Résumé : Le célèbre théorème de Sturm (1829/35) établit un algorithme élégant pour compter puis localiser les racines réelles de tout polynôme réel dans un intervalle donné. Il est peu connu que Cauchy (1831/37) l'étendit à une méthode algébrique pour compter puis localiser les racines complexes de tout polynôme complexe dans un rectangle donné. Je présente une démonstration réelle algébrique de ce beau résultat, partant des axiomes d'un corps réels clos (sans faire appel à l'analyse). Formalisant ainsi l'argument géométrique de Gauss (1799), nous obtenons une preuve réelle algébrique du théorème de Gauss-d'Alembert, alias théorème fondamental de l'algèbre, affirmant que tout polynôme complexe de degré n admet n racines complexes. La démonstration est élémentaire dans le sens qu'elle n'utilise que le théorème des valeurs intermédiaires et l'arithmétique des polynômes réels, et elle est donc valable sur tout corps réel clos. La démonstration est constructive dans le sens qu'elle nous fournit un algorithme explicite pour localiser les racines de tout polynôme. L'algorithme est assez efficace pour les polynômes de degré modéré, mais dans l'état actuel il reste moins efficace que l'algorithme presque optimal de Schönhage (1982).

Zusammenfassung: Sturms berühmter Satz (1829/35) beschert uns einen eleganten Algorithmus zum Zählen und Auffinden der reellen Nullstellen eines beliebigen reellen Polynoms in einem gegebenen Intervall. Weniger bekannt ist Cauchys Erweiterung (1831/37) zu einer algebraischen Methode zum Zählen und Auffinden der komplexen Nullstellen eines beliebigen komplexen Polynoms in einem gegebenen Rechteck. Ich stelle hier einen reell-algebraischen Beweis vor, der unmittelbar von den Axiomen eines reell-abgeschlossenen Körpers ausgeht und ohne Hilfsmittel der Analysis (wie Kompaktheit oder Integration) auskommt. Dies ermöglicht Gauß' geometrische Idee der Umlaufzahl (1799) zu algebraisieren, und wir erhalten hieraus einen reell-algebraischen Beweis des Hauptsatzes mittels Sturmscher Ketten. Dieser Beweis ist elementar insofern er nur den Mittelwertsatz und die Arithmetik reeller Polynome benutzt, und gilt daher über jedem reell-abgeschlossenen Körper. Der Beweis ist zudem konstruktiv und beschert uns einen expliziten Algorithmus zur Lokalisierung der komplexen Wurzeln eines beliebigen komplexen Polynoms. Dieser ist ausreichend effizient für Polynome moderaten Grades, bleibt aber im jetzten Zustand noch hinter Schönhages nahezu optimalem Algorithmus (1982) zurück.

Abstract: Sturm's famous theorem provides an elegant algorithm to count and locate the real roots of any given real polynomial. It is less widely known that Cauchy extended this to an algebraic method to count and locate the complex roots of any given complex polynomial. We give an algebraic proof of this beautiful result, starting from the mere axioms of the fields R and C, without any further appeal to analysis. From this we derive a real algebraic proof of the Fundamental Theorem of Algebra, stating that every complex polynomial of degree n has precisely n complex roots. The proof is constructive and provides an explicit root finding algorithm. The proof is elementary inasmuch as it uses only polynomial arithmetic and the intermediate value theorem for real polynomials in one variable. As a consequence, all arguments hold over an arbitrary real closed field.

Abstract: Slice and ribbon knots are a classical subject of knot theory ever since the seminal work of Fox and Milnor 50 years ago. Contrary to the Alexander polynomial, the Jones polynomial does not seem to reflect these topological properties. In this talk I present some results towards understanding the Jones polynomial of ribbon links, and more generally of immersed ribbon surfaces in 3-space. The right point of view is the power series expansion at t=-1 instead of t=1 as usual. The coefficients, beginning with the determinant in degree 0, are not of finite type in the sense of Vassiliev-Goussarov, but they turn out to be of finite type in the appropriate sense for (embedded or immersed) surfaces bounding links in 3-space. Motivated by this example, I shall sketch the theory of surface invariants of finite type. The aim is to reconcile quantum invariants with the classical setting of links and surfaces, and to naturally place some classical invariants of algebraic topology into the framework of an extended finite type theory.

Résumé : Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les nœuds bordants [slice knots] et les nœuds rubans [ribbon knots] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des nœuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d'Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques. L'objectif de cet exposé est de présenter les premiers éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans et plus généralement des surfaces rubans dans R³.

Les invariants de type fini des nœuds, aussi nommés invariants de Vassiliev, offrent un cadre commun pour étudier les invariants quantiques tels que le polynôme de Jones et ses généralisations. Afin de mieux extraire de l'information topologique, j'étends ce cadre aux surfaces a bord, plongées ou immergées dans R³. Cette théorie des invariants de type fini des surfaces promet de réconcilier les invariants quantiques avec les surfaces en dimension 3.

Résumé : Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les nœuds bordants [slice knots] et les nœuds rubans [ribbon knots] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des nœuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d'Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques. L'objectif de cet exposé est de présenter les premiers éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans et plus généralement des surfaces rubans dans R³.

Les invariants de type fini des nœuds, aussi nommés invariants de Vassiliev, offrent un cadre commun pour étudier les invariants quantiques tels que le polynôme de Jones et ses généralisations. Afin de mieux extraire de l'information topologique, j'étends ce cadre aux surfaces a bord, plongées ou immergées dans R³. Cette théorie des invariants de type fini des surfaces promet de réconcilier les invariants quantiques avec les surfaces en dimension 3.

Abstract: Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les noeuds bordants [slice knots] et les noeuds rubans [ribbon knots] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des noeuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d'Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques. L'objectif de cet exposé est de présenter quelques éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans et plus généralement des surfaces rubans dans R^3.

Pour cette étude du polynôme de Jones le bon point de vue est le développement en t=-1, contrairement au développement usuel en t=1. Les coefficients, commencant en degré 0 par le déterminant, ne sont pas des invariants de Vassiliev-Goussarov, par contre ils s'avèrent d'être de type fini par rapport aux changements de croisements entre rubans. Ces résultats motivent de développer la théorie des invariants de type fini pour les surfaces à bord, plongées ou immergées dans R^3. L'approche étendue aux surfaces contient tous les invariants de type fini des entrelacs, et bien plus encore comme témoigne notre exemple phare ci-dessus. L'espoir est d'ainsi réconcilier les invariants quantiques avec les surfaces en dimension 3.

Résumé : Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les noeuds bordants [slice links] et les noeuds rubans [ribbon links] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des noeuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d’Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques, c’est-à-dire qu’il ne suggère pas de propriété algébrique particulière. L’objectif de cet exposé est de présenter quelques premiers éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans.

Résumé : Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les noeuds bordants [slice links] et les noeuds rubans [ribbon links] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des noeuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d’Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques, c’est-à-dire qu’il ne suggère pas de propriété algébrique particulière. L’objectif de cet exposé est de présenter quelques premiers éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans.

Résumé : Cet exposé donne une introduction à l’homologie de Khovanov. En 1999, en suivant la philosophie de catégorification, Khovanov a construit pour tout entrelacs L une homologie bigraduée Kh_{i,j}(L) qui est un invariant de L et dont la caractéristique d’Euler est le polynôme de Jones V(L). Remarquablement, l’homologie contient des informations beaucoup plus subtiles que V(L), notamment elle est fonctorielle par rapport aux cobordismes des entrelacs, ce qui permet par exemple de minorer le genre lisse de L en dimension 4. On essaiera ici de comprendre les propriétés de Kh(L) dans le cas des entrelacs rubans, pour lesquels je formulerai quelques questions naturelles ouvertes. (Cette partie s’inspire de mon exposé précédent mais en sera indépendante.) L’objectif à mi-terme sera de relever les propriétés connues de V(L) au niveau homologique. Le but plus modeste de cette introduction est de préparer le terrain et de lancer la discussion.

Résumé : Depuis les travaux fondateurs de Fox et Milnor, il y a 50 ans, les noeuds bordants [slice links] et les noeuds rubans [ribbon links] sont devenus un sujet classique et bien étudié de la théorie des noeuds en dimension 3 et 4. Contrairement au polynôme d’Alexander, le polynôme de Jones ne semble pas refléter ces conditions topologiques, c’est-à-dire qu’il ne suggère pas de propriété algébrique particulière. L’objectif de cet exposé est de présenter quelques premiers éléments pour comprendre le polynôme de Jones des entrelacs rubans.

Abstract: Motivated by the study of ribbon knots we explore symmetric unions, a beautiful construction introduced by Kinoshita and Terasaka 50 years ago. We develop a two-variable refinement W_D(s;t) of the Jones polynomial that is invariant under symmetric Reidemeister moves and nicely reflects the properties of a symmetric union D representing the ribbon knot K. As an application we show that certain ribbon knots have essentially distinct symmetric union presentations, that is, even though the partial knots are the same, the two symmetric union diagrams are not equivalent under symmetric Reidemeister moves.

The polynomial W_D(s;t) elucidates the connection between the Jones polynomials of K and its partial knots K+ and K-, which had previously remained mysterious: we obtain W_D(t;t) = V_K(t) and W_D(-1;t) = V_K-(t) V_K+(t), which has the form f(t)f(1/t) reminiscent of the Alexander polynomial of ribbon knots. This can be seen as a first step in understanding the Jones polynomial of ribbon knots.

Abstract: Yang-Baxter operators have played a prominent role in knot theory and low-dimensional topology ever since the discovery of the Jones polynomial in 1984. Attempts to systematically construct and understand solutions of the Yang-Baxter equation have led to the theory of quantum groups. In this talk we consider the special case of set-theoretic solutions and study their deformations within the space of Yang-Baxter operators over some complete ring, a problem initiated by Freyd and Yetter in 1989. We survey some past results and present recent progress in the classification of such deformations. The picture is by now reasonably complete for operators derived from conjugation in a group, or more generally from quandles or racks. We also indicate some open questions in the case of biquandles or biracks.

Abstract: The classical knot group and the more recent invention of knot quandles are closely related concepts, and so it is not surprising to expect relationships between the various invariants derived from them. It is less obvious, however, to make the transition explicit and to establish a precise dictionary between both points of view. This endeavour is nevertheless important for the mutual benefit of the two approaches, and indispensable if we wish to exploit classical results in the quandle framework.

In this talk I will present some results that establish such an explicit correspondence. In particular my aim is to interpret the fundamental class in the second homology group of the knot quandle, and to represent quandle homology state-sum invariants by knot group representations.

Zusammenfassung: Seit der Entdeckung des Jones-Polynoms im Jahr 1984 hat die Knotentheorie eine stürmische Entwicklung erlebt, und mit ihr die Theorie der 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Eine Fülle neuer Invarianten wurde entdeckt und eingehend untersucht. Sie entstehen zumeist aus Deformationen altbekannter "klassischer" Objekte, und werden daher oft "Quanten"-Invarianten genannt. Trotz aller Erfolge bleibt die topologische Interpretation dieser Invarianten jedoch ein weitgehend ungelöstes Problem. In meinem Vortrag werde ich auf einige der Beziehungen zwischen Quanteninvarianten und klassischer Topologie eingehen.

Zusammenfassung: Seit der Entdeckung des Jones-Polynoms im Jahr 1984 hat die Knotentheorie eine stürmische Entwicklung erlebt, und mit ihr die Theorie der 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Eine Fülle neuer Invarianten wurde entdeckt und eingehend untersucht. Sie entstehen zumeist aus Deformationen altbekannter "klassischer" Objekte, und werden daher oft "Quanten"-Invarianten genannt. Trotz aller Erfolge bleibt die topologische Interpretation dieser Invarianten jedoch ein weitgehend ungelöstes Problem. In meinem Vortrag werde ich auf einige der Beziehungen zwischen Quanteninvarianten und klassischer Topologie eingehen.

Zusammenfassung: Seit der Entdeckung des Jones-Polynoms im Jahr 1984 hat die Knotentheorie eine stürmische Entwicklung erlebt, und mit ihr die Theorie der 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Eine Fülle neuer Invarianten wurde entdeckt und eingehend untersucht. Sie entstehen zumeist aus Deformationen altbekannter "klassischer" Objekte, und werden daher oft "Quanten"-Invarianten genannt. Trotz aller Erfolge bleibt die topologische Interpretation dieser neuen Invarianten jedoch schwierig. In meinem Vortrag möchte ich auf einige der Beziehungen zwischen Quanteninvarianten und klassischer Topologie eingehen.

Résumé : En 1984 Jones découvrit son invariant polynomial, qui ne ressemblait à aucun concept connu auparavant. En quelques années cette découverte a provoqué l'invention de nombreux autres invariants polynomiaux et des invariants dits quantiques ou de type fini, issus des représentations du groupe des tresses et souvent inspirés par des analogies avec la physique théorique. Malgré leurs mérites pour la théorie des nœuds et des 3-variétés, ces invariants restent peu compris du coté de la topologie algébrique, et parfois de la topologie tout court. Ce mémoire présente et discute quelques éléments de réponse.