stops. For more directions to the Institut Fourier, click here.

Some hotels

The following hotels are close to the train station and the tramline B:

- Hôtel des Alpes

- Hôtel Institut

The following hotel is closer to the Institut Fourier:

- Hôtel IBIS

Public transport

Take a look to the website of the Transports de l'Agglomération Grenobloise.

Abstracts

B. Adamczewski - A problem about Mahler functions.

Let K be a field of characteristic zero and let k and l be two multiplicatively independent positive integers. In the Eighties, Loxton and van der Poorten conjectures the following result: a power series F(x) in K[[x]] satisfies both a k- and l-Mahler type functional equation if and only if it is a rational function. I will discuss a joint work with Jason Bell in which we prove the conjecture.

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M. Bousquet-Mélou - The Potts model on planar maps.

This is a joint work with Olivier Bernardi, Orsay/MIT. Let q be an integer. We address the enumeration of q-colored planar maps (planar graphs embedded in the sphere), counted by the total number of edges and the number of monochromatic edges (those that have the same colour at both ends). In physics terms, we are averaging the partition function of the Potts model over all maps of a given size. We prove that the associated generating function is algebraic when q is of the form 2 + 2 cos(j π/m), for integers j and m (but distinct from 0 and 4). This includes the two integer values q = 2 and q = 3, for which we give explicit algebraic equations. For a generic value of q, we prove that the generating function satisfies an explicit system of differential equations. Both results hold as well for planar triangulations, with a strikingly similar system of differential equations. The starting point of our approach is a recursive construction of q-coloured maps, in the spirit of what W. Tutte did in the seventies and eighties for properly coloured triangulations. This model has also been addressed by other authors and other methods (Bonnet & Eynard in 1999, and very recently Guionnet, Jones, Shlyakhtenko & Zinn-Justin), but our results are more explicit.

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G. Christol - Diagonales : des calculs récents autour d'une vieille conjecture.

La vieille conjecture concerne les séries de Z[[x]] qui sont D-finies. Après avoir rappelé les théorèmes qui la justifie partiellement, je ferai le point sur ce qu'ont apporté les calculs faits récemment pour tester sa validité.

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E. Delaygue - Indépendance algébrique de G-fonctions et congruences "à la Lucas".

Les coefficients de Taylor de nombreuses G-fonctions vérifient des congruences "à la Lucas". Je décrirai une nouvelle approche utilisant ces congruences pour démontrer l'indépendance algébrique de G-fonctions sans utiliser la théorie de Galois différentielle. Ce travail est en commun avec B. Adamczewski et J. Bell.

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T. Dreyfus - Confluence of the local analytic classification of q-difference equations.

Ramis, Sauloy and Zhang have made the local analytic classification of the q-difference equations. Similarly to the differential case, a fundamental basis of meromorphic solution is involved in this classification. The goal of this talk is to prove that under some convenient assumptions, their solutions converges, when q goes to 1, to a fundamental basis of meromorphic solution of a linear differential equation.

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F. Jouhet - Relations de dualité pour les séries hypergéométriques basiques

Depuis les premières considérations dues à Gauss dans ce domaine, les fonctions hypergéométriques généralisées (à 2n paramètres) peuvent être construites comme solutions de l'équation différentielle hypergéométrique, qui est une équation Fuchsienne d'ordre n avec singularités en 0, 1 et l'infini. En me focalisant sur le cas n=2, je rappellerai comment les séries hypergéométriques basiques (ou q-séries) sont construites de façon analogue comme solutions d'équations aux q-différences. A chaque équation, on peut associer un Delta-module (ou module aux q-différences), et s'intéresser au dual. La structure particulière de ces équations permet de relier explicitement les solutions et leurs duales, fournissant ainsi des formules très générales, certaines découvertes par Bailey, Sears, ou Shukla dans les 1950, les autres semblant nouvelles. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Frits Beukers.

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J. Lovejoy - Noeuds toriques et formes modulaires quantiques.

Je présenterai un travail en commun avec Kazuhiro Hikami à� Kyushu, dans lequel on calcule les coefficients cyclotomiques du polynôme de Jones colorié du noeud torique (2,2t+1). Cela nous permet de définir une famille de formes modulaires quantiques qui sont duales aux fonctions de Kontsevich-Zagier généralisées. Le cas t=1 de cette dualité est un résultat récent de Bryson, Pitman, Rhoades et Ono.

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B. Malgrange - Sur le problème d'équivalence de Cartan.

Dans un article classique, E.Cartan donne une méthode pour décider de l'équivalence locale des structures différentielles. Dans cet article, il affirme sans démonstration que son procédé s'arrête, et, plus précisément, que le système différentiel extérieur qu'il considère devient involutif au bout d'un certain temps. Un certain nombre d'exemples ont été calculés, et ce résultat est vérifié dans ces exemples, mais il n'existait toujours aucune démonstration générale. Le but de cet exposé est de combler cette lacune et de donner une borne (et même une borne"uniforme") pour cette involutivité.

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A. Ovchinnikov - New effective differential Nullstellensatz.

We will discuss new upper and lower bounds for the effective differential Nullstellensatz for differential fields of characteristic zero with several commuting derivations. Seidenberg was the first to address this problem in 1956, without giving a complete solution. The first explicit bounds appeared in 2009 in a paper by Golubitsky, Kondratieva, Szanto, and Ovchinnikov, with the upper bound expressed in terms of the Ackermann function. In the case of one derivation, the first bound is due to Grigoriev (1989). D'Alfonso, Jeronimo, and Solerno, using novel ideas, obtained in 2014 a new bound if restricted to the case of one derivation and constant coefficients. We do not impose these restrictions, extend this approach, and use the new methods of Freitag and Leon Sanchez and of Pierce from 2014, which represent a model-theoretic approach to differential algebraic geometry.

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F. Pellarin - Autour de la conjecture de Schanuel en caractéristique non nulle.

La conjecture de Schanuel possède plusieurs variantes, concernant l'exponentielle classique et l'invariant modulaire notamment. Dans cet exposé, nous présentons encore une variante de cette conjecture, cette fois-ci pour la fonction exponentielle de Carlitz. Apparemment, cela fait une variante de plus dans une liste assez longue. Cependant, la nature de la variante est ici assez différente. Nous expliquerons comment cette conjecture pourrait être liée aux possibles relations entre périodes de ``$t$-motifs mixtes" � la Tate, tels qu'ils apparaissent dans les travaux récents de Papanikolas, Chang et Yu. La raison vient du fait que la fonction exponentielle de Carlitz s'étend aux algèbres de Tate (elle devient un peu comme la transformée de Mellin) et devient, dans ce cadre, un outil pour résoudre une classe d'équations linéaires aux différences qui interpolent les périodes de ces $t$-motifs.

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K. Raschel - Functional equations and walks in the quarter plane.

The past few years have seen many parallel developments in the study of two dimensional lattice models restricted to a quarter plane. Results have come from computer algebra, enumerative combinatorics, probability theory, functional equations and complex analysis. The case of small steps walks is now well understood. In this talk we shall consider models of walks with arbitrary big steps and we shall present new challenges that arise in this study.

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T. Rivoal - Théorie arithmétique des E et G-opérateurs.

Les G-fonctions et E-fonctions de Siegel sont des séries entières solutions d'équations différentielles "arithmétiques". Le but de l'exposé est de présenter quelques propriétés des ensembles des valeurs prises par ces fonctions en des points algébriques, ainsi que des constantes de connexion entre certaines bases spécifiques des équations différentielles sous-jacentes. Il s'agit de travaux en commun avec Stéphane Fischler (université Paris-Sud).

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T. Scanlon - Strong minimality, orthogonality, and differential relations involving the j-function.

I will report on my joint work with James Freitag around the differential equation satisfied by Klein's analytic j-function focusing on the model theoretic methods allowing us to pass from Jonathan Pila's theorems on differential algebraic independence over the constants to independence over arbitrary bases and the applications to a question of Barry Mazur about explicit finiteness theorems.

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M. Wibmer - Affine difference algebraic groups.

Difference algebraic groups, i.e. groups defined by algebraic difference equations occur naturally as the Galois groups of linear differential and difference equations depending on a discrete parameter. In this talk I will introduce some basic invariants of difference algebraic groups and show how they can be used in the study of certain classes of difference algebraic groups, e.g. étale difference algebraic groups.

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