UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER Année 2006/2007 Unité d’enseignement de mathématiques L32

Devoir à la maison 2

à rendre avant le 24 octobre 2006

Pour tout élément σ de 𝔖_{4}, on note C_{σ} le centralisateur de σ.

1. On considère σ = (a b)(c d) un produit de deux transpositions disjointes dans 𝔖_{4}. a. Donner tous les éléments du centralisateur C_{σ}. b. C_{σ} est-il distingué dans 𝔖_{4} ? c. Soit σ′ ≠ σ un deuxième produit de deux transpositions disjointes dans 𝔖_{4}. Montrer que C_{σ} ≠ C_{σ′} et déterminer C_{σ} ∩ C_{σ′}.

Dans les questions suivantes, σ′ et σ désignent des éléments quelconques de 𝔖_{4}.

2. Montrer que 𝔖_{4} possède un unique sous-groupe K tel que K est distingué et de cardinal 4. Montrer que K isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

3. On considère l’action de 𝔖_{4} sur K par conjugaison, c’est-à-dire σ.k = σ ∘ k ∘ σ^{−1} pour tous σ ∈ 𝔖_{4}, k ∈ K.

a. Vérifier que pout tout σ ∈ 𝔖_{4}, k ↦ σ.k est u automorphisme de groupe. b. Montrer que cette action possède une orbite à 1 élément et une orbite X à 3 éléments. Montrer que l’action de 𝔖_{4} sur K par conjugaison induit “par restriction” une action de 𝔖_{4} sur X. c. Donner une action “naturelle” de 𝔖_{4} sur l’ensemble P des paires de paires disjointes de l’ensemble {1, 2, 3, 4}, i.e. sur P = {{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}}. Quel est le lien entre cette action et l’action précédente ?

On note ϕ : 𝔖_{4} → 𝔖_{X}(≃ 𝔖_{P} ≃ 𝔖_{3}) le morphisme associé à cette action.

d. En utilisant la question 1, déterminer le noyau de ϕ. En déduire que ϕ est surjective. On a obtenu un quotient de 𝔖_{4} isomorphe à 𝔖_{3}.

e. Montrer que 𝔖_{4} possède un unique quotient à 6 éléments, et que ce quotient est isomorphe à 𝔖_{3}. f. Déduire de ce qui précède que le groupe des automorphismes de ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ est isomorphe à 𝔖_{3}. g. Montrer qu’il existe un sous-groupe H de 𝔖_{4} tel que la restriction ϕ_{|H} de ϕ à H est un isomorphisme de H sur Im ϕ. Montrer qu’on a 𝔖_{4} = HK = KH. Montrer que H n’est pas unique. h. Le sous-groupe H étant fixé, écrire le 4-cycle (1 2 3 4) sous la forme h ∘ k et k′ ∘ h′ avec h, h′ ∈ H, k, k′ ∈ K.