Michael Eisermann

Enseignement

In passing, I firmly believe that research
should be offset by a certain amount of teaching,
if only as a change from the agony of research.
The trouble, however, I freely admit, is that in practice
you get either no teaching, or else far too much.
John E. Littlewood, The Mathematician's Art of Work

À toute fin utile, je mets à disposition ici quelques documents issus de mes diverses tentatives d'enseigner les mathématiques en français durant les années 2000–2009. La quête continue...

Quelques sujets de popularisation :

• Comment fonctionne Google ?
• Nœuds et tresses en mathématiques
• La théorie des jeux et l'hypothèse de rationalité
• Le théorème du dictateur
• Construction de polygones réguliers
• Un retour aux racines

Eh oui, à l'Institut Fourier, la Fête de la Science c'est toute l'année !

Quelques notes de cours :

• Crypto – Introduction à la Cryptologie
• Algèbre – Feuilles d'exercices (groupes, anneaux, corps)
• MAÉ – Mathématiques Algorithmiques Élémentaires
• MAO – Mathématiques Assistées par Ordinateur

Vos questions et commentaires seront les bienvenus !

N'hésitez pas à me contacter pour les fichiers sources (LaTeX ou autre).

Popularisation

Il ne suffit point de montrer la vérité,
il faut la peindre aimable.
François Fénelon, Les Aventures de Télémaque

Parlant de popularisation mathématique, je saisis l'occasion de faire la publicité pour un chef-d'œuvre :

Dimensions – une promenade mathématique...
Un film pour tout public. Neuf chapitres, deux heures de maths, pour découvrir progressivement la quatrième dimension. Vertiges mathématiques garantis!

Comment fonctionne Google ?

Résumé : Depuis plus d'une décennie Google domine le marché des moteurs de recherche sur internet. Son point fort est qu'il trie intelligemment ses résultats par ordre de pertinence. Nous expliquons ici l'algorithme PageRank qui est à la base de ce classement. L'idée principale est une judicieuse modélisations mathématique qui permet d'estimer la pertinence ou plutôt la popularité des pages webs. Une fois ce modèle formalisé, il s'agit de résoudre astucieusement un immense système d'équations linéaires.

Documents :

• L'algorithme PageRank de Google : une promenade sur la toile.
  Version allégée de 4 pages niveau lycée, plus 4 pages d'approfondissement.
  
• Comment fonctionne Google ? Version étendue de 15 pages, niveau Licence.
  Une version abrégée est parue dans Quadrature, no. 68, avril 2008.

Objectifs :

• Comprendre le fonctionnement de Google, un outil de recherche omniprésent.
• Discuter les arguments heuristiques qui mènent au modèle mathématique.
• Résoudre le système linéaire creux qui en résulte par une méthode itérative.
• Esquissez quelques questions quant au rôle global actuel de Google.

Expérience pratique : Si après lecture vous trouvez que ce document le mérite, faites-y pointer un lien. Il suffit de copier-coller le code suivant sur votre page web :

<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/"> Michael Eisermann </a> :
<a href="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/enseignement#google"> 
Comment fonctionne Google ? </a>

Vous ferez ainsi monter son classement PageRank, comme expliqué dans l'exposé.

Un grand merci à tous ceux qui ont déjà participé à l'expérience ! Durant toute l'année 2008 le document Comment fonctionne Google ? arrivait en tête du classement pour la requête « Comment fonctionne Google ? ».

Sauf fluctuations, cette page-ci arrive aussi en tête pour les requêtes

• nœuds et tresses
• tresses de Dirac
• jonglage topologique
• théorème du dictateur
• théorème de Gauss-d'Alembert constructif
• le théorème fondamental de l'algèbre rendu effectif
• mathématiques algorithmiques élémentaires
• mathématiques assistées par ordinateur

C'est un beau succès pour un amateur, surtout sans tricherie. (Content is king. :-)

Nœuds et tresses en mathématiques

Résumé : Cet exposé grand public présente trois expériences ludiques et explique leur fond mathématique : les tresses de Dirac, le jonglage topologique (voir les images plus bas), puis la question de chiralité des nœuds.

Niveau : Aucun pré-requis, sauf bien sûr la curiosité naturelle.
Cet exposé se décline à tous les niveaux, allant de grand public à la recherche récente.

Documents :

• Tresses, nœuds et entrelacs (16 pages; grand format, vidéoprojection).
  Conférence d'ouverture de la Journée Régionale de l'APMEP Grenoble le 18 mars 2009. La présentation part de quelques expériences luiques, passe par le groupe des tresses et les tricoloriages et aboutit au polynôme de Jones. (Le document écrit contient de nombreux compléments et approfondissements.)
• Nœuds et tresses (6 pages; grand format, vidéoprojection).
  Version allégée. Exposé de 45min lors de la remise des prix aux lauréats de l'Olympiade des Mathématiques, Académie de Grenoble, le 31 janvier 2008.

Jonglage topologique : Prenez une corde d'environ 5mm d'épaisseur et au moins 1,5m de long, puis attachez au bout une balle de tennis, ou un autre contrepoids convenable. Maintenant, en ne tenant que le bout libre de la corde, effectuez un geste pour que la balle saute et produise un nœud. Ce n'est pas facile, mais on peut y arriver...

Question maths : Supposons qu'après quelques tentatives vous avez produit un nœud de trèfle. Félicitations ! Pouvez-vous le faire disparaître par un geste similaire ? Vous trouverez la réponse avec les outils présentés dans l'exposé.

Vidéo en ligne : Mon premier exposé sur ce sujet fut enrégistré ; il est disponible en ligne via l'Archive du Groupe Séminaire de l'ENS Lyon (résolution bas débit, VO, un français encore approximatif ;-)

Document annexe : Nœuds et tresses, une petite note de 2 pages pour « Le Gluon », le journal de vulgarisation scientifique de l'Université Joseph Fourier. Une version encore légèrement abrégée est parue dans Le Gluon, décembre 2007.

La théorie des jeux et l'hypothèse de rationalité

Résumé : La théorie des jeux analyse des situations de conflit et de coopération, dans un sens très large. Elle est omniprésente en micro-économie, en politique économique, ainsi que dans les doctrines militaires. De nombreux prix Nobel d'économie en théorie des jeux témoignent de l'importance attribuée à ce sujet par les économistes.

Après avoir présenté quelques exemples basiques, cet exposé discute la notion d'équilibre de Nash et prouve le célèbre théorème de Nash sur l'existence de points d'équilibre. L'applicabilité de cette théorie dépend profondément de l'hypothèse de rationalité des acteurs, comme illustrent les exemples discutés vers la fin de l'exposé.

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : La théorie des jeux (11 pages; vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
Date : 8 novembre 2007. Dernière mise à jour : 8 novembre 2007.

Petite histoire : John Forbes Nash est un mathématicien américain qui a travaillé sur la théorie des jeux, la géométrie différentielle, et les équations aux dérivées partielles. Ses contributions fondamentales à la théorie des jeux sont parues dans 4 brefs articles au début des années 1950. Il a partagé le Prix Nobel d'économie en 1994 avec Reinhard Selten et John Harsanyi pour leurs travaux en théorie des jeux.

Sylvia Nasar, journaliste économique pour le New York Times, a écrit une excellente biographie de Nash, intitulée A Beautiful Mind et parue en 1999. Adaptée au cinéma par Ron Howard, le film sous le titre français Un homme d'exception reçut l'Oscar du meilleur film en 2002.

Le théorème du dictateur

Résumé : Le scrutin majoritaire fonctionne parfaitement bien pour deux candidats, mais il peut mener à des résultats paradoxaux quand on essaie de classer trois candidats ou plus. Bien que connu depuis longtemps, ce phénomène reste toujours d'actualité. La tentative d'un classement mondial des universités en est un bel (ou triste) exemple, voir la superbe note Les pommes et les poires de Shanghai par Étienne Ghys.

Le philosophe et mathématicien français Nicolas marquis de Condorcet fut le premier à découvrir ce phénomène vers la fin du 18e siècle. Poussant cette observation plus loin, le théorème d'impossibilité d'Arrow (1948, prix Nobel 1972) dit qu'il est impossible de construire un mode de scrutin qui respecte certaines règles de bon sens, apparemment plausibles et anodines.

Ce théorème d'impossibilité est aussi appelé « paradoxe d'Arrow » ou encore « théorème du dictateur ». Sous ce nom il s'est répandu comme sujet de vulgarisation très populaire, et a donné lieu à de nombreuses spéculations et malentendus. Pour ne laisser rien à l'ambiguïté, l'honnêteté scientifique exige de développer un énoncé précis, puis de le prouver...

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : Le théorème du dictateur (6 pages; vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
Date : 24 février 2005. Dernière mise à jour : 24 février 2005.

Ceci n'est qu'une présentation succincte du théorème d'Arrow. Pour une discussion détaillée d'exemples concrets, voir l'exposé Une courte introduction à la Théorie du Choix Social de Sébastien Konieczny. (Aussi disponible en cache.)

Petite histoire : Kenneth Arrow est un économiste de formation mathématique, professeur à Stanford (1949-1968 et 1980-présent) et Harvard (1968-79), et lauréat du Prix Nobel d'économie en 1972 pour ses études sur les choix collectifs. (Plus correctement : prix d'Économie de la Banque de Suède à la mémoire d'Alfred Nobel). Il montra son célèbre théorème lors de sa thèse en 1948, et ses travaux ont inspiré toute une école en sciences économiques.

Au début de la guerre froide, le jeune Arrow participa aux recherches stratégiques des États Unis. Il fut demandé de construire un mode de scrutin optimal, qui en particulier résolve le paradoxe de Condorcet. En rétrospective Arrow raconte : « It took about five days to write in September 1948. When every attempt failed, I thought of the impossibility theorem. »

Construction de polygones réguliers –
la géométrie rencontre l'algèbre

Document : Construction de polygones réguliers – la géométrie rencontre l'algèbre.

Ce document est issu d'un stage de formation « modélisation, recherche, preuve » mis au point par l'Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM / Institut Fourier, UJF Grenoble), dans le plan académique de formation des enseignants.

Résumé : Ce stage ouvre avec un atelier sur la construction à la règle et au compas, un sujet qui fascine depuis l'antiquité et qui reste très présent dans l'éducation mathématique. Sur le plan pratique, il est intéressant de savoir comment construire certaines configurations concrètement. Sur le plan théorique, il est intéressant de savoir quelles sont les constructions possibles, ou dans le cas contraire lesquelles sont impossibles et pourquoi. Nous en discutons trois problèmes célèbres, pour lesquels ce document veut servir de référence: la construction des polygones réguliers, la duplication du volume d'un cube, la trisection de l'angle.

Niveau : Avec un peu de persévérance les problèmes évoqués sont résolubles avec des outils élémentaires, mobilisant des connaissances variées de niveau lycée :

• la construction à la règle et compas,
• l'usage des coordonnées cartésiennes,
• la résolution des équations de degré 1 et 2,
• le calcul algébrique avec les racines carrées,
• l'irrationalité de la racine carrée de 2 et variantes,
• la paramétrisation du cercle par (cos t, sin t),
• les identités cos(2t) = 2cos²(t) - 1 et cos(3t) = 4cos³(t) - 3cos(t).

Histoire : François Viète (1540-1603) puis René Descartes (1596-1650) proposèrent de résoudre des problèmes géométriques par le calcul algébrique. Cette géométrie dite analytique change radicalement le point de vue et les outils mis en œuvre. Ainsi Carl Friedrich Gauß (1777-1855) réussit à construire le 17-gone régulier (d'après son journal le 29 mars 1796, un mois avant son 19ème anniversaire). Ce fut la première grande avancée dans ce domaine depuis l'ère grecque. L'approche algébrique utilisée par Gauss permit à Pierre Wantzel (1814-1848) d'établir en 1837 un critère de non-constructibilité et d'ainsi terminer l'étude de Gauss sur les polygones constructibles.

Amusement : D'un régistre plus littéraire, vous trouvez en ligne la traduction française du grand classique d'Edwin Abbott: Flatland, A romance of many dimensions.

Un retour aux racines –
le théorème fondamental de l'algèbre rendu effectif

Résumé : Je présente ici une preuve constructive du théorème fondamental de l'algèbre. L'approche est due à Sturm et Cauchy dans les années 1830 mais peu connue de nos jours. Elle n'utilise que l'algèbre réelle, à savoir l'arithmétique des polynômes et le théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes réels à une variable. Cette démonstration n'est pas la plus courte mais elle offre de nombreux avantages :

• La démonstration est élémentaire.
• Tous les arguments sont valables sur un corps réel clos.
• La preuve est constructive : elle permet de localiser les racines.
• L'algorithme est relativement facile à implémenter sur ordinateur.
• La démarche peut être poussée à une preuve formelle du théorème.
• Parallèlement elle fournit une preuve formelle de l'implémentation.

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Documents : Un retour aux racines (10 pages; grand format, vidéoprojection).
Mon exposé s'adressait aux étudiants de magistère lors de leur séminaire hebdomadaire « Mathématiques et applications » à l'Institut Fourier.
(Il faut deux exposés d'une heure pour couvrir le sujet dignement.)
Date : 2 octobre 2008. Dernière mise à jour : 3 octobre 2008.

Notes de cours

I hate teaching...; I love lecturing,
and have lectured a great deal
to extremely able classes.
Godfrey H. Hardy, A mathematician's apology

Crypto – Introduction à la Cryptologie

Niveau : Master 1 (module commun maths/info).

Résumé : Ce cours est une douce introduction à la cryptologie qui présente en parallèle le développement mathématique et algorithmique. Ces deux aspects sont indissociables – ils se complètent et s'enrichissent mutuellement.

Objectifs :

• Introduire à la cryptographie à clé secrète et à clé publique
• Élaborer les fondements mathématiques et algorithmiques nécessaires
• Établir une passerelle vers le Master 2 Cryptologie

Pré-requis informatiques :

• Langage de programmation (le C++, disons)
• Familiarité avec des notions d'algorithmique

Pré-requis mathématiques :

• Langage et raisonnement mathématiques
• Calcul algébrique et algèbre linéaire

Documents du cours 2008-2009 :

• Introduction et présentation du cours (grand format, vidéoprojection)
• Arithmétique des nombres entiers (grand format, vidéoprojection)
• Euclide–Bézout et applications (grand format, vidéoprojection)
• Arithmétique modulaire (grand format, vidéoprojection)
• Le théorème chinois (grand format, vidéoprojection)
• Le cryptosystème RSA (grand format, vidéoprojection)
• Groupes (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux et corps (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux de polynômes (grand format, vidéoprojection)
• Anneaux euclidiens, principaux, factoriels (grand format, vidéoprojection)
• Classification et construction des corps finis (grand format, vidéoprojection)

Travaux pratiques :

• [12/12/2008] Implémentation du cryptosystème RSA, fichiers modèles.
• [10/04/2009] Polynômes irréductibles et corps finis, fichiers modèles.

Sujets d'examen :

• [09/01/2009] examen du premier semestre
• [15/05/2009] examen du second semestre
• [04/09/2009] examen de seconde session

Algèbre – Feuilles d'exercices

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Résumé : Jusqu'en 2005 j'ai élaboré quelques feuilles d'exercices pour le cours d'algèbre (groupes, anneaux, corps). Elles restent imparfaites mais utilisables... Si vous voulez les recycler, n'hésitez pas à m'en démander les fichiers sources LaTeX.

Document : exercices d'algèbre (environ 50 pages).

MAÉ – Mathématiques Algorithmiques Élémentaires

Niveau : Licence des Mathématiques, troisième année.

Résumé : Ce cours s'adresse aux étudiants en mathématiques, ou plus généralement aux étudiants ayant eu une formation mathématique, qui souhaitent s'initier à la programmation. Il poursuit ainsi un double but : introduire à la programmation en C++ et en même temps aux aspects algorithmiques des mathématiques. Chemin faisant on aura également occasion de réviser le développement des mathématiques sous-jacentes (arithmétique, groupes, anneaux, corps).

Objectifs : Le but n'est pas d'arriver rapidement aux applications complexes, mais plutôt de poser des fondements solides. Dans cette optique le polycopié a été rédigé pour usage dans des travaux dirigés et travaux pratiques, avec de nombreux exercices et projets de programmation.

L'accent est mis sur l'expérience de la programmation, sur des tests empiriques et la résolution des questions concrètes. Parallèlement les questions mathématiques soulévées visent à développer et approfondir les outils théoriques nécessaires.

Avertissement : Ce polycopié est issu des travaux dirigés de programmation à l'Institut Fourier des années 2002-2008 et restera un éternel chantier. Certains chapitres sont bien réussis et testés, d'autres sont des esquisses encore à peaufiner, mais l'ensemble reste profitable, au moins je l'espère.

Toute remarque, suggestion ou critique sera la bienvenue. Si vous envisagez de l'utiliser dans votre enseignement, merci de me laisser un mot. En contrepartie je compte sur vos suggestions d'améliorations (sans doute abondantes).

Documents :

• MAÉ, texte sous format pdf d'environ 300 pages
• MAÉ++, version intégrale : texte avec fichiers source en C++
• fichiers source en C++, si vous voulez les feuilleter en ligne

La nature et la taille des fichiers sources sont très variables, allant de brèves illustrations incluses dans le document pdf jusqu'à des projets assez complexes.

Partie A – Concepts de base et premières applications

• Une brève introduction a la programmation en C++
  Projet : Tester la conjecture d'Euler concernant x⁴+y⁴+z⁴=w⁴
• Implémentation de grands entiers en C++
  Projet : Multiplication rapide selon Karatsuba
• La bibliothèque GMP
  Projet : Calcul de la racine nième
• Numération positionnelle et conversion de base
  Projet : Calcul de π à 10000 décimales

Partie B – Tri et permutations

• Recherche et tri
  Projet : Applications du tri aux équations diophantiennes
• (Permutations)
  (Projet : Le problème du voyageur de commerce)
• (Groupes de permutations)
  (Projet : Analyse d'un groupe fini)

Partie C – Arithmétique des entiers

• Algorithme, correction, complexité
  Projet : Puissance dichotomique
• Pgcd et l'algorithme d'Euclide-Bézout
  Projet : Algorithme de Gauss-Bézout et diviseurs élémentaires
• Arithmétique du groupe Z/n^×
  Projet : Résidus quadratiques et symbole de Jacobi
• Primalité et factorisation d'entiers
  Projet : Application à la cryptographie

Partie D – Anneaux effectifs

• Exemples d'anneaux effectifs
  Projet : Entiers de Gauss et sommes de deux carrés
• (Anneaux de polynômes)
  (Projet : La transformation de Fourier rapide)
• (Corps finis)
  (Projet : Polynômes irréductibles et corps finis)

Partie E – Méthodes numériques élémentaires

• Calcul arrondi
  Projet : Dérivation numérique et extrapolation de Richardson
• Calcul arrondi fiable et arithmétique d'intervalles
  Projet : Calcul fiable de exp et log
• Méthodes itératives pour la résolution d'équations
  Projet : Factorisation de polynômes complexes
• Systèmes linéaires et matrices
  Projet : Classement de pages web à la Google

MAO – Mathématiques Assistées par Ordinateur

Niveau : Licence, seconde année (L2 S4).

Résumé : Ce cours présente des méthodes de calcul pour les polynômes, les fonctions usuelles, la résolution numérique d'équations, l'intégration numérique, puis le calcul matriciel et l'algèbre linéaire. Ces méthodes seront mises en œuvre sur ordinateur avec un logiciel de calcul formel ; nous proposons le logiciel libre Xcas.

Au-delà des méthodes pratiques ce cours met l'accent sur le raisonnement et la justification des résultats. Lors du calcul numérique on s'intéressera notamment à la précision des valeurs approchées obtenues, ce qui nécessite une majoration rigoureuse de l'erreur commise. De manière pratique on abordera aussi des questions de la complexité des calculs : lorsque plusieurs méthodes sont à notre disposition, on cherche à en choisir la plus efficace. Les étudiants apprendrons ainsi à

• mettre en œuvre avec précision et rigueur les outils mathématiques,
• distinguer les représentations exactes et approchées des objets mathématiques,
• estimer le coût et les limitations d'algorithmes simples (précision, complexité).

Documents du cours :

1. Avant-propos : Présentation du cours [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Objectifs du cours et thèmes abordés
   2. Organisation du cours, pré-requis, documents
2. Chapitre 1 : Introduction [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Nombres entiers et rationnels, calcul exact
   2. Nombres réels, calcul approché, propagation d'erreurs
   3. Types composés : expressions, fonctions, conteneurs, etc.
3. Chapitre 2 : Notions d'analyse [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Nombres réels et complexes, suites et séries numériques
   2. Fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires
   3. Fonctions dérivables, théorème des accroissements finis
   4. Étude de la fonction exponentielle, théorème de Gauss-d'Alembert
4. Chapitre 3 : Arithmétique des polynômes [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Arithmétique des polynômes sur un corps, Euclide, Bézout
   2. Évaluation, racines, décomposition en facteurs irréductibles
   3. Fractions rationnelles, éléments simples, intégration symbolique
5. Chapitre 4 : Racines réelles et complexes [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Équations polynomiales et existence des racines
   2. Localisation effective des racines réelles et complexes
6. Chapitre 5 : Séries entières [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Développement de Taylor, reste de Lagrange
   2. Séries formelles et séries entières
   3. Implémentation de fonctions usuelles
7. Chapitre 6 : Méthodes itératives [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Systèmes dynamiques, points fixes
   2. Le théorème du point fixe de Banach
   3. La méthode de Newton, critères de convergence
8. Chapitre 7 : Approximation polynomiale [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. Approximation polynomiale et norme uniforme
   2. Polynômes orthogonaux et norme quadratique
9. Chapitre 8 : Intégration numérique [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
   1. L'intégrale de Riemann : construction et propriétés
   2. Méthodes numériques basiques : rectangles et trapèzes
   3. Méthodes de Newton-Cotes : Simpson, Boole, Weddle
   4. La méthode de Romberg
10. Chapitre 9 : Calcul matriciel et algèbre linéaire [pdf, 2x2, 2x4, vidéoprojection]
    1. Résolution de systèmes d'équations linéaires
    2. Réduction des endomorphismes
    3. Méthodes approchées itératives
    4. Comment fonctionne Google ?

Sujets d'examens :

• 2009 : partiel, première session (corrigé), seconde session
• 2008 : partiel, première session (corrigé), seconde session
• 2005–2007 : sujets d'examens sur la page de Bernard Parisse

Pourquoi perdre son temps à apprendre
quand l'ignorance est instantanée ?
Calvin à Hobbes