Dynamique classique dans l'espace de phase

Commentaires

• La figure de gauche montre une trajectoire stroboscopique partant de $\left(x_{0},p_{0}\right)=\left(0.5,0.2\right)$. Cette trajectoire reste sur la courbe fermée rouge. Les autres courbes sont obtenues en représentant des trajectoires partant d'autres conditions initiales.
• La figure de droite montre la distribution classique de Liouville qui est choisi comme étant une fonction Gaussienne à $t=0$ de taille $\simeq\sqrt{h}$.

Observations

• On observe que toutes les trajectoires semblent confinées sur des courbes unidimensionnelles. Cela se comprend car lorsque $T$ est très petit, la particule subit $H_{1}$ et $H_{2}$ alternativement de façon très rapprochée, et cela est presque équivalent à l'action d'un Hamiltonien $H\left(x,p\right)=H_{1}+H_{2}$ indépendant de $t$. La dynamique est donc régulière.
• Cependant la dynamique est non linéaire. Des trajectoires différentes ont des périodes différentes. Comme dans le cas du potentiel anharmonique, on observe de la dispersion sur la distribution de Liouville.
• Sur le point hyperbolique, on observe une petite région verte un peu épaisse, qui est le ``germe'' de la région chaotique qui se developpera en augmentant $T$.