Liste de sujets d'études pour le cours système dynamique
1 Informations générales
- Projet à réaliser en groupe de 1,2 ou 3. On choisit un sujet parmi la liste proposée ci-dessous, 1. Envoyer choix du sujet à frédéric Faure avant fin novembre 2020. Pour les expériences numériques on peut utiliser les exemples de programmes étudiés en TP. Voici une liste plus complète de projets de simulation (mais pas tous reliés aux systèmes dynamiques).
- Rapport à envoyer à frédéric Faure, date limite: 13 janvier 2021, minimum 4 pages, maximum 10 pages (texte, figures & légendes, bibliographie) sans compter les annexes (programme utilisé, données supplémentaires etc)
- Barême: 20% de la note finale
- Consignes, suggestion de plan:
- décrire rapidement le phénomène et sa modélisation. Ecrire des équations sans dimension.
- Identifier le système dynamique, i.e. le modèle, les équations des lois d'évolution et les conditions initiales.
- Quelles sont les questions et celles auxquelles vous allez répondre.
- Identifier des propriétés caractéristiques et des paramètres importants pour votre étude ?
- Identifier des représentations possibles (courbes, surfaces, ..).
- Comment les propriétés varient elles en fonction des paramètres du phénomène ?
- Réponses aux questions et discuter les limites de ces réponses.
- Commentaires, conclusions et perspectives de cette étude.
Liste des projets
2 Systèmes dynamiques avec peu de degrés de liberté
2.1 Astronomie
Mouvement relatif de la Terre et du Soleil puis Construction d'un cadran solaire. Equation du temps.
Documents
2.2 Anosov linkage
2.3 « Dripping faucet » , « le robinet qui goutte »
Faire expérience, et étudier le modèle. Référence: the Dripping faucet as a model chaotic system, shaw.
Modèle simple: un oscillateur vertical , raideur 1, masse qui augmente et si on impose et (ou autre d'après conservation impulsion et énergie).
Réaliser une expérience avec rendu sonore (la goutte tombe sur une plaque de métal).v
2.5 Le double pendule
2.6 Billard de sinai avec obstacles ronds ou obstacles rectangles
Observer la diffusion abnormal, cf results de pascal Hubert
2.7 Moulin de Lorenz et flot de Lorenz
2.8 Billard polygonal
Est équivalent à masses libres sur un cercle qui se collisionnent.
Question ouvert: existence d'une orbite périodique.
2.9 Application de Gauss et fractions continues en théorie des nombres.
L'application de Gauss estoù désigne la partie fractionnaire, par exemple .
Références:
Programme à faire
- Itérations de ,
- construction de la fraction continue de
- Mesure invariante de à trouver théoriquement et expérimentalement
- Simulation du flot géodésique sur la surface modulaire.
Explorations:
2.10 Théorie Astronomique du climat
A partir de données issues de carottes de glace de l'antartique, on reconstruit la teneur en CO2 de l'atmosphère sur les 400000 ans précédents, ainsi que la température moyenne de la Terre. A l'aide d'un programme, en fait une décomposition en fréquences de ces données, afin d'identifier des cycles dominants, leur amplitude et période. Par ailleurs des calculs astronomiques nous donnent les paramètres de l'orbite terrestre sur cette même durée. On déduira l'ensoleillement moyen de la Terre, et on essayera de reconnaitre les même cycles.
Informations:
2.11 Relativité générale
Objectif:
étude du mouvement d'une planète ou d'un rayon lumineux autour d'une étoile ou d'un trou noir. Dans le cadre de la relativité générale, l'étoile déforme l'espace temps autour d'elle. Une planète ou un rayon, lumineux ne subit pas directement une force (gravitation) de la part de l'étoile, mais avance ”le plus droit possible” dans cet espace courbe. On dit que sa trajectoire est une géodésique. Dans un premier temps: étude des géodésiques sur une surface (2D) courbe; Puis étude de la trajectoire d'une planète. Observation du mouvement elliptique (Newton), mouvement du périhélie, inflexion des rayons lumineux, décalage gravitationel de la lumière vers le rouge, effet du trou noir. Pour les indications physiques, voirle cours de
mécanique analytique et surtout
l'exercice 2 et sa solution du TD6 de mécanique analytique (L3). Voici des
notes manuscriptes qui indiquent comment programmer et tester ce projet.
2.12 Pendule chaotique
2.13 Dynamique du pendule pulsé
L'objet suivant (les 3 disques bleus) tourne librement autour de son axe. Mais un aimant extérieur (rouge) lui impose une force périodique. Il en résulte un comportement chaotique.
On fera des images stroboscopiques des trajectoires, afin d'observer la transition de l'ordre vers le chaos. Observation du phénomènes des résonnances, et accrochage de fréquences.
2.14 Etude dynamique d'un billard parfait
On étudie les trajectoires d'une particules dans un billard au bord quelconque, sans frottement et se réfléchissant parfaitement sur les bords. Observation du chaos pour certaines formes du billard.
2.15 Modèle des anneaux de Saturne
Modèle dynamique de poussières tournant autour de Saturne, faisant apparaitre les gaps par effets de résonances et de
self-gravité.
2.16 Oscillation de deux masses couplées
Phénomène de battement. Section de Poincaré et chaos.
2.17 Le problème à trois corps restreint.
Travaux de Poincaré, Laskar.
2.18 Modèles de dynamiques prédateurs, proix et généralisation.
2.19 Application logistique, fractale de Julia et de Mandelbrot.
- Voir Cours.
- Zoomdans la fractale de Mandelbrot.
2.20 L'équation du télégraphe en dimension 1.
3 Systèmes dynamiques avec un grand nombre de degrés de liberté
3.1 Accrochage de fréquences
3.2 Modèle de chimie proposé par Alain
Modèle de Belousov-Zhabotinsky (1950)
3.4 Modèle de Kuramoto-Sivashinsky de chaos -spatio_temporel.
C'est semble t-il le modèle le plus simple, similaire à Navier-Stokes en régime turbulent.
3.5 Jeu de la vie, automates cellulaires
Sur un réseau carré à deux dimension, des cases peuvent être dans différents états (noir/blanc). L'instant d'après leur état change en fonction de l'état des cases voisines, de façon précise (règles que l'on choisit). On se fixe une population initiale de cases noires, et l'on étudie son évolution. Des phénomènes complexes et étranges peuvent être observés: croissance, déplacement de la population, décomposation, création de colonies,...
3.6 Circulation automobile et embouteillages
modèlisation du traffic urbain sur une route droite.
3.7 Ondes solitaires à la surface de l'eau
Modele de KdV . Resolution par Runge-Kutta. cf
Cours.
3.8 Mouvement de particules dans une enceinte
Simulation du mouvement et des chocs de particules dans une enceinte;
Cela permet l'observation de propriétés statistiques: apparition du désordre,
(entropie, loi de Bolztmann), équilibre thermodynamique, loi des gaz
parfait PV=nRT, transformation adiabatiques,...
3.9 Avalanche de neige ou de tas de sable
modèle de Monte-Carlo; avec coef de viscosité, et température. Voir
ce site.
3.10 Bilan carbone
3.11 Modèles de morphogénèse
- Articlede Turing de 1952. "The Chemical basis of morphogenesis".
- Videosdu modèle de Gray-Scott sur la page de Karl Sims. Belles images. Videos étonantes: video,
- Logiciel Ready pour la simulation.
3.12 Des réseaux pour modéliser la diffusion des idées
4 Systèmes dynamiques ondulatoires (EDP linéaires)
4.1 Vibration d'une membrane de tambour de forme quelconque
Calcul des fréquences et modes propres; Son du tambour: réponse à une excitation.
Enoncé. Solutions.
5 Systèmes dynamiques aléatoires
5.1 Mécanismes de l'aimantation et ferromagnétisme
(Voir Cours de M1: système dynamiques, chapitre sur les dynamiques de Markov ).
On considère un réseau périodique dont les sites sont notés et dont les variables sont et modélisent des spins (up/down). Si deux sites sont voisins on note . Une configuration des spins est un champ donné: . Son énergie ferromagnétique est:
- Combien y a t-il de sites? Quelles configurations donnent l'énergie minimale? et maximale?
- L'algorithme d'évolution suivant est appelé algorithme de montecarlo
. est un paramètre fixé qui est l'inverse de la température: .
- A l'instant , on part d'une configuration choisie au hasard.
- On choisit un site au hasard, et on note la configuration identique à sauf au site où le spin est opposé: (spin opposé).
- A l'instant ,
- Si on choisit la configuration .
- Si on choisit la configuration avec la probabilité (et on reste donc avec avec la probabilité complémentaire).
- On revient en (b) pour poursuivre l'évolution du champ de spins.
Cet algorithme correspond à une matrice stochastique réversible pour la mesure de Boltzmann:
- Ecrire un programme qui fait évoluer et représente la configuration du champ de spins .
- L'aimantation de la configuration est . Représenter l'aimantation au cours du temps. Quand l'équilibre statistique est atteind, calculer la moyenne et la variance . Représenter et en fonction de .
Références
1V.I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations (Springer Verlag, 1988).