Dates et Lieu:
9h10-12h, les vendredi, à partir du 15 janvier
2010,
Salle
A120, Batiment A, Campus Universitaire.
Présentation du cours:
Ce cours est destiné à des
étudiants de physique désireux d'apprendre
des notions de mathématique utiles dans de nombreux domaines de
la
physique (mécanique quantique, mécanique classique,
relativité, électromagnétisme,
élasticité, mécanique du solide, robotique et
théorie du contrôle,...).
L'objectif est d'introduire des
concepts et
outils de base
en géométrie différentielle et en topologie
(variétés différentiables,
espaces fibrés avec connections, géométrie
riemanienne, géométrie
symplectique), en donnant tout au long du cours des
applications
précises
à la physique. L'intérêt de la
géométrie différentielle pour la physique
est non seulement de fournir des outils de calculs, mais surtout de
proposer un cadre de pensée où l'on fait ressortir
l'identité géométrique
des objets manipulés. Ce mode de pensée est très
fécond, et parfois
même indispensable.
Dans ce cours on se concentre sur la notion d'
espace
fibré
avec connection. C'est une notion de géométrie et de
topologie qui
est à la base de la formulation de nombreuses théories
physiques:
l'électromagnétisme, la
relativité générale, les
théories de Jauge, et apparait
de façon naturelle pour expliquer des phénomènes
comme: le pendule
de Foucault, la phase de Berry, l'effet Hall quantique, les conditions
de quantification de Bohr-Sommerfeld, la raideur d'un ressort, ...
Dans un souci de clarté et de pédagogie, les notions
présentées seront
toujours associées à des exemples simples, et
illustrées autant que
possible. On donnera des suggestions d'ouvrages et un guide à la
littérature
pour les étudiants qui seraient désireux d'approfondir
les mathématiques
ou conforter leurs bases.
Des notes de cours (non achevées) sont à disposition.
Plan
- Le pendule de Foucault. Connection
sur un fibré vectoriel. Transport parallèle.
Chapitre d'introduction. On présente les notions de:
fibré tangent TS2.
Connection géométrique. Holonomie. Courbure. Indice de
Chern du fibré. Autres
applications: description géométrique de la chute
d'un chat
qui se retourne, d'une
bactérie qui nage, de la torsion d'un brin d'ADN, de la raideur
d'un ressort.
- Equation de Schrödinger et phase de Berry.
Théorème adiabatique et phase de Berry. Aspect
topologique des dégénéréscences
du spectre. Indices topologiques de Chern. Applications:
Monopole
magnétique. Effet Aharanov Bohm. Effet hall quantique entier.
Transport
topologiques de charges en physique mésoscopique.
Aspect topologique des systèmes quantiques couplés.
Manifestation de la formule de l'indice d'Atiyah-Singer en physique
moléculaire.
- Introduction à la géométrie
différentielle. Electromagnétisme. Théories de
Jauge.
Relativité générale.
On présente la formulation géométrique et la
signification physique de ces
théories: Champs de vecteurs et Formes différentielles.
Formes différentielles. Variété
Riemannienne. Espaces Fibrés avec connexion.
Electromagnétisme et théories de Jauge de Yang-Mills.
Connexion de Riemmann sur une variété Riemannienne.
Equations d'Einstein de la relativité générale.
- Correspondances classique-quantique. Géométrie
symplectique.
Le but de ce chapitre est de montrer les relations entre le
mécanique classique et quantique en suivant une description
géométrique. Cela est basé sur l'utilisation
des états cohérents (ou "paquets d'ondes"). Le but est
d'obtenir une meilleur compréhension et interprétation
des phénomènes quantiques. Notions abordées:
Formulation
symplectique de la mécanique Hamiltonienne. Correspondances
classique-quantique par les états
cohérents montrant comment la mécanique classique
Hamiltonienne est issue de la mécanique quantique. Etats
cohérents associés
à des groupes de Lie ("moment angulaire" SU(2) ou autres).
Règles de quantification de
Bohr-Sommerfeld
comme une holonomie. Théorème de l'indice d'Atiyah-Singer
dans les
systèmes adiabatiques. Classes Caractéristiques.
Systèmes complètements
intégrables et défauts topologiques de monodromie. Angle
de Hannay.
Formes normales classiques et semi-classiques. Réduction
symplectique:
comment de nouvelles variétés apparaissent naturellement
en mécanique
à la suite de symétries, ou d'approximations adiabatiques.